METODA KONACNIH ELEMENATA - Osnovne akademske studije, … · Galerkinova metoda težinskih ostataka METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar Prof dr Stanko

MKE - gredni konačni elementi u ravniGalerkinova metoda težinskih ostataka

METODA KONAČNIH ELEMENATAOsnovne akademske studije, VI semestar

Prof dr Stanko Brčićemail: [email protected]

Departman za Tehničke naukeDržavni Univerzitet u Novom Pazaru

2014/15

Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata


Sadržaj

1 MKE - gredni konačni elementi u ravniVarijacioni postupak - savijanje u ravniVarijacioni postupak - aksijalno naprezanjeNapomene o varijacionim metodama

2 Galerkinova metoda težinskih ostatakaMetoda težinskih ostatakaAksijalno naprezanjeSavijanje u ravni



Varijacioni postupak - savijanje u ravniVarijacioni postupak - aksijalno naprezanjeNapomene o varijacionim metodama

Sadržaj






Metoda konačnih elemenata

Varijacioni postupak - savijanje u ravniPosmatra se diferencijalno mali element dx izdvojen iz pravogštapa u ravni x, yDiferencijalne jednačine ravnoteže sila koje deluju na izdvojenielement su

dN

dx+ px = 0

dT

dx+ py = 0

dM

dx− T +mz = 0 (1)

Uz zanemarenje raspodeljenih momenata savijanja mz,diferenciranjem po x treće od jedn. (1) i uzimanjem u obzirdruge jednačine, dobija se

d2M

dx2+ py(x) = 0





Varijacioni postupak - savijanje u ravniMomenat savijanja može da se izrazi preko krivine štapa, odn.preko drugog izvoda ugiba po koordinati x,

M(x) = EJzv′′(x)

(može i M = −EJv′′), tako da je diferencijalna jednačinasavijanja štapa u ravni data u obliku

EJzd4v

dx4+ py(x) = 0 (2)





Varijacioni postupak - savijanje u ravniPosmatra se konačni element grednog štapa u ravni sa dvečvorne tačke 1 i 2 na krajevima elementaDužina konačnog elementa je `, momenat inercije preseka jeJz, a modul elastičnosti EPomeranja tačaka ose štapa upravno na osu, ugibi v(x),izražavaju se preko čvornih pomeranja i obrtanja kao

v(x) =

4∑i=1

Ni(x)qi

= N1(x)v1 +N2(x)θ1 +N3(x)v2 +N4(x)θ2

(3)





Varijacioni postupak - savijanje u ravni

U jedn. (3) Ni(x) su Ermitovi kubni polinomi 1. vrste, dok suqi pomeranja i obrtanja čvornih tačakaVarijacioni postupak zasniva se na stacionarnostiodgovarajućeg funkcionalaU formulaciji MKE na bazi deformacija (pomeranja) tajfunkcional je potencijalna energijaPotencijalna energija konačnog elementa jednaka je zbirupotencijalne energije deformacije (deformaciog rada) ipotencijala spoljašnjih sila, odn. negativnog rada spoljašnjihsila

Π = Ue −Rs






Za slučaj savijanja konačnog elementa (bez aksijalnih sila)deformacioni rad dat je sa

Ue =1

2EJz

∫ `

0(v′′)2 dx

Kako su samo interpolacione funkcije u izrazu (3) za ugib v(x)zavisne od koordinate x, to je Ue dato sa

Ue =1

2EJz

∫ `

0

[4∑i

N ′′i (x)qi

]2

dx





Varijacioni postupak - savijanje u ravniKvadrat drugog izvoda ugiba može da se prikaže kao

(v′′)2 = v′′ · v′′

odnosno, kao dvostruka suma

(v′′)2 =

(4∑

i=1

N ′′i (x)qi

)·

4∑j=1

N ′′j (x)qj

=

4∑i=1

4∑j=1

N ′′i (x)N ′′j (x) qi qj





Varijacioni postupak - savijanje u ravniSa ovim, izraz za potencijalnu energiju deformacije konačnogelementa može da se prikaže kao

Ue =1

2

4∑i=1

4∑j=1

[EJz

∫ `

0N ′′i (x)N ′′j (x) dx

]qi qj

ili skraćeno, kao kvadratna forma generalisanih koordinata

Ue =1

2

4∑i=1

4∑j=1

kij qi qj (4)






U izrazu (4) uvedena je oznaka za elemente matrice krutostikonačnog elementa

kij = kji = EJz

∫ `

0N ′′i (x)N ′′j (x) dx (i, j = 1, . . . , 4) (5)

Potencijalna energija deformacije konačnog elementa data sa(4) može da se prikaže u matričnom obliku kao

Ue =1

2qT K q gde je K = [kij ] (6)

(uočiti analogiju sa potencijalnom energijom elastične oprugeΠ = 1

2kx2)






Rad spoljašnjih sila konačnog elementa (rad generalisanih silana krajevima elementa R, kao i rad ekvivalentnog opterećenjana krajevima elementa Q) jednak je

Rs = qT R+ qT Q (7)

Potencijalna energija konačnog elementa jednaka je zbirupotencijalne energije deformacije i negativnog rada spoljašnjihsila:

Π = Ue −Rs =1

2qT K q − qT R− qT Q (8)





Varijacioni postupak - savijanje u ravniPotencijalna energija deformacije konačnog elementa izloženogsavijanju bez aksijalne sile, data je kao kvadratna funkcija(forma) generalisanih koordinata

Ue = Ue(q1, q2, q3, q4)

Stacionarnost potencijalne energije data je kao matričnajednačina:

∂Π

∂qT= 0 ⇒ R = K q −Q (9)

Ova jednačina pretstavlja osnovnu jednačinu opterećenogkonačnog elementa





Varijacioni postupak - savijanje u ravniZa određivanje elemenata matrice krutosti konačnog elementa,date sa (5), potrebni su drugi izvodi interpolacionih funkcijapo x:

N ′′1 (x) = − 6

`2+

12x

`3

N ′′2 (x) = −4

`+

6x

`2

N ′′3 (x) =6

`2− 12x

`3

N ′′4 (x) = −2

`+

6x

`2






Unošenje drugih izvoda interpolacionih funkcija u integrale (5),posle integracije dobija se matrica krutosti grednog konačnogelementa sa dva čvora, opterećenog na savijanje, bezaksijalnog naprezanja:

K =EJz`3

12 6` −12 6`6` 4`2 −6` 2`2

−12 −6` 12 −6`6` 2`2 −6` 4`2

(10)





Varijacioni postupak - savijanje u ravniVektor ekvivalentnog opterećenja posmatranog konačnogelementa dobija se iz uslova da je rad ekvivalentnogopterećenja jednak radu spoljašnjih uticaja koji deluju nakonačni elementNa primer, ako na konačni element deluje raspodeljenoopterećenje py(x), onda je rad jednak

QTq =

∫ `

0py(x) v(x) dx






Kako je v(x) = N(x)q, to je unošenjem ugiba v(x) u integrali “skraćivanjem” sa q, dobija se vektor ekvivalentnogopterećenja:

QT =

∫ `

0py(x)N(x) dx

gde je N(x) matrica interpolacionih funkcijaPosmatra se ravnomerno opterećenje duž konačnog elementapy(x) = p0 = const




Vektor ekvivalentnog opterećenja grednogkonačnog elementa

Čvorovi i i k su čvorne tačke 1 i 2






Interpolacione funkcije Ni(x) su Ermitovi kubni polinomiDobija se integracijom vektor ekvivalentnog opterećenja:

Q = p0

∫ `

0

N1(x)N2(x)N3(x)N4(x)

dx =p0`

2

1`61

− `6

Za slučaj linearno promenljivog opterećenja py(x) = p0x/`dobija se vektor ekvivalentnog opterećenja

QT =p0 `

20[ 3 2`

3 7 −` ]




Sadržaj







Aksijalno naprezanje - varijacioni postupakPosmatra se diferencijalno mali element dx izdvojen iz pravogštapa u ravni x, yDiferencijalna jednačina ravnoteže sila koje deluju u pravcu oseizdvojenog elementa je

dN

dx+ px = 0 (11)

Normalna sila, u skladu sa Hukovim zakonom, data je sa

N = EF (ε− α t) = EFε

ako se ne posmatra uticaj temperature u osi štapa





Aksijalno naprezanje - varijacioni postupakDilatacija ose štapa data je sa

ε =du

dx

gde je u pomeranje tačaka ose štapa u pravcu ose štapa x,tako da je

N = EFε = EFdu

dx

Prema tome, diferencijalna jednačina aksijalnog naprezanjapravog štapa, izražena preko pomeranja, data je u obliku

EFd2u

dx2+ px = 0 (12)





Aksijalno naprezanje - varijacioni postupak

Posmatra se (prav) gredni konačni element sa dve tačkeizložen aksijalnom naprezanjuDužina konačnog elementa je `, površina preseka F , dok jemodul elastičnosti materijala EGeneralisane koordinate za aksijalno naprezanje su pomeranjačvorova 1 i 2 u pravcu lokalne ose x: u1 i u2

Kako je diferencijalna jednačina aksijalnog naprezanja štapa(12) drugog reda, opšti integral homogene dif. jednačine jelinearni polinomPrema tome, raspodela aksijalnog pomeranja tačaka osekonačnog elementa prikazuje se u obliku linearnog polinoma

u(x) = a0 + a1x (13)Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata





Linearni polinom (13) sa nepoznatim konstantama može da seprikaže u matričnom obliku kao

u(x) = P T (x)a = [ 1 x ]

{a0

a1

}(14)

Sa P (x) označen je vektor čiji su elementi baze polinoma:1, x, x2, . . . , xn (u ovom slučaju do prvog stepena: n = 1)Sa a označen je vektor sa nepoznatim konstantama(koeficijenti uz baze polinoma)





Aksijalno naprezanje - varijacioni postupakPolinom stepena n klasično se prikazuje u obliku

pn(x) = a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ anx

n =

n∑i=0

ai xi (15)

ali može da se prikaže i u matričnom obliku kao

pn(x) = P Tn (x)a = [ 1 x x2 · · · xn ]

a0

a1

a2...an





Aksijalno naprezanje - varijacioni postupakNa primer, kod grednog konačnog elementa izloženogsavijanju, aproksimacija pomeranja v(x) unutar konačnogelementa prikazuje se u obliku kubnog polinoma

v(x) = P T (x)a = [ 1 x x2 x3 ]

a0

a1

a2

a3

Nepoznate konstante a0 i a1 u (14) određuju se iz graničnihuslova:

u(x)|x=0 = u1 u(x)|x=` = u2 (16)






Granični uslovi (16) mogu da se napišu u matričnom obliku kao{u1

u2

}=

[1 01 `

]{a0

a1

}ili, u skraćenom obliku, kao

q = Ca

Rešenje se dobija kao a = C−1q, odnosno u razvijenom obliku{a0

a1

}=

[1 0−1

`1`

]{u1

u2

}





Aksijalno naprezanje - varijacioni postupakPrema tome, aproksimacija aksijalnog pomeranja unutarelementa data je sa (14)

u(x) = P Ta = P TC−1q = [ 1 x ]

[1 0−1

`1`

]{u1

u2

}ili, posle množenja P TC−1,

u(x) =[

1− x`

x`

]{ u1

u2

}(17)





Aksijalno naprezanje - varijacioni postupakAlternativa: Nepoznate konstante a0 i a1 određuju se izgraničnih uslova:

u(x)|x=0 = u1 u(x)|x=` = u2

Dobija se

u(x = 0) = u1 = a0 u(x = `) = u2 = a0 + a1`

Rešenje za konstante ai je:

a0 = u1 a1 =u2 − u1

`





Aksijalno naprezanje - varijacioni postupakPrema tome, raspodela aksijalnog pomeranja duž osekonačnog elementa data je u obliku

u(x) = u1 +u2 − u1

`x

odnosno, sređivanjem,

u(x) =(

1− x

`

)u1 +

x

`u2 (18)

Relacija (18) prikazuje se u obliku

u(x) = N1(x)u1 +N2(x)u2 (19)

gde su N1(x) i N2(x) funkcije oblika za aksijalno naprezanjeStanko Brčić Metoda konačnih elemenata





Relacija (17), odn. (18), može da se napiše u obliku

u(x) = N(x) q (20)

gde su

N = [ N1(x) N2(x) ] =[

1− x`

x`

]qT = { q1 q2 } = { u1 u2 }

Sa N1(x) i N2(x) označene su funkcije oblika za aksijalnonaprezanje




Linearne interpolacione funkcije

N1(x) = 1− x` N2(x) = x

`





Aksijalno naprezanje - varijacioni postupakDeformacioni rad aksijalno napregnutog konačnog elementadužine ` dat je sa

Ue =1

2

∫ `

0Nεdx

gde je N normalna sila, a ε dilatacijaKako je

N = σF = EFε kao i ε =du

dx

to se dobija

Ue =EF

2

∫ `

0

(du

dx

)2

dx (21)






Imajući u vidu relaciju (17), odn. (18), kao i to da su samointerpolacione funkcije Ni(x) funkcije koordinate x, prvi izvodpomeranja po koordinati x dat je sa

du

dx= u′(x) = [ N ′1(x) N ′2(x) ]

{q1

q2

}Imajući u vidu interpolacione funkcije, dobija se

du

dx= u′(x) = [ −1

`1` ]

{q1

q2

}=q2 − q1

`(22)






Unoseći relaciju (22) u izraz (21) za deformacioni rad, dobijase

Ue =EF

2

∫ `

0

(q2 − q1)2

`2dx (23)

Integracijom se dobija (podintegralni izraz nezavistan je od x):

Ue =EF

2`(q2

1 − 2q1q2 + q22) (24)

Rad generalisanih sila koje deluju na krajevima konačnogelementa je jednak

Rs = R1u1 +R2u2 = R1q1 +R2q2 = RTq (25)





Aksijalno naprezanje - varijacioni postupakPotencijalna energija konačnog elementa data je kao razlikapotencijalne energije deformacije i rada spoljašnjih sila:

Π = Ue −Rs =EF

2`(q2

1 − 2q1q2 + q22)−R1q1 −R2q2 (26)

Potencijalna energija je kvadratna funkcija generalisanihkoordinata: Π = Π(q1, q2)

Uslov stacionarnosti potencijalne energije dat je sa

∂Π

∂q1= 0

∂Π

∂q2= 0






Imajući u vidu potencijalnu energiju datu sa (26), dobija se

∂Π

∂q1= 0 ⇒ EF

`(q1 − q2)−R1 = 0

∂Π

∂q2= 0 ⇒ EF

`(−q1 + q2)−R2 = 0

Dobijene dve jednačine pretstavljaju osnovnu jednačinuneopterećenog konačnog elementa{

R1

R2

}=EF

`

[1 −1−1 1

]{q1

q2

}(27)






Kompaktniji oblik jednačine (27) je standardni oblik, koji je poformi isti i za druge oblike naprezanja:

R = Kq (28)

Sa K označena je matrica krutosti za aksijalno napregnutkonačni element u ravni

K =EF

`

[1 −1−1 1

]





Aksijalno naprezanje - varijacioni postupakVektor ekvivalentnog opterećenja može da se dobije iz uslovada je rad ekvivaentnog opterećenja jednak radu stvarnograspodeljenog opterećenja duž ose konačnog elementa

QTq =

∫ `

0px(x)u(x)dx

Unoseći u integral relaciju (20): u(x) = N(x)q, dobija se(posle “skraćivanja” sa q)

QT =

∫ `

0px(x)N(x)dx (29)






Na primer, za ravnomerno opterećenje px(x) = p0 = constduž konačnog elementa dobija se

QT = p0

∫ `

0[ (1− x

` ) x` ]dx =

p0`

2[ 1 1 ]

Takođe, ako je aksijalno opterećenje duž konačnog elementalinearno promenljivo: p(x) = p0x/`, dobija se

QT = p0

∫ `

0

x

`[ (1− x

` ) x` ]dx =

p0`

6[ 1 2 ]





Aksijalno naprezanje - varijacioni postupak: PrimerPosmatra se primer konzolnog štapa dužine L, poprečnogpreseka površine F i modula elastičnosti E, koji je opterećenlinijski promenljivim aksijalnim opterećenjem q(x) = cx





Aksijalno naprezanje - varijacioni postupak: PrimerPrimenom Rayleigh-Ritz-ovog varijacionog postupka treba dase odredi rapodela aksijalnog pomeranja i napona uposmatranom štapuU klasičnom Rayleigh-Ritz-ovom varijacionom postupkuprobne funkcije kojima se aproksimira nepoznata funkcijaproblema definisane su unutar celog domena problemaU Rayleigh-Ritz-ovom varijacionom postupku u MKE domendefinisanosti probnih funkcija je unutar svakog konačnogelemeta





Aksijalno naprezanje - varijacioni postupak: Primer

Diferencijalna jednačina aksijalnog naprezanja data je sa (12):

EFd2u

dx2+ cx = 0 x ∈ [0, L] (30)

Prema varijacionom postupku nepoznata funkcija problemau = u(x) aproksimira se sa probnom funkcijom u(x) koja jedopustiva, što znači da zadovoljava uslove kompatibilnosti iesencijalne granične usloveU ovom slučaju aksijalnog naprezanja esencijalni granični uslovje u(x)|x=0 = 0






Probna funkcija se usvaja u obliku polinoma pn(x) (15), ali uovom slučaju, zbog graničnog uslova po pomeranju u(0) = 0,konstanta uz nulti član polinoma se odbacuje: a0 = 0

Najjednostavniji polinom je polinom sa jednim članom:

u(x) = a1 x

Potencijalna energija posmatranog aksijalno opterećenog štapadata je sa Π = Ue −Rs:

Π =EF

2

∫ L

0(u′)2 dx−

∫ L

0q(x)u(x) dx (31)






Unoseći probnu funkciju u(x) = a1x u potencijalnu energiju(31), imajući u vidu da je u′ = a1, kao i da je q(x) = cx,dobija se

Π =EF

2

∫ L

0(a1)2dx−

∫ L

0cx · a1x dx =

EF

2La2

1 −cL3

3a1

Nepoznata konstanta određuje se iz uslova stacionarnostipotencijalne energije:

∂Π

∂a1= 0 ⇒ EFLa1 −

cL3

3= 0






Iz uslova δΠ/δa1 = 0 dobija se nepoznata konstanta

a1 =cL2

3EF

Prema tome, približno rešenje za aksijalno pomeranje dužštapa je jednako

u(x) ≈ u = a1x =cL2

3EFx (32)

Sa ovim se dobija približna raspodela normalnih napona

σx = Eε ≈ Eu′ = cL2

3F(33)





Aksijalno naprezanje - varijacioni postupak: PrimerPosmatra se približno rešenje sa dva člana u polinomu:

u(x) ≈ u = a1x+ a2x2

Prvi izvod u je jednak

u′ = a1 + 2a2x

Potencijalna energija sada je približno data kao

Π =EF

2

∫ L

0(a1 + 2a2x)2dx−

∫ L

0cx (a1x+ a2x

2)dx





Aksijalno naprezanje - varijacioni postupak: PrimerIntegracijom se dobija potencijalna energija u obliku

Π =EF

2(a2

1L+ 2a1a2L2 +

4

3a2

2L3)− ca1

L3

3− ca2

L4

4

Uslovi stacionarnosti potencijalne energije dati su sa

∂Π

∂a1= 0 ⇒ EFLa1 + EFL2a2 −

cL3

3= 0

∂Π

∂a2= 0 ⇒ EFL2a1 +

4

3EFL3a2 −

cL4

4= 0





Aksijalno naprezanje - varijacioni postupak: PrimerMatrični prikaz uslova stacionarnosti je pogodniji:

EF

L

[1 LL 4

3L

]{a1

a2

}=cL3

12

{4

3L

}Rešenje ovih jednačina dobija se kao{

a1

a2

}=

cL

12EF

{7L−3

}





Aksijalno naprezanje - varijacioni postupak: PrimerPrema tome, dobijeno je približno rešenje sa dva ľanapolinoma u obliku

u(x) ≈ u = a1x+ a2x2 =

cL

12EF(7Lx− 3x2) (34)

Sa ovim se dobija približna raspodela normalnih napona

σx = Eε ≈ Eu′ = cL2

12F(35)

Kao što se vidi, dobijeno rešenje ne zadovoljava nidiferencijalnu jednačinu problema (30), kao ni granični uslovpo silama σx|x=L = 0





Aksijalno naprezanje - varijacioni postupak: PrimerNaime, prvi i drugi izvodi približnog rešenja sa dva članapolinoma su

u′ =cL

12EF(7L− 6x) u′′ = − cL

2EF

Kada se to unese u dif. jed. (30), dobija se ostatak

R(u) = −cL2

+ cx 6= 0

dok su normalni naponi σx dobijeni kao konstantni duž štapa





Aksijalno naprezanje - varijacioni postupak: PrimerDiferencijalna jednačina problema je data sa

EFd2u

dx2+ cx = 0 x ∈ [0, L] (36)

kao i sa graničnim uslovima:- esencijalnim (po pomeranjima) . . .u(x)|x=0 = 0- prirodnim (po naponima/silama) . . .σx|x=L = 0

Tačno rešenje diferencijalne jednačine problema dobija se kao:

u(x) =c

6EF(3L2x− x3) (37)




Tačno i približno rešenje

Poređenje tačnog i približnog rešenja sa polinomimatačno rešenje . . .u(x) = c

6EF (3L2x− x3)

jedan član polinoma . . . u(x) = cL2

3EF x

dva člana polinoma . . . u = cL12EF (7Lx− 3x2)





Aksijalno naprezanje - varijacioni postupak: PrimerAko se traži približno rešenje kao kubni polinom:

u(x) ≈ u(x) = a1x+ a2x2 + a3x

3

posle formiranja potencijalne energije Π = Π(a1, a2, a3) ipostavljanja uslova stacionarnosti ∂Π

∂ai= 0 (i = 1, 2, 3),

dobijaju se konstante

a1 =cL2

2EFa2 = 0 a3 = − c

6EF

Ovakvo približno rešenje se poklapa sa tačnim




Sadržaj







Napomene o varijacionim metodamaFunkcionali su integralni izrazi koji su funkcije drugih funkcija,dakle integrali u kojima je podintegralni izraz zavistan od nekefunkcije jedne ili više nezavisnih prostornih koordinataTraži se da se variranjem funkcija u funkcionalu odrede onefunkcije za koje funkcional ima ekstremnu vrednost (minimumili maksimum)Uslov za ekstremnu vrednost funkcionala iskazan je relacijomda je prva varijacija funkcionala jednaka nuli





Napomene o varijacionim metodamaFunkcional je integralni izraz koji u sebi implicitno sadržidiferencijalnu jednačinu posmatranog problemaFormulacija problema u obliku diferencijalne jednačine iodgovarajućih graničnih (eventualno i početnih) uslova nazivase jaka formulacija (“strong formulation”)Integralna formulacija istog problema preko funkcionala koji usebi implicitno sadrži diferencijalnu jednačinu problema nazivase slaba formulacija (“weak formulation”)





Napomene o varijacionim metodamaIzrazi “jaka i slaba formulacija” implicitno asociraju nainferiornost slabe u odnosu na jaku formulacijuMeđutim, jaka i slaba formulacija su međusobno potpunoekvivalentneJaka formulacija iskazuje uslove i relacije koji moraju da buduzadovoljeni u svakoj tački domena posmatranog problemaSlaba formulacija iskazuje uslove i relacije koji moraju da buduzadovoljeni u prosečnom, odn. u integralnom smislu





Napomene o varijacionim metodama

Najpoznatiji varijacioni postupak je Rayleigh-Ritz-ov (ili samoRitz-ov) postupak, posebno u Teoriji konstrukcijaTo je zbog toga što u Teoriji konstrukcija (posebno u linearnimteorijama) postoji funkcional u obliku potencijalne energijeVarijacioni Princip o minimumu potencijalne energije koji seodnosi na stabilnu ravnotežnu konfiguraciju nosača, pretstavljapolazište formulacije u MKE





Napomene o varijacionim metodamaRayleigh-Ritz-ov postupak sastoji se u aproksimaciji funkcijeproblema u posmatranom funkcionalu preko probnih funkcija(“trial functions”)Probne funkcije su pogodno izabrane funkcije koje spadaju udopustive funkcije (“admissible functions”)To znači da probne funkcije zadovoljavaju uslove kontinuiteta(odn. diferencijabilnosti) i esencijalne granične uslove(geometrijske uslove, uslove po pomeranjima)Pogodne probne funkcije su polinomi u 1D, 2D ili 3D:pn(x), pn(x, y), pn(x, y, z), a moguće i trigonometrijskefunkcije





Napomene o varijacionim metodamaPrincip o stacionarnosti potencijalne energije glasi:

Od svih dopustivih konfiguracija konzervativnog sistema, ukonfiguraciji u kojoj su zadovoljeni uslovi ravnoteže,ukupna potencijalna energija je stacionarna u odnosu namale dopustive varijacije pomeranja

Ako je stacionarnost potencijalne energije relativni minimum,ravnotežna konfiguracija je stabilnaPrincip važi i kada veza opterećenje - pomeranje nije linearna






Ritz-ov postupak ima dve varijante (oblika)- klasičan oblik . . . probne funkcije su definisane u celom domenuproblema

- oblik u MKE . . . probne funkcije su definisane unutar domenakonačnog elementa

Probne funkcije se izražavaju preko usvojenih baznih funkcija(npr. članova polinoma) i nepoznatih koeficijenata (odn.“stepena slobode” ili DOF) posmatranog problema





Napomene o varijacionim metodamaU klasičnom Ritz-ovom postupku stepeni slobode ne moraju daimaju jasno fizičko značenjeU Ritz-ovom postupku u MKE koeficijenti (DOF) u probnimfunkcijama pretstavljaju čvorne vrednosti nepoznatihpomeranja, a moguće i obrtanja, dok su probne funkcijefunkcije oblikaFunkcional (potencijalna energija) se izražava preko integrala ucelom domenu (odn. u konačnom elementu u MKE)






Unoseći pretpostavljene probne fukcije (sa nepoznatimkoeficijentima) u funkcional, posle integracije funkcionalpostaje algebarska funkcija konačnog broja DOF (nepoznatihkoeficijenata):

Π = Π(a0, a1, a2, . . . , an)

Uslov stacionarnosti fukcionala Π za bilo koju malu dopustivuvarijaciju konfiguracije glasi

δΠ = 0 ⇒ δΠ =∂Π

∂a0δa0 +

∂Π

∂a1δa1 + · · ·+ ∂Π

∂anδan = 0






Kako su a0, a1, . . . , an međusobno nezavisni parametri (stepenislobode problema), onda se δΠ = 0 svodi na uslove

∂Π

∂ai= 0 (i = 0, 1, . . . , n)

što pretstavlja sistem algebarskih jednačina po nepoznatimkoeficijentima (generalisanim DOF)





Napomene o varijacionim metodamaProbne funkcije moraju da budu dopustive, ali i dovoljnojednostavne za upotrebu, tako da su polinomi najbolji izbor (aponekad i trigonometrijske funkcije)Kako da se proceni koliko članova reda i koji stepen polinomada se usvoji za približno rešenje?Postavlja se pitanje kako da se proceni kvalitet približnogrešenja ako se nema tačno rešenjeOvakva pitanja postoje i u klasičnom Ritz-ovom postupku, kaoi u MKE





Napomene o varijacionim metodamaU određivanju što tačnijeg približnog rešenja pretpstavlja se daje određeno više varijanti približnog rešenja, u svakom rešenjuje dodat po jedan član više (kao u primeru)Znači, generisan je niz približnih rešenja i postavlja se pitanjekonvergencije ka nepoznatom tačnom rešenjuOčekuje se konvergencija ka tačnoj potencijalnoj energiji, katačnim pomeranjima i ka tačnim naponima





Napomene o varijacionim metodamaNeophodan uslov za konvergenciju približnog rešenja jekompletnost probnih funkcijaKompletnost probnih funkcija se realizuje ukoliko tačnapomeranja i izvodi pomeranja koji se javljaju u Π mogu dabudu predstavljeni (reprodukovani) proizvoljno dobro probnimfunkcijama, ukoliko ima dovoljno članova u pretpostavljenomrešenjuKompletnost zahteva da se u probnim funkcijama buduuključeni najniži članovi dopustivih funkcija





Napomene o varijacionim metodamaNa primer, ako se koriste 3 člana polinoma, onda to treba dabudu “članovi po redu” a0 + a1x+ a2x

2, a nea0 + a1x+ a3x

3, ili a0 + a1x+ a4x4

Dve grupe graničnih uslova se javljaju- esencijalni (po pomeranjima, geometrijski)- prirodni (ne-esencijalni, po silama ili naponima)

Uprkos terminologiji, obe grupe graničnih uslova su značajneU jakim formulacijama, zasnovanim na rešavanjudiferencijalnih jednačina, koriste se obe grupe graničnih uslova





Napomene o varijacionim metodamaU slabim formulacijama, zasnovanim na integralnimjednačinama, koriste se esencijalni uslovi, a prirodni (ponaponima ili silama) su (obično) iskorišćeni u samoj formulacijiintegralne jednačine (parcijalnom integracijom)Ako je 2m najviši red izvoda promenljive u diferencijalnojjednačini problema, onda se u integralnoj formulaciji problemajavljaju izvodi reda m i nižiEsencijalni granični uslovi odnose se na izvode do reda m− 1,gde je nulti red izvoda sama promenljivaPrirodni granični slovi uključuju izvode reda m i više, do reda2m− 1



Metoda težinskih ostatakaAksijalno naprezanjeSavijanje u ravni

Sadržaj







Metoda težinskih ostatakaMetoda konačnih elemenata u primeni na linijske nosače možeda se direktno formuliše, kao proširenje matrične analizekonstrukcijaU drugim oblastima Primenjene mehanike, ali uključujući ilinijske nosače, MKE može da se formuliše i primenomPrincipa virtuelnih pomeranja, ili na bazi varijacionih principa,primenjenih na funkcional kao što je potencijalna energijaU nekim oblastima ne može da se definiše (ne postoji)varijacioni princip i odredi odgovarajući funkcional





Metoda težinskih ostataka

Često je na raspolaganju samo diferencijalna jednačina (ilijednačine) problema i odgovarajući granični usloviMetoda težinskih ostataka je u takvim slučajevima pogodannačin za formulaciju numeričkog rešenja primenom MKEMetoda težinskih ostataka pretstavlja slabu formulaciju uMKE, slično kao i varijacione formulacijeOd različitih oblika Metode težinskih ostataka metodaGalerkina (odn. Bubnov-Galerkin-a) najviše je u primeni





Metoda težinskih ostatakaNepoznata funkcija u diferencijalnoj jednačini problemaaproksimira se približnim rešnjem prikazanim u vidusuperpozicije proizvoda poznatih probnih (baznih) funkcija inepozntih koeficijenata (ili generalisanih stepeni slobodeproblema)Sve probne funkcije moraju da budu dopustive, odn. dazadovoljavaju esencijalne granične uslove i da budukontinualne, odn. diferencijabilne do potrebnog nivoa u skladusa d.j. problemaUnošenjem pretpostavljenog približnog rešenja u diferencijalnujednačinu problema, jednačina neće da bude zadovoljena, većće da postoji neka funkcija ostatka





Metoda težinskih ostatakaFunkcija ostatka jednaka je nuli samo za tačno rešenjeproblemaU metodi težinskih ostataka, funcija ostatka minimizuje se(svodi na nulu) u prosečnom, integralnom smisluNaime, funkcija ostatka množi se sa izabranim težinskimfunkcijama i integrali unutar domena problema (ili domenakonačnog elementa), pa se dobijeni izrazi izjednačavaju sanulomNa taj način postiže se da je funkcija ostatka izjednačena sanulom u prosečnom smislu





Metoda težinskih ostatakaRazne varijante Metode težinskih ostataka razlikuju semeđusobno prema izboru težinskih funkcijaMetoda Galerkina je specifična po tome što se za težinskefunkcije biraju bazne funkcije kojima je aproksimirano traženorešenje (bez koeficijenata)Bazne (probne) funkcije pretstavljaju jedan od oblikanepoznatog rešenja, dok su koeficijenti uz bazne funkcije (iligeneralisani stepeni slobode) amplitude u tim oblicima rešenjaKonačno rešenje dobija se superpozicijom funkcija oblika(probnih funkcija) skaliranih sa odgovarajućim generalisanimDOF





Metoda težinskih ostatakaBroj težinskih funkcija jednak je broju probnih funkcija, odn.broju generalisanih DOF, tako da je broj integralnih jednačinaproizvoda težinskih funkcija i funkcije ostatka jednak brojugeneralisanih DOFDrugim rečima, dobija se sistem algebarskih jednačina ponepoznatim koeficijentima, odn generalisanim DOFPri tome, u integralu proizvoda težinske funkcije i funkcijeostatka vrši se parcijalna integracija (ukoliko je reddiferencijalne jednačine paran)





Metoda težinskih ostatakaAko su u(x) i v(x) funkcije jedne promenljive x, onda važi

d(u v) = u dv + v du

Integracijom ovog diferencijala složene funkcije dobija se∫u dv = uv −

∫v du ili

∫ b

au dv = uv|ba −

∫ b

av du

što pretstavlja parcijalnu integraciju





Metoda težinskih ostatakaSmisao parcijalne integracije u integralu proizvoda težinskefunkcije i funkcije ostatka je u tome da se izvodi probnihfunkcija (posle unošenja u d.j. problema) “prebace” na težinskefunkcijePri tome se javljaju i konturni članovi, koji se anuliraju zboggraničnih uslova po silama (naponima), kao i zbog graničnihuslova po pomeranjima (esencijalnih uslova)Esencijalni granični uslovi moraju da budu zadovoljeni većsamim izborom probnih funkcija, a granični uslovi po silama seprirodno pojavljuju u parcijalnoj integraciji, pa se zato i zovuprirodni granični uslovi





Metoda težinskih ostatakaAko je d.j. problema parnog reda, recimo reda 2m, onda separcijalnom integracijom red izvoda u probnim funkcijama“smanji” sa 2m na m, dok se kod težinskih funkcija “poveća”sa 0 na mKako su u Galerkinovoj metodi težinske funkcije jednake saprobnim, posledica je da se dolazi do simetričnih matricakoeficijenata u jednačinama po nepoznatim generalisanim DOFU Teoriji konstrukcija diferencijalne jednačine su često drugogili četvrtog reda, tako da je to pogodno za parcijalnuintegraciju i simetriju matrica





Galerkinova metoda težinskih ostatakaGalerkinova varijanta metode težinskih ostataka prikazaće sena primeru skalarne diferencijalne jednačine jedne promenljive(obična dif. jed.):

L[y(x)] + f(x) = 0 a ≤ x ≤ b (38)

Sa L(. . .) označen je (linearni) diferencijalni operatorU zavisnosti od reda diferencijalne jednačine dati su iodgovarajući granični uslovi





Galerkinova metoda težinskih ostatakaJednačina (38) množi se sa proizvoljnom funkcijom w(x) iintegrali u granicama a i b:∫ b

aw(x) (L[y(x)] + f(x)) dx = 0 (39)

Jednačine (38) i (39) su međusobno ekvivalentne jer je w(x)proizvoljna funkcijaNepoznata funkcija y(x) koja pretstavlja rešenje diferencijalnejednačine (38) traži se u obliku približnog rešenja kao linearnakombinacija izabranih probnih funkcija Φi(x) i nepoznatihkoeficijenata ci





Galerkinova metoda težinskih ostatakaDakle, nepoznata funkcija y(x) traži se u obliku:

y(x) ≈ u(x) =

n∑i=1

ci Φi(x)

pri čemu izabrane probne (bazne) funkcije Φi(x) zadovoljavajuesencijalne granične uslove (u ovom slučaju uslove na konturidomena x = a i x = b)Kako je u(x) neko približno prikazivanje nepoznate traženefunkcije y(x), unoseći u(x) u dif. jedn. (38), jednačina,naravno, neće da bude zadovoljena





Galerkinova metoda težinskih ostatakaUnoseći pretpostavljeni oblik rešenja u jedn. (38) dobija seostatak (rezidijum) r(x):

r(x) = L[u(x)] + f(x) 6= 0

Ideja (cilj) metode težinskih ostataka je da se odredi približnorešenje, odnosno nepoznati koeficijenti ci uz poznate probnefuncije, tako da ostatak r(x) bude jednak nuli u prosečnomsmislu





Galerkinova metoda težinskih ostatakaZato se postavlja uslov (39) u koji se unosi približno rešenjeu(x), u kojem figurišu nepoznati koeficijenti ci, kao iproizvoljna funkcija w(x):∫ b

aw(x) r(x) dx =

∫ b

aw(x) (L[u(x)] + f(x)) dx = 0

Galerkinova metoda težinskih ostataka za težinsku funkcijuw(x) usvaja probne funkcije Φi(x):

wi(x) = Φi(x) (i = 1, 2, . . . , n)





Galerkinova metoda težinskih ostatakaDobija se sistem jednačina po nepoznatim koeficijentima ci:∫ b

aΦi(x) [L(

n∑j=1

cjΦj(x)) + f(x)] dx = 0 (i = 1, 2, . . . , n)

Izračunavanjem integrala dobija se sistem od n jednačina ponepoznatim koeficijentima ciRešavanjem dobijenog sistema i određivanjem koeficijenata cidobija se približno rešenje za traženu funkciju y(x):

y(x) ≈ u(x) =

n∑i=1

ci Φi(x)





Galerkinova metoda težinskih ostataka - primerPosmatra se aksijalno opterećena konzola dužine L, površinepreseka A i modula elastičnosti EŠtap je opterećen celom dužinom linearno promenljivimaksijalnim opterećenjem q(x) = cx, kao i koncentrisanomsilom P na slobodnom krajuNaći približno numeričko rešenje primenom metode Galerkina





Galerkinova metoda težinskih ostataka - primer

(a) Aksijalno opterećen štap (b) Dif. jednačina problema






Ako je sa u(x) označeno aksijalno pomeranje ose štapa,diferencijalna jednačina štapa data je sa

EAu′′(x) + c x = 0 (40)

Granični uslovi su- esencijalni (po pomeranjima) . . .u(0) = 0- prirodni (po silama) . . .AEu′(L) = P

Tačno rešenje diferencijalne jednačine može da se dobije kao

u(x) =P

AEx+

cL2

2AEx− c

6AEx3 (41)






Neka je u(x) približno rešenje za nepoznato pomeranje u(x)

Ako se sa Wi(x) označe težinske funkcije, onda je Galerkinovmetod dat u obliku∫ L

0Wi

(u′′ +

cx

AE

)dx = 0 (42)

Prvi član u integralu može da se parcijalno integraliAko je u = Wi, kao i dv = u′′dx, onda je (sa oznakama zaparcijalnu integraciju)

du = W ′idx v = u′





Galerkinova metoda težinskih ostataka - primerPrema tome, parcijalnom integracijom prvog člana u jedn.(42) dobija se∫ L

0

(−W ′i u′ +Wi

cx

AE

)dx+ (Wi u

′)|L0 = 0 (43)

Za priblžno rešenje posmatramo polinom sa dva člana

u(x) ≈ u(x) = a1x+ a2x2 (44)

U polinom u(x) nije uključen nulti član a0, jer time ne bi biozadovoljen esencijalni granični uslov u(0) = 0






Imajući u vidu probnu funkciju u(x), koja zadovoljavaesencijalni uslov (uslov po pomeranju za x = 0), odgovarajućetežinske funkcije su:

W1(x) = x W2(x) = x2 ⇒ W ′1 = 1 W ′2 = 2x

Težinske funkcije su izvedene iz probne funkcije, pa, prematome, i težinske funkcije zadovoljavaju esencijalni graničniuslov u(0) = 0

To znači da je konturni član u jedn. (43) za donju granicujednak nuli zbog Wi(0) = 0





Galerkinova metoda težinskih ostataka - primerZa gornju granicu x = L aplicira se granični uslov po sili

u′ =P

AE

Imajući sve ovo u vidu, mogu da se pišu dve jednačine (43):

i = 1 :

∫ L

0

[(−1)(a1 + 2a2x) + x

cx

AE

]dx+ L

P

AE= 0

i = 2 :

∫ L

0

[(−2x)(a1 + 2a2x) + x2 cx

AE

]dx+ L2 P

AE= 0

(45)






Jednačine (45) postaju:

i = 1 :

∫ L

0

(−a1 − 2a2x+

c

AEx2)dx+

PL

AE= 0

i = 2 :

∫ L

0

(−2a1x− 4a2x

2 +c

AEx3)dx+

PL2

AE= 0

(46)

Dobijaju se rešenja

a1 =P

AE+

7cL2

12AEa2 = − cL

4AE






Prema tome, približno rešenje za aksijalno pomeranje u(x)dobijeno je kao

u(x) ≈ u =P

AEx+

7cL2

12AEx− cL

4AEx2 (47)

Raspodela normalnih napona σx(x) = Eu′ data je sa

σx(x) =P

A+

7cL2

12A− cL

2Ax (48)





Galerkinova metoda težinskih ostataka - primerAko se odredi potencijalna energija za posmatrani primer, zaneku probnu funkciju u(x), dobija se

Π =

∫ L

0

[1

2AE(u′)2 − cxu

]dx− Pu|L (49)

Ukoliko može da se konstruiše funkcional koji odgovaradiferencijalnoj jednačini problema, onda Galerkinov metodtežinskih ostataka i Rayleigh-Ritz-ov varijacioni postupak dajuiste rezultate ako koriste iste probne funkcijePotencijalna energija (49) odgovara diferencijalnoj jednačini(40), pa ako se probna funkcija usvoji u oblikuu(x) = a1x+ a2x

2 dobija se isto rešenje kao i (47)




Sadržaj







Galerkinova metoda - aksijalno naprezanjePosmatra se linijski konačni element dužline ` sa dve čvornetačke 1 i 2Površina poprečnog preseka je A, a modul elastičnostimaterijala je EDuž ose konačnog elementa deluje raspodeljeno aksijalnoopterećenje px(x)

Diferencijalna jednačina aksijalnog naprezanja elementa je

EAu′′ + px(x) = 0 x ∈ [0, `] (50)





Galerkinova metoda - aksijalno naprezanje

Približna raspodela nepoznatog pomeranja u(x) prikazuje se uobliku

u(x) = [ N1(x) N2(x) ]

{u1

u2

}= N(x)q

gde su Ni(x) interpolacione funkcije (linearni polinomi)

N1(x) = 1− x

`N2(x) =

x

`

dok su ui aksijalna pomeranja čvornih tačaka

q =

{u1

u2

}Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata




Galerkinova metoda - aksijalno naprezanjeKonačni element štapa u ravni, dužine `, koji je izloženaksijalnom naprezanju, sa dve čvorne tačke na krajevima






Prvi izvod aksijalnog pomeranja duž konačnog elementa u′(x)dat je sa

u′(x) = N ′(x)q = [ N ′1(x) N ′2(x) ]

{u1

u2

}Imajući u vidu funkcije oblika Ni(x), prvi izvodi su jednaki

N ′1(x) = −1

`N ′2(x) =

1

`





Galerkinova metoda - aksijalno naprezanjeDilatacija tačke na osi konačnog elementa jednaka je prvomizvodu pomeranja

εx = u′(x) =d

dxu(x) = LN(x)q = Bq

Sa L označen je odgovarajući diferencijalni operator, napisan umatričnom obliku, (iako je samo jedan element)

L = [d

dx]

dok je B = LN(x) matrica koja povezuje dilatacije ipomeranja





Galerkinova metoda - aksijalno naprezanjeNajzad, konstitutivne relacije za linearno elastičan materijalkonačnog elementa date su u obliku

σx = Eεx

što može da se napiše u matričnom obliku (iako su vektori imatrice samo sa po jednim članom, u ovom slučaju):

σ = Dε

Sa D označena je konstitutivna matrica (matrica elastičnosti)

D = [E]





Galerkinova metoda - aksijalno naprezanjeImajući u vidu diferencijalnu jednačinu aksijalnog naprezanja(50), Galerkinova formulacija za konačni element dužine ` glasi

∫ `

0Ni(EAu

′′ + px) dx = 0 (i = 1, 2)

gde su za težinske funkcije usvojene funkcije oblika Ni(x)

Parcijalnom integracijom prvog člana u jednačini dobija se

NiAE u′|`0 −

∫ `

0N ′i AE u

′ dx+

∫ `

0Ni px dx = 0 (51)






Jednačina (51) može da se napiše u obliku

NiAE u′|`0 =

∫ `

0N ′i AE u

′ dx−∫ `

0Ni px dx (i = 1, 2) (52)

U jedn. (52) unosi se približan izraz za u′ (napisan uskalarnom obliku)

NiAE u′|`0 =

∫ `

0N ′i AE

2∑j=1

N ′j qj dx−∫ `

0Ni px dx (53)

za (i = 1, 2)






Čvorne sile na krajevima konačnog elementa R1 i R2 jednakesu normalnoj sili na kraju (u čvoru 1 je R1 = −N)

R1 = −Aσx|x=0 = −AEεx|x=0 = −AE u′|x=0

R2 = Aσx|x=` = AEεx|x=` = AE u′|x=`

Konturni član u parcijalnoj integraciji unosi prirodne graničneuslove, odnosno čvorne sile Ri na krajevima elementaKonturni član u (53) dat je sa

NiAE u′|`0 = NiAE u

′|x=` −NiAE u′|x=0






Kako su funkcije oblika takve da je N1(0) = 1, N1(`) = 0, kaoi N2(0) = 0, N2(`) = 1, to se za konturni član dobija

- za i = 1:N1AE u

′|`0 = R1

- za i = 2:N2AE u

′|`0 = R2

Drugi integral na desnoj strani jedn. (53) pretstavlja vektorekvivalentnog opterećenja∫ `

0Ni px dx = Qi (i = 1, 2)






Prvi integral na desnoj strani jedn. (53) pretstavlja matricukrutosti konačnog elementa pomnoženu sa čvornimnepoznatim (kada se napiše za i, j = 1, 2)∫ `

0N ′i AE

2∑j=1

N ′j qj dx =

[k11 k12

k21 k22

]{q1

q2

}= Kq

gde su kij elementi matrice krutosti konačnog elementaizloženom aksijalnom naprezanju, dati sa

kij = kji =

∫ `

0N ′i(x)AEN ′j(x) dx





Galerkinova metoda - aksijalno naprezanjeImajući u vidu prve izvode interpolacionih funkcija

N ′1(x) = −1

`N ′2(x) =

1

`

dobija se matrica krutosti aksijalno napregnutog konačnogelementa:

K =AE

`

[1 −1−1 1

]Prema tome, primenom Galerkinovog postupka, dobija seosnovna jednačina jednog konačnog elementa u obliku

R = K q −Q (54)




Sadržaj







Galerkinova metoda - savijanje u ravniPosmatra se linijski konačni element dužline ` sa dve čvornetačke 1 i 2Površina poprečnog preseka je A, moment inercije je Jz, amodul elastičnosti materijala je EDuž ose konačnog elementa deluje raspodeljeno poprečnoopterećenje py(x)

Diferencijalna jednačina savijanja u lokalnoj ravni xy elementaje

EJz v′′′′(x)− py(x) = 0 x ∈ [0, `] (55)





Galerkinova metoda - savijanje u ravni

Približna raspodela nepoznatog ugiba v(x) prikazuje se prekoErmitovih kubnih polinoma kao interpolacionih funkcija ičvornih nepoznatih: ugiba i obrtanja (nagiba) u čvornimtačkama

v(x) = [ N1(x) N2(x) N3(x) N4(x) ]

v1

θ1

u2

θ2

ili u skraćenom obliku

v(x) = N(x)q (56)






Ni(x) su interpolacione funkcije (kubni Ermitovi polinomi) kojipretstavljaju tačno rešenje homogene diferencijalne jednačinesavijanja

EJzvIV (x) = 0

za granične uslove koji odgovaraju jediničnim pomeranjimageneralisanih čvornih pomeranja:

v(x)|x=0 = v1 v′(x)|x=0 = θ1

v(x)|x=` = v2 v′(x)|x=` = θ2






Interpolacione funkcije Ni(x) su kubni Ermitovi polinomi prvevrste:

N1(x) = 1− 3x2

`2+

2x3

`3

N2(x) = x− 2x2

`+x3

`2

N3(x) =3x2

`2− 2x3

`3

N4(x) = −x2

`+x3

`2

(57)





Galerkinova metoda - savijanje u ravniKonačni element štapa u ravni xy, dužine `, koji je izložensavijanju u ravni, bez aksijalnog naprezanja, sa dve čvornetačke na krajevima, ima četiri čvorne generalisane koordinate






Imajući u vidu diferencijalnu jednačinu savijanja (55),Galerkinova formulacija za konačni element dužine ` glasi∫ `

0Ni[EJz v

′′′′(x)− py(x)] dx = 0 (i = 1, . . . , 4)

gde su za težinske funkcije usvojene funkcije oblika Ni(x)kojima se prikazuju pomeranja unutar elementaParcijalnom integracijom prvog člana u jednačini dobija se

NiEJz v′′′|`0 −

∫ `

0N ′i EJz v

′′′ dx−∫ `

0Ni py dx = 0 (58)





Galerkinova metoda - savijanje u ravniNovom parcijalnom integracijom prvog integrala u jednačini(58) dobija se

NiEJz v′′′|`0 −N ′iEJzv′′|`0+

+

∫ `

0N ′′i EJz v

′′ dx−∫ `

0Ni py dx = 0

(59)

Prva dva konturna člana, dobijena parcijalnim integracijama,uvode prirodne granične uslove (granične uslove po silama)Kao što je poznato, drugi i treći izvod ugiba su momenatsavijanja i transverzalna sila:

M(x) = EJz v′′(x) T (x) = −EJz v′′′(x) (60)






Jednačina (59) može da se napiše, uz prebacivanje integrala nadesnu stranu jednačine, kao:

−NiEJz v′′′|`0 +N ′iEJzv

′′|`0 =

=

∫ `

0N ′′i EJz v

′′ dx−∫ `

0Ni py dx

(61)

Konturni članovi, uz zamene granica, postaju

−NiEJz v′′′|`0 = −NiEJz v

′′′|x=` +NiEJz v′′′|x=0

N ′iEJzv′′|`0 = N ′iEJzv

′′|x=` −N ′iEJzv′′|x=0

(62)






Prvi izvodi interpolacionih funkcija Ni(x) (57) jednaki su:

N ′1(x) = −6x

`2+

6x2

`3

N ′2(x) = 1− 4x

`+

3x2

`2

N ′3(x) =6x

`2− 6x2

`3

N ′4(x) = −2x

`+

3x2

`2

(63)





Galerkinova metoda - savijanje u ravniPrvi konturni član, sa trećim izvodom, odnosi se natransverzalne sile na jednom i na drugom kraju konačnogelementaDrugi konturni član, sa drugim izvodom ugiba, odnosi se namomente savijanja na krajevima konačnog elementaVodeći računa o znacima, o konvenciji čvornih sila kodkonačnog elementa i o inženjerskoj konvenciji o znacima T iM , kao i o vrednostima Ni i N ′i na krajevima konačnogelementa, konturni članovi (62), napisani zajedno za sve 4Galerkinove jednačine (i = 1, 2, 3, 4), mogu da se napišu kaovektor čvornih sila R:

RT = { R1 R2 R3 R4 }





Galerkinova metoda - savijanje u ravniElementi vektora R: R1 i R3 su čvorne transverzalne sile, doksu R2 i R4 čvorni momenti savijanjaDrugi integral na desnoj strani jednačine (61), napisan za svečetiri Galerkinove jednačine, pretstavlja vektor ekvivalentnogopterećenja Q konačnog elementa:

QT = { Q1 Q2 Q3 Q4 }∫ `

0Ni py dx = Qi






Posmatra se prvi integral na desnoj strani jednačine (61)Imajući u vidu prikazivanje ugiba u obliku (56), dobija se∫ `

0N ′′i EJz v

′′ dx =

∫ `

0N ′′i EJz

4∑j=1

N ′′j qj dx

U integralu su samo izvodi interpolacionih funkcija zavisni odx, dok je krutost na savijanja EJz konstanta, jer se smatra dakonačni element ima konstantan poprečni presek





Galerkinova metoda - savijanje u ravniMože da se uvede oznaka

kij = kji =

∫ `

0N ′′i EJz N

′′j dx i, j = 1, . . . , 4 (64)

Sa ovim, prvi integral na desnoj strani jednačine (61) može dase napiše u matričnom obliku (za sve i, j) kao proizvodkvadratne matrice i vektora

K q

gde je K matrica krutosti konačnog elementa, dok je q vektorčvornih nepoznatih





Galerkinova metoda - savijanje u ravniIzraz Kq za posmatrani konačni element može da se prikaže urazvijenom obliku

K q =

k11 k12 k13 k14

k21 k22 k23 k14

k31 k32 k33 k34

k41 k42 k43 k44

q1

q2

q3

q4

Imajući sve ovo u vidu, Galerkinove jednačine (61) mogu da senapišu u obliku

R = K q −Q (65)

koji pretstavlja osnovnu jednačinu opterećenog konačnogelementa






Drugi izvodi interpolacionih funkcija Ni(x) (57) dobijaju sediferenciranjem prvih izvoda (63):

N ′′1 (x) = − 6

`2+

12x

`3

N ′′2 (x) = −4

`+

6x

`2

N ′′3 (x) =6

`2− 12x

`3

N ′′4 (x) = −2

`+

6x

`2

(66)






Unošenjem drugih izvoda interpolacionih funkcija (66) u izrazza elemente kij , dobija se matrica krutosti konačnog elementau ravni sa 4 stepena slobode:

K =EJz`3

12 6` −12 6`6` 4`2 −6` 2`2

−12 −6` 12 −6`6` 2`2 −6` 4`2

(67)


Documents

METODA KONACNIH ELEMENATA - Osnovne akademske studije, … · Galerkinova metoda težinskih ostataka METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar Prof dr Stanko