METODA KONACNIH ELEMENATA - Osnovne …METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar Prof dr Stanko Brčić email: [email protected] Departman za Tehničke nauke

2D Problemi: ravno stanje napona i deformacijaLinearni pravougaoni elementiNumerička integracija u MKE

METODA KONAČNIH ELEMENATAOsnovne akademske studije, VI semestar

Prof dr Stanko Brčićemail: [email protected]

Departman za Tehničke naukeDržavni Univerzitet u Novom Pazaru

2014/15

Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata


Sadržaj

1 2D Problemi: ravno stanje napona i deformacijaTrougaoni elementi - interpolacione funkcijeTrougaoni elementi - matrica deformacijeCST elementi - matrica krutosti i vektor čvornih sila

2 Linearni pravougaoni elementiIzvođenje interpolacionih funkcijaMatrica deformacije pravougaonog elementaMatrica krutosti pravougaonog elementa

3 Numerička integracija u MKEOpšte napomene o numeričkoj integracijiNewton-Cotes-ove formuleGausova numerička integracija



Trougaoni elementi - interpolacione funkcijeTrougaoni elementi - matrica deformacijeCST elementi - matrica krutosti i vektor čvornih sila

Sadržaj







Mreža trougaonih konačnih elemenata




Linearni trougaoni konačni element




2D problemi: ravno stanje napona i deformacija

Trougaoni konačni elementiKomponentalna pomeranja unutar trougaonog elementadobijaju se, prikazano u matričnom obliku, kao

u(x, y) = N(x, y)q (1)

Uvedene su matrice i vektori

u(x, y) =

{u(x, y)v(x, y)

}qT = { u1 u2 u3 v1 v2 v3 }

(2)




2D problemi: ravno stanje napona i deformacija

Trougaoni konačni elementiMatrica interpolacionih funkcija data je sa

N(x, y) = [ N1(x, y) N2(x, y) N3(x, y) ] (3)

gde je

Ni(x, y) = Ni(x, y)I I =

[1 00 1

](i = 1, 2, 3) (4)




2D Problemi: ravno stanje napona i deformacija

Trougaoni konačni elementi - nastavak

Interpolacione funkcije Ni(x, y) dobijene su u obliku

Ni(x, y) = ai + bi x+ ci y (i = 1, 2, 3) (5)

gde je

ai =1

2A(xj yk − xk yj)

bi =1

2A(yj − yk)

ci =1

2A(xk − xj)

(6)





Trougaoni konačni elementi - nastavak

Indeks i u izrazima (6) uzima vrednosti (1,2,3), a indeksi j i kse određuju prema cikličnoj permutaciji i, j, kVeličina A u izrazima (6) je površina trougaonog elementa idobija se kao polovina determinante momentne matrice P :

A =1

2|P | = 1

2

∣∣∣∣∣∣1 x1 x2

1 x2 y2

1 x3 y3

∣∣∣∣∣∣





Trougaoni konačni elementi - funkcija oblika N1(x, y)















Trougaoni konačni elementi: površinske koordinateAlternativan i efikasan metod za određivanje interpolacionihfunkcija kod trougaonih elementata je primena tzv. površinskihkoordinataPovršinske koordinate se označavaju sa L1, L2 i L3 i njihovaprimena direktno dovodi do funkcija oblika Ni(x, y)

Posmatra se proizvoljna tačka P (x, y) unutar trougaonogkonačng elementa i trougao koji čine tačke 4(P, 2, 3)





Trougaoni konačni elementi: površinske koordinateImajući u vidu koordinate tačaka P, 2, 3, površina A1 trougla4(P, 2, 3) data je sa

A1 =1

2

∣∣∣∣∣∣1 x y1 x2 y2

1 x3 y3

∣∣∣∣∣∣ (7)

U razvijenom obliku, površina A1 jednaka je

A1 =1

2[(x2 y3 − x3 y2) + (y2 − y3)x+ (x3 − y2) y] (8)





Definicija površinskih koordinata





Trougaoni konačni elementi: površinske koordinatePovršinska koordinata L1 definiše se kao odnos površine A1 ipovršine trougaonog konačnog elementa A:

L1 =A1

A(9)

Slično, ako se posmatra trougao unutar konačnog elementakoji čine tačke P, 3, 1, površina trougla 4(P, 3, 1) jednaka je

A2 =1

2

∣∣∣∣∣∣1 x y1 x3 y3

1 x1 y1

∣∣∣∣∣∣ (10)





Trougaoni konačni elementi: površinske koordinateU razvijenom obliku, površina A2 jednaka je

A2 =1

2[(x3 y1 − x1 y3) + (y3 − y1)x+ (x1 − y3) y] (11)

Površinska koordinata L2 definiše se kao odnos površina

L2 =A2

A(12)

Slično, površinska koordinata L3 definiše se kao

L3 =A3

A(13)





Trougaoni konačni elementi: površinske koordinate

Površina A3 je površina trougla 4(P, 1, 2), data sa

A3 =1

2

∣∣∣∣∣∣1 x y1 x1 y1

1 x2 y2

∣∣∣∣∣∣ (14)

ili u razvijenom obliku

A3 =1

2[(x1 y2 − x2 y1) + (y1 − y2)x+ (x2 − y1) y] (15)





