OTPORNOST MATERIJALA 2 - Osnovne akademske studije, III ... · OTPORNOST MATERIJALA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Prof dr Stanko Br£i¢ email: [email protected] Departman

Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila

OTPORNOST MATERIJALA 2

Osnovne akademske studije, III semestar

Prof dr Stanko Br£i¢email: [email protected]

Departman za Tehni£ke nauke

Drºavni Univerzitet u Novom Pazaru

2015/16

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2


Sadrºaj

1 Sloºeno naprezanje gredeNaponi pri kombinovanom naprezanju gredeEnergija deformacije pri sloºenom naprezanjuOdre�ivanje pomeranja primenom 2. Kastiljanovog stava

2 Stati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda silaKanonske jedna£ine Metode silaPrimeri primene Metode sila



Naponi pri kombinovanom naprezanju gredeEnergija deformacije pri sloºenom naprezanjuOdre�ivanje pomeranja primenom 2. Kastiljanovog stava

Sadrºaj






Sloºeno naprezanje grede

Naprezanja grednog nosa£a

Naprezanja grednog nosa£a mogu da se svrstaju u dve grupe1 osnovna naprezanja2 sloºena naprezanja

U osnovna naprezanja grednog nosa£a spadaju- aksijalno naprezanje- £isto pravo savijanje- torzija- savijanje grede silama

Ako je gredni nosa£ izloºen istovremenom dejstvu dva ili vi²eosnovnih slu£ajeva naprezanja, onda je takvo naprezanjekombinovano ili sloºeno





Naprezanja grednog nosa£a

Sve jedna£ine kojima se opisuju osnovni slu£ajevi naprezanja sulinearne

Prema tome, naponi i deformacije pri kombinovanomnaprezanju dobijaju se primenom zakona superpozicije

Na primer, £isto koso savijanje je kombinacija dva £ista pravasavijanja

Tako�e, ekscentri£no naprezanje pretstavlja kombinacijuaksijalnog naprezanja i jednog ili oba £ista prava savijanja




Primer sloºenog naprezanja

Ose y i z su glavne centralne ose inercije popre£nog preseka

Pravo savijanje silama u dve ravni (to je koso savijanje silama)

Aksijalno naprezanje





Komponentalni naponi pri sloºenom naprezanju grede

Posmatra se ²tap punog popre£nog preseka

Usvaja se da je osa ²tapa ozna£ena sa x, dok sy y i z glavnecentralne ose inercije popre£nog preseka

�tap je izloºen proizvoljnom prostornom optere¢enju, tako dase u popre£nim presecima javlja svih ²et sila u preseku:

N,Ty, Tz,Mt,My,Mz






Imaju¢i u vidu osnovna naprezanja, dobijaju se slede¢ikomponentalni naponi:

σx =N

A− Mz

Jzy +

My

Jyz

τxy =Ty S

∗z

Jz c(y)+Mt

Jt

∂Φ′

∂z

τxz =Tz S

∗y

Jy b(z)− Mt

Jt

∂Φ′

∂y

(1)

gde je Jt torziona konstanta popre£nog preseka, a Φ′ jeredukovana funkcija napona pri torziji






Kao ²to se uo£ava, pri najop²tijem slu£aju sloºenog(kombinovanog) naprezanja grednog nosa£a, javljaju se samodve komponente napona:

- normalni napon σx- smi£u¢i napon τ u ravni popre£nog preseka

Smi£u¢i napon τ je rezultuju¢i napon komponentalnih naponaτxy i τxzPrema tome, stanje napona je ravansko, pa se glavni naponiodre�uju prema izrazima:

σ1,2 =1

2

(σx ±

√σ2x + 4τ2

)tan 2α1 = −2τ

σx(2)




Primer sloºenog naprezanja: naponi u ta£ki






Od posebnog je interesa, pre svega za dimenzionisanje nosa£a,da se prvo odredi najopasniji (t.j. kriti£ni) popre£ni presek, azatim da se na�e kriti£na ta£ka u popre£nom preseku

