MATRICE I DETERMINANTEimft.ftn.uns.ac.rs/math/uploads/Courses/1_predavanja... · 2020. 10. 23. · MATRICE I DETERMINANTE 29. septembar 2020 1 / 49. Matrice De nicija ... Broj vrsta

MATRICE I DETERMINANTE

29. septembar 2020

1 / 49

Matrice

Definicija

Matrica tipa m × n, m, n ∈ N je pravougaona shema (tablica) m · nelemenata aij polja P koja ima m vrsta i n kolona i koja je zapisana uobliku

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

am1 am2 . . . amn

. (1)

Matrica definisana nad poljem (C,+, ·) naziva se kompleksnamatrica, a matrica definisana nad poljem (R,+, ·) naziva se realnamatrica.

2 / 49

Matrice

ai1, ai2, . . . , ain elementi i -te vrste

a1j , a2j , . . . , amj elementi j-te kolone

aij elemenat matrice koji se nalazi u preseku i−te vrste i j−tekolone

Mm×n je označen skup svih matrica tipa m × n nad poljem P .

oznaka: A = [aij ]m×n ili A = [aij ]

matrica vrsta[a1 a2 . . . an

]

matrica kolona

a1a2...am

3 / 49

Matrice

Primer

A =

[1 2 3

17 17 17

]je matrica tipa 2× 3, B =

1 2 317 17 170 0 1

jematrica tipa 3× 3, C =

[17]

je matrica tipa 1× 1,D =

[17 17 17

]je matrica tipa 1× 3, tj. matrica vrsta, dok je

E =

17171717

tipa 4× 1 koja se naziva i matrica kolona. �Za matrice koje se nalaze u skupu Mm×n se kaže da su istogtipa. Za matrice A = [aij ]m×n i B = [bij ]m×n iz skupa matricaMm×n za elemente ai0j0 i bi0j0 , 1 ≤ i0 ≤ m, 1 ≤ j0 ≤ n, kaže seda su odgovarajući elementi.

4 / 49

Matrice

Definicija

Kvadratna matrica reda n je matrica tipa n × n, tj. matrica kod kojeje broj vrsta jednak broju kolona

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

an1 an2 . . . ann

. (2)Skup svih kvadratnih matrica reda n nad poljem P označava se saMn.Elementi a11, a22, . . . , ann, čine glavnu dijagonalu kvadratne matriceA.Trag matrice:

∑ni=1 aii = trA

Elementi a1n, a2,n−1, . . . , an1 čine sporednu dijagonalu kvadratnematrice A.

5 / 49

Matrice

Dijagonalna matrica Dn =

a11 0 . . . 00 a22 . . . 0...

......

0 0 . . . ann

Jedinična matrica En =

1 0 . . . 00 1 . . . 0...

......

0 0 . . . 1

Nula matrica 0m×n =

0 0 . . . 00 0 . . . 0...

......

0 0 . . . 0

6 / 49

Matrice

Donja trougaona matrica

a11 0 . . . 0a21 a22 . . . 0

......

...an1 an2 . . . ann

Gornja trougaona matrica

a11 a12 . . . a1n0 a22 . . . a2n...

......

0 0 . . . ann

Definicija

Dve matrice A = [aij ]m×n i B = [bij ]p×q su jednake ako su istog tipai ako su im odgovarajući elementi jednaki, tj. ako je

m = p, n = q i aij = bij ,

za svako i = 1, 2, . . . ,m i j = 1, 2, . . . , n.7 / 49

Operacije sa matricama

Definicija

Neka su A = [aij ] i B = [bij ] matrice istog tipa m× n. Zbir matrica Ai B , u oznaci A + B , je matrica C = [cij ] tipa m × n gde je

cij = aij + bij ,

za i = 1, 2, . . . ,m i j = 1, 2, . . . , n.

