of 12/12
CAP. IV. UNDE ELASTICE Un mediu elastic este un mediu continuu format din particule care interacţionează. Dacă una din ele începe să oscileze perturbaţia se transmite şi celorlalte. Unda elastică reprezintă propagarea unei perturbaţii mecanice într-un mediu elastic, fenomenul fiind descris de variaţia în timp şi spaţiu a unor mărimi fizice caracteristice punctelor mediului (presiune, densitate, deplasare, viteză de oscilaţie etc.). Pentru mărimile vectoriale unda elastică poate fi longitudinală sau transversală. Undele elastice nu se propagă în vid. IV.1. Ecuaţia de propagare a undelor longitudinale Fie un element de masă Δm, delimitat pe axa Ox între x şi x + Δx, într-un mediu solid, elastic şi ideal (Fig.IV.1). În urma propagării undei elastice se produce o deplasare ξ şi o deformare a acestui element, el fiind acum delimitat de x + ξ (x, t) şi x + Δx + ξ (x + Δx, t); Δx este foarte mic. Masa Δm este constantă. Presiunea p se modifică cu (presiunea produsă de undă), iar densitatea ρ se modifică cu u p u ρ . Fig. IV.1. Deformarea elementului de volum ΔV în propagarea undei elastice longitudinale. Mediul fiind elastic, este valabilă legea lui Hooke: ε σ E = (IV.1) unde S F = σ = efort unitar, 0 l l Δ = ε = deformaţie specifică (alungire relativă), iar E este modulul de elasticitate de-a lungul axei Ox. Dezvoltăm deplasarea ξ (x + Δx, t) în serie Taylor în jurul lui x: ( ) ( ) .... , , + Δ + = Δ + x x t x t x x ξ ξ ξ , reţinem primii doi termeni şi calculăm alungirea elementului considerat:

Cap.iv.Unde Elastice

  • View
    282

  • Download
    2

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Fizica

Text of Cap.iv.Unde Elastice

  • CAP. IV. UNDE ELASTICE Un mediu elastic este un mediu continuu format din particule care interacioneaz. Dac una din ele ncepe s oscileze perturbaia se transmite i celorlalte. Unda elastic reprezint propagarea unei perturbaii mecanice ntr-un mediu elastic, fenomenul fiind descris de variaia n timp i spaiu a unor mrimi fizice caracteristice punctelor mediului (presiune, densitate, deplasare, vitez de oscilaie etc.). Pentru mrimile vectoriale unda elastic poate fi longitudinal sau transversal. Undele elastice nu se propag n vid. IV.1. Ecuaia de propagare a undelor longitudinale Fie un element de mas m, delimitat pe axa Ox ntre x i x + x, ntr-un mediu solid, elastic i ideal (Fig.IV.1). n urma propagrii undei elastice se produce o deplasare i o deformare a acestui element, el fiind acum delimitat de x + (x, t) i x + x + (x + x, t); x este foarte mic. Masa m este constant. Presiunea p se modific cu (presiunea produs de und), iar densitatea se modific cu

    up

    u .

    Fig. IV.1. Deformarea elementului de volum V n propagarea undei elastice longitudinale. Mediul fiind elastic, este valabil legea lui Hooke: E= (IV.1) unde

    SF= = efort unitar,

    0ll= = deformaie specific (alungire relativ), iar E este

    modulul de elasticitate de-a lungul axei Ox. Dezvoltm deplasarea (x + x, t) n serie Taylor n jurul lui x: ( ) ( ) ....,, +

    +=+ xx

    txtxx , reinem primii doi termeni i calculm alungirea elementului considerat:

  • ( ) ( ) xx

    txtxx += ,,l (IV.2)

    Deoarece rezult c deformaia specific este: x=0l x= (IV.3)

    Dezvoltm efortul unitar (x + x, t) n serie Taylor n jurul lui x: ( ) ( ) ....,, +

