of 65 /65
UNDE ELASTICE 4. NOTIUNI GENERALE DESPRE UNDE 4.1. Generalităţi despre unde. Unda ca fenomen de propagare. Prin noţiunea de undă se înţelege propagarea unei perturbaţii dependente de timp într-un mediu. Propagarea are loc din aproape în aproape, cu viteză finită şi cu transport de energie. O altă definiţie (echivalentă) spune că prin undă se înţelege - de asemenea - mulţimea valorilor unei mărimi fizice caracteristice perturbaţiei în propagare, într-un domeniu dat. Din punct de vedere matematic undele sunt exprimate prin funcţii care depind atât de timp cât şi de alte variabile, cel mai frecvent fiind vorba de coordonatele spaţiale. Cele mai cunoscute tipuri de unde întâlnite în practică sunt : - undele elastice (perturbaţii mecanice în medii materiale) : de exemplu u = u(x, y, z, t) , unde "u" reprezintă elongaţia caracteristică oscilaţiei (vibraţiei) unei membrane elastice ; - undele electromagnetice (propagare în medii substanţiale sau în vid a perturbaţiilor electromagnetice) : de exemplu E (x,y,z,t) , unde E reprezintă intensitatea câmpului electric ; - undele magnetohidrodinamice (cu dublu caracter elastic şi electromagnetic) ; - undele termice : T(x,y,z,t) , T fiind temperatura unui punct din mediu, în cazul unui proces de conducţie termică ; - undele de Broglie (asociate microparticulelor). Atunci când criteriul după care se face clasificarea este matematic, se poate vorbi despre : unde scalare, unde vectoriale şi unde tensoriale. 164

UNDE ELASTICE

Embed Size (px)

Text of UNDE ELASTICE

NOIUNI GENERALE DESPRE UNDE4. NOTIUNI GENERALE DESPRE UNDE4.1. Generaliti despre unde. Unda ca fenomen de propagare.Prin noiunea de und se nelege propagarea unei perturbaiidependente de timp ntr-un mediu. Propagarea are loc din aproape n aproape, cu vitez finit i cu transport de energie.Oalt definiie (echivalent) spune c prin und se nelege - de asemenea - mulimea valorilor unei mrimi fizice caracteristice perturbaiei n propagare,ntr-un domeniu dat.Din punct de vedere matematic undele sunt exprimate prin funcii care depindatt detimpct i dealtevariabile, cel mai frecvent fiindvorbade coordonatele spaiale.Cele mai cunoscute tipuri de unde ntlnite n practic sunt :- undele elastice (perturbaii mecanice n medii materiale) : de exemplu u = u(x, y, z, t) , unde "u" reprezint elongaia caracteristic oscilaiei (vibraiei) unei membrane elastice ;- undele electromagnetice (propagare n medii substaniale sau n vid a perturbaiilorelectromagnetice):deexempluE(x,y,z,t), undeEreprezint intensitatea cmpului electric ;- undele magnetohidrodinamice (cu dublu caracter elastic i electromagnetic) ;- undele termice : T(x,y,z,t) , T fiind temperatura unui punct din mediu, n cazul unui proces de conducie termic ;- undele de Broglie (asociate microparticulelor).Atuncicndcriteriuldupcaresefaceclasificareaestematematic, se poate vorbi despre : unde scalare, unde vectoriale i unde tensoriale.Sursa undei este constituit de perturbaia iniial care genereaz unda.Observaie: n mecanic se introduce i se folosete conceptul ideal de surs punctiform.Sursele pot fi :- surse periodice (cazul ideal) ;- surse neperiodice (cazul real, deoarece nici o perturbaie nu dureaz un interval de timp infinit).Atunci cnd sursa de perturbaie nu este unic, putem defini :-surseliniare,pentrucareexistodistribuiecontinudesurse punctiforme de-a lungul unei curbe ;-sursesuperficiale, cazncareavemodistribuiecontinude surse punctiforme, distribuite uniform pe o suprafa dat.Propagareaperturbaiilorsepoatedescrieunitarcuoaceeai teorie matematic, indiferent denaturaacestora. Dinacest motiv, tratareageneral pornete de la definirea noiunii de funcie de und, (x,y,z,t), caracterul scalar sau vectorial al acesteia specificndu-se atunci cnd este cazul.164NOIUNI GENERALE DESPRE UNDEDependena funciei de und de timp respect condiiile (existente practic ntotdeauna) necesare pentru a o reprezenta printr-o integrala Fourier :+ d e ) ( a N ) t (t j(4.1)unde s-a artat c (vezi paragraful 3.5) : ) ( a = imaginea Fourier a funciei (t) ; N = factor de normare.Transformarea invers este (formula Meslin - Fourier) :( ) dt e ) t ( at j+ (4.2)Undele, ca perturbaii ce se propag printr-un anumit mediu, au proprieti influenatedecaracteristicileacestuia. Putemclasificamediilede propagare n funcie de mai multe criterii :a) dup aplicarea principiului suprapunerii :- medii liniare : unda rezultant prin compunerea mai multor unde este descris de funcia de und : ii) t , z , y , x ( = t) z, y, (x,- medii neliniare : condiia de mai sus nu este satisfcut ;b)dupcumproprietiledematerial(respectivvalorilemrimilorde material) sunt sau nu aceleai n orice punct al mediului :- medii omogene (teoretic infinite, practic delimitate de suprafee de separaie, pentru care proprietile de material prezint discontinuiti) ;- medii neomogene ;c) dup cum proprietile mediului variaz sau nu n raport cu direcia pe care se fac msurtorile :- medii anizotrope ;- medii izotroped)Dup cum viteza de propagare a undei depinde sau nu de frecvena acesteia :-mediidispersive(pentrucarevitezadepropagareaperturbaiei depinde de frecvena oscilaiei iniiale) ;- medii nedispersive (pentru care viteza de propagare este constant) ;e) dup cum unda i pstreaz (propagndu-se) energia iniial :- medii neabsorbante (conservative) ;-medii absorbante(dacnprocesul depropagareenergiaundei este cedat mediului sub form de cldur se spune c mediul este disipativ) ;Unmediuliniar, omogen, izotrop, nedispersivi neabsorbant esteun mediu ideal.165UNDE ELASTICEObservaie.Comportareaunui anumit mediuestejudecatobligatoriu prin prisma perturbaiei care se propag i - eventual - a caracteristicilor concretealeacesteia(frecvena). Deexempluaerul esteneabsorbant pentru sunete i absorbant pentruultrasunete. Alt exemplu: metaleleabsorbunde electromagnetice dar sunt medii neabsorbante pentru undele elastice.4.2. Ecuaia de propagare a undelor Dac ntr-unmediu elastic1(lichid, solid sau gazos) este provocat oscilaia lui ntr-un punct, atunci - ca urmare a interaciunilor dintre moleculele acestuia - oscilaia va ncepe s se propage de la o particul la alta, cu o vitez finit. La un moment dat toate moleculele mediului sunt n micare i - dac se face o fotografie - imaginea de ansamblu corespunde unei funcii sinusoidale (dependente de coordonat). Dat fiind faptul c fotografii efectuate la momente diferite de timp "arat" diferit, putem afirma c - per total - funcia sinusoidal depinde de timp i de coordonata spaial ; numimaceast funcieund. Atenie: moleculele mediului nu sunt transportate de und ; fiecare dintre ele oscileaz n jurul unei poziii proprii de echilibru.Pentru a deduce ecuaia de propagare a undelor elastice vom studia dou cazuri particulare.4.2.1. Propagarea undei elastice ntr-un lan de oscilatoriLanul de bile din figura de mai jos modeleaz destul de bine fenomenul apariiei i propagrii unor unde elastice ntr-un material (bilele reprezint echivalentul moleculelor/ atomilor/ particulelorngeneral, ntrecareexist condiionri reciproce - date de fore de legtur - asemntoare legturilor pe care le impun resorturile elastice).La momentul iniial lanul debile se afl n repaus ; distana dintre dou 1Un mediu este elastic atunci cnd asupra fiecrei particule din acel mediu acioneaz (poate aciona) o for de natur elastic.166xn-1 n n+1yn-1ynyn+1Bila n( )x 1 n n 11 y y k F +( )x 1 n n 21 y y k F x n x Poziie iniial (repaus)xn-1 n n+1yn-1ynyn+1Bila n( )x 1 n n 11 y y k F +( )x 1 n n 21 y y k F x n x Poziie oarecare (oscilaie)Figura 4.1NOIUNI GENERALE DESPRE UNDEbile succesive este notat cu x, astfel nct poziia bileincorespunde coordonatei : x n x Launmoment dat seacioneazdinexteriorasuprauneiadintrecele doubileplasatelacapetelelanului cuoforoarecare F, orientatde-a lungul axei Ox. Aceastforaexterioarscoateprimabildinpoziiaei de echilibru, ceea ce impune apariia unei fore elastice ; existena legturilor face camicareaprimei bilescoasedinechilibrusantrenezemicari nlan ale tuturor celorlalte bile, ntre momentul primei oscilaii a primei bile i momentul primei oscilaii a bilei cu numrul "n" existnd un decalaj n timp (o ntrziere). (Sub aciunea forelor elastice - mai devreme sau mai trziu - fiecare dintre bile va efectua o micare oscilatorie n jurul unei poziii proprii de referin. Fenomenul care are loc, respectiv propagarea perturbaiei iniiale, s-a artat c poartnumeledeund. Mai mult chiar: deoareceperturbaiileseproducpe aceeai direcie cu cea pe care a acionat fora exterioar, putem vorbi despre unde longitudinale).Micrile relative (abaterile de la poziia de echilibru / elongaiile) depind de locul pe care l ocup fiecare bil n parte n raport cu originea aleas ; astfel, pentru bila "n" elongaia yn va depinde de x (= n x).Deoarece lanul de oscilatori modeleaz un mediu elastic omogen, putem consideracparticuleleauaceeai mas"m"iarlegturiledintreelesunt de aceeai factur (acelai "k"). Ecuaia de micare a bilei (oscilatorului) cu numrul "n" este (vezi figura 4.1) :( ) ( ) 0 y y k y y k y m1 n n 1 n n n + + + (4.3)Legea lui Hooke, valabil pentru un mediu elastic, spune c putem defini constanta de elasticitate "k" prin intermediul altor mrimi, respectiv :xS Ek undeEestemodulul deelasticitatelongitudinal (modulul lui Young), Seste seciunea transversal iar x este lungimea iniial a resortului.Dac se fac nlocuirile de rigoare n ecuaia (4.3) rezult :( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] [ ] 0 t , x x y t , x y t , x y t , x x yx mS Et) t , x ( y2n2 + (4.4)Dac numrul de bile devine foarte mare (tinde ctre infinit) problema comportrii bilei "n" se transform n studiul comportrii particulei "n" a unui mediuelastic, pentrucaresecunoatedensitateademas(masaunitii de volum, notat cu ) ; n acele condiii se poate scrie : x S V m . Ecuaia (4.4) devine :( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ]0xt , x x y t , x yxt , x y t , x x yx SS Et) t , x ( y2n2]]]

