Us kvantitativne metode - zbirka zadataka

Mališa Žižoviæ

Ana Simiæeviæ

Olivera Nikoliæ

ZBIRKA ZADATAKA

UNIVERZITET SINGIDUNUM

Prof. dr Mališa Žižović

Prof. dr Olivera Nikolić

Ana Simićević

KVANTITIVNE METODE - ZBIRKA ZADATAKA -

Beograd, 2010. godine

KVANTITATIVNE METODE – ZBIRKA ZADATKA Autori: Prof. dr Olivera Nikolić Prof. dr Mališa Žižović Ana Simićević Recenzent: Prof. Dr Dušan Adnađević Izdavač: UNIVERZITET SINGIDUNUM Beograd, Danijelova 32 www.singidunum.ac.rs Za izdavača: Prof. dr Milovan Stanišić Tehnička obrada: Novak Njeguš Dizajn korica: Aleksandar Mihajlović Godina izdanja: 2010. Tiraž: 1350 primeraka Štampa: Mladost Grup Loznica ISBN: 978-86-7912-275-9

PREDGOVOR

Svrha ovog Praktikuma je da omogu�i studentu razumevanje i ovladavanje

metodama i postupcima potrebnim za rešavanje zadataka. On se sastoji iz dva

dela. U prvom delu dat je potrebni broj zadataka sa rešenjima u potpunosti,

dovoljan broj ponu�en za individualno i timsko rešavanje. Drugi deo obuhvata

zadatke sa uputstvima za rešavanje uz koriš�enje softverskog paketa MATLAB.

Tako�e, posle svake oblasti dati su pregledi bodova koji te oblasti

akumuliraju.

Priru�nik zajedno sa udžbenikom Kvantitativne metode �ini celinu programa

ovog predmeta.

Recenzent je korisnim sugestijama doprineo kvalitetu udžbenika.

Svesrdnu tehni�ku pomo� u pripremi Praktikuma pružili su asistenti Jelena

Kaljevi�, dipl. inž. – master i Ivan Panteli�, dipl. inž. – master.

Autor

III

SADRŽAJ

Prvi deo Kvantitativne metode – zbirka zadataka

1. Diferencijalni račun 1

2. Neodređen integral 66

3. Određen integral 82

4. Diferencijalne jednačine 88

5. Matrice i determinante 94

6. Ekonomske funkcije 109

7. Finansijska matematika 153

8. Elementi teorije verovatnoće 174

9. Elementi statistike 187

Drugi deo Praktikum za MATLAB 7

Uvod 213

1. Osnovni principi rada u MATLAB-u 215

2. Grafik funkcija 225

3. Matrice 233

4. Sistem linearnih algebarskih jednačina 246

5. Integrali i primena integrala 250

6. Formiranje distribucije frekvencija 259

Dodatak Tablice

Finansijske tablice 271

Statističke tablice 283

Tablica slučajnih brojeva. 295

1. Diferencijalni ra�un

Pregled nekih elementarnih funkcija

1. Linearna funkcija � �, ,y kx n k n R k tg e� � � �

2. Kvadratna funkcija � �2 , , , 0y ax bx c a b c R a� � � � � kanonski oblik

2 242 4b ac by a xa a

� � � ��

1

3. Funkcije oblika ,ny x n N� �

4. Funkcije oblika ,ky k Rx

� �

� �ny x n parno� � � �ny x n neparno� �

, 0ky kx

� �, 0ky k

x� �

2

5. Eksponencijalna funkcija: � �, 0, 1xy a a R a a� � � �

6. Logaritamska funkcija

7. Trigonometrijska funkcija siny x� cosy x�

� �1xy a a� �

� �0 1xy a a� � �

� �log 1ay x a� �

� �log 0 1ay x a� � �

�� 2�� 0

2� �

32

�

2� 0 2� � 3

2� 2�

3

y tg x� y ctg x�

PRIMERI SA REŠENJIMA: 1. Oblast definisanosti slede�ih funkcija je:

a) � �, 2 0 2 \ 22

xy x x x Rx

� � � � � � � � ��

b) 22 , 2 0

2xy x x R

x� � � � �

�

c) � �22

2 , 1 0 1 \ 1,11

xy x x x Rx

� � � � � � � � ��

d) � �2 , 2 0 2 ,2y x x x x� � � � � � � � ��

e) � � � �2 24, 4 0 , 2 2,y x x x� � � � � � ��

2��

2� � 3

2� ��

2�� 0 2

� � 32

� 2�

4

f) � � � � � �2 2ln 1 , 1 0 , 1 1,y x x x� � � � � � ��

g) � �2 2ln 1 , 1 0y x x� � � � � �1,1x� �

h) ln , 03 3

x xy xx x

� ��

3-x

3

xx�

� �0,3x�

i) 2 2

2 2

3 4 3 4, 06 6

x x x xyx x x x� � � �

� ��

� � � �4, 3 1, 2x� � � � -3- +- +

2-

j) ( )[ )2 1

, 1 0 2 0 1 2 1,2ln 2

xy x x x x x

x+ -

= - � � - > � � � < � Î-

2. Ispitati parnost odnosno neparnost funkcije:

a) � ��

� �22 2;1 11

x x xy f x f xx xx

� ��

� �� neparna

b) � � � ��

� �2 2

22 2;4 44

xx xy f x f xx xx

��

� ��

2

parna

c) ln , : 0xy D x x D

x� � � � � ni parna ni neparna

5

d) 2

2 2,

xy

x-

= � � � ��

� �2 2 2

2 2 2 22 2x xxf xx xx

� � � ��

�

ni parna ni neparna

3. Ispitati znak i odrediti nule funkcije:

a) ( ) ( )2, : ,0 0,

xy D x

x+

= Î - � � + �

( )0 2 0 2 2,0y x x= � + = � = - - 2x � x

� �f x

� � � �, 2 0, 0x y� �� 2,0 0x y� � �

b) 22

2 1 0, :1

xy x x R D x Rx

� � � � � ��

( )0 2 0 0 , 0,0y x x= � = � = 2x 2 1x �

2

21

xx �

( ) ( ),0 0 ; 0, 0x y x yÎ - � < Î + � >

c) 22 4 0 2

4xy x x

x� � � � � � �

�

( ) ( ) ( ), 2 2,2 2,x Î - � - � - � + � ( )0 0, 0,0y x= � = x 2 4x � y

� � � �, 2 0,2 0x y� �� 2,0 2, 0x y� � � ��

6

d) � � � �1

0, : - ,0 0,� � � � � ��xy xe x D x 1 1

0 0 0, 0x xy x e ali e� � � � � � 0 D� nema nulu 1

0xe � � �x R � �,0 0x y� �� , � �0, 0x y� ��

e) � � � � � �22 3 0, : , 3 3, 3 3,

3� � � � ��

�

xey x D xx

0 0 . 0x xy e tj e� � � � � funkcija nema nulu

0xe � � znak zavisi samo od izraza � �2 3x �

2 3x �

� � � �, 3 3, 0x y� �� 3, 3 0x y� � �

f) 0 ln 0 0 1ln

xy x x x xx

� � � � � � � �

� � � �: 0,1 1,� � ��D x 0 0, 0y x D� � � �

lnx

� �0,1 0x y� � � �1, 0x y� ��

g) � �1 ln 0 : 0,��

xy x D xx

0 1 ln 0 , ( ,0)� � � � � � �y x x e e D 1 ln x�

� � � �0, 0, , 0� � � �� x e y x e y

7

h) � �3 3 23 3 0 3 0y x x x x x x� � � � � � �

x

2 3x �

� �2 3x x �

�: 3,0 3,D x ! � � � ��" # "

� �3 20 3 0 3 0y x x x x� � � � � � �

0 3 3x x x� � � � � � �

� � � � � �0,0 , - 3,0 , 3,0� � �D D D

0 ,y x D� � 4. Izra�unati grani�ne vrednosti:

a) � �2 2

4lim 3 2 4 3 4 2 6x

x x$

� � � � % � �

b) 2

1 2 1 3lim3 2 3 5x

xx$

� ��

� �

c) 3 38

1 1 1lim28x x$�

� � ��

5. Izra�unati:

a) � ��

2

3 3 3

3 39lim lim lim 3 63 3x x x

x xx xx x$ $ $

� ��

� �

b) � �� 22 2 2

2 2 1 1lim lim lim6 2 3 3 5x x x

x xx x x x x$ $ $

� ��

� � � � �

c) � ��

� ��

23 2

21 1 1

1 11 1lim lim lim1 1 1 1x x x

x x xx x xx x x x$� $� $�

� � ��

� � � �

� � � �21 1 1 3

1 1 2� � � �

� ��

8

d) � �

� � � ��

� ��

3 3

23

21

2

3 2 2 2

1 2 13 2lim1 1 2 11

1 2 1 1 2

x

x x x x x

x x xx xx x x xx

x x x x x x

$

� � � � � � �

� � � ��

� � � � ��

� � � � � � �

� � � �

� ��

2

21 1

1 2lim lim 2 3

1x x

x xx

x$ $

� ��

�

e) � ��

1 1 1

1 11 1 1lim lim lim11 1 1x x x

x xx x xxx x x$ $ $

� �� % � �

��

� �1

lim 1 2x

x$

� � �

f) � �

2 2 2 2

20 0 0 2

1 1 1 1 1 1 1 1lim lim lim1 1 1 1x x x

x x x xx x x x x$ $ $

� � � � � � � �� % �

� � � �

20

0lim 01 11 1x

xx$

� � ��

g) 33 2 233

3 33 3 33 2 232 2 3

2 2 2 2lim lim2 2 2 2x x

x x x xx x x x$� $�

� � � % �� % �

� � � % �

� �� 3 2 33

3 2 33

2 2

2 2 4lim lim 2 4

2x x

x x xx x

x$� $�

� � ��

�

� �3 3 3 34 2 2 2 4 3 4� � % � � �

6. Izra�unati grani�ne vrednosti:

� �2 212 1 1lim lim lim lim 0, 01 12 1 22 2

x x x x

xx x x x

xx xx x x

& &$� $� $� $�

� ��

� � �

9

3 2

3 2

3

11 1lim lim 11 11 11x x

x x xx x

x x$� $�

��

� � � �

3 2

2

2

11lim lim 1 11x x

x x xx

x x$� $�

��

� �

2 2

3

2 3

1 1

lim lim 01 22 1x x

x x x xx x

x x$� $�

��

� � � �

� � � � 1lim 1 lim 11x x

x xx x x xx x$� $�

� �� % �

� �

1lim1x

x xx x$�

� ��

� �1lim 01x x x$�

��

� � � �2

2 2

2

1lim 1 lim 11x x

x xx x x x x xx x$�� $��

� �� % � � % �

� �

� �2 2

2

1lim

1x

x x x

x x$��

� ��

� � 2 2

1lim lim1 1 1

x x

xx x x

x

$�� $��

� � ��

2

22

1 1 1 1lim lim1 1 211 1 11

x xxxx

$�� $��

��

Neke važnije grani�ne vrednosti

0

1 sinlim 1 lim 1x

x x

xex x$� $

� � ��

10

7. Odrediti slede�e grani�ne vrednosti:

a)

1

11 1lim 1 lim 1x x

x xe

x x

��

$� $�

! � � � �' (� � � � � �' (" #

b)

2

2

22 1lim 1 lim 1

2

x

x

x xexx

��

�

$� $�

! ' (� � ' (� � � �� ' ( � � ��' ( �' (" #

c) � �1

0

1 1lim 1 , 0, lim 1t

xx t

x t x t ex t$ $�

� � � $ $ � � � ��

d) � � � �3 3

5 50 0 2

2lim 1 2 lim 1

0 0tx

x x

x tx t

x t %$ $

��

$ $

� � � �6

66 1 555

0 0lim 1 lim 1t tx t

t t e$ $

!� � � �' (" #

e) � � � � � �

1

0 0 0

ln 1 1lim lim ln 1 lim ln 1 ln 1xx x x

xx x e

x x$ $ $

��

f) 3 31 1 1lim 1 lim 1 1 1

x x

x xe e

x x x

�

$� $�

� � � % � � % ��

8. Odrediti slede�e grani�ne vrednosti:

a) 0 0

sin 2 sin 2lim lim 2 1 2 22x x

x xx x$ $

� % � % �

b) 0 0 0

3 1 1 1 1 1lim lim lim 1sin 3sin 3 sin 3 3 3 3 33

x x x

x xxx x

x$ $ $

� % � % � % �

c) 0 0

sin 5 sin 5 5 3 5 5lim lim 1 1sin 3 5 3 sin 3 3 3x x

x x x xx x x x$ $

� % % � % % �

d) 0 0

sin22 sin 2 1 1lim lim sin3 sin 3 1 43x x

xx x x

xx xx

$ $

��

� ��

11

e)

2 22

2 20 0 0 0

2sin sin1 cos sin2 2lim lim lim 2 lim 2

2x x x x

x xx x

xx x x$ $ $ $

� � � ��

� � % � % ��

21 2 12

2 4 2 % � ��

9. Izra�unati slede�e grani�ne vrednosti:

a) 2 2

0 0

1 1lim lim 2 1 2 2;2

x x

x x

e ex x$ $

� �� % � % �

b) 0 0

1 1lim lim 1 1 1;sin sin

x x

x x

e e xx x x$ $

� �� % � % �

c) � �1

0 0

1lim lim 1

1 1

xx

x x

e ee e e ex x

�

$ $

�� % �

� �

10. Odrediti levu i desnu grani�nu vrednost funkcije:

a) 1yx

� u ta�ki 0x � 0

1limx x�$

� �� 0

1limx x�$

� ��

b) � � 2

24

xf xx

��

u ta�ki 2x �

� ��

� �� 02

2 2 22lim lim2 02 2 2 2 2 2hx

h x hxx hx x h h� $$

� � % ��

$ $� � � � � �=

� �� 0

2 2lim

4h

hh h$

��

�

� ��

� �� 02

2 2 22lim lim2 02 2 2 2 2 2hx

h x hxx hx x h h� $$

� � % ��

$ $� � � � � �=

� �� 0

2 2lim

4h

hh h$

��

� �

12

c) � �1xf x e� u ta�ki 0x �

1 1

00lim limx h

hxe e

� $$� � ��

1 1

10 00

1lim lim lim 0x hh hx

h

e ee

�

�

$ $$� � �

d) ln1

xyx

��

za 1x �

Domen: 01

xx

��

x

1x �

1

xx �

Može se tražiti samo desna grani�na vrednost u okolini ta�ke x=1

1 0 0

1 1lim ln lim ln lim ln1 1 1x h h

x h hx h h$ $ $

� ��

� � �

e) , 0

1 , 0

xe xy

x x) �

� *� �+

� �0

lim lim 1x

xxf x e

� $$� �

� � � �0 0

lim lim 1 1x x

f x x� �$ $

� � �

11. Ispitati neprekidnost slede�ih funkcija:

a) 1

1y

x�

�

0 01

1 1 1lim lim lim1 1 1h hx x h h� $ $$��

� � � �

0 01

1 1 1lim lim lim1 1 1h hx x h h� $ $$��

� � � � � funkcija je prekidna na skupu R,

odnosno nije definisana u ta�ki 0 1x � , ali je neprekidna na svom domenu

\{1}D R� . Napomena: Neprekidnost funkcije u ta�ki x0 se može izraziti na slede�i na�in:

� � � �0 00lim 0h

f x h f x$

� � � !" #

++0

13

b) � � 2 :1

xf x D x Rx

� ��

jer 2 1 0x � � 0 ,x R�

� � � ��

0 00 0 2 20 0

00

lim lim11h h

x h xf x h f xxx h$ $

�� ! � �" # � ��

� ��

� �

2 2 20 0 0 0 0

2 200 0

1 2 1lim

1 1h

x h x x x x h h

x h x$

!� � � % � � �" #� ! !� � �" #" #

=

� �

3 2 3 2 20 0 0 0 0 0 0

2 200 0

2lim1 1h

x hx x h x x h x h xx h x$

� � � � � � ��

! !� � �" #" #

=

� � � �

22 20 00 0

2 22 20 00 0 0 0

1lim lim 0

1 1 1 1h h

h x x hhx h x hx h x x h x$ $

!� �� " #� � � ! ! ! !� � � � � �" # " #" # " #

Funkcija je neprekidna na celom skupu R.

c) � � 2

2 1, 13 2, 1

x xf x

x x� �)

� *� �+

� � � �2

1 1lim lim 3 2 3 2 1x x

f x x� �$ $

� � � � �

� � � �1 1

lim lim 2 1 2 1 1x x

f x x� �$ $

� � � � �

� �1 2 1 1f � � �

� funkcija je neprekidna. 12. Odrediti vrednost nepoznatog parametra da funkcija bude neprekidna:

a) � �22 , 1

5 1, 1x k x

f xx x

) � �� *

� �+

� � � �1 1

lim lim 5 1 4x x

f x x� �$ $

� � � � � � �2

11lim lim 2 2

xxf x x k k

� $ �$� � � �

4 2 2k k� � � � � 21 2 1 2 4f � % � �

b) � � 2

1 cos , 02

, 0

x xf x x

A x

�) �,� *, �+

14

c) � �3 1, 1

1, 1

x xf x xA x

) �� ,� �*

, � �+

13. Na�i asimptote slede�ih funkcija:

a) 1 1

1y x

x� �

�

0 01

1 1 1lim lim lim1 1 1h hx x h h� $ $$� � � ��

� � �

1 0 0

1 1 1lim lim lim1 1 1x h hx h h$ � $ $� � � ��

� � � �

: 1BA x �

1lim 0 : 0

1xXA y

x$��

�

b) 2 5 7 2

2x xy x

x� �

� ��

� � � � � �2

02

2 5 2 7lim lim

2 2hx

h hf x

h� $$

� � % � ��

� �

2 2

0 0

4 4 10 5 7 1lim limh h

h h h h hh h$ $

� � � � � � ��

� � � � � �2

02

2 5 2 7lim lim

2 2hx

h hf x

h� $$

� � � ��

� �

2 2

0

4 4 10 5 7 1lim limh h

h h h h hh h$ $

� � � � � � ��

� �

: 2BA x �

2 2

2

5 715 7lim lim 1 22x x

x x xx

x x$� $�

� ��

� � nema XA

� �

� �

2

25 7

5 72lim lim lim2

1x x x

x xf x x xx

xx x x$� $� $�

� ��

�

15

2 2

2

5 715 7lim lim 1 122 1x x

x x x x ax x

x$� $�

� ��

� �

� �� 2 5 7lim lim

2x x

x xf x xx$� $�

� ��

� �2 2 25 7 2 5 7 2lim lim

2 2x x

x x x x x x x xx x$� $�

� � � � � � � ��

� �

733 7lim lim 3 322 1x x

x x bx

x$� $�

� ��

� � : 3KA y x� �

c) 2

22 2 0

2xy x x R

x� � � � � �

� nema BA

2

2

2

1lim lim 1 : 122 1x x

x XA yx

x$� $�

� � � ��

� nema KA

d) 22

2 1 2 0 1 22

xy x x x xx x

��

� �

� ��

� �� 01

2 1 12 1lim lim1 2 1 1 1 2hx

hxx x h h� $$

% � ��

� � � � � �

� �0

2 2 1lim3h

hh h$

� ��

� % �

� ��

� �� 1 0

2 1 12 1lim lim1 2 1 1 1 2x h

hxx x h h$ � $

% � ��

� � � � � �

� �0

2 1lim3h

hh h$

��

% �

� ��

� �� 02

2 2 12 1lim lim1 2 2 1 2 2hx

hxx x h h� $$�

� � ��

� � � � � � � �

� �0

2 5lim3h

hh h$

��

� %

16

� ��

� �� 02

2 2 12 1lim lim1 2 2 1 2 2hx

hxx x h h� $$�

� � ��

� � � � � � � �

� �� 0

2 5lim3h

hh h$

� ��

� � � : 1 2BA x i x� � �

2

2

2

2 12 1 0lim lim 0 : 01 22 11

x x

x x x XA yx x

x x$� $�

��

� � � �

� nema KA. 14. Odrediti asimptote funkcija:

a) 3 : 2 : 1 :2

xy BA x XA y KA nemax�

� � ��

b) 2

2

1 : 1 : 1 :1

xy BA x XA y KA nemax

��

�

c) 2

2

3 : : 1 :2

xy BA nema XA y KA nemax

��

�

d) 3

2

1 : 0 : :xy BA x XA nema KA y xx�

� � �

e) 2

1 : : 0 :4 5

y BA nema XA y KA nemax x

� ��

17

Tablica izvoda: 1. ' 0y C y� �

2. 1' 0,y x y x x R& && &��

3. ' ln 0, 1,x xy a y a a a a x R� � � � �

4. 'x xy e y e x R� � �

5. 1log ' 0, 0, 1lnay x y x a a

x a� � � � �

6. 1ln ' 0y x y xx

� � �

7. sin ' cosy x y x x R� � �

8. cos ' siny x y x x R� � � �

9. 2

1' ,cos 2

y tgx y x k k Zx

� ��

10. 2

1' ,sin

y ctgx y x k k Zx

��

11. 2

1sin ' 11

y arc x y xx

� ��

12. 2

1cos ' 11

y arc x y xx

��

�

13. 2

1'1

y arc tgx y x Rx

� � ��

14. 2

1'1

y arc tgx y x Rx

��

�

15. Na�i prvi izvod funkcije:

a) 6 45 3 4 7y x x x� � � �

� � � � � �' ' '6 4 ' 5 3' 5 3 4 7 5 6 3 4 4 1 0y x x x x x� � � � � % � % � % �

5 3' 30 12 4y x x� � �

18

b) 4 3 2

1 1 33 4

yx x x

� � �

� � � � � �'

' ' '4 3 2 4 3 21 3 1 3'3 4 3 4

y x x x x x x� � � � � � � � � � � � ��

� � � �5 4 35 4 3

1 3 4 1 34 3 23 4 2

x x xx x x

� � �� % � � % � � � � �

c) 3 1y xx

� �

'1 1 21 1 31 13 3 32 2 21 1 1 1'

3 2 3 2y x x x x x x

� ��

3 2 3

1 13 2x x

� �

d) � �� 3 22 1y x x� � �

� � � � � � � �' '3 2 3 2' 2 1 2 1y x x x x� � � � � % � �

� � � �2 2 33 1 2 2x x x x� � � � %

� �4 2 4 4 2 33 3 2 4 6 3 4 6 3 4x x x x x x x x x x� � � � � � � � � �

e) 3 siny x x�

� � � �'3 3 2 3' 'sin sin 3 sin cosy x x x x x x x x� � � � �

� �2 3sin cosx x x x� �

f) 2 lny x x�

� � � �' '2 2 2 1' ln ln 2 lny x x x x x x xx

� � � � % �

� �2 ln 2ln 1x x x x x� � � �

g) 2

2 1xyx�

�

� � � ��

'' 2 2 2

4 4

2 1 2 1 2 2 1 2'

x x x x x x x xy

x x� � � % � � %

� � �

19

3 2

4

2 4 2x x xx

� ��

� �2

4

2 4 2x x xx� �

�

� � � �222

3 3 3

2 2 1 2 12 4 2 x x xx xx x x

� � ��

h) 2 1

xeyx

��

� � � � � �

� ��

� �

' 2 2 2

2 22 2

1 1 1 2'

1 1

x x x xe x e x e x e xy

x x

� � � � � %� � �

� �

� ��

2

22

1 2

1

xe x x

x

� ��

�

i) ln xy

x�

� � � �' '

2 2 2

1 lnln ln 1 ln'x xx x x xxy

x x x

% �� % ��

16. Odrediti prvi izvod datih složenih funkcija:

a) � �32 8y x� � � � � � � � � �2 ' 2 22 2 2 2' 3 8 8 3 8 2 6 8y x x x x x x� � % � � � % � �

b) 3 2 1y x� � � � � ��

2 '3

2 23 3

1 1 2' 2 1 2 1 23 3 2 1 3 2 1

y x xx x

�� % � � % ��

c) 2 2xy x e�� '2 2 2 2 2 2' 2 2 2 2x x x xy xe x e x xe x e� � � �� % % � � � % � �

� �22 1xxe x��

d) � �2ln 1y x x� �

� � � � � �'2 2 22 2

1' ln 1 1 ln 1 21 1

xy x x x x xx x

� � � % % � � � � % ��

� �2

22

2ln 11

xxx

� � ��

e) ln siny x� � �'1 1' sin cossin sin

y x x ctg xx x

� % � �

20

17. Na�i drugi izvod funkcije:

a) 4 23 2 3 5y x x x� � � �

3' 12 4 3y x x� � �

2'' 36 4y x� �

b) � �ln 1y x� �

1'

1y

x�

�

� � � �2 2

0 1 1''1 1

yx x� �

� ��

c) � �1

2 2 21 1y x x� � � � � �1

2 22

1' 1 22 1

xy x xx

�� % �

�

� �

� �

21 22 2 22

2 22

1 11 1 212''

11

xxx x x xxy

xx

� � �� % ��

��

� �

2 2

2

2 2 2

111

1 1 1

x xx

x x x

� �

� ��

d) 2xy e�� 2

' 2xy e x�� % �

� �� 2 2 2 2'' 2 2 2 4 2x x xy e x x e e x� � �� % � � � % � � �

e) 2 2 2

1x xy

x� �

��

� ��

� � � �

2 2

2 2

2 2 1 2 2 1 2'1 1

x x x x x xyx x

� � � � � % ��

� �

� ��

� �

2 2

4

2 2 1 2 2 1 1''

1

x x x x xy

x

� � � � % � %� �

�

� ��

� �

2

3

2 2 1 2 2

1

x x x x

x

� � � � %� �

�

21

� � � �

2 2

3 32 2 2 2 2 4 2

1 1x x x x x

x x� � � � �

� ��

f) � �

3

21xy

x�

�

� � � �

� ��

22 3 2 3

4 3

3 1 2 1 1 3 1 2'

1 1x x x x x x x

yx x

� � % � % � ��

� �

� ��

� ��

2 2 3 2

3 3 3

3 3 2 3 3'1 1 1

x x x x x x xyx x x� � � �

� � � ��

� ��

� �

3 22 3 2

6

3 6 1 3 3 1 1''

1

x x x x x xy

x

� � � � % � %� �

�

� ��

� �

2 3 2

4

3 6 1 3 3

1

x x x x x

x

� � � ��

�

� � � �

3 2 2 3 2

4 43 6 3 6 3 9 6''

1 1x x x x x x xy

x x� � � � �

� ��

18. Primenom Lopitalove teoreme izra�unati grani�ne vrednosti

a) 2

3 21 1

1 0 2 2lim lim1 0 3 3x x

x xx x$ $

� � � ��

b) 21 1

1 cos 0 sin 1lim lim0 2 2x x

x xx x$ $

� � � ��

c) � �� 0 0 0 0

2

1lnlim ln 0 lim lim lim 01 1x x x x

x xx x x

x x$ $ $ $

� � % ��

d) ��

11

1 2

0 0 02

1

lim 0 lim lim1 1

xx

xx x x

ee xxe

x x� � �$ $ $

% �� %� � � � � ��

22

e) 2 2

1ln 1lim lim lim 0

2 2x x x

x xx x x$�� $�� $��

� � �

f) 2 2

2 3 2lim lim 02x xx x

x xe e x$�� $��

��

%

19. Odrediti ta�ke maksimuma i minimuma i intervale monotonosti funkcije:

a) 4 3 34 8 3 :y x x x D x R� � � � �

� �3 2 2' 4 12 16 4 3 4y x x x x x x� � � � � �

2' 0 0 3 4 0y x x x� � � � � � �

0 1 4x x x� � � � � � � x

2 3 4x x� � y'

� � � �, 1 0, 4 ' 0x y y� �� -

� � � �1,0 4, ' 0x y y� � � �� .

� � � � � � � �4 3 2min 1 1 4 1 8 1 3 1 4 8 3 0y y� � � � � � � � � � � � � �

� �max 0 3y y� � � � 4 3 2max 4 4 4 4 8 4 3 125y y� � � � % � � �

b) 2

2 , :1

xy D x Rx

� ��

� �

� � � ��

� �

2 22 2

2 2 22 2 2

2 1 2 2 2 12 2 4'1 1 1

x x x xx xyx x x

� � % ��

� � �

2 20 1 0 1 1y x x x� � � � � � � � � �

� �22 21 0 1x x� � �

� � � �, 1 1, ' 0x y y� �� -

� �1,1 ' 0x y y� � � .

23

� �min21 1

1 1y y �

� � � � ��

� �max21 1

1y y

x� � �

�

c) 3

2 , :3

xy D x Rx

� ��

� ��

� ��

2 2 3 2 24 2 4 4 2

2 2 2 22 2 2 2

3 3 2 93 9 2 9'3 3 3 3

x x x x x xx x x x xyx x x x

� � % ��

� � � �

' 0 ,y x R y� � � . i nema ekstremne vrednosti.

d) � � 31 :xy x e D x R��

� ��

� �' 3 3

23 3 33

1 3 1 3 11 1 3 3'x x

x x xx

e x e xx xye e ee

� � % % � ��

3

4 3' x

xye�

�

3 0xe � 4 3x�

4, ' 0 ,3

x y y � �� .� � �

4 , ' 0 ,3

x y y � �� -� � �

4 433

4 14 13max3 3

y yee

%

� � � ��

20. Ispitati konveksnost i konkavnost i odrediti prevojne ta�ke funkcija:

a) 4 26 4 :y x x D x R� � � �

3' 4 12y x x� �

� �2 2'' 12 12 12 1y x x� � � �

24

2'' 0 1 0 1 1y x x x� � � � � � � � �

''y

� � � �, 1 1, '' 0x y y� ��

� �1,1 '' 0x y y� � � /

� � � �1 11, 1 1 6 4 1P f ��

� � � �2 1, 1 1 1 6 4P f� � � �

b) � � � �22 : ,1 1,1

xy D xx

� � ��

� ��

� ��

2 2 2 2

2 2 2 2

4 1 2 2 24 4 2 2 4'1 1 1 1

x x x x xx x x x xyx x x x� � ��

� � � ��

� ��

� �

2 2

4

4 4 1 2 4 2 1''

1

x x x x xy

x

� � � � % ��

�

� ��

� �

2

3

4 4 1 2 2 4

1

x x x x

x

� � � ��

�

� � � �

2 2

3 34 4 4 4 4 8 4''

1 1x x x x xy

x x� � � � �

� ��

1 '' 0x y y� � /

1 '' 0x y y� � � funkcija nema prevojnih ta�aka.

c) � �2 2ln 1 , 1 0y x x x R� � � � � �

2

2'1

xyx

��

� �

� � � ��

� �

2 22 2

2 2 22 2 2

2 1 2 2 2 12 2 4''1 1 1

x x x xx xyx x x

� � % ��

� � �

2'' 0 1 0 1 1y x x x� � � � � � � � �

25

21 x�

� � � �, 1 1, '' 0x y y� �� /

� �1,1 '' 0x y y� � � �

� � � � � �1 1, ln 2 1 ln 1 1 ln 2P f� � � � �

� �2 1, ln 2P

d) :y x arc tg x D x R� �

2'1

xy arc tg xx

� ��

� � � � � �

2 2 2 2

2 2 22 2 2 2

1 1 2 1 1 2 2''1 1 1 1

x x x x x xyx x x x

� � % � � � ��

� � � �

'' 0y y� � i nema prevojnih ta�aka. 21. Nacrtati grafik funkcije:

a) - 2

2xx

y�

�

1. � � � �2 0 : , 2 2,x D x� � � ��

2. � � � �2 2 22 2 2

x x xf x f xx x x

� � � � ��

� � � �

ni parna, ni neparna 3. 0 2 0 2 , 2y x x D� � � � � � �

x-2 x+2

sgn y 0 1x y� � �

4. � �0 02

2 2 4lim lim lim2 2h hx

h hf xh h� $ $$�

� � � ��

� � �

� �0 0 02

2 2 4 4lim lim lim lim2 2h h hx

h h hf xh h h� $ $ $$�

� � � � � ��

� � � �

26

: 2BA x � �

� �212lim lim lim 122 1

x x x

x xf xx

x$� $� $�

��

� �

: 1XA y �

5. � � � �

� � � � � �2 2 2

1 2 2 1 2 2 4'2 2 2

x x x xyx x x

% � � � % � � ��

� � �

' 0x D y y� � � .

6. � �

� � � �4 3

4 2 2 1 8''2 2

xy

x x� % � % �

� ��

'' 0x D y� �

� �, 2 '' 0x y y� ��

� �2, '' 0x y y� � �� /

27

b) 2

21

xyx

��

1. 21 0 :x D x R� � � �

2. � � � ��

� �2 2

2 211

x xf x f xxx

� ��

�� neparna

3. 0 2 0 0y x x� � � � �

� �,0 0x y� ��

� �0, 0x y� ��

4. 2

2

22 0lim lim 011 11

x x

x xx

x$� $�

� � ��

0XA y �

5. � �

� � � � � ��

� �

2 22 2 2

2 2 2 22 2 2 2

2 1 2 2 2 12 2 4 2 2'1 1 1 1

x x x xx x xyx x x x

� � % ��

� � � �

2' 0 1 0 1 1y x x x� � � � � � � � �

21 x�

� � � �1 1, ' 0x y y� �� -

� �1,1 ' 0x y y� � � .

� � � �12min 1 1 1, 1

1 1y y M�

� � � � � � ��

� � � �22max 1 1 1,1

1 1y y M� � �

�

6. � � � � � �

� ��

� �

22 2 2 2 2

4 32 2

4 1 2 2 2 1 2 4 1 4 2 2''

1 1

x x x x x x x x xy

x x

� � � � % � % � � � ��

� �

� ��

� ��

� ��

2 2 2 2

3 3 32 2 2

4 1 2 2 4 3 4 3''

1 1 1

x x x x x x xy

x x x

� � � � � � ��

� � �

28

� �2'' 0 4 3 0 0 3 3y x x x x x� � � � � � � � � � �

4x

2 3x � ''y

� � � �, 3 0, 3 '' 0x y y� �� /

� � � �3,0 3, '' 0x y y� � � ��

� �13 2 3 33, 3

2 1 3 2P f

��

� �2 0,0P

c) 2 3

4x xyx�

��

1. � � � �4 0 : , 4 4,x D x� � � ��

29

2. � � � � � � � �2 2 23 3 3

4 4 4x x x x x xf x f x

x x x� � � � �

� � � � � ��

3. � �20 3 0 3 0 0 3y x x x x x x� � � � � � � � � � � �

2 3x x�

4x � sgn y

� � � �, 4 3,0 0x y� ��

� � � �4, 3 0, 0x y� � � � ��

4. � � � �22 2

0 04

4 3 43 16 8 12 3lim lim lim4 4 4h hx

h hx x h h hx h h� $ $$�

� � � % � ��

� � � �

2

0

4 5limh

h hh$

� ��

� � � �22 2

0 04

4 3 43 16 8 12 3lim lim lim4 4 4h hx

h hx x h h hx h h� $ $$�

� � � � ��

� � � � �

2

0

4 5limh

h hh$

� ��

� : 4BA x � �

2

2

313lim lim 1 44x x

x x x nema XAx

x x$� $�

��

� �

� � � ��

2 3 3134lim lim lim lim 144 11

x x x x

x xf x x xx x

xx x xx

$� $� $� $�

��

� � KA: y ax b� �

� �� 2 2 33 3 4lim lim lim lim

4 4 4x x x x

x x x x x x xb f x ax xx x x$� $� $� $�

� � � � ��

30

1lim 1 141x

b

x$�

��

� : 1KA y x� �

5. � � � � � �

� � � � � �

2 2 2 2

2 2 2

2 3 4 3 1 2 3 8 12 3 8 12'4 4 4

x x x x x x x x x x xyx x x

� � � � % � � � � � � ��

� � �

2' 0 8 12 0 2 6y x x x x� � � � � � � � � � � 2 8 12x x� �

� � � �, 6 2, ' 0x y y� �� .

� �6, 2 ' 0x y y� � � � -

� � � �136 18 18max 6 9 6, 9

6 4 2y y M�

� � � � � � � ��

� � � �24 6 2min 2 1 2,12 4 2

y y M� ��

� �

6. � ��

� ��

� �

2 2 2

4 3

2 8 4 8 12 2 4 1 2 8 4 2 8 12''

4 4

x x x x x x x x xy

x x

� � � � � % � % � � � � ��

� �

� � � �

2 2

3 32 8 8 32 2 16 24 8''

4 4x x x x xy

x x� � � � � �

� ��

'' 0y x D� �

� �, 4 '' 0x y y� �� /

� �4, '' 0x y y� � ��

31

d) � �

3

2-1xy

x�

1. � � � �1 0 : ,1 1.x D x� � � ��

2. � � � ��

� ��

3 3 3

2 2 21 1 1x x xf x f x

x x x� � �

� � � � ��

ni parna ni neparna.

3. 30 0 0 0y x x D� � � � � � � �,0 0x y� ��

� � � �0.1 1 0x y� � ��

32

4. � � � ��

� �3 3

2 20 01

1 1lim lim lim

1 1h hx

h hf x

hh� $ $$

� ��

� �

� � � ��

� �3 3

2 21 0 0

1 1lim lim lim

1 1x h h

h hf x

hh$ $ $

� ��

� �

: 1BA x �

� � � �

3 2

23 6lim lim lim

2 1 21h h h

x x xxx$� $� $�

� � � � � � � ��

nema XA KA: y ax b� �

� � � �

� �

3

2 3 2

2 2

1lim lim lim lim

2 11x x x x

xf x x x xa

x x x xx x$� $� $� $�

��

� ��

2

1lim 1 12 11x

a

x x$�

� � ��

� ��

� ��

3 23

2 2

2 1lim lim lim

1 1x x x

x x x xxb f x ax xx x$� $� $�

! � � �� ' (

� �' (" #

3 3 2

2

2

122lim lim 2 22 12 1 1x x

x x x x x bx x

x x$� $�

��

� � � �

� �

3

2: 21

xKA y x yx

� � ��

� ��

3

2

2 3

3 2 2 3

21

2 2 1

2 2 4 23 2

xxx

x x x x

x x x x x xx

� ��

� � � �

� � � � � ��

33

23

2 ;32 2 823 3 32 8;3 3

s

x

S y

y

S

�

� � � � � ��

5. � � � �

� ��

22 3 2 3 3 2 3

4 3 3

3 1 2 1 1 3 1 2 3 3 2'1 1 1

x x x x x x x x x xyx x x

� � % � % � � � ��

� � �

� �

3 2

33'1

x xyx�

��

� �3 2 2' 0 3 0 3 0 0 3y x x x x x x� � � � � � � � � � �

3x �

� �31x �

sgn 'y

� � � �,1 3, ' 0x y y� �� .

� �1,3 ' 0x y y� � -

� �� 12

27 27 271 min 3 3,4 43 1

D y y M � � � � � � ��

6. � ��

� ��

� �

3 22 3 2 2 3 2

6 4

3 6 1 3 3 1 1 3 6 1 3 3''

1 1

x x x x x x x x x x xy

x x

� � � � % � % � � � ��

� �

� � � �

3 2 2 2 2

4 43 6 3 6 3 9 6

1 1x x x x x x x

x x� � � � �

� ��

'' 0 6 0 0y x x� � � � �

34

� �,0 '' 0x y y� �� /

� � � �0,1 1, '' 0x y y� � ��

� �0,0P

e) 1xy xe�

1. � � � �0 : ,0 0,x D x� � ��

2. � � � �1xf x xe f x

��

ni parna ni neparna

3. 1

0 0 0 , 0xy xe x D� � � � � � funkcija nema nula 0 0x y� �

0 0x y� �

4. � � � �1

10

0 00lim lim 0 lim 1

hh

x xx

ef x h e

h�

�

$ $$

� � � � � ��

35

1

12

0 0

2

1

lim lim1

h

hx x

eh e

h$ $

��

� � � � � �1

0100 0

1lim lim 0 lim 0hxx x

h

f x h e he

� �

�

$$ $� � % � � % �

0x � je vertikalna asimptota sa desne strane

1

lim xx

xe nema XA$�

� � KA: y ax b� �

� �

11

0lim lim lim 1 1x

xx x x

f x xea e e ax x$� $� $�

� � � � � � �

� �� 1

1 1 1lim lim lim 1 lim 1x

x xx x x x

eb f x ax xe x x e

x$� $� $� $�

��

� �

1

120

2

10 lim lim 1 110

x

xx x

ex e e b

x$� $�

% ��

: 1KA y x� �

5. 1 1 1 1

2

1 1 1' 1x x x x xy e xe e ex x x

� � � % � � � � %� � � � � �

' 0 1 0 1y x x� � � � � � 1x � x sgn 'y

� � � �,0 1, ' 0x y y� �� .

