94
Savijanje ploča - osnovna teorija Konačni elementi za savijanje ploča Dinamički problemi u MKE METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar Prof dr Stanko Brčić email: [email protected] Departman za Tehničke nauke Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

METODA KONACNIH ELEMENATA - Osnovne akademske studije, … · METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar Prof dr Stanko Brčić email: [email protected] Departman

  • Upload
    others

  • View
    35

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    METODA KONAČNIH ELEMENATAOsnovne akademske studije, VI semestar

    Prof dr Stanko Brčićemail: [email protected]

    Departman za Tehničke naukeDržavni Univerzitet u Novom Pazaru

    2014/15

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Sadržaj

    1 Savijanje ploča - osnovna teorijaSavijanje tankih ploča - Kirchhoff-a teorijaSavijanje debelih ploča - Reissner-MindlinTanke i debele ploče - osnovne razlike

    2 Konačni elementi za savijanje pločaOpšte napomenePravougaoni elementi sa 12 dof

    3 Dinamički problemi u MKEHamiltonov principDiferencijalne jednačine kretanja

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Savijanje tankih ploča - Kirchhoff-a teorijaSavijanje debelih ploča - Reissner-MindlinTanke i debele ploče - osnovne razlike

    Sadržaj

    1 Savijanje ploča - osnovna teorijaSavijanje tankih ploča - Kirchhoff-a teorijaSavijanje debelih ploča - Reissner-MindlinTanke i debele ploče - osnovne razlike

    2 Konačni elementi za savijanje pločaOpšte napomenePravougaoni elementi sa 12 dof

    3 Dinamički problemi u MKEHamiltonov principDiferencijalne jednačine kretanja

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Savijanje tankih ploča - Kirchhoff-a teorijaSavijanje debelih ploča - Reissner-MindlinTanke i debele ploče - osnovne razlike

    Savijanje ploča - osnovna teorija

    Savijanje ploča - osnovne relacije

    Ploče su ravni površinski nosači koji su (dominantno)opterećeni upravno na svoju ravanPo geometrijskom obliku ploče su slične sa zidnim platnom ilizidnim nosačem, jedina razlika je u opterećenjuFormulacija konačnih elemenata za ploče ima sličnosti sakonačnim elementima za 2D elemente za ravno stanje napona,sa velikom razlikom u izvođenju matrice deformacijeZa ploče može da se kaže i da su ploče 2D proširenje grednihnosača

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Savijanje tankih ploča - Kirchhoff-a teorijaSavijanje debelih ploča - Reissner-MindlinTanke i debele ploče - osnovne razlike

    Savijanje ploča

    Membransko stanje i savijanje 2D tela

    2D telo izloženo: (a) membranskom stanju (ravno stanje napona) i(b) savijanju

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Savijanje tankih ploča - Kirchhoff-a teorijaSavijanje debelih ploča - Reissner-MindlinTanke i debele ploče - osnovne razlike

    Savijanje ploča

    Idealizacija ploča: 3D telo na 2D model

    Idealizacija ploče kao 2D matematički problem

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Savijanje tankih ploča - Kirchhoff-a teorijaSavijanje debelih ploča - Reissner-MindlinTanke i debele ploče - osnovne razlike

    Savijanje ploča

    Savijanje ploča

    Ploča izložena savijanju i usvojeni koordinatni sistem:ose x, y u srednjoj ravni ploče, osa z upravno

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Savijanje tankih ploča - Kirchhoff-a teorijaSavijanje debelih ploča - Reissner-MindlinTanke i debele ploče - osnovne razlike

    Savijanje ploča - osnovna teorija

    Savijanje ploča - osnovne relacijeKao i kod analize ravnog stanja napona, kod ploča sezanemaruju naponi σzPosledica ove pretpostavke je da je εz = 0, odnosno da jetransverzalno pomeranje w (u pravcu upravno na ploču)konstantno po debljini ploče: w = w(x, y)Slično kao i kod analize grednih nosača, postoje različite teorijeploča, koje mogu da se podele u dve kategorije:

    1 teorija tankih ploča . . . klasična teorija ploča, Kirchhoff-ovateorija (1850)

    2 teorija debelih ploča . . . teorija Reisner-Mindlin-a (1945, 1951),uzimaju se u obzir i smičuće deformacije

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Savijanje tankih ploča - Kirchhoff-a teorijaSavijanje debelih ploča - Reissner-MindlinTanke i debele ploče - osnovne razlike

    Savijanje ploča - osnovna teorija

    Savijanje tankih ploča - Kirchhoff-a teorijaOsnovna pretpostavka Kirchhoff-ove teorije ploča je da tačkeploče na liniji ⊥ na srednju površ ostaju i posle deformacijeploče na pravoj liniji i upravno na deformisanu srednju površPosledica ove pretpostavke je da su klizanja γzx i γzy jednakanuli:

    γzx = 0 γzy = 0

    Druga posledica pretpostavke je da su pomeranja u pravcimaosa x i y na rastojanju z od srednje površi data sa

    u = −z ∂w∂x

    v = −z ∂w∂y

    (1)

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Savijanje tankih ploča - Kirchhoff-a teorijaSavijanje debelih ploča - Reissner-MindlinTanke i debele ploče - osnovne razlike

    Savijanje ploča

    Kinematika kod Kirchhoff-ovih ploča

    Pretpostavka o ravnim i ⊥ presecima i posle deformacije ploče

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Savijanje tankih ploča - Kirchhoff-a teorijaSavijanje debelih ploča - Reissner-MindlinTanke i debele ploče - osnovne razlike

    Savijanje ploča - osnovna teorija

    Savijanje tankih ploča - Kirchhoff-a teorija

    Na osnovu pomeranja datim sa (18), dobijaju se dilatacije iklizanje u obliku

    εx =∂u

    ∂x= −z ∂

    2w

    ∂x2

    εy =∂v

    ∂y= −z ∂

    2w

    ∂y2

    γxy =∂u

    ∂y+∂v

    ∂x= −2z ∂

    2w

    ∂x∂y

    (2)

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Savijanje tankih ploča - Kirchhoff-a teorijaSavijanje debelih ploča - Reissner-MindlinTanke i debele ploče - osnovne razlike

    Savijanje ploča - osnovna teorija

    Savijanje tankih ploča - Kirchhoff-a teorija

    Relacije (2) pišu se u matričnom obliku kao

    ε = −zLw (3)

    gde je L matrica operator (u ovom slučaju vektor)

    L =

    ∂2/∂x2

    ∂2/∂y2

    2∂2/∂x ∂y

    (4)dok je ε vektor deformacija

    εT = { εx εy γxy }

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Savijanje tankih ploča - Kirchhoff-a teorijaSavijanje debelih ploča - Reissner-MindlinTanke i debele ploče - osnovne razlike

