of 22/22
II.2. UNDE ELASTICE II.2.1. Propagarea undelor într-un mediu elastic, definiţii Printr-un mediu elastic se înţelege un mediu între ale cărui particule se exercită forţe de legătură de tip elastic. Dacă într-un punct oarecare al unui mediu elastic, solid sau fluid, se produce o perturbaţie, adică o mică deplasare a unei particule a mediului faţă de poziţia ei de echilibru stabil, atunci, datorită interacţiunilor elastice dintre particule, perturbaţia se va propaga din aproape în aproape, cu o viteză finită v , în întreg mediul. Altfel spus, particulele mediului vor intra treptat în mişcare oscilatorie în general armonică, de amplitudine A şi de pulsaţie =2/T (vezi sec. II.1.1). Procesul de propagare a unei perturbaţii într-un mediu oarecare se numeşte undă, iar dacă propagarea este posibilă datorită legăturilor de tip elastic existente între particulele mediului unda se numeşte undă elastică. Dacă se compară direcţia după care are loc perturbaţia cu direcţia după care aceasta se propagă, undele se pot clasifica în unde longitudinale (atunci când cele două direcţii coincid) şi în unde transversale (atunci când cele două direcţii sunt reciproc perpendiculare). Undele longitudinle se pot propaga prin orice fel de medii elastice, solide sau fluide, în schimb undele transversale nu se pot propaga decât prin medii care pot prelua eforturi tangenţiale, adică prin medii elastice solide. Locul geometric al punctelor din spaţiu până la care a ajuns unda la un moment dat t se numeşte front de undă. În funcţie de forma frontului de undă, undele se clasifică în unde plane, sferice, cilindrice, etc. Distanţa parcursă de frontul de undă într-un timp egal cu perioada oscilaţiilor T se numeşte lungime de undă şi este dată de relaţia , unde v este viteza de propagare a undei iar frecvenţa acesteia, identică cu fecvenţa mişcării oscilatorii. Lungimea de undă se poate defini şi ca distanţa dintre punctele cel mai apropiate ale mediului care oscilează în fază. Altfel spus, lungimea de undă este distanţa dintre

II.2. Unde Elastice 1

  • View
    104

  • Download
    4

Embed Size (px)

