-
CAP. IV. UNDE ELASTICE Un mediu elastic este un mediu continuu
format din particule care interacioneaz. Dac una din ele ncepe s
oscileze perturbaia se transmite i celorlalte. Unda elastic
reprezint propagarea unei perturbaii mecanice ntr-un mediu elastic,
fenomenul fiind descris de variaia n timp i spaiu a unor mrimi
fizice caracteristice punctelor mediului (presiune, densitate,
deplasare, vitez de oscilaie etc.). Pentru mrimile vectoriale unda
elastic poate fi longitudinal sau transversal. Undele elastice nu
se propag n vid. IV.1. Ecuaia de propagare a undelor longitudinale
Fie un element de mas m, delimitat pe axa Ox ntre x i x + x, ntr-un
mediu solid, elastic i ideal (Fig.IV.1). n urma propagrii undei
elastice se produce o deplasare i o deformare a acestui element, el
fiind acum delimitat de x + (x, t) i x + x + (x + x, t); x este
foarte mic. Masa m este constant. Presiunea p se modific cu
(presiunea produs de und), iar densitatea se modific cu
up
u .
Fig. IV.1. Deformarea elementului de volum V n propagarea undei
elastice longitudinale. Mediul fiind elastic, este valabil legea
lui Hooke: E= (IV.1) unde
SF= = efort unitar,
0ll= = deformaie specific (alungire relativ), iar E este
modulul de elasticitate de-a lungul axei Ox. Dezvoltm deplasarea
(x + x, t) n serie Taylor n jurul lui x: ( ) ( ) ....,, +
+=+ xx
txtxx , reinem primii doi termeni i calculm alungirea
elementului considerat:
-
( ) ( ) xx
txtxx += ,,l (IV.2)
Deoarece rezult c deformaia specific este: x=0l x= (IV.3)
Dezvoltm efortul unitar (x + x, t) n serie Taylor n jurul lui x:
( ) ( ) ....,, +
+=+ xx
txtxx , reinem primii doi termeni i calculm fora rezultant care
acioneaz asupra elementului m:
( ) ( )[ ]x
xStxtxxSF += ,, (IV.4)
Dar: xSVmamF === ; , iar 22
ta
= ; introducnd aceste rezultate n relaia (IV.4) obinem:
22
tx =
(IV.5)
Difereniem legea Hooke x
EE == n funcie de x:
22
2
2
tEx =
(IV.6) Relaia (IV.6) reprezint ecuaia de propagare a undelor
elastice longitudinale i are forma (III.3) din teoria general a
undelor. Din identificarea acestor forme rezult viteza de propagare
a undelor elastice longitudinale:
Evlong = (IV.7)
Pentru unda armonic plan soluia ecuaiei (IV.6) este: sau ( ) (
kxtiAetx = , ) ( ) ( )kxtAtx = cos, (IV.8) care descrie unda de
deplasare longitudinal (A este amplitudinea acestei unde; alegem 0
= 0, pentru simplificarea calculelor).
- 66 -
-
Alte mrimi fizice perturbate de unda elastic, care satisfac
ecuaii de tipul (IV.6), sunt: unda de vitez de oscilaie (u)
( ) ( ) + ==
= 2, kxtikxti AeAeit
txu sau ( ) ( kxtAtxu )= sin, (IV.9)
a maxim de oscilaie a particulelor mediului (amplitudinea
unda de acceleraie (a)
unde Au =max este vitezundei de vitez).
( ) ( ) ( + === kxtikxti AeAe
tutxa 22, ) (IV.10)
axim a micrii de oscilaie a particulelor mediului ).
unda de deformare elastic ()
sau ( )kxtA cos (IV.10') unde Aa 2max = este acceleraia m
( )txa =, 2
(amplitudinea undei de acceleraie
( ) ( ) ==
= 2, kxtikxti kAeikAex
tx sau ( ) ( )kxtkAtx = sin, (IV.11)
este deformaia specific maxim a mediului (amplitudinea undei
de
n
unde =max kAdeformare).
e ( )up unda de presiu
( ) === 2, kxtiu EkAeEtxp sau ( ) ( )kxtEkAtxpu = sin,
(IV.12)
este presiunea maxim a undei elastice (amplitudinea undei de
ate
unde pu m, EkA=axpresiune).