    Savijanje ploča - osnovna teorija

    Savijanje tankih ploča - Kirchhoff-a teorijaVeza između vektora deformacije i pomeranja može da seprikaže i u obliku

    ε = −zκ (5)

    gde je κ vektor krivine:

    κ = Lw =

    ∂2w/∂x2

    ∂2w/∂y2

    2∂2w/∂x ∂y

    (6)

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Savijanje tankih ploča - Kirchhoff-a teorijaSavijanje debelih ploča - Reissner-MindlinTanke i debele ploče - osnovne razlike

    Savijanje ploča - osnovna teorija

    Savijanje tankih ploča - Kirchhoff-a teorijaKonstitutivne relacije date su u obliku

    σ = Dε (7)

    Konstitutivna matrica D ista je kao i u slučaju 2D solida iravnog stanja napona, jer je usvojeno da je σz = 0:

    D =E

    1− ν2

    1 ν 0ν 1 00 0 1−ν2

    dok je σ vektor napona

    σT = { σx σy τxy }

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Savijanje tankih ploča - Kirchhoff-a teorijaSavijanje debelih ploča - Reissner-MindlinTanke i debele ploče - osnovne razlike

    Savijanje ploča - osnovna teorija

    Savijanje tankih ploča - Kirchhoff-a teorija

    Ako se u izraz (7) unese veza (3) između dilatacija ipomeranja w upravno na srednju ravan ploče, dobija se

    σ = Dε = −zDLw = −zDκ (8)

    Rezultante normalnih i smičućih napona σx, σy i τxy podebljini ploče h su momenti savijanja Mx,My, torzionimomenti Mxy i transverzalne sile Qx = Tx i Qy = TyNa sledećim slikama prikazuje se elementarni deo izdvojen izploče dx dy, kao i sile koje deluju na element: aktivne sile fz iunutrašnje sile u preseku (odn. rezultante napona)

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Savijanje tankih ploča - Kirchhoff-a teorijaSavijanje debelih ploča - Reissner-MindlinTanke i debele ploče - osnovne razlike

    Savijanje ploča

    Savijanje ploča

    Naponi na ivicama izdvojenog elementarnog dela ploče dx dy iaktivne sile upravno na srednju ravan

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Savijanje tankih ploča - Kirchhoff-a teorijaSavijanje debelih ploča - Reissner-MindlinTanke i debele ploče - osnovne razlike

    Savijanje ploča

    Naponi i sile u preseku - momenti savijanja

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Savijanje tankih ploča - Kirchhoff-a teorijaSavijanje debelih ploča - Reissner-MindlinTanke i debele ploče - osnovne razlike

    Savijanje ploča

    Naponi i sile u preseku - transverzalne sile

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Savijanje tankih ploča - Kirchhoff-a teorijaSavijanje debelih ploča - Reissner-MindlinTanke i debele ploče - osnovne razlike

    Savijanje ploča

    Sile u preseku izdvojenog elementa

    Izdvojen ∞ mali element ploče dx dy i sile koje deluju

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Savijanje tankih ploča - Kirchhoff-a teorijaSavijanje debelih ploča - Reissner-MindlinTanke i debele ploče - osnovne razlike

    Savijanje ploča

    Sile u preseku izdvojenog elementa

    Izdvojen ∞ mali element ploče dx dy: naponi i sile u preseku

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Savijanje tankih ploča - Kirchhoff-a teorijaSavijanje debelih ploča - Reissner-MindlinTanke i debele ploče - osnovne razlike

    Savijanje ploča

    Savijanje ploča

    Sile u preseku (rezultante napona) na ivicama izdvojenog elementaploče dx dy

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Savijanje tankih ploča - Kirchhoff-a teorijaSavijanje debelih ploča - Reissner-MindlinTanke i debele ploče - osnovne razlike

    Savijanje ploča - osnovna teorija

    Savijanje tankih ploča - Kirchhoff-a teorijaMomenti savijanja Mx,My i torzioni momenat Mxy mogu dase prikažu kao vektor momenata i da se odrede integracijomnapona po debljini ploče

    M =

    MxMyMxy

    =∫ +h/2−h/2

    σ z dA = −D

    (∫ +h/2−h/2

    z2 dA

    )Lw

    (9)Dobija se

    M =

    MxMyMxy

    = −h312 DLw = −h312 Dκ (10)Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Savijanje tankih ploča - Kirchhoff-a teorijaSavijanje debelih ploča - Reissner-MindlinTanke i debele ploče - osnovne razlike

    Savijanje ploča - osnovna teorija

    Savijanje tankih ploča - Kirchhoff-a teorijaPosmatra se dinamičko ponašanje ploče, gde je dominantnooscilovanje ploče u transverzalnom pravcu, kao što je ustatičkom slučaju dominantno pomeranje wUmesto da se posmatra uslov ravnoteže sila koje deluju naizdvojeni element ploče dxdy u pravcu ose z, posmatra se dif.jednačina kretanja u pravcu ose z: maz =

    ∑Fz

    Ako se sa ρ označi gustina mase ploče, a sa ẅ ubrzanje upravcu ose z, onda se dobija djk u obliku

    ∂Qx∂x

    +∂Qy∂y

    + fz = ρ h ẅ (11)

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Savijanje tankih ploča - Kirchhoff-a teorijaSavijanje debelih ploča - Reissner-MindlinTanke i debele ploče - osnovne razlike

    Savijanje ploča - osnovna teorija

    Savijanje tankih ploča - Kirchhoff-a teorijaIz uslova ravnoteže momenata koji deluju na izdvojen elementploče oko osa x i y, uz zanemarenje malih veličina drugogreda, dobijaju se veze između transverzalnih sila i momenatasavijanja ∑

    Mx = 0 ⇒ Qx =∂Mx∂x

    +∂Mxy∂y∑

    My = 0 ⇒ Qy =∂Mxy∂x

    +∂My∂y

    (12)

    Relacije (12) unose se u dif. jednačinu kretanja (11), pa sezatim momenti savijanja i momenat torzije izraze prekopomeranja w, koristeći veze (10)

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Savijanje tankih ploča - Kirchhoff-a teorijaSavijanje debelih ploča - Reissner-MindlinTanke i debele ploče - osnovne razlike

    Savijanje ploča - osnovna teorija

    Savijanje tankih ploča - Kirchhoff-a teorijaPosle malo transformacija, dolazi se do diferencijalne jednačinepoprečnog oscilovanja ploče u obliku

