METODA KONACNIH ELEMENATA - Osnovne akademske studije, … · Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija Napomene o predmetu Uvodne napomene o MKE Računski

Metoda konačnih elemenataRekapitulacija matrične analize konstrukcija

METODA KONAČNIH ELEMENATAOsnovne akademske studije, VI semestar

Prof dr Stanko Brčićemail: [email protected]

Departman za Tehničke naukeDržavni Univerzitet u Novom Pazaru

2014/15

Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata


Sadržaj

1 Metoda konačnih elemenataNapomene o predmetuUvodne napomene o MKERačunski modeli realnih problema

2 Rekapitulacija matrične analize konstrukcijaOsnovna ideja matrične analizeRešetkasti štapovi u lokalnom sistemuRešetkasti štapovi u globalnom sistemu



Napomene o predmetuUvodne napomene o MKERačunski modeli realnih problema

Sadržaj






Metoda konačnih elemenata

Osnovni podaci o predmetuNaziv: Metoda konačnih elemenataSemestar: VIFond časova: 2+2Studijski program: Građevinarstvo (OAS)ESPB: 5Status predmeta: obavezni





Osnovni podaci o predmetuUslov za sticanje potpisa:

- Uredno pohađanje nastave- Uspešno položena 2 kolokvijuma

Uslov za polaganje ispita:- Dobijen potpis- Položen ispit iz Otpornosti materijala 2, Statike konstrukcija1,2 nije uslov, ali je veoma korisno





Osnovni podaci o predmetuNačin polaganja ispita:

- Pismeni ispit u trajanju od 3÷ 4h

- Usmeni ispitInformacije o nastavi i predmetu:

- posle predavanja- www.np.ac.rs, Departman Tehničkih nauka, Nastavni materijali- asistent Emir Maslak




Metoda konačnih elemenata - Literatura

Metoda konačnih elemenata - LiteraturaM. Sekulović: Metoda konačnih elemenata, Građevinskaknjiga, Beograd, 1988M. Sekulović: Teorija linijskih nosača, Građevinska knjiga,Beograd, 2005M. Petronijević: Teorija konstrukcija 1, Građevinski fakultetUniverziteta u Beogradu, 2013O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor: The Finite Element Method forSolid and Structural Mechanics, 6th Ed., Elsevier, 2005T.J.R. Hughes: The Finite Element Method, Prentice Hall,Inc., 1987




Metoda konačnih elemenata - Literatura

Metoda konačnih elemenata - LiteraturaG.R. Liu, S.S. Quek: The Finite Element Method: A PracticalCourse, Butterworth-Heinemann, Elsevier Science, 2003R.D. Cook: Finite Element Modeling for Stress Analysis, JohnWiley & Sons, Inc., 1995D.V. Hutton: Fundamentals of Finite Element Analysis,McGraw Hill, 2004R.D. Cook, D.S. Malkus, M.E. Plesha, R.J. Witt: Conceptsand Applications of Finite Element Analysis, 4th Ed., JohnWiley & Sons, Inc., 2002itd . . .




Literatura

Softverski paketi od interesa

Tower 7 (Demo) . . . Radimpex Software,URL: www.radimpex.rsAxisVM (Student Study, Student Thesis - 180 dana). . . Structural Analysis & Design SoftwareURL: www.axisvm.euSAP2000, ETABS, CSiBridge . . . Computers & Structures, Inc.URL: www.csiamerica.comMATLAB The Language of Technical Computing . . .URL: www.mathworks.comitd . . .




Sadržaj







MKE - uvodne napomene

Metoda konačnih elemenata (MKE) ili The Finite ElementMethod (FEM) je numerički postupak za približno rešavanjegraničnih i početnih problema, odn. običnih ili parcijalnihdiferencijalnih jednačina sa datim graničnim i početnimuslovima

Granični problem (Boundary value problem, Field problem)određen je sa parcijalnom diferencijalnom jednačinomdefinisanom unutar nekog domena V ili Ω i sa odgovarajućimgraničnim uslovima na konturi Γ . . . statički problem





MKE - uvodne napomeneNa primer, može da se traži raspodela temperature, iliintenziteta magnetnog polja unutar neke oblasti, ili raspodelapomeranja i sila u preseku u linijskom nosaču, ugiba u ploči i sl.U matematičkom smislu, takvi problemi se definišudiferencijalnim jednačinama ili u obliku integralne formulacijeObe matematičke formulacije problema mogu da budu osnovza (približnu) numeričku formulaciju primenom MKE





MKE - uvodne napomeneDomen definisanosti problema, odnosno nepoznate veličine,može da bude linijski (1D), površinski (2D) ili prostorni (3D)Odgovarajuće koordinate koje definišu domen su nezavisnopromenljive veličine (koordinate), dok je tražena veličinanepoznata funkcija koordinataAko je domen problema linijski (1D), granični problem jedefinisan sa običnom diferencijalnom jednačinomU slučaju kada je domen 2D ili 3D, problem je definisan saparcijalnom diferencijalnom jednačinomRešenje graničnog problema je poznata raspodela traženeveličine unutar posmatranog domena






Početni problem (Initial value problem) određen je saparcijalnom diferencijalnom jednačinom definisanom unutarnekog prostornog domena V ili Ω, kao i u vremenskomdomenu t > 0 . . . dinamički problemU slučaju problema početnih vrednosti, osim graničnih uslovana konturi Γ domena, neophodni su i odgovarajući početniuslovi u početnom trenutku t = t0

