De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri

Definicija krivulje

Jelena Sedlar

Fakultet gra�evinarstva, arhitekture i geodezije

Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 1 / 43

Parametrizirana krivulja

Definicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I → Rn pricemu je I ⊆ R interval.

Krivulju r : I → R3 zapisujemo pomocu:

vektorske jednadzbe

r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = x(t) · i+ y(t) · j+ z(t) · k

parametarske jednadzbe

x = x(t), y = y(t), z = z(t),

Napomena. Posve analogno se zapisuju krivulje u R2.



Definicija.

Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I → Rn pricemu je I ⊆ R interval.


vektorske jednadzbe



x = x(t), y = y(t), z = z(t),




Definicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I → Rn

pricemu je I ⊆ R interval.


vektorske jednadzbe



x = x(t), y = y(t), z = z(t),






vektorske jednadzbe



x = x(t), y = y(t), z = z(t),






vektorske jednadzbe



x = x(t), y = y(t), z = z(t),






vektorske jednadzbe



x = x(t), y = y(t), z = z(t),






vektorske jednadzbe

r(t) = (x(t), y(t), z(t)) =

x(t) · i+ y(t) · j+ z(t) · k


x = x(t), y = y(t), z = z(t),






vektorske jednadzbe



x = x(t), y = y(t), z = z(t),






vektorske jednadzbe



x = x(t), y = y(t), z = z(t),






vektorske jednadzbe



x = x(t), y = y(t), z = z(t),






vektorske jednadzbe



x = x(t), y = y(t), z = z(t),

Napomena.

Posve analogno se zapisuju krivulje u R2.





vektorske jednadzbe



x = x(t), y = y(t), z = z(t),





Za derivacije krivulje r(t) = (x(t), y(t), z(t)) pišemo

drdt(t) = r(t) = (x(t), y(t), z(t)) ,

d2rdt2(t) = r(t) = (x(t), y(t), z(t)) , itd.





drdt(t) = r(t) = (x(t), y(t), z(t)) ,






drdt(t) = r(t) = (x(t), y(t), z(t)) ,





Definicija.

Slika parametrizirane krivulje r : I → Rn je skup r(I ) ⊆ Rn.

Geometrijska interpretacija.




Definicija. Slika parametrizirane krivulje r : I → Rn je skup r(I ) ⊆ Rn.









































Fizikalna interpretacija.

Cestica putuje prostorom Rn :

u vremenu t,

ostavljajuci za sobom trag r(I ).

Drugim rijecima, jednadzba

r(t) = (x(t), y(t), z(t))

znaci da se cestica u trenutku t nalazila u tocki (x(t), y(t), z(t)) .





Fizikalna interpretacija. Cestica putuje prostorom Rn :

u vremenu t,



r(t) = (x(t), y(t), z(t))







u vremenu t,



r(t) = (x(t), y(t), z(t))







u vremenu t,



r(t) = (x(t), y(t), z(t))







u vremenu t,



r(t) = (x(t), y(t), z(t))







u vremenu t,



r(t) = (x(t), y(t), z(t))




Zadatak.

Ako je krivulja zadana vektorskom jednadzbomr(t) = (t2 + 1, t − 1), kako glasi njena parametarska jednadzba? Je li ovoravninska ili prostorna krivulja?

Zadatak. Ako je krivulja zadana parametarskom jednadzbom x = sin t,y = t + 1, z =

√t kako glasi njena vektorska jednadzba? Je li ovo

ravninska ili prostorna krivulja?

Zadatak. Za svaku od krivulja:

a) x = t2 − 1, y = ln t b) r(t) = (cos t, sin t)c) r(t) = (t, t2 + 1, t2 − 1) d) x = 2t + 2, y = ln t, z = 3t

napiši o kojem obliku jednadzbe krivulje se radi, te odgovori na pitanje je likrivulja ravninska ili prostorna.



Zadatak. Ako je krivulja zadana vektorskom jednadzbomr(t) = (t2 + 1, t − 1),

kako glasi njena parametarska jednadzba? Je li ovoravninska ili prostorna krivulja?









Zadatak. Ako je krivulja zadana vektorskom jednadzbomr(t) = (t2 + 1, t − 1), kako glasi njena parametarska jednadzba?

Je li ovoravninska ili prostorna krivulja?









Zadatak. Ako je krivulja zadana vektorskom jednadzbomr(t) = (t2 + 1, t − 1), kako glasi njena parametarska jednadzba? Je li ovoravninska ili prostorna krivulja?










Zadatak.

Ako je krivulja zadana parametarskom jednadzbom x = sin t,y = t + 1, z =










√t

kako glasi njena vektorska jednadzba? Je li ovoravninska ili prostorna krivulja?








√t kako glasi njena vektorska jednadzba?

Je li ovoravninska ili prostorna krivulja?



















Zadatak.

Za svaku od krivulja:



















a) x = t2 − 1, y = ln t

b) r(t) = (cos t, sin t)c) r(t) = (t, t2 + 1, t2 − 1) d) x = 2t + 2, y = ln t, z = 3t









a) x = t2 − 1, y = ln t b) r(t) = (cos t, sin t)

c) r(t) = (t, t2 + 1, t2 − 1) d) x = 2t + 2, y = ln t, z = 3t









a) x = t2 − 1, y = ln t b) r(t) = (cos t, sin t)c) r(t) = (t, t2 + 1, t2 − 1)

d) x = 2t + 2, y = ln t, z = 3t



















napiši o kojem obliku jednadzbe krivulje se radi,

te odgovori na pitanje je likrivulja ravninska ili prostorna.












Primjer.

Neka je a,b ∈ R3. Pravac u R3 je parametrizirana krivuljar : R→ R3 definirana pravilom

r(t) = a+ tb.

Pravac prolazi kroz a, dok mu je b vektor smjera.



Primjer. Neka je a,b ∈ R3.

Pravac u R3 je parametrizirana krivuljar : R→ R3 definirana pravilom

r(t) = a+ tb.




Primjer. Neka je a,b ∈ R3. Pravac u R3

je parametrizirana krivuljar : R→ R3 definirana pravilom

r(t) = a+ tb.




Primjer. Neka je a,b ∈ R3. Pravac u R3 je parametrizirana krivuljar : R→ R3

definirana pravilom

r(t) = a+ tb.




Primjer. Neka je a,b ∈ R3. Pravac u R3 je parametrizirana krivuljar : R→ R3 definirana pravilom

r(t) = a+ tb.





r(t) = a+ tb.





r(t) = a+ tb.





r(t) = a+ tb.





r(t) = a+ tb.





r(t) = a+ tb.





r(t) = a+ tb.





r(t) = a+ tb.





r(t) = a+ tb.





r(t) = a+ tb.





r(t) = a+ tb.





r(t) = a+ tb.





r(t) = a+ tb.





r(t) = a+ tb.




Primjer.

Neka je s ∈ R3, te neka su r1, r2 ∈ R3 ortonormirani vektori.Neka je nadalje a ∈ R, a > 0. Tada je krivulja r : [0, 2π]→ R3 definiranapravilom

r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2kruznica radijusa a sa središtem u s koja lezi u ravnini razapetoj vektorimar1 i r2.



Primjer. Neka je s ∈ R3,

te neka su r1, r2 ∈ R3 ortonormirani vektori.Neka je nadalje a ∈ R, a > 0. Tada je krivulja r : [0, 2π]→ R3 definiranapravilom




Primjer. Neka je s ∈ R3, te neka su r1, r2 ∈ R3 ortonormirani vektori.

Neka je nadalje a ∈ R, a > 0. Tada je krivulja r : [0, 2π]→ R3 definiranapravilom




Primjer. Neka je s ∈ R3, te neka su r1, r2 ∈ R3 ortonormirani vektori.Neka je nadalje a ∈ R, a > 0.

Tada je krivulja r : [0, 2π]→ R3 definiranapravilom




Primjer. Neka je s ∈ R3, te neka su r1, r2 ∈ R3 ortonormirani vektori.Neka je nadalje a ∈ R, a > 0. Tada je krivulja r : [0, 2π]→ R3

definiranapravilom




Primjer. Neka je s ∈ R3, te neka su r1, r2 ∈ R3 ortonormirani vektori.Neka je nadalje a ∈ R, a > 0. Tada je krivulja r : [0, 2π]→ R3 definiranapravilom

r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2

kruznica radijusa a sa središtem u s koja lezi u ravnini razapetoj vektorimar1 i r2.




r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2kruznica radijusa a

sa središtem u s koja lezi u ravnini razapetoj vektorimar1 i r2.




r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2kruznica radijusa a sa središtem u s

koja lezi u ravnini razapetoj vektorimar1 i r2.



































Primjer.

Neka je f : I→ R glatka funkcija, pri cemu je I ⊆ R interval.Graf funkcije f je slika parametrizirane krivulja r : I → R2 definiranepravilom

r(t) = (t, f (t)).



Primjer. Neka je f : I→ R glatka funkcija,

pri cemu je I ⊆ R interval.Graf funkcije f je slika parametrizirane krivulja r : I → R2 definiranepravilom

r(t) = (t, f (t)).



Primjer. Neka je f : I→ R glatka funkcija, pri cemu je I ⊆ R interval.

Graf funkcije f je slika parametrizirane krivulja r : I → R2 definiranepravilom

r(t) = (t, f (t)).



Primjer. Neka je f : I→ R glatka funkcija, pri cemu je I ⊆ R interval.Graf funkcije f

je slika parametrizirane krivulja r : I → R2 definiranepravilom

r(t) = (t, f (t)).



Primjer. Neka je f : I→ R glatka funkcija, pri cemu je I ⊆ R interval.Graf funkcije f je slika parametrizirane krivulja r : I → R2

definiranepravilom

r(t) = (t, f (t)).



Primjer. Neka je f : I→ R glatka funkcija, pri cemu je I ⊆ R interval.Graf funkcije f je slika parametrizirane krivulja r : I → R2 definiranepravilom

r(t) = (t, f (t)).




r(t) = (t, f (t)).




r(t) = (t, f (t)).




r(t) = (t, f (t)).




r(t) = (t, f (t)).




r(t) = (t, f (t)).



Primjer.

Neka su a, b ∈ R, neka je s ∈ R3 vektor, te neka sur1, r2, r3 ∈ R3 ortonormirani vektori. Kruzna cilindricna zavojnica jeparametrizirana krivulja r : R→ R3 definirana pravilom

r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2 + bt · r3.



Primjer. Neka su a, b ∈ R,

neka je s ∈ R3 vektor, te neka sur1, r2, r3 ∈ R3 ortonormirani vektori. Kruzna cilindricna zavojnica jeparametrizirana krivulja r : R→ R3 definirana pravilom




Primjer. Neka su a, b ∈ R, neka je s ∈ R3 vektor,

te neka sur1, r2, r3 ∈ R3 ortonormirani vektori. Kruzna cilindricna zavojnica jeparametrizirana krivulja r : R→ R3 definirana pravilom




Primjer. Neka su a, b ∈ R, neka je s ∈ R3 vektor, te neka sur1, r2, r3 ∈ R3 ortonormirani vektori.