    D

    (∂4w

    ∂x4+ 2

    ∂4w

    ∂x2 ∂y2+∂4w

    ∂y4

    )+ ρ h ẅ = fz(x, y, t) (13)

    gde je sa D označena krutost ploče na savijanje

    D =E h3

    12(1− ν2)(14)

    (E i ν su modul elastičnosti i Poisson-ov koeficijent)

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Savijanje tankih ploča - Kirchhoff-a teorijaSavijanje debelih ploča - Reissner-MindlinTanke i debele ploče - osnovne razlike

    Savijanje ploča - osnovna teorija

    Savijanje tankih ploča - Kirchhoff-a teorija

    U slučaju statičkog ponašanja, kada nema dinamičkog (odn.vremenski zavisnog) opterećenja, diferencijalna jednačinaravnoteže, jednačina savijanja ploče, data je sa

    D

    (∂4w

    ∂x4+ 2

    ∂4w

    ∂x2 ∂y2+∂4w

    ∂y4

    )= fz(x, y) (15)

    Uvodi se oznaku za Laplasov operator ∆(= ∇∇):

    ∆ =∂2

    ∂x2+

    ∂2

    ∂y2

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Savijanje tankih ploča - Kirchhoff-a teorijaSavijanje debelih ploča - Reissner-MindlinTanke i debele ploče - osnovne razlike

    Savijanje ploča - osnovna teorija

    Savijanje tankih ploča - Kirchhoff-a teorija

    Sa oznakom ∆, diferencijalna jednačina kretanja (13) piše se uobliku

    ∆∆w + ρ h ẅ = fz(x, y, t) (16)

    dok je diferencijalna jednačina savijanja (15) data sa:

    ∆∆w = fz(x, y) (17)

    Uz diferencijalnu jednačinu savijanja definišu se odgovarajućigranični uslovi, a uz diferencijalnu jednačinu oscilovanja još ipočetni uslovi

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Savijanje tankih ploča - Kirchhoff-a teorijaSavijanje debelih ploča - Reissner-MindlinTanke i debele ploče - osnovne razlike

    Sadržaj

    1 Savijanje ploča - osnovna teorijaSavijanje tankih ploča - Kirchhoff-a teorijaSavijanje debelih ploča - Reissner-MindlinTanke i debele ploče - osnovne razlike

    2 Konačni elementi za savijanje pločaOpšte napomenePravougaoni elementi sa 12 dof

    3 Dinamički problemi u MKEHamiltonov principDiferencijalne jednačine kretanja

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Savijanje tankih ploča - Kirchhoff-a teorijaSavijanje debelih ploča - Reissner-MindlinTanke i debele ploče - osnovne razlike

    Savijanje ploča - osnovna teorija

    Savijanje debelih ploča - Reissner-MindlinU Kirchhoff-ovoj teoriji tankih ploča osnovna pretpostavka jeproširenje Bernouli-eve pretpostavke o ravnim presecima napločeU teoriji tankih ploča, klizanja γxz i γyz jednaka su nuli, zbogpretpostavke o ravnim presecima koji ostaju ravni i upravni nasrednju površ ploče posle deformacijeKirchhoff-ova teorija tankih ploča je analognaEuler-Bernoulli-evoj tehničkoj teoriji štapa, aReissner-Mindlinova teorija debelih ploča odgovaraTimoshenko-voj teoriji štapa

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Savijanje tankih ploča - Kirchhoff-a teorijaSavijanje debelih ploča - Reissner-MindlinTanke i debele ploče - osnovne razlike

    Savijanje ploča - osnovna teorija

    Savijanje debelih ploča - Reissner-MindlinTeoriju debelih ploča prvi je formulisao 1945 Reissner, adopunio 1951 MindlinU teoriju debelih ploča uključuje se uticaj klizanja γxz i γyz, jerse ne usvaja pretpostavka o ravnim i upravnim presecima posledeformacijeUsvaja se samo da su preseci koji su ⊥ na nedeformisanusrednju površ, ostaju posle deformacije ploče ravni, ali ne iupravni na deformisanu srednju površU dinamičkim problemima takođe se uključuje i uticajrotacione inercije, odn. deo kinetičke energije koji potiče odugaone brzine

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Savijanje tankih ploča - Kirchhoff-a teorijaSavijanje debelih ploča - Reissner-MindlinTanke i debele ploče - osnovne razlike

    Savijanje ploča

    Savijanje debelih ploča - Reissner-Mindlin

    Posle deformacije preseci su ravni, ali ne i upravni nadeformisanu srednju površRotacije preseka posmatraju se kao nezavisne promenljive

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Savijanje tankih ploča - Kirchhoff-a teorijaSavijanje debelih ploča - Reissner-MindlinTanke i debele ploče - osnovne razlike

    Savijanje ploča - osnovna teorija

    Savijanje debelih ploča - Reissner-MindlinDakle, u teoriji debelih ploča je γxz 6= 0 i γyz 6= 0Pomeranja u i v tačaka ploče paralelno sa nedeformisanomsrednjom ravli ploče, na rastojanju z od srednje ravni, imajućiu vidu pretpostavku o ravnim presecima, data su sa

    u = z θy v = −z θx (18)

    gde su θx i θy rotacije oko osa x i y linija koje su predeformacije bila upravna na nedeformisanu srednju površ

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Savijanje tankih ploča - Kirchhoff-a teorijaSavijanje debelih ploča - Reissner-MindlinTanke i debele ploče - osnovne razlike

    Savijanje ploča - osnovna teorija

    Savijanje debelih ploča - Reissner-Mindlin

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Savijanje tankih ploča - Kirchhoff-a teorijaSavijanje debelih ploča - Reissner-MindlinTanke i debele ploče - osnovne razlike

    Savijanje ploča - osnovna teorija

    Savijanje debelih ploča - Reissner-MindlinKomponente deformacije date su kao parcijalni izvodipomeranja u i v:

    εx =∂u

    ∂x= z

    ∂θy∂x

    εy =∂v

    ∂y= −z ∂θx

    ∂y

    γxy =∂u

    ∂y+∂v

    ∂x= z

    ∂θy∂y− z ∂θx

    ∂x

    (19)

    Relacije (19) mogu da se prikažu u matričnom obliku kao

    ε = −zLθ (20)

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Savijanje tankih ploča - Kirchhoff-a teorijaSavijanje debelih ploča - Reissner-MindlinTanke i debele ploče - osnovne razlike

    Savijanje ploča - osnovna teorija

    Savijanje debelih ploča - Reissner-Mindlin

    U izrazu (20) uvedene su oznake za- vektor deformacija ε

    εT = { εx εy γxy }

    - vektor rotacija θ (obratiti pažnju na redosled!)

