METODA KONACNIH ELEMENATA - Osnovne akademske studije, … · 2019. 3. 18. · METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar Prof dr Stanko Brčić email: [email protected]

Matrična analiza linijskih nosača u ravniAnaliza linijskih nosača

METODA KONAČNIH ELEMENATAOsnovne akademske studije, VI semestar

Prof dr Stanko Brčićemail: [email protected]

Departman za Tehničke naukeDržavni Univerzitet u Novom Pazaru

2014/15

Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata


Sadržaj

1 Matrična analiza linijskih nosača u ravniPuni štapovi u lokalnom sistemuPuni štapovi u globalnom sistemu

2 Analiza linijskih nosačaJednačine ravnoteže sistemaFormiranje globalne matrice krutostiUnošenje graničnih uslova



Puni štapovi u lokalnom sistemuPuni štapovi u globalnom sistemu

Sadržaj






Matrična analiza linijskih nosača u ravni

Puni štapovi u lokalnom sistemuPosmatra se puni štap tipa k u ravni OXY , dakle štap koji jekruto vezan na svojim krajevima i, kLokalni sistem štapa u ravni nosača je xy, pri čemu jekoordinatni početak u (prvom) čvoru i, a lokalna osa x je upravcu ose štapa, sa smerom i− kKao što je rečeno, nepoznate veličine su čvorna pomeranja:

- u čvoru i . . .ui, vi, ϕi, ili, alternativno q1, q2, q3- u čvoru k . . .uk, vk, ϕk, ili, alternativno q4, q5, q6

Dakle, štap tipa k (“beam”), kao deo nosača u ravni, raspolažesa 6 stepeni slobode (6 “dof”)





Puni štapovi u lokalnom sistemu: čvorne sile i pomeranja

Štap tipa k je dužine ` i od materijala sa konstantnimmodulom elastičnosti EPoprečni presek je konstantnog oblika sa karakteristikama:

- površina preseka . . .F- momenat inercije . . . J





Puni štapovi u lokalnom sistemu

Štap tipa k, koji je kruto vezan na oba kraja, osnovni jeelement punog nosača u ravniŠtap tipa k može da bude izložen

- aksijalnom naprezanju- savijanju

U linearnoj teoriji štapa (koja se usvaja), takva dva naprezanjasu međusobno nezavisna i mogu da se posmatraju posebnoIstovremeni uticaji aksijalnog naprezanja i savijanja dobijaju sesuperpozicijom





Puni štapovi u lokalnom sistemu

Vektori čvornih pomeranja i čvornih sila (u lokalnom sistemu)imaju po 6 elemenata sa utvrđenim redosledom, prvo za čvor i,pa za čvor k:

q =

q1q2q3q4q5q6

=

uiviϕiukvkϕk

R =

R1R2R3R4R5R6

=

NiTiMiNkTkMk

Sa u i v su označene komponente pomeranja u pravcima osa xi y, dok je ϕ obrtanje oko ose z





Razdvajanje naprezanja kod punih štapova

Aksijalno naprezanje i savijanje su međusobno nezavisni ulinearnoj teoriji štapaZa istovremeno delovanje aksijalnih uticaja i savijanja koristi seprincip superpozicije





Puni štapovi u lokalnom sistemuMatrica krutosti i odgovarajuće relacije za štap izloženaksijalnom naprezanju su iste kao što je prikazano urazmatranju rešetkastih štapovaPosmatra se štap tipa k izložen savijanjuZa savijanje relevantna su čvorna pomeranja

- u čvoru i . . . vi, ϕi- u čvoru k . . . vk, ϕk

kao i čvorne sile- u čvoru i . . .Ti,Mi- u čvoru k . . .Tk,Mk





Analiza savijanja kod punih štapova

U nezavisnom posmatranju savijanja štapa ima po dvenepoznate u svakom čvoruRadi jednostavnijeg pisanja, u analizi savijanja koriste seoznake q1, q2, q3, q4, za čvorna pomeranja, kao iR1, R2, R3, R4 za čvorne sileKada se objedinjuje savijanje i aksijalno naprezanje vodi seračuna o redosledu nepoznatih





Puni štapovi u lokalnom sistemu - savijanjePošto se savijanje posmatra odvojeno od aksijalnognaprezanja, čvorne sile i čvorna pomeranja, kao i drugeveličine, označavaju se sa gornjim indeksom sVektori čvornih pomeranja i čvornih sila (u lokalnom sistemu)imaju po 4 elementa:

qs =

q1q2q3q4

Rs =

R1R2R3R4




Puni štapovi u lokalnom sistemu - savijanje

Matrica krutosti štapa tipa kMatrica krutosti za slučaj savijanja Ks može da se izvede nabazi fizičkog značenja elemenata matrice krutosti:

Koeficijent matrice krutosti kij pretstavlja čvornu silu Riobostrano uklještenog štapa usled jediničnog čvornogpomeranja qj = 1, pri čemu su sva ostala pomeranjaqi = 0 jednaka nuli, i 6= j

Reakcije veza obostrano uklještene grede za jediničnapomeranja i obrtanja krajeva mogu da se odrede metodom sila




Matrica krutosti štapa tipa k, za q1 = 1

Obostrano uklještena greda je dva puta statički neodređena(treća nepoznata, sila u pravcu ose štapa, jednaka je nuli zaslučaj savijanja)Osnovni sistem je prosta greda i nepoznate su spregovi nakrajevima štapa




Uticaji u osnovnom sistemu




Dobijene reakcije vezaza za q1 = 1

Reakcije veza za q1 = 1: elementi prve kolone matrice krutosti




Matrica krutosti štapa tipa k

Reakcije veza za svako od jediničnih pomeranja pretstavljajuodgovarajuću kolonu matrice krutosti Ks