    +=+ xx

    txtxx , reinem primii doi termeni i calculm fora rezultant care acioneaz asupra elementului m:

    ( ) ( )[ ]x

    xStxtxxSF += ,, (IV.4)

    Dar: xSVmamF === ; , iar 22

    ta

    = ; introducnd aceste rezultate n relaia (IV.4) obinem:

    22

    tx =

    (IV.5)

    Difereniem legea Hooke x

    EE == n funcie de x:

    22

    2

    2

    tEx =

    (IV.6) Relaia (IV.6) reprezint ecuaia de propagare a undelor elastice longitudinale i are forma (III.3) din teoria general a undelor. Din identificarea acestor forme rezult viteza de propagare a undelor elastice longitudinale:

    Evlong = (IV.7)

    Pentru unda armonic plan soluia ecuaiei (IV.6) este: sau ( ) ( kxtiAetx = , ) ( ) ( )kxtAtx = cos, (IV.8) care descrie unda de deplasare longitudinal (A este amplitudinea acestei unde; alegem 0 = 0, pentru simplificarea calculelor).

    - 66 -

  • Alte mrimi fizice perturbate de unda elastic, care satisfac ecuaii de tipul (IV.6), sunt: unda de vitez de oscilaie (u)

    ( ) ( ) + ==

    = 2, kxtikxti AeAeit

    txu sau ( ) ( kxtAtxu )= sin, (IV.9)

    a maxim de oscilaie a particulelor mediului (amplitudinea

    unda de acceleraie (a)

    unde Au =max este vitezundei de vitez).

    ( ) ( ) ( + === kxtikxti AeAe

    tutxa 22, ) (IV.10)

    axim a micrii de oscilaie a particulelor mediului ).

    unda de deformare elastic ()

    sau ( )kxtA cos (IV.10') unde Aa 2max = este acceleraia m

    ( )txa =, 2

    (amplitudinea undei de acceleraie

    ( ) ( ) ==

    = 2, kxtikxti kAeikAex

    tx sau ( ) ( )kxtkAtx = sin, (IV.11)

    este deformaia specific maxim a mediului (amplitudinea undei de

    n

    unde =max kAdeformare).

    e ( )up unda de presiu

    ( ) === 2, kxtiu EkAeEtxp sau ( ) ( )kxtEkAtxpu = sin, (IV.12)

    este presiunea maxim a undei elastice (amplitudinea undei de

    ate

    unde pu m, EkA=axpresiune).

    ( )=u unda de densit

    ( ) == 2, kxtiu kAetx sau ( ) ( )kxtkAtxu = sin, (IV.13)

    este densitatea maxim produs de unda elastic (amplitudinea undei de unde u max, kA=

    densitate). Observaie: deplasarea longitudinal ( )tx,r , viteza de oscilaie ( )txu ,r i acceleraia ar sunt mrimi vectoriale orientate, n exemplul discutat, pe axa Ox.

    - 67 -

  • Undele elastice longitudinale se propag att n solide, ct i n lichide i gaze.

    m nlocuiete cu

    coeficientul de compresibilitate

    n lichide propagarea undei elastice se produce asemntor cu cazul solidelor. n formula (IV.7) a vitezei de propagare odulul de elasticitate se

    TVpVK

    = , deci:

    lichidlong

    Kv = (IV.14)

    procesului de ediul ncon

    Difereniem ecuaia procesului adiabatic ( este exponentul adiabatic). Obinem

    n gaze folosim tot coeficientul de compresibilitate, K, dar deosebim dou cazuri: a) proces adiabatic (dac frecvena undei este foarte mare, n timpul propagare nu are loc un transfer de cldur ntre gaz i m jurtor).