+ 167UNDE ELASTICEsau la limit, atunci cnd x 0:0x) t , x ( y Et) t , x ( y 0x) t , x ( yxEt) t , x ( y222222

,`

.| (4.5)Dac se noteaz :Ev, ecuaia (4.5) se mai poate scrie :0tyv1xy222 22 (4.6)i poart numele de ecuaia de propagare a undelor elastice logitudinale.Cuajutorulanalizei dimensionaleseobservcnotaiavdesemneaz ceva avnd dimensiunea unei viteze :smsmm / kgm / NEv2232. I . S. I . S. I . S (4.7)Estevorba (dup cumvomvedea i mai trziu) chiar de viteza de propagare a undei elastice, care se exprim ntotdeauna sub forma unei rdcini ptrate dintr-un parametru care definete rezistena mediului la deformaie (E) i un parametru care definete ineria mediului (masa / respectiv densitatea masic).Observaie.In timpul procesului de propagare a oscilaiilor de la particul laparticul (princontiguitate =dinaproape naproape) se poate ntmpla ca la un moment dat unele dintre ele s fie mai apropiate, iar altele s fie mai distanate, aa cum se vede n figura 4.2.Acest lucru nseamn c - n cazul unei unde longitudinale - propagarea este nsoit de o modificare local (i dependent de timp) a densitii mediului ; densitatea unei poriuni oarecare ia o mulime de valori i - conform definiiei iniiale poate fi tratat ca o und.Propagarea undelor longitudinale ntr-unmediudat nuimpune - cu excepiamaterialitiimediului-niciocondiiesuplimentar. Prinurmareea poate avea loc n medii solide, n medii lichide sau n medii gazoase.168Figura 4.2A)B)NOIUNI GENERALE DESPRE UNDECa exemplu : sunetul este o und longitudinal care se propag prin aer.Sursa sunetului este coarda vocal. Prin urmare, vom studia ca pe cel de-al doilea caz interesant, comportarea unei coarde elastice.4.2.2. Studiul comportrii unei coarde vibrante (elastice).Coarda vibrant este un mediu elastic a crui lungime depete consistent celelalte dimensiuni.Ipotezele pe care se bazeaz calculul ce urmeaz sunt urmtoarele :- se consider c greutatea coardei este mult mai mic dect fora care acioneaz asupra ei ;- deplasrile fa de poziia de echilibru sunt suficient de mici, astfel nct nexpresii nuintervindect elei derivatele lor de ordinul nti;- la echilibru direcia coardei coincide cu axa Ox, punctele ei ocupnd poziii pentru care coordonata [ ] , 0 x .Prin urmare, n repaus direcia coardei coincide cu axa Ox.Dac se acioneaz asupra coardei cu o for exterioar aplicat transversal, aceasta iese dinpoziia de echilibru, deformndu-se (asemenea corzii unei viori, cnd asupra ei acioneaz arcuul). Deoarece direcia de aplicare a forei conduce la deformri perpendiculare n raport cu poziia iniial a corzii, vom vorbi n acest caz despre o und transversal.Fie elementul de coard "dx" din figura 4.3, care este deplasat fa de poziia sa de echilibru cu distana u = u(x, t). La capetele elementului acioneaz foreledetensiune( ) x T,respectiv( ) dx x T +.Subaciunearezultanteiacestor fore elementul de coard "dx" va executa oscilaii n jurul poziiei de echilibru, oscilaii care (datorit elasticitii mediului) se propag n lungul corzii.Detaliul din figur ne permite s afirmm c :( )xudx) x ( u dx x utg + (derivat parial deoarece mrimea "u" depinde i de timp !).Pentru unghiuri mici :xutg sin Componentele forelor, obinute prin proiecia pe axa Oy, sunt :- pentru ) x ( T:x x" " punctul inxu) x ( Txu) x ( T ) x ( sin ) x ( T

,`

.|

,`

.| 169( ) dx x T +( ) x T( ) dx x + ( ) x ) t , x ( ux x+dxxyOdxu(x+dx)-u(x)DetaliuFigura 4.3UNDE ELASTICE- pentru ( ) dx x T + :dx x dx" x " punctul inxu) dx x ( Txu) dx x ( T ) dx x ( sin ) dx x ( T+ +

,`

.| +

,`

.| + + +Rezultanta proieciilor celor dou fore pe axa Oy are expresia :++

,`

.|

,`

.|

,`

.|dx xx x dx xdxxuTx xuTxuTProieciile forelor pe axa Ox, n condiiile n care :( ) 1 dx x cos ) x ( cos + conduc la rezultanta : ( ) ( ) ( ) ( ) dx x T ) x ( T dx x cos dx x T x cos ) x ( T Rx+ + + + + care - ns - trebuie s fie nul. Prin urmare :( ) ( ) T dx x T x Tnotatie + = const.Dac masa elementului de coard este notat cu (fiind - n fapt - masa unitii delungimeacorzii, constantatunci cndcoardaesteomogen), se observ c masa corespunztoare lungimii "dx" este : dm = dx.Cu aceste notaii i cu observaiile efectuate anterior, legea fundamental a dinamicii capt forma : + + + +

,`

.|

,`

.|dx xx22 dx xxudx xxdx xxtudx a dm dxxuxT dxxuTxde unde rezult :222222tuT xu tuxuxT

,`

.|Dacse introduce notaia:Tvatunci ecuaia de maisus capt forma :222 22tuv1xu (4.8)i poart numele de ecuaia coardei vibrante. Ecuaia (4.8) are aceeai form cu ecuaia (4.6).Mrimea notat cu"v" are i nacest caz dimensiunea unei viteze (tensiuneaTesteoforaelasticderevenire, deci estespecificrezistenei mediului la deformaii, n timp ce , ca mas a unitii de lungime a corzii, este o msur a ineriei).Trebuieremarcat faptul cdacexprimm (adicmasacoardei de lungime unitate) ca produs ntre densitatea masic i aria seciunii 170NOIUNI GENERALE DESPRE UNDEtransversaleSacoardei, iar raportulS / Tcaunefort unitar, rezultpentru viteza de propagare a undei elastice transversale expresia :Gvunde G este modulul de elasticitate corespunztor unei deformri perpendiculare pe direcia de propagare. In concluzie viteza de propagare a tuturor tipurilor de unde elastice ntr-un material depinde de proprietile elastice ale acestuia.Observaie.Existena obligatorie a unor fore elastice de revenire reprezint un criteriu restrictiv pentru mediile n care se poate propaga o und elastic transversal ; acestea pot fi doar substane solide i suprafee ale lichidelor. In aer (ca i n orice mediu gazos) unda elastic transversal nu se propag.Dac evoluia coardei vibrante este studiat n raport cu un sistem de axe tridimensional, atunci ecuaia (4.8) capt forma general :( ) ( ) ( ) ( )0tt , z , y , x uv1zt , z , y , x uyt , z , y , x uxt , z , y , x u222 222222 ++(4.9)Mrimea u(x, y, z, t) joac (n acest caz particular studiat) rolul funciei de und ( ) t , z , y , x ; putem generaliza ecuaia de mai sus sub forma :0t v1z y x222 222222 + + (4.10)Ecuaia (4.10) poart numele deecuaia general de propagare a undelor.Ea este o ecuaie diferenial de ordinul doi cu derivate pariale, de tip hiperbolic; vesteoconstantdematerial, carearedimensiuneaunei viteze (vezi : analiza dimensional). De asemenea se poate observa invariana n raport cuschimbareasemnului timpului, ceeacenseamncproceseledescrisede aceast ecuaie sunt reversibile.Soluiaacestei ecuaii (formaexplicitafunciei) timp , punct ( )este determinat - ntotdeauna- de geometria i de condiiile de frontier ale problemei.4.3. Soluii ale ecuaiilor de propagare : tipuri de unde4.3.1. Unde sfericeSurselerealeauntotdeaunantinderefinit; ladistanemari desurse (distanemarinraportcudimensiunileacestora)elepot fi aproximatedrept fiind cuasipunctiforme, practic localizate ntr-un punct.Dac se consider c sursa este punctiform iar mediul n care are loc propagarea este omogen i izotrop, unda prezint simetrie sferic (altfel spus : funcia de und nu depinde de direcia de propagare ci numai de distana de la surs la punctul n care se evalueaz elongaia i de timp ): 171UNDE ELASTICE( ) sferice,timp coordonate r t r t ( , , , ) ( , )(4.11)Mrimealaplacian(operatorul lui Laplace) , exprimatncoordonate sferice (vezi paragraful 1.7.2./ 11) este : rrrrr, ,sinsinsin |.

`,

+ |.

`,

+

]]]1 1 122222i are forma particular (adaptat condiiilor impuse) : |.