( )=u unda de densit
( ) == 2, kxtiu kAetx sau ( ) ( )kxtkAtxu = sin, (IV.13)
este densitatea maxim produs de unda elastic (amplitudinea undei
de unde u max, kA=
densitate). Observaie: deplasarea longitudinal ( )tx,r , viteza
de oscilaie ( )txu ,r i acceleraia ar sunt mrimi vectoriale
orientate, n exemplul discutat, pe axa Ox.
- 67 -
-
Undele elastice longitudinale se propag att n solide, ct i n
lichide i gaze.
m nlocuiete cu
coeficientul de compresibilitate
n lichide propagarea undei elastice se produce asemntor cu cazul
solidelor. n formula (IV.7) a vitezei de propagare odulul de
elasticitate se
TVpVK
= , deci:
lichidlong
Kv = (IV.14)
procesului de ediul ncon
Difereniem ecuaia procesului adiabatic ( este exponentul
adiabatic). Obinem
n gaze folosim tot coeficientul de compresibilitate, K, dar
deosebim dou cazuri: a) proces adiabatic (dac frecvena undei este
foarte mare, n timpul propagare nu are loc un transfer de cldur
ntre gaz i m jurtor).
.constpV =
: 0=+ pdVVdp din care: V
p
Q
=dVdp
=0, apoi: pK = .
iteza de propagare este: V
gazlong
pv = (IV.15)
Folosind ecuaia termic de stare a gazului ideal = /mRTpV molar a
( = masa gazului, R = constanta gazelor ideale, T = temperatura
absolut) i Vmgaz /= obinem:
RTp
gaz= , iar viteza de propagare devine:
= RTvlong (IV.16)
a undei este mic putem presupune c temperatura rmne
Difereniem ecuaia procesului izoterm
b) proces izoterm (dac frecvenconstant n timpul propagrii).
.constpV = Obinem: din care:
0=+ pdVVdp
VdV Tpdp = , apoi: .
iteza de propagare este:
pK =V
==RTpv
gazlong (IV.17)
- 68 -
-
Exemplu: sunetul este o und elastic longitudinal; el se propag
prin comprimri i rarefieri succesive ale mediului elastic (Fig. IV.
2).
Fig. IV. 2. Propagarea sunetului n aer. IV.2. Ecuaia de
propagare a undelor transversale Fie un mediu solid, elastic i
ideal. Mai concret, considerm o coard elastic orientat de-a lungul
axei Ox i un element de coard, x foarte mic. Masa acestui element
este: (dA este elementul de suprafa perpendicular pe Ox). Coarda
este deformat astfel nct elementul x este scos din poziia de
echilibru avnd o deplasare pe direcia Oy (perpendicular pe Ox).
Perturbaia se propag dup axa Ox, antrennd i restul corzii, deci
deplasarea depinde de coordonata x i de timp, (x, t).
xdAm =
Fig. IV.3. Deformarea elementului de coard (bar) x n propagarea
undei elastice transversale. Conform Fig.IV.3 fora rezultant pe axa
Oy este: ( )[ ] sinsin += dFdFy (IV.18)
- 69 -
-
Dar: xx
tg
= sin , iar ( )
xxx +
+ sin . Dezvoltm funcia sin ( + ) n
serie Taylor n jurul lui x i reinem primii doi termeni: ( )
x
x
++ sinsin)(sin (IV.19) adic:
....22
+
+
=
+x
xxx xxxx
(IV.19)
nlocuind n relaia (IV.18) obinem:
xx
dFdFy
2
2 (IV.20)
Dar: , unde este efortul unitar tangenial. Pe de alt parte: dAdF
= 22
tmdFy
= . Din aceste relaii i din (IV.20) rezult:
2
2
2
2
tx =
(IV.21)
Relaia (IV.21) reprezint ecuaia de propagare a undelor elastice
transversale i are forma (III.3) din teoria general a undelor. Din
identificarea acestor forme rezult viteza de propagare a undelor
elastice transversale:
=transv (IV.22)
Dar: , unde este fora de ntindere din coard, iar este masa
unitii de lungime.
lmFT // = TF ll /mm =
Pentru unda armonic plan, soluia ecuaiei (IV.21) este: sau ( ) (
kxtietx = max, rr ) ( ) ( )kxttx = cos, maxrr (IV.23) care descrie
unda de deplasare transversal, cu proprietatea, esenial, 0= krr ,
adic vectorul deplasare transvesal r este perpendicular pe vectorul
de und kr (und transversal). Undele elastice transversale se propag
numai n solide.