Površine za definiciju površinskih koordinata





Trougaoni konačni elementi: površinske koordinateLako može da se vidi da površinske koordinate zadovoljavajuosobinu delova jedinice, odnosno, da je za bilo koju tačkuP (x, y) unutar trougaonog konačnog elementa zbir koordinataLi jednak jedinici:

L1 + L2 + L3 = 1

Naime, ako se unesu definicije površinskih koordinata, dobija se

L1 + L2 + L3 =A1

A+A2

A+A3

A=A1 +A2 +A3

A= 1





Trougaoni konačni elementi: površinske koordinateTakođe, površinske koordinate zadovoljavaju osobinu deltafunkcijeAko se posmatra, npr. koordinata L1, i ako se tačka P (x, y)poklapa sa tačkom 2 ili sa tačkom 3, površina A1 je jednakanuli,Drugim rečima, površinska koordinata L1 jednaka je nuli za“udaljene” čvorne tačke 2 i 3Takođe, ako se tačka P (x, y) poklapa sa tačkom 1, onda jekoordinata L1, za “svoj” čvor 1, jednaka jedinici





Trougaoni konačni elementi: površinske koordinateSlično važi i za ostale dve koordinate L2 i L3: ako je tačka P uudaljenom čvoru, koordinata Li jednaka je nuli, a ako je tačkaP u svom čvoru, površinska koordinata jednaka je jediniciOve dve osobine su upravo jedne od glavnih osobina kojemoraju da zadovolje interpolacione funkcijeTakođe, ako se uporede izrazi za površinske koordinate Li urazvijenom obliku sa izrazima (5) i (6), vidi se da su izrazi isti





Trougaoni konačni elementi: površinske koordinatePrema tome, površinske koordinate Li jednake su sainterpolacionim funkcijama Ni:

L1 = N1 L2 = N2 L3 = N3

Površinske koordinate Li su alternativni prikaz, uz drugačijeizvođenje, interpolacionih funkcija Ni

Površinske koordinate Li su veoma pogodne za formiranjeinterpolacionih funkcija kod trougaonih konačnih elemenatavišeg reda (sa više čvornih tačaka i više čvornih nepoznatih)





Linije konstantne površinske koordinate L1

(a) Površina A1 je ista i za tačku P i za P ′

(b) Linije konstantne površinske koordinate L1





Linije konstantne površinske koordinate L1




Sadržaj








Trougaoni konačni elementi: površinske koordinateSa poznatim interpolacionim funkcijama prikazuje se poljepomeranja unutar konačnog elementa preko vektora čvornihnepoznatih:

u(x, y) = N(x, y) q

Takođe, polje deformacija unutar (trougaonog) konačnogelementa prikazuje se preko matrice deformacije B i vektoračvornih nepoznatih q:

ε = Lu = LNq = B q





Trougaoni konačni elementi: matrica deformacijeMatrica deformacije B data je sa proizvodom operatorskematrice L i matrice interpolacionih funkcija N : B = LN

Matrica operator L data je u obliku

L =

∂∂x 0

0 ∂∂y

∂∂y

∂∂x

dok je matrica interpolacionih funkcija data sa

N =

[N1 0 N2 0 N3 00 N1 0 N2 0 N3

]





Trougaoni konačni elementi: matrica deformacije

Interpolacione funkcije Ni date su sa (5):

Ni(x, y) = ai + bi x+ ci y

Prema tome, kako je

∂Ni

∂x= bi kao i

∂Ni

∂y= ci

to se dobija

B =

b1 0 b2 0 b3 00 c1 0 c2 0 c3

c1 b1 c2 b2 c3 b3

(16)





Trougaoni konačni elementi: matrica deformacije

Koeficijenti u izrazu (16) su konstante koje zavise odkoordinata čvornih tačakaDrugim rečima, matrica deformacije B je konstantna matricaKako je B konstantna matrica, to je onda i polje deformacijaε unutar trougaonog konačnog elementa konstantnoKako je interpolacija pomeranja unutar trougaonog elementasa 3 tačke linearna, onda su dilatacije i klizanja, kao prviizvodi, konstantniSamim tim, i polje napona σ je konstantno





Trougaoni konačni elementi: matrica deformacijeZato se trougaoni konačni element sa 3 tačke naziva i CST(constant strain ili constant stress) elementPrema tome, CST element je ograničene tačnosti uproblemima ravnog stanja napona ili deformacijaDa bi se prihvatljivo dobro reprodukovalo naponsko -deformacijsko stanje u nekoj 2D oblasti, neophodna je dovoljnogusta podela na trougaone konačne elemente, jer su u svakomelementu naponi i deformacije konstantni




Sadržaj








CST elementi - matrica krutostiKada su poznati matrica deformacije B, kao i konstitutivnamatrica D, matrica krutosti K konačnog elementa data je sa

K =

∫VBT DB dV = t

∫ABT DB dA (17)

Matrica deformacije kod CST elementa data je sa (16), dok jekonstitutivna matrica za ravno stanje napona data sa

D =E

1− ν2

1 ν 0ν 1 00 0 1−ν

2





CST elementi - matrica krutosti i vektor čvornih silaImajući u vidu da je i konstitutivna matrica D konstantna, kaoi matrica B, onda se matrica krutosti dobija u obliku

K = t ABT DB (18)