`,

+ 1 22222rrrrrr rIn coordonate sferice ecuaia (4.10) devine :22 22222 2222 10 2 0rr rv t rrrv t+ + saur(4.12)Dac se face schimbarea de variabil : U = r , pentru care :UrrrUrr rrrrrr + + + +2222222se observ c ecuaia (4.12) devine : 22 22210Ur vUt (4.13)relaie cunoscut subdenumirea de ecuaie cuderivate pariale a undelor sferice. Soluia general , dat de dAlmbert2, este : vrt ' c gvrt c f U]]]

,`

.|+ +]]]

,`

.| (4.14)unde : c i c' sunt constante ;f i g sunt funcii arbitrare, determinate de condiiile la limit (asemenea constantelor de integrare).(Maniera ncare a fost dedus aceast soluie poate fi urmrit n problema rezolvat 1.)Mrimea : c trv t|.

`,

( , ) r t se numete faza undei.Analizm, pe rnd, fiecare termen al relaiei (4.14)a) vrt c f Up]]]

,`

.| (4.15.a)2 In anul 1747 Jean D'Alembert a publicat teoria coardelor vibrante i a dat o soluie general a ecuaiei difereniale cu derivate pariale corespunztoare.172NOIUNI GENERALE DESPRE UNDECondiia( , ) . r t const permiteidentificareaacelorsuprafeepecare fazaareoaceeai valoare;elesenumescsuprafeeechifazesausuprafeede und . Se observ c :( , ) . r t c trvconst |.

`,

v =drdt mrime ce reprezintviteza de faz(viteza de deplasare a suprafeelor echifaz).Observaie. Viteza de faz este una i aceeai cu mrimile notate cu "v" ncazul lanului deoscilatori/ respectivncazul coardei vibrante, eaavnd dimensiunea unei viteze i depinznd de proprietile (fizice) ale mediului. Ea nu depinde de intensitatea perturbaiei.La un moment de timp precizat t0 , condiia . const ) t , r (0 conduce la relaia r = const.; prin urmare suprafeele echifaze sunt sfere concentrice, cu centrul n surs.Mrimea rv reprezint timpul n care unda parcurge distana r de la surs la punctul de observaie , n timp ce mrimea ( )t are drept semnificaie ntrzierea pe care o are perturbaia n punctul de observaie n raport cu sursa.Explicaie :( )0sursap sursat f U ,0 r = valoarea mrimii care caracterizeaz perturbaia (oscilaia) la momentul t0 ;Lar 0perturbaiaajungenmomentul detimp + 0t ' t, unde v / r este timpul necesar propagrii. In acel moment i n acel punct Up este :( ) ( )sursap 0 0 pU t fvrvrt c fvr' t c f ' t , r U ]]]

,`

.| + ]]]

,`

.| ValoareaUpsursaesteatins n punctul rlamomentult > t0undele diverg(pleac)dinsurs, motivpentrucaresenumescundeprogresivesau unde directe.b) Cel de-al doilea termen al relaiei (4.14) este :

vrt ' c g Ur]]]

,`

.|+ (4.15.b)drdtv prin urmare undele converg ctre surs, numindu-se unde regresivesau unde inverse.173UNDE ELASTICE Deoarece am fcut schimbarea de variabila : U = r, obinem pentru funcia de und (soluie a ecuaiei undelor sferice (4.12)) expresia :( , ) ' r trf c trv rg c trv |.

`,

]]]+ +|.

`,

]]]1 1unda progr esiva(directa)unda regre siva(inversa)

(4.16)4.3.2. Unda plan. Unda armonic plan.Inciudaaparenelor, undaplannuestecevadiferitdeundasferic; dimpotriv, ea reprezint o simplificare / particularizare a undei sferice pentru distane mari fa de sursa punctiform. Presupunem un domeniu de form sferic, cu raza i centrul situat la distana rC de sursa S.Dorims aflmn punctul M lamomentul t, adic ( ) t , M.Precizm c :- S este sursa punctiform care genereaz unda sferic ;- seconsider >>Cr (unde este raza domeniului ).In domeniul raza de curbur a suprafeelor echifaze ( ) este cuprins ntre rc i rc + >> . In acest caz suprafeele pot fi aproximate prin familia de planuri paralele , tangente la suprafeele echifaze n punctele situate pe dreapta care unete S cu centrul domeniului . Direcia normal pe suprafeele echifaze este direcia de propagare a undei.Faza ntr-un punct M aflat n domeniul , la un moment de timp t, este definitexclusivdeabscisa aplanului echifaz pecareseaflapunctul M( ), msuratpeodirecienormalpeacesteplanuri.Pentruademonstra aceast afirmaie se poate recurge la urmtoarele observaii :) e c h i f a z p l a n u l u i a b s c i s a (. c o n s t r r:d o m e n i u l I n r r r rr r r r rcc cc c ' + + 174Front de unda sfericS = sursarCrMrDomeniul de raza()Planul (coord. )Figura 4.4NOIUNI GENERALE DESPRE UNDEPrin urmare :

vt c ) t , r ( ) t , M (

,`

.| ) t , (vt c f1) t , M ( ]]]

,`

.| (4.17)Observaii :a) Am tratat - evident - cazul undei progresive.b) Unda se numete plan deoarece suprafeele echifaze sunt plane.Unda armonic planreprezint o form concret a funciei de und , valabil n cazul n care aceasta depinde de o singur coordonat spaial. In aceste condiii :(folosim notaia n complex, care uureaz calculele ; altfel ar fi trebuit s scriem ( ) ( ) t , cos A t , ) adic :( ) , t A ejtv |.

`,

+

]]]0 (4.18.a)respectiv :( )]]]

+

,`

.| 0vt cos A t , (4.18.b)Semnul "-" corespunde undei progresive, n timp ce semnul "+" desemneaz unda regresiv.Observaii : Undaarmonicplanesteunconceptidealizat, nnaturneexistnd asemenea unde . Utilitatea folosirii ei este dat de faptul c (vezi paragraful 3.5) orice perturbaie, orict decomplicatar fi, poatefi reprezentatprinintermediul integralei Fourier, ca o sum de perturbaii elementare de forma :a e d a e dj t j t( ) ( ) (t) = N-+ propagarea fiecrei perturbaii elementare este descris de o und armonic. Forma exponenial a funciilor de und armonice uureaza calculele, iar reconstituireaundei originaleseface(ncazul liniaritii mediului) prin simpla superpoziie a undelor elementare. O serie de procese ondulatorii (elementare) ntlnite n practic pot fi descrise - ntr-o prim aproximaie - prin unde de forma : ]]]

+

,`

.| 0v- t cos A = t) , ( Re ) t , ( U4.3.2.1. Mrimi caracteristice undei armonice plane175( )( )( )0t , jvt t , undee A t , +

,`

.| UNDE ELASTICEIndefinireai discutareaproprietilor undei armoniceplaneintervin urmtoarele mrimi : A = amplitudinea undei ; deoarece : [ ]0r k t cos A * Re = Re + rezult inegalitatea :

'' A* R eR eAceea ce permite urmtoarea definiie : amplitudinea undei este valoarea maxim absolut a prii reale a funciei de und ; 0 = (0, 0) = faza iniial ; t = viteza de variaie a fazei, denumit i frecven ; fazei gradientul =r= k '+ regresive undei corespunde " "progresive undei corespunde "-"undeMrimea vectorialk se numete vector de und (tridimensional).Direcia de propagare este caracterizat de versorul 1.M (vezi figura 4.5) este punctul n care dorim s stabilim expresia undei plane.Produsul :r lui proiectia este r 1 pe direcia de propagare (folosit pentru a determina abscisa planului echifaz ) .Deoarece : 1 1 + + kcos cos cos 1 1 1x y zobinem : ( ) kr rrv 't + + t 11 k =v1 1 1x y zc o s c o s c o s(4.19)Din relaia (4.19) se observ c modulul vectorului de und este :( )kvk k kx y z + +2 2 2 unde (prin identificare) avem :176zxyr1Mdirecia depropagareFigura 4.5NOIUNI GENERALE DESPRE UNDE k;k;kx y z v v vcos cos cosDac se folosete vectorul de und k, se poate obine o alt exprimare (echivalent) pentru unda armonic plan :( )( ) [ ]00k0r k t jvr 1t jvt je A e A e A t , + ]]]]

+

,`

.| ]]]

+ ,`

.| (4.18.c)Observaie important.Expresia (4.18.c) permite separarea variabilelor temporale i respectiv spaiale : ( ) ( ) ( )t j j r k j t je r e e e A t , r t ,0 (4.18.d)Dacsenlocuieterelaia(4.18.d)necuaiageneraldepropagarea undelor (4.10) , se observ c aceasta din urm capt forma :( )( ) ( ) 0te rv1r e2t j 22t j ( ) ( )( ) ( )' + + 0 r k rsau0 rvr 222 (4.20)Relaia (4.20) esteecuaia atemporal a undelor (ecuaie de tip Helmholtz).Dat fiindfaptul cfunciadeund(exprimatprinintermediul unei exponeniale, respectival unei funcii trigonometrice) este periodic, putem dicuta n amnunt despre periodicitate, n contextul n care discuia implic cele dou variabile (coordonat i timp) :Perioada T, care defineteperiodicitatea undei n raport cu variabila t (timp) se obine punnd condiia : + 2= T , n 2 nTacelasi) nT t ( ) t ( (4.21.a)Mrimea : 12 T se numete frecven. Ea reprezint numrul de perioade din unitatea de timp.(Latrecereaunei undeelasticedintr-unmediuntr-altul frecvenaei rmne nemodificat : frecvena este o mrime invariant !)Lungimeadeundestedistanaparcursdesuprafaadeundn intervalul de timp de o perioad. In fapt, aceast mrime exprim periodicitatea funciei de und n raport cu variabila : + tacelasi) n ( ) ( 177UNDE ELASTICET v v2= , n 2vn (4.21.b)(= lungimea de und = drumul parcurs de planul de faz constant n timp de o perioad)Trecereaunei undeelasticedintr-unmediuntr-altul este nsoitde modificarea lungimii de und.Relaiadintrelungimeadeundi frecven: 1varatc- n condiiile n care este un invariant - modificarea lungimii de und impune obligatoriu modificarea vitezei de faz (ceea ce era de ateptat, innd cont de expresiile - dependente de natura mediului - obinute n paragraful 4.2 pentru "v").4.3.2.2. Problem rezolvat (justificare a soluiei propuse de dAlembert)Se consider o und elastic plan care se propag de-a lungul axei Ox. Ecuaia de propagare corespunztoare este :222 22tuv1xu S se arate c aceast ecuaie admite soluii de tipul : ) c x t ( f ) t , x ( u t RezolvarePentru a gsi soluii ale ecuaiei de mai sus, se observ c - dac se face schimbarea de variabil (valabil pentru orice ecuaie de acelai tip cu cea de sus) :) , ( u ) t , x ( uv / x tv / x t '+

se obine :]]]

+]]]

,`

.|

,`

.| ]]]

]]]

+]]]

]]]

,`

.|+ ,`

.|]]]

+ ,`

.| E2E Ev1=E E E Ev1 F Fv1xFxFv1= F cu m a notu ux v1v1 uv1 ux xuxux xux xu

i22i22i22i i i i2 222]]]

++]]]

+]]]

+]]]

+

,`

.| u2u u

tGtGGu ut tutut tut tu

2222222Ecuaia de propagare devine : + + + uv12uv1 uv1 uv12uv1 uv122 222 22222 222 222178NOIUNI GENERALE DESPRE UNDE'

,`

.|

,`

.| de tindependen ) ( g' 0 ) ( ' gude depinde nu) ( f' 0 ) ( ' fu 0 u

2Prinurmare integrala general este :) ( f ) ( g ) , ( u + (soluie general dat de dAlembert) sau :( ) ( ) ) a (invers a regresiv unda a progresiv undavxt c fvxt c g t , x u , u]]]

,`

.|+ +]]]

,`

.| Mrimile f (...) i g(...) sunt - cum am mai precizat - funcii arbitrare, determinate de condiii particulare (la limit) impuse undei, iar mrimea v este - obligatoriu - o constant. O expresie particular este, n acest caz, unda armonic plan :( ) ( , ) t A e A e A ejtvjtrvj t k rk |.

`,

]]] |.

`,

]]] 14.4. Generarea undelor (mecanice)In paragraful 3.2.1. s-a artat c micarea oscilatorie armonic real este o micare amortizat. Pierderea de energie, exprimat prin relaia :E t E e ej t( )/ 020 sereflectnamortizareaoscilaiilor, implicit nschimbareafrecvenei. Prin urmare, n realitate, micarea amortizat nu mai este armonic.Pe de alt parte, orice semnal, orict de complicat ar fi, poate fi exprimat prin intermediul unei integrale Fourier (paragraful 3.5).Dac se folosete transformarea Fourier invers (vezi relaia 4.1), analizndu-seconsecinelenceeaceprivetespectrul defrecveneemise, se constatcundageneratdeunoscilator real constdintr-osuprapunerede unde armonice de pulsaie , unde :oscilaiaprimarpoatefi consideratcaosuprapuneredeoscilaii, fiecare pe frecvena ei (figura 4.6) ; fiecare din aceste oscilaii are o durat finit n timp.Mrimea lui are implicaii asupra valorii lui .179IMax 00 +/ 20- / 2IMax / eFigura 4.6UNDE ELASTICEReinem ideea oscilaiei de durat finit, pe care o vom ntlni i n cazul undelor electromagnetice (vezi volumul II).4.5. Energia undei mecanice : mrimi caracteristiceDeoarece orice und care se propag ntr-un mediu este echivalent cu unnumr foartemaredeoscilatori deplasai fadepoziialor normalde echilibru, putem vorbi despre energia undei ca un sumum de energii cinetice i poteniale ale tuturor oscilatorilor implicai. Din acest motiv se definete urmtoarea mrime :dVdEw numit densitate de volum a energiei(energia mecanic total transferat de und n unitatea de volum).Aceast mrime fizic este funcie de punct i de timp, motiv pentru care vom prefera - n cele ce urmeaz - s discutm numai despre valoarea medie a densitii de volum a energiei n timp de o perioad : T0dt t) , punct ( wT1wFie"n"numrul de oscilatori din unitatea de voluma mediului considerat(mediuideal/deciconservativ). Deoareceenergiamecanictotal medie a unui singur oscilator are expresia (constant) :202mA21E E (vezi paragraful 3.1.1.)iar :m n unde este densitateamasic(masa unitiide volum,egal cu numrul de oscilatori din unitatea de volum nmulit cu masa unui oscilator), valoarea medie a densitii de volum a energiei se poate scrie :202 202 202A21An 21n mA21n E n w (4.27)In rezultatul obinut se observ c densitatea medie de volum a energiei depinde de densitatea mediului n care se propag unda, de ptratul amplitudinii (elongaiei maxime) i de ptratul frecvenei.Propagarea unei unde elastice fiind un fenomen de transport al energiei ntr-unmediudatdari peoanumitdirecie, impunedefinireauneimrimi vectoriale, denumite densitate a fluxului de energie (sau vectorul lui Umov). Prin definiie expresia acestei noi mrimi este :ggnvvdtdEdAdJ

,`

.|(4.28.a)unde :180dAngvdt vgFigura 4.7NOIUNI GENERALE DESPRE UNDE An este aria perpendicular pe direcia de propagare ; gv este viteza de grup (respectiv viteza de propagare a energiei).Relaia (4.28.a) arat c vectorul lui Umov caracterizeaz energia transferat n unitatea de timp prin unitatea de suprafa normal la direcia de propagare a undei.Deoarece (vezi figura 4.7) :dt v dA dVg n se observ c :gv w J (4.28.b)deci :g202v A21J (4.28.c)Valoareamedieafluxului deenergientimpdeoperioad(4.28.c) depinde de :- proprietile sursei (respectiv A i0) ;- proprietile mediului elastic (i vg ).Dac se introduce mrimea :gv Z care reflect caracteristicile mediului, numitimpedan acustic a mediului, atunci se poate scrie :202A Z21J (4.28.d)Observaie important. Dup unii autori, valoarea medie a vectorului lui Umov, respectiv mrimea :gv w J (4.29.a)se noteaz cuI i reprezint intensitatea undei elastice. Discutnd din punct de vedere strict fizic (nu matematic !) ea definete maniera de transfer a energiei de la surs la mediu. Unitatea de msur corespunztoare este 2 2mWs mJ.Dup ali autori (vezi G. Moisil) intensitatea undei (n general, nu numai a undei elastice !) este definit prin relaia :2A * I (4.29.b)care "dezleag" caracteristicile undelor de mediul n care are loc propagarea. In acest caz unitatea de msur este complet diferit (m2).Indiferent care dintre cele dou definiii este luat n calcul, se observ c : * Aamplitudinea undei este o mrime accesibil msurrii, proporional cu energia undei (vezi 4.27) i invariantnraport cuoricetransformareafazei undei 181UNDE ELASTICE(4.29.b) / proprietate care poart numele de invarian de etalon de spea a II-a (dup nomenclatura introdus de ctre fizicianul Wolfgang Pauli).4.6. Fenomene caracteristice propagrii undelor (elastice)In cele ce urmeaz vom trata numai cteva dintre fenomenele care pot s apar atunci cnd una sau mai multe unde elastice ntlnesc neomogeniti ale mediului (reflexiai refracia), medii cuproprietideosebite(absorbia), sau interacioneaz ntre ele(interferena staionar sau nestaionar)3. 4.6.1. Reflexia i refracia undelor scalareAtunci cndoundelastic (undincident) ajungelasuprafaade separaie a dou medii elastice omogene, izotrope, nedispersive i neabsorbante (deci medii ideale) au loc dou fenomene :-reflexia:ntoarcereaparialaundeinmediulncares-apropagat pn n acel moment (und reflectat) ;- refracia : trecerea (tot parial) a undei dintr-un mediu n cellalt (und transmis).I. In primul mediu exist und incident i und reflectat. Deoarece s-a artat c viteza de faz depinde de proprietile fizice ale mediului, n acelai mediu avem aceeai vitez de faz pentru ambele unde nominalizate mai sus ; fie aceast vitez de faz v1 .Expresia undei incidente (plane) este :

,`

.| r 1v1t ji ii1ie Aundeieste frecvena undei incidente, iar Ai este amplitudinea acesteia.Unda reflectat are expresia :

,`

.| r 1v1t jr rr1re AII.In cel de-al doilea mediu viteza de faz corespunztoare este v2iar expresia undei refractate este :

,`

.| r 1v1t jt tt2te AIn figura 4.8 versorii n1 i i1 definesc (determin) planul de inciden.Condiiadecontinuitateafunciei deundpesuprafaadeseparaie dintre cele dou medii este :3 Asupra acestui subiect se va reveni n capitolul referitor la electromagnetism, unde vor fi tratate n detaliu mult mai multe aspecte care - deocamdat - vor fi trecute cu vederea.182y()rrOO'i1r1n1t1'xFigura 4.8NOIUNI GENERALE DESPRE UNDE( ) ( ) + t r i (4.29)adic :

,`

.|

,`

.|

,`

.| + 2tt1rr1iivr 1t jtvr 1t jrvr 1t jie A e A e A(4.30)unde raza vectoarer stabilete poziia planului ( ) n raport cu un sistem de referin arbitrar ales (pentru care observatorul se afl n originea sistemului de axe : ca exemplu punctul "O" i - n egal msur - punctul "O'").Condiia de continuitate (4.30) trebuie ndeplinit pentrut (oricare moment de timp) i n orice punct al planului ( ) : r; prin urmare apar dou seturi de relaii distincte : relaii ntre faze i relaii ntre amplitudini.A. Relaii ntre fazeCondiiadecontinuitateafunciei deundpesuprafaadeseparaie (relaia 4.30) impune egalitatea exponenilor, adic :