    θT = { θy θx }

    - matricu operator L

    L =

    −∂/∂x 00 ∂/∂y−∂/∂y ∂/∂x

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Savijanje tankih ploča - Kirchhoff-a teorijaSavijanje debelih ploča - Reissner-MindlinTanke i debele ploče - osnovne razlike

    Savijanje ploča - osnovna teorija

    Savijanje debelih ploča - Reissner-Mindlin

    Matrična relacija (20), ε = −zLθ, može da se prikaže ualternativnom obliku kao

    ε = −z κ (21)

    gde je κ vektor krivine:

    κ = Lθ =

    −∂/∂x 00 ∂/∂y−∂/∂y ∂/∂x

    { θyθx

    }(22)

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Savijanje tankih ploča - Kirchhoff-a teorijaSavijanje debelih ploča - Reissner-MindlinTanke i debele ploče - osnovne razlike

    Savijanje ploča - osnovna teorija

    Savijanje debelih ploča - Reissner-Mindlinili u razvijenom obliku:

    κ =

    −∂θy/∂x∂θx/∂y

    ∂θx/∂x− ∂θy/∂y

    (23)Ako se klizanja, kao promene prvobitno pravog ugla, prikažukao vektor klizanja γ, dobija se

    γ =

    {γxzγyz

    }=

    {θy + ∂w/∂x−θx + ∂w/∂y

    }(24)

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Savijanje tankih ploča - Kirchhoff-a teorijaSavijanje debelih ploča - Reissner-MindlinTanke i debele ploče - osnovne razlike

    Savijanje ploča - osnovna teorija

    Savijanje debelih ploča - Reissner-Mindlin

    Vidi se da se za γxz = 0 i γyz = 0 iz relacija (24) dolazi doobrtanja u Kirchhoff-ovoj teoriji tankih ploča:

    γxz = 0 ⇒ θy = −∂w

    ∂x

    γyz = 0 ⇒ θx =∂w

    ∂y

    Prosečni smičući naponi mogu da se izraze preko klizanja uobliku {

    τxzτyz

    }= k

    [G 00 G

    ]{γxzγyz

    }(25)

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Savijanje tankih ploča - Kirchhoff-a teorijaSavijanje debelih ploča - Reissner-MindlinTanke i debele ploče - osnovne razlike

    Savijanje ploča - osnovna teorija

    Savijanje debelih ploča - Reissner-Mindlin

    U izrazu (25) sa G je označen modul klizanja, dok je kkoeficijent koji se uzima da je jednak

    k =π2

    12= 0.822 ili k =

    5

    6= 0.833

    Veze (25) mogu da se prikažu u matričnom obliku kao

    τ = kDs γ (26)

    gde je Ds konstitutivna matrica koja povezuje smičiće naponei klizanjaDiferencijalna jednačina savijanja ili kretanja za debele pločemože da se izvede slično kao i kod tankih ploča

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Savijanje tankih ploča - Kirchhoff-a teorijaSavijanje debelih ploča - Reissner-MindlinTanke i debele ploče - osnovne razlike

    Sadržaj

    1 Savijanje ploča - osnovna teorijaSavijanje tankih ploča - Kirchhoff-a teorijaSavijanje debelih ploča - Reissner-MindlinTanke i debele ploče - osnovne razlike

    2 Konačni elementi za savijanje pločaOpšte napomenePravougaoni elementi sa 12 dof

    3 Dinamički problemi u MKEHamiltonov principDiferencijalne jednačine kretanja

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Savijanje tankih ploča - Kirchhoff-a teorijaSavijanje debelih ploča - Reissner-MindlinTanke i debele ploče - osnovne razlike

    Savijanje ploča - osnovna teorija

    Tanke i debele ploče - osnovne razlike1 Osnovna razlika je u pretpostavci o ravnim presecima koji su

    upravni na nedeformisanu srednju površ:kod tankih ploča preseci ostaju ravni i upravni na deformisanusrednju površkod debelih ploča preseci ostaju ravni, ali nisu upravni nadeformisanu srednju površ

    2 Kod tankih ploča se zanemaruje smičuća deformacija,γxz = γyz = 0, a kod debelih ploča uzima se u obzir i smicanjeγxz 6= 0, γyz 6= 0

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Savijanje tankih ploča - Kirchhoff-a teorijaSavijanje debelih ploča - Reissner-MindlinTanke i debele ploče - osnovne razlike

    Savijanje ploča - osnovna teorija

    Tanke i debele ploče - osnovne razlike3 Kod tankih ploča osnovna nepoznata veličina je ugib w(x, y),

    a kod debelih ploča osnovne nepoznate su ugib i rotacije:w(x, y), θx(x, y) i θy(x, y)

    4 Komponente pomeranja u i v vlakna na udaljenosti z odsrednje površi data su

    kod tankih ploča

    u = −z ∂w∂x

    v = −z ∂w∂y

    kod debelih ploča

    u = zθy v = −zθx

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Savijanje tankih ploča - Kirchhoff-a teorijaSavijanje debelih ploča - Reissner-MindlinTanke i debele ploče - osnovne razlike

    Savijanje ploča - osnovna teorija

    Tanke i debele ploče - osnovne razlike5 Vektor dilatacije εT = {εx εy γxy}, odn operator L, dati su u

    oblikukod tankih ploča

    ε = −zLw = −z

    ∂2/∂x2

    ∂2/∂y2

    2∂2/∂x∂y

    wkod debelih ploča

    ε = −zLθ = −z

    −∂/∂x 00 ∂/∂y−∂/∂y ∂/∂x

    { θyθx

    }

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Savijanje tankih ploča - Kirchhoff-a teorijaSavijanje debelih ploča - Reissner-MindlinTanke i debele ploče - osnovne razlike

    Savijanje ploča - osnovna teorija

    Tanke i debele ploče - osnovne razlike6 Vektor krivine κ u relaciji ε = −zκ dat je u obliku

    kod tankih ploča

    κ = Lw =

    ∂2w/∂x2

    ∂2w/∂y2

    2∂2w/∂x∂y

    kod debelih ploča

    κ = Lθ =

    −∂θy/∂x∂θx/∂y∂θx/∂x− ∂θy/∂y

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Opšte napomenePravougaoni elementi sa 12 dof

    Sadržaj

    1 Savijanje ploča - osnovna teorijaSavijanje tankih ploča - Kirchhoff-a teorijaSavijanje debelih ploča - Reissner-MindlinTanke i debele ploče - osnovne razlike

    2 Konačni elementi za savijanje pločaOpšte napomenePravougaoni elementi sa 12 dof

    3 Dinamički problemi u MKEHamiltonov principDiferencijalne jednačine kretanja

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Opšte napomenePravougaoni elementi sa 12 dof