Kako je matrica B pravougaona reda 3× 6, a matrica Dkvadratna reda 3, to je matrica krutosti K CST elementakvadratna matrica reda 6, koja se dobija množenjem matrica uizrazu (18)Vektor čvornih sila dat je sa

f =

∫ANTpA dA+

∫ΓNT p̄ dΓ (19)





CST elementi - vektor čvornih silaU izrazu (19) sa pA označene su površinske sile po oblasti Atrougaonog konačnog elemena, dok su p̄ linijske sile zadate pokonturi Γ konačnog elementaVektori površinskog i konturnog opterećenja razlažu se na osex i y globalnog sistema 2D problema

pA =

{pAxpAy

}p̄ =

{p̄xp̄y

}Matrica interpolacionih funkcija N je matrica reda 2× 6, takoda vektor čvornih sila ima 6 elemnata, po dve komponente fxii fyi u svakom čvoru





CST elementi - rešenje 2D problemaKada su poznate matrice krutosti konačnih elemenata, kao ivektori čvornih sila, na standardan način vrši se “sabiranje”matrica krutosti svih elemenata (“assembly”) kojima je izvršenadiskretizacija posmatranog domenaTime se formira globalna jednačina ravnoteže za kompletanračunski domen

K q = f





CST elementi - rešenje 2D problemaU jednačinu ravnoteže unose se granični uslovi popomeranjima i rešava se dobijen sistem algebarskih jednačinaSa dobijenim rešenjem za osnovne nepoznate, za čvornapomeranja q, određuju se naponi i deformacije u svakomkonačnom elementu, prema relacijama

- polje deformacijaε = Bq

- polje naponaσ = Dε = DBq





Četvorougaoni elementi - rešenje 2D problemaPosmatra se klasičan primer analize ravnog stanja naponaData je homogena tanka ploča dimenzija 2h× 2w sacentralnim kružnim otvorom malog radijusa aPloča je opterećena jednoaksijalnim uravnoteženim naponimaσ0 = const duž dve ivice pločePotrebno je da se odredi faktor koncentracije napona kodotvora primenom MKE





Četvorougaoni elementi - faktor koncentracije napona





Četvorougaoni elementi - rešenje 2D problemaZbog dvoosne simetrije za računski domen usvojena je jednačetvrtina ploče, uz unošenje odgovarajućih graničnih uslovaFormirane su tri mreže trougaonih CST konačnih elemenatarazličite gustine

- broj emenata je 31- broj emenata je 101- broj emenata je 192

Za svaku mrežu (odn. računski model) određeno je poljenaponaNajveći napon je u čvoru na vrhu otvora





Četvorougaoni elementi - najređa mreža (31 element)





Četvorougaoni elementi - srednja mreža (101 element)





Četvorougaoni elementi - najgušća mreža (192 elementa)





Četvorougaoni elementi - rešenje 2D problemaTačno rešenje ovog problema je: faktor koncentracije naponaiznosi

Fσ =σmaxσ0

= 3.00

Za posmatrane tri mreže trougaonih CST konačnih elemenatarazličite gustine dobijeni su rezultati:

- broj elmenata: 31 . . .Fσ = 3.101 (3.37%)- broj elmenata: 101 . . .Fσ = 3.032 (1.07%)- broj elmenata: 192 . . .Fσ = 3.024 (0.80%)





Kružni otvor u uniformnom polju napona





Poređenje teoretskih i numeričkih rezultata



Izvođenje interpolacionih funkcijaMatrica deformacije pravougaonog elementaMatrica krutosti pravougaonog elementa

Sadržaj








Linearni pravougaoni elementi: funkcije oblikaLinearni trougaoni elementi su pogodni za prikazivanjenepravilne geometrije, ali je osnovni problem što prikazujukonstantno polje napona i deformacija unutar elemenataPravougaoni elementi sa 4 čvora su pogodni za pravilnedomenePravougaoni elementi u kombinaciji sa trougaonim elementimamogu da opišu domen nepravilne geomentrijePravougaoni elementi sa 4 čvora pretstavljaju osnov zadefinisanje četvorougaonih elemenata sa 4 čvora koji su još višepogodni za nepravilne domene





Linearni pravougaoni elementi: funkcije oblikaPosmatra se pravilan domen pravougaonog oblikadiskretizovan pomoću pravougaonih konačnih elemenataGlobalni koordinatni sistem takvog pravougaonog domena birase u pravcima stranica pravougaonikaOblast domena deli se na pod-domene, odn. na pravougaonekonačne elemente podelom stranica domena na usvojeni brojdelova duž svake straniceDakle, konačni elementi su pravougaonog oblika, sa stranicamakoje su paralelne sa globalnim koordinatnim osama x, y




Linearni pravougaoni konačni element

Pravougaoni domen diskretizovan sa pravougaonim elementima





Pravougaoni element sa 4 čvorne tačke u globalnim koordinatama





Linearni pravougaoni elementi: funkcije oblikaSvaki pravougaoni element ima 4 čvorne tačke, označene salokalnim brojevima 1,2,3,4, počevši od donjeg levog ugla, usmeru suprotno od kazaljke na satuDimenzije pravougaonog konačnog elementa su 2a× 2b, atreća dimenzija je jednaka t, koja može da bude 1.0m za ravnostanje deformacijaKako u svakom čvoru ima po dve nepoznate veličine, čvornapomeranja ui, vi, to je ukupan broj stepeni slobodepravougaonog elementa jednak 8