Isprekidanom linijom prikazana je elastična linija štapa (ugibi)





Matrica krutosti štapa tipa kMatrica krutosti Ks je kvadratna, simetrična i singularnamatrica reda 4Elementi matrice krutosti dati su sa

Ks =EJ

`3

12 6` −12 6`6` 4`2 −6` 2`2−12 −6` 12 −6`6` 2`2 −6` 4`2

(1)





Vektor ekvivalentnog opterećenjaVektor ekvivalentnog opterećenja usled savijanja Qs ulokalnom sistemu, dat je kao vektor sa 4 elementa

Qs =

Q1Q2Q3Q4

Elementi vektora ekvivalentog opterećenja jednaki sunegativnim vrednostima reakcija obostrano uklještene gredeusled zadatog opterećenja




Vektor ekvivalentnog opterećenja

Za jednostavna opterećenja postoje gotova rešenja za reakcijeveza obostrano uklještene gredeZa proizvoljno opterećenje py(x) reakcije veza se određujuprimenom metode sila (za dva puta statički neodređen nosač)





Vektor ekvivalentnog opterećenja za jednakopodeljenoopterećenje py(x) = p = const





Vektor ekvivalentnog opterećenjaVektor ekvivalentnog opterećenja usled savijanja Qs ulokalnom sistemu, za slučaj jednakopodeljenog opterćenjapy(x) = p = const dat je sa:

Qsp =

p`2p`2

12p`2

−p`2

12

=p`

2

1`61

− `6





Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa k usledtemperaturne razlike ∆t





Vektor ekvivalentnog opterećenjaVektor ekvivalentnog opterećenja Qs u lokalnom sistemu, zaslučaj temperaturne razlike ∆t dat je sa:

Qst = E J αt∆t

h

0−101

Sa αt je označen koeficijent temperaturne dilatacije, dok je hvisina preseka nosača





Matrice krutosti za aksijalno naprezanje Ka i za savijanje Ks

određuju se nezavisnoUkupna matrica krutosti štapa tipa k je kvadtratna matricareda 6Elemeti matrica krutosti Ka i Ks smeštaju se naodgovarajuće pozicije




Čvorna pomeranja i čvorne sile štapa tipa k




Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa k




Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa k

Istovremeno ravnomerno aksijalno i transverzalno opterećenjekonstantnih intenziteta





Vektor ekvivalentnog opterećenjaVektor ekvivalentnog opterećenja usled savijanja Qs ulokalnom sistemu, za slučaj jednako-podeljenog aksijalnogopterćenja px(x) = const, kao i istovremenogjednako-podeljenog transverzalnog opterćenja py(x) = const,dat je sa:

Qsp =

px`2

py`2

py`2

12px`2

py`2

−py`2

12





Štap tipa gPosmatra se štap tipa g, dakle, štap koji je na jednom kraju, učvoru i, kruto vezan, a na drugom kraju, čvor g, zglobno vezanPrema tome, takav štap ima 5 stepeni slobode: 3 u krutomčvoru i, i 2 nepoznate u zglobu g (obrtanje ϕg nije nepoznataveličina, jer može da se odredi iz uslova Mg = 0)





Štap tipa gDakle, vektori čvornih pomeranja i čvornih sila, u lokalnimkoordinatama, imaju po pet elemenata:

q =

q1q2q3q4q5

=

uiviϕiugvg

R =

R1R2R3R4R5

=

NiTiMiNgTg

Kao i kod štapova tipa k, u linearnoj teoriji aksijalnonaprezanje je nezavisno od savijanja




Razdvajanje aksijalnog naprezanja i savijanja

U linearnoj teoriji štapa aksijalno naprezanje (kao i torzija za 3D) jenezavisno od savijanja





Matrica krutosti štapa tipa gBez obzira na redosled u ukupnom vektoru čvornih nepoznatih,u razdvojenom posmatranju aksijalnog naprezanja i savijanja, uanalizi savijanja tri nepoznate se označavaju sa q1, q2 i q3





Matrica krutosti štapa tipa gMatrica krutosti za aksijalno naprezanje Ka je ista kao i zarešetkasti štapMatrica krutosti za savijanje Ks određuje se direktnim putem,na osnvu fizičkog značenja koeficijenata matrice krutostiKoeficijent kij matrice krutosti za savijanje štapa tipa g jereakcija Ri jednostrano uklještenog štapa sa pokretnimosloncem na drugom kraju, usled jediničnog pomeranja qj = 1




Matrica krutosti štapa tipa g

Elementi matrice krutosti Ks štapa tipa g su reakcijejednostrano uklještenog štapa, sa zglobnom vezom na drugomkraju, usled jediničnih čvornih pomeranjaIsprekidanom linijom je prikazana odgovarajuća elastična linija(ugib)





Matrica krutosti štapa tipa gElementi matrice krutosti pri savijanju štapa tipa g dobijaju seu obliku:

Ks =E F

`3

3 3` −33` 3`2 −3`−3 −3` 3

Kao što se vidi, matrica krutosti za savijanje štapa tipa g jekvadratna, simetrična i singularna matrica reda 3





Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gVektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa g izloženogsavijanju ima tri elementa u lokalnom sistemu

Q =

Q1Q2Q3

Elementi vektora ekvivalentnog opterećenja su jednakinegativnim vrednostima reakcija jednostrano uklještene grede izglobno vezane na drugom kraju, usled zadatog opterećenja




Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa g

Elementi vektora ekvivalentnog opterećenja su jednakinegativnim vrednostima reakcija veza usled posmatranogopterećenja





Elementi vektora ekvivalentnog opterećenja zajednakopodeljeno opterećenje py(x) = p = const





Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gVektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa g za uticajjednakopodeljenog opterećenja py(x) = p = const dobija se uobliku:

Qp =

58p`18p`

2

38p`

= 18p `

5`3





Elementi vektora ekvivalentnog opterećenja za temperaturnupromenu ∆t





Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gVektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa g za uticajtemperaturne promene ∆t dobija se u obliku:

Qt = 1.5E J αt∆t

h

−1`−11`





Matrice krutosti za aksijalno naprezanje Ka i za savijanje Ks

određuju se nezavisnoUkupna matrica krutosti štapa tipa k je kvadtratna matricareda 5Elemeti matrica krutosti Ka i Ks smeštaju se naodgovarajuće pozicije





Istovremeno ravnomerno aksijalno i transverzalno opterećenjekonstantnih intenziteta





Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gVektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa g za uticajjednako-podeljenog opterećenja u pravcu ose štapapx(x) = const, kao i jednako-podeljenog opterećenja upravnona štap py(x) = const, dobija se u obliku:

Q =

12px`58py`18py`

2

12px`38py`




Sadržaj






Puni štapovi u globalnom sistemu

Transformacija koordinata za štap tipa k

Štap tipa k, u sastavu nosača u ravni, zauzima proizvoljanpoložaj u odnosu na globalni koordinatni sistemPoložaj štapa u posmatranom nosaču, koji pripada globalnojravni OXY , određen je sa položajem prvog čvora i štapai− k, kao i orjentisanim uglom α = ∠(X,x) koji zaklapalokalna osa štapa x prema globalnoj osi XTransformacije vektora iz lokalnog u globalni sistem i obrnutoodređene su matricom transformacije T




Globalni i lokalni sistem

Čvorna pomeranja i čvorne sile štapa tipa k u lokalnom i globalnomsistemu





Transformacija koordinata za štap tipa kVektori čvornih pomeranja i čvornih sila imaju po 6 koordinata,koje se u vektore unose u istom redosleduVektori izraženi u globalnim koordinatama imaju i gornji indeks(..)∗ u svojoj oznaci:

q =

q1q2...q6

R =

R1R2...R6

q∗ =

q∗1q∗2...q∗6

R∗ =

R∗1R∗2...R∗6




Globalni i lokalni sistem

Prikazi vektora čvornih pomeranja i čvornih sila štapa tipa k ulokalnom i globalnom sistemu





Transformacija koordinata za štap tipa kMatrica transformacije štapa tipa k dobija se kada se, npr.,čvorne sile u lokalnom sistemu Ri izraze preko čvornih sila uglobalnom sistemu R∗iImajući u vidu da je α = ∠(X,x), dobijaju se sledeće relacije,posmatrajući čvorne sile u čvoru i:

R1 = R∗1 cosα+R

∗2 sinα

R2 = −R∗1 sinα+R∗2 cosαR3 = R

∗3

(2)






Prikazano u matričnom obliku, relacije (2) mogu da se napišukao

R1R2R3

= cosα sinα 0− sinα cosα 0

0 0 1

R∗1R∗2R∗3

(3)Relacije (3) mogu da se napišu u skraćenom obliku:

Ri = tR∗i (4)





Transformacija koordinata za štap tipa kAnalogne relacije mogu da se napišu i za sile u čvoru k:

Rk = tR∗k (5)

Matrica t je čvorna matrica transformacijeRelacije (4) i (5) mogu da se zajedno napišu u obliku{

RiRk

}=

[t 00 t

] {R∗iR∗k

}(6)

ili u kompaktnijem obliku

R = T R∗ (7)






Relacija (7) pretstavlja transformaciju vektora čvornih sila izglobalnih u lokalne koordinateMatrica T je matrica transformacije za štapNapisano u razvijenom obliku, relacije (7) glase

R1R2R3R4R5R6

=

cosα sinα 0 0 0 0− sinα cosα 0 0 0 0

0 0 1 0 0 00 0 0 cosα sinα 00 0 0 − sinα cosα 00 0 0 0 0 1

R∗1R∗2R∗3R∗4R∗5R∗6

(8)





Transformacija koordinata za štap tipa kNapisana u razvijenom obliku, matrica transformacije T dataje sa

T =

cosα sinα 0 0 0 0− sinα cosα 0 0 0 0

0 0 1 0 0 00 0 0 cosα sinα 00 0 0 − sinα cosα 00 0 0 0 0 1

(9)

Matrica transformacije je simetrična kvadratna matrica reda 6





Transformacija koordinata za štap tipa kNa isti način, važe relacije između čvornih pomeranja q:

q = Tq∗ (10)

kao i između vektora ekvivalentnog opterećenja Q:

Q = TQ∗ (11)

Matrica transformacije (kao matrica rotacije) je ortogonalnamatrica, odn. njena transponovana matrica jednaka jeinverznoj matrici:

T T = T−1 (12)






Imajući u vidu relacije (7) i (11), kao i svojstvo ortogonalnostimatrice transformacije, vektori čvornih sila i vektoriekvivalentnog opterećenja, izraženi u lokalnom sistemu, moguda se izraze u globalnom sistemu:

R = T R∗ ⇒ R∗ = T T RQ = T Q∗ ⇒ Q∗ = T T Q

(13)

Radi skraćenog pisanja, koriste se oznake λ = cosα, µ = sinα





Transformacija koordinata za štap tipa kMatrica transformacije za čvor, kao i njena inverzna matrica,date su

t =

λ µ 0−µ λ 00 0 1

t−1 = λ −µ 0µ λ 0

0 0 1

dok je matrica transformacije za štap data sa

T =

λ µ 0 0 0 0−µ λ 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 λ µ 00 0 0 −µ λ 00 0 0 0 0 1

