BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 - Osnovne akademske studije ...2 Čistoisloženosavijanje Čistopravosavijanje Dvostrukoarmiranipreseci Složenosavijanje-velikiekscentricitet Stanko Brčić

Dimenzionisanje AB preseka prema dozvoljenim naponimaČisto i složeno savijanje

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1Osnovne akademske studije, V semestar

Prof dr Stanko Brčićemail: [email protected]

Departman za Tehničke nauke,GRAÐEVINARSTVO

Državni Univerzitet u Novom Pazaru

2014/15

Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1


Sadržaj

1 Dimenzionisanje AB preseka prema dozvoljenim naponimaProračun prema dopuštenim naponimaNormalna sila zatezanjaNormalna sila pritiska

2 Čisto i složeno savijanjeČisto pravo savijanjeDvostruko armirani preseciSloženo savijanje - veliki ekscentricitet



Proračun prema dopuštenim naponimaNormalna sila zatezanjaNormalna sila pritiska

Sadržaj






Dimenzionisanje prema dozvoljenim naponima

Proračun prema dopuštenim naponima

Proračun (dimenzionisanje) preseka prema dopuštenimnaponima se zasniva na:

- određivanju stanja napona u poprečnom preseku premaekstremnim kombinacijama statičkih uticaja u eksploataciji

- dokazivanju da tako određeni naponi nisu veći ododgovarajućih dopuštenih napona

Prema tome, proračun se svodi na zadovoljenje relacija:

σmax ≤ σdop





Proračun prema dopuštenim naponima

Pri određivanju statičkih uticaja (sila u preseku), kao i pridimenzionisanju preseka smatra se da su oba materijala (betoni čelik) linearno elastičnaDozvoljeni naponi se definišu propisima tako što se čvrstoćebetona i čelika redukuju koeficijentima sigurnosti, odnosnosmanjuju do te mere da je opravdana pretostavka o linearnoelastičnom ponašanju




Dozvoljeni naponi za armirani beton [MPa]

Za MB 25, 35,45, 55 dozvoljeni naponi se određuju linearnominterpolacijom između dve susedne vrednosti




Dozvoljeni naponi za armaturu (GA i RA) [MPa]





Usvojene pretpostavke proračunaBeton je homogen i elastičan materijal u skladu sa Hukovimzakonom (linearna veza napon - deformacija)Važi Bernulijeva hipoteza o ravnim presecima: preseci i posledeformacije ostaju ravni i upravni na deformisanu osu nosačaZanemaruje se nosivost betona na zatezanje: prihvatanjeukupnih napona zatezanja se poverava armaturiUsvaja se da je odnos modula elastičnosti čelika i betona zasve radne napone određen brojem ekvivalencije n:

n =EaEb

= 10





Naponska stanja AB preseka1 Centrični pritisak . . . deluje samo normalna sila pritiska N

bez uticaja izvijanja . . .λ ≤ 50 (λ je vitkost štapa)sa uticajem izvijanja . . .λ ∈ (50, 140]

2 Ekscentrični pritisak . . . deluje samo normalna sila pritiska NMali ekscentricitet . . . N sila deluje unutar preseka, presek jebez prslinaVeliki ekscentricitet . . . N sila deluje izvan preseka, presek saprslinama





Naponska stanja AB preseka3 Centrično zatezanje . . . deluje samo normalna sila zatezanja Z4 Ekscentrično zatezanje . . . samo normalna sila zatezanja Z

Mali ekscentricitet . . . sila Z deluje unutar presekaVeliki ekscentricitet . . . sila Z deluje izvan preseka





Naponska stanja AB preseka5 Čisto savijanje . . . deluje samo momenat savjanja M6 Složeno savijanje . . . deluje N sila u fazi velikog ekscentriciteta,

kao i momenat savijanja M, ili deluju momenti savijanja u dveravni

7 Smicanje . . . deluje samo transverzalna sila T8 Torzija . . . deluje samo momenat torzije Mt

9 Smicanje i torzija . . . istovremeno deluju transverzalna sila T imomenat torzije Mt




Sadržaj






Normalna sila zatezanja

Centrično zatezanjePosmatra se poprečni presek AB štapa koji je izložen uticajucentričnog zatezanja silom ZTo može da bude AB zatega u nekoj konstrukciji (ili zategnutištap AB rešetke)Celokupno zatezanje na sebe preuzima armatura, pri čemu jedozvoljen napon zatezanja dat Propisima (BAB 87) i jednak jeσa

Uslov za dimenzionisanje prema dopuštenim naponima je

σmax ≤ σdop





Centrično zatezanjeNormalni napon u svim tačkama preseka je jednak

σ =Z

Aa

gde je Aa ukupna površina podužne armature u preseku (onaprihvata kompletno zatezanje)Iz uslova σmax ≤ σdop se dobija potrebna količina armature upreseku

σ =Z

Aa≤ σdop ⇒ Aa,pot ≥

Z

σdop





Centrično zatezanjeZategnuta podužna armatura se usvoji zaokruživanjem na višeminimalne potrebne armature Aa,potSama armatura se usvoji izborom vrste armature (GA ili RA) iizborom prečnika šipkiPri tome se broj šipki usvaja tako da usvojena armatura budesimetrično rapoređena u poprečnom presekuDimenzije betonskog poprečnog preseka se usvajaju (ako nemanekih drugih zahteva) iz uslova pravilnog i simetričnogsmeštanja armature(vodi se računa o razmacima između šipki, kao i oodgovarajućem zaštitnom sloju betona)




Centrično zatezanje - primer

Dimenzionisanje zategeOdrediti potrebnu armaturu i oblikovati poprečni presekpravougaonog oblika centrično zategnutog AB elementaElement se nalazi u uslovima umereno agresivne sredinePoznati podaci o sili zatezanja:

- stalno opterećenje . . .Zg = 305 kN- povremeno opterećenje . . .Zp = 337 kN

Usvojiti glatku armaturu GA 240/360





Dimenzionisanje zategeUkupna sila zatezanja elementa

Z = Zg + Zp = 305 + 337 = 642 [kN]

Za glatku armaturu i uz pretpostavku da je Φ ≥ 14, dozvoljennapon u armaturi je σdop = 140 MPaPotrebna površina armature je

Apot =Z

σdop=

642× 104

140× 103=

6420

140= 45.857 [cm2]

Usvojeno: 15Φ20 (47.12 cm2) (uvidom u površine presekaarmature)




Karakteristike preseka za armaturu GA i RA




Karakteristike preseka glatke armature GA




Karakteristike preseka rebraste armature GA





Dimenzionisanje zategeZa umereno agresivnu sredinu minimalan zaštitni sloj armatureje a0 = 2.5 cmPoprečni presek elementa je pravougaoni dimenzija b× dImajući u vidu da je usvojeno 15 šipki, one mogu da serasporede 5 šipki u 3 redaOko armature se usvajaju konstruktivne uzengije U Φ8/30

Vodi se računa o dovoljnom čistom razmaku armature uhorizontalnom i vertikalnom pravcu




Raspoređivanje armature u preseku




Usvojena armatura i betonski presek





Ekscentrično zatezanje - mali ekscentricitetPosmatra se poprečni presek AB štapa koji je izložen uticajuekscentričnog zatezanja silom ZPoložaj sile zatezanja je ekscentričan u odnosu na težišnu osupreseka, sa ekscentricitetom e

Ako je visina preseka d, a rastojanje težišta gornje i donjearmature od ivica preseka isto i jednako a, onda je

e ≤ d

2− a

Drugim rečima, sila zatezanja se nalazi unutar preseka, odn.između gornje i donje podužne armatureU pitanju je ekscentrično zatezanje - mali ekscentricitet




Ekscentrično zatezanje - mali ekscentricitet







Štapovi donjeg pojasa AB rešetki su tipičan primerekscentrično zategnutih štapova u domenu malogekscentricitetaOsim značajnih sila zatezanja, postoje i mali momenti savijanja(od sopstvene težine štapova), pa je ekscentricitet dat sa

e =M

Z≤ c =

d

2− a

Celokupna sila zatezanja se prihvata armaturom





Ekscentrično zatezanje - mali ekscentricitetPotrebna kolčina armature, za dozvoljeni napon zatezanja uarmaturi σdop, je data sa

σa =Z

Aa≤ σdop ⇒ Aa,pot ≥

Z

σdop

Ova ukupna količina armature se raspoređuje u gornju i donjuzonu preseka tako da se težište armature poklapa za položajemnapadne tačke sile ZNa taj način se dobija:

Aa,pot ≤ Aa = Aa1 +Aa2 Aa1,2 =Aa2

(1± e

c

)(znak + se odnosi na armaturu koja je bliža sili Z)




Sadržaj






Normalna sila pritiska

Centrični pritisak bez uticaja izvijanjaPosmatra se poprečni presek AB štapa koji je izložen uticajucentričnog pritiska silom NSila N deluje u težištu poprečnog preseka ili sa ekscentricitetome ≤ `/300, što se računa kao moguća greška u izvođenjuTakvi elementi su AB stubovi, zidna platna i pritisnuti štapoviAB rešetkiPoprečni preseci ovakvih elemenata su najčešće kvadratni,pravougaoni, okrugli, ali mogu da budu i razuđenih oblika





Centrični pritisak bez uticaja izvijanjaArmiranje ovakvih elemenata se vrši podužnom armaturom iuzengijama (poprečnom armaturom)Podužne šipke se obavezno stavljaju u uglove preseka (osimako presek nije kružni), sa ciljem da se težište ukupnog preseka(betona i armature) ne menjaNijedna podužna šipka ne sme da bude manja od Φ12 mmZa betone MB > 30 koristi se isključivo RA, a za MB ≤ 30može da se koristi i GAIzvijanje se ne uzima u obzir ako je vitkost pritisnutog štapamanja od 50: λ < 50





Centrični pritisak bez uticaja izvijanjaZa centrčno pritisnute elemente raspodela napona u preseku jeravnomerna i prianjanje između betona i podužne armaturenije narušenoPrema tome, dilatacije u betonu i armaturi su međusobno iste:εb = εa

Kako su dilatacije iste, a moduli elastičnosti Ea i Eb različiti,to će oba materijala da prenose uticaje srazmerno njihovimpovršinama i modulima elastičnosti:

εb = εa ⇒ σbEb

=σaEa

⇒ σaσb

=EaEb

= n = 10





Centrični pritisak bez uticaja izvijanjaDrugim rečima, imajući u vidu koeficijent ekvivalencije modulaelastičnosti n, dobija se odnos napona u betonu i čeliku

σaσb

=EaEb

= n = 10 odnosno, σa = nσb

Uslov ravnoteže spoljašnjih i unutrašnjih sila je dat sa

N = σbAb + σaAa = σbAb

(1 +

σaσb

AaAb

)





Centrični pritisak bez uticaja izvijanjaUvode se oznake:

- bezdimenzionalan koeficijent armiranja (odnos površinepodužne armature i betona):

µ0 =AaAb

- procenat armiranja, odn. koeficijent armiranja izražen uprocentima:

µ = 100 · µ0 [%]

- broj ekvivalencije n modula elastičnosti čelika i betona

n = Ea/Eb = 10





Centrični pritisak bez uticaja izvijanjaSa ovim oznakama uslov ravnoteže spoljašnjih i unutrašnjihsila u pravcu ose štapa može da se piše u obliku

N = σbAb (1 + nµ0) = σbAbi

Uvedena je oznaka za površinu idealizovanog poprečnogpreseka

Abi = Ab (1 + nµo)

Iz uslova ravnoteže N = σbAbi dobija se (dopušten naponσdop je središni napon σs)

σb =N

Abi≤ σdop = σs ⇒ Abi ≥

N

σs





Centrični pritisak bez uticaja izvijanjaPrema tome, ako se usvoji, na primer, minimalan procenatarmiranja µ0 = µmin, onda je potrebna površina betonskogpreseka data sa:

Ab,pot ≥N

σs (1 + nµmin)

dok je minimalna površina podužne armature

Aa,pot = Ab,pot µmin





Centrični pritisak bez uticaja izvijanja

Za centrično pritisnute elemente (odn. stubove) procentiarmiranja su ograničeni na najmanji i najveći:

µmin = 0.6% µmax = 6.0%

Uobičajeni procenti armiranja stubova su oko µ ≈ 1.0÷ 1.5%

Ako se usvoji betonski presek Ab tako da bude veći odračunski potrebnog Ab,pot, naponi u betonu su tadaneiskorišćeni (u odnosu na dopušten napon σs





Centrični pritisak bez uticaja izvijanjaPodužna armatura se određuje iz izraza Aa = Ab µmin zausvojeno µmin = 0.6%, ali može da na taj način bude veća odpotrebne, jer je usvojena veća površina betona od potrebne:Ab > Ab,pot

Zbog toga BAB 87 dozvoljava da stvarni procenat armiranjamože da bude i manji od minimalno propisanog, ali ne manjiod µ = 0.3%

U tom slučaju treba da se proveri da li usvojena površinaarmature zadovoljava uslov

Aa,stv ≥ Aa,min = 0.3%Ab,stv =0.3

100Ab.stv





Centrični pritisak sa uticajem izvijanja: vitki elementiAko je vitkost pritisnutog štapa veća od 50, uticaj mogućegizvijanja uzima se u obzirVitkosti pritisnutih stubova su ograničene na interval

λ ∈ (50, 140]

Samo u fazi montaže dozvoljava se vitkost u granicama

λ ∈ (140, 200]





Centrični pritisak sa uticajem izvijanja: vitki elementiVitkost pritisnutog štapa je definisana sa

λ =`iimin

Sa `i je označena dužina izvijanja, dok je imin minimalnipoluprečnik inercije poprečnog preseka:

imin =

√IminA

gde su Imin i A minimalni momenat inercije i površinapoprečnog preseka betona (štapa)




Dužine izvijanja pritisnutih štapova

Ojlerovi slučajevi izvijanja





Centrični pritisak sa uticajem izvijanja: vitki elementi

Ukoliko je vitkost štapa u granicama λ ∈ (50, 140] mora da seuzme u obzir u proračunuVrši se redukcija dopuštenog središnjeg napona σs

σi = 1.4σs − 0.4− (σs − 1)λ

125≤ σs u [MPa] (1)

Takođe se vrši i redukcija minimalnog procenta armiranja

µi =λ

50− 0.4 ≥ 0.6% (2)





Centrični pritisak sa uticajem izvijanja: vitki elementiDopuštena sila nosivosti centrično pritisnutog elementaodređuje se prema izrazu (BAB 87):

Ndop = σiAb (1 + nµi) (3)

Dimenzionisanje nepoznatog preseka se vrši iterativnoU prvom koraku se usvaja da je σi = σs, kao i µi = 0.6%

Iz izraza (3) se odredi potrebna površina betonskog preseka





Centrični pritisak sa uticajem izvijanja: vitki elementiPotrebna površina betonskog preseka je:

Ab,pot =Ndop

σi (1 + nµi)(4)

Za izračunato Ab,pot odrede se oblik i dimenzije stubaIzračuna se vitkost λ i ako je λ > 50, odrede se σi i µi premaizrazima (1) i (2)Ponovo se iz izraza (3) odrede potrebna površina betonskogpreseka i usvoje korigovane dimenzije i oblik preseka





Centrični pritisak sa uticajem izvijanja: vitki elementiKontroliše se nova vitkost i postupak po potrebi ponavlja dopostizanja željene tačnosti (razlika dimenzija preseka u dvesusedne iteracije treba da je ≈ 1 cm)Potrebna površina armature se određuje prema

Aa ≥ Aa,pot =µi

100Ab,pot

gde je Ab,pot potrebna površina betonskog preseka iz poslednjeiteracije





Centrični pritisak - detalji armranjaOsim podužne armature, u stubove se ugrađuje i poprečnaarmatura, odn. uzengijeUloga uzengija je da utegnu betonski presek stuba i da sprečelokalno bočno izvijanje podužne (pritisnute) armatureZbog toga je prečnik uzengija Φu u vezi sa prečnikom podužnearmatureOrjentaciono, ako je prečnik podužne armature Φ, onda jeprečnik uzengija

Φu ≈Φ

3





Centrični pritisak - detalji armranjaUzengije su obično pravougaonog oblika, ali to zavisi od oblikastuba (npr. pravougaone, kružne i sl.)Za uobičajene dimenzije stubova, prečnici uzengija se usvajajuu granicama Φu ∈ [6÷ 10] mmRazmak uzengija eu mora da bude u sledećim granicama

eu,max = min

b15 Φ30 cm

[cm]

gde je b manja dimenzija stuba, a Φ prečnik podužne armature





Centrični pritisak - detalji armranja

U delu stuba gde se uvodi sila u stub, na dužini 1.5 b (b ≤ d),kao i na mestima preklapanja podužne armature, razmakuzengija je dva puta manji od “normalnog”:

eu,max = min

{7.5 Φ15 cm

[cm]





Centrični pritisak - detalji armranja

U seizmički aktivnim područjima, sa svake strane čvora (odn.ukrštanja stubova i greda), na dužini od 1 m (ili malo više),razmak uzengija je najviše jednak

eu,max = min

{7.5 Φ10 cm

[cm]

dok se na preostalim delovima stuba može da usvojieu = 15 Φ ≤ 20 cm





Ekscentrični pritisak - mali ekscentircitet

Ako u preseku pored dominantne normalne sile (pritiska ilizatezanja) deluje i momenat savijanja, to je ekvivalentnoslučaju ekscentrične normalne silePri određenim uslovima, tj. odnosima intenziteta M i N,poprečni presek može da se računa po maloj ekscentričnostiAko se naponi na pritisnutoj i na zategnutoj ivici betonaobeleže, redom, sa σb = σ1 i σbz = σ2, presek se računa premamalom ekscentricitetu ako su zadovoljeni uslovi:

−σ2 ≤ σ13 za MB ≤ 30

−σ2 ≤ σ14 za MB > 30

(5)

Ovi uslovi pretstavljaju naponsko stanje Faze I (bez prslina),odn. homogen presek




Dozvoljeni naponi za armirani beton [MPa]

Ekscentrični pritisak - mali ekscentricitet - dijagram normalnihnapona: Faza I, bez prslina





Ekscentrični pritisak - mali ekscentircitetAB stubovi su tipični predstavnici ovakvih naponskih stanja:relativno velika normalna sila pritiska N i relativno malimomenat savijanja MNaponi u armaturi ovakvih elemenata su skoro uvekneiskorišćeni, ali su procenti armiranja ograničeni sa

µmin = 0.8% µmax = 3.0%

Preseci se, po pravilu, armiraju simetrično, tako da je

µ = µ1 + µ2 odn. Aa1 = Aa2





Ekscentrični pritisak - mali ekscentircitet

Uslovi (5) pretstavljaju uslove za Fazu I naponskih stanjabetona, odn. pri tim uslovima betonski presek je homogenU prijemu napona učestvuju čitav betonski poprečni presek iarmaturaNaponi na ivicama preseka su dati sa:

σ1,2 =N

Ai± M

Wi

gde su N i M sile u preseku, a Ai i Wi geometrijskekarakteristike idealizovanog preseka





Ekscentrični pritisak - mali ekscentircitetAko je pravougaoni presek dimenzija b× d armiran simetrično,Aa1 = Aa2 = Aa = µ0Ab, pri čemu su i rastojanja težištaarmature do bliže ivice betona takođe iste, a1 = a2 = a,geometrijske karakteristike preseka su date sa:

- površina idealizovanog preseka Ai

Ai = Ab + n (Aa1 +Aa2) = Ab (1 + nµ0)

- momenat inercije idealizovanog preseka Ii

Ii =b d3

12+ 2nAa

(d

2− a)2





Ekscentrični pritisak - mali ekscentircitetMomenat inercije idealizovanog preseka Ii može da se napiše uobliku

Ii =b d3

12(1 + 12nµ0 ε

2)

gde su uvedene oznake:

c =d

2− a ε =

c

dµ0 =

Aa1 +Aa2b d

=2Aab d

= µ1 + µ2

Otporni momenat idealizovanog preseka Wi je dat sa:

Wi =Iid/2

=b d2

6+ 2nAa

(d2 − a)2

d/2=b d2

6(1 + 12nµ0 ε

2)





Ekscentrični pritisak - mali ekscentircitetRastojanje jezgra preseka ki od težišta idealizovanog preseka jedato sa

ki =Wi

Ab=d

6(1 + 12nµ0 ε

2)

Sa ovim se dobijaju konačni izrazi za vrednosti ivičnih napona upreseku (moraju da budu manji od dopuštenih rubnih napona)

σ1,2 =N

Ab

(1

αi± e

ki

)≤ σdop = σr

gde je

αi = 1 + nµ0 ϕ =2a

dki =

d

6[1 + 3nµ0 (1− ϕ)2]





Ekscentrični pritisak - mali ekscentircitetObično se za ϕ pretpostavljaju vrednosti između 0.10 i 0.20,odn. težište armature a je udaljeno od ivice preseka za(5-10)% od visine preseka dKada se ispituje da li neki ekscentrično pritisnut presekispunjava uslove (5) za proračun po malom ekscentricitetu,određuje se kritični ekscentricitet e0 i upoređuje se sa stvarnimekscentricitetom normalne sile e = M/N

Kritični ekscentricitet e0 je veličina ekscentriciteta za koju suuslovi (5) za proračun po malom ekscentricitetu ispunjeni





Ekscentrični pritisak - mali ekscentircitetKritični ekscentricitet se dobija:

- za MB ≤ 30: σ1 = −3σ2 ⇒ e0 = 2 kiαi

- za MB > 30: σ1 = −4σ2 ⇒ e0 = 5 ki3αi

Osim kontrole ivičnih napona mora da se proveri i napon utežištu preseka i da se uporedi sa dopuštenim središnimnaponom σs:

σ0 =N

Ab αi≤ σs

Armiranje stubova izloženih ekscentričnim silama pritiska umalom ekscentricitetu vrši se podužnom i poprečnomarmaturom slično kao i kod centrično pritisnutih stubova



Čisto pravo savijanjeDvostruko armirani preseciSloženo savijanje - veliki ekscentricitet

Sadržaj






Čisto pravo savijanje

Uticaj momenata savijanja na AB elementePosmatraju se AB elementi na koje deluju samo momentisavijanja (čisto pravo savijanje)Ako se posmatra postepeno povećanje spoljašnjeg dejstva(momenta savijaja) sve do iznosa pri kome dolazi do lomapreseka, mogu da se razlikuju sledeće naponske faze

1 Faza I . . . stanje bez prslina, aktivan ceo betonski presek2 Faza II . . . stanje sa prslinama, aktivan samo pritisnuti deo

betonskog preseka3 Faza III . . . lom preseka





Uticaj momenata savijanja na AB elementeFaza I i Faza II se dele svaka na po dve pod-faze:Faza I . . . stanje bez prslina, aktivan ceo betonski presek

- Faza Ia . . . linearna raspodela normalnih napona pritisaka izatezanja

- Faza Ib . . . nelinearna raspodela normalnih napona zatezanja, alinearna raspodela napona pritisaka

Faza II . . . stanje sa prslinama, aktivan samo pritisnuti deobetonskog preseka

- Faza IIa . . . blaga nelinearnost raspodele normalnih naponapritisaka

- Faza IIb . . . znatna nelinearnost normalnih napona pritisaka




Naponske faze AB elementa izloženog savijanju

Povećanjem opterećenja, posle Faze IIb dolazi do Faze III - do lomanosača





Uticaj momenata savijanja na AB elementeU proračunu nosača pod uticajem momenata savijanja smatrase da se presek nalazi u Fazi IIaTo znači da je zategnuta zona u betonu (ispod neutralne linije)u potpunosti isključena i celokupno zatezanje prihvataarmaturaTipični elementi konstrukcija opterećeni na (čisto pravo)savijanje su gredni nosači i pločeNajčešći oblici poprečih preseka grednih nosača su pravougaonii “T” preseci




Računski model jednostruko armiranog preseka

Presek Dilatacije Naponi Sile





Jednostruko armiran presek proizvoljnog oblikaPoprečni presek je proizvoljnog, ali simetričnog oblika u odnosuna osu u ravni nosačaPresek je jednostruko armiran u zategnutoj zoni presekaVisina preseka je d, sa a je označeno rastojanje težišta(zategnute) armature od donje izive preseka, dok je h = d− astatička visina preseka (rastojanje od težišta zategnutearmaure do pritisnute ivice betonaSa x je označen rastojanje neutralne linije od pritisnute ivicebetonaSa s = x/h se obeležava bezdimenzionalan koeficijent položajaneutralne linije





Jednostruko armiran presek proizvoljnog oblikaIz sličnosti trouglova u prikazu dilatacija i napona, mogu da seizvedu relacije

εa = εb1− ss

σa = nσb1− ss

kao i s =1

1 + σanσb

Kao što može da se vidi, položaj neutralne linije (izražen prekokoeficijenta s) zavisi samo od odnosa napona u armaturi ibetonu, a ne i od njihovih vrednosti




Računski model jednostruko armiranog preseka

Presek Dilatacije Naponi Sile





Jednostruko armiran presek proizvoljnog oblikaMereno od neutralne ose ka pritisnutom delu betona, položajproizvoljnog vlakna poprečnog preseka je određen sa h η, gdeje η bezdimenzionalna koordinataŠirina preseka na rastojanju h η je označena sa b(η), dok jepovršina elementarnog sloja jednaka dA(η) = h b(η) dη

Iz dijagrama napona dobija se napon u betonu na proizvoljnomrastojanju od neutralne linije η h u obliku

σbη = σbη h

x= σb

η

s





Jednostruko armiran presek proizvoljnog oblika

Uslov ravnoteže normalnih sila∑

N = 0 glasi∑N = 0 ⇒ Db − Za =

∫ η=s

η=0σbη dA− σaAa = 0

Zamenom se dobija∫ η=s

η=0σbη h

xh b(η) dη − nAaσb

h− xx

= 0

odn. posle sređivanja

h2∫ η=s

η=0b(η) ηdη − nAa (h− x) = 0 (6)






Integral u jedn. (6 ) zavisi od oblika poprečnog preseka:∫ η=s

η=0b(η) ηdη = JIB

Za pravougaoni presek je b(η) = b = const, pa integral JIBpostaje

JIB =

∫ η=s

η=0b(η) ηdη = b

s2

2






Sa ovim jedn. (6) postaje

h2b

2s2 − nAa(h− x) = 0

Kako je s = x/h dobija se kvadratna jednačina po x

x2 +2nAab

x− 2nAa h

b= 0 (7)

Koreni kvadratne jednačine x2 + px+ q = 0 su dati sa

x1,2 = −p2±√p2

4− q






Pozitivan koren kvadratne jednačine (7) predstavlja položajneutralne ose x (mereno od pritisnute ivice betona):

x =nAab

[−1 +

√1 +

2h b

nAa

](8)

ili, izraženo preko bezdimenzionalnog koeficijenta položajaneutralne ose s = x/h:

s =nAah b

[−1 +

√1 +

2h b

nAa

](9)





Jednostruko armiran presek proizvoljnog oblikaPotrebna statička visina preseka h se određuje iz uslovaravnoteže momenata savijanja

∑Ma = 0 u odnosu na težište

zategnute armature:∑Ma = 0 ⇒

∫ η=s

η=0σbη (h− x+ h η) dA−M = 0

Zamenom se dobija, za pravougaoni presek,∫ η=s

η=0σbη h

xb h (h− x+ hη)dη −M = 0





Jednostruko armiran presek proizvoljnog oblikaPosle sređivanja se dobija

σbsb h2

∫ η=s

η=0η(1− s+ η)dη −M = 0 (10)

Integral u jedn. (10) se označava sa JIIB i dat je sa

JIIB =

∫ η=s

η=0η(1− s+ η)dη = (1− s) JIB +

∫ η=s

η=0η2 dη

Sa ovim, jedn. (10) može da se piše u obliku

σbsb h2 JIIB −M = 0 (11)





Jednostruko armiran presek proizvoljnog oblikaIntegral JIIB za pravougaone preseke se dobija, poslesređivanja, u obliku

JIIB =s2

2

(1− s

3

)Iz jednačine (11) može da se odredi statička visina preseka h uobliku:

h =

√s

σb JIIb

√M

b= r

√M

b(12)





Jednostruko armiran presek proizvoljnog oblikaKoeficijent r je dat sa:

r =

√s

σb JIIb=

√s

σbs2

2

(1− s

3

)Relacija (12) može da se piše u obliku

r =h√Mb

(13)





Jednostruko armiran presek proizvoljnog oblikaSila pritiska u betonu Db se dobija integracijom naponapritisaka u preseku:

Db =

∫ η=s

η=0σbη dA =

σb b h

sJIB (14)

Krak unutrašnjih sila z je dat sa

z =M

Db(15)

Iz relacija (11) i (14) dobija se za krak unutrašnjih sila relacija

z =JIIBJIB

h = ζ h (16)






Kod čistog savijanja (bez normalne sile), sila pritiska u betonuDb je jednaka sili zatezanja u armaturi Za, pa je (iz uslovaravnoteže momenata)

Z z −M = 0 ⇒ Za =M

z

Potrebna površina zategnute armature Aa se određuje iz izraza

Aa =Zaσa

=M

z σa(17)






Unoseći uslov (11) i relaciju (15) u (17), dobija se

Aa = b hJIBs

σbσa

ili, Aa = µ0 b h (18)

Sa µ0 je označen koeficijent armiranja

µ0 =JIBs

σbσa

=AaAb

Često se koristi procenat armiranja, µ = 100µ0, pa je

Aa =µ b h

100(19)





Jednostruko armiran presek pravougaonog oblikaKoeficijenti s i r, za pravougaoni presek iznose

- koeficijent s . . . bezdimenzionalni koeficijent statičke visine(x = sh)

s =1

1 + ρn

gde je ρ =σaσb

- koeficijent r . . . za određivanje statičke visine preseka

r =

√s

σb JIIb=

√s

σbs2

2

(1− s

3

)





Jednostruko armiran presek pravougaonog oblikaKoeficijenti ζ i µ, za pravougaoni presek iznose

- koeficijent ζ . . . bezdimenzionalan koeficijent kraka sila(z = ζ h)

ζ =JIIBJIB

=(

1− s

3

)- procenat armiranja µ . . . odnos površina armature i betona u %

µ =JIBs ρ

100 =s

2 ρ100 [%]





Jednostruko armiran presek pravougaonog oblikaIzrazi za s, r, ζ i µ mogu da se tabulišu, jer zavise samo ododnosa napona u armaturi i betonuOvo važi za poprečne preseke pravougaonog i trougaonogoblika (za druge oblike, npr. “T” presk, postoje i drugi faktori)Postoje tablice za dimenzionisanje u kojima su prikazani razniodgovarajući koeficijenti(videti, npr. knjigu Živorad Radosavljević: Armirani beton,knjiga 1, Građevinska knjiga, Beograd, 1988)Za ove izraze mogu da se naprave programi: Excel, Matlab,C++, . . .





Dimenzionisanje poprečnog presekaDimenzionisanje poprečnog preseka podrazumeva usvajanjeoblika i dimenzija poprečnog preseka, uključujući i kvalitetbetona, kao i vrstu, kvalitet, količinu i raspored armature upreseku, kako podužne, tako i poprečne (uzengija)Problem dimenzionisanja obuhvata dva osnovna slučaja:

Slobodno dimenzionisanje presekaVezano dimenzionisanje preseka





Slobodno dimenzionisanje poprečnog presekaSlobodno dimenzionisanje preseka podrazumeva određivanje iusvajanje dimenzija poprečnog preseka i potrebne količinearmature za dati momenat savijanja i za usvojeni kvalitetmaterijala (poznate dopuštene napone u betonu i armaturi)Znači, kod slobodnog dimenzionisanja AB preseka

poznato je: . . .M , σa,dop, σb,dopa traži se: . . . b, d, Aa





Slobodno dimenzionisanje poprečnog presekaVezano dimenzionisanje preseka podrazumeva određivanjepotrebne količine armature i kontrolu napona u betonu za datimomenat savijanja i za presek poznatih dimenzijaZnači, kod vezanog dimenzionisanja AB preseka

poznato je: . . .M , b, d, σa,dopa traži se: . . .Aa σb ≤ σb,dop





Slobodno dimenzionisanje poprečnog presekaU slučaju slobodnog dimenzionisanja statička visina preseka hse određuje iz izraza (12), a površina zategnute armature Aaiz izraza (19)Pri tome se koriste tabulisani koeficijenti koji odgovarajudopuštenim naponima za usvojeni kvalitet betona i armatureŠirina poprečnog preseka b se usvaja unapred, obično uuobičajenim granicama od 20 do 50 cm





Slobodno dimenzionisanje poprečnog presekaNa osnovu sračunate površine armature Aa bira se prečnik ibroj profilaRaspored armature se vrši tako što se poštuje minimalanrazmak između šipki, koji omogućava dobro ugrađivanje betonai odgovarajuće zaštitne slojeve, uključujući i usvojene uzengijeIzračuna se rastojanje a težišta zategnute armature dozategnute ivice preseka i dobija se ukupna visina presekad = h+ a

Konačna dimenzija d se usvaja zaokruživanjem (na gore!) nacele santimetre (odn. na “okruglu cifru”)





Vezano dimenzionisanje poprečnog presekaU slučaju vezanog dimenzionisanja, kada su poznate dimenzijepreseka, za dati momenat savijanja i usvojen kvalitet armature,određuje se potrebna površina armature AaPrethodno se pretpostavlja statička visina preseka husvajanjem rastojanja a težišta zategnute armature dozategnute ivice preseka (uobičajeno je a ≈ 0.1 d)Iz izraza (13) se određuje koeficijent r, a iz tablica zadimenzionisanje koje odgovaraju σa,dop, očitava seodgovarajući napon u betonu σb i procenat armiranja µ





Vezano dimenzionisanje poprečnog presekaNa osnovu dobijene vrednosti σb bira se marka betona MB,dok se iz izraza (19) određuje potrebna količina armature AaSa dobijenom potrebnom površinom Aa odaberu se i usvoješipke armature, pa se sračuna stvarna statička visina h = d− aU slučaju većeg odstupanja od pretpostavljene vrednosti h(koja je je korišćena u izrazu 13), ponovi se proračun





Dimenzionisanje poprečnog presekaDa bi se izbegao lom nosača zbog nedovoljne količinezategnute armature u trenutku otvaranja prslina, neophodno jeda usvojena zategnuta armatura uvek bude veća od minimalne:

Aa ≥ Aa,min =µmin b d

100

Minimalan procenat armiranja za gredne nosače je:µmin = 0.25% . . . za glatku armaturu GA 240/360µmin = 0.20% . . . za rebrastu armaturu RA 400/500




Sadržaj







Dvostruko armirani preseci pravougaonog oblikaU pritisnutu zonu betonskog preseka se uvek postavljamontažna (konstruktivna) armaturaSmisao pritisnute armature je da poveže uzengije i da povećažilavost pritisnute zone betonaPrema tome, i jednostruko armirani preseci, sa računskomarmaturom samo u zategnutoj zone preseka, imaju armaturu iu pritisnutom deluMeđutim, pritisnuta konstruktivna armatura je relativnomanjih preseka, pa se, i pored ove armature, preseci tretirajukao jednostruko armirani





Dvostruko armirani preseci pravougaonog oblikaMeđutim, zbog ograničenja visine preseka, kao i zbogprekoračenja dopuštenih napona pritiska u betonu, često jepotrebno da se i u pritisnutu zonu dodaje računska armaturaCilj ovakvog načina armiranja je da se naponi pritiska u betonudovedu u dozvoljene granice, posebno kada nije opravdanopovećanje kvaliteta betona (usvajanje više MB)





Dvostruko armirani preseci pravougaonog oblikaDvostruko armiranje preseka je neophodno kada jeeksploatacioni momenat savijanja M (za najnepovoljnijukombinaciju opterećenja) veći od momenta nosivosti Mb

jednostruko armiranog presekaMoment nosivosti Mb jednostruko armiranog preseka je dat sa

r =h√Mb

⇒ Mb =

(h

r∗

)2

b (20)

gde r∗ odgovara istovremenom iskorišćenju dopuštenih naponaza usvojeni kvalitet čelika i betona





Dvostruko armirani preseci pravougaonog oblika

Razlika momenata savijanja (najvećeg eksploatacionog imomenta nosivosti preseka)

∆M = M −Mb

prihvata se dodatnom zategnutom armaturom ∆Aa1, kao idodatnom pritisnutom armaturom ∆Aa2

Sila zatezanja ∆Z u dodatnoj zategnutoj armaturi se određujeiz dodatnog uslova ravnoteže:

∆Z =∆M

h− a2





Dvostruko armirani preseci pravougaonog oblikaKako je ∆Z = ∆Aa1 σa, povraina dodatne zategnutearmature se određuje iz izraza:

∆Aa1 =∆M

(h− a2)σb

Površina ukupne zategnute armatue je data sa:

Aa1 = A∗a1 + ∆Aa1 =

µ∗ b h

100+

∆M

(h− a2)σb

pri čemu µ∗ pretstavlja procenat armiranja koji odgovaraistovremenom iskorišćenju dopuštenih napona u betonu iarmaturi, pri delovanju Mb




Računski model dvostruko armiranog preseka





Dvostruko armirani preseci pravougaonog oblikaPovršina pritisnute armature Aa2 se određuje iz uslova dapoložaj neutralne linije u poprečnom preseku ostanenepromenjenTo znači da su statički momenti dodatne zategnute armature idodatne pritisnute armature u odnosu na neutralnu osujednaki:

∆Aa1(h− x)−Aa2 (x− a2) = 0

Zamenjujući izraz za ∆Aa1 dobija se površina dodatnepritisnute armature:

Aa2 =∆M

(h− a2)σah− xx− a2





Ispitivanje napona u betonu i armaturi kod pravougaonih presekaZa preseke poznatih dimenzija, poznatog rasporeda i površinearmature, kao i poznatih kvaliteta materijala (betona i čelika),često je potrebno da se provere naponi u betonu i armaturiIspitivanje nosivosti konstrukcije zbog povećanog opterećena,promenjenih uslova u eksploataciji, proračna ugiba, . . . ,zahtevaju analizu napona u betonu i armaturiPoložaj neutralne linje određuje se iz uslova ravnoteženormalnih sila preseku





Ispitivanje napona u betonu i armaturi kod pravougaonih presekaZa dvojno armiran pravougani presek položaj neutralne ose sesvodi na rešavanje kvadratne jednačine

x2 +2n

b(Aa1 +Aa2)x−

2n

b(Aa1 h+Aa2 a2) = 0

Pozitivan koren ove jednačine je dat sa

x =n(Aa1 +Aa2)

b

[−1 +

√1 +

2b(Aa1h+Aa2a2)

n(Aa1 +Aa2)2

]





Ispitivanje napona u betonu i armaturi kod pravougaonih presekaIz uslova ravnoteže momenata spoljašnjih i unutrašnjih sila uodnosu na težište zategnute armature, uz poznat položajneutralne linije x, napon u betonu σb se određuje iz:

σb =M

bx2

(h− x

3

)+ nAa2

(1− a2

x

)(h− a2)

Koristeći određen napon u betonu σb i linearnu vezu napona idilatacija u preseku, naponi u zategnutoj i pritisnutoj armaturise određuju iz izraza:

σa1 = nσbh− xx

σa2 = nσbx− a2x




Sadržaj






Složeno savijanje - veliki ekscentricitet

Ekscentrično opterećeni elementiKada normalna sila pritiska deluje ekscentrično u odnosu natežište poprečnog preseka (podrazumeva se da je savijanje ujednoj ravni), naponsko stanje preseka je u oblasti velikogekscentriciteta ukoliko se dobijaju naponi zatezanja u betonu(sračunati po fazi I) u granicama:

−σbz ≥ σb3 za MB ≤ 30

−σbz ≥ σb4 za MB > 30

(napon pritiska u betonu se označava kao pozitivan)





Ekscentrično opterećeni elementiU slučaju ekscentrične sile zatezanja presek je u fazi velikogekscentriciteta ukoliko se napadna tačka sile nalazi izvantežišta zategnute armature poprečnog preseka, odn. kada jezadovoljen uslov

e >d

2− a

gde je e ekscentircitet normalne sile u odnosu na težišnu osuOsa linijskog nosača je geometrijsko mesto težišta poprečnihpresekaStatički uticaji u nosaču (npr. M i N) se određuju u odnosuna osu nosača, koja se poklapa sa težišnom linijom





Ekscentrično opterećeni elementiKada su sile u preseku momenat savijanja M i normalna silapritiska N ili zatezanja Z, to je ekvivalentno kao da delujesamo ekscentrična normalna sila, N ili Z, sa ekscentricitetom

e =M

Nodn. e =

M

Z

gde je e ekscentircitet normalne sile N ili Z u odnosu natežišnu osu





Ekscentrično opterećeni elementi

AB elementi napregnuti u fazi velikog ekscentriciteta (pritiskaili zatezanja) se nalaze u fazi II, preseci sa prslinamaVaže iste pretpostavke proračuna kao i za slučaj čistog pravogsavijanja, od kojih su najvažnije;

- naponi zatezanja u betonu ispod neutralne linije se zanemauju- celokupno zatezanje preuzima armatura u preseku (zategnuta,a po potrebi i pritisnuta - dvojno armiranje)

Proračun preseka se vrši na isti način kao i za slučaj čistogsavijanja





Ekscentrično opterećeni elementiJedino se, umesto momenta savijanja M , koristi momenatsavijanja Ma sračunat u odnosu na težište zategnute armature

Ma = M +N(d2 − a

)pritisak

Ma = M − Z(d2 − a

)zatezanje

(21)

Dimenzionisanje preseka ne može da se direktno izvrši kao uslučaju čistog pravog savijanja, jer je nepoznata veličinamomenta Ma u odnosu na zategnutu armaturu, zbognepoznate visine preseka d, a prema Ma se određuju dimenzijepreseka






Zbog toga se unapred usvaja (pretpostavlja) visina preseka d,kao i širina preseka b na mestu zategnute armatureSa usvojenom visinom preseka d i veličinom zaštitnog slojabetona, odnosno sa pretpostavljenim rastojanjem a težištazategnute armature do ivice preseka, za pozneta statičkeuticaje u preseku M i N , određuje se momenat savijanja uodnosu na zategnutu armaturu

Ma = M +N c = N(e+ c)

gde je c = d/2− a (rastojanje zategnute armature od težišta)





Ekscentrično opterećen pravougaoni presek u oblasti velikogekscentriciteta (N - pritisak, Z - zatezanje)





Ekscentrično opterećeni elementiBezdimenzionalni koeficijent r za dimenzionisanje, u slučajučistog pravog savijanja je dat sa (13), dok je u slučaju velikogekscentriciteta dat sa

r =h√Mab

(22)

samo figuriše Ma umesto MMogu da se koriste iste tablice za dimenzionisanje kao i zaslučaj čistog pravog savijanja





Ekscentrično pritisnuti elementiZa ekscentričnu silu pritiska i veliki ekscentricitet, količinapotrebne armature se određuje iz uslova ravnoteže spoljašnih iunutrašnjih sila (

∑N = 0):

N + Za −Db = 0

Kako je Za = Aa σa, to se dobija

Za = Db −N ⇒ Zaσa

= Aa =Ma

z σa− N

σa(23)

jer je Db z = Ma





Ekscentrično pritisnuti elementi

Alternativno, imajući u vidu izraz (19) i uvođenje procentaarmiranja, potrebna količina zategnute armature može da seprikaže i u obliku

Aa =µ b h

100− N

σa(24)

Ekscentrično zategnuti elementiAko je presek opterećen ekscentričnom silom zatezanja, ondaje potrebna površina armature data sa

Aa =Ma

z σa+Z

σa(25)





Ekscentrično zategnuti elementiAlternativno, potrebna površina zategnute armature zaekscentričnu silu zatezanja može da se odredi i iz relacije

Aa =µ b h

100+Z

σa(26)

Za ekscentrično zatezanje silom Z, momenat Ma u odnosu nazategnutu armaturu dat je sa (21)/2





Ekscentrično opterećeni elementiMomenat nosivosti pretpostavljenog betonskog preseka Mb jedat na isti način kao i za čisto savijanje i jednostruko armiranipresek:

r =h√Mb

⇒ Mb =

(h

r∗

)2

b (27)

gde r∗ odgovara istovremenom iskorišćenju dopuštenih naponaza usvojeni kvalitet čelika i betonaRazlika momenata u odnosu na zategnutu armaturu imomenta nosivosti pretpostavljenog betonskog preseka je

∆M = Ma −Mb (28)





Ekscentrično opterećeni elementiRazlika momenata ∆M = Ma −Mb može da bude:

∆M > 0 . . . potrebno je dvojno armiranje preseka∆M = 0 . . . potrebna je samo zategnuta armatura(jednostruko armiranje, iskorišćeni naponi σb i σa)∆M < 0 . . . naponi u betonu su neiskorišćeni

U slučaju dvojnog armiranja relacije su iste kao i kod čistogsavijanja:

dodatna zategnuta armatura se određuje na osnovu ∆Mdodatna pritisnuta armatura se određuje iz uslova da dodatnearmature ne menjaju položaj neutralne linije (koji je određendozvoljenim naponima σb i σa)





Dvostruko armirani preseci pravougaonog oblikaPovršina ukupne zategnute armatue, za ekscentričnu silupritiska, data je sa:

Aa1 =µ∗ b h

100+

∆M

(h− a2)σb− N

σa

pri čemu µ∗ pretstavlja procenat armiranja koji odgovaraistovremenom iskorišćenju dopuštenih napona u betonu iarmaturi, pri delovanju Mb

Površina dodatne pritisnute armature je data sa:

Aa2 =∆M

(h− a2)σah− xx− a2





Dvostruko armirani preseci pravougaonog oblikaAko se dobije da je dodatna pritisnuta armatura Aa2 veća odzategnute armature Aa1, ali da je pri tome Aa2 ≤ 1.5Aa1,onda se presek simetrično armira sa armaturom u obe zoneAa = 0.5 (Aa1 +Aa2)

Ako je Aa2 > 1.5Aa1, presek ne može da se armira simetrično:armature se usvoji prema dobijenim vrednostima i provere senaponi u betoni i armaturi





Dvostruko armirani preseci pravougaonog oblikaAko se dobije da je zategnuta armatura Aa1 vrlo mala, ilinegativna (u slučaju kada je položaj N sile blizu granice malogekscentriciteta), presek se armira sa minimalnom zategnutomarmaturomMinimalni procenat armiranja zategnutom armaturom jeµmin = 0.4% u odnosu na površinu betonskog preseka


Documents

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 - Osnovne akademske studije ...2 Čistoisloženosavijanje Čistopravosavijanje Dvostrukoarmiranipreseci Složenosavijanje-velikiekscentricitet Stanko Brčić