Upload
ngokhanh
View
450
Download
5
Embed Size (px)
ZI. Neodređeni integrali 127
ZI. NEODREðENI INTEGRALI
1. Antidervacije
1. Pronañi tri antiderivacije funkcije ���� � ��.
2. Odredi sve antiderivacije funkcije ���� � ��.
3. Pronañi dvije antiderivacije funkcije ���� � �� �.
4. Pronañi antiderivaciju ��� funkcije ���� � �� za koju je ��� � � . 5. Pronañi onu antiderivaciju ��� funkcije ���� � �� � � za koju vrijedi
��� � �.
6. Pronañi antiderivaciju ��� funkcije ���� � ����� koja zadovoljava uvjet
��� � �.
7. Ima li fukcija ���� � �� antiderivaciju ��� za koju je ��� � ���?
8. Odredi bar jednu antiderivaciju funkcije ���� � ��� � �� � � .
9. Odredi bar jednu antiderivaciju funkcije ���� � �� ��.
10. Uz pomoć jednog trigonometrijskog identiteta pronañi antiderivaciju
funkcije ���� � ��� �.
11. Je li funkcija ��� � ��� � �� � � antideivacija funkcije
���� � �����������?
12. Je li funkcija ��� � �� � ��� � � antiderivacija funkcije
���� � ��� � �� � � ?
13. Je li funkcija ��� � � ��� � ��� � antiderivacija funkcije
���� � � ��� � ?
128 Zbirka zadataka
2. Integriranje pomoću tablice i osnovnih pravila
Služeći se tablicom i osnovnim pravilima pronañi neodreñene integrale
14. � �� � 15. � ��! � 16. � ��"# �
17. � ��# � 18.� $�
�$ % 19. � � ��!���& �
20.�' � 21. �(% % 22. ���� �
23. ����� � � �� �� � 24. ��) � � �� )� ) 25.���� � ��� �
26. � ������ � 27. � *�*�
*! ) 28. � ������� �
29. � ������� � 30. � +����,!
�� � 31. � �����#�! �
32. ��� � 33. ����� � 34. ��� � ���� �
35. � ����- � 36. � �
���� � 37. � ����� �
38. � ������ � 39. � �
����� � 40. � ������ �
41.���� � �' � 42. ���� � �' � 43. ���' � �� �
ZI. Neodreñeni integrali 129
3. Metoda zamjene
Pogodnim zamjenama odredi integrale
44. ���� � ��. � 45. ��� � �� � 46. ����� � '! �
47. � ����� � �� � 48. �� ������ � 49. � �� � ��� � �
50. � �����- � 51. � /01 $
123! $ % 52. � �� 45� �
53. � 6�767�� � 54. � $�
$!�� % 55. � 45��� �
56. �����!�� � 57. ��� �� � ���� �& � 58. ��� �� � �� �
Riješi integrale tako da kvadratni izraz prvo predočiš kao zbroj ili razliku
kvadrata, a zatim uvedeš zamjenu
59. � �������8 � 60. � �
9�.���� �
61. � �����8� � 62. � �
�������� �
63. ���� � �� � � � 64. ���� � �� �
4. Metoda djelomične integracije
Djelomičnim integriranjem odredi integrale
65. � :� � � 66. ���� � 67. �� �� � �
68. ��� �� � � 69. ����� � 70. ��� :�; � �
71. � 45���! � 72. � ����
67 � 73. � �/01� � �
74. �<=> %?% % 75. ��<=> �� � � 76. � @A?��% %
Dvostrukom primjenom formule za djelomičnu integraciju zadani integral
svedi na integralnu jednadžbu, a potom ju riješi
77. � �� �� � � 78. ��� ��� � 79. � ��� ��� �
130 Zbirka zadataka
5. Integriranje racionalnih funkcija
Odredi integrale djelomičnih razlomaka
80. � �� � 81. � ��
�& �
82. � "���� � 83. � ��
������# �
84. � �������� � 85. � �
������" �
86. � ��������� � 87. � ���
�������" �
88. � �������� � 89. � �
������� �
Odredi integrale pravih racionalnih funkcija
90. � .�������" � 91. � ��"
������� �
92. � ���������������� � 93. � ��
�����! �
94. � ������.���������-� � 95. � �
�!��� �
96. � 9����!��� � 97. � .
�!�����8� �
98. � ��#�� � 99. � �!
