PREDNAPREGNUTE I SPREGNUTE KONSTRUKCIJE - Osnovne akademske studije… · 2019. 3. 18. · SPREGNUTE KONSTRUKCIJE Osnovne akademske studije, VII semestar Prof dr Stanko Brčić email:

Granična stanja upotrebljivostiGranična stanja nosivosti

PREDNAPREGNUTE ISPREGNUTE KONSTRUKCIJE

Osnovne akademske studije, VII semestar

Prof dr Stanko Brčićemail: [email protected]

Departman za Tehničke nauke,GRAÐEVINARSTVO

Državni Univerzitet u Novom Pazaru

2014/15

Stanko Brčić Prednapregnute i spregnute konstrukcije


Sadržaj

1 Granična stanja upotrebljivostiDeformacije prethodno napregnutih elemenata

2 Granična stanja nosivostiGranično stanje lomaGranično stanje loma - čisto savijanjeGranično stanje loma - složeno savijanje, veliki ekscentricitet


Granična stanja upotrebljivostiGranična stanja nosivosti Deformacije prethodno napregnutih elemenata

Sadržaj





Granična stanja upotrebljivosti

Deformacije PN elemenataNačelno, PN elementi dimenzionišu se prema graničnom stanjunormalnih napona ili prema graničnom stanju lomaPN nosači su relativno većih raspona, a zbog materijala visokihmehaničkih karakteristika imaju relativno veću vitkost i manjukrutost, tako da su relativno više deformabilni od klasičnih ABnosačaImajući sve to u vidu, potrbno je da se vrši kontroladeformacija PN nosača




Deformacije PN elemenataProračun deformacija PN elemenata treba da obuhvati

- elastične deformacije od kratkotrajnih opterećenja- deformacije od dugotrajnih opterećenja usled skupljanja itečenja betona i relaksacije kablova za prednaprezanje

Sračunate deformacije se upoređuju sa dopuštenimdeformacijama koje zavise od značaja i funkcije konstrukcije




Deformacije PN elemenataDeformacije od kratkotrajnih opterećenja određuju seuobičajenim postupcima teorije konstrukcija za homogenpresekPri tome se prethodno naprezanje posmatra kao jedan posebanslučaj spoljašnjeg opterećenjaPočetne elastične deformacije u trenutku t = 0 sračunavaju sesuperpozicijom:

v0 = v(Nk0) + v(g) (1)




Deformacije PN elemenata

U izrazu (1) uvedene su oznake:- v(Nk0) . . . elastična deformacija (ugib) usled početne sileprethodnog naprezanja, koja je obično negativna (izdizanje)

- v(g) . . . elastična deformacija (ugib) usled sopstvene težinekoja deluje u trenutku unošenja sile prethodnog naprezanja

Pri proračunu deformacija (ugiba) treba da se uzmu u obzirodgovarajuće geometrijske karakteristike poprečnih presekaZa prednapregnutu prostu gredu daju se izrazi za ugibe usredini raspona usled sile prednaprezanja, za nekolikokarakterističnih oblika trase kablova, uz pretpostavku da je silau kablu konstantna duž raspona



Ugibi u sredini raspona za Nk = const i EI = const




Deformacije PN elemenataProračun deformacija u toku vremena t kao i konačnihdeformacija za t→∞ vrši se uzimajući u obzir dugotrajnostopterećenjaTo je vrlo složen proračun koji podrazumeva, između ostalog, iodređivanje krivine u karakterističnim presecima i integracijuduž rasponaZa praktične probleme kod kojih se ne dozvoljava pojavaprslina, sa dovoljnom tačnošću mogu da se primene približnipostupci za proračun deformacijaDeformacije parcijalno prethodno napregnutih elemenataračunaju se isto kao i deformacije AB elemenata




Deformacije PN elemenataPribližni proračun ugiba PN elementa, koji zavisi od vremena,može da se izvrši na uobičajen način (elastična analiza)Ugib u proizvoljnom trenutku vremena t dat je sa

v(t) = v(Nk∞) +1

2[v(Nk0) + v(Nk∞)]ϕ(t, t0)

+ v(g + s) [1 + ϕ(t, t0)] + v(p)(2)





U izrazu (2) uvedene su oznake:- v(Nk∞) . . . elastični deo deformacije od krajnje sile prethodnognaprezanja

- v(g + s) . . . elastični deo deformacije od sopstvene težine idodatnih opterećenja stalnog karaktera

- v(p) . . . elastični deo deformacije od kratkotrajnih povremenihopterećenja

- ϕ(t, t0) . . . koeficijent tečenja- t0 . . . starost betona u trenutku nanošenja opterećenja





U približnom izrazu za ugib (2) vodi se računa o uticajupromene sile prethodnog naprezanja u toku vremena i odugotrajnosti opterećenjaPri tome se takođe vodi računa i o starosti betona u trenutkudelovanja pojedinih dodatnih stalnih opterećenjaPribližni postupak dat sa (2) daje rezultate zadovoljavajućetačnostiSa porastom procenta armiranja preseka odstupanja mogu dabudu nešto veća, ali opet prihvatljiva





U približnom izrazu za ugib (2) uvedene su sledećeapoksimacije:

