OTPORNOST MATERIJALA 2 - Osnovne akademske studije, III … · 2019. 3. 18. · OTPORNOST MATERIJALA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Prof dr Stanko Brčić email: [email protected]

Generalisani Hukov zakonLinearno viskoelastično i idealno plastično telo

Određivanje napona i deformacija u napregnutom telu

OTPORNOST MATERIJALA 2Osnovne akademske studije, III semestar

Prof dr Stanko Brčićemail: [email protected]

Departman za Tehničke naukeDržavni Univerzitet u Novom Pazaru

2015/16

Stanko Brčić Otpornost materijala 2



Sadržaj

1 Generalisani Hukov zakonGeneralisani Hukov zakon u matričnom oblikuVeza napon - deformacija za anizotropno teloJednačine linearne termoelastičnosti

2 Linearno viskoelastično i idealno plastično teloMaksvelov model viskoelastičnog telaKelvinov model viskoelastičnog telaIdealno plastično telo

3 Određivanje napona i deformacija u napregnutom teluRekapitulacija osnovnih jednačinaFormulacija i rešavanje problema teorije elastičnosti




Generalisani Hukov zakon u matričnom oblikuVeza napon - deformacija za anizotropno teloJednačine linearne termoelastičnosti

Sadržaj








Generalisani Hukov zakon

Veza napon - deformacija za izotropno teloVeze između komponentalnih napona i deformacija date su savezama dilatacija i normalnih napona:

εx =1

E[σx − ν(σy + σz)]

εx =1

E[σy − ν(σz + σx)]

εx =1

E[σz − ν(σx + σy)]

(1)






Veza napon - deformacija za izotropno telokao i sa vezama između klizanja i smičućih napona:

γxy =2(1 + ν)

Eτxy =

1

Gτxy

γyz =2(1 + ν)

Eτyz =

1

Gτyz

γzx =2(1 + ν)

Eτzx =

1

Gτzx

(2)

Jednačine (1) i (2) pretstavljaju veze između komponentalnihnapona i komponentalnih deformacija: generalisani Hukovzakon za idealno elastično izotropno telo






Veza napon - deformacija za izotropno teloTenzori napona i deformacija su prikazivani u viduodgovarajućih kvadratnih simetričnih matrica reda 3Elementi na glavnoj dijagonali su normalni naponi, odn.dilatacije, a vandijagonalni elementi su smičući naponi,odnosno klizanjaMoguć je i alternativni matrični prikaz tenzora napona ideformacija, kao i veze između njih, gde se svih 6 različitihkomponenti tenzora napona i deformacija prikazuju umatričnom obliku kao vektori kolone sa po 6 elemenata






Veza napon - deformacija za izotropno teloVektori komponentalnih napona i komponentalnih deformacijaprkazuju se u obliku

σ =

σxσyσzτxyτyzτzx

ε =

εxεyεzγxyγyzγzx

(3)






Veza napon - deformacija za izotropno telo

Jednačine (1) i (2) mogu da se prikažu zajedno kao jednamatrična jednačina:

ε = C σ (4)

gde je C matrica fleksibilnosti (elastičnosti), reda 6, data sa

C =1

E

1 −ν −ν 0 0 0−ν 1 −ν 0 0 0−ν −ν 1 0 0 00 0 0 2(1 + ν) 0 00 0 0 0 2(1 + ν) 00 0 0 0 0 2(1 + ν)

(5)







Jednačina (4) može da se prikaže u inverznom obliku kao

σ = Dε (6)

gde je D matrica krutosti materijala, izražena preko Lameovihkonstanti, data sa

D =

2µ+ λ λ λ 0 0 0λ 2µ+ λ λ 0 0 0λ λ 2µ+ λ 0 0 00 0 0 µ 0 00 0 0 0 µ 00 0 0 0 0 µ

(7)







Matrica fleksibilnosti (elastičnosti) C i matrica krutostikrutosti materijala D izražavaju se preko dve nezavisnekonstante elastičnosti (npr. E i ν)Matrice C i D su međusobno inverzne matrice

D = C−1 C = D−1

što neposredno sledi iz generalisanog Hukovog zakonaprikazanog u obliku (4), ili (6)Generalisani Hulov zakon (4), ili (6), odnosi se na idealnoelastično izotropno teloIzotropno telo znači da su osobine materijala iste u svimpravcima





Sadržaj









Veza napon - deformacija za anizotropno teloAnizotropan materijal znači da materijalne osobine zavise odposmatranog pravca uočenog u teluKonstitutivne jednačine za telo od proizvoljnog anizotropnogmaterijala mogu takođe da se prikažu u obliku

ε = C σ σ = Dε (8)

Veze (8) formalno izgledaju kao i veze (4), ili (6)Međutim, matrice C i D za izotropan materijal izražavaju sepreko samo dve konstante elastičnosti






Veza napon - deformacija za anizotropno telo

Matrica fleksibilnosti (elastičnosti) C za anizotropno telo jepuna matrica reda 6:

C = [ cij ] =

c11 c12 c13 c14 c15 c16c21 c22 c23 c24 c25 c26c31 c32 c33 c34 c35 c36c41 c42 c43 c44 c45 c46c51 c52 c53 c54 c55 c56c61 c62 c63 c64 c65 c66

(9)

Može da se pokaže da je matrica elastičnosti za anizotropnotelo simetrična: cij = cji, tako da je od 36 elemenata matrice21 element međusobno nezavistan






Veza napon - deformacija za anizotropno teloKod idealno elastičnog izotropnog tela pravci glavnih napona ipravci glavnih dilatacija su se međusobno poklapaliZa razliku od toga, kod anizotropnog tela pravci glavnihnapona i glavnih dilatacija se ne poklapajuNa primer, ako se prema relaciji ε = C σ napiše izraz zaklizanje γxy dobija se

γxy = c41σx + c42σy + c43σz + c44τxy + c45τyz + c46τzx (10)

Za τxy = τyz = τzx = 0, sledi da su σx, σy i σz glavni naponi,odn. da se pravci glavnih napona poklapaju sa pravcima osaxyz