,`

.|

,`

.|

,`

.| 2tt1rr1iivr 1tvr 1tvr 1tceea ce nseamn : t r i , cu alte cuvinte frecvena undei este invariant n raport cu procesele de refracie - reflexie, i : r 1vvr 1 r 1t21r iPentru a vedea ce semnificaie are aceast ultim condiie, alegem dou cazuri particulare.a)Fie raza vectoarez1 r, undez1este versorul axei Oz, perpendicular pe axele Ox, Oy - aa cum apar ele n figura 4.13. Deoarece planul de inciden este planul definit de versorii i n1 , 1 , se observ c versorul z1 este perpendicular pe planul de inciden, deci :0 1 1 1 10 1 1z t z r z i Concluzia de mai sus nseamn, n fapt, c toi versorii :t r i1 , 1 , 1 sunt coplanari n planul de inciden.b)Dac raza vectoare y1 r (versorul axei Oy), atunci (datorit semnificaiei produsului scalar) : '

,`

.|

,`

.|

,`

.| s i nvv' s i n s i ns i n2c o s 1 1' s i n '2c o s 1 1s i n2c o s 1 121y ty ry i (4.31)Relaia (4.31) conduce la dou concluzii :' ' sin sin (4.32)183UNDE ELASTICE2121Nvvsinsin (4.33)Relaia (4.32) poart numele delegea reflexieiiar relaia (4.33) reprezintlegearefracieii a fost stabilit experimental dectre Snellius (Willebrord van Roijen Snell / fizician i matematician danez, 1621).Mrimea :2121vvN poart numele de indice de refracie relativ al mediilor (al mediului "2" fa de mediul "1").B. Relaii ntre amplitudiniPrima relaie evident ntre amplitudini este :t r iA A A +(4.34)Deoarece mrimile Ar i At sunt necunoscute, apare evident faptul c, pe lng relaia (4.34), ar mai fi necesar o relaie.Sedefinetemrimeavectorial:r , asociatfiecreifuncii scalare .Cea de-a doua condiie de continuitate pentru amplitudini impune continuitateacomponentei normaleavectoruluipesuprafaadeseparaie ( ), adic :( ) ( )

,`

.| ,`

.| + + nt2 nr1 ni1n t n r n i1r1r1r 1 1 1(4.35)Deoarece relaiile (4.35) implic egalitatea tuturor exponenilor pe suprafaa ( ), rmne pentru amplitudini condiia :( ) ( )n t t22n r r n i i111 1 Av1 1 A 1 1 Av + Din figura (4.13) se observ c :t1 12 2r in tn rn iAc o sc o sv /v /A Ac o s 1 1c o s 1 1c o s 1 1 ' (4.36)Introducem mrimea vZ , numit impedan a mediului (mrime de material, ntlnitdejandiscuiadespremodululvectoruluiUmov, undes-a definit v Z ). Cu aceast mrime relaia (4.36) devine :t12r iAcoscosZZA A (4.37)184NOIUNI GENERALE DESPRE UNDERelaiile (4.34) i (4.37) poart numele de formulele lui Fresnel pentru undascalar. Deoareceamplitudineaundei incidenteseconsidercunoscut, celedouamplitudini necunoscuterezult(drept consecinaformulelor lui Fresnel) :i2 11t0i2 11ti2 12 1r0i2 12 1rAZ ZZ 2AAcos Z cos Zcos Z 2AAZ ZZ ZAAcos Z cos Zcos Z cos ZA+ + + + Observaii. In funcie de "jocul" dintre mrimile celor dou impedane de mediu, se constat c :a)atunci cnd Z1>> Z2se observ c Ar Ai; dac Z1Z2(mediul reflectant estemai puindensdect mediul iniial), atunci sgnAr=sgnAi(unde"sgn"desemneazsemnul - pozitivsau negativ - al unei mrimi) ; egalitatea de semne spune c reflexia se face n acest caz fr schimbare de semn, deci fr pierdere de faz ;c) dac Z1 < Z2 (mediul reflectant e mai dens dect mediul iniial), atunci sgnAr = -sgnAi , deci are loc o reflexie cu schimbare de semn, deci cu pierdere de faz.Caz particular. Reflexia total.Relaia :

sinvvsin12conduce la concluzia c, atunci cnd 1 2v v >: > > sin sin (4.38)Inegalitatea (4.38) conduce la concluzia c exist un unghi de inciden L pentru care 1 sin deci ,2 .185(1)(2)(3)(3')(1')LFigura 4.9UNDE ELASTICEPentru1 sinvv12> unghiul iavalori imaginare. Fenomenul poart numele de reflexie total i are drept consecine urmtoarele afirmaii :1.Unda transmisintr n cel de-al doilea mediu numai peodistan foarte mic, de ordinul lungimii de und, amortizndu-se rapid.2. Intensitatea undei reflectate este egal cu intensitatea undei incidente. Demonstraie la afirmaia 1.Unda transmis are expresia :r 1vjt jt tt2e e A Neocupmndetaliudeprodusul scalar : + sin y cos x r 1t (proiecia luir pe direcia t1, vezi figura 4.10).Dar :1 sinvvj sinvv1 sin 1 cos212212 2

,`

.| t

,`

.| t t 2222kv de unde se observ c : +

,`

.| t sinvy1 sinvv 2jx r 1v12122t2Notm :) y (2xj P r 1v s i n yvP 1 s i nvv42t21212 +t '

,`

.| De aici rezult :( ) t t j 2xPt te e A2186xy cos x sin yrt1Figura 4.10NOIUNI GENERALE DESPRE UNDESeobservcsemnul"+"dinrelaiademaisusnuestejustificatdin punct de vedere fizic (dac x atunci t ). Prin urmare, dac se are n vedere numai semnul "-" i se calculeaz intensitatea undei transmise (cu formula * I), rezult c :2xP2t t*t te A I Dac2xcrete, atunci intensitatea undei transmise scade exponenial, tinznd rapid ctre zero. Demonstraia celei de-a doua afirmaiiRaportul :i2i r*r rj 2i*rj 2i rj 2j 2 2j 2 22122 12122 1irI A A A I e A A ,e A Aee Q Me Q MjQ MjQ M1 sinvvjZ cos Z1 sinvvjZ cos ZAA + ++

,`

.|

,`

.| + deci intensitatea undei reflectate este egal cu intensitatea undei incidente.Suplimentar fa de toate noiunile i mrimile introduse i utilizate pn acum, n studiul fenomenelor de reflexie - refracie se utilizeaz frecvent i alte mrimi importante, cum ar fi :- factorul de reflexie (reflectana) : 2i2rirAAIIR - factorul de transmisie (transmitana) : 2i2titAAIIT Se observ c : R+T = 1.4.6.2. Interferena undelor scalare (elastice)Prin interferen se nelege fenomenul de suprapunere a unor unde (care ndeplinesc anumite condiii) n acelai punct. Discutm cazul interferenei unor unde scalare, care se propag ntr-un mediu ideal. Fiecaredintreceledousaumai multeundescalaresunt soluii ale ecuaiei generale de propagare a undelor (relaia 4.10), respectiv :0t v1z y x222 222222 + + Dat fiind faptul c un mediu ideal este - totodat - un mediu liniar, dac ecuaia (4.10) are soluiile 1 , 2 , 3 ....n , atunci i funcia de und avnd expresia :187UNDE ELASTICE n1 ii(4.39)este la rndul ei o soluie a ecuaiei de propagare.In aceste condiii, fie situaia exemplificat n figura 4.11, unde se pune problemace se petrece n punctul M.Pentruadesfura uncalcul adecvat ncondiii minime de stress matematic, vom recurge la cteva ipoteze simplificatoare :cele dou unde care dau un fenomen de interferen n punctul M au aceeai frecven ;distanele1i2sunt considerate a fi foarte mari, mult mai mari dect distanadintreceledousurse(adic >> 2 1,), astfel nctpeun domeniu restrns cele dou unde pot fi considerate unde armonice plane.Prin urmare, fie expresiile corespunztoare :( )( ) ( ) t k t j2 2k t j1 121e Ae A + unde mrimea (t) reprezint diferena ntre fazele iniiale ale celor dou unde (presupus a fi dependent de timp).Conformproprietii de liniaritate a mediului, unda rezultant are expresia :( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]t k j2jk1t j t k t j2k t j12 1 2 1e A e A e e A e A t , M + + + Amplitudinea ei poate fi stabilit - aa cum am vzut n cazul compunerii oscilaiilor - folosind calculul n complex simplificat :( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]( ) [ ] t k cos A A 2 A A e A e A e e A e A e * A2 12221t k j2jk1t j t k j2jk1t j 22 1 2 1 + + + + + + + (4.40)unde desemneaz diferena de drum. Prin urmare :( )2 1A , A , A A Se observ existena urmtoarelor situaii particulare : ( )2t - kcos 2A AA A A2 1 ( )2 1 maxA A A A) N (mm 2 t k + ( ) ( )2 1 minA A A A) N (m1 m 2 t k + 4.6.2.1. Interferena staionar188M12S1S2Figura 4.11NOIUNI GENERALE DESPRE UNDEAtunci cnddiferena dintrefazeleiniialeale celor dou undeeste constant :( ) . const t se spune c cele dou surse sunt coerente.Prin unde coerente se neleg dou (sau mai multe) unde care au aceeai frecven iar diferena dintre fazele lor este invariabil (constant) n timp.In cazul (mai simplu) n care :A1 = A2 = A2kcos A 4 A 2 2 2 (4.42)sepot ntlni (pentruanumitesituaii speciale, corespunztoareunor puncte particulare din spaiu) egalitile:( ) 0 A IN m cu 21 m 22kA 4 A IN m cu 2m 22k2min min2 2M M + Atunci cnddiferenadefazestenul( =0) celedoucazuri / condiii de mai sus capt forma simplificat :( ) ( ) ) I (pentru 21 2m21 m 222) I (pentru 22m m2m 222minM+ + Se observ din relaiile de mai sus c ecuaiile corespunztoare punctelor de maxim pot fi scrise explicit :......... ..........201 21 21 2 reprezentnd, din punct de vedere matematic, o familiedehiperboloizi cudoupnze, avnd focarele n cele dou surse S1i S2. Imaginea franjelor de interferen corespunztoare este indicat n figura 4.12.Observaie.Atunci cnd2 locul maximelor i al minimelor se inverseaz.4.6.2.2. Unde staionare pe o singur direcieAcest caz particular de unde staionare se obine ca rezultat al interferenei a dou unde plane 189S1S2Planul ()Franje de interferentaFigura 4.12NMx x1Unda directa (unda incidenta)UndareflectataFigura 4.13UNDE ELASTICEde amplitudini i frecvene egale, care se propag n sensuri contrare pe aceeai dreapt suport (direcie).Rezolvarea general a unei asemenea probleme pornete de la observaia c avem de a face cu o interferen staionar pentru care una dintre unde (cea reflectat) preia proprieti puse n eviden la studiul reflexiei. Astfel, n timp ce expresia undei incidente este :( )( )1kx - t j1 ie A t , x pentru unda reflectat trebuie folosit relaia :( )( ) [ ] + + x k - t j1 re A t , xunde :1x 2 x + iar faza " " introdus suplimentar ine cont de faptul c - n funcie de relaia dintreimpedaneledemediuZ1i Z2- reflexiasepoateproducecu/ fr schimbare de semn.ImpedanaZ1caracterizeazmediul ncarearelocinterferenacelor dou unde n timp ce impedana Z2caracterizeaz mediul ce produce reflexia (respectiv caracteristica de material a punctului M, vezi figura 4.18).Reamintim c la reflexie s-a artat c putem avea dou situaii diferite :a)Z1> Z2(primul mediu este mai dens dect cel de-al doilea), caz n care reflexia are loc fr schimbare de semn, deci fr apariia unei faze suplimentare n expresia undei reflectate ;b) Z1 < Z2 (cel de-al doilea mediu, cruia i aparine punctul M este mai densdect mediul ncarestudieminterferenacelordouunde), cazncare apare o modificare a fazei undei reflectate cu t .Inacestecondiii rezultatul interferenei celordouundeareexpresia general :( ) ( ) ( )( )t j 1 11 r 1 i 1 reze2x x 2 kcos A 2 t , x t , x t , x + Ne vomconcentra atenia asupra amplitudinii, ntruct dependena armonic de timp nu aduce nimic nou.Se observ c :( )