    Konačni elementi za savijanje ploča

    Opšte napomeneKonačni elementi za savijanje ploča treba da uspešno prikazujudeformaciju ploče usled transverzalnog opterećenjaDeformaciju ploče čine pre svega ugibi, ali i rotacija normalana srednju površ pločeU Kirchhoff-ovoj teoriji tankih ploča rotacije normala nasrednju površ izražavaju se kao izvodi ugibaU Reissner-Mindlin-ovoj teoriji debelih ploča rotacije normalana srednju površ izražavaju se i kao nezavisne rotacije, a nesamo preko izvoda ugiba

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Opšte napomenePravougaoni elementi sa 12 dof

    Konačni elementi za savijanje ploča

    Opšte napomeneOsim osnovnih nepoznatih, ugiba i rotacija normala na srednjupovrš, od interesa su i “sekundarne” nepoznate, pre svegamomenti savijanja, ali i transverzalne sileSile u preseku, kao i kod linijskih nosača, izražavaju se kaodrugi i treći izvodi ugiba po koordinatama u srednjoj ravnipločePloče mogu da budu različitih geometrijskih oblika i konačnielementi za diskrtizaciju ploča treba da što vernije prikazujudomen analize, odn. oblik posmatrane ploče

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Opšte napomenePravougaoni elementi sa 12 dof

    Konačni elementi za savijanje ploča

    Opšte napomeneU diskretizaciji ploča koriste se konačni elementi različitihoblika

    - trougaoni elementi- pravougaoni elementi- četvorougaoni elementi

    Konačni elementi mogu da budu zasnovani na teoriji tankihploča ili na teoriji debelih pločaKonačni elementi za tanke ploče imaju probleme zbogobezbeđivanja potrebnog kontinuiteta između konačnihelemenata

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Opšte napomenePravougaoni elementi sa 12 dof

    Konačni elementi za savijanje ploča

    Diskretizacija ploče

    Ploča diskretizovana mrežom četvorougaonih i trougaonih elmenata

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Opšte napomenePravougaoni elementi sa 12 dof

    Konačni elementi za savijanje ploča

    Opšte napomeneNaime, u teoriji tankih ploča kompletna deformacija ploče seizražava preko jedne veličine - preko ugiba tačaka srednje ravniploče w = w(x, y), ili w = w(x, y, t) u dinamičkim problemimaRotacije se izražavaju kao prvi izvodi ugiba i u formulaciji nabazi teorije tankih ploča često se dolazi do nekompatiblinih ilinekomfornih konačnih elemenataNekomforni ili nekompatibilni elementi znače da nekekomponente rotacija nisu kontinualne duž ivica izmeđuelemenata

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Opšte napomenePravougaoni elementi sa 12 dof

    Konačni elementi za savijanje ploča

    Problem kontinuiteta rotacija između elemenata za tanke ploče

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Opšte napomenePravougaoni elementi sa 12 dof

    Konačni elementi za savijanje ploča

    Opšte napomeneU takvim slučajevima postoje mogućnosti da se posebnimtehnikama ipak postignu dobra (konvergentna) rešenjaAko nekompatibilni elementi prođu tzv. “patch test” dobijajuse konvergentni rezultati bez obzira na manjkavosti ukontinuitetu između konačnih elemenataLakše je da se formulišu konačni elementi na bazi teorijedebelih ploča (Reissner-Mindlin)Posmatraju se pravougaoni elementi sa 4 tačke i sa po 3čvorne nepoznate: transverzalno pomeranje w(x, y), rotacijaoko x ose θx(x, y) i rotacija oko y ose θy(x, y)

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Opšte napomenePravougaoni elementi sa 12 dof

    Konačni elementi za savijanje ploča

    Pravougaoni konačni elementi sa 4 čvora

    2D domen ploče diskretizovan pravougaonim konačnim elementimasa po 4 čvorne tačke

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Opšte napomenePravougaoni elementi sa 12 dof

    Savijanje ploča - osnovna teorija

    Osnovne nepoznate kad savijanja debelih ploča

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Opšte napomenePravougaoni elementi sa 12 dof

    Savijanje ploča - osnovna teorija

    Osnovne nepoznate kad savijanja debelih ploča

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Opšte napomenePravougaoni elementi sa 12 dof

    Sadržaj

    1 Savijanje ploča - osnovna teorijaSavijanje tankih ploča - Kirchhoff-a teorijaSavijanje debelih ploča - Reissner-MindlinTanke i debele ploče - osnovne razlike

    2 Konačni elementi za savijanje pločaOpšte napomenePravougaoni elementi sa 12 dof

    3 Dinamički problemi u MKEHamiltonov principDiferencijalne jednačine kretanja

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Opšte napomenePravougaoni elementi sa 12 dof

    Konačni elementi za savijanje ploča

    Opšte napomenePrema tome, takav pravougaoni konačni element ima ukupno4× 3 = 12 stepeni slobodeVektor čvornih nepoznatih i vektor nepoznatih pravougaonogelementa sa 4 tačke i sa po 3 čvorne nepoznate su:

    di =

    wiθx,iθy,i

    (i = 1, ., 4) del =d1d2d3d4

    (27)

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Opšte napomenePravougaoni elementi sa 12 dof

    Konačni elementi za savijanje ploča

    Opšte napomeneU pravougaonom konačnom elementu sa 4 čvora osnovnenepoznate veličine su ugib w(x, y) i rotacije θx(x, y) i θy(x, y)Raspodela ovih nepoznatih unutar konačnog elementa izražavase preko čvornih nepoznatih di i interpolacionih funkcijaNi(ξ, η) izraženih preko prirodnih koordinata:

    w =∑i

    Niwi θx =∑i

    Ni θx,i θy =∑i

    Ni θy,i (28)

    Interpolacione funkcije Ni(ξ, η) date su u obliku

    Ni(ξ, η) =1

    4(1 + ξi ξ)(1 + ηi η) (i = 1, .., 4) (29)

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Opšte napomenePravougaoni elementi sa 12 dof

    Linearni pravougaoni konačni element

    Pravougaoni element: prirodni koordinatni sistem ξ, η

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Opšte napomenePravougaoni elementi sa 12 dof

    Linearni pravougaoni konačni element

    Pravougaoni element: prirodni koordinatni sistem ξ, η

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Opšte napomenePravougaoni elementi sa 12 dof

    Konačni elementi za savijanje ploča

    Opšte napomene

    Interpolacija (28) piše se u matričnom obliku kao

    u = N q (30)

    ili u razvijenom obliku

    wθxθy

    = N1 0 0 · · · N4 0 00 N1 0 · · · 0 N4 0

    0 0 N1 · · · 0 0 N4

    w1θx1θy1...w4θx4θy4

    (31)