Kriti£na ta£ka u popre£nom preseku je ona u kojoj se o£ekujuekstremne vrednosti odre�enih komponenti napona

To se (obi£no) vr²i probanjem, analiziraju¢i stanje napona unekoliko karakteristi£nih popre£nih preseka i ta£aka u njima




Sadrºaj






Deformacioni rad izraºen preko napona

Speci�£na energija deformacije

Ukupna energija deformacije koja se akumulira u grednomnosa£u pri proizvoljno optere¢enju data je sa:

U =

∫VU0 dV (3)

gde je U0 speci�£na energija deformacije, ili elasti£ni potencijal

Za linearno elasti£no izotropno telo U0 je dat u obliku:

U0 = U∗0 =1

2E

[σ2x + σ2y + σ2z − 2ν (σx σy + σy σz + σz σx)

]+

1

2G

(τ2xy + τ2yz + τ2zx

)Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2





U zavisnosti od na£ina naprezanja posmatrane grede (odn.posmatranog grednog nosa£a), u izraz za speci�£nu energijudeformacije unose se odgovaraju¢i komponentalni naponi

U slu£aju najop²tijeg kombinovanog naprezanja grede, samo sukomponente σx, τxy i τxz razli£ite od nule, tako da speci�£naenergija deformacije ima oblik

U0 =1

2

(σ2xE

+τ2xyG

+τ2xzG

)(4)






Imaju¢i u vidu izraze (3) i (4), integracija po zapremini svodise na integraciju unutar popre£nog preseka A i integraciju poduºini grede `:

U =1

2

∫ `

0

[∫A

(σ2xE

+τ2xyG

+τ2xzG

)dA

]dx (5)

U izraz (5) unose se izrazi (1) za komponentalne napone

Ose y i z su glavne centralne ose inercije popre£nog preseka,pa se, posle sre�ivanja, dobija kona£an izraz za energijudeformacije, za proizvoljno sloºeno optere¢enje grede






Energija deformacije je data u obliku:

U =1

2

∫ `

0

(N2

E A+

T 2y

GAy+

T 2z

GAz

+M2

t

GJt+

M2y

E Jy+

M2z

E Jz

)dx

(6)

gde su sa Ay i Az ozna£ene povr²ine smicanja popre£nogpreseka grede za y i za z pravac






Povr²ine smicanja date su izrazima:

Ay =J2z∫

A

(S∗zc

)2dA

Az =J2y∫

A

(S∗y

b

)2dA

(7)

Veli£ine GAy i GAz nazivaju se krutost grede na smicanje upravcu ose y, odn. z

Vidi se da bilo koja sila u preseku vr²i rad samo napomeranjima usled te iste sile

Drugim re£ima, rad bilo koje sile u preseku na pomeranjimausled ostalih sila u preseku jednak je nuli






Deo energije deformacije usled normalne sile i tansverzalnihsila obi£no je manji od dela energije deformacije usledmomenta torzije i momenata savijanja

Imaju¢i to u vidu, taj deo se £esto zanemaruje, pa izraz (6)ima oblik:

U =1

2

∫ `

0

(M2

t

GJt+

M2y

E Jy+

M2z

E Jz

)dx (8)






Izraz (6) je prikazan posmatraju¢i samo jedan ²tap

To moºe da se generali²e i za slu£aj sistema ²tapova, odn. nanosa£ sloºenije strukture

Dobija se izraz

U =1

2

∫s

(N2

E A+

T 2y

GAy+

T 2z

GAz

+M2

t

GJt+

M2y

E Jy+

M2z

E Jz

)ds

(9)

gde se integral∫s . . . ds odnosi na sve ²tapove sistema






Ako su popre£ni preseci promenljivi duº ²tapova, onda sugeometrijske karakteristike promenljive i ulaze u podintegralniizraz

Ako se zanemari uticaj normalnih i transverzalnih sila kodposmatranog sloºenog nosa£a (kod sistema ²tapova), energijadeformacije data je u obliku

U =1

2

∫s

(M2

t

GJt+

M2y

E Jy+

M2z

E Jz

)ds (10)




