TEHNICKA MEHANIKA 2 - grf.bg.ac.rs · PDF fileKinematika sistema materijalnih ta£aka Virtuelna pomeranja TEHNI KA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Prof. dr Stanko

Kinematika sistema materijalnih ta£akaVirtuelna pomeranja

TEHNI�KA MEHANIKA 2

Osnovne akademske studije, III semestar

Prof. dr Stanko Br£i¢Prof. dr Rastislav Mandi¢Doc. dr Stanko �ori¢

email: [email protected]

Gra�evinski fakultetUniverzitet u Beogradu

�k. god. 2017/18

S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2


Sadrºaj

1 Kinematika sistema materijalnih ta£akaVeze i broj stepeni slobode kretanjaGeneralisane koordinateBrzina i ubrzanje

2 Virtuelna pomeranjaDe�nicija virtuelnih pomeranjaPrimeri virtuelnih pomeranjaKomutativnost operatora diferenciranja i variranja



Veze i broj stepeni slobode kretanjaGeneralisane koordinateBrzina i ubrzanje

Sadrºaj






Kinematika sistema materijalnih ta£aka

Sistem materijalnih ta£aka i veze

Sistem materijalnih ta£aka je skup mat. ta£aka £iji su poloºajii/ili brzine u me�usobnim zavisnostima, odn. to je skup mat.ta£aka £ije se kretanje nalazi u me�usobnoj zavisnosti

Zavisnost izme�u pojedinih ta£aka sistema se ostvarujeprisustvom veza

Veze su uticaji drugih tela na posmatrani sistem

Veze izme�u mat. ta£aka mogu da se izraºavaju jedna£inamaili nejedna£inama




Dvostrane i jednostrane veze





Sistem materijalnih ta£aka i veze

Dve ta£ke vezane krutim ²tapom duºine `

Jedna£ina veze je data sa

d = PQ = |~rQ − ~rP | = `

Dve ta£ke vezane nerastegljivim uºetom duºine `

Jedna£ina veze je data sa

d = PQ = |~rQ − ~rP | ≤ `

U prvom slu£aju je veza zadrºavaju¢a (obostrana)

U drugom slu£aju je veza nezadrºavaju¢a (jednostrana)





Klasi�kacija veza

Jedna£ine veza su neke zavisnosti izme�u vektora poloºaja i/ilibrzina fν(~rk, ~vk, t), (ν = 1, 2, . . . r, k = 1, 2, . . . N)

Sa stanovi²ta izraºavanja, jedna£ine / nejedna£ine:- Zadrºavaju¢e (obostrane) . . . fν(~rk, ~vk, t) = 0- Nezadrºavaju¢e (jednostrane) . . . fν(~ri, ~vi, t) ≥ 0

Sa stanovi²ta zavisnosti od vremena t:- Stacionarne (skleronomne) . . . fν(~rk, ~vk) ≥ 0- Nestacionarne (reonomne) . . . fν(~rk, ~vk, t) ≥ 0

Sa stanovi²ta zavisnosti od brzine:- Pozicione (holonomne) . . . fν(~rk, t) ≥ 0- Kinemati£ke (neholonomne) . . . fν(~rk, ~vk, t) ≥ 0




Primer tipova veza




Sadrºaj







Broj stepeni slobode kretanja i generalisane koordinate

Broj stepeni slobode kretanja n je broj me�usobno nezavisnihskalarnih parametara pomo¢u kojih se jednozna£no odre�ujekon�guracija sistema. Ti skalarni parametri su generalisanekoordinate qi, (i = 1, 2, . . . , n)

Posmatra se sistem od N materijalnih ta£akaP1, P2, . . . , Pk, . . . , PN

Vektori poloºaja tih ta£aka su ~r1, ~r2, . . . , ~rNSistem je pod uticajem r holonomnih veza




Sistem materijalnih ta£aka






Jedna£ine veza su holonomne, nestacionarne, dvostrane:

fν(~r1, ~r2, . . . , ~rN , t) = 0 (ν = 1, 2, . . . , , r)

Broj stepeni slobode kretanja je (sistem se kre¢e u 3Dprostoru)

n = 3N − r

Ako, osim r holonomnih veza, postoji i r1 neholonomnih veza,onda je broj stepeni slobode

n = 3N − (r + r1)






Odgovaraju¢e generalisane koordinate su

q1, q2, . . . , qn

Vektor poloºaja svake ta£ke, za sistem sa nestacionarnimvezama, je dat sa

~rk = ~rk(q1, q2, . . . , qn, t)

ili, za sistem sa stacionarnim vezama:

~rk = ~rk(q1, q2, . . . , qn)

Vektori poloºaja ~rk se odnose na inercijalan koordinatni sistemOxyz






Kona£ne jedna£ine kretanja sistema su date sa

qi = qi(t) (i = 1, 2, . . . , n)

Prema tome, vektori poloºaja su sloºene funkcije vremena,direktno (za nestacionarne veze), kao i preko generalisanihkoordinata:

~rk = ~rk(q1, q2, . . . , qn, t) = ~rk(t)

~rk = ~rk(q1, q2, . . . , qn) = ~rk(t)




Broj stepeni slobode kretanja i generalisanekoordinate




Sadrºaj







Izrazi za brzinu i ubrzanje

Vektor poloºaja bilo koje ta£ke Pk sistema sa nestacionarnimvezama (u sistemu Oxyz) je:

~rk = ~rk(q1, q2, . . . , qn, t) = ~rk(t)

Vektor brzine ta£ke Pk se dobija diferenciranjem

~vk =d~rkdt

=∂~rk∂q1

q̇1 +∂~rk∂q2

q̇2 + · · ·+∂~rk∂qn

q̇n +∂~rk∂t

ili, napisano skra¢eno,

~vk =

n∑i=1

∂~rk∂qi

q̇i +∂~rk∂t

(k = 1, 2, . . . , N) (1)






Izvodi generalisanih koordinata qi = qi(t) po vremenu, dakleq̇i, se zovu generalisane brzine

Iz izraza za brzinu (1)

~vk =

n∑i=1

∂~rk∂qi

q̇i +∂~rk∂t

direktno sledi relacija

∂~vk∂q̇i

=∂~rk∂qi

(2)






Drugim re£ima, parcijalni izvodi vektora brzine po nekojgeneralisanoj brzini jednak je parcijalnom izvodu vektorapoloºaja po toj generalisanoj koordinati

Relacija (2) ¢e da se koristi u nekom kasnijem izvo�enju (sadaje usputna napomena)

Vektor ubrzanja ta£ke Pk se dobija diferenciranjem vektorabrzine:

~ak =d~vkdt

=d

dt

(n∑i=1

∂~rk∂qi

q̇i +∂~rk∂t

)(3)






Kako je~rk = ~rk(q1, q2, . . . , qn, t)

to se dobija

d

dt

(∂~rk∂qi

)=

n∑j=1

∂2~rk∂qi∂qj

q̇j +∂2~rk∂qi∂t

d

dt

(∂~rk∂t

)=

n∑j=1

∂2~rk∂qi∂t

q̇i +∂2~rk∂t2






Diferenciranjem izraza (3) se dobija

~ak =

n∑i=1

n∑j=1

∂2~rk∂qi∂qj

q̇j +∂2~rk∂qi∂t

q̇i +

n∑i=1

∂~rk∂qi

q̈i

+

n∑i=1

∂2~rk∂qi∂t

q̇i +∂2~rk∂t2






Sre�ivanjem se dobija vektor ubrzanja ta£ke Pk u okvirusistema materijalnih ta£aka sa nestacionarnim vezama:

~ak =

n∑i=1

n∑j=1

∂2~rk∂qi∂qj

q̇j q̇i

+ 2∂2~rk∂qi∂t

q̇i

+

n∑i=1

∂~rk∂qi

q̈i +∂2~rk∂t2

(4)

gde su q̈i generalisana ubrzanja






Za sistem materijalnih ta£aka sa stacionarnim vezama, vektoribrzine i ubrzanja ta£ke Pk, dati sa (1) i sa (4), postaju:

~vk =

n∑i=1

∂~rk∂qi

q̇i

~ak =

n∑i=1

∂~rk∂qi

q̈i +

n∑i=1

n∑j=1

∂2~rk∂qi∂qj

q̇j q̇i

(5)



De�nicija virtuelnih pomeranjaPrimeri virtuelnih pomeranjaKomutativnost operatora diferenciranja i variranja

Sadrºaj






Virtuelna pomeranja

De�nicija virtuelnih pomeranja

Virtuelna pomeranja su proizvoljna beskona£no mala pomeranjakoja su u skladu sa vezama

Tri atributa virtuelnih pomeranja:- Proizvoljna pomeranja (nisu u vezi sa silama koje deluju)- Beskona£no mala pomeranja- U skladu sa vezama (geometrijski mogu¢a)

Virtuelna pomeranja se ne odvijaju sa protokom vremena -IZOHRONA pomeranja (vreme se ne menja)




Virtuelna pomeranja


Generalisane koordinate qi u funkciji vremena u potpunostiodre�uju kon�guraciju, odn. kretanje posmatranog sistema

qi = qi(t) ⇒ ~rk = ~rk(q1, q2, . . . , qn, t)

Posmatra se proizvoljan trenutak vremena t i ∞ blizak narednitrenutak t+ dt

Generalisane koordinate u intervalu dt dobijaju prira²taje

dqi = q̇i dt (i = 1, 2, . . . , n)




Virtuelna pomeranja


Vektori poloºaja svake ta£ke dobijaju odgovaraju¢e prira²taje uintervalu dt (elementarna pomeranja):

d~rk =

n∑i=1

∂~rk∂qi

dqi +∂~rk∂t

dt

Ova elementarna pomeranja su rezultat delovanja sila iprisustva veza koje uslovljavaju na£in kretanja sistema




Virtuelna pomeranja


Virtuelna pomeranja su bilo koja ∞ mala pomeranja koja sugeometrijski mogu¢a, a nisu vezana za sile koje deluju, niti zapo£etne uslove kretanja

Da bi odredili ∞ mala pomeranja koja su u skladu sa vezama,saop²tavamo generalisanim koordinatama PROIZVOLJNE ∞MALE PRIRA�TAJE

Proizvoljni ∞ mali prira²taji generalisanih koordinata qi senazivaju varijacije generalisanih koordinata: δqi




Virtuelna pomeranja


Varijacijama generalisanih koordinata odgovaraju ∞ malavirtuelna pomeranja materijalnih ta£aka sistema

δ~rk =

n∑i=1

∂~rk∂qi

δqi

Ova virtuelna pomeranja sistema NE ODVIJAJU SE tokomvremena (δt ≡ 0) i NISU rezultat delovanja sila

Virtuelna pomeranja su samo geometrijski mogu¢a (u skladusu sa prisustvom veza)




Sadrºaj






Primeri virtuelnih pomeranja - slobodnamaterijalna ta£ka




Primeri virtuelnih pomeranja - ta£ka na povr²i




Virtuelna pomeranja

Primeri virtuelnih pomeranja: ta£ka na povr²i

Posmatra se kretanje slobodne materijalne ta£ke po povr²ikoja je data sa jedna£inom z = f(x, y)

Koordinate vektora poloºaja ta£ke ~r = {x, y, z} moraju dazadovolje jedna£inu povr²i, tako da je n = 2

Vektor virtuelnog pomeranja ta£ke je dat sa

δ~r = {δx, δy, δz} = δx~ı+ δy~+ δz~k

Varijacije koordinata δx, δy, δz nisu me�usobno nezavisne ∞male veli£ine, jer ta£ka i posle virtuelnog pomeranja mora dabude na povr²i




Virtuelna pomeranja

Primeri virtuelnih pomeranja: ta£ka na povr²i

Varijacije koordinata ta£ke moraju da budu u skladu savezama, odn. da zadovolje jedna£inu veze (jedna£inu povr²i):

z = f(x, y) ⇒ δz =∂f

∂xδx+

∂f

∂yδy

Prema tome, vektor virtuelnog pomeranja ta£ke na povr²i jedat sa

δ~r = (~ı+∂f

∂x~k) δx+ (~+

∂f

∂y~k) δy

Virtuelno pomeranje ta£ke na povr²i se izraºava preko DVEme�usobno nezavisne varijacije koordinata (jer je n = 2)




Primeri virtuelnih pomeranja- sistem materijalnihta£aka




Virtuelna pomeranja

Primeri virtuelnih pomeranja: sistem materijalnih ta£aka

Vektor poloºaja proizvoljne ta£ke u sklopu sistema mat.ta£aka (sa holonomnim nestacionarnim vezama) je dat sa

~rk = ~rk(q1, q2, . . . , qn, t) (k = 1, 2, . . . , N)

Generalisane koordinate dobiju proizvolje varijacije δqi a vektorpoloºaja svake ta£ke odgovaraju¢e virtuelno pomeranje:

δ~rk =

n∑i=1

∂~rk∂qi

δqi




Virtuelna pomeranja

Primeri virtuelnih pomeranja: slobodno kruto telo

Posmatra se slobodno kruto telo koje vr²i op²te kretanje

Vektor poloºaja proizvoljne ta£ke tela je dat sa

~r = ~rA + ~ρ

Elementarno pomeranje proizvoljne ta£ke tela je dato sa

d~r = d~rA + d~ρ = d~rA + �~θ × ~ρ

Virtuelno pomeranje proizvoljne ta£ke tela (varijacija vektorapoloºaja) je data sa

δ~r = δ~rA + δ~ρ




Virtuelna pomeranja


Jedina veza kod slobodnog krutog tela je uslovnepromenljivosti rastojanja izme�u bilo koje dve ta£ke

Prema tome, vektor δ~ρ ne moºe da menja duºinu vektora ~ρ,jer je telo kruto

U analogiji sa stvarnim elementarnim pomeranjem u skladu saRodrigovim obrascem (rotacija oko trenutne ose kroz ta£ku A)

d~ρ = �~θ × ~ρ

gde je zadovoljena relacija krutog tela, virtuelna rotacija okoreferente ta£ke se prikazuje u obliku

δ~ρ = δ~θ × ~ρ




Primeri virtuelnih pomeranja - slobodno kruto telo








Virtuelna pomeranja


U relaciji δ~ρ = δ~θ × ~ρ varijacija vektora poloºaja δ~ρ je upravnana vektor poloºaja ~ρ: δ~ρ⊥~ρ, ²to zna£i da se ne menjaprvobitna duºina vektora ~ρ

Kao ²to je �~θ vektor elementarne rotacije tela, tako je δ~θvektor virtuelne rotacije tela

Trenutna osa rotacije je osa kroz ta£ku A koja je u skladu sajedna£inama kretanja tela (u skladu sa stvarnim kretanjemtela) sa n = 6:

xA(t), yA(t), zA(t), ψ(t), ϑ(t), ϕ(t)




Virtuelna pomeranja


Koordinate vektora elementarne rotacije se izraºavaju prekoOjlerovih uglova

Osa virtuelne rotacije je proizvoljna osa kroz referentnu ta£ku

Ukupno virtuelno pomeranje ta£ke tela je dato u oblikuvirtuelnog pomeranja referentne ta£ke A i virtuelne rotacijeoko proizvoljne ose kroz ta£ku A:

δ~r = δ~rA + δ~θ × ~ρ








Virtuelna pomeranja


Vektor virtuelnog pomeranja referentne ta£ke A δ~rA je dat sa

δ~rA = {δxA, δyA, δzA}

i posledica je varijacije koordinata vektora poloºaja referentneta£ke

Vektor virtuelne rotacije tela δ~θ je dat sa

δ~θ = {δθx, δθy, δθz} ili δ~θ = {δθξ, δθη, δθζ}

Koordinate vektora δ~θ se izraºavaju preko Ojlerovih uglova ivarijacije Ojlerovih uglova (analogno kao i vektor �~θ)