Text of II.2. Unde Elastice 1

II.2. UNDE ELASTICEII.2.1. Propagarea undelor ntr-un mediu elastic, definiiiPrintr-un mediu elastic se nelege un mediu ntre ale crui particule se exercit fore de legtur de tip elastic. Dacntr-unpunct oarecare al unui mediuelastic, solidsaufluid, seproduceo perturbaie, adic o mic deplasare a unei particule a mediului fa de poziia ei de echilibru stabil,atunci, datorit interaciunilor elastice dintre particule,perturbaia se va propagadin aproape n aproape, cu o vitez finit v , n ntreg mediul. Altfel spus, particulele mediului vor intra treptat nmicare oscilatorie ngeneral armonic, deamplitudineAi depulsaie =2/T (vezi sec. II.1.1).Procesul depropagareaunei perturbaii ntr-unmediuoarecaresenumete und, iar dac propagareaesteposibil datorit legturilor detipelastic existente ntre particulele mediului unda se numete und elastic.Dac se compar direcia dup care are loc perturbaia cu direcia dup care aceasta se propag, undele se pot clasifica n unde longitudinale (atunci cnd cele dou direcii coincid) i n unde transversale (atunci cnd cele dou direcii sunt reciproc perpendiculare). Undele longitudinle se pot propaga prin orice fel de medii elastice, solide sau fluide, n schimb undele transversale nu se pot propaga dect prin medii care pot prelua eforturi tangeniale, adic prin medii elastice solide.Locul geometric al punctelor din spaiu pn la care a ajuns unda la un moment dat t se numete front de und. n funcie de forma frontului de und, undele se clasific n unde plane, sferice, cilindrice, etc.Distana parcurs de frontul de und ntr-un timp egal cu perioada oscilaiilorTse numetelungimedeundi estedatderelaia v/ v T , undevestevitezade propagare a undei iar frecvena acesteia, identic cu fecvena micrii oscilatorii. Lungimea de und se poate defini i ca distana dintre punctele cel mai apropiate ale mediului care oscileaz n faz. Altfel spus, lungimea de und este distana dintre punctele care oscileaz astfel nct diferen de faz dintre ele este egal cu 2.II.2.2. Ecuaia undei plane Ecuaia undei reprezint expresia matematic prin intermediul creia se precizeaz n orice moment deplasarea unei particule din mediu n raport cu poziia ei de echilibru ca o funcie de coordonatele poziiei de echilibru x,y,zale particulei i timpul t::( ) t z y x , , , (67)Aceast funcie trebuie s aib o dubl periodicitate.Periodicitatea n timp rezult din faptul c micarea efectuat de particul este o micare oscilatorie, de perioad T iar periodicitatea n spaiu rezult din faptul c punctele mediului aflate la o distan egal cu unele de altele oscileaz n faz.Pentru a gsi o posibil expresie a funciei, numit frecvent funcie de und, se va presupune c perturbaia este o oscilaie armonic, ce se propag sub forma unei unde plane, n sensul pozitiv al axeiOx.n aceste condiii suprafeele de und vor fi planuri perpendiculare pe axa Ox (Fig. II.11) iar funcia de und va depinde numai de x i t.n punctul surs, acolo unde se produce perturbaia, expresia funciei de und este:( ) ( ) + t A t cos , 0 . (68)n expresia de mai sus A reprezint amplitudinea undei iar pulsaia ei, aceleai cu cele ale micrii oscilatorii executate de surs. Argumentul funciei trigonometrice cosinus se numete faza undei iar faza ei iniial. Valoarea fazei iniiale depinde de alegerea valorilor iniiale ale variabilelor x i t. Pentru comoditate, ele vor fi alese astfel nct 0.Fig. II.11.Locul geometrical punctelor dinmediucarelaunmoment dat oscileaznfaz (pentru care funcia de und are aceeai valoare) se numete suprafa de und.Avnd n vedere definiia frontului respectiv a suprafeei de und, se poate spune c exist un singur front de und i un numr infinit de suprafee de und.Deplasarea undei din punctul surs (x = 0) pn ntr-un punct oarecare aflat la distana x de punctul surs necesit un timp definit astfel = x/v. Altfel spus, punctele mediului aflate la distana x fa de surs intr n oscilaie mai trziu exact cu timpul necesar undei s parcurg distana x. Pentru aceste puncte expresia funciei de und se scrie astfel:( )1]1

