METODA KONACNIH ELEMENATA - np.ac.rs · PDF fileMKE - gredni konačni elementi METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar Prof dr Stanko Brčić

MKE - gredni konačni elementi

METODA KONAČNIH ELEMENATAOsnovne akademske studije, VI semestar

Prof dr Stanko Brčićemail: [email protected]

Departman za Tehničke naukeDržavni Univerzitet u Novom Pazaru

2014/15

Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata


Sadržaj

1 MKE - gredni konačni elementiOpšte napomene o MKEGredni elementi - opisivanje pomeranjaGredni elementi - matrica krutosti


MKE - gredni konačni elementiOpšte napomene o MKEGredni elementi - opisivanje pomeranjaGredni elementi - matrica krutosti

Sadržaj




Metoda konačnih elemenata

MKE - uvodne napomene

Metoda konačnih elemenata (MKE) ili The Finite ElementMethod (FEM) je numerički postupak za približno rešavanjegraničnih i početnih problema, odn. običnih ili parcijalnihdiferencijalnih jednačina sa datim graničnim i početnimuslovima

Granični problem (Boundary value problem, Field problem)određen je sa parcijalnom diferencijalnom jednačinomdefinisanom unutar nekog domena V ili Ω i sa odgovarajućimgraničnim uslovima na konturi Γ . . . statički problem




MKE - uvodne napomeneDomen definisanosti problema, odnosno nepoznate veličine,može da bude linijski (1D), površinski (2D) ili prostorni (3D)Odgovarajuće koordinate koje definišu domen su nezavisnopromenljive veličine (koordinate), dok je tražena veličinanepoznata funkcija koordinataAko je domen problema linijski (1D), granični problem jedefinisan sa običnom diferencijalnom jednačinomU slučaju kada je domen 2D ili 3D, problem je definisan saparcijalnom diferencijalnom jednačinomRešenje graničnog problema je poznata raspodela traženeveličine unutar posmatranog domena





Početni problem (Initial value problem) određen je saparcijalnom diferencijalnom jednačinom definisanom unutarnekog prostornog domena V ili Ω, kao i u vremenskomdomenu t > 0 . . . dinamički problemU slučaju problema početnih vrednosti, osim graničnih uslovana konturi Γ domena, neophodni su i odgovarajući početniuslovi u početnom trenutku t = t0

Početni uslovi pretstavljaju poznate vrednosti funkcijeproblema i njenih izvoda po vremenu, u svim tačkama domenadefinisanosti, uključjujući i granicu, u početnom trenutkuvremena t = t0





Suština MKE je diskretizacija (podela) posmatranog domenana izabrane pod-domene, odn. na konačne elemente,usvojenog oblika, pri čemu su ti pod-domeni konačnihdimenzija i sa izabranim čvornim tačkama na granici, amoguće i u unutrašnjosti konačnog elementaKonačni elementi su jednostavnih oblika: linijski segmenti,trouglovi, četvorougli, paralelopipedi i sl.Cilj je da se stvarni fizički domen problema izabranimkonačnim elementima što bolje prikaže u računskom domenuprikazanom preko usvojene mreže konačnih elemenataCilj je da se postigne što bolje poklapanje fizičkog i računskogdomena




MKE - uvodne napomenePojedinačni konačni elementi mogu da se shvate kao malidelovi posmatranog domena i u pitanju su mali konačni delovi,a ne infinitezimalni (beskonačno mali) deloviKonačni elementi su međusobno povezani samo u čvornimtačkamaNepoznata veličina unutar konačnog elementa izražava se kaolinearna kombinacija poznatih funkcija raspodele unutarelementa i nepoznatih vrednosti funkcije u čvornim tačkamakonačnog elementaČesto se za nepoznate vrednosti u čvornim tačkama konačnihelemenata, osim glavne nepoznate veličine, biraju još i prviizvodi nepoznate po koordinatama koje definišu domen