    .constpV =

    : 0=+ pdVVdp din care: V

    p

    Q

    =dVdp

    =0, apoi: pK = .

    iteza de propagare este: V

    gazlong

    pv = (IV.15)

    Folosind ecuaia termic de stare a gazului ideal = /mRTpV molar a ( = masa gazului, R = constanta gazelor ideale, T = temperatura absolut) i Vmgaz /= obinem:

    RTp

    gaz= , iar viteza de propagare devine:

    = RTvlong (IV.16)

    a undei este mic putem presupune c temperatura rmne

    Difereniem ecuaia procesului izoterm

    b) proces izoterm (dac frecvenconstant n timpul propagrii).

    .constpV = Obinem: din care:

    0=+ pdVVdp

    VdV Tpdp = , apoi: .

    iteza de propagare este:

    pK =V

    ==RTpv

    gazlong (IV.17)

    - 68 -

  • Exemplu: sunetul este o und elastic longitudinal; el se propag prin comprimri i rarefieri succesive ale mediului elastic (Fig. IV. 2).

    Fig. IV. 2. Propagarea sunetului n aer. IV.2. Ecuaia de propagare a undelor transversale Fie un mediu solid, elastic i ideal. Mai concret, considerm o coard elastic orientat de-a lungul axei Ox i un element de coard, x foarte mic. Masa acestui element este: (dA este elementul de suprafa perpendicular pe Ox). Coarda este deformat astfel nct elementul x este scos din poziia de echilibru avnd o deplasare pe direcia Oy (perpendicular pe Ox). Perturbaia se propag dup axa Ox, antrennd i restul corzii, deci deplasarea depinde de coordonata x i de timp, (x, t).

    xdAm =

    Fig. IV.3. Deformarea elementului de coard (bar) x n propagarea undei elastice transversale. Conform Fig.IV.3 fora rezultant pe axa Oy este: ( )[ ] sinsin += dFdFy (IV.18)

    - 69 -

  • Dar: xx

    tg

    = sin , iar ( )

    xxx +

    + sin . Dezvoltm funcia sin ( + ) n

    serie Taylor n jurul lui x i reinem primii doi termeni: ( ) x

    x

    ++ sinsin)(sin (IV.19) adic:

    ....22

    +

    +

    =

    +x

    xxx xxxx

    (IV.19)

    nlocuind n relaia (IV.18) obinem:

    xx

    dFdFy

    2

    2 (IV.20)

    Dar: , unde este efortul unitar tangenial. Pe de alt parte: dAdF = 22

    tmdFy

    = . Din aceste relaii i din (IV.20) rezult:

    2

    2

    2

    2

    tx =

    (IV.21)

    Relaia (IV.21) reprezint ecuaia de propagare a undelor elastice transversale i are forma (III.3) din teoria general a undelor. Din identificarea acestor forme rezult viteza de propagare a undelor elastice transversale:

    =transv (IV.22)

    Dar: , unde este fora de ntindere din coard, iar este masa unitii de lungime.

    lmFT // = TF ll /mm =

    Pentru unda armonic plan, soluia ecuaiei (IV.21) este: sau ( ) ( kxtietx = max, rr ) ( ) ( )kxttx = cos, maxrr (IV.23) care descrie unda de deplasare transversal, cu proprietatea, esenial, 0= krr , adic vectorul deplasare transvesal r este perpendicular pe vectorul de und kr (und transversal). Undele elastice transversale se propag numai n solide.

    - 70 -

  • IV.3. Mrimi energetice n unda elastic longitudinal

    Propagarea undei elastice ntr-un mediu dat presupune un transfer continuu de energie de la surs la mediu. Energia astfel transferat se regsete n mediu ca energie de micare a particulelor mediului n jurul poziiilor lor de echilibru i ca energie potenial de deformare. Fie un element de volum V i mas m = V n mediul perturbat de o und elastic longitudinal. 1) Energia cinetic a elementului considerat este:

    ( kxtAVumEc == 2222

    sin22

    ) (IV.24) unde s-a folosit expresia (IV.9) pentru unda de vitez de oscilaie.