+

,_

1]1

+

,_

xTtAvxt A t x 2 cos cos ,.Dac se noteazk 2i se numete numr de und, atunci expresia funciei de und se scrie astfel:( ) ( ) + kx t A t x cos , . (69)Dac unda se propag n sensul negativ al axei Ox atunci expresia funciei de und se scrie astfel:( ) ( ) + + kx t A t x cos , . (70)Unda definit cu ajutorul relaiei (69) se numete und progresiv iar cea definit cu ajutorul relaiei (70) se numete und regresiv. Pentru funciile de und (69) i (70) se poate folosi i exprimarea complex( ) ( ) + kx t A t x exp , , (71)()xyzOn27avnd semnificaie fizic partea real sau imaginar a expresiei dup cum funcia de und este dat cu ajutorul funciei trigonometrice cosinus respectiv sinus. Scrierea funciei de und sub aceast form uureaz mult anumite calcule.n continuare, n ec. (69), se consider o valoare oarecare a fazei, fixat, astfel nctconst kx t + (72)Aceast expresie determin legtura dintre poziia xi momentultla care faza undei are o anumit valoare, n spe cea fixat de ec. (72). Valoarea cantitii dtdx, care se obine prin diferenierea ec. (72), definete viteza cu care se propag valoarea fazei aleas mai sus:01 dxvdtsau ncvdtdx (73)Deci, n acest caz,viteza de propagare a fazei,dtdx, este egal cu viteza de propagare a undei, v. Relund raionamentul, viteza de faz pentru o und ce se propag n sensul negativ al axei Ox, innd cont de (70) va fi egal cu:vdtdx . (74)Atunci cnd energia transportat de und (vezi sec. II.2.6) nu este absorbit de mediul prin care aceasta se propag, amplitudinea undeiAeste o mrime constant. n caz contrar, amplitudinea va fi o funcie descresctoare exponenial de distana xparcurs de und prin mediu:) exp(0x A A , (75)unde 0A este valarea amplitudinii n planul x = 0 iar este coeficientul de atenuare. Relaia (75) seamnfoartebineculegeadeatenuarentimpaamplitudinii micrii oscilatorii amortizate (vezisec. II.1.3).II.2.3. Ecuaia undei sferice Orice surs real are o anumit form respectiv anumite dimensiuni. Ca urmare, forma sursei va influena forma frontului de und. ns, dac se analizeaz forma frontului de und la o distan de surs mult mai mare dect dimensiunile sursei, atunci sursa poate fi consideratpunctiformiar undaemisdeosurspunctiformntr-unmediuomogeni izotrop este o und sferic.Urmndraionamentuldin sec.II.2.2. se presupune c faza oscilaiilor efectuate de punctul surs este egal cu + t. Punctele aflate pe o sfer de raz r cu centrul n punctul surs vor intra n oscilaie dup un timp = r/v astfel nct faza lor va fi egal cu + r k t. Spredeosebiredeundaplan, amplitudineaundei sfericedepindeinvers proporional de distana r fa de surs chiar dac mediul prin care are loc propagarea nu absoarbe din energia undei.n aceste condiii ecuaia undei sferice capt forma:( ) ( ) + kr trAt r cos , . (76)Dac, n plus, unda se propag ntr-un mediu care absoarbe energie, expresia ecuaiei undei sferice se corecteaz cu factorul ) exp( r :( ) ( ) + kr t rrAt r cos ) exp( , . (77)28II.2.4. Ecuaia diferenial a undelorFuncia de und corespunztoare oricrei unde este soluia unei ecuaii difereniale de ordinul doi cu derivate pariale, numit ecuaia diferenial a undelor. Pentru a gsi aceast ecuaie se calculeaz derivatele pariale de odinul doi ale funciei de und. n cazul particular al unei unde plane, n urma derivrii de dou ori n raport cu timpul a funciei de und dat de relaia (69), se gsete c: 222t. (78)n urma derivrii de dou ori n raport cu coordonata x a funciei de und se obine: 222kx. (79)Eliminnd pe ntre relaiile (78) i (79) i innd cont de definiia mrimilor i k se obine ecuaia diferenial a undei plane:01222 22 t v x. (80)Se verific uor c soluia cea mai general a unei asemenea ecuaii are forma( ) ( ) ( ) t v x t v x t x + + 2 1, (81)care corespunde suprapunerii a dou unde care se propag pe aceeai direcie dar n sensuri opuse. Dac propagarea undei are loc n toate cele trei direciix, y, z,atunci ecuaia diferenial (80) va cpta forma:01222 222222 + + t v z y x,care se poate scrie mai condensat, cu ajutorul operatorului lui Laplaceexprimatn cordonate carteziene dup cum umeaz:01222 t v. (82)Pentruoundsfericcreatdeosurspunctiformi caresepropagnmedii omogene i izotrope, ecuaia diferenial va avea forma:0) ( 1 ) (222 22 trv rr. (83)II.2.5. Viteza de propagare a undelorII.2.5.1. Viteza de propagare a undelor n medii solideSeconsiderobarelasticdeformcilindric, descrisdeurmtorii parametri: seciune constant S, densitatea , modulul de elasticitate longitudinal E. Bara este supus unei fore de tensiune orientat n lungul axei sale. Datorit acesteia, fiecare seciune transversal a barei sufer o deplasare n lungul axei barei. Dac fiecare dintre seciunile barei, indiferent de poziia ei, se deplaseaz cu aceeai distan atunci bara, nansamblulei,nu se deformeazci sufer o micare de translaie n lungul axei sale,cu distana. Evident, aceastsituaiecorespundeunei problemeclasicededinamic: bara sufer o micare accelerat de translaie sub aciunea unei fore exterioare.29Pentru cazul propagrii unei unde n bar trebuie s se considere ns c deformarea suferit de fiecare seciune n parte a barei depinde de poziia ei n lungul barei. Deci, dac se alegeaxaOxorientatnlungul barei atunci deplasareafiecrei seciuni sevascriecao funcie de coordonata x a seciunii. n continuare, din bara considerat, se urmrete comportarea unui cilindru de lungime infinit mic egal cu dx i cu bazele de seciuni egale ntre ele i egale cu S. Bazele se afl la distanaxirespectivx+dxdeorigineaaxeiOx.Aciuneaforei exterioareF vaproduce asupra cilindrului dou efecte distincte: pe de o parte cilindrul se va deforma elastic conform Legii lui Hooke iar pe de alt parte cilindrul se va deplasa accelerat, conform Principiului al doilea al Dinamicii.Fig. II.12.S se scrie legea lui Hooke pentru deformaiile elastice sub diferite forme i s se menioneze n fiecare caz semnificaia mrimilor fizice folosite. Deformareaelasticacilindrului presupunecbazeleluisevordeplasadupcum urmeaz:- baza aflat la distana x de origine se va deplasa cu distana (x) ;- baza aflat la distana x+dx de origine se va deplasa cu distana (x+dx).Noua lungime a cilindrului este acumegal cu: ( ) ( ) dx x dx x + + . Deformarea cilindrului, fieeaoalungiresauocomprimare, esteegalcu ( ) ( ) x dx x + . Pentrua exprimaconvenabil aceastdiferen sedescompunenseriefuncia ( ) dx x + njurul punctului x i se obine, n prim aproximaie:( ) ( ) ... + + + dxxx dx x (84)sau nc ( ) ( ) dxxx dx x + (85)Corespunztor, eforturile unitare pe cele dou baze ale cilindrului considerat vor fi egale cu Sx Fx) () ( , respectivcuSdx x Fdx x) () (+ + . Cuajutorul acestor precizri Legealui Hooke pentru cilindrul considerat se scrie dup cum urmeaz:( )Exdxdxx , (86)sau dup simplificare cu dx 30( )Exx . (87)n ce privete deplasarea accelerat a cilindrului considerat,aceasta presupune mai nti evaluarea forei rezultante rF , care acioneaz asupra cilindrului. innd cont de Legea lui Hooke, fora rezultant se poate scrie ca o diferen a forelor care acioneaz pe cele dou baze, n felul urmtor:( ) ( ) ( ) x dx x S Fr + . (88)Masa cilindrului considerat se scrie ca fiind egal cu:Sdx m (89)iar acceleraia acestuia cu:22ta . (90)n urma descompunerii n serie a funciei) ( dx x + n jurul punctuluix (vezi relaia (84)), Legea a doua a Dinamicii pentru cilindrul considerat se va scrie:22t x . (91)n continuare se scoate ) (x din (87) i se calculeaz derivata ei n raport cu x care se introduce n (91). Se obine astfel relaia:02222 t E x. (92)Dacsecomparrelaia(92)cuecuaiadiferenialaunei undeplanecaresepropagn sensulpozitival aeiOx(80), segsete, prinidentificare, expresiavitezei depropagarea undei longitudinalentr-obardedensitatei modulul deelasticitatelongitudinalE, respectiv:Evlong. (93)Ssecalculezevitezadepropagarea uneiundelongtudinalentr-o barde fier avnd densitate egal cu37700 m kg i modulul de elasticitate longitudinal egal cu 2 1110 2 m N .nmediilesolidesepot propagai undetranversale. Searatcnacest cazse pstreaz formula vitezei de propagare dar se nlocuiete modulul de elasticitate longitudinal E cu modulul de elasticitate transversal sau de forfecare,G, respectiv:Gvtrsv. (94)Din practic se tie c, n general, modulul de elasticitate longitudinal este mai mare dect cel de elasticitate transversal, relaia aproximativ fiind G = 0,4 E astfel nct se poate afirma c undele transversale se propag mai lent n solide dect cele longitudinale.II.2.5.2. Viteza de propagare a undelor n medii lichideAa cum s-a menionat deja, n mediile fluide (lichide sau gazoase) nu se pot propaga dect undele longitudinale. 