(14)Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata




Transformacija koordinata za štap tipa kAko su poznate globalne koordinate čvorova i i k štapa i− k:(Xi, Yi), (Xk, Yk), onda se lako izračunavaju elementi matricetransformacije λ i µ za dati štap:

` =√

(Xk −Xi)2 + (Yk − Yi)2

λ =1

`(Xk −Xi)

µ =1

`(Yk − Yi)





Transformacija matrice krutosti u globalni sistemPosmatra se osnovna jednačina neopterećenog štapa

R = K q

Unoseći u ovu jednačinu relacije između čvornih sila i čvornihpomeranja u lokalnim i globalnim koordnatama:

R = T R∗ q = T q∗

dobija seT R∗ = KT q∗ (15)





Transformacija matrice krutosti u globalni sistem

Ako se jedn. (15) pomnoži sa transponovanom matricomtransformacije sa leve strane, dobija se

T T T R∗ = T T KT q∗

Imajući u vidu ortogonalnost matrice transformacije,T T = T−1, dobija se

R∗ = T T KT q∗ (16)

ili skraćeno,R∗ = K∗ q∗ (17)





Transformacija matrice krutosti u globalni sistem

Jednačina (17) pretstavlja osnovnu jednačinu neopterećenogštapa u globalnim koordinatamaU toj jednačini matrica K∗ pretstavlja vezu između čvornihsila i čvornih pomeranja, u globalnim koordinatama, tako da jeK∗ matrica krutosti štapa u globalnim koordinatama:

K∗ = T T KT (18)




Globalni i lokalni sistem - štap tipa g

Čvorna pomeranja i čvorne sile štapa tipa g u lokalnom i globalnomsistemu





Transformacija koordinata za štap tipa gVektori čvornih pomeranja i čvornih sila imaju po 5 koordinata,koje se u vektore unose u istom redosleduVektori izraženi u globalnim koordinatama imaju i gornji indeks(..)∗ u svojoj oznaci:

q =

q1q2...q5

R =

R1R2...R5

q∗ =

q∗1q∗2...q∗5

R∗ =

R∗1R∗2...R∗5





Transformacija koordinata za štap tipa gVeze između vektora čvornih sila, pomeranja i ekvivalentnogopterećenja su, formalno, iste kao i za štap tipa k

R = TR∗ q = Tq∗ Q = TQ∗

Razlika je samo u matrici transformacije T : kako štap tipa gima 5 čvornih nepoznatih, tako je i matrica transformacijekvadratna matrica reda 5Ako je čvor, odn. zglob, g drugi čvor, onda je momenatsavijanja u zglobu g jednak nuli i nema veze oblika R6 = R∗6,jer se R6 odnosi na momenat savijanja koji je u zglobu jednaknuli





Transformacija koordinata za štap tipa gPrema tome, u matrici transformacije za štap tipa k, datoj sa(9) ili sa (14), treba samo da se izbaci 6. kolona i 6. vrsta kojese odnose na momenat, odn. obrtanje u zglobu gDakle, matrica transformacije štapa tipa g ima oblik:

T =

cosα sinα 0 0 0− sinα cosα 0 0 0

0 0 1 0 00 0 0 cosα sinα0 0 0 − sinα cosα

(19)





Transformacija koordinata za štap tipa gAlternativno, koristeći oznake λ = cosα, µ = sinα, matricatransformacije štapa tipa g ima oblik:

T =

λ µ 0 0 0−µ λ 0 0 00 0 1 0 00 0 0 λ µ0 0 0 −µ λ

(20)





Transformacija koordinata za štap tipa gMatrica transformacije za štap tipa g je simetrična iortogonalna matrica, pa važe iste inverzne relacije kao i zaštap tipa k:

q∗ = T Tq R∗ = T TR Q∗ = T TQ

Takođe, matrica krutosti štapa tipa g, izražena u odnosu naglobalne koordinate, data je na isti način:

K∗ = T TKT



Jednačine ravnoteže sistemaFormiranje globalne matrice krutostiUnošenje graničnih uslova

Sadržaj






Analiza linijskih nosača

Jednačine ravnoteže sistemaOsnovna jednačina opterećenog štapa u lokalnom sistemu glasi

R = Kq −Q (21)

Pri tome, isti oblik jednačine (21) važi i za rešetkaste štapove,kao i za štapove tipa k ili g - razlika je samo u dimenzijamamatrica i vektoraU jedn. (21) unosi se veza q = Tq∗, pa se zatim jednačinamnoži sa leve strane sa T T :

T TR = T TKTq∗ − T TQ (22)





Jednačine ravnoteže sistemaImajući u vidu veze (13), kao i izraz (18) za matricu krutosti uglobalnom sistemu, jednačina (22) može da se prikaže u obliku

R∗ = K∗q∗ −Q∗ (23)

Jednačina (23) pretstavlja osnovnu jednačinu opterećenogštapa u globalnom sistemuZbog različitih položaja štapova u sklopu linijskog nosača (uravni, ali i u prostoru!) neophodna je transformacija u globalnikoordinatni sistem za sve štapove nosača





Jednačine ravnoteže sistemaPosmatra se jedan od štapova u sklopu nosača - štap j, tipa kDa se naglasi da se osnovna jednačina (23) odnosi baš na štapj, uvodi se oznaka štapa kao gornji indeks:

R∗j = K∗jq∗j −Q∗j (24)

U jedn. (24) nepoznata su čvorna pomeranja q∗j , dok sumatrica krutosti K∗j i vektor ekvivalentnog opterećenja Q∗j

poznati - određuju se iz geometrije i zadatog opterećenja dužštapa





Jednačine ravnoteže sistemaU cilju razdvajanja doprinosa svakog štapa na čvorove nasvojim krajevima, vrši se particija vektora čvornih sila i čvornihpomeranja po čvorovima na kraju štapa:

R∗j =

{R∗jiR∗jk

}q∗j =

{q∗jiq∗jk

}

Broj vektora čvornih pomeranja q∗i jednak je broju čvorova Ku posmatranom nosaču: i = 1, 2, . . . ,KPri tome svaki vektor čvornih pomeranja q∗i ima onolikokomponenti koliko ima stepeni slobode u posmatranom čvoru(za nosač u ravni od 0 do 3)





Jednačine ravnoteže sistemaNepoznati vektori čvornih pomeranja q∗i određuju se iz uslovaravnoteže sila u izdvojenim čvorovimaU pojedinim čvorovima postoje spoljašnje veze kojeograničavaju pojedine stepene slobode kretanja, odn.pretstavljaju granične uslove, jer je nosač, po definiciji,nepokretan sistemPrema tome, neki od stepeni slobode kretanja su unapredpoznati, zbog postojećih graničnih uslova





Jednačine ravnoteže sistemaKada se postavljaju uslovi ravnoteže sila u čvorovima, čvornesile se, prema vezama oblika (23), izražavaju preko čvornihpomeranjaU takvim uslovima ravnoteže sila u čvorovima figurišu i čvornapomeranja koja su poznata zbog datih graničnih uslovaPoznata čvorna pomeranja mogu da se eliminišu iz uslovaravnotežeNepoznata čvorna pomeranja u posmatranom nosaču određujuse iz uslova ravnoteže sila u slobodnim čvorovima





Jednačine ravnoteže sistemaJedino su u spoljašnjem uklještenju sprečana sva čvornapomeranja (ukinuta su sva 3 stepena slobode kretanja zanosač u ravni)Drugi oslonci (npr. nepokretan ili pokretan zglob) ukidajusamo neki od stepena slobode kretanjaDakle, u formiranju jednačina ravnoteže sila u čvorovimanosača, mogu da se odmah eliminišu (uklone) poznatapomeranja (granični uslovi) i da se dobije sistem jednačina ukome figurišu samo nepoznata pomeranja





Jednačine ravnoteže sistemaAlternativno, moguće je da se iz sistema jednačina ravnotežesila u čvorovima ne uklone poznata pomeranjaU tom slučaju iz uslovnih jednačina mogu da se dobiju inepoznate reakcije veza (sile u čvorovima koje odgovarajupoznatim pomeranjima)Posmatra se čvor i koji je izdvojen iz nosača (u skladu saAksiomama statike)Uticaj uklonjenih štapova u čvoru, npr. štapa j, zamenjen jesilama veze, odn. silama na krajevima štapova R∗jm , m=1,2,3





Jednačine ravnoteže sistema

Sile na kraju štapa j, R∗jm , pozitivne su u pozitivnimsmerovima osa globalnog sistemaPo Principu akcije i reakcije uticaj štapa na čvor je dat sa istimsilama ali suprotnih smerovaPrema tome, uticaj štapa j na čvor i u kome je štap vezan,ogleda se silama R∗jm , m = 1, 2, 3, koje su pozitivne unegativnim smerovima globalnih osa





Izdvojen čvor i iz nosača u ravni i sile koje deluju na čvor:- uticaj uklonjenih štapova na čvor- spoljašnje koncentrisane sile koje deluju na čvor





Jednačine ravnoteže sistemaOsim sila koje sa uklonjenih štapova deluju na čvor, na čvormogu da deluju i spoljašnje koncentrisane sile u čvoruTo su sile P ∗i koje su pozitivne u pozitivnim smerovima osaglobalnog sistemaAko je broj štapova j koji su vezani čvoru i jednak ni, onda suuslovi ravnoteže sila u čvoru i dati, u vektorskom obliku, sa:

P ∗i −ni∑j=1

R∗ji = 0 (25)





Jednačine ravnoteže sistemaOsnovna jednačina opterećenog štapa j data je sa:

R∗j = K∗jq∗j −Q∗j (26)

Imajući u vidu čvorove i i k štapa j, vrši se particija vektora imatrica u jedn. (26) na subvektore i submatrice premačvorovima štapa{

R∗jiR∗jk

}=

[K∗jii K

∗jik

K∗jki K∗jkk

]{q∗jiq∗jk

}−

{Q∗jiQ∗jk

}(27)






Subvektori R∗ji i R∗jk su čvorne sile štapa j koje su na

krajevima štapa j ka čvorovima i i kSlično, subvektori q∗ji i q

∗jk su vektori pomeranja čvorova, dok

su Q∗ji i Q∗jk vektori ekvivalentnog opterećenja štapa j koji

deluju u čvorovima i i kNajzad, submatrice K∗jii , K

∗jik i K

∗jkk su čvorne matrice

krutosti štapa j






Čvorne sile štapa j u čvoru i, R∗ji , mogu da se dobiju izjednačine (27) u obliku:

R∗ji = K∗jii q

∗ji + K

∗jik q

∗jk −Q

∗ji (28)

Unoseći ove sile u jedn. ravnoteže sila u čvoru i (25), dobija se

P ∗i −ni∑j=1

(K∗jii q∗ji + K

∗jik q

∗jk −Q

∗ji ) = 0 (29)





Jednačine ravnoteže sistemaUvode se oznake

K∗ii =

ni∑j=1

K∗jii

K∗ik = K∗jik (i 6= k)

Q∗i =

ni∑j=1

Q∗ji

(30)

pa se jednačina ravnoteže sila u čvoru i dobija u obliku

K∗iiq∗i +

∑k

K∗ikq∗k = P

∗i + Q

∗i (31)