Kruzna cilindricna zavojnica jeparametrizirana krivulja r : R→ R3 definirana pravilom




Primjer. Neka su a, b ∈ R, neka je s ∈ R3 vektor, te neka sur1, r2, r3 ∈ R3 ortonormirani vektori. Kruzna cilindricna zavojnica jeparametrizirana krivulja r : R→ R3

definirana pravilom




Primjer. Neka su a, b ∈ R, neka je s ∈ R3 vektor, te neka sur1, r2, r3 ∈ R3 ortonormirani vektori. Kruzna cilindricna zavojnica jeparametrizirana krivulja r : R→ R3 definirana pravilom




































Najcešce su r1, r2, r3 vektori standardne baze i, j, k redom,

a s ishodište, paje kruzna cilindricna zavojnica definirana pravilom

r(t) = a cos t · i+ a sin t · j+ bt · k = (a cos t, a sin t, bt) .



Najcešce su r1, r2, r3 vektori standardne baze i, j, k redom, a s ishodište,

paje kruzna cilindricna zavojnica definirana pravilom




Najcešce su r1, r2, r3 vektori standardne baze i, j, k redom, a s ishodište, paje kruzna cilindricna zavojnica definirana pravilom





r(t) = a cos t · i+ a sin t · j+ bt · k =

(a cos t, a sin t, bt) .



























Uocimo da za vektor r(t) vrijedi

r(t) =

lim∆t→0

r(t + ∆t)− r(t)∆t

= lim∆t→0

∆r(t)∆t

.

Geometrijska interpretacija. Fizikalna interpretacija. Vrijedi

r(t) = limprije�eni putproteklo vrijeme

=

= vektor brzine




r(t) = lim∆t→0

r(t + ∆t)− r(t)∆t

=

lim∆t→0

∆r(t)∆t

.



=

= vektor brzine




r(t) = lim∆t→0

r(t + ∆t)− r(t)∆t

= lim∆t→0

∆r(t)∆t

.



=

= vektor brzine




r(t) = lim∆t→0

r(t + ∆t)− r(t)∆t

= lim∆t→0

∆r(t)∆t

.


Fizikalna interpretacija. Vrijedi


=

= vektor brzine




r(t) = lim∆t→0

r(t + ∆t)− r(t)∆t

= lim∆t→0

∆r(t)∆t

.




=

= vektor brzine




r(t) = lim∆t→0

r(t + ∆t)− r(t)∆t

= lim∆t→0

∆r(t)∆t

.




=

= vektor brzine




r(t) = lim∆t→0

r(t + ∆t)− r(t)∆t

= lim∆t→0

∆r(t)∆t

.




=

= vektor brzine




r(t) = lim∆t→0

r(t + ∆t)− r(t)∆t

= lim∆t→0

∆r(t)∆t

.




=

= vektor brzine




r(t) = lim∆t→0

r(t + ∆t)− r(t)∆t

= lim∆t→0

∆r(t)∆t

.




=

= vektor brzine




r(t) = lim∆t→0

r(t + ∆t)− r(t)∆t

= lim∆t→0

∆r(t)∆t

.




=

= vektor brzine




r(t) = lim∆t→0

r(t + ∆t)− r(t)∆t

= lim∆t→0

∆r(t)∆t

.




=

= vektor brzine




r(t) = lim∆t→0

r(t + ∆t)− r(t)∆t

= lim∆t→0

∆r(t)∆t

.

Geometrijska interpretacija. Fizikalna interpretacija.

Vrijedi


=

= vektor brzine




r(t) = lim∆t→0

r(t + ∆t)− r(t)∆t

= lim∆t→0

∆r(t)∆t

.


Vrijedi


=

= vektor brzine




r(t) = lim∆t→0

r(t + ∆t)− r(t)∆t

= lim∆t→0

∆r(t)∆t

.


r(t) =

limprije�eni putproteklo vrijeme

=

= vektor brzine




r(t) = lim∆t→0

r(t + ∆t)− r(t)∆t

= lim∆t→0

∆r(t)∆t

.


r(t) = lim

prije�eni putproteklo vrijeme

=

= vektor brzine




r(t) = lim∆t→0

r(t + ∆t)− r(t)∆t

= lim∆t→0

∆r(t)∆t

.


r(t) = limprije�eni put

proteklo vrijeme=

= vektor brzine




r(t) = lim∆t→0

r(t + ∆t)− r(t)∆t

= lim∆t→0

∆r(t)∆t

.



=

= vektor brzine




r(t) = lim∆t→0

r(t + ∆t)− r(t)∆t

= lim∆t→0

∆r(t)∆t

.



=

= vektor brzine




r(t) = lim∆t→0

r(t + ∆t)− r(t)∆t

= lim∆t→0

∆r(t)∆t

.



=

= vektor brzine




r(t) = lim∆t→0

r(t + ∆t)− r(t)∆t

= lim∆t→0

∆r(t)∆t

.

Definicija.

Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Vektor r(t)naziva se vektor brzine ili tangencijalni vektor krivulje r u tocki r(t), dokse skalar |r(t)| naziva skalarna brzina krivulje r u tocki r(t).




r(t) = lim∆t→0

r(t + ∆t)− r(t)∆t

= lim∆t→0

∆r(t)∆t

.

Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja.

Vektor r(t)naziva se vektor brzine ili tangencijalni vektor krivulje r u tocki r(t), dokse skalar |r(t)| naziva skalarna brzina krivulje r u tocki r(t).




r(t) = lim∆t→0

r(t + ∆t)− r(t)∆t

= lim∆t→0

∆r(t)∆t

.

Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Vektor r(t)naziva se vektor brzine

ili tangencijalni vektor krivulje r u tocki r(t), dokse skalar |r(t)| naziva skalarna brzina krivulje r u tocki r(t).




r(t) = lim∆t→0

r(t + ∆t)− r(t)∆t

= lim∆t→0

∆r(t)∆t

.

Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Vektor r(t)naziva se vektor brzine ili tangencijalni vektor krivulje r u tocki r(t),

dokse skalar |r(t)| naziva skalarna brzina krivulje r u tocki r(t).




r(t) = lim∆t→0

r(t + ∆t)− r(t)∆t

= lim∆t→0

∆r(t)∆t

.

Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Vektor r(t)naziva se vektor brzine ili tangencijalni vektor krivulje r u tocki r(t), dokse skalar |r(t)| naziva skalarna brzina krivulje r u tocki r(t).




r(t) =

lim∆t→0

r(t + ∆t)− r(t)∆t

= lim∆t→0

∆r(t)∆t

.

Geometrijska interpretacija. Fizikalna interpretacija. Navektor druge derivacije utjece:

komponenta zakrivljenosti,

komponenta ubrzanja.




r(t) = lim∆t→0

r(t + ∆t)− r(t)∆t

=

lim∆t→0

∆r(t)∆t

.







r(t) = lim∆t→0

r(t + ∆t)− r(t)∆t

= lim∆t→0

∆r(t)∆t

.







r(t) = lim∆t→0

r(t + ∆t)− r(t)∆t

= lim∆t→0

∆r(t)∆t

.


Fizikalna interpretacija. Navektor druge derivacije utjece:






r(t) = lim∆t→0

r(t + ∆t)− r(t)∆t

= lim∆t→0

∆r(t)∆t

.








r(t) = lim∆t→0

r(t + ∆t)− r(t)∆t

= lim∆t→0

∆r(t)∆t

.








r(t) = lim∆t→0

r(t + ∆t)− r(t)∆t

= lim∆t→0

∆r(t)∆t

.








r(t) = lim∆t→0

r(t + ∆t)− r(t)∆t

= lim∆t→0

∆r(t)∆t

.








r(t) = lim∆t→0

r(t + ∆t)− r(t)∆t

= lim∆t→0

∆r(t)∆t

.








r(t) = lim∆t→0

r(t + ∆t)− r(t)∆t

= lim∆t→0

∆r(t)∆t

.








r(t) = lim∆t→0

r(t + ∆t)− r(t)∆t

= lim∆t→0

∆r(t)∆t

.








r(t) = lim∆t→0

r(t + ∆t)− r(t)∆t

= lim∆t→0

∆r(t)∆t

.








r(t) = lim∆t→0

r(t + ∆t)− r(t)∆t

= lim∆t→0

∆r(t)∆t

.


Navektor druge derivacije utjece:






r(t) = lim∆t→0

r(t + ∆t)− r(t)∆t

= lim∆t→0

∆r(t)∆t

.







r(t) = lim∆t→0

r(t + ∆t)− r(t)∆t

= lim∆t→0

∆r(t)∆t

.







r(t) = lim∆t→0

r(t + ∆t)− r(t)∆t

= lim∆t→0

∆r(t)∆t

.







r(t) = lim∆t→0

r(t + ∆t)− r(t)∆t

= lim∆t→0

∆r(t)∆t

.

Definicija.

Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Vektor r(t)naziva se vektor akceleracije krivulje r u tocki r(t).

Uocimo: velicina |r(t)| ne predstavlja fizikalno skalarnu akceleraciju, jerna vektor r(t) utjece i komponenta zakrivljenosti krivulje, a ne samokomponenta skalarne akceleracije.




r(t) = lim∆t→0

r(t + ∆t)− r(t)∆t

= lim∆t→0

∆r(t)∆t

.


Vektor r(t)naziva se vektor akceleracije krivulje r u tocki r(t).





r(t) = lim∆t→0

r(t + ∆t)− r(t)∆t

= lim∆t→0

∆r(t)∆t

.

Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Vektor r(t)naziva se vektor akceleracije krivulje r u tocki r(t).





r(t) = lim∆t→0

r(t + ∆t)− r(t)∆t

= lim∆t→0

∆r(t)∆t

.


Uocimo:

velicina |r(t)| ne predstavlja fizikalno skalarnu akceleraciju, jerna vektor r(t) utjece i komponenta zakrivljenosti krivulje, a ne samokomponenta skalarne akceleracije.




r(t) = lim∆t→0

r(t + ∆t)− r(t)∆t

= lim∆t→0

∆r(t)∆t

.


Uocimo: velicina |r(t)| ne predstavlja fizikalno skalarnu akceleraciju,

jerna vektor r(t) utjece i komponenta zakrivljenosti krivulje, a ne samokomponenta skalarne akceleracije.




r(t) = lim∆t→0

r(t + ∆t)− r(t)∆t

= lim∆t→0

∆r(t)∆t

.


Uocimo: velicina |r(t)| ne predstavlja fizikalno skalarnu akceleraciju, jerna vektor r(t) utjece i komponenta zakrivljenosti krivulje,

a ne samokomponenta skalarne akceleracije.




r(t) = lim∆t→0

r(t + ∆t)− r(t)∆t

= lim∆t→0

∆r(t)∆t

.





Definicija.

Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.

Fizikalna interpretacija. Za parametriziranu krivulju r vrijedi:

u regularnoj tocki - brzina cestice je razlicita od nula,

u singularnoj tocki - brzina cestice je jednaka nula, tj. cestica sezaustavila, pri cemu:

singularitet moze biti svojstven samo parametrizaciji (ne i krivulji) -cestica se zaustavila na glatkom dijelu krivulje ’bez razloga’,singularitet moze biti svojstven samoj krivulji - cestica se moralazaustaviti jer krivulja u toj tocki ima "špic".




Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.







Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I

ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.







Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0.

U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.







Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t.

Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.







Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I ,

onda kazemo da je r regularna.







Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.