Linearni pravougaoni elementi: funkcije oblikaU 2D problemima osnovne nepoznate veličine su komponentepomeranja u(x, y) i v(x, y)

Ove nepoznate veličine prikazuju se preko čvornih nepoznatihkomponenti pomeranja ui i vi u obliku

u(x, y) = N(x, y) q

Čvorne nepoznate q ređaju se u redosledu qi = {ui, vi},(i = 1, 2, 3, 4):

qT = { q1 q2 q3 q4 }





Linearni pravougaoni elementi: funkcije oblikaodnosno, u razvijenom obliku

qT = { u1 v1 u2 v2 u3 v3 u4 v4 }

Iako je moguće da komponente pomeranja u(x, y) i v(x, y)imaju različitu interpolaciju, ipak se usvaja ista interpolacija zaobe komponente pomeranjaZato se interpolacione funkcije prikazuju u obliku

N(x, y) = [ N1 N2 N3 N3 ]





Linearni pravougaoni elementi: funkcije oblika

gde je, (i = 1, 2, 3, 4)

Ni =

[Ni 00 Ni

]Kao i u drugim problemima koji se rešavaju primenom MKE,početna analiza svodi se na tri osnovna koraka:

1 Određivanje interpolacionih funkcija, odn. matrice N zaizabrani tip konačnih elemenata

2 Formiranje matrice deformacije B = LN3 Formiranje matrice krutosti konačnog elementa prema izrazu

K =

∫V

BT DN dV






Određuju se vektori čvornih sila, a u slučaju potrebe (npr. udinamičkoj analizi), određuje se i matrica mase M konačnogelementaPosle toga, vrši se sabiranje doprinosa svakog konačnogelementa (“assembly”), formira se globalna matrica krutosti,unose se granični uslovi i rešavaju se globalne jednačineravnoteže

Kq = f

Posle toga ostaje faza određivanja svih ostalih veličina odinteresa, koje se izražavaju preko osnovnih nepoznatih(generalisanih koordinata) (“postprocessing”)





Linearni pravougaoni elementi: funkcije oblikaU slučaju ravnog stanja napona ili deformacija, te “drugeveličine od interesa” su naponi i deformacijeIz globalnog vektora čvornih pomeranja (generalisanihkoordinata) izdvajaju se, redom, dobijena čvorna pomeranja zasvaki elementSa izdvojenim dobijenim čvornim pomeranjima za svakielement, a za poznate matrice svakog konačnog elementa,određuju se naponi i deformacije unutar svakog konačnogelementa





Linearni pravougaoni elementi: funkcije oblikaPolje deformacija unutar elementa određuje se prema ralaciji

ε = B q

dok su naponi unutar svakog konačnog elementa dati sa

σ = Dε = DBq

Prikazom dobijenih napona i deofrmacija za sve konačneelemente, dobija se ukupna raspodela napona i deformacija ucelom domenu posmatranog problema





Linearni pravougaoni elementi: funkcije oblikaPosmatra se pravougaoni konačni element dimenzija 2a× 2b,debljine t, sa čvornim tačkama 1,2,3,4 (u redosledu obilaska usmeru suprotnom od kazaljke na satu)Stranice pravougaonog elementa paralelne su sa osama x, yglobalnog koordinatnog sistemaGlobalne koordinate čvornih tačaka elementa su (xi, yi)(i = 1, 2, 3, 4), pri čemu je čvor 1 u donjem levom ugluSredište pravougaonog elementa, tačka C, ima koordinate

xc =1

2(x1 + x2) yc =

1

2(y1 + y4)






Izvođenje odgovarajućih interpolacionih funkcija Ni(x, y)moglo bi da se izvrši na ranije prikazan način:

- komponentalna pomeranja u(x, y) i v(x, y) prikažu se prekoproizvoda 8 baznih funkcija (baznih polinoma) i 8 nepoznatihkonstanti αi

- unoseći u te izraze koordinate za sve 4 čvorne tačke dobija sesistem od 8 jednačina oblika d = Pα koje povezuju nepoznatekonstante αi i čvorne nepoznate d = q

- Rešavanjem jednačina dobijaju se konstante αi: α = P−1q- Sa dobijenim konstantama αi komponente pomeranja unutar

elementa konačno se izražavaju u obliku u(x, y) = N(x, y)q





Linearni pravougaoni elementi: funkcije oblikaImajući u vidu da se za obe komponente pomeranja koriste isteinterpolacione funkcije, prikazuje se samo jedna komponentapomeranja, recimo u(x, y)

Komponenta pomeranja se prikazuje kao proizvod polinoma od4 člana i četiri nepoznate konstante αiKako ne postoji kompletan polinom od 4 člana sa dvenepoznate x i y, koristi se simetričan nekompletan polinom:

u(x, y) = α0 + α1 x+ α2 y + α3 xy (20)





Paskalov trougao i kompletni polinomi stepena n






Prikazujući izraz (20) za sve 4 čvorne tačke dobija se matričnajednačina

u1

u2

u3

u4

=

1 x1 y1 x1 y1

1 x2 y2 x2 y2

1 x3 y3 x3 y3

1 x4 y4 x4 y4

α1

α2

α3

α4

ili u matričnom obliku

qu = Pα (21)

gde je P momentna matrica






Iz jednačine (21) određuju se konstante αi

α = P−1qu

Komponenta pomeranja u(x, y) prikazuje se, prema tome, uobliku

u = { 1 x y xy }

1 x1 y1 x1 y1

1 x2 y2 x2 y2

1 x3 y3 x3 y3

1 x4 y4 x4 y4

−1

u1

u2

u3

u4

(22)