Sadrºaj






Odre�ivanje generalisanih pomeranja

Morov postupak

Ugibi i nagibi grede izloºene savijanju silama mogu da seodrede

- re²avanjem diferencijalne jedna£ine elasti£ne linije- primenom Mor-Maksvelove analogije

Generalisana pomeranja proizvoljne ta£ke linijskog nosa£amogu da se odrede preko energije deformacije sistema,primenom drugog Kastiljanovog stava

Generalisana pomeranja mogu da se odrede i primenomPrincipa virtuelnih sila





Morov postupak

Posmatra se proizvoljan nosa£ u prostoru, optere¢en saproizvoljnim kombinovanim optere¢enjem

Nosa£ je od linearno elasti£nog materijala

Ose y i z su glavne centralne ose inercije

Potrebno je da se odredi generalisano pomeranje ξi proizvoljneta£ke i nosa£a u datom pravcu ~niGeneralisano pomeranje moºe da bude linijsko pomeranje udatom pravcu, ili obrtanje oko date ose




Odre�ivanje generalisanog pomeranja





Morov postupak

Drugi Kastiljanov stav glasi:

Ako se energija deformacije linearno elasti£nog tela izrazipreko generalisanih sila, onda je parcijalni izvod energijedeformacije po nekoj od generalisanih sila jednakodgovaraju¢em generalisanom pomeranju

Dakle, primenom ovog stava mogu¢e je da se odredipomeranje samo u ta£kama u kojima deluju spolja²nje sile, pritome samo u pravcima delovanja tih sila





Morov postupak

Naravno, potrebno je da se odredi generalisano pomeranje bilokoje ta£ke u bilo kom pravcu

Da bi odredili pomeranje ξi neke ta£ke i u datom pravcu ~ni, uta£ki i se dodaje �ktivna generalisana sila Pi koja ima datipravac ~niGeneralisana sila Pi moºe da bude sila ili spreg

Formira se izraz za energiju deformacije sistema usleddelovanja spolja²njeg optere¢enja i �ktivne sile Pi





Morov postupak

Prema drugom Kastiljanovom stavu, diferenciranjem energijedeformacije po generalisanoj sili Pi, a zatim unose¢i da jePi = 0, jer je ta sila �ktivna, dobija se traºeno generalisanopomeranje

Dakle, polazi se od drugog Kastiljanovog stava:

∂U

∂Pi= ξi (11)





Morov postupak

Bilo koja sila u preseku, ozna£ena sa S, moºe da se prikaºe uobliku

S∗ = S + S̄ Pi (12)

gde je- S∗ . . . ukupna sila u preseku- S . . . sila u preseku usled spolja²njeg optere¢enja- S̄ . . . sila u preseku usled jedini£ne generalisane sile Pi = 1

Oznaka S zamenjuje bilo koju silu u preseku: N,Ty, . . . ,Mz





Morov postupak

Prema izrazu (9), izraz za energiju deformacije sastoji se odintegrala sa ²est £lanova oblika

U =1

2

∫s

S∗2

Bds =

1

2

∫s

(S + S̄ Pi)2

Bds

gde je B oznaka za bilo koji od imenioca u integralu (to suodgovaraju¢e krutosti: aksijalna, smi£u¢a, torziona ili nasavijanje)

Da bi se odredilo generalisano pomeranje, potrebno je da sediferencira izraz za energiju deformacije





Morov postupak

Dobija se∂U

∂Pi=

∫s

(S + S̄ Pi)

B· S̄ ds

Unose¢i sada u dobijen izraz da je Pi = 0, jer je sila �ktivna,dobija se

∂U

∂Pi=

∫s

(S · S̄)

Bds





Morov postupak

Imaju¢i u vidu ukupan izraz za energiju deformacije, dobija seizraz za traºeno generalisano pomeranje u obliku:

ξi =

∫s

(N N̄

E A+Ty T̄yGAy

+Tz T̄yGAz

+Mt M̄t

GJt+My M̄y

E Jy+Mz M̄z

E Jz

)ds

(13)