Virtuelna pomeranja

Veza izme�u Ojlerovih uglova i vektora δ~θ

Koordinate vektora virtuelne rotacije u sistemu xyz su date sa

δθx = δϑ cosψ + δϕ sinψ sinϑ

δθy = δϑ sinψ − δϕ cosψ sinϑ

δθz = δψ + dϕ cosϑ

(6)

Na sli£an na£in, vektor virtuelne rotacije moºe da se prikaºe usistemu materijalnih osa ξηζ kao:

δθξ = δψ sinϕ sinϑ+ δϑ cosϕ

δθη = δψ cosϕ sinϑ− δϑ sinϕδθζ = δψ cosϑ+ δϕ

(7)




Zadatak




Zadatak




Sadrºaj






Virtuelna pomeranja

Komutativnost operatora diferenciranja i variranja

Posmatra se sistem materijalnih ta£aka i jedna od ta£aka PkPosmatra se stvarna putanja ta£ke Pk (koja je jedinstvena irezultat je delovanja sila, prisutnih veza i po£etnih uslovakretanja)

Posmatra se jedna od mogu¢ih putanja ta£ke Pk (koja nijejedinstvena - ima ih ∞ mnogo)

Virtuelna (mogu¢a) putanja je geometrijsko mesto ta£aka kojepretstavljaju virtuelne poloºaje ta£ke u razli£itim trenucimavremena

U trenutku t ta£ka se nalazi u stvarnom poloºaju Pk, savektorom poloºaja ~rk




Virtuelna pomeranja


Virtuelno pomeranje u tom trenutku je δ~rk i odgovaraju¢imogu¢i poloºaj ta£ke je P ∗k , sa vektorom poloºaja ~rk + δ~rk

U trenutku t+ dt ta£ka se nalazi u ∞ bliskom stvarnompoloºaju P ′k, sa vektorom poloºaja ~rk + d~rk

Virtuelno pomeranje u tom trenutku, iz poloºaja P ′k, jeδ(~rk + d~rk) i odgovaraju¢i mogu¢i poloºaj ta£ke je P ∗′kStvarno elementarno pomeranje ta£ke (duº stavne putanje) jed~rk

Mogu¢e virtuelno pomeranje ta£ke duº mogu¢e putanje(prira²taj vektora poloºaja duº mogu¢e putanje) je d(~rk + δ~rk)








Virtuelna pomeranja


Sa slike je o£igledna relacija da se vektor u smeru dijagonale£etvorougla (ili dva povezana trougla) moºe da prikaºe kaovektorski zbir dva vektora de�nisanih nad jednim ili drugimskupom vektora odre�enih sa stranicama £etvorougla (ili dvatrougla sa zajedni£kom stranicom)

Prema tome, vaºi relacija

d~rk + δ(~rk + d~rk) = δ~rk + d(~rk + δ~rk)

Razvijanjem izraza se dobija

d~rk + δ~rk + δ(d~rk) = δ~rk + d~rk + d(δ~rk)




Virtuelna pomeranja


Posle skra¢ivanja se dobija

δ(d~rk) = d(δ~rk) (8)

Relacija (8) pretstavlja komutativnost operatora diferenciranjai variranja

Ako se relacija (8) podeli sa diferencijalom vremena dt

δ(d~rk) = d(δ~rk) / : dt

dobija se

δ(d~rkdt

) =d

dt(δ~rk) odn. δ(~vk) =

d

dt(δ~rk) (9)




Virtuelna pomeranja


Relacija (9) zna£i da je varijacija vektora brzine jednaka izvodupo vremenu varijacije vektora poloºaja

Prema tome, za sistem materijalnih ta£ka vaºi:

δ(d~rk) = d(δ~rk)

δ(~vk) =d

dt(δ~rk)

Relacije (8) i (9) se koriste u kasnijim izvo�enjima


Documents

TEHNICKA MEHANIKA 2 - grf.bg.ac.rs · PDF fileKinematika sistema materijalnih ta£aka Virtuelna pomeranja TEHNI KA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Prof. dr Stanko