1 deformacije tečenja betona od sile prethodnog naprezanjaodigravaju se pod konstantnom silom koja je jednaka srednjojvrednosti početne i krajnje sile prethodnog naprezanja

2 između deformacija tečenja i odgovarajućih trenutnih elastičnihdeformacija postoji ista linearna veza, izražena koeficijentomtečenja ϕ(t, t0), kao i između napona i deformacija u betonupri konstantnom jednoaksijalnom naprezanju



Granično stanje lomaGranično stanje loma - čisto savijanjeGranično stanje loma - složeno savijanje, veliki ekscentricitet

Sadržaj






Granična stanja nosivosti

Opšte napomeneGranično stanje loma prethodno napregnutih elemenata morada se dokaže bez obzira na veličinu napona u fazi unošenja sileprednaprezanja ili tokom eksploatacjeZa razliku od klasično armiranih konstrukcija, kod PNKsprečava se pojava prslina i uključuje u nosivost ceo presek(koji je ceo pritisnut za potpuno prednaprezanje, ili je malimdelom zategnut, za ograničeno prednaprezanje)Do nivoa opterećenja u eksploataciji naponi zatezanja ubetonu (za ograničeno prednaprezanje) su ≤ od dopuštenihnapona zatezanja σbzd





Opšte napomeneSa daljim povećanjem opterećenja, posle iscrpljenja unetogprethodnog pritiska, kao i čvrstoće betona na zatezanje, uzategnutoj zoni preseka nastaju prslineU preseku od PNB, u trenutku nastanka prslina nastaje skoknapona u zategnutom čeliku za prethodno naprezanje





Lom prethodno napregnutih elemenata usled M i NU opštem slučaju, lom PN elemenata, opterećenih spoljašnjimmomentom savijanja M i normalnom silom N , može danastupi

1 iscrpljenjem nosivosti kablovskog čelika2 iscrpljenjem nosivosti betona3 istovremenim iscrpljivanjem nosivosti i betona i čelika, uz

naglašene pojave otvaranja prslina i izrazitih deformacija





Lom prethodno napregnutih elemenata usled M i NU slučaju iscrpljenja nosivosti kablovskog čelika, t.j. njegovimvelikim deformacijama εak, na pritisnutoj ivici betona nijedostignuta granična čvrstoćaDilatacije čelika εak su ograničene i ne mogu da budu veće od

εak = εk0 + ∆εak

gde je- εk0 . . . dilatacija čelika za prednaprezanje za stanje delovanjakrajnje sile PN Nk∞

- ∆εak . . . dilatacija čelika za prednaprezanje usled delovanjaspoljašnjih uticaja za stanje loma Mu i Nu i ova dilatacijamože da bude veća od 10‰





Lom prethodno napregnutih elemenata usled M i NU slučaju iscrpljenja nosivosti betona, pri dilatacijama čelika∆εak ≤ 10‰, nastaje lom po betonu za σb = fBU ovom slučaju, pri znatnim procentima armiranja, lom možeda nastane iznenada, bez naglašenih deformacija ipredskazavanje prslina u slučaju visokih MB





Osnovne pretpostavke proračunaU proračunu PN preseka prema graničnom stanju nosivostiusled uticaja graničnih vrednosti momenata savijanja inormalnih sila, uvode se sledeće pretpostavke:

1 raspodela deformacija po visini preseka je linearna (Bernulijevahipoteza ravnih preseka), ili, dilatacije pri lomu su linearnoproporcionalne sa rastojanjem od neutralne ose

2 beton u zategnutoj zoni ne prima sile zatezanja3 raspodela napona u pritisnutoj zoni preseka, prema PNB 71,

ima oblik kvadratne parabole (prema BAB 87 i EC 2, RDB je uobliku parabole i prave)

4 naponi u kablovskom čeliku određuju se iz stvarng radnogdijagrama kablovskog čelika, pri čemu se max dilatacija čelikaza kablove pri lomu ograničava na 10‰





Radni dijagrami betonaPrema Pravilniku PNB 71 raspodela napona u pritisnutoj zonibetonskog preseka ima oblik kvadratne parabole sa temenomkoje je određeno graničnom dilatacijom εB = 3.5‰Pri tome je odgovarajući najveći napon određen sa računskomčvrstoćom betona pri pritisku fB = 0.70 fk, gde je fk markabetonaAko je pri lomu pritisnuti element preseka (ploča) debljinemanje od 12cm, ili je pitanju trougaoni presek sa vrhom upritisnutoj zoni, računska čvrstoća betona se umanjuje za 10%





Radni dijagrami betonaU proračunu može da se uzme i drugi dijagram raspodelenapona u pritisnutoj zoni ako postoji dokaz da se na taj načindobijaju vrednosti uticaja pri lomu koje su iste ili manje odvrednosti uticaja dobijene na osnosu dijagrama u oblikukvadratne paraboleJednačina kvadratne parabole u vezi napon - dilatacija možeda se prikaže u obliku:

σb =2 fBεB

(εb −ε2b

2 εB) =

fB12.25

(7− εb) εb (3)