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Opšte napomenePravougaoni elementi sa 12 dof

    Konačni elementi za savijanje ploča

    Opšte napomeneU teoriji debelih ploča vodi se računa i o uticaju deformacijeklizanja (o uticaju smicanja)Vektor klizanja γ dat je sa (24):

    γ =

    {γxzγyz

    }=

    {θy + ∂w/∂x−θx + ∂w/∂y

    }(32)

    dok je veza između vektora smičućih sila i klizanja data sa(25): {

    τxzτyz

    }= k

    [G 00 G

    ]{γxzγyz

    }(33)

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Opšte napomenePravougaoni elementi sa 12 dof

    Konačni elementi za savijanje ploča

    Opšte napomene

    Matrični oblik veze (33) data je sa (26)

    τ = kDs γ (34)

    Matrična relacija (20), ε = −zLθ, može da se prikaže ualternativnom obliku kao

    ε = −z κ (35)

    gde je κ vektor krivine dat sa (22):

    κ = Lθ =

    −∂/∂x 00 ∂/∂y−∂/∂y ∂/∂x

    { θyθx

    }(36)

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Opšte napomenePravougaoni elementi sa 12 dof

    Konačni elementi za savijanje ploča

    Opšte napomeneili u razvijenom obliku:

    κ =

    −∂θy/∂x∂θx/∂y

    ∂θx/∂x− ∂θy/∂y

    (37)Iako je izraz za vektor deformacija (35) po obliku isti kao irelacija (6) u teoriji tankih ploča (Kirchhoff-ova teorija),vektori krivine su međusobno različitiU vektoru krivine u skladu sa teorijom tankih ploča figurišudrugi izvodi ugiba, u vektoru krivine po teoriji debelih pločafigurišu prvi izvodi rotacija

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Opšte napomenePravougaoni elementi sa 12 dof

    Konačni elementi za savijanje ploča

    Opšte napomeneNajzad, vektor napona se, preko vektora deformacija, izražavapreko vektora krivine

    σ = Dε = −zDκ (38)

    Imajući u vidu i uticaj smičuće deformacije, deformacioni radkod debelih ploča može da se prikaže u obliku

    Ue =1

    2

    ∫VεT σ dV +

    1

    2

    ∫VτT γ dV (39)

    Integracija po zapremini konačnog elementa svodi se naintegraciju po površini srednje površi A i po debljini z

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Opšte napomenePravougaoni elementi sa 12 dof

    Konačni elementi za savijanje ploča

    Opšte napomene

    Kako se u prvom integralu u izrazu (39) javlja z2 upodintegralnom izrazu, a u drugom integralu nema z, unoseći iveze (35), (38) i (34), dobija se deformacioni rad u obliku

    Ue =1

    2

    ∫A

    h3

    12κT Dκ dA+

    1

    2

    ∫Ak hγT Ds γ dA (40)

    Deformacioni rad (potencijalna energija unutrašnjih sila)konačnog elementa prikazuje se u obliku

    Ue =1

    2qT K q (41)

    gde je q vektor sa čvornim nepoznatima (generalisanimkoordinatama), dok je K matrica krutosti konačnog elementa

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Opšte napomenePravougaoni elementi sa 12 dof

    Konačni elementi za savijanje ploča

    Opšte napomene

    U izraz (40) unose se prikazani izrazi za vektor krivine κ ivektor klizanja γ, u koje su unete relacije interpolacije (30)Posle odgovarajućih transformacija i imajući u vidu prikazdeformacionog rada preko matrice krutosti i vektorageneralisanih koordinata (41), matrica krutosti konačnogelementa može da se prikaže u obliku

    Ke =h3

    12

    ∫AB(b)T DB(b) dA+ k h

    ∫AB(s)T DsB

    (s) dA

    (42)Sa h je oznašena debljina elementa, dok je k konstanta koja se(obično) usvaja kao k = 5/6 ili k = π2/12

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Opšte napomenePravougaoni elementi sa 12 dof

    Konačni elementi za savijanje ploča

    Opšte napomene

    Prvi integral u izrazu (42) za matricu krutosti odnosi se nauticaj savijanja, a drugi integral na uticaj smicanjaU prvom integralu sa B(b) označena je matrica deformacijesavijanja, data sa

    B(b) = [ B(b)1 B

    (b)2 B

    (b)3 B

    (b)4

    ] (43)

    gde je

    B(b)i =

    0 0 ∂Ni/∂x0 ∂Ni/∂y 00 ∂Ni/∂x −∂Ni/∂y

    (i = 1, .., 4) (44)Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Opšte napomenePravougaoni elementi sa 12 dof

    Konačni elementi za savijanje ploča

    Opšte napomene

    U drugom integralu sa B(s) označena je matrica deformacijesmicanja, data sa

    B(s) = [ B(s)1 B

    (s)2 B

    (s)3 B

    (s)4

    ] (45)

    gde je

    B(s)i =

    [∂Ni/∂x 0 Ni∂Ni/∂y −Ni 0

    ](i = 1, .., 4) (46)

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Opšte napomenePravougaoni elementi sa 12 dof

    Konačni elementi za savijanje ploča

    Opšte napomeneParcijalni izvodi interpolacionih funkcija po x i y dobijaju sekao

    ∂Ni∂x

    =∂Ni∂ξ

    dx=

    1

    4aξi(1 + ηi η)

    ∂Ni∂y

    =∂Ni∂η

    dy=

    1

    4bηi(1 + ξi ξ)

    (47)

    Sa ξi i ηi označene su prirodne koordinate čvornih tačaka:

    ξ1 = ξ4 = −1 ξ2 = ξ3 = +1 η1 = η2 = −1 η3 = η4 = +1

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Opšte napomenePravougaoni elementi sa 12 dof

    Konačni elementi za savijanje ploča

    Opšte napomeneAko je konačni element ploče opterećen površinskimopterećenjem fz(x, y), onda je vektor čvornog opterećenja datsa

    fe =

    ∫ANT

    fz00

    dA (48)Ako je raspodeljeno opterećenje konstantno po površinielementa, fz(x, y) = fz0 = const, onda je vektorekvivalentnog opterećenja dat sa

    fTe = ab fz0{ 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 }

    dakle, po četvrtina ukupnog opterećenja deluje u svakom čvoru

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Hamiltonov principDiferencijalne jednačine kretanja

    Sadržaj

    1 Savijanje ploča - osnovna teorijaSavijanje tankih ploča - Kirchhoff-a teorijaSavijanje debelih ploča - Reissner-MindlinTanke i debele ploče - osnovne razlike