Za parametriziranu krivulju r vrijedi:















u regularnoj tocki

- brzina cestice je razlicita od nula,















u singularnoj tocki

- brzina cestice je jednaka nula, tj. cestica sezaustavila, pri cemu:







u singularnoj tocki - brzina cestice je jednaka nula,

tj. cestica sezaustavila, pri cemu:







u singularnoj tocki - brzina cestice je jednaka nula, tj. cestica sezaustavila,

pri cemu:















singularitet moze biti svojstven samo parametrizaciji (ne i krivulji)

-cestica se zaustavila na glatkom dijelu krivulje ’bez razloga’,singularitet moze biti svojstven samoj krivulji - cestica se moralazaustaviti jer krivulja u toj tocki ima "špic".







singularitet moze biti svojstven samo parametrizaciji (ne i krivulji) -cestica se zaustavila na glatkom dijelu krivulje ’bez razloga’,

singularitet moze biti svojstven samoj krivulji - cestica se moralazaustaviti jer krivulja u toj tocki ima "špic".







singularitet moze biti svojstven samo parametrizaciji (ne i krivulji) -cestica se zaustavila na glatkom dijelu krivulje ’bez razloga’,singularitet moze biti svojstven samoj krivulji

- cestica se moralazaustaviti jer krivulja u toj tocki ima "špic".












Za parametriziranu krivulju r vrijedi:

u regularnoj tocki - tangencijalni vektor je netrivijalan ( 6= 0), pa setangenta na krivulju sigurno moze postaviti,u singularnoj tocki - tangencijalni vektor je nul-vektor, pa se tangentamozda ne moze postaviti (ali mozda i moze!),

ako se tangenta ipak moze postaviti - singularitet je svojstven samoparametrizaciji,ako se tangenta ne moze postaviti - singularitet je svojstven samojkrivulji (tj. slici parametrizacije).




Geometrijska interpretacija. Za parametriziranu krivulju r vrijedi:







u regularnoj tocki -

tangencijalni vektor je netrivijalan ( 6= 0), pa setangenta na krivulju sigurno moze postaviti,u singularnoj tocki - tangencijalni vektor je nul-vektor, pa se tangentamozda ne moze postaviti (ali mozda i moze!),






u regularnoj tocki - tangencijalni vektor je netrivijalan ( 6= 0),

pa setangenta na krivulju sigurno moze postaviti,u singularnoj tocki - tangencijalni vektor je nul-vektor, pa se tangentamozda ne moze postaviti (ali mozda i moze!),






u regularnoj tocki - tangencijalni vektor je netrivijalan ( 6= 0), pa setangenta na krivulju sigurno moze postaviti,

u singularnoj tocki - tangencijalni vektor je nul-vektor, pa se tangentamozda ne moze postaviti (ali mozda i moze!),






u regularnoj tocki - tangencijalni vektor je netrivijalan ( 6= 0), pa setangenta na krivulju sigurno moze postaviti,u singularnoj tocki -

tangencijalni vektor je nul-vektor, pa se tangentamozda ne moze postaviti (ali mozda i moze!),






u regularnoj tocki - tangencijalni vektor je netrivijalan ( 6= 0), pa setangenta na krivulju sigurno moze postaviti,u singularnoj tocki - tangencijalni vektor je nul-vektor,

pa se tangentamozda ne moze postaviti (ali mozda i moze!),






u regularnoj tocki - tangencijalni vektor je netrivijalan ( 6= 0), pa setangenta na krivulju sigurno moze postaviti,u singularnoj tocki - tangencijalni vektor je nul-vektor, pa se tangentamozda ne moze postaviti

(ali mozda i moze!),













ako se tangenta ipak moze postaviti -

singularitet je svojstven samoparametrizaciji,ako se tangenta ne moze postaviti - singularitet je svojstven samojkrivulji (tj. slici parametrizacije).






ako se tangenta ipak moze postaviti - singularitet je svojstven samoparametrizaciji,

ako se tangenta ne moze postaviti - singularitet je svojstven samojkrivulji (tj. slici parametrizacije).






ako se tangenta ipak moze postaviti - singularitet je svojstven samoparametrizaciji,ako se tangenta ne moze postaviti -

singularitet je svojstven samojkrivulji (tj. slici parametrizacije).









Primjer.

Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0

Dakle, singularitet:

prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).



Primjer. Ispitaj regularnost krivulja:

a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0





Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6),

b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0





Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).

Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0





Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje.

Za navedene krivulje vrijedi:

a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0





Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:

a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0





Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a)

r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0





Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) =

(3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0





Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5)

= 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0





Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0

⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0





Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t =

0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0





Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0

b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0






b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0






b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0






b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0






b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0






b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0






b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0






b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0






b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0






b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0





Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b)

r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0





Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) =

(3t2, 2t) = 0⇔ t = 0





Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t)

= 0⇔ t = 0





Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0

⇔ t = 0





Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t =

0





Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0






























































prve krivulje je svojstven parametrizaciji

(tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).





prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),

druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).





prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji

(tangenta se ne moze poloziti).








Definicija.

Neka je r : I → R3 parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r biregularna u t ∈ I ako vrijedi r(t)× r(t) 6= 0. U suprotnom,kazemo da je r bisingularna u t. Ako je parametrizirana krivulja rbiregularna za svaki t ∈ I , onda kazemo da je r biregularna.

Usporedimo uvjete regularnosti i biregularnosti. Krivulja r(t) je:

regularna u t ako i samo ako

r(t) 6= 0

biregularna u t ako i samo ako

r(t)× r(t) 6= 0 ⇔ r(t) 6= 0 ir(t) 6= 0 ir(t) /‖r(t)

Dakle, biregularnost je jaci zahtjev od regularnosti, tj. vrijedi:

biregularnost ⇒ regularnost,

regularnost 6⇒ biregularnost.



Definicija. Neka je r : I → R3 parametrizirana krivulja.

Kazemo da jekrivulja r biregularna u t ∈ I ako vrijedi r(t)× r(t) 6= 0. U suprotnom,kazemo da je r bisingularna u t. Ako je parametrizirana krivulja rbiregularna za svaki t ∈ I , onda kazemo da je r biregularna.



r(t) 6= 0


r(t)× r(t) 6= 0 ⇔ r(t) 6= 0 ir(t) 6= 0 ir(t) /‖r(t)






Definicija. Neka je r : I → R3 parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r biregularna u t ∈ I

ako vrijedi r(t)× r(t) 6= 0. U suprotnom,kazemo da je r bisingularna u t. Ako je parametrizirana krivulja rbiregularna za svaki t ∈ I , onda kazemo da je r biregularna.



r(t) 6= 0


r(t)× r(t) 6= 0 ⇔ r(t) 6= 0 ir(t) 6= 0 ir(t) /‖r(t)






Definicija. Neka je r : I → R3 parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r biregularna u t ∈ I ako vrijedi r(t)× r(t) 6= 0.

U suprotnom,kazemo da je r bisingularna u t. Ako je parametrizirana krivulja rbiregularna za svaki t ∈ I , onda kazemo da je r biregularna.



r(t) 6= 0


r(t)× r(t) 6= 0 ⇔ r(t) 6= 0 ir(t) 6= 0 ir(t) /‖r(t)






Definicija. Neka je r : I → R3 parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r biregularna u t ∈ I ako vrijedi r(t)× r(t) 6= 0. U suprotnom,kazemo da je r bisingularna u t.

Ako je parametrizirana krivulja rbiregularna za svaki t ∈ I , onda kazemo da je r biregularna.



r(t) 6= 0


r(t)× r(t) 6= 0 ⇔ r(t) 6= 0 ir(t) 6= 0 ir(t) /‖r(t)






Definicija. Neka je r : I → R3 parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r biregularna u t ∈ I ako vrijedi r(t)× r(t) 6= 0. U suprotnom,kazemo da je r bisingularna u t. Ako je parametrizirana krivulja rbiregularna za svaki t ∈ I ,

onda kazemo da je r biregularna.



r(t) 6= 0


r(t)× r(t) 6= 0 ⇔ r(t) 6= 0 ir(t) 6= 0 ir(t) /‖r(t)






Definicija. Neka je r : I → R3 parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r biregularna u t ∈ I ako vrijedi r(t)× r(t) 6= 0. U suprotnom,kazemo da je r bisingularna u t. Ako je parametrizirana krivulja rbiregularna za svaki t ∈ I , onda kazemo da je r biregularna.



r(t) 6= 0


r(t)× r(t) 6= 0 ⇔ r(t) 6= 0 ir(t) 6= 0 ir(t) /‖r(t)







Usporedimo uvjete regularnosti i biregularnosti.

Krivulja r(t) je:


r(t) 6= 0


r(t)× r(t) 6= 0 ⇔ r(t) 6= 0 ir(t) 6= 0 ir(t) /‖r(t)









r(t) 6= 0


r(t)× r(t) 6= 0 ⇔ r(t) 6= 0 ir(t) 6= 0 ir(t) /‖r(t)








regularna u t

ako i samo ako

r(t) 6= 0


r(t)× r(t) 6= 0 ⇔ r(t) 6= 0 ir(t) 6= 0 ir(t) /‖r(t)









r(t) 6= 0


r(t)× r(t) 6= 0 ⇔ r(t) 6= 0 ir(t) 6= 0 ir(t) /‖r(t)









r(t) 6= 0

biregularna u t

ako i samo ako

r(t)× r(t) 6= 0 ⇔ r(t) 6= 0 ir(t) 6= 0 ir(t) /‖r(t)









r(t) 6= 0


r(t)× r(t) 6= 0

⇔ r(t) 6= 0 ir(t) 6= 0 ir(t) /‖r(t)









r(t) 6= 0


r(t)× r(t) 6= 0 ⇔ r(t) 6= 0 i

r(t) 6= 0 ir(t) /‖r(t)









r(t) 6= 0


r(t)× r(t) 6= 0 ⇔ r(t) 6= 0 ir(t) 6= 0 i

r(t) /‖r(t)Dakle, biregularnost je jaci zahtjev od regularnosti, tj. vrijedi:








r(t) 6= 0


r(t)× r(t) 6= 0 ⇔ r(t) 6= 0 ir(t) 6= 0 ir(t) /‖r(t)









r(t) 6= 0


r(t)× r(t) 6= 0 ⇔ r(t) 6= 0 ir(t) 6= 0 ir(t) /‖r(t)









r(t) 6= 0


r(t)× r(t) 6= 0 ⇔ r(t) 6= 0 ir(t) 6= 0 ir(t) /‖r(t)









r(t) 6= 0


r(t)× r(t) 6= 0 ⇔ r(t) 6= 0 ir(t) 6= 0 ir(t) /‖r(t)








U tocki bisingulariteta t mora vrijediti baremjedno od sljedeceg:

cestica se zaustavila (r(t) = 0),nema zakrivljenosti ni akceleracije (r(t) = 0),nema samo zakrivljenosti (r(t)‖r(t)).

Neformalnije mozemo reci da parametrizacija krivulje ima bisingularitete u"špicevima" i na ravnim dijelovima krivulje.




Fizikalna interpretacija. U tocki bisingulariteta t mora vrijediti baremjedno od sljedeceg:







cestica se zaustavila (r(t) = 0),

nema zakrivljenosti ni akceleracije (r(t) = 0),nema samo zakrivljenosti (r(t)‖r(t)).






cestica se zaustavila (r(t) = 0),nema zakrivljenosti ni akceleracije (r(t) = 0),

nema samo zakrivljenosti (r(t)‖r(t)).Neformalnije mozemo reci da parametrizacija krivulje ima bisingularitete u"špicevima" i na ravnim dijelovima krivulje.












Neformalnije mozemo reci da parametrizacija krivulje ima bisingularitete u"špicevima"

i na ravnim dijelovima krivulje.









Primjer.

Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t

r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t

r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja

b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t

r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja



Primjer. Neka su a,b ∈ R3.

Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t







Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja:

a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t







Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,

b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t







Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.

Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t







Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje.