- 70 -
-
IV.3. Mrimi energetice n unda elastic longitudinal
Propagarea undei elastice ntr-un mediu dat presupune un transfer
continuu de energie de la surs la mediu. Energia astfel transferat
se regsete n mediu ca energie de micare a particulelor mediului n
jurul poziiilor lor de echilibru i ca energie potenial de
deformare. Fie un element de volum V i mas m = V n mediul perturbat
de o und elastic longitudinal. 1) Energia cinetic a elementului
considerat este:
( kxtAVumEc == 2222
sin22
) (IV.24) unde s-a folosit expresia (IV.9) pentru unda de vitez
de oscilaie.
2) Energia potenial a elementului considerat este: ( )2
* 2l= kE p , unde 0
* lSEk = este
constanta elastic, iar 0ll = . Folosim expresia (IV.11) a undei
de deformare elastic i relaia VS =0l . Rezult:
( kxtAVkEESE p == 2222
0 sin22
l ) (IV.25)
Dar: , iar 2vE =v
k = . Relaia (IV.25) devine:
( )kxtAVE p = 222
sin2
(IV.25')
Se constat c cele dou energii sunt egale: pc EE = (IV.26) 3)
Energia total a elementului considerat este: cpc EEEW =+= 2 (IV.27)
4) Densitatea volumic de energie este energia cuprins n unitatea de
volum,
VWw
= ; w se msoar n J/m3. n cazul undei elastice longitudinale,
folosind (IV.27) i (IV.24) n definiia mrimii w, rezult: (IV.28) ( )
( ) 2222 sin, ukxtAtxw == 5) Densitatea volumic medie de energie, w
, reprezint media pe o perioad a densitii volumice de energie:
- 71 -
-
( )[ ]
222cos11 22
0 0
22 AdtkxtT
AwdtT
wT T === (IV.29)
n Fig.IV.4 sunt reprezentate mrimile w i w n funcie de timp.
Fig. IV. 4. Densitatea volumic de energie i valoarea ei medie n
funcie de timp, pentru unda elastic longitudinal. 6) Fluxul
energetic este energia transferat printr-o anumit suprafa n
unitatea de timp.
Se msoar n watt (W). t
Wen
= (IV.30) 7) Densitatea fluxului energetic, Jen, este egal cu
energia transferat n unitatea de timp prin unitatea de arie dispus
normal pe direcia de transfer a energiei. Se msoar n W/m2.
tS
WJn
en = (IV.31)
Conform Fig. IV. 5: ( )
vwtS
tvSwJ
n
nen =
= (IV.32) Vectorial: vwJ en
rr = (IV.32')
Fig. IV.5. Calculul densitii fluxului energetic pentru unda
elastic longitudinal. 8) Intensitatea undei este media n timp de o
perioad a modulului densitii fluxului de energie.
- 72 -
-
vwJI en == (IV.33)
Din relaiile (IV.29) i (IV.32) rezult: 2
22 vAI = (IV.34) Definim impedana acustic a mediului (analogie
cu rezistena electric) prin: (IV.35) vZ = Relaia (IV.34) devine: .
(IV.34')
2/22 AZI =Concluzie: Intensitatea undei depinde att de
caracteristicile sursei (A, ), ct i de cele ale mediului ( ).
Prelucrnd expresia presiunii maxime: vZ = == AvEkApu max, , relaia
(IV.34) devine:
Z
pv
pI uu
22
2max,
2max, == (IV.34")
IV.4. Unde elastice produse de surse aflate n micare Micarea
sursei care produce undele elastice determin: modificarea
suprafeelor (fronturilor) de und i modificarea frecvenei
recepionate de un observator. IV.4.1. Modificarea fronturilor de
und Suprafaa de und cea mai avansat se numete front de und. Fie o
surs punctiform de oscilaii aflat ntr-un mediu elastic, omogen i
izotrop. Notm: = viteza sursei; v = viteza de propagare a undei (nu
depinde de viteza sursei, ci numai de caracteristicile
mediului).
