UNDE ELASTICE

UNDE ELASTICE

4. NOTIUNI GENERALE DESPRE UNDE

4.1. Generalităţi despre unde. Unda ca fenomen de propagare.Prin noţiunea de undă se înţelege propagarea unei perturbaţii

dependente de timp într-un mediu. Propagarea are loc din aproape în aproape, cu viteză finită şi cu transport de energie.

O altă definiţie (echivalentă) spune că prin undă se înţelege - de asemenea - mulţimea valorilor unei mărimi fizice caracteristice perturbaţiei în propagare, într-un domeniu dat.

Din punct de vedere matematic undele sunt exprimate prin funcţii care depind atât de timp cât şi de alte variabile, cel mai frecvent fiind vorba de coordonatele spaţiale.

Cele mai cunoscute tipuri de unde întâlnite în practică sunt :- undele elastice (perturbaţii mecanice în medii materiale) : de exemplu

u = u(x, y, z, t) , unde "u" reprezintă elongaţia caracteristică oscilaţiei (vibraţiei) unei membrane elastice ;

- undele electromagnetice (propagare în medii substanţiale sau în vid a perturbaţiilor electromagnetice) : de exemplu

E(x,y,z,t) , unde

E reprezintă

intensitatea câmpului electric ;- undele magnetohidrodinamice (cu dublu caracter elastic şi

electromagnetic) ;- undele termice : T(x,y,z,t) , T fiind temperatura unui punct din mediu,

în cazul unui proces de conducţie termică ;- undele de Broglie (asociate microparticulelor).Atunci când criteriul după care se face clasificarea este matematic, se

poate vorbi despre : unde scalare, unde vectoriale şi unde tensoriale.

Sursa undei este constituită de perturbaţia iniţială care generează unda.Observaţie : în mecanică se introduce şi se foloseşte conceptul ideal de

sursă punctiformă.Sursele pot fi :

- surse periodice (cazul ideal) ;- surse neperiodice (cazul real, deoarece nici o perturbaţie nu

durează un interval de timp infinit).Atunci când sursa de perturbaţie nu este unică, putem defini :

- surse liniare, pentru care există o distribuţie continuă de surse punctiforme de-a lungul unei curbe ;

- surse superficiale , caz în care avem o distribuţie continuă de surse punctiforme, distribuite uniform pe o suprafaţă dată.

Propagarea perturbaţiilor se poate descrie unitar cu o aceeaşi teorie matematică, indiferent de natura acestora. Din acest motiv, tratarea generală porneşte de la definirea noţiunii de funcţie de undă, (x,y,z,t), caracterul scalar sau vectorial al acesteia specificându-se atunci când este cazul.

164

NOŢIUNI GENERALE DESPRE UNDE

Dependenţa funcţiei de undă de timp respectă condiţiile (existente practic întotdeauna) necesare pentru a o reprezenta printr-o integrala Fourier :

(4.1)

unde s-a arătat că (vezi paragraful 3.5) : = imaginea Fourier a funcţiei (t) ; N = factor de normare.

Transformarea inversă este (formula Meslin - Fourier) :

(4.2)

Undele, ca perturbaţii ce se propagă printr-un anumit mediu, au proprietăţi influenţate de caracteristicile acestuia. Putem clasifica mediile de propagare în funcţie de mai multe criterii :

a) după aplicarea principiului suprapunerii :- medii liniare : unda rezultantă prin compunerea mai multor unde

este descrisă de funcţia de undă :

- medii neliniare : condiţia de mai sus nu este satisfăcută ;b) după cum proprietăţile de material (respectiv valorile mărimilor de

material) sunt sau nu aceleaşi în orice punct al mediului :- medii omogene (teoretic infinite, practic delimitate de suprafeţe de

separaţie, pentru care proprietăţile de material prezintă discontinuităţi) ;- medii neomogene ;

c) după cum proprietăţile mediului variază sau nu în raport cu direcţia pe care se fac măsurătorile :

- medii anizotrope ;- medii izotrope

d) După cum viteza de propagare a undei depinde sau nu de frecvenţa acesteia :

- medii dispersive (pentru care viteza de propagare a perturbaţiei depinde de frecvenţa oscilaţiei iniţiale) ;

- medii nedispersive (pentru care viteza de propagare este constantă) ;

e) după cum unda îşi păstrează (propagându-se) energia iniţială :- medii neabsorbante (conservative) ;- medii absorbante (dacă în procesul de propagare energia undei

este cedată mediului sub formă de căldură se spune că mediul este disipativ) ;

Un mediu liniar, omogen, izotrop, nedispersiv şi neabsorbant este un mediu ideal.

Observaţie. Comportarea unui anumit mediu este judecată obligatoriu prin prisma perturbaţiei care se propagă şi - eventual - a caracteristicilor

165

UNDE ELASTICE

concrete ale acesteia (frecvenţa). De exemplu aerul este neabsorbant pentru sunete şi absorbant pentru ultrasunete. Alt exemplu : metalele absorb unde electromagnetice dar sunt medii neabsorbante pentru undele elastice.

4.2. Ecuaţia de propagare a undelor Dacă într-un mediu elastic1 (lichid, solid sau gazos) este provocată

oscilaţia lui într-un punct, atunci - ca urmare a interacţiunilor dintre moleculele acestuia - oscilaţia va începe să se propage de la o particulă la alta, cu o viteză finită. La un moment dat toate moleculele mediului sunt în mişcare şi - dacă se face o fotografie - imaginea de ansamblu corespunde unei funcţii sinusoidale (dependente de coordonată). Dat fiind faptul că fotografii efectuate la momente diferite de timp "arată" diferit, putem afirma că - per total - funcţia sinusoidală depinde de timp şi de coordonata spaţială ; numim această funcţie undă. Atenţie : moleculele mediului nu sunt transportate de undă ; fiecare dintre ele oscilează în jurul unei poziţii proprii de echilibru.

Pentru a deduce ecuaţia de propagare a undelor elastice vom studia două cazuri particulare.

4.2.1. Propagarea undei elastice într-un lanţ de oscilatoriLanţul de bile din figura de mai jos modelează destul de bine fenomenul

apariţiei şi propagării unor unde elastice într-un material (bilele reprezintă echivalentul moleculelor / atomilor / particulelor în general, între care există

condiţionări reciproce - date de forţe de legătură - asemănătoare legăturilor pe care le impun resorturile elastice).

1 Un mediu este elastic atunci când asupra fiecărei particule din acel mediu

acţionează (poate acţiona) o forţă de natură elastică.

166

xn-1 n n+1

yn-1 yn yn+1

Bila n x1nn1 1yykF

x1nn2 1yykF

xnx

Poziţie iniţială (repaus)

xn-1 n n+1

yn-1 yn yn+1

Bila n x1nn1 1yykF

x1nn2 1yykF

xnx

Poziţie oarecare (oscilaţie)

Figura 4.1


La momentul iniţial lanţul de bile se află în repaus ; distanţa dintre două bile succesive este notată cu x, astfel încât poziţia bilei n corespunde coordonatei :

La un moment dat se acţionează din exterior asupra uneia dintre cele două bile plasate la capetele lanţului cu o forţă oarecare , orientată de-a lungul axei Ox. Această forţa exterioară scoate prima bilă din poziţia ei de echilibru, ceea ce impune apariţia unei forţe elastice ; existenţa legăturilor face ca mişcarea primei bile scoase din echilibru să antreneze mişcari în lanţ ale tuturor celorlalte bile, între momentul primei oscilaţii a primei bile şi momentul primei oscilaţii a bilei cu numărul "n" existând un decalaj în timp (o întârziere). (Sub acţiunea forţelor elastice - mai devreme sau mai târziu - fiecare dintre bile va efectua o mişcare oscilatorie în jurul unei poziţii proprii de referinţă. Fenomenul care are loc, respectiv propagarea perturbaţiei iniţiale, s-a arătat că poartă numele de undă. Mai mult chiar : deoarece perturbaţiile se produc pe aceeaşi direcţie cu cea pe care a acţionat forţa exterioară, putem vorbi despre unde longitudinale).

Mişcările relative (abaterile de la poziţia de echilibru / elongaţiile) depind de locul pe care îl ocupă fiecare bilă în parte în raport cu originea aleasă ; astfel, pentru bila "n" elongaţia yn va depinde de x (= nx).

Deoarece lanţul de oscilatori modelează un mediu elastic omogen, putem considera că particulele au aceeaşi masă "m" iar legăturile dintre ele sunt de aceeaşi factură (acelaşi "k").

Ecuaţia de mişcare a bilei (oscilatorului) cu numărul "n" este (vezi figura 4.1) :

(4.3)

Legea lui Hooke, valabilă pentru un mediu elastic, spune că putem defini constanta de elasticitate "k" prin intermediul altor mărimi, respectiv :

unde E este modulul de elasticitate longitudinal (modulul lui Young), S este secţiunea transversală iar x este lungimea iniţială a resortului.

Dacă se fac înlocuirile de rigoare în ecuaţia (4.3) rezultă :

(4.4)Dacă numărul de bile devine foarte mare (tinde către infinit) problema

comportării bilei "n" se transformă în studiul comportării particulei "n" a unui mediu elastic, pentru care se cunoaşte densitatea de masă (masa unităţii de volum, notată cu ) ; în acele condiţii se poate scrie : .

Ecuaţia (4.4) devine :

167

UNDE ELASTICE

sau la limită, atunci când x 0 :

(4.5)

Dacă se notează : , ecuaţia (4.5) se mai poate scrie :

(4.6)

şi poartă numele de ecuaţia de propagare a undelor elastice logitudinale.

Cu ajutorul analizei dimensionale se observă că notaţia v desemnează ceva având dimensiunea unei viteze :

(4.7)

Este vorba (după cum vom vedea şi mai târziu) chiar de viteza de propagare a undei elastice, care se exprimă întotdeauna sub forma unei rădăcini pătrate dintr-un parametru care defineşte rezistenţa mediului la deformaţie (E) şi un parametru care defineşte inerţia mediului (masa / respectiv densitatea masică).

Observaţie. In timpul procesului de propagare a oscilaţiilor de la particulă la particulă (prin contiguitate = din aproape în aproape) se poate întâmpla ca la un moment dat unele dintre ele să fie mai apropiate, iar altele să fie mai distanţate, aşa cum se vede în figura 4.2.

Acest lucru înseamnă că - în cazul unei unde longitudinale - propagarea este însoţită de o modificare locală (şi dependentă de timp) a densităţii mediului ; densitatea unei porţiuni oarecare ia o mulţime de valori şi - conform definiţiei iniţiale poate fi tratată ca o undă.

Propagarea undelor longitudinale într-un mediu dat nu impune - cu excepţia materialităţii mediului - nici o condiţie suplimentară. Prin urmare ea poate avea loc în medii solide, în medii lichide sau în medii gazoase.

168

Figura 4.2

A)

B)


Ca exemplu : sunetul este o undă longitudinală care se propagă prin aer.Sursa sunetului este coarda vocală. Prin urmare, vom studia ca pe cel de-

al doilea caz interesant, comportarea unei coarde elastice.

4.2.2. Studiul comportării unei coarde vibrante (elastice).Coarda vibrantă este un mediu

elastic a cărui lungime depăşeşte consistent celelalte dimensiuni.

Ipotezele pe care se bazează calculul ce urmează sunt următoarele :- se consideră că greutatea coardei este mult mai mică decât forţa care

acţionează asupra ei ;- deplasările faţă de poziţia de echilibru sunt suficient de mici, astfel

încât în expresii nu intervin decât ele şi derivatele lor de ordinul întâi;- la echilibru direcţia coardei coincide cu axa Ox, punctele ei ocupând

poziţii pentru care coordonata .Prin urmare, în repaus direcţia coardei coincide cu axa Ox.Dacă se acţionează asupra coardei cu o forţă exterioară aplicată

transversal, aceasta iese din poziţia de echilibru, deformându-se (asemenea corzii unei viori, când asupra ei acţionează arcuşul). Deoarece direcţia de aplicare a forţei conduce la deformări perpendiculare în raport cu poziţia iniţială a corzii, vom vorbi în acest caz despre o undă transversală.

Fie elementul de coardă "dx" din figura 4.3, care este deplasat faţă de poziţia sa de echilibru cu distanţa u = u(x, t). La capetele elementului acţionează forţele de tensiune , respectiv . Sub acţiunea rezultantei acestor forţe elementul de coardă "dx" va executa oscilaţii în jurul poziţiei de echilibru, oscilaţii care (datorită elasticităţii mediului) se propagă în lungul corzii.

Detaliul din figură ne permite să afirmăm că :

(derivată parţială deoarece mărimea "u" depinde şi de timp !).Pentru unghiuri mici :

169

dxxT

xT dxx

x )t,x(u

x x+dx

x

y

O

dxu(x+dx)-u(x)

DetaliuFigura 4.3

UNDE ELASTICE

Componentele forţelor, obţinute prin proiecţia pe axa Oy, sunt :- pentru :

- pentru :

Rezultanta proiecţiilor celor două forţe pe axa Oy are expresia :

Proiecţiile forţelor pe axa Ox, în condiţiile în care :

conduc la rezultanta :

care - însă - trebuie să fie nulă. Prin urmare :

= const.

Dacă masa elementului de coardă este notată cu (fiind - în fapt - masa unităţii de lungime a corzii, constantă atunci când coarda este omogenă), se observă că masa corespunzătoare lungimii "dx" este : dm = dx.

Cu aceste notaţii şi cu observaţiile efectuate anterior, legea fundamentală a dinamicii capătă forma :

de unde rezultă :

Dacă se introduce notaţia : atunci ecuaţia de mai sus capătă

forma :

(4.8)

şi poartă numele de ecuaţia coardei vibrante. Ecuaţia (4.8) are aceeaşi formă cu ecuaţia (4.6).Mărimea notată cu "v" are şi în acest caz dimensiunea unei viteze

(tensiunea T este o forţa elastică de revenire, deci este specifică rezistenţei

170


mediului la deformaţii, în timp ce , ca masă a unităţii de lungime a corzii, este o măsură a inerţiei).

Trebuie remarcat faptul că dacă exprimăm (adică masa coardei de lungime unitate) ca produs între densitatea masică şi aria secţiunii transversale S a coardei, iar raportul ca un efort unitar, rezultă pentru viteza de propagare a undei elastice transversale expresia :

unde G este modulul de elasticitate corespunzător unei deformări perpendiculare pe direcţia de propagare.

In concluzie viteza de propagare a tuturor tipurilor de unde elastice într-un material depinde de proprietăţile elastice ale acestuia.

Observaţie. Existenţa obligatorie a unor forţe elastice de revenire reprezintă un criteriu restrictiv pentru mediile în care se poate propaga o undă elastică transversală ; acestea pot fi doar substanţe solide şi suprafeţe ale lichidelor. In aer (ca şi în orice mediu gazos) unda elastică transversală nu se propagă.

Dacă evoluţia coardei vibrante este studiată în raport cu un sistem de axe tridimensional, atunci ecuaţia (4.8) capătă forma generală :

(4.9)Mărimea u(x, y, z, t) joacă (în acest caz particular studiat) rolul funcţiei

de undă ; putem generaliza ecuaţia de mai sus sub forma :

(4.10)

Ecuaţia (4.10) poartă numele de ecuaţia generală de propagare a undelor.

Ea este o ecuaţie diferenţială de ordinul doi cu derivate parţiale, de tip hiperbolic ; v este o constantă de material, care are dimensiunea unei viteze (vezi : analiza dimensională). De asemenea se poate observa invarianţa în raport cu schimbarea semnului timpului, ceea ce înseamnă că procesele descrise de această ecuaţie sunt reversibile.

Soluţia acestei ecuaţii (forma explicită a funcţiei ) este determinată - întotdeauna- de geometria şi de condiţiile de frontieră ale problemei.

4.3. Soluţii ale ecuaţiilor de propagare : tipuri de unde4.3.1. Unde sfericeSursele reale au întotdeauna întindere finită; la distanţe mari de surse

(distanţe mari în raport cu dimensiunile acestora) ele pot fi aproximate drept fiind cuasipunctiforme, practic localizate într-un punct.

171

UNDE ELASTICE

Dacă se consideră că sursa este punctiformă iar mediul în care are loc propagarea este omogen şi izotrop, unda prezintă simetrie sferică (altfel spus : funcţia de undă nu depinde de direcţia de propagare ci numai de distanţa de la sursă la punctul în care se evaluează elongaţia şi de timp ):

sferice, timp coordonate r t r t ( , , , ) ( , ) (4.11)

Mărimea laplacian (operatorul lui Laplace) , exprimată în coordonate sferice (vezi paragraful 1.7.2./ 11) este :

rr r r r, , sin sin

sin

1 1 12

22

2

2

şi are forma particulară (adaptată condiţiilor impuse) :

1 22

22

2r r r r r r r

In coordonate sferice ecuaţia (4.10) devine :

2

2 2

2

2

2

2 2

2

22 1

0 2 0r r r v t r r

r

v t sau r (4.12)

Dacă se face schimbarea de variabilă : U = r , pentru care :

Ur r r

U

r r r rr r r

r

2

2

2

2

2

22

se observă că ecuaţia (4.12) devine :

2

2 2

2

21

0U

r v

U

t (4.13)

relaţie cunoscută sub denumirea de “ecuaţie cu derivate parţiale a undelor sferice”.

Soluţia generală , dată de d’Alèmbert2, este :

(4.14)

unde : c şi c' sunt constante ; f şi g sunt funcţii arbitrare, determinate de condiţiile la limită

(asemenea constantelor de integrare).(Maniera în care a fost dedusă această soluţie poate fi urmărită în

problema rezolvată 1.)

Mărimea : c trv

( , )r t se numeşte faza undei.

Analizăm, pe rând, fiecare termen al relaţiei (4.14)2 In anul 1747 Jean D'Alembert a publicat teoria coardelor vibrante şi a dat o soluţie

generală a ecuaţiei diferenţiale cu derivate parţiale corespunzătoare.

172


a) (4.15.a)

Condiţia ( , ) .r t const permite identificarea acelor suprafeţe pe care faza are o aceeaşi valoare; ele se numesc suprafeţe echifaze sau suprafeţe de undă .

Se observă că :

( , ) .r t c trv const

v =

drdt

mărime ce reprezintă viteza de fază (viteza de deplasare a suprafeţelor echifază).

Observaţie. Viteza de fază este una şi aceeaşi cu mărimile notate cu "v" în cazul lanţului de oscilatori/ respectiv în cazul coardei vibrante, ea având dimensiunea unei viteze şi depinzând de proprietăţile (fizice) ale mediului. Ea nu depinde de intensitatea perturbaţiei.

La un moment de timp precizat t0 , condiţia conduce la relaţia r = const.; prin urmare suprafeţele echifaze sunt sfere concentrice, cu centrul în sursă.

Mărimea rv reprezintă timpul în care unda parcurge distanţa r de la

sursă la punctul de observaţie , în timp ce mărimea t are drept semnificaţie întârzierea pe care o are perturbaţia în punctul de observaţie în raport cu sursa.

Explicaţie : = valoarea mărimii care caracterizează

perturbaţia (oscilaţia) la momentul t0 ; La r 0 perturbaţia ajunge în momentul de timp , unde

este timpul necesar propagării. In acel moment şi în acel punct Up este :

Valoarea Upsursa este atinsă în punctul r la momentul t’ > t0 undele

diverg (pleacă) din sursă, motiv pentru care se numesc unde progresive sau unde directe.

b) Cel de-al doilea termen al relaţiei (4.14) este :

(4.15.b)

drdt v

173

UNDE ELASTICE

prin urmare undele converg către sursă, numindu-se unde regresive sau unde inverse.

Deoarece am făcut schimbarea de variabila : U = r , obţinem pentru funcţia de undă (soluţie a ecuaţiei undelor sferice (4.12)) expresia :

( , ) 'r t r f c trv r g c t

rv

1 1

unda progresiva(directa)

unda regresiva(inversa)

(4.16)

4.3.2. Unda plană. Unda armonică plană.In ciuda aparenţelor, unda plană nu este ceva diferit de unda sferică;

dimpotrivă, ea reprezintă o simplificare / particularizare a undei sferice pentru distanţe mari faţă de sursa punctiformă.

Presupunem un domeniu de formă sferică, cu raza şi centrul situat la distanţa rC de sursa S.

Dorim să aflăm în punctul la momentul t, adică . Precizăm că :

- S este sursa punctiformă care generează unda sferică ;- se consideră (unde este raza domeniului ).In domeniul raza de curbură a suprafeţelor echifaze () este cuprinsă

între rc şi

rc .

In acest caz suprafeţele pot fi aproximate prin familia de planuri paralele , tangente la suprafeţele echifaze în punctele situate pe dreapta care uneşte S cu centrul domeniului . Direcţia normală pe suprafeţele echifaze este direcţia de propagare a undei.

Faza într-un punct M aflat în domeniul , la un moment de timp t, este definită exclusiv de abscisa a planului echifaz pe care se afla punctul M() , măsurată pe o direcţie normală pe aceste planuri . Pentru a demonstra această afirmaţie se poate recurge la următoarele observaţii :

Prin urmare :

174

Front de unda sferic

S = sursa

r

Cr

M

r

Domeniul de raza ()

Planul (coord. )

Figura 4.4


(4.17)

Observaţii :a) Am tratat - evident - cazul undei progresive.b) Unda se numeşte plană deoarece suprafeţele echifaze sunt plane.

Unda armonică plană reprezintă o formă concretă a funcţiei de undă , valabilă în cazul în care aceasta depinde de o singură coordonată spaţială. In aceste condiţii :

(folosim notaţia în complex, care uşurează calculele ; altfel ar fi trebuit să scriem ) adică :

, t A ej t

v

0 (4.18.a)

respectiv :

(4.18.b)

Semnul "-" corespunde undei progresive, în timp ce semnul "+" desemnează unda regresivă.

Observaţii : • Unda armonică plană este un concept idealizat, în natură neexistând

asemenea unde .• Utilitatea folosirii ei este dată de faptul că (vezi paragraful 3.5) orice

perturbaţie, oricât de complicată ar fi, poate fi reprezentată prin intermediul integralei Fourier, ca o sumă de perturbaţii elementare de forma :

a e d a e dj t j t( ) ( )

(t) = N

-

+

propagarea fiecărei perturbaţii elementare este descrisă de o undă armonică.• Forma exponenţială a funcţiilor de undă armonice uşureaza calculele,

iar reconstituirea undei originale se face (în cazul liniarităţii mediului) prin simpla superpoziţie a undelor elementare.

• O serie de procese ondulatorii (elementare) întâlnite în practică pot fi descrise - într-o primă aproximaţie - prin unde de forma :

4.3.2.1. Mărimi caracteristice undei armonice plane

175

UNDE ELASTICE

In definirea şi discutarea proprietăţilor undei armonice plane intervin următoarele mărimi :

A = amplitudinea undei ; deoarece :

rezultă inegalitatea :

ceea ce permite următoarea definiţie : “amplitudinea undei este valoarea maximă absolută a părţii reale a funcţiei de undă” ;

0 = (0, 0) = faza iniţială ;

= viteza de variaţie a fazei, denumită şi frecvenţă ;

Mărimea vectorială se numeşte vector de undă (tridimensional).Direcţia de propagare este caracterizată de versorul

1 .

M (vezi figura 4.5) este punctul în care dorim să stabilim expresia undei plane.

Produsul : pe direcţia de propagare (folosit pentru a determina abscisa planului echifază ) .

Deoarece : 1 1 k cos cos cos 1 1 1x y z

obţinem :

k r r

rv

11 k = v 1 1 1x y zcos cos cos

(4.19)Din relaţia (4.19) se observă că modulul vectorului de undă este :

k v k k kx y z

2 2 2

unde (prin identificare) avem :

176

z

xy

r

1

M

direcţia depropagare

Figura 4.5


k ; k ; k x y z

v v vcos cos cos

Dacă se foloseşte vectorul de undă k, se poate obţine o altă exprimare

(echivalentă) pentru unda armonică plană :

(4.18.c)

Observaţie importantă. Expresia (4.18.c) permite separarea variabilelor temporale şi respectiv spaţiale :

(4.18.d)

Dacă se înlocuieşte relaţia (4.18.d) în ecuaţia generală de propagare a undelor (4.10) , se observă că aceasta din urmă capătă forma :

(4.20)

Relaţia (4.20) este ecuaţia atemporală a undelor (ecuaţie de tip Helmholtz).

Dat fiind faptul că funcţia de undă (exprimată prin intermediul unei exponenţiale, respectiv al unei funcţii trigonometrice) este periodică, putem dicuta în amănunt despre periodicitate, în contextul în care discuţia implică cele două variabile (coordonată şi timp) :

• Perioada T, care defineşte periodicitatea undei în raport cu variabila t (timp) se obţine punând condiţia :

(4.21.a)

Mărimea :

12T

se numeşte frecvenţă. Ea reprezintă numărul de perioade din unitatea de timp.(La trecerea unei unde elastice dintr-un mediu într-altul frecvenţa ei rămâne nemodificată : frecvenţa este o mărime invariantă !)

• Lungimea de undă este distanţa parcursă de suprafaţa de undă în intervalul de timp de o perioadă. In fapt, această mărime exprimă periodicitatea funcţiei de undă în raport cu variabila :

177

UNDE ELASTICE

(4.21.b)

( = lungimea de undă = drumul parcurs de planul de fază constantă în timp de o perioadă)

Trecerea unei unde elastice dintr-un mediu într-altul este însoţită de modificarea lungimii de undă.

Relaţia dintre lungimea de undă şi frecvenţă : arată că - în

condiţiile în care este un invariant - modificarea lungimii de undă impune obligatoriu modificarea vitezei de fază (ceea ce era de aşteptat, ţinând cont de expresiile - dependente de natura mediului - obţinute în paragraful 4.2 pentru "v").

4.3.2.2. Problemă rezolvată (justificare a soluţiei propuse de d’Alembert)

Se consideră o undă elastică plană care se propagă de-a lungul axei Ox. Ecuaţia de propagare corespunzătoare este :

Să se arate că această ecuaţie admite soluţii de tipul :

RezolvarePentru a găsi soluţii ale ecuaţiei de mai sus, se observă că - dacă se face

schimbarea de variabilă (valabilă pentru orice ecuaţie de acelaşi tip cu cea de sus) :

se obţine :

Ecuaţia de propagare devine :

178


Prin urmare integrala generală este : (soluţie generală dată de d’Alembert) sau :

Mărimile f (...) şi g(...) sunt - cum am mai precizat - funcţii arbitrare, determinate de condiţii particulare (la limită) impuse undei, iar mărimea “v” este - obligatoriu - o constantă.

O expresie particulară este, în acest caz, unda armonică plană :

( , )t A e A e A e

j tv

j tr

v j t k rk

1

4.4. Generarea undelor (mecanice)In paragraful 3.2.1. s-a arătat că mişcarea oscilatorie armonică reală este

o mişcare amortizată. Pierderea de energie, exprimată prin relaţia :

E t E e ej t( ) / 0

20

se reflectă în amortizarea oscilaţiilor, implicit în schimbarea frecvenţei. Prin urmare, în realitate, mişcarea amortizată nu mai este armonică.

Pe de altă parte, orice semnal, oricât de complicat ar fi, poate fi exprimat prin intermediul unei integrale Fourier (paragraful 3.5).

Dacă se foloseşte transformarea Fourier inversă (vezi relaţia 4.1), analizându-se consecinţele în ceea ce priveşte spectrul de frecvenţe emise, se constată că unda generată de un oscilator real constă dintr-o suprapunere de unde armonice de pulsaţie , unde :

• oscilaţia primară poate fi considerată ca o suprapunere de oscilaţii, fiecare pe frecvenţa ei (figura 4.6) ;

• fiecare din aceste oscilaţii are o durată finită în timp.

179

UNDE ELASTICE

Mărimea lui are implicaţii asupra valorii lui .

Reţinem ideea oscilaţiei de durată finită, pe care o vom întâlni şi în cazul undelor electromagnetice (vezi volumul II).

4.5. Energia undei mecanice : mărimi caracteristiceDeoarece orice undă care se propagă într-un mediu este echivalentă cu

un număr foarte mare de oscilatori deplasaţi faţă de poziţia lor normală de echilibru, putem vorbi despre energia undei ca un sumum de energii cinetice şi potenţiale ale tuturor oscilatorilor implicaţi. Din acest motiv se defineşte următoarea mărime :

numită densitate de volum a energiei (energia mecanică totală transferată de undă în unitatea de volum).

Această mărime fizică este funcţie de punct şi de timp, motiv pentru care vom prefera - în cele ce urmează - să discutăm numai despre valoarea medie a densităţii de volum a energiei în timp de o perioadă :

Fie "n" numărul de oscilatori din unitatea de volum a mediului considerat (mediu ideal / deci conservativ). Deoarece energia mecanică totală medie a unui singur oscilator are expresia (constantă) :

(vezi paragraful 3.1.1.)

iar :

unde este densitatea masică (masa unităţii de volum, egală cu numărul de oscilatori din unitatea de volum înmulţit cu masa unui oscilator), valoarea medie a densităţii de volum a energiei se poate scrie :

180

IMax

0

0 + / 20 - / 2

IMax / e

Figura 4.6


(4.27)

In rezultatul obţinut se observă că densitatea medie de volum a energiei depinde de densitatea mediului în care se propagă unda, de pătratul amplitudinii (elongaţiei maxime) şi de pătratul frecvenţei.

Propagarea unei unde elastice fiind un fenomen de transport al energiei într-un mediu dat dar şi pe o anumită direcţie, impune definirea unei mărimi vectoriale, denumite densitate a fluxului de energie (sau vectorul lui Umov). Prin definiţie expresia acestei noi mărimi este :

(4.28.a)

unde : An este aria perpendiculară pe direcţia de propagare ; este viteza de grup (respectiv viteza de propagare a energiei).Relaţia (4.28.a) arată că vectorul lui Umov caracterizează energia

transferată în unitatea de timp prin unitatea de suprafaţă normală la direcţia de propagare a undei.

Deoarece (vezi figura 4.7) :

se observă că : (4.28.b)

deci :

(4.28.c)

Valoarea medie a fluxului de energie în timp de o perioadă (4.28.c) depinde de :

- proprietăţile sursei (respectiv A şi ) ;- proprietăţile mediului elastic ( şi vg ).Dacă se introduce mărimea :

care reflectă caracteristicile mediului, numită impedanţă acustică a mediului, atunci se poate scrie :

(4.28.d)

181

dAn

gv

dt vg

Figura 4.7

UNDE ELASTICE

Observaţie importantă. După unii autori, valoarea medie a vectorului lui Umov, respectiv mărimea :

(4.29.a)

se notează cu şi reprezintă intensitatea undei elastice. Discutând din punct de vedere strict fizic (nu matematic !) ea defineşte maniera de transfer a energiei de

la sursă la mediu. Unitatea de măsură corespunzătoare este .

După alţi autori (vezi G. Moisil) intensitatea undei (în general, nu numai a undei elastice !) este definită prin relaţia :

(4.29.b)

care "dezleagă" caracteristicile undelor de mediul în care are loc propagarea. In acest caz unitatea de măsură este complet diferită (m2).

Indiferent care dintre cele două definiţii este luată în calcul, se observă că :

amplitudinea undei este o mărime accesibilă măsurării, proporţională cu energia undei (vezi 4.27) şi invariantă în raport cu orice transformare a fazei undei (4.29.b) / proprietate care poartă numele de invarianţă de etalon de speţa a II-a (după nomenclatura introdusă de către fizicianul Wolfgang Pauli).

4.6. Fenomene caracteristice propagării undelor (elastice)In cele ce urmează vom trata numai câteva dintre fenomenele care pot să

apară atunci când una sau mai multe unde elastice întâlnesc neomogenităţi ale mediului (reflexia şi refracţia), medii cu proprietăţi deosebite (absorbţia), sau interacţionează între ele(interferenţa staţionară sau nestaţionară)3.

4.6.1. Reflexia şi refracţia undelor scalareAtunci când o undă elastică (undă incidentă) ajunge la suprafaţa de

separaţie a două medii elastice omogene, izotrope, nedispersive şi neabsorbante (deci medii ideale) au loc două fenomene :

- reflexia : întoarcerea parţială a undei în mediul în care s-a propagat până în acel moment (undă reflectată) ;

- refracţia : trecerea (tot parţială) a undei dintr-un mediu în celălalt (undă transmisă).

3 Asupra acestui subiect se va reveni în capitolul referitor la electromagnetism, unde

vor fi tratate în detaliu mult mai multe aspecte care - deocamdată - vor fi trecute cu vederea.

182


I. In primul mediu există undă incidentă şi undă reflectată. Deoarece s-a arătat că viteza de fază depinde de proprietăţile fizice ale mediului, în acelaşi mediu avem aceeaşi viteză de fază pentru ambele unde nominalizate mai sus ; fie această viteză de fază v1 .

Expresia undei incidente (plane) este :

unde i este frecvenţa undei incidente, iar Ai este amplitudinea acesteia.Unda reflectată are expresia :

II. In cel de-al doilea mediu viteza de fază corespunzătoare este v2 iar expresia undei refractate este :

In figura 4.8 versorii şi definesc (determină) planul de incidenţă.Condiţia de continuitate a funcţiei de undă pe suprafaţa de separaţie

dintre cele două medii este :

(4.29)

adică : (4.30)

unde raza vectoare stabileşte poziţia planului () în raport cu un sistem de referinţă arbitrar ales (pentru care observatorul se află în originea sistemului de axe : ca exemplu punctul "O" şi - în egală măsură - punctul "O'").