MKE - uvodne napomeneKoristeći Galerkinovu metodu težinskih ostataka, ili nekivarijacioni princip Mehanike, osnovne diferencijalne jednačineproblema transformišu se u integralne jednačine pojedinačnihkonačnih elemenataSabiranjem doprinosa svih konačnih elemenata formira seglobalni sistem algebarskih jednačina koji definše posmatrani(statički) problemU slučaju dinamičkog problema osnovne nepoznate učvorovima (generalisane koordinate) su funkcije vremena, takoda se dolazi do sistema običnih diferencijalnih jednačina povremenu



Sadržaj





Linearna teorija savijanja štapaKoriste se uobičajene pretpostavke linearne teorije savijanjaštapa u ravni




Linearna teorija savijanja štapaPosmatra se savijeni element štapa dužine dx u osi, saradijusom krivine ρ i centralnim uglom dθ

Dužina proizvoljnog vlakna tog elementa na rastojanju y odose štapa (za koju je y = 0) je

ds = (ρ− y) dθ

Dilatacija vlakna (usled savijanja) na rastojanju y od neutralneose y = 0 iznosi

εx =ds− dxdx

=(ρ− y)dθ − ρdθ

ρ dθ= −y

ρ




Linearna teorija savijanja štapa

Ako je v(x) ugib ose štapa, poluprečnik krivine ρ dat je sa

ρ =(1 + v′2)3/2

v′′≈ 1

v′′

Dilatacija proizvoljnog vlakna data je, prema tome, sa

εx = −y v′′

dok je odgovarajući normalni napon dat sa

σx = E εx = −E y v′′




Linearna teorija savijanja štapa

Momenat savijanja M(x) dat je prema relaciji

M(x) = −∫yσx dA = Ev′′

∫y2dA = E Jz v

′′

Normalni napon σx može da se, prema tome, prikaže kao

σx = −M(x)

Jzy

Imajući u vidu inženjersku konvenciju o pozitivnom znakuM(x) (zatezanje donjeg vlakna), kao i da je y osa usmerenana gore, znak normalnog napona σx (zatezanje/pritisak)odgovara znaku koordinate y posmatranog vlakna u preseku




Konačni element štapa u ravni: čvorne nepoznateKonačni element štapa u ravni, dužine ` i koji je izložen samosavijanju, bez normalnih sila, ima dve čvorne tačke na svojimkrajevimaČvorne nepoznate su pomeranje i obrtanje u svakom čvoru:v1, θ1, v2, θ2




Konačni element štapa u ravni: pomeranja

Pomeranje proizvoljne tačke ose konačnog elementa v(x)izražava se interpolacijom preko čvornih nepoznatih i položajapreseka x unutar posmatranog konačnog elementa:

v = v(v1, θ1, v2, θ2, x)

Pri tome moraju da budu zadovoljeni sledeći granični uslovi:

v(x)|x=0 = v1 v′(x)|x=0 = θ1

v(x)|x=` = v2 v′(x)|x=` = θ2




Konačni element štapa u ravni: pomeranjaImajući u vidu četiri granična uslova, pomeranje proizvoljnetačke ose konačnog elementa pretpostavlja se u obliku kubnogpolinoma:

v(x) = a0 + a1x+ a2x2 + a3x

3 (1)

gde su ai (i = 0, . . . , 3) konstante koje treba da se odrede izgraničnih uslovaPrvi izvod pretpostavljenog pomeranja dat je sa

v′(x) = a1 + 2 a2 x+ 3 a3 x2




Konačni element štapa u ravni: pomeranjaUnoseći pretpostavljeno prikazivanje pomeranja unutarkonačnog elementa u granične uslove, dobija se

v(x = 0) = v1 = a0

v′(x = 0) = θ1 = a1

v(x = `) = v2 = a0 + a1`+ a2`2 + a3`

3

v′(x = `) = θ2 = a1 + 2 a2 `+ 3 a3 `2




Konačni element štapa u ravni: pomeranjaRešavanjem jednačina po nepoznatim koeficijentima ai dobijase rešenje:

a0 = v1

a1 = θ1

a2 =3

`2(v2 − v1)−

1

`(2θ1 + θ2)

a3 =2

`3(v1 − v2) +

1

`2(θ1 + θ2)