������� �
Odredi integrale racionalnih funkcija
100. � �#�-������� � 101. � ��#�"��
���� �
102. � �!����������� � 103. � ��
����. �
104. � ��!��9�������� � 105. � �!������
�!�� �
106. � �#��!��.�!��� � 107. � �!�����
�!������� �
108. � �B�#�� � 109. � �&
������� �
ZI. Neodreñeni integrali 131
6. Integriranje funkcija s korijenom
Pogodnim zamjenama zadane integrale svedi na integrale racionalnih
funkcija i riješi ih
110. � ����� � 111. � ����
� �
112. � �C������! � 113. � ��
�+ ��! ��, �
114. � ���D���
� � 115. � ��D���
� �
116. � ������� � 117. � �����
� �
7. Integriranje trigonometrijskih funkcija
Uz pomoć formula koje umnožak sinusa i kosinusa pretvaraju u zbroj ili
razliku riješi integrale
118. � �� �� �� �� � 119. � �� � ���� �
120. � �� �� �� �� � 121. � ��� �� �
122. � �� � ���� ���� � 123. � ��� �� �� � �
Uz pomoć neke od zamjena % � �� �, % � ���, % � %?� ili % � %? �� riješi
integrale
124. � 123�/01� � � 125. � /01�
123! � �
126. � � 123��/01����# � 127. � /01�
"�/01� � �
128. � 123� �/01# � � 129. � ���/01� �
123# � �
130. � �123� /01� � 131. � �
� 123� ��� �
132. � �123��� � 133. � �
/01� �
134. � /01�/01��� � 135. � �
�123���/01� �
132 Zbirka zadataka
8. Različiti zadatci
Riješi integrale
136. � C���! � 137. ����� ����� �
138. � �����! � 139. � ��
��!�8# �
140. � �"������ � 141. � ����
������� �
142. � �����!�� � 143. � �!����
�!�� �
144. ����� � ��<=>%?� � 145. �<=> �� �� �
146. �� :�; �� � 147. ��� �� � �
148. � � ��# ���� � 149. �D���
��� �
150. � ��/01�123� � � 151. � 123��/01�
/01! � �
ZII. Određeni integrali 133
ZII. ODREðENI INTEGRALI
1. Računanje odreñenog integrala
Služeći se tablicom, osnovnim pravilima i Leibniz-Newtonovom formulom
izračunaj vrijednost odreñenih integrala
152. 2
3
1
x dx−∫ 153.
1
5 7
0
x dx∫ 154. 1
1
e
x dx−∫
155.
2
cos xdx
π
π∫ 156.
3
2
0
1
1dx
x +∫ 157. 0
2
3xdx−∫
158.
( )4
0
1x x dx−∫ 159.
( )9
2
4
3 x dx−∫ 160. ( )1
33
1
2 x dx−
−∫
161.
264
4
1
4x dxx
− ∫ 162.
216
4
1
4x dxx
− ∫ 163.
( )34
1
x xdx
x
−∫
Služeći se metodom zamjene i Leibniz-Newtonovom formulom izračunaj
vrijednost odreñenih integrala
164.
2
2
2 5x dx−
+∫
165.
1
3
2
2 3xdx−
−∫
166.
2
2
4
sin cosx xdx
π
π
⋅∫
167. ( )
2
3
3
1
4dx
x
−
− +∫
168.
3 2
1
1
2
xdx
x−
−+∫
169. 1
lne
xdx
x∫
170.
4
0 1
xdx
x +∫
171.
1
4
1
5
xdxx−
+
−∫
172. ( )
27 6
31 1
xdx
x x+∫
134 Zbirka zadataka
Služeći se metodom djelomične integracije i Leibniz-Newtonovom
formulom izračunaj vrijednost odreñenih integrala
173. 0
cosx xdx
π
∫
174. 1
ln
e
x dx∫
175.
1
2
1
xx e dx−∫
176.
10
2
1
log xdx
x∫
177.
0
1
arctanx xdx−∫
178.
4
2
1
log xdx
x∫
Izračunaj integrale:
179.
2
0
sin 2x xdx
π
∫ 180.
( )0
1
ln 2x x dx−
+∫
181.
( )2
5
3
arctan 3 5x dx+∫
182. 0
cosxe xdx
π
∫
183.
5
2
53
xdx
x− +∫
184.
3 3
0
3 2
1
x xdx
x
− −+∫
Izračunaj integrale tako da prvo provjeriš parnost podintegralne funkcije ili
njenih pribrojnika
185. ( )
1
4 2
1
5x x dx−
− +∫
186. ( )
3
3
3
cosx x x dx−
−∫
187. ( )2sin 3cosx x dx
π
π−
−∫
188. ( )
5
2
5
sinx x x tgx dx−
+ −∫
189. ( )
2
2
2
sin 4 2x x ctgx x dx−
− + −∫ 190.
( )4
22
4
sin cosx x x dx−
+∫
Odredi funkciju ( )f x i izračunaj 0( )f x , ako je
191. 0
( )
x
f x tdt= ∫ , 0 4x = 192.
( )2
1
( ) 2
x
f x t t dt−
= +∫ , 0 0x =
193.
21
( )x
f x dtt
−
= ∫ , 0x e= −
194. ( )
8
3( ) 1x
f x t dt= −∫ , 0 1x =
195.
2 3
2
1( )
x
x
tf x dt
t
−= ∫ , 0 2x =
196.
1
( )1
x
x
tf x dt
t
+
=+∫ , 0 3x =
ZII. Određeni integrali 135
2. Površina ravninskog lika
Izračunaj površinu lika omeñenog krivuljama
197. 3x = , 0y = , 2y x= 198. 2x = , 0y = , 3y x=
199. 1x = − , 3x = , 0y = , 23 2 1y x x= − +
200. 1x = , x e= , 0y = , 1y x−=
201. 0y = , siny x= za 0 x π≤ ≤ 202. 3y x= − + , 2 6 7y x x= − +
203. 1x = , 3x = , 1 2y x= − , 2 2 3y x x= − +
204. 1x = , x e= , 2xy = , 3xy =
205. 0x = , 2y x= , ( )24y x= − 206. 2x = − , 2x = , 3 4y x= + ,
sin 2y x= −
207. 2x y= + , 2x y= 208. 2x y= , 2 1x y= + , 0y =
209. 2 3 2y x x= − + ,
2 3 2y x x= − + −
210. 2 2y x x= + − , 2 6y x x= − + +
211. 2 5 6x y y= − + ,
2 7 4x y y= − + −
212. 1y x= − , 2 2 1y x= +
213. 0x = , 0y = , 3 1y x= − 214. 3y x= , 3y x x= −
215. 2y x= − , y x= − , 3y x= 216.
y x= , 22y x= −
217. 2 3y x x= − , tangenta u točki ( )1,0T
136 Zbirka zadataka
U narednim zadatcima površinu lika omeñenog zadanim krivuljama
izračunaj na dva načina:
integriranjem funkcija ( )y x po x
integriranjem funkcija ( )x y po y
218. 2x y= , 2y x= 219.