� �0,1 ' 0x y y� � -

� � � �0 min 1 1,D y y e M e� � �

36

6. � �1 1 1

2 2 3 2

11 1 1 1'' x x xx xx x x xy e e e

x x x x x� �� !� % � % � % � � �� ' ( � " #

1 1

3 3

1 1x xx xe ex x

� � �� % � %

'' 0y za x D� �

� �,0 '' 0x y y� �� /

� �0, '' 0x y y� ��

f) ln

xyx

�

1. � � � �0 ln 0 : 0,1 1,x x D x� � � � � ��

2. 0 0 0y x D� � � � nema nula x ln x sgn y

37

� �0,1 0x y� �

� �1, 0x y� ��

3. � �0 00

1lim lim lim 0ln lnh hx

hf x hh h� $ $$

� � % �

� � � �01

1lim limln 1hh

hf xh� $$

��

�

� � � �01

1lim limln 1hh

hf xh� $$

��

� : 1BA X �

� � 1lim lim lim lim1lnx x x x

xf x xx

x$�� $�� $�� $��

� � � � � � �� nema XA

� � 1lnlim lim lim 0

lnx x x

xf x xa

x x x$� $� $�� nema KA

4. 2 2

1ln ln 1'ln ln

x x xxyx x

� % ��

' 0 ln 1 0 ln 1 ,y x x x e e D� � � � � � � � � ln 1x �

� � � �0,1 1, ' 0x e y y� � � -

� �, ' 0x e y y� �� .

� � � �1 min 1,lneD y y e e M ee

� � � �

5. � � � �2

4 3

1 1 1 1ln ln 1 2ln ln 2 ln 1''

ln ln

x x x x xx x x xy

x x

% � � % % � � %� �

� �

3 3

1 ln 2ln 2 2 lnln ln

x x xxx x x

� � ��

38

2 2'' 0 2 ln 0 ln 2 ,y x x x e e D� � � � � � � � �

2 ln x�

x

3ln x

''y

� � � �20,1 , '' 0x e y y� � �� /

� �21, '' 0x e y� �

� �2 2 2

2 2 221 ,

2 ln 2e e eD e D P e f e

e

� � � ��

g) 3 3 -3y x x�

1. :D x R�

2. � � � � � � � �3 3 33 3 33 33 3 3 3f x x x x x x x x x� � � � � � � � � � � � � �

� � � �f x f x neparna� � �

39

3. � �3 20 3 0 3 0 0 3 1y x x x x x x x� � � � � � � � � � ��

x

2 3x � y

� � � �, 3 0, 3 0x y� ��

� � � �3,0 3, 0x y� � � ��

4. 3 3lim 3x

x x nema XA$�

� � �

� � 3 3 33 3

3 2

1lim lim lim lim 1 1 1x x x x

f x x x x xa ax x x x$� $� $� $�

� ��

� ��

2 33 3 233 3

2 33 3 23

3 3lim lim 3

3 3x x

x x x x x xf x ax x x x

x x x x x x$� $�

� � � �� % �

� � � �

3

3 6 4 2 3 3 2 3 6 4 2 3 3

2

33

lim lim6 9 3 6 9 3

1

3x x

x xx x x x x x x x x x x x

x x

x x$� $�

��

� � � � � � � ��

� �

3 32 4 2

30lim 036 9 31 1 1

x

xb

x x x

$�

��

� � � � �

� �

3 33 3

3 3

::

3 33

00;0

KA y xpresek sa KA

y x y x x x x xx x xxO

�

� � � � � �

� ��

40

5. � � � � � ��

22 23 23

2 23 23 3

3 11 1' 3 3 3 ' 03 3 3 3

x xy x x x yx x x x

� � �� % � � � �

� �

2' 0 1 0 1 1y x x x� � � � � � � � �

Prvi izvod nije definisan u ta�kama 3, 3 0i�

� � � �, 1 1, ' 0x y y� �� .

� �1,1 ' 0x y y� � � -

� � � �3 33max 11 1 3 2 1, 2y y M� � � � � � �

� � � �3 33min 21 1 3 2 1, 2y y M� � � � � � �

6. � � � � � � � �

� �

123 2 3 23 3

433

22 3 1 3 3 33''3

x x x x x x xy

x x

�� % � % �

��

� � � � � �

� �

2 2233

3 3

433

2 1 12 3

3''3

x xx x x

x xyx x

� % ��

��

� � � �

� � � �

3 4 2

4 2 4 23 3

4 53 33 3

2 3 2 2 12 6 2 4 23''

3 3

x x x x xx x x xx xy

x x x x

� � � �

� � � ��

� ��

� �

23

5 53 33 3

2 12 2''3 3

xxyx x x x

� ��

� �

41

Drugi izvod menja znak u ta�kama sa apscisama 3, 0, 3i�

� �22 1x� �

� �533 3x x�

''y

� � � �, 3 0, 3 '' 0x y y� ��

� � � �3,0 3, '' 0x y y� � � �� /

� � � � � �1 2 33,0 0,0 3,0P P P�

42

22. Izra�unati priraštaj i diferencijal funkcije 23y x x� � za 1x � i 0,01.h �

� � � �1 1y f h f0 � � �

� � � � � �2 23 1 1 3 1 1h h� % � � � � % �

� �23 1 2 1 3 1h h h� % � � � � � �

23 6 3 3h h h� � � � � 23 5h h� �

� �3 5h h� % �

� �0,01 0,03 5� �

0,01 5,03� %

0,0503�

� �'dy f x dx�

� �6 1x h� � %

5 0,01� % 0,05� 23. Dokazati da su za dovoljno malo h ta�ne približne formule:

a) 11 12

h h� 1 �

� �f x x�

� � � � � �'f x h f x f x h� � 1 %

1

2x h x h

x� � 1 %

1

2x h x h

x� 1 � %

1x �

11 1

2 1h h� 1 � %

11 12

h h� 1 �

43

b) 3 11 13

h h� 1 �

c) 1he h1 �

d) � �ln 1 h h� 1

24. Odrediti približnu vrednost:

a) 3 8,02

� � � �33 2

1'3

f x x f xx

� �

3 33 2

13

x h x hx

� � 1 %

3 33 2

8 , 0,023

hx h x x hx

� 1 � � �

333

0,028,02 83 64

1 �

3 0,028,02 2 2,001663.4

1 � �

25. Koriste�i Tejlorovu formulu razložiti polinom:

� � 4 3 22 5 3 8 4P x x x x x� � � � � po stepenima 2x �

� � 4 3 22 2 2 5 2 3 2 8 2 4 32 40 12 16 4 0P � % � % � % � % � � � � � � �

� � 3 28 15 6 8IP x x x x� � � �

� � 3 22 8 2 15 2 6 2 8 64 60 12 8 0IP � % � % � % � � � � � �

� � 224 30 6IIP x x x� � �

� �2 24 4 30 2 6 96 66 30IIP � % � % � � � �

� � 48 30IIIP x x� �

� � 48 2 30 96 30 66IIIP x � % � � � �

� � � �48 2 48IV IVP x P� �

44

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �2 32 2 2 22 2 2 2 2

1! 2! 3! 4!

I II III IVP P P PP x P x x x x� � � � � � � � �

� � � � � � � �2 3 430 66 482 2 22 6 24

P x x x x� % � � � � �

� � � � � � � �2 3 415 2 11 2 2 2P x x x x� � � � � �

26. Koriste�i Maklorenovu formulu dokazati:

a) 2

1 12 8x xx� 1 � �

� � � �1 0 1f x x f� � �

� � � �1 1' ' 022 1

f x fx

��

�

� �

� �

� � � ��

1 11 12 1'' '' 0

2 1 44 1 1 )xxf f

x x x

��

� � �

� � � � � � � � 2' 0 '' 00

1! 2!f f

f x f x x1 � � %

� � 2 2

11 1 141 12 2 2 8

f x x x x x1 � � � � �

b) 4

2 2cos 13xx x1 � �

� � � �2cos 0 0 1f x x a f� � �

� � � � � �2' 2cos sin sin 2 0 0If x x x x f� � � � �

� � � � � �'' cos 2 2 2cos 2 0 2IIf x x x f� � % � � � �

� � � � � �'' 2 sin 2 2 4sin 2 0 0IIIf x x x f� � % � % � �

� � � � � �4cos 2 2 8cos 2 0 8IV IVxf x x f� % � �

2 2 3 40 2 0 8cos 1.1! 2! 3! 4!

x x x x x�1 � � � �

45

2 2 41cos 13

x x x1 � �

27. Na�i prve parcijalne izvode funkcije:

a) 2 2 ' 2 ' 2x yz x y z x z y� � � �

b) 2

1' 'x yx xz z zy y y

��

c) � � � �2 2'y

x x y x yz zx y x y x y

� � ��

� � �

� �

� � � �2 2

1'y

x xzx y x y

� % ��

� �

d) � �2

2 2 2

1 1' ' 22 2

x yyz x y z z y

x y x y x y�

� � � � � ��

� � � �

� ��

� � � �

2 2 2 2 2 2 2 22 2 2

2 2 22 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 4'xx x y x x y x x y x yx y xyz z

x y x y x y x y

� � � � � ��

� � � �

� � � � � ��

� ��

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 22 2 2 2 2 2

2 2 2 4'yy x y x y y y x y x y x yz

x y x y x y

� � � % � � � ��

� � �

28. Na�i parcijalne izvode prvog i drugog reda:

a) 3 3z x xy y� � �

2

2

' 3 '' 6

' 3 '' 1 '' 1

'' 6

x xx

x xy yx

yy

z x y z xz x y z z

z y

� � �

� � � �

�

b) � �2lnz x y� �

2 2

1 1' 1xzx y x y

� % ��

2 2

1 2' 2yyz y

x y x y� % �

� �

46

� � � �2 22 2

1 2'' ''xx xyyz z

x y x y

� ��

� �

� �

� � � �

2

2 22 2

2 2'' ''yy yx

x y yz zx y x y

� ��

� �

c) xyzx y

��

� �

� �

2

212 2 2'

2x

y x y xyy x y xy

x y x y xy yzx y x y x y x y

� �� %

� � ��

� � � �

� � � �

� �

2

21 12 2 2'

2y

x x y xyx x y xy

x y x y x xyzx y x y x y x y

� �� % �

� � ��

� � � �

� � � � � �

� �

3 122 2

3

32 2 22''

4xx

y x y xy y x yz

x y

% % � � � % % ��

�

� � � ��

� � � � � ��

13 122 22 2

3 3

2 3 22 3 2

4 4

x y y x y xy yy x y xy y x y

x y x y

!� � � �� " #� ��

� ��

� �

22 2

3 3

42 2 3 6

4 4

y xy x yx y xy y xy y

x y x y

! � �� " #� ��

� � � � � � � �

� �

3 122 2

3

34 2 2 22''

4xy

x y x y xy y x yz

x y

� � � � % % ��

�

� � � ��

122

3

2 8 3 2

4

x y x y x y xy y

x y

!� � � � �" #��

� �

2 2 2

3

2 8 2 8 3 6

4

x y x xy xy y xy y

x y

!� � � � � �" #��

47

� ��

2 2

3

2 13 14

4

x xy y x y

x y

� � ��

�

� � � � � � � � � �

� �

3 122 2

3

32 2 2 12''

4yy

x x y x xy x yz

x y

� % � � � % % � ��

�

� � � � � ��

122

3

2 3 2

4

x y x x y x xy

x y

� � � � ��

�

� ��

2 2

3

2 2 6 3

4

x xy x xy x y

x y

� � � � ��

�

� ��

2

3

4 3

4

x xy x y

x y

� ��

�

29. Na�i totalni diferencijal I i II reda za funkcije:

a) 2 2z x xy y� � �

' 2xz x y� �

' 2yz x y� � �

� � � �2 2dz x y dx x y dy� � � � �

'' 2 '' 1 '' 2xx xy yyz z z� � � �

2 2 22 2 2d z dx dx dy dy� � �

b) � �2lnz x y� �

2 2

2 1' 'x yxz z

x y x y�

� ��

2 2

2 1xdz dx dyx y x y

� ��

� ��

2 2 2 2

2 2 22 2 2

2 2 2 2 2 4 2 2''xx

x y x x x y x x yzx y x y x y

� � % � � � ��

� � �

48

� �� 2 22 2

2 1 2''xy

x xzx y x y

� % ��

� �

� �22

1''yyzx y

��

�

� ��

22 2 2

2 2 22 2 2

2 4 1z

x y xd dx dx dy dyx y x y x y

� ��

� � �

30. Na�i Maklorenov polinom za funkciju x yz e �� pri 3n � .

� �0,0' ' / 1x yx xz e z��

� � � �0,0' 1 ' / 1x yy yz e z�� % � � �

� �0,0'' '' / 1x yxx xxz e z��

� � � �0,0'' 1 '' / 1x yxy xyz e z��

� �0,0'' '' / 1x yyy yyz e z��

� �0,0''' ''' / 1x yxxx xxxz e z��

� � � �0,0''' 1 ''' / 1x yxxy xxyz e z��

� �0,0''' ''' / 1x yxyy xyyz e z��

� � � �0,0''' 1 ''' / 1x yyyy yyyz e z��

� � 2 2 3 2 2 31 1 11 2 3 31! 2! 3!

x ye x y x xy y x x y xy y� ! !1 � � � � � � � � �" # " #

� � � � � �2 31 112 6

x ye x y x y x y� 1 � � � � � �

31. Na�i Tejlorov polinom drugog reda za funkciju:

3 22 3z x y xy� � � u ta�ki (1,2).

� �2

1,2' 3 3 ' / 3 6 9x xz x y z� � � � �

� �1,2' 4 3 ' / 8 3 5y yz y x z� � � � � � � �

� �1,2'' 6 '' / 6xx xxz x z� �

� �1,2'' 3 '' / 3xy xyz z� �

49

� �1,2'' 4 '' / 4yy yyz z� � � �

� �1,2/ 1 8 6 1z � � � � �

� � � �� 21 11 1 9 2 5 1 6 6 1 21! 2!

z x y x x y 1 � � � % � � � � � % � % � � !" # "

� � � �22 4y� � % � !#

32. Na�i lokalne ekstremne vrednosti funkcije 3 23 15 12z x xy x y� � � � 2 2

2 2 2 2

2 4 22

' 3 3 15 ' 6 12

3 3 15 0 52

6 12 0 2

45 4 5

x

y

z x yz xy

x y x y

xy xy yx

x x xx

= + -= -

+ - = + =

- = = � =

+ = + =

4 2 2

2

5 4 0 , 05 4 0

x x x t tt t

- + = = >- + =

2 21 21 4

1 41 1 2 22 2 1 1

t t

x xx x x xy y x x

= Ú =

= == Ú = - = - Ú == = - = - =

Stacionarne ta�ke su

� � � � � � � �1 2 3 41,2 , 1, 2 , 2, 1 2,1M M M i M� � � �

'' 6 '' 6 '' 6xx xy yyz x z y z x� � �

a) � �1 1, 2M

6 12 6 144 36 108A B C� � � 0 � � �

�>0 pa funkcija nema ekstremnu vrednost.

b) � �2 1, 2M � �

6 12 6 144 36 108A B C� � � � � � 0 � � �

�>0 pa funkcija nema ekstremnu vrednost.

50

c) � �3 2, 1M � �

12 6 12 36 144 108A B C� � � � � � 0 � � � �

�<0 i A<0 pa funkcija ima lokalni maksimum.

� � � � � � � � � �3 2max 2 3 2 1 15 2 12 1

8 6 30 1228

z � � � % � % � � % � � % �

� � � � ��

d) � �4 2,1M

12 6 12 36 144 108A B C� � � 0 � � � �

�<0 i A>0 pa funkcija ima lokalni minimum

3 2min 2 3 2 1 15 2 12 18 6 30 12

28

z � � % % � % � %� � � ��

33. Na�i uslovne ekstremne vrednosti slede�e funkcije

2 2z x y� � pri uslovu 12 3x y� � .

� � 2 2, 12 3

2 � � � � ��

x yF x y x y ' 2� �xIF x2

' 2yF yl

= +3

' 12 3x y

F l = + -

2 02 4

x xl l

+ = � = -

2 03 6

y yl l

+ = � = -

1 02 3x y� � �

___________

51

1 0

91

l l

l l

- - - =

-=

8 18- 4

72

131

72l- =

7 21 31 7 2 1 84 1 3 1 31 7 2 1 26 1 3 1 3

1 8 1 2,1 3 1 3

2 � �

� � % � ��

� � � ��

� � �

x

y

M

'' 2 '' 0 '' 2xx xy yyF F F� � �

2 2 22 2 0d F dx dy� � �

pa u ta�ki 18 12,13 13

M � � �

funkcija ima uslovni minimum

min324 144 468169 169 169

z � � �

ZADACI ZA VEŽBU: 1. Proveriti da li su ta�no odre�ene oblasti definisanosti za slede�e funkcije:

a) � � � � � �2

1 , ,1 1,1 1,1

y xx

� � ��

b) � �1 , 2,2

y xx

� � ��

c)

2

2 ,x

y x e x R�

� % �

52

d) � �4ln , 1,41xy x

x�

� ��

e) � � � �1 ln , 0, ,1 ln

xy x e ex

��

�

f) � �1, 3,3

xy x xx

� � � � ��

g) � �232 , 0,3x xy x��

2. Odrediti oblast definisanosti funkcije:

a) 2

2

16 ;5 4

xyx x

��

� � b) 3

2 1;1

xyx

��

�

c) 29y x� � d) 2

5 ;4 3

xyx x

��

� � �

e) 22 12;y x x x� � � � � � f) � �2 2log 4 36 ;y x x� � � �

g) 1 2ln ;

2xy

x�

��

h) 1xy e�

3. Ispitati parnost odnosno neparnost funkcije:

a)

2

2 ;x

y e�

� b) � �21 2 ;

1xy

x�

��

c) 2

2xy

x� �

d) 3

2

1;xyx�

� e) 2

;2

xyx

��

h) 2 3

xeyx

��

g) 4;y x� h) ;y x� i) 2 1 ;2

y x x� �

j) 3;y x� k) 2 2 ;x xy �� l) 3

2 ;1

xyx

��

4. Odrediti znak i nule funkcije:

a) 2 2 2 ;

1x xy

x� �

��

b) 2 ;4 3xy

x x�

� � c)

3

2 ;1

xyx

��

53

d) � �22 ;xy x e�� e) � �21 ;xy x e� � f) 2 ;4

xeyx

��

g) 2 ln ;y x x� h) ln ;y x x� i) 23 1 ;y x� �

j) 2

4 ;4

xyx

��

k) 2

2

2 11

x xyx� �

��


a) 3

6 5lim ;4 2x

xx$�

��

b) 21

2lim ;1x

xx$�

��

c) 2

1lim2

x

x$�

� � �

6. Proveriti slede�e grani�ne vrednosti:

a) 2

21

4 3 2lim ;2 3x

x xx x$

� ��

� � b)

2

21

2 1lim 0;x

x xx x$

� ��

�

c) 3 2

22

3 2 2lim ;6 5x

x x xx x$�

� ��

� � d)

0

1 1 1lim ;2x

xx$

� ��

e) 9

9lim 6;3x

xx$

��

� f)

38

8lim 12.2x

xx$

��

�

7. Izra�unati grani�ne vrednosti:

a) 2

1

2 3lim ;1x

x xx$

� ��

b) 2

31

2lim ;4 3x

x xx x$

� ��

c) 2

22

5 6lim4x

x xx$

� ��

d) 21

1 2lim ;1 1x x x$

��

e) 3

3lim ;1 2x

xx$

��

f) 3 3

0

1 1lim ;x

x xx$

� � �

g) 23

4 1lim ;9x

xx$�

� ��

h) 2

2

4lim .2 2x

xx x$�

��

8. Proveriti slede�e rezultate:

a) 3 1lim ;

2x

xx$�

��

� b) 3

2lim 0;x

xx x$�

��

�

c) 2

2

3 2 1lim 3;3x

x xx$�

� ��

� d) � �lim 0

xx a x

$��

54

9. Izra�unati:

a) 3 7lim ;5 2x

xx$�

��

b) 2 1lim ;

2x

x xx$�

� ��

c) 2

3lim ;1x

xx x$�

��

d) 3

4 2lim ;3 1x

x xx x$�

��

e) 3 2

2

2lim ;1x

x x xx$�

��

f) 3

2

3 2 1lim ;1x

x xx$�

� ��

g) � �lim 1 1 ;x

x x$��

� � � h) � �2 2lim 1 1 ;x

x x x$��

� � �


a) 22lim 1x

xe

x$�

� ��

b) 2 2

31lim 13

x

xe

x$�

� ��

c) 2 51lim 1

2 5

x

xe

x

�

$�

� �� d)

261lim

2

x

x

x ex$�

� ��

e) � �5

10

0lim 1 2 xx

x e$

� � f) � �

0

ln 1 2lim 2x

xx$

��

11. Proveriti rezultate:

a) 0

1lim ;sin 2 2x

xx$

� b) 0

1 cos 2lim 2;sinx

xx x$

��

c) 2

0

sinlim 2;1 cosx

xx$�

� d)

� �0

sin 1lim 2

1x

xx$

��

�


a) 3lim 1 ;

2

x

x x$�

��

b) 42lim 1 ;

3

x

x x$�

��

c) 2 3lim ;2 1

x

x

xx$�

� � ��

d)

233lim ;

9

x

x

xx$�

� � ��

e) � �2

lim 1 3 ;xx

x$�

� f) � �1

3lim 1 2 ;xx

x$�

�

g) � �ln 1

lim ;2x

xx$�

� h)

� �ln 1 2lim ;

3x

xx$�

�

55

i) sin 3lim ;

5x

xx$�

j) lim ;2x

tgxx$�

k) 1 cos 2lim

2sin cos2 2

x

xx x$�

�

13. Dokazati da je:

a) 0

1lim 1;x

x

ex$

�� b)

0

1lim lnx

x

a ax$

��

14. Ispitati neprekidnost slede�ih funkcija:

a) � � 2

1 ;2

xf xx

��

� b) � �

2 5, 11 , 1

x xf x

xx

� � �),� *

� �,+

c) � �1

;xf x e� d) � �3 1, 1

12, 1

x xf x xx

) ��,� �*

, �+

e) � �1

xef xx

��

15. Odrediti asimptote grafika funkcije:

a) 2

2 ;1

xyx

��

b) 2

2

4 ;4

xyx

��

� c) 2

1 ;y xx

� �

d) 3

2

2 ;1

xyx

��

e) 2 6 ;

2x xy

x� �

��

f) 2 ;4 3xy

x x�

� �

g) � �

3

2 ;1

xyx

��

h) 22 ;

1x xyx�

��

i) 2 4xy

x�

�

16. Proveriti da li je ta�no odre�en prvi izvod funkcije

a) 6 5 5 45 3 4 8 ' 30 15 4y x x x y x x� � � � � � �

b) 32 3 43 2 3

2 3 1 1 1 3 34 '5 53

y x yx x x xx x x

� � � � � � � � �

c) � � � �2 21 ' 2 1x xy x e y x x e� � � � �

d) � �2 cos ' 2cos siny x x y x x x x� � �

56

e) � �

2

22 2

4'2 2

x xy yx x

� ��

f) 2

ln 2 2'ln lnxy y

x x x�

� �

17. Izra�unati prvi izvod slede�ih funkcija:

a) 4 3 23 5 6 9 8;y x x x x� � � � �

b) 3 84 3

2 33 ;y x xx x

� � � �

c) 36

2 5 2 ;3

y x xx

� � �

d) 3

1 1 1 ;yx x x

� � �

e) � �� 2 23 3 2 1 ;y x x x x� � � � �

f) � �� 1 2 ;y x x� � �

g) sin cos ;y x x x� �

h) � �21 ;y x arc tg x� �

i) 3

;4

xyx

��

j) 2

1 ;1

yn

��

k) ;1 cos

xyx

��

l) sin ;

1x xy

tg x�

�

m) 23log ;y x x�

n) 1 ln ;1 ln

tyt

��

�

o) 2

ln ;1

tyt

��

57

p) 5 ;

lny

x�

q) � �2 2 3 ;xy x x e� � �

r) sin

xeyx

�

18. Pokazati da je:

a) � � � �2 2'3 3 2 3 ;x x x xe e x� �� b)

'

2 1

1 2ln ;1

xx x �

� ��

c) � � � �2 2'2 33 2 4 ;x xx e x x e� � !� � �" # d) � �'2 2 lnln xx

x�

19. Odrediti prvi izvod funkcija:

a) ;xy xe�� b) 1

;xy xe�

c) � �22 1 ;xy e x x�� d) 2ln ;y x x�

e) � �ln 1 ;xy e�� f) 2

4 ;4

yx

��

g) 3 3 ;y x x� � h) 22 ;xy x e��

i) 2lnxy

x�

20. Odrediti druge izvode funkcija:

a) � �2

4 12 ;2

xyx

��

� b) 2 ;

4xy

x�

�

c) 3

2 ;1

xyx

��

d) 2 ;2 3xy

x x�

� �

e) 3

2 ;1x xy

x�

��

f) 1

1;xy xe ��

g) � �22 ;xy x e�� h) 2 ;4

xeyx

��

58

i) ;ln

xyx

� j) 2 ln ;y x x�

k) 3 2

;1

xyx

��

l) 2ln ;y x x�

m) 21 ;y x� � n) 3 3 3y x x� � 21. Dokazati da je:

a) � �3

lim 0 0kxx

x ke$��

� �

b) � �5

lim 0 1xx

x aa$��

� �

c) 4

lnlim 0x

tt$��

�

22. Izra�unati:

a) 0

1lim ;sin 2

x

x

ex$

� b)

3

0lim ;

sinx

xx x$ �

c) 2

0lim ln ;x

x x$

d) 2

5lim ;x

x x$�� e)

1 lnlim ;1 lnx

xx$�

��

f) lim x

xxe�

$�

23. Odrediti domen funkcije 2

34 3

xyx x

��

� � �

24. Ispitati parnost funkcije: 2

2xy

x� �

25. Odrediti nule i znak funkcije: � �2 lny x x�

26. Ispitati neprekidnost funkcije:

3 1 , 11

2 , 1

x xy xx

) �� ,� �*

, � �+

59

27. Odrediti asimptote grafika funkcije: � �2

12xy

x�

��

28. Da li funkcija 1xy xe

�� ima kosu asimptotu?

29. Odrediti ta�ke maksimuma i minimuma i intervale monotonosti funkcije:

a) 3 21 3 ;3

y x x x� � � b) 2

;2

xyx

��

c) 2 ;xy x e�

d) 2ln ;y x x� e) � � 221 xy x e��

30. Ispitati konveksnost i konkavnost i odrediti prevodne ta�ke funkcije:

a) 3 24 4 ;y x x x� � � b) 2 ;1

xyx

��

c) � � 221 ;xy x e�� d) � �21 ln 1 ;y x� � �

e) ln xy

x�

31. Odrediti ekstremne vrednosti i intervale monotonosti funkcije 2

2xyx�

� .

32. Ima li funkcija y x tgx� � ekstremne vrednosti?

33. Na�i lokalne ekstremne vrednosti funkcije 2lny x x� . 34. Odrediti prevojne ta�ke i intervale konveksnosti i konkavnosti za funkciju

4 3 22 36y x x x x� � � � .

35. Ima li funkcija � �

3

21xy

x�

� prevojne ta�ke?

36. Da li je x=0 vertikalna asimptota grafika funkcije 1xy xe� ?

37. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije: A:

a) 2

2

2 1;1

x xyx� �

��

b) 2

4 ;4

xyx

��

c) 2 ;1

xyx

��

d) 2 2 2 ;

1x xy

x� �

��

e) 2 6 ;

2x xy

x� �

��

f) � �21

;2

xy

x�

��

60

g) 22 ;

1x xyx�

��

h) 2 12 ;

4x xy

x� �

��

i) 23 ;

4x xyx�

��

j) 2

;1

x xyx�

��

k) � �

3

2 ;2 1

xyx

��

l) 3

2 ;9

xyx

��

m) 3

2 ;1x xy

x�

��

n) 3

2

1;xyx�

� o) 3

2 ;4

xyx

��

p) 2

2

4 ;1

xyx

��

� q)

2

2

1;1

xyx

��

� r) 2 ;

4 3xy

x x�

� �

s) 22 ;xy

x�

� t) 2 1;xyx�

� v) � �2

1 .2xy

x�

��

B.

a) ;xy xe�� b) � � 222 ;xy x e�� c) ;1

xeyx

��

d) 2 ;3

xeyx

��

e) � �21 ;xy x e� � f) 1

;xy xe�

�

g)

2

2 ;x

y xe�

� h) 22 ;xy x e�� i) ;

xeyx

�

�

j) 21

xeyx

��

;

C.

a) ln ;xy

x� b) ;

lnxyx

� c) 2 ln ;y x x�

d) 2ln ;y x x� e) 2

1 ln ;xyx

�� f)

ln ;xyx

�

g) � �2ln 1 ;y x� � h) 4ln ;

1xy

x�

��

i) � �2ln 3 3y x x� � �

D.

a) 3 21 ;y x� � b) 21 ;y x� � c) 1;1

xyx�

��

d) � �3y x x� �

61

38. Odrediti približnu vrednost:

a) cos 61 ;3 b) 3 1,02; c) 61 ;tg 3

d) 1,04 ;e) arcsin 0,51; f) 1,05arc tg 39. Koriste�i Tejlorovu formulu razložiti polinom:

� � 5 4 3 22 2 1P x x x x x x� � � � � � po stepenima 1x �

40. Koriste�i Maklorenovu formulu dokazati:

a) 2 3

1 12 8 16x x xx� 1 � � �

b) � �2 33 11ln 2

2 6x x xe x x� 1 � �

c) 3 5

3 5x xarc tgx x1 � � .

41. Na�i prve parcijalne izvode funkcije:

a) 2 yz x e�� b) 2 2x yz e �� c) 2sinz x y�

d) xyz

x y�

� e) � �3 2lnz x y� � f)

2

2

x yzx y

��

g) � �2 2lnz x y� � h) 2

xzx y

��

i) 2 sin 2z x y�

j) 2

xyzx y

��

k) 2z x y� � l) sin xyz e�

m) 2 2x yz e� �� n) � � � �2 2

2 2 x yz x y e� �� o)

xyz e�

42. Na�i totalni diferencijal I i II reda za slede�e funkcije:

a) 38 xz xy

� � ; b) 2 2

xzx y

��

;

c) � �2cossin xz x x y

y� � � ; d)

yz xyx

� � ;

e) 2 2y xz x e y e� � ; f) � �2 2lnz xy x y� �

43. Na�i Tejlorov polinom drugog reda za funkciju 3 3z x xy y� � � u okolini ta�ke (1,1).

62

44. Aproksimirati funkciju 2 2z x xy y x y� � � � � Tejlorovim polinomom tre�eg reda u okolini ta�ke (1,1).

45. Na�i Maklorenov polinom za funkciju cosxz e y� za 2n � . 46. Na�i Maklorenov polinom �etvrtog reda za funkciju cos cosz x y� .

47. Na�i Maklorenov polinom tre�eg reda za funkciju cosx yz e y�� .

48. Na�i Tejlorov polinom drugog reda za funkciju sin xyz e� u okolini ta�ke 1,2�

� � �

49. Napisati Tejlorov polinom tre�eg reda funkcije � � 2, yf x y e x� u okolini ta�ke

(1,0)

50. Napiši Tejlorov polinom za n=3 za funkciju � � 1,f x yxy

� u okolini ta�ke (-1,1)

51. Napiši Maklorenov polinom �etvrtog stepena za funkciju:

a) � � 2 2, x xyf x y e� ��

b) � � � �, ln 1yf x y e x� �

52. Proveriti da li je ta�ka � �1 3, 3M � ta�ka lokalnog minimuma i ta�ka

� �2 3, 3M � � ta�ka lokalnog maksimuma za funkciju 3 2 6z x xy xy� � �

53. Na�i lokalne ekstremne vrednosti slede�ih funkcija:

a) 2 2z x y� �

b) 2 2z x y� �

c) 2 2z x y xy x y� � � � �

d) 2 2 5 3 2z x y xy x y� � � � � �

e) � �3 3 6z x y x y� � �

f) 3 3 9 27z x y xy� � � �

63

g) � �2 3 32 2 2 1z x y x y� � � � �

h) 3 26z x xy y� � �

i) 4 4 2 22 4 2z x y x xy y� � � � �

j) � �1z xy x y� � �

k) 2 3z x y xy x� � � �

l) 2 6z y x y x y� � � �

m) � �2 2x yz e x y��

n) � � � �2 22 2 x yz x y e� �

� �

o) � �2 22y xz e x y��

p) � �8 0, 0xz y x yx y

� � � � �

54. Na�i uslovne ekstremne vrednosti funkcije z xy� pri uslovu:

a) 2x y� �

b) 2 2 1x y� �

c) xyy x e� �

55. Odrediti uslovne ekstremne vrednosti funkcija:

a) 1 1zx y

� � za 1x y� �

b) z x y� � za 2 2

1 1 1x y

� �

c) 4 3 6z x y� � � za 2 2 1x y� �

d) 2 2 5z x y� � � za 2 0x y� �

e) 2 2 4z x y� � � za 1xy �

f) 3 4z x y� � za 2 2 1x y� �

g) 2 2

4 4zx y

� � za 3x y� �

h) 2 2z x y� � za x y c� �

64

56. Odrediti I i II totalni diferencijal funkcije � �2 3lnz x y� �

57. Ispitati uslovne ekstremne vrednosti funkcije z xy� pri uslovu 1x y� � 58. Proveriti jednakost:

2 2z zx y zx y

4 4� �

4 4 ako je 2

2cos yz xx

�

65

2. NEODRE�ENI INTEGRAL

Tablica neodre�enih integrala

1. � �1

, \ 1 , 01

xx dx C R x&

& &&

�

� � � � ��5

2. lndx x Cx

� �5

3. , 0, 1ln

xx aa dx C a a

a� � � �5

4. x xe dx e C� �5

5. sin cosxdx x C� � �5

6. cos sinxdx x C� �5

7. 2 , ,cos 2

dx tgx C x k kx

� �� 65

8. 2 , ,sin

dx C ctgx C x k kx

�� 65

9. 2

arcsin1dx x C

x� �

�5

10. 21dx arctgx C

x� �

�5

66

PRIMERI SA REŠENJIMA: 1. Odrediti integrale primenom osnovnih teorema o integralu i primenom tablice

neodre�enih integrala:

a) 3

2 2 33 3 33xx dx x dx C x C� � � � �5 5

b) 3 2 3 2( 2 2 1) 2 2x x x dx x dx x dx xdx dx� � � � � � � �5 5 5 5 5

4 3 2 4

3 222 24 3 2 4 3x x x xx C x x x C� � � � � � � � � �

C ) 2 2

4 4 4 4

6 2 6 2x x dx x xdx dx dxx x x x

� �� 5 5 5 5

3 2 14 3 2

3 2

6 2 6 23 2 1

2 1 1

x x xx dx x dx x dx C

Cx x x

� � ��

� � ��

� � � �

5 5 5

d) 21 1

3 2 32 21x x dx x dx x dx x dxx

� � � � � ��

�5 5 5 5

2 513 32

33 52 323 1 5 3 52 2 3

x x x C x x x C� � � � � � � �

e) 3 2 2 3 2 33 2

2 2 2

x x x x

x x xdx dx dx% � %� �5 5 5

33 23 2 3 2 32 ln

2

x

x

dx dx x C

� � ��

�5 5

f) 2 21 1x x

x x x

e edx dx dxe e e�

� �5 5 5

67

11

1ln

x

xx x ee dx dx e C

ee

� � ��

�5 5

11

ln1 ln

x

x xx

ee C e Ce e

� � ��

g) 2 2

2 2

1 11 1

x xdx dxx x

� ��

� �5 5

2

2 2

11 1

x dxdx dx arctgx C x arctgx Cx x

��

� �5 5 5

h) 2 2

2 2 2 2

sin cossin cos sin cos

dx x xdxx x x x

��

% %5 5

2 2

2 2 2 2 2 2

sin cossin cos sin cos cos sin

x x dx dxdx dxx x x x x x

tgx ctgx C

� � � �%

� � �

5 5 5 5

2. Metodom smene na�i slede�e integrale:

a) � � � �111110 105 5

511 11

x t xtx dx t dt C Cdx dt� � �

� � � � � � ��5 5

b) � �4

1 3 43 3 3

2 11 32 1 2 2 142 2 8

32

x tdt tx dx dx dt t C x C

dtdx

� ��

�

5 5

c) � �3 2

1 1cos(3 2) 3 cos sin sin 3 23 3 3

3

x tdtx dx dx dt t t C x C

dtdx

� ��

�

5 5

d) 3 33

1 1 13 3 3

3

x t t xx t

e dx e dt e C e Cdtdx� �

� ��

��

5 5

68

e)

5ln ln 5

5

x tdx dtdx dt t C x C

x tdx dt

� ��

� � � � � � � � � � ��

� �5 5

3. Izra�unati 2 2 ,dx a Rx a

��5

Iz tablice neodre�enih integrala 2 1dx arctgx C

x� �

�5

Podintegralnu funkciju transformišemo:

22 2 2 2 222

2

1 11

1 1

1 1

x tdx dx dx adta

x a a a tx x dx adtaa a

xarctg t C arctg Ca a a

��

� � ��

� � �

5 5 5 5

2 2

1dx xarctg Cx a a a

� ��5

4. Izra�unati:

a) 2 2 2

19 3 3 3

dx dx xarctg Cx x

� � �� 5 5

b) 222

2

133 2 2 322 2

dx dx dxx x x

� � ��

�

5 5 5

1 1 2 22 3 3 2 3 3

2 2

x xatctg C arctg C� % � � �

c ) � �22 2

24 9 52 5

x tdx dx dtdx dtx x tx

� ��

�� 5 5 5

1 1 25 5 5 5

t xarctg C arctg C��

d) 23 1dx

x x� �5

69

Funkciju iz imenioca napisati u kanonskom obliku:

2 2 2

2

1 1 1 1 1 123 1 3 3 23 3 6 36 36 36

1 1136 36

x x x x x x

x

� � � � � � � % � � ��

! � � �' (� � �' (" #

2 22 22

11 1

63 1 3 31 11 11

6 6 6

x tdx dx dtx x dx dtx t

� ��

� � ��

5 5 5

� �61 1 2 2 6 13 11 11 11 11 11 11

6 6

x tt xarctg C arctg C arctg C� �

� � � � �

5. Izra�unati: 2 2

dxa x�

5

Integral transformišemo na slede�i na�in:

2 2 222

2

2

1

1 1

1 arcsin arcsin1

x tdx dx dxa

aa x x x dx adtaa a

adt xt C Ca at

��

� ��

� � � � ��

5 5 5

5

6. Izra�unati slede�e integrale:

a) 2 2 2

arcsin24 2

dx dx x Cx x

� � ��

5 5

b) 2 2

2 2

1 arcsin 1211 4 14 2 24 2

dx dx dx x Cx x x

� � � ��

5 5 5

1 arcsin 22

x C� �

70

c) 2 2

2 2

1 arcsin 3499 16 316 4 416 4

dx dx dx x Cx x x

� � � ��

5 5 5

1 4arcsin4 3

x C� �

d) 2 2 2 2

sincos arcsincossin

x txdx dt t Cxdx dt aa x a t

��

�� 5 5

sinarcsin x C

a� �

7. Odrediti:

a) '( )( )

f x dxf x5 ; b) ( ) '( )f x f x dx&5

a) Uvodimo smenu ( )f x t� pa je '( )f x dx dt�

'( ) ln ln ( )( )

f x dtdx t C f x Cf x t

� � � � �5 5

b) Sli�no kao pod a) ( )f x t� 11( ) '( ) ( )1

f x f x dx f x C& &

&��

�5

8. Odrediti:

a)

2

22

11 1 12 ln ln 1

1 2 2 2

2

x tx dtdx xdx dt t C x Cx t

dtxdx

� ��

��

5 5

b) � �

2

2

3 52 3 ln3 5 2 3

x x tx dtdx t Cx x tx dx dt

� � ��

� � � �5 5

2ln 3 5x x C� � � �

c) cossin

sincosx tx dttgxdx dx

xdx dtx t�

� � � � �� 5 5 5

ln ln cost C x C� � � � � �

71

d) ln

ln ln lnln

x tdx dt t C x Cdxx x tdt

x

��

�5 5

e) � �21

2 33 2

11

21

x txdx x xdxxdx dtx

� � ��

��5 5

� � � �2

1 23 22 23 331 3 31 122 2 4 43

dt tt C x C x C�

� � % � � � � � � �5

f) 1

2 2

cossinsincos 1

x txdx dt t Cxdx dtx t

��

� � �5 5

1 1

cosC C

t x� � � � �

g) 4

3 3 4sin 1sin cos sincos 4 4

x t tx xdx t dt C x Cxdx dt�

� � � � � ��5 5

h) 1 1

2

2

11

1t tx x

txe dx e dt e C e C

x dx dtx

��

� �5 5

i)

3

22 3

2 3 2

2

1 1 13cos 3 cos 3 3

3

x tx dx dtx dx dt tgt C tgx C

x tdtx dx

�

� � � � � � �

�

5 5

9. Izra�unati slede�e integrale primenom metoda parcijalne integracije:

a) cos cos sin

cosx dx dv v x dx x

x x dxx u du dx

� � � � ��

� � �55

sin sin sin cosx x x dx x x x C� � � � � � �5

b) 2 2

2

lnln ln

2 22

dxx u dux x dxxx x dx x

xxxdx dv v

� � �� % �

� � �5 5

72

2 2 2 2 21 1ln ln ln

2 2 2 2 2 2 4x x x x xx xdx x C x C� � � � � � � �5

c) 221

1

dxarc tgx u du xdxarc tgx dx x arc tgxxxdx dv v x

� � ��

�� 5 5

21 2x t xdx dt� � � � :

22

1 1 1ln ln 11 2 2 2xdx dt t C x C

x t� � � � � �

�5 5

21 ln 12

arc tgx dx xarc tgx x C� � � �5

d)

� ��

1

1 1

1 1

1

sin

sin sin cos

cos cos

cos

cos cos sin

sin sin

cos sin sin

sin cos

2 sin cos1 s2

x

x x

x x

x

x x

x x

x x x

x

x

x

e x dx I

u e e dx du

dv x dx v x dx x

I e x e x dx

I e x dx

u e e dx du

dv x dx v x dx x

I e x e x dx

I e x e x e x dx

I e x x I

I e x x

I e

�

� � �

� � � � �

� � �

�

� � �

� � � �

� �

� � � �

� � �

� �

�

5

55

5

55

5

� �in cosx x�

10. Izra�unati

a)

2

22

: 2 22 4222 2

2 44

x x xx xx dx x dxxx x

x

� �

� �

� � �

� � � � ��

�5 5

73

2

2 4 2 4ln 22 2

dx xx dx dx x x Cx

� � � � � � � ��5 5 5

b) 2

12

x dx Ix x

��

� �5

� �� 2 21 22 0 1 2 2 1 2x x x x x x x x� � � � � � � � � � � � � �

� �� 2

1 / 1 2 02 1 2

x A B x xx x x x

��

� � � �

� � � �1 2 1

1 2x A x B xx Ax Bx A B� � � � �

� � � � �

12 12 13 3

A B

A B A B

� �

� � � � �

2 1 2 1ln 1 ln 23 1 3 2 3 3

dx dxI x x Cx x

� � � � � � �� 5 5

c) � �

� �2

11

x dxI

x x�

��5

� �2 2

11 1

x A B Cx x x x x

��

� �

� � � � 21 1 1x Ax x B x Cx� � � � � � 2 21x Cx Ax Ax Bx B� � � � � �

0 21

1 2

A C AA BB C

� � ��

2

12 2 2ln 2ln 11

dx dx dxI x x Cx x x x

� � � � � � � ��5 5 5

12 ln1

x Cx x

� � ��

d) � � � �

2 2

2 22

2 5 2 1 42 5 1 4 1 4

x x x xdx dxx x x x

� � � � � ��

� � � � � � �5 5

2

1 1 1 14 2 2 2 2

x t dt t xarc tg C arc tg Cdx dt t� � �

� � � � � �� 5

74

e) � �� 21 2 3

dx Ix x x

�� 5

2 2 3 0 4 12 8 0x x D� � � � � � � �

� �22 22 3 2 1 2 1 2x x x x x� � � � � � � � �

� �� 222

1 / 1 2 31 2 31 2 3

A Bx C x x xx x xx x x

��

� � ��

� � � �� 21 2 3 1A x x Bx C x� � � � � � 2 21 2 3Ax Bx Ax Bx Cx A C� � � � � � �

0A B� � 0A B� � 2 0A B C� � � � 5 1A B� � � 3 1A C� �

12

1 11 16 2 ln 16 1 2 3 6

xdxI dx x Ix x x

� ��

� � �5 5

� �'21 2 2

1 11 36 2 2 3 2 2

2 3 6 2 3

x xI dx x x xx x x x

� � ��

� � � �5 5

1 2 2 2

1 2 6 1 2 2 1 46 2 3 6 2 3 6 2 3

x x dxI dx dxx x x x x x

� ��

� � � � � �5 5 5

� �2

2

11 2ln 2 36 3 1 2

x tdxx xdx dtx� �

� � � � � �� 5

� �

22

2

1 2ln 2 36 3 2

dtx xt

� � � � � ��

5

21 2 1ln 2 36 3 2 2

tx x arc tg C� � � � � % �

21 2 1ln 2 36 3 2

xx x arc tg C��

� �21 1 2 1ln 1 ln 2 36 6 3 2

xI x x x arc tg C��

6 1

16

1612

A

A

B

C

�

�

� �

� �

75

11. Izra�unati:

a)

� �3 63

6 5

3 2 3 12 65

3, 2 6

66

Sx tdx x t t dt

x x t tdx t dt

�

� � � % ��

5 5

� �

2 5 7 4

4 3 36 6 61 1

t t t tdt dt dtt t t t t

%� � � �

� � �5 5 5

= 4 3 2 1: 1 11

t t t t tt

!� � � � � �' (�" #

4 3 2

3 2 16 1 6 11 4 3 2

t t tt t t dt t lu tt

! � � � � � � � � � � �� ' (� � " #5

6 6 64 3 2 6 63 2 3 6 ln 12

x x x x x C� � � � � � �

3 2 3 6 63 2 3 6 ln 12

x x x x x C� � � � � � �

b) � �

� �5 5

63 42 36 123 5

2,3 661 6

1 1 6

Sdx t dt t dtx t

t tx x t tdx t dt

�

� � � � ��

5 5 5

� �5 2

3

16 6 6 11 1 1

t dt t dt t dtt t t t

� � � � � �� 5 5 5

2

26 ln 1 3 6 6ln 12t t t C t t t C

!� � � � � � � � � �' (

" #

� �2 6 663 1 6 1 6ln 1 1x x x C� � � � � � � �

3 6 63 1 6 1 6ln 1 1x x x C� � � � � � � �

76

ZADACI ZA VEŽBU:


a) � �3 2 4 3 25 4 35 4 3 5 54 3 2

x x x dx x x x x C� � � � � � � �5

b) 4 3

73 2 6ln7

x x x dx x x x Cx x x

� � �� 5

c) 3 23 2

2 3sin 3 cos 3arcsin1

x dx x x x Cx x

� � � � � ��

� �5

d) 2 sin cos

x xx

x

e e xdx e x Ce

�� 5

e) 3

2

1 sin cossin

x dx x ctg x Cx

�� 5

f) 2

2

1 21

x dx x arctgx Cx

��

�5

g) 2

sin cos cos2 2x x dx x x C � � � ��

�5

h) 3 2 1 1

6 2 ln 2 3 ln 3

x x

x x xdx C�� 5

i) 2 2

cos 2sin cos

x dx ctgx tgx Cx x

� � � �%5


a) 2 4

2

1 23

x x dxx

� �5 b)

3 2 4x xdxx�

5

c) 3

1t

t aa dtt

� ��

�5 d)

2 2

2 3 41 1

dxx xx

� ��

5

e) 2

54cos9 9

t dtt

��

� �5 f) 2ctg x dx%5

g)

13 2 2x x x dxx x

��

5 h) 4

2x dxx

��5

77


a) 2

13 3 3

dx xarctg Cx

� ��5

b) 2

1 3 32 3 3 2 2

dx arctgx Cx

� ��5

c) 2

cos 1 sin4 sin 2 2

xdx xarctg Cx

� �� 5

d) 2

12 2 2

x x

xe dx earctg C

e

� �� 5

e) � �2

1 ln3 ln 3 3

dx xarctg Cx x

� �� 5


a) 2

1 3arcsin3 525 9

dx x Cx

� ��

5

b) � �2

arcsin ln1 ln

dx x Cx x

� ��

5

c) 3 1 3arcsin

ln 3 525 9

x x

x

dx C� ��

5


a) 3 32 1

3x xe x dx e C� �� 5

b) sin sincosx xe xdx e C� � �5

c) 3

4ln 1 ln4

xdx xdxx

�5

d) 2 31cos sin cos3

x xdx x C% � � �5

e) � �

4 5

5

110 24

x dx xarctg Cx

� ��5

f) 2 lnsin ln

dx ctg x Cx x

� � �5

78


a) � �95 2x dx�5 b) 3 4 3x dx�5 c) 4 5

dxx�5

d) 5xe dx�5 e) sin 2x dx5 ; f) 2 1

dxx �5

g) 225 4dx

x�5 h) 2 2

sincos

xa x�5 i) x x

dxe e��5

j) 2 1dx

x x� �5 k) 23 4

dxx�

5 l) 25 2

dxx�

5

m) 2

sin2 cos

x dxx�

5 n) 2

35 ln

dxx x�

5 o) 1

x

x

e dxe �5

p) 22 3x dxx �5 q)

2ln x dxx5 r) 4 1

x dxx �5

s) ctgx dx5 t) 2

3

3 22

x dxx x

��5 v) 3 5 41 x x dx�5

y) � �2sin 1x x dx�5 z) 5sin cosx x dx5 ž) 2

64x dx

x�5

�) 2

4 55

x dxx

��5 �)

43x dx

x�5 �)

2

2 3sinx dx

x5


a) sin sin sinx x dx x x x C� � � �5

b) 5 5

4 lnln5 25

x x xx x dx C� � �5

c) 2 2cos sin 2 cos 2sinx x dx x x x x x C� � � �5

d) 2sin sin 1arc x dx x arc x x C� � � �5

e) � �2 2 2 2x xx e dx e x x C� � � �5

f) ln lnx dx x x x C� � �5

8. Izra�unati:

a) 2 sinx x dx5 ; b) 2 lnx x dx5 ; c) ln ,x x dx R& & �5

d) xxe dx�5 ; e) x arc tgx dx5 ; f) 2x arc tgx dx5

79

g) 2ln x dx5 ; h) 3

ln xdxx5 ; i) 3 cos 2x x dx5

j) � �2 2 5 xx x e dx� �5 ; k) � �2 2 3 xx x e dx�� 5 l) � �2ln 1x dx�5

9. Izra�unati:

a) 3 5 3x x x dx

x x� � �

5 b) ctgx dx5

c) cos sinxe x dx5 d) 22 3

3 5x dx

x x�

� �5

e) ln x dx5 f) 3 sinx x dx5

10. Proveriti da li su ta�ne jednakosti:

a) 2

1 1ln ln 22 2 2

dx x x Cx x

� � � ��5

b) 2

1 3ln6 5 2

dx x Cx x x

��

� � �5

c) 3

3 3ln ln 1 2ln 1x dx x x x Cx x

��

�5

d) � ��

22

1 1 1ln 1 ln 12 4 21 1

xdx x x arc tgx Cx x

� � � � � �� 5

e) � �2

3 2

11 1 2 1ln1 6 1 3 3

xdx xarc tg Cx x x

� ��

� � �5

f) 3 3

2 4 8ln 22 3

x xdx x x x Cx

� � � � � ��5

g) 3 2

2

4 5ln 2 ln 12 2 3 3

x xdx x x x Cx x

� � � � � � �� 5

h) 3

23 2

1 1 1 2 2 1ln 1 ln 13 3 3 3 3

x xdx x x x x arc tgx x

� ��

�5

i) � ��

4 2

2

7 7 222 ln 1 ln 1 ln 22 6 2 31 2

x dx x x x x x Cx x

� � � � � � � � �� 5

80

11. Izra�unati:

a) 3 2

22

x dxx x

��5 ; b)

� �2 1dx

x x �5 ; c) � �

3 2

84 4

x dxx x x

�� 5

d) � �2

2

13 4

xdx

x x�

� �5 ; e) 2

2 6 10x dx

x x� �5 ; f) 3 22dx

x x x� �5

g) � �� 2 2

21 3x dx dx

x x� �5 ; h) � �2

3 2

12

x dxx x x

�

� �5 ; i) � �

2

45 6

x dxx x

�� 5

j) 2

11

x dxx x

�� 5 ; k) 3 1

xdxx �5 ; l) 2 7 13

xdxx x� �5

12. Proveriti:

a) � �ln 121

x xdx x x cx

� � � � ��5

b) 3 34 4

34

4 ln 131

xdx x x Cx

!� � � �' (" #�5

c) 6

6 67 863 6

6 6 16 2 3ln5 71 1

xdx xx x x x Cx x

��

� �5

13. Izra�unati:

a) 3

1x dxx �5 ; b)

2x dx

x �5 ;

c) � �2 1

dxx x� �5 ; d)

� �2

1 21 1x dx

x x� �

� � �5

14. Izra�unati:

a) 25

2x dx

x x�

� �5

b) 2 4 5dx

x x� �5

c) � �� 21 2 2

x dxx x x� � �5

d) 3

1x dx

x�5

81

3. ODRE�ENI INTEGRAL

PRIMERI SA REŠENJIMA: 1. Primenom Njutn-Lajbnicove formule izra�unati:

a) 4 4 43 33

1 1

3 1 81 1 80 204 4 4 4 4xx dx �

� � � � � �5 5

b)

2 12 5 5 538 83 2 8 83 3 3 31 11 1

3 3| | 8 12 5 513

xx dx x dx x�

!� � � � �' (

" #�5 5

� �53 3 932 1 32 15 5 5 !� � � % � �" #

c) 11ln | ln ln1 1

e edx x ex

� � � �5

d) / 3 /3

/ 42/ 4

3 3| 1 1sin 3 4 3 3

dx ctg x ctg ctgx

� ��

� � ! !� � � � � � � � � �' (' (" # " #5

2. Izra�unati:

a) � �3 53 3

2 3

2 1 2 32 1 2 3 5

2

2

x t x tdtx dx dx dt x t t

dtdx

� � � �� % �

�

5 5

= � �4

5 4 43

1 1 1 544 685 3 625 812 4 8 8 8 1

t !% � � � � � �" #

b) 1 3 3

00 0

3 0 0 13 1 1 3 3

tx tx t x t dte dx e edx dt x t� � �

� � �� 5 5

� � � �3 0 31 1 13 3

e e e� � � �

c) 2 29 3

1 1

1 11 122 9 3

x t x tx tdx tdttdx tdt x tx

� � ��

� � �5 5

82

� � � �3 3 33 2 3

11

3 12 1 2 2 3 13 3 3tt dt t

! ! � � � � � � � �' (� �' (

" # �" #5

26 26 6 402 2 23 3 3

� !� � � �' (" #

3. Izra�unati:

a) � �/2 /2/2

00 0sin cos cos

sin cosx u du dx

x xdx x x xdxxdx dv v x

� ��

� ��5 5

/ 220cos 0cos 0 sin sin sin 0 1

2 2x � ��

�

b) � �1

0 1

1 0 1ln 1 ln

1e ex t x t

x dx t dtdx dt x e t e

� � � � ��

� � � �5 5

� � 1 1

lnln |2

eedtt u du dtt t t

tdt dv v t

� ��

� �5

� �1ln 1ln1 1 1 1ee e t e e e e� � � � � � � � � �

4. Izra�unati površinu figure ograni�ene linijama:

a) 22 0y x x y� � �

� �2 2

0

2 320

2

22 3

P x x dx

x x

� �

� ��

5

� �3 314 0 2 0

38 443 3

� � � �

� � �

b) 21 , 2y x y� � � 22 1 x� �

2 1x � 1x � �

� �1 1 2

1 12 1P dx x dx

� �� 5 5

83

31 1

1 12

3xP x x

� �

� � ��

�

� � � �12 1 1 1 1 1 13

P � � � � � ��

2 2 44 2 23 3 3

P � � � � � �

c) y x� � 22y x x� �

22x x x� � � � �1 0,0M

20 3x x� � � �2 3, 3M �

� �0 3x x� �

� � � �3 32

0 02P x x dx x dx� � � �5 5

� �3 2

02P x x x dx� � �5

� �2 33 2 3

003 3 /

2 3x xP x x dx

� � � � ��

�5

� � � �3 19 0 27 02 3

� � �

27 992 2

P � � �

5. Izra�unati:

a)

21 233 3

131 1

3lim lim lim 12 23

b b

b b b

dx xx dx bx

��

$� $� $�

� � � � � ��

�5 5

b) 2 2

2

2

0 0

0 0lim 2

2

bx x

b

x t x txe dx xe dx x dx dt x b t b

dtxdx

��

$��

� � � �

� � � � � � �

� �

5 5

2 2

2

00 0

1 1lim lim lim2 2 2

b bt t t b

b b b

dte e dt e� � �

$�� $� $�

� � � � �� 5 5

� �2

201 1 1 1lim lim 1

2 2 2b

bb be e

e�

$�� $��

� � � � � � ��

84

c) 2 2 11 1

2

lnln lnlim

11

b

b

dxx u dux dx x dx xx x dx xdv v

x x

��

�$�

� � ��

� � � � ��

5 5

1 121

ln lnb ln1 1ln lim1

bb b

b b

x dxx x b x$� $�

� ! ! � � � � � �� ' (' (" # �" #5

11lim 1 1

1b

bb$�

!�' ( � � � �' (� � �' (

" #

6. Izra�unati:

a) � �11 1 12

0 0 0 0

12lim lim / lim 2 1 21

2

xdx x dxx 777 7 7

7� � �

�

$ $ $� � � � �5 5

b) � �

� � � �3 1 32 2 1

20 0 10lim 1 1

1xdx dt

dx x dx x dxx

7

77

� � � ��$

!� � � � �' (" #�5 5 5

1 122 2

1 210 0lim lim

1 1t tt dt t dt

7 7 7

77 7

� �� $ $

! !� � � �' (' (" # � �" #5 5

210 0

1 1 1 1 1lim lim 12t t

777 7 7 7

��$ $

� ! ! � � � � � � � �� ' (' (" # � �" #

0

2 3lim27 7$

!� � �' (" #

c) 1 1 10

lim limln ln ln ln ln

c c b

c cb

dx dx dx dx dxx x x x x x x x x x77

��

�$ $�� 5 5 5 5 5

� �

ln lnb

ln 1 ln0

lnlim lim

c

cb

x tdt dt

dx t tdtx

77 �$ $��

��

� 5 5

� �ln lnb

lnln 10limln / lim ln /c

cc bt t

7 �$ $��

� �0

lim ln ln ln ln 1 lim ln lnb ln lnb

c c7

7$ $�

!� � � � � ! � �" #" #

85

ZADACI ZA VEŽBU: 1. Proveriti:

a) 2

0sin 0x dx

��5 b)

1

20 1 4dx

x�

��5 c)

83

1

454

x dx�

�5

2. Izra�unati:

a) � �

1

32 11 5dx

x

�

� �5 ; b) 0 2cos

5

dxx

�

� � �

5 ; c) 1

20 1

x

x

e dxe�5 ;

3. Izra�unati:

a) 2

0;

lu xxe dx�5 b) 3

0x arc tgx5 ; c)

/ 2 2

0cosx x dx

�

5 ;

4. Izra�unati:

a) 1

0

xe dx5 ; b) 2 2

0x dx5 ; c)

8

31

dxx5 ;

d) � �3 2

11 2 3x x dx

�� 5 ; e)

/ 2

2/ 6

1cossin

x dxx

�

�

�� 5 ;

5. Izra�unati površinu oblasti ograni�enu linijama:

a) 23 6 , 0, 4, 0y x x x x y� � � � �

b) � �22 , 4, 0y x y x y� � � � � �

c) 2 29 , 9y x y x� � � �

d) 23 2 , 0y x x y� � � �

e) ln , , 0y x x e y� � �

f) 3 ,y x y x� �

g) 2 4 , 4y x x y x� � � �

h) 3 , 4y x yx

� � �

86

6. Izra�unati integrale:

a) 32

0

xx e dx�� 5 b)

lne

dxx x

��

5 c) � �

0

2/33dx

x�� 5

d) 21dx

x��

�� 5 e) � �

1

0 2 1dx

x x� �5 f) � �

6

22 3 4

dx

x�5

g) 12

0 lndx

x x5 h) 112 ln

dxx x5

7. Proveriti: 1 3

1

65

x dx�

�5

8. Izra�unati: 1

20 2

x

xe dx

e�5

9. Izra�unati: a) 20

cosx x dx�

5 b) 1

21dx

x�� 5 c) � �

4

22 3

dx

x�5

10. Izra�unati površinu oblasti ograni�enu linijama:

� �22 ,y x� � 4 0y x i y� � �

87

4. DIFERENCIJALNE JEDNA�INE

PRIMERI SA REŠENJIMA: 1. Rešiti diferencijalnu jedna�inu:

� ��

2

2

2

2

2

2

' 1

1

1

1

2

2

y x y

dy x ydx

dy xdxydy xdx

yxarc tg y C

xy tg C

� �

� �

��

��

� �

� ��

�

5 5

2. Na�i ono rešenje diferencijalne jedna�ine 2

2' 01

xyyx

� ��

koje zadovoljava uslov

� �2 1y � .

2

2

2

2

21

212

1

ln ln 1 ln ' , '

dy x ydx xdy x dxy xdy x dxy x

y x C C R

��

��

��

� � � �

5 5

2 2ln 1 ' ln 1 ' ' 2 '1 , ,x C x C C Cy e e e e x C e C R� � � �� % � % � � �

88

2 1y C x� �

� � � �2 21 1 ,y C x ili y C x C R��

i kona�no

� � � �2 1 , ) 0 .y C x C R� � �

je opšte rešenje naše diferencijalne jedna�ine. Zamenom po�etnog uslova

� �2 1y � u dobijenu formulu dobijemo

� �1 2 1 . 1C tj C� % � �

Traženo partikularno rešenje je 2 1.y x� � 3. Odrediti opšti integral slede�ih jedna�ina:

a) � � 0x y dx xdy� � �

� �x y dx xdy� �

x y dy

x dx�

� 1dy ydx x

� �

uvedimo smenu . ' 'y u tj y u x ux

� � �

( )

' 1 ln

1 ln

ln

u x u u u x Cdu y

x x Cdx x

dxdu y x x C

x

+ = + = +

= = +

= = +

b) � � 2x y y dx x dy� �

2

2

xy y dyx dx�

� 2

'y y yx x

� ��

uvedimo smenu . ' 'y ux tj y u x u� � �

2 22'

1ln ln

ln ln

du dx duu u u x u u x

dx x u

x C C Ru

x xx C y

y c x

+

- = + - = = -

+ = Î

= =

89

4. Na�i ono rešenje jedna�ine 2 2

' 0x yyxy�

� � koje zadovoljava uslov

� �1 1y � 2 2

' 'x y x y

y yxy y x+

= - = - -

uvedimo smenu . ' 'y u tj u x u yx

� � �

( ) ( )

2

2

4 42 2 2

2 44 2 2

2 4

1 1 2'

1 21

ln 1 2 ln ln l n 1 2 ln 1 24

1 2 2

du u udu dxu x u u x

n dx u u xC C

u C x u ux x

y Cx x y

x x

++ = - - = - - =

+� ö � ö

+ = - + = + =ç ÷ ç ÷

+ = + =4 4

4 22

2C x

C yx-

=

Iz po�etnog uslova dobijamo

44

4 42

2 2

11 3

23 3

2 2

CC

x xy y

x x

-= =

- -= =

5. Na�i opšte rešenje jedna�ine � �32' 1 , 11

yy x xx

� � � � ��

� � � � � �

� �

� �� 2 2

3

2 231 1

32ln 1 2ln 1

3ln 1 ln 1

2 11

1

1

1

dxdxx x

x x

x x

P x Q x xx

y e C x e dx

y e C x e dx

y e C x e dx

��

� � �

� � �

� � � ��

!5 5� � �' (" # !� � �" # !� � �' (" #

5

5

5

Kako je ln ae a�

90

� � � ��

� � � �

� � � �

2 32

2

22

11 11

1 1

11

2

y x C x dxx

x C x dx

xy x C

!� � � �' (

�' (" # !� � �" #

!�� ' (

' (" #

5

5

6. Odrediti partikularno rešenje jedna�ine 'cos sin 1y x y x� � koje zadovoljava

uslov � �0 1y �

� � � �

lncoslncos lncos

2 2

1 1' , cos 2 cos

1 1 cos cos

cos coscos cos

tg xdx xx x

y y tg x x k k Z P x tg x Q xx x

y e C e dx y e C e dxx x

dx dxy x C y x Cx

� �

� � �

� � � � � � ��

5� � � ��

� � � ��

5 5

5cos cos cos sin 1 0 1

cos sinp

xy C x xtg x C x x C C

y x x

� � �

� � � � � � � � � ��

5

ZADACI ZA VEŽBU: 1. Na�i opšte rešenje jedna�ina

a) ' x yyx�

� �

b) � � 2 0x y ydx x dy� � �

c) 2 2

2' y xy xyx

� ��

d) � �2 3 3xy dy x y dx� �

91

2. Rešiti slede�e diferencijalne jedna�ine, i zatim na�i ono rešenje koje zadovoljava uslov:

a) � �2 02 , 3

3 1dy x ydx y

� ��

b) � �2 1' 1 0 , 3y xy x y� � � �

c) � � � �2 02 , 0ye dy x dx y� � � �

d) � �0' , 11

yy yx

� ��

e) x dy y dx�

f) � �21x y dx x dy� �

3. Odrediti partikularna rešenja slede�ih jedna�ina

a) 2' 0 1

2x yy y za x

x�

� � �

b) ' ln 1 1y yy ako je y za xx x

� � �

c) � �1' 1 , 1yxxy y x e y

� � � ��

�

4. Odrediti opšte rešenje slede�ih jedna�ina:

a) � � � �41 ' 2 1x y y x� � � �

b) 2' 2xy x y� � �

c) 2' 1 0yy xx

� � � �

d) 'cos sin sin 2y x y x x� � 5. Odrediti partikularno rešenje jedna�ine pod datim uslovima:

a) � �2 02' 1

1 1xyy y

x x� � �

� � 2

b) � �2 0' 0 1x xy e y e y� � � �

c) � �2 2' 2 1 1x y xy y� � �

d) � �2 0'cos 0y x tg x y y� � � 6. Na�i opšte rešenje slede�ih jedna�ina:

a) 2' 0yy xyx

� � �

92

b) 3 3' 2 2y xy x y� �

c) 2 2' 2 0xy y x y� � �

d) 32 ' siny y x y� � �

e) ' 3 0y y y y x� � �

7. Reši diferencijlanu jedna�inu � �2 1 0y dx x dy� � �

8. Na�i partikularno rešenje slede�e diferencijalne jedna�ine:

lny yyx x

� ako je 1y � za 1x �

9. Odrediti opšte rešenje jedna�ine:

2 2

2 4' 01 1

xy xyx x

� � ��

93

5. MATRICE I DETERMINANTE

ZADACI SA REŠENJIMA: 1. Izra�unati zbir matrica A i B:

4 1 0 13 2 2 02 6 3 2

A B� � ! !

' ( ' (� �' ( ' (' ( ' (" # " #

� �4 0 1 1 4 23 2 2 0 5 22 3 6 2 5 8

A B� � � � ! � !

' ( ' (� � � � �' ( ' (' ( ' (� � " #" #

2. Matricu A pomnožimo brojem 3.

2 3 2 6 9 60 1 0 3 0 3 01 5 1 3 15 3

A A� � ! !

' ( ' (� � % � �' ( ' (' ( ' (" # " #

3. Izra�unati proizvod A·B ako je:

2 73 2 1

, 3 55 0 3

0 1A B

� !� ! ' (� �' ( ' (" # ' (" #

� � � � � ��

3 2 2 3 1 0 3 7 2 5 1 1 0 3010 385 2 0 3 3 0 5 7 0 5 3 1

AB% � � % � � % % � % � � % ! !

� �' ( ' (�% � � % � % % � % � % " #' (" #

Proizvod BA je tako�e definisan.

94

� � � � � � � ��

2 3 7 5 2 2 7 0 2 1 7 32 73 2 1

3 5 3 3 5 5 3 2 5 0 3 1 5 35 0 3

0 1 0 3 1 5 0 2 1 0 0 1 1 3

BA

� % � % � % � % � % � � % !� !� ' ( !' (� % � % � % % � % % � � %' (' (' ( " # ' (' ( % � % % � % % � � %" # " #

6 35 4 0 2 21 29 4 239 25 6 0 3 15 34 6 180 5 0 0 0 3 5 0 3

� � � � � � ! !' ( ' (� � � � � �' ( ' (' ( ' (� � �" # " #

AB BA�

4. Proveriti na primeru matrice

1 2 12 5 33 0 4

A� !

' (� �' (' (" #

da je IA=AI=A

1 2 1 1 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 1 1 2 12 5 23 0 1 0 2 0 0 0 5 0 0 0 3 2 5 33 0 4 0 0 1 3 0 0 3 0 0 0 0 4 3 0 4

AI� � � � � � � � � ! ! ! !' ( ' ( ' ( ' (� � % � � � � � � � � �' ( ' ( ' ( ' (' ( ' ( ' ( ' (� � � � � �" # " # " # " #

1 0 0 1 2 1 1 0 0 2 0 0 1 0 0 1 2 10 1 0 2 5 3 0 2 0 0 5 0 0 3 0 2 5 30 0 1 3 0 4 0 0 3 0 0 0 0 0 4 3 0 4

IA� � � � � � � � � ! ! ! !

' ( ' ( ' ( ' (� % � � � � � � � � � �' ( ' ( ' ( ' (' ( ' ( ' ( ' (� � � � � �" # " # " # " #

AI IA A� � 5.

a)

2 7 2 2 3 03 5 8 ' 7 5 10 1 3 2 8 3

A A� � ! !

' ( ' (� � �' ( ' (' ( ' (� � �" # " #

b)

3 53 2 1

' 2 05 0 3

1 3A A

!� ! ' (� �' ( ' (" # ' (�" #

6. Izra�unati slede�e determinante:

a) 1 2

1 3 0 2 30 3

� % � % �

b) 2 3

16 12 44 8

� � �

95

c ) � �1 2 4

3 1 2 1 2 32 3 1 1 2 4

5 1 2 1 2 52 5 1

��

� � % � � � ��

�

� � � �� 3 5 2 2 2 4 10 6� � � � � � � � �

� �2 8 4 10 6 10 64 54� � � � % � � � � �

� � � � � � � �

� � � �

1 2 4 1 22 3 1 2 32 5 1 2 5

1 3 1 2 1 2 4 2 5 2 3 4) 1 1 5

1 2 2 3 4 40 24 5 467 13 54

� ��

�

� % � % � � � % % � % % � � % � % %

� � % % � � � � � � �

� � �

7. Izra�unati A-1 za matricu

2 3 26 6 42 1 1

A� � !

' (� � �' (' (�" #

� �2 3 2 2 3

det 6 6 4 6 6 12 24 12 24 8 18 24 14 102 1 1 2 1

A� � �

� � � � � � � � � � � � � ��

1

11 21 31

12 22 32

13 23 33

-6 -4 3 2 3 210 5 0

-1 1 1 1 6 4

6 4 2 2 2 214 6 4

2 1 2 1 6 4

6 6 2 3 2 36 4 6

2 1 2 1 6 6

10 5 01 14 6 410

6 4 6

M M M

M M M

M M M

A�

� � � ��

� � �

� � ��

�

� � ��

� � �

� !' (� � �' (' (�" #

96

8. Rešiti matri�nu jedna�inu AX-A=2X+I

gde je

0 1 22 3 41 0 1

A !' (� ' (' (" #

AX-2X=A+I (A-2I)X=A+I

0 1 2 1 0 0 2 1 22 2 3 4 2 0 1 0 2 1 4

1 0 1 0 0 1 1 0 1B A I

� ! ! !' ( ' ( ' (� � � � �' ( ' ( ' (' ( ' ( ' (�" # " # " #

0 1 2 1 0 0 1 1 22 3 4 0 1 0 2 4 41 0 1 0 0 1 1 0 2

C A I ! ! !' ( ' ( ' (� � � � �' ( ' ( ' (' ( ' ( ' (" # " # " #

1

1 1

1

1

/B B X CB B X B CI X B CX B C

�

� �

�

�

% �

% % � %

% � %

� %

� �2 1 2 2 1

det 2 1 4 2 1 2 4 2 2 61 0 1 1 0

B� �

� � � � � ��

11 21 31

12 22 32

13 23 33

1 4 1 2 1 21 1 2

0 1 0 1 1 4

2 4 2 2 2 26 0 12

1 1 1 1 2 4

2 1 2 1 2 11 1 4

1 0 1 0 2 1

B B B

B B B

B B B

� � � � � � � ��

� ��

� �

� ��

1

1 1 21 6 0 126

1 1 4B�

� !' (� ' (' (� �" #

-1 1 2 1 1 2 3 3 31 16 0 12 2 4 4 18 6 366 6

-1 1 -4 1 0 2 -3 3 -6X

! ! !' ( ' ( ' (� % �' ( ' ( ' (' ( ' ( ' (" # " # " #

97

9. Rešiti sistem koriste�i Kramerove formule: 2

2 3 42 3

x y zx y z

x y z

� � ��

Odgovaraju�e determinante su: 1 1 1 2 1 11 2 3 1; 4 2 3 1;2 1 1 3 1 1

1 2 1 1 1 21 4 3 2 ;2 3 1

x

y z

D D

D D

888888 8888888 88888888 888888888 � 888� 888� � � 8 8888888888888 � � 888� 888� � � 8

888888 888888 88888888 8888888

888888 888888 888888 888888� 888� 888� � 8 8888888888888 �

88888 88888881 2 4 32 1 3888� 888� � � 8888888 888888

Kako je 0D � , sistem ima jedinstveno rešenje:

� � � �, , , , 1, 2,3yx zDD Dx y zD D D

� � ��

Napomena: Rešiti sistem i matri�nom metodom. 10. Za sistem jedna�ina:

2 32 3 13 2 4

x y zx y zx y z

� � ��

imamo 1 2 12 1 3 03 1 2

D888888� 88888888

� 88888888 888888� �888888� 88888�

Ako pažljivo pogledamo, uo�avamo da je tre�a jedna�ina jednaka zbiru prve dve, pa zapravo imamo samo dve a ne tri jedna�ine.

2 3

2 3 1x y z

x y z� � ��

98

Sistem sada možemo zapisati:

2 32 1 3x y z

x y z� � ��

i ovaj sistem ima jedinstveno rešenje jer 1 2

1 4 5 02 1888888�

� � � �888888888

.

3 2

3 2 6 5 51 3 1

2 31 3 6 2 5 5

1 1 3

x

y

zD z z z

z

zD z z z

z

- -= = - + + = +

+

-= = + - + = -

+

� � � �, , 1 ; 1; ,x y z z z z z R� � � 888888 � .

11. Za sistem jedna�ina:

2 12 3 5

2 4

x y zx y z

x y z

� � ��

imamo 2 1 11 2 3 0

1 1 2D

8 888888� 88888888� � 8888888 88888� �

8 888888888 88888�

Ako saberemo prve dve jedna�ine dobijamo 2 6x y z� � � , a kako je tre�a jedna�ina 2 4x y z� � � , i ako od poslednje oduzmemo tre�u dobijamo 0=2, pa sistem nema rešenja.

12. Reši�emo i sistem:

123

ax y zx ay zx y z

� � ��

gde je a realan broj (parametar).

Izra�unajmo odgovaraju�e determinante � �21 ;D a� � � �4 1 ;xD a� �

� �5 1 ;yD a� � � �6 1zD a� � � .

99

Ako je � �21 0 , 1a a� � 8 8888888 � sistem ima jedinstveno rešenje

4 ;1

xa

��

5 ;

1y

a�

�

6 .1

za�

��

Ako je a=1 sistem je nemogu�. 13. Rešiti sistem Gausovim postupkom:

22 3 13 2 2 5

x y zx y zx y z

8888 � � �88 � � � ��

Ako prvu jedna�inu pomnožimo sa -3 i saberemo sa drugom i ako prvu jedna�inu pomnožimo sa 2 i saberemo sa tre�om dobijamo ekvivalentan sistem:

24 74 9

x y zx yx y

� � ��

Ako sada drugu i tre�u jedna�inu saberemo dobijamo: 2

4 72 2

x y zx yx

� � ��

Iz ovog sistema sada dobijamo 1, 2, 1x y z� � 88888 � 88888 � pa je rešenje sistema

trojka � �1, 2,1� . 14. Rešiti sistem:

2 13 2 3 9

5 11

x y zx y z

x z

� � ��

� �

Ako prvu jedna�inu pomnožimo sa -2 i saberemo sa drugom dobi�emo sistem: 2 1

5 115 11

x y zx z

x z

� � ��

Sabiraju�i drugu i tre�u jedna�inu dobijamo: 2 1

5 110 0

x y zx z� � �

� � � ��

100

Iz druge jedna�ine dobijamo 11 5x z� � i zamenom u prvu jedna�inu dobijamo:

� �2 11 5 19 21

z y zy z

� � � �

� �

Zaklju�ujemo da je trojka � �11 5 ;9 21;z z z� � rešenje sistema, pri �emu je z proizvoljan realan broj.

15. Rešiti sistem:

02 2 3 10

3 3 2 9

x y zx y z

x y z

� � ��

� � � �

Ako prvu jedna�inu pomnožimo sa 3 i saberemo sa drugom i ako prvu jedna�inu pomnožimo sa -2 i saberemo sa tre�om, dobijamo:

05 5 10

5 5 9

x y zx y

x y

� � ��

� � �

Ako saberemo drugu i tre�u jedna�inu dobi�emo 0

5 5 100 1

x y zx y� � ��

� �

odakle zaklju�ujemo da je sistem nemogu�.

101

ZADACI ZA VEŽBU:

1. Izra�unati zbir matrica A i B:

a) 1 2 5 1 2 50 2 3 0 3 4

A B� � � ! !

� �' ( ' (� �" # " #

b)

1 2 4 2 4 52 5 0 2 3 23 1 3 2 1 1

A B� � ! !

' ( ' (� � �' ( ' (' ( ' (� � �" # " #

2. Ako je 2 1 3 4 2 28 2 4 0 1 3

A i B� � ! !

� �' ( ' (" # " #

Izra�unati 3A-5B.

3. Ako je

4 0 1 2 0 65 2 0 1 5 33 5 3 3 2 1

A i B� ! !

' ( ' (� � � �' ( ' (' ( ' (�" # " #

Odrediti matricu C tako da je A+C=B


a)

1 2 4 0 1 8 13 0 3 2 3 3 62 1 7 1 1 5 6

� � ! ! !' ( ' ( ' (% � � �' ( ' ( ' (' ( ' ( ' (� �" # " # " #

b)

2 11 2 3 1 0

3 23 2 0 0 1

1 1

� � ! ! !' (% �' ( ' (' (" # " #' (� �" #

c )

1 2 3 1 0 0 7 2 34 5 6 0 1 0 16 5 67 8 9 2 0 1 25 8 9

! ! !' ( ' ( ' (% �' ( ' ( ' (' ( ' ( ' (" # " # " #

102

d)

1 2 3 2 1 6 1 0 243 2 0 3 2 9 0 1 01 1 1 1 1 4 0 0 7

� � � ! ! !' ( ' ( ' (% �' ( ' ( ' (' ( ' ( ' (� � � � � �" # " # " #

Da li su matrice komutativne?

5. Izra�unati AB i BA ako je:

� �

23

1 3 5 207

A i B

� !' (' (� � �' (' (" #

6. Izra�unati:

a)

2 5 3 1 3 2 0

1 0 12 1 5 1

0 2 110 2 7 2

3 1 0

!� ! ' (�' ( ' (%' ( ' (� �

' (� ' (" #" #

b)

5 6 2 1 5 71 3 0 2 3 02 1 4 0 2 0

� � ! !' ( ' (� % �' ( ' (' ( ' (" # " #

c)

0 3 2 5 3 43 0 4 3 5 12 4 0 2 2 3

� ! !' ( ' (% �' ( ' (' ( ' (�" # " #

d)

1 0 2 1 3 23 1 0 2 1 52 4 1 0 1 2

� ! !' ( ' (� % �' ( ' (' ( ' (" # " #

Stepen kvadratne matrice definisan je pomo�u relacija : 0 1 1, , n nA I A A A A A �� %

7. Izra�unati 2 2 2A A I� � ako je 1 11 1

A !� ' (�" #

103

8. Pokazati da je A2=I ako je

1 1 10 1 00 0 1

A� � � !

' (� ' (' (" #

9. Izra�unati A3, ako je

1 2 22 1 22 2 1

A !' (� ' (' (" #

10. Proveriti:

a)

1 1 12 1 1 61 2 2

� � ��

b)

6 1 13 1 1 123 2 2

� � ��

c )

1 1 62 1 3 181 2 3

� � ��

d)

3 4 00 1 2 171 0 3

��

�

e)

2 3 26 6 4 102 1 1

� ��

f)

1 2 31 4 4 1

0 7 8� � �

11. Izra�unati:

a)

1 0 23 1 41 1 8

��

b)

2 3 51 0 12 1 0

c)

3 1 25 0 21 3 1

�

� d)

1 3 12 2 03 1 1

�

�

e)

3 1 12 1 00 1 2

f)

4 0 21 6 3

3 2 2�

�

12. Proveriti:

104

a) 11 4 9 4

2 9 2 1

� � ! !�' ( ' (�" # " #

b)

13 1 1 2 1 112 1 0 4 6 24

0 1 2 2 3 1

� � � ! !' ( ' (� �' ( ' (' ( ' (�" # " #

c) 1 1A A A A I� �% � % � za bilo koju matricu A. 13. Izra�unati inverzne matrice koje su definisane:

a)

1 3 12 2 03 1 1

A� !

' (� ' (' (�" #

b)

3 5 11 0 32 2 1

B !' (� �' (' (�" #

c)

4 1 20 7 81 2 3

C� !

' (� ' (' (" #

d)

2 1 15 4 77 3 6

A� !

' (� �' (' (�" #

e)

1 6 12 3 11 3 2

A !' (� ' (' (" #

f)

1 1 12 4 35 4 1

A !' (� �' (' (�" #

14. Ako je

3 2 11 3 40 1 2

A� !

' (� ' (' (" #

;

2 2 13 1 41 2 2

B !' (� ' (' (" #

proveriti � � 1 1 1AB B A� � �� % . 15. Rešiti slede�e matri�ne jedna�ine:

a)

0 2 12 , 1 3 0

2 4 1AX X A I A

!' (� � � � ' (' (" #

b)

2 1 1 6, 1 3 2 , 9

1 1 4 8B AX X A B

! !' ( ' (� � � �' ( ' (' ( ' (" # " #

105

c)

0 1 2 1 0 12 , 0 2 0 , 2 1 1

1 1 0 0 1 2XA X B A B

! !' ( ' (� � � �' ( ' (' ( ' (" # " #

d)

2 1 1 2, 1 3 1 , 3

1 2 4 5B X AX A B

! !' ( ' (� � � �' ( ' (' ( ' (" # " #

16. Rešiti matri�ne jedna�ine:

a)

1 3 2 1 10 10 2 2 1 3 2 7

3 4 0 0 7 8X

! !' ( ' (� % � �' ( ' (' ( ' (� �" # " #

b)

5 1 5 8 5 23 3 2 3 9 151 2 1 0 0 0

X� � � � ! !

' ( ' (% � �' ( ' (' ( ' (�" # " #

c ) 3 5 5 7 14 19

1 2 6 8 2 10X ! ! !

% % �' ( ' ( ' (� � �" # " # " #

d)

2 4 5 9 1 1 2 18 233 5 7 7 1 1 0 12 15

1 2 3 6 2 1 2 9 11X

! ! !' ( ' ( ' (� � � % % �' ( ' ( ' (' ( ' ( ' (�" # " # " #

17. Izra�unati 2 2 2A A I� � ako je

1 1 1 0 1 0 0 0 1

A� � � !

' (� ' (' (" #

18. Izra�unati 1A� za matricu

1 3 12 2 03 1 1

A� !

' (� ' (' (�" #

106

19. Rešiti matri�nu jedna�inu:

1 3 1 32 2 0 13 1 1 2

AX X B ako je A i B� � ! !

' ( ' (� � � �' ( ' (' ( ' (�" # " #

20. Rešiti sisteme jedna�ina:

a) 2 3 14 2 3 5

1336

x y zx y z

x y z

� � ��

� � � �

b) 0

2 2 3 72 9

x y zx y zx y z

� � ��

� � � �

c) 1

2 5 2 103 2 3 15

x y zx y z

x y z

� � ��

� � � �

d) 2 2 3 113 5 2 19

3 5 20

x y zx y zx y z

� � � ��

� � � �

e) 0

2 2 3 74 9

x y zx y z

x y z

� � ��

� � �

f)

4 2 3 5433 5 26

2 3 1

x y z

x y z

x y z

� � �

� � �

� � �

g) 3 5 2 19

3 5 204 6 4 25

x y zx y zx y z

� � ��

� � �

h) 2 15 4 7 27 3 6 3

x y zx y zx y z

� � ��

i) 4 2 0

7 8 02 3 0

x y zy z

x y z

� � �88888 � ��

j) 2 7 3 03 9 4 0

5 3 0

x y zx y zx y z

� � ��

8 � � �

k) 2 3 23 5 5 35 8 6 5

x y zx y zx y z

� � ��

l) 4 3 2 1

3 5 13 6 9 2

x y zx y zx y z

� � �8 � � �

� � �

m) 4 3 2 0

3 5 03 6 9 0

x y zx y zx y z

� � �8 � � �

� � �

n) 2 23 29 47 4 75 2 5

ax y zx ay zx y az

� � ��

o) 3 5 4

3 29 7 8 0

ax y zx ay zx y az

� � ��

107

p) 4 0

2 3 1 03 2 0

ax y zx yx by

� � ��

q) 2 2

5 2 12 3

ax zx y

x y bz

� ��

� � �

r)

02 2

2 0

x y zx y z

x z

� � ��

s)

111

ax y zx ay zx y az

� � ��

t) 2

1bx y zx by z bx y bz b

� � ��

� � �

108

6. EKONOMSKE FUNKCIJE

PRIMERI SA REŠENJIMA: 1. Izvoz jednog preduze�a se kretao u januaru 12 miliona nov�anih jedinica, u aprilu

15 i u julu 10. Odredit funkciju izvoza 2y ax bx c� � � . Kada �e izvoz biti max.

x y Januar je 1 mesec ( 1, 12 ) April je 4 mesec ( 4, 15 ) Jul je 7 mesec ( 7, 10 ) 2y ax bx c� � � .

1216 4 1549 7 10

a b ca b ca b c

� � ��

1215 3 348 6 2

a b ca ba b

� � � 9,� � � �:,� � � ;

125 118 8

a b ca b

a

� � ��

2

'

2max

4 20 29, 1 5 1 ,9 9 9

29 4 8312 129 9 9

4 29 899 9 98 29 8 29 0 8 29 7,19 9 9 9

4 297,1 7,1 9 33,169 9

a b a

c a b

y x x

y x x x x

y

� � � � � � �

� � � � � � �

� � � �

� � � � � � � � � �

�� % � % � �

2. Data je funkcija tražnje 6 54x p� � � a) Odrediti funkciju ukupnih prihoda b) Odrediti cenu za koju �e ukupni prihodi dosti�i max.

109

2

6 54 6 54 96

9 96 6

xx p p x p

x xP x p x x

��

� � % � % � � � ��

2

21 29 0 54 0 0 54

6x x x x x x�

� � � � � � � � � �

3. Za funkciju tražnje 0, 0,0 bx ap b a b pa

� � 88 � � � � ��

, na�i elasti�nost tražnje,

i karakteristi�nu cenu.

,

, 1

12

x p

x p

c

apEap b

Eap bp

ap b a

��

��

� �� 888�88 �

�

Ona cena za koju je elasti�nost tražnje jednaka 1, zove se karakteristi�na cena. Tražnja je neelasti�na za p< cp , a elasti�na za cp p� u intervalu definisanosti

tražnje 0 bpa

� � � .

4. Promet trgovinskih preduze�a u toku jedne godine kretao se po mesecima u

milionima nov�anih jedinica u martu 9, u maju 21, u avgustu 24. Odrediti funkciju prometa oblika 2y ax bx c� � � i vreme kada �e promet iz rasta pre�i u opadanje.

Mart – 3 mesec 9 miliona nov�anih jedinica Maj – 5 mesec 21 miliona nov�anih jedinica Avgust – 8 mesec 24 miliona nov�anih jedinica

(3,9) (5,21) (8,24)

2

9 3 925 5 2164 8 24

y ax bx ca b c

a b ca b c

� � ��

110

9 3 1 93 325 5 1 25 564 8 1 64 845 192 200 (75 72 320) 437 467

30

0 �

0 � � � � � � � �0 � �

9 9 125 21 164 24 1

189 216 600 (225 216 564) 60

b

b

0 �

0 � � � � � � �

9 3 121 5 124 8 145 72 168 (63 72 120) 285 225 3030

a

a

a

0 �

0 � � � � � � � � �

0 �

609 3 9

25 5 2164 8 24960 4032 1800 (1800 1512 2880) 600600

30 130

2

b

c

c

c

a

b

a

b

0 �

0 �

0 � � � � � � �0 �

0� � � �

0 �0

� �0

2

202 20

' 2 22 2 0

1

cy x x

y xx

x

�

� � � �

� � ��

111

max

max

'' 2 0 max1 2 20

21

yyy

� � ��

5. Za tražnju 2 10x p� � � elasti�nost tražnje je ,2

2 10x ppE

p�

� �.

Tražnja je definisana u intervalu � �0,5 sa karakteristi�nom cenom 2,5cp � . Tražnja je neelasti�na kada cena varira od 0 do 2,5 a elasti�na kada je cena ve�a od 2,5 a manja od 5. Ako je p=3, � �3 1,5E � što zna�i da pove�anje cene sa nivoa p=3 za 1% implicira pad tražnje za 1,5%.

6. Za funkciju tražnje 2x ap bp c� � � elasti�nost tražnje je 2

, 2

2x p

ap bpEap bp c

��

� �.

Za funkciju tražnje 2 16 60x p p� � � elasti�nost tražnje

2

, 2

2 1616 60x p

p pEp p

��

� � .

Tražnja je definisana u intervalu 0<p<6 sa karakteristi�nom cenom elasti�nosti 2,425cp � .

7. Za funkciju tražnje � �0, 0bx ap a b� 88888 � � .

Elasti�nost tražnje je konstantna i jednaka izložiocu � �b� jer

1,

bx p b

pE abp bap

�� .

Numeri�ki, za funkciju tražnje -2,7x=70p elasti�nost je 2,7 što ukazuje da, nezavisno od nivoa cene, tražnja uvek opada za 2,7%, pri porastu cene za 1% sa svakog nivoa iz domena definisanosti.

8. Neka su za proizvod X na dva razli�ita tržišta funkcije tražnje: 1 2 10x p� � � i

22 100x p� � � definisane na intervalima � �0,5 i � �0,10 i redom odrediti

elasti�nost zbira 1 2x x x� � i ispitati u kom je intervalu ukupna tražnja neelasti�na.

1 ,2

2 10x ppE

p�

� � i

2

2

, 2

2100x p

pEp

��

sledi 2

, 2

2 22 110x p

p pEp p

��

� � � za

112

, 1 x pE � bi�e 23 4 100 0p p� � � , za 1 25,43 6,77p i p� 88 8 � � što zna�i da je

ukupna tražnja 2 2 110x p p� � � � neelasti�na u intervalu 0 5,43p� � 9. Na tržištu prisutna su dva potroša�a odre�enog tipa proizvoda sa slede�im

funkcijama tražnje 1 210 2 18 6x p i x p� � � � .

a) Na�i funkciju tražnje � �x f p� , za oba potroša�a i na istom grafiku nacrtati

krive � �1 1x f p� , � �2 2x f p� i � �x f p� uz odre�ivanje njihovih oblasti definisanosti i karakteristi�nih ta�aka.

b) Ako je cena p=2, kolike �e biti odgovaraju�e tražnje i odgovaraju�e vrednosti elasti�nosti za 1 2, ?x x i x

c) Dati interpretaciju dobijenih rezultata svake od te tri elasti�nosti.

� � � �1 1 110 2 10 ; 0 ; 0 ; 5x p x p x p� � � � � � �

Oblast definisanosti ove funkcije je:

10 5 10 0p x� � � �

� � � �2 2 218 6 18 ; 0 ; 0 ; 3x p x p x p i� � � � � � � oblast definisanosti

20 3 18 0p x� � � � a) Funkcija tražnje je

1 2

1

28 8 0 310 2 3 5

x x p px

x p p� � � � �)

� * � � � �+

Na tržištu su do cene 3p � prisutna oba potroša�a, a od cene p>3 samo prvi potroša�.

b) Za cenu p=2, vrednosti odgovaraju�ih elasti�nosti tražnji su

� ��

1

2

2 10 2 2 6

2 6

2 12

x

x

x

� � % �

�

�

, 'x ppE xx

� � %

113

� �

� �

� �

1

2

,

,2

,2

2 2 2 42 0,6%10 2 10 2 10 2 2 62 126 2%6 62 168 1,3%

12 12

x p

x

x

p pEp p

E

E

%� � � � � � �

� � � %

� � % � � �

� � % � � �

c)

1 ,2 0,6xE =

Ako cenu p=2 pove�amo za 1% tj. na 2 1,01 2,02p � % � tada �e tražnja

opasti za 0,6% tj. sa nivoa � �1 2 6X p � � na nivo � �*1 2,02 5,96.X p � �

2 ,2 2xE � . Ako cenu pove�amo za 1% tražnja �e opasti za 2% tj. sa nivoa

� �2 2 6x � na nivo � �2 2,02 5,88.x � Ako cenu pove�amo za 1% tražnja �e

opasti za 1,3%, tj. sa nivoa � �2 2 12x � na nivo � �2,02 11,84.x � 10. Date su funkcije tražnje 2

1 20 100x p p� � � i 22 4 400x p� � �

� �0 10p� � .

Elasti�nost je 1 ,

210x ppE

p� �

� i

2 1 2

2

, , , ,2 2

8 804 400 4 400x p x p x p x p

p pE E E Ep p

� � � � ��

11. Na tržištu odre�enog tipa robe nalaze se samo dva prodavca sa pojedina�nim

zakonima ponuda 1 2y p� � � i 2 2 0,4y p� � � i funkcijom tražnje

6 0,6x p� � . a) Formirati funkciju tržišne (zajedni�ke) ponude y=g(p). b) Proanalizirati algebarski, tabelarno i grafi�ki elasti�nost tržišne tražnje u

odnosu na cenu. a) 1 12 2 0y p p y� � � � � ��

2 22 0,4 5 0y p p y� � � � � �� Funkcija tržišne ponude je

� � 1

1 2

2 ; 2 54 1,4 ; 5

y p py g p

y y p p� � � � �)

� � * � � � � � � ��+

114

Na tržištu je za cenu 2 5p� � prisutan samo prvi prodavac, a za cenu 5p � na tržištu su prisutna oba prodavca.

b) 6: 6 0

10D p� �

� �,0,6' 0,6

6 0,6 6 0,6x pp p pE xx p p

�� % � � �

� �

,

,

0 0

1 5

0,6 1 , 0,6 6 0,6 , 1, 2 6 , 56 0,66 0,6 0 , 10

x p

x p

E kada je pE za p

p p p p ppp p

� �

� � �

��

��

Ex,p=0 p=0 x=6

E<1 5>p>0 3<x<6E=1 p=5 x=3E>1 10>p>5 0<x<3

E$� p$10 x=0 12. Funkcija grani�nih prihoda ' 4 140P x� � � . Odrediti cenu po kojoj �e preduze�e

ostvariti najve�u dobit koja je funkcija prose�nih troškova 303 60C xx

� � � , i

neka je (0) 0P � .

' 4 140

4 140

P xdp xdx

� � �

� � �

2

( 4 140)

( 4 140)

2 140

dp x dx

dp x dx

P x x

� � �

� � �

� � �

5 5

115

2

2

0

3 60 30

5 80 30' 10 80

10 80 08

C C x C xD P CD x xD x

xx

� % � � � ��

� � � ��

� � ��

2 14016 140

124

PP x p px

p xpp

� % � �

� � ��

max

max

5 64 640 30930

DD

� � % � ��

13. Funkcija grani�nih prihoda 40008

dP xPdx

� � � � . Odrediti funkciju tražnje

(integracionu konstantu na�i iz uslova (0) 0P � ).

2

2

40008

40008

400016

(0) 0 0

400016

xdP dx

xdP dx

xP x A

P AxP x

� � ��

� � ��

� � � �

� � �

� � �

5 5

14. Na tržištu odre�enog tipa robe nalaze se samo dva potencijalna kupca sa

odgovaraju�im individualnim zakonima tražnje 1 26 0,6 10 2 .x p i x p� � � �

a) Formirati funkciju zajedni�ke (tržišne) tražnje x =f(p) oba kupca i na istom grafiku nacrtati odgovaraju�e krive za 1 2,x x i x

b) Prona�i cenu (zaokruženu na ceo broj) kod koje se maksimizira ukupan prihod svih prodavaca na tržištu. Kolike su tada odgovaraju�e vrednosti 1 2,x x i x .

1 1

2 2

6 0,6 ; 0 10 6 010 2 ; 0 5 10 0

x p p xx p p x

� � � � � ��

116

a) Funkcija tržišne tražnje je:

� � 1 2

1

16 2,6 , 0 56 0,6 , 5 10

x x p px f p

x p p� � � � �)

� � * � � � �+

Na tržištu su do cene 5p � prisutna oba potroša�a a od cene 5<p<10 samo prvi potroša�

b) � ��

2

2

16 2,6 16 2,6 0 5

6 0,6 6 0,6 5 10

p p p p pP p x

p p p p p

) � � � � �,� % � *% � � � � �,+

16' 16 5,2 0 3 '' 5, 2 05, 26' 6 1, 2 0 5 '' 1, 2 0

1, 2

P p p P

P p p P

� � � � � � � � �

� � � � � � � � � �

� ��

2max

2max

3 16 3 2,6 3 48 23,4 24,6

5 6 5 0,6 5 30 15 15

P

P

� % � % � � �

� % � % � � �

Maksimalan ukupan prihod se postiže za cenu 3pp � i iznosi P=24,6

� ��

1

2

3 6 0,6 3 4,2

3 10 2 3 4

3 8,2

x

x

x

� � % �

� � % �

�

117

15. Na tržištu prisutna su dva potroša�a odre�enog proizvoda sa odgovaraju�im zakonima tražnje:

1 24 5 0,5 .x p i x p� � � � a) Prona�i funkciju tražnje x =f(p) za oba potroša�a zajedno i na istom grafikonu

nacrtati odgovaraju�e krive tražnje 1 2,x x i x uz algebarsko odre�ivanje njihovih oblasti definisanosti i karakteristi�nih ta�aka.

b) Prona�i funkciju ukupnog prihoda � �pP p� svih prodavaca tog proizvoda na

posmatranom tržištu. c) Algebarski, tabelarno i grafi�ki odrediti elasti�nost

1 ,x pE .

1 1

2 2

4 ; 0 4 4 05 0,5 ; 0 10 5 0

x p p xx p p x

� � � � � ��

a) Funkcija tržišta tražnje je:

� � 1 2

2

9 1,5 ; 0 45 0,5 ; 4 10

x x p px x p

x p p� � � � �)

� � * � � � �+

b) � ��

21

22

9 1,5 9 1,5 ; 0 4 ;

5 0,5 5 0,5 ; 4 10 ;

p p p p p DP p x

p p p p p D

) % � � � � �,� % � *% � � � � �,+

� ��

� �

2

10

20

0 4 9 1,5 9 1,5 0' 9 3 0 3

' 5 0 5

p P p p p pP p p D

P p p D

� � � % � � � �

� � � � � �

� � � � � �

Maksimalan prihod � �maxP se postiže za cenu 3.p �

� � � ��

� � 2

0 01 2

3 3 9 1,5 3 13,5

1 7,5

2 12

4 12

4 10 5 0,5 5 0,5 0 ' 5 0

0 10 5

P p

P

P

P

p P p p p p P p

p p p

� � � % �

�

�

�

� � � % � � � � � � �

� � �

118

� � � ��

5 5 5 0,5 5 12,5

6 6 5 0,5 6 12

7 10,5

8 8

9 4,5

P P

P

P

P

P

� � � % �

� � % �

�

�

�

c) � �1

1,1

14 4px

p p pE xx p p� �

� % � % � ��

1

1

,

,

,

0 0

1 0 2

1 , 44

4

4 0 4

x p

x p

x p

E kada je pE za p

p p pp

E za p

p p

� �

� � �

� � � ��

$ ��

� � � �

Ex1,p=0 p=0 1x =4

0<E<1 2>p>0 2< 1x <4

E=1 p=2 1x =2

E>1 4>p>2 0< 1x <2

E$� p=4 1x =0 16. Prededuze�e proizvodi jednu vrstu robe X sa funkcijom ukupnih troškova

23 35000000C x� � gde je x mese�na proizvodnja i 150002px � � � funkcija

tražnje i p cena jednog proizvoda. Odrediti:

a) Interval rentabiliteta

b) Dobit pri proizvodnji od 2000 proizvoda

c) Optimalnu proizvodnju i maksimalnu dobit

d) Kolika je dobit pri minimalnim prose�nim troškovima?

119

a)

2

2

1

2

2 300002 30000

5 30000 35000000 015854414

p xP x xD P C x xxx

� � �

� � �

� � � � � � ��

Dobit je pozitivna pri proizvodnji od 1585 do 4414 proizvoda. b) � �2000 5000000D � pri 26000p �

c)

� �0

max

' 10 30000 0 3000'' 10 0 3000 10000000

D x xD D

� � � � 88888�88888 �

� � � 88888�88888 �

d)

350000003

35000000' 3 0

C xx

Cx

� �

� � �

� � � ��

min

3416'' 3416 0 '' 3416 20494

3416 8902720

xC C

D

�

� 88888888�8888888 �

�

17. Na tržištu potpune konkurencije prisutna je cena p=108 dinara odre�enog

proizvoda “X”. Individualni proizvo�a� tog proizvoda ima odgovaraju�u funkciju prose�nih troškova

10050 4C x

x� � �

gde je x koli�ina njegove proizvodnje – ponude. a) Prona�i funkcije: ukupnog, grani�nog i prose�nog prihoda i funkciju ukupnih

troškova. b) Na istom grafikonu nacrtati krive ukupnog prihoda i ukupnih troškova, uz

izra�unavanje njihovih karakteristi�nih ta�aka. c) Algebarski, tabelarno i grafi�ki odrediti elasti�nost ukupnih troškova u odnosu

na koli�inu proizvodnje x.

120

a) 100108 . 50 4p din C x

x� � � �

2

108 , ' 108 , 108 ' 108

50 4 100

P p x x P P P P p din

C C x x x

� % � � � � � �

� % � � �

b)

24 50 100C x x� � �

� � � � � � � �

2

2

1,2

1 2

100 , 0' 8 50 0 0

108 4 50 1004 58 100 0

29 841 400 29 214 4

2 12,52 2 216 , 12,5 12,5 1350

C xC x za xP C x x x

x x

x

x xP C P C

� �� < �

� � � �

� � �

� � ��

� �

� � � �

c) 2

, 2

' 50 8 50 8' 100 50 4 10050 4C x

x C x x xE CC x xC x

x

� �� % � � �

� ��

2

,

2 2 2

0 , 50 8 0 , 0

1 , 50 8 50 4 100 , 25 , 5C sE x x x

E x x x x x x

� � � �

� � � � � � �

2

2

50 8 50 16 16lim lim lim 250 4 100 50 8 8x x x

x x xx x x$� $� $�

� � � � � � � � ��

Ec,x=0 x=0 C=100

0<E<1 0<x<5 100<C<450

E=1 x=5 C=450

1<E<2 5<x<+� 450<C<+�

E$2 x$+� C$+�

121

18. Data je funkcija tražnje x=10-0,5p

a) Prona�i nivo proizvodnje xp za koji se postiže maksimalan ukupan prihod P i utvrditi njegov iznos.

b) Proanalizirati elasti�nost ukupnog prihoda P u odnosu na x i rezultate predstaviti tabelarno i grafi�ki.

c) Grafi�ki predstaviti funkcije tražnje, ukupnog prihoda i grani�nog prihoda. a) 10 0,5x p� �

� ��

2

20 220 2 20 2

' 20 4 0 ; 5 ; 5 50p p

p xP p x x x x x

P x x P x

� �

� % � � % � �

� � � � � �

b) � � � �,

20 4' 20 420 2 20 2p x

x x xE P xP x x x

�� % � % � �

� % �

,20 4

1 ; 1 ; 20 4 20 2 ; 020 2p x

xE x x x

x-

< < - < - >-

,

,

1 0

0 ; 20 4 0 ; 5p x

p x

E za xE x x

� >= - = =

Ep,x=1 x=0 p=0

0<E<1 5>x>0 50>p>0

E=0 x=5 p=50

Ec,x

2

1

5 x

122

c) 20 2p x

p x P px×

= - = =

( )

( )( )( )

1 2

20 20 0 , 10

' 20 4' 0 20' 5 0' 10 20

P x xP x xP xPPP

= -= � = == -

=== -

19. Data je funkcija tražnje x=20-0,5p

a) Na�i px za koju se postiže maksimalan prihod P

b) U oblasti definisanosti tražnje na istom grafiku nacrtati krive , ',P P P

c) Analiti�ki, tabelarno i grafi�ki obraditi elasti�nost ukupnog prihoda P u odnosu na tražnju x.

123

a) Prvo �emo formirati funkciju tražnje, a zatim funkciju ukupnog prihoda:

� �

� ��

2

0

2max

40 2 40 2 40 2' 40 4 0 10'' 10 4 0

10 40 10 2 10 200

p x P p x x x x xP x pP

P P

� � � % � � % � �

� � � � �

� � �

� � � % � % �

b) 40 2 , 0 20 , 40 0p x x p� � � � � � oblast definisanosti tražnje.

� � � �21 240 2 , 0 , 20 , 10 , 10 200

' 40 4

o o eP x x x x x x pP x

� � � � � �

� � c)

,' 40 4'

40 2p xx P xE PP xP

�� % � �

�

,1 40 4 40 2 , 1 0

0 , 40 4 0 , 10p p x

p

E x x E za xE x x

� � � � � < �

� � � �

Ep=1 x=0 P=0

0<E<1 10>x>0 200>P>0

E=0 x=10 P=200

124

20. Data je funkcija tražnje p=20-2x

a) Prona�i nivo proizvodnje x kod koga se postiže maksimalan ukupan prihod P i utvrditi njegov iznos.

b) Algebarski, tabelarno i grafi�ki analizirati elasti�nost ukupnog prihoda P u odnosu na nivo proizvodnje x.

c) Na grafikonu nacrtati funkcije: tražnje, ukupnog prihoda i grani�nog prihoda, uz prikaz odgovaraju�e algebarske analize.

a) � � 220 2 20 2P p x x x x x� % � � % � �

� �

' 20 4 0 5' 4 0 max

5 50

P x xPP x

� � � � ��

� �

Maksimalan ukupan prihod se postiže za nivo proizvodnje x=5 i iznosi 50.

b) ,' 20 4'

20 2p xx P xE PP P x

�� % � �

�

za 0 5x� � funkcija P raste za 5 10x� � funkcija P opada

,20 4 1 ; 20 4 20 2 . 020 2p x

xE x x tj xx

��

�

Ep,x=1 x=0 P=00<E<1 5>x>0 50>P>0

E=0 x=5 P=50

125

c) 20 2 20 10o op x p x� � � �

� �

21 220 2 0 10

' 20 4 0 5 5 50'' 4

P x x x xP x x PP za x D

� � � �

� � � � �

� � < �

21. Na tržištu odre�enog tipa robe prisutna su dva proizvo�a�a sa zakonima ponude

1 21 0,5 4y p i y p� � � � � �

a) Prona�i zakon ukupne (tržišne) ponude y=g(p) i nacrtati odgovaraju�e krive ponude 1 2, ,y y y uz odre�ivanje oblasti definisanosti i karakteristi�nih ta�aka.

b) Analizirati elasti�nost ukupnog prihoda u odnosu na cenu. Funkcija tražnje je 5 0,5 , : 0 10x p D p� � � �

1 1

2 2

1 0,5 , 2 04 , 4 0

y p p yy p p y

� � � � � ��

Zakon tržišne ponude je:

� � 1

1 2

1 0,5 , 2 45 1,5 , 4

y p py y p

y y p p� � � � �)

� � * � � � � � � ��+

126

� � � ��

1 2

1 2

1 2

1 0,5 4 65 1,5 5 1

10 4 10 6

y yp p p

y y

y y

��

� �

� �

b) � � 25 0,5 5 0,5 ' 5P p x p p p p P p� % � � � � � �

� � � �,

,

5' 55 0,5 5 0,5

51 , 1; 5 5 0,5 05 0,5

1 0

p p

p p

p p pE P pP p p p

pE p p pp

E za svako p

�� % � % � �

� �

��

��

E>1 ne dolazi u obzir zbog toga što je tada cena p<0

51 , 1 , 5 0,5 5 , 1,5 10 , 6,67

5 0,50 5 0 , 5

5 0,5 0 , 10

pE p p p pp

E za p pp p

��

��

Ep,p=1 p=0 P=00<E<1 5>p>0 12,5>P>0

E=0 p=5 P=12,5

127

22. Poznata je funkcija tražnje 20,6 12 60x p p� � � i funkcija ponude

10 5y p� � �

a) Prona�i cenu pp kod koje se postiže maksimalan ukupan prihod i izra�unati odgovaraju�e vrednosti tražnje, ukupnog prihoda i ponude za tu cenu.

a) � �2 3 20,6 12 60 0,6 12 60P p x p p p p p p� % � � � � � �

2

1,2

1 2

' 1,8 24 60 0

12 144 1,8 60 12 61,8 1,8

10 103

P p p

p

p p

� � � �

� � % ��

� �

Definisanost tražnje ' 1, 2 12 0x p� � � � 10p �

Cena kod koje se postiže maksimalan ukupan prihod je 103pp � jer se cena p=10

nalazi van oblasti definisanosti.

210 10 10 20,6 12 60 263 3 3 310 80 10 800 8883 3 3 9 9

10 10 210 5 63 3 3

x

P

y

� % � � �� % � ��

128

23. Za funkciju tražnje � �25x p� � odrediti funkciju grani�nih prihoda i elasti�nost ukupnih prihoda.

P p x� %

� � � � � ��

� �

2' 5 2 5 5 3 53 5

5

P p p p p ppE pp

� � � % � � � �

��

�

na primer za 23

p � grani�ni prihod 2' 133

P ��

a � � 0,7E P � što zna�i da

relativno malo pove�anje cene sa nivoa 23

pove�ava prihod približno za 13

nov�anih jedinica na jedini�nu promenu cene, odnsno relativno malo procentualno

pove�anje cene sa nivoa 23

povla�i porast prihoda za 0,7% pri porastu cene za

1%. 24. Poznata je funkcija grani�nog prihoda P’=16-4x. a) Prona�i funkciju ukupnog i prose�nog prihoda. b) Na istom grafikonu nacrtati krive ukupnog, grani�nog i prose�nog prihoda, uz

algebarsko odre�ivanje karakteristi�nih ta�aka. c) Algebarski, tabelarno i grafi�ki odrediti elasti�nost ukupnog prihoda u odnosu na

tržišnu tražnju x.

a) � � 2

0 0

' 16 4 16 2 ; 16 2x x PP P dx x dx x x P x

x� � � � � � � �5 5

� �

� � � ��

2

1 2

16 2 16 20 8

' 16 4 0 , 44 4 16 2 4 32

0 8 0

1 7 1 16 2,1 14

2 6 2 16 2,2 24

3 5 3 16 2,3 30

P x x x xx xP x xP

P p

P p

P p

P p

� � � �

� ��

� � % �

� �

� � � �

� � � �

� � � �

32

16

1 4 8

p'

x

p

p=p

129

c) � �2

16 4, ' 16 416 2 16 2

x x xEp x P xP x x x

�� % � % � �

� �

16 41 , 1 , 16 4 16 2 , 016 2

1 0

xE x x xx

E za svako x

��

��

Ep,x=1 x=0 P=00<E<1 4>x>0 32>P>0

E=0 x=4 P=32

25. Funkcija grani�nih troškova je ' 5020xC � � . Odrediti:

a) Funkciju ukupnih troškova iz uslova (0) 700C � . b) Koli�inu pri kojoj su troškovi najmanji.

a) ' 5020xC � �

2

5020

5020

5020

5040

(0) 700700

dC xdx

xdC dx

xdC dx

xC x A

CA

� �

� ��

� ��

� � �

��

5 5

2

50 70040xC x� � �

130

b) ' 5020xC � �

50 0

201000

x

x

� �

� �

26. Za funkciju troškova 20,01 20 900C x x� � � odrediti proizvodnju za koju su

prose�ni troškovi jednaki grani�nom.

2

9000,01 20

' 0,02 20'

9000,01 20 0,02 20

0,01 900300

C xx

C xC C

x xx

xx

� � �

� �

�

� � � �

��

Za proizvodnju 300x � minimalni prose�ni jednaki su grani�nim ukupnim

� � � �min 300 ' 300 26C C� � nov�anih jedinica. Prose�ni troškovi opadaju pri

proizvodnji manjoj od 300 a rastu pri proizvodnji ve�oj od 300. 27. Za funkciju troškova 20,01 20 900C x x� � �

a) Odrediti elasti�nost ukupnih i prose�ih troškova i proveriti vezu izme�u njih. b) Odrediti elasti�nost ukupnih i prose�ih troškova pri proizvodnji od 200.

� �

2

2

2

2

0,02 200,01 20 900

0,01 900 10,01 20 900

200 0,91

c

c

c

x xEx x

xEc Ec Ex x

E

��

� �

��

� ��

što zna�i da se ukupni troškovi uve�avaju za 0,91% pri pove�anju proizvodnje sa nivoa 200 za 1%.

� �200 0,09Ec � � što zna�i procentualno smanjenje prose�nih troškova za 0,09% pri pove�anju proizvodnje za 1% sa nivoa 200.

131

28. Data je funkcija ukupnih troškova 25 320C x� � . Pokazati da su minimalni prose�ni troškovi jednaki grani�nim ukupnim troškovima.

2

2

5 320 3205

320' 5 0

C xC xx x x

Cx

��

� � �

ako je

� �

� � � � � �

2

3

min

min

320 645

8320'' 2 0 8

8 80' 10' 8 80 8 ' 8 80

x

x

C za xx

CC xC C C

� �

�

� % � 88888 88888 � 8888

�

�

� 88888�88888 � �

29. Data je funkcija ukupnih troškova 22,45

462, 2xC

x�

�.

a) Odrediti elasti�nost ukupnih i prose�nih troškova pri proizvodnji od 1000. b) Kolika je elasti�nost prose�nih troškova ako proizvodnja poraste od 400 na

1200 jedinica? a)

� ��

462, 2462,2

1000 0,32

1000 0,68

c

c

Ex

E

Ec

��

�

� �

b)

� � � �1200 400 0,38Ec Ec� �

30. Neka je vreme �ekanja jednog servisa t, a ukupni troškovi po jedinici kapaciteta

9C tt

� � .

a) Odrediti minimum te funkcije troškova. b) Izra�unati odgovaraju�e vrednosti za razli�ito t.

132

� �

2

2

2

9' 1 0

9 09

318'' 3 027

Ct

ttt

C

� � �

� �

��

� �

sledi

� �min 3 6C �

što zna�i da je najkra�e vreme �ekanja 3 vremenske jedinice.

t 1 2 3 4 5 C 10 6,5 6 6,25 6,8

31. Na tržištu poznata je prodajna cena odre�enog proizvoda p=7,5 din i funkcija

ukupnih troškova odre�enog proizvo�a�a 26 1,5C x� � a) Formirati funkciju prose�nih troškova, prona�i najekonomi�niji nivo proizvodnje

i cenu takve proizvodnje. b) Formirati funkciju prose�nog prihoda proizvo�a�a tog proizvoda. a) 27,5 6 1,5p C x� � �

26 1,5 6 1,5C xC x

x x x�

� � � �

� �

' 22

min3

6 1,5 0 , 4 , 2

12'' 0 2

eC x xx

C Cx

� � � � � �

� � �

Najekonomi�niji nivo proizvodnje se postiže sa 2ex � .

� � � �2 6 , 6eeC x C C� � � �

b) 7,5 7,5P p x x P p din� % � � �

133

32. Poznato je da na tržištu proizvodnja x jednog pojedina�nog prodavca nema uticaja na menjanje tržišne cene p. Neka je evidentna tržišna cena p=5din. i funkcija ukupnih troškova pojedina�nog prodavca 24,5 0,5C x� � a) Prona�i nivoe nerentabilne, rentabilne i grani�no rentabilne proizvodnje. Za

najrentabilniji nivo proizvodnje izra�unati odgovaraju�e vrednosti ukupnih troškova, ukupnog prihoda, prihoda, grani�nog prihoda i dobiti.

b) Analizirati elasti�nost ukupnog prihoda u odnosu na njegovu proizvodnju x, objasniti ekonomsko zna�enje rezultata.

c) Na istom grafiku nacrtati krive: , , ', ,p p p C i D za vrednosti 0 10x� � uz analize.

25 4,5 0,5p C x� � �

a)

5P p x x� % � 2 25 4,5 0,5 0,5 5 4,5D P C x x x x� � � � � � � � �

� �

� �

2

21,2

1 2

2

max

0,5 5 4,5 0 / 2

10 9 0 , 5 25 9 5 4

1 , 90,5 5 4,5

' 5 0 5'' 1 0 5 8

r

r

D x x

x x x

x xD x xD x xD D x

� � � � � % �

� � � � � � � �

� �

� � � ��

� � � � � �

Najrentabilniji nivo proizvodnje je 5rx �

� �5 5 5 25P � % �

(5) 4,5 0,5 25 17C � � % � ' 5

5

P

P

�

�

� � � � � �5 5 5 8D P C� � �

� � � �0 0 ;1 9 ; ,D za x� � � �� intervali nerentabilne proizvodnje 0 0

1 20 1 9,D za x x� � � nivoi grani�no rentabilne proizvodnje

134

� �0 1; 9D za x� � , interval rentabilne proizvodnje

b) 5P x� %

, ' 5 1%5p x

x xE PP x

� % � % �

Ako se x promeni za 1% i ukupan prihod �e se promeniti za 1%. To je slu�aj indiferentne (jedini�ne) elasti�nosti. c) � � � � � �5 0 0 ; 5 25 ; 10 50P x P P P� � � � �

� ��

2

2

' 54,5 0,5

0 4,5

1 5

5 17

9 45

10 54,5

0,5 5 4,5

P P pC xC

C

C

C

C

D P C x x

� � �

� �

�

�

�

�

�

� � � � � �

� ��

0 4,5

1 0

5 8

D

D

D

� �

�

�

� �� 9 0

10 4,5

D

D

�

� �

33. Data je funkcija tražnje p=9-1,5x i funkcija ukupnih troškova C=6+1,5x

a) Prona�i funkciju ukupnog prihoda P=P(x) i na istom grafiku nacrtati funkcije

p=p(x), C=C(x) i P=P(x);

b) Odrediti intervale nerentabilne, rentabilne i najrentrabilnije proizvodnje.

c) Odrediti funkciju ukupne dobiti D=D(x).

a) 9 1,5 , 6 1,5p x C x� � � �

� � 29 1,5 9 1,5P p x x x x x� % � � % � �

45

54,5

-4,5

C P

1 5 9 10

D P=P'=p=5

135

� � � ��

� ��

0 0

2

0 01 2 max

9 1,5 0 5 9 09 , 6

9 1,5 , ' 9 3 0 3 '' 3 0

0 , 6 , 3 3 9 1,5.3 3 13,5

2 4 12

1 5 7,56 1,5

0 6

3 10,5

6 15

ee

p x x pp xP x x P x x Px x x P P

P P

P PC xC

C

C

� � � � � �

� �

� � � � � � � � � �

� � � � � � � % �

� �

� �

� �

�

�

�

136

b) 2 29 1,5 6 1,5 1,5 7,5 6D P C x x x x x� � � � � � � � � � 2

0 01 2

1

0 1,5 7,5 6 01 , 4

' ' ' 0 , ' 3 7,5 0 , 2,5

D x xx x

D P C D x x

� � � � �

� ��

� � � �0 0 ;1 4 ;D x� � � �� Intervali nerentabilne proizvodnje

0 01 20 1 4D x x� � � Nivoi grani�ne rentabilne proizvodnje

� �0 1;4D x� � Interval rentabilne proizvodnje

2,5rx � Najrentabilniji nivo proizvodnje.

c) 21,5 7,5 6D P C x x� � � � � �

� ��

2max 2,5 1,5.2,5 7,5.2,5 6 3,375

1 4 0

2 3 3

0 6

D D

D D

D D

D

� � � � � �

� �

� �

� �

34. Za neki proizvod funkcija prose�nih prihoda je 300 2P p x� � � , funkcija ukupnih

troškova je 2C x� .

Odrediti: a) Funkciju ukupnih prihoda; b) Funkciju grani�nih prihoda; v) Funkciju grani�nih troškova; g) Dobit, d) koli�inu proizvoda za koju �e dobit biti maksimalna; �) pokazati da se to rešenje može dobiti i iz relacije ' 'P C� . Odrediti: cenu, ukupan prihod, ukupne troškove, i maksimalnu dobit.

a) 2

2

300 2

300 2

p xC xP x p P x x

� �

�

� % � � �

b) ' 300 4P x� �

v) ' 2C x�

137

g) 2 2

2

2 3003 300

D x x xD x x

� � � �

� � �

d)

' 6 3006 300 0

50'' 6 0max

D xx

xD

� � ��

�)

' ''300 4 2300 6 50

300 100200

P Cx xx x

pp

��

� ��

2 2

max

max

50 200 1000050 2500

10000 25007500

PC xDD

� % �

� � ��

35. 20 xP e�� je funkcija prose�nog prihoda a 1Cx

� je funkcija prose�nih troškova

nekog proizvoda. Odrediti potreban i dovoljan uslov za maksimalnu dobit

'

1

1max

20 201 1

20 120 20

20 20 020 0 1 0 1

20 2020 7,33 , potreban uslov je da cena bude 7,33.2,73

( ) 20 1 7,33 1 6,33

''

x x

x

x x

x x

xo

o o

o

P p e P xp P xe

C C x C xx

D P C xeD e xe

e xee x x

p e pe

D x eD

� �

�

� �

� �

�

�

�

� � % � � � �

� % � � % �

� � � �

� �

� �

� � � � � �

� � � �

� � � � �

�1

(1)

20 20 20'' 40 20 '' 20 0 , dovoljan uslov za maksimum

1 je ispunjen, " u jedinici je manji od nule.

x x x

x x

o

e e xeD e x e D ex D

� � �

� � �

� � �

� � % � � � �

�

138

36. Poznata je funkcija ukupnih troškova 220 4,6C x� � i inverzni oblik funkcije

tražnje 20,6 12 60p x x� � � . a) U oblasti definisanosti tržišne tražnje prona�i najrentabilniji nivo proizvodnje

kao i odgovaraju�e vrednosti cene, ukupnog prihoda, ukupnih troškova i ukupne dobiti.

b) Analizirati kretanje vrednosti koli�nika relativnih promena ukupnih troškova i nivoa proizvodnje;

c) Prona�i najekonomi�niji nivo proizvodnje i odgovaraju�e vrednosti: cene, ukupnog prihoda, ukupnih troškova i ukupne dobiti za taj nivo.

a) 20,6 12 60p x x� � � Oblast definisanosti je: (0,10)x�

� �2 3 2

3 2 2 3 2

2

' 1,2 12 0 10

0,6 12 60 0,6 12 60

0,6 12 60 20 4,6 0,6 16,6 60 20' 1,8 33,2 60 0

p x x

P p x x x x x x x

D P C x x x x x x xD x x

� � � � �

� % � � � � � �

� � � � � � � � � � �

� � � � 1 22 16,7 10x x� � � ne pripada oblasti definisanosti.

Najrentabilniji nivo proizvodnje je 2rx � .

� ��

2

3 2

2

2 0,6 2 12 2 60 38,4

2 0,6 2 12 2 50 2 76,8

2 20 4,6 2 38,4

2 2 2 38, 4

P

P

C

D p C

� % � % � �

� % � % � % �

� � % �

� � �

b) 2

, 2 2

9, 29, 220 4,6 20 4,6C X

x xE xx x

� % ��

,

2 2 2,

2

2

0 0201 , 9, 2 20 4,6 , 4 24,6

9, 2lim 220 4,6

C X

C X

x

E za x

E x x x x

xx$�

� �

� � � � �

��

�

Ec,x=0 x=0 C=00<E<1 0<x<2 20<C<38,4

E=1 x=2 C=38,41<E<2 2<x<+� 38,4<C

E=2 x$+� C$+�

139

c) Jedan od uslova za izra�unavanje najekonomi�nijeg nivoa proizvodnje je

, 1C XE � . Možemo zaklju�iti da se najekonomi�niji nivo proizvodnje postiže

za 2ex � . Za isti nivo se postiže i najrentabilnija proizvodnja 2r ex x� � , pa su i vrednosti za p, P,C i D iste kao u zadatku pod a):

� � � � � � � �2 38, 4, 2 76,8, 2 38, 4 2 38, 4p P C i D� � � �

37. Poznata je funkcija tražnje x=75-0,1p i funkcija ukupnih troškova 2100 50 4C x x� � �

a) Na�i nivo najrentabilnije proizvodnje i odgovaraju�u cenu, ukupan prihod, ukupne troškove i ukupnu dobit;

b) Algebarski obraditi i tabelarno ilustrovati elasti�nost ukupnih troškova u odnosu na koli�inu;

c) Koji je nivo najekonomi�nije proizvodnje kao i odgovaraju�a cena i razlika izme�u ukupnih dobiti iz c) i a)?

75 0,1 750 10x p p x� � � � a) � � 2750 10 750 10P p x x x x x� % � � % � �

� ��

2 2 2

max

2

2

750 10 100 50 4 100 700 14' 700 28 0 25 , '' 025 750 10 25 500

25 500 25 12.500

25 100 50 25 4 25 3850

25 100 700 25 14 25 8650

25 25 25 12.500 3850 8650

r

D P C x x x x x xD x x D Dp

P p x

C

D ili

D P C

� � � � � � � � � � ��

� � % �

� % � % �

� � % � % �

� � � % � % �

� � � � �

b) � �2

, 2 2

50 850 8100 50 4 100 50 4C X

x x xE xx x x x

�� % � �

� � � �

, 1 2500 0 , 08C XE za x x� � � � � ne dolazi u obzir

2 2 2,

2

, 2

1 , 50 8 100 50 4 , 25 5

50 8lim lim 2100 50 4

C X

C Xx x

E x x x x x x

x xEx x$� $�

� � � � � � �

��

� �

140

Ec,x=0 x=0 C=1000<E<1 0<x<5 100<C<450

E=1 x=5 C=4501<E<2 5<x<+� 450<C<+�

E=2 x$+� C$+�

c) , 1 5C X eE x� � �

� ��

2

5 750 50 700

5 100 700 5 14 5 3050

5 25 3050 8650 5600

p

D

D D

� � �

� � � % � % �

� � � � �

38. Funkcija ukupnih troškova je 23 25C x� � , a funkcija tražnje je 152px � � � .

Odrediti:

a) proizvodnju i cenu pri kojima se postiže maksimalna dobit i koliko ona iznosi b) proizvodnju pri kojoj je ukupan prihod jednak ukupnim troškovima (gornju i

donju granicu rentabilnosti). a)

� �

� �

2

2 2 2

max

2 30 2 30

2 30 3 25 5 30 25' 10 30 0 3'' 10 0 3 20

P p x x x x x

D P C x x x x xD x xD D

� % � � � % � � �

� � � � � � � � � � �� 888888�888888 �

� � � 8888888�888888 �

pri 24p � b)

2

1

2

05 30 25 0

15

Dx x

xx

�

� � � ��

Interval rentabiliteta je pri proizvodnji koja se kre�e od 1 do 5.

141

39. Za proizvod X date su funkcije troškova 22 4900C x� � i tražnje 0,5 500x p� � � . Odrediti:

a) Interval rentabilnosti proizvodnje proizvoda X; b) Optimalan obim proizvodnje i maksimalnu dobit; c) Dobit pri minimalnim prose�nim troškovima; d) Grafi�ki prikazati dobit preko prihoda i troškova a) 1000 2p x� � , odre�ujemo funkciju prihoda:

21000 2P px x x� � � Iz inverznog oblika funkcije tražnje funkcija dobiti D P C� � postaje

24 1000 4900D x x� � � � . Nule funkcije dobiti 24 1000 4900 0x x� � � � , odnosno jedna�ine

2 250 1225 0x x� � � su 1 25 i 245x x� � , pa je interval 5 245x� � , u

kome je 0D � , interval rentabiliteta proizvodnje proizvoda X. b) Izvodna funkcija ' 8 1000D x� � � ima nulu 125x � za koju je

'' 8 0D � � � . Prema tome, 125x � predstavlja optimalni obim proizvodnje, tako da je

max (125) 57600D D� � .

c) Funkcija prose�nih troškova 49002C x

x� � ima prvi izvod

2

4900' 2Cx

� � ,

koji je za 49,49x � jednak nuli a drugi izvod

3

9800''Cx

� ,

za 49,49x � ve�i od nule (49,49)( '' 0)C � , pa je 49,49x � obim proizvodnje proizvoda X za koji se postižu minimalni prose�ni troškovi.

Dobit ostvarena za ovaj obim proizvodnje je (49,49) 34790D � .

142

d)

40. Preduze�e proizvodi artikal X sa troškovima 2 5000C x� � i funkcijom tražnje 2( 100)x p� � . Odrediti optimalnu cenu, maksimalnu dobit i optimalnu

proizvodnju. 2 2 5000 posle smene ( 100) imamo:D P C px x x p� � � � � � �

2 2 2( 100) 2( 100) 5000 ( 2)( 100) 5000D p p p p p� � � � � � � � �

Funkcija dobiti je definisana u intervalu 0 100.p� �

2

1 2

Iz ' ( 100) 2( 2)( 100) ( 100)(3 104) 0104sledi da je 100 i (p=100 ne pripada intervalu definisanosti

3funkcije dobiti).

D p p p p p

p p

� � � � � � � � �

� �

104

3

'' 3 104 3( 100) 6 404,104'' 0, a to zna�i da je 34,6 optimalna cena.

3o

D p p p

D p � � �

� � � � � �

� � �

Maksimalna dobit max 134435,84D �

Smenom 34,6op � u funkciji tražnje dobijamo optimalnu proizvodnju

4268,5.optx � 41. Za funkciju troškova 0,05200 xC e� pokazati da su minimalni prose�ni troškovi

jednaki grani�nim troškovima.

Funkcija prose�nih troškova je 0,05

200 .xeC

x�

143

Iz 0,05(20)2

0,05 1' 200 0 je 20, '' = 0,40

xx eC e x Cx

�� što zna�i da

funkcija za 20x � ima minimum min 10 .C e�

Funkcija grani�nih troškova je 0,05' 10 .xC e� Grani�ni troškovi za 20x � su

(20)' 10 ,C e� pa je min (20).'C C�

42. Dati su grani�ni troškovi 10' 5Cx

� � . Na�i ukupne troškove ako je � �1 20C � .

� �

� �

10' 5 10ln 5

1 20 10ln1 5 1510ln 5 15

xC C dx dx x x Ax

C A AC x x

� � � � � ��

� � � � � �

� � �

5 5

43. Dati su grani�ni troškovi 60'

20 1C

x�

�. Na�i ukupne troškove ako je

� �1 500C � .

2

60 , posle smene 20 1

20 120 2

10

C dxx

x tdx tdt

tdx dt

��

� ��

�

5

� �

60 610

1 500 6 494

6 20 1 494

tdtC t At

C A A

C x

� � �

� � � � �

� � �

5

144

ZADACI ZA VEŽBU

1. Ispitati i nacrtati funkciju tražnje oblika: a) 220x p� �

b) � �� 24 3x p p� � �

c) 2150 6x p� �

d) � � � �22 2x p p� � �

e) 2125 20x p p� � �

f) � �2

15

xp

��

g) 1

2 6x

p�

�

2. Tražnja za proizvodom X data je funkcijom

i. 30 2x p� � ii. 4 200x p� � � iii. 6 120x p� � � iv. 200x p� � �

Odrediti elasti�nost funkcije tražnje i grafi�ki prikazati kretanje elasti�nosti. Na�i cenu za koju je , 1x pE � 3. Odrediti elasti�nost funkcije tražnje i grafi�ki prikazati ako je 2 30 225x p p� � � .

Na�i cenu za koju je , 1x pE � i onu za koju je , 2x pE � . 4. Na�i elasti�nost funkcija tražnji:

a) 32 bpx ae��

b) � �1 p cx ab � %�

c) � �3 42 px p e� ��

d) � �2

0, 0a px a bb�

� 888888 � �

i odrediti onu cenu za koju je , 1x pE �

145

5. Za funkciju tražnje 10,7 1020p x� � % � odredi fleksibilnost cene ,p xE i pokazati

da je , , 1x p p xE E% � . Izra�unati obim tražnje za koji je ,p xE . 6. Na�i funkciju kretanja uvoza jednog preduze�a ako se uvoz kretao:

1993. uvezeno je 106 miliona novcanih jedinica 1995. uvezeno je 118 miliona novcanih jedinica 1998. uvezeno je 104 miliona novcanih jedinica

7. Data je funkcija tražnje 32600x p

�� . Odrediti:

a) Elasti�nost tražnje b) Uspostaviti vezu izme�u grani�nih prihoda i elasti�nosti tražnje c) Ispitati promene prihoda kada se cena pove�a sa nivoa 4 na nivo 9.

8. Za funkciju tražnje 2 480x p� � � i funkciju ponude 2 4 300y p p� � � .

Odrediti elasti�nost ponude i tražnje pri ravnotežnoj ceni. 9. Data je funkcija tražnje neke robe. Izra�unati elasti�nost tražnje i onu elasti�nost pri p=3

a) 230 4x p p� � �

b) 100

100p

x�

�

c) 0,8

0,756px

�

10. Data je funkcija potrošnje južnog vo�a koja glasi

a) 20,051 1,436 0,907x p p� � � �

b) 20,089 2,299 5,212x p p� � � �

c) 20,0176 0,4823 1,0821x p p� � � �

Kolika je elasti�nost? Izra�unati � �10E 11. Odrediti interval definisanosti i grafi�ki prikazati funkciju ponude

5 400y p� � 12. Ispitati i nacrtati funkciju ponude:

a) 2 10y p� �

b) 2 6y p p� � �

146

13. Analiti�ki i grafi�ki na�i uslov ravnoteže za slede�i model tržišta: 2

2

1004 100 5

x py p p� �

� � �

14. Odrediti ravnotežnu cenu modela tržišta:

2

2

128 22 5 3

x py p p� �

� � �

15. Grafi�ki na�i uslov ravnoteže za slede�i model tržišta:

12 50 '

8 400

xp

y p

��

� �

16. Za funkciju tražnje:

3

254py � �

ispitati i nacrtati funkciju elasti�nosti tražnje u njenoj oblasti definisanosti. 17. Za funkciju tražnje:

24x p� � ispitati i nacrtati funkciju tražnje. 18. Za funkciju tražnje:

� �23

3px

p�

�

a) izra�unati i nacrtati funkciju elasti�nosti tražnje; b) kolika je elasti�nost tražnje za p=5 i za p=15?

19. Za funkciju tražnje � �� 22 3x p p� � � odrediti funkciju elasti�nosti tražnje 20. Funkcija ukupnih prihoda 3 2100 2500P x x x� � � . Pokazati preko funkcije prose�nih i preko funkcije grani�nih da je � �10 16000P � 21. Data je funkcija tražnje 3,5 42x p� � �

a) na�i funkciju ukupnog prihoda b) odrediti cenu i odgovaraju�u tražnju za koju se postiže maksimalan prihod.

147

22. Data je funkcija tražnje � �23x p� � a) Na�i funkciju ukupnog prihoda b) Odrediti cenu i odgovaraju�u tražnju za koju se postiže maksimalan prihod. c) Uspostaviti vezu izme�u grani�nih prihoda i elasti�nosti tražnje

23. Za funkcije tražnje prona�i funkcije prihoda i odrediti funkcije grani�nih prihoda preko elasti�nosti tražnje: a) 2,77x p��

b) 7 px ae�� c) b apx p e�� 24. U narednim zadacima date su funkcije tražnje. Odrediti: cenu, prihod i tražnju za koju �e ukupni prihodi biti maksimalni:

a) 1000x p� � �

b) 1 2000

2x ��

c) 25 2500x p� � �

d) 2 3000p x� � �

e) 1 2504

p x� � �

f) 3 9600p x� � �

25. Data je funkcija grani�nih prihoda ' 2 300P x� � � i funkcija grani�nih troškova ' 4 900C x� � . Odrediti: a) funkciju ukupnih prihoda koja je (0) 0P � ; b) funkciju

ukupnih troškova koja je (0) 100000C � ; c) maksimalnu dobit preduze�a. 26. Funkcije prihoda i troškova su date slede�im uslovima:

' 50 2 (0) 0' 4 2 (1) 49

P x PC x C

� � ��

Odrediti: a) Optimalan broj prodaje za maksimizaciju profita; b) Profit za minimalne prose�ne troškove; c) Ispitati i nacrtati na jednom grafiku funkcije prihoda, troškova i profita; d) Koliki je interval rentabiliteta?

27. Dati su prihodi i troškovi jednog preduze�a slede�im uslovima: ' 200 8 (1) 196' 2 (2) 1504

P x PC x C

� � ��

148

Odrediti: a) Optimalan obim prodaje i prodajnu cenu koja omogu�ava maksimizaciju

profita; b) Profit, obim prodaje i cenu za minimalne prose�ne troškove; c) Ispitati i nacrtati na jednom grafiku funkcije prihoda, troškova i profita.

28. Proveriti vezu izme�u elasti�nosti ukupnih i prose�nih troškova ako je a) 3 22 4C x x x� � � b) 3 2300 50000C x x x� � � c) 20,01 20 900C x x� � �

d) 3 26 20C x x x� � �

e) � �30,003 50 25C x� � � 29. Date su slede�e funkcije troškova. Uveriti se da su minimalni prose�ni troškovi jednaki grani�nim ukupnim troškovima. a) 3 2300 50000C x x x� � � b) 20,01 20 900C x x� � �

c) � �30,003 50 25C x� � �

d) 510 xC e�

e) 1,0335

2196Cx

�

f) 4 3 24 24 1000 200C x x x x� � � � � 30. Date su funkcije ukupnih troškova. Odrediti proizvodnju za koju su prose�ni troškovi minimalni. a) 4 32 50 100C x x x� � � � b) 22 1568C x� � c) 23 35000000C x� � d) 20, 2 1,5 7,2C x x� � �

e) 31 2 116

C x x� � �

f) 5 33 4 10C x x x� � � 31. Data je funkcija marginalnih troškova. Odrediti funkciju ukupnih troškova ako su poznati slede�i uslovi proizvodnje:

a) ' 6 45C x� � pod uslovom da je � �0 190C �

b) 2' 3 5 1C x x� � � pod uslovom da je � �10 500C �

149

c) ' 2 200C x� � pod uslovom da je � �0 5000C �

d) 15' 6,5Cx

� � pod uslovom da je � �1 21,5C �

e) 2' 40 24 3C x x� � � pod uslovom da je � �0 50C �

f) 2' 0,03 0,1 4C x x� � � pod uslovom da je � �0 1800C �

g) 0,002' 60 xC e� % pod uslovom da je � � 21000 30000C e� 32. Za funkciju troškova:

3 24 4C x x x� � � odrediti elasti�nost ukupnih i prose�nih troškova i pokazati da je

1 CCE E� �

33. Data je funkcija ukupnih troškova: 5 10C x� �

Na�i : a) funkcije prose�nih i grani�nih troškova i prikazati sve tri funkcije troškova

grafi�ki, b) elasti�nost ukupnih i prose�nih troškova i pokazati da je 1 CCE E� �

34. Data je funkcija marginalnih troškova slede�im uslovima:

' 2 4 , (0) 4C x C� � � a) Ispitati i nacrtati na jednom grafiku funkcije ukupnih, prose�nih i marginalnih

troškova; b) Pokazati da su minimalni prose�ni troškovi jednaki grani�nim.

35. Data je funkcija ukupnih troškova 3 22 2C x x x� � � . Odrediti: a) proizvodnju za koju se postižu minimalni grani�ni troškovi b) elasti�nost ukupnih i prose�nih troškova c) kada je elasti�nost ukupnih troškova maksimalna a kada minimalna.

36. Za zadatu funkciju prose�nih troškova:

34 8C xx

� � �

a) Pokazati da su minimalni prose�ni troškovi jednaki grani�nim; b) Ispitati i nacrtati na jednom grafiku funkcije ukupnih, prose�nih i marginalnih

troškova; c) Na�i elasti�nost ukupnih i prose�nih troškova.

150

37. Za datu funkciju troškova:

28x

C e� a) Na�i minimalne prose�ne troškove i pokazati da su jednaki grani�nim; b) Ispitati i nacrtati na jednom grafikonu funkcije ukupnih, prose�nih i marginalnih

troškova. 38. Poznata je funkcija marginalnih troškova ' 0,02 30C x� � . Koliki je porast troškova ako proizvodnja poraste od 100 na 300 jedinica?

39. Prose�ni ukupni troškovi � �10000 1000 250 1C xx

� � � � .

Odrediti proizvodnju koja minimizira te troškove?

40. Data je funkcija ukupnih troškova 618 10 72C x

x%

� � .

Odrediti proizvodnju za koju su ukupni troškovi minimalni.

41. Neka je funkcija troškova 3 23,5 3,5 300 10000300

C x x x� � � � �

gde je x nivo zaliha. a) Odrediti minimum te funkcije. b) Izra�unati grani�nu vrednost elasti�nosti ukupnih troškova kada x $ � .

42. Preduze�e proizvodi neki proizvod sa funkcijom troškova

22 1200C x� � i funkcijom prihoda

23 220P x x� � � . Odrediti:

a) proizvodnju x za koju se ostvaruju minimalni prose�ni troškovi b) proizvodnju za koju je dobit maksimalna c) Uporediti ova dva rezultata.

43. Preduze�e proizvodi neki proizvod sa funkcijom troškova

22 968C x� � i funkcijom tražnje

0,5 100x p� � � . Odrediti:

a) dobit preduze�a za koju su prose�ni troškovi minimalni b) razliku dobiti prema optimalnom rešanju

151

45. Funkcije prihoda i troškova date su slede�im uslovima: � ��

' 50 2 0 0

' 4 2 0 49

P x P

C x C

� � 8888888 �

� � 888888888 �

Odrediti: a) Optimalni obim prodaje koji maksimizira dobit b) Dobit pri minimalnim prose�nim troškovima c) Interval rentabiliteta.

46. Funkcije prihoda i troškova date su slede�im uslovima:

� ��

' 200 8 1 196

' 2 2 1504

P x P

C x C

� � 8888888 �

� 8888888888888888 �

Odrediti: a) Optimalni obim prodaje koji maksimizira dobit b) Dobit pri minimalnim prose�nim troškovima c) Interval rentabiliteta.

47. Poslovanje jednog preduze�a je definisano slede�im uslovima:

2

7030 1250

x pC x x� �

� � �

Odrediti: a) Optimalan obim prodaje i prodajnu cenu koja omogu�ava maksimizaciju profita; b) Profit, obim prodaje i cenu za minimalne prose�ne troškove; c) Ispitati i nacrtati na jednom grafiku funkcije prihoda, troškova i profita.

48. Poslovanje jednog preduze�a definisano je slede�im uslovima:

� �' 45 1 44,5P p P� � 888888888 � i dobit:

24 180 1400D x x� � � � .

Ispitati i nacrtati na jednom grafiku funkcije ukupnih prihoda, troškova i dobiti. Prona�i interval rentabiliteta kao i maksimalan prihod i maksimalnu dobit i minimalne ukupne troškove.

152

7. FINANSIJSKA MATEMATIKA �

PRIMERI SA REŠENJIMA: 1. Izra�unati koliko je: a) 42,8% od 325 dinara; b) 120% od 1210 dinara.

a) Kako je 42,8%p � a 6=3256 to je 6100

pP %�

3256 42,8 1393,568

100P %

� �

b) 1210 120120% a 1210 1452

100p G P %� � � � �

2. Zarada nekog lica je 8230 dinara. Koliko iznosi zarada posle 9%.

8230 9 740,70 to je 8230 704,70 8970,70

100P %

� � � �

3. Kolika je prvobitna težina robe ako je kalirano 210 kilograma što u procentima

iznosi 6%. Prvobitna težina je glavnica u procentnom ra�unu:

100 210 3500 kilograma6

G %� �

4. U 63 litara vina ima 51,20 litara vode. Koliko procenata alkohola ima u toj koli�ini

vina?

Alkohola ima 63 51,20 11,80 l.

100 11,80procenat alkohola je: 18,73%63

p

� �%

� �

5. Posle sniženja od 25% roba se prodaje za 32500 dinara. Izra�unati:

a) Za koliko dinara je snižena cena b) Koliko bi iznosila prodajna cena da je sniženje iznosilo 30% od prvobitne cene c) Ako se roba prodaje po 29100 koliko iznosi sniženje cene.

153

a) Cena pre sniženja je: 32500 100(100 25 75%) 43333 dinara

75G %

� � � � �

Sniženje je: 43333 32500 10833� �

b) 43333 30 12999,90 dinara

100P %

� �

6. Izra�unati:

a) 4% interesa na iznos od 36000 dinara za 4 godine b) 8% interesa na iznos od 42000 dinara za vreme od 7 meseci

c) 143

% interesa na iznos od 27000 dinara za vreme od 22. II do 30. VI.

a) 36000 4 4 5760

100 100Kp gi % % %

� � �

b) 42000 8 7 23520

1200 1200Kpmi % %

� � �

c)

1 1327000 4 100 2700 900 13 117003 3 32536000 36000 36 12 3 36Kpdi

% % % %� � � � � �

%

7. Odrediti:

a) Iznos na koji je izra�unat interes od 2100 dinara po stopi 7% za vreme od 4 godine

b) Iznos na koji je izra�unat interes od 1230 dinara po stopi 8% za vreme od 9 meseci

c) Iznos na koji je izra�unat interes od 654 dinara po stopi 4% za vreme od 6.VI do 15.VII.

a) 100 100 2100 7500

7 4iK

p g% %

� � �% %

b) 1200 1200 1230 20500

9 8iK

p m% %

� � �% %

c) 36000 36000 654 58860

4 100iK

pd% %

� � �%

154

8. Dva kapitala �iji je zbir 5000 dinara ukama�ena su: prvi sa stopom p% a drugi sa stopom (p+1)%. Godišnji interes prvog kapitala je 50 dinara a drugog 150 dinara. Odrediti oba kapitala i obe stope.

50100

50005000

Kp

Kp Kp

�

� � �

a interes drugog kapitala za godinu dana

2

2

1

2

(5000 )( 1) 150100

5000 5000 1500050005000 5000 5000 15000

5 10 15 02 3 0

3%5000 1666,66

35000 1666,66 3333,34

K p

p Kp K

pp

p pp pp

K

K

� ��

� � � �

� � � �

� � �

� � ��

� �

� � �

9. Banka je dužniku odobrila 15.V zajam od 8100 dinara. O roku dužnik je vratio dug

i zajedno sa 12% interesa platio ukupno 8208 dinara. Kog dana je vra�en dug?

36000

8208 8100 108108 3600 9 36000 40 dinara8100 12 8100

Dug je vra�en 25.VII.

idK p

i

d

%�

%� � �

% %� � �

%

10. Pre 11 godina uloženo je 30 000 dinara, a pre 9 godina još 20 000 dinara u

banku koja pla�a 4% godišnje i vrši kapitalisanje tromese�no. Kojom se sumom danas raspolaže?

155

1 2p30 000 din., � 20 000 din., 1% za obe sume i4

mn=44 tromese�ja, mn=36 tromese�ja

K � � �

1 11 44 2 36 ,n� K I K I� �

1 144 36,30 000 I 20 000 InK � % � %

30 000 1,54931757+20 000 1,43076878=46479,53+28615,38nK � % %

75094,91nK � dinara 11. Do koje �e se sume uve�ati 36 000 dinara, sa 6% godišnje, za 32 godine, uz

kapitalisanje: a) polugodišnje, b) �etvoromese�no, v) tromese�no? a) Polugodišnje kapitalisanje

36 000��., p=3%, mn= 64(50+14).� � 3 3

64 50 1436 000 I 36 000 4,38390601 1,51258972,K I� % % � % %

64 36 000 6,63105119=238717,84K � % dinara. b) �etvoromese�no kapitalisanje

2%, 96(50 46)p mn� � � K=36 000.

2 296 50 4636 000 I 36 000 2,69158802 2,48661128.K I� % % � % %

96 36 000 6,69293317=240945,59 dinaraK � % c) Tromese�no kapitalisanje

p=1,5%, mn =128(50+50+28), K=36 000 dinara

1,5 1,5 1,5128 50 50 2836 000 I 36 000 2,10524242 2,10524242 1,51722218K I I� % % % � % % %

128 36 000 4,43204564 1,51722218=36 000 6,72439795=242078,33K � % % % din.

12. Na kraju godine uloženo je u banku 250.000 din. Sa kojim kapitalom �e

rasplagati ulaga� po isteku 4 god. i 3 meseca, ako se kapitalisanje vrši krajem svake kalendarske godine sa kamatnom stopom 8% godišnje dekurzivno?

Iznos kapitala K posle n godina i m meseci sa p% godišnje dekurzivno interesa

11

12

1 1 ,100 1200

nn n

p pmp mpS K Kr r KI I � � � � ��

� �

156

za 4 4 18 2

1

250.000 din, 4 g, 3 i 8 postaje3 8250.000 1,08 1 250.000

1200

250.000 1,3604889 1,02 346924,67 1 , 1 .100 1200

K n m p

S I I

p mpr r

� � � �

% � % � � % ��

� % % � � � � ��

13. Za koje vreme �e 45000 dinara uz 4% interesa (K,360) doneti interes kao i

60000 od 10. III do 22. V uz 5,75% (K,365).

1 2

45000 4 60000 5,75 7336000 36500

60000 5,75 73 13836500

i id

d

�% % % %

�

% %� �

14. Po�etna vrednost kapitala je 1000 dinara i on je uložen 120 dana uz prost interes

od 6%. Izra�unati uve�ani kapital. Ovde je vreme 120 / 360 1/ 3t � � pa �emo imati:

' 1000 (1 0,06 1/ 3) 1000 (1 0,02) 1000 1,02 1200K � % � % � % � � % �

15. Koju sumu novca treba uložiti u banku po�etkom godine da bi se posle 3 godine i

4 meseca raspolagalo sa 530.000 dinara, ako je kapitalisanje polugodišnje a kamatna stopa 9% g.d.?

Kako je vrednost uloga K po isteku n godina i m meseci � �6m � , pri

polugodišnjem kapitalisanju, 2

2 1

12

1 1 ,200 1200

nn

p pmn

p pmS K KI I � � � ��

to je u konkretnom slu�aju 6 14,5 3530.000 ,KI I� odakle je

6 14,5 3530.000 530.000 0,7678957 0,97087378 395130,80.K II II� % � % % �

Prema tome, ulog treba da bude 395130,80 dinara.

157

16. Dužnik duguje tri razli�ita iznosa.

1000 Va 11.III2000 Va 20.IV5000 Va 6. V

Interesna stopa je 12%. Kada je najbolje isplatiti ukupan dug, a da se pri tome ne ošteti ni dužnik ni poverilac.

Dani Kd1000 Va 11.III 0 02000 Va 20.IV 40 800005000 Va 6. V 56 280000

1 1 2 2 3 3

1 2 3

1000 0 2000 40 5000 561000 2000 5000

80000 280000 458000

s

s

K d K d K ddK K K

d

� � % � % � %� �

� � � ��

� �

Rok dospe�a obaveze od 8000 bi�e 11/ 3 45 25. IV� � .

17. Eskontovana je 6.06.2005 sa 9% menica od din. 30000 za 6/9. Na�i

eskontovanu sumu.

E �e biti: 30000 92 2760000 690

4000 4000E %

� � �

Što šematski pišemo: Eskontovano 6/6Din. 40000 Va 6/9- 690 Eskont 92/9%Din. 29210 Va 6/6

18. Na dan 14/4 eskontovana je menica sa rokom 9/6. Izra�unati na koju sumu glasi

menica kada je eskontna suma 6% a dužnik je 18/4 primio po odbitku eskonta din 5940. Eskont se ra�una na eskontovane vrednosti menica odnosno na umanjeni kapital:

5940 60 356400 606000 60 5940

E %� � �

�

158

Napisa�emo šemu:

Eskontovano 10/4Din. 6000 Va 9/6 60 -eskont

Din. 5940 Va 18/4

Nominalnu vrednost menice odredili smo kao zbir eskontovane vrednosti menice i eskonta (interesa).

19. Godišnjoj stopi od 54% odrediti tromese�nu konformnu stopu.

454100 ( 1 1) 11,3987%

100kP � % � � �

20. Izra�unati konformnu stopu godišnjoj stopi od 86% za 32 dana.

3236586100 [ (1 ) 1] 5,591396%

100kP � % � � �

21. Koliko je trebalo uložiti pre 15 godina, sa 15 %2

godišnje, da bi se danas primilo

32 000 dinara uz kapitalisanje: a) godišnje, b) polugodišnje?

a) 132 000��., p=5 %, 15 ��.2nK n� �

pn n� K II� %

5,51532 000 II 32 000 0,44793304 14333,86 ��K � % � % �

b) p 332 000 ��a, 2 %, mn=302 4n� � � polugodišta.

2,75332 000 II 32 000 0,44314421=14180,61 ��K � % � %

22. U banku se ulaže po 15.000 dinara krajem svake godine u toku 5 godina. na koju

sumu �e narasti ulozi po isteku 3 godine i 6 meseci od poslednjeg ulaganja, ako je godišnja kamatna stopa 10% g.d.?

159

Tražena suma uloga je

� � � �5

3 5 1 3 1 4 3 11 10 10 5

2

1

1 1 15.000 11

15.000 6,1051 1,331 1,05 127982,73

1 1,1; 1 1,05 .100 200

p p prS U r r U III I I III I Ir

p pr r

�� % � � � � �

�

� % % % �

� � � � � ��

23. Po�etkom svakog polugo�a u toku 5 godina ulaže se u banku po 18.000 dinara.

Sa kojom sumom novca �e raspolagati ulaga�i nakon 7 godina od prvog ulaganja, ako je godišnja kamatna stopa 8% g.d.?

Tražena suma uloga bi�e

� �

� � � �

� ��

5 5 52 2

1 1

5 1 4 2 5 1 4 28

2 2

5 1 4 28 4 8 8

1

1 1 11 1 1

1 1

18.000 1

18.000 6,335929 1,04 5 866601 1,1664 261121,38

1 1,08; 1100 20

p p p p p p p

r r rS Ur Ur r U r r rr r r

UIII UI III I U III I III I

III I III I

p pr r

� � ��

� � � � � � ��

� � � �

� � % % % �

� � � � � 1,04 .0

��

24. Koju sumu treba danas uložiti da bismo kroz 12 godina, sa 6% godišnje,

raspolagali sa 45 000 dinara uz kapitalisanje: a) �etvoromese�no, b) tromese�no?

a) p45 000 ��, % 2%, 363n� mn� � � tromese�ja

23645 000 II 45 000 0,49022315=22060,04K � % � % dinara.

b) p 145 000 ��, 1 %, 484 2nK mn� � � tromese�ja

1,54845 000 II 45 000 0,48936169=22021,28K � % � % dinara

160

25. Izra�unati koliko vredi danas potraživanje od 622 800 dinara kome je rok posle 10 godina, 7 meseci i 18 dana sa 6% godišnje uz kapitalisanje: a) godišnje, b) polugodišnje

a) Godišnje kapitalisanje

622 800 ��, p=6%, m=1, s=360, n=10 ��, t= 228 ��mntmKs

� �

100

mnp

mn n

tmK p ttm s� K IIs s pt

! � % %� �' ( �' (� � � %�' (

' (" #

610

622 800 6 228622 800- ,36 000+6 228

K II% % � %� �% �

� �622 800-22 800 0,55839477 335036,86K � % � dinara

b) Polugodišnje kapitalisanje p622 800 ��., 3%, 20 1 212mn

tmK mns

� � � � � � (jer u 7 meseci ima 1

polugodište + 1 mesec), t = 30+ 18=48 dana, s =360.

� �321

622 800 6 48622 800- 622 800-4942,86 0,53754927,36 000+6 48

K II% % � % � %� �% �

332128,63K � dinara

26. Dve sume, od kojih je jedna za 15 000 dinara ve�a od druge, uve�aju se za 14 godina, sa 4% godišnje, toliko da zajedno iznose 85 000 dinara, uz polugodišnje kapitalisanje, koliko iznose uložene sume?

2%, 282p mn� �

� � 228 2

28

85 0002 15 000 85 000, 2K+15 000=I

K I� % �

2282 85 000 II 15 000,K � % �

2 85 000 0,57437455-15 000=48821,84-15 000=33821,84K � % dinara 16910,92 ��, �+15 000=31910,92 K � dinara

161

27. Neka suma je bila uložena 5 godina sa 6% godišnje i �etvoromese�no kapitalisanje, a zatim je bila zajedno sa interesom na interes uložena 8 godina sa 4% godišnje i tromese�no kapitalisanje. Koliko je iznosila po�etna suma ako je njena krajnja vrednost iznela 150000 dinara?

2 115 32

2 115 32

150000 din. 2%, 15 i 1%, 323 4

150000

150000 150000 0,74301472 0,72730410 81059,94 din.

np pK mn mn

k I IK II II

� � � � �

% % �

� % % � % % �

28. Neko ulaže 8 godina, sa 6% godišnje, po 5000 dinara po�etkom: a) svakog polugodišta uz polugodišnje kapitalisanje; b) svakog �etvoromese�ja uz �etvoromese�no kapitalisanje. Izra�unati vrednost ovih uloga na kraju 8. godine.

a) Polugodišnje ulaganje i kapitalisanje:

316 16

5000 din., 3%, 16 polugodišta2

S 5000 5000 20,76158774 103807,94 dinara.

pu mn

III

� � �

� % � % �

b) �etvoromese�no ulaganje i kapitalisanje:

5000 din., 2%, 24 �etvoromese�ja3pu mn� � �

224 24S 5000 5000 31,03029972 155151,50 dinara.III� % � % �

29. koliki treba da bude ulog K na po�etku perioda 1 5n � godina da bi se u

narednom periodu 2 7n � godina primala godišnja anticipativna renta R=8500 dinara, ako je godišnja kamatna stopa 10% g.d.? Miza je 1 1 ,n n

pM Kr KI� � odnosno

� � � �2

2

2

11

1 1 ,1

nnpn

rM R R IVr r

��

��

�

gde je 1 .100

pr � �

Odavde je � �1 2 11 ,n np pKI R IV �� odnosno � �2 111 n n

p pK R IV II��

� �6 510 108500 1 8500 5,355261 0,620921 28264,148.IV II� � % � % % �

Dakle, ulog treba da bude 28264,15 dinara.

162

30. Po�etkom svake godine perioda od 3 godine � �13n g ulaže se po 12.500 dinara.

kolika �e biti polugodišnja dekurzivna renta tokom narednih 5 godina � �2 5n g� ,

ako je kamatna stopa 12% g.d.?

Suma uloga na kraju perioda ulaganja je miza za traženu rentu

122

2

1,1

gde je 1 .200

nrM Urr

pr

��

�

� �

S druge strane je

� �2

2

2

12

12

22

22

222

22

2 222 2 10

62 22

1 , pa je 1

1 , odakle je renta1

1 1,06 112.500 1,061 1,06 1

1, 418519 112.500 1,1236 0,135868 6461,5338.1,1236 1

nn

pn

nn

p

nn

p

rM R RIVr r

rUr RIVr

rR Ur V Vr

��

�

��

�

� �� % % �

� �

�% % % �

�

31. Neko ulaže 28 godina, sa 6% godišnje, po 6000 dinara po�etkom: a) svakog

polugodišta uz polugodišnje kapitalisanje; b) svakog tromese�ja uz tromese�no kapitalisanje. Izra�unati vrednost ovih uloga na kraju 28. godine.

a) Polugodišnje ulaganje u kapitalisanje:

� ��

3 3 356 50 50 6

56

56

56

6000 din., 3%, 56 polugodišta, 50, 6.2

6000 ,

6000 116,18077330 4,38390601 6,66246218 ,

6000 116,18077330 29, 20760799 ,6000 145,38838129 872330,29 dinara

pu mn n t

S III I III

S

SS

� � � � �

� � %

� � %

� �

� % �

b) Tromese�no ulaganje u kapitalisanje:

163

Ovde je

� ��

1,5 1,5 1,5 1,5 1,5112 50 50 6 100 12

112

112

16000 din., 1 %, 112 , 100, 12.4 2

6000 ,

6000 74,78807045 157, 44701950 58,66623291 ,6000 290,90132286 1745407,94 dinara

pu mn n t

S III I III I III

SS

� � � � �

� � % � %

� � �

� % �

32. Neko ulaže po�etkom svakog tromese�ja, za vreme od 6 godina, po 8000 dinara

u banku, koja pla�a 4% godišnje, kapitalisanje tromese�no dekurzivno. Izra�unati vrednost ovih uloga na po�etku onog tromese�ja u kome je uložen poslednji ulog.

� �' 124 23

8000 din., 1%, 1 23 tromese�ja4

8000 1 8000 26,97346485 215787,71 dinara.

pu mn

S III

� � � �

� � � % �

33. Neko je uštedeo 188474 dinara ulažu�i 16 godina, po�etkom svake godine, sa

15 %2

godišnje, izvesnu sumu uz godišnje kapitalisanje. Izra�unati koju je sumu

ulagao.

5,516

1188474 dinara, 16 godina, 5 %.2

188474 188474 7250 dinara.25,99640268

nS n p

uIII

� � �

� � �

34. Po koliko treba ulagati po�etkom svakog kvartala, sa 8% godišnje, u toku 7

godina da se na kraju 7. godine, uz tromese�no kapitalisanje, ima suma od 255098 dinara?

228

255098 dinara, 28 tromese�ja, 2%.4

255098 255098 6750 dinara.37,79223451

npS mn

uIII

� � �

� � �

35. Zajam od 135.000 dinara otpla�uje se jednakim godišnjim anuitetima u toku 5

godina, pri godišnjoj kamatnoj stopi 10% g.d. Sa�initi plan amortizacije zajma.

Anuitet zajma je

� � 510

1 1350000135.000 35612,657.1 3,790784

nn

pn

r ra Z ZV V

r�

� � � � ��

164

Plan amortizacije zajma

n Dug Interes Otplata

1 2 3 4 5

135000 112887,34 88563,41 61807,09 32375,14

135000 112887,34 88563,41 61807,09 32375,14

22112,66 24323,93 26576,32 29431,95 32375,14

1 3 5 0 0 0�= 36. Po koliko treba ulagati krajem svaka 4 meseca, u toku 12 godina, sa 6% godišnje,

da se na kraju 12. godine, uz �etvoromese�no kapitalisanje, ima suma od 233975 dinara?

'

236

233975 dinara, 36 1 35, 2%.3

2233975 233975 0,01923285 4500 dinara.100

npS mn

u V

� � � � �

� � � % ��

37. Zajam od 50000 dinara otpla�uje se jednakim polugodišnjim anuitetima u toku 3

godine, sa kamatnom stopom 8%g.d. napraviti plan amortizacije zajma u poslednjoj godini.

Anuitet zajma je

� � 64

150000 50000 0,190762 9538,1

1

mnmnpmnm

r ra Z ZV V

r�

� � � � % ��

1 1,004;200

pr � � ��

broj godina otplate zajma n=3,

broj kapitalisanja u jednoj godini �2m �

Neotpla�eni deo zajma na kraju 2 godine, odnosno posle 4 otplate je

� �2

4 41 9538,11

9538,1 1,886095 17989,76

kkpkm

rR a aIV IVr r

�� % �

�

� % �

(broj neizvršenih otplata k=mn-4=6-4+2),

165

a plan njegove amortizacije dat je slede�om tabelom.

Dug Interes Otplata5 17989,76 716,59 8818,516 9171,25 366,85 9171,25

38. Tre�a otplata zajma, koji se otpla�uje jednakim mese�nim anuitetima u toku 2

godine, sa kamatnom stopom 6% g.d. je 1010 dinara. Ko�iki su a) otpla�eni deo zajma posle pet otplata, b) anuitet?

a) Otpla�eni deo zajma posle pet otplata je

55 1 4

5 1 1 1 12

1 1 11 p

m

rO b b III b IIIr

� ��

( 1 1,005;1200

pr � � � broj otplata u jednoj godini m=12),

gde je prva otplata 2 23

1 3 122

1010 999,97 1000,pm

bb b II IIr

� � � % � 1

pa je

5 1000 5,05025 5050,25.O � % �

b) Anuitet zajma je 24

1 1 12

1000 1127,16.mn mnpm

a b r b I I� � � �

39. Planirano je da se zajam otpla�uje jednakim mese�nim anuitetima, a=12000

dinara, u toku 18 meseci sa kamatnom stopom 9% g.d. Nakon dvanaest otplata zajma, rok otplate je produžen za 6 meseci. Koliki je novi anuitet?

Ostatak zajma posle davnaes otplata

� �6

12 34

1 12000 12000 5,845598 70147,181

kkpkm

rR a aIV IVr r

�� % �

�

( 1 1,0075;1200

pr � � � broj otplata je jednak godini m=12; k=18-12=6), pa je

novi mese�ni anuitet (u toku narednih 12 meseci, n=12)

166

� �1 12 12

1234

11

70147,18 70147,18 0,087451 6134, 44.

nnpnm

r ra R R V

r

V

��

�

� % �

40. Koliko treba uložiti danas u banku, pa da se 27 godina, sa 6% godišnje, prima

renta od 7000 dinara, i to: a) po�etkom svakog polugodišta uz polugodišnje kapitalisanje; b) po�etkom svakog �etvoromese�ja uz �etvoromese�no kapitalisanje; v) po�etkom svakog tromese�ja uz tromese�no kapitalisanje, ako se prva renta prima na po�etku perioda kapitalisanja, tj. na dan uplate mize?

a) Polugodišnje primanje i kapitalisanje

� ��

' 3 3 3n+t-1 50 50 3

53

53

53

53

7000 dinara, 3%, 1 53, 50, a -1 3, 2

M 7000 1 ,

7000 26,72976400 0,22810707 2,82861135

7000 26,72976400 0,645226287000 27,37499028191624,93 dinara

pR mn n t

IV II IV

M

MMM

� � � � � �

� � � %

� � %

� �

� %�

b) �etvoromese�no primanje i kapitalisanje

� ��

' 2 2 2n+t-1 50 50 30

80

80

80

7000 dinara, 2%, 1 80, 50, a -1 30, 3

M 7000 1 ,

7000 32, 42360589 0,37152788 22,39645555

7000 32, 42360589 8,32090770 7000 40,74451359,285211,60 dinara

pR mn n t

IV II IV

M

MM

� � � � � �

� � � %

� � %

� � � %

�

c) Tromese�no primanje i kapitalisanje

167

Ovde je

� �100 50 50

' 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5n+t-1 50 50 50 100 7

107

7000 dinara, 1,5%, 1 107, 100, a -1 74

Opet se moramo podsetiti da je pa je

M 7000 1 ,

7000(35,99968807 0,47500467 34,999

p p p

pR mn n t

II II II

IV II IV II IV

M

� � � � � �

� %

� � � % � %

� � %

107

68807 0, 22562944 6,59821395)

7000 54,11345498 378794,18 dinaraM

�

� %� % �

41. Neko uplati danas 180000 dinara u banku, s tim da 10 godina sa 4$ godišnje uz

tromese�no kapitalisanje, prima izvesnu rentu krajem svakog tromese�ja. Koliko �e iznositi ta renta ako prva renta treba da se primi 3 meseca posle uplate mize?

140

180000 dinara, 40; 1%; pa �e renta iznositi:4

180000 180000 0,03045559 5482,01 dinara.

npM mn

R V

� � �

� % � % �

42. Neko uplati danas 200000 dinara u banku, koja pla�a 3% godišnje, s tim da 11

godina, uz �etvoromese�no kapitalisanje,prima rentu po�etkom svakog �etvoromese�ja.Koliko �e iznositi ta renta ako prva renta treba da se primi na dan uplate mize?

132

200000 dinara, 1 32; 1%;3

200000 200000 =7074,85 dinara.1 28,26958947

npM mn

RV

� � � �

� ��

43. Danas je uloženo 150000 dinara sa 6 % godišnje, kapitalisanje polugodišnje. Po

koliko treba dodavati ovoj sumi u toku 8 godina, krajem svakog polugodišta, da se na dan ulaganja poslednjeg uloga ima ukupna suma od 450000 dinara uz polugodišnje kapitalisanje?.

� �

'

3 316 15

150000 dinara, 450000, ?, 3%, 2, 8,2

150000 1 450000,

150000 1,60470643 20,15688130 450000,240705,96 20,15688130 450000,

npK S u m n

I u III

uu

� � � � � �

% � % � �

% � % �� % �

168

209294,04 10383, 26 dinara20,1568813

u � �

44. Koji se zajam može amortizovati, sa 4% godišnje, za 10 godina dekurzivnim

anuitetom od 48000 dinara, koji se pla�a: a) godišnje uz godišnje kapitalisanje; b) polugodišnje uz polugodišnje kapitalisanje; v) tromese�no uz tromese�no kapitalisanje?

a) Godišnje pla�anje i kapitalisanje

410

48000 dinara, 4%, 10 godina, ?48000 8,11089577 389323 dinara

a p n ZZ a IV� � � �

� % � % �

b) Polugodišnje pla�anje i kapitalisanje

220

48000 dinara, 2%, 2, 10, 20, ?2

48000 16,35143334 784868,78 dinara

pa m n mn Z

Z a IV

� � � � � �

� % � % �

c) Tromese�no pla�anje i kapitalisanje

140

48000 dinara, 1%, 4, 10, 40, ?4

48000 32,83468611 1576064,93 dinara

pa m n mn Z

Z a IV

� � � � � �

� % � % �

45. Zajam od 4500000 dinara amortizuje se u jednakim anuitetima tokom 12 godina

sa 6% godišnje dekurzivno. Izra�unati anuitet ako se pla�a: a) godišnje uz godišnje kapitalisanje; b) polugodišnje uz polugodišnje kapitalisanje; v) �etvoromese�no kapitalisanje?

a) Godišnje pla�anje i kapitalisanje

612

4500000 dinara, 6%, 12 godina, ?4500000 0,11927702 536746,57 dinara

Z p n aa Z IV

� � � �

� % � % �

b) Polugodišnje pla�anje i kapitalisanje

324

4500000 dinara, 3%, 2, 12, 24, ?2

4500000 0,05904741 265713,35 dinara

pZ m n mn a

a Z IV

� � � � � �

� % � % �

c) �etvoromese�no pla�anje i kapitalisanje

169

236

4500000 dinara, 2%, 3, 12, 36, ?3

4500000 0,039233285 176547,83 dinara

pZ m n mn a

a Z IV

� � � � � �

� % � % �

46. Zajam od 500000 dinara amortizuje se za 3 godine, polugodišnjim jednakim

anuitetima sa 6% godišnje, uz polugodišnje dekurzivno kapitalisanje. Treba izraditi plan amortizacije ovog zajma.

36 500000 0,18459750 92298,75 dinaraa Z V� % � % �

Polug. Zajam 3% intere

sa Otplata

1 500000,00 15000,00 77298,75 1b 1500000 3

100i %

� �

2 422701,25 12681,04 79617,71 2b 1 15000 din.i �

3 343083,54 10292,51 82006,24 3b 2422701,25 3

100i %

� �

4 261077,30 7832,32 84466,43 4b 2 12681,44 din.i �

5 176610,87 5298,33 87000,42 5b itd.

6 89610,45 2688,31 89610,45 6b

1793083,40 53792,50 500000,00 47. Trideseta otplata iznosi 22500 dinara, vreme amortizacije zajma je 23 godine sa

6% godišnje, kapitalisanje i pla�anje anuiteta polugodišnje dekurzivno. Izra�unati: a) zajam; b) otpla�eni deo zajma sa 35 prvih anuiteta; c) ostatak zajma posle 25 pla�enih anuiteta; d) ostatak zajma posle 35 pla�enih anuiteta ako interes na taj ostatak iznosi 10322,90 dinara; e) otpla�eni deo zajma anuitetima od 28. do 40 zaklju�no.

3 330 46 30 1 30 17

3 31 30 30 1 30 29

346

22500 1,65284763 37189,07 dinara

22500 0,42434636 9547,79 dinara

a) 37189,07 din., 3%, 2, 23, 46, ?2

37189,07 24,77544906 921375,

a b I b Ib b II b II

pa m n mn Z

Z a IV

� �

�

� % � % � % �

� % � % � % �

� � � � � �

� % � % � 91 dinara

170

� �1 35

335 1 34

b) 9547,79 din., 3%, ?2

1 9547,79 60,46208181 577279,26 dinara

pb O

O b III

� � �

� � � % �

� �

46 25

3 346 25 46 25 21

46 25

321 25 1 24

21

c) 37189,07 din., 3%, ?2

37189,07 15, 41502413 573270, 41573270,41 dinara

ili

1 921375,91 348105, 40 573270,51

573270,51 dinara

pa R

R a IV a IVR

R Z O Z b III

R

�

� �

�

� � �

� % � % � % �

�

� � � � � � � �

�

� � � �

35 46 35

46 35

1

3 3 3 32 21 1 2 1 40 1 28 2 1 39 26

d) 10322,90 din., 3%, ?2

100 10322,90 =344096,66 dinara3

e) 40, 28, 3%, 9547,79 dinara, ?2

9547

k c

p p

k c k c

k c

pi R

R

pk c b O

O b III III b III III b III III

O

�

�

�

� � � � �

�

� � �

%�

� � � � �

� � � � � ��

��

12

,79(74,40125973 39,70963351) 9547,79 34,69162622=331228,36 dinaraO

� � %

48. Zajam od 4000000 dinara amortizuje se godišnjim anuitetom 22%, sa interesom

6% godišnje, kapitalisanje godišnje dekurzivno. Izraditi plan amortizacije i izra�unati poslednju otplatu i anuitetni ostatak.

4000000 22 880000 dinara,100

a %� �

6n

880000V 0,224000000

� �

0, 2373 5 godina

0,2033 6 godina

$

$

880000 dinaraa �

171

n Zajam 6% interesa Otplata

1 4000000,00 240000,00 640000,00

2 3360000,00 201600,00 678400,00

3 2681600,00 160896,00 719104,00

4 1962496,00 117749,76 762250,25

5 1200245,76 72014,74 807985, 62

6 392260,50 23535,63 392260,50

13596602,26 815796,13 4000000,00 ZADACI ZA VEŽBU: 1. Izra�unati koliko je: a) 0,01% od 700 dinara; b) 117% od 2400 dinara; c) 15% od 9800 dinara; d) 0,5% od 1650 dinara. 2. Radnik ima mese�nu zaradu u iznosu od 17500 dinara. Koliko iznosi zarada posle

10% pove�anja plate? 3. Roba se prodaje za 25400 dinara posle sniženja od 17%. Izra�unati: a) Za koliko dinara je snižena cena. b) Koliko bi iznosila prodajna cena da je sniženje iznosilo 30% od prvobitne cene. c) Ako se roba prodaje po 24900 dinara, koliko iznosi sniženje cene. 4. Jedna polovina robe na stovarištu prodata je sa maržom od 5%. Na nabavnu cenu

marža iznosi 15000 dinara. Izra�unati: a) Za koliko dinara je prodat ostatak robe, ako je na njemu ostvarena marža 8% b) Koliko procenata marže je ostvareno na ukupno prodatoj robi.

5. Posle sniženja cene za 30% roba se prodaje za 48000 dinara. Za koliko

procenata treba sadašnju cenu pove�ati da bi se roba prodavala po ranijoj ceni?

172

6. Pri prodaji jedne petine robe sa zalihe zara�unata je marža 4%, pri prodaji tri �etvrtine marža je 9,5% a na ostatku 2,5%. Izra�unati nabavnu cenu ove robe, ako je ostvarena marža na svoj prodatoj robi 67850 dinara.

7. Cena robe je prvi put pove�ana za 25%, a zatim za 12%, pa je zatim smanjena

za 5%. Posle smanjenja cene, roba se prodaje za 750 dinara. Izra�unati cenu robe pre prvog pove�anja cene.

8. Prodata je 1/3 od ukupne koli�ine robe na zalihama i to sa zaradom od 8% za

7560 dinara. Na 2/5 je ostvarena zarada 10% a na ostatku je ostvarena zarada od 5%. Izra�unati kolika je bila ukupna nabavna vrednost robe na zalihama i kolika je bila ukupna ostvarena zarada u dinarima I procentima.

9. Posle sniženja od 20% roba se prodaje za 4350 din. Za koliko procenata treba

novu cenu robe pove�ati da bi se roba prodavala po ranijoj ceni? 10. Dužniku je odobren zajam od 21000 dinara na dan 23. septembar. Tom prilikom

je odbijena kamata do 23. oktobra i ispla�en ostatak od 19100 dinara. Izra�unati po kojoj kamatnoj stopi je ra�unata kamata.

11. Zbir dva kapitala je 12.000 din. Prvi je uložen sa 6% a drugi sa 10%. Zbir

godišnjih kamata na oba kapitala je 1.050 din. Odrediti kapitale. 12. Dana 25. aprila je dužniku odobren zajam od 32.000 dinara. Tom prilikom je

odbijena kamata do 25. maja i ispla�en ostatak od 28.533 dinara. Izra�unati po kojoj kamatnoj stopi je ra�unata kamata.

13. Oro�eno je u banci pod kamatu: 30% kapitala sa 6% (k, 360) kamate za 60 dana

50% kapitala uz 4% (k, 360) kamate za 90 dana , a ostatak uz 4,5 % (k, 360) kamate za 80 dana. Ukupna oro�ena suma u banci narasla je zajedno sa kamatom na 303000 dinara. Koliko iznosi ukupna oro�ena suma u banci?

14. Dva kapitala se razlikuju za 2500 dinara. Ve�i kapital je ukama�en sa 6% za 8

meseci, a manji sa 5% za 6 meseci. Kamata prvog kapitala je jednaka dvostrukoj kamati drugog kapitala. Odrediti oba kapitala.

173

8. ELEMENTI TEORIJE VEROVATNO�E

PRIMERI SA REŠENJIMA:

1. Neprovidna kesa sadrži 30 kuglica: 10 crvenih, 8 plavih i 12 neobojenih. Iz kese se izvla�i, na sre�u, jedna kuglica. Kolika je verovatno�a da �e se izvu�i obojena kuglica?

Ozna�imo sa A doga�aj “ izvu�ena crvena kuglica” i sa B “ izvu�ena plava kuglica”. Tada doga�aj A B� ozna�ava “ izvu�ena obojena kuglica”. Pošto su doga�aji A i B neudruživi, to je:

� � � � � � 10 8 0,630 30

P A B P A P B� � � � � �

2. U lutriji ima 1000 sre�aka, od kojih 1 sre�ka dobija zgoditak 500 dinara, 10

sre�aka zgoditke po 100 dinara, 50 sre�aka zgoditke po 20 dinara, 100 sre�aka zgoditke po 5 dinara, ostale sre�ke su bez zgoditaka.. Kolika je verovatno�a dobijanja zgoditka ne manjeg od 20 dinara za 1 kupljenu sre�ku?

Neka je doga�aj 1A “ zgoditak od 20 dinara”, 2A zgoditak od 100 dinara,

3A “zgoditak od 500 dinara”, doga�aj A “ zgoditak ne manji od 20 dinara”,

to je 1 2 3A A A A� � � i uzimaju�i u obzir neudruživost doga�aja 1, 2 ,A A i 3� imamo:

� � � � � � � �1 2 350 10 1 0,061

1000 1000 1000P A P A P A P A� � � � � � �

3. Ba�eni su nov�i� i kocka . Neka je A doga�aj “ pao je grb” i B

“ pala 3 na kocki” . Odrediti � �P A B�

�� 61, 2, 3, 4, 5, 6 , pa je 12

A G G G G G G P A� �

� � �� 23, 3 , pa je 12

B G C P B� �

174

�� 13 , pa je 12

A B G P A B/ � / �

� � 6 2 1 712 12 12 12

P A B� � � � �

4. Kolika je verovatno�a da se iz 32 karte izvu�e ili crvena karta ili dama?

Pošto se ovde doga�aji udružuju, jer crvena karta obuhvata i dve dame � �AB , to je verovatno�a:

� � � � � � � � 1 1 1 92 8 16 16

P A B P A P B P A B� � � � / � � � �

5. U kesi se nalazi 60 cedulja na kojima su redom ispisani prirodni brojevi od 1 do

60. Ako izvu�emo iz kese jednu cedulju, kolika je verovatno�a da broj koji smo izvukli nije deljiv ni sa 3, ni sa 4, ni sa 5?

Ovde je ��1, 2,3....59,60 ;m �

: broj deljiv sa 3 : broj deljiv sa 4: broj deljiv sa 5

ABC

�� 3,6,9,12,15,18, 21, 24,....57,60 20; 4,8,12,16, 20...56,60 15;A B� � � �

��

5,10,15,20....60 12; 12,24,36,48,60

5 V A C 15,30,45,60 4

C P A B� � / � �

� / � �;

� � ��

� �

20,40,60 3; 60 1;

20 15 12 5 4 3 1 360 60 60 60 60 60 60 5

P B C P A B C

P A B C

/ � � / / � �

� � � � � � � � � �

� � 3 215 5

P A B C� � � � � je tražena verovatno�a.

6. Ukolektivu ima 63 muškarca i 37 žena. Me�u muškarcima se nalazi 42% puša�a,

i 58% nepuša�a, dok me�u ženama ima 14% puša�a i 86% nepuša�a. Doga�aj da je slu�ajnim izborom odabrana osoba mu�karac obeležimo sa A i da puši sa B . Izra�unaj verovatno�e slede�ih doga�aja

a) � �;P AB b) � �P AB ; c) � �;P AB d) � �P AB

175

a) � � 63 42 0,2646;100 100

P AB � % �

b) � � 37 14 0,0518;100 100

P AB � % �

c) � � 0,3654;P AB �

d) � � 0,3182;P AB �

7. Ako se iz jednog špila od 32 karte i drugog od 52 karte izvu�e po jedna

karta, kolika je verovatno�a da �e to biti 2 keca?

Ovde se doga�aj D realizuje kroz dva nezavisna doga�aja, A i ,B jer izvla�enje keca iz špila od 32 karte ni�im ne uti�e na izvla�enje keca iz špila od 52 karte, pa su verovatno�e ovih doga�aja:

� � 4 1 ;32 8

P A � � � � 4 1 ;52 13

P B � � � � � � 1104

P D P AB� �

8. Kolika je verovatno�a da se dve kocke, numerisane od 1-6, bace prvi put dva

jednaka broja, drugi put zbir 5, tre�i put zbir 9?

Od ranije znamo da kod dve kocke 26 36m � � . Ovde se doga�aj D realizuje kroz tri nezavisna doga�aja , ,A B C ,jer realizacijom jednog od njih ni�im se ne uti�e na realizaciju ostala dva doga�aja, pa je verovatno�a o�ekivanog doga�aja D :

� � � � 1 1 1 16 9 9 486

P D P ABC� � % % �

9. Kolika je verovatno�a da iz špila od 32 karte u tri uzastopna izvla�enja: a)

izvu�emo; b) ne izvu�emo damu ako se izvu�ena karta vra�a?

Da prvi put izvu�emo damu verovatno�a je 4/32, dama se vra�a, to je ista verovatno�a za drugi i tre�i put, pa je broj povoljnih slu�ajeva za sva tri

izvla�enja isti � �1 2 3 ,p p p p� � � a tako�e i broj svih mogu�ih slu�ajeva

� �1 2 3 ,m m m m� � � pa je verovatno�a o�ekivanog doga�aja D :

a) � �34 1 ;

32 512P D � ��

� b) � �

34 511132 512

P D � � ��

176

10. Sijalice su pakovane po 120 komada, u kutije, od kojih su 105 ispravne ( doga�aj A ), a od njih su 80 komada ja�ine 60w ( doga�aj B ). Kolika je verovatno�a da se slu�ajnim izborom izvadi ispravna sijalica ja�ine 60w?

U ovom primeru doga�aj B zavisi od realizacije doga�aja A , pa je

1 2120; 105; 80,n n n� � � a verovatno�a:

� � � �105 80; ,120 105AP A P B� � a verovatno�a � � 2 .

3P A B/ �

11. Iz špila od 52 karte izvu�ene su, na sre�u, tri karte ( bez vra�anja). Kolika je

verovatno�a da me�u njima ne�e biti nijednog keca?

Pošto ima 52 karte, od kojih su 4 keca, to pri izvla�enju prve karte imamo za doga�aj

: 48, 52,A m n� � pa je:

� � 48 .52

P A �

Pri uslovu da prva izvu�ena karta nije kec imamo za � � 1 1: 47, 51,A

B m n� � pa je:

� � 47 .51A

P B �

Analogno je � � 46 ,50AB

P C � pa �e tražena verovatno�a biti:

� � 48 47 46 4324 0,783.52 51 50 5525

P A B C/ / � % % � �

12. Ispitni program sadrži 100 pitanja. Student je došao na ispit znaju�i 85 pitanja.

Na ispitu se izvla�i tri pitanja. Kolika je verovatno�a da student zna sva 3 pitanja?

1A doga�aj da student zna da odgovori na I pitanje

2A doga�aj da student zna da odgovori na II pitanje

3A doga�aj da student zna da odgovori na III pitanje

1 2 3 1 2 3, ,D A A A A A A� % % zavisni doga�aji

� � � � � � � �1 2 1 3 1 285 84 83 83 84 85/ /

100 99 98 98 99 100P D P A P A A P A A A % %

� % % % � % % �% %

177

13. Pet strelaca ga�aju po jednom i nezavisno jedan od drugog isti cilj. Verovatno�a da pogode cilj strelci je:

I – 0,90 II – 0,80 III- 0,95 IV- 0,90 V- 0,85 Na�i verovatno�u da je cilj pogo�en jednom.

1

2

3

4

5

cilj je pogodio I cilj je pogodio II cilj je pogodio III cilj je pogodio IV cilj je pogodio V

AAAAA

��

I na�in:

To bi predstavljale sve kombinacije od pet strelaca izuzev one gde svih 5 ne pogode cilj.

II na�in: Ako je doga�aj D zna�io da se cilj pogodi bar jednom, cD �e zna�iti da se ne pogodi ni jednom.

doga�aji su nezavisni:

� � � � � � � � � � � ��

1 2 3 4 5

0,10 0,20 0,5 0,10 0,15 0,010 0,100 0,15 0,001000 0,15 0,00015

1 0,00015 0,99985

c c c c c c

c

P D P A P A P A P A P A

P D

P D

� % % % %

� % % % % � % % � % �

� � �

14. Radnik kontroliše rad tri mašine. Verovatno�e da u toku jednog dana ne�e biti

popravka prve, druge i tre�e mašine su: 1 2 30,90; 0,95; 0,80p p p� � � Na�i verovatno�u da �e na svim mašinama biti potrebna popravka u toku istog

dana, za slu�aj kada mašine rade nezavisno jedna od druge. 1� � potrebna popravka na I mašini

2� � potrebna popravka na II mašini

3� � potrebna popravka na III mašini

� � � � � � � �

1 2 3

1 2 3 0,10 0,05 0, 20 0,0200 0,05 0,0010D A A AP D P A P A P A

� % %

� % % � % % � % �

1 2 3 4 5 ;c c c c c cD A A A A A� % % % %

178

15. Trojica igra�a A,B,C dogovorili su se da bacaju kocku pod slede�im uslovima: prvo ba�a igra� A, za njim igra� B, a za njim igra� C, a zatim opet po�ev od igra�a A sve po istom redu. Pobe�uje onaj igra� kod koga se prvo pojavi broj 6. Na�i verovatno�u pobede za svakog od igra�a A,B,C

j

j

pri j-tom bacanju kod igra�a A pojavi se broj 6

B pri j-tom bacanju kod igra�a B pojavi se broj 6

C pri j-tom bacanju kod igra�a C pojavi se broj 6

jA

B

C

igru dobija igra� �D igru dobija igra� BD igru dobija igra� C

AD ��

1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 3 ....c c c c c c c cAD A A B C A A B C A B A� � % % % � % % % % % �

unija disjuktivnih doga�aja. Kkod proizvoda uzimamo proizvod verovatno�e jer su doga�aji nezavisni.

� � � � � � � �

� �

1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 3

3 5

.....

1 5 1 5 1 ...6 6 6 6 6

c c c c c c c c cA

A

P D P A P A B C A P A B C A B C A

P D

� � % % % � % % % % % % �

� � % � % � ��

3 6

31 5 5 1 1 1 1 1 36 6 361 ... 1 216 1256 6 6 6 6 6 91 9151 2166

% � � � � � % � % � % ��

� � 3691AP D �

� � � � � �

� �

� �

� � � �

1 1 1 1 1 2 2

1 1 1 1 1 2 2

4

...

...

5 1 5 1 ...6 6 6 61 5 36 3066 6 91 91

30 36 91 66 25 191 91 91 91

c c c c cB

c c c c cB

B

B

C A B C

D A B A B C A B

P D P A B P A B C A B

P D

P D

D D D P D

� % � % % % % �

� % � % % % % �

� % � % ��

� % % % ��

�� >� � � � � � �

179

16. Iz špila karata za remi (108 karata) izvla�i se 1 karta. Neka je doga�aj A -

izvu�ena karta je "pik" a doga�aj B - izvu�ena karta je "dama". Tada imamo:

� � � �12 1 30 5 108 9 108 18

P B P A� � � �

� � � � � � � �6 1 108 18

P AB P AB P A P B� � � %

17. Isto kao u 1, iz špila od 52 karte imamo:

� � � �30 5 12 1 108 18 108 9

P A P B� � � �

� � � � � � � �6 1 108 18

P AB P AB P A P B� � � %

U primeru 2 doga�aji A i B su zavisni a u primeru 3 nezavisni! 18. Tri strane pravilnog tetraedra obojene su redom crvenom, plavom i žutom dok je

�etvrta strana obojena sa sve tri boje. Neka sa A ozna�imo doga�aj da prilikom bacanja tetraedar padne na crvenu boju, B na plavu, C na žutu. Tada je

( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ),P AB P A P B P AC P A P C P BC P B P C� � �

jer je 1 1( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) .4 2

P AB P AC P BC P A P B P C� � � � � �

Sada je � � � � � � � �1 14 8

P ABC P A P B P C� � � % % pa A, B i C nisu nezavisni,

mada su to u parovima. 19. U grad X dolazi 450 automobila iz A, 300 automobila iz B, 250 automobila iz

C. Verovatno�a da �e automobil koji dolazi iz A imati gumi defekt je 0,04, iz B 0,06 i iz C 0,08. Koja je verovatno�a da je jedan automobil koji je došao u X slu�ajno izabran imao gumi defekt?

� � � � � � � � � � � �

� �

( )

45 3 250,04 0,06 0,08100 10 1001 10,18 0,18 0, 2 0,56 0,056

10 10

P Q P A P Q A P B P Q B P C P Q C� % � % � % �

� % � % � % �

� � � � �

180

20. Uzmimo slu�ajnu veli�inu X koja se javlja pri bacanju kocke:

1 2 3 4 5 61 1 1 6 6 6

X � �� %%%%� � �

Matemati�ko o�ekivanje je � �6

1

16 i

iE X p

�

� %=

� � � �1 1 1 1 1 1 1 1 211 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 216 6 6 6 6 6 6 6 6

E X � % � % � % � % � % % % � � � � � � � % �

21. Na�i srednju vrednost Puasonove slu�ajne veli�ine koja postiže vrednosti

0 1 2

0 1 2 ....n...p p p ... ..np

� � �

>0!

n

np en

22 2��

� �

� � � �

0

0 0 0

1 1

0 0

= j! 1 !

1 ! 1 !

AjJ

j J

X j

J J

X j I

E P j e ej J

e e e eJ J

2 2

2 2 2

2 2

2 2 22 2 2

�

�

� � ��

� ��

� %

% � % % � % ��

%� % � % % � % % �

� �

=

= = =

= =

XE 2� 22. Na�i disperziju dinami�ne slu�ajne veli�ine

0

0........... n

np p

� � �

Pri �emu je � � 0, 1-n k n kk kp p q p q p�� % % � �

Po definiciji je � � � � � �22D X E X EX� �

� � � �

� � � �

2 2 2 2 2 20 1

1

2 2

1

0 1 ... ...

!1 ....! !

nn k n k

n kn

nk n k

k

E X p p k pk p n k p q

nk k k p q npq n pk n k

�

�

�

�

� % � % � � � � �

� � � % % � � � !" # % �

=

=

181

� � � � � ��

0 11 1

22 2

!0 1 ...! !

n nm k n k k n k

n kk k

nE x p p n p k p q k p q npk n k

D x npq n p np npq

� �

� �

� % � % � % � � % % % ��

� � � �

= =

23. Funkcija raspodele � �2xF x A Barctg� � , x�� . Na�i A, B, gustinu

raspodele i izra�unati ( ).P a X b� �

� �

� �

02

12

F A B

F A B

�

�

��

��

1 1 2

A B�

� �

� � � � � �2 2 2

1 1 1 1 4 2'2 2 4 41

4

f x F xx x x� � �

� � % % � % ��

� � 1 1 1 12 2 2 2

b aP a X b arctg arctg� �

� � � � � % .

24. U magacinu se nalazi 5 Obodinovih i 7 frižidera fabrike Gorenje. Slu�ajno su

uzeta 3 frižidera. Kolika je verovatno�a da me�u njima dva budu Obodinovi.

Ako je A doga�aj da od 3 uzeta frižidera dva budu Obodinova onda je broj

mogu�ih 12 12 11 103 3!

n % %� ��

a broj mogu�nosti u kojima se ostvaruje doga�aj A je:

5 7 5 4 72 1 2

m % %� ��

zna�i verovatno�a 3! 5 4 7 7( )

2 12 11 10 22mP An

% % %� � �

% % %

182

25. Neka se u kutiji nalazi 15 žetona, od kojih 6 belih i 9 crvenih. Sukcesivno se izvla�e dva žetona, kolika je verovatno�a da u prvom izvla�enju bude beo a u drugom crvenižeton.

Ozna�avaju�i izvla�enje belog žetona kao nastajanje doga�aja A a izvla�enje crvenog kao doga�aj B i kako su doga�aji nezavisni onda je:

6 2( )15 59 3( )

15 5

P A

P B

� �

� �

2 3 6( ) ( ) ( )5 5 25

P AB P A P B� % � % �

ako su doga�aji A i B zavisni, tj. Ako nastajanje doga�aja B zavisi od ostvarenja doga�aja A (odnosno da li je u prvom pokušaju izvu�en beli ili crveni žeton koji se ne vra�a) tada je:

6 9 9( ) ( ) ( / )15 14 35

P AB P A P B A� % � % �

26. Iz špila od 52 karte izvla�i se po jedna karta, bez vra�anja. Kolika je

verovatno�a da se u drugom izvla�enju izvu�e kralj.

Neka je A izvla�enje kralja u prvom i B izvla�enje kralja u drugom pokušaju, tada je:

4 1( )52 13

P A � � a 4 3 48 4 1( )

52 51 52 51 13P B � % � % �

što zna�i da je ista verovatno�a da se ta karta izvu�e ili u prvom ili u drugom pokušaju.

27. Trgovina je u toku dana prodala 40 TV aparata marke sony i 10 marke

Samsung. Kolika je verovatno�a da je peti po redu prodat aparat bio marke Samsung.

Ako je X slu�ajna promenljiva koja predstavlja redni broj prodatog TV aparata, onda je X=5.

40 39 38 37( 5) (50 40) 0,08627 8,63%50 49 48 47 46

P X % % %� � � % � �

% % % %

183

28. Na raspisani konkurs u nekoj firmi prijavilo se 20 progamera sa završenim ETF-om i 30 sa završenim PMF-om. Statisti�ka istraživanja pokazuju da me�u zaposlenom programerima je 60% onih koji su završili ETF i 80% PMF. Kolika je verovatno�a da je izabrano lice:

a) Završilo ETF b) Završilo PMF Neka je B izbor kandidata sa završnim PMF-om, a A izbor sa završenim ETF-om.

8 4( / )10 5

2 3 3 4 18( )5 5 5 5 25

P A B

P A

� �

� % � % �

Pa je verovatno�a: 2 3

15 5( / ) 18 325

P A B%

� �

zna�i da je verovatno�a da izabrano lice ima završen PMF jednaka 1 2( ) 13 3

P B � � � .

29. U kutiji se nalazi 10 numerisanih cedulja i slu�ajno se izvla�i šest puta po jedna

sa vra�anjem. a) Kolika je verovatno�a da se �etiri puta izvu�e cedulja, �ija je numeracija broj deljiv sa 5 b) Koji je o�ekivani broj takvih cedulja

Neka je A doga�aj izvla�enja cedulje sa numeraciom broj 5 tj. 10, onda je

2 110 5

p � �

X je slu�ajna veli�ina i predstavlja broj javljanja posmatranog doga�aja, zna�i 2

4 2

6 1 4 48( 4) 0,01537 1,54%4 5 5 3125

P X � � % % � � ��

�

o�ekivani broj izvla�enja date cedulje je 1 6( ) 65 5

E X n p� % � % � što zna�i

samo jedna cedulja.

184

30. Verovatno�a proizvoda sa greškom tokom proizvodnje u jednoj fabrici je 0,5%. Kolika je verovatno�a da se me�u 10000 prizvedenih jedinica prona�e samo tri neispravne.

X je slu�ajna promenljiva i predstavlja broj proizvoda sa greškom, zna�i X=3, a verovatno�a jednog javljanja je na 10000 p=0,0005, što zna�i da koristimo Puasonov model gde je N=10000, m=3 i k=np=5

355( 3) 0,14

3!P X e��

Zadaci za vežbu: 1. Baca se homogena numerisana kocka. Na�i verovatno�e:

a) da padne 2 ili 3 b) da padne 2 i 3 c) da padne 4 d) da ne padne 4

2. Bacaju se dve kocke istovremeno. Na�i:

a) verovatno�u da na jednoj padne 3 a na drugoj 4 b) da padnu isti brojevi na obe

3. Na�i verovatno�u da pri bacanju dve kocke istovremeno padnu brojevi �iji zbir

nije ve�i od 8. 4. Bacane su tri numerisane kocke istovremeno i sabirani su brojevi koji se na ovim

kockama pojavljuju. Prime�eno je da onaj igra� koji se kladi da �e zbir biti 11 dobija �eš�e od onog koji se kladi na 12. Zašto je to tako?

5. Tri strelca ispale hice prema cilju. Verovatno�a da �e prvi strelac pogoditi cilj

iznosi 0,75, da ga pogodi drugi 0,8, i da ga pogodi tre�i 0,4. Kolika je verovatno�a da cilj pogodi ma koji od tri strelca?

6. Verovatno�a da radar otkrije avion je 0,8. Ako su postavljena tri takva radara,

kolika je verovatno�a da �e bar jedan otkriti avion? 7. Osiguravaju�i zavod ispla�ivao je osiguranje protiv kra�e automobila, u proseku

jednom na sto osiguranika. Kolika treba da je godišnja premija za osiguranje protiv kra�e automobila, za vrednost od 10000 eura?

185

8. Firma je ubacivala u poštansko sandu�e reklamu za svoje proizvode. U 10% slu�ajeva je tako dobijala nove kupce. Ako se reklama ubaci u 100 sandu�i�a

a) koliki je o�ekivan broj novih kupaca b) kolika je verovatno�a da firma dobije bar dva nova kupca.

9. Servis za popravku centralnog grejanja je pozivan u proseku 6 puta u toku

jednog sata. Kolika je verovatno�a da �e u toku odre�enog sata servis biti pozivan

a) ta�no 5 puta b) bar jedanput

10. Stanica hitne pomo�i prima u proseku 12 poziva na sat. Kolika je verovatno�a

da �e u periodu od 10 minuta biti a) bar 1 poziv b) najviše 1 poziv.

11. U proizvodnji jednog proizvoda 31% je I klasa. Koliko proizvoda I klase

možemo o�ekivati u slu�ajno odabranoj partiji od 75 proizvoda? 12. Statisti�ki je dokazano da je od 1000 novoro�ene dece 515 muških i 485

ženskih. Odrediti verovatno�u da u slu�ajno odabranoj porodici od petoro dece bude: a) troje ženskih b) najviše troje ženskih c) najmanje dvoje i najviše �etvoro ženskih.

13. Prose�an broj poziva koje jedna telefonska centrala primi u toku jednog minuta

iznosi 0,8. Izra�unati verovatno�u da u toku jednog minuta centrala primi: a) 1 poziv b) 4 poziva c) više od 6 poziva.

14. U jednom gradu prose�an broj saobra�ajnih udesa u jednom danu iznosi 1,5.

Koliko udesa u jednoj godini od 365 dana ima dana bez saobra�ajnog udesa?

186

9. ELEMENTI STATISTIKE

PRIMERI SA REŠENJIMA:�

1. Anketirano je 30 kupaca u prodavnicama „C Marketa“ o prose�noj dnevnoj potrošnji vekni hleba. Dobijeni su slede�i podaci:

1 3 4 2 5 1 6 2 2 2 4 5 3 2 6 2 2 3 1 1 1 3 6 4 2 1 2 3 2 1

a) Srediti podatke u rastu�i niz b) Formirati distribuciju apsolutnih i relativnih frekvencija u procentima c) Prikazati grafi�ki distribuciju apsolutnih frekvencija

a)

1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 5 5 6 6 6

b) x

if rf %rf 1 7 0,23 232 10 0,33 333 5 0,17 174 3 0,10 105 2 0,07 76 3 0,10 10= 30 11 100

c)

187

2. Pra�enjem dnevne prodaje svog novog proizvoda na 30 prodajnih mesta proizvo�a� je došao do slede�ih rezultata:

22 21 24 22 26 21 26 23 22 23 22 25 23 22 24 22 21 23 22 21 21 23 25 24 22 21 22 24 22 22

a) Formirati distribuciju apsolutnih frekvencija. b) Formirati distribuciju relativnih frekvencija u procentima i predstaviti je grfi�ki. c) Formirati distribuciju kumulativnih frekvencija i odrediti na koliko je prodajnih

mesta prodato 24 i manje proizvoda.

x if rf %rf .K f

21 6 0,20 20 622 11 0,37 37 17 23 5 0,16 16 22 24 4 0,13 13 26 25 2 0,07 7 28 26 2 0,07 7 30 = 30 11 100

Iz distribucije kumulatvnih frekvencija vidimo da da su 24 i manje proizvoda

prodata na 26 prodajnih mesta.

3. Pogon za kontrolu pakovanja kafe preduze�a „Grand“ kontroliše mašinu za punjenje kafe u pakovanje od 2 kg. Kontrola 20 pakovanja dala je slede�e rezultate:

2,02 1,89 1,92 1,84 1,90 1,97 1,95 1,94 1,93 2,01 2,01 1,97 1,95 1,90 1,94 1,96 1,99 1,99 1,97 1,94

188

a) Izra�unati prose�nu koli�inu kafe u pakovanju b) Odrediti medijanu za grupisane podatke c) Formirati distribuciju frekvencije za intervale klasa 1,80-1,89; 1,90-1,99;

2,00-2,09 i izra�unati prose�nu koli�inu kafe u jednom pakovanju koriste�i u izra�unavanju sredine klasnih intervala. Uporediti prose�ne vrednosti koje se dobiju pre i posle grupisanja podataka.

a) 38,99 1,949 kg

20x

xn

� � �=

b) 1

10 112 2

2 2

n n

e

x xx xM

��

��

Težina

pakovanja if .K f

1,84 1 1 1,89 1 2 1,90 2 4 1,92 1 5 1,93 1 6 1,94 3 9 1,95 2 11 1,96 1 12 1,97 3 15 1,99 2 17 2,01 2 19 2,02 1 20

= 20

Iz kumulativnih frekvencija vidimo da je težina desetog i jedanaestog pakovanja 1,95 kg pa �e medijana biti:

1,95 1,95 1,95

2eM ��

189

c) Intervali klasa x f f x%

1,80-1,89 1,845 2 3,691,90-1,99 1,945 15 29,1752,00-2,09 2,045 3 6,135

= 20 39

Prose�na težina pakovanja za grupisane podatke �e biti:

39 1,95 kg20

f xx

n%

� � �=

Dobijeni rezultati pre i posle grupisanja su približno isti.

4. Kompanija “Samsung” sprovodi akciju pove�anja produktivnosti u svom proizvodnom sektoru pra�enjem broja proizvedenih monitora za jedan radni sat. Kontrola 20 proizvodnih linija jednog pogona dala je slede�e rezultate.

46 38 42 39 46 43 44 44 38 41 41 41 42 39 38 40 43 38 45 38

a) Izra�unati prose�nu proizvodnju monitora za jedan radni sat u ovom pogonu. b) Odrediti medijanu za negrupisane podatke. c) Formirati distribuciju frekvencije za intervale klasa 38-40; 41-43; 44-46 i

izra�unati prose�nu proizvodnju monitora u ovom pogonu koriste�i u izra�unavanju sredine klasnih intervala. Uporediti prose�ne vrednosti koje se dobiju pre i posle grupisanja podataka.

a) 826 41,3 monitora20

xx

n� � �=

b) 1

10 112 2

2 2

n n

e

x xx xM

��

��

3 5 6 7 8 9 101 2 4 11

38 38 38 38 38 39 39 40 41 41 41x x x x x x xx x x x

Posle sre�ivanja podataka u rastu�i niz dobijamo x10 i x11 pa je medijana:

41 41 412eM �

� �

c) Intervali klasa x f f x%

38-40 39 8 31241-43 42 7 29444-46 45 5 225= 20 831

190

Prose�na proizvodnja monitora za grupisane podatke �e biti:

831 41,55 monitora20

f xx

n%

� � �=

5. Iz podataka intervalne distribucije frekvencija izra�unati varijansu 2( )? .

x 0 – 2 3 – 5 6 – 8 9 – 11 12 – 14 f 4 6 13 8 2

Formiramo tabelu

x six if

2six i sif x 2

i sif x

0 – 2 1 4 1 4 4 3 – 5 4 6 16 24 96 6 – 8 7 13 49 91 637

9 – 11 10 8 100 80 800 12 – 14 13 2 169 26 338

= 33 225 1875

Aritmeti�ka sredina:

225 6,8233

i if xm

N� � �=

Varijansa: 2

2 2 2

2

1875 6,82 56,82 46,5133

10,31

i if xm

N?

?

� � � � � �

�

=

7six � if ( 7)si ix f� 2six 2( 7)si ix f�

-6 4 -24 36 144 -3 6 -18 9 54 0 13 0 0 0 3 8 24 9 72 6 2 12 36 72

= 33 -6 342

a) 6 67 , 7 6,8233 33

m m� � � � � �

b) 2 2342 0,18 10,3133

? � � �

191

6. Na osnovu podataka datih u tabeli:

x 0 – 3 4 – 7 8 – 11 12 – 15 f 4 5 12 7

Izra�unati: a) Aritmeti�ku sredinu i varijansu b) Standardnu devijaciju c) Koeficijent varijacije

Formiramo tabelu

x f ix 2ix ifx 2

ifx 0 – 3 4 1,5 2,25 6,00 9,00 4 – 7 5 5,5 30,25 27,50 151,25

8 – 11 12 9,5 90,25 114,00 1083,00 12 – 15 7 13,5 182,5 94,50 1275,75

= 28 - - 242 2519

a) Aritmeti�ka sredina:

242,00 8,6428

i i

i

f xmf

� � �=

varijansa: 2

2 2 2

2

2519 8,6428

89,96 74,64 15,32

i i

i

f xm

f?

?

� � � �

� � �

==

b) Standardna devijacija 2 15,32 3,91? ?� � �

c) Koeficijent varijacije

x3,91V 0,458,64m

?� � �

192

7. Dati su podaci u tabeli:

x 30 31 32 33 34 35 36

if 3 4 8 12 7 4 2

Izra�unati: mod, medijanu, aritmeti�ku sredinu i varijansu. a) Mod je vrednost sa najve�om frekvencijom 33oM � .

Medijana je tako�e 33eM � Brojevi se pore�aju po veli�ini (ukupno ih je 40).

� � � � � � �3 4 8 12 7 4 2

30...30 31...31 32...32 33...33 34...34 35...35 36...36

Pozicija medijane je izme�u dvadesetog i dvadeset prvog elemanta u seriji. 33 33 33

2eM ��

Aritmeti�ka sredina:

1316 32,940 40

i if xm � � �=

varijansa: 2

2 2

2

2, 2940

2,29 1,51

i if xm?

? ?

� � �

� � �

=

b) Tabli�no rešavanje zadatka:

ix if i ix f 2ix 2

i ix f

30 3 90 900 2700 31 4 124 961 3894 32 8 256 1024 8192 33 12 396 1089 13068 34 7 238 1156 8092 35 4 140 1225 4900 36 2 72 1296 2592

= 40 1316 - 43388

193

2

1316 32,940

43388 32,9 2,29 , 1,5140

m

? ?

� �

� � � �

c) Tabli�ni postupak ra�unanja:

33ix � if ( 33)i ix f� 2( 33)ix � 2( 33)i ix f�

-3 3 -9 9 27

-2 4 -8 4 16

-1 8 -8 1 8

0 12 0 0 0

1 7 7 1 7

2 4 8 4 16

3 2 6 9 18

= 40 -4 - 92

433 0,1, 33 0,1 32,940

m m� � � � � � � �

2 292 ( 0,1) 2,3 0,01 2, 29 , 1,51

40? ?� � � � � � �


x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

if 122 120 83 64 50 30 15 10 5 1 Izra�unati: aritmeti�ku sredinu, varijansu i standardnu devijaciju.

194

ix if i ix f 2ix 2

i ix f 0 122 0 0 0 1 120 120 1 120 2 83 166 4 332 3 64 192 9 576 4 50 200 16 800 5 30 150 25 750 6 15 90 36 540 7 10 70 49 490 8 5 40 64 320 9 1 9 81 81

= 500 1037 - 4009

2 2

1037 2,074500

4009 2,074 3,717 , 1,928500

m

? ?

� �

� � � �

Tabli�ni postupak ra�unanja I:

1ix � if ( 1)i ix f� 2( 1)ix � 2( 1)i ix f� -1 122 -122 1 122 0 120 0 0 0 1 83 83 1 83 2 64 128 4 254 3 50 150 9 450 4 30 120 16 480

5 15 75 25 375

6 10 60 36 360

7 5 35 49 245

8 1 8 64 64

= 500 537 - 2433

5371 1,074, 1 1,074 2,074500

m m� � � � � �

2 22433 1,074 4,866 1,153 3,717 , 1,928500

? ?� � � � � �

195

Tabli�ni postupak ra�unanja II:

2ix � if ( 2)i ix f� 2( 2)ix � 2( 2)i ix f� -2 122 -244 4 488 -1 120 -120 1 120 0 83 0 0 0 1 64 64 1 64 2 50 100 4 200 3 30 90 9 270

4 15 60 16 240

5 10 50 25 250

6 5 30 36 180

7 1 7 49 49

= 500 37 - 1861

372 0,074, 2 0,074 2,074500

m m� � � � � �

2 21861 0,074 3,722 0,005 3,717 , 1,928500

? ?� � � � � �


x 30 31 32 33 34 35 36

if 3 4 8 12 7 4 2

Izra�unati: mod, medijanu, srednju vrednost, srednje kvadratno odstupanje i standardnu devijaciju. Mod je vrednost sa najve�om frekvencijom 18,2oM � .

Medijana je 17,8eM � jer je ukupan broj podataka 101 a 51 po redu je 17,8.

196

Za ra�unanje ostalih vrednosti formira se tabela

ix if i ix f 2ix 2

i ix f

15,2 15 228,0 231,04 3465,60 16,3 18 293,4 265,69 4782,42 17,8 22 391,6 316,84 6970,48 18,2 24 436,8 331,24 7949,76 19,3 12 231,6 372,49 4469,88 21,3 10 213,0 453,69 4536,9

= 101 1794,3 - 32175,04

2 2

1794,3 17,766101

32175,04 17,766 2,92 , 1,71101

m

? ?

� �

� � � �

Tabli�ni postupak ra�unanja :

18,2ix � if ( 18,2)i ix f� 2( 18,2)ix � 2( 18,2)i ix f� -3 15 -45,0 9 135

-1,9 18 -34,2 3,61 64,98 -0,4 22 -8,8 0,16 3,52 0 24 0 0 0

1,1 12 13,2 1,21 14,52 3,1 10 31,0 9,61 96,10

= 101 -43,8 - 314,12

23,618 0,234, 18 0,234 17,766101

m m� � � � � � � �

2 2300,64 0,234 2,977 0,045 2,922 , 1,71101

? ?� � � � � �

197

10. Na osnovu slede�e tabele:

x 2-4 4-6 6-8 8-10 10-12 12-14 14-16 16-18 18-20

if 2 4 7 10 14 9 8 3 2 Izra�unati: mod, medijanu, aritmeti�ku sredinu i srednje kvadratno odstupanje. Modalni interval je � �10 12� , tj. 11oM � .

Medijalni interval je tako�e � �10 12�

2e

e

ii M

e dM

N fM x i

f�

��

=

10dx � - manja (leva) vrednost medijalnog intervala

59N � - zbir frekvencija 23

e

ii M

f�

�= - zbir frekvencija manjih od medijalnog intervala

2i � - dužina medijalnig intervala 29,5 2310 2 10,93

14eM �� % �

Srednja vrednost i srednje kvadratno odstupanje ra�unaju se pomo�u tabele:

ix if i ix f 2ix 2

i ix f

3 2 6 9 18 5 4 20 25 100 7 7 49 49 343 9 10 90 81 810 11 14 154 121 1694 13 9 117 169 1521 15 8 120 225 1800 17 3 51 289 867 19 2 38 361 722

= 59 645 - 7875

198

2 2

645 10,93259

7875 10,932 13,966 , 3,7459

m

? ?

� �

� � � �

Tabli�ni postupak ra�unanja:

11ix � if ( 11)i ix f� 2( 11)ix � 2( 11)i ix f� -8 2 -16 64 128 -6 4 -24 36 144 -4 7 -28 16 112 -2 10 -20 4 40 0 14 0 0 0 2 9 18 4 36

4 8 32 16 128

6 3 18 36 108

8 2 16 64 128

= 59 -4 - 824

411 0,068, 11 0,068 10,93259

m m� � � � � � � �

2 2824 ( 0,068) 13,966 0,005 13,961 , 3,73659

? ?� � � � � � �

11. Na osnovu slede�e tabele:

x 6 8 10 11 12 14 15 f 4 5 3 2 5 1 2

Izra�unati: a) Aritmeti�ku sredinu b) Standardnu devijaciju c) Koeficijent asimetrije d) Koeficijent spljoštenosti

199

Formiramo tabelu

ix if i if x ix m� 2( )ix m� 2( )i if x m� 3( )i if x m� 4( )i if x m�

6 4 24 -4 16 64 -256 1024 8 5 40 -2 4 20 -40 80

10 3 30 0 0 0 0 0 11 2 22 1 1 2 2 2 12 5 60 2 4 20 40 80 14 1 14 4 16 16 64 256 15 2 30 5 25 50 250 1250

= 22 220 172 60 2692

a) 220 1022

i if xm

N� � �=

b) 2 21 172( ) 7,82 , 2,8022ix m

N? ?� � � � �=

c)

33 3

3

3

3

( ) 60 2,77322

2,773 0,1321,90

i i

M

f x mM

N

&?

&

�

��

� �

=

d)

44 4

4

4

4

( ) 2692 122,421,90

122,4 261,15

i i

M

f x mM

N

&?

&

�

��

� �

=

200

12. Data je intervalna distribucija težine 100 studenata u slede�oj tabeli:

Težina u kg 50-60 60-64 64-68 68-72 72-76 76-80 Broj studenata 7 15 28 24 16 10

Izra�unati:

a) Koeficijent asimetrije b) Koeficijent spoljašnosti

Formiramo tabelu

six if i sif x six m� 2( )six m� 2( )i sif x m� 3( )i sif x m� 4( )i sif x m�

58 7 406 -10,28 105,68 739,76 -7604,73 78176,62 62 15 930 -6,28 39,44 591,6 -3715,25 23331,77 66 28 1848 -2,28 5,20 145,6 -331,97 756,89 70 24 1680 1,72 2,95 70,8 121,77 209,44 74 16 1184 5,72 32,72 523,52 2994,53 17128,71 78 10 780 9,72 94,47 944,7 9182,48 89253,70

= 100 6828 3015,98 646,83 208857,13

a) 1 6828 68,28100

r

i sii

f xm

N�� =

r2 2

i=1

1 3015,98( ) 30,1598 , 5, 4918100six m

N? ?� � � � �=

333 3

3

13

3

, 165,63

( )646,83 6, 47

1006, 47 0,0391

165,63

r

i sii

M

f x mM

N

& ??

&

�

� �

��

� �

=

b) 44 4

M&?

�

201

4

414

4

( )208857,13 2088,57 , 909,62

1002088,57 2,2960909,62

r

i sii

f x mM

N?

&

�

��

� �

=

Koeficijent 3& je pozitivan, što ukazuje na blago desnu asimetriju, a koeficijent 4& je manji od 3 što zna�i da je raspored više spljošten od normalnog rasporeda.

13. Na osnovu uzorka optimalne veli�ine treba oceniti nepoznati prose�an u�inak svih

radnika firme iz kojeg je izdvojen slu�ajan uzorak. Ocenu treba izvršiti u intervalu poverenja veli�ine 5 sa verovatno�om 95,47% ( 2z � ) �ija je varijansa ranije ocenjena 2 20,72s � .

2 2 2

2 2

2 20,72 13, 26 142,5 2,5z sn % %

� � � �

Optimalna veli�ina uzorka je 14 radnika i neka je meren njihov radni u�inak u komadima: 24, 29, 15, 27, 17, 29, 19, 20, 24, 23, 25, 21, 34, 25, �ijim grupisanjem je dobijen slede�i raspored frekvencija:

Radni u�inak: 14-18 18-22 22-26 26-

Broj radnika: 2 3 6 3

iz koje ra�unamo aritmeti�ku sredinu i standardnu devijaciju koriste�i tabelu.

x f x f% 2x f% 16 2 32 512 20 3 60 1200 24 6 144 3456 28 3 84 2352

= 14 320 7520

320 22,8614

xfx

f� � �==

2 15,72 i standardna greška ocene je 15,72/ 14 1,06s � �

202

zna�i interval poverenja statisti�ke ocene nepoznate aritmeti�ke sredine osnovnog skupa je:

0

0

22,86 2 1,06 22,86 2 1,0620,74 24,98

XX

� % � � � %

� �

Sa 95,47% verovatrno�e, ocenjujemo da je prose�an radni u�inak od 21 do 25 komada.

13. Trgovinska firma ima ve�u koli�inu robe u stovarištu pa je, radi odre�ivanja

maloprodajne cene potrebno oceniti sadašnji kvalitet robe. U pitanju je ve�a koli�ina robe, koju je teško u celini pregledati i tako utvrditio njen kvalitet, pa je odlu�eno da se na osnovu slu�ajnog uzorka optimalne veli�ine sa 95% verovatno�e a u intervalu poverenja širine do 6 oceni njen kvalitet. Ako je procenat ošte�ene robe 20% ( 0 20p � ) i ako je pregledom uzorka optimalne

veli�ine utvr�eno 8% ošte�ene robe ( 8ip � ). U kom intervalu se nalazi procenat ošte�ene robe u stovarištu iz kojeg je izdvojen uzorak?

Optimalna veli�ina uzorka je

2 20 0

2

1,96 20 80 6833 9

z p qn % % %� � �

zna�i ocena procentualnog u�eš�a ošte�ene robe je: 05 11p� � 14. Trgovinska firma je ugovorila nabavku ve�e koli�ine robe po odre�enoj ceni

pod uslovom da u celokupnoj koli�ini robe ne bude više od 10% ošte�ene. U kontrolisanom uzorku utvr�eno je 13% ošte�ene robe. Treba oceniti sa 95% verovatno�e da li je isporu�ena roba ugovorenog kvaliteta.

Minimalna veli�ina uzorka je: 2 901,96 34,56 3510

n � % � �

tako da se dobija slede�i interval poverenja statisti�ke ocene: 0.06 19,24p� � ,

kako se 13 nalazi u tom intervalu zaklju�ujemo da je uisporu�ena roba ugovorenog kvaliteta.

15. Broj no�enja stranih turista u jednom letovalištu iznosio je u predhodnoj godini

po tromese�jima u hiljadama turista:

Kvartal Broj no�enjaI 12 II 18 III 50 IV 20

203

Na nivou zna�ajnosti od 0,05 ispitati da li sezona uti�e u zna�ajnijoj meri na broj no�enja. Ako ne bi bilo sezonskog uticaja, broj no�enja stranih turista kretao bi se ravnomerno po kvartalima, tj za svaki bi iznosio po 25 hiljada.

Empirijske frekvencije Teorijske frekvencije12 25 18 25 50 25 20 25

Lako izra�unavamo da je 2@ uzorka jednak 34,72 a tabli�ni je 7,815 jer je broj stepeni slobode jednak broju modaliteta (4) umanjenom za broj nepoznatih parametara (1). Zaklju�ujemo da postoje zna�ajne razlike u broju no�enja turista po kvartalima.

16. Broj poseta jednom pozorištu tokom meseca aprila 2006. godine po danima u

nedelji u stotinama iznosio je: Dan u nedelji Broj posetilacaPonedeljak 2

Utorak 7Sreda 3

�etvrtak 6Petak 15

Subota 10Nedelja 13

Uz rizik greške od 0,01 ispitati da li se može prihvatiti hipoteza da dan u nedelji ne uti�e na broj posetilaca.

2@ u uzorku je 15,5 a teorijski je 16,812. 17. Na osnovu podataka tržišne statistike o kretanju cena ponude i tražnje jedne

vrste proizvoda datih u tabeli: Cena u din. Ponuda u 000 kg Tražnja u 000 kg

10 30 80 12 35 76 15 42 71 18 45 65 20 50 60 23 56 55 25 60 45

204

a) Odrediti regresione modele ponude i tražnje b) Dati ekonomsko tuma�enje parametara funkcije ponude i tražnje c) Odrediti ravnotežnu cenu, maksimalnu tražnju i grani�nu cenu ponude d) Uz verovatno�u od oko 95% predvideti obim tražnje pri nivou cene od 40

din. a) Regresioni model ponude je: 11,35 1,94y x� �

Model tražnje je: 102,89 2,18y x� � % b) Parametar 11,35 u modelu ponude pokazuje da pri ceni od 0 dinara ponuda

iznosi 11350 kg a parametar 1,94 ukazuje da porast cene za 1 dinar izaziva porast ponude u proseku za 1940 kg. U modelu tražnje parametar 102,89 izražava maksimalnu tražnju odnosno obim tražnje pri nultom nivou cene. Parametar -2,18 pokazuje da se tražnja u proseku smanjuje za 2180 kg pri pove�anju cene za 1 dinar.

c) Ravnotežna cena pri kojoj je ponuda jednaka tražnji je 22,22x �

Grani�na cena ponude je u ovom slu�aju negativna te se uzima 0 za tu vrednost. d) *12,63 18,75Y� � što zna�i da se uz verovatno�u od oko 95% može o�ekivati

tražnja izme�u 12,63 i 18,75 tona pri nivou cene od 40 dinara. 18. Raspolažemo podacima o izdvajanju za reklamu i obimu prodaje odre�enog

turisti�kog aranžmana u šest razli�itih firmi:

Izdaci za reklamu u hiljadama evra Broj aranžmana4 55 5 73 5 79 6 89 7 115 8 133

Odrediti linearni regresioni model izdvajanja za reklamu i uticaja na prodate aranžmane.

3,833 15,75y � � �

205

19. Na osnovu podataka tržišne statistike o kretanju ponude i cene jednog kozmeti�kog proizvoda formirana je slede�a tabela:

Cena u 00 dinara Ponuda u 00 komada

20 35 25 40 30 44 35 49 40 53

a) Metodom najmanjih kvadrata oceniti parametre linearnog regresionog modela

ponude b) Sa rizikom od 0,05 ocenite koliko se u proseku može o�ekivati ponuda za cenu

od 4200 dinara.

a) 17,2 0,9y x� � %

b) *5411 5589Y� �

206

ZADACI ZA VEŽBU: 1. Anketirano je 30 kupaca u prodavnicama „Pekabete“ o prose�noj dnevnoj

potrošnji hleba. Dobijeni su slede�i podaci: 1 2 3 2 1 1 6 3 2 3 1 5 4 2 2 3 1 4 2 6 3 1 5 2 4 2 2 4 2 2

a) Srediti podatke u rastu�i niz b) Formirati distribuciju apsolutnih i relativnih frekvencija c) Prikazati grafi�ki distribuciju relativnih frekvencija u procentima

2. Prati se dnevna prodaja novog modela telefona u 30 prodajnih salona

proizvo�a�a. Posle izvršenog uvida dobijeni su slede�i rezultati: 11 13 14 12 15 11 16 12 12 12 14 15 13 12 16 12 12 13 11 11 11 13 16 14 12 11 12 13 12 11

a) Formirati distribuciju apsolutnih frekvencija i predstaviti je grafi�ki. b) Formirati distribuciju relativnih frekvencija a zatim je u procentima predstaviti

grfi�ki. c) Formirati distribuciju kumulativnih frekvencija i odrediti u koliko je salona

prodato 13 i manje telefona. 3. Pogon za kontrolu pakovanja brašna jednog preduze�a kontroliše mašinu za

punjenje brašna u pakovanja od 5 kg. Kontrola 20 pakovanja dala je slede�e rezultate:

5,02 4,89 4,92 4,84 4,90 4,97 4,95 4,94 4,93 5,01 5,01 4,97 4,95 4,90 4,94 4,96 4,99 4,99 4,97 4,94

a) Izra�unati prose�nu koli�inu brašna u pakovanj b) Odrediti medijanu za dobijene negrupisane podatke c) Formirati distribuciju frekvencije za intervale klasa 4,80-4,89; 4,90-4,99;

5,00-5,09 i izra�unati prose�nu koli�inu brašna u jednom pakovanju koriste�i u izra�unavanju sredine klasnih intervala. Uporediti prose�ne vrednosti koje se dobiju pre i posle grupisanja podataka.

4. Kompanija “Swatch” vrši kontrolu svog proizvodnog procesa prate�i broj

proizvedenih satova u jednom proizvodnom pogonu. Kontrola 20 proizvodnih linija jednog pogona dala je slede�e rezultate.

73 81 75 74 79 80 77 76 79 81 77 74 77 73 76 80 79 78 75 75

207

a) Izra�unati prose�nu proizvodnju satova u ovom pogonu. b) Odrediti medijanu za grupisane podatke. c) Formirati distribuciju frekvencije za intervale klasa 73-75; 76-78; 79-81 i

izra�unati prose�nu proizvodnju satova u ovom pogonu koriste�i u izra�unavanju sredine klasnih intervala. Uporediti prose�ne vrednosti koje se dobiju pre i posle grupisanja podataka.

5. Na osnovu podataka o broju �lanova porodice u 100 ispitanih porodica:

Broj �lanova: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Broj porodica: 3 5 22 50 10 5 2 2 1

Izra�unati: a) Aritmeti�ku sredinu b) Varijansu c) Standardnu devijaciju d) Koeficijent devijacije 6. Raspored 10 radnika prema visini zarade i dužini radnog staža dat je u slede�oj

tabeli:

Zarada u 00 eura:

4.0 4.2 4.8 5.2 6.0 6.5 7.0 7.5 8.2 10.0

Radni staž u godinama:

3 5 5 7 8 10 12 15 20 22

Ispitati da li radnici više variraju prema visini zarade ili prema dužini radnog staža. 7. Raspored 100 preduze�a prema visini angažovanih sredstava i ostvarenom

dohotku dat u tabeli: Angažovana sredstva u mil. Dinara (X) 12 15 18 20 22 25 30 Dohodak u milionima dolara (Y) 150 160 180 190 210 230 250 Broj preduze�a ( f ) 10 15 25 18 12 11 9

Ispitati da li su razlike izme�u preduze�a ve�e u pogledu angažovanih sredstava ili ostvarenog dohotka.

208

8. Godišnja potrošnja kafe 100 tro�lanih doma�instava data je slede�im pregledom:

Potrošnja u kg Do 3.5 3.5-4.5 4.5-5.5 5.5-6.5 6.5-7.5 7.5-8.5 8.5-9.5 9.5+ Broj doma�instava 3 10 14 51 10 5 5 2

Izra�unati:

a) Aritmeti�ku sredinu, modus i medijanu b) Koeficijent asimetrije c) Koeficijent spljoštenosti

9. Raspored 1000 stanovnika jednog naselja po godinama starosti dat je u

slede�oj tabeli:

Godine starosti Do 20 21-40 41-60 Preko 60 Broj stanovnika 150 280 320 250

Izra�unati:

a) Aritmeti�ku sredinu b) Modus c) Medijanu d) Interkvartilnu razliku

10. Raspored 50 opština prema broju osnovnih škola dat je u slede�oj tabeli:

Broj osnovnih škola 1 2 3 4 5 6 Broj opština 6 9 21 10 3 1

Izra�unati:

a) Geometrijsku sredinu b) Modus c) Medijanu d) Standardnu devijaciju e) Koeficijent varijacije

209

210

��DRUGI

DEO ��

PRAKTIKUM ZA MATLAB 7

��

211

212

UVOD�

MATLAB je softverski paket za rešavanje matemati�kih zadataka zasnovan na

numeri�kom rešavanju problema.

MATLAB je dostupan u više verzija koje su prilago�ene razli�itim ra�unarskim

platformama. Verzije MATLAB-a za razli�ite ra�unarske sisteme se razlikuju donekle

samo po korisni�kom interfejsu – sve komande se jednako izvršavaju na svim

platformama.

Osnovno okruženje MATLAB-a predstavlja tekstualni prozor u kome se zadaju

MATLAB komande. Komande se izvršavaju neposredno nakon unosa. Poseban simbol

(>>) predstavlja MATLAB Prompt. Pored toga, mogu�e je pisati i programe u

programskom jeziku kojeg nudi MATLAB. Sam MATLAB programski jezik je nalik

drugim proceduralnim jezicima, izuzimaju�i njegovu prilago�enost radu sa matricama.

Prva, izvorna verzija MATLAB-a, napisana je kasnih sedamdesetih, na univerzitetu

New Mexico i Stanford Univerzitetu, sa osnovnom namenom da služi kao pomo�no

sredstvo na kursevima iz linearne algebre, i numeri�ke analize. Današnje mogu�nosti

MATLAB-a daleko prevazilaze tadašnji originalni "MATrix LABoratory". Ogroman broj

ekonomskih i tehni�kih disciplina neizostavno zahtevaju koriš�enje MATLAB-a. U njemu

se vrlo jednostavno mogu kreirati sopstvene funkcije koje daju rešenja na postavljene

zahteve.

213

214

1. OSNOVNI PRINCIPI RADA U MATLAB-u

Nakon što ste pokrenuli MATLAB na vašem monitoru se pojavljuje okvir prikazan na Slici 1:

Slika 1.

1.1. ARITMETI�KE OPERACIJE SA SKALARIMA

U aritmeti�kim prora�unima brojevi se mogu upotrebljavati direktno, kao na kalkulatoru ili se mogu pridružiti promenljivima koje se mogu koristiti za izra�unavanja.

Simboli aritmeti�kih operacija su: Operacija Simbol Primer Sabiranje + 5+3 Oduzimanje - 5-3 Množenje * 5*3 Deljenje s desna / 5/3 Deljenje s leva \ 5\3=3/5 Stepenovanje ^ 5^3 (zna�i 53=125)

Tabela 1. Treba naglasiti da su svi simboli, sem deljenja s leva, isti kao u ve�ini kalkulatora.

Za skalare je deljenje s leva operacija inverzna deljenju s desna. Deljenje s leva se uglavnom upotrebljava za operacije sa nizovima.

215

1.2. PRIORITET IZVRŠAVANJA

MATLAB izvršava operacije prema slede�em redosledu prioriteta: Prioritet Matemati�ka operacija Najviši Zagrade, prioritet ima unutrašnja zagrada Drugi po redu Stepenovanje Tre�i po redu Množenje i deljenje �etvrti po redu Sabiranje i oduzimanje

U izrazu koji sadrži više operacija, operacije višeg prioriteta izvršavaju se pre operacija nižeg prioriteta. Izraz se izra�unava s leva u desno ukoliko dve ili više operacija imaju isti prioritet. Zagradama se može promeniti redosled izra�unavanja.

�1.3. KORIŠ�ENJE MATLAB-A KAO KALKULATORA

PRIMER 1: Ako u komandni prozor upišete matemati�ki izraz i pritisnete Enter, MATLAB �e izra�unati taj izraz, napisati ans = i prikazati numeri�ki rezultat u slede�em redu.

>> 7+8/2 ans = 11 >> (7+8)/2 ans = 7.5000 >> 4+5/3+2 ans = 7.6667 >> 5^3/2 ans = 62.5000 >> 27^(1/3)+32^0.2 ans = 5 >> 27^1/3+32^0.2 ans = 11 >>0.7854-(0.7854)^3/(1*2*3)+0.785^5/(1*2*3*4*5)-(0.785)^7/(1*2*3*4*5*6*7) ans = 0.7071

Prvo se izra�unava 8/2

Prvo se izra�unava 7+8

Prvo se izra�unava 5:3

Prvo se izra�unava 53 a zatim :2

Prvo se izra�unava 1:3, zatim 27(1:3) i 320.2; potom se +

216

1.4. UGRA�ENE ELEMENTARNE MATEMATI�KE FUNKCIJE

Izrazi u MATLAB-u mogu da sadrže i funkcije osim osnovnih aritmeti�kih operacija. MATLAB poseduje veliki broj ugra�enih funkcija, a i korisnik može definisati svoje funkcije. Funkcija se poziva imenom i argumentom (nezavisno promenljivom) u zagradama.

Na primer, funkcija sqrt (x) izra�unava kvadratni koren broja x. Ime funkcije je sqrt a argument je x. Argument funkcije može biti broj, promenljiva kojoj je pridružena numeri�ka vrednost ili izraz koji sadrži brojeve i/ili promenljive. PRIMER 2: Izra�unati slede�e izraze:

64 , 50 14 3� % , 54 9 100� % ,

600154

121

�

>> sqrt(64) ans = 8 >> sqrt(50+14*3) ans = 9.5917 >> sqrt(54+9*sqrt(100)) ans = 12 >> (15+600/4)/sqrt(121) ans = 15 U Tabeli 2. su navedene naj�eš�e koriš�ene elementarne matemati�ke funkcije.

Celokupan spisak funkcija razvrstanih po kategorijama možete prikazati u prozoru za pomo� (Help).

Funkcija Opis Primer

sqrt(x) Kvadratni koren. >> sqrt(81) ans = 9

exp(x) Eksponencijalna funkcija (ex). >> exp(5) ans = 148.4132

abs(x) Apsolutna vrednost. >> abs(-24) ans = 24

Argument je broj

Argument je izraz

Argument sadrži funkciju

Funkcija je deo izraza

217

Funkcija Opis Primer

log(x) Prirodni logaritam. Logaritam sa osnovom e (ln).

>> log(1000) ans = 6.9078

log10(x) Logaritam sa osnovom 10. >> log10(1000) ans = 3

factorial(x) Faktorijel od x (x!) (x mora biti pozitivan ceo broj).

>> factorial(5) ans = 120

sin (x) Sinus ugla x (u radijanima) >> sin(pi/6) ans = 0.5000

cos (x) Kosinus ugla x (u radijanima) >> cos(pi/6) ans = 0.8660

tan (x) Tangens ugla x (u radijanima) >> tan(pi/6) ans = 0.5774

cot (x) Kotangens ugla x (u radijanima) >> cot(pi/6) ans = 1.7321

Tabela 2. Elementarne funkcije

1.5. PRIKAZIVANJE REZULTATA

Korisnik može izabrati oblik u kom MATLAB prikazuje rezultat na ekranu. Izlazni format se zadaje komandom format. Prikaz svih formata u MATLAB-u sa pojedinostima možete dobiti kada u komandni prozor upišete help format.

format long Fiksni zarez sa 14 decimala za decimalne brojeve u intervalu: 0.001 � broj �100

>> format long,530/7ans = 75.71428571428571

format short Fiksni zarez sa 4 decimala za decimalne brojeve u intervalu: 0.001 � broj �1000

>> format short,530/7ans = 75.7143

218

format long e Notacija sa 15 decimale >> format long e,530/7ans = 7.571428571428571e+001

format short e Notacija sa �etiri decimale

>> format short e,530/7ans = 7.5714e+001

format bank Dve decimale >> format bank,530/7ans = 75.71

Tabela 3. Formati prikaza rezultata

1.6. DEFINISANJE SKALARNIH PROMENLJIVIH Promenljivu ozna�avamo slovom ili proizvoljnom kombinacijom slova i cifara (s

po�etnim slovom) kojem je pridružena numeri�ka vrednost. Promenljiva kojoj je pridružena numeri�ka vrednost, može se upotrebljavati u matemati�kim izrazima, funkcijama i svim MATLAB-ovim iskazima i komandama. Promenljiva je zapravo ime odre�ene lokacije u memoriji. Kada definišete novu promenljivu, MATLAB joj dodeljuje odgovaraju�u lokaciju u memoriji gde �uva njoj pridruženu vrednost.

U MATLAB-u se znak = naziva operatorom dodele. Ovaj operator dodeljuje

vrednost promenljivoj. Levo od operatora dodele može biti samo jednu oznaku za promenljivu. Desno

može biti broj ili izraz koji sadrži brojeve i/ili promenljive kojima su prethodno dodeljene numeri�ke vrednosti.

Ime_promenljive = numeri�ka vrednost ili izraz

219

PRIMER 3: Izra�unati x=5x-20 za x=30. >> x=30 x = 30 >> x=5*x-20 x = 130 >>

PRIMER 4: Vrednosti izraza u MATLAB-u može se prikazati druga�ije nego u prethodnim primerima. Ukoliko nekoj promenljivoj dodelite odgovaraju�u vrednost i iza stavite ; dobi�ete oblik kao na slici:

>> a=15; >> b=30; >> c=2*a+50-b/3+(a/5)^2; >> c c = 79 Ovaj na�in prikaza sa ; na kraju se �esto koristi u radu kada nas me�urezultati

ne interesuju. Ovako se ubrzava rad na ra�unaru, jer se eliminiše ispisivanje velikog broja (�esto nepotrebnih) me�urezultata.

Imena promenljivih u novijoj vrednosti, MATLAB 7., mogu imati do 63 znaka za

razliku od verzije MATLAB 6.0 gde je taj broj bio 31. Imena promenljivih moraju po�injati slovom i mogu, pored slova, sadržati cifre i podvlake. MATLAB pravi razliku izme�u velikih i malih slova i treba izbegavati koriš�enje imena ugra�enih funkcija za promenljive (na primer cos, sin, exp, sqrt).

1.7. UNAPRED DEFINISANE PROMENLJIVE Pojedine �esto koriš�ene promenljive automatski su definisane �ime se MATLAB

pokrene. Osnovne konstante su:

ans Promenljiva kojoj je dodeljena vrednost poslednjeg izraza koji nije bio dodeljien nekoj promenljivoj. Ako se ne dodeli vrednost izraza promenljivoj, automatski se snima u ans.

pi Broj �.

Broj 30 dodeljen je promenljivoj x

MATLAB prikazuje oznaku promenljive i njoj dodeljenu vrednost

220

eps Dozvoljena tolerancija greške, odnosno najmanja razlika izme�u dva broja koju MATLAB može da uo�i.

inf Beskona�no velika vrednost (� )i Imaginaran broj i ( 1� ) NaN Skra�enica od Not-a-Number (nije broj), rezultat operacije

0/0

Tabela 4. Osnovne konstante

PRIMER 5: Izra�unati 15 3 5x�

� � % ��

.

>> x=5+(3*5+1/pi) x = 20.3183 Broj � je definisan kao stalna veli�ina i dovoljno je uneti samo pi. Kao što smo ve� napomenuli imaginarna jedinica je definisana kao stalna

veli�ina.

Ozna�ava se sa 1i � � ili 1j � � . >> i=sqrt(-1) i = 0 + 1.0000i

PRIMER 6: Napisati broj z=5+3i >> z=5+3*i z = 5.0000 + 3.0000i

PRIMER 7: Napisati broj i

5w=5e�

>> w=5*exp(i*pi/5) w = 4.0451 + 2.9389i

PRIMER 8: Izra�unati 5sin2�

.

>> sin(5*pi/2) ans = 1

221

PRIMER 9: Za 15x � i 65y � izra�unati vrednost izraza lnz x y� � . >> z=log(x)+sqrt(y) z = 10.7703

PRIMER 11: Izra�unati 00

x � .