Ovaj integral se naziva Morov integral, a sam postupakodre�ivanja generalisanog pomeranja ξi naziva se Morovpostupak





Morov postupak

Nadvu£ene oznake za sile u preseku pretstavljaju sile u presekuusled jedini£ne �ktivne generalisane sile Pi = 1

Izra£unavanje integrala koji �guri²u u izrazu za generalisanopomeranje ξi ne vr²i se (osim izuzetno!) formalnomintegracijom

Pri tome treba da se ima u vidu da su sile u preseku usled�ktivne jedini£ne generalisane sile Pi = 1 date kao linearnidijagrami

Imaju¢i to u vidu, izra£unavanje integrala u izrazu za ξi vr²i seprimenom postupka Vere²£agina





Postupak Vere²£agina

Posmatra se pravolinijski segment duºine ` na kome jepotrebno da se odredi integral proizvoda dve funkcije f(x) ig(x):

J =

∫ `

0f(x) g(x) dx

Pri tome je funkcija f(x) proizvoljna, dok je funkcija g(x)linearna

Prema tome, funkcija g(x) moºe da se prikaºe kao

g(x) = a x+ b

gde su a i b odgovaraju¢e konstante










Uno²enjem linearne funkcije g(x) u integral, dobija se

J = a

∫ `

0x f(x) dx+ b

∫ `

0f(x) dx

Drugi integral pretstavlja povr²inu koja je ograni£ena krivomf(x), dok je prvi integral stati£ki momenat te povr²ine uodnosu na osu y:∫ `

0f(x) dx = Af

∫ `

0x f(x) dx = Sy = Af xT






Prema tome, integral moºe da se prikaºe kao:

J = Af (a xT + b) = Af g(xT ) = Af gT

gde je g(xT ) vrednost fukcije g(x) na mestu teºi²ta povr²ineAf

Dakle, traºeni integral se odre�uje prema formuli:

J =

∫ `

0f(x) g(x) dx = Af gT






Iskazano re£ima,

Vrednost integrala J dobija se kao proizvod povr²ine Af

koja je ograni£ena krivom f(x), i vrednosti funkcije g(x)na mestu teºi²ta povr²ine Af

Vrednosti integrala za nekoliko naj£e²¢ih oblika funkcija f(x) ig(x) date su u slede¢oj tabeli




Postupak Vere²£agina: karakteristi£ni slu£ajevi





Primer 1: Ugib i obrtnje preseka proste grede

Odrediti maksimalni ugib wmax proste grede raspona `,konstantne krutosti na savijanje EJ = const, kao i obrtanjeoslona£kog preseka α, optere¢ene ravnomernim raspodeljenimoptere¢enjem q = const






Da bi odredili maksimalni ugib posmatrane grede, koji je, zbogsimetrije, u sredini preseka grede, posmatra se jedini£na�ktivna sila P = 1 koja deluje u sredini grede i upravno nagredu

Ako je dijagram momenata savijanja proste grede, usledzadatog optere¢enja q = const, ozna£en sa M , a dijagrammomenata savijanja usled jedini£ne sile P = 1 ozna£en sa M̄ ,onda je ugib u pravcu i smeru sile P dat sa

ξ =

∫ `

0

MM̄

EJdx






Da bi odredili maksimalni ugib posmatrane grede, koji je, zbogsimetrije, u sredini preseka grede, posmatra se jedini£na�ktivna sila P = 1 koja deluje u sredini grede i upravno nagredu

Ako je dijagram momenata savijanja proste grede, usledzadatog optere¢enja q = const, ozna£en sa M , a dijagrammomenata savijanja usled jedini£ne sile P = 1 ozna£en sa M̄ ,onda je ugib u pravcu i smeru sile P dat sa

ξ =

∫ `

0

MM̄

EJdx











Momenti savijanja (karakteristi£ne vrednosti):- Raspodeljeno optere¢enje:

f =q `2

8

- Koncentrisana sila P = 1 u sredini:

f̄ =P `

4=`

4

Ugib u pravcu sile P dat je sa

ξ =

∫ `

0

MM̄

EJdx











Za silu P na proizvoljnom rastojanju α` od levog kraje, odn.β` od desnog kraja, ordinata momenta savijanja u preseku silejednaka je

Mmax = f = P`αβ

Moºe da se pokaºe da je integral momenata usledraspodeljenog optere¢enja i koncentrisane sile u proizvoljnompreseku α` dat sa:

EJ ξ =

∫ `

0MM̄ dx =

`

3f f̄ (1 + αβ)

gde su f i f̄ max ordinate momenata savijanja za raspodeljenooptere¢enje i za koncentrisanu silu






Imaju¢i ovo u vidu, za ugib proste grede usled raspodeljenogoptere¢enja se dobija

EJ ξ =`

3· q`

2

8· `

4· (1 +

1

2

1

2) =

5

384q `4

Prema tome, maksimalan ugib proste grede optere¢eneravnomernim optere¢enjem q = const jednak je

ξ = wmax =5

384

q `4

EJ






Obrtanje oslona£kog preseka dobija se kada se kao �ktivna silaupotrebi jedini£ni spreg M = 1 u preseku gde se traºi obrtanje:






Moºe da se pokaºe da je integral momenata usledraspodeljenog optere¢enja i koncentrisane sile u proizvoljnompreseku α` dat sa:

EJ ξ = EJα =

∫ `

0MM̄ dx =

`

3f f̄

gde su f i f̄ max ordinate momenata savijanja za raspodeljenooptere¢enje i za koncentrisan spreg:

f =q`2

8f̄ = 1






Prema tome, dobija se da je obrtanje oslona£kog presekajednako:

EJ α =`

3· q`

2

8· 1 =

q`3

48

odnosno,

α =q`3

48EJ

Zbog simetrije, obrtanje drugog preseka je isto, alipromenjenog znaka

β = −α = − q`3

48EJ



Kanonske jedna£ine Metode silaPrimeri primene Metode sila

Sadrºaj






Stati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila

Kanonske jedna£ine Metode sila

Nosa£ je stati£ki neodre�en kada je prisutno vi²e veza nego ²toje minimalno potrebno da bi nosa£ bio nepokretan sistem

Kada je nosa£ stati£ki neodre�en, prvo je neophdno da se re²istati£ka neodre�enostPostoje dve metode re²avanja stati£ki neodre�enih nosa£a:

1 Metoda sila2 Metoda deformacije

U Metodi sila potrebno je da se prvo odrede sve stati£kinepoznate veli£ine






Stati£ki nepoznate veli£ine su izabrane sile veze Xi kojeodgovaraju usvojenom osnovnom sistemu posmatranog nosa£a

Osnovni sistem je izabrani stati£ki odre�en nosa£ koji se dobijaposle uklanjanja izabranih veza u stati£ki neodre�enom nosa£u

Postoji vi²e mogu¢nosti usvajanja razli£itih osnovnih sistema

Naravno, koji god osnovni sistem bio izabran, krajnji rezultatmora da bude uvek isti (postoji jednozna£no re²enje)

Za neke osnovne sisteme lak²e se odre�uju stati£ki nepoznateveli£ine nego ze neke druge osnovne sisteme






Za usvojen osnovni sistem postavljaju se uslovne jedna£ine,£ijim re²avanjem se dobijaju stati£ki nepoznate veli£ine

Uslovne jedna£ine u Metodi sila pretstavljaju geometrijskeuslove, odn. uslove kompatibilnosti deformacija (uslovekompatibilnosti pomeranja)

Zna£enje uslovnih jedna£ina u metodi sila odgovara uklonjenimvezama (stati£ki nepoznatim veli£inama)

U najve¢em broju slu£ajeva, uslovne jedna£ine su iskazi da sugeneralisana pomeranja, na mestima uklonjenih veza, jednakanuli






Zbog linearnosti svih jedna£ina i veza, vaºi principsuperpozicije

Prema tome, svaka veli£ina, stati£ka ili deformacijaska,ozna£ena sa S, moºe da se prikaºe u vidu superpozicije

S = S0 +

n∑i=0

SiXi (14)

gde je sa n je ozna£en broj stati£ke neodre�enosti






U izrazu (14) uvedene su oznake:- S0 je posmatrana veli£ina u osnovnom (stati£ki odre�enom)sistemu usled zadatog optere¢enja, pri £emu su sve stati£kinepoznate jednake nuli Xi = 0

- Si je posmatrana veli£ina u osnovnom sistemu usled stanjaXi = 1

Stanje Xi = 1 pretstavlja jedini£nu vrednost stati£ki nepoznateveli£ine Xi, pri £emu su sve ostale stati£ki nepoznate jednakenuli

Uslovne jedna£ine metode sila pretstavljaju uslove da sugeneralisana pomeranja na mestima uklonjenih veza (stati£kinepoznatih veli£ina) jednaka nuli (eventualno jednaka nekojzadatoj vrednosti)






Ako se sa δi ozna£i generalisano pomeranje koje odgovarauklonjenoj vezi Xi, uslovne jedna£ine mogu da se prikaºu kao

δi = 0 (i = 1, 2, . . . , n)

Prema relaciji (14), generalisano pomeranje δi moºe da seprikaºe kao

δi = δi0 +

n∑i=1

δij Xj (i = 1, 2, . . . , n) (15)






U izrazu (15) uvedene su oznake:- δi0 . . . generalisano pomeranje δi u osnovnom sistemu usledspolja²njeg optere¢enja (pri £emu je Xi = 0)

- δij . . . generalisano pomeranje δi u osnovnom sistemu usledstanja Xj = 1

Prema tome, uslovne jedna£ine δi = 0 mogu da se napi²u uobliku:

δi = δi0 +

n∑i=1

δij Xj = 0 (i = 1, 2, . . . , n) (16)






U razvijenom obliku uslovne jedna£ine (16) glase:

δ10 + δ11X1 + δ12X2 + · · · + δ1nXn = 0

δ20 + δ21X1 + δ22X2 + · · · + δ2nXn = 0

...

δn0 + δn1X1 + δn2X2 + · · · + δnnXn = 0

(17)

U matri£nom obliku jedna£ine (17) glase

δ0 + ∆X = 0 (18)

sa o£iglednim oznakama za vektore i matricu






Jedna£ine (17) se nazivaju kanonske jedna£ine metode sila

Koe�cijenti δij uz stati£ki nepoznate Xi su Maksvelovi uticajnikooe�cijenti:

Uticajni koe�cijenti �eksibilnosti δij su generalisanapomeranja koja odgovaraju generalisanoj sili Xi, uosnovnom sistemu, usled delovanja jedini£ne generalisanesile Xj = 1

Pokazano je da su uticajni koe�cijenti δij simetri£ni:

δij = δji






Koe�cijenti δi0 su slobodni £lanovi u uslovnim jedna£inamaMetode sila

Koe�cijenti δi0 pretstavljaju generalisana pomeranja kojaodgovaraju generalisanoj sili Xi, u osnovnom sistemu, usleddelovanja spolja²njeg optere¢enjaUvode se slede¢e oznake:

- M0 . . . dijagram momenata savijanja u osnovnom sistemuusled zadatog spolja²njeg optere¢enja

- Mi . . . dijagram momenata savijanja u osnovnom sistemu usledstanja Xi = 1 (jedini£na vrednost stati£ki nepoznate Xi, pri£emu su sve ostale stati£ki nepoznate Xj jednake nuli)






Imaju¢i u vidu zna£enja koe�cijenata u uslovnim jedna£inamametode sila, koe�cijenti δij i δi0 dati su sa izrazima:

δij =

∫`

MiMj

E Jdx δi0 =

∫`

MiM0

E Jdx (19)

gde se podrazumeva integracija po svim ²tapovimaposmatranog nosa£a

U najve¢em broju slu£ajeva dominantan je uticaj momenatasavijanja, kao ²to je i prikazano u izrazima (19), posebno kodgrednih nosa£a (npr. kod kontinualnih nosa£a)