2y x= , 3y x=
220. 2 3y x= + , 2 4y x= 221. 0y = , 2y x= + , 2y x=
222. 0y = , 6y x= − + , y x= 223. 2 3 10x y+ = , 1xy x= +
224. 0x = , 1x = , tanx y= , / 2y π= 225. 0x = , 0y = , 1y = , lny x=
3. Obujam rotacijskog tijela
Izračunaj obujam tijela nastalog vrtnjom, oko osi x , lika omeñenog
krivuljama
226. 2x = , 0y = , 2y x= 227. 0y = , 2 5y x x= −
228. 4y = , 2y x= 229. y x= , 2y x x= −
230. 4y x= + , 2 2y x= + 231. 0x = , 21x y= −
232. 0y = , 3 4y x= − , y x= 233. 1xy = , 2 1y = , 3y x=
234. 1y x= − , 2 2 1y x= + 235. 2 2y x x= − , 2 2 6y x x= − + +
Izračunaj obujam tijela nastalog vrtnjom, oko osi y , lika omeñenog
krivuljama
236. 0x = , 21x y= − 237. 1xy = , 1y = , 2y =
238. 2x = , 0y = , 2y x= 239. 2x y= , 2y x=
240. 0y = , 3 4y x= − , y x= 241. 1xy = , 28y x= , 3y x=
ZII. Određeni integrali 137
4. Duljina luka ravninske krivulje Izračunaj duljinu luka krivulje
242.
32
3y x= za 3 8x≤ ≤
243. 3
x y= za 5
09
y≤ ≤
244. 2 4y x= izmeñu točaka ( )0,0A i ( )1,2B
245.
21
2y x x= − izmeñu točaka
10,
2A −
i 3
3,2
B
246. ( )2ln 1y x= − za
10
2x≤ ≤
247.
1
22x
y e= za ln 24 ln 48x≤ ≤
248. ln sinx y= za 3 2
yπ π≤ ≤
249. arcsin xy e= za 3 2 2
ln ln2 3
x≤ ≤
5. Površina rotacijske plohe
Izračunaj površinu plohe nastale vrtnjom, oko osi x , luka krivulje
250. 31
3y x= za 40 3x≤ ≤
251. 2 4y x= izmeñu točaka ( )3, 2 3A − i ( )3,2 3B
252.
2 2
3 3 1x y+ =
za 0 1x≤ ≤
253.
2
siny
x=
za
4 2x
π π≤ ≤
Izračunaj površinu plohe nastale vrtnjom, oko osi y , luka krivulje
254. 2
1x y= − za 0 1y≤ ≤
255. 2y x= izmeñu točaka ( )2,2A − i ( )2,2B
256.
31
3x y=
za 0 2y≤ ≤
138 Zbirka zadataka
6. Numerička integracija
Trapeznom formulom, uz zadani korak h , izračunaj približnu vrijednost
odreñenih integrala
257. ( )
3
2
2
sin 1x dx+∫ , 0,2h =
258.
5
2
3
cosx xdx∫ , 0,4h =
259. ( )
1,5
2 3
1
ln 10x dx+∫ , 0,1h = 260.
2
2
3
5 6x x dx
−
−
− − −∫ , 0,25h =
261.
5 2
4
15
log
xdx
x
−∫ , 0,2h =
262.
12 3
10
3
1
xdx
x
++∫ , 0,4h =
263.
2
1sin 2
xedx
x +∫ , 0,2h =
264.
6
3
1 2xdx
x
−∫ , 0,5h =
265. ( )
0,7
0
3arctanx x dx−∫ , 0,1h = 266.
( )0
1
arcsin xx e dx−
+∫ , 0,2h =
Simpsonovom formulom, uz zadani korak h , izračunaj približnu vrijednost
odreñenih integrala
267.
2
1
lnxe xdx∫ , 0,25h =
268.
11
2
0
logx xdx∫ , 0,5h =
269.
6 3
5
2
2
xdx
x
−+∫ , 0,25h =
270.
4.2
2
3
3 3
2
x
dxx
++∫ , 0,2h =
271.
0,8
2
0
x x dx−∫ , 0,1h = 272.
0
3
2
xx e dx−
+∫ , 0,5h =
273.
1
2
1
tanx xdx−∫ , 0,5h =
274.
3
2
4 cotx xdx∫ , 0,25h =
275.
1.1
0.5
ln
cos
x xdx
x
+∫ , 0,1h =
276.
5
4
sin
arctan
x xdxx
−∫ , 0,25h =
ZII. Određeni integrali 139
7. Različiti zadatci
Izračunaj vrijednost integrala:
277.
4
0
x xdx∫ 278.
( )64
3
1
x x dx−∫
279.
0
2
1
1x x dx−
−∫
280. ( )
2
2
0
1 2x x x dx− −∫
281.
2
3
xdx−∫
282.
4
1
3x dx−∫
283.
2
2
1
2 1x x dx− +∫
284.
1
2
0
2 1x x dx− +∫
285.