*Su
Deosebim urmtoarele cazuri: a) (surs fix) - fronturile de und j
sunt sfere concentrice, cu centrul n surs (Fig.IV.6a);
0* =Su
b) - fronturile de und sunt sfere cu centrele n S1, S2, S3
(poziiile succesive ale sursei) i nu se intersecteaz; se produce o
apropiere a fronturilor de und pe direcia i n sensul vitezei sursei
(Fig.IV.6b); evident c n sensul opus (n spatele sursei) ele se
deprteaz;
vuS
-
d) - fronturile de und sunt cuprinse (nscrise) ntr-un con cu
vrful n surs (Fig.IV.7). Undele produse astfel se numesc unde
balistice.
vuS >*
Din Fig.IV.7 rezult S1S = , iar S1P = tuS * tv ; apoi: *sinSuv=
, unde este jumtate din
unghiul plan de la vrful conului. Raportul v
uS*
>1 se numete numrul lui Mach.
a) b) c) Fig. IV. 6. Modificarea fronturilor de und pentru unde
elastice produse de surse aflate n micare: a) ; b) ; c) . 0* =Su
vuS *
Aplicaie: Un avion cu reacie zboar la nlimea h = 6,8 km cu
viteza uS* = 500
m/s. La ce distan d fa de o cas se afl avionul cnd geamurile
acesteia ncep s vibreze? Viteza sunetului n aer este v = 340
m/s.
Rezolvare: Conform Fig. IV.7b: SP = d; PA = h;dh
uv
S
== *sin ; vhud S
*
= = 10 km.
- 74 -
-
IV.4.2. Modificarea frecvenei recepionate de un observator
(efect Doppler)
Cnd exist o vitez relativ ntre sursa sonor S i receptorul R
frecvena ' a sunetului detectat de ctre receptor este diferit fa de
frecvena msurat n sistemul de referin al sursei. Considerm cazul
particular n care sursa i receptorul se apropie, vitezele lor fiind
pe aceeai direcie (efect Doppler longitudinal; Fig. IV. 8).
Fig. IV. 8. Schem pentru efect Doppler longitudinal, cazul n
care sursa i receptorul se apropie, pe aceeai direcie.
Notaii: = viteza sursei; = viteza receptorului; v = viteza
sunetului; *Su*Ru =
1T =
perioada sunetului emis de surs; '
1' =T = perioada sunetului nregistrat de receptor; S = poziia
sursei cnd ea emite primul sunet; S' = poziia sursei cnd ea emite
al doilea sunet; R = poziia receptorului cnd el nregistreaz (aude)
primul sunet; R' = poziia receptorului cnd el nregistreaz (aude) al
doilea sunet. Sunt evidente relaiile:
1*
2* ' tvTuvtTu RS =++ i '12 TttT =+ ; rezult:
*
*
'R
S
uvuv
TT += , iar pentru frecvene: *
*
'S
R
uvuv
+= (IV.36)
Pentru cazul cnd sursa i receptorul se deprteaz pe aceeai
direcie obinem:
**
'S
R
uvuv
+= (IV.37)
Se constat c n cazul apropierii dintre surs i receptor frecvena
recepionat crete ( ), iar n cazul deprtrii lor frecvena recepionat
scade (> '
-
Exemple: a) frecvena nregistrat de un observator fix aflat ntr-o
gar prin care trece, fr s opreasc, un tren a crui siren este n
funciune: cnd trenul se apropie sunetul este mai acut, iar cnd
trenul se deprteaz sunetul este mai grav. b) doi observatori aflai
n repaus, unul n faa unei ambulane aflate n micare, cu sirena n
funciune, altul n spatele ambulanei (Fig. IV. 9).
Fig. IV. 9. Exemplu de efect Doppler longitudinal. Aplicaie: Un
observator n repaus nregistreaz sunetele emise de dou diapazoane
identice: unul se apropie, iar cellalt se deprteaz de observator,
pe aceeai direcie, cu viteza de 1 m/s. Frecvena sunetului fiecrui
diapazon, n sistemul propriu de referin, este = 650 Hz, iar v = 340
m/s. S se calculeze frecvena btilor percepute de observator.
Rezolvare: = 1 m/s; din formula (IV.36): ** ;0 SR uu = *1Suv
v= ; din formula (IV.37):
*Su
2 vv+= ; frecvena btilor este: ( )2*2 021
2
S
buv
v
== 3,8 Hz.
- 76 -