Matrica K∗ii jednaka je zbiru svih čvornih matrica krutosti K∗jii

štapova j koji su povezani u čvoru iMatrica K∗ik postoji samo ako su čvorovi i i k međusobnopovezani i jednaka je matrici K∗jik štapa j koji povezuječvorove i i kVektor čvornih sila Q∗i jednak je zbiru subvektoraekvivalentnog opterećenja Q∗ji za čvor i po svim štapovima jkoji su povezani u čvoru i (i naravno, opterećeni duž štapa)





Jednačine ravnoteže sistemaAko se vektori P ∗i i Q

∗i saberu:

P ∗i + Q∗i = S

∗i

jednačine ravnoteže sila u čvoru i (31) mogu da se prikažu kao:

K∗iiq∗i +

∑k

K∗ikq∗k = S

∗i (32)

Jednačina ravnoteže (32) ima onoliko koliko ima čvorova:i = 1, 2, . . . ,K





Jednačine ravnoteže sistemaAko se napišu sve jednačine (32), i = 1, 2, . . . ,K, mogu da seprikažu kao jedna matrična jednačina:

K∗q∗ = S∗ (33)

Matrica K∗ je matrica krutosti sistema štapova, vektor q∗ jevektor pomeranja čvorova nosača, dok je S∗ vektoropterećenja (vektor slobodnih članova u jednačinama)





Jednačine ravnoteže sistemaMatrica krutosti sistema štapova je kvadratna matrica sa Ksubmatrica K∗ik, (i, k = 1, 2, . . . ,K), gde je K ukupan brojčvorova nosača:

K∗ =

K∗11 K∗12 · · · K∗1k · · · K∗1K

K∗21 K∗22 · · · K∗2k · · · K∗2K

......

......

K∗i1 K∗i2 · · · K∗ik · · · K∗iK

......

......

K∗K1 K∗K2 · · · K∗Kk · · · K∗KK

(34)





Jednačine ravnoteže sistemaDijagonalni blokovi (submatrice) K∗ii su uvek različiti od nule,dok vandijagonalni blokovi K∗ik postoje samo ako su čvorovi i ik međusobno povezani, inače su K∗ik nulti blokoviPrema tome, matrica krutosti sistema štapova nije punamatrica, već je trakaste strukture koja zavisi od topologijenosača, kao i od načina numerisanja čvorova nosačaRed matrice krutosti K∗ zavisi od broja stepeni slobode usvakom čvoru: maksimalno je 3KNapominje se da u jednačinu (34) nisu uneti granični uslovi





Jednačine ravnoteže sistemaVektori čvornih pomeranja q∗ i čvornih sila S∗ imaju po Ksubvektora q∗i i S∗i, (i = 1, 2, . . . ,K), od kojih svakisubvektor ima onoliko elemenata koliko ima stepeni slobode uposmatranom čvoru i (maksimalno po 3):

q∗ =

q∗1q∗2...q∗i...

q∗K

S∗ =

S∗1S∗2...S∗i...

S∗K

(35)





Jednačine ravnoteže sistemaOsnovne osobine matrice krutosti K∗ su sledeće:

- matrica K∗ je kvadratna matrica reda N , gde je N ≤ 3K ipretstavlja ukupan broj stepeni slobode (broj generalisanihkoordinata, odn. pomeranja čvorova nosača)

- matrica K∗ je simetrična- matrica K∗ je trakaste strukture- matrica K∗ je singularna

Kako su sve čvorne matrice krutosti, kao i matrice krutostipojedinih štapova, simetrične, to je i matrica K∗ simetrična,jer se dobija sabiranjem i raspoređivanjem čvornih matricakrutosti





Jednačine ravnoteže sistemaTrakasta struktura matrice krutosti je zavisna od topologijeposmatranog nosača, kao i od načina numeracije čvorovanosačaMatrica krutosti sistema štapova K∗ je singularna, odn. rangmatrice krutosti je manji od reda matrice N i ne postojiinverzna matricaNeki od redova (ili kolona) matrice krutosti su međusobnozavisni, jer u jednačine ravnoteže (33) nisu uneti odgovarajućigranični uslovi po pomeranjimaZnači, odgovarajuća pomeranja oslonačkih čvorova su poznata(obično su jednaka nuli)





Jednačine ravnoteže sistemaTo što u matricu krutosti K∗ nisu uneti granični uslovi popomeranjima znači da su u vektoru pomeranja q∗ sadržana ipomeranja nosača kao krute ploče (kao krute figure) u ravni,tako da položaj nosača nije definisanDa bi se odredio položaj sistema u ravni, neophodno je da sezadaju konturni uslovi, odn. da se unesu uslovi oslanjanjanosačaZa unutrašnje kinematički stabilne ravne sisteme minimalanbroj konturnih uslova je tri, pošto sistem, kao kruto telo uravni, raspolaže sa tri stepena slobode kretanja




Sadržaj






Analiza linijskih nosača u ravni

Formiranje globalne matrice krutosti

Matrice krutosti štapova (punih i rešetkastih) u lokalnimkoordinatama zavise od

- dužine štapa . . . `- geometrijskih karakteristika poprečnog preseka . . .F, J- karakteristika materijala . . .E

Matrice krutosti štapova u globalnim koordinatama zavise još iod

- položaja štapa u odnosu na globalni sistem . . . ugaoα = ∠(X,x)





Ulazni podaci o računskom modelu (text file)

Ulazni podaci koji definišu računski model posmatranog nosačasastoje se iz sledećih celina:

- opšti podaci o računskom modelu (naziv, vrsta analize, . . . )- podaci o topologiji nosača: koordinate čvorova i povezanostštapova

- podaci o poprečnim presecima i o materijalima- podaci o graničnim uslovima- podaci o opterećenju: osnovni slučajevi opterećenja ikombinacije opterećenja