0
2
3
4 4x x dx−
+ +∫ 286.
2
2
1
4 4 1x x dx−
− +∫
287.
2
21 cos xdx
π
π
−∫ 288.
2
0
1 sin sin 2x xdx
π
− ⋅∫
289.
3
1
xe dx
−∫
290.
3
2
1
3 2x x dx− +∫
Uz pomoć integralnog računa izvedi formule za
291. površinu i opseg kruga
292. obujam i površinu uspravnog kružnog stožca
293. obujam i površinu kugle
294. obujam i površinu torusa
140 Zbirka zadataka
ZIII. DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE
1. Provjera rješenja
Provjeri jesu li funkcije y rješenja diferencijalnih jednadžbi
295. xyy cos2´ =+ , xxy cossin +=
296. 0´ =+ yxy , 2
11
xxy +=
297. 122´ −=− xyy , xCey x −= 2
298. 023´ =+− ytgxy , 1sin 3 += xCy
299. 0sin2´´ =++ xyy , xxy cos=
300. xeyyy =+− ´2´´ , xexy 2=
301. 0´sin2´´cos =− xyxy , tany x=
302. 2´´ 2 +=+ xyy , 2
21 cossin xxCxCy ++=
303. 0´´´´4 2 =+ yyx , 3xy =
304. 3´´´´´´ 23 =++ xyyxyx , xy ln2
3=
305. xyyy cos´´´´´ =++ , xy sin=
306. 0´6´´5´´´ =+− yyy , xx eCeCCy 3
3
2
21 ++=
ZIII. Diferencijalne jednadžbe 141
2. Diferencijalne jednadžbe koje se rješavaju neposrednim integriranjem
Neposrednim integriranjem odredi opće rješenje diferencijlanih jednadžbi
307. 2 cosy x x′ = − 308. 1xy e′ + =
309. 1xy′ = 310. 2 ln 1xy x′ = +
311. 6 2y x′′ = + 312. 2y x x−′′ + =
313. 2 2 1xx y x e′′ = + 314. cos siny x x x′′ = −
315. 0y′′′ = 316. 3 cosy x′′′ − =
317. ( 3) 0xy x e′′′ + + = 318. 3 4lnx y x′′′ =
Pronañi pojedinačno rješenje diferencijalnih jednadžbi koje zadovoljava
zadane uvjete
319. 2 13 2y x x
x′ = + − : 3)1( =y
320. cos siny x x′ = − : )0(2)( yy =π
321. 55 10xy e x′ = − : (0) (0)y y′=
322. 212 2y x′′ = − : 2)2(,1)1( == yy
323. 4
2 6xy
x
−′′ = : 0)4(),2()1( == yyy
324. 3 3
2sin 2cos
cos sin
x xy
x x′′ = + : ( ) , ( ) 1
4 4 4y yπ π π
′= = =
325. xy e′′′ = : (0) 1, (0) 1, (0) 1y y y′ ′′= = = −
326. 6
606yx
′′′ = − : 3
(1) 3, (1) 8, (2)8
y y y′ ′′= = =
142 Zbirka zadataka
3. Diferencijalne jednadžbe prvog reda
3.1. Diferencijalna jednadžba s razdvojenim promjenljivim
Riješi diferencijalne jednadžbe
327. dyydxx 3= 328. ydydxy =−12
329. 0ln =− xdyxdx 330. 02
=+x
dy
y
dx
331. ( sin ) ( cos )x x dx y y dy+ = + 332. dyeydxxe yx )1( +
Riješi diferencijalne jednadžbe tako da prvo razdvojiš diferencijale i
promjenljive
333. 2 2x y y′ = 334. 2y xy′ =
335. 0x yy′+ = 336. y xy′ =
337. 22 3yy y′ = + 338. 1x ye y+ ′ =
ZIII. Diferencijalne jednadžbe 143
3.2. Homogena diferencijalna jednadžba
Zamjenom y
xz = , a potom razdvajanjem promjenljivih x i z , riješi
diferencijalne jednadžbe
339. x
xyy
−=´ 340.
3
22 )(´
x
yyxy
−=
341. yx
yy
−=´ 342. ln (ln 1)
y y xy
x x y′ = −
Zamjenom x
yz = , a potom razdvajanjem promjenljivih x i z , riješi
diferencijalne jednadžbe
343. x y
yx
+′ = 344.
2
xy yy
x
+′ =
345. 2 2x y
yxy
+′ = 346. sin sin 1
y y xy
x x y′ = +
Riješi diferencijalne jednadžbe
347. ( )x y y y′+ = 348. 3 2 2( )x y x y y′ = +
349. 2cosy y
yx x
′ = + 350. siny y
yx x
′ = +
144 Zbirka zadataka
3.3. Linearna diferencijalna jednadžba
Odredi opće rješenje homogenih linearnih diferencijalnih jednadžbi
351. 3 0y y′ + = 352. 1
0y yx
′ − =
353. (sin ) 0y x y′ + = 354. (ln 1) 0y x y′ − + =
Pronañi opće rješenje diferencijalnih jednadžbi tako da prvo riješiš njihove
homogene jednadžbe, a zatim primijeniš metodu varijacije konstante
355. 2 xy y xe′ − = 356. 22 4y y x′ + =
357. 1
3 2y y xx
′ + = + 358. 1
cosy y xx
′ + =
359. 2
2x
y xy e′ − = 360. (sin ) siny x y x′ + =
361. 45xy y x′ + = 362. xxyxy ln2´ =−
363. 1
2 2 xx y y x e′ + = 364. 2cos 1 0y x y′ − − =
Pronañi pojedinačno rješenje diferencijlanih jednadžbi koje zadovoljava
zadani uvjet
365. 1y y′ − = − : 5)0( =y 366. 1
y y xx
′ + = : 1)1( =y
367. (cos ) 0y x y′ − = : (0) 1y′ = 368. 1 1y y
x x′ − = : (2) 0y′ =
ZIII. Diferencijalne jednadžbe 145
3.4. Bernoullieva diferencijalna jednadžba
Pronañi opće rješenje diferencijalnih jednadžbi tako da prvo riješiš njihove
homogene jednadžbe, a zatim primijeniš metodu varijacije konstante C te razdvojiš
promjenljive x i C
369. 2y y y′ − = 370. 2xy y x xy′ − =
371. 4
22
xey y
y′ − = 372. 2
1 xy y
x y′ + =
373. 32 2 0y xy xy′ + − = 374. 23 0y y y′ − + =
4. Diferencijalne jednadžbe drugog reda
4.1. Linearna diferencijalna jednadžba
Snižavanjem reda riješi linearne diferencijalne jednadžbe
375. 2 xy y e′′ ′− = 376. 23xy y x′′ ′− =
377. 2 6lnx y xy x′′ ′+ = 378. 3sin cos 2siny x y x x′′ ′− =
146 Zbirka zadataka
4.2. Linearna diferencijalna jednadžba s konstantnim koeficijentima
Odredi opće rješenje homogenih linearnih diferencijalnih jednadžbi
379. 6 0y y y′′ ′+ − = 380. 4 0y y′′ ′− =
381. 1
2 3 03y y y′′ ′− + = 382.
10
4y y y′′ ′− + =
383. 25 0y y′′ + = 384. 4 13 0y y y′′ ′+ + =
Pronañi opće rješenje diferencijalnih jednadžbi tako da prvo riješiš njihove
homogene jednadžbe, a zatim primijeniš metodu varijacije konstanti
385. 2 2 xy y y e′′ ′− + = 386. y y x′′ + =
387. 22 xy y e−′′ ′+ = 388. 34 3 8 xy y y xe′′ ′− + =
389. siny y x′′ + = 390. 3 2 3sin cosy y y x x′′ ′− + = +
391. 4 4sin 2 4cos 2y y x x′′ + = − − 392. sinxy y e x′′ ′− =
393. 2 2 (2 1) xy y x e′′ − = − 394. ( 1)( )x xe y y e′′ ′+ + =
Pronañi pojedinačno rješenje diferencijalnih jednadžbi koje zadovoljava
zadane uvjete
395. 2 1y y x′′ ′+ = − : 4)0( =y , 2)1( =y
396. 22 xy y y e′′ ′− + = : 0)0( =y , (0) 1y′ =
397. 36 9 sinxy y y e x′′ ′− + = − : (0) 2y′ = , ( ) 0y π′ =
398. 1y y′′ + = : (0) 1y′ = , (0) 2y′′ =
ZIII. Diferencijalne jednadžbe 147
5. Različiti zadatci
Riješi diferencijalne jednadžbe
399. 3 1x y′′′ = 400. ln( )y x′′ =
401. 0=+ dydx 402. 0=+ xdyydx
403. ( )x y y y′+ = 404. 2xy x y′ = −
405. 2 sinxy x x y′ − = 406. 2 2 0y y x y′ − + =
407. 6 25 0y y y′′ ′− + = 408. 4 4 4y y y′′ ′− + =
409. 2 4 8y y x′′ ′− = − 410. 1
55 6 41 cosx
y y y e x′′ ′− + = −
Snižavanjem reda riješi diferencijalne jednadžbe
411. 3 2 0y y y′′′ ′′ ′− + = 412. 1y y′′′ ′+ =
413. 0IVy y′′− = 414. 3 0IVy y′′′− =
148 Zbirka zadataka
R. RJEŠENJA
EF ���� � �� �� , � � ��� �� �� � � , ���� � �
� �� � �� 2. ���� � G
3. ���� � ��� , ���� � ��� � � 4. ��� � �� �� � �
�
5. ��� � �� �� � �
��� � ��. 6. ��� � <=>%<H� � � 7. ��� � �� � ��
8. ��� � ��� � �� �� � �� 9. ��� � � �
� ���� 10. ��� � �� � � �
� ����
11. Jest 12. Nije 13. Jest 14. �� �� � G 15.
�� ���! � G
16. �- ��-# � G 17. � �
��! � G 18. �"�%" � G 19.
�"�- ���-I& � G
20. '� � G 21. 9� %� � G 22.
���� ��� � G 23. �� � ���� � G
24. �� )� � � �� ) � G 25.
�"� �� � ��� � � � G 26.
8���� � ��� � G
27. � �* � @HJ)J � G 28.
�-����� � ��� � G 29.
�� �� � '� � K@HJ�J � G
30. �" �" � �� � �� � �
� � G 31. �� �� � L� � ��
� � 8�� � ��@HJ�J � G
32. �745�� G 33.
�7M�45� � G 34. � � ��� � G
35. ��<=>%<H �
� � G 36. ��� @H N��������N � G 37. ��. @H N��������N � G
38. @HO� � ��� � �O � G 39. @HO� � ��� � �O � G
40. <=> �� �� � G 41.
�� ���� � �' � L@HO� � ��� � �'O � G
R. Rješenja 149
42. ������ � �' � L@HO� � ��� � �'O � G 43.
�� ���' � �� � L<=> �� �
� � G
44. ��" ��� � ��9 � G 45. � �
-C�� � ���� � G 46. �8 C��� � '��! � G
47. �� ����� � �� � G 48. � �
� ������ � G 49. � �� ��� � � G
50. ��� � K � G 51. � ��123� $ � G 52. @HJ@H�J � G
53. �� � � :���� � �� � G 54. �� @HJ%� � �J � G 55.
�� @H�� � G
56. �� ��
!�� � G 57. � "�� C�� � ����& � G 58. � �
" �� � ���C�� � ���� � G
59. ��<=>%<H ���
� � G 60. �8 @H N��9���N � G 61. @HO� � � � ��� � L�O � G
62. <=> �� ���� � G 63.
�� �� � ����� � �� � � � @HO� � � � ��� � �� � �O � G
64. �� �� � ����� � �� � �
�<=> ���� � �� � G 65. ��@H� � �� � G
66. �� � ���� � G 67. P�� � � � �� � � G
68. �� �� � � �� ��� � � ��� � G 69. Q ��45�� ��45��� �
45!�R�� � G
70. �" �" Q:�; � � �
"45�SR � G 71. �� ���! ��@H� � �� � G
72. – ��� � �� � ����� � G 73. �%<H� � @HJ�� �J � G
74. % <=>%<H% � �� @H�%� � �� � G 75.
������ <=> ��� � �
��� � �� � G
76. % Q@A?��% � �45� :�;� % � �
45��R � G 77. �� ����� � � ���� � G
78. �
45��������� � � @H� �� �� � G 79. �� ������ � � �� �� � G
80. �@HJ�J � G 81. ���# � G 82.
"� @HJ�� � �J � G 83. � �
-������! � G
84. ���<=>%<H
����� � G 85.
�� @H��� � �� � �� � �<=>%<H�� � �� � G
150 Zbirka zadataka
86. – @H��� � �� � ��� <=>%<H
���� G 87. � �
� @H��� � �� � �� � �� <=>%<H ���
� � G
88. � ��������� G 89.
��������� �
� <=>%<H� � G
90. � @HJ� � �J � @HJ� � �J � G 91. � @HJ� � �J � @HJ� � �J � G
92. @HJ� � �J � � @HJ� � �J � ����� G 93.
�� ������� � G
94. @HJ� � �J � <=>%<H �� � G 95. @H N���� N � �
� � G
96. �� @HJ�J � � @HJ� � �J � �
� @HJ� � �J � G
97. � �� @HJ�J � �
� @HJ� � �J � �� @HJ� � �J � G
98. �� @H N������N � �
� <=>%<H� � G 99. �� @H��� � �� � �
�������� G
100. �� �� � �� � @HJ� � �J � G 101.
�� �� � �� � � @H N������N � G
102. �� �� � @HJ�� � � � �J � G 103. � � � <=>%<H �
� � G
104. �� � '� � � @HJ� � �J � �� @HJ� � �J � G
105. � � @H��� � �� � � � �� � G 106. �� �� � � � � @HJ�J � � <=>%<H �
� � G
107. � � �@HJ�J � <=>%<H�� � �� � G
108. �� �� � �
� @H N������N � �� <=>%<H� � G 109.
�� �� � �
�������� @H��� � �� � G
110. ��� � � @H+�� � �, � G 111. ��� � � � � <=>%<H�� � � � G
112. �� �� � ���� � �! � G 113. '��B � � @H U ��B ��
��B ��U � G EEVF� ��DQ���� R� � G
115. ��D���� � @H N��������������N � G 116. – @H U�������� U � G
117. �� � �� � @H U�������� U � G 118. �� ���� � �
�� �� '� � G
R. Rješenja 151
119. �� �� �� � �
8 �� �� � G 120. �� �� � � �
�� �� (� � G
121. �� � � � �S �� ��� � G 122. � �
� �� �� � �8 �� �� � �
�� ��'� � G
123. �� �� � � �
�� ���� � ��S ���� � G 124.
�/01� � G
125. � �� 123� � � G 126.
��/01����! � G 127.
�� <=>%<H Q�� �� �R � G
128. �� %<H�� � G 129. >A%�� � >A%� � G 130. @HJ%<H �J � G
131. �� <=>%<H��%<H�� � G 132. � �
$W57���� G
133. @H U$W57���
$W57���U � @H N%<H Q�� � X
�RN � G 134. � � %<H �� � G
135. �" @H U
�$W57���$W57���
U � G 136. ����� � G 137.
�7M� �Y7Y!45��45� � G
138. �� C�� � ���! � G 139.
�- C��� � L��# � G
140. �. @H N��"���N � G 141. @H��� � �� � �� � <=>%<H�� � �� � G
142. �� @HJ�J � � @H��� � �� � �<=>%<H� � G 143. � � @H N� � ���N � G
144. ��� � ��<=>%<H� � �� �� � G 145. � <=> ���� � �
��� � ��� � G
146. �� �� :�; �� � �
� 45�S�� � G 147. �
45�������@H� ��� � �� �� � G
148. ����# � ��� � G 149. ��� � � � @HO� � ��� � �O � G
150. ��/01�123� � G 151.
��123��� /01� � � G
152 Zbirka zadataka
152. 15
4 153.
5
12 154. 1 155. 1− 156.
3
π
157. 8
9 ln 3 158.
24
5− 159.
3
2 160.
116
5 161. 43−
162. 25 163. 49
30− 164.
26
3 165.
15
4 166.
2
12−
167. 3
8
168. 3ln5 4−
169. 1
2 170.
162ln 3
3−
171. 2
3− 172.
2
π 173. 2− 174.
2 1
4
e +
175. 2 5e
e
− 176.
9 ln10
10ln10
− 177.
2
4
π − 178.
8ln 2 4
ln 2
−
179. 4
π 180.
5 8ln 2
4
− 181.
2ln 2
12
π − 182.
1
2
eπ +−
183. 0 184. 3
2− 185.
146
15 186. 0
187. π 188. 0 189. 16
3 190.
128
3
191. 32( )
3f x x= ,
16(4)
3f = 192. 3 21 2
( )3 3
f x x x= + − ,2
(0)3
f = −
193. ( ) ln 2 lnf x x= − , ( ) ln 2 1f e− = −
194. 3 43( ) 4
4f x x x= + − ,
17(1)
4f =
195. 33 1
( )2
xf x
x
−= ,
23(2)
4f =
196. 1
( ) ln 12
xf x
x
+= +
+,
4(3) ln 1
5f = +
197. 9 198. 4 199. 24 200. 1 201. 2
202. 9
2 203.
38
3 204. 1 205. 16 206. 24
R. Rješenja 153
207. ( )2
2
1
92
2P y y dy
−
= + − =∫ 208. ( )1
2
0
11
3P y dy= − =∫
209. ( )2
2
1
12 3 2
3P x x dx= − + − =∫ 210. ( )
2
2
0
644 4
3P x dx= − =∫
211. 64
3 212.
16
3 213.
3
4 214. ( )
2
3
0
2 4 8P x x dx= − =∫
215. ( ) ( )1 4
3
0 1
492
12P x x dx x x dx= + + − + =∫ ∫
216. 7
3
217. 4
3
218. 1
3 219.
1
12
220. 1 1 2
2
3 0 0
1 33 4 3 4
2 4P x dx xdx y dy
−
= + − = − = ∫ ∫ ∫ , 8P =
221. 2 2 2
2
2 0 0
1 82 2 2
2 3P x dx xdx y dy
−
= + − = − = ∫ ∫ ∫
222. ( ) ( )4 6 2
2
0 4 0
226 6
3P xdx x dx y y dy= + − = − − =∫ ∫ ∫
223. 3 3
1 4
2 3
10 2 1 3 1 355 ln 6
3 3 2 1 12
xP x dx y dy
x y
+ = − − = − − = − − ∫ ∫
224. 1 4 2
0 0
4
ln 4
2 4P arctgx dx tgydy dy
π π
π
π π+ = − = + = ∫ ∫ ∫
225. 1
0 1 0
ln 1
e e
yP dx xdx e dy e= − = = −∫ ∫ ∫
226. 32
5
π
227. 625
6
π
228. 256
5
π
229. 49
30
π
230. 162
5
π
231. 2
π
232.
21 4
0 1
4 3
3 2
xV xdx dx
ππ π
− = + = ∫ ∫
233. 1 2 22
23
1 11
8 8
1 49
4 80V x dx x dx dx
ππ π−= + − =∫ ∫ ∫
154 Zbirka zadataka
234. ( ) ( )4 4
2
1 1
2
452 1 1
4V x dx x dx
ππ π
−
= + − − =∫ ∫
235. ( ) ( )3 0
2 22 2
1 1
19362 6 2 2
15V x x dx x x dx
ππ π
− −
= − + + − − =∫ ∫
236. 16
15
π 237.
2
π 238. 8π 239.
3
10
π 240.
34
5
π
241.
1
1 1223
2
10 0
2
1 78
5V ydy dy y dy
y
ππ π π= + − =∫ ∫ ∫
242. 38
3 243.
19
27 244. ( )ln 1 2 2+ +
245. ( )1ln 2 5 5
2+ + 246.
1ln 3
2− 247.
9ln 4
8+
248. 22
2
3
cos 11 ln 3
sin 2
yl dy
y
π
π
= + =∫ 249.
2 2ln
3
2
3ln
2
1 1 3ln
1 2 2xl dx
e= =
−∫
250. 7
9
π 251.
56
3
π 252.
6
5
π
253. 22
4
4
2 4cos2 1 4 2
sin sin
xP dx
x x
π
π
π π= + =∫
254. 2π 255. 13
3
π
256. ( )2
2
0
4 ln 2 34
3 3P y y ydy
ππ += + =∫
257. 0,165 258. 13,811− 259. 3,093 260. 0,342 261. 8,018
262. 223,054 263. 1,585 264. 16,083− 265. 0,439− 266. 0,195
267. 2,063 268. 268,383 269. 21,998 270. 4,554 271. 0,334
272. 0,732− 273. 0,000 274. 87,786− 275. 0,635 276. 4,022−
R. Rješenja 155
277. 64
5 278.
1793
12 279.
1
3− 280. 0
281. ( )0 2
3 0
13
2x dx xdx
−
− + =∫ ∫ 282. 5
2 283.
1
2 284.
1
2
285. ( ) ( )0 2 0
3 3 2
52 2 2
2x dx x dx x dx
−
− − −
+ = − − + + =∫ ∫ ∫
286. 5 287. 2 288. 0 289. 3 2e e+ − 290. 1
291. 2 2 2
0
4
a
P a x dx aπ= − =∫ 2 2
0
14 2
a
l a dx aa x
π= =−
∫
292. 2
2 2
2
03
va
V x dx a vv
ππ= =∫ ( )
2 22 2 2
2
0
2
va a v
P a xdx a a a vv
π π π+
= + = + +∫
293. ( )2 2 3
0
42
3
a
V a x dx aπ
π= − =∫ 2
0
4 4
a
P a dx aπ π= =∫
294. Promatraj vrtnju kružnice ( )22 2x y b a+ − = oko osi x
2 2 2 2
0
8 2
a
V b a x dx a bπ π= − =∫ 2
2 20
18 4
a
P ab dx aba x
π π= =−
∫
156 Zbirka zadataka
295. Jest 296. Nije 297. Jesu 298. Nisu
299. Jest 300. Nije 301. Jest 302. Jesu
303. Jest 304. Jest 305. Nije 306. Jesu
307. Cxxy +−= sin2 308. Cexy x +−=
309. Cxy ln= 310. Cxxy ++= lnln 2
311. 21
23 CxCxxy +++= 312. 21
3 ln6
1CxCxxy +++=
313. xCxCeyx
21 ln−+= 314. 21sincos CxCxxxy +++=
315. 32
2
1 CxCxCy ++= 316. 32
2
1
3 sin2
1CxCxCxxy +++−=
317. 32
2
1 CxCxCxey x +++−=
318. 32
2
1
2 ln3ln CxCxCxxy ++++=
319. 1ln23 +−+= xxxy 320. 3cossin −+= xxy
321. 45 25 +−= xey x 322. 121124 +−−= xxxy
323. 16
13
4
112
+−−
= xx
xy 324.
tan cot 2y x x x= + + −
325. 2xey x −= 326. 132061 2
3
3 −+−+= xxx
xy
327. Cyx =− 43 38 328. Cyx +−= 12
329. Cxy += 2ln2
1 330. C
yx=+
32
32
R. Rješenja 157
331. Cyxyx =+−− )sin(cos222 332. Cyeex yx =−− )1(
333. Cyx=−
11 334.
2xCey =
335. Cyx =+ 22 336. Cyx =− 3
3
337. Cyx ++= )3ln( 2 338. Cee yx =+−
339. Cxxy ln−= 340. Cxyx ln2 22 =
341. 0ln =+ Cyyx 342. y
xCx 2ln
2
1ln =
343. Cxxy ln= 344. Cx
xy
ln−=
345. Cxxy ln2 22 = 346. 0cosln =+x
yCx
347. Cyyx ln= 348. 0ln2 22 =+ Cxyx
349. ln tany
Cxx
= 350. 2 arctany x Cx=
351. xCey 3−= 352. Cxy =
353. xCey cos= 354. xCxy =
355. xeCxy )( 2 += 356. 122 22 +−+= − xxCey x
357. x
Cxxy ++= 2
358. x
C
x
xxy ++=
cossin
359. 2
)( xeCxy += 360. 1cos += xCey
361. x
Cxy += 4
362. )(ln 2 Cxxy +=
363. xeCxy
1
)( += 364. 1−= tgxCey
158 Zbirka zadataka
365. 14 += xey 366. x
xy3
2
3
1 2 +=
367. xey sin= 368. 1−=y
369. Ce
ey
x
x
+−= 370. 2)( Cxxy +=
371. Cxey x +±= 2 372.
33
2
5
3
x
Cxy +=
373.
Ce
ey
x
x
+±=
−
−
2
2
2
374. 33
1
)( Ceeyx
x +=−
375. 2
1 2
x xy C C e e= + − 376. 2 3
1 2y C C x x= + +
377. 3
1 2ln lny x C x C= + + 378. 2
1 2cos cosy x C x C= + +
379. xx eCeCy 3
2
2
1
−+= 380. 2
4
1 CeCy x +=
381. 1)( 2
21 ++= xeCxCy 382. x
eCxCy 2
1
21 )( +=
383. xCxCy 5cos5sin 21 += 384. xexCxCy 2
21 )3cos3sin( −+=
385. 2
1 2( ) xy x C x C e= + + 386. xxCxCy ++= cossin 21
387. xexCCy 2
21 )2
1( −−+= 388. xx eCxxeCy 3
2
2
1 )22( +−+=
389. xxCxCy cos)2
1(sin 21 −+= 390. xeCeCy xx cos2
21 ++=
391. xxCxxCy 2cos)(2sin)( 21 ++−=
392. xx exxeCCy )cos(sin2
121 +−+=
393. xx eCeCxxy −++−= 21
2 )2
1
4
1(
394. )1ln()1(21 ++++= −− xxx eeeCCy
R. Rješenja 159
395. 432 +−= xxy 396. xx eey −= 2
397. xexy 3)3
1(sin += 398. 21 CxCey x ++=
399. 32
2
1ln2
1CxCxCxy +++= 400. 21 CxCey x ++=
401. Cyx =+ 402. Cxy =
403. lnx y Cy= 404. x
Cxy −=
405. xxCxy cos+= 406. 2)1( ++= xCey x
407. xexCxCy 3
21 )4cos4sin( += 408. ( ) 2
1 2 1xy C x C e= + +
409. xxeCCy x 322
21 +−+= 410. 1
51 2( 4sin 5cos )
xxy C e C x x e= + + +
411. 2
1 2 3
x xy C e C e C= + + 412. 1 2 3sin cosy x C x C x C= + + +
413. 1 2 3 4
x xy C e C e C x C−= + + + 414. 2 3
1 2 3 4
xy C x C x C e C= + + +