,`

.|

,`

.| 2x2cos2kx cos2x 2 kcos1i prin urmare amplitudinea unde rezultante depinde de distana dintre punctul M i punctul curent n care se face evaluarea elongaiei rezultante dup relaia :

,`

.| 2kx cos A 2 ArezDac :a) Z1 > Z2 = 0 , deci kx cos A 2 Arez Atunci cnd x = 0 (n punctul M) se observ c : Arez = 2A = amplitudine maxim.190NOIUNI GENERALE DESPRE UNDEPunctele n care amplitudinea este maxim se numescventrei corespund condiiei :1 x2cos kx cosM Mceea ce implic : t t n cu2nxn x2(n)M) n (MDistana dintre dou ventre succesive este :( ) ( )( )2 2n21 n x xnM1 nM + +Punctele n care amplitudinea este minim corespund condiiei :( ) 0 A 0 kx cosrez min i - din punct de vedere trigonometric - nseamn :( )( )( )( )41 n 2x 21 n 2 x2nminnmin + t + t Punctele corespunztoare se numesc noduri.Se observ c :( ) ( )( ) ( )2 41 n 241 2 n 2 x xnmin1 nmin + + + +deci ntotdeauna-ntredounoduri succesive-distanaestedejumtatede lungime de und (numit semiund).Distana dintre un nod i cel mai apropiat ventru este :( )( )4 2n41 n 2 x xnM) n (min + deci - practic - succesiunea nodurilor i a ventrelor este cea indicat n figura 4.14.Figura 4.14Observaie final.Datorit condiiei iniiale (Z1> Z2) se observ c n punctul M (la x = 0), indiferent de plasarea spaial a sursei, apare un ventru.b) Dac Z1 < Z2 atunci = t, deci :

,`

.| t 2kx cos A 2 ArezLa x = 0 , Arez = 0 , deci obligatoriu punctul M este un nod.191Nod Ventru Nod Ventru Nod4 / 4 / 4 / 4 / 2 / 2 / UNDE ELASTICEIn ceea ce privete condiiile pentru identificarea poziiei ventrelor i a nodurilor, calculele se repet asemntor : ventre : t t

,`

.|t n2x212x2cosM M(cu n N)de unde :( )( )41 n 2 xnM + t noduri : ( )2n x 02x2cosnmin min t

,`

.|tSe observ c - fa de cazul precedent - poziia maximelor i a minimelor se inverseaz (comut). Ceea ce rmne ns n continuare constant estefaptul cdistanadintremaximesuccesivecai distanadintreminime succesive este egal cu o semiund, n timp ce ntre un maxim i minimul cel mai apropiat distana rmne egal cu /4.Observaii.1. Fie condiia pentru dou ventre succesive :( )A 2 A 122 2cos22 xrez2M+

,`

.| ( )A 2 A1 3 cos23 2cos23 xrez3M

,`

.|Prin urmare, dei nu am discutat pn acum acest aspect, se observ c douventresuccesive-dei auamplitudinerezultantmaxim-oscileazn antifaz (reamintim c t je 1 ) : atunci cnd ntr-un ventru avem un maxim pozitiv, n urmtorul ventru avem elongaie maxim dar n sens contrar.2. In cel de-al doilea caz (Z1 < Z2 ) dac impunem condiia ca n punctul iniial N (vezi figura 4.18) s avem un nod, adic :- la x = = ( ) nminx , Arez = 0 , se obine :2n (cu n N)cu alte cuvinte lungimea total a drumului parcurs de cele dou unde trebuie s fie un numr ntreg de semiunde.3.Discuia purtat pn acum poate fi pus i dintr-un punct de vedere radical diferit : fie o coard elastic (o strun de vioar) fixat la capete, deci de lungime impus "" i evolund obligatoriu ntre punctele N (nod) i M (nod). In ce condiii apar undele staionare ?Figura 4.15192NodNodNMNOIUNI GENERALE DESPRE UNDEVom alege, pentru rezolvarea acestei situaii particulare, o alt metod (pentru a vedea i alt manier - mai simpl - de a utiliza ecuaia undelor).Deoarece se presupune c pe coarda elastic se propag o und plan, putemfolosi direct ecuaia atemporalaundelor(ecuaia Helmholtz(4.20)) a crei form particular (corespunztoare propagrii pe o singur direcie) este :( )( ) ( ) x k xv dxx d22222 (4.43)Ecuaia :( )( ) 0 x kdxx d222 +(4.44)are oform asemntoare ecuaiilor pe care le-amntlnit n capitolul de oscilaii ; prinurmare, frdemonstraii suplimentare, reamintimcsoluia general este de forma :( ) kx cos b kx sin a x + Se pun condiiile la limit : x = 0 (0) = 0 b = 0 x = () = 0 0 sink a adic :

,`

.| ,...2k , k n k unde de n k2 1 n Setul complet al valorilor vectorului de und formeazspectrul valorilorpropriialeecuaiei (4.44)/ careesteoecuaiecuvalori proprii a operatorului 22dxd. Prin urmare soluiile ecuaiei (4.44) au forma :( )

,`

.| x n sin a ) x k sin( a xn n n ni poart numele de funcii proprii ale ecuaiei mai sus menionate.Relaia (4.43) permite stabilirea setului de valori pentru frecvene, cu alte cuvinte irul frecvenelor proprii : nv k vn nunde "v" este viteza de faz.Frecvena1poartnumeledefrecvenfundamental, ntimpce frecvenele 2 , 3 , ...n se numesc armonice de ordinul II, III, ...n.Deoarecefrecveneleiaunumai anumitevalori, spectrul defrecvene este discret.Cumulnd observaiile referitoate la dependena spaial i la dependena temporal a funciei de und, rezult forma general a soluiilor ecuaiei undelor pentru coarda elastic :( ) nt jnne xnsin a t , x193UNDE ELASTICEunde s-a folosit proprietatea de liniaritate a mediului (soluia general se obine ca sum a soluiilor particulare / relaia (4.39)).Observaii Fiecare soluie particular :( )t jn nne xnsin a t , x reprezint o und staionar.Toate punctele corzii oscileaz cu aceeai faz tn n . Amplitudinea undei este numai funcie de x, depinznd periodic de aceast variabil :( )( )n2N m cum 2nmmnxnsin m xnsin xnsinn nn n

,`

.| +]]]

+ Mrimea n reprezint lungimea de und a undei staionare. Amplitudinea este nul n punctele de abscis xmin :( )( ) N s cus xn0 xnsin asmin min n ( )2s21n2s xn smin (4.45) Amplitudinea este maxim atunci cnd :( )( )( )41 s 2x 21 s 2 xn1 xnsinn sM M M + + (4.46)Condiiilepentruventrei pentrunoduri coincidcuceleobinuten analiza fcut puin mai nainte - pentru cazul n care Z2 > Z1 .In figura 4.16 sunt indicate cteva exemple concrete.Se constat c pentru n = 1 lungimea coardei este egal cu o semiund ; pentru n = 2 lungimea , etc. Ca o ultim observaie, trebuie fcut diferena calitativ dintre o und staionar i o und progresiv. Ea poate fi urmrit n figura 4.17.Pentru unda staionar se observ c amplitudinea oscilaiilor variaz de 194N V N(n = 1, 1)N VNVN (n = 2, 2)NV N V N V N(n = 3, 3)Figura 4.16xt0 0 1t t Unda stationara (x , t)xt00 1t t (x , t)Unda progresivaFigura 4.17NOIUNI GENERALE DESPRE UNDEIn cazul undei progresive, aceasta se deplaseaz spaial cu viteza de faz "v" ; fazele oscilaiilor se schimb de la punct la punct, n timp ce amplitudinea acestora se menine constant (aceeai) - reprezentnd(nacelai timp) un transport uniform de energie.Discuia desfurat ncadrul acestui paragraf are extremde mult importan, pentru c ea este direct implicat n emisia i proprietile undelor sonore.4.6.2.3. Interferena multiplIn cazul n care ntr-un punct din spaiu se ntlnesc "n" unde coerente, avnd expresiile :( )( )( )( ) ( ) + + + 1 n kx t jn2 kx t j3kx t j2kx t j1e A.... .......... ..........e Ae Ae Aunda rezultant are expresia :( ) ( )[ ]( ) + + + + + + + + + + + + 1 n j 2 j j1 n j 2 j j kx t jn 3 2 1e ... e e 1 Se ... e e 1 e A ...Factorul notat cu "S" se prezint drept sum a unei progresii geometrice :( )1 q1 qa q a ... q a q a a Sn11 n121 1 1 + + + + i prin urmare :( ) ( )( )( )]]]

