IV. UNDE ELASTICE

cc

IV. UNDE ELASTICE

r

c c

r

Unde longitudinale in fluide si solide:

Unde transversale in solide:

Unde de suprafata in lichide:

Exemple de tipuri de unde

IV. UNDE ELASTICE

La propagarea undei logitudinale in fluide, deplasarea (x) a particulelor determina fenomene de dilatare si contractie => modificare a densitatii locale,

cu excesul de densitate = 0 (

IV. UNDE ELASTICE

2.2. Unde longitudinale n solide

2 2

2 2 2

10 8

x c t

Ecuatia de propagare pentru deplasarea :

unde

este viteza de faza a undelor logitudinale in solide

(E - modul de elasticitate Young, iar - densitatea)

9c E /

x + d x

( x )d x

x x

c

( S )

( x + d x )

d

2.3. Unde transversale n solide

Ecuatia de propagare pentru deplasarea :

unde

este viteza de faza a undelor logitudinale in solide

(G - este modul de torsiune,

iar - densitatea)

11c G /

2 1 12G E /

2 2

2 2 2

10 10

x c t

d x

d x'

( x )

( S )

d m

c

x

IV. UNDE ELASTICE

2.4. Unde monocromatice plane

, p , Notam cu - functia de unda si .

Forma generala a ecuatiei diferentiale a undelor :

2

2 2

10 13

c t

2 2 2

2 2 2operatorul Laplace

x y z

unde

2 2

2 2 2

10 14

x c t

Dac unda se propag pe direcia Ox atunci, din punct de vedere matematic operatorul lui Laplace se reduce la o derivat de ordinul II in raport cu x. Astfel ecuaia diferenial general a undelor va fi de forma:

1 2 15x x

x,t t tc c

Solutia ecuatiei (14):

unde reprezinta undele progresiva si regresiva. 1 2si

xS

1 2

01

,2

2

22

2

tcxxx

IV. UNDE ELASTICE

Dac perturbaia produs de sursa S este o perturbaie armonic (sinusoidal) ,

atunci expresia funciei de und pentru unda progresiv va fi tot de form sinusoidal:

16S t Acos t

17x

x,t Acos tc

Unda prezint o periodicitate temporal de perioad T:

Unda prezint de asemenea si o periodicitate spatiala cu lungimea de unda :

18x x

Acos t T Acos tc c

2

19T

20x x

Acos t Acos tc c

221

cc T

A

- A

t

T

x = c t

t = c t

x

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

IV. UNDE ELASTICE

(17)

IV. UNDE ELASTICE

Obs.

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

complex.

IV. UNDE ELASTICE

2.4. Unde monocromatice sferice

Ecuatia diferentiala a undelor sferice:

2 2

2 2 2

10

r c r

pentru

r,t r r ,t

Solutia ecuatiei:

A

r,t cos t krr

rktier

Atr

,~

(32)

(33)

(34)

(35)

c

rtA

c

rt

rtr cos

1,

IV. UNDE ELASTICE

3. Mrimi energetice specifice undelor elastice 3.1. Densitatea de energie

- Procesul de propagare a undelor este nsoit de un transport de energie, numit energia undei.

- Considerm un element infinitezimal al mediului considerat de volum dV. Aceast poriune al mediului va avea o energie suplimentar:

1dW dT dU - Excesul de energie cinetic asociat elementului de volum dV si masa dm=0dV (unde 0 este densitatea) aflat n micarea ondulatorie cu viteza v, va fi:

2 201 1

22 2

dT dm v v dV

- Excesul de energie potenial apare ca urmare a comprimrii sau dilatrii elementului de volum respectiv. Comprimarea (sau dilatarea) vor determina o

modificare a densitii fluidului i o modificare dV a elementului de volum n raport cu valorile 0 i dV pentru starea cnd prin mediu nu se propag unde. Datorit conservrii masei dm=dm , se poate scrie:

0 0dV dV dV ;

0Pentru : dV dV ', ' dV 0

dV dV

IV. UNDE ELASTICE

- Energia potenial elementar dU poate fi scris ca fiind egal cu lucrul mecanic al forelor de presiune suplimentara medie, Cu relatia , rezulta:

0 2 2medp p' / p'/

2

2

0 0

32 2

med

p pdU p dV dV dV

c

- Eenergia mecanic total suplimentar a elementului de volum dV va fi:

2 2

2 2

0 02 2

0 0

1 1 14

2 2 2

p pdW v dV dV v dV

c c

- Densitatea de energie locala a mediului va fi:

2

2

0 2

0

15

2

dW pw v

dV c

3.2. Intensitatea undelor elastice

Definitie: Intensitatea undelor elastice este o marime fizica numeric egala cu energia transportata de unda in

unitate de timp prin unitate de suprafata a mediului,

normala pe directia de propagare

6W

IS t

Fig. 1

c :

2p c

IV. UNDE ELASTICE

Energia W transportata de unda in timpul t prin suprafata S se regaseste in

volumul V=Sc t. Rezulta:

7W w V

I c wS t S t

Pentru unde monocromatice plane:

0

9 10mmp

p t p' cos t kx ; v t,x cos t kxc

Cu formula de mediere temporala a functiei periodice de perioada T:

Unde densitatea de energie medie a undei este

2

2

0 2

0

18

2

dW pw v

dV c

2 20

1 1

2

T

cos t kx cos t kx dtT

densitatea de energie medie a undei devine

2

2

2

0

11mp

w cos t kxc

Rezulta

2

2

0

122

mpwc

IV. UNDE ELASTICE

Iar intensitatea undei este: 22

0 0

132

efmpp

Ic c

Obs. Pentru unde monocromatice sferice:

2

0

2 2

0

116

2

mp II c wc r r

unde 2

0

02

mpIc

reprezint intensitatea undei emis de sursa undei.

3 2

2

0

142

mm

c 'I '

2 2 2 20

115

2I c A ,A

2

0 0m m m mp' c ' si p' c v c A Cu relatiile:

rezulta pentru intensitatea undelor plane monocromatice expresiile alternative:

unde reprezinta presiunea efectiva sau acustica. 2ef mp p /

~

~ ~

Marimea Z=0c se numeste impendata acustica specifica