Radni dijagrami betona - PNB 71Ako se uvedu oznake

ϕ =εbεB

=εb3.5

kao i ϕ′ = 2ϕ− ϕ2

onda jednačina (3) može da se napiše u ekvivalentnom obliku

σb = (2ϕ− ϕ2) fB = ϕ′ fB (4)




Radni dijagrami betona - PNB 71

σb =2 fBεB

(εb −ε2b

2 εB) =

fB12.25

(7− εb) εb





Radni dijagrami betona - BAB 87Kao što je poznato, Pravilnik BAB 87 kao radni dijagrambetona definiše kvadratnu parabolu do 2‰, kao ipravougaonik do 3.5‰Analitički izraz za RDB, prema BAB 87, dat je sa

σb =fB4 (4− εb) εb u intervalu εb ∈ [0, 2]‰

σb = fB u intervalu εb ∈ [2, 3.5]‰(5)




Radni dijagrami betona - BAB 87

(a) Dijagram kvadratna paravola - prava (b) Ekvivalentanpravougaonik





Radni dijagrami betona - BAB 87Za preseke

- gde je pritisnuta zona preseka kružnog ili trougaonog oblika,- nepravilnog oblika,- kao i kod pravougaonih preseka napregnutih na koso savijanje,sa N ili bez nje, sa položajem neutralne ose unutar preseka,

umesto RDB parabola-prava, može da se koristi ekvivalentnipravougaonik sa graničnom čvrstoćom fB i neutralnom osom

x0 =0.8h

1 + εaεbgde je εb > 3‰





Radni dijagrami betona - BAB 87Računska čvrstoća betona fB pri pritisku zavisi od markebetona MB i data je sa

MB 30 40 50 60fB [MPA] 20.5 25.5 30 33

Za elemente čija je visina manja od 12cm, računska čvrstoćafB smanjuje se za 10%





Radni dijagrami čelika za kabloveNačelno, pri proračunu prema graničnom stanju nosivosti,dilatacije εak i naponi σak kablovskog čelika određuju se izstvarnog radnog dijagrama posmatranog čelikaNa granici razvlačenja tipičnih čelika za kablove dilatacijeiznose εak = (8.5÷ 12)‰Tipični dijagrami napon - dilatacija čelika za kablove dati suna sledećoj slici




Tipočni radni dijagrami čelika za kablove





Koeficijenti sigurnosti prema PNB 71Prema Pravilniku PNB 71, koeficijenti sigurnosti γu prigraničnom stanju loma su:

- γu ≥ 1.80 . . . za preseke u kojima pri lomu nastaje izduženjekablovskog čelika ∆εuk ≥ 3‰

- γu = 2.20 . . . za centrično pritisnute preseke- za preseke u kojima je pri lomu 0 ≤ ∆εak < 3‰ za γu seuzima linearna interpolacija između 1.80 i 2.20 zavisno oddilatacije čelika ∆εak pri lomu





Koeficijenti sigurnosti prema BAB 87Prema Pravilniku BAB 87, računske vrednosti graničnih uticajadobijaju se množenjem reprezentativnih vrednosti uticaja Si saparcijalnim koeficijentima sigurnosti γui:

Su =∑i

Si γui

Za proračun se uzimaju sledeći uticaji- Sg . . . uticaji od sopstvne težine i stalnog opterećenja- Sp . . . uticaji od promenljivog opterećenja, statičkog ilidinamičkog, opterećenja snegom ili vetrom

- S∆ . . . uticaji od ostalih opterećenja (promena temperature,skupljanje betona, razicanje ili sleganje oslonaca, sleganjetokom vremena, . . . )

- Sk . . . uticaji od prethodnog naprezanjaStanko Brčić Prednapregnute i spregnute konstrukcije




Koeficijenti sigurnosti prema BAB 87Za stalno i promenljivo opterećenje granični uticaji se određujuprema izrazima:

Su = 1.6Sg + 1.8Sp za εa ≥ 3‰Su = 1.9Sg + 2.1Sp za εa ≤ 0‰

(6)

Za stalno, promenljivo i ostala opterećenja granični uticaji seodređuju prema izrazima:

Su = 1.3Sg + 1.5Sp + 1.3S∆ za εa ≥ 3‰Su = 1.5Sg + 1.8Sp + 1.5S∆ za εa ≤ 0‰

(7)

Ako su dilatacije čelika između 0 i 3‰, koeficijenti γuiodređuju se linearnom interpolacijom





Koeficijenti sigurnosti prema BAB 87Za stalno i promenljivo opterećenje, ako sopstvena težina istalno opterećenje deluju povoljno u smislu povećanja nosivostipreseka, granični uticaji se određuju prema izrazima:

Su = 1.0Sg + 1.8Sp za εa ≥ 3‰Su = 1.2Sg + 2.1Sp za εa ≤ 0‰

(8)

Za stalno, promenljivo i ostala opterećenja, ako sopstvenatežina i stalno opterećenje deluju povoljno u smislu povećanjanosivosti preseka, granični uticaji se određuju prema izrazima:

Su = 1.0Sg + 1.5Sp + 1.3S∆ za εa ≥ 3‰Su = 1.2Sg + 1.8Sp + 1.5S∆ za εa ≤ 0‰

(9)