    2) Energia potenial a elementului considerat este: ( )2

    * 2l= kE p , unde 0

    * lSEk = este

    constanta elastic, iar 0ll = . Folosim expresia (IV.11) a undei de deformare elastic i relaia VS =0l . Rezult:

    ( kxtAVkEESE p == 2222

    0 sin22

    l ) (IV.25)

    Dar: , iar 2vE =v

    k = . Relaia (IV.25) devine:

    ( )kxtAVE p = 222

    sin2

    (IV.25')

    Se constat c cele dou energii sunt egale: pc EE = (IV.26) 3) Energia total a elementului considerat este: cpc EEEW =+= 2 (IV.27) 4) Densitatea volumic de energie este energia cuprins n unitatea de volum,

    VWw

    = ; w se msoar n J/m3. n cazul undei elastice longitudinale, folosind (IV.27) i (IV.24) n definiia mrimii w, rezult: (IV.28) ( ) ( ) 2222 sin, ukxtAtxw == 5) Densitatea volumic medie de energie, w , reprezint media pe o perioad a densitii volumice de energie:

    - 71 -

  • ( )[ ]

    222cos11 22

    0 0

    22 AdtkxtT

    AwdtT

    wT T === (IV.29)

    n Fig.IV.4 sunt reprezentate mrimile w i w n funcie de timp.

    Fig. IV. 4. Densitatea volumic de energie i valoarea ei medie n funcie de timp, pentru unda elastic longitudinal. 6) Fluxul energetic este energia transferat printr-o anumit suprafa n unitatea de timp.

    Se msoar n watt (W). t

    Wen

    = (IV.30) 7) Densitatea fluxului energetic, Jen, este egal cu energia transferat n unitatea de timp prin unitatea de arie dispus normal pe direcia de transfer a energiei. Se msoar n W/m2.

    tS

    WJn

    en = (IV.31)

    Conform Fig. IV. 5: ( )

    vwtS

    tvSwJ

    n

    nen =

    = (IV.32) Vectorial: vwJ en

    rr = (IV.32')

    Fig. IV.5. Calculul densitii fluxului energetic pentru unda elastic longitudinal. 8) Intensitatea undei este media n timp de o perioad a modulului densitii fluxului de energie.

    - 72 -

  • vwJI en == (IV.33)

    Din relaiile (IV.29) i (IV.32) rezult: 2

    22 vAI = (IV.34) Definim impedana acustic a mediului (analogie cu rezistena electric) prin: (IV.35) vZ = Relaia (IV.34) devine: . (IV.34')

    2/22 AZI =Concluzie: Intensitatea undei depinde att de caracteristicile sursei (A, ), ct i de cele ale mediului ( ). Prelucrnd expresia presiunii maxime: vZ = == AvEkApu max, , relaia (IV.34) devine:

    Z

    pv

    pI uu

    22

    2max,

    2max, == (IV.34")

    IV.4. Unde elastice produse de surse aflate n micare Micarea sursei care produce undele elastice determin: modificarea suprafeelor (fronturilor) de und i modificarea frecvenei recepionate de un observator. IV.4.1. Modificarea fronturilor de und Suprafaa de und cea mai avansat se numete front de und. Fie o surs punctiform de oscilaii aflat ntr-un mediu elastic, omogen i izotrop. Notm: = viteza sursei; v = viteza de propagare a undei (nu depinde de viteza sursei, ci numai de caracteristicile mediului).