Condiţia de continuitate (4.30) trebuie îndeplinită pentru t (oricare moment de timp) şi în orice punct al planului () : ; prin urmare apar două seturi de relaţii distincte : relaţii între faze şi relaţii între amplitudini.

A. Relaţii între fazeCondiţia de continuitate a funcţiei de undă pe suprafaţa de separaţie

(relaţia 4.30) impune egalitatea exponenţilor, adică :

183

y()

r

r O

O'i1

r1

n1 t1

' x

Figura 4.8

UNDE ELASTICE

ceea ce înseamnă : , cu alte cuvinte frecvenţa undei este invariantă în raport cu procesele de refracţie - reflexie, şi :

Pentru a vedea ce semnificaţie are această ultimă condiţie, alegem două cazuri particulare.

a) Fie raza vectoare , unde este versorul axei Oz, perpendiculară pe axele Ox, Oy - aşa cum apar ele în figura 4.13. Deoarece planul de incidenţă este planul definit de versorii , se observă că versorul este perpendicular pe planul de incidenţă, deci :

Concluzia de mai sus înseamnă, în fapt, că toţi versorii : sunt coplanari în planul de incidenţă.

b) Dacă raza vectoare (versorul axei Oy), atunci (datorită semnificaţiei produsului scalar) :

(4.31)Relaţia (4.31) conduce la două concluzii :

(4.32)

(4.33)

Relaţia (4.32) poartă numele de legea reflexiei iar relaţia (4.33) reprezintă legea refracţiei şi a fost stabilită experimental de către Snellius (Willebrord van Roijen Snell / fizician şi matematician danez, 1621).

Mărimea : poartă numele de indice de refracţie relativ al

mediilor (al mediului "2" faţă de mediul "1").B. Relaţii între amplitudiniPrima relaţie evidentă între amplitudini este :

(4.34)Deoarece mărimile Ar şi At sunt necunoscute, apare evident faptul că, pe

lângă relaţia (4.34), ar mai fi necesară o relaţie.

Se defineşte mărimea vectorială : , asociată fiecărei funcţii

scalare .Cea de-a doua condiţie de continuitate pentru amplitudini impune

continuitatea componentei normale a vectorului pe suprafaţa de separaţie (), adică :

184


(4.35)

Deoarece relaţiile (4.35) implică egalitatea tuturor exponenţilor pe suprafaţa (), rămâne pentru amplitudini condiţia :

Din figura (4.13) se observă că :

(4.36)

Introducem mărimea , numită impedanţă a mediului (mărime de

material, întâlnită deja în discuţia despre modulul vectorului Umov, unde s-a definit ).

Cu această mărime relaţia (4.36) devine :

(4.37)

Relaţiile (4.34) şi (4.37) poartă numele de formulele lui Fresnel pentru unda scalară. Deoarece amplitudinea undei incidente se consideră cunoscută, cele două amplitudini necunoscute rezultă (drept consecinţă a formulelor lui Fresnel) :

Observaţii. In funcţie de "jocul" dintre mărimile celor două impedanţe de mediu, se constată că :

a) atunci când Z1 >> Z2 se observă că Ar Ai ; dacă Z1 << Z2 atunci Ar -Ai ; dar , ceea ce înseamnă că schimbarea semnului este echivalentă cu o schimbare de fază de , respectiv cu o diferenţă de drum :

Prin urmare reflexia cu schimbare de semn este numită şi reflexie cu adăugarea (scăderea) unei jumătăţi de lungime de undă.

b) dacă Z1 > Z2 (mediul reflectant este mai puţin dens decât mediul iniţial), atunci sgnAr = sgnAi (unde "sgn" desemnează semnul - pozitiv sau negativ - al unei mărimi) ; egalitatea de semne spune că reflexia se face în acest caz fără schimbare de semn, deci fără pierdere de fază ;

185

UNDE ELASTICE

c) dacă Z1 < Z2 (mediul reflectant e mai dens decât mediul iniţial), atunci sgnAr = -sgnAi , deci are loc o reflexie cu schimbare de semn, deci cu pierdere de fază.

Caz particular. Reflexia totală.Relaţia :

conduce la concluzia că, atunci când :

(4.38)

Inegalitatea (4.38) conduce la concluzia că există un unghi de incidenţă

L pentru care .

Pentru unghiul ia valori imaginare. Fenomenul poartă

numele de reflexie totală şi are drept consecinţe următoarele afirmaţii :1. Unda transmisă intră în cel de-al doilea mediu numai pe o distanţă

foarte mică, de ordinul lungimii de undă, amortizându-se rapid.2. Intensitatea undei reflectate este egală cu intensitatea undei incidente.

Demonstraţie la afirmaţia 1.

Unda transmisă are expresia :

186

(1)(2)

(3)

(3')(1')

L

Figura 4.9

x

y

cosx

siny

r

t1


Ne ocupăm în detaliu de produsul scalar :

(proiecţia lui pe direcţia , vezi figura 4.10).

Dar :

de unde se observă că :

Notăm :

De aici rezultă :

Se observă că semnul "+" din relaţia de mai sus nu este justificat din punct de vedere fizic (dacă x atunci t ). Prin urmare, dacă se are în vedere numai semnul "-" şi se calculează intensitatea undei transmise (cu formula ), rezultă că :

Dacă creşte, atunci intensitatea undei transmise scade exponenţial,

tinzând rapid către zero.

Demonstraţia celei de-a doua afirmaţiiRaportul :

187

Figura 4.10

UNDE ELASTICE

deci intensitatea undei reflectate este egală cu intensitatea undei incidente.Suplimentar faţă de toate noţiunile şi mărimile introduse şi utilizate până

acum, în studiul fenomenelor de reflexie - refracţie se utilizează frecvent şi alte mărimi importante, cum ar fi :

- factorul de reflexie (reflectanţa) :

- factorul de transmisie (transmitanţa) :

Se observă că : R+T = 1.

4.6.2. Interferenţa undelor scalare (elastice)Prin interferenţă se înţelege fenomenul de suprapunere a unor unde (care

îndeplinesc anumite condiţii) în acelaşi punct. Discutăm cazul interferenţei unor unde scalare, care se propagă într-un mediu ideal.

Fiecare dintre cele două sau mai multe unde scalare sunt soluţii ale ecuaţiei generale de propagare a undelor (relaţia 4.10), respectiv :

Dat fiind faptul că un mediu ideal este - totodată - un mediu liniar, dacă ecuaţia (4.10) are soluţiile 1 , 2 , 3 ....n , atunci şi funcţia de undă având expresia :

(4.39)

este la rândul ei o soluţie a ecuaţiei de propagare.In aceste condiţii, fie situaţia exemplificată în figura 4.11, unde se pune

problema ce se petrece în punctul M.Pentru a desfăşura un calcul adecvat în condiţii minime de stress

matematic, vom recurge la câteva ipoteze simplificatoare : cele două unde care dau un fenomen de interferenţă în punctul M au

aceeaşi frecvenţă ; distanţele 1 şi 2 sunt considerate a fi foarte mari, mult mai mari decât

distanţa dintre cele două surse (adică ), astfel încât pe un domeniu restrâns cele două unde pot fi considerate unde armonice plane.

Prin urmare, fie expresiile corespunzătoare :

188

M

1

2

S1

S2

Figura 4.11


unde mărimea (t) reprezintă diferenţa între fazele iniţiale ale celor două unde (presupusă a fi dependentă de timp).

Conform proprietăţii de liniaritate a mediului, unda rezultantă are expresia :

Amplitudinea ei poate fi stabilită - aşa cum am văzut în cazul compunerii oscilaţiilor - folosind calculul în complex simplificat :

(4.40)

unde desemnează diferenţa de drum. Prin urmare :

Se observă existenţa următoarelor situaţii particulare :

4.6.2.1. Interferenţa staţionarăAtunci când diferenţa dintre fazele iniţiale ale celor două unde este

constantă :

se spune că cele două surse sunt coerente.Prin unde coerente se înţeleg două (sau mai multe) unde care au aceeaşi

frecvenţă iar diferenţa dintre fazele lor este invariabilă (constantă) în timp.In cazul (mai simplu) în care :

A1 = A2 = A (4.42)

se pot întâlni (pentru anumite situaţii speciale, corespunzătoare unor puncte particulare din spaţiu) egalităţile:

189

UNDE ELASTICE

Atunci când diferenţa de fază este nulă ( = 0) cele două cazuri / condiţii de mai sus capătă forma simplificată :

Se observă din relaţiile de mai sus că ecuaţiile corespunzătoare punctelor de maxim pot fi scrise explicit :

reprezentând, din punct de vedere matematic, o familie de hiperboloizi cu două pânze, având focarele în cele două surse S1 şi S2 . Imaginea franjelor de interferenţă corespunzătoare este indicată în figura 4.12.

Observaţie. Atunci când locul maximelor şi al minimelor se

inversează.

4.6.2.2. Unde staţionare pe o singură direcţieAcest caz particular de unde staţionare se obţine ca rezultat al

interferenţei a două unde plane de amplitudini şi frecvenţe egale, care se propagă în sensuri contrare pe aceeaşi dreaptă suport (direcţie).

190

S1

S2Planul ()

Franje de interferenta

Figura 4.12

N M

xx1

Unda directa (unda incidenta)

Undareflectata

Figura 4.13


Rezolvarea generală a unei asemenea probleme porneşte de la observaţia că avem de a face cu o interferenţă staţionară pentru care una dintre unde (cea reflectată) preia proprietăţi puse în evidenţă la studiul reflexiei.

Astfel, în timp ce expresia undei incidente este :

pentru unda reflectată trebuie folosită relaţia :

unde :

iar faza "" introdusă suplimentar ţine cont de faptul că - în funcţie de relaţia dintre impedanţele de mediu Z1 şi Z2 - reflexia se poate produce cu / fără schimbare de semn.

Impedanţa Z1 caracterizează mediul în care are loc interferenţa celor două unde în timp ce impedanţa Z2 caracterizează mediul ce produce reflexia (respectiv caracteristica de material a punctului M, vezi figura 4.18).

Reamintim că la reflexie s-a arătat că putem avea două situaţii diferite :

a) Z1 > Z2 (primul mediu este mai dens decât cel de-al doilea), caz în care reflexia are loc fără schimbare de semn, deci fără apariţia unei faze suplimentare în expresia undei reflectate ;

b) Z1 < Z2 (cel de-al doilea mediu, căruia îi aparţine punctul M este mai dens decât mediul în care studiem interferenţa celor două unde), caz în care apare o modificare a fazei undei reflectate cu .

In aceste condiţii rezultatul interferenţei celor două unde are expresia generală :

Ne vom concentra atenţia asupra amplitudinii, întrucât dependenţa armonică de timp nu aduce nimic nou.

Se observă că :

şi prin urmare amplitudinea unde rezultante depinde de distanţa dintre punctul M şi punctul curent în care se face evaluarea elongaţiei rezultante după relaţia :

Dacă :a) Z1 > Z2 = 0 , deci Atunci când x = 0 (în punctul M) se observă că : Arez = 2A = amplitudine

maximă.Punctele în care amplitudinea este maximă se numesc ventre şi

corespund condiţiei :

191

UNDE ELASTICE

ceea ce implică :

Distanţa dintre două ventre succesive este :

Punctele în care amplitudinea este minimă corespund condiţiei :

şi - din punct de vedere trigonometric - înseamnă :

Punctele corespunzătoare se numesc noduri.Se observă că :

deci întotdeauna - între două noduri succesive - distanţa este de jumătate de lungime de undă (numită semiundă).

Distanţa dintre un nod şi cel mai apropiat ventru este :

deci - practic - succesiunea nodurilor şi a ventrelor este cea indicată în figura 4.14.

Figura 4.14

Observaţie finală. Datorită condiţiei iniţiale (Z1 > Z2 ) se observă că în punctul M (la x = 0), indiferent de plasarea spaţială a sursei, apare un ventru.

b) Dacă Z1 < Z2 atunci = , deci :

192

Nod Ventru Nod Ventru Nod

4/ 4/ 4/ 4/

2/

2/


La x = 0 , Arez = 0 , deci obligatoriu punctul M este un nod.In ceea ce priveşte condiţiile pentru identificarea poziţiei ventrelor şi a

nodurilor, calculele se repetă asemănător :

ventre : (cu n N)

de unde :

noduri :

Se observă că - faţă de cazul precedent - poziţia maximelor şi a minimelor se inversează (comută). Ceea ce rămâne însă în continuare constant este faptul că distanţa dintre maxime succesive ca şi distanţa dintre minime succesive este egală cu o semiundă, în timp ce între un maxim şi minimul cel mai apropiat distanţa rămâne egală cu /4.

Observaţii.1. Fie condiţia pentru două ventre succesive :

Prin urmare, deşi nu am discutat până acum acest aspect, se observă că două ventre succesive - deşi au amplitudine rezultantă maximă - oscilează în antifază (reamintim că ) : atunci când într-un ventru avem un maxim pozitiv, în următorul ventru avem elongaţie maximă dar în sens contrar.

2. In cel de-al doilea caz (Z1 < Z2 ) dacă impunem condiţia ca în punctul iniţial N (vezi figura 4.18) să avem un nod, adică :

- la x = = , Arez = 0 , se obţine :

(cu n N)

cu alte cuvinte lungimea totală a drumului parcurs de cele două unde trebuie să fie un număr întreg de semiunde.

3. Discuţia purtată până acum poate fi pusă şi dintr-un punct de vedere radical diferit : fie o coardă elastică (o strună de vioară) fixată la capete, deci de lungime impusă " " şi evoluând obligatoriu între punctele N (nod) şi M (nod). In ce condiţii apar undele staţionare ?

193

UNDE ELASTICE

Figura 4.15

Vom alege, pentru rezolvarea acestei situaţii particulare, o altă metodă (pentru a vedea şi altă manieră - mai simplă - de a utiliza ecuaţia undelor).

Deoarece se presupune că pe coarda elastică se propagă o undă plană, putem folosi direct ecuaţia atemporală a undelor (ecuaţia Helmholtz (4.20)) a cărei formă particulară (corespunzătoare propagării pe o singură direcţie) este :

(4.43)

Ecuaţia :

(4.44)

are o formă asemănătoare ecuaţiilor pe care le-am întâlnit în capitolul de oscilaţii ; prin urmare, fără demonstraţii suplimentare, reamintim că soluţia generală este de forma :

Se pun condiţiile la limită : x = 0 (0) = 0 b = 0

x = ( ) = 0

adică :

Setul complet al valorilor vectorului de undă formează spectrul valorilor proprii ale ecuaţiei (4.44) / care este o ecuaţie cu valori proprii a

operatorului . Prin urmare soluţiile ecuaţiei (4.44) au forma :

şi poartă numele de funcţii proprii ale ecuaţiei mai sus menţionate.Relaţia (4.43) permite stabilirea setului de valori pentru frecvenţe, cu alte

cuvinte şirul frecvenţelor proprii :

unde "v" este viteza de fază.Frecvenţa 1 poartă numele de frecvenţă fundamentală, în timp ce

frecvenţele 2 , 3 , ...n se numesc armonice de ordinul II, III, ...n.

194

Nod NodN M


Deoarece frecvenţele iau numai anumite valori, spectrul de frecvenţe este discret.

Cumulând observaţiile referitoate la dependenţa spaţială şi la dependenţa temporală a funcţiei de undă, rezultă forma generală a soluţiilor ecuaţiei undelor pentru coarda elastică :

unde s-a folosit proprietatea de liniaritate a mediului (soluţia generală se obţine ca sumă a soluţiilor particulare / relaţia (4.39)).

Observaţii

Fiecare soluţie particulară : reprezintă o

undă staţionară.Toate punctele corzii oscilează cu aceeaşi fază . Amplitudinea

undei este numai funcţie de x, depinzând periodic de această variabilă :

Mărimea n reprezintă lungimea de undă a undei staţionare. Amplitudinea este nulă în punctele de abscisă xmin :

(4.45)

Amplitudinea este maximă atunci când :

(4.46)

Condiţiile pentru ventre şi pentru noduri coincid cu cele obţinute în analiza făcută puţin mai înainte - pentru cazul în care Z2 > Z1 .

In figura 4.16 sunt indicate câteva exemple concrete.

Se constată că pentru n = 1 lungimea coardei este egală cu o semiundă ; pentru n = 2 lungimea , etc.

195

N V N(n = 1, 1)

N V N V N (n = 2, 2) N V N V N V N

(n = 3, 3)Figura 4.16

UNDE ELASTICE

Ca o ultimă observaţie, trebuie făcută diferenţa calitativă dintre o undă staţionară şi o undă progresivă. Ea poate fi urmărită în figura 4.17.

Pentru unda staţionară se observă că amplitudinea oscilaţiilor variază de la punct la punct ; oscilaţiile au loc în fază sau în antifază iar energia se distribuie neuniform (este maximă în ventre şi minimă în noduri), indiferent de momentul de timp în care se face observaţia.

In cazul undei progresive, aceasta se deplasează spaţial cu viteza de fază "v" ; fazele oscilaţiilor se schimbă de la punct la punct, în timp ce amplitudinea acestora se menţine constantă (aceeaşi) - reprezentând (în acelaşi timp) un transport uniform de energie.

Discuţia desfăşurată în cadrul acestui paragraf are extrem de multă importanţă, pentru că ea este direct implicată în emisia şi proprietăţile undelor sonore.

4.6.2.3. Interferenţa multiplăIn cazul în care într-un punct din spaţiu se întâlnesc "n" unde coerente,

având expresiile :

unda rezultantă are expresia :

Factorul notat cu "S" se prezintă drept sumă a unei progresii geometrice :

şi prin urmare :

196

x

t0 01 tt

Unda stationara (x , t)

x

t0

01 tt

(x , t) Unda progresiva

Figura 4.17


Se observă că amplitudinea undei rezultante are forma :

deci este dependentă de defazaj. Pentru unele valori particulare ale acestuia :

Observaţia de mai sus este valabilă cu excepţia cazurilor :

pentru care :

In acest caz valoarea amplitudinii rezultante maxime este :

(şi are aceeaşi valoare !) iar imaginea corespunzătoare este indicată în fig. 4.18.

4.6.2.4. Interferenţa nestaţionarăAtunci când defazajul = (t) - deci depinde de timp - amplitudinea

undei rezultante este dată de expresia generală :

197

Figura 4.18

UNDE ELASTICE

Considerăm acel caz în care (t) variază foarte rapid şi într-un mod aleator şi calculăm intensitatea medie a undei, folosind un interval de timp de observaţie suficient de lung :

Cele două integrale sunt nule, întrucât

valorile pozitive şi negative luate de funcţiile trigonometrice cos(t) şi sin(t) se compensează reciproc.

Prin urmare :

Rezultatul obţinut indică faptul că nu apar variaţii periodice ale intensităţii undei rezultante, aceasta fiind egală cu suma intensităţilor undelor componente.

4.6.3. Propagarea undelor elastice într-un mediu disipativ - dispersiv Intr-un mediu real propagarea unei unde este însoţită de pierderi

energetice ireversibile (sub formă de căldură). Acest lucru însemnă că :- mediul real este un mediu disipativ ;- în ecuaţia undelor trebuie să intervină un termen suplimentar,

corespunzător faptului că sensul scurgerii timpului nu poate fi indiferent (ca în cazul ecuaţiei generale de propagare, relaţia (4.10) ).

Observaţiile de mai sus conduc la noua formă a ecuaţiei de propagare :

(4.47)

unde notaţiile şi respectiv desemnează mărimi de material.Căutăm/ propunem o soluţie armonică de forma :

care - înlocuită în ecuaţia de mai sus (4.47) - conduce la o nouă ecuaţie (atemporală) :

(4.48)adică :

(4.49)

Se notează :

198


(4.50)

unde se observă că este o mărime complexă.

Dacă se consideră că propagarea are loc numai pe axa Ox , atunci :

Selectăm unda progresivă :

Se observă că :

(4.51)

Relaţia (4.51) este legea absorbţiei undelor, pusă în evidenţă experimental ori de câte ori o undă se propagă într-un mediu disipativ.

Expresia (4.51) a fost găsită pentru prima oară (pe cale experimentală, fiind studiate fenomene de propagare a undelor electromagnetice) de către Beer şi (independent) Bouguer. Ea este valabilă numai dacă vectorul de undă complex notat ~k nu depinde de intensitatea undei.

Mărimea (partea imaginară a vectorului de undă compex ~k ) se

numeşte coeficient de absorbţie şi este asociată - firesc - cu fenomenul de absorbţie care are loc într-un mediu disipativ (semnul "-" arată faptul că intensitatea undei scade exponenţial pe măsură ce unda "intră" mai mult în mediul disipativ).

Se mai poate defini şi mărimea :

2

numită şi adâncime de pătrundere (sau penetraţie), cu ajutorul căreia relaţia (4.51) capătă forma echivalentă :

(4.52)

Adâncimea de pătrundere reprezintă distanţa pe care amplitudinea undei A I se reduce cu 1/e din valoarea sa iniţială (la x = 0) :

Adâncimea de pătrundere are dimensiunea unei lungimi.

Reţinem relaţia . Căutăm expresia şi valoarea lui :

199

UNDE ELASTICE

de unde rezultă :

(4.53)

(4.55)

Adâncimea de pătrundere este dependentă de frecvenţă. Cu cât frecvenţa este mai mare, cu atât unda pătrunde mai puţin în mediu. Totodată ea depinde de natura mediului absorbant, ca şi de natura undei propriu - zise.

Fenomenul de absorbţie apare şi în cazul altor tipuri de unde (cum ar fi undele electromagnetice), unde forma legii absorbţiei se păstrează dar - evident - valoarea numerică a coeficienţilor implicaţi este diferită.

O observaţie distinctă trebuie făcută în legătură cu viteza de fază. Astfel, deoarece relaţia (4.53) indică o dependenţă a vectorului de undă de tipul k = k(), rezultă pentru viteza de fază o dependenţă de tipul :

deci, aşa cum se constată, ea depinde de frecvenţă.Prin urmare undele având diferite frecvenţe se propagă cu viteze de fază

diferite, ceea ce conduce la un fenomen de dispersie a acestora.Putem trage concluzia că în medii disipative apare şi dispersia undelor.4.6.4. Efectul Doppler (nerelativist)In paragrafele precedente s-a arătat că viteza undelor elastice depinde de

mediu şi (datorită faptului că densitatea acestuia variază cu temperatura) de temperatură. Vom da câteva exemple :

Tabelul 4.1Mediu Temperatură Viteză (m / s)

Aer 00 C 332200 C 340

CO2 00 C 358He 00 C 971H2 00 C 1261

Apă 200 C 1485Fier 180 C 5100

200


Toate vitezele menţionate mai sus sunt mult mai mici decât viteza luminii, deci discuţia are loc într-un context "clasic".

In anul 1842 fizicianul austriac Christian Johann Doppler (1803 1853) a observat că frecvenţa undelor emise de o sursă aflată în mişcare se modifică în raport cu frecvenţa aceleiaşi surse aflate în repaus în raport cu observatorul. Această constatare este uşor de făcut în zilele noastre, atunci când urmărim aterizarea şi respectiv decolarea unui avion : sunetul care însoţeşte mişcarile corespunzătoare se aude diferit (deşi frecvenţa oscilaţiei mecanice a motorului este aceeaşi !).

Experimentele făcute au pus în evidenţă existenţa a două situaţii diferite :

I. Atunci când între sursă şi observator distanţa se menţine constantă, frecvenţa sesizată de observator (prin intermediul unui receptor4) coincide cu frecvenţa undei emise de către sursă.

II. Atunci când distanţa dintre sursă şi receptor se modifică în timp (fie că receptorul se mişcă relativ la sursă, fie că sursa se mişcă faţă de receptor) se constată experimental că receptor sursă . Acest fenomen poartă numele de efect Doppler.

Pentru a lămuri ce se întâmplă în fapt, cu alte cuvinte care este relaţia dintre frecvenţa percepută de observator (receptor) şi frecvenţa proprie a sursei în funcţie de viteza (ca mărime şi sens) relativă dintre ele, vom studia separat cele două situaţii posibile.

a) Sursa S se mişcă cu viteza relativ la cei doi receptori R1 şi R2 (care îşi păstrează poziţia iniţială (vezi figura 4.19).

Vom folosi notaţiile : = frecvenţa sursei ; = frecvenţa măsurată de către receptorul R1 ; = frecvenţa sesizată de către receptorul R2 .

Din punctul iniţial S (unde este plasată sursa la momentul t0 ) este emis un semnal (sursa începe să oscileze). Timpul necesar ca acest semnal să ajungă la receptul R2 este :

4 Receptorul este un instrument care detectează (de o manieră specifică tipului de

undă) prezenţa şi caracteristicile acesteia (dintre care, în cazul nostru, frecvenţa undei).

201

SR1 R2

d d

Situatia la momentul initial t0

S'u

d + uT d - uT

Situatia dupa o perioada T (a sursei)

Figura 4.19

UNDE ELASTICE

unde iar "v" este viteza de propagare a undei.Sursa oscilează periodic. După scurgerea unei perioade T sursa începe o

nouă oscilaţie. Intre timp - însă - ea s-a deplasat cu viteza în punctul notat pe figura 4.19 cu S'. Această a doua oscilaţie ajunge în receptorul R2 după un interval de timp egal cu :

deoarece distanţa a fost parcursă de sursă în timp de o perioadă T cu viteza u .

Diferenţa reprezintă - din punctul de vedere al receptorului R2 - intervalul de timp echivalent cu o perioadă (el percepe o oscilaţie identică cu prima după scurgerea acestui interval de timp), deci :

(4.56.a)

Deoarece :

(4.56.b)

şi

(4.56.c)

Se observă că . Atunci când u = 0, , deci principiul de corespondenţă este verificat.

Faţă de receptorul R1 analiza arată că :

dar - după scurgerea unui interval de timp egal cu o perioadă (a oscilaţiei în sursă) şi după deplasarea acesteia, distanţa creşte ; prin urmare :

(4.57.a)

(4.57.b)

Se constată că în acest caz .

Observaţie. Aceste rezultate puteau fi obţinute şi direct din relaţiile (4.56), dacă am fi ţinut cont de faptul că u > 0 la aproprierea S - R2 şi u < 0 la îndepărtarea S - R1.

b) Considerăm drept un al doilea caz situaţia în care sursa este fixă iar cei doi receptori (vezi figura 4.20) se apropie / se îndepărtează de ea cu aceeaşi viteză .

202


Figura 4.20

Oscilaţia care pleacă din sursă la momentul iniţial t0 ajunge la receptorul R2 în momentul :

Ce-a de-a doua oscilaţie, care pleacă din sursă după trecerea unei perioade T, ajunge la receptorul ajuns în poziţia , deci :

Diferenţa de timp t2 - t1 reprezintă maniera în care observatorul a

perceput trecerea unei perioade (din punctul lui de vedere) :

(4.58.a)

(4.58.b)

Pentru receptorul R1 , în urma unui raţionament asemănător, pentru care (însă) :

se obţine :

(4.59)

203

R1 S R2

d dSituatia la momentul initial t0

u

u'

1R '2R

d + uT ' d - uT '

Situatia dupa o perioada T (a sursei)

UNDE ELASTICE

(relaţiile de mai sus pot fi obţinute din relaţiile (4.58) schimbând semnul vitezei).

Calculele efectuate până acum ne permit formularea următoarei concluzii : când distanţa dintre sursă şi receptor creşte, frecvenţa percepută de către observator scade iar atunci când distanţa relativă sursă - receptor scade, frecvenţa la observator creşte (atenţie : deşi concluziile sunt aceleaşi, relaţiile care corespund celor două cazuri sunt diferite !).

Un ultim aspect interesant care merită menţionat în cadrul acestui paragraf se referă la o situaţie specială : cazul în care viteza sursei depăşeste viteza de propagare a undei. Concret : este vorba despre avioanele supersonice (a căror viteză depăşeşte viteza sunetului în aer). Figura 4.21 ne permite să

înţelegem intuitiv ce se petrece în acest caz.

Se observă că în sensul de propagare al undei "se adună" , îndesindu-se, toate fronturile de undă (sferice) emise anterior, formând aşa-numitul zid sonic. Pe măsură ce viteza de deplasare a sursei creşte, "lăţimea" acestui zid sonic tinde să scadă. Acumularea de fronturi de undă este echivalentă cu o zonă de presiune amplificată (un domeniu de coprimare), pe care avionul trebuie să o străpungă. Unda de presiune amplificată, neperiodică, ce se propagă cu viteza sunetului este denumită detunătură ultrasonică , undă de şoc sau undă balistică (observatorul staţionat pe Pământ aude o detunătură puternică şi bruscă, fără preaviz).

Pentru a evalua raportul - important în aviaţie - dintre viteza sursei şi viteza sunetului, s-a introdus raportul :

numit numărul lui Mach (după numele fizicianului austriac Ernst Mach, care - în 1887 - a făcut experimente cu obiecte deplasate cu viteza sunetului).

După valoarea acestui număr (sub / supraunitară ) vitezele se clasifică în viteze subsonice, respectiv supersonice.

4.7. Probleme rezolvate1. Să se obţină, prin analiză dimensională, expresia vitezei v de

propagare a unei unde longitudinale, în funcţie de modulul de elasticitate E şi de

204

S S' S"

u

P

Figura 4.21


densitatea a mediului de propagare, ştiind că viteza depinde numai de aceste două mărimi.

RezolvareRelaţia căutată are - conform textului problemei - forma necunoscută :

Pe de altă parte, pentru stabilirea dimensiunii modulului lui Young, se poate folosi legea lui Hooke, adică :

ceea ce implică :

Densitatea are dimensiunea :

prin urmare ecuaţia dimensională are forma :

de unde - prin identificare - rezultă :

2. O sursă de oscilaţii aflată într-un mediu elastic emite unde plane de forma : . Lungimea de undă a undelor longitudinale care se propagă în acest mediu este = 15 m.

a) După cât timp va începe să oscileze un punct situat la distanţa x1 = 10 m faţă de sursă ?

b) Ce defazaj există între oscilaţia punctului aflat la distanţa x1 şi oscilaţia sursei ?

c) La ce distanţă se află două puncte ale căror oscilaţii sunt defazate cu

rad ?

d) Evaluaţi defazajul dintre două puncte situate la distanţa .

Rezolvarea) Elongaţia oscilaţiei din sursă (pentru x = 0) este de forma :

Prin identificare se obţine :

Punctul situat la distanţa x1 va începe să oscileze după un interval de timp t1, după legea :

205

UNDE ELASTICE

unde

Viteza de propagare v poate fi calculată din expresia lungimii de undă :

Deci :

b) Defazajul dintre cele două oscilaţii este :

c) Ecuaţiile de oscilaţie ale celor două puncte x2 şi x3 = x2 + x (vezi figura 4.22) sunt :

şi respectiv :

Defazajul dintre cele două oscilaţii este :

deci :

d) Conform rezultatelor de la punctul c) defazajul dintre elongaţiile a două puncte situate la distanţa d este :

adică punctele oscilează în antifază.3. Două surse sincrone S1 şi S2 aflate la distanţa d = 3 cm una de cealaltă

produc oscilaţii de frecvenţă = 100 Hz şi amplitudini A1 = 5 mm şi A2 = 10 mm. Să se calculeze amplitudinea oscilaţiei unui punct situat la distanţa x2 = 5 cm de sursa S2 pe perpendiculara dusă din S2 pe dreapta care trece prin cele două surse.

206

Figura 4.22

x1 x2O xxx 23

x


Viteza de propagare a undelor prin mediul în care se află sursele este v = 20 m/s.

RezolvarePlasarea în spaţiu a celor două surse şi respectiv poziţia punctului în care

se cere calculul amplitudinii rezultante în urma compunerii celor două unde coerente este indicată în figura 4.23.

Ecuaţiile de oscilaţie ale surselor sincrone sunt :

Ele produc în punctul D oscilaţiile rezultate prin propagare :

unde x3 este distanţa dintre sursa S1 şi punctul D :

Aceste două unde interferă în punctul D dacă se produc pe aceeaşi direcţie, ceea ce este posibil numai dacă sunt unde transversale cu oscilaţia pe aceeaşi direcţie - şi anume perpendicular pe planul BCD.

In urma interferenţei punctul D oscilează de maniera exprimată prin ecuaţia :

unde amplitudinea este :

iar este defazajul celor două oscilaţii în D :

Deci cele două oscilaţii sunt în fază, amplitudinea oscilaţiei rezultante fiind :

207

S1

S2

dD

x2

x3

Figura 4.23

UNDE ELASTICE

Bibliografie capitolul IV

[1] P. Sterian, M. Stan, "Fizica", Editura didactică şi pedagogică, Bucureşti, 1985

[2] T. Creţu, "Fizică generală", vol I, Editura Tehnică, Bucureşti, 1984[3] F.W. Sears, M.W. Zemansky, H.D. Young, "Fizica", Editura didactică şi

pedagogică, Bucureşti, 1983[4] R.V. Deutsch, "Fizică", Editura didactică şi pedagogică, Bucureşti, 1970[5] R. Brenneke, G. Schuster, "Fizică", Editura didactică şi pedagogică,

Bucureşti, 1973[6] M. Al. Oncescu, "Fizica" , vol. I, Editura didactică şi pedagogică,

Bucureşti, 1973[7] Al. Hellemans, B. Bunch, "Istoria descoperirilor ştiinţifice", Editura

Orizonturi, Bucureşti, 1996 / reeditată 2002

208

Documents

UNDE ELASTICE