    2 Konačni elementi za savijanje pločaOpšte napomenePravougaoni elementi sa 12 dof

    3 Dinamički problemi u MKEHamiltonov principDiferencijalne jednačine kretanja

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Hamiltonov principDiferencijalne jednačine kretanja

    Dinamički problemi u MKE

    Hamiltonov principHamiltonov Princip je jedan od vrlo značajnih principamehanike:

    Od svih dopustivih vremenskih istorija pomeranjamehaničkog sistema, stvarna putanja je ona za kojuLagranžev funkcional ima stacionarnu vrednost

    Lagranžova funkcija (Lagranžijan) mehaničkog sistema jerazlika kinetičke i potencijalne energije

    L = T −Π (49)

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Hamiltonov principDiferencijalne jednačine kretanja

    Dinamički problemi u MKE

    Hamiltonov principDopustiva pomeranja moraju da zadovolje sledeće uslove:

    1 jednačine kompatibilnosti2 kinematičke (esencijalne) granične uslove3 uslove u početnom (t1) i konačnom (t2) vremenu

    Lagranžov funkcional (ili dejstvo po Hamiltonu) definiše se kaointegral

    S =

    ∫ t2t1

    L(qi, q̇i, t) dt

    tako da Hamilnonov Princip ima matematičku formulacijuδS = 0, odn.

    δ

    ∫ t2t1

    L(qi, q̇i, t) dt = 0 (50)

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Hamiltonov principDiferencijalne jednačine kretanja

    Dinamički problemi u MKE

    Hamiltonov principAlternativna formulacija Hamiltonovog Principa je

    Pri stvarnom kretanju mehaničkog sistema sa idealnimvezama i na koga deluju konzervativne sile, dejstvo poHamiltonu (Lagranžov funkcional) ima stacionarnuvrednost

    Konačne jednačine kretanja mehaničkog sistema sa n stepenislobode date su sa odgovarajućim generalisanim koordinatamau funkciji vremena:

    qi = qi(t) (i = 1, 2, . . . , n)

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Hamiltonov principDiferencijalne jednačine kretanja

    Dinamički problemi u MKE

    Hamiltonov principKinetička energija sistema T , potencijalna energina U , pa timei Lagranžova funkcija L = T − U , izražavaju se prekogeneralisanih koordinata, generalisanih brzina i vremena:

    L = T − U = L(qi, q̇i, t) (i = 1, 2, . . . , n)

    Može da se pokaže da se iz jednačine (50) dolazi do sistemajednačina

    ∂L

    ∂qi− ddt

    (∂L

    ∂q̇i

    )= 0 (i = 1, 2, . . . , n) (51)

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Hamiltonov principDiferencijalne jednačine kretanja

    Dinamički problemi u MKE

    Hamiltonov princip

    Jednačine (51) su tzv. Euler-ove jednačine varijacionogproblema (50), a pomnožene sa (-1) pretstavljaju Lagranževejednačine druge vrste za konzervativne sisteme:

    d

    dt

    (∂L

    ∂q̇i

    )− ∂L∂qi

    = 0 (i = 1, 2, . . . , n) (52)

    Numerički model posmatranog problema, formulisan primenomMKE, pretstavlja mehanički sistem sa n stepeni slobodeLagranžova funkcija L je razlika kinetičke i potencijalneenergije:

    L = T −Π

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Hamiltonov principDiferencijalne jednačine kretanja

    Dinamički problemi u MKE

    Hamiltonov principPotencijalna energija, primenjno na čvrsto telo, data je kaorazlika potencijalne energije deformacije (deformacionog rada)i rada spoljašnjih sila

    Π = U −Rs

    tako da je Lagranžova funkcija data sa

    L = T − U +Rs (53)

    U numeričkom modelu formulisanom primenom MKEgeneralisane koordinate su čvorna pomeranja q = u

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Hamiltonov principDiferencijalne jednačine kretanja

    Dinamički problemi u MKE

    Hamiltonov principAko je ρ gustina mase, kinetička energija u domenu V data jeu obliku

    T =1

    2

    ∫Vρ q̇T q̇ dV (54)

    Deformacioni rad elastičnog domena V može da se prikaže kao

    U =1

    2

    ∫VεT σ dV =

    1

    2

    ∫VεT Dε dV (55)

    Rad spoljašnjih sila, zapreminskih fb i površinskih fs, dat je sa

    Rs =

    ∫VqT fb dV +

    ∫Γ2

    q̄T fs dΓ (56)

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Hamiltonov principDiferencijalne jednačine kretanja

    Dinamički problemi u MKE

    Hamiltonov principU izrazu za deformacioni rad vektor deformacija ε određen jekorišćenjem dozvoljivih generalisanih pomeranjaU izrazu da rad spoljašnjih sila figurišu dozvoljiva generalisanapomeranja q unutar zapremine domena, kao i na konturi Γ2gde su zadati granični uslovi po silamaDa bi se primenio Hamiltonov princip dovoljno je da se usvojegeneralisana pomeranja koja zadovoljavaju navedena tri uslova,odn. koja su dopustiva pomeranja

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Hamiltonov principDiferencijalne jednačine kretanja

    Sadržaj

    1 Savijanje ploča - osnovna teorijaSavijanje tankih ploča - Kirchhoff-a teorijaSavijanje debelih ploča - Reissner-MindlinTanke i debele ploče - osnovne razlike

    2 Konačni elementi za savijanje pločaOpšte napomenePravougaoni elementi sa 12 dof

    3 Dinamički problemi u MKEHamiltonov principDiferencijalne jednačine kretanja

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Hamiltonov principDiferencijalne jednačine kretanja

    Dinamički problemi u MKE

    Diskretizacija primenom MKEPrimenom MKE prvo se izvrši diskretizacija kompletnogdomena V na pod-domene Ve, odn. na konačne elementeKonačni elementi su međusobno povezani u čvornim tačkama iobezbeđuju kontinuitet nepoznatih pomeranja u ukupnomdomenu problema (oslov kompatibilnosti za dopustive funkcijepomeranja)Nepoznati parametri pomeranja problema unutar svakogkonačnog elementa prikazuju se preko diskretnih vrednosti(čvornih pomeranja) i interpolacionih funkcija

    u = N q (57)

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Hamiltonov principDiferencijalne jednačine kretanja

    Dinamički problemi u MKE

    Diskretizacija primenom MKEVektor deformacija unutar svakog konačnog elementa izražavase, koristeći odgovarajuće veze deformacija i pomeranja, prekočvornih pomeranja

    ε = Lu = LN q = B q (58)

    Materijal domena odn. konačnih elemenata je idealnoelastičan, tako da važi σ = DεDeformacioni rad unutar konačnog elementa dobija se, prema(55), u obliku