Kod okvirnih nosa£a moºe da bude zna£ajan i uticaj normalnihsila, tako da bi u tom slu£aju bilo:

δij =

∫`

MiMj

E Jdx+

∫`

NiNj

E Adx

δi0 =

∫`

MiM0

E Jdx+

∫`

NiN0

E Adx

(20)

gde je Ni dijagram normalnih sila u osnovnom sistemu usledXi = 1, dok je N0 dijagram normalnih sila u osnovnomsistemu usled zadatog optere¢enja




Sadrºaj







Primer 1: Obostrano uklje²tana greda

Odrediti dijagram momenata savijanja obostrano uklje²tenegrede raspona `, konstantne krutosti na savijanje EJ = const,optere¢ene ravnomerno raspodeljenim optere¢enjem q = const






Obostrano uklje²tena greda je tri puta stati£ki neodre�ena

Ukoliko ne postoji aksijalno optere¢enje, onda u gredi nepostoje normalne sile i greda je dva puta stati£ki neodre�ena

Osnovni sistem je prosta greda, a stati£ki nepoznate sumomenti uklje²tenja






Dijagrami momenata savijanja u osnovnom sistemu, usledoptere¢enja i stati£ki nepoznatih su, redom:

- kvadratna parabola sa ordinatom u sredini f = q`2/8- trougaoni dijagrami sa ordinatama 1.0 na krajevima






Koe�cijenti uslovnih jedna£ina dobijaju se "mnoºenjemmomentnih povr²ina", odn. izra£unavanjem integrala (19)

Imaju¢i u vidu da je krutost na savijanje konstantna,EJ = const, dobija se

EJ δ11 = EJ δ22 =`

3× 1.02

EJ δ12 = EJ δ21 =`

6× 1.02

EJ δ10 = EJ δ20 =`

3× 1.0 × f

gde je f = q`2/8






Uslovne jedna£ine, napisane u matri£nom obliku ∆X = −δ0,glase: [

`3

`6

`6

`3

]{X1

X2

}= −

{`3 f`3 f

}ili, posle skra¢ivanja sa `/3, u obliku:[

1 12

12 1

]{X1

X2

}= −

{ff

}Re²enje ovih jedna£ina je jednako:

X1 = X2 = −2

3f = −q`

2

12





Primer 2: Kontinualna greda

Odrediti dijagram momenata savijanja zadate kontinualnegrede sa dva raspona ` = 4.0m, konstantne krutosti nasavijanje EJ = const. Greda je optere¢ena koncentrisanomsilom u jednom rasponu i ravnomerno raspodeljenimoptere¢enjem q = const u drugom rasponu






Posmatrana kontinualna greda je jednom stati£ki neodre�ena

Za osnovni sistem se usvajaju dve proste grede, odnosno,stati£ki nepoznata je momenat savijanja X iznad srednjegoslonca






Dijagram momenata savijanja M1 za stanje X = 1 uosnovnom sistemu

Dijagram momenata M0 u osnovnom sistemu usled zadatogoptere¢enja






Uslovna jedna£ina Metode sila je

δ11X1 + δ10 = 0

Koe�cijent uz nepoznatu iznosi (po trougao u svakoj gredi):

EJδ11 = 2 × 1

3× 4.0 × 1.02 =

8

3

Slobodan £lan δ10 na delu koncentrisane sile dobija se kao zbirproizvoda povr²ine dva trougla dijagrama M0 i trougla itrapeza dijagrama M1






Koe�cijent δ10 je jednak:

EJδ10 =1

3× 2 × 2 × 0.5 =

8

3

+1

6× 2 × 2 × (2 × 0.5 + 1.0) =

4

3

+1

3× 4 × 1 × 2.0 =

8

3

Dobija se δ10 = 143 , tako da je stati£ki nepoznata jednaka

X = −δ10δ11

= −14383

= −14

3= −1.75 [kNm]












Documents

OTPORNOST MATERIJALA 2 - Osnovne akademske studije, III ... · OTPORNOST MATERIJALA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Prof dr Stanko Br£i¢ email: [email protected] Departman