Koeficijenti sigurnosti prema BAB 87Granični uticaji od prethodnog naprezanja određuju seizrazima:

- za nepovoljno dejstvo sopstvene težine i stalnog opterećenja

Sku = 1.3Sk (1.3Sk) za εa ≥ 3‰Sku = 1.5Sk (1.3Sk) za εa ≤ 0‰

(10)

- za povoljno dejstvo sopstvene težine i stalnog opterećenja

Sku = 1.0Sk (1.0Sk) za εa ≥ 3‰Sku = 1.2Sk (1.2Sk) za εa ≤ 0‰

(11)

Vrednosti u zagradama odnose se na stalno, promenljivo iostala opterećenja





Naponsko-deformacijske oblastiU zavisnosti od mogućih raspodela dilatacija po visini presekarazlikuju se sledaća naponska stanja preseka

1 Slučaj 1 . . . lom po armaturi: u preseku je mala količinaarmature, a dilatacije kablovskog čelika pri lomu dostižuvrednost ∆εak = 10‰, dok su dilatacije betona εb ≤ 3.5‰

2 Slučaj 2 . . . lom po betonu: u preseku je iskorišćena dilatacijabetona, εb = 3.5‰, dok su dilatacije čelika ∆εak ≤ 10‰, pasu za ukupnu dilatciju kablovskog čelika εak naponi ukablovima σak ≥ σ02





Naponsko-deformacijske oblasti3 Slučaj 3 . . . lom po betonu: dilatacije betona su iskorišćeneεb ≤ 3.5‰, dok su naponi u kablovskom čeliku neiskorišćeniσak < σ02 i mogu da budu vrlo mali u slučaju delovanjaspoljašnje normalne sile, pa se lom odvija kao krti lom betonabez naglašenih pojava prslina

4 Slučaj 4 . . . karakteriše lom za stanje pritiska u betonu pocelom preseku za slučaj naponske faze I




Naponsko-deformacijske oblasti pri lomu preseka




Sadržaj







Proračun po graničnom stanju lomaPri proračun po graničnom stanju loma mogu da se pojave dvaslučaja:

1 dimenzije preseka, meka (nezategnuta) armatura i kablovi suprethodno određeni iz naponskih uslova za fazu prethodnognaprezanja i za stanje eksploatacije, a granično stanje lomamora da se naknadno dokaže

2 dimenzije preseka, meka armatura (ako se koristi u nosivostipreseka) i kablovska armatura određeni su prema graničnomstanju loma

U prvom slučaju za usvojen presek i ukupnu armaturu odredise granični momenat nosivosti preseka M∗u i granična normalnasila N∗u za složeno savijanjeSračunata granična nosivost preseka mora da bude ≥ odnajnepovoljnije kombinacije granučnih uticaja Mu i Nu





Proračun po graničnom stanju lomaZa preseke koji su dimenzionisani po graničnom stanju loma,mora da se dokaže stanje napona i stanje deformacija za usloveu fazi unošenja sile prednaprezanja i za fazu eksploatacijePri proračunu PN konstrukcija obično se praktikuje prvi slučaj(dimenzionisanje preseka i kablova iz naponskih uslova za fazeprednaprezanja i eksploatacije), a naknadno se dokazujegranično stanje loma





Proračun po graničnom stanju loma

Dokaz sigurnosti za granično stanje loma vrši se (po pravilu)uvodeći u račun samo armaturu kablovaAko se u proračun uvodi i nezategnuta (meka) armatura,razlika u čvrstoći kablova i klasične armature uvodi se uproračun preko koeficijenta armiranja idealizovanomarmaturom µiKoeficijent armiranja idealizovanom armaturom µi dat je sa

µi = µk + µaσvσ02

(12)

gde je

µk =Akb h

µa =Aab h





Proračun po graničnom stanju lomaPri tome je:

- Aa . . . površina meke (nezategnute) armature u zoni najvećihdilatacija (u zoni gde sussmešteni kablovi)

- Ak . . . ukupna površina kablova- σ02 . . . granica razvlačenja kablovskog čelika, odn. napon σkodređen iz radnog dijagrama kablovskog čelika za dilatacijuεak = εk0 + ∆εak

- σv . . . granica razvlačenja meke armature

Kod preseka gde se i meka armatura uvodi u proračuna dokazakoeficijenta sigurnosti na lom, statička visina preseka data je sa

h = d− a (13)




Položaj težišta kablovske i meke armature





Proračun po graničnom stanju lomaPoložaj težišta kablovske i meke armature a određuje se premaizrazu:

a =Aa aa

σvσ02

+Ak ak

Aaσvσ02

+Ak(14)

Proračun PN preseka po lomu, bez obzira na stepenprethodnog naprezanja, vrši se na isti način kao i proračun ABpreseka sa uticajima od spoljašnjih sila, ali mora da se vodiračuna o sledećem:

- ako se uzima u obzir i meka armatura, koef. armiranja istatička visina dati su sa (12), (13) i (14)





Proračun po graničnom stanju lomaTakođe, da bi se osigurala prethodna plastifikacija čelika,potrebno je da se izvrši kontrola dlatacija kablovske armatureiz uslova kompatibilnosti napona i dilatacija

εak = εk0 + ∆εak ≥ ε02 (15)