>> x=0/0 Warning: Divide by zero. x = NaN

1.8. BRISANJE I �UVANJE PODATAKA

Naredba Opis

clear Briše podatke iz radne memorije.

clear x Briše se promenljiva x.

save �uva podatke u fajlu na disku za kasniju upotrebu.

save ime Pamti sve veli�ine iz radnog prostora pod zadatim imenom.

quit, exit Ostvaruje se prekid programa.

load Predstavlja obrnutu naredbu od save

Tabela 5. Naredbe za brisanje i �uvanje podataka

222

I - ZADACI ZA VEŽBU

Redni broj

vežbe Naziv vežbe

Dat

um

Evidencija Napomene

1 Izra�unajte: 3

2

33,5 55 745 5% ��

2 Izra�unajte:

223

3 187 55(2 15)2 3

� � �

3 Izra�unajte: 9

33

3 log(76) 9106 55

��

4

Izra�unajte:

� �262 tan ln87 5cos sin

6 8 5

��

5 Izra�unajte: 13

3 3 29415 7 552

� � �

6 Definišite promenljivu x kao x=8,7 i

izra�unajte: 3 23 68,4 57x x x� � �

7

Definišite promenljivu x kao x=15,5 i izra�unajte:

3

3

80xx

e

8

Definišite promenljive x i z kao x=10,7 z=5,8 i izra�unajte:

352 2

3zxzx

� � � �

223

9 Proveriti: sin 2 2sin cosx x x� za

524

x ��

10 2

2 tantan 21 tan

xxx

��

za 3

17x ��

SVEGA:

224

2. GRAFIK FUNKCIJA MATLAB poseduje velike mogu�nosti grafi�kog predstavljanja. Studenti se mogu

upoznati sa ostalim mogu�nostima grafi�kog predstavljanja koriste�i naredbe help i demo.

2.1. GRAFI�KO PREDSTAVLJANJE FUNKCIJA JEDNE PROMENLJIVE Osnovna naredba za crtanje grafika je naredba plot. Najjednostavniji na�in za grafi�ko predstavljanje, sa linearnom podelom na

osama, je koriš�enje naredbe plot(x). Prilikom crtanja otvara se grafi�ki prozor za koji važe ista pravila kao kod Windows prozora.

PRIMER 1: Nacrtati vektor dat svojim koordinatama.

>> x=[1,3,5,7,25,33,51];plot(x)

Iz ovog primera možemo da vidimo da je MATLAB za vrednosti nezavisno promenljive x uzeo redni broj elementa, a njihove slike su vrednosti vektora x tj. ta�ke nacrtanog grafika koje imaju koordinate (1,x(1)), (2,x(2))...

U opštem slu�aju naredba plot(x) crta grafik spajaju�i ta�ke (i,x(i)), gde je i=1,2,3,...N.

Nezavisno promenljiva može biti zadata posebno. U tom slu�aju se koristi

naredba plot(x,y).

225

PRIMER 2: Koriste�i MATLAB možemo na jednom grafiku nacrtati više funkcija kao što je prikazano u slede�em primeru.

>> x1=-2:2:2;y1=2*x1; >> x2=-2:.2:2;y2=x2.*exp(x2); >> plot(x1,y1,x2,y2)

Vrste linija i oblik mogu tako�e da se zadaju naredbom plot na slede�i na�in: plot(x,z,'vrsta linije'). U Tabeli 6. date su neke mogu�nosti izbora. Simbol linije Boja . ta�ka y žuta o krug m ljubi�asta x x-znak c cijan + plus r crvena * zvezda g zelena - puna linija b plava -. ta�ka-crta k crna : ta�kasta w bela -- isprekidana linija

Tabela 6.

226

PRIMER 3: Nacrtati funkciju y = x4-3x-3 u domenu [-5,5] >> f='x^4-3*x-3';fplot(f,[-5,5])

Naredba ezplot omogu�ava crtanje funkcije u definisanom domenu: -2� < x < 2�. Domen funkcije može da se menja i tada naredba ima oblik ezplot(f,[a,b]). Ovom naredbom se crta grafik funkcije f na intervalu a x b< < .

PRIMER 4: Nacrtati funkciju xy = xe . >> ezplot('y=x*exp(x)')

227

Druga mogu�nost da simboli�ki zadamo funkciju je da prvo definišemo nezavisni promenljivu, koriste�i naredbu syms.

PRIMER 5: Nacrtati funkciju 1 log( ) log( 1 5* ) 1 0

2y y x

y� � � � � � �

>>ezplot('1/y-log(y/2)+log(-1+5*y)+x+1')

PRIMER 6: Grafi�ki prikazati funkciju 3

2 4xy

x�

�

>> ezplot('y=x^3/(x^2-4)')

228

PRIMER 7: Grafi�ki prikazati funkciju 2

xeyx

�

>> ezplot ('exp(x)/x^2')

2.2. OZNA�AVANJE GRAFIKA I OSA

MATLAB nudi mogu�nosti ozna�avanja osa, pisanja razli�itog teksta i razne druge mogu�nosti. Neke od njih su:

Oznaka Opis

title Naziv grafika.xlabel Naziv x ose.ylabel Naziv y ose.text Naziv teksta u grafiku.gtex Tekst na poziciji ozna�enenoj mišem.grid Crtanje linija mreže.

Tekst u prethodnim naredbama piše se u zagradi pod navodnicima. Naredba

hold on zadržava sliku na ekranu. Suprotna njoj je naredba hold off.

229

PRIMER 8: Nacrtati funkciju z=sin x i obeležiti sliku koriste�i naredbe iz predhodnog teksta.

>> syms x >> y=sin(x); >> ezplot(y) >> hold on >> title('sinus') >> xlabel('x osa') >> ylabel('y osa') >> text(0,0,'nula') >> gtext('max') >> grid

230

II - ZADACI ZA VEŽBU

Redni broj

vežbe Naziv vežbe

Dat

um

Evidencija Napomene

Nacrtati grafik funkcija i sa grafika uneti podatke za:domen, znak,nule, parnost (neparnost), monotonost, ekstremne vrednosti, konveksnost (konkavnost), prevojne ta�ke

1

2

2

2 11

x xyx� �

��

2

234

x xyx�

��

3 2 4 3xy

x x�

� �

4 xy xe��

5 � � 222 xy x e��

6 2

2x

y xe�

�

7 ln xy

x�

8 2lny x x�

231

9 2

1x xyx�

��

10 � �3y x x� �

SVEGA:

232

3. MATRICE

Kada se matrica definiše, odnosno unese u program, MATLAB omogu�uje �itav niz postupaka kojima se unesena matrica ekvivalentno transformiše. To je osnova efikasnog koriš�enja MATLAB-a.

3.1. ZAPIS MATRICA I VEKTORA

Matrica je polje brojeva koje se definiše sa dva indeksa m x n gde prvi indeks m ozna�ava broj vrsta a drugi n broj kolona. Elementi se uglavnom unose po vrstama, a zagrade [ , ] ozna�avaju listu elemenata. U okviru liste elementi se razdvajaju zarezom ili razmakom. Taster Enter ili ; se korise za odvajanje vrsta matrice.

Vektori su matrice vrste ili matrice kolone.

PRIMER 1: Zapisati matricu

1 2 34 5 67 8 9

A !' (� ' (' (" #

>> A=[1 2 3;4 5 6; 7 8 9] A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Druga mogu�nost zapisa je: >> A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9] A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 PRIMER 2: Zapisati vektor (1,2,...,10)x � >> x=1:10;x x = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Naredba length izra�unava dužinu vektora.

233

>> length(x) ans = 10 PRIMER 3: Zapisati vektor x. >> x=1:10;x=[x x+2] x = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

PRIMER 4: Zapisati matricu 2 3 1 5

3 6 7 2i i

zi i

� � � !� ' (� �" #

>> a=[-2,1;3,7];b=[3,-5;6,2];Z=a+b*i Z = -2.0000 + 3.0000i 1.0000 - 5.0000i 3.0000 + 6.0000i 7.0000 + 2.0000i Matricu možemo zapisati i na slede�i na�in: >> Z=[-2+3*i,1-5*i;3+6*i,7+2*i] Z = -2.0000 + 3.0000i 1.0000 - 5.0000i 3.0000 + 6.0000i 7.0000 + 2.0000i Jedan element matrice se može izdvojiti uz pomo� komande A(i,j). Ako želimo da

izdvojimo celu vrstu ili kolonu matrice koristimo komande: A(k,:) , A(:,k), gde k predstavlja traženu vrstu odnosno kolonu.

PRIMER 5:

Iz matrice

2 1 53 6 73 5 4

A� � !

' (� ' (' (�" #

izdvojiti element u prvoj vrsti i drugoj koloni.

>> A=[-2 1 -5;3 6 7;3 -5 4]; >> A(1,2) ans = 1

234

Ako želimo da izdvojimo celu vrstu ili kolonu neke matrice to možemo uraditi koriste�i komande: A(k,:) i A(:,k) gde k predstavlja traženu vrstu ili kolonu.

Dimenzije matrice odre�uju se komandom size (A) ili [m,n]=size(A) . PRIMER 6: Odrediti dimenziju matrice iz prethodnog primera koriste�i naredbu size(A). >> size(A) ans = 3 3 Zamena elemenata matrice A brojevima izme�u 21 i 29 realizuje se na slede�i na�in: PRIMER 7: >> A(:)=21:29 A = 21 24 27 22 25 28 23 26 29

3.2. NEKE VRSTE MATRICA

U MATLAB-u postoje posebne naredbe za matrice specijalnih struktura kao što su eye, ones, zeros, magic, diag i druge.

Naredba eye daje jedini�nu matricu.

Funkcija Opiseye(n) Jedini�na matrica tipa n x neye(size(A)) Jedini�na matrica dimenzije date matrice A

Tabela 8. Naredba eye

235

PRIMER 8: Odrediti jedini�nu matricu sa tri vrste i tri kolone koriste�i naredbe iz prethodne tabele, 3 3xI

>> A=eye(3,3) A = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 PRIMER 9: Koriste�i dimenzije matrice iz primera 5, odrediti jedini�nu matricu. >> A=[-2 1 -5;3 6 7;3 -5 4];X=eye(size(A)) X = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Naredba ones daje matricu �iji su svi elementi jedinice.

Funkcija Opisones(n) Matrica tipa n x n �iji su svi elementi jediniceones(m,n) Matrica tipa m x n �iji su svi elementi jediniceones(size(A)) Daje matricu dimenzija date matrice A �iji su svi elementi

jedinice

Tabela 7. Naredba ones

PRIMER 10: Formirati kvadratnu matricu reda 3 �iji su svi elementi jednaki 1. >> A=ones(3) A = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Naredba zeros daje matricu �iji su svi elementi nule.

Funkcija Opiszeros (n) Matrica tipa n x n �iji su svi elementi nule

zeros (m,n) Matrica tipa m x n �iji su svi elementi nule

zeros (size(A)) Daje matricu dimenzija date matrice A �iji su svi elementi nule

Tabela 8. Naredba zeros

236

PRIMER 11: Formirati matricu sa tri vrste i dve kolone �iji su svi elementi jednaki 0. >> A=zeros(3,2) A = 0 0 0 0 0 0

3.3. OPERACIJE SA MATRICAMA

U osnovne operacije sa matricama spadaju sabiranje, oduzimanje, množenje, stepenovanje, deljenje i transponovanje.

SABIRANJE I ODUZIMANJE MATRICA Operacije sabiranja (+) i oduzimanja (-) mogu biti izvedene nad matricama istog

tipa odnosno jednakih dimenzija (koji imaju jednak broj vrsta i kolona). Zbir ili razlika dve matrice dobija se sabiranjem odnosno oduzimanjem njihovih odgovaraju�ih elemenata.

PRIMER 12: Izra�unati C=A+B. >>A=[1,-2,3;4,-5,6;-7,8,-9],B=[-1,8,-2;6,3,-4;3,-2,1],C=A+B A = 1 -2 3 4 -5 6 -7 8 -9 B = -1 8 -2 6 3 -4 3 -2 1 C = 0 6 1 10 -2 2 -4 6 -8

Definišemo matrice A i B dimenzija 3x3

237

PRIMER 13: Ako prethodno imamo unetu matricu I, izra�unati B=A-3I. >> A=[1,-2,3;4,-5,6;-7,8,-9],B=A-3I A = 1 -2 3 4 -5 6 -7 8 -9 B = -2 -5 0 1 -8 3 -10 5 -12 MNOŽENJE MATRICA Ako su A i B dve matrice, operacija A*B može biti izvedena samo ako je broj

kolona matrice A jednak broju vrsta matrice B. Rezultat je matrica koja ima isti broj vrsta kao A i isti broj kolona kao B.

PRIMER 14: Izra�unati C=A*B. >> A=[1,4,3;2,6,1;5,2,8],B=[1,2;2,-3;2,6],C=A*A1 A = 1 4 3 2 6 1 5 2 8 B = 1 2 2 -3 2 6 C = 15 8 16 -8 25 52 Množenje matrica skalarom se vrši tako što svaki element te matrice pomnožimo

datim skalarom.

238

PRIMER 15: Odrediti C=3A. >> A=[1,4,3;2,6,1;5,2,8],C=3*A A = 1 4 3 2 6 1 5 2 8 C = 3 12 9 6 18 3 15 6 24 TRANSPONOVANJE MATRICA Transponovanje matrica, je zamena vrsta sa kolonama i vrši se pomo�u operatora ' . PRIMER 16: Transponovati datu matricu A, gde je E novonastala matrica. >> A=[1,4,3;2,6,1;5,2,8];E=A' E = 1 2 5 4 6 2 3 1 8 DETERMINANTA MATRICE Operator det služi za izra�unavanje determinante matrice. PRIMER 17: Izra�unati determinantu kvadratne matrice A. >> A=[ 1 -2 3;4 -5 6; 7 8 -9]; >> D=det(A) D = 42 INVERZNA MATRICA

1 1det( )

A adjAA

� �

Operatorom inv(A) se odre�uje inverzna matrica 1A� date matrice A.

239

PRIMER 18: Na�i inverznu matricu, matrice A. >> A;Ai=inv(A) Ai = -0.0714 0.1429 0.0714 1.8571 -0.7143 0.1429 1.5952 -0.5238 0.0714 PRIMER 19: Ukoliko želimo da izra�unamo inverznu matricu matrice �ija je determinanta jednaka 0, MATLAB daje slede�i odgovor: >> A=[ 1 2 3;4 5 6; 7 8 9]; D=det(A) D = 0 >> inv(A) Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 1.541976e-018. ans = 1.0e+016 * -0.4504 0.9007 -0.4504 0.9007 -1.8014 0.9007 -0.4504 0.9007 -0.4504 Ovo pokazuje još jednu prednost MATLAB-a da vam ukazuje na grešku pri radu. U MATLAB-u ne postoji poseban operator za izra�unavanje adjungovane matrice,

ali na osnovu definicije inverzne matrice možemo je izra�unati.

( ) det( )* ( )adj A A inv A� STEPENOVANJE MATRICA Za matricu A �ija je determinanta razli�ita od 0, važi 1( )p pA A� � �� Operator ^

služi za stepenovanje matrice.

240

PRIMER 20: Za matricu A odrediti 2 2A i A� i proveriti da li je 2 2A A I�% � (I je jedini�na matrica istih dimenzija kao matrica A) >> A=[ 1 -2 3;4 -5 6; 7 8 -9]; >> M=A^2,N=A^(-2),I=M*N M = 14 32 -36 26 65 -72 -24 -126 150 N = 0.3844 -0.1497 0.0204 -1.2313 0.7007 0.0408 -0.9728 0.5646 0.0442 I = 1.0000 0 -0.0000 0 1.0000 -0.0000 0 0.0000 1.0000 DELJENJE MATRICA Deljenje matrica se obavlja: deljenje s leva i deljenje s desna. Deljenjem s leva rešavamo matri�nu jedna�inu AX B� . U toj jedna�ini, X i B su

vektori kolone. Jedna�ina se može rešiti množenjem obe strane matricom inverznom matrici A, i to s leva:

1 1A AX A B� �� . Leva strana ove jedna�ine jednaka je X, s obzirom da je: 1A AX IX X� � � .

Dakle, rešenje matri�ne jedna�ine A X B× = je: 1X A B�� . U MATLAB-u se poslednja jedna�ina može napisati pomo�u simbola za deljenje s

leva: X A� \B. Premda dve poslednje operacije daju isti rezultat, MATLAB u njima izra�unava X na dva razli�ita na�ina. U prvoj jedna�ini sa MATLAB-om se izra�unava 1A� i zatim njime množi B. U drugoj (deljenje s leva), rešenje se dobija numeri�ki, metodom zasnovanom na postupku Gausove eliminacije. Za rešavanje skupova linearnih jedna�ina preporu�ujemo matri�no deljenje s leva, pošto je rezultat izra�unavanja inverzne matrice manje precizan od rezultata Gausove eliminacije kada se radi o velikim matricama.

Deljenjem s desna rešavamo matri�nu jedna�inu XC D� . U toj jedna�ini X i D su

vektori vrste. Jedna�ina se može rešiti množenjem obe strane matricom koja je inverzna matrici C i to s desna:

1 1X CC D C� �% � % pa je 1X D C�� %

241

U MATLAB-u se poslednja jedna�ina može napisati pomo�u simbola za deljenje s desna: X D� /C .

PRIMER 21: Uo�imo razliku izme�u operatora deljenja s leva \ i s desna /. >>A=[1,4,3;2,6,1;5,2,8],B=[1,2,1;2,-3,-1;2,6,-2], D=A\B,D1=A/B A = 1 4 3 2 6 1 5 2 8 B = 1 2 1 2 -3 -1 2 6 -2 D = 0.4474 -1.1316 -1.3158 0.1974 -0.3816 0.1842 -0.0789 1.5526 0.5263 D1 = 2.1765 -0.3529 -0.2353 1.5882 -0.1765 0.3824 6.1176 0.7647 -1.3235 PRIMER 22: Rešiti matri�nu jedna�inu AX=B gde su date matrice

1 2 32 5 13 5 7

A� � !

' (� �' (' (� � �" #

i

122

B !' (� ' (' (�" #

>> A=[1 -2 -3;2 -5 1;-3 -5 -7];B=[1;2;-2]; X=inv(A)*B X = 0.8172 -0.0753 -0.0108 ili >> X=A\B X = 0.8172 -0.0753 -0.0108

242

PRIMER 23: Podeliti matricu A skalarom 3 s leva i s desna. >> A\3 ??? Error using ==> mldivide Matrix dimensions must agree. >> A/3 ans = 0.3333 -0.6667 -1.0000 0.6667 -1.6667 0.3333 -1.0000 -1.6667 -2.3333

243

IV -ZADACI ZA VEŽBU

Red. broj Naziv vežbe

Dat

um

Evidencija Napomene

1

Koriste�i datu matricu

A=3 1 8

5 2 43 2 1

� � !' (� �' (' (" #

odrediti:

a) �lan na mestu (3,1) b) drugu vrstu matrice A c) determinantu matrice 2A d) transponovanu matricu matrice

1A�

2 Izra�unajte:

� �2 1'

4 det

A AA

��

� koriste�i

datu matricu A.

3 Izra�unati zbir matrica:

1 2 5 1 2 50 2 3 0 3 4

A i B� � � ! !

� �' ( ' (� �" # " #

4

Izra�unati zbir matrica: 1 2 4 2 4 52 5 0 2 3 23 1 3 2 1 1

A i B� � ! !

' ( ' (� � �' ( ' (' ( ' (� � �" # " #

5

Ako je

2 1 3 4 2 28 2 4 0 1 3

A i B� � ! !

� �' ( ' (" # " #

Izra�unati 3A-5B.

244

6 Izra�unati 2 2 2A A I� � ako je

1 11 1

A !� ' (�" #

7

Rešiti matri�ne jedna�ine: 1 3 2 1 10 10 2 2 1 3 2 7

3 4 0 0 7 8X

! !' ( ' (� % � �' ( ' (' ( ' (� �" # " #

SVEGA:

245

4. SISTEMI LINEARNIH ALGEBARSKIH JEDNA�INA

Sistemi jedna�ina po nepoznatim x, y, z možemo zapisati:

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

a x b y c z da x b y c z da x b y c z d

� � ��

gde su ia , ib , ic , id (i =1,2,3) realni brojevi. Stepen možemo zapisati i ovako:

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3z

a b c dxa b c y da b c d

888 888 ! ! !' ( ' (' (888 888 �' ( ' (' (' ( ' (' (888 888 " #" # " #

odnosno AX=B gde je

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3z

a b c dxA a b c X y B d

a b c d

888 888 ! ! !' ( ' (' (� 888 888 888888888 � 888888888 �' ( ' (' (' ( ' (' (888 888 " #" # " #

Rešavamo ga matri�nom metodom: 1X A B�� , u slu�aju kada je det 0A � .

Za rešavanje sistema možemo primeniti i Kramerovo pravilo, koje se primenjuje kada je determinanta sistema razli�ita od 0.

PRIMER 1: Kreirati m-fajl Cramer.m za rešavanje sistema linearnih algebarskih jedna�ina koriste�i Kramerovo pravilo:

%Resavanje sistema AX=B Cramerovim pravilom % function X=Cramer(A,B) [m,n]=size(A); if m~=n, error('Matrica nije kvadratna'), end if det(A)==0, error('Matrica je singularna'), end for j=1:n, C=A; C(:,j)=B; X(j)=det(C)/det(A); end X=X';

246

PRIMER 2: Rešiti sistem jedna�ina matri�nom metodom i koriste�i kreirani fajl Cramer.m. Uporediti dobijena rešenja.

2 3 113 5 2 19

2 3 14

x y zx y zx y z

� � ��

� � �

>> M=[2,-3,1;-3,5,-2;1,-2,3]; N=[11;-19;14]; >> X1=inv(M)*N X1 = 1.0000 -2.0000 3.0000 >> X2=Cramer(M,N) X2 = 1 -2 3

PRIMER 3: Rešiti sistem jedna�ina matri�nom metodom:

11 2,1 0

px qx zx qx pz za p i q

x pqy z q

� � � ��

� � � �

>> syms p q A=[-p q 1;1 -q -p;-1 p*q 1] A = [ -p, q, 1] [ 1, -q, -p] [ -1, p*q, 1] >> B=[1;1;q] B = 1 1 q >> X=inv(A)*B X = -(p+1)/(p^2+p-2)-1/(p^2+p-2)+1/(p^2+p-2)*q (p+1)/(p^2+p-2) -1/(p^2+p-2)-(p+1)/(p^2+p-2)-1/(p^2+p-2)*q

247

PRIMER 4: Rešiti sistem jedna�ina korite�i fajl Cramer.m

2 3 13 2 16 3

x y zx y zx y z

� � � ��

>> Z=[-2 3 1;1 3 -2;1 -6 1] Z = -2 3 1 1 3 -2 1 -6 1 >> Z1=[1;1;3] Z1 = 1 1 3 >> Cramer(Z,Z1) ??? Error using ==> Cramer Matrica je singularna (Njena determinanta je 0)

248

V - ZADACI ZA VEŽBU

Redni broj

vežbe Naziv vežbe

Dat

um

Evidencija Napomene

Rešiti sistem jedna�ina matri�nom metodom:

1.

02 2 3 7

2 9

x y zx y zx y z

� � ��

� � � �

2.

2 3 14 2 3 5

1336

x y zx y z

x y z

� � ��

� � � �

3.

12 5 2 10

3 2 3 15

x y zx y z

x y z

� � ��

� � � �

4.

2 15 4 7 27 3 6 3

x y zx y zx y z

� � ��

Rešiti sisteme jedna�ina koriste�i Kramerove formule (fajl Cramer.m)

5.

4 3 2 13 5 1

3 6 9 2

x y zx y zx y z

� � �88 � � �

� � �

6.

2 23 29 47 4 75 2 5

ax y zx ay zx y az

� � ��

7.

2 25 2 1

2 3

ax zx y

x y bz

� ��

� � �

SVEGA:

249

5. INTEGRALI I PRIMENA INTEGRALA

Neodre�eni integral

Integraljenje se može obaviti pomo�u komande int. Ta komanda se upotrebljava za izra�unavanje neodre�enih i odre�enih integrala. Neodre�eni integral ima slede�e komande: int(S) ili int(S,prom)

A S može biti oznaka za ranije definisan izraz, ili se izraz upisuje kao argument A Kada se upotrebi komanda int(S) ako izraz sadrži samo jednu promenljivu,

integraljenje se odvija po toj promenljivoj. Ako izraz sadrži više promenljivih, izra�unava se integral za nazna�enu promenljivu.

A Kada se upotrebi oblik komande int(S,prom), pogodan za izraze sa više promeljivih, integraljenje se obavlja za promenljivu prom.

PRIMER 1: >> int('cos(x)') ans = sin(x) PRIMER 2: >> syms x >> S=2*cos(x)-5*x S = 2*cos(x)-5*x >> int(S,x) ans = 2*sin(x)-5/2*x^2 PRIMER 3: >> int(x*sin(x)) ans = sin(x)-x*cos(x) PRIMER 4: >> syms x >> S=5*x^2*cos(4*x); >> int(S) ans = 5/4*x^2*sin(4*x)-5/32*sin(4*x)+5/8*x*cos(4*x)

250

PRIMER 5: >> syms x >> S=x^2*(x-1); >> int(S,x) ans = 1/4*x^4-1/3*x^3

PRIMER 6: Izra�unati integral 5 �� dxxx

x22

532

>> syms x >> S=(3*x+5)/(x^2+2*x+2); >> int(S,x) ans = 3/2*log(x^2+2*x+2)+2*atan(x+1) >> pretty(ans) 2 3/2 log(x + 2 x + 2) + 2 atan(x + 1)

PRIMER 7: Izra�unati integral 5�� dx

xxx

2

42

321

>> syms x >> S=(1+x^2+2*x^4)/(3*x^2); >> int(S,x) ans = 2/9*x^3+1/3*x-1/3/x >> pretty(ans) 3 2/9 x + 1/3 x - 1/3 1/x

PRIMER 8: Izra�unati integral 5 � dxx 9)25(

>> syms x >> S=(5*x-2)^9; >> int(S,x) ans = 1/50*(5*x-2)^10 >> pretty(ans) 10 1/50 (5 x - 2)

251

PRIMER 9: Izra�unati integral 5 � dxxe x 23

>> syms x >> S=exp(-x^3)*x^2; >> int(S,x) ans = -1/3*exp(-x^3)

PRIMER 10: Izra�unati integral 5 �� dx

xxxx

223

3

2

>> syms x >> S=(3*x^2-2)/(x^3-2*x); >> int(S,x) ans = log(x*(x^2-2)) >> pretty(ans) 2 log(x (x - 2))

PRIMER 11: Izra�unati integral 5 �dx

x 41

2

>> syms x >> S=1/(x^2+4); >> int(S,x) ans = 1/2*atan(1/2*x) >> pretty(ans) 1/2 atan(1/2 x)

252

PRIMER 12: Izra�unati integral 5 � dxxx 43 51

>> syms x >> S=(1+x^5)^(1/3)*x^4; >> int(S,x) ans = 3/20*(1+x^5)^(4/3) >> pretty(ans) 5 4/3 3/20 (1 + x ) Odre�eni integral Za odre�ene integrale komanda ima slede�i oblik:

int(S,a,b) ili int(S,prom,a,b) A a i b su granice integrala. Granice mogu biti brojevi ili drugi simboli.

Na primer, odre�eni integral 2

0(sin 5 )x x dx

��5 u MatLab-u se izra�unava na

slede�i na�in: PRIMER 1: >> syms x >> int(sin(x)-5*x^2,0,pi) ans = 2-5/3*pi^3

A S može biti oznaka za ranije definisan izraz, ili se izraz upisuje kao argument A MatLab ponekad ne može izra�unati integral. U tom slu�aju umesto odgovora

izbacuje poruku Explicit integral could not be found (integral nije prona�en).


3

2

x dx5 .

>> syms x >> f=x^3; >> int(f,1,3) ans = 20

253


3 2

1

x dx5 .

>> syms x >> f=x^(2/3); >> int(f,1,8) ans = 24/5*8^(2/3)-3/5


2

4

1sin

dxx

�

�5 .

>> syms x >> f=1/sin(x)^2; >> int(f,pi/4,pi/3) ans = 1-1/3*3^(1/2) >> pretty(ans) 1/2 1 - 1/3 3


0

sin xdx�

5 .

>> syms x >> f=sin(x); >> int(f,0,2*pi) ans = 0


0

1/(1 ^ 2)x dx�

�5 .

>> syms x >> f=1/(1+x^2); >> int(f,0,1) ans = 1/4*pi

254

PRIMENA INTEGRALA - IZRA�UNAVANJE POVRŠINA

PRIMER 7: Nacrtati krivu 2 9y x� � i izra�unati površinu ograni�enu lukom krive i x osom.

>> syms x;f1=x^2-9; >> a=solve(f1) a = 3 -3 >> int(f1,-3,3) ans = -36 >> abs(ans) ans = 36 >> ezplot(f1);hold on

PRIMER 8: Data je funkcija f(x)=sin x. Nacrtati funkciju, obeležiti oblast ograni�enu datom funkcijom i x osom na intervalu 0 1x� � i izra�unati vrednost površine.

>> x=[0:0.001:1]; >> fill(x,sin(x),'r') >> x=[0:0.001:1]; >> fill([x 1],[sin(x) 0],'r')

255

Tražena površina ima vrednost: >> p=int('sin(x),0,1') p = [ -cos(x), 0, x]

PRIMER 9: Izra�unati površinu ograni�enu funkcijom 2

( ) xf x e�� i x osom na intervalu 0 4x� � , nacrtati funkciju i obeležiti traženu površinu.

>> fill([0 0:.1:4 4 0],[0 exp(-(0:.1:4).^2) 0 0],'c')

256

VI - PREGLED URA�ENIH VEŽBI

Redni broj vežb

e

Naziv vežbe

Dat

um

Evidencija Napomene

Izra�unati slede�e integrale:

1 23x dx5

2 3 2( 2 2 1)x x x dx� � �5

3 2

4

6 2x x dxx

� �5

4 3 21x x dxx

� ��

�5

5 2

21x dx

x�5

6 2 sinx x

x

e e xdxe

�5

7 2 2

cos 2sin cos

x dxx x%5

8 � �105x dx�5

9 5dx

x�5

10 2

cos4 sin

xdxx�5

11 2 2

dxa x�

5

12 2

2 33 5

x dxx x

�� 5

13 tgxdx5

257

Redni broj vežb

e

Naziv vežbe

Dat

um

Evidencija Napomene

14 cosx x dx5

15 lnx x dx5

16 22 3

3 5x dx

x x�

� �5

17 2

2x dx

x �5

18 2 2 5dx

x x� �5

Proveriti:

19 5 5

4 lnln5 25

x x xx x dx C� � �5

20 ln lnx dx x x x C� � �5

SVEGA:

258

6. FORMIRANJE DISTRIBUCIJE FREKVENCIJA

PRIMER 1: Mašina za pakovanje kafe puni kesice od 100 gr. Za kontrolu kvaliteta pakovanja posmatrano je 50 kesica i dobijeni su slede�i podaci.

102 98 98 97 99 100 100 102 101 103 99 98 97 100 100 100 99 97 101 102 102 100 101 103 102 100 100 99 98 101 100 100 101 99 98 100 101 102 99 100 102 101 99 98 99 101 100 102 97

a) Srediti podatke u rastu�i niz. b) Formirati distribuciju apsolutnih frekvencija i predstaviti grafi�ki. c) Formirati distribuciju relativnih frekvencija i predstaviti grafi�ki.

a) >> y=[101 102 98 98 97 99 100 100 102 101 103 99 98 97 100 100 100 99

97 101 102 102 100 ... 101 103 102 100 100 99 98 101 100 100 101 99 98 100 101 102 99 100 102

101 99 98 99 101 ... 100 102 97]; >> n=hist(y) n = 4 6 0 8 13 0 9 0 8 2 >> n=hist(y,7) n = 4 6 8 13 9 8 2 b) >> y=[101 102 98 98 97 99 100 100 102 101 103 99 98 97 100 100 100 99

97 101 102 102 100 ... 101 103 102 100 100 99 98 101 100 100 101 99 98 100 101 102 99 100 102

101 99 98 99 101 ... 100 102 97]; >> n=hist(y) n = 4 6 0 8 13 0 9 0 8 2 >> n=hist(y,7) n = 4 6 8 13 9 8 2 >> x=[97:1:103];

259

>> hist(y,x)

c) >> y=[101 102 98 98 97 99 100 100 102 101 103 99 98 97 100 100 100 99

97 101 102 102 100 ... 101 103 102 100 100 99 98 101 100 100 101 99 98 100 101 102 99 100 102

101 99 98 99 101 ... 100 102 97]; >> z=[50]; >> n=hist(y,7)/z n = 0.0800 0.1200 0.1600 0.2600 0.1800 0.1600 0.0400 >> x=[97 98 99 100 101 102 103]; >> y=[0.08 0.12 0.16 0.26 0.18 0.16 0.04]; >> plot(x,y) >> plot(x,y,'--r*')

260

PRIMER 2: a) >> y=[37 38 37 6 20 11 22 23 3 11 4 39 17 23 37 21 21 10 12 20 15 2 20 15

... 22 3 18 45 36 9 10 15 41 24 31 23 29 33 5 36 40 12 12 1 2 4 33 31 31 5 31 ... 13 22 23 1 5 35 32 2 0 6 18 32 16 25 38 31 1 27 25 33 0 27 34 20 17 19 29 ... 31 21 17 44 1 19 32 17 38 1 21 45 12 27 36 24 34 20 12 18 25 15]; >> n=hist(y,8) n = 17 7 11 21 12 14 13 5 >> hist(y,8)

261

b) >> y=[37 38 37 6 20 11 22 23 3 11 4 39 17 23 37 21 21 10 12 20 15 2 20 15

... 22 3 18 45 36 9 10 15 41 24 31 23 29 33 5 36 40 12 12 1 2 4 33 31 31 5 31 ... 13 22 23 1 5 35 32 2 0 6 18 32 16 25 38 31 1 27 25 33 0 27 34 20 17 19 29 ... 31 21 17 44 1 19 32 17 38 1 21 45 12 27 36 24 34 20 12 18 25 15]; >> n=hist(y,5) n = 20 22 26 20 12 >> hist(y,5)

PRIMER 3: Anketirani su kupci u prodavnicama XYZ Trade o broju �lanova u porodici.

1 2 3 4 4 3 2 4 5 1 4 3 2 2 3 4 4 4 5 6 5 4 4 3 1 3 3 4 2 4 3 2 2 4 3 1

a) Srediti podatke u rastu�i niz. b) Formirati distribuciju apsolutnih i relativnih frekvencija. c) Prikazati grafi�ki distribuciju relativnih frekvencija.

262

a) >> y=[1 2 3 4 4 3 2 4 5 1 4 3 2 2 3 4 4 4 5 6 5 4 4 3 1 3 3 4 2 4 3 2 2 4 3 1]; >> n=hist(y) n = 4 7 0 9 0 12 0 3 0 1 >> n=hist(y,6) n = 4 7 9 12 3 1 >> b) >> y=[1 2 3 4 4 3 2 4 5 1 4 3 2 2 3 4 4 4 5 6 5 4 4 3 1 3 3 4 2 4 3 2 2 4 3 1]; >> n=hist(y) n = 4 7 0 9 0 12 0 3 0 1 >> n=hist(y,6) n = 4 7 9 12 3 1 >> hist(y,6) >> x=[1:1:6]; >> hist(y,x)

>> a=[36]; >> z=n/a z = 0.1111 0.1944 0.2500 0.3333 0.0833 0.0278

263

c) >> x=[1 2 3 4 5 6] x = 1 2 3 4 5 6 >> y=[11 20 25 33 8 3] y = 11 20 25 33 8 3 >> plot(x,y) >> plot(x,y,'--r*')

PRIMER 4: a) >> y=[1 2 3 4 4 3 2 4 5 1 4 3 2 2 3 4 4 4 5 6 5 4 4 3 1 3 3 4 2 4 3 2 2 4 3 1]; >> n=hist(y) n = 4 7 0 9 0 12 0 3 0 1 >> n=hist(y,6) n = 4 7 9 12 3 1

264

b) >> y=[1 2 3 4 4 3 2 4 5 1 4 3 2 2 3 4 4 4 5 6 5 4 4 3 1 3 3 4 2 4 3 2 2 4 3 1]; >> n=hist(y) n = 4 7 0 9 0 12 0 3 0 1 >> n=hist(y,6) n = 4 7 9 12 3 1 >> hist(y,6) >> x=[1:1:6]; >> hist(y,x)

>> a=[36]; >> z=n/a z = 0.1111 0.1944 0.2500 0.3333 0.0833 0.0278

265

v) >> x=[1 2 3 4 5 6] x = 1 2 3 4 5 6 >> y=[11 20 25 33 8 3] y = 11 20 25 33 8 3 >> plot(x,y) >> plot(x,y,'--r*')

266

ZADACI ZA VEŽBU

1. Anketirano je 30 kupaca u prodavnicama „C Marketa“ o prose�noj dnevnoj potrošnji hleba. Dobijeni su slede�i podaci:

1 3 4 2 5 1 6 2 2 2 4 5 3 2 6 2 2 3 1 1 1 3 6 4 2 1 2 3 2 1

a) Srediti podatke u rastu�i niz b) Formirati distribuciju apsolutnih i relativnih frekvencija c) Prikazati grafi�ki distribuciju apsolutnih frekvencija

2. Pogon za kontrolu pakovanja mleka preduze�a „PKB Imlek“ kontroliše mašinu

za punjenje dugotrajnog mleka u tetrapak od 1 litar. Kontrola 20 pakovanja dala je slede�e rezultate:

1,02 0,89 0,92 0,84 0,90 0,97 0,95 0,94 0,93 1,01 1,01 0,97 0,95 0,90 0,94 0,96 0,99 0,99 0,97 0,94

a) Izra�unati prose�nu koli�inu mleka u tetrapaku b) Odrediti medijanu za negrupisane dobijene rezultate c) Formirati distribuciju frekvencije za klasne intervale 0,80-0,89; 0,90-

0,99; 1,00-1,09 i izra�unati prose�nu koli�inu mleka u jednom tetrapaku koriste�i u izra�unavanju sredine klasnih intervala. Uporediti prose�ne vrednosti koje se dobiju pre i posle grupisanja podataka.

3. U prodavnicama „Pekabete“ anketirano je 30 kupaca o prose�noj dnevnoj

potrošnji hleba. Dobijeni su slede�i podaci:

1 4 3 5 2 1 3 2 4 2 5 4 3 2 6 2 2 1 3 1 1 6 6 2 2 2 1 3 1 2

a) Srediti podatke u rastu�i niz b) Formirati distribuciju apsolutnih i relativnih frekvencija c) Prikazati grafi�ki distribuciju relativnih frekvencija u procentima.

4. Pogon za kontrolu pakovanja kafe preduze�a „Grand“ kontroliše mašinu za punjenje kafe u pakovanje od 2 kg. Kontrola 20 pakovanja dala je slede�e rezultate:

2,02 1,89 1,92 1,84 1,90 1,97 1,95 1,94 1,93 2,01 2,01 1,97 1,95 1,90 1,94 1,96 1,99 1,99 1,97 1,94

a) Izra�unati prose�nu koli�inu kafe u pakovanju b) Odrediti medijanu za grupisane dobijene rezultate

267

c) Formirati distribuciju frekvencije za klasne intervale 1,80-1,89; 1,90-1,99; 2,00-2,09 i izra�unati prose�nu koli�inu kafe u jednom pakovanju koriste�i u izra�unavanju sredine klasnih intervala. Uporediti prose�ne vrednosti koje se dobiju pre i posle grupisanja podataka.

268

VII - PREGLED URA�ENIH VEŽBI

Redni broj vežbe Naziv vežbe

Dat

um

Evidencija Napomene

1

2

3

4

5

SVEGA:

269

270

FINANSIJSKE TABLICE

271

272

273

274

275

276

277

278

279

280

281

282

STATISTI�KE TABLICE

283

284

285

286

287

288

289

290

291

292

293

294

295

Odlukom Senata Univerziteta “Singidunum”, Beogrаd, broj 636/08 od 12.06.2008, ovaj udžbenik je odobren kao osnovno nastavno sredstvo na studijskim programima koji se realizuju na integrisanim studijama Univerziteta “Singidunum”.

CIP - Каталогизација у публикацијиНародна библиотека Србије, Београд

519.2(075.8)(076)51-77:33(075.8)(076)

ЖИЖОВИЋ, Малиша, 1948- Kvantitativne metode : zbirka zadataka / Mališa Žižović, Olivera Nikolić, Ana Simićević. - Beograd : Univerzitet Singidunum, 2010 (Loznica : Mladost grup). - 295 str. : graf. prikazi, tabele ; 25 cm

Tiraž 1.350.

ISBN 978-86-7912-275-91. Николић, Оливера, 1948- [аутор] 2. Симићевић, Ана, 1984- [аутор]a) Математичка статистика - Задаци b) Привредна математика - Задаци

COBISS.SR-ID 177946124

© 2010.Sva prava zadržana. Ni jedan deo ove publikacije ne može biti reprodukovan u bilo kom vidu i putem bilo kog medija, u delovima ili celini bez prethodne pismene saglasnosti izdavača.

Education

Us kvantitativne metode - zbirka zadataka