+ 21 - n kx - t j21 n jkx t jjjnkx t je2sin2n sinA2sin2n sine e A1 e1 ee ASe observ c amplitudinea undei rezultante are forma :( )( ) 2 / sin2 / n sinA A deci este dependent de defazaj. Pentru unele valori particulare ale acestuia :( ) 0 A2nmdeci , N m2m 22nmin Observaia de mai sus este valabil cu excepia cazurilor :N p cu np m , 2n m , n m, 0 m pentru care :195UNDE ELASTICEn2cos212n cos n21lim2sin2n sinlimp 2 p 2 In acest caz valoarea amplitudinii rezultante maxime este :nA A (i are aceeai valoare !) iar imaginea corespunztoare este indicat n fig. 4.18.4.6.2.4. Interferena nestaionarAtunci cnd defazajul = (t) - deci depinde de timp - amplitudinea undei rezultante este dat de expresia general :( )( )2t kcos A 4 t , A2 2 2 Considermacel cazncare (t)variazfoarterapidi ntr-unmod aleator i calculm intensitatea medie a undei, folosind un interval de timp de observaie suficient de lung :( )( ) 02 202dt2t kcos1A 4 dt t , I1A I( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )'' + +]]]

+ + 0 0002dt t sin k sin dt t cos k cos212dt t sin ) k sin(21t cos ) k cos(2121dt2t kcosCele dou integrale( ) ( )

,`

.| 0 0dt t sin , dt t cossunt nule, ntruct valorile pozitive i negative luate de funciile trigonometrice cos (t) i sin (t) se compenseaz reciproc.Prin urmare :2 12 2I I A 2 A I + 196Figura 4.18NOIUNI GENERALE DESPRE UNDERezultatul obinut indic faptul c nu apar variaii periodice ale intensitii undeirezultante, aceastafiindegalcusumaintensitilorundelor componente.4.6.3. Propagarea undelor elastice ntr-un mediu disipativ - dispersiv Intr-un mediu real propagarea unei unde este nsoit de pierderi energetice ireversibile (sub form de cldur). Acest lucru nsemn c :- mediul real este un mediu disipativ ;- n ecuaia undelor trebuie s intervin un termen suplimentar, corespunztor faptului c sensul scurgerii timpului nu poate fi indiferent (ca n cazul ecuaiei generale de propagare, relaia (4.10) ). Observaiile de mai sus conduc la noua form a ecuaiei de propagare :( ) ( ) 0t t 22 (4.47)unde notaiile ( ) i respectiv ( ) desemneaz mrimi de material.Cutm/ propunem o soluie armonic de forma :t je ) r (

care - nlocuit necuaia de mai sus (4.47) - conduce la onou ecuaie (atemporal) : ( ) ( ) 0 ) r ( j ) r ( + ) r (2 (4.48)adic :( ) ( ) 0 ) r ( ] j [ + ) r (2 (4.49)Se noteaz :( ) ( ) j k~ 2 2(4.50)unde 2j - k = k~ se observ c este o mrime complex.Dac se consider c propagarea are loc numai pe axa Ox , atunci :

,`

.| + + 0 ) x ( k~x) x (ecuatiei a solutieBe Ae ) x ( ) r (222x k~j x k~jSelectm unda progresiv :( ) x k~- t j x k~j -A e = t ) ( x , A e = ( x ) Se observ c :( )( )x0x2*k x t jx2-* *k x t jx2-e I e A = Ie e A = t ) ( x ,e A e = t ) ( x , ' (4.51)197UNDE ELASTICERelaia (4.51) estelegea absorbiei undelor, pus n eviden experimental ori de cte ori o und se propag ntr-un mediu disipativ.Expresia (4.51) a fost gsit pentru prima oar (pe cale experimental, fiind studiate fenomene de propagare a undelor electromagnetice) de ctre Beer i (independent) Bouguer. Ea este valabil numai dac vectorul de und complex notat ~k nu depinde de intensitatea undei.Mrimea (partea imaginar a vectorului de und compex~k ) se numetecoeficient deabsorbiei esteasociat- firesc- cufenomenul de absorbie care are loc ntr-un mediu disipativ (semnul "-" arat faptul c intensitateaundei scadeexponenial pemsurceunda"intr"mai mult n mediul disipativ).Se mai poate defini i mrimea : 2 numit iadncime de ptrundere(sau penetraie), cu ajutorul creia relaia (4.51) capt forma echivalent : x20e I I(4.52)Adncimea de ptrundere reprezint distana pe care amplitudinea undei A I se reduce cu 1/e din valoarea sa iniial (la x = 0) : ' eAeIe I I = A xI A 0 x00200 0Adncimea de ptrundere are dimensiunea unei lungimi.Reinem relaia 2. Cutm expresia i valoarea lui :( ) ( )( )( )( )'

,`

.| = k k 4k

2jk 24k2j k j k~2222222 2de unde rezult :( )( )( )]]]]

+ + 2k22222(4.53)( )( )( )]]]]

+

,`

.| 2 222222(4.55)198NOIUNI GENERALE DESPRE UNDEAdncimea de ptrundere este dependent de frecven. Cu ct frecvena este mai mare, cu att unda ptrunde mai puin n mediu. Totodat ea depinde de natura mediului absorbant, ca i de natura undei propriu - zise.Fenomenul de absorbie apare i n cazul altor tipuri de unde (cum ar fi undele electromagnetice), unde forma legii absorbiei se pstreaz dar - evident - valoarea numeric a coeficienilor implicai este diferit.O observaie distinct trebuie fcut n legtur cu viteza de faz. Astfel, deoarece relaia (4.53) indic o dependen a vectorului de und de tipul k = k( ), rezult pentru viteza de faz o dependen de tipul :( )( )( )( ) ( )( )]]]

]]]]

+ + vk deoarece21v12222deci, aa cum se constat, ea depinde de frecven.Prin urmare undele avnd diferite frecvene se propag cu viteze de faz diferite, ceea ce conduce la un fenomen de dispersie a acestora.Putem trage concluzia c n medii disipative apare i dispersia undelor.4.6.4. Efectul Doppler (nerelativist)In paragrafele precedente s-a artat c viteza undelor elastice depinde de mediui (datoritfaptului cdensitateaacestuiavariazcutemperatura) de temperatur. Vom da cteva exemple :Tabelul 4.1Mediu Temperatur Vitez (m / s)Aer00 C332200 C 340CO200 C 358He 00 C 971H200 C 1261Ap 200 C 1485Fier 180 C 5100Toate vitezele menionate mai sus sunt mult mai mici dect viteza luminii, deci discuia are loc ntr-un context "clasic".In anul 1842 fizicianul austriac Christian Johann Doppler (1803 1853) a observat c frecvena undelor emise de o surs aflat n micare se modific n raport cufrecvenaaceleiai surseaflatenrepausnraport cuobservatorul. Aceastconstatareesteuor defcut nzilelenoastre, atunci cndurmrim aterizareai respectivdecolareaunui avion: sunetul carensoetemicarile corespunztoare se aude diferit (dei frecvena oscilaiei mecanice a motorului este aceeai !).Experimentele fcute au pus n eviden existena a dou situaii diferite :199UNDE ELASTICEI.Atuncicndntresursiobservatordistanasemenineconstant, frecvenasesizatdeobservator(prinintermediul unui receptor4)coincidecu frecvena undei emise de ctre surs.II. Atunci cnd distana dintre surs i receptor se modific n timp (fie c receptorul se mic relativ la surs, fie c sursa se mic fa de receptor) se constatexperimental creceptor surs. Acest fenomenpoartnumelede efect Doppler.Pentru a lmuri ce se ntmpl n fapt, cu alte cuvinte care este relaia dintre frecvena perceput de observator (receptor) i frecvena proprie a sursei n funcie de viteza (ca mrime i sens) relativ dintre ele, vom studia separat cele dou situaii posibile.a) Sursa S se mic cu viteza u relativ la cei doi receptori R1 i R2 (care i pstreaz poziia iniial (vezi figura 4.19).Vom folosi notaiile : = frecvena sursei ; 1R= frecvena msurat de ctre receptorul R1 ; 2R= frecvena sesizat de ctre receptorul R2 .Din punctul iniial S (unde este plasat sursa la momentul t0) este emis un semnal (sursa ncepe s oscileze). Timpul necesar ca acest semnal s ajung la receptul R2 este :vdt t0 1+ unde1 2SR SR d iar "v" este viteza de propagare a undei.Sursaoscileazperiodic. Dup scurgerea unei perioade T sursa ncepe o nou oscilaie. Intre timp - ns - ea s-a deplasat cu viteza u n punctul notat pe figura 4.19 cu S'. Aceast a doua oscilaie ajunge n receptorul R2 dup un interval de timp egal cu :vuT dT tv' SS SRT t t020 2+ + + + deoarece distana' SSa fost parcurs de surs n timp de o perioad T cu viteza u ( ) T u ' SS .Diferena1 2t t reprezint - din punctul de vedere al receptorului R2- intervalul de timp echivalent cu o perioad (el percepe o oscilaie identic cu prima dup scurgerea acestui interval de timp), deci :vu vTvdtvuTvdT t t t T0 0 1 2 R2 + + (4.56.a)4Receptorulesteuninstrument caredetecteaz(de omanierspecifictipului de und) prezena i caracteristicile acesteia (dintre care, n cazul nostru, frecvena undei).200S R1R2d dSituatia la momentul initial t0S'ud + uT d - uTSituatia dupa o perioada T (a sursei)Figura 4.19NOIUNI GENERALE DESPRE UNDEDeoarece :vu v vT2R (4.56.b)iu vv T12R (4.56.c)Seobservc > 2R . Atuncicndu=0, 2R , deci principiulde coresponden este verificat.Fa de receptorul R1 analiza arat c :vdt t0 1+ dar-dupscurgereaunuiintervaldetimpegalcuoperioad(aoscilaiein surs) i dup deplasarea acesteia, distana 1R ' S crete ; prin urmare :