Početni uslovi pretstavljaju poznate vrednosti funkcijeproblema i njenih izvoda po vremenu, u svim tačkama domenadefinisanosti, uključjujući i granicu, u početnom trenutkuvremena t = t0






Suština MKE je diskretizacija (podela) posmatranog domenana izabrane pod-domene, odn. na konačne elemente,usvojenog oblika, pri čemu su ti pod-domeni konačnihdimenzija i sa izabranim čvornim tačkama na granici, amoguće i u unutrašnjosti konačnog elementaKonačni elementi su jednostavnih oblika: linijski segmenti,trouglovi, četvorougli, paralelopipedi i sl.Cilj je da se stvarni fizički domen problema izabranimkonačnim elementima što bolje prikaže u računskom domenuprikazanom preko usvojene mreže konačnih elemenataCilj je da se postigne što bolje poklapanje fizičkog i računskogdomena





MKE - uvodne napomenePojedinačni konačni elementi mogu da se shvate kao malidelovi posmatranog domena i u pitanju su mali konačni delovi,a ne infinitezimalni (beskonačno mali) deloviKonačni elementi su međusobno povezani samo u čvornimtačkamaNepoznata veličina unutar konačnog elementa izražava sepreko poznatih funkcija raspodele unutar elementa i nepoznatihvrednosti funkcije u čvornim tačkama konačnog elementaČesto se za nepoznate vrednosti u čvornim tačkama konačnihelemenata, osim glavne nepoznate veličine, biraju još i prviizvodi nepoznate po koordinatama koje definišu domen




Diskretizacija računske oblasti

diskretizacija računske oblasti konačnim elementima (veća imanja gustina mreže)konačni elementi su međusobno povezani samo u čvornimtačkama






Unutar svakog konačnog elementa (kao male oblasti računsokgdomena) usvaja se jednostavna raspodela nepoznatih, npr. uobliku polinoma (linearnog, kvadratnog ili kubnog) inepoznatih vrednosti u čvornim tačkamaStvarna raspodela nepoznatih veličina unutar konačnihelemenata je drugačija, odn. komplikovanija, pa je zato rešenjedobijeno primenom MKE približnoŠto je mreža konačnih elemenata kojom se opisuje računskidomen problema gušća, to je odstupanje između tačnog ipribližnog rešenja manje





Određivanje broja π preko pravilnih poligona upisanih u krug





Sa povećanjem broja stranica poligona upisanog u krug dobija sebolja aproksimacija broja π





MKE - uvodne napomeneUsvojene funkcije raspodele nepoznatih unutar elementa zovuse interpolacione funkcije (shape functions), dok su vrednostinepoznatih u čvorovima elementa čvorne nepoznate (nodalunknowns)Osim osnovne nepoznate veličine (npr. komponentepomeranja), za čvorne nepoznate mogu da se usvoje i izvodiosnovne nepoznate po prostornim koordinatama





MKE - uvodne napomeneNa primer, u analizi ploča primenom MKE, za čvornenepoznate biraju se veličine

w,∂w

∂x,

∂w

∂y

gde je w ugib ploče (pomeranje u pravcu ose z upravno naploču), dok su ∂w

∂x i ∂w∂y obrtanja oko osa u ravni ploče





MKE - uvodne napomeneUnoseći prikazivanje nepoznate veličine u svakom konačnomelementu (preko poznatih interpolacionih funkcija unutarelementa i nepoznatih čvornih vrednosti) u diferencijalnejednačine graničnog problema, i “sabiranjem” doprinosapojedinih konačnih elemenata, dolazi se do sistema algebarskihjednačina po čvornim nepoznatimProces “sabiranja” pojedinih konačnih elemenata u ciljuprikazivanja kompletnog računskog domena zove se “assembly”





MKE - uvodne napomeneRešavanjem sistema algebarskih jednačina dobijaju se čvornenepoznate, odn. vrednosti traženih veličina (osnovnihnepoznatih) u svim čvorovima usvojene mrežeImajući u vidu poznatu interpolaciju nepoznate veličine unutarsvakog konačnog elementa, koja se izražava preko većodređenih čvornih vrednosti nepoznate, dobija se (približna)raspodela nepoznate veličine unutar cele računske oblastiUkoliko je mreža konačnih elemenata gušća, odn. ukoliko jeveličina konačnih elemenata manja, dobijeno približno rešenjemanje odstupa od tačnog





MKE - uvodne napomeneAko se posmatra dinamički problem, odn. problem početnihvrednosti, primenom MKE vrši se diskretizacija domena(diskretizacija po prostoru), pa se dolazi do sistema običnihdiferencijalnih jednačina po vremenu po čvornim nepoznatimPrema tome, posle prostorne diskretizacije domenaposmatranog problema primenom MKE dolazi se do:

- sistema algebarskih jednačina . . . za statički problem- sistema običnih diferencijalnih jednačina po vremenu . . . zadinamički problem





(a) diskretizacija računske oblasti konačnim elementima(b) u jednačini za čvor “i” sadržan je doprinos svih konačnih

elemenata oko čvora “i”