U posmatranom nosaču (u ravni, ali i u 3D) svaki čvor i svakištap imaju svoj jedinstveni identifikacioni broj






Numeracije čvorova, kao i štapova, međusobno su nezavisne ipočinju sa 1,2,3,. . .Za svaki čvor unose se koordinate tačaka (u globalnomsistemu)Za svaki štap unose se globalni brojevi prvog i drugog čvora(i, k), pri čemu je lokalna x osa orjentisana od i ka kFormiraju se liste različitih poprečnih preseka i različitihmaterijala u modelu nosačaUnose se podaci o graničnim uslovima: koji čvor je granični ikakvi su granični uslovi






Unose se podaci o osnovnim slučajevima opterećenja:- naziv slučaja opterećenja (eventualno i redni broj)- podaci o koncentrisanim silama i spregovima u čvorovimanosača

- podaci o raspodeljenim opterećenjima duž osa štapova:konstantna, trougaona ili trapezna raspodeljena opterećenja

- podaci o koncentrisanim opterećenjima duž ose štapa(mada je moguće da se štap podeli na 2 dela na mestukoncentrisanih uticaja, pa da uticaji budu u novom čvoru)

- podaci o temperaturnim uticajima duž ose štapa

Podaci o kombinacijama osnovnih slučajeva opterećenja





Formiranje globalne matrice krutostiU fazi učitavanja i analize ulaznih podataka svakom čvorunosača dodeljuju se globalni brojevi za čvorna pomeranja utom čvoruTi globalni brojevi čvornih pomeranja pretstavljaju rednebrojeve (redosled) nepoznatih generalisanih pomeranja uukupnom vektoru generalisanih pomeranja q∗

Za svaki štap time su određeni globalni brojevi čvornihpomeranja njegovih čvornih tačaka i i kZa sve štapove koji su vezani u zajedničkoj čvornoj tačkiglobalni brojevi čvornih pomeranja u zajedničkom čvoru su isti





Formiranje globalne matrice krutostiPrema tome, svaki štap, recimo tipa k, ima svojih 6 lokalnihstepeni slobode (ui, vi, ϕi, uk, vk, ϕk) i svaka od tihgeneralisanih koordinata ima svoj jedinstven globalni redni brojGlobalni redni brojevi čvornih nepoznatih nazivaju se kodnibrojeviZa svaki štap se formira odgovarajuća matrica krutosti, prvo ulokalnom sistemu, a zatim i u globalnom sistemuMatrica krutosti štapa j u globalnom sistemu ima razdvojenesubmatrice koje odgovaraju njenim čvorovima i i k:k∗jii ,k

∗jik ,k

∗jki = k

∗jik ,k

∗jkk (čvorne matrice krutosti)





Formiranje globalne matrice krutostiPosle toga vrši se “sabiranje” matrica krutosti po svimelementima (“assembly”)Prvo se alocira memorijski prostor za globalnu matricu krutostinosača K∗ i svi elementi se iniciraju sa nulomZatim se redom, za svaki štap j, u globalnu matricu krutostinosača unose čvorne matrice krutosti k∗jii ,k

∗jik ,k

∗jki ,k

∗jkk, pri

čemu se čvorne matrice unose u pozicije globalne matrice kojeodgovaraju globalnim brojevima čvornih pomeranjaposmatrane čvorne matrice (postupak kodnih brojeva)





Formiranje globalne matrice krutostiKada se na istoj poziciji nađu čvorne matrice krutosti dva iliviše štapova, elementi matrica čvornih krutosti se sabirajuKada se “saberu” matrice krutosti svih štapova, odn. unesučvorne krutosti svih štapova na odgovarajuće pozicije globalnematrice krutosti, formirana je matrica krutosti sistema štapovau globalnom sistemu K∗





Formiranje vektora slobodnih članovaZatim se vrši formiranje vektora slobodnih članova u globalnimkoordinatama S∗

Vektor slobodnih članova čine spoljašnje sile koje su direktnokoncentrisane u čvorovima nosača, P ∗, kao i vektorekvivalentnog opterećenja koji pretstavlja uticaj spoljašnjegopterećenja duž štapova nosača R∗:

S∗ = P ∗ + R∗





Formiranje globalne matrice krutostiZa svaki štap koji je opterećen duž svoje ose formira se vektorekvivalentnog opterećenja, prvo u lokalnom, a zatim uglobalnom sistemuVektor ekvivalentnog opterećenja “pripada” čvorovima i i kštapa na kome se nalazi raspodeljeno opterećenjePri tome se zna koji su globalni brojevi (kodni brojevi)nepoznatih pomeranja u posmatranom čvoruAko je više opterećenih štapova vezano u istom čvoru,odgovarajuće komponente vektora ekvivalentnog opterećenja utom čvoru se sabiraju





Formiranje globalne matrice krutostiNa sličan način se formira i vektor slobodnih članova, koji jedat kao odgovarajući zbir vektora koncentrisanih sila učvorovima nosača, kao i vektora ekvivalentog opterećenja kojipotiče od opterećenja duž štapovaTako dobijen sistem jednačina

K∗q∗ = S∗

ne može da se reši, jer je matrica krutosti sistema štapovasingularna matrica - nisu uneti granični uslovi




Sadržaj







Unošenje graničnih uslovaU vektoru čvornih pomeranja q∗ veći deo su nepoznatageneralisana pomeranja, a jedan deo su poznata pomeranjaoslonačkih čvorovaAko se nepoznata čvorna pomeranja označe sa q∗f , a poznatačvorna pomeranja sa q∗b , onda je moguće da se izvrši particija:

q∗ =

{q∗fq∗b

}





Unošenje graničnih uslova

Takođe, moguće je da se jednačine ravnoteže (33) prikažu udekomponovanom obliku koji odgovara razdvajanju nepoznatihi poznatih pomeranja:[