Konačni element štapa u ravni: pomeranjaUnoseći dobijene konstante ai u pretpostavljeni oblikpomeranja (1), dobija se

v(x) =

(1− 3x2

`2+

2x3

`3

)v1 +

(x− 2x2

`+x3

`2

)θ1

+

(3x2

`2− 2x3

`3

)v2 +

(x3

`2− x2

`

)θ2

(2)

Dobijeno rešenje može da se prikaže u obliku

v(x) = N1(x) v1 +N2(x) θ1 +N3(x) v2 +N4(x) θ2 (3)





Pomeranje unutar konačnog elementa (3) može da se napiše iu matričnom obliku kao

v(x) =[N1(x) N2(x) N3(x) N4(x)

]v1θ1v2θ2

(4)

Funkcije Ni(x), prikazane izrazom (2), zovu se interpolacionefunkcije ili funkcije oblika ili bazne funkcije



Funkcije oblika za gredni element sa 4 dof





Relacija (4) može da se prikaže u skraćenom matričnom oblikukao

v(x) = N(x)u (5)

gde je N matrica funkcija oblika (u ovom slučaju matricavrsta)

N(x) =[N1(x) N2(x) N3(x) N4(x)

]dok je u vektor čvornih nepoznatih

uT =v1 θ1 v2 θ2




Konačni element štapa u ravni: pomeranjaPogodno je da se uvede bezdimenzionalna koordinata ξ:

ξ =x

`0 ≤ ξ ≤ 1 (6)

Sa ovim, pomeranje duž konačnog elementa može da seprikaže u obliku

v(x) = (1− 3ξ2 + 2ξ3) v1 + `ξ(1− 2ξ + ξ2) θ1

+ (3ξ2 − 2ξ3) v2 + `ξ2(ξ − 1) θ2(7)



Sadržaj





Konačni element štapa u ravni: matrica krutostiMatrica krutosti grednog konačnog elementa, kao i matricakrutosti štapa, povezuje čvorna pomeranja sa čvornim silama

R = Ku

Matrica krutosti za slučaj savijanja Ks može da se izvede nabazi fizičkog značenja elemenata matrice krutosti:

Koeficijent matrice krutosti kij pretstavlja čvornu silu Ri

obostrano uklještenog štapa usled jediničnog čvornogpomeranja qj = 1, pri čemu su sva ostala pomeranjaqi = 0 jednaka nuli, i 6= j




Konačni element štapa u ravni: matrica krutostiMatrica krutosti konačnog elementa može da se izvede, naprimer, na osnovu primene Prve Castigliano-ve teoreme:

Za elastičan sistem u ravnoteži, parcijalan izvod ukupnepotencijalne energije deformacije po generalisanompomeranju, jednak je generalisanoj sili koja odgovara tomgeneralisanom pomeranju:

∂Ue

∂ui= Ri (8)




Konačni element štapa u ravni: matrica krutostiPotencijalna energija deformacije data je sa:

Ue =1

2

∫Vσx εx dV (9)

odnosno, u slučaju savijanja konačnog elementa,

Ue =1

2EJz

∫ `

0(v′′)2 dx (10)




Konačni element štapa u ravni: matrica krutostiPomeranja konačnog elementa su približno prikazana u obliku(3):

v(x) = N1(x) v1 +N2(x) θ1 +N3(x) v2 +N4(x) θ2

Samo su funkcije oblika zavisne od koordinate x, tako da jepotencijalna energija deformacije data sa:

Ue =1

2EJz

∫ `

0(N ′′

1 v1 +N ′′2 θ1 +N ′′

3 v2 +N ′′4 θ2)

2 dx (11)




Konačni element štapa u ravni: matrica krutostiPrema tome, potencijalna energija deformacije je prikazanakao funkcija generalisanih pomeranja čvornih tačaka konačnogelementa:

Ue = Ue(v1, θ1, v2, θ2)

Parcijalni izvog potencijalne energije deformacije po pomeranjuv1, jednak je čvornoj sili R1 = T1:

∂Ue

∂v1= R1 = T1

= E Jz

∫ `

0(N ′′

1 v1 +N ′′2 θ1 +N ′′

3 v2 +N ′′4 θ2)N

′′1 dx

(12)




Konačni element štapa u ravni: matrica krutostiParcijalni izvog potencijalne energije deformacije po obtranjuθ1, jednak je čvornoj sili R2 = M1:

∂Ue

∂θ1= R2 = M1

= E Jz

∫ `

0(N ′′

1 v1 +N ′′2 θ1 +N ′′

3 v2 +N ′′4 θ2)N

′′2 dx

(13)




Konačni element štapa u ravni: matrica krutostiAnalogno i za čvor 2, parcijalni izvog po pomeranju v2, jednakje čvornoj sili R3 = T2:

∂Ue

∂v2= R3 = T2

= E Jz

∫ `

0(N ′′

1 v1 +N ′′2 θ1 +N ′′

3 v2 +N ′′4 θ2)N

′′3 dx

(14)




Konačni element štapa u ravni: matrica krutostiNajzad,

∂Ue

∂θ2= R4 = M2

= E Jz

∫ `

0(N ′′

1 v1 +N ′′2 θ1 +N ′′

3 v2 +N ′′4 θ2)N

′′4 dx

(15)

Jednačine (12) do (15) povezuju čvorne sile i čvornapomeranja u obliku

k11 k12 k13 k14k21 k22 k23 k24k31 k32 k33 k34k41 k42 k43 k44

v1θ1v2θ2

=

T1M1

T2M2




Konačni element štapa u ravni: matrica krutostiMože da se konstatuje da je proizvoljan element matricekrutosti kij dat u obliku:

kij = kji = E Jz

∫ `

0N ′′

i N′′j dx i, j = 1, . . . , 4 (16)

Kao što se vidi, matrica krutosti grednog konačnog elementaje simetrična matricaPre integracije prikazane sa (16) pogodno je da se pređe nabezdimenzionalnu koordinatu ξ




Konačni element štapa u ravni: matrica krutosti

Bezdimenzionalna koordinata ξ definisana je sa relacijom (6)

ξ =x

`0 ≤ ξ ≤ 1

što pretstavlja transformaciju koordinataJakobijan transformacije je dat sa `, tako da je∫ `

0f(x)dx =

∫ 1

0f(ξ) ` dξ





Takođe, diferenciranje po x u transformaciji koordinata (uprelasku na ξ), dato je sa

d

dx=

1

`

d

dξ

Prema tome, imajući u vidu funkcije oblika prikazane prekokoordinate ξ u izrazu (7), koeficijenti kij dati sa (16) mogu dase prikažu i kao

kij = kji =EJz`3

∫ 1

0

d2Ni

dξ2d2Nj

dξ2dξ i, j = 1, . . . , 4 (17)





Imajući u vidu funkcije oblika Ni(ξ) prikazane sa (7),koeficijenti kij određuju se integracijom:

k11 =EJz`3

∫ 1

0(12ξ − 6)dξ = . . . =

12EJz`3

k12 = k21 =EJz`3

∫ 1

0(12ξ − 6)(6ξ − 4)`dξ = . . . =

6EJz`2

k13 = k31 =EJz`3

∫ 1

0(12ξ − 6)(6− 12ξ)dξ = . . . = −12EJz

`3

k14 = k41 =EJz`3

∫ 1

0(12ξ − 6)(6ξ − 2)`dξ = . . . =

6EJz`2




Konačni element štapa u ravni: matrica krutostiSlično se određuju i ostali elementi matrice krutostiPosle sređivanja, matrica krutosti konačnog elementa koji jeizložen savijanju (ima 4 stepena slobode, bez aksijalnognaprezanja) data je u obliku:

Ke =EJz`3

12 6` −12 6`6` 4`2 −6` 2`2

−12 −6` 12 −6`6` 2`2 −6` 4`2

(18)


Documents

METODA KONACNIH ELEMENATA - np.ac.rs · PDF fileMKE - gredni konačni elementi METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar Prof dr Stanko Brčić