Dilatacija εk0 određuje se za trajnu silu prethodnog naprezanja:

εk0 =σk0Ek

=Nk∞Ak Ek

(16)




Granično stanje loma - čisto savijanje

Presci proizvoljnog oblika

Posmatraju se preseci proizvoljnog oblika (ali simetrični uodnosu na ravan opterećenja)Širina gornjeg vlakna preseka (širina ivice 2) označena je sa B,a visina preseka je dPoložaj proizvoljnog vlakna na pritisnutom delu preseka merise bezdimenzionalnom koordinatom η: rastojanje vlakna odneutralne ose je h η, a debljina elementarnog vlakna je h dηŠirina preseka proizvoljnog vlakna na pritisnutom delu presekaoznačena je sa b = B β(η), gde je β(η) zakon promene oblikapritisnutog dela preseka




Proračunska šema za presek proizvoljnog oblika

ϕ0 =2

3.5=

4

7ϕ =

εbεB

=εb3.5

η =ϕ0ϕs

ϕ′ =σηfB

=2ϕ

ϕ0−(ϕ

ϕ0

)2≤ 1






Uvedene su oznake (prema knjizi Ž.Radosavljević: “Armiranibeton 2 - Teorija graničnih stanja”, Građevinska knjiga,Beograd, 1986):

ϕ0 =2

3.5=

4

7ϕ =

εbεB

=εb3.5

η =ϕ0ϕs

kao i

ϕ′ =σηfB

=2ϕ

ϕ0−(ϕ

ϕ0

)2≤ 1

Za ϕ ≥ ϕ0 . . . dobija se: ϕ′ = 1Za ϕ < ϕ′ . . . dobija se: ϕ′ = 72 ϕ−

4916 ϕ

2






Položaj neutralne ose (prema Bernulijevoj hipotezi), dobija sekao

x =εb

εb + ∆εakh =

1

1 + ∆εakϕεB

h = s h

Sa ovim oznakama naponi pritiska u betonu za pojedine deloveRDB glase

ση =2 fBs2 ϕ0

ϕ2 η

(sϕ0ϕ− η

2

)za η <

ϕ0ϕs

ση = fB za η ≥ϕ0ϕs

(17)






Jednačina (17)/1 pretstavlja kvadratnu parabolu sa temenomna mestu dilatacija ϕ0 εBStatička visina preseka h ili granični momenat nosivosti Mu(ako je h poznato) određuju se iz uslova ravnoteže momenataza težište zategnute armature:∫ η=s

η=0ση (h− x+ η h) dA−Mu = 0 (18)

- dA . . . elementarna površina pritisnutog dela betona, koja jedata sa dA = B β(η)h dη






Zamenom vrednosti za ση i dA u uslovni jednačinu (17) dobijase

B h2 fBϕ2 JIIs2

−Mu = 0 (19)

gde je

JII =2

ϕ20

∫ η= sϕ0ϕ

η=0η2(sϕ0ϕ− η

2

)β(η) dη

+ (1− s) 2ϕ20

∫ η= sϕ0ϕ

η=0η

(sϕ0ϕ− η

2

)β(η) dη

+s2

ϕ2

∫ η=sη=

sϕ0ϕ

η β(η) dη + (1− s) s2

ϕ2

∫ η=sη=

sϕ0ϕ

β(η) dη

(20)






Za integrale u izrazu (20) uvode se oznake za pojedineintegrale (po redosledu integrala):

JII = J1IIB + (1− s) I1IB + J2IIB + (1− s) J2IB (21)

Pri proračunu funkcije JII mogu da se jave dva slučaja:- slučaj kada je RDB prikazan sa parabolom i pravougaonikom(ϕ > ϕ0), kada su u izrazu (21) zastupljeni svi članovi

- slučaj kada je RDB dat samo sa parabolom (ϕ < ϕ0), kada seuzimaju samo članovi

JII = J1IIB + (1− s) J1IB

a domen integracije se kreće od η = 0 do η = s






Iz izraza (19) dobija se potrebna statička visina preseka h:

h = kb

√MuB fB

(22)

gde je- kb . . . bezdimenzionalni koeficijent koji zavisi od odnosadilatacije čelika i betona ∆εbkϕ εB i oblika preseka, a dat jeizrazom:

kb =

√s2

ϕ2 JII(23)






Iz istog izraza (19), za poznatu statičku visinu preseka h,dobija se granični momenat savijanja Mu:

Mu = B h2 fBm (24)

gde je- m . . . koeficijent nosivosti preseka, dat izrazom:

m =ϕ2 JIIs2

(25)






Za proračun ukupne zategnute armature (kablovske i meke) upreseku, potrebno je da se odredi ukupna sila pritiska u betonui u pritisnutoj armaturi za stanje granične nosivosti, kao i njenpoložaj u preseku:

Du =

∫ η=sη=0

ση dA (26)

Zamenom vrednosti za ση i dA u (26) dobija se

Du = B hfBϕ2JIs2

(27)






U izrazu (28) uvedena je oznaka:

JI =2

ϕ20

∫ η= sϕ0ϕ

η=0η

(sϕ0ϕ− η

2

)β(η) dη

+s2

ϕ2

∫ η=sη=

sϕ0ϕ

β(η) dη

(28)

odnosno,JI = J

1IB + J

2IB (29)