    U =1

    2

    ∫Ve

    qT BT DBq dV (59)

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Hamiltonov principDiferencijalne jednačine kretanja

    Dinamički problemi u MKE

    Diskretizacija primenom MKEKako su čvorna pomeranja nezavisna od integracije unutarzapremine elementa, relacija (59) može da se prikaže u obliku

    U =1

    2qT(∫

    Ve

    BT DB dV

    )q (60)

    odnosno u oblikuU =

    1

    2qT Ke q (61)

    Sa Ke označena je matrica krutosti konačnog elementa

    Ke =

    ∫Ve

    BT DB dV (62)

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Hamiltonov principDiferencijalne jednačine kretanja

    Dinamički problemi u MKE

    Diskretizacija primenom MKE

    Kinetička energija je data sa (54)Unoseći relaciju u = Nq, odnosno, u̇ = Nq̇, dobija e

    T =1

    2

    ∫Ve

    ρq̇T NT N q̇ dV (63)

    Kako je i q̇ nezavisno od integracije, to se dobija

    T =1

    2q̇T(∫

    Ve

    ρNT N dV

    )q̇ (64)

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Hamiltonov principDiferencijalne jednačine kretanja

    Dinamički problemi u MKE

    Diskretizacija primenom MKE

    Relacija (64) može da se prikaže u obliku

    T =1

    2q̇T Me q̇ (65)

    gde je Me matrica mase

    Me =

    ∫Ve

    ρNT N dV (66)

    Rad spoljašnjih sila se dobija u obliku

    Rs =

    ∫VqT NT fb dV +

    ∫Γ2

    qT NT fs dΓ (67)

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Hamiltonov principDiferencijalne jednačine kretanja

    Dinamički problemi u MKE

    Diskretizacija primenom MKEKako je q nezavisno od ontegracije, uz oznake

    Fb =

    ∫VNT fb dV Fs =

    ∫Γ2

    NT fs dΓ (68)

    izraz za rad spoljašnjih sila postaje

    Rs = qT (Fb + Fs) = q

    T fe (69)

    gde je fe vektor ekvivalentnih sila:

    fe =

    ∫VNT fb dV +

    ∫Γ2

    NT fs dΓ (70)

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Hamiltonov principDiferencijalne jednačine kretanja

    Dinamički problemi u MKE

    Diskretizacija primenom MKEPrema tome, Lagranžova funkcija L data je u obliku

    L =1

    2q̇T Me q̇ −

    1

    2qT Ke q + q

    T fe (71)

    Hamiltonov princip glasi

    δ

    ∫ t2t1

    (1

    2q̇T Me q̇ −

    1

    2qT Ke q + q

    T fe

    )dt = 0 (72)

    Operatori variranja i diferenciranja su komutativni:

    δ

    (d(. . .)

    dt

    )=

    d

    dt(δ(. . .))

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Hamiltonov principDiferencijalne jednačine kretanja

    Dinamički problemi u MKE

    Diskretizacija primenom MKEodnosno

    δq̇T = δ

    (dqT

    dt

    )=

    d

    dt

    (δqT

    )(73)

    Takođe važi

    d

    (1

    2x2)

    = x dx odn. δ(

    1

    2x2)

    = x δx

    Prema tome, Hamiltonov princip (72) može da se napiše uobliku ∫ t2

    t1

    (δq̇T Me q̇ − δqT Ke q + δqT fe

    )dt = 0 (74)

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Hamiltonov principDiferencijalne jednačine kretanja

    Dinamički problemi u MKE

    Diskretizacija primenom MKE

    Posmatra se prvi član u integralu (74) i transformacija (73):∫ t2t1

    δq̇T Me q̇ dt =

    ∫ t2t1

    d

    dt

    (δqT

    )Me q̇ dt (75)

    Parcijalna integracija proizvoda dve funkcije data je u obliku∫ bau dv = u v|ba −

    ∫ bav du

    U integralu (75) može da se usvoji- u = Me q̇, tako da je du = Me q̈dt- dv = d(δqT ), tako da je v = δqT

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Hamiltonov principDiferencijalne jednačine kretanja

    Dinamički problemi u MKE

    Diskretizacija primenom MKE

    Parcijalnom integracijom (75) dobija se∫ t2t1

    d

    dt

    (δqT

    )Me q̇ dt =

    (δqT Me q̇

    )|t2t1 −

    ∫ t2t1

    δqT Me q̈ dt

    (76)Varijacije generalisanih koordinata δq su dopustivo poljepomeranja, odnosno zadovoljavaju uslove u formulacijiHamiltonovog principaKonkretno, varijacije generalisanih pomeranja su jednake nuli upočetnom i u krajnjem trenutku vremena

    δq|t2t1 = 0

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Hamiltonov principDiferencijalne jednačine kretanja

    Dinamički problemi u MKE

    Diskretizacija primenom MKE

    Prema tome, integral (76) postaje∫ t2t1

    d

    dt

    (δqT

    )Me q̇ dt = −

    ∫ t2t1

    δqT Me q̈ dt (77)

    Imajući ovo uvidu, Hamiltonov princip (74) postaje∫ t2t1

    δqT (−Me q̈ −Ke q + fe) dt = 0 (78)

    Takođe, varijacije generalisanih koordinata su proizvoljne i dabi integral (78) bio zadovoljen, mora da podintegralna funkcijau zagradi bude jednaka nuli

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Hamiltonov principDiferencijalne jednačine kretanja

    Dinamički problemi u MKE

    Diskretizacija primenom MKEDrugim rečima, dolazi se do diferencijalnih jednačina kretanjakonačnog elementa

    Me q̈ +Ke q = fe (79)

    Kada se izvrši “sabiranje” doprinosa svih konačnih elemenataza ceo domen računskog modela, dolazi se do diferencijalnihjednačina kretanja sistema u obliku

    M q̈ +K q = f (80)

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

  • Savijanje ploča - osnovna teorijaKonačni elementi za savijanje ploča

    Dinamički problemi u MKE

    Hamiltonov principDiferencijalne jednačine kretanja

    Dinamički problemi u MKE

    Diskretizacija primenom MKE

    Sistemu jednačina (80) može da se doda i prigušenje C dato uobliku

    C = αM + βK

    tako da se dobija

    M q̈ +C q̇ +K q = f (81)

    Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata

    Savijanje ploca - osnovna teorijaSavijanje tankih ploca - Kirchhoff-a teorijaSavijanje debelih ploca - Reissner-MindlinTanke i debele ploce - osnovne razlike

    Konacni elementi za savijanje plocaOpšte napomenePravougaoni elementi sa 12 dof

    Dinamicki problemi u MKEHamiltonov principDiferencijalne jednacine kretanja