31Lichidelenu-i pot mrivolumul sub aciunea unor fore externe deformatoare.Ele pot fi doar comprimate. Dac asupra unui lichid care ocup volumul V se exercit o presiune exterioardpatunci volumul lichidului sufer o comprimare egal cu dV. Valoarea acestei comprimridepinde denaturafluidului prin intermediulunei mriminotat cu , numit coeficient de compresibilitate i care se definete astfel:dpdVV . (95)Aceast relaie este echivalent legii lui Hooke. ntr-adevr, dac se scrie legea lui Hooke n cazul unei comprimri:SFE ldl 1 (96)iar definiia (26) se rescrie n felul urmtor:dpVdV1 , (97)i se compar cu (27) se constat c rolul modulului de elasticitate longitudinal l joac n cazul fluidelor coeficientul de compresibilitate al acestora. Aceast observaie permite scrierea, prin analogie a formulei vitezei de propagare a undelor longitudinale n lichide: longv. (98)II.2.5.3. Viteza de propagare a undelor n medii gazoasen funcie de frecvena undei longitudinale care se propag, se disting dou modele de abordare a fenomenului de propagare:- primul model seapliccurezultatebunencazul undelor cufrecvenemici i foarte mici, cnd se poate considera c schimbul de cldur dintre mediul nconjuttor i gaz se face prin intermediul unui proces izoterm;- al doilea model se aplic de asmenea cu rezultate bune n cazul frecvenelor mari i foarte mari, cnd se poate considera c ntre mediul nconjurtor i gaz nu are loc schimb de cldur.n primul caz, se presupune c masa de gaz sufer comprimri i relaxri succesive, n timpul croragazul i pstreaz temperatura constant astfel nct sepoate scrielegea transformrii izoterme (legea Boyle-Mariotte): const pV . Dac, mai departe, aceast relaie se difereniaz, se obine c:0 +Vdp pdV(99)sau nc:dpp VdV 1 . (101)Princomparaiecurelaia(97) seajungelaconcluziacvitezadepropagareaundelor longitudinale de frecvene mici n gaze este dat de formula:pvlong. (102)n al doilea caz, se presupune c n timpul propagrii undei, comprimrile i relaxrile succesive ale gazului se fac fr schimb de cldur cu mediul nconjurtor astfel nct se poate 32scrie ecuaia transformrii adiabatice (ecuaia lui Poisson):const pV . Dac, mai departe, se difereniaz aceast relaie, se obine c:01 +dp V dV pV .Dup mprirea cu 1 Vaceast relaie devine0 +Vdp pdV (103)care poate fi pus sub urmtoarea form, deja familiar:dpp VdV1 . (104)Ea sugereaz c n acest caz viteza de propagare a undei longitudinaleeste egal cu: pvlong(105)Utiliznd ecuaia de stare a gazului ideal, relaia (105) se mai poate scrie i sub forma:RTvlong. (106)Ssecompareexpresiavitezei termiceaunui gazideal monoatomiccuceade propagare a undelor longitudinale n acelai gaz. S se fac raportul acestora i s se interpreteze rezultatul. S se calculeze viteza de propagare a sunetului n aer cu ajutorul formulei (106). Se va lua pentru 57 iar pentruK T 293 .II.2.6. Energia transportat de unda elasticSe consider o und longitudinal, plan, care se propag n sensul pozitiv al axei Ox, printr-un anumit mediu elastic. Ecuaia undei n acest caz se scie conform relaiei (69):( ) ( ) + kx t A t x cos ,i cu ajutorul ei se precizeaz n orice moment deplasarea unei particule din mediu n raport cu poziia ei de echilibru, ca o funcie de coordonatele poziiei de echilibru ale particulei i timpul t. Din acest mediu se va delimita un volum V att de mic nct s se poat considera c n orice punct al acestuia viteza i deplasarea relativa fa de poziia de echilibru a particulelor mediului auaceeai valoare,t , respectivx . nacestecondiii sepoateevalua energiacineticprecum iceapotenial de tip elastic a elementului de volum considerat. Astfel, pentru energia cinetic se poate scrie:Vtmv Wc

,_

222121 , (107)unde s-a notat cu V masa elementului de volum considerat. Pentru energia potenial de tip elastic a elementului de volum considerat se poate scrie:221kx Wp . (108)Conformlegii lui Hooke, constanta elastic estelSEk , alungirea l x , volumul elementului considerat este Sl V iar alungirea relativ estellx .Modulul de 33elasticitate al lui Young Ese nlocuiete cu 2v conform relaiei (93).Cu ajutorul acestor notaii expresia energiei poteniale de tip elastic a elementului de volum devine:Vxv Wp

,_

2221 . (109)Energia total se scrie acum ca fiind suma dintre energiile cinetic i potenial ale elementului de volum considerat:VxvtVxv VtW

,_

,_

+

,_

,_

+

,_

222 222212121 . (110)Dac se definete densitatea volumic de energie: VWw ,atunci pentru aceasta se gsete urmtoarea expresie:

,_

,_

+

,_

22221xvtw . (111)Dac, n continuare, se calculeaz diferenialele de ordinul unu ale funciei de und dat de (69) n raport cu timpul i coordonata i se introduc n relaia (111), se obine pentru densitