II.2. UNDE ELASTICE

II.2.1. Propagarea undelor într-un mediu elastic, definiţii

Printr-un mediu elastic se înţelege un mediu între ale cărui particule se exercită forţe de legătură de tip elastic.

Dacă într-un punct oarecare al unui mediu elastic, solid sau fluid, se produce o perturbaţie, adică o mică deplasare a unei particule a mediului faţă de poziţia ei de echilibru stabil, atunci, datorită interacţiunilor elastice dintre particule, perturbaţia se va propaga din aproape în aproape, cu o viteză finită v , în întreg mediul. Altfel spus, particulele mediului vor intra treptat în mişcare oscilatorie în general armonică, de amplitudine A şi de pulsaţie =2/T (vezi sec. II.1.1).

Procesul de propagare a unei perturbaţii într-un mediu oarecare se numeşte undă, iar dacă propagarea este posibilă datorită legăturilor de tip elastic existente între particulele mediului unda se numeşte undă elastică.

Dacă se compară direcţia după care are loc perturbaţia cu direcţia după care aceasta se propagă, undele se pot clasifica în unde longitudinale (atunci când cele două direcţii coincid) şi în unde transversale (atunci când cele două direcţii sunt reciproc perpendiculare). Undele longitudinle se pot propaga prin orice fel de medii elastice, solide sau fluide, în schimb undele transversale nu se pot propaga decât prin medii care pot prelua eforturi tangenţiale, adică prin medii elastice solide.

Locul geometric al punctelor din spaţiu până la care a ajuns unda la un moment dat t se numeşte front de undă. În funcţie de forma frontului de undă, undele se clasifică în unde plane, sferice, cilindrice, etc.

Distanţa parcursă de frontul de undă într-un timp egal cu perioada oscilaţiilor T se numeşte lungime de undă şi este dată de relaţia , unde v este viteza de propagare a undei iar frecvenţa acesteia, identică cu fecvenţa mişcării oscilatorii.

Lungimea de undă se poate defini şi ca distanţa dintre punctele cel mai apropiate ale mediului care oscilează în fază. Altfel spus, lungimea de undă este distanţa dintre punctele care oscilează astfel încât diferenţă de fază dintre ele este egală cu 2.

II.2.2. Ecuaţia undei plane

Ecuaţia undei reprezintă expresia matematică prin intermediul căreia se precizează în orice moment deplasarea unei particule din mediu în raport cu poziţia ei de echilibru ca o funcţie de coordonatele poziţiei de echilibru x,y,z ale particulei şi timpul t::

(67)Această funcţie trebuie să aibă o dublă periodicitate. Periodicitatea în timp rezultă din faptul că mişcarea efectuată de particulă este o mişcare oscilatorie, de perioadă T iar periodicitatea în spaţiu rezultă din faptul că punctele mediului aflate la o distanţă egală cu unele de altele oscilează în fază.

Pentru a găsi o posibilă expresie a funcţiei , numită frecvent funcţie de undă, se va presupune că perturbaţia este o oscilaţie armonică, ce se propagă sub forma unei unde plane, în sensul pozitiv al axei Ox. În aceste condiţii suprafeţele de undă vor fi planuri perpendiculare pe axa Ox (Fig. II.11) iar funcţia de undă va depinde numai de x şi t.

În punctul sursă, acolo unde se produce perturbaţia, expresia funcţiei de undă este:. (68)

În expresia de mai sus A reprezintă amplitudinea undei iar pulsaţia ei, aceleaşi cu cele ale mişcării oscilatorii executate de sursă. Argumentul funcţiei trigonometrice cosinus se numeşte

faza undei iar faza ei iniţială. Valoarea fazei iniţiale depinde de alegerea valorilor iniţiale ale variabilelor x şi t. Pentru comoditate, ele vor fi alese astfel încât 0.

Fig. II.11.

Locul geometric al punctelor din mediu care la un moment dat oscilează în fază (pentru care funcţia de undă are aceeaşi valoare) se numeşte suprafaţă de undă. Având în vedere definiţia frontului respectiv a suprafeţei de undă, se poate spune că există un singur front de undă şi un număr infinit de suprafeţe de undă.

Deplasarea undei din punctul sursă (x = 0) până într-un punct oarecare aflat la distanţa x de punctul sursă necesită un timp definit astfel = x/v . Altfel spus, punctele mediului aflate la distanţa x faţă de sursă intră în oscilaţie mai târziu exact cu timpul necesar undei să parcurgă distanţa x. Pentru aceste puncte expresia funcţiei de undă se scrie astfel:

.

Dacă se notează şi se numeşte număr de undă, atunci expresia funcţiei de undă se

scrie astfel:. (69)

Dacă unda se propagă în sensul negativ al axei Ox atunci expresia funcţiei de undă se scrie astfel:

. (70)Unda definită cu ajutorul relaţiei (69) se numeşte undă progresivă iar cea definită cu

ajutorul relaţiei (70) se numeşte undă regresivă. Pentru funcţiile de undă (69) şi (70) se poate folosi şi exprimarea complexă

, (71)având semnificaţie fizică partea reală sau imaginară a expresiei după cum funcţia de undă este dată cu ajutorul funcţiei trigonometrice cosinus respectiv sinus. Scrierea funcţiei de undă sub această formă uşurează mult anumite calcule.

În continuare, în ec. (69), se consideră o valoare oarecare a fazei, fixată, astfel încât (72)

()

x

y

z

O

n

27

Această expresie determină legătura dintre poziţia x şi momentul t la care faza undei are o

anumită valoare, în speţă cea fixată de ec. (72). Valoarea cantităţii , care se obţine prin

diferenţierea ec. (72), defineşte viteza cu care se propagă valoarea fazei aleasă mai sus:

sau încă

(73)

Deci, în acest caz, viteza de propagare a fazei, , este egală cu viteza de propagare a

undei, v. Reluând raţionamentul, viteza de fază pentru o undă ce se propagă în sensul negativ al axei Ox, ţinând cont de (70) va fi egală cu:

. (74)

Atunci când energia transportată de undă (vezi sec. II.2.6) nu este absorbită de mediul prin care aceasta se propagă, amplitudinea undei A este o mărime constantă. În caz contrar, amplitudinea va fi o funcţie descrescătoare exponenţial de distanţa x parcursă de undă prin mediu:

, (75)unde este valarea amplitudinii în planul x = 0 iar este coeficientul de atenuare. Relaţia (75) seamănă foarte bine cu legea de atenuare în timp a amplitudinii mişcării oscilatorii amortizate (vezi sec. II.1.3).

II.2.3. Ecuaţia undei sferice

Orice sursă reală are o anumită formă respectiv anumite dimensiuni. Ca urmare, forma sursei va influenţa forma frontului de undă. Însă, dacă se analizează forma frontului de undă la o distanţă de sursă mult mai mare decât dimensiunile sursei, atunci sursa poate fi considerată punctiformă iar unda emisă de o sursă punctiformă într-un mediu omogen şi izotrop este o undă sferică.

Urmând raţionamentul din sec. II.2.2. se presupune că faza oscilaţiilor efectuate de punctul sursă este egală cu . Punctele aflate pe o sferă de rază r cu centrul în punctul sursă vor intra în oscilaţie după un timp = r/v astfel încât faza lor va fi egală cu . Spre deosebire de unda plană, amplitudinea undei sferice depinde invers proporţional de distanţa r faţă de sursă chiar dacă mediul prin care are loc propagarea nu absoarbe din energia undei. În aceste condiţii ecuaţia undei sferice capătă forma:

. (76)

Dacă, în plus, unda se propagă într-un mediu care absoarbe energie, expresia ecuaţiei undei sferice se corectează cu factorul :

. (77)

II.2.4. Ecuaţia diferenţială a undelor

Funcţia de undă corespunzătoare oricărei unde este soluţia unei ecuaţii diferenţiale de ordinul doi cu derivate parţiale, numită ecuaţia diferenţială a undelor. Pentru a găsi această ecuaţie se calculează derivatele parţiale de odinul doi ale funcţiei de undă. În cazul particular

28

al unei unde plane, în urma derivării de două ori în raport cu timpul a funcţiei de undă dată de relaţia (69), se găseşte că:

. (78)

În urma derivării de două ori în raport cu coordonata x a funcţiei de undă se obţine:

. (79)

Eliminând pe între relaţiile (78) şi (79) şi ţinând cont de definiţia mărimilor şi k se obţine ecuaţia diferenţială a undei plane:

. (80)

Se verifică uşor că soluţia cea mai generală a unei asemenea ecuaţii are forma(81)

care corespunde suprapunerii a două unde care se propagă pe aceeaşi direcţie dar în sensuri opuse. Dacă propagarea undei are loc în toate cele trei direcţii x, y, z, atunci ecuaţia diferenţială (80) va căpăta forma:

,

care se poate scrie mai condensat, cu ajutorul operatorului lui Laplace exprimat în cordonate carteziene după cum umează:

. (82)

Pentru o undă sferică creată de o sursă punctiformă şi care se propagă în medii omogene şi izotrope, ecuaţia diferenţială va avea forma:

. (83)

II.2.5. Viteza de propagare a undelor

II.2.5.1. Viteza de propagare a undelor în medii solide

Se consideră o bară elastică de formă cilindrică, descrisă de următorii parametri: secţiune constantă S, densitatea , modulul de elasticitate longitudinală E.

Bara este supusă unei forţe de tensiune orientată în lungul axei sale. Datorită acesteia, fiecare secţiune transversală a barei suferă o deplasare în lungul axei barei. Dacă fiecare dintre secţiunile barei, indiferent de poziţia ei, se deplasează cu aceeaşi distanţă atunci bara, în ansamblul ei, nu se deformează ci suferă o mişcare de translaţie în lungul axei sale, cu distanţa . Evident, această situaţie corespunde unei probleme clasice de dinamică: bara suferă o mişcare accelerată de translaţie sub acţiunea unei forţe exterioare.

Pentru cazul propagării unei unde în bară trebuie să se considere însă că deformarea suferită de fiecare secţiune în parte a barei depinde de poziţia ei în lungul barei. Deci, dacă se alege axa Ox orientată în lungul barei atunci deplasarea fiecărei secţiuni se va scrie ca o funcţie de coordonata x a secţiunii.

În continuare, din bara considerată, se urmăreşte comportarea unui cilindru de lungime infinit mică egală cu dx şi cu bazele de secţiuni egale între ele şi egale cu S. Bazele se află la distanţa x şi respectiv x+dx de originea axei Ox. Acţiunea forţei exterioare F va produce asupra cilindrului două efecte distincte: pe de o parte cilindrul se va deforma elastic conform

29

Legii lui Hooke iar pe de altă parte cilindrul se va deplasa accelerat, conform Principiului al doilea al Dinamicii.

Fig. II.12.

Să se scrie legea lui Hooke pentru deformaţiile elastice sub diferite forme şi să se menţioneze în fiecare caz semnificaţia mărimilor fizice folosite.

Deformarea elastică a cilindrului presupune că bazele lui se vor deplasa după cum urmează:

- baza aflată la distanţa x de origine se va deplasa cu distanţa (x) ;- baza aflată la distanţa x+dx de origine se va deplasa cu distanţa (x+dx).

Noua lungime a cilindrului este acum egală cu: . Deformarea cilindrului, fie ea o alungire sau o comprimare, este egală cu . Pentru a exprima convenabil această diferenţă se descompune în serie funcţia în jurul punctului x şi se obţine, în primă aproximaţie:

(84)

sau încă

(85)

Corespunzător, eforturile unitare pe cele două baze ale cilindrului considerat vor fi egale cu

, respectiv cu . Cu ajutorul acestor precizări Legea lui

Hooke pentru cilindrul considerat se scrie după cum urmează:

, (86)

sau după simplificare cu dx

. (87)

În ce priveşte deplasarea accelerată a cilindrului considerat, aceasta presupune mai întâi evaluarea forţei rezultante , care acţionează asupra cilindrului. Ţinând cont de Legea lui Hooke, forţa rezultantă se poate scrie ca o diferenţă a forţelor care acţionează pe cele două baze, în felul următor:

. (88)Masa cilindrului considerat se scrie ca fiind egală cu:

(89)iar acceleraţia acestuia cu:

30

. (90)

În urma descompunerii în serie a funcţiei în jurul punctului x (vezi relaţia (84)), Legea a doua a Dinamicii pentru cilindrul considerat se va scrie:

. (91)

În continuare se scoate din (87) şi se calculează derivata ei în raport cu x care se introduce în (91). Se obţine astfel relaţia:

. (92)

Dacă se compară relaţia (92) cu ecuaţia diferenţială a unei unde plane care se propagă în sensul pozitiv al aei Ox (80), se găseşte, prin identificare, expresia vitezei de propagare a undei longitudinale într-o bară de densitate şi modulul de elasticitate longitudinală E, respectiv:

. (93)

Să se calculeze viteza de propagare a unei unde longtudinale într-o bară de fier având densitate egală cu şi modulul de elasticitate longitudinală egal cu

.

În mediile solide se pot propaga şi unde tranversale. Se arată că în acest caz se păstrează formula vitezei de propagare dar se înlocuieşte modulul de elasticitate longitudinală E cu modulul de elasticitate transversală sau de forfecare,G, respectiv:

. (94)

Din practică se ştie că, în general, modulul de elasticitate longitudinală este mai mare decât cel de elasticitate transversal, relaţia aproximativă fiind G = 0,4 E astfel încât se poate afirma că undele transversale se propagă mai lent în solide decât cele longitudinale.

II.2.5.2. Viteza de propagare a undelor în medii lichide

Aşa cum s-a menţionat deja, în mediile fluide (lichide sau gazoase) nu se pot propaga decât undele longitudinale.

Lichidele nu-şi pot mări volumul sub acţiunea unor forţe externe deformatoare. Ele pot fi doar comprimate. Dacă asupra unui lichid care ocupă volumul V se exercită o presiune exterioară dp atunci volumul lichidului suferă o comprimare egală cu dV. Valoarea acestei comprimări depinde de natura fluidului prin intermediul unei mărimi notată cu , numită coeficient de compresibilitate şi care se defineşte astfel:

. (95)

Această relaţie este echivalentă legii lui Hooke. Într-adevăr, dacă se scrie legea lui Hooke în cazul unei comprimări:

(96)

iar definiţia (26) se rescrie în felul următor:

, (97)

31

şi se compară cu (27) se constată că rolul modulului de elasticitate longitudinală îl joacă în cazul fluidelor coeficientul de compresibilitate al acestora. Această observaţie permite scrierea, prin analogie a formulei vitezei de propagare a undelor longitudinale în lichide:

. (98)

II.2.5.3. Viteza de propagare a undelor în medii gazoase

În funcţie de frecvenţa undei longitudinale care se propagă, se disting două modele de abordare a fenomenului de propagare:

- primul model se aplică cu rezultate bune în cazul undelor cu frecvenţe mici şi foarte mici, când se poate considera că schimbul de căldură dintre mediul înconjutător şi gaz se face prin intermediul unui proces izoterm;

- al doilea model se aplică de asmenea cu rezultate bune în cazul frecvenţelor mari şi foarte mari, când se poate considera că între mediul înconjurător şi gaz nu are loc schimb de căldură.

În primul caz, se presupune că masa de gaz suferă comprimări şi relaxări succesive, în timpul cărora gazul îşi păstrează temperatura constantă astfel încât se poate scrie legea transformării izoterme (legea Boyle-Mariotte): . Dacă, mai departe, această relaţie se diferenţiază, se obţine că:

(99)sau încă:

. (101)

Prin comparaţie cu relaţia (97) se ajunge la concluzia că viteza de propagare a undelor longitudinale de frecvenţe mici în gaze este dată de formula:

. (102)

În al doilea caz, se presupune că în timpul propagării undei, comprimările şi relaxările succesive ale gazului se fac fără schimb de căldură cu mediul înconjurător astfel încât se poate scrie ecuaţia transformării adiabatice (ecuaţia lui Poisson): . Dacă, mai departe, se diferenţiază această relaţie, se obţine că:

.După împărţirea cu această relaţie devine

(103)care poate fi pusă sub următoarea formă, deja familiară:

. (104)

Ea sugerează că în acest caz viteza de propagare a undei longitudinale este egală cu:

(105)

Utilizând ecuaţia de stare a gazului ideal, relaţia (105) se mai poate scrie şi sub forma:

. (106)

32

Să se compare expresia vitezei termice a unui gaz ideal monoatomic cu cea de propagare a undelor longitudinale în acelaşi gaz. Să se facă raportul acestora şi să se interpreteze rezultatul.

Să se calculeze viteza de propagare a sunetului în aer cu ajutorul formulei (106). Se

va lua pentru iar pentru .

II.2.6. Energia transportată de unda elastică

Se consideră o undă longitudinală, plană, care se propagă în sensul pozitiv al axei Ox, printr-un anumit mediu elastic. Ecuaţia undei în acest caz se scie conform relaţiei (69):

şi cu ajutorul ei se precizează în orice moment deplasarea unei particule din mediu în raport cu poziţia ei de echilibru, ca o funcţie de coordonatele poziţiei de echilibru ale particulei şi timpul t.

Din acest mediu se va delimita un volum V atât de mic încât să se poată considera că în orice punct al acestuia viteza şi deplasarea relativa faţă de poziţia de echilibru a particulelor

mediului au aceeaşi valoare, , respectiv . În aceste condiţii se poate evalua

energia cinetică precum şi cea potenţială de tip elastic a elementului de volum considerat. Astfel, pentru energia cinetică se poate scrie:

, (107)

unde s-a notat cu V masa elementului de volum considerat. Pentru energia potenţială de tip elastic a elementului de volum considerat se poate scrie:

. (108)

Conform legii lui Hooke, constanta elastică este , alungirea , volumul

elementului considerat este iar alungirea relativă este . Modulul de

elasticitate al lui Young E se înlocuieşte cu conform relaţiei (93). Cu ajutorul acestor notaţii expresia energiei potenţiale de tip elastic a elementului de volum devine:

. (109)

Energia totală se scrie acum ca fiind suma dintre energiile cinetică şi potenţială ale elementului de volum considerat:

. (110)

Dacă se defineşte densitatea volumică de energie: ,atunci pentru aceasta se

găseşte următoarea expresie:

. (111)

Dacă, în continuare, se calculează diferenţialele de ordinul unu ale funcţiei de undă dată de (69) în raport cu timpul şi coordonata şi se introduc în relaţia (111), se obţine pentru densitatea volumică de energie următoarea expresie:

(112)

33

Se vede că, valorile energiei precum şi cele ale densităţii volumice de energie depind atât de momentul cât şi de poziţia punctului din spaţiu în care se face evaluarea acestora. Relaţia (112) găsită pentru densitatea volumică de energie poate fi mediată. Aşa cum se ştie, valoarea medie a pătratului funcţiei sinus, calculată pentru o perioadă, este egală cu 1/2 astfel încât valoarea medie a densităţi volumice de energie este:

. (113)

Relaţia aceasta este adevărată nu numai pentru undele plane longitudinale ci şi pentru cele transversale, pentru undele sferice, pentru undele plane amortizate, etc. În concluzie, într-un mediu prin care se propagă o undă există o cantitate suplimentară de energie. Aceasta provine de la sursa de oscilaţii şi este transportată de unda însăşi. Unda transportă prin mediul de propagare energie nu substanţă.

Energia medie transportată de undă în unitatea de timp prin unitatea de suprafaţă se numeşte intensitatea undei. Ea este egală cu:

. (114)

Aşa cum rezultă şi din definiţie, unitatea de măsură pentru intensitatea undei în

sistemul internaţional este .

II.2.7. Unde staţionare

Într-un punct din spaţiu se pot întâlni la un moment dat mai multe unde. Fiecare undă produce în punctul respectiv propriul ei efect. Astfel, datorită fiecărei unde în parte punctul respectiv va oscila cu o anumită amplitudine, cu o anumită frecvenţă şi după o anumită direcţie. Efectul total este dat de suma geometrică a efectelor produse de fiecare undă în parte. Acest rezultat, desprins din practică, se numeşte Principiul superpoziţiei sau al suprapunerii undelor. Dacă diferenţa de fază dintre fazele a două unde care ajung într-un punct la un moment dat este constantă în timp, undele se numesc coerente.

Fenomenul de suprapunere a undelor coerente se numeşte interferenţă. Rezultatul interferenţei a două unde constă în apariţia minimelor şi a maximelor de interferenţă, ceea ce înseamnă că în anumite puncte din spaţiu oscilaţiile se amplifică iar în altele se atenuează reciproc.

Un caz special de interferenţă îl reprezintă interferenţa staţionară. Ea constă în suprapunerea a două unde având aceeaşi amplitudine, aceeaşi frecvenţă şi direcţie de propagare dar sensuri opuse. De exemplu două astfel de unde pot fi unda incidentă şi unda reflectată în cazul incidenţei normale pe suprafaţa de separare a două medii.

Se consideră în continuare două unde plane care se propagă în sensuri opuse de-a lungul axei Ox, descrise de următoarele două ecuaţii de undă:

, (115)

. (116)În conformitate cu Principiul suprapunerii undelor, unda rezultantă în punctul

considerat este descrisă de următoarea funcţie de undă:

sau încă

(117)

În continuare se transformă suma de cosinusuri în produs conform relaţiei cunoscute de la trigonometrie şi se obţine:

34

(118)

Relaţia astfel obţinută reprezintă ecuaţia undei staţionare. Se poate obţine o formă mai simplă dacă se aleg momentele citirii poziţiei x şi a timpului t astfel încât şi să fie ambele egale cu zero. În acst caz, pentru ecuaţia undei staţionare se obţine:

(119)Din relaţia de mai sus se observă că punctele mediului în care este prezentă unda staţionară oscilează cu aceeaşi frecvenţă şi cu amplitudinea a constantă în timp dar diferită de la punct la punct, funcţie de coordonata x a punctului:

(120)Se observă de asemenea că valorile amplitudinilor variază periodic între valorile 0 şi

2A. Punctele în care amplitudinea oscilaţiilor este egală cu 0 (punctele care nu oscilează) se numesc noduri iar punctele care oscilează cu amplitudine maximă se numesc ventre.

Poziţia nodurilor se găseşte egalând cu zero expresia amplitudinii şi rezolvând ecuaţia trigonometrică astfel obţinută:

(121)Dacă se notează poziţia fiecărui nod cu , se găseşte că:

, cu . (122)

Se verifică uşor că distanţa dintre două noduri consecutive este egală cu . În mod

asemănător, dacă se impune amplitudinii condiţia să ia valoarea maximă (123)

şi dacă se notează poziţia ventrelor cu , se găseşte că:

, cu . (124)

Se verifică uşor că şi distanţa dintre două ventre consecutive este egală tot cu , ceea

ce înseamnă că nodurile şi ventrele sunt echidistante şi îşi păstreză poziţia în timp.

Să se calculeze distanţa dintre două noduri (respectiv ventre) cosecutive, de exemplu dintre nodurile corespunzătoare valorilor n=l+1 şi n=l. Să se calculeze de asemenea distanţa dintre un nod şi ventrul din imediata sa apropiere.

O clădire suficient de înaltă, de exemplu un bloc cu 10 etaje sau mai mult, cu secţiune constantă, poate fi sediul unei unde staţionare apărută în timpul unui cutremur. Tendinţa va fi ca la baza clădirii să se formeze un nod iar la ultimul etaj un ventru.

Unde staţionare pot apare şi într-o bară încastrată la ambele capete sau într-o grindă de asemenea fixată la capete, la un pod, etc. În acest caz tendinţa va fi ca la capetele fixe să se formeze câte un nod iar între ele unul sau mai multe ventre.

Unde staţionare se formează în instrumentele muzicale cu coarde, în instrumentele de suflat, de percuţie, etc.

II.3. Noţiuni de acustică

II.3.1. Proprietăţile sunetului

35

Sunetul este o undă elastică longitudinală. El se poate propaga atât în medii solide cât şi în medii fluide. Pentru a fi perceput de urechea omului, sunetul trebuie să îndeplinească anumite condiţii:

- să aibă frecvenţa cuprinsă în intervalul aproximativ 16-20000 Hz;- să aibă o durată mai mare de aproximativ 0,06 s;- să aibă o intensitate mai mare decât o anumită valoare numită prag de

audibilitate şi care este aproximativ egală cu .

Valorile menţionate sunt aproximative. Ele pot să difere uneori semnificativ de la o persoana la alta.

Undele elastice care au frecvenţa mai mare de 20000Hz se numesc ultrasunete iar cele care au frecvenţa mai mică de 16Hz se numesc infrasunete. Partea din fizică care se ocupă cu studiul infrasunetelor, a sunetelor şi a ultrasunetelor se numeşte acustică.

Pentru a caracteriza sunetele şi pentru a le diferenţia între ele se definesc trei proprietăţi ale acestora: înălţimea, timbrul şi intensitatea.

Înălţimea sunetului. Orice sunet real este de fapt rezultatul suprapunerii mai multor oscilaţii armonice de frecvenţe diferite. Totalitatea frecvenţelor prezente într-un anumit sunet alcătuiesc spectrul acustic al sunetului respectiv.

Dacă spectrul sunetului conţine toate frecvenţele dintr-un interval dat se spune că este un spectru continuu. Zgomotele fac parte din categoria sunetelor cu spectru continuu.

Dacă însă spectrul sunetului conţine numai anumite frecvenţe dintr-un interval dat, el se numeşte spectru de linii sau spectru discret. Un caz particular de sunete cu spectru discret îl reprezintă acele sunete în componenţa cărora intră doar o singură frecvenţă, sunetele pure. Un alt caz particular îl reprezintă sunetele a căror frecvenţe componente sunt un multiplu întreg al unei anumite valori, numită frecvenţă fundamentală. Un astfel de sunet se mai numeşte ton şi este alcătuit din frecvenţa fundamentală şi din armonicile acesteia.