vu vT T vuT dT t t1R 0 2+ ++ + (4.57.a)u vv;vu v1 1R R+ + (4.57.b)Se constat c n acest caz < 1R.Observaie.Aceste rezultate puteaufi obinute i direct dinrelaiile (4.56), dac am fi inut cont de faptul c u > 0 la aproprierea S - R2 i u < 0 la ndeprtarea S - R1.b)Considerm drept un al doilea caz situaia n care sursa este fix iar cei doi receptori (vezi figura 4.20) se apropie / se ndeprteaz de ea cu aceeai vitez u.Figura 4.20Oscilaia care pleac din surs la momentul iniial t0 ajunge la receptorul R2 n momentul :vdt t0 1+ Ce-a de-a doua oscilaie, care pleac din surs dup trecerea unei perioade T, ajunge la receptorul ajuns n poziia '2R, deci :vT u dT tvR R SRT t t2R0'2 2 20 2 + + + + 201R1SR2d dSituatia la momentul initial t0uu'1R'2Rd + uT ' d - uT 'Situatia dupa o perioada T (a sursei)UNDE ELASTICEDiferena de timp t2- t1reprezint maniera n care observatorul a perceput trecerea unei perioade (din punctul lui de vedere) :u vvT TvuTT t t T222RR1 2 R+ (4.58.a) > + + 2 2 2R R R

vu v; u vv (4.58.b)Pentru receptorul R1 , n urma unui raionament asemntor, pentru care (ns) :vuT dT t t1R0 2++ + se obine : < 1 1 1 1R R R R

vu v; u vv ; u vvT T(4.59)(relaiile de mai sus pot fi obinute din relaiile (4.58) schimbnd semnul vitezei).Calculele efectuate pn acum ne permit formularea urmtoarei concluzii : cnd distana dintre surs i receptor crete, frecvena perceput de ctre observator scade iar atunci cnd distana relativ surs - receptor scade,frecvena la observator crete(atenie : dei concluziile sunt aceleai, relaiile care corespund celor dou cazuri sunt diferite !).Un ultimaspect interesant care merit menionat n cadrul acestui paragraf se referlao situaie special:cazuln carevitezasurseidepeste viteza de propagarea undei. Concret : este vorba despre avioanele supersonice (acror vitezdepetevitezasunetului naer). Figura4.21nepermites nelegemintuitivce se petrece nacest caz.Se observ c n sensul de propagare al undei "se adun" , ndesindu-se, toate fronturile de und (sferice) emise anterior, formnd aa-numitul zid sonic. Pe msur ce viteza de deplasare a sursei crete, "limea" acestui zid sonic tinde s scad. Acumularea de fronturi de und este echivalent cu o zon de presiune amplificat (un domeniu de coprimare), pe care avionul trebuie s o strpung. Unda de presiune amplificat, neperiodic, ce se propag cu viteza sunetului este denumit detuntur ultrasonic , und 202S S' S"uPFigura 4.21NOIUNI GENERALE DESPRE UNDEde ocsau und balistic(observatorul staionat pe Pmnt aude o detuntur puternic i brusc, fr preaviz).Pentru a evaluaraportul -important naviaie -dintre vitezasursei i viteza sunetului, s-a introdus raportul :sunet(avion) sursavvM numit numrul lui Mach (dup numele fizicianului austriac Ernst Mach, care - n 1887 - a fcut experimente cu obiecte deplasate cu viteza sunetului).Dup valoarea acestui numr (sub / supraunitar ) vitezele se clasific n viteze subsonice, respectiv supersonice.4.7. Probleme rezolvate1.S se obin, prin analiz dimensional, expresia vitezeivde propagare a unei unde longitudinale, n funcie de modulul de elasticitate E i de densitatea a mediului de propagare, tiind c viteza depinde numai de aceste dou mrimi.RezolvareRelaia cutat are - conform textului problemei - forma necunoscut : E . const vPe de alt parte, pentru stabilirea dimensiunii modulului lui Young, se poate folosi legea lui Hooke, adic :0ESF ceea ce implic :[ ][ ][ ]2 122T MLLMLTSFE Densitatea are dimensiunea :[ ]3ML prin urmare ecuaia dimensional are forma :( ) ( ) + 2 3 3 2 1 1T L M ML T ML LTde unde - prin identificare - rezult : ' ' + E. c o n s t E c o n s t . v d e c i2121 - 1 2 -1 3 - -021212.O surs de oscilaii aflat ntr-un mediu elastic emite unde plane de forma :(mm)t sin 25 , 0 y . Lungimea de und a undelor longitudinale care se propag n acest mediu este = 15 m.203UNDE ELASTICEa) Dup ct timp va ncepe s oscileze un punct situat la distana x1 = 10 m fa de surs ?b) Ce defazaj exist ntre oscilaia punctului aflat la distanax1i oscilaia sursei ?c) La ce distan se afl dou puncte ale cror oscilaii sunt defazate cu 6 rad ?d) Evaluai defazajul dintre dou puncte situate la distana 2d.Rezolvarea) Elongaia oscilaiei din surs (pentru x = 0) este de forma :( )0t sin A ) t , 0 ( y + Prin identificare se obine :rad 0radmm 25 , 0 A0 Punctulsituat ladistanax1vancepesoscilezedupunintervalde timp t1, dup legea :( ) ( ) [ ]0 1 1t t sin A x y + undevxt11 Viteza de propagare v poate fi calculat din expresia lungimii de und :sm 5 , 72152v v 2 vT v Deci :s 33 , 15 , 710vxt11 b) Defazajul dintre cele dou oscilaii este :( ) [ ] [ ] rad 34t t t t1 0 0 1 1 2 + + c)Ecuaiile de oscilaie ale celor dou puncte x2i x3= x2+ x (vezi figura 4.22) sunt :( )

,`

.| + 022x2 t sin A t , x yi respectiv :( )

,`

.| + 033x2 t sin A t , x yDefazajul dintre cele dou oscilaii este : ,`

.| + ,`

.| + x2x2 tx2 t020323204Figura 4.22x1x2 Ox x x2 3 + xNOIUNI GENERALE DESPRE UNDEdeci :m 25 , 145121512 2 6 2x d)Conformrezultatelordelapunctul c)defazajuldintreelongaiilea dou puncte situate la distana d este :rad22d 2 adic punctele oscileaz n antifaz.3. Dou surse sincrone S1 i S2 aflate la distana d = 3 cm una de cealalt produc oscilaii de frecven = 100 Hz i amplitudini A1 = 5 mm i A2 = 10 mm. S se calculeze amplitudinea oscilaiei unui punct situat la distana x2 = 5 cm de sursa S2 pe perpendiculara dus din S2 pe dreapta care trece prin cele dou surse. Viteza de propagare a undelorprin mediul n care seaflsurseleeste v = 20 m/s.RezolvarePlasareanspaiuacelordousursei respectiv poziia punctului n care se cere calculul amplitudinii rezultante n urma compunerii celor dou unde coerente este indicat n figura 4.23.Ecuaiile de oscilaie ale surselor sincrone sunt :( ) ( )( ) ( )0 2 20 1 1t 2 sin A t , 0 yt 2 sin A t , 0 y + + Ele produc n punctul D oscilaiile rezultate prin propagare :( )( ) ,`

.| +

,`

.| + 022 2031 1x2 t 2 sin A t , D yx2 t 2 sin A t , D yunde x3 este distana dintre sursa S1 i punctul D :cm 6 9 25 d x x2 22 3 + + Aceste douundeinterfernpunctul Ddac seproducpeaceeai direcie, ceea ce este posibil numai dac sunt unde transversale cu oscilaia pe aceeai direcie - i anume perpendicular pe planul BCD.Inurmainterferenei punctul Doscileazdemanieraexprimatprin ecuaia :( ) ( ) + t sin A t , D yunde amplitudinea este : + + cos A A 2 A A A2 12221iar este defazajul celor dou oscilaii n D :205S1S2dDx2x3Figura 4.23UNDE ELASTICE ,`

.| + ,`

.| + 10201002vx x2x2 t 2x2 t 22 30203Deci celedouoscilaii suntn faz, amplitudineaoscilaiei rezultante fiind :mm 15 A A A2 1 + Bibliografie capitolul IV[1] P. Sterian, M. Stan, "Fizica", Editura didactic i pedagogic, Bucureti, 1985[2] T. Creu, "Fizic general", vol I, Editura Tehnic, Bucureti, 1984[3] F.W. Sears, M.W. Zemansky, H.D. Young, "Fizica", Editura didactic i pedagogic, Bucureti, 1983[4] R.V. Deutsch, "Fizic", Editura didactic i pedagogic, Bucureti, 1970[5] R. Brenneke, G. Schuster, "Fizic", Editura didactic i pedagogic, Bucureti, 1973[6] M. Al. Oncescu, "Fizica" , vol. I, Editura didactic i pedagogic, Bucureti, 1973[7] Al. Hellemans, B. Bunch, "Istoria descoperirilor tiinifice", Editura Orizonturi, Bucureti, 1996 / reeditat 2002206