K∗ff K∗fb

K∗bf K∗bb

]{q∗fq∗b

}=

{S∗fS∗b

}(36)

Jednačina (36) može da se napiše u vidu dve jednačine:

K∗ffq∗f + K

∗fbq

∗b = S

∗f

K∗bfq∗f + K

∗bbq

∗b = S

∗b

(37)






Iz prve od jednačina (37) dobija se vektor nepoznatih čvornihpomeranja:

q∗f = K∗−1ff (S

∗f −K∗fbq∗b ) (38)

Imajući u vidu da je

S∗b = R∗b + Q

∗b

iz druge od jednačina (37) dobja se vektor nepoznatih reakcijaoslonaca:

R∗b = K∗bfq

∗f + K

∗bbq

∗b −Q∗b (39)





Unošenje graničnih uslovaGranični uslovi mogu da budu:

- homogeni . . . q∗b = 0- nehomogeni . . . q∗b 6= 0

U slučaju homogenih graničnih uslova dobija se:1 vektor nepoznatih čvornih pomeranja

q∗f = K∗−1ff S

∗f

2 vektor nepoznatih reakcija veza

R∗b = K∗bfq

∗f −Q∗b = K∗bfK∗−1ff S

∗f −Q∗b






U slučaju nehomogenih graničnih uslova (zadata pomeranjaoslonaca), koriste se izrazi (38) i (39)Međutim, u realnoj implementaciji matrične analize linijskihnosača, odn. u izradi odgovarajućih računarskih programa,koriste se drugi pristupi unošenja graničnih uslova:

1 redukcija matrice krutosti2 transformacija matrice krutosti

Svaki stepen slobode kretanja, odn. svaka komponentapomeranja, nepoznatog ili zadatog graničnim uslovima, imasvoj jedinstven redni broj, prema kome se i unosi u matricukrutosti





Unošenje graničnih uslovaRedukcija matrice krutosti znači sledeće:

- neka je, npr. m redni broj stepena slobode koji je poznat, odn.zadat graničnim uslovom (jednak je nuli)

- vrsta broj m i kolona broj m uklone se iz matrice krutosti,uključujući i element m u vektoru slobodnih članova (unesu senulte vrednosti)

- sve vrste (redovi) matrice krutosti ispod reda m translatornose pomere na gore za jedan red, tako što red m+ 1 dospe upoziciju reda m i tako što poslednji red N dospe u pozicijureda N − 1

- sve kolone matrice krutosti desno od kolone m translatorno sepomere levo za jednu kolonu, tako što kolona m+ 1 dospeva ukolonu m, a poslednja kolona N dolazi u položaj kolone N − 1






Redukcija matrice krutosti znači sledeće (nastavak):- na taj način, za jedan granični uslov matrica krutosti se smanjiza jedan: sa reda N na red N − 1

- takva redukcija matrice krutosti, kao i vektora slobodnihčlanova, vrši se redom za sve granične uslove po generalisanimpomeranjima

- time se dobija redukovana matrica krutosti koja se odnosisamo na nepoznata generalisana pomeranja, kao i redukovanvektor slobodnih članova

- tako dobijena redukovana matrica krutosti je regularnakvadratna simetrična matrica koja ima inverznu matricu





Unošenje graničnih uslovaTransformacija matrice krutosti znači sledeće:

- neka je zadat granični uslov po pomeranjima: qm = 0, gde jem globalni broj promenljive (generalisanog pomeranja) q

- u matrici krutosti postojećem elementu na glavnoj dijagonalina mestu (m,m), dakle elementu kmm koji odgovara čvornompomeranju qm, dodaje se “jako” veliki broj

- “jako veliki broj” se dobija kada se najveći broj u matricikrutosti (to je, obično, neki od elemenata na glavnojdijagonali) pomnoži sa, recimo, 106






Transformacija matrice krutosti znači sledeće (nastavak):- isto se uradi i sa svim ostalim zadatima graničnim uslovima:na glavnoj dijagonali matrice krutosti, na mestima zadatih(homogenih) graničnih uslova dodaju se veliki brojevi

- takvom transformacijom matrice krutosti ne menja se redmatrice, jedino se glavnoj dijagonali, na mestima kojaodgovaraju zadatim graničnim uslovima, dodaju veliki brojevi

- posledica takve transformacije matrice krutosti je da supromenjeni elementi na glavnoj dijagonali matrice krutosti kojiodgovaraju rednim brojevima čvornih pomeranja koja suzadata graničnim uslovima (jednaka su nuli)






Transformacija matrice krutosti znači sledeće (nastavak):- tako transformisana matrica krutosti nije više singularna (imainverznu matricu) i sistem jednačina može da se reši

- zbog unetih jako velikih brojeva na glavnu dijagonalu matricekrutosti ne mestima koja odgovaraju zadatim graničnimuslovima, u rešenju se dobijaju nule za čvorna pomeranja kojasu zadata homogenim graničnim uslovima (jer se “deli” sa jakovelikim brojem)

Metoda transformacije matrice krutosti više je u upotrebi odmetode redukcije jer se lakše implementira u programu


Matricna analiza linijskih nosaca u ravniPuni štapovi u lokalnom sistemuPuni štapovi u globalnom sistemu

Analiza linijskih nosacaJednacine ravnoteže sistemaFormiranje globalne matrice krutostiUnošenje granicnih uslova

Documents

METODA KONACNIH ELEMENATA - Osnovne akademske studije, … · 2019. 3. 18. · METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar Prof dr Stanko Brčić email: [email protected]