În aceste condiţii, înălţimea unui sunet este dată de frecvenţa oscilaţiei în cazul unui sunet pur şi de frecvenţa fundamentală în cazul unui ton.

Intensitatea sunetului şi nivelul sonor. În general se definesc două feluri de intensităţi: intensitatea sonoră şi intensitatea auditivă.

Intensitatea sonoră reprezintă energia medie transportată de unda sonoră în unitatea de timp prin unitatea de suprafaţă a mediului prin care aceasta se propagă (în concordanţă cu definiţia geneală a intensităţii undei):

, (125)

valoarea ei medie temporală având expresia (114). Intensitatea sonoră este o mărime obiectivă. Ea poate fi măsurată cu ajutorul unor dispozitive experimentale cum ar fi dispozitivul lui Rayleigh, microfonul electrostatic, etc.

Aşa cum s-a menţionat deja, un sunet, pentru a fi auzit, trebuie să aibă frecvenţa cuprinsă în domeniul 16-20000 Hz dar în acelaşi timp trebuie să aibă şi o anumită intensitate sonoră minimă. Această valoare a intensităţii minime depinde puternic de frecvenţa sunetului în discuţie.

Mulţimea valorilor intensităţilor sonore minime care permit perceperea sunetelor se plasează pe o curbă numită prag de audibilitate. Se constată că pentru frecvenţele de la 1000

la 4000 Hz, pragul de audibilitate este cel mai scăzut, inferior valorii de , în timp

36

ce pentru un sunet de frecvenţă de 20 Hz acesta este de aproximativ şi tot cam atât

pentru sunetul de 20000 Hz.

Fig. II.13.Pe de altă parte, există şi o valoare maximă a intensităţii sonore care poate fi suportată

de urechea omenească. Peste această valoare unda nu mai este percepută ca sunet, ea produce doar o senzaţie de durere. Şi această valoare maximă a intensităţii sunetului depinde puternic

de frecvenţa sa. Ea este de aproximativ pentru frecvenţele extreme şi este mai

coborâtă, de circa în acelaşi domeniu 1000-4000 Hz, la care urechea este foarte

sensibilă. Mulţimea valorilor intensităţilor maxime suportate de urechea omenească se plasează pe o curbă numită pragul senzaţiei dureroase.

Datorită intervalului foarte mare pe care se întind valorile intensităţii sonore, de la

până la , uneori este convenabil să se introducă o altă mărime, numită

nivel sonor, definită ca fiind logaritmul în baza 10 a raportului dintre intensitatea unui anumit sunet şi nivelul de referinţă a pragului de audibilitate corespunzător sunetului cu frecvenţa de

1000Hz, respectiv :

. (126)

Pentru acelaşi interval de variaţie a intensităţii sonore, nivelul sonor variază numai între valorile 0 şi 14. Unitatea pentru nivelul sonor, definită cu ajutorul relaţiei de mai sus se numeşte bell (B). În mod obişnuit se foloseşte un submultiplu al acestuia, decibell-ul (dB). Nivelul sonor exprimat în decibell-i este dat de relaţia:

. (127)

Revenind, pentru a fi auzit, un sunet trebuie să aibă nivelul sonor cuprins între valorile 0 şi 140 dB. În tabelul de mai jos sunt câteva exemple relevante de posibile niveluri sonore:

37

Pragul durerii

Zona de audibilitate

Pragul deaudibilitate

Sunetul Nivelul sonor, dBTic-tac-ul unui ceas 20Şoapta, la distanţa de 1m 30Conversaţie liniştită 40Discuţie de nivel sonor mediu 60Discuţie tare 70Împuşcătură 80Zgomotul produs de motorul unui avion-la 5m distanţă:-la 3m distanţă:

120130

Tabelul II.2

Intensitatea auditivă caracterizează senzaţia auditivă produsă omului de către un sunet. Introducerea acestei mărimi este necesară deoarece s-a constatat că urechea umană percepe două sunete care au aceeaşi intensitate sonoră dar frecvenţe diferite ca două sunete de tărie diferită. Definirea acestei mărimi se bazează pe legea Weber-Fechner, stabilită experimental şi care afirmă: senzaţia auditivă fiziologică este proporţională cu logaritmul zecimal al excitaţiei sonore. Din această lege rezultă că pentru a ordona sunetele după senzaţia produsă trebuie introdusă o nouă mărime, intensitatea auditivă . Prin definiţie, intensitatea auditivă a unui sunet este egală cu intensitatea sonoră a sunetului de 1000 Hz care produce aceeaşi senzaţie auditivă ca şi sunetul dat

.Corespunzător se defineşte şi nivelul auditiv

,

unde este intensitatea auditiva de pe pragul de audibilitate a sunetului de 1000

Hz numit uneori şi sunetul normal. Nivelul auditiv se măsoară în foni sau decibeli acustici -dB(A). Fonul reprezintă nivelul auditiv al unui sunet a cărui intensitate auditivă este de 1,26 ori mai mare decât intensitatea auditivă de pe pragul de audibilitate a sunetului normal. Într-adevăr, în acest caz

.Deoarece pentru sunetul normal , este clar că valoarea nivelului auditiv exprimată în foni coincide cu valoarea nivelului sonor exprimată în decibeli (adică scara fonilor coincide cu scara decibelilor). Curbele din diagramă reprezintă curbe izotonice adică fiecare punct al unei curbe corespunde unui sunet de o anumită frecvenţă şi de o anumită intensitate sonoră (acustică) dar fiecare din aceste sunete provoacă aceeaşi senzaţie auditivă (are acelaşi nivel auditiv).

Timbrul este acea caracteristică care permite să fie deosebite între ele două sunete de aceeaşi frecvenţă şi intensitate auditivă dar emise de două surse de natură diferită. Armonicele diferite prezente în componenţa celor două sunete fac ca ele să poată fi diferenţiate unul de celălalt. Un sunet este cu atât mai plăcut, mai odihnitor cu cât conţine un număr mai mare de armonici superioare.

38

II.3.2. Reflexia şi absorbţia sunetului pe materiale solide

Atunci când o undă sonoră întâlneşte suprafaţa de separare dintre două medii diferite (de densităţi şi module de elasticitate diferite), au loc două fenomene, în general simultane: reflexia şi refracţia (transmisia) undei. Reflexia este fenomenul de întoarcere a undei în mediul din care a provenit iar refracţia este fenomenul de schimbare a direcţiei de propagare odată cu pătrunderea undei în celălalt mediu.

Ca urmare, energia undei incidente trebuie să se regăsească în unda reflectată respectiv în cea transmisă. Într-adevăr, legea conservării energiei undei sonore la suprafaţa de separare dintre cele două medii se scrie:

. (128)În legătură cu cele două fenomene menţionate mai sus se definesc coeficienţii de

reflexie R şi de transmisie T , după cum urmează:

- , unde reprezintă amplitudinea undei reflectate iar reprezintă

amplitudinea undei incidente, şi

- , unde reprezintă energia undei transmise iar reprezintă energia undei

incidente. Având în vedere că energia (şi intensitatea) undei este direct proporţională cu pătratul amplitudinii ei, legea conservării energiei sonore (128) se poate scrie cu ajutorul coeficienţilor R şi T după cum urmează:

. (129)Coeficientii R şi T se pot determina în urma unor măsurători. În acest scop se

utilizează interferometrul acustic. Acesta este un dispozitiv cu ajutorul căruia se obţine o undă sonoră staţionară, prin metoda clasică de suprapunere a undei incidente peste cea reflectată. Deoarece o parte din energia undei incidente o regăsim în unda transmisă (128), amplitudinile undei incidente şi ale undei reflectate nu vor fi egale, . Ca urmare, se arată că în acest caz amplitudinea în noduri este egală cu:

, (130)iar amplitudinea în ventre este egală cu:

. (131)Dacă, în plus, se defineşte coeficientul undei staţionare S, ca fiind raportul dintre

amplitudinea ventrului şi a nodului undei staţionare,

, (132)

atunci, coeficienţii R şi T se pot exprima cu ajutorul acestuia după cum urmează:

(133)

respectiv

. (134)

Determinarea experimentală a coeficienţilor de reflexie şi de transmisie a undei sonore se reduce deci la determinarea coeficientului undei staţionare S. Pentru determinarea acestuia se măsoară direct, pe ecranul unui osciloscop, amplitudinile undei sonore staţionare, şi .

Determinarea experimentală a coeficienţilor de reflexie şi de transmisie a undei sonore pe diverse materiale solide poate constitui subiectul unei lucrări de laborator. Se pot

39

face studii cu privire la dependenţa coeficienţilor R şi T de natura materialului fono-absorbant precum şi de grosimea stratului folosit.

40