Primer 1 0 34 −1 20 1 17

+ −1 0 62 −11 0

1 1 1

=

1 + (−1) 0 + 0 3 + 64 + 2 −1 + (−11) 2 + 00 + 1 1 + 1 17 + 1

= 0 0 96 −12 2

1 2 18

.8 / 49


Teorema

Neka su A, B , C i O matrice istog tipa. Tada važi

1. A + B = B + A (komutativnost sabiranja),

2. (A + B) + C = A + (B + C ) (asocijativnost sabiranja),

3. A + O = O + A = A.

9 / 49


Definicija

Neka je A = [aij ] matrica tipa m × n i neka je α skalar. Proizvodskalara α i matrice A, u oznaci αA, je matrica B = [bij ] tipa m × n,gde je

bij = αaij ,

za i = 1, 2, . . . ,m i j = 1, 2, . . . , n.

Primer

3·

0 0 96 −12 21 2 18

= 3 · 0 3 · 0 3 · 93 · 6 3 · (−12) 3 · 2

3 · 1 3 · 2 3 · 18

= 0 0 2718 −36 6

3 6 54

.10 / 49


Teorema

Neka su A i B matrice istog tipa i α i β skalari. Tada je

1. 1 · A = A,2. (αβ)A = α(βA),

3. (α + β)A = αA + βA,

4. α(A + B) = αA + αB .

Definicija

Matrica (−1)A označava se sa −A i naziva se suprotna matrica zamatricu A.

Elementi matrice −A su −aij , gde su aij elementi matrice A.

11 / 49


Theorem

Za svaku matricu A važi A + (−A) = (−A) + A = O, gde je O nulamatrica istog tipa kao i matrica A.

Definicija

Neka su A = [aij ] i B = [bij ] matrice istog tipa m× n. Razlika matricaA i B , u oznaci A− B , je matrica C = [cij ] tipa m × n, gde je

C = A + (−B).

Dakle, važi A− B = A + (−B).

12 / 49


Primer 0 0 96 −12 21 2 18

− 2 · 0 1 21 −1 2

1 2 0

=

0 0 96 −12 21 2 18

− 0 2 42 −2 4

2 4 0

=

0− 0 0− 2 9− 46− 2 −12− (−2) 2− 41− 2 2− 4 18− 0

= 0 −2 54 −10 −2−1 −2 18

.

13 / 49


Definicija

Neka je A = [aij ] matrica tipa m × n i B = [bij ] matrica tipa n × p.Proizvod matrica A i B , u oznaci AB , je matrica C = [cij ] tipam × p, gde je

cij =n∑

k=1

aikbkj ,

za i = 1, 2, . . . ,m i j = 1, 2, . . . , p.

Proizvod C = AB matrica A i B je definisan samo za matrice kodkojih je broj kolona matrice A jednak broju vrsta matrice B . Za takvematrice A i B kaže se da su saglasne matrice.Broj vrsta matrice C jednak je broju vrsta matrice A, dok je brojkolona matrice C jednak broju kolona matrice B .

14 / 49


Teorema

Za matricu A tipa m× n i matrice B i C takve da su navedeni zbirovii proizvodi definisani, važi

1. (AB)C = A(BC ),

2. A(B + C ) = AB + AC ,

3. (B + C )A = BA + CA,

4. AEn = EmA = A,

5. α(AB) = (αA)B = A(αB).

Množenje matrica nije komutativno!

15 / 49


Primer

Izračunati, ako je moguće, AB , BA, AC , CA, CD i DC , za

A =[

1 2 −10 1 33 2 4

],B =

[−6 −6 5

9 3 33 8 3

],C =

[1 0 01 1 00 0 0

],D =

[120

].

AB =

1 2 −10 1 33 2 4

· −6 −6 59 3 3

3 8 3

=

−6 + 18− 3 −6 + 6− 8 5 + 6− 30 + 9 + 9 0 + 3 + 24 0 + 3 + 9−18 + 18 + 12 −18 + 6 + 32 15 + 6 + 12

=

9 −8 818 27 1212 20 33

16 / 49


BA =

−6 −6 59 3 33 8 3

· 1 2 −10 1 3

3 2 4

=

−6 + 0 + 15 −12− 6 + 10 6− 18 + 209 + 0 + 9 18 + 3 + 6 −9 + 9 + 123 + 0 + 9 6 + 8 + 6 −3 + 24 + 12

=

9 −8 818 27 1212 20 33

,tako da za matrice A i B važi da je AB = BA.

17 / 49


AC =

1 2 −10 1 33 2 4

· 1 0 01 1 0

0 0 0

= 3 2 01 1 0

5 2 0

CA =

1 0 01 1 00 0 0

· 1 2 −10 1 3

3 2 4

= 1 2 −11 3 2

0 0 0

,tako da za matrice A i C važi da je AC 6= CA.

CD =

1 0 01 1 00 0 0

· 12

0

= 1 + 0 + 01 + 2 + 0

0 + 0 + 0

= 13

0

,dok proizvod matrica DC ne postoji jer broj kolona matrice D nijejednak broju vrsta matrice C .

18 / 49


Primer

Za matrice A =

[1 11 1

]i B =

[17 6−17 −6

]je

AB = O,

a obe matrice su različite od nula matrice.

Dakle, dok je proizvod dva broja različita od nule uvek brojrazličit od nule, postoje matrice različite od nula matrica čiji jeproizvod nula matrica. �

19 / 49


Definicija

Stepen kvadratne matrice A = [aij ], tipa n × n je definisan sa

A0 = E , A1 = A, A2 = A · A, . . . An+1 = An · A.

Teorema

Za m, n ∈ N ∪ {0} je1. Am · An = Am+n,2. (Am)n = Amn.

20 / 49


Primer

Za matricu A =

[1 10 1

]izračunati An, n ∈ N.

A2 =

[1 10 1

]·[

1 10 1

]=

[1 20 1

],

A3 = A2 · A =[

1 20 1

]·[

1 10 1

]=

[1 30 1

].

Dakle, izgleda kao da će da bude

An =

[1 n0 1

], (3)

za svako n ∈ N.

21 / 49


Dokaz se izvodi primenom matematičke indukcije po n.

Pokazano je da za n = 2 važi A2 =

[1 20 1

]. Iz Ak =

[1 k0 1

],

sledi

Ak+1 = Ak · A =[

1 k0 1

]·[

1 10 1

]=

[1 k + 10 1

],

tj. (3) važi za matricu A i svako n ∈ N.

Primer

Za matricu A =

[2 −41 −2

]je A2 =

[4− 4 −8 + 82− 2 −4 + 4

]= O,

A3 = O, . . . , tj. za svako n ≥ 2 je An = O. �

22 / 49


Definicija

Neka je A matrica tipa m × n. Transponovana matrica matrice A, uoznaci AT , je matrica tipa n ×m koja je dobijena iz matrice Azamenom vrsta odgovarajućim kolonama, tj. ako je AT = [bij ] ondaje bij = aji za svako i = 1, 2, . . . , n i j = 1, 2, . . . ,m.

Znači,

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

am1 am2 . . . amn

T

=

a11 a21 . . . am1a12 a22 . . . am2...

......

a1n a2n . . . amn

.

23 / 49


Primer

Transponovana matrica matrice A =

[1 2 34 5 6

]je matrica

AT =

1 42 53 6

. �Teorema

Neka su A i B matrice takve da su navedene operacije definisane i αje skalar. Tada je

1. (AT )T = A,

2. (αA)T = αAT ,

3. (A + B)T = AT + BT ,

4. (AB)T = BTAT .

24 / 49

Determinante

Definicija determinante je povezana sa kvadratnim matricama. Poddeterminantom se smatra preslikavanje koje svakoj kvadratnoj matricidodeljuje jedan skalar, tj.

| |:Mn → P ,

gde je sa Mn označen skup kvadratnih matrica reda n.Za matricu reda 1 je |A| = |a11| = a11

Za matricu reda 2 |A| =∣∣∣∣ a11 a12a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a21a12.Za matricu reda 3

|A| =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 −−a13a22a31 − a32a23a11 − a33a21a12

25 / 49

Permutacije

Definicija

Neka je S = {1, 2, . . . , n}. Bijektivno preslikavanje skupa S na samogsebe naziva se permutacija skupa S .

Broj različitih permutacija skupa od n elemenata je n!.Neka je π : S → S permutacija skupa S = {1, 2, . . . , n}. Permutacijaskupa S zapisuje se na sledeći način

π :

(1 2 . . . n

π(1) π(2) . . . π(n)

).

Za permutaciju π skupa S = {1, 2, . . . , n} koristi se i oznaka(π(1), π(2), . . . , π(n)).

Definicija

Ako za permutaciju π skupa S = {1, 2, . . . , n} važi i < j iπ(i) > π(j) onda π(i) i π(j) obrazuju inverziju.

26 / 49

Permutacije

Primer

Skup S = {1, 2} ima dve permutacije i to su π1 :(

1 21 2

)i

π2 :

(1 22 1

).

Za skup S = {1, 2, 3} postoji 3! = 6 permutacija i to su

π1 :

(1 2 31 2 3

), π2 :

(1 2 31 3 2

), π3 :

(1 2 32 1 3

),

π4 :

(1 2 32 3 1

), π5 :

(1 2 33 1 2

)i π6 :

(1 2 33 2 1

).

Primer

U permutaciji π :

(1 2 3 42 1 3 4

)je π(1) > π(2) tako da π(1) i

π(2) obrazuju inverziju. �

27 / 49

Permutacije

Definicija

Permutacija je parna ako je ukupan broj inverzija u njoj paran broj, aneparna ako je ukupan broj inverzija u njoj neparan broj.

Ukupan broj inverzija označava se sa Inv(π).

Primer

U permutaciji π :

(1 2 3 43 1 4 2

)ukupan broj inverzija je

Inv(π) = 2 + 0 + 1 + 0 = 3 i data permutacija je neparna. �

28 / 49

Definicija determinante

Definicija

Determinanta reda n je preslikavanje | | :Mn → P definisano sa

|A| =∑π∈Π(n)

(−1)Inv(π)a1π(1)a2π(2) . . . anπ(n), (4)

gde je sa Π(n) označen skup svih permutacija skupa {1, 2, . . . , n}.

Determinanta kvadratne matrice reda n zapisuje se na sledeći način

D = |A| =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .elementi i -te vrste determinante su ai1 ai2 . . . ainelementi j-te kolone determinante su a1j a2j . . . amj .

29 / 49


Primer

Za n = 1 jedina moguća permutacija skupa {1} je π :(

11

), te je

Inv(π) = 0 i uvřstavanjem u (4) dobija se

|a11| = (−1)0a11 = a11.

Za n = 2 moguće permutacije skupa {1, 2} su π1 :(

1 21 2

)i

π2 :

(1 22 1

)i Inv(π1) = 0 i Inv(π2) = 1. Uvřstavanjem u (4)

dobija se∣∣∣∣ a11 a12a21 a22∣∣∣∣ = (−1)0a11a22 + (−1)1a12a21 = a11a22 − a12a21.

30 / 49


Za n = 3 permutacije skupa {1, 2, 3} su π1 :(

1 2 31 2 3

),

π2 :

(1 2 31 3 2

), π3 :

(1 2 32 1 3

), π4 :

(1 2 32 3 1

),

π5 :

(1 2 33 1 2

), π6 :

(1 2 33 2 1

), Inv(π1) = 0, Inv(π2) = 1,

Inv(π3) = 1, Inv(π4) = 2, Inv(π5) = 2, Inv(π6) = 3.Uvřstavanjem u (4) dobija se∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ =(−1)0a11a22a33 + (−1)1a11a23a32

+ (−1)1a12a21a33 + (−1)2a12a23a31+ (−1)2a13a21a32 + (−1)3a13a22a31

=a11a22a33 − a11a23a32 − a12a21a33

+ a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31

.

31 / 49

Minor i kofaktor elementa aij

Definicija

Neka je A matrica reda n. Minor ili subdeterminanta elementa aij , uoznaci Mij , je determinanta matrice reda n − 1 dobijena iz polaznematrice A izostavljanjem i -te vrste i j-te kolone, tj. vrste i kolone ukojoj se nalazi element aij .

Definicija

Kofaktor ili algebarski komplement elementa aij , u oznaci Aij jedefinisan sa Aij = (−1)i+jMij .

Primer

Minor i kofaktor elementa a21 matrice

1 2 −10 1 −21 1 1

suM21 =

∣∣∣∣ 2 −11 1∣∣∣∣ = 2 + 1 = 3 i A21 = (−1)3M21 = −3.

32 / 49

Osobine determinanti

1. |AT | = |A|, gde je A kvadratna matrica i AT njenatransponovana matrica.

2. Ako dve vrste (ili kolne) zamene mesta determinanta menjaznak.

3. Vrednost determinante jednaka je nuli ako su bilo koje dve vrste(ili kolone) jednake.

4. Determinanta se množi skalarom (brojem) tako što se elementijedne vrste (ili kolone) pomnože tim brojem.

5. Vrednost determinante jednaka je nuli ako su elementi jednevrste (ili kolone) proporcionalni odgovarajućim elementima drugevrste (ili kolone).

33 / 49


6. Ako je u determinanti D reda n svaki element i -te vrste dat uobliku zbira aik = bik + cik , k = 1, 2, . . . , n onda jeD = D1 + D2, gde su D1 i D2 determinante čije su sve vrste,osim i -te vrste iste kao u determinanti D,i -ta vrsta determinante D1 je bi1 bi2 . . . bin,i -ta vrsta determinante D2 je ci1 ci2 . . . cin.Slično, ako je u determinanti D reda n svaki element i -te kolonedat u obliku zbira aki = bki + cki , k = 1, 2, . . . , n, onda jeD = D1 + D2, gde je

i -ta kolona u D1 je

b1ib2i...bni

, i -ta kolona u D2 je

c1ic2i...

cni ,a ostale kolone su jednake kolonama determinante D.

34 / 49


7. Ako su svi elementi i−te vrste (j−te kolone) jednaki nuli osimelementa aij onda je

D = aijAij .

8. Laplasova teorema

D =n∑

j=1

aijAij , i = 1, 2, . . . , n- razvoj determinante po

elementima i−te vrste

D =n∑

i=1

aijAij , j = 1, 2, . . . , n- razvoj determinante po

elementima j−te kolone

35 / 49


9. Vrednost determinante se ne menja ako se elementima jednevrste (ili kolone) dodaju odgovarajući elementi neke druge vrste(ili kolone) prethodno pomnoženi nekim brojem.

10. Zbir proizvoda elemenata neke vrste ((kolone) i kofaktoraelemenata neke druge vrste ((kolone) i jednak je nuli, tj.

n∑j=1

aijAkj = 0, i = 1, 2, . . . , n, k = 1, 2, . . . , n, i 6= k ,

(n∑

i=1

aijAkj = 0, j = 1, 2, . . . , n, k = 1, 2, . . . , n, j 6= k

).

36 / 49

Računanje determinanti primenom osobina

Teorema

Determinanta proizvoda dve kvadratne matrice reda n jednaka jeproizvodu determinanti tih matrica, tj. |AB | = |A||B |.

Primer

Prva i druga vrsta determinante D =

∣∣∣∣∣∣1 2 31 2 37 8 9

∣∣∣∣∣∣ su jednake, tako dana osnovu osobine 3 sledi da je D = 0.

37 / 49


Primer

Primenom osobine 5 je

∣∣∣∣∣∣1 2 32 4 67 8 9

∣∣∣∣∣∣ = 0, jer su odgovarajućielementi prve i druge vrste proporcionalni.

Primer∣∣∣∣∣∣1 2 30 0 6−2 −4 9

∣∣∣∣∣∣ = (−1)3+2 · 6 ·∣∣∣∣ 1 2−2 −4

∣∣∣∣ = 6 · 0 = 0.

38 / 49


Primer

Uzastopnom primenom osobine 7 n puta sledi∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1n

0 a22 . . . a2n...

......

0 0 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣= a11

∣∣∣∣∣∣∣a22 . . . a2n

......

0 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣ = a11a22∣∣∣∣∣∣∣a33 . . . a3n

......

0 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣= . . . = a11a22 . . . ann.

Dakle, determinanta gornje trougaone matrice jednaka je proizvoduelemenata sa glavne dijagonale.

39 / 49


Primer

Razvojem po elementima prve vrste je∣∣∣∣∣∣1 2 43 1 68 4 1

∣∣∣∣∣∣ = (−1)1+1∣∣∣∣ 1 64 1

∣∣∣∣+ 2(−1)1+2 ∣∣∣∣ 3 68 1∣∣∣∣+ 4(−1)1+3 ∣∣∣∣ 3 18 4

∣∣∣∣= (1− 24)− 2(3− 48) + 4(12− 8) = 83.

Primer∣∣∣ 1 5 14 0 −2−3 4 2

∣∣∣ = ∣∣∣ 3 5 10 0 −21 4 2

∣∣∣ = (−2) · (−1)2+3 ∣∣ 3 51 4 ∣∣ = 2 · (12− 5) = 14.Prvo su elementi treće kolone pomnoženi sa 2 dodati odgovarajućimelementima prve kolone, a zatim je novodobijena determinantarazvijena po elementima druge vrste,

40 / 49

Adjungovana matrica

Definicija

Neka je A kvadratna matrica reda n. Ako je Aij kofaktor elementa aiju determinanti matrice A, onda se matrica

A∗ =

A11 A21 . . . An1A12 A22 . . . An2

......

...A1n A2n . . . Ann

naziva adjungovana matrica matrice A.

Primer

Za A =

[1 50 0

]iz A11 = (−1)2 · |0| = 0, A12 = (−1)3 · |0| = 0,

A21 = (−1)3 · |5| = −5 i A22 = (−1)4 · |1| = 1 sledi A∗ =[

0 −50 1

].

41 / 49

Adjungovana matrica

Teorema

Neka je A kvadratna matrica reda n i A∗ njena adjungovana matrica.Tada je AA∗ = A∗A = |A|E.

Dokaz. Dokaz se daje za AA∗ = |A|E. Element cij matrice

AA∗ = [cij ]n×n je cij =n∑

k=1

aikAkj . Za i = j , na osnovu osobine 8 je

cii = |A|, a za i 6= j , primenom osobine 10 je cij = 0, tako da je

AA∗ =

|A| 0 . . . 00 |A| . . . 0...

......

0 0 . . . |A|

= |A|

1 0 . . . 00 1 . . . 0...

......

0 0 . . . 1

= |A|E.Drugi deo teoreme dokazuje se slično. �

42 / 49

Inverzna matrica

Definicija (*)

Neka je A kvadratna matrica reda n. A je regularna matrica akopostoji kvadratna matrica B istog reda takva da je

AB = BA = E.

Definicija

Matrica B iz prethodne definicije naziva se inverzna matrica zamatricu A i označava se sa A−1. Kvadratna matrica koja nemainverznu matricu naziva se singularna.

Dakle, ako kvadratna matrica A ima inverznu matricu A−1, sledi

AA−1 = A−1A.

43 / 49

Inverzna matrica

Teorema

Kvadratna matrica je regularna ako i samo ako je |A| 6= 0.

Dokaz.(⇒) : Neka je A regularna matrica, tj. da postoji matrica A−1 izdefinicije (∗). takva da je AA−1 = A−1A = E. Dalje sledi da je

|A||A−1| = |A−1||A| = |E| = 1,

tj. |A| 6= 0 i |A−1| 6= 0. Znači, determinanta regularne matrice jerazličita od nule.(⇐) : Neka je |A| 6= 0. Na osnovu teoreme je AA∗ = A∗A = |A|E. Iz|A| 6= 0 dalje sledi

A

(1

|A|A∗)

=

(1

|A|A∗)A = E,

tako da tražena matrica A−1 postoji i A−1 = 1|A|A∗. �

44 / 49

Inverzna matrica

A−1 =1

det A· A∗

Teorema

Ako je A regularna kvadratna matrica reda n, onda je njena inverznamatrica jedinstvena.

Dokaz. Neka matrica A ima dve inverzne matrice B1 i B2, tj.

AB1 = B1A = E i AB2 = B2A = E.

Tada, primenom navedenih jednakosti, asocijativnosti množenjamatrica i AE = EA = A, sledi

B1 = B1E = B1(AB2) = (B1A)B2 = EB2 = B2,

tj. inverzne matrice B1 i B2 su jednake. �45 / 49

Inverzna matrica

Teorema

Ako su A i B regularne kvadratne matrice reda n i E jediničnamatrica reda n, onda je

1. E−1 = E,

2. (A−1)−1 = A,

3. (A−1)T = (AT )−1,

4. (AB)−1 = B−1A−1,

5. (An)−1 = (A−1)n, n ≥ 2.

Dokaz osobine 4 .Iz regularnosti matrica A i B rsledi da je i ABregularna matrica. Neka je (AB)−1 inverzna matrica matrice AB .

(AB)(B−1A−1) = A(BB−1)A−1 = AEA−1 = AA−1 = E(B−1A−1)(AB) = B−1(A−1A)B = BEB−1 = BB−1 = E.

Iz jedinstvenosti inverzne matrice sledi (AB)−1 = B−1A−1. �

46 / 49

Inverzna matrica

Primer

Za matricu A =

[1 50 0

]je |A| =

∣∣∣∣ 1 50 0∣∣∣∣ = 0− 0 = 0, tako da A−1

ne postoji.

Za matricu B =

[1 22 3

]je |B | =

∣∣∣∣ 1 22 3∣∣∣∣ = −1, tako da B−1

postoji.Iz

B11 = (−1)2 · |3| = 3, B12 = (−1)3 · |2| = −2,B21 = (−1)3 · |2| = −2, B22 = (−1)4 · |1| = 1,

sledi da je B∗ =

[3 −2−2 1

]. Kako je |B | = −1, to je

B−1 =1

|B |B∗ =

[−3 2

2 −1

].

47 / 49

Inverzna matrica

Primer

Za matricu

C =

1 −1 1−1 4 01 1 −1

je

|C | =

∣∣∣∣∣∣1 −1 1−1 4 0

1 1 −1

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣

1 −1 1−1 4 0

2 0 0

∣∣∣∣∣∣ = 2 ·∣∣∣∣ −1 14 0

∣∣∣∣ = −8 6= 0,

tako da postoji C−1.

48 / 49

Inverzna matrica

C11 = (−1)2∣∣∣∣ 4 01 −1

∣∣∣∣ = −4, C12 = (−1)3 ∣∣∣∣ −1 01 −1∣∣∣∣ = −1,

C13 = (−1)4∣∣∣∣ −1 41 1

∣∣∣∣ = −5, C21 = (−1)3 ∣∣∣∣ −1 11 −1∣∣∣∣ = 0,

C22 = (−1)4∣∣∣∣ 1 11 −1

∣∣∣∣ = −2, C23 = (−1)5 ∣∣∣∣ 1 −11 1∣∣∣∣ = −2,

C31 = (−1)4∣∣∣∣ −1 14 0

∣∣∣∣ = −4, C32 = (−1)5 ∣∣∣∣ 1 1−1 0∣∣∣∣ = −1,

C33 = (−1)6∣∣∣∣ 1 −1−1 4

∣∣∣∣ = 3,pa je C ∗ =

−4 0 −4−1 −2 −1−5 −2 3

. Dalje, C−1 = −18

−4 0 −4−1 −2 −1−5 −2 3

.49 / 49

Documents

MATRICE I DETERMINANTEimft.ftn.uns.ac.rs/math/uploads/Courses/1_predavanja... · 2020. 10. 23. · MATRICE I DETERMINANTE 29. septembar 2020 1 / 49. Matrice De nicija ... Broj vrsta