    *Su

    Deosebim urmtoarele cazuri: a) (surs fix) - fronturile de und j sunt sfere concentrice, cu centrul n surs (Fig.IV.6a);

    0* =Su

    b) - fronturile de und sunt sfere cu centrele n S1, S2, S3 (poziiile succesive ale sursei) i nu se intersecteaz; se produce o apropiere a fronturilor de und pe direcia i n sensul vitezei sursei (Fig.IV.6b); evident c n sensul opus (n spatele sursei) ele se deprteaz;

    vuS

  • d) - fronturile de und sunt cuprinse (nscrise) ntr-un con cu vrful n surs (Fig.IV.7). Undele produse astfel se numesc unde balistice.

    vuS >*

    Din Fig.IV.7 rezult S1S = , iar S1P = tuS * tv ; apoi: *sinSuv= , unde este jumtate din

    unghiul plan de la vrful conului. Raportul v

    uS*

    >1 se numete numrul lui Mach.

    a) b) c) Fig. IV. 6. Modificarea fronturilor de und pentru unde elastice produse de surse aflate n micare: a) ; b) ; c) . 0* =Su vuS *

    Aplicaie: Un avion cu reacie zboar la nlimea h = 6,8 km cu viteza uS* = 500

    m/s. La ce distan d fa de o cas se afl avionul cnd geamurile acesteia ncep s vibreze? Viteza sunetului n aer este v = 340 m/s.

    Rezolvare: Conform Fig. IV.7b: SP = d; PA = h;dh

    uv

    S

    == *sin ; vhud S

    *

    = = 10 km.

    - 74 -

  • IV.4.2. Modificarea frecvenei recepionate de un observator (efect Doppler)

    Cnd exist o vitez relativ ntre sursa sonor S i receptorul R frecvena ' a sunetului detectat de ctre receptor este diferit fa de frecvena msurat n sistemul de referin al sursei. Considerm cazul particular n care sursa i receptorul se apropie, vitezele lor fiind pe aceeai direcie (efect Doppler longitudinal; Fig. IV. 8).

    Fig. IV. 8. Schem pentru efect Doppler longitudinal, cazul n care sursa i receptorul se apropie, pe aceeai direcie.

    Notaii: = viteza sursei; = viteza receptorului; v = viteza sunetului; *Su*Ru =

    1T =

    perioada sunetului emis de surs; '

    1' =T = perioada sunetului nregistrat de receptor; S = poziia sursei cnd ea emite primul sunet; S' = poziia sursei cnd ea emite al doilea sunet; R = poziia receptorului cnd el nregistreaz (aude) primul sunet; R' = poziia receptorului cnd el nregistreaz (aude) al doilea sunet. Sunt evidente relaiile:

    1*

    2* ' tvTuvtTu RS =++ i '12 TttT =+ ; rezult:

    *

    *

    'R

    S

    uvuv

    TT += , iar pentru frecvene: *

    *

    'S

    R

    uvuv

    += (IV.36)

    Pentru cazul cnd sursa i receptorul se deprteaz pe aceeai direcie obinem:

    **

    'S

    R

    uvuv

    += (IV.37)

    Se constat c n cazul apropierii dintre surs i receptor frecvena recepionat crete ( ), iar n cazul deprtrii lor frecvena recepionat scade (> '

  • Exemple: a) frecvena nregistrat de un observator fix aflat ntr-o gar prin care trece, fr s opreasc, un tren a crui siren este n funciune: cnd trenul se apropie sunetul este mai acut, iar cnd trenul se deprteaz sunetul este mai grav. b) doi observatori aflai n repaus, unul n faa unei ambulane aflate n micare, cu sirena n funciune, altul n spatele ambulanei (Fig. IV. 9).

    Fig. IV. 9. Exemplu de efect Doppler longitudinal. Aplicaie: Un observator n repaus nregistreaz sunetele emise de dou diapazoane identice: unul se apropie, iar cellalt se deprteaz de observator, pe aceeai direcie, cu viteza de 1 m/s. Frecvena sunetului fiecrui diapazon, n sistemul propriu de referin, este = 650 Hz, iar v = 340 m/s. S se calculeze frecvena btilor percepute de observator.

    Rezolvare: = 1 m/s; din formula (IV.36): ** ;0 SR uu = *1Suv

    v= ; din formula (IV.37):

    *Su

    2 vv+= ; frecvena btilor este: ( )2*2 021

    2

    S

    buv

    v

    == 3,8 Hz.

    - 76 -