Iz izraza (22) mogu, u principu, da se odrede interpolacionefunkcije Ni(x, y) kao proizvod vektora vrste sa nekompletnimbaznim funkcijama i vektorom kolonom inverzne momentnematrice:

Ni(x, y) = { 1 x y xy }P−1i

Na isti način i sa istim interpolacionim funkcijama, prikazuje seraspodela komponente pomeranja v(x, y) unutarpravougaonog elementaOdređivanje inverzne momentne matrice u opštem slučaju (uopštim brojevima) pretstavlja algebarsku komplikaciju





Linearni pravougaoni elementi: funkcije oblikaMeđutim, ponekad može da ne postoji inverzna momentnamatrica, a algebarske komplikacije su uvek prisutne u dobijanjuinverzne matrice P−1 u opštem obliku koji bi odgovarao zarazličite geometrije elemenataZbog toga se nastoji da se funkcije oblika Ni(x, y) formulišudirektnoPri tome se polazi od osnovnih osobina interpolacionihfunkcija, pre svega osobine delta funkcije, zatim osobine delovajedinice itd.






Definiše se prirodni (lokalni) koordinatni sitem ξ, η desneorjentacije, sa koordinatnim početkom u središtupravougaonika C(xc, yc)

Ose ξ i η paralelne su sa stanicama pravougaonika i koordinateξ, η definišu se sa

ξ =x− xca

η =y − ycb

(23)

Relacije (23) su jednačine transformacije koordinata izmeđulokalnog i globalnog koordinatnog sistema





Pravougaoni element: prirodni koordinatni sistem ξ, η





Pravougaoni element: prirodni koordinatni sistem ξ, η






Iz jednačina transformacije (23) dobija se relacija izmeđudiferencijala

dξ =1

adx dη =

1

bdy (24)

Koordinate ξ, η zovu se prirodne koordinate, ili serendipitycoordinatesPrirodne koordinate ξ i η kreću se u granicama od -1 do +1Pravougaoni konačni element proizvoljnih dimenzija,koordinatnom transformacijom (23) preslikava se u jediničnikvadratni element (stranice 2.0)





Linearni pravougaoni elementi: funkcije oblikaImajući u vidu osobine interpolacionih funkcija u čvornimtačkama, a praktično probanjem, odn. inspekcijom, mogu dase definišu interpolacione funkcije u prirodnim koordinatama

N1(ξ, η) =1

4(1− ξ)(1− η)

N2(ξ, η) =1

4(1 + ξ)(1− η)

N3(ξ, η) =1

4(1 + ξ)(1 + η)

N4(ξ, η) =1

4(1− ξ)(1 + η)

(25)






Lako može da se utvrdi da funkcije (25) imaju osobinu deltafunkcijeNa primer, funkcija N3(ξ, η) ima sledeće vrednosti u čvornimtačkama (i):

N3|(1) =1

4(1 + ξ)(1 + η)|ξ=−1,η=−1 = 0

N3|(2) =1

4(1 + ξ)(1 + η)|ξ=+1,η=−1 = 0

N3|(3) =1

4(1 + ξ)(1 + η)|ξ=+1,η=+1 = 1

N3|(4) =1

4(1 + ξ)(1 + η)|ξ=−1,η=+1 = 0





Linearni pravougaoni elementi: funkcije oblikaIsto može da se utvrdi i za ostale tri interpolacione funkcije:svaka ima vrednost 1 u “svom” čvoru, a vrednost nula uostalim čvorovimaTakođe se vidi da interpolacione funkcije (25) zadovoljavajuosobinu dela jedinice:

4∑i=1

Ni =1

4[(1− ξ)(1− η) + (1 + ξ)(1− η)

+ (1 + ξ)(1 + η) + (1− ξ)(1 + η)] =1

4[4] = 1





Linearni pravougaoni elementi: funkcije oblikaAko se prirodne koordinate čvora j označe sa ξj , ηj , onda seinterpolacione funkcije (25) mogu da prikažu sa (j = 1, . . . , 4):

Nj(ξ, η) =1

4(1 + ξj ξ)(1 + ηj η) (26)

Prirodne koordinate čvornih tačaka imaju vrednosti (videtisliku elementa)

i ξi ηi1 -1 -12 +1 -13 +1 +14 -1 +1




Sadržaj








Linearni pravougaoni elementi: matrica deformacijeMatrica deformacije B data je sa B = LN , pri čemu je Loperator matrica:

L =

∂∂x 0

0 ∂∂y

∂∂y

∂∂x

Interplacione funkcije Ni su funkcije prirodnih koordinata ξ, η,koje su povezane sa globalnim dekartovim koordinatama (x, y)relacijama (23)





Linearni pravougaoni elementi: matrica deformacijeImajući u vidu da su interpolacione funkcije zavisne odprirodnih koordinata ξ, η, kao i veze (23) i (24), diferenciranjeNi po dekartovim koordinatama je

∂Ni

∂x=∂Ni

∂ξ

dξ

dx+∂Ni

∂η

dη

dx=

1

a

∂Ni

∂ξ

∂Ni

∂y=∂Ni

∂ξ

dξ

dy+∂Ni

∂η

dη

dy=

1

b

∂Ni

∂η

(27)

jer je ξ = ξ(x), kao i η = η(y)





Linearni pravougaoni elementi: matrica deformacijeInterpolacione funkcije Ni mogu, kao što je navedeno, da seprikažu u obliku (26)

Ni(ξ, η) =1

4(1 + ξi ξ)(1 + ηi η) (28)

gde su ξi, ηi prirodne koordinate čvora (i)

Parcijalni izvodi interpolacionih funkcija po priridnimkoordinatama dati su sa:

∂Ni

∂ξ=

1

4(ξi + ξi ηi η)

∂Ni

∂η=

1

4(ηi + ξi ηi ξ)

(29)





Linearni pravougaoni elementi: matrica deformacijePrema tome, matrica operator L u ovom slučaju ima oblik

L =

∂∂x 0

0 ∂∂y

∂∂y

∂∂x

=

1a∂∂ξ 0

0 1b∂∂η

1b∂∂η

1a∂∂ξ

(30)

Matrica interpolacionih funkcija data je u obliku

N =

[N1 0 N2 0 N3 0 N4 00 N1 0 N2 0 N3 0 N4

](31)





Linearni pravougaoni elementi: matrica deformacijeImajući sve ovo u vidu, matrica deformacije B dobija se uobliku 4B = −1−η

a 0 1−ηa 0 1+η

a 0 −1+ηa 0

0 −1−ξb 0 −1+ξ

b 0 1+ξb 0 1−ξ

b

−1−ξb −1−η

a −1+ξb

1−ηa

1+ξb

1+ηa

1−ξb −1+η

a

(32)

Kao što može da se vidi, matrica deformacije nije konstantnaunutar pravougaonog elementa




Sadržaj








Linearni pravougaoni elementi: matrica krutostiMatrica krutosti K pravougaonog elementa data je kaointegral

K =

∫VBT DB dV (33)

gde je B matrica deformacije, dok je D konstitutivna matricaelementaIntegracija po zapremini svodi se na integraciju po površini, jerje debljina elementa konstantna i jednaka t:∫

V(· · · ) dV = t

∫A

(· · · ) dA





Linearni pravougaoni elementi: matrica krutostiKako je dA = dx dy = a b dξ dη, to se dobija∫

V(· · · ) dV = t a b

∫ +1

−1

∫ +1

−1(· · · ) dξ dη

Prema tome, matrica krutosti pravougaonog elementa sa 4čvorne tačke data je sa

K = t a b

∫ +1

−1

∫ +1

−1BT DB dξ dη (34)

pri čemu je matrica deformacije data sa (32) i zavisna je odkoordinata ξ i η unutar oblasti pravougaonog konačnogelementa





Linearni pravougaoni elementi: matrica krutostiMatrica krutosti K je simetrična kvadratna matrica reda 8U principu, moguće je da se izvrši množenje matrica BTDB,pa da se izvrši integracija dobijenog rezultata element poelementMeđutim, takav postupak analitičke integracije nije praktičan,posebno ako se ima u vidu računarska implementacijakompletne analizeNajviše se koristi numerička integracija u obliku Gausoveintegracije



Opšte napomene o numeričkoj integracijiNewton-Cotes-ove formuleGausova numerička integracija

Sadržaj







Numerička integracija u MKE

Opšte napomene o numeričkoj integracijiNumerička integracija je približno izračunavanje određenogintegrala numeričkim putemRezultat izračunavanja neodređenog integrala je funkcija, arezultat određenog integrala je brojU MKE izračunavanje raznih integrala po zapremini, površiniili duž linije konačnih elemenata sastavni je deo postupkaAnalitička integracija u najvećem broju slučajeva ne može dase izvrši, tako da je numerička integracija jedino rešenje





Opšte napomene o numeričkoj integraciji

Posmatra se (Rimanov) određen integral funkcije jednepromenljive (integral u 1D)

J =

∫ b

af(x) dx (35)

Najbolje je analitičko rešenje, ali je nekad suviše komplikovano,pa je neophodna približna numerička vrednost integrala (ali štotačnija)Vrednost integrala (35) je broj koji pretstavlja površinuograničenu sa x-osom, krivom f(x), kao i osama x = a i x = b











Određivanje površine ispod krive f(x) u granicama x = a ix = b zavisi od oblika funkcije f(x)

Osnovna mogućnost je metoda pravougaonika:

J =

∫ b

af(x) dx ≈ (b− a) · f(

a+ b

2)

To je, naravno, suviše gruba aproksimacija, pa se zato interval(b− a) podeli na n podintervala (obično na ekvidistantim ∆x,pa se za svaki interval primeni pravilo pravougaonika





Metoda pravougaonika

Podvarijante leva ili desna u zavisnosti koji deo pravougaonika sepoklapa sa f(x)






Preciznija aproksimacija površine ispod krive f(x) je metodatrapeza - trapezno pravilo numeričke integracije

J =

∫ b

af(x) dx ≈ (b− a) · f(a) + f(b)