Za navedene krivulje vrijedi:

a) r(t) = b ⇒ regularna ∀tr(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t






Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:

a) r(t) = b ⇒ regularna ∀tr(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t






Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a)

r(t) = b ⇒ regularna ∀tr(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t






Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) =

b ⇒ regularna ∀tr(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t






Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b

⇒ regularna ∀tr(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t






Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒

regularna ∀tr(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t






Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t








r(t) =

0 ⇒ bisingularna ∀t







r(t) = 0

⇒ bisingularna ∀t







r(t) = 0 ⇒

bisingularna ∀t

























































r(t) = 0 ⇒

bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja















b)

r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t







b) r(t) =

3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t







b) r(t) = 3t2b

⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t







b) r(t) = 3t2b ⇒

regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t







b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0

r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t







b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) =

6tb ⇒ bisingularna ∀t







b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb

⇒ bisingularna ∀t







b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒

bisingularna ∀t














































































r(t)‖r(t) ⇒

bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja







r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti,

iako ima ubrzanja










Uocimo:

dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.

Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:

r1 : [0, 2π]→ R2

r1(t) = (cos t, sin t)r2 : [0,π]→ R2

r2(t) = (cos 2t, sin 2t)



Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.


r1 : [0, 2π]→ R2

r1(t) = (cos t, sin t)r2 : [0,π]→ R2





Primjer.

Razmotrimo sljedece krivulje:

r1 : [0, 2π]→ R2

r1(t) = (cos t, sin t)r2 : [0,π]→ R2






r1 : [0, 2π]→ R2

r1(t) = (cos t, sin t)r2 : [0,π]→ R2






r1 : [0, 2π]→ R2

r1(t) = (cos t, sin t)

r2 : [0,π]→ R2






r1 : [0, 2π]→ R2

r1(t) = (cos t, sin t)r2 : [0,π]→ R2






r1 : [0, 2π]→ R2

r1(t) = (cos t, sin t)r2 : [0,π]→ R2






r1 : [0, 2π]→ R2

r1(t) = (cos t, sin t)r2 : [0,π]→ R2






r1 : [0, 2π]→ R2

r1(t) = (cos t, sin t)r2 : [0,π]→ R2






r1 : [0, 2π]→ R2

r1(t) = (cos t, sin t)r2 : [0,π]→ R2






r1 : [0, 2π]→ R2

r1(t) = (cos t, sin t)r2 : [0,π]→ R2






r1 : [0, 2π]→ R2

r1(t) = (cos t, sin t)r2 : [0,π]→ R2






r1 : [0, 2π]→ R2

r1(t) = (cos t, sin t)r2 : [0,π]→ R2






r1 : [0, 2π]→ R2

r1(t) = (cos t, sin t)r2 : [0,π]→ R2






r1 : [0, 2π]→ R2

r1(t) = (cos t, sin t)r2 : [0,π]→ R2






r1 : [0, 2π]→ R2

r1(t) = (cos t, sin t)r3 : [0, 2π]→ R2






r1 : [0, 2π]→ R2

r1(t) = (cos t, sin t)r3 : [0, 2π]→ R2






r1 : [0, 2π]→ R2

r1(t) = (cos t, sin t)r3 : [0, 2π]→ R2






r1 : [0, 2π]→ R2

r1(t) = (cos t, sin t)r3 : [0, 2π]→ R2






r1 : [0, 2π]→ R2

r1(t) = (cos t, sin t)r3 : [0, 2π]→ R2






r1 : [0, 2π]→ R2

r1(t) = (cos t, sin t)r3 : [0, 2π]→ R2






r1 : [0, 2π]→ R2

r1(t) = (cos t, sin t)r3 : [0, 2π]→ R2






r1 : [0, 2π]→ R2

r1(t) = (cos t, sin t)r3 : [0, 2π]→ R2






r1 : [0, 2π]→ R2

r1(t) = (cos t, sin t)r3 : [0, 2π]→ R2






r1 : [0, 2π]→ R2

r1(t) = (cos t, sin t)r3 : [0, 2π]→ R2






r1 : [0, 2π]→ R2

r1(t) = (cos t, sin t)r4 : [0, 2π]→ R2

r4(t) = (cos (−t), sin (−t))





r1 : [0, 2π]→ R2

r1(t) = (cos t, sin t)r4 : [0, 2π]→ R2

r4(t) = (cos (−t), sin (−t))





r1 : [0, 2π]→ R2

r1(t) = (cos t, sin t)r4 : [0, 2π]→ R2

r4(t) = (cos (−t), sin (−t))





r1 : [0, 2π]→ R2

r1(t) = (cos t, sin t)r4 : [0, 2π]→ R2

r4(t) = (cos (−t), sin (−t))





r1 : [0, 2π]→ R2

r1(t) = (cos t, sin t)r4 : [0, 2π]→ R2

r4(t) = (cos (−t), sin (−t))





r1 : [0, 2π]→ R2

r1(t) = (cos t, sin t)r4 : [0, 2π]→ R2

r4(t) = (cos (−t), sin (−t))





r1 : [0, 2π]→ R2

r1(t) = (cos t, sin t)r4 : [0, 2π]→ R2

r4(t) = (cos (−t), sin (−t))





r1 : [0, 2π]→ R2

r1(t) = (cos t, sin t)r4 : [0, 2π]→ R2

r4(t) = (cos (−t), sin (−t))





r1 : [0, 2π]→ R2

r1(t) = (cos t, sin t)r4 : [0, 2π]→ R2

r4(t) = (cos (−t), sin (−t))





r1 : [0, 2π]→ R2

r1(t) = (cos t, sin t)r4 : [0, 2π]→ R2

r4(t) = (cos (−t), sin (−t))



6= brzina 6= put 6= orijentacija



Obzirom na fizikalnu interpretaciju,

ovo znaci da cestica po istom tragu(tj. slici krivulje) moze:

ici razlicitom brzinom,

napraviti razlicit put,

ici suprotnim smjerom.

One parametrizacije koje se razlikuju samo u brzini kojom cestica putujepo tragu nazivat cemo ekvivalentnim parametrizacijama.



Obzirom na fizikalnu interpretaciju, ovo znaci da cestica po istom tragu(tj. slici krivulje) moze:
































One parametrizacije koje se razlikuju samo u brzini kojom cestica putujepo tragu

nazivat cemo ekvivalentnim parametrizacijama.










Definicija.

Neka su r : I → Rn i~r : J → Rn parametrizirane krivulje.Kazemo da su r i~r ekvivalentne ako postoji obostrano glatka bijekcija

ϕ : J → I takva da je ~r(t) = r(ϕ(t)) i ϕ′(t) > 0 za svaki t ∈ J. Akosu r i~r ekvivalentne, onda se~r naziva reparametrizacijom od r i obratno.

Uocimo da za ekvivalentne krivulje vrijedi

~r(t) = r(ϕ(t))⇒ ˙r(t)︸︷︷︸vektor

= r(ϕ(t))︸︷︷︸vektor

ϕ(t)︸︷︷︸skalar>0

,

pa za vektore brzina ˙r(t) i r(ϕ(t)) vrijedi da su:

kolinearni,

iste orijentacije.

Zakljucujemo da se reparametriziranjem mijenja jedino skalarna brzina.



Definicija. Neka su r : I → Rn i~r : J → Rn parametrizirane krivulje.

Kazemo da su r i~r ekvivalentne ako postoji obostrano glatka bijekcija






,


kolinearni,

iste orijentacije.




Definicija. Neka su r : I → Rn i~r : J → Rn parametrizirane krivulje.Kazemo da su r i~r ekvivalentne

ako postoji obostrano glatka bijekcija






,


kolinearni,

iste orijentacije.




Definicija. Neka su r : I → Rn i~r : J → Rn parametrizirane krivulje.Kazemo da su r i~r ekvivalentne ako postoji obostrano glatka bijekcija

ϕ : J → I

takva da je ~r(t) = r(ϕ(t)) i ϕ′(t) > 0 za svaki t ∈ J. Akosu r i~r ekvivalentne, onda se~r naziva reparametrizacijom od r i obratno.





,


kolinearni,

iste orijentacije.





ϕ : J → I takva da je ~r(t) = r(ϕ(t)) i ϕ′(t) > 0 za svaki t ∈ J.

Akosu r i~r ekvivalentne, onda se~r naziva reparametrizacijom od r i obratno.





,


kolinearni,

iste orijentacije.





ϕ : J → I takva da je ~r(t) = r(ϕ(t)) i ϕ′(t) > 0 za svaki t ∈ J. Akosu r i~r ekvivalentne,

onda se~r naziva reparametrizacijom od r i obratno.





,


kolinearni,

iste orijentacije.










,


kolinearni,

iste orijentacije.










,


kolinearni,

iste orijentacije.







~r(t) = r(ϕ(t))⇒

˙r(t)︸︷︷︸vektor



,


kolinearni,

iste orijentacije.










,


kolinearni,

iste orijentacije.










,


kolinearni,

iste orijentacije.










,


kolinearni,

iste orijentacije.










,


kolinearni,

iste orijentacije.










,


kolinearni,

iste orijentacije.




Obzirom na s = v · t

(s = put, v = brzina, t = vrijeme), definiramoelement duljine luka ds sa ds = |r(t)| dt.

Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja, te neka je[a, b] ⊆ I . Broj s(a, b) definiran sa

s(a, b) =

b∫a

|r(t)| dt

naziva se duljina luka krivulje r od a do b.



Obzirom na s = v · t (s = put, v = brzina, t = vrijeme),

definiramoelement duljine luka ds sa ds = |r(t)| dt.


s(a, b) =

b∫a

|r(t)| dt




Obzirom na s = v · t (s = put, v = brzina, t = vrijeme), definiramoelement duljine luka ds sa ds = |r(t)| dt.


s(a, b) =

b∫a

|r(t)| dt





Definicija.

Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja, te neka je[a, b] ⊆ I . Broj s(a, b) definiran sa

s(a, b) =

b∫a

|r(t)| dt





Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja,

te neka je[a, b] ⊆ I . Broj s(a, b) definiran sa

s(a, b) =

b∫a

|r(t)| dt





Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja, te neka je[a, b] ⊆ I .

Broj s(a, b) definiran sa

s(a, b) =

b∫a

|r(t)| dt






s(a, b) =

b∫a

|r(t)| dt






s(a, b) =

b∫a

|r(t)| dt






s(a, b) =

b∫a

|r(t)| dt




Propozicija.

Duljina luka krivulje ne ovisi o reparametrizaciji.Dokaz. Neka je~r : [c, d ]→ Rn reparametrizacija od r : [a, b]→ Rn.Vrijedi

~r(t) = r(ϕ(t)) ⇒ ˙r(t)dt = r(ϕ(t))ϕ(t)dt

ϕ′(t) > 0 ⇒ ϕ je rastuca ⇒{

ϕ(c) = aϕ(d) = b

Sada je

d∫c

| ˙r(t)| dt =

d∫c

∣∣r(ϕ(t))ϕ′(t)∣∣ dt = d∫c

|r(ϕ(t))| ϕ′(t)dt =

=

{ϕ(t) = u

ϕ′(t)dt = dut c du a b

}=

b∫a

|r(u)| du. QED



Propozicija. Duljina luka krivulje ne ovisi o reparametrizaciji.

Dokaz. Neka je~r : [c, d ]→ Rn reparametrizacija od r : [a, b]→ Rn.Vrijedi



ϕ(c) = aϕ(d) = b

Sada je

d∫c

| ˙r(t)| dt =

d∫c

∣∣r(ϕ(t))ϕ′(t)∣∣ dt = d∫c

|r(ϕ(t))| ϕ′(t)dt =

=

{ϕ(t) = u


}=

b∫a

|r(u)| du. QED



Propozicija. Duljina luka krivulje ne ovisi o reparametrizaciji.Dokaz.

Neka je~r : [c, d ]→ Rn reparametrizacija od r : [a, b]→ Rn.Vrijedi



ϕ(c) = aϕ(d) = b

Sada je

d∫c

| ˙r(t)| dt =

d∫c

∣∣r(ϕ(t))ϕ′(t)∣∣ dt = d∫c

|r(ϕ(t))| ϕ′(t)dt =

=

{ϕ(t) = u


}=

b∫a

|r(u)| du. QED



Propozicija. Duljina luka krivulje ne ovisi o reparametrizaciji.Dokaz. Neka je~r : [c, d ]→ Rn reparametrizacija od r : [a, b]→ Rn.

Vrijedi



ϕ(c) = aϕ(d) = b

Sada je

d∫c

| ˙r(t)| dt =

d∫c

∣∣r(ϕ(t))ϕ′(t)∣∣ dt = d∫c

|r(ϕ(t))| ϕ′(t)dt =

=

{ϕ(t) = u


}=

b∫a

|r(u)| du. QED



Propozicija. Duljina luka krivulje ne ovisi o reparametrizaciji.Dokaz. Neka je~r : [c, d ]→ Rn reparametrizacija od r : [a, b]→ Rn.Vrijedi

~r(t) = r(ϕ(t)) ⇒

˙r(t)dt = r(ϕ(t))ϕ(t)dt


ϕ(c) = aϕ(d) = b

Sada je

d∫c

| ˙r(t)| dt =

d∫c

∣∣r(ϕ(t))ϕ′(t)∣∣ dt = d∫c

|r(ϕ(t))| ϕ′(t)dt =

=

{ϕ(t) = u


}=

b∫a

|r(u)| du. QED




~r(t) = r(ϕ(t)) ⇒ ˙r(t)dt =

r(ϕ(t))ϕ(t)dt


ϕ(c) = aϕ(d) = b

Sada je

d∫c

| ˙r(t)| dt =

d∫c

∣∣r(ϕ(t))ϕ′(t)∣∣ dt = d∫c

|r(ϕ(t))| ϕ′(t)dt =

=

{ϕ(t) = u


}=

b∫a

|r(u)| du. QED






ϕ(c) = aϕ(d) = b

Sada je

d∫c

| ˙r(t)| dt =

d∫c

∣∣r(ϕ(t))ϕ′(t)∣∣ dt = d∫c

|r(ϕ(t))| ϕ′(t)dt =

=

{ϕ(t) = u


}=

b∫a

|r(u)| du. QED





ϕ′(t) > 0 ⇒

ϕ je rastuca ⇒{

ϕ(c) = aϕ(d) = b

Sada je

d∫c

| ˙r(t)| dt =

d∫c

∣∣r(ϕ(t))ϕ′(t)∣∣ dt = d∫c

|r(ϕ(t))| ϕ′(t)dt =

=

{ϕ(t) = u


}=

b∫a

|r(u)| du. QED





ϕ′(t) > 0 ⇒ ϕ je rastuca ⇒

{ϕ(c) = aϕ(d) = b

Sada je

d∫c

| ˙r(t)| dt =

d∫c

∣∣r(ϕ(t))ϕ′(t)∣∣ dt = d∫c

|r(ϕ(t))| ϕ′(t)dt =

=

{ϕ(t) = u


}=

b∫a

|r(u)| du. QED






ϕ(c) = aϕ(d) = b

Sada je

d∫c

| ˙r(t)| dt =

d∫c

∣∣r(ϕ(t))ϕ′(t)∣∣ dt = d∫c

|r(ϕ(t))| ϕ′(t)dt =

=

{ϕ(t) = u


}=

b∫a

|r(u)| du. QED






ϕ(c) = aϕ(d) = b

Sada je

d∫c

| ˙r(t)| dt =

d∫c

∣∣r(ϕ(t))ϕ′(t)∣∣ dt = d∫c

|r(ϕ(t))| ϕ′(t)dt =

=

{ϕ(t) = u


}=

b∫a

|r(u)| du. QED






ϕ(c) = aϕ(d) = b

Sada je

d∫c

| ˙r(t)| dt =

d∫c

∣∣r(ϕ(t))ϕ′(t)∣∣ dt =

d∫c

|r(ϕ(t))| ϕ′(t)dt =

=

{ϕ(t) = u


}=

b∫a

|r(u)| du. QED






ϕ(c) = aϕ(d) = b

Sada je

d∫c

| ˙r(t)| dt =

d∫c

∣∣r(ϕ(t))ϕ′(t)∣∣ dt = d∫c

|r(ϕ(t))| ϕ′(t)dt =

=

{ϕ(t) = u


}=

b∫a

|r(u)| du. QED






ϕ(c) = aϕ(d) = b

Sada je

d∫c

| ˙r(t)| dt =

d∫c

∣∣r(ϕ(t))ϕ′(t)∣∣ dt = d∫c

|r(ϕ(t))| ϕ′(t)dt =

=

{ϕ(t) = u


}=

b∫a

|r(u)| du. QED






ϕ(c) = aϕ(d) = b

Sada je

d∫c

| ˙r(t)| dt =

d∫c

∣∣r(ϕ(t))ϕ′(t)∣∣ dt = d∫c

|r(ϕ(t))| ϕ′(t)dt =

=

{ϕ(t) = u

ϕ′(t)dt = du

t c du a b

}=

b∫a

|r(u)| du. QED






ϕ(c) = aϕ(d) = b

Sada je

d∫c

| ˙r(t)| dt =

d∫c

∣∣r(ϕ(t))ϕ′(t)∣∣ dt = d∫c

|r(ϕ(t))| ϕ′(t)dt =

=

{ϕ(t) = u


}=

b∫a

|r(u)| du. QED






ϕ(c) = aϕ(d) = b

Sada je

d∫c

| ˙r(t)| dt =

d∫c

∣∣r(ϕ(t))ϕ′(t)∣∣ dt = d∫c

|r(ϕ(t))| ϕ′(t)dt =

=

{ϕ(t) = u


}=

b∫a

|r(u)| du. QED






ϕ(c) = aϕ(d) = b

Sada je

d∫c

| ˙r(t)| dt =

d∫c

∣∣r(ϕ(t))ϕ′(t)∣∣ dt = d∫c

|r(ϕ(t))| ϕ′(t)dt =

=

{ϕ(t) = u


}=

b∫a

|r(u)| du.

QED






ϕ(c) = aϕ(d) = b

Sada je

d∫c

| ˙r(t)| dt =

d∫c

∣∣r(ϕ(t))ϕ′(t)∣∣ dt = d∫c

|r(ϕ(t))| ϕ′(t)dt =

=

{ϕ(t) = u


}=

b∫a

|r(u)| du. QED




Napomena.

Svojstvo krivulje koje ne ovisi o reparametrizaciji naziva seunutarnje svojstvo krivulje. Dakle, duljina luka je unutarnje svojstvokrivulje.




Napomena. Svojstvo krivulje koje ne ovisi o reparametrizaciji naziva seunutarnje svojstvo krivulje.

Dakle, duljina luka je unutarnje svojstvokrivulje.




Napomena. Svojstvo krivulje koje ne ovisi o reparametrizaciji naziva seunutarnje svojstvo krivulje. Dakle, duljina luka je unutarnje svojstvokrivulje.



Ako za krivulju r vrijedi |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I ,

to znaci da cesticastalno putuje jedinicnom brzinom, pa imamo:

1 =

brzina =prije�eni putproteklo vrijeme

t =

proteklo vrijeme = prije�eni put

= s

Dakle, u tom slucaju mozemo smatrati da je krivulja parametriziranaprije�enim putem (tj. duljinom luka).

Napomena. Uobicajeno je oznacavati:

prirodni parametar sa s, opceniti parametar sa t,

derivaciju krivulje r po prirodnom parametru sa r′, derivacija krivulje rpo opcem parametru sa r.



Ako za krivulju r vrijedi |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I , to znaci da cesticastalno putuje jedinicnom brzinom,

pa imamo:

1 =


t =


= s







Ako za krivulju r vrijedi |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I , to znaci da cesticastalno putuje jedinicnom brzinom, pa imamo:

1 =


t =


= s








1 =


t =


= s








1 = brzina =prije�eni putproteklo vrijeme

t =


= s









t =


= s









t =


= s

Dakle, u tom slucaju mozemo smatrati da je krivulja parametriziranaprije�enim putem

(tj. duljinom luka).








t =


= s









t = proteklo vrijeme = prije�eni put

= s









t = proteklo vrijeme = prije�eni put = s











Napomena.

Uobicajeno je oznacavati:



















prirodni parametar sa s,

opceniti parametar sa t,



















derivaciju krivulje r po prirodnom parametru sa r′,

derivacija krivulje rpo opcem parametru sa r.












Definicija.

Za krivulju r : I → Rn kazemo da je parametrizirana duljinomluka ili prirodnim parametrom ako je |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I .

Ako je krivulja r : [a, b]→ Rn parametrizirana prirodnim parametrom,tada za duljinu luka te krivulje vrijedi

s(a, b) =

b∫a

|r(t)| dt =b∫a

dt = (t)

∣∣∣∣ba= b− a.

Dakle, prije�eni put s(a, b) jednak je proteklom vremenu b− a.



Definicija. Za krivulju r : I → Rn kazemo da je parametrizirana duljinomluka

ili prirodnim parametrom ako je |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I .


s(a, b) =

b∫a

|r(t)| dt =b∫a

dt = (t)

∣∣∣∣ba= b− a.




Definicija. Za krivulju r : I → Rn kazemo da je parametrizirana duljinomluka ili prirodnim parametrom

ako je |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I .


s(a, b) =

b∫a

|r(t)| dt =b∫a

dt = (t)

∣∣∣∣ba= b− a.




Definicija. Za krivulju r : I → Rn kazemo da je parametrizirana duljinomluka ili prirodnim parametrom ako je |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I .


s(a, b) =

b∫a

|r(t)| dt =b∫a

dt = (t)

∣∣∣∣ba= b− a.





Ako je krivulja r : [a, b]→ Rn parametrizirana prirodnim parametrom,

tada za duljinu luka te krivulje vrijedi

s(a, b) =

b∫a

|r(t)| dt =b∫a

dt = (t)

∣∣∣∣ba= b− a.






s(a, b) =

b∫a

|r(t)| dt =b∫a

dt = (t)

∣∣∣∣ba= b− a.






s(a, b) =

b∫a

|r(t)| dt =b∫a

dt = (t)

∣∣∣∣ba= b− a.






s(a, b) =

b∫a

|r(t)| dt =

b∫a

dt = (t)

∣∣∣∣ba= b− a.






s(a, b) =

b∫a

|r(t)| dt =b∫a

dt =

(t)

∣∣∣∣ba= b− a.






s(a, b) =

b∫a

|r(t)| dt =b∫a

dt = (t)

∣∣∣∣ba=

b− a.






s(a, b) =

b∫a

|r(t)| dt =b∫a

dt = (t)

∣∣∣∣ba= b− a.






s(a, b) =

b∫a

|r(t)| dt =b∫a

dt = (t)

∣∣∣∣ba= b− a.




Pitanje.

Moze li se smaka krivulja r : I → Rn reparametrizirati prirodnimparametrom?

Uocimo da vrijedi:

prirodna parametrizacija je regularna (jer |r(t)| = 1⇒ r(t) 6= 0),za svaku reparametrizaciju~r od r vrijedi

~r(t) = r(ϕ(t))⇒ ˙r(t) = r(ϕ(t))ϕ(t)︸︷︷︸>0

,

pa~r i r imaju singularitete u istim tockama.

Zakljucujemo: ako krivulja r nije regularna, onda se ne mozereparametrizirati prirodnim parametrom.

No, što je s regularnim krivuljama?



Pitanje. Moze li se smaka krivulja r : I → Rn reparametrizirati prirodnimparametrom?

Uocimo da vrijedi:


~r(t) = r(ϕ(t))⇒ ˙r(t) = r(ϕ(t))ϕ(t)︸︷︷︸>0

,







Uocimo da vrijedi:


~r(t) = r(ϕ(t))⇒ ˙r(t) = r(ϕ(t))ϕ(t)︸︷︷︸>0

,







Uocimo da vrijedi:

prirodna parametrizacija je regularna

(jer |r(t)| = 1⇒ r(t) 6= 0),za svaku reparametrizaciju~r od r vrijedi

~r(t) = r(ϕ(t))⇒ ˙r(t) = r(ϕ(t))ϕ(t)︸︷︷︸>0

,







Uocimo da vrijedi:

prirodna parametrizacija je regularna (jer |r(t)| = 1⇒ r(t) 6= 0),

za svaku reparametrizaciju~r od r vrijedi

~r(t) = r(ϕ(t))⇒ ˙r(t) = r(ϕ(t))ϕ(t)︸︷︷︸>0

,







Uocimo da vrijedi:


~r(t) = r(ϕ(t))⇒ ˙r(t) = r(ϕ(t))ϕ(t)︸︷︷︸>0

,







Uocimo da vrijedi:


~r(t) = r(ϕ(t))⇒

˙r(t) = r(ϕ(t))ϕ(t)︸︷︷︸>0

,







Uocimo da vrijedi:


~r(t) = r(ϕ(t))⇒ ˙r(t) = r(ϕ(t))ϕ(t)︸︷︷︸>0

,







Uocimo da vrijedi:


~r(t) = r(ϕ(t))⇒ ˙r(t) = r(ϕ(t))ϕ(t)︸︷︷︸>0

,







Uocimo da vrijedi:


~r(t) = r(ϕ(t))⇒ ˙r(t) = r(ϕ(t))ϕ(t)︸︷︷︸>0

,


Zakljucujemo:

ako krivulja r nije regularna, onda se ne mozereparametrizirati prirodnim parametrom.





Uocimo da vrijedi:


~r(t) = r(ϕ(t))⇒ ˙r(t) = r(ϕ(t))ϕ(t)︸︷︷︸>0

,







Uocimo da vrijedi:


~r(t) = r(ϕ(t))⇒ ˙r(t) = r(ϕ(t))ϕ(t)︸︷︷︸>0

,






Teorem.

Svaka regularna krivulja r moze se reparametrizirati prirodnimparametrom.Dokaz. Neka je r : I → Rn proizvoljna krivulja i t0 ∈ I .Definiramo funkciju duljine luka

s(t) =

t∫t0

|r(u)| du ⇒ s ′(t) = |r(t)| .

Moze se pokazati da je s(t) obostrano glatka bijekcija s inverzom t(s).Vrijedi

t ′(s) =1

s ′(t)=

1|r(t)| .

Sada vrijedi:

~r(s) = r(t(s))⇒ | ˙r(t)| =∣∣r(t(s)) · t ′(s)∣∣ = |r(t)| 1

|r(t)| = 1. QED.



Teorem. Svaka regularna krivulja r moze se reparametrizirati prirodnimparametrom.

Dokaz. Neka je r : I → Rn proizvoljna krivulja i t0 ∈ I .Definiramo funkciju duljine luka

s(t) =

t∫t0

|r(u)| du ⇒ s ′(t) = |r(t)| .


t ′(s) =1

s ′(t)=

1|r(t)| .

Sada vrijedi:

~r(s) = r(t(s))⇒ | ˙r(t)| =∣∣r(t(s)) · t ′(s)∣∣ = |r(t)| 1

|r(t)| = 1. QED.



Teorem. Svaka regularna krivulja r moze se reparametrizirati prirodnimparametrom.Dokaz.

Neka je r : I → Rn proizvoljna krivulja i t0 ∈ I .Definiramo funkciju duljine luka

s(t) =

t∫t0

|r(u)| du ⇒ s ′(t) = |r(t)| .


t ′(s) =1

s ′(t)=

1|r(t)| .

Sada vrijedi:

~r(s) = r(t(s))⇒ | ˙r(t)| =∣∣r(t(s)) · t ′(s)∣∣ = |r(t)| 1

|r(t)| = 1. QED.



Teorem. Svaka regularna krivulja r moze se reparametrizirati prirodnimparametrom.Dokaz. Neka je r : I → Rn proizvoljna krivulja

i t0 ∈ I .Definiramo funkciju duljine luka

s(t) =

t∫t0

|r(u)| du ⇒ s ′(t) = |r(t)| .


t ′(s) =1

s ′(t)=

1|r(t)| .

Sada vrijedi:

~r(s) = r(t(s))⇒ | ˙r(t)| =∣∣r(t(s)) · t ′(s)∣∣ = |r(t)| 1

|r(t)| = 1. QED.



Teorem. Svaka regularna krivulja r moze se reparametrizirati prirodnimparametrom.Dokaz. Neka je r : I → Rn proizvoljna krivulja i t0 ∈ I .

Definiramo funkciju duljine luka

s(t) =

t∫t0

|r(u)| du ⇒ s ′(t) = |r(t)| .


t ′(s) =1

s ′(t)=

1|r(t)| .

Sada vrijedi:

~r(s) = r(t(s))⇒ | ˙r(t)| =∣∣r(t(s)) · t ′(s)∣∣ = |r(t)| 1

|r(t)| = 1. QED.



Teorem. Svaka regularna krivulja r moze se reparametrizirati prirodnimparametrom.Dokaz. Neka je r : I → Rn proizvoljna krivulja i t0 ∈ I .Definiramo funkciju duljine luka

s(t) =

t∫t0

|r(u)| du ⇒ s ′(t) = |r(t)| .


t ′(s) =1

s ′(t)=

1|r(t)| .

Sada vrijedi:

~r(s) = r(t(s))⇒ | ˙r(t)| =∣∣r(t(s)) · t ′(s)∣∣ = |r(t)| 1

|r(t)| = 1. QED.




s(t) =

t∫t0

|r(u)| du

⇒ s ′(t) = |r(t)| .


t ′(s) =1

s ′(t)=

1|r(t)| .

Sada vrijedi:

~r(s) = r(t(s))⇒ | ˙r(t)| =∣∣r(t(s)) · t ′(s)∣∣ = |r(t)| 1

|r(t)| = 1. QED.




s(t) =

t∫t0

|r(u)| du ⇒ s ′(t) =

|r(t)| .


t ′(s) =1

s ′(t)=

1|r(t)| .

Sada vrijedi:

~r(s) = r(t(s))⇒ | ˙r(t)| =∣∣r(t(s)) · t ′(s)∣∣ = |r(t)| 1

|r(t)| = 1. QED.




s(t) =

t∫t0

|r(u)| du ⇒ s ′(t) = |r(t)| .


t ′(s) =1

s ′(t)=

1|r(t)| .

Sada vrijedi:

~r(s) = r(t(s))⇒ | ˙r(t)| =∣∣r(t(s)) · t ′(s)∣∣ = |r(t)| 1

|r(t)| = 1. QED.




s(t) =

t∫t0

|r(u)| du ⇒ s ′(t) = |r(t)| .

Moze se pokazati da je s(t) obostrano glatka bijekcija

s inverzom t(s).Vrijedi

t ′(s) =1

s ′(t)=

1|r(t)| .

Sada vrijedi:

~r(s) = r(t(s))⇒ | ˙r(t)| =∣∣r(t(s)) · t ′(s)∣∣ = |r(t)| 1

|r(t)| = 1. QED.




s(t) =

t∫t0

|r(u)| du ⇒ s ′(t) = |r(t)| .

Moze se pokazati da je s(t) obostrano glatka bijekcija s inverzom t(s).

Vrijedi

t ′(s) =1

s ′(t)=

1|r(t)| .

Sada vrijedi:

~r(s) = r(t(s))⇒ | ˙r(t)| =∣∣r(t(s)) · t ′(s)∣∣ = |r(t)| 1

|r(t)| = 1. QED.




s(t) =

t∫t0

|r(u)| du ⇒ s ′(t) = |r(t)| .


t ′(s) =1

s ′(t)

=1|r(t)| .

Sada vrijedi:

~r(s) = r(t(s))⇒ | ˙r(t)| =∣∣r(t(s)) · t ′(s)∣∣ = |r(t)| 1

|r(t)| = 1. QED.




s(t) =

t∫t0

|r(u)| du ⇒ s ′(t) = |r(t)| .


t ′(s) =1

s ′(t)=

1|r(t)| .

Sada vrijedi:

~r(s) = r(t(s))⇒ | ˙r(t)| =∣∣r(t(s)) · t ′(s)∣∣ = |r(t)| 1

|r(t)| = 1. QED.




s(t) =

t∫t0

|r(u)| du ⇒ s ′(t) = |r(t)| .


t ′(s) =1

s ′(t)=

1|r(t)| .

Sada vrijedi:

~r(s) = r(t(s))⇒

| ˙r(t)| =∣∣r(t(s)) · t ′(s)∣∣ = |r(t)| 1

|r(t)| = 1. QED.




s(t) =

t∫t0

|r(u)| du ⇒ s ′(t) = |r(t)| .


t ′(s) =1

s ′(t)=

1|r(t)| .

Sada vrijedi:

~r(s) = r(t(s))⇒ | ˙r(t)| =

∣∣r(t(s)) · t ′(s)∣∣ = |r(t)| 1|r(t)| = 1. QED.




s(t) =

t∫t0

|r(u)| du ⇒ s ′(t) = |r(t)| .


t ′(s) =1

s ′(t)=

1|r(t)| .

Sada vrijedi:

~r(s) = r(t(s))⇒ | ˙r(t)| =∣∣r(t(s)) · t ′(s)∣∣ =

|r(t)| 1|r(t)| = 1. QED.




s(t) =

t∫t0

|r(u)| du ⇒ s ′(t) = |r(t)| .


t ′(s) =1

s ′(t)=

1|r(t)| .

Sada vrijedi:

~r(s) = r(t(s))⇒ | ˙r(t)| =∣∣r(t(s)) · t ′(s)∣∣ = |r(t)| 1

|r(t)| =

1. QED.




s(t) =

t∫t0

|r(u)| du ⇒ s ′(t) = |r(t)| .


t ′(s) =1

s ′(t)=

1|r(t)| .

Sada vrijedi:

~r(s) = r(t(s))⇒ | ˙r(t)| =∣∣r(t(s)) · t ′(s)∣∣ = |r(t)| 1

|r(t)| = 1.

QED.




s(t) =

t∫t0

|r(u)| du ⇒ s ′(t) = |r(t)| .


t ′(s) =1

s ′(t)=

1|r(t)| .

Sada vrijedi:

~r(s) = r(t(s))⇒ | ˙r(t)| =∣∣r(t(s)) · t ′(s)∣∣ = |r(t)| 1

|r(t)| = 1. QED.



Dakle, zakljucujemo sljedece:

svaka regularna krivulja se sigurno moze reparametrizirati prirodnimparametrom,

svaka neregularna krivulja se sigurno ne moze reparametriziratiprirodnim parametrom.












Parametrizirana krivuljaEksplicitno zadana krivulja

Ako je krivulja zadana:

eksplicitnom jednadzbom,

implicitnom jednadzbom,

onda je krivulja skup C svih tocaka koje zadovoljavaju tu jednadzbu.

Pitanje. Moze li se C parametrizirati, tj. postoji li parametriziranakrivulja r : I → Rn takva da je:

r(I ) = C - (globalna) parametrizacija,r(I ) ⊂ C - lokalna parametrizacija.







































Pitanje.

Moze li se C parametrizirati, tj. postoji li parametriziranakrivulja r : I → Rn takva da je:








Pitanje. Moze li se C parametrizirati,

tj. postoji li parametriziranakrivulja r : I → Rn takva da je:

















r(I ) = C

- (globalna) parametrizacija,

r(I ) ⊂ C - lokalna parametrizacija.








r(I ) = C - (globalna) parametrizacija,

r(I ) ⊂ C - lokalna parametrizacija.








r(I ) = C - (globalna) parametrizacija,r(I ) ⊂ C

- lokalna parametrizacija.











Ravninska krivulja.

Neka je f : I → R glatka funkcija, pri cemu je I ⊆ R

interval. Tada:

eksplicitno zadanom ravninska krivulja je

C = {(x , f (x)) : y = f (x), x ∈ I} ⊆ R2,

eksplicitna jednadzba krivulje C je y = f (x).

Uocimo da vrijedi C = r(I ) za

r(t) = (t, f (t)), t ∈ I

pa je r(t) globalna parametrizacija krivulje C .



Ravninska krivulja. Neka je f : I → R glatka funkcija, pri cemu je I ⊆ R

interval.

Tada:


C = {(x , f (x)) : y = f (x), x ∈ I} ⊆ R2,



r(t) = (t, f (t)), t ∈ I





interval. Tada:


C = {(x , f (x)) : y = f (x), x ∈ I} ⊆ R2,



r(t) = (t, f (t)), t ∈ I





interval. Tada:


C = {(x , f (x)) : y = f (x), x ∈ I} ⊆ R2,



r(t) = (t, f (t)), t ∈ I





interval. Tada:


C = {(x , f (x)) : y = f (x), x ∈ I} ⊆ R2,



r(t) = (t, f (t)), t ∈ I





interval. Tada:


C = {(x , f (x)) : y = f (x), x ∈ I} ⊆ R2,



r(t) = (t, f (t)), t ∈ I





interval. Tada:


C = {(x , f (x)) : y = f (x), x ∈ I} ⊆ R2,



r(t) = (t, f (t)), t ∈ I




Prostorna krivulja.

Neka su f , g : I → R glatke funkcije, pri cemu jeI ⊆ R interval. Tada:

eksplicitno zadana prostorna krivulja je

C = {(x , y , z) : y = f (x), z = g(x), x ∈ I} ⊆ R3,

eksplicitna jednadzba krivulje C je sustav y = f (x), z = g(x).


r(t) = (t, f (t), g(t)), t ∈ I




Prostorna krivulja. Neka su f , g : I → R glatke funkcije, pri cemu jeI ⊆ R interval.

Tada:


C = {(x , y , z) : y = f (x), z = g(x), x ∈ I} ⊆ R3,



r(t) = (t, f (t), g(t)), t ∈ I




Prostorna krivulja. Neka su f , g : I → R glatke funkcije, pri cemu jeI ⊆ R interval. Tada:


C = {(x , y , z) : y = f (x), z = g(x), x ∈ I} ⊆ R3,



r(t) = (t, f (t), g(t)), t ∈ I






C = {(x , y , z) : y = f (x), z = g(x), x ∈ I} ⊆ R3,



r(t) = (t, f (t), g(t)), t ∈ I






C = {(x , y , z) : y = f (x), z = g(x), x ∈ I} ⊆ R3,



r(t) = (t, f (t), g(t)), t ∈ I






C = {(x , y , z) : y = f (x), z = g(x), x ∈ I} ⊆ R3,



r(t) = (t, f (t), g(t)), t ∈ I






C = {(x , y , z) : y = f (x), z = g(x), x ∈ I} ⊆ R3,



r(t) = (t, f (t), g(t)), t ∈ I



Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja

Ravninska krivulja. Neka je F : D → R glatka funkcija, pri cemu jeD ⊆ R2. Tada:

implicitno zadana ravninska krivulja je

C = {(x , y) : F (x , y) = 0} ⊆ R2,

implicitna jednadzba krivulje C je F (x , y) = 0.

Teorem. Neka C ravninska krivulja zadana implicitnom jednadzbomF (x , y) = 0. Ako za tocku T ∈ C vrijedi gradF (T ) 6= 0, onda postojiotvorena okolina U tocke T i regularna parametrizirana krivulja r : I → R2

takva da je r(I ) = U ∩ C .

Napomena. Uvjet teorema je dovoljan, a nije nuzan.



Ravninska krivulja.

Neka je F : D → R glatka funkcija, pri cemu jeD ⊆ R2. Tada:


C = {(x , y) : F (x , y) = 0} ⊆ R2,







Ravninska krivulja. Neka je F : D → R glatka funkcija, pri cemu jeD ⊆ R2.

Tada:


C = {(x , y) : F (x , y) = 0} ⊆ R2,









C = {(x , y) : F (x , y) = 0} ⊆ R2,









C = {(x , y) : F (x , y) = 0} ⊆ R2,









C = {(x , y) : F (x , y) = 0} ⊆ R2,









C = {(x , y) : F (x , y) = 0} ⊆ R2,


Teorem.

Neka C ravninska krivulja zadana implicitnom jednadzbomF (x , y) = 0. Ako za tocku T ∈ C vrijedi gradF (T ) 6= 0, onda postojiotvorena okolina U tocke T i regularna parametrizirana krivulja r : I → R2







C = {(x , y) : F (x , y) = 0} ⊆ R2,


Teorem. Neka C ravninska krivulja zadana implicitnom jednadzbomF (x , y) = 0.

Ako za tocku T ∈ C vrijedi gradF (T ) 6= 0, onda postojiotvorena okolina U tocke T i regularna parametrizirana krivulja r : I → R2







C = {(x , y) : F (x , y) = 0} ⊆ R2,


Teorem. Neka C ravninska krivulja zadana implicitnom jednadzbomF (x , y) = 0. Ako za tocku T ∈ C vrijedi gradF (T ) 6= 0,

onda postojiotvorena okolina U tocke T i regularna parametrizirana krivulja r : I → R2







C = {(x , y) : F (x , y) = 0} ⊆ R2,


Teorem. Neka C ravninska krivulja zadana implicitnom jednadzbomF (x , y) = 0. Ako za tocku T ∈ C vrijedi gradF (T ) 6= 0, onda postojiotvorena okolina U tocke T

i regularna parametrizirana krivulja r : I → R2







C = {(x , y) : F (x , y) = 0} ⊆ R2,









C = {(x , y) : F (x , y) = 0} ⊆ R2,









C = {(x , y) : F (x , y) = 0} ⊆ R2,




Napomena.

Uvjet teorema je dovoljan, a nije nuzan.





C = {(x , y) : F (x , y) = 0} ⊆ R2,







Primjer.

Pokazi da se kruznica x2 + y2 = 1 moze lokalno parametriziratiu okolini svake svoje tocke.Rješenje. Iz F (x , y) = x2 + y2 − 1 slijedi

gradF (T ) = (2x , 2y) = 0⇔ T (0, 0)

pa iz Teorema slijedi da se kruznica moze lokalno parametrizirati u okolinisvake svoje tocke. QED

Napomena. Kruznica ima cak globalnu parametrizaciju

r(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π].



Primjer. Pokazi da se kruznica x2 + y2 = 1 moze lokalno parametriziratiu okolini svake svoje tocke.

Rješenje. Iz F (x , y) = x2 + y2 − 1 slijedi

gradF (T ) = (2x , 2y) = 0⇔ T (0, 0)



r(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π].



Primjer. Pokazi da se kruznica x2 + y2 = 1 moze lokalno parametriziratiu okolini svake svoje tocke.Rješenje.

Iz F (x , y) = x2 + y2 − 1 slijedi

gradF (T ) = (2x , 2y) = 0⇔ T (0, 0)



r(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π].



Primjer. Pokazi da se kruznica x2 + y2 = 1 moze lokalno parametriziratiu okolini svake svoje tocke.Rješenje. Iz F (x , y) =

x2 + y2 − 1 slijedi

gradF (T ) = (2x , 2y) = 0⇔ T (0, 0)



r(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π].



Primjer. Pokazi da se kruznica x2 + y2 = 1 moze lokalno parametriziratiu okolini svake svoje tocke.Rješenje. Iz F (x , y) = x2 + y2 − 1

slijedi

gradF (T ) = (2x , 2y) = 0⇔ T (0, 0)



r(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π].



Primjer. Pokazi da se kruznica x2 + y2 = 1 moze lokalno parametriziratiu okolini svake svoje tocke.Rješenje. Iz F (x , y) = x2 + y2 − 1 slijedi

gradF (T ) =

(2x , 2y) = 0⇔ T (0, 0)



r(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π].




gradF (T ) = (2x , 2y)

= 0⇔ T (0, 0)



r(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π].




gradF (T ) = (2x , 2y) = 0⇔

T (0, 0)



r(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π].




gradF (T ) = (2x , 2y) = 0⇔ T (0, 0)



r(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π].




gradF (T ) = (2x , 2y) = 0⇔ T (0, 0)

pa iz Teorema slijedi da se kruznica moze lokalno parametrizirati u okolinisvake svoje tocke.

QED


r(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π].




gradF (T ) = (2x , 2y) = 0⇔ T (0, 0)



r(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π].




gradF (T ) = (2x , 2y) = 0⇔ T (0, 0)


Napomena.

Kruznica ima cak globalnu parametrizaciju

r(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π].




gradF (T ) = (2x , 2y) = 0⇔ T (0, 0)



r(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π].



Primjer.

Ispitaj moze li se lemniskata(x2 + y2

)2= 2a2(x2 − y2), pri

cemu je a > 0 konstanta, (lokalno) parametrizirati!Rješenje. Iz F (x , y) =

(x2 + y2

)2 − 2a2(x2 − y2) slijedigradF (T ) = (4x

(x2 + y2

)− 4a2x , 4y

(x2 + y2

)+ 4a2y) = 0⇔ . . .

⇔ T (0, 0) ili T (±a, 0)

Jedino T (0, 0) lezi na lemniskati, pa iz Teorema slijedi da se lemniskatamoze lokalno parametrizirati svugdje osim mozda oko ishodišta. QED

Napomena. Lemniskata ima cak globalnu parametrizaciju

r(t) = (a√2 cos t

1+ sin2 t,a√2 cos t sin t

1+ sin2 t), t ∈ [0, 2π].



Primjer. Ispitaj moze li se lemniskata(x2 + y2

)2= 2a2(x2 − y2),

pricemu je a > 0 konstanta, (lokalno) parametrizirati!Rješenje. Iz F (x , y) =

(x2 + y2


(x2 + y2

)− 4a2x , 4y

(x2 + y2

)+ 4a2y) = 0⇔ . . .

⇔ T (0, 0) ili T (±a, 0)



r(t) = (a√2 cos t


1+ sin2 t), t ∈ [0, 2π].




)2= 2a2(x2 − y2), pri

cemu je a > 0 konstanta,

(lokalno) parametrizirati!Rješenje. Iz F (x , y) =

(x2 + y2


(x2 + y2

)− 4a2x , 4y

(x2 + y2

)+ 4a2y) = 0⇔ . . .

⇔ T (0, 0) ili T (±a, 0)



r(t) = (a√2 cos t


1+ sin2 t), t ∈ [0, 2π].




)2= 2a2(x2 − y2), pri

cemu je a > 0 konstanta, (lokalno) parametrizirati!

Rješenje. Iz F (x , y) =(x2 + y2


(x2 + y2

)− 4a2x , 4y

(x2 + y2

)+ 4a2y) = 0⇔ . . .

⇔ T (0, 0) ili T (±a, 0)



r(t) = (a√2 cos t


1+ sin2 t), t ∈ [0, 2π].




)2= 2a2(x2 − y2), pri

cemu je a > 0 konstanta, (lokalno) parametrizirati!Rješenje.

Iz F (x , y) =(x2 + y2


(x2 + y2

)− 4a2x , 4y

(x2 + y2

)+ 4a2y) = 0⇔ . . .

⇔ T (0, 0) ili T (±a, 0)



r(t) = (a√2 cos t


1+ sin2 t), t ∈ [0, 2π].




)2= 2a2(x2 − y2), pri


(x2 + y2


(x2 + y2

)− 4a2x , 4y

(x2 + y2

)+ 4a2y) = 0⇔ . . .

⇔ T (0, 0) ili T (±a, 0)



r(t) = (a√2 cos t


1+ sin2 t), t ∈ [0, 2π].




)2= 2a2(x2 − y2), pri


(x2 + y2

)2 − 2a2(x2 − y2)

slijedi

gradF (T ) = (4x(x2 + y2

)− 4a2x , 4y

(x2 + y2

)+ 4a2y) = 0⇔ . . .

⇔ T (0, 0) ili T (±a, 0)



r(t) = (a√2 cos t


1+ sin2 t), t ∈ [0, 2π].




)2= 2a2(x2 − y2), pri


(x2 + y2

)2 − 2a2(x2 − y2) slijedigradF (T ) =

(4x(x2 + y2

)− 4a2x , 4y

(x2 + y2

)+ 4a2y) = 0⇔ . . .

⇔ T (0, 0) ili T (±a, 0)



r(t) = (a√2 cos t


1+ sin2 t), t ∈ [0, 2π].




)2= 2a2(x2 − y2), pri


(x2 + y2


(x2 + y2

)− 4a2x , 4y

(x2 + y2

)+ 4a2y)

= 0⇔ . . .⇔ T (0, 0) ili T (±a, 0)



r(t) = (a√2 cos t


1+ sin2 t), t ∈ [0, 2π].




)2= 2a2(x2 − y2), pri


(x2 + y2


(x2 + y2

)− 4a2x , 4y

(x2 + y2

)+ 4a2y) = 0⇔ . . .

⇔

T (0, 0) ili T (±a, 0)



r(t) = (a√2 cos t


1+ sin2 t), t ∈ [0, 2π].




)2= 2a2(x2 − y2), pri


(x2 + y2


(x2 + y2

)− 4a2x , 4y

(x2 + y2

)+ 4a2y) = 0⇔ . . .

⇔ T (0, 0) ili T (±a, 0)



r(t) = (a√2 cos t


1+ sin2 t), t ∈ [0, 2π].




)2= 2a2(x2 − y2), pri


(x2 + y2


(x2 + y2

)− 4a2x , 4y

(x2 + y2

)+ 4a2y) = 0⇔ . . .

⇔ T (0, 0) ili T (±a, 0)

Jedino T (0, 0) lezi na lemniskati,

pa iz Teorema slijedi da se lemniskatamoze lokalno parametrizirati svugdje osim mozda oko ishodišta. QED


r(t) = (a√2 cos t


1+ sin2 t), t ∈ [0, 2π].




)2= 2a2(x2 − y2), pri


(x2 + y2


(x2 + y2

)− 4a2x , 4y

(x2 + y2

)+ 4a2y) = 0⇔ . . .

⇔ T (0, 0) ili T (±a, 0)

Jedino T (0, 0) lezi na lemniskati, pa iz Teorema slijedi da se lemniskatamoze lokalno parametrizirati svugdje osim mozda oko ishodišta.

QED


r(t) = (a√2 cos t


1+ sin2 t), t ∈ [0, 2π].




)2= 2a2(x2 − y2), pri


(x2 + y2


(x2 + y2

)− 4a2x , 4y

(x2 + y2

)+ 4a2y) = 0⇔ . . .

⇔ T (0, 0) ili T (±a, 0)



r(t) = (a√2 cos t


1+ sin2 t), t ∈ [0, 2π].




)2= 2a2(x2 − y2), pri


(x2 + y2


(x2 + y2

)− 4a2x , 4y

(x2 + y2

)+ 4a2y) = 0⇔ . . .

⇔ T (0, 0) ili T (±a, 0)


Napomena.

Lemniskata ima cak globalnu parametrizaciju

r(t) = (a√2 cos t


1+ sin2 t), t ∈ [0, 2π].




)2= 2a2(x2 − y2), pri


(x2 + y2


(x2 + y2

)− 4a2x , 4y

(x2 + y2

)+ 4a2y) = 0⇔ . . .

⇔ T (0, 0) ili T (±a, 0)



r(t) = (a√2 cos t


1+ sin2 t), t ∈ [0, 2π].



kruznica lemniskata



Prostorna krivulja. Neka su F ,G : D → R glatke funkcije, pri cemu jeD ⊆ R3. Tada:

implicitno zadana prostorna krivulja je

C = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0} ⊆ R3,

implicitna jednadzba krivulje C je sustavF (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0.

Teorem. Neka je C prostorna krivulja implicitno zadana jednadzbamaF (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0. Ako je

gradF (T )× gradG (T ) 6= 0,

onda postoji otvorena okolina U tocke T i regularna parametriziranakrivulja r : I → R3 takva da je r(I ) = U ∩ C .



Prostorna krivulja.

Neka su F ,G : D → R glatke funkcije, pri cemu jeD ⊆ R3. Tada:


C = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0} ⊆ R3,







Prostorna krivulja. Neka su F ,G : D → R glatke funkcije, pri cemu jeD ⊆ R3.

Tada:


C = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0} ⊆ R3,









C = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0} ⊆ R3,









C = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0} ⊆ R3,









C = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0} ⊆ R3,









C = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0} ⊆ R3,


Teorem.

Neka je C prostorna krivulja implicitno zadana jednadzbamaF (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0. Ako je







C = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0} ⊆ R3,


Teorem. Neka je C prostorna krivulja implicitno zadana jednadzbamaF (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0.

Ako je







C = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0} ⊆ R3,









C = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0} ⊆ R3,




onda postoji otvorena okolina U tocke T

i regularna parametriziranakrivulja r : I → R3 takva da je r(I ) = U ∩ C .





C = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0} ⊆ R3,




onda postoji otvorena okolina U tocke T i regularna parametriziranakrivulja r : I → R3






C = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0} ⊆ R3,







Primjer.

Ispitaj moze li se krivulja x2 + y2 + z2 = 4a2,(x − a)2 + y2 = a2 (loaklno) parametrizirati.Rješenje. Iz

F (x , y , z) = x2 + y2 + z2 − 4a2G (x , y , z) = (x − a)2 + y2 − a2 ⇒

gradF (T ) = 2(x , y , z)gradG (T ) = 2(x − a, y , 0)

pa je

gradF (T )× gradG (T ) = 4

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx y z

x − a y 0

∣∣∣∣∣∣ = 4(−yz , z(x − a), ay) = 0⇔⇔ T (x , 0, 0) ili T (a, 0, z).

Jedino T (a, 0, 0) lezi na C , pa se C moze lokalno parametrizirati svugdjeosim oko T (a, 0, 0). QED



Primjer. Ispitaj moze li se krivulja x2 + y2 + z2 = 4a2,(x − a)2 + y2 = a2 (loaklno) parametrizirati.

Rješenje. Iz



pa je


∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx y z

x − a y 0





Primjer. Ispitaj moze li se krivulja x2 + y2 + z2 = 4a2,(x − a)2 + y2 = a2 (loaklno) parametrizirati.Rješenje.

Iz



pa je


∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx y z

x − a y 0





Primjer. Ispitaj moze li se krivulja x2 + y2 + z2 = 4a2,(x − a)2 + y2 = a2 (loaklno) parametrizirati.Rješenje. Iz

F (x , y , z) =

x2 + y2 + z2 − 4a2G (x , y , z) = (x − a)2 + y2 − a2 ⇒


pa je


∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx y z

x − a y 0






F (x , y , z) = x2 + y2 + z2 − 4a2

G (x , y , z) = (x − a)2 + y2 − a2 ⇒gradF (T ) = 2(x , y , z)

gradG (T ) = 2(x − a, y , 0)

pa je


∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx y z

x − a y 0






F (x , y , z) = x2 + y2 + z2 − 4a2G (x , y , z) =

(x − a)2 + y2 − a2 ⇒gradF (T ) = 2(x , y , z)

gradG (T ) = 2(x − a, y , 0)

pa je


∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx y z

x − a y 0






F (x , y , z) = x2 + y2 + z2 − 4a2G (x , y , z) = (x − a)2 + y2 − a2

⇒ gradF (T ) = 2(x , y , z)gradG (T ) = 2(x − a, y , 0)

pa je


∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx y z

x − a y 0







gradF (T ) =

2(x , y , z)gradG (T ) = 2(x − a, y , 0)

pa je


∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx y z

x − a y 0







gradF (T ) = 2(x , y , z)

gradG (T ) = 2(x − a, y , 0)

pa je


∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx y z

x − a y 0







gradF (T ) = 2(x , y , z)gradG (T ) =

2(x − a, y , 0)

pa je


∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx y z

x − a y 0








pa je


∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx y z

x − a y 0








pa je

gradF (T )× gradG (T ) =

4

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx y z

x − a y 0








pa je


∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx y z

x − a y 0

∣∣∣∣∣∣ =

4(−yz , z(x − a), ay) = 0⇔

⇔ T (x , 0, 0) ili T (a, 0, z).







pa je


∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx y z

x − a y 0

∣∣∣∣∣∣ = 4(−yz , z(x − a), ay)

= 0⇔

⇔ T (x , 0, 0) ili T (a, 0, z).







pa je


∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx y z

x − a y 0

∣∣∣∣∣∣ = 4(−yz , z(x − a), ay) = 0⇔⇔

T (x , 0, 0) ili T (a, 0, z).







pa je


∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx y z

x − a y 0








pa je


∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx y z

x − a y 0


Jedino T (a, 0, 0) lezi na C ,

pa se C moze lokalno parametrizirati svugdjeosim oko T (a, 0, 0). QED






pa je


∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx y z

x − a y 0


Jedino T (a, 0, 0) lezi na C , pa se C moze lokalno parametrizirati svugdjeosim oko T (a, 0, 0).

QED






pa je


∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx y z

x − a y 0





Vivianijevi prozori



Vivianijevi prozori



Vivianijevi prozori


Documents

De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana krivulja De–nicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I !Rn pri