Slično kao i za integrale JII , član J2IB postoji za ϕ > ϕ0Za ϕ ≤ ϕ0 vrednost funkcije J2IB je nula, pa je izraz za JI datsa

JI = J1IB

Na osnovu sračunate sile pritiska Du, može da se odredi krakunutrašnjih sila:

z =MuDu

= ξ h (30)

gde je

ξ =JIIJI

(31)






Ukupna zategnuta armatura (kablovska i meka) dobija se izizraza

Ai =Muσak z

= B h µ̄ifBσak

(32)

gde je- µ̄i = ϕ

2 JIs2 . . . mehanički koeficijent armiranja zategnutom

(kablovskom i mekom) armaturom






Sila pritiska u preseku pri lomu Du, data sa (27), može da se,prema izrazu za mehanički koeficijent armiranja µ̄i, prikaže uobliku

Du = B hfB µ̄i = B hfBm

ξ(33)

Rastojanje centra pritiska Du od pritisnute ivice preseka jedato sa αx:

αx = α sh = h− ξ h = h (1− ξ)

odn.α =

1− ξs




Proračunska šema za presek pravougaonog oblika

Slučaj 1 Preseci gde su dilatacije betona krajnjeg pritisnutog vlaknaεb < 2‰, odnosno, gde je ϕ < ϕ0

Slučaj 2 Preseci gde su dilatacije betona krajnjeg pritisnutog vlaknaεb ∈ (2÷ 3.5]‰, odnosno, gde je ϕ ≥ ϕ0





Presci pravougaonog oblikaU analizi preseka pravougaonog oblika mogu da se jave dvaslučaja:

1 Dilatacije krajnjeg pritisnutog vlakna su εb < 2‰, odnosno,gde je ϕ < ϕ0

2 Dilatacije krajnjeg pritisnutog vlakna su εb ∈ (2÷ 3.5]‰,odnosno, gde je ϕ ≥ ϕ0

Za pravougaoni presek je β(η) = 1, kao i B = b





Presci pravougaonog oblika - Slučaj 1

Za slučaj 1 integralne funkcije (20) i (28) dobijaju se kao

JI = J1IB =

s3

ϕ20

(ϕ0ϕ− 1

3

)JII = J

1IIB + (1− s) J1IB =

s3

ϕ20

(s

12+ϕ0ϕ− sϕ0

3ϕ− 1

3

)(34)






Potrebni koeficijenti za dimenzionisanje, dati izrazima (23),(25), (12), kao i (31), dati su, za pravougaoni presek i slučaj1, sa

kb =

√√√√ 1ϕ2

ϕ20s(s12 +

ϕ0ϕ −

sϕ03ϕ −

13

)m =

ϕ2

ϕ20s

(s

12+ϕ0ϕ− sϕ0

3ϕ− 1

3

)µ̄i =

ϕ2

ϕ20s

(ϕ0ϕ− 1

3

)· 100 [%]

ξ =m

µ̄iα =

1− ξs

(35)





Presci pravougaonog oblika - Slučaj 2Slučaj 2 znači da su dilatacije krajnjeg pritisnutog betonskogvlakna u granicama 2‰ < εb ≤ 3.5‰, odn. da je ϕ ≥ ϕ0Za slučaj 2 integralne funkcije (20) i (28) dobijaju se kao

JI = J1IB + J

2IB =

s3

ϕ20

(1− ϕ0

3ϕ

)JII = J

1IIB + J

2IIB =

s3

ϕ20

[1− s

2+ϕ03ϕ

(1− s)− sϕ20

12ϕ2

](36)






Potrebni koeficijenti za dimenzionisanje, dati izrazima (23),(25), (12), dati su, za pravougaoni presek i slučaj 2, sa

kb =

√√√√ 1s[1− s2 −

ϕ03ϕ (1− s)−

sϕ2012ϕ2

]m = s

[1− s

2− ϕ0

3ϕ(1− s)− sϕ

20

12ϕ2

]µ̄i = s

(1− ϕ0

3ϕ

)· 100 [%]

(37)






Ukoliko je presek iskorišćen, pri čemu su dilatacije εb = 3.5‰,t.j. za ϕ = 1 i za ϕ0 = 4/7, izrazi za slučaj 2 (36) i (37)dobijaju se u obliku:

JI =17

21s3 JII =

17

21s3 − 33

98s4

kb =

√1

1721 s−

3398 s

2

m =

(17

21s− 33

98s2)· 100 [%]

µ̄i =17

21s ξ = 1− 99

238s α =

99

238

(38)




Sadržaj






Granično stanje loma - složeno savijanje

Presci proizvoljnog oblikaVeliki ekscentricitet kod složenog savijanja znači da jenormalna sila (pritiska) izvan jezgra preseka, a dilatacijezategnute armature su ∆εak ≥ 10‰U takvom slučaju, neutralna osa je unutar preseka x ≤ hZa granično stanje loma granični uticaji Mu i Nu računaju seza najnepovoljnija moguća dejstva





Presci proizvoljnog oblikaPosmatraju se dva slučaja:

- granični slučaj pri kome se javlja ekstremna vrednost graničnoguticaja momenta savijanja Mu i njemu odgovarajuća graničnanormalna sila Nu koji izazivaju granično stanje naprezanja uzategnutoj armaturi

- granični slučaj pri kome se javlja ekstremna vrednost graničnoguticaja normalne sile Nu i njoj odgovarajuća granična vrednostmomenta savijanja Mu koji izazivaju granično stanjenaprezanja u betonu

Sile u preseku: M , sila pritiska +N ili sila zatezanja Z = −N ,definišu se u odnosu na tešišnu osu nosača




Proračunska šema za presek proizvoljnog oblika

Ak, Aa . . . kablovska i meka armatura u zoni zatezanjaA′k, A

′a . . . kablovska i meka armatura u zoni pritiska

e = MuNu . . . ekscentricitet sile Nu u odnosu na težište preseka T





Presci proizvoljnog oblikaNa slici je dat proizvoljan simetričan presek napregnut nasloženo savijanje sa alternativnim graničnim uticajima ±Mu inormalne sile pritiska Nu ili normalne sile zatezanja −NuPresek je armiran u obe zone sa kablovima i sa mekomarmaturomArmatura u zategnutoj zoni preseka je

- Ak . . . ukupna površina kablova- Aa . . . ukupna površina meke armature

Analogno, u pritisnutoj zoni preseka je armatura A′k i A′a





Presci proizvoljnog oblikaUslovi ravnoteže momenata spoljašnjih i unutrašnjih sila zatežište ukupne zategnute i pritisnute kablovske i mekearmature glase

Du ξ h−Mku = 0

Zu h (1−a′

h)−Du (α sh− a′)−M ′ku = 0

(39)

Sa Mku i M ′ku označeni su granični uticaji momenata savijanjau odnosu na težište ukupne zategnute kablovske i mekearmature, kao i u odnosu na težište ukupne pritisnutekablovske i meke armature






Granični momenti savijanja Mku i M ′ku dati su sa:

Mku = Mu +Nu c = Nu (e+ c) = Nu eu

M ′ku = Mu −Nu c′ = Nu (e− c′)(40)

Za slučaj granične sile zatezanja u izraze se sila Nu unosi saznakom minus






Unutrašnja sila pritiska u betonu Du data je sa (27):

Du = B hfBϕ2JIs2

sila zatezanja u ukupnoj zategnutoj armaturi Zu data je sa

Zu = Ai σak

dok su koeficijenti ξ i α dati izrazima:

ξ =JIIJI

α =1− ξs





Presci proizvoljnog oblikaIntegralne funkcije JI i JII date su, u ovom slučaju, izrazima:

JI = JIB + µ̄′i

s2

ϕ2

JII = JIIB + µ̄′i

s2

ϕ2

(1− a

′

h

) (41)Ako se jednačine ravnoteže momenata (39) podele sa Bh2fB,dobijaju se jednačine izražene preko mehaničkih koeficijenataarmiranja µ̄i i µ̄′i, kao i preko koeficijenata nosivosti presekamku i m′ku





Presci proizvoljnog oblikaDobijaju se jednačine:

ϕ2 JIIBs2

+ µ̄′i

(1− a

′

h

)−mku = 0

µ̄i

(1− a

′

h

)− ϕ

2

s2

[JIB

(1− a

′

h

)− JIIB

]−m′ku = 0

(42)

gde je

mku =Mku

B h2 fBm′ku =

M ′kuB h2 fB

(43)





Presci proizvoljnog oblikaUvodi se oznaka

p =ϕ2

s2

[JIB

(1− a

′

h

)− JIIB

]= µ̄0

(1− a

′

h

)−m (44)

gde je- m = ϕ

2 JIIBs2 . . . koeficijent nosivosti jednostruko armiranog

betonskog preseka pri čistom savijanju- µ̄0 = ϕ

2 JIBs2 . . . mehanički koeficijent armiranja jednostruko

armiranog preseka kod čistog savijanja






Mehanički koeficijenti armiranja u jednačinama (42), saoznakama (44), dati su u obliku:

µ̄′i =1

1− a′h(mku −m)

µ̄i =1

1− a′h(m′ku + p)

(45)

Zategnuta i pritisnuta ukupna armatura (kablovska i meka)određuju se prema izrazima

Ai = B h µ̄ifBσak

A′i = B h µ̄′i

fBσ′ak

(46)





Presci pravougaonog oblikaPosmatra se presek pravougaonog oblika izložen složenomsavijanjuMogu da se posmatraju različiti slučajevi postupka proračuna:

1 nesimetrično armiran presek2 jednostruko armiran presek3 simetrično armiran presek4 određivanje graničnih uticaja Mu i Nu za poznati poprečni

presek i armaturu




Proračunska šema za presek pravougaonog oblika

Ak, Aa . . . kablovska i meka armatura u zoni zatezanjaA′k, A

′a . . . kablovska i meka armatura u zoni pritiska

e = MuNu . . . ekscentricitet sile Nu u odnosu na težište preseka T





Presci pravougaonog oblika - nesimetrično armiran presekPosmatra se presek pravougaonog oblika izložen složenomsavijanju, koji je nesimetrično armiranDimenzionisanje ne može da se izvrši direktno, već se

- pretpostave dimenzije preseka- sračunaju se koeficijenti mku i m′ku, prema (43)- odrede mehanički koeficijenti armiranja, prema (45):

µ̄′i =1

1− a′h(mku −m) µ̄i =

1

1− a′h(m′ku + p)





Presci pravougaonog oblika - nesimetrično armiran presekZa iskorišćene preseke, za ϕ = 1, koeficijenti m i p dati su sa:

m =17

21s− 33

98s2

µ̄0 =17

21s

p =33

98s2 − 17

21

a′

hs

q = p−m = 3349s2 − 17

21s

(1 +

a′

h

)(47)





Presci pravougaonog oblika - nesimetrično armiran presek

Na osnovu mehaničkih koeficijenata armiranja mku i m′kuodređuje se armatura u preseku:

Ai = b h µ̄ifBσak

A′i = b h µ̄′i

fBσ′ak

(48)





Presci pravougaonog oblika - jednostruko armiran presekPosmatra se jednostruko armiran presek pravougaonog oblikaizložen složenom savijanjuZa jednostruko armiran presek armatura se dobija za µ̄′i = 0Na osnovu izraza (45) dobija se

mku = m =17

21s− 33

98s3





Presci pravougaonog oblika - simetrično armiran presekPosmatra se simetrično armiran presek pravougaonog oblikaizložen složenom savijanjuZa simetrično armiran presek i za unapred usvojenu širinu b,statička visina preseka se dobija u obliku:

h =Nu s

2

b fBϕ2 JIB

Za iskorišćenu nosivost betona, pri εB = 3.5‰, dobija seϕ = 1, kao i

JIB =17

21s3 s =

1

1 + ∆εak03.5





Presci pravougaonog oblika - simetrično armiran presekIzraz za statičku visinu preseka glasi

h =42Nu(∆εak0 + 3.5)

119 b fB

Dilatacija ∆εak0 usvaja se unapred, odn. za poznat presekiznosi

∆εak0 = 3.5

(17 b h fB

21Nu− 1)





Presci pravougaonog oblika - simetrično armiran presekUkupna armatura u preseku računa se preko ukupnogmehaničkog koeficijenta armiranja, koji je dat sa:

µ̄i + µ̄′i =

1

1− a′h

(2Mub h2 fB

+ q

)(q = p−m)

Time se dobija ukupna armatura∑Ai = b h (µ̄i + µ̄

′i)fBσak

= b hfBσak

[1

1− a′h

(2Mub h2 fB

+ q

)]

gde je q dato sa (47)Stanko Brčić Prednapregnute i spregnute konstrukcije




Pravougaoni presci - određivanje graničnih uticaja Mu i NuPosmatra se pravougaoni presek poznatih dimenzija i armature(kablovske i meke)Određuju se granični uticaji Mu i NuPretpostavlja se da je ϕ > ϕ0 (naponski dijagram upritisnutom delu betona je na delu εb > 2‰)Za pravougaoni presek je:

JIB =s2

ϕ2

(1− ϕ0

3ϕ

)JIIB =

s3

ϕ2

[1− s

2− ϕ0

3ϕ(1− s)− sϕ

20

12ϕ2

]





Pravougaoni presci - određivanje graničnih uticaja Mu i NuZa slučaj simultanog loma po beton i čeliku (εb = 3.5‰ i∆εak = 10‰), kao i za simetrično armirane preseke(µ̄i = µ̄′i), jednačina iz koje se određuje položaj neutralne ose,za delovanje normalne sile pritiska, data je sa

s2 + 2.4 s(eah− 1)− 98

33µ̄′i

(1− a

′

h

)= 0 (49)





Pravougaoni presci - određivanje graničnih uticaja Mu i NuKoristeći izraze (44) i (45), sračunaju se p i m, kao ikoeficijenti mau i m′au:

mau =

(1− a

′

h

)µ̄′i +m

m′au =

(1− a

′

h

)µ̄i − p

(50)





Pravougaoni presci - određivanje graničnih uticaja Mu i NuGranični uticaji Mu i Nu određuju se prema izrazima (43) i(50)Za slučaj da je a = a′ i c = c′ dobija se

Mu =1

2b h2 fB

[(µ̄i + µ̄

′i)

(1− a

′

h

)− q]

Nu =1

h− a′b h2 fB

[(µ̄′i − µ̄i)

(1− a

′

h

)+m+ p

] (51)Veličina ekscentriciteta ea koja je pretpostavljena uodređivanju položaja neutralne ose, mora da zadovolji izraz:

ea =MuNu

+ c


Granicna stanja upotrebljivostiDeformacije prethodno napregnutih elemenata

Granicna stanja nosivostiGranicno stanje lomaGranicno stanje loma - cisto savijanjeGranicno stanje loma - složeno savijanje, veliki ekscentricitet

Documents

PREDNAPREGNUTE I SPREGNUTE KONSTRUKCIJE - Osnovne akademske studije… · 2019. 3. 18. · SPREGNUTE KONSTRUKCIJE Osnovne akademske studije, VII semestar Prof dr Stanko Brčić email: