12
NEKI ASPEKTI NUMERICKOG MODELIRANJA PONASANJA KONSTRUKCIJA Duser: KOVACEVIC 1. UVOD Modeliranje konstrukcije je proces kreiranja ideali- zovane i pojednostavljene reprezentacije ponasania konstrukcije pod opterecenjern. Numericko modeliranje je maternaticka, dakle tehnieka, realizacija izabranog koncepta modeliranja konstrukcije. Formulisanje modela podrazumeva izbor geome- trijske, rnaternaticke, tj. fizicke i nurnericke aproksimacije pojave. Ciljevi prakticnoq (ne sarno kvalitativnog) istra- zivanja oqranicavaju broj moqucth modela. Dilema kod izbora modela uvek postoji, jer su kompleksniji modeli tacniji, ali istovremeno, u svakom pogledu, skuplji. Optimalan rnaternatlcki i fizickl model koji simulira ponasan]e nekog sistema, trebalo bi, dakle, da obezbedi dovoljnu pouzdanost u predvidanju ponasanja realnog sistema (kvalitet aproksimacije), a da pri tome njegova kompleksnost odgovara aktuelnim moqucnostirna prora- cuna (razvoj metoda nurnericke analize, racunarske tehnologije, sistemskog i aplikativnog softvera). Izbor koncepta nurnerickoq modeliranja zavisi od namene modela. U poslovima projektovanja u fazi izbora koncepta resenia, koriste se, uglavnom, prlbliznl modeli, pre svega zbog provere kvaliteta koncepta i pripreme podataka za detaljnu numerlcku analizu. U fazi definitivnog obliko- vanja i dimenzionisanja sklopova i elemenata i eventu- alne ponovne proveru nosivosti, stabilnosti i upotreblji- vosti karakteristicna primena kompleksnijih modela. Uslovi i zahtevi naucno-istrazivackoq rada narnecu primenu veoma sofisticiranih i kompleksnih modela, sa ciljem da se upotpune postojeca i tormullsu nova znanja o ponasanju materijala, elemenata, sklopova i kon- strukcija u celini. Adrese autora: Doc. dr Dusan Kovacevic, dipl.ini.grad. Gradevinski odsek, Fakultet tehnicklh nauka, Univerzitet u Novom Sadu, Trg Dositeja Obradovica 6,21000 Novi Sad 64 PREGLEDNIRAD UDK: 693.8.001.572 = 861 Poslovi ispitivanja konstrukcija probnim opterece- njem zahtevaju kreativni i, u izvesnom smislu, kompro- misni pristup u numerickorn modeliranju s obzirom na suprotstavljene zahteve: • sagledavanje realnog ponasania ispitivane kon- strukcije u cilju donosenja zakliucaka 0 njenoj tehnicko] ispravnosti i potrebna vremenska i finasnijska efikasnost i oqranicenja u uslovima izvodenja ispitivanja probnim optereceniem (oqraniceni resursi merne opreme, probnog opterecenia, rnoqucnost kontrole uslova ckruzenja itd). . Jasno je da tradicionalne i prevazidene metode analize, gde se modeliranje svodi na niz pojedno- stavljenja i idealizacija realne konstrukcije, pre svega zbog prilagodavanja oqranlcenjirna metoda proracuna, nisu odqovarajuce resenje u navedenom kompromisu zahteva. Zbog svog formalno-algoritamskog pristupa, jednostavnog fizickog znacenja i numericke efikasnosti, metoda konacnih elemenata (MKE) postala je prakticno nezamenljiva metoda analize i ima posebno mesto kada je u pitanju numericko modeliranje ponasanja konstruk- cija. Primena MKE u analizi konstrukcija sa aspekta modeliranja rnoze da se prikaze dijagramom na sl. 1. 2. GEOMETRIJSKO MODELIRANJE - DISKRETIZACIJA Prvi korak algoritma (DISKRETIZACIJA) je faza u kojoj eventualne qreske (osim ako su zaista grube) nemaju za posledicu bitnu promenu pribliznoq MKE resenla, sto implicira da faza nije od presudnog znacaja za uspeh modeliranja. Mozda je dokaz za ovakav stav i cinjenica da se generisanje rnreze KE poverava tzv. preprocesoru softvera za numericku analizu konstruk- cija. Nairne, ovu operaciju rnoquce je formalno-algo- ritamski opisati, sto je uobicajeno za postupke koji ne zahtevaju izrazito kreativni i intuitivni pristup. MATERIJALII KONSTRUKCIJE 49 (2006) 1-2 (64--75)

NEKI ASPEKTI NUMERICKOG MODELIRANJA …scindeks-clanci.ceon.rs/data/pdf/0543-0798/2006/0543-07980602064K.… · metoda konacnih elemenata (MKE) postala je prakticno nezamenljiva metoda

  • Upload
    voquynh

  • View
    257

  • Download
    11

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: NEKI ASPEKTI NUMERICKOG MODELIRANJA …scindeks-clanci.ceon.rs/data/pdf/0543-0798/2006/0543-07980602064K.… · metoda konacnih elemenata (MKE) postala je prakticno nezamenljiva metoda

NEKI ASPEKTI NUMERICKOG MODELIRANJA PONASANJA KONSTRUKCIJA

Duser: KOVACEVIC

1. UVOD

Modeliranje konstrukcije je proces kreiranja ideali­zovane i pojednostavljene reprezentacije ponasaniakonstrukcije pod opterecenjern. Numericko modeliranjeje maternaticka, dakle tehnieka, realizacija izabranogkoncepta modeliranja konstrukcije.

Formulisanje modela podrazumeva izbor geome­trijske, rnaternaticke, tj. fizicke i nurnericke aproksimacijepojave. Ciljevi prakticnoq (ne sarno kvalitativnog) istra­zivanja oqranicavaju broj moqucth modela. Dilema kodizbora modela uvek postoji, jer su kompleksniji modelitacniji, ali istovremeno, u svakom pogledu, skuplji.

Optimalan rnaternatlcki i fizickl model koji simuliraponasan]e nekog sistema, trebalo bi, dakle, da obezbedidovoljnu pouzdanost u predvidanju ponasanja realnogsistema (kvalitet aproksimacije), a da pri tome njegovakompleksnost odgovara aktuelnim moqucnostirna prora­cuna (razvoj metoda nurnericke analize, racunarsketehnologije, sistemskog i aplikativnog softvera).

Izbor koncepta nurnerickoq modeliranja zavisi odnamene modela.

U poslovima projektovanja u fazi izbora konceptaresenia, koriste se, uglavnom, prlbliznl modeli, pre svegazbog provere kvaliteta koncepta i pripreme podataka zadetaljnu numerlcku analizu. U fazi definitivnog obliko­vanja i dimenzionisanja sklopova i elemenata i eventu­alne ponovne proveru nosivosti, stabilnosti i upotreblji­vosti karakteristicna primena kompleksnijih modela.

Uslovi i zahtevi naucno-istrazivackoq rada narnecuprimenu veoma sofisticiranih i kompleksnih modela, saciljem da se upotpune postojeca i tormullsu nova znanjao ponasanju materijala, elemenata, sklopova i kon­strukcija u celini.

Adrese autora:Doc. dr Dusan Kovacevic, dipl.ini.grad.Gradevinski odsek, Fakultet tehnicklh nauka, Univerzitet uNovom Sadu, Trg Dositeja Obradovica 6,21000 Novi Sad

64

PREGLEDNIRADUDK: 693.8.001.572 = 861

Poslovi ispitivanja konstrukcija probnim opterece­njem zahtevaju kreativni i, u izvesnom smislu, kompro­misni pristup u numerickorn modeliranju s obzirom nasuprotstavljene zahteve:

• sagledavanje realnog ponasania ispitivane kon­strukcije u cilju donosenja zakliucaka 0 njenoj tehnicko]ispravnosti i

• potrebna vremenska i finasnijska efikasnost ioqranicenja u uslovima izvodenja ispitivanja probnimoptereceniem (oqraniceni resursi merne opreme,probnog opterecenia, rnoqucnost kontrole uslovackruzenja itd). .

Jasno je da tradicionalne i prevazidene metodeanalize, gde se modeliranje svodi na niz pojedno­stavljenja i idealizacija realne konstrukcije, pre svegazbog prilagodavanja oqranlcenjirna metoda proracuna,nisu odqovarajuce resenje u navedenom kompromisuzahteva.

Zbog svog formalno-algoritamskog pristupa,jednostavnog fizickog znacenja i numericke efikasnosti,metoda konacnih elemenata (MKE) postala je prakticnonezamenljiva metoda analize i ima posebno mesto kadaje u pitanju numericko modeliranje ponasanja konstruk­cija. Primena MKE u analizi konstrukcija sa aspektamodeliranja rnoze da se prikaze dijagramom na sl. 1.

2. GEOMETRIJSKO MODELIRANJE ­DISKRETIZACIJA

Prvi korak algoritma (DISKRETIZACIJA) je faza ukojoj eventualne qreske (osim ako su zaista grube)nemaju za posledicu bitnu promenu pribliznoq MKEresenla, sto implicira da faza nije od presudnog znacajaza uspeh modeliranja. Mozda je dokaz za ovakav stav icinjenica da se generisanje rnreze KE poverava tzv.preprocesoru softvera za numericku analizu konstruk­cija. Nairne, ovu operaciju rnoquce je formalno-algo­ritamski opisati, sto je uobicajeno za postupke koji nezahtevaju izrazito kreativni i intuitivni pristup.

MATERIJALII KONSTRUKCIJE 49 (2006) 1-2 (64--75)

Page 2: NEKI ASPEKTI NUMERICKOG MODELIRANJA …scindeks-clanci.ceon.rs/data/pdf/0543-0798/2006/0543-07980602064K.… · metoda konacnih elemenata (MKE) postala je prakticno nezamenljiva metoda

DISKRETIZACIJA ~geometrijsko modeliranje-- --~->

izborom oblika KE(formiranje mreze KE) /-------'

Formiranje matricekrutosti, masa,

i prigusenja sistema KEi vektor opterecenja -

- formiranje sistema LAJ

I

-.J

Izbor metode za resavanjesistema LAJ:

proracun pomeranja,brzina i ubrzanja

evorova sistema KE

LProracun uticaja u

cvorovima sistema KE

APROKSIMACIJA 1nurnericko modeliranje

izborom tipa KE ­matrica krutostl, mase i

prigusenja(formiranje sistema KE)

APROKSIMACIJA 2numerlcko modeliranje

konturnih i prelaznih uslova,dejstava,

ponasanja konstrukcije imaterijala

r

Stika 1. Dijagram algoritma primene MKE u modeliranju konstrukcija

Korisnik softvera za analizu u situaciji je da cinigreske diskretizacije, cak i ako aplikacija koju koristi imaimplementiran preprocesor sa razvijenom opcijom gene­risanja mreze konacnih elemenata za zadani domen.Ove greske mogu da se smanje primenom konacnihelemenata odgovarajueeg oblika iii povecanjem brojaKE, tj. povecanjern gustine mreze sistema KE (sto jemanje povoljno i smatra se tzv. "brutal force approach"resenjem).

Uobicajeno i siroko rasprostranjeno shvatanje mode­liranja svodi se na stav da je geometrijsko modeliranje,tj. diskretizacija podelom domena na KE odredenogoblika iii generisanje rnreze KE faza u kojoj je problemmodeliranja nekog sistema gotovo u potpunosti resen.Ovakav pristup, zastupljen je kod manje iskusnihkorisnika softvera za analizu konstrukcija iii kod korisnikasa neodqovaraiucim obrazovanjem iz Teorije konstruk­cija. Naime, sto tacniie opisivanje geometrije nije krajnjicilj, vee samo jedan (obicno pocetni) korak u nastojanjuda se formulise model potrebne tacnosti.

Greske diskretizacije nastaju zbog razlike izmedurealne geometrije konstrukcije i topologije sistema KE(javljaju se u slucajevirna primene KE neodgovarajucegoblika iii zbog nedovoljnog broja KE u diskretizacijidomena).

Postoji dovoljan broj oblika KE cijom primenom rnozeda se postigne visok stepen kvaliteta diskretizacije ugeometrijskom modeliranju nekog domena. Na sl. 2prikazani su razliciti oblici i, u okviru oblika, razficiti tipoviKE.

Jasno je da primenom linijskih KE, ako je u pitanjukonstrukcija sastavljena od grednih konstrukcijskihelemenata, geometrijsko modeliranje rnoze da bude, unajvecern broju slucajeva, bez ikakvih qresaka diskre­tizacije. Eventualni problemi mogu da se jave ako se

MATERIJALII KONSTRUKCIJE 49 (2006) 1-2 (64-75)

linijski konstrukcijski elementi specificnih karakteristika(kratki elementi, na primer) modeliraju primenom stan­dardnih Iinijskih KE, ali je to problem izbora pogresnogtipa, a ne pogresnog oblika KE.

0-------<0~

Stika 2. Neki obtici i tipovi konacnih elemenata

Kada se radi 0 konstrukcijama koje sadrzepovrslnske elemente u ravni (ploce i zidovi) iii u prostoru(Ijuske i drugi prostorni elementi) problemi su komple­ksniji, ali lako resivi, Izborom dovoljno guste rnreze KE,gotovo svaka geometrija rnoze da se "pokrije". Pri tomebi poseban tretman (u smislu izbora oblika i velicine KE)trebalo da imaju mesta razllcltih singulariteta idiskontinuiteta (mesta koncentracije napona, na primer).

65

Page 3: NEKI ASPEKTI NUMERICKOG MODELIRANJA …scindeks-clanci.ceon.rs/data/pdf/0543-0798/2006/0543-07980602064K.… · metoda konacnih elemenata (MKE) postala je prakticno nezamenljiva metoda

Primenom MKE, u opstern slucaju, dobijaju sepriblizna resenja, Tacnost rnoze da se definise kaoodstupanje pribliznoq resenja od tacnoq iii onog koje sedobija primenom neke "egzaktne" metode. Moquce jedobiti sarno predstavu 0 tacnosti ito:

• primenom istog sistema KE u resavanju upo­rednog nelineamog problema za koji postoji "tacno"analiticko resenie (u tom smislu su razvijeni tzv."benchmark" testovi kojima se utvrduje performansatacnosti postignuta primenom odredenog oblika iii brojaKE) iii

• sprovodenjem analize sa razlicitorn gustinomrnreze sistema KE i sa razlicltlrn kriterijumima za postiza-

nje konvergencije uz zakljucivanje 0 tacnosti na osnovu"tacnoq" resenja dobijenog ekstrapolacijom (sto se kaopostupak cesto koristi jer nije rnoquce uvek naciodqovarajuci "benchmark" test).

Pojam stabilnost definise se u numerickom smislu ipredstavlja performansu osetljivosti modela na promenubitnih parametara. Ako se, kao posledica male promenenekog parametra modela, javi velika promena uprlbliznom resen]u, u pitanju je nestabilnost.

Na sl. 3. prikazan je dijagram promene performansitacnosti, stabilnosti i konvergencije u zavisnosti od brojaKE (iii gustine rnreze KE).

ro="cIII 0)0>1/)£~:.ororo :=-uIII c:... 0)lIlC)o ...c: 0)>U>ro c:-0.:.:.

nestabilno

broj konacnih elemenata

Slika 3. Konvergencija resenja u primeni MKE

Konvergencija je kao pojam povezana sastabllnoscu - resenie je stabilno ako je konvergentno.Povecanjem broja KE greska se povecava koddivergentnih, a smanjuje kod konvergentnih modela.

Drugi i treci koraka algoritma na sl. 1 (APROKSI­MACIJA 1 i APROKSIMACIJA 2), bitno uticu na kvalitetmodeliranja ponasanja sistema, u svim situacijama, pa iza poslove ispitivanja probnim opterecenjem, U tomsmislu, sva dalja razmatranja ce biti usmerena naformulisanje odqovarajuceq koncepta modeliranjaimajuci u vidu ove dve faze.

3. NUMERICKO MODELIRANJE ­APROKSIMACIJA 1

Posledice neodgovarajuceg geometrijskog modelira­nja vidljive su odmah i to na osnovu uvida u rnrezu KE,cak i od strane nedovoljno iskusnog korisnika softveraza analizu konstrukcija. Za uocavan]e ovakvih gresakanije potrebno posedovanje visokog nivoa znanja izteorije konstrukcija, odnosno MKE.

Nasuprot tome, problemi koji mogu da se ispoljezbog gresaka u nurnerickorn modeliranju (aproksimaciji),mnogo su kompleksniji. U ovom slucaiu posledice kori­scenja KE neodgovarajuceg tipa mogu da budu veomaozbiljne, sto ce biti ilustrovano.

Greske aproksimacije u uzern smislu (greske inter­polacionih funkcija) nastaju zbog razlike izmedu "tacnoq"i pretpostavljenog polja pomeranja. Greske interpola-

66

cionih funkcija najcesce nastaju zbog izbora neodgo­varajuceq tipa konacnoq elementa iii degenerisanjemoblika konacnoq elementa van odredenih granica. Kon­vergencija ka tacnom resenju zavisi od izbora formu­lacije MKE.

Dijagram na sl. 4 prikazuje tipicnu raspodelu greskeu zavisnosti od primenjene formulacije MKE. Kao sto sevidi, aproksimativno resenje, koje se dobija primenomMKE zasnovane na metodi deformacija, u opsternstuca]u, konvergira ka tacnom sa "donje" strane. Ovo jepotrebno naglasiti, jer je u CAA softver implementiranaMKE zasnovana na ovoj formulaciji, u najvecem brojuslucajeva,

Ako je diskretizacija sprovedena malim brojem kona­cnlh elemenata iii elementima kod kojih interpolacionefunkcije odstupaju od "tacnih", u najvecern broju sluca­[eva, dobijeni rezultati ukazivace na vece krutosti odrealnih. Medutim, kod elemenata koji ne zadovoljavajutzv. uslov konformnosti, nije moquce unapred definisatikarakter greske.

Kvalitetan CM softver sadrzi opcije kontrole prime­njenih KE, u cilju smanjenja qresaka interpolacije, sto jeveliki napredak u odnosu na vremena u kojima je ovaveoma delikatna faza bila prepustena manje iii viseverziranom iii iskusnom korisniku. U literaturi posveceno]MKE daje se dovoljan broj primera koji ilustruju tipicneqreske aproksimacije u uzern smislu. Primeri pokazujuda aproksimacija (izbor tipa KE) zahteva poseban tret­man cak i ako se radi 0 linearno-elasticno] statickojanalizi.

MATERIJALII KONSTRUKCIJE 49 (2006) 1-2 (64--75)

Page 4: NEKI ASPEKTI NUMERICKOG MODELIRANJA …scindeks-clanci.ceon.rs/data/pdf/0543-0798/2006/0543-07980602064K.… · metoda konacnih elemenata (MKE) postala je prakticno nezamenljiva metoda

Cll'c~Q)

EoQ.

Q)

:5"CllE'in.:.::oc..Cll

inoC

>U2

broj konacnih elemenata, tacnost interpolacionih funkcija

Slika 4. Tecnost resenje za rezliclte vidove MKE

"tacno"resenje

4. NUMERICKO MODELIRANJE ­APROKSIMACIJA 2

Ako se pretpostavi "skoro idealna" situacija u kojoj sugeometrijska diskretizacija i nurnericka aproksimacijaobavljene korektno, dolazi se do faze nurnerickoqmodeliranja ponasanja materijala i elemenata, konturnihi prelaznih uslova i dejstava. U ovoj fazi (APROKSI­MACIJA 2) numerickoq modeliranja rnozda najvise moguda dodu do izrazaja kreativne sposobnosti korisnikaCAA softvera/projektanta.

Naime, poznavanje prirode problema (ocekivanoponasan]e konstrukcije pod probnim opterecenjern),rnoqucih nacina analize (teorijske rnoqucnosti MKE) ipotencijala alata za resen]e problema (CAA softver) jeono sto izdvaja kompetentnog korisnika CAA soft­vera/projektanta.

"Rutinska" ispitivanja "standardnih" konstrukcija naprobno opterecen]e ne zahtevaju posebno kreativanpristup - dovoljno je postovanje odredbi tebnicke regula­tive. "Nestandardni" slucajevi zahtevaju posebantretman. Kao ilustracija su prikazani problemi sa kojimamoze da se succi korisnik CAA sortvera pri modeliranjurealnog ponasania konstrukcija za potrebe ispitivanjaprobnim opterecenjem. Posebno se izdvajaju situacije ukojima je potrebna primena nekog kompleksnognelinearnog modela iii nekog posebnog dinamickogmodela iii njihove kombinacije.

Vecina pravila pri formulisanju dinarnlckih modelakonstrukcija je poznata i kada su u pitanju modeli saraspodeljenom masom (tzv. distributed element mass) iiimodeli sa koncentrisanim masama (tzv. lumped mass).Modeli sa koncentrisanom masom su najcesce imple­mentirani u CAA softver s obzirom na njihovu nurnerickuefikasnost (usteda racunarskih memorijskih resursa,jednostavnija i brza manipulacija podacima, krace vremetrajanja proracuna...). Ovi modeli su, medutim manjetacni, posebno za vise oblike oscilovanja i odqovarajucestvojstvene frekvencije, 0 cernu ima dosta podataka uliteraturi posveceno] primeni MKE u dinamickoj analizikonstrukcija. Po pravilu, koriscenjern ovih modela, dobi-

MATERIJALII KONSTRUKCIJE 49 (2006) 1-2 (64-75)

jaju se nlze svojstvene frekvencije od "tacnih", stonavodi na zakliucak 0 manjoj krutosti modela od "tacne",a zapravo je posledica rasporeda koncentrisanih masa.

Greska rnoze da se bitno smanji ako se linijski iiipovrsinski konstrukcioni elementi diskretizuju dovoljnimbrojem linijskih iii povrsinskih KE sa dovoljnim brojemkoncentrisanih masa odgovarajuceg rasporeda.Naravno, "dovoljan broj" i "odqovarajuci raspored"zavise od svarne raspodele masa i krutosti, ali i odpotrebe obezbedenja uticaja visih tonova oscilovanja narezultat analize. avo vazi za svaki tip dinarnicke analize(stacionarne harmonijske vibracije, modalna analiza,direktna dinamicka analiza...).

Ispunjavanje navedenih "formalnih" zahteva jestepotreban, ali ne i dovoljan uslov za uspesnu dinamickuanalizu, pogotovu ako se ona zasniva na konceptumodalne superpozicije, na primer. Ponekad je potrebnoiz analize eliminisati svojstvene oblike - tonove koji nisureprezentativni za modeliranje dinarnickoq ponasanjakonstrukcionog sistema primenom modalne superpozi­cije. Primer na sl. 5 pokazuje sistem sa jasnom potre­bom da se neki svojstveni oblici iskljuce iz daljihrazmatranja.

Ociqledno je da su drugi i cetvrti svojstveni oblikposledica postojanja konstrukcionih elemenata cija jekrutost visestruko manja od prosecne krutosti ostalihelemenata. To su prakticno modovi nezavisnog oscilova­nja odqovarajucih elemenata. ani nisu od znacaja zasticanje uvida u realno dinamicko ponasan]e sistema,iako, teorijski gledano, postoje - dobijaju se izracunava­njem u okviru CAA softvera. Ako je dinarnicko ponasanjesistema u celini uslovljeno ponasanjern ovih elemenata,pomenuti modovi ne mogu da se iskljuce iz analize.Korisnik CAA softvera donosi odluku 0 ovome, naosnovu analize udela tih elemenata u ponasanje sistemau celini. U slucaiu primene metoda dinarnicke analizekoje nisu zasnovane na modalnoj superpoziciji (tzv. timehistory analysis), ova vrsta problema i ne dolazi doizrazaia. Mozda su ovakve situacije indikativne za dono­sen]e zakljucaka 0 kvalitetu metode analize zasnove namodalnoj superpoziciji.

67

Page 5: NEKI ASPEKTI NUMERICKOG MODELIRANJA …scindeks-clanci.ceon.rs/data/pdf/0543-0798/2006/0543-07980602064K.… · metoda konacnih elemenata (MKE) postala je prakticno nezamenljiva metoda

10.92Hz

~----_.'-'-'-'--1 t! t

I

i 1+o-.----+;.-------i!

20.32Hz 32.02Hz

i-----..--.-t ..- ....- ...----;; i

1 i

-

/~"

/ "-.(' ~, .A "_.._ .!

;

;

I ,

~ j

: "i -.- - _ _~ -~ - _ ~

I ; ;! ;I t

i i -,-...,

55.94Hz

I\//\'r-·_..,~'~i---~-1i ! !~ t •

~ ~ -i

78.58Hz

I-..- Ii I

88.11Hz

r--)-OJ.... _ ....._(

1 - \I ;

,/ ~

l..-------,---.iii

Slika 5. Sistem sa nekim "nereprezentativnim" svojstvenim oblicima

Sledeci primer dodatno potvrduje ovu tezu. Nairne,za jedan jednostavan sistem formulisan je dinamickimodel (sl. 6) sa raspodeljenom masom.

f=20.61Hz

...•._.-----..•-..--.-...-~-._r_.-. f=21.27Hz _: --......,.

U zategu je aplicirana sila zatezanja, cime je krutostsistema povecana.

U analizi slobodnih vibracija ovakvih sistemapotpuno je ocekivano da prvi (oblik "najmanje krutosti") idrugi svojstveni oblik imaju sirnetricnu i antirnetricnuformu. U ovom primeru upravo je suprotno. Prvi svoj­stveni oblik je antimetncantsl.sa), a drugi [eslmetrican(sI.6b). To je posledica velicine aksijalne krutosti prostihstapova zatege preko izvesne granice sto doprinosi daponasanie odgovara ponasanju sistema sa elastlcnimosloncem u srednjem cvoru.

Fenomen postojanja "qranicne velicine aksijalne kru­tosti" rnoze da se objasni i qranicnlrn odnosom energijefleksionih deformacija grede i energije aksijalnih defor­macija zatege u ukupnoj energiji deformacija sistema.

Analiza slobodnih vibracija po teoriji II reda ima zarezultat povecan]e prve (sI.6c) i druge (sI.6d) svojstvenefrekvencije, sto je i ocekivano. Zanimljivo je da prvafrekvencija prema teoriji II reda (antirnetricni oblik) idruga frekvencija po teoriji I reda (sirnetrlcni oblik) imajuveoma bliske vrednosti.

Ovi rezultati pokazuju potrebu uvodenja nelinearnihmodela u analizu slobodnih vibracija zbog uvida u realnoponasanje ispitivanog sistema. Fenomen koji je ilustro­van prethodnim primerom posebno je izrazen kod kon­strukcija mostova sa kosim zategama.

Kod oscilacija ploca oslonjenih na podvlake zapazajuse razlike u svojsrvenim frekvencijama za razliCiti sistemoslanjanja (sl. 7). Ploca "centricno" vezana za podvlaku("~f'" sl.7a) ima nize svojstvene frekvencije u odnosu naplocu cija gomja povrsina se poklapa sa gornjompovrsinorn podvlake ("y", sI.7b).

Slika 6. Svojstveni oblici i frekvencije - Iineamanelineama dinamicka analiza

68 MATERIJALII KONSTRUKCIJE 49 (2006) 1-2 (64--75)

Page 6: NEKI ASPEKTI NUMERICKOG MODELIRANJA …scindeks-clanci.ceon.rs/data/pdf/0543-0798/2006/0543-07980602064K.… · metoda konacnih elemenata (MKE) postala je prakticno nezamenljiva metoda

Slika 7. Razticite svojstvene frekvencije za razlicito oslanjanje place na podvlake

Primena MKE u numerickom modeliranju sistema zakoje je karakteristicno nelinearno ponasan]e zahtevaposeban pristup, gde je, zbog prirode resenja nelinear­nog problema potrebna primena nekog inkrementalno­iterativnog postupka. Cak i relativno mala pocetnagreska aproksimacije povecava se na osnovu akumula­cije gresaka u inkrementima.

Ako su kriterijum klasifikacije numericki aspekti,rnoze da se govori 0 dye grupe nelinearnih fenomena:

• problemi "glatke" nelineamosti ("smooth nonlinearity") i• problemi "hrapave" nelineamosti ("rough nonlinearity").

U sluca]u glatke nelinearnosti ponasanie konstrukcijeopisuje se kontinualnim (glatkim) konstitutivnim relacija­ma - u ovu kategoriju spadaju razliciti vidovi geome­trijske nelinearnosti (velika pomeranja, velike rotacije imale/velike deformacije.

Diskontinualna (hrapava) nelinearnost karakterise sediskontinuitetom u konstitutivnim relacijama iii u jedna­cinama oqranicen]a. Problemi materijalne nelineamostisa diskontinualnim konstitutivnim relacijama i tzv. kon­taktni problemi (sl. 8) pripadaju ovoj kategoriji.

~ , , P/2---.P

0'=-F

P

Stika 8. Materijalna nelinearnost i kontaktni problem

MATERIJALII KONSTRUKCIJE 49 (2006) 1-2 (64-75) 69

Page 7: NEKI ASPEKTI NUMERICKOG MODELIRANJA …scindeks-clanci.ceon.rs/data/pdf/0543-0798/2006/0543-07980602064K.… · metoda konacnih elemenata (MKE) postala je prakticno nezamenljiva metoda

Za obe kategorije nelinearnih problema karakteri­sticno je da resenje, sem za najjednostavnije slucajeve,ne rnoze da se dobije u analitlckom obliku. Zbog toga seprimenjuju postupci resavanja zasnovani na iterativnompriblizavanju, inkrementalni postupci, a u najvecern brojuslucajeva hibridni, tj. inkrementalno-iterativni postupci.

Kvalitetan CAA softver, izrnedu ostalog, sadrzi iopciju izbora neke varijante iterativnog iii inkrementalnogpostupka iii njihove kombinacije, pa je za kompetentnuprimenu ovih programa, pored poznavanja sustineosnovnog problema, potrebno i "optimalno" poznavanjenekih aspekata numericke analize.

Izbor odredenoq postupka za analizu zavisi odkonkretnog tipa nelinearnog problema. Postoje, nairne,izvesne razlike u metodologiji resavan]a geometrijskinelinearnih problema i problema materijalne nelinear­nosti. Ovde se razmatraju sarno fenomeni geometrijskenelinearnosti.

Za resenie problema geometrijske nelinearnosti nijepotrebno poznavanje ponasanja materijala pod optere­cenjem (nije neophodna eksperimentalna podloga), pasu ovakvi modeli prisutni u velikom broju racunarskihprograma za analizu po MKE. Nacin implementacijemodela u racunarskirn programima je razlicit.

Realno polje primene opste geometrijski nelinearneteorije u graaevinskom konstrukterstvu nije veliko.Nairne, sem za neke specificne slucajeve, cinjenica dase radi 0 velikim deformacijama, sto za posledicu imanelinearne veze izmedu pomeranja i deformacija, mozeda se zanemari. Prakticna posledica je znacajno

pojednostavljen nurnericki model ciji kvalitet aproksi­macije je zadovoljavajuci, Nairne, smatra se da ce pripovecaniu opterecenja, efekti materijalne nelinearnosti(plasticno tecenie, prekid kontinuiteta materijala, 10m,...)doci do izrazaja pre nego sto se ispolje efekti velikihdeformacija. Geometrijski nelinearna teorija u kojoj seusvajaju velika pomeranja i rotacije i prihvata pretpo­stavka 0 malim deformacijama poznata je kao geome­trijski nelinearna teorija u uzern smislu iii kao teorija 1/reda.

U teoriji Iinijskih nosaca, [ednacine teorije II redamogu da se dodatno pojednostave, ako se pretpostavida sile mogu da se odrede po Iinearnoj teoriji (teorija Ireda). Tako formulisana teorija je tzv. linearizovanateorija 1/ reda.

Svaka od pomenutih teorija ima svoj domen primene.Najveca tacnost postize se u okviru opste geometrijskinelinearne teorije, a najmanja u Iinearizovanoj teoriji IIreda. Primena teorije II reda, tj. geometrijske nelinear­nosti u uzern smislu, obezbeduie kvalitet aproksimacijekoji je dovoljan za resavanie najveceq broja realnihproblema. .

Proracun uticaja (pomeranja i sila u presecima)jedne konstrukcije je najopsfj]i vid geometrijski nelinear­nog problema. Odredivanje velicine kriticnoq opterece­nja, tj. ispitivanje stabilnosti sistema rnoze da se smatraza poseban (specijalni) sluca] proracuna uticaja, veeprema tome 0 kakvom fenomenu se radi i koja teorija seprimenjuje, sl. 9.

c)a)

w~::------E-~=-~~--~/! -I,... L .1b)

i I velika tiL II" : #:

" : I :., ~., ) /- !, ,, ''.j..•

malo tiL

. : .

: : :

II vrlo malo tiL I. . .

S/ika 9. Neki ob/ici geometrijski nelinearnog ponesenje

U prvom slucaju (sl. 9a) dijagram sila-pomeranjeukazuje na povecan]e krutosti na osnovu povecan]aopterecenia (tzv. hardening sistemi). U drugom slueaju(sl. 9b), posle smanjenja (tzv. softening sistemi) sledipovecan]e krutosti sistema, a izrnedu moze da postojiprevojna tacka (tangentna matrica krutosti nijesingularna iii je bliska singularnoj) iii stacionarna tacka(tangentna matrica krutosti je singularna) sto se u veclninumericklh postupaka detektuje kao dostizanje kriticnog

opterecenja, U trecem slucaju gubitak stabilnosti serealizuje naglim prelaskom na novu granu ravnoteze, stoje poznato kao protem iii preskok (tzv. snap-troughfenomen).

Osnovni postupak za ispitivanje stabilnosti jeproracun velicine kriticnog opterecenia, resenjernhomogenog problema linearizovane teorije II reda,det([Ko]+/..·[KG])=O, tj. odredivanjern /..-parametra kriti­cnog opterecenja (klasican problem svojstenih vrednosth

70 MATERIJALII KONSTRUKCIJE 49 (2006) 1-2 (64--75)

Page 8: NEKI ASPEKTI NUMERICKOG MODELIRANJA …scindeks-clanci.ceon.rs/data/pdf/0543-0798/2006/0543-07980602064K.… · metoda konacnih elemenata (MKE) postala je prakticno nezamenljiva metoda

sto je, kao metod, pogodno za resavan]e problemastabilnosti datih na sl. 10a. Na sl. 10b-e. dati su tipicniprimeri sistema sa velikim pomeranjima u cijoj analiziprimenom Iinearizovane teorije II reda do izrazaja dolazi

najveCi nedostatak ovog koneepta - proracun sila nanedeformisanoj konstrukciji primenom Jinearne teorije uprvom koraku.

,..

I~'P------------------------------------. P I• t1

L .1a) b) c)

~ .---------~---------~--_ F' r

....y--------_ .

_ ~ ~., , ,

II vrlo malo ~ I

~ ~ ~ ~ F'

.... i ...

malo ~ II

~ ~ • .___ F'

I velika ~ IISJika 10. Neki obJici geometrijski nelinearnog ponesenje

Za razliku od linearizovane teorije II reda, primenanekog inkrementalno-iterativnog postupka za resavan]egeometrijski nelinearnih problema podrazumeva pristupzasnovan na tzv. korigovanoj Lagrangeovoj formulaeiji(Updated Lagrangian Formulation). Na sl. 16. ilustrovanaje sustina ove formulaeije.

Inkrementalni pristup u analizi podrazumeva usvaja­nje inkremenata generaJisanih pomeranja kao nepozna­tih, cirne se tormulisu uslovi ravnoteze na kraju inkre­menta. Stanje napona i deformaeija u elementu rnoze da

bude analizirano u tri konfiguracije: pocetne "S" - "start',tekuce "G" - "current' i naknadne "N" - "next', koja je nainkrementalno malom rastojanju od tekuce,

Ako se kao referentna usvoji tekuca "G" konfiguraeijau pitanju je korigovana t.aqranqeova inkrementalnaformulacija. Primena ove formulaeije zahteva stalnupromenu lokalnog koordinatnog sistema konacnoq ele­menta. Iterativni postupei sluze za popravku inkremen­talnog resenja, na osnovu balansiranja neuravnotezenih(tzv. rezidualnih) opterecenia.

,1.y~J

illll'j.~~lrtI1.'1__1f~--~1

1

1

1 I----T-----I

, N 1

',1.U· ', J I

- - - - -:-- - L!-N1 <pj, ,

'I I' I II I r 1

- - - - -:- - - - - -:AU~ - -:- - - - - -:- - - - - ~ - - - - - "l - - - <i1C~1 I 1 I I I ,

, A' N ' , , , I

r: D.Y j , I IIC/I ' I<pr 1 1 , , I

- - - - - "_ - - - - - - - - - _1- ' -' _ _ _ _ _ I I I---,-----------I

, I I , I I ,

C I I , , , a ILJ ' I , , I ,y.' ,_ ;(; ~ ' ' ' .J J -'- J.!. !. _y. 1 I 'IISII1 I I I I 1I' I I I I , C I I

I I I 1 , I UI I ,

• ..................II--=+-I-J 1 I, I 1_____ '- , 1 , .J .J .J .L 1. _

1 I , I I , , I 1, 1 , I I I , I ,

, I 1 I I I I 1 II I I , , , 1 1 II , 1 , , , , I I

y

o xSlika 11. Pocetne, tekuce i naknadna inkrementalna konfiguracija

MATERIJALII KONSTRUKCIJE 49 (2006) 1-2 (64-75) 71

Page 9: NEKI ASPEKTI NUMERICKOG MODELIRANJA …scindeks-clanci.ceon.rs/data/pdf/0543-0798/2006/0543-07980602064K.… · metoda konacnih elemenata (MKE) postala je prakticno nezamenljiva metoda

Kod postupaka geometrijski nelinearne analize kojisu inkrementalnog karaktera, kriticno opterecen]eodreduje se, bez obzira na tip gubitka stabilnosti, zakonfiguraciju u kojoj je tangentna matrica krutosti siste­ma postala singularna iii za konfiguraciju u kojoj pocinjedivergencija postupka.

Kao ilustracija prethodnih razmatranja dat je, kaobenchmark test, primer proracuna pomeranja temenajednog "plitkog" luka (sl. 12). Rezultati su dati u tabeliispod slike.

Tacniji rezultati (blizi realnim) postizu se primenomkombinacije inkrementalnog pristupa i neke iterativnemetode za popravku resenja u okviru svakog inkre­menta. Razlika u rezultatima (i do 25%) koji se dobijajuna osnovu ovako formulisanog postupka (sa 20inkremenata opterecenja) i Iinearizovane teorije II redauglavnom nastaje zbog promene tangentne matrice

r

krutosti usled stalne korekcije geometrije sistema(geometry update).

Iterativno poboljsanie resenia svodi se nabalansiranje rezidualnih opterecenia i u tu svrhu moguda posluze varijante Newton-Raphsonovog (NR) iterati­vnog postupka. Za razliku od klasicnoq NR postupka(formiranje tangentne matrice krutosti u svakoj iteraciji),modifikovani NR postupak (MNR - formiranje tangentnematrice krutosti samo na pocetku inkrementa, tj. u prvojiteraciji) je, sa aspekta povecania efikasnosti proracuna,mnogo racionalniji i daje dovoljno tacne rezultate, cak iza relativno mali broj inkremenata opterecenia. Postoji imoqucnost da se matrica krutosti formira samo u prvojiteraciji prvog inkrementa (tzv. metoda inicijalne kruto­sti - MIK), sto u nekim slucajevlrna vodi u divergencijupostupka, cak i sa srazmerno velikim brojem inkre­menata.

L=10.0mE·I=104kNm2 E·A=104kN

10.98

10.98

14.93 21.06 29.86 31.59 44.78

15.78 22.50 33.46 34.96 53.41

16.33 23.02 36.86 36.45 67.61

16.33 23.02 36.85 36.44 67.61

16.33 23.02 36.85 36.44 67.65

16.35 23.06 37.01 36.55 68.60

Slika 12. Numericki test

Ociqledno je da prednosti primene inkrementalno­iterativnog postupka nelinearne analize sa korekcijomgeometrije dolaze do izrazaja u slucaievirna kada jeodnos apliciranog i kriticnoq opterecenja (tj. stepennelinearnosti problema) veci. Za procente ukfjestenja 0%i 100% vrednosti kriticnoq opterecenia su 69.09kN i149.13kN, dok se primenom linearizovane teorije II redadobijaju vrednosti 346.75kN i 587.15kN.

Drugi benchmark test (sl. 13) koji ilustruje prednostiinkrementalne analize sa korekcijom geometrije u

72

odnosu na standardni pristup je test rotacijeneopterecene konzole. Ako, naime, rotira ukljestenjekonzole za ~<p=+45°, slobodan kraj konzole irnacepomeranja: v=L·sh1rp i u=L·(cosL1rp-1). Primenom MKEpo Iinearnoj i linearizovanoj teoriji II reda dobijaju sepomeranja: v=L.L1rp i u=O(sl. 13a), sto znatno odstupa odtacnoq resenia, Primenom inkrementalnog postupka sakorekcijom geometrije (uz dovoljan broj inkremenata)postize se velika tacnost resenja (sl. 13b).

MATERIJALII KONSTRUKCIJE 49 (2006) 1-2 (64--75)

Page 10: NEKI ASPEKTI NUMERICKOG MODELIRANJA …scindeks-clanci.ceon.rs/data/pdf/0543-0798/2006/0543-07980602064K.… · metoda konacnih elemenata (MKE) postala je prakticno nezamenljiva metoda

u== L( cosze -1)114-4--...

e­<l...:.JII>

u=o

---"~------'~---------------------------------------

a)

L L

Slika 13. Uporedenje performansi Iinearizovane teorije II reda i geometrijske nelinearne teorije

Sledeci test (sl. 14) trebalo bi da bude ilustracijapotrebe da se pri odredivanju kriticnog optereceniarezultati dobijeni primenom linearizovane teorije II reda,

prihvate sa dosta rezerve, cak i kada je u pitanju jedansasvim uobicajen sistem.

lopKR= 9701 kN I

20

lopKR=9272kN II-pKR=2724kNI

Slika 14. Linearizovana teorija II redet") i geometrijski nelinearna teorijet'") - test za kritiCnu silu

Za okvir na skici (greda 21240, stub 1240, sa i bezzglobne veze na mestu spoja) radena je analizastabilnosti primenom linearizovane teorije II reda igeometrijski nelinearne teorije (inkrementalno-iterativnopostupak). Razlike u izvijenim oblicima i razlike u veliclnl

kriticne sile (244% i 340%) ukazuju na ozbiljnenedostatke linearizovane teorije II reda.

Postoje i konstrukcije ciji proracun je rnoquc sarnoprimenom geometrijski nelinearnih modela. Ovi sistemirealno mogu da budu nosaCi (kablovske konstrukcije, naprim.), ali su, ako se analiziraju primenom linearne iii

MATERIJALII KONSTRUKCIJE 49 (2006) 1-2 (64-75) 73

Page 11: NEKI ASPEKTI NUMERICKOG MODELIRANJA …scindeks-clanci.ceon.rs/data/pdf/0543-0798/2006/0543-07980602064K.… · metoda konacnih elemenata (MKE) postala je prakticno nezamenljiva metoda

linearizovane teorije II reda, kinematiCki nestabilni (51.15). Nairne, u tangentnoj matrici krutosti ovakvihsistema, linearna matrica je singularna iii bliskasingularnoj, bar u pocetno] fazi analize. Moqucnost

primene nekog CAA softvera za proracun ovakvihsistema moze da bude benchmark test njegovepodobnosti za nelinearnu analizu.

/

Stika 15. Testovi za utvrdivanje podobnosti CAA softvera za geometrijski netinearnu anatizu

5. ZAVRSNE NAPOMENE I ZAKLJUCCI

IImplementacijom MKE u CAA softver projektanti sudobili veoma rnocno sredstvo - "alat", jer su konscenialgoritmi zasnovani na sintezi i znanjima iz vise naucnihdisciplina (mehanika, analiticka geometrija, numerickaanaliza, teorija grafova, itd). Nerealno je da se ovakosirok raspon obrazovanja i odqovarajuci nivo znanja(potreban, zapravo, za formulisanje metode, tj.konstruisanje "alata") ocekuie od svakog projektanta (iiigradevinskog inzenjera), ali je sasvim opravdano da sezahteva posedovanje solidnog nivoa sustinskih znanja izosnovne struke (neophodan za pravilnu upotrebu"alata").

Od kvaliteta softverske implementacije zavisi kolikoce prednosti MKE u modeliranju doci do izrafaja, pa senarnece, kao kljucni, problem izbora softvera zanurnericku analizu konstrukcija.

Problemi koji mogu da se ispolje u primeni nekogCAA programa za modeliranje ponasania konstrukcijaispitivanih probnim opterecenjern su kompleksni i zahte­vaju poseban tretman. U suprotnom, posledice kori­scen]a nedoradenog iii nepouzdanog softvera, softverabez detaljnog uputstva, primene softvera od stranenekompetentnih iii nedovoljno obrazovanih korisnika,mogu da budu veoma ozbiljne,

Sa tim u vezi, postavlja se pitanje koncepta obrazo­vanja. Program sticanja i, posebno, provere znanja izprimarne struke trebalo bi da se prilagodi, pre svega,potrebi potpunog razumevanja sustine funkcionisanjanosecih konstrukcija. Sticanje "enciklopedijskog" znanjalzucavaruem rnnostva metoda za analizu rnozda obez­beduje siroko obrazovanje i doprinosi tehnicko] kulturi,ali odvlaci paznju i energiju i obara entuzijazam stude­nata. Takva znanja su nedovoljno efikasno iskoriscena inepotrebna, ako se u analizi kompetentno koristi CAAsoftver.

74

Nepovoljna okolnost je i neuskladenost delovaaktuelne tehnicke regulative u odnosu na cinjenicu da jeinformatizacija nasih projektnih biroa dostigla odredeninivo, sto ce se, verovatno, kao problem resiti kada se ukomisijama za izradu propisa pojave nove generacije (iprojektanata - korisnika CAA softvera i programera).Nairne, u slucaju suvise komplikovanih propisa,onernoqucen je kvalitetan i efikasan razvoj aplikacija izoblasti na koju se propisi odnose. Konceptualnazastarelost tehnicke regulative dovodi proizvodacesoftvera, distributere i korisnike u apsurdnu situaciju dasoftver kojim se bave ponekad sluzi svrsi uz nepotrebneteskoce,

6. L1TERATURA

[1] K.J. Bathe: Finite element procedures inengineering analysis, Prentice-Hall Inc., NewJersey, 1982.

[2] S. Dunica i B. Kolundziia: Nelinearna analizakonstrukcija, Naucna knjiga, Beograd, 1986.

[3] E. Hinton & D.R.Owen: Finite element programing,Academic Press, London, 1977.

[4] J.S. Przemieniecki: Theory of matrix structuralanalysis, McGraw-Hili, New York, 1968.

[5] M. Sekulovic: Metod konacnlh elemenata,Gradevinska knjiga, Beograd, 1988.

[6] Teorija konstrukcija - savremeni problemi nelinearneanalize, editor M. Sekulovic, Gradevinska knjiga,Beograd, 1992.

[7] T. J.R. Hughes: The Finite Element Method - LinearStatic and Dynamic Finite Element Analysis, DoverPublications, Inc. New York, 2000.

[8] R. Cook: Finite Element Modeling for StressAnalysis, John Wiley & Sons, Inc. New York, 1994.

MATERIJALII KONSTRUKCIJE 49 (2006) 1-2 (64--75)

Page 12: NEKI ASPEKTI NUMERICKOG MODELIRANJA …scindeks-clanci.ceon.rs/data/pdf/0543-0798/2006/0543-07980602064K.… · metoda konacnih elemenata (MKE) postala je prakticno nezamenljiva metoda

REZIME

NEKI ASPEKTI NUMERICKOG MODELIRANJA ­"REALNOG" PONASANJA KONSTRUKCIJA

Dusen KOVACEVIC

Ovaj rad, nasuprot stroke rasprostranjenom pristupu,istice koncept nurnerickoq modeliranja "realnog" ponasa­nja konstrukcija.

Postupci projektovanja, u naivecem broju slucaieva,podrazumevaju primenu "standardnih" proracunskihmodela. Odqovarajuca tehnicka regulativa - propisi ­favorizuje ovakav pristup, s obzirom na primarnu potrebuobezbedenja deklarisane nosivosti, stabilnosti, upotre­bljivosti i trajnosti gradevinske konstrukcije i poznateokolnosti u svakodnevnoj projektantskoj praksi.

Nurnericka analiza kompleksnih konstrukcijskihsistema zahteva sagledavanje "realnog" ponasanjakonstrukcija, tj. odredivanje realne nosivosti, stabilnosti iupotrebljivosti i narnece potrebu formulisanja i primene"optimalnih" numerickih modela. Ovi modeIi imaju potre­bnu/dovoljnu tacnost i odgovaraju aktuelnom stanjurazvoja rnoqucnosti nurneneke analize konstrukcija(razvoj MKE, racunarskih hardverskih resursa, sistem­skog softvera i CAA aplikativnog softvera).

Kljuene reci; Nurnencko modeliranje, MKE, CAAsoftver

MATERIJALII KONSTRUKCIJE 49 (2006) 1-2 (64-75)

SUMMARY

SOME ASPECTS OF NUMERICAL MODELING OF"REAL" STRUCTURAL BEHAVIOR

Dusan KOVACEVIC

This paper, in opposite to wide accepted approach,emphasize the concept of numerical modeling whichregard "real" structural behavior.

Design procedures, in most cases, imply applicationof "standard" calculation models. Correspondingtechnical regulations - design codes - favor thisapproach, according to necessity of assurance ofnominal structural bearing capacity, stability, servicea­bility and durability and because well known circum­stances in everyday design practice.

Numerical analysis of complex structural problemsdemand the understanding of "real" structural behaviori.e. determination of real structural bearing capacity,stability and serviceability and caused requirement offormulation and application the "optimal" numericalmodels. These specific models have needed/sufficientaccuracy and correspond to the actual state ofdevelopment of structural numerical modeling possi­bilities (development of FEM, computer hardwareresources, system software and CAA software).

Keywords: Numerical Modeling, FEM, CM software.

75