Sadržaj







Računski modeli realnih problema

Posmatrani realan fizički problem treba da se (dobro) razumeZa fizičke pojave i probleme od interesa postoje odgovarajućematematičke formulacijeAko može da se odredi analitičko rešenje matematičkeformulacije problema, problem je (načelno) rešenAko je matematička formulacija problema suviše kompleksna,analitičko rešenje (često) nije mogućeU takvim slučajevima matematička formulacija se uprošćavai/ili se traži numeričko rešenje





Računski modeli realnih problemaMKE je najpoznatija i najviše korišćena metoda za numeričkarešavanja posmatranih realnih problemaMKE ima niz prednosti u odnosu na druge numeričkepostupke:

- MKE može da se primeni na bilo koji granični i/ili početniproblem: prenos toplote, naponsku analizu, analizu magnetnihi elektromagnetnih polja, analizu kretanja fluida, problemeinterakcije fluida - konstrukcije, tla - konstrukcije, itd

- u primeni MKE nema geometrijskih ograničenja: MKE možeda se primeni na domen bilo kakve geometrije, odn. oblika

- nema nikakvih ograničenja po pitanju graničnih uslova iopterećenja koje deluje





Računski modeli realnih problemaMKE ima niz prednosti u odnosu na druge numeričke postupke(nastavak):

- materijalne osobine nisu ograničene, npr., na izotropiju(jednaka fizička svojstva u svim pravcima), već mogu da buduproizvoljne, uključujući i različite u svakom elementu

- u istom računskom modelu mogu da se istovremeno primenjujukonačni elementi koji su međusobno različitog ponašanja(konačni elementi za proste štapove, za gredene elemente, zakablove, za ploče i ljuske itd)

- primenom MKE mogu da se posmatraju i nelinearni problemi:geometrijski i/ili materijalno





Računski modeli realnih problemaMKE ima niz prednosti u odnosu na druge numeričke postupke(nastavak):

- računski model formiran primenom MKE najviše odgovararealnom prototipu

- numerička aproksimacija može da se poboljša povećanjemgustine mreže konačnih elemenata: globalno, ali i lokalno, uzonama gde je veći gradijent promene nepoznatih veličina

- imajući u vidu sve veće mogućnosti računara, računski modelimogu da budu jako veliki: n× 106 nepoznatih





Računski modeli realnih problemaMKE ne može da se realizuje “pešice”, bez računaraPostoje brojni komercijalni programi zasnovani na MKE, kao islobodni (Open Source) programi za istraživačke potrebeMKE računarski programi mogu da budu

- opšte namene (praktično, za bilo kakav problem)- specijalizovani, za neku konkretnu klasu problema (npr. zauticaje zemljotresa na konstrukcije, za analizu mostova,zgrada, za analizu fluida (CFD - Computational FluidDynamics), za geotehničke probleme, . . . )

Praktično da nema oblasti u inženjerstvu i fizici (pa i hemiji -Computational Chemistry) gde se ne koristi MKE





Računski modeli realnih problemaVrhunski MKE programi opšte namene:MSC Nastran, NISA, FEMAP/NX Nastran, ANSYS, ADINA,ABAQUSVrhunski programi orjentisani na dinamičke probleme:MSC Marc, LS-DYNA, Extreme Loading for Structures (AEM)MKE programi orjentisani na analizu konstrukcija:Sofistic, SAP2000, Robot Millennium, Advance, AxisVM,Tower, Lisa, Diana, STAADMKE programi orjentisani na analizu zgrada i mostova:ETABS, SAFE, CSI Bridge, Lusas





Računski modeli realnih problemaOpen Source FEM programi opšte namene:FreeFEM++, GetFEM++, OOFEMOpen Source FEM programi specifične namene

- za seizmičku analizu:OpenSees, SeismoStruc, SASSI

- za analizu fluida i interakciju fluida i konstrukcije:OpenFOAM

- za analizu dinamičke interakcije tla i konstrukcije:SASSI




ANSYS - primena MKE na razne oblasti




ANSYS - mogućnosti u primeni na konstrukcije




Numerički model automobila




Numerički model kontakta točak - šina




Numerički model složene pojave












Fasade od (perforiranog) bakarnog lima




Perforirani bakarni lim Tecu-Oxid-Mesh




Fasada od perforiranog bakarnog lima




Numerički model fasade




Numerički model fasade




Numerički model čelično-betonske hale




Numerički model stambeno-poslovne zgrade





Računski modeli realnih problemaProgram zasnovan na MKE može da koristi svako ko dovoljnonauči “user interface”Međutim, takvom korisniku nameću se razna pitanja, npr:

- koji konačni elementi treba da se koriste i sa kojom gustinom- da li treba na nekim mestima domena da bude gušća mreža- koji nivo detalja fizičkog problema treba da bude prikazan- da li je značajni aspekt ponašanja posmatranog problemalinearan ili nelinearan / statički ili dinamički

- koji parametri u dijalogu za neki algoritam treba da se usvoje- kolika će da bude tačnost dobijenih rezultata- kako da se proveri da li su rezultati dobri- itd . . .





Računski modeli realnih problema

Numeričko modeliranje konstrukcija (posmatranog problema)nije jednostavan posaoPotrebno je dovoljno poznavanje puno toga vezano za fizičkiproblem koji se posmatra:

- teorija konstrukcija (statika, dinamika, stabilnost, . . . )- specifičnosti materijala (beton, čelik, drvo, opeka, . . . )- specifičnosti odgovarajućih konstrukcija (AB, prednapregnute,čelične, spregnute, zidane konstrukcije, . . . )

- načine prikazivanja pojedinih opterećenja: uticaj vetra,zemljotresa, uskladištenog materijala u silosu, vodotornju,rezervoaru za naftu, . . .

- detalja raznih postupaka i algoritama u specifičnim nelinearnimi/ili dinamičkim analizama





Računski modeli realnih problemaPodrazumeva se da onaj ko vrši numeričku analizu u dovoljnojmeri poznaje i računarski program koji koristi, kao imogućnosti i ograničenja programaOsim toga, potrebno je da se dovoljno poznaje i sama metodakonačnih elemenata, kao i aproksimacije koje su usvojene isadržane u samoj MKENaravno, i pored svega veoma lako mogu da se naprave raznegreške u opisivanju problema računarskom programu

Računari rade onako kako je napravljen program, a neonako kako bi korisnik želeo da računar radi



Osnovna ideja matrične analizeRešetkasti štapovi u lokalnom sistemuRešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Sadržaj






Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize linijskih nosačaMatrična analiza konstrukcija je postupak analize linijskihnosača zasnovan na primeni matricaOsnovna ideja matrične analize je da se linijski nosač posmatrakao skup određenog broja elemenata (štapova) koji sumeđusobno vezani u čvorovima nosačaU svakom elementu nosača sile i pomeranja unutar elementaizražavaju se preko izabranih parametara u čvorovima nosačaTi parametri u čvorovima nosača pretstavljaju osnovnenepoznate veličine u matričnoj analizi





Osnovna ideja matrične analize linijskih nosača

Za nepoznate parametre u čvorovima nosača (u ravni) moguda se izaberu:

1 generalisanja pomeranja (komponente pomeranja i obrtanje). . .u, v, ϕ

2 sile u čvorovima (komponente sile i spreg) . . .H,V,MZa određivanje nepoznatih parametara u čvorovima koriste sedve grupe jednačina:

1 uslovi ravnoteže sila u čvorovima2 uslovi kompatibilnosti generalisanih pomeranja u čvorovima





Osnovna ideja matrične analize linijskih nosačaAko se za nepoznate izaberu pomeranja u čvorovima onda setakva varijanta matrične analize naziva metoda deformacije(direct stiffness method)U tom slučaju, nepoznata čvorna pomeranja određuju se izuslova ravnoteže sila u čvorovimaAko se za čvorne nepoznate usvoje sile u čvorovima nosača,onda se takva varijanta matrične analize zove metoda sila,metoda fleksibilnostiNepoznate čvorne sile se u tom slučaju određuju iz uslovakompatibilnosti pomeranja u čvorovima





Osnovna ideja matrične analize linijskih nosačaU matričnoj analizi linijskih nosača dominantna je metodadeformacije (direktna metoda krutosti), dok se metoda silapraktično ne koristiMatrična analiza linijskih nosača sastoji se iz tri celine:

1 analize štapa . . . uspostavljaju se matrične veze između sila nakrajevima štapa, čvornih pomeranja i opterećenja duž štapa

2 analize nosača . . . matrične relacije za svaki štap “sabiraju” se iformiraju se uslovne jednačine za ceo sistem

3 rešavanja jednačina . . . uslovne jednačine sistema se reše, pase, sa određenim osnovnim nepoznatim čvornim pomeranjima,određuju sile u preseku i pomeranja duž svih štapova nosača





Osnovna ideja matrične analize linijskih nosačaPrve ideje o matričnoj analizi konstrukcija javile su se još 1938.





Osnovna ideja matrične analize linijskih nosačaMatrična analiza konstrucija počela je da se šire primenjuje teksa razvojem računaraMetoda deformacije (direct stiffness method) se pokazalaznatno pogodnija za primenu zbog jednostavnije formulacije ibolje konvergencije, tako da se u analizi linijskih nosačaisključivo ona primenjujeNaziv “direktna metoda krutosti” potiče od matrice krutostikoja povezuje sile i pomeranja na krajevima štapa i načinanjenog određivanja





Osnovna ideja matrične analize linijskih nosača

Matrična analiza linijskih nosača (u ravni) je osnov metodekonačnih elemenataMKE se brzo razvila u znatno širi postupak od matrične analizelinijskih nosača (koja je zasnovana na linearnoj teoriji štapa)MKE se brzo proširila sa linijskih (1D) na 2D i 3D nosače, kaoi na dinamičke probleme i probleme stabilnostiParalelno, razvijali su se i prvi računari:

- 1951 . . . Univac I- 1953 . . . IBM 701





Osnovna ideja matrične analize linijskih nosačaTakođe, pojavio se i prvi programski jezik za programiranja unauci i tehnici: FORTRAN, 1957Osim toga, razvili su se postupci za analizu nelinearnihproblema, kako u domenu geometrijske, tako i u oblastimaterijalne nelinearnostiNaravno, MKE se vremenom razvila i na primene u (praktično)svim drugim oblastima inženjerstva, fizike, hemije, medicine(analiza krvotoka, kostiju, . . . ) itd.




Nastanak MKE iz Matrične analize

MSA - Matrix Structural AnalysisDSM - Direct Stiffness Method




Sadržaj







Matrična analiza štapa u ravniMeđusobne veze štapova u čvorovima mogu da budu krute ilizglobneU zavisnosti od toga, razlikuju se štapovi:

- tipa k . . . na oba kraja štapa (i,k) je kruta veza- tipa g . . . na jednom kraju štapa (i) je kruta veza, na drugom(g) je zglobna

- prost štap . . . na oba kraja štapa je zglobna veza i nemaopterećenja duž štapa

Zglobna veza znači da je omogućena relativna rotacija zglobnovezanog štapa u odnosu na osu u zglobu ⊥ na ravan nosačaNa zglobno vezanom kraju g štapa obrtanje ϕ nije nepoznataveličina (može da se odredi iz uslova Mg = 0)




Tipovi štapova kod linijskog nosača

Tipovi štapova kod linijskog nosača u ravni i odgovarajućageneralisana čvorna pomeranja





Matrična analiza štapa u ravniAnaliza štapa podrazumeva uspostavljanje veza izmeđupomeranja i sila na krajevima štapa, odn. između pomeranjana krajevima i opterećenja štapaImajući u vidu proizvoljnu topologiju linijskih nosača u ravni,geometrija nosača definiše se u izabranom globalnomkoordinatnom sistemu OXYTakođe, za svaki štap se definiše lokalni koordinatni sistemixy, gde je i početni čvor štapa, osa x je osa štapa (sasmerom od čvora i ka čvoru k), dok je osa y upravna napravac štapa u ravni nosača





Matrična analiza štapa u ravniOba koordinatna sistema, globalni i lokalni, su desne orjentacijeU analizi pojedinačnog štapa izvode se prvo veze između sila ipomeranja na krajevima štapa u lokalnom sistemuImajući u vidu položaj svakog štapa u odnosu na globalnikoordinatni sistem, izražen preko ugla α = ∠(X,x), vrši setransformacija iz lokalnog u globalni sistemVeze između sila i pomeranja na krajevima štapa, izražene uglobalnom sistemu, “sabiraju” se i dolazi se do globalnihjednačina sistema




Matrična analiza štapa u ravni

Čvorna pomeranja i čvorne sile

Posmatra se, kao najopštiji slučaj, štap tipa k (kruta veza naoba kraja)Čvorna pomeranja na krajevima štapa u lokalnom sistemuobeležavaju se sa:

- na kraju i . . .ui, vi, ϕi (pomeranja čvora i u pravcima osa x i yi obrtanje čvora oko ose z)

- na kraju k . . .uk, vk, ϕk

Alternativno, koriste se oznake qi (i = 1, 2, . . . , 6) i nazivgeneralisane koordinate:

- na kraju i . . . q1, q2, q3- na kraju k . . . q4, q5, q6





Čvorna pomeranja i čvorne sile

Čvorne sile u lokalnom sistemu obeležavaju se takođe na dvanačina

- na uobičajen način . . . čvor i: Ni, Ti,Mi, čvor k: Nk, Tk,Mk

- alternativno, sa oznakom Ri . . . čvor i: R1, R2, R3, čvor k:R4, R5, R6

Napominje se da su pozitivni smerovi čvornih sila i čvornihpomeranja, na oba kraja štapa, u pozitivnim smerovimalokalnih osaČvorna pomeranja i čvorne sile, izražene u globalnom sistemuobeležavaju se sa gornjim indeksom (..)∗: q∗i , R

∗i , (i=1,2 . . . ,6)




Lokalni i globalni koordinatni sistem

Sile i pomeranja na krajevima štapa izražene u (a) lokalnom i(b) globalnom koordinatnom sistemu





Čvorna pomeranja i čvorne sileVektori čvornih pomeranja i čvornih sila na krajevima štapatipa k, izraženo u lokalnim koordinatama ixy, prikazuju se uobliku vektora kolona:

q =

q1q2q3q4q5q6

=

uiviϕi

ukvkϕk

R =

R1

R2

R3

R4

R5

R6

=

Ni

TiMi

Nk

TkMk




Osnovni tipovi štapova u ravni

Sile i pomeranja na krajevima štapa izražene u lokalnomkoordinatnom sistemu





Matrica krutosti štapa u ravniPrema tome, štap tipa k ima šest stepeni slobode: po tri usvakom čvoruŠtap tipa g ima pet stepeni slobode: tri u čvoru i, kao i dva učvoru gProst štap ima samo dva stepena slobode: po jedno pomeranjeu svakom čvoruRedosled čvornih pomeranja (kao i čvornih sila) u vektorimačvornih pomeranja q i sila R uvek je isti





Matrica krutosti štapa u ravniVeza između vektora čvornih sila i čvornih pomeranja prikazujese u obliku

R = K q (1)

gde je sa K označena matrica krutosti štapaRelacija (1) pretstavlja osnovnu jednačinu neopterećenog štapaMatrica K može da se posmatra kao preslikavanje vektoračvornih pomeranja q na vektor čvornih sila R





Matrica krutosti štapa u ravniZa štap tipa k, sa 6 stepeni slobode, matrica krutosti K jekvadratna matrica reda 6

K =

k11 k12 · · · k1j · · · k16k21 k22 · · · k2j · · · k26...

......

...ki1 ki2 · · · kij · · · ki6...

......

...k61 k62 · · · k6j · · · k66





Matrica krutosti štapa u ravni

Ako se relacija (1) R = K q napiše u razvijenom obliku:

R1

R2...Ri...R6

=

k11 k12 · · · k1j · · · k16k21 k22 · · · k2j · · · k26...

......

...ki1 ki2 · · · kij · · · ki6...

......

...k61 k62 · · · k6j · · · k66

·

q1q2...qj...q6

vidi se da je sila Ri jednaka

Ri =

6∑j=1

kij qj (2)





Matrica krutosti štapa u ravni

Iz relacije (2) dobija se fizičko značenje elemenata matricekrutosti:

Element kij matrice krutosti pretstavlja silu Ri usledpomeranja qj = 1, pri čemu su sva ostala pomeranjajednaka nuli qi = 0, i 6= j

To znači da elementi kolone j matrice krutosti:k1j , k2j , . . . , k6j pretstavljaju sile R1, R2, . . . , R6 usledjediničnog čvornog pomeranja, odn. usled stanja qj = 1





Matrica krutosti štapa u ravniMatrica krutosti je simetrična: kij = kji usled stava ouzajamnosti reakcija (odn. Maxwell-ovog stava o uzajamnostipomeranja)Matrica krutosti je singularna: od 6 sila na krajevima štapa 3su linearno nezavisne, dok ostale 3 mogu da se odrede izuslova ravnotežeKada se totalno uklještenom i neopterećenom štapu zadageneralisano pomeranje qj = 1 i odrede reakcije oslonaca Ri

(i=1,2,. . . , 6) usled tog pomeranja, tada reakcije pretstavljajuelemente kolone j matrice krutosti





Matrica krutosti štapa u ravniAko se ovakav postupak ponovi za sva generalisana pomeranjaqj , j=1,2,. . . ,6, dobijaju se sve kolone matrice krutosti, a timei svi elementi matrice K

Ovakav način određivanja matrice krutosti štapa naziva sedirektan postupak (metoda)Relacija (1) je osnovna jednačina neopterećenog štapaAko je štap opterećen duž svoje ose, uticaj opterećenja seprikazuje preko vektora ekvivalentnog opterećenja





Vektor ekvivalentnog opterećenjaEkvivalentno opterećenje je koncentrisano opterećenje nakrajevima štapa kojim se zamenjuju spoljašnji uticaji duž oseštapaEkvivalentno opterećenje Q u čvorovima datog nosača jednakoje negativnim vrednostima reakcija oslonaca i uklještenjadeformacijski određenog sistema datog nosačaVektor ekvivalentnog opterećenja štapa jednak je negativnimvrednostima reakcija oslonaca opterećenog štapa kome susprečena pomeranja krajeva




Vektor ekvivalentnog opterećenja





Vektor ekvivalentnog opterećenjaKao što je rečeno, nepoznata čvorna pomeranja nosačaodređuju se iz uslova ravnoteže sila u čvorovimaSile u čvorovima potiču od spoljašnjeg opterećenja, t.j. od:

- spoljašnjih sila koje deluju direktno u čvorovima- ekvivalentnog opterećenja u čvorovima koje zamenjujeraspodeljeno ili koncentrisano spoljašnje opterećenje duž oseštapova

Osim toga, prema vezi (1), nepoznate čvorne sile prikazuju sepreko matrice krutosti i nepoznatih čvornih pomeranja





Vektor ekvivalentnog opterećenjaSve matrice i vektori prikazuju se u globalnom koordinatnomsistemu (vrši se transformacija iz lokalnog u globalni sistem)Posle odgovarajućeg “sabiranja” po pojedinim čvorovimanosača dolazi se do globalnih uslova ravnoteže celog nosača:

K∗ q∗ = S∗ (3)

(sa gornjim indeksom (..)∗ označene su matrice i vektori uglobalnom sistemu OXYU jednačine ravnoteže (3) uneti su odgovarajući granični usloviRešavanjem jednačina (3) dobija se vektor nepoznatih čvornihpomeranja u globalnom sistemu




Matrice krutosti štapova u ravni

Tri tipa štapova u ravni

Štapovi nosača u ravni, u zavisnosti od veza na krajevima,mogu da budu

- štapovi tipa k . . . kruto vezani na oba kraja (i,k)- štapovi tipa g . . . na kraju i je kruta veza, a na kraju g zglobnaveza

- prosti štapovi . . . na oba kraja (i, k) je zglobna veza (i nemaraspodeljenih sila duž štapa)

Podrazumeva se da važi linearna teorija štapa




Osnovni tipovi štapova u ravni

Sile i pomeranja na krajevima štapa izražene u lokalnomkoordinatnom sistemu





Tri tipa štapova u ravniNa zglobnom kraju štapa obrtanje ϕ nije nepoznata veličina,jer može da se odredi iz uslova da je momenat savijanja uzglobu (odn. ∞ blisko zglobu na strani štapa) jednak nuliProst štap je zglobno vezan na oba kraja i nema sila duž svojeoseZbog toga je izložen samo uticaju osnovnog ravnotežnogsistema sila na svojim krajevima: ~Ni = − ~Nk

Nepoznata pomeranja na krajevima prostog štapa supomeranja ui i uk u pravcu ose štapa





Matrica krutosti prostog štapaPosmatra se prost štap konstantnog poprečnog preseka F ,modula elastičnosti E i dužine `Koordinatni početak lokalnog sistema xy je u čvoru iČvorna pomeranja i čvorne sile su, redom, q1, q2, kao i R1, R2





Matrica krutosti prostog štapaVektori čvornih pomeranja i čvornih sila dati su sa

q =

q1q2

=

uiuk

R =

R1

R2

=

Ni

Nk

Veza između čvornih sila i čvornih pomeranja (1), u ovomslučaju, je

R1

R2

=

[k11 k12k21 k22

] q1q2





Matrica krutosti prostog štapa

Element matrice krutosti kij je sila na mestu i usledjediničnog pomenranja uj = 1, pri čemu su sva ostalapomeranja krajeva štapa jednaka nuli

Elementi prve kolone matrice K su sile na krajevima prostogštapa usled pomeranja q1 = 1 i q2 = 0, dok su elementi drugekolone matrice krutosti sile na krajevima za pomeranje q1 = 0i q2 = 1





Matrica krutosti prostog štapa

Promena dužine tetive (prostog) štapa jednaka je razlicipomeranja krajeva štapa:

∆` = q2 − q1

Dilatacija ose štapa je jednaka

ε =∆`

`=q2 − q1`

Imajući u vidu relaciju teorije elastičnosti σ = E ε, normalnasila u prostom štapu data je sa

N = σ F = EFε = EF∆`

`=EF

`(q2 − q1)





Matrica krutosti prostog štapaSile na krajevima prostog štapa R1 i R2 jednake su normalnimsilama, sa odgovarajućim znakom:

- normalne sile su pozitivne za zategnut štap- čvorne sile su pozitivne kada su u pozitivnom smeru lokalneose (na oba kraja štapa)





Matrica krutosti prostog štapaPrema tome, dobija se

R1 = −N =EF

`(q1 − q2)

R2 = N =EF

`(q2 − q1)

Napisano u matričnom obliku, ove relacije postaju:R1

R2

=EF

`

[1 −1−1 1

] q1q2





Matrica krutosti prostog štapaImajući u vidu osnovnu relaciju za neopterećen štap R = Kq,matrica krutosti prostog štapa data je u obliku

K =EF

`

[1 −1−1 1

](4)

Matrica krutosti aksijalno napregnutog (prostog) štapa jekvadratna matrica reda 2Kao što se vidi, matrica krutosti je simetrična i singularna(determinanta je jednaka nuli):

detK = 0




Matrica krutosti prostog štapa u ravni





Vektor ekvivalentnog opterećenja prostog štapaOsnovna jednačina opterećenog štapa data je u obliku

R = K q −Q (5)

gde je Q vektor ekvivalentnog opterećenjaVektor ekvivalentnog opterećenja jednak je negativnimvrednostima reakcija oslonaca opterećenog štapa kome susprečena pomeranja krajevaProst štap može da bude opterećen silama u pravcu ose štapa iuticajem temperaturne promene duž ose štapa t





Vektor ekvivalentnog opterećenja prostog štapaU slučaju temperaturne promene duž ose štapa dodatnadilatacija je data sa

εt = αt t

gde je αt koeficijent temperaturne dilatacije materijala štapaPrema tome, normalna sila je data u obliku

N = EFε = EF (∆`

`+ αt t) =

EF

`(q2 − q1) + EFαt t





Vektor ekvivalentnog opterećenja prostog štapaImajući u vidu konvenciju o pozitivnim smerovima sila nakrajevima štapa u matričnoj analizi, dobija se

R1

R2

=EF

`

[1 −1−1 1

] q1q2

− EFαt t

−11

Prema tome, vektor ekvivalentnog opterećenja aksijalnoopterećenog štapa, za slučaj temperaturne promene u osištapa, dat je sa

Q = EFαt t

−11

(6)




Vektor ekvivalentnog opterećenja prostog štapa

Vektor ekvivalentnog opterećenja prostog štapa za uticajtemperaturne promene u osi štapa:

Q = EFαt t

−11





Vektor ekvivalentnog opterećenja prostog štapaUkoliko je štap opterećen proizvoljnim raspodeljenimopterećenjem u pravcu ose štapa, komponente vektoraekvivalentnog opterećenja dobijaju se kao reakcije obostranooslonjenog štapa, sa promenjenim znakom:





Vektor ekvivalentnog opterećenja prostog štapaProst štap kod koga su sprečena pomeranja u pravcu ose štapana oba kraja je jednom statički neodređen nosačReakcije oslonaca se određuju primenom metode silaAko je aksijalno opterećenje konstantno, px(x) = p = const,reakcije veza su jednake 1/2 rezultante opterećenja: p`/2, paje vektor ekvivalentnog opterećenja u tom slučaju jednak

Q =

Q1

Q2

=

p`2p`2




Vektor ekvivalentnog opterećenja prostog štapa

Vektor ekvivalentnog opterećenja prostog štapa za uticajkonstantnog aksijalnog opterećenja px(x) = p = const:

Q =p`

2

11




Sadržaj






Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Lokalni i globalni sistem

Osnovna jednačina neopterećenog, (1), ili opterećenog štapa,(5), formulisana je u lokalnom koordinatnom sistemuLokalni sistem štapa ixyz ima koordinatni početak u jednomčvoru, čvoru i, osa x je u pravcu ose štapa, u smeru i− k, dokje osa y upravna na štap u ravni nosača, tako da ose xyz činedesni koordinatni sistemTopologija nosača (u ovom slučaju ravne rešetke) određena jeu odnosu na globalni koordinatni sistem OXY Z desneorjentacije, pri čemu je XY ravan nosača





Čvorne sile i čvorna pomeranja prostog štapa prikazani u(a) lokalnom i (b) globalnom sistemu





Lokalni i globalni sistemZa razliku od vektora čvornih sila i pomeranja u lokalnomsistemu, koji imaju po dve komponente (jer su u pravculokalne ose x), ti isti vektori izraženi u globalnom sistemuimaju po četiri komponente, po dve u svakom čvoru upravcima globalnih osa X i Y :

q∗ =

q∗1q∗2q∗3q∗4

R∗ =

R∗

1

R∗2

R∗3

R∗4





Transformacija čvorne sile R1 u čvoru i iz globalnog u lokalnisistem:

R1 = R∗1 cosα+R∗

2 sinα

i obratno, iz lokalnog u globalni sistem:

R∗1 = R1 cosα R∗

2 = R1 sinα





Lokalni i globalni sistemUgao koji definiše položaj lokalne ose štapa x u odnosu naglobalni sistem XY određen je sa orjentisanim uglom izmeđuglobalne ose X i lokalne ose x: α = ∠(X,x)

Projektovanjem komponenti u globalnom sistemu R∗1 i R∗

2 napravac lokalne komponente čvorne sile, dobija se


2 sinα

Slično se dobija i za sile u čvoru k:


4 sinα





Lokalni i globalni sistemNapisano u matričnom obliku dobija se relacija

R1

R2

=

[cosα sinα 0 0

0 0 cosα sinα

] R∗

1

R∗2

R∗3

R∗4

ili u skraćenom obliku:

R = T R∗ (7)





Lokalni i globalni sistemSa T je označena matrica transformacije:

T =

[cosα sinα 0 0

0 0 cosα sinα

](8)

Analogno izrazu (7) dobija se i za čvorna pomeranja

q = T q∗ (9)

Matrica transformacije prostog (rešetkastog) štapa pretstavljatransformaciju čvornih veličina (sila i pomeranja) iz globalnogu lokalni sistem





Lokalni i globalni sistemImajući u vidu razlaganje sila u čvoru i, relacije kojima seprikazuju sile u globalnom sistemu preko sila u lokalnomsistemu, za čvor i, date su sa:


2 = R1 sinα

Analogne relacije važe i za čvor k:


4 = R2 sinα





Lokalni i globalni sistemNapisano u matričnom obliku, ove relacije postaju

R∗1

R∗2

R∗3

R∗4

=

R1 cosαR1 sinαR2 cosαR2 sinα

=

cosα 0sinα 0

0 cosα0 sinα

R1

R2

Ova relacija može da se napiše u obliku

R∗ = T T R (10)

i pretstavlja transformaciju čvornih sila iz lokalnog u globalnisistem





Lokalni i globalni sistemAnalogna relacija važi i za čvorna pomeranja

q∗ = T T q

Posmatra se osnovna jednačina neopterećenog štapa, odn.veza između generalisanih (čvornih) sila i generalisanihpomeranja u lokalnom sistemu, (1):

R = K q

Unoseći u ovu relaciju vezu (9): q = T q∗ i množeći sa levestrane sa transponovanom matricom transformacije T T , dobijase

T T R = T T KT q∗ (11)






Izraz na levoj strani (11) pretstavlja vektor čvornih sila uglobalnom sistemu, dat sa (10): R∗ = T T R, tako da sedobija:

R∗ = T T KT q∗ (12)

Relacija (12) može da se napiše u obliku

R∗ = K∗ q∗ (13)

gde je K∗ matrica krutosti štapa u globalnom sistemu

K∗ = T T KT (14)






Dakle, relacija (13) pretstavlja osnovnu jednačinuneopterećenog prostog štapa u globalnom sistemuAko je prost štap opterećen duž svoje ose aksijalnimopterećenjem ili temperaturom u osi štapa, osnovna jednačinaopterećenog štapa, u lokalnom sistemu, data je sa (5):

R = K q −Q (15)

Vektor ekvivalentnog opterećenja Q pretstavlja čvorne sile kojezamenjuju opterećenje duž ose štapa, izražene u lokalnomsistemu štapa





Lokalni i globalni sistemPrema tome, i za vektor ekvivalentnog opterećenja važerelacije transformacije iz lokalnog u globalni sistem:

Q∗ = T T Q (16)

Ako se jednačina (15) pomnoži sa leve strane satransponovanom matricom transformacije štapa, dobija se

T T R = T T KTq∗ − T T Q

odn. dobija se osnovna jednačina opterećenog štapa uglobalnim koordinatama

R∗ = K∗ q∗ −Q∗ (17)





Lokalni i globalni sistemMatrica krutosti prostog štapa u globalnim koordinatama dataje sa (14)Ako se uvedu oznake λ = cosα, µ = sinα, matrica krutosti(14) može da se prikaže u obliku:

K∗ = T T KT =

[k∗ −k∗

−k∗ k∗

]gde je

k∗ =EF

`

[λ2 λµλµ λ2

]






Vektor ekvivalentnog opterećenja Q∗, dat sa (16), dobija se uobliku

Q∗ = T T Q =

λ 0µ 00 λ0 µ

Q1

Q2

=

λQ1

µQ1

λQ2

µQ2


Documents

METODA KONACNIH ELEMENATA - Osnovne akademske studije, … · Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija Napomene o predmetu Uvodne napomene o MKE Računski