Međutim, u tom slučaju bi klizanje γxy, prema izrazu (10), bilorazličito od nule, što znači da pravci x, y i z nisu pravci glavnihdilatacijaPrema tome, za anizotropno telo pravci glavnih napona ipravci glavnih dilatacija se ne poklapajuPostoje materijali, odn. tela sa posebnim oblicima anizotropijeTo nastaje kada postoji simetrija u elastičnim svojstvma uodnosu na neku ravan ili na neke pravce






Veza napon - deformacija za anizotropno teloZa anizotropno elastično telo kaže se da poseduje ravanelastične simetrije u nekoj tački ako su elastične osobine telaiste za svaka dva pravca koji su simetrični u odnosu na tu ravanPoseban oblik anizotropije je ortogonalna izotropija, ili kraće,ortotropijaOrtotropno telo u datoj tački ima tri međusobno ortogonalneravni elastične simetrije






Veza napon - deformacija za anizotropno teloAko su ravni elastične simetrije kod ortotropnog telakoordinatne ravni, onda je matrica elastičnosti C data u obliku

C =

c11 c12 c13 0 0 0c21 c22 c23 0 0 0c31 c32 c33 0 0 00 0 0 c44 0 00 0 0 0 c55 00 0 0 0 0 c66

(11)

U ovom slučaju postoji 9 međusobno nezavisnih konstantielastičnosti






Veza napon - deformacija za anizotropno teloImajući u vidu matricu elastičnosti za slučaj ortotropije,konstitutivne jednačine mogu da se napišu u skalarnom obliku:

εx = c11 σx + c12 σy + c13 σz γxy = c44 τxy

εy = c21 σx + c22 σy + c23 σz γyz = c55 τyz

εz = c31 σx + c32 σy + c33 σz γzy = c66 τzx

(12)

Umesto elemenata matrice C koji su označeni simbolima cij ,koriste se moduli elastičnosti, Poasonovi koeficijenti i moduliklizanja, u generalisanom značenju (za odgovarajuće pravce)







Veze (12) pišu se u obliku:

εx =1

E1σx −

ν21E2

σy −ν13E3

σz γxy =1

G12τxy

εy = −ν21E1

σx +1

E2σy −

ν23E3

σz γyz =1

G23τyz

εz = −ν31E1

σx −ν32E2

σy +1

E3σz γzy =

1

G31τzx

(13)

gde su E1, E2, E3 moduli elastičnosti u pravcima x, y, z, doksu ν12, ν23, ν31 Poasonovi koeficijenti odgovarajućih poprečnihkontrakcija






Veza napon - deformacija za anizotropno teloNajzad, sa G12, G23 i G31 označeni su moduli klizanja(smicanja) koji karakterišu promenu pravih uglova, redom,između osa x, y, y, z, kao i z, xZbog simetrije matrice elastičnosti, postoje sledeće veze

E1ν12 = E2ν21 E2ν23 = E3ν32 E3ν31 = E1ν13 (14)

Jednačine (12), odn. (13), važe ako se ravni elastične simetrijepoklapaju sa koordinatnim ravnima







Iz jednačina (13) se vidi da će klizanja γxy, γyz i γzx da budujednaka nuli ako su smičući naponi τxy, τyz i τzx jednaki nuliDakle, u slučaju kada se ravni elastične simetrije kodortotropnog tela poklapaju sa koordinatnim ravnima, tada sepravci glavnih napona poklapaju sa pravcima glavnih dilatacijaMeđutim, u opštem slučaju ravni glavnih napona ne poklapajuse sa ravnima elastične simetrije ortotropnog materijala, takoda se ni pravci glavnih napona ne poklapaju sa pravcimaglavnh dilatacija







Ortotropija se javlja kod drvenih konstrukcija (kod slojevitogdrveta)Sitnorebraste i LMT tavanice ponašaju se kao ortotropne pločekoje imaju dominantan pravac u kome prenose opterećenjePrikazane konstitutivne jednačine, za izotropno ili zaanizotropno telo, odnose se na slučaj kada ne dolazi do (bitne)promene temperature tokom deformacije





Sadržaj









Nojman-Dijamelove jednačineUkoliko se uzima u obzir uticaj promene temperature nadeformaciju, tada se deformacijama usled napona dodajudeformacije usled temperaturePri tome promena temperature u telu izaziva samo dilatacije, ane izaziva klizanja (promene uglova)Neka je t0 referentna temperatura, a t je posmatranatemperatura, tako da je promena temperature ∆t = t− t0Definiše se koeficijent linearne termičke dilatacije αt, dimenzije[1/◦C], koji zavisi od osobina materijala, tako da je dilatacijausled promene temperature ∆t jednaka

εt = αt ∆t






Nojman-Dijamelove jednačineAko je αt koeficijent linearne termičke dilatacije, a promenatemperature ∆t, veze između napona i dilatacije date su uobliku:

εx =1

E[σx − ν(σy + σz)] + αt∆t γxy =

1

Gτxy

εy =1

E[σy − ν(σz + σx)] + αt∆t γyz =

1

Gτyz

εz =1

E[σz − ν(σx + σy)] + αt∆t γzx =

1

Gτzx

(15)

Jednačine (15) zovu se Nojman-Dijamelove jednačine linearnetermoelastičnosti (Neuman-Duhamel-ove jednačine)






Nojman-Dijamelove jednačine

Inverzni oblika jednačina (15) dobija se u obliku

σx = 2µ εx + λ e− 3αt k∆t τxy = µγxy

σy = 2µ εy + λ e− 3αt k∆t τyz = µγyz

σz = 2µ εz + λ e− 3αt k∆t τzx = µγzx

(16)

gde je e = εx + εy + εz kubna dilatacija ili prva invarijantatenzora deformacija, dok je k modul kompresije (veza izmeđukubne dilatacije i srednjeg normalnog napona)






Nojman-Dijamelove jednačineVeza između kubne dilatacije i srednjeg normalnog napona, uslučaju kada se uzma u obzir i uticaj promene temperature,data je sa

e =1

kσ̄ + 3αt ∆t (17)

Sa k je označen modul kompresije:

k =G

3(1− 2ν)

Koeficijent 3αt naziva se koeficijent kubne ekspanzije




Maksvelov model viskoelastičnog telaKelvinov model viskoelastičnog telaIdealno plastično telo

Sadržaj








Linearno viskoelastično telo

Maksvelov model viskoelastičnog telaU cilju nalaženja odgovarajućih matematičkih jednačina koješto bolje opisuju mehaničko ponašanje različitih materijala,definisana su tri osnovna idealna tela:

- idealno elastično (Hukovo) telo- viskozno telo (Njutnovo)- idealno plastično (Sen-Venanovo) telo

Kombinovanjem idealnih tela dobijaju se reološki modelirazličitih materijala





Osnovni reološki modeli






Maksvelov model viskoelastičnog telaZa model linearno elastičnog tela veza σ − ε je linearna

σ = E ε (18)

Kod viskoznog fluida važi linearna veza između normalnognapona u fluidu i brzine dilatacije ε̇:

σ = η ε̇ (19)

gde je η koeficijent viskoznosti fluida






Maksvelov model viskoelastičnog tela

Kod idealno plastičnog (Sen-Venanovog) tela važi veza:

σ = σT (20)

gde je σT granični napon pri kome se savladava trenje, odn.pri kome nasta je klizanje jedne ploče po drugojViskoelastično telo je telo sa elastičnim osobinama, ali koje suvremenski zavisneSvaki model viskoelastičnog tela mora da sadrži i Njutnovo telo(model viskoznog fluida), jer je taj model zavistan od vremena







Maksvelov model (Maxwell) sastoji se iz Hukovog tela iNjutnovog tela koji su međusobno vezani u nizu (serijski)

Veza između napona i deformacije kod ovakvog tela dobija sesabiranjem deformacije ε1 Hukovog tela i ε2 Njutnovog tela,nastale usled delovanja napona σ






Maksvelov model viskoelastičnog telaDakle, kod serijske veze ukupna dilatacija jednaka je zbirudilatacija u svakom telu u serijskoj vezi:

ε = ε1 + ε2 (21)

Pri tome je u svakom telu u serijskoj vezi napon isti i jednakspoljašnje apliciranom naponu:

σ1 = σ2 = σ







Diferenciranjem jednačine (21) po vremenu, imajući u viduveze (18) i (19), dobija se

ε̇ =σ̇

E+σ

η(22)

Diferencijalna jednačina (22) pretstavlja konstitutivnujednačinu za Maksvelov viskoelastičan materijal prijednoosnom naprezanju






Maksvelov model viskoelastičnog telaTečenje ili puzanje, na primer betona, pretstavlja vremenskedilatacije pri konstantnom naprezanjuNa primer, AB stub pritisnut konstantnom normalnom silom,posle trenutnih elastičnih dilatacija usled delovanja sile, tokomvremena ima dodatne, vremenske, dilatacije, iako je N silanepromenjenaPosmatra se Maksvelov model za opisivanje pojave tečenja(puzanja)U trenutku t = 0 nanet je normalni napon σ0 i dalje je tajnapon konstantan:

σ = σ0 = const t ≥ 0







U trenutku nanošenja opterećenja (napona σ0) dolazi dotrenutne elastične deformacije elastične opruge (Njutnovogtela) za

ε0 =σ0E

Zatim, tokom vremena, dolazi do povećanja dilatacija(vremenske dilatacije tečenja)Kako je tokom vremena σ = σ0 = const, to je brzina promenenapona jednaka nuli:

σ̇ = 0







Jednačina Maksvelovog modela (22) svodi se, u ovom slučaju,na

ε̇ =σ0η

(23)

To znači da se materijal Maksvelovog modela pri konstantnomopterećenju ponaša kao viskozni fluid (Njutnovo telo)Integracijom diferencijalne jednačine (23) dobija se

ε =σ0ηt+ C (24)

Konstanta integracije C određuje se iz početnog uslova

t = 0 : ⇒ ε(0) =σ0E






Maksvelov model viskoelastičnog telaIntegraciona konstanta je jednaka

C =σ0E

Konačno rešenje se dobija kao linearna funkcija vremena

ε(t) =σ0E

+σ0ηt (t ≥ 0) (25)

Pri rasterećenju u nekom trenutku, elastični deo deformacijetrenutno se vraća, dok deformacija koja je nastala tokomtečenja do trenutka rasterećenja trajno ostaje





Tečenje (puzanje) Maksvelovog modela






Maksvelov model viskoelastičnog telaDobijeno rešenje za tečenje materijala Maksvelovog modela,prikazano sa (25), nije dovoljno dobro, jer se dobija davremenske deformacije neograničeno linearno rastu prikonstantnom opterećenjuEksperimentima (npr. analize vremenskih deformacija betona)utvrđeno je da se dilatacije usled tečenja

- nelinearno povećavaju, sa smanjenjem gradijenta tokomvremena

- kao i da postoji konačna dilatacija posle nekog vremena (3-5godina) - horizontalna asimptota






Maksvelov model viskoelastičnog telaPosmatra se simulacija relaksacije napona primenomMaksvelovog reološkog modelaRelaksacija napona pretstavlja vremensku promenu napona prikonstantnoj deformacijiPretpostavlja se da je model Maksvelovog tela naglo opterećendo nekog napona σ0, kome odgovara trenutna elastičnadilatacija ε0, a da je zatim dalja deformacija sprečena:

ε = ε0 = const t ≥ 0






Maksvelov model viskoelastičnog telaKako je dilatacija konstantna, to je brzina dilatacije jednakanuli: ε̇ = 0, tako da dif. jed. (22) Maksvelovog modela uovom slučaju glasi

σ̇ +E

ησ = 0

Integracijom se dobija opšti integral

σ(t) = C e−Eηt

Integraciona konstanta C dobija se iz početnog uslova

t = 0 : ⇒ σ = σ0 = Eε0






Maksvelov model viskoelastičnog telaDobija se integraciona konstanta

C = Eε0

tako da je konačno rešenje dato sa

σ(t) = E ε0 e−Eηt

t ≥ 0 (26)

Kao što se vidi iz jednačine (26), sa protokom vremena naponse asimptotski smanjuje na nulu





Relaksacija napona kod Maksvelovog modela





Sadržaj









Kelvinov model viskoelastičnog tela

Kelvinov ili Fogtov viskoelastični model (Kelvin,Voigt) sastojise iz paralelne veze Hukovog i Njutnovog telaUkupan napon koji se prenosi kod ovakve paralelne veze jednakje zbiru pojedinačnih napona u svakoj grani:

σ = σ1 + σ2 (27)

dok su dilatacije u obe grane jednake

ε1 = ε2 = ε












Iz veza (18) i (19), imajući u vidu da su dilatacije u svakomtelu iste, dobija se

σ1 = E ε σ2 = η ε̇ (28)

Unoseći izraze (28) u relaciju (27), dobija se jednačina

σ = E ε+ η ε̇ (29)

Diferencijalna jednačina (29) pretstavlja konstitutivnujednačinu Kelvinovog modela viskoelastičnog tela







Pri veoma sporom (laganom) opterećenju (ε̇→ 0), Kelvinovmodel se ponaša kao elastičan:

σ = E ε

Sa druge strane, ako se u početnom trenutku t = 0 modelKelvinovog tela naglo optereti naponom σ0, koji se zatimodržava konstantnim:

σ = σ0 = const t ≥ 0

onda to pretstavlja simulaciju tečenja (puzanja) materijala







U tom slučaju dif. jednačina (29) dobija oblik:

ε̇+E

ηε =

σ0η

(30)

Integracijom ove dif. jednačine, uzimajući u obzir i početniuslov da je za t = 0 dilatacija jednaka nuli: ε = 0, dobija sekonačna jednačina u obliku

ε(t) =σ0E

(1− e−

Eηt)

t ≥ 0 (31)







Konačna jednačina (31) pretstavlja jednačinu tečenjaKelvinovog modela viskoelastičnog telaIz dobijenog konačnog rešenja vidi se da kada t→∞ dadeformacija asimptotski teži ka graničnoj vrednosti σ0/E:

limt→∞

ε(t) = limt→∞

[σ0E

(1− e−

Eηt)]

=σ0E

Slično je ponašanje ovakvog viskoelastičnog materijala i prinaglom rasterećenju u nekom tenutku tokom tečenjaU trenutku t = t1, kada se model rastereti, ostvarena jedilatacija ε1 = ε(t1)






Kelvinov model viskoelastičnog telaDobija se

ε1 = ε(t1) =σ0E

(1− e−

Eηt1)

Posle toga dilatacija opada asimptotski ka nuliKelvinov model viskoelastičnog tela relativno dobro opisujepojavu tečenja, ali ne može da prikaže pojavu relaksacijenaponaGeneralno, Kelvinov model nije dovoljno dobar za opisivanjevremenskih deformacija materijala





Tečenje materijala kod Kelvinovog modela






Složeniji modeli viskoelastičnog telaPonašanje realnih materijala koji poseduju viskoelastičnasvojstva daleko je složenije od ponašanja koje može da seprikaže Maksvelovim ili Kelvinovim modelomZato se formulišu složeniji reološki modeli koji mogu bolje daopišu ponašanje realnih materijalaJedan od jednostavnijih "složenijih" modela je elastičnoprodužen Kelvinov modelOvaj model pretstavlja rednu vezu Hukovog tela i Kelvinovogmodela





Elastično produžen Kelvinov modela






Složeniji modeli viskoelastičnog telaNešto složeniji viskoelastični model je Burgersov model(Burgers)Ovaj model pretstavlja rednu vezu Maksvelovog modela iKelvinovog modelaKonstitutivna jednačina Burgersovog modela je kompleksnija,ali je zbog više parametara (u ovom slučaju 4: E1, η1, kao iE2, η2) koji mogu da se usvajaju, moguće "finije štelovanje"ponašanja materijala





Burgersov model viskoelastičnog tela





Sadržaj








Dijagram σ − ε za jednoaksijaln naprezanje





Dijagram σ − ε za jednoaksijalno naprezanje





Idealno plastično telo

Ponašanje materijala u plastičnoj oblastiKada se u ogledu jedoaksijalnog naprezanja dostigne granicatečenja σT , posle toga dolazi do značajnih plastičnih dilatacijaFenomen plastičnog deformisanja je veoma složen, tako da seuvode razne idealizacije ponašanja materijala u plastičnomdomenu, kao što su:

- kruto-plastičan model- elasto-plastičan model- kruto-plastičan model sa očvršćavanjem- elasto-plastičan model sa očvršćavanjem





Modeli sa ojačanjem u plastičnoj oblasti





Kruto-plastičan i elasto-plastičan model





Modeli sa ojačanjem u plastičnoj oblasti






Uslovi tečenja materijalaOsnovni zadaci teorije plastičnosti su:

1 definisanje uslova tečenja, odn. odgovarajućeg uslova kojimora da zadovolji napon, pri kome dolazi do početkaplastičnog deformisanja

2 formulisanje veza između napona i deformacije kojima seopisuje fenomen plastičnog deformisanja

U slučaju jednoaksijalnog naprezanja do plastičnih deformacijadolazi kada napon dostigne granicu tečenja σT






Uslovi tečenja materijalaZavisnost

σ = σ(εp)

pretstavlja uslov tečenja, odn. uslov koji mora da zadovoljavanapon da bi došlo do nastanka plastičnih deformacijaZa prikazane osnovne idealizacije ponašanja materijala uslovitečenja su:

- za kruto-plastičan materijal

σ = σT

- za elasto-plastičan materijal

σ = σT ∧ ε ≥ σTE






Uslovi tečenja materijalaZa prikazane osnovne idealizacije ponašanja materijala uslovitečenja su (nastavak):

- za kruto-plastičan materijal sa ojačanjem

σ = σT + E εp

- za elasto-plastičan materijal sa ojačanjem

σ = σT +k

1− kE εp ∧ ε ≥ σT

E

gde je modul elastičnosti u elasto-plastičnoj zoni dat saE1 = k E, dok je E modul elastičnosti za σ ≤ σT






Uslovi tečenja materijala: prostorno stanje naponaU slučaju prostornog stanja napona određivanje uslova tečenjaje veoma složenoDo uslova tečenja za prostorno stanje napona dolazi segeneralizacijom uslova tečenja pri jednoaksijalnom stanjunapona

Uslov tečenja je matematička veza između komponenatanapona u posmatranoj tački tela, koja mora da budezadovoljena da bi došlo do plastičnog tečenja materijala






Uslovi tečenja materijala: prostorno stanje napona

Kod idealno plastičnog materijala (bez ojačanja) uslov tečenjaima načelni oblik:

f(σx, σy, σz, τxy, τyz, τzx) = 0 (32)

ili u sistemu glavnih osa (1)(2)(3):

f(σ1, σ2, σ3) = 0 (33)

Sa f(σx, σy, σz, τxy, τyz, τzx) označena je funkcija tečenjaU prostoru napona σij uslov tečenja (32) ili (33) pretstavljapovrš koja se zove površ tečenja






Uslovi tečenja materijala: prostorno stanje naponaU klasičnoj teoriji plastičnosti dva najčešće korišćena uslovatečenja su

1 Treskin uslov tečenja (Tresca)2 Mizesov uslov tečenja (Von Mises)

Prema Treskinom uslovu tečenja plastično tečenje u okolinineke tačke nastaje kada maksimalni smičući napon u toj tačkidostigne neku kritičnu vrednost

τmax =1

2(σ1 − σ3) = kT (34)

gde je kT konstanta zavisna od materijala i koja se određuje iztesta zatezanja ili testa smicanja






Uslovi tečenja materijala: prostorno stanje napona

Test zatezanja (istezanja) je slučaj jednoaksijalnog naprezanja,gde je

σ1 = σT σ3 = 0

tako da je, prema (34),

kT =1

2σT (35)

Treskin uslov tečenja (34) u tom slučaju postaje

σ1 − σ3 = σT

Kao što se vidi, srednji glavni napon σ2 ne utiče na uslovtečenja






Uslovi tečenja materijala: prostorno stanje naponaTest čistog smicanja je slučaj dvoosnog naprezanja koji takođedaje konstantnu vrednost kTZa čisto smicanje sa istim smičućim naponima na upravnimravnima, τT , glavni naponi su jednaki

σ1 = τT σ2 = 0 σ3 = −τT

Tada iz jednačine (34) sledi

kT = τT (36)

dok se iz (35) i (36) dobija veza τT = 12 σT





Test čistog smicanja (Treska)






Fon Mizesov uslov tečenja materijalaFon Mizesov uslov tečenja formuliše se na sledeći način:

Plastična deformacija u nekoj tački tela nastaje kada drugainvarijanta devijatorskog dela tenzora napona dostigneneku kritičnu vrednost:

J(d)2 = −k2M (37)






Fon Mizesov uslov tečenja materijalaDevijatorski deo tenzora napona, ili kraće, devijator napona,dat je sa

S(d) =

σx − σ̄ τxy τxzτyx σy − σ̄ τyzτzx τzy σz − σ̄

gde je σ̄ srednji normalni napon

σ̄ =1

3(σx + σy + σz)






Fon Mizesov uslov tečenja materijalaDruga invarijanta devijatorskog dela tenzora napona data je sa

J(d)2 =

∣∣∣∣ σy − σ̄ τyzτzy σz − σ̄

∣∣∣∣+

∣∣∣∣ σx − σ̄ τxzτzy σz − σ̄

∣∣∣∣+

∣∣∣∣ σx − σ̄ τxyτyx σy − σ̄

∣∣∣∣ (38)

Dobija se druga invarijanta u obliku

J(d)2 = −1

6[ (σx − σy)2 + (σy − σz)2

+ (σz − σx)2 + 6(τ2xy + τ2yz + τ2zx) ](39)






Fon Mizesov uslov tečenja materijalaAko se koordinatne ose poklapaju sa pravcima glavnih napona,onda je τxy = τyz = τzx = 0, pa uslov (37), uz prikaz drugeinvarijante devijatora (39), ima sledeći oblik:

(σ1 − σ2)2 + (σ2 − σ3)2 + (σ3 − σ1)2 = 6k2M (40)

Konstanta kM zavisi od materijala i može da se odredieksperimentalnim putem: preko testa istezanja, ili preko testačistog smicanja






Fon Mizesov uslov tečenja materijalaKod testa zatezanja je

σ1 = σT σ2 = σ3 = 0

pa iz uslova (40) sledi

2σ2T = 6 k2M odn. kM =

√3

3σT (41)

Sa ovim, Mizesov uslov tečenja (40) ima oblik

(σ1 − σ2)2 + (σ2 − σ3)2 + (σ3 − σ1)2 = 2σ2T (42)






Fon Mizesov uslov tečenja materijalaKod testa čistog smicanja je

σ1 = τT σ2 = 0 σ3 = −τT

pa iz uslova (40) sledikM = τT

Sa ovim, iz relacija (41) i kM = τT dobija se veza

τt =

√3

3σT






Fon Mizesov uslov tečenja materijala

Za slučaj ravanskog (dvoosnog) stanja napona, kod koga jeσ3 = 0, Mizesov uslov tečenja glasi

σ21 − σ1 σ2 + σ22 = σ2T (43)

U ravni napona σ1, σ2 jednačina (43) pretstavlja elipsuOdgovarajući Treskin uslov tečenja za ravno stanje napona imaoblik šestougaonika koji je upisan unutar elipse date sa (43)





Uslovi tečenja za ravno stanje napona





Uslovi tečenja za ravno stanje napona





Uslovi tečenja za ravno/prostorno stanje napona






Konstitutivne jednačine u domenu plastičnostiProces plastičnog deformisanja je veoma složenZa razliku od elastičnog domena, deformisanje u plastičnomdomenu je nepovratan proces (najveći deo unutrašnjeg rada nadeformaciji gubi se pretvarajući se u toplotu)Proces plastične deformacije je nelinearan, pa zakonsuperpozicije ne važiPotrebno je da se uzima u obzir kompletna istorija naprezanja ideformacije materijala





Elasto-plastična deformacija u ogledu zatezanja






Konstitutivne jednačine u domenu plastičnostiU opisivanju plastične deformacije nije moguće da se formulišukonstitutivne jednačine kao jednoznačne funkcije (kao kodelastičnih deformacija)U zavisnosti od prethodne istorije deformisanja, jednomnaponu može da odgovara više deformacija i obrnutoKonstitutivne jednačine u plastičnom domenu formulišu se uinkrementalnom obliku:

dσ = Dep dε ili σ̇ = Dep ε̇ (44)






Konstitutivne jednačine u domenu plastičnosti

U jednačini (44) uvedene su oznake- Dep . . . elastoplastična matrica krutosti materijala- σ̇ . . . prvi izvod vektora napona po vremenu- ε̇ . . . prvi izvod vektora deformacija po vremenu

Ukupan napon i deformacija određuju se integracijom(inkrementalim rešavanjem) jednačina (44), uz praćenje istorijedeformacije i opterećenjaTeorija plastičnosti je posebna grana Mehanike kontinuumakoja se bavi analizom problema mehaničkog ponašanja tela uplastičnom domenu






Konstitutivne jednačine u domenu plastičnostiNajjednostavnija analiza u domenu plastčnog ponašanja jekada se usvoji dijagrm σ − ε u obliku idealno elastičnog -idealno plastičnog dijagramaTo znači da je dijagram σ − ε za jednoaksjlno naprezanje(zatezanje):

- prava kosa linija od σ = 0 do σ = σT (elastični deo)- prava horizontalna linija σ = σT (idealno plastičan deo)

To znači da se smatra da posle dostizanja granice tečenja σT ,materijal teče bez očvršćavanja sve do loma (ne pruža se višenikakav otpor deformaciji)





Idealna tela (Idealizacija veze σ − ε)






Konstitutivne jednačine u domenu plastičnostiOvakva osobina za jednoaksijalno naprezanje proširuje seanalogno i na prostorno stanje naponaNaime, kada se (u nekoj tački) dostigne uslov plastičnosti,recimo (42), bez obzira na veličine deformacija u toj tačkimora da između glavnih napona važi relacija

(σ1 − σ2)2 + (σ2 − σ3)2 + (σ3 − σ1)2 = 2σ2T (45)

Pri daljem toku plastične deformacije mogu da se veličinepojedinih glavnih napona menjaju, ali samo tako da ostanesačuvana relacija (45)






Konstitutivne jednačine u domenu plastičnostiDalje se pretpostavlja da se za izotropne materijale i kodidealno plastičnog tela poklapaju pravci glavnih napona iglavnih dilatacijaUsvaja se da je kod idealno plastičnog ponašanja kubnadilatacija jednaka nuli (ne menja se zapremina)Usvaja se da su i u plastičnom domenu glavni naponi smicanjaproporcionalni sa glavnim klizanjima, t.j. da za idealnoplastično telo važe relacije:

τ12γ12

=τ23γ23

=τ31γ31

=1

2ϕ(46)







Veličina 1/2ϕ, koja odgovara modulu klizanja G kod idealnoelastičnog tela, nije kod idealno plastičnog tela konstantnakarakteristika materijala, već je funkcija položaja tačke u telu

ϕ = ϕ(x, y, z) (47)

Ovaj "plastični modul klizanja" određuje se iz uslova zadatkau svakom pojedinačnom slučaju (nepoznata veličina)Usvaja se da je kod idealno plastičnog tela veza izmeđunapona i deformacije u fazi rasterećenja ista kao i kod idealnoelastičnog tela







Pretpostavka (uslov) (46) može da se prikaže u obliku

ε1 − ε2 = ϕ · (σ1 − σ2) ε2 − ε3 = ϕ · (σ2 − σ3)ε3 − ε1 = ϕ · (σ3 − σ1)

(48)

a uslov da je kubna dilatacija u plastičnom domenu = 0 je:

ε1 + ε2 + ε3 = 0 (49)

Iz ovih relacija mogu da se odrede tri glavne dilatacije

ε1 = ϕ · (σ1 − σ̄) ε2 = ϕ · (σ2 − σ̄) ε3 = ϕ · (σ3 − σ̄) (50)

gde je σ̄ srednji normalni napon






Konstitutivne jednačine u domenu plastičnostiIz navedenih relacija koje se odnose na glavne napone i glavnedilatacije, slično kao i kod idealno elastičnog tela, mogu da seizvedu veze između napona i deformacija kod idealnoplastičnog tela, za ravni proizvoljnog koordinatnog trijedrax, y, z:

εx = ϕ · (σx − σ̄) γxy = 2ϕ · τxyεy = ϕ · (σy − σ̄) γyz = 2ϕ · τyzεz = ϕ · (σz − σ̄) γzx = 2ϕ · τzx

(51)

Jednačine (51) zovu se Henkijeve jednačine (Hencky) ipretstavljaju šest veza između napona i deformacija uplastičnom domenu, ali u njima figuriše i neodređena funkijaϕ(x, y, z)




Rekapitulacija osnovnih jednačinaFormulacija i rešavanje problema teorije elastičnosti

Sadržaj








Određivanje napona i deformacija

Rekapitulacija osnovnih jednačina - analiza naponaU analizi napona stanje napona u telu određeno je satenzorom napona u svakoj tački telaTenzor napona u tački tela određen je sa šest nezavisnihkomponentalnih naponaσx, σy, σz, τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz:

S =

σx τxy τxzτyx σy τyzτzx τzy σz

(52)






Rekapitulacija osnovnih jednačina - analiza naponaKomponente napona u svakoj tački tela moraju dazadovoljavaju Navijeove jednačine ravnoteže

∂σx∂x

+∂τxy∂y

+∂τxz∂z

+ fx = 0

∂τyx∂x

+∂σy∂y

+∂τyz∂z

+ fy = 0

∂τzx∂x

+∂τzy∂y

+∂σz∂z

+ fz = 0

(53)

gde su fx, fy i fz komponente zapreminskih sila u posmatranojtački tela






Rekapitulacija osnovnih jednačina - analiza naponaOsim zapreminskih sila, koje deluju po celoj zapremini tela, popovršini omotača tela mogu da deluju površinske sile, kaorezultat kontakta (interakcije) sa drugim telomU skladu sa Košijevim površinskim usovima moraju da buduzadovoljeni uslovi ravnoteže povešinskih sila i napona u ∞maloj okolini površine tela

p(n)x = σx nx + τxy ny + τxz nz

p(n)y = τyx nx + σy ny + τyz nz

p(n)z = τzx nx + τzy ny + σz nz

(54)

gde je ~n = {nx, ny, nz} vektor spoljašnje normale na površinutela






Rekapitulacija osnovnih jednačina - analiza napona

Šest komponetalnih napona ne mogu da se odrede iz tridiferencijalne Navijeove jednačine ravnoteže (53), uz uzimanjeu obzir tri granična uslova (54)Određivanje stanja napona u tačkama tela, u opštem slučaju,pretstavlja statički neodređen problemPrema tome, da bi se odredilo stanje napona u telu, mora dase istovremeno posmatra i stanje deformacija, kao iodgovarajuće veze između napona i deformacija, koje zavise odprirode ponašanja materijala tela pod datim opterećenjem






Rekapitulacija osnovnih jednačina - analiza deformacijaDeformacija tela je određena ako je za svaku tačku tela poznatvektor pomeranja ~s = {u, v, w}Stanje deformacije napregnutog tela poznato je ako je u svakojtački tela poznat tenzor deformacijeTenzor deformacija je određen sa šest nezavisnihkomponentalnh deformacijaεx, εy, εz, γxy = γyx, γyz = γzy, γzx = γxz:

D =

εx

12γxy

12γxz

12γyx εy

12γyz

12γzx

12γzy εz

(55)






Rekapitulacija osnovnih jednačina - analiza deformacijaU svim unutrašnjim tačkama tela moraju da budu zadovoljeneveze između komponentalnih pomeranja i komponentalnihdeformacija:

εx =∂u

∂xγxy =

∂u

∂y+∂v

∂x

εy =∂v

∂yγyz =

∂v

∂z+∂w

∂y

εz =∂w

∂zγzx =

∂w

∂x+∂u

∂z

(56)

Prema relacijama (56) određuju se komponentalne deformacijeiz poznatih komponentalnih pomeranja






Rekapitulacija osnovnih jednačina - analiza deformacijaZnači, ako su poznata komponentalna pomeranja tačaka tela,elementi tenzora deformacija određuju se diferenciranjempomeranja, prema izrazima (56)Obrnuti zadatak je da se iz poznatih komponentalnihdeformacija odrede komponentalna pomeranjaTakav problem je znatno složeniji, rešava se integracijom izahteva da komponentalne deformacije zadovoljeSen-Venanove uslove kompatibilnosti deformacijaUslovi kompatibilnosti deformacija dati su sa šest veza izmeđudrugih parcijalnih izvoda komponentalnih deformacija






Rekapitulacija osnovnih jednačina - konstitutivne jednačineVeze između komponentalnih napona i komponentalnihdeformacija, za idealno elastičan, homogen, izotropanmaterijal, date su sa generalisanim Hukovim zakonom:

εx =1

E[σx − ν(σy + σz)] γxy =

1

Gτxy

εy =1

E[σy − ν(σz + σx)] γyz =

1

Gτyz

εz =1

E[σz − ν(σx + σy)] γzx =

1

Gτzx

(57)

U konstitutivnim jednačinama (57) ne razmatra se uticajpromene temperature ∆t






Rekapitulacija osnovnih jednačina - konstitutivne jednačineUkoliko se uzima u obzir i uticaj promene temperature, ondasu konstitutivne jednačine proširene i nazivaju seNojman-Dijamelove jednačine linearne termelastičnosti, (15)U relacijama za komponentalne dilatacije dodaju se članovikoji potiču od termičke dilatacije

εx =1

E[σx − ν(σy + σz)] + αt∆t γxy =

1

Gτxy

εy =1

E[σy − ν(σz + σx)] + αt∆t γyz =

1

Gτyz

εz =1

E[σz − ν(σx + σy)] + αt∆t γzx =

1

Gτzx

(58)






Rekapitulacija osnovnih jednačina - konstitutivne jednačine

Jednačine (58) su u formi gde se komponentalne deformacijeizražavaju preko komponentalnih naponaInverzni oblik jednačina (58) dobija se u obliku

σx = 2µ εx + λ e− 3αt k∆t τxy = µγxy

σy = 2µ εy + λ e− 3αt k∆t τyz = µγyz

σz = 2µ εz + λ e− 3αt k∆t τzx = µγzx

(59)

gde je e = εx + εy + εz kubna dilatacija ili prva invarijantatenzora deformacija, dok je k modul kompresije (veza izmeđukubne dilatacije i srednjeg normalnog napona), dok su λ i µLameove konstante






Rekapitulacija osnovnih jednačina - konstitutivne jednačineU slučaju anizotropnog materijala ili viskoelastičnog materijala,umesto konstitutivnih jednačina (57) ili (58) koriste seodgovarajuće konstitutivne vezeU slučaju idealno plastičnog tela, u svim tačkama tela gde jezadovoljen usvojeni kriterijum tečenja, na primer Fon Mizesovuslov (42),

(σ1 − σ2)2 + (σ2 − σ3)2 + (σ3 − σ1)2 = 2σ2T

dolazi do plastičnog tečenja materijala tela u okolini takvetačke






Rekapitulacija osnovnih jednačina - konstitutivne jednačineZa idealno plastično telo, gde ne važi princip superpozicije kaoza idealno elastično telo, konstitutivne jednačine su nelinearnei koriste se u inkrementalnom obliku

dσ = Dep dε

Može da se konstatuje da je određivanje stanja napona ideformacije za napregnuta tela kod kojih je materijalanizotropan, viskoelastičan ili još pri tome ima i plastičnedeformacije, neporedivo kompleksnije nego kada je talo idealnoelastično, homogeno i izotropno





Sadržaj









Formulacija problema teorije elastičnostiOsnovni zadatak teorije elastičnosti sastoji se u određivanjustanja napona, deformacija i pomeranja u svim tačkamanapregnutog tela, ako je poznata geometrija (oblik i dimenzije)tela, materijal tela, kao i spoljašnje opterećenje koje deluje nateloNaravno, podrazumeva se da je napregnuto telo nosač, štoznači da postoje spoljašnje veze koje ne dozvoljavajupomeranje tela u prostoru kao krutog telaTakođe se (sada) podrazumeva da se opterećenje koje delujena nosač aplicira dovoljno sporo, tako da su brzine, ubrzanja,inercijalne sile zanemarljivi, odn. da je u pitanju statičkiproblem






Formulacija problema teorije elastičnostiPosmatrano telo je nosač, što podrazumeva da postojespoljašnje veze koje to omogućavajuVezama odgovaraju granični uslovi, koji mogu da budu

- granični uslovi po pomeranjima- granični uslovi po silama

Granični uslovi po pomeranjima su uslovi u kojima su u nekimtačkama konture tela zadate komponente pomeranja

u = u∗ v = v∗ w = w∗

Takođe mogu da budu zadati i izvodi pomeranja (uklještenja)






Formulacija problema teorije elastičnostiGranični uslovi po silama su uslovi u kojima su u nekimtačkama konture tela zadate spoljašnje površinske sile ~p(n), pamoraju da budu zadovoljene Košijeve jednačine:

p(n)x = σx nx + τxy ny + τxz nz

p(n)y = τyx nx + σy ny + τyz nz

p(n)z = τzx nx + τzy ny + σz nz

(60)

gde je ~n = {nx, ny, nz} vektor spoljašnje normale na površinutela





Granični problem deformabilnog tela (nosača)

Granični problem deformabilnog 3D tela (nosača)






Rešavanje problema teorije elastičnostiUkupan broj nepoznatih u problemu određivanja napona,deformacija i pomeranja, za idealno elastično izotropno telo, je15:

- 6 nepoznatih komponentalnih napona- 6 nepoznatih komponentalnih deformacija- 3 nepoznate komponente pomeranja

Na raspolaganju je takođe 15 jednačina:- 3 jednačine ravnoteže- 6 veza između komponentalnih deformacija i pomeranja- 6 konstitutivnih jednačina (veza između komponentalnihnapona i defomacija)






Rešavanje problema teorije elastičnostiVeze između deformacija i pomeranja, kao i uslovi ravnotežesu diferencijalne veze, tako da su potrebni i odgovarajućigranični usloviGranični uslovi su dati Košijevim uslovima između napona izadatih površinskih sila, kao i sa graničnim uslovima popomerajimaPrema tome, zadatak je u principu, rešivMože da se pokaže da postoji jedinstveno rešenje






Rešavanje problema teorije elastičnostiZbog linearnosti veza između napona i deformacija kod idealnoelastičnog tela važi zakon superpozicijeNaponi i deformacije u telu na koje istovremeno deluju dvasistema sila mogu da se odrede ako se nađe rešenje za svakisistem sila posebno, pa se dobijeni rezultati zatim saberuSvaki pojedinačni sistem sila, koji se posebno posmatra,pretstavlja slučaj opterećenjaSa dobijenim rešenjima za pojedinačne slučajeve opterećenja,mogu da se zatim formiraju kombinacije opterećenja






Rešavanje problema teorije elastičnostiU slučaju idealno plastičnog tela veze između napona ideformacija nisu jednoznačne, pa je problem komplikovanijiPri tome više ne važi princip superpozicijeU telu mogu da istovremeno postoje različite oblasti koje su uelastičnom i u plastičnom domenuU slučaju analize u plastičnom domenu ima 16 nepoznatih:dodatna nepoznata je promenljivi "plastični modul klizanja"ϕ(x, y, z), dat sa (47)Međutim, ima i 16 jednačina: dodatna jednačina je uslovtečenja, na primer (45)






Rešavanje problema teorije elastičnosti: Lameove jednačine

Iz sistema jednačina: uslova ravnoteže (53), veza izmeđudeformacija i pomeranja (56), kao i generalisanog Hukovogzakona (57), mogu da se eliminišu komponentalni naponi ikomponentalne deformacije, tako da u jednačinama ostanusamo pomeranjaPosle odgovarajućih transformacija i sređivanja, dobija sesistem jednačina po pomeranjima u, v, w, koje se zovuLameove jednačine ravnoteže






Rešavanje problema teorije elastičnosti: Lameove jednačineLameove diferencijalne jednačine ravnoteže glase:

µ∆u+ (λ+ µ)∂e

∂x+ fx = 0

µ∆v + (λ+ µ)∂e

∂y+ fy = 0

µ∆w + (λ+ µ)∂e

∂z+ fz = 0

(61)






Rešavanje problema teorije elastičnosti: Lameove jednačine

U Lameovim jednačinama ravnoteže (61) uvedene su oznake:- λ, µ . . . Lameove konstante- e = εx + εy + εz . . . kubna dilatacija (prva invarijanta tenzoradeformacija)

- fx, fy, fz . . . komponente zapreminskih sila- ∆ . . . Laplasov operator (Laplace), dat sa

∆ =∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2(62)

Lameove jednačine su osnovne diferencijalne jednačineravnoteže elastičnog tela






Rešavanje problema teorije elastičnosti: Lameove jednačineGranični uslovi dati su preko pomeranja, što odgovaraLameovim jednačinamaAko su granični uslovi dati po silama, kao Košijevi graničniuslovi (veze površinskih sila i napona), onda se u timjednačinama naponi prvo izražavaju preko pomeranjaPrema tome, Lameov jednačine ravnoteže sadrže samonepoznate komponente pomeranja u, v, wLameove jednačine su sistem od tri parcijalne diferencijalnejednačine drugog reda o pomeranjima






Beltrami - Mičelove jednačineMogu da postoje problemi kod kojih su granični uslovi datisamo po naponima (po silama)Ako se u uslovima kompatibilnosti deformacija komponentalnedeformacije, koristeći generalisani Hukov zakon, izraze prekonapona, dobija se sistem od 6 jednačina koje komponentalninaponi moraju da zadovoljeKombinovanjem sa Navijeovim uslovima ravnoteže (53), dolazise do sistema od šest diferencijalnih jednačina po naponima,koje se zovu Beltrami - Mičelove jednačine (Beltrami, Mitchell)






Beltrami - Mičelove jednačineAko se zanemari uticaj zapreminskih sila, Beltrami - Mičelovejednačine imaju oblik:

∆σx +1

1 + ν

∂2g1∂x2

= 0 ∆τxy +1

1 + ν

∂2g1∂x∂y

= 0

∆σy +1

1 + ν

∂2g1∂y2

= 0 ∆τyz +1

1 + ν

∂2g1∂y∂z

= 0

∆σz +1

1 + ν

∂2g1∂z2

= 0 ∆τzx +1

1 + ν

∂2g1∂z∂x

= 0

(63)






Beltrami - Mičelove jednačine

U Beltrami - Mičelovim jednačinama (63) uvedene su oznake:- g1 = σx + σy + σz . . . prva invarijanta tenzora napona- ν . . . Poasonov koeficijent- ∆ . . . Laplasov operator dat sa (62)

Beltrami - Mičelove jednačine pretstavljaju sistem od šestparcijalnih diferencijalnih jednačina drugog reda pokomponentalnim naponima


Documents

OTPORNOST MATERIJALA 2 - Osnovne akademske studije, III … · 2019. 3. 18. · OTPORNOST MATERIJALA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Prof dr Stanko Brčić email: [email protected]