2

Ako se interval b− a podeli na podintervale, koji ne moraju dabudu ekvidistantni: a = x0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xn = b

onda je bolja aproksimacija integrala data sa

J =

∫ b

af(x) dx ≈

n−1∑i=0

1

2(xi+1 − xi) · [f(xi+1) + f(xi)]





Trapezno pravilo - osnovna ideja





Trapezno pravilo - osnovna ideja





Opšte napomene o numeričkoj integracijiAko se interval b− a podeli na ekvidistantne podintervale

xi+1 − xi = h = const ili h =b− an

onda je trapezno pravilo numeričke integracije dato sa

J =

∫ b

af(x) dx ≈ h

[1

2f(x0) +

1

2f(xn) +

n−1∑i=1

f(xi)

]





Trapezno pravilo numeričke integracije




Sadržaj








Newton-Cotes-ove formuleAlternativa aproksimacijama površine ispod krive f(x) jeaproksimacija funkcije f(x), pa je

J =

∫ b

af(x) dx ≈

∫ b

afn(x) dx

gde je fn(x) funkcija koja je približna funkciji f(x), a koja selakše integraliTo može da bude polinom stepena n

fn(x) = a0 + a1 x+ a2 x2 + · · ·+ an x

n





Newton-Cotes-ove formuleIdeja je da se kroz n tačaka, najčešće ekvidistantnih, u kojimasu poznate vrednosti funkcije f(x) konstruiše interpolacionipolinom i da se izvrši tačna integracija polinomaKako je sa n poznatih vrednosti funkcije određen interpolacionipolinom stepena n− 1, to je greška integracije reda veličineO(hn), gde je h veličina intervala ∆x između apscisa





Newton-Cotes-ove formuleKao interpolacioni polinomi više se koriste Lagrange-oviinterpolacioni polinomi koji se određuju samo na osnovupodele apscise x na segmente ∆x

Lagranževi interpolacioni polinomi koriste se kada je poznatskup ekvidistantnih tačaka (xj , yj), gde jexj+1 − xj = h = const za svako jDakle, nije poznata sama funkcija y = y(x), već su date samovrednosti funkcije za ekvidistantne tačke na apscisiLagranžev interpolacioni polinom je polinom najnižeg stepenakoji za svaku apscisu xj ima vrednost yj





Newton-Cotes-ove formuleDat je skup od k + 1 tačke u (x, y) ravni

(x0, y0), (x1, y1), · · · , (xj , yj), · · · , (xk, yk)

pri čemu ni jedna dva broja xj nisu međusobno istaLagranžev intepolacioni polinom, koji prolazi kroz sve tačke,dat je kao linearna kombinacija ordinata yj i Lagranževihbaznih polinoma `j(x):

L(x) =

k∑j=0

yj `j(x)





Newton-Cotes-ove formuleLagranževih bazni polinomi `j(x) definišu se kao

`j(x) =∏

0≤m≤k

x− xmxj − xm

pri čemu je m 6= j, kao i 0 ≤ j ≤ kTakođe je xj − xm 6= 0, tako da su bazni polinomi uvek dobrodefinisaniU razvijenom obliku bazni Lagranžev polinom `j(x) dat je uobliku

`j(x) =(x− x0)

(xj − x0)· · · (x− xj−1)

(xj − xj−1)· (x− xj+1)

(xj − xj+1)· · · (x− xk)

(xj − xk)





Newton-Cotes-ove formuleU skupu tačaka (xj , yj) ne dozvoljava se da za isto xj postojedve vrednosti yj : vrednost y je jednoznačno definisana zasvako xMože da se utvrdi da za i 6= j bazni polinom `j(x) za x = xiima vrednost 0, a za x = xj ima vrednost jedanDrugim rečima, bazni Lagranževi polinomi imaju osobinu deltafunkcije

`j(xi) = δji =

{1 za j = i0 za j 6= i





Newton-Cotes-ove formuleNeka je L(x) Lagranžev interpolacioni polinom koji se odnosina tačke

(x0, f(x0)), (x1, f(x1)), · · · , (xn, f(xn))

Onda je∫ b

af(x)dx ≈

∫ b

aL(x)dx =

∫ b

a

[n∑i=0

f(xi) `i(x)

]dx





Newton-Cotes-ove formulešto može da se napiše kao∫ b

aL(x)dx =

n∑i=0

f(xi)

∫ b

a`i(x) dx =

n∑i=0

f(xi)wi

Prema tome, integral J može da se prikaže u obliku∫ b

af(x)dx ≈

n∑i=0

wi f(xi) (36)

dakle u obliku superpozicije vrednosti funkcije u ekvidistantnimtačkama i odgovarajućim težinskim faktorima (koeficijentima),koji su dobijeni na osnovu Lagranžovih polinoma





Newton-Cotes-ove formuleIzraz (36) pretstavlja opšti oblik familije Newton-Cotes-ovihintegracionih formulaNewton-Cotes-ove integracione formule odnose se naekvidistantnu podelu intervala integracije b− a i na tabelarnevrednosti funkcije yi = f(xi) (ne mora da bude poznata samafunkcija)Sa povećanjem stepena n povećava se tačnost integrala, ali donekog nivoaU nekim slučajevima dolazi do nestabilnosti u blizini krajaintervala za veći stepen n - Runge-ov fenomen





Newton-Cotes-ove formuleUz oznake fi = f(xi), kao i xi = a+ i(b− a)/n, gde je nstepen, varijante Newton-Cotes-ove integracje su:

1 n = 1 trapezno pravilo . . .

J =b− a

2(f0 + f1)

2 n = 2 Simpsonovo pravilo . . .

J =b− a

6(f0 + 4f1 + f2)

3 n = 3 Simpsonovo 3/8 pravilo . . .

J =b− a

8(f0 + 3f1 + 3f2 + f3)





Newton-Cotes-ova integracija




Sadržaj








Gausova numerička integracijaGausova numerička integracija izražava se slično kao iNewton-Cotes-ova, dakle u obliku superpozicije

J =

∫ +1

−1f(ξ) dξ ≈

n∑i=1

Hi f(ξi) (37)

U izrazu (37) sa Hi označeni su težinski koeficijenti, dok suf(ξi) vrednosti funkcije koja se integrali na lokacijama xi, odn.u Gausovim tačkamaSlično kao i kog Newton-Cotes-ove numeričke integracije,težinski koeficijenti su određeni na osnovu interpolacionihpolinoma





Gausova numerička integracijaU integraciji Newton-Cotes-a vrednosti funkcije koja seintegrali definisane su u ekvidistantnim tačkamaKod Gauss-ove integracije vrednosti funkcije ne određuju se upredefinisanim ekvidistantnim lokacijamaNaprotiv, položaji tačaka u superpoziciji (37) određuju se izuslova najveće tečnosti rezultata (određenog integrala)U izrazu (37) takođe se podrazumeva interpolacioni polinomkao i kod Newton-Cotes-aZa n tačaka u zbiru (37) postoji 2n nepoznatih: Hi i ξi i možeda se konstruiše polinom stepena 2n− 1 i da se tačno integraliPrema tome, greška integracije je reda veličine O(h2n)





Gausova numerička integracijaOdgovarajuće simultane jednačine u određivanju optimalnihvrednosti za Hi i ξi su komplikovane i teške za rešavanjeMože da se pokaže da se dobij tačno rešenje kada suinterpolacioni polinomi dati u vidu Legendre-ovih polinomaLegendre-ovi polinomi (Legendre-ove funkcije) su rešenjadiferencijalne jednačine

d

dx

[(1− x2)

d

dxPn(x)

]+ n(n+ 1)Pn(x) = 0





Gausova numerička integracijaLegendre-ovi polinomi mogu da se prikažu kao

Pn(x) =1

2nn!

dn

dxn[(x2 − 1)n

]ili u rekurzivnom obliku

P (0, x) = 1

P (1, x) = x

P (n, x) =2n− 1

n· x · P (n− 1, x)− n− 1

n· P (n− 2, x)





Gausova numerička integracijaPrvih nekoliko Legendre-ovih polinoma su

P (0, x) = 1

P (1, x) = x

P (2, x) =1

2(3x2 − 1)

P (3, x) =1

2(5x3 − 3x)

P (4, x) =1

8(35x4 − 30x+ 3)

P (5, x) =1

8(63x5 − 70x3 + 15x)





Gausova numerička integracijaDakle, na osnovu komplikovane analize Gausova numeričkaintegracija, koja se zove i Gauss-Legendre-ova integracija, zaodređen integral funkcije jedne promenljive, data je u obliku

J =

∫ +1

−1f(ξ) dξ ≈

n∑i=1

Hi f(ξi) (38)

Težinski faktori Wi i apscise ξi daju se u literaturi





Gauss-Legendre-ova integracija











Integracija u 4 Gauss-ove tačke, sa tačnom integracijom polinoma 7stepena (tačnost O(h8))










Gausova numerička integracija - 2D domenNumerička integracija u 2D domenu data je sa

J =

∫ +1

−1

∫ +1

−1f(ξ, η) dξ dη

Ako se smatra da je koordinata η konstantna, η = const, ondase dobija

J =

∫ +1

−1f(ξ, η) dξ =

n∑j=1

Hj f(ξj , η) = f∗(η)





Gausova numerička integracija - 2D domenOvo je sad funkcija jedne promenljive, pa je

J =

∫ +1

−1f∗(η) dη =

n∑i=1

Hif∗(ηi)

Unoseći izraz za pomoćnu funkciju f∗(ηi) dobija se

J =

n∑i=1

Hi

n∑j=1

Hj f(ξj , ηi)





Gausova numerička integracija - 2D domenDrugim rečima, određeni integral po površini, recimo,pravougaonog konačnog elementa, dobija se u obliku dvostrukesume

J =

∫ +1

−1

∫ +1

−1f(ξ, η) dξ dη =

n∑i=1

n∑j=1

HiHj f(ξj , ηi) (39)

Težinski faktori i apscise za oba pravca ξ i η isti su kao i zajednodimenzionalnu integracijuGausova numerička integracija je najtačnija i ona se isključivoprimenjuje u MKE





Gauss-Legendre-ova integracija - 2D domen

Integracija u 3 Gauss-ove tačke za svaki pravac, dakle integracija u9 Gausovih tačaka





Gauss-Legendre-ova integracija - 2D domen

Integracija u 1,2 i 3 Gauss-ove tačke za svaki pravac pravougaonogkonačnog elementa


Documents

METODA KONACNIH ELEMENATA - Osnovne …METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar Prof dr Stanko Brčić email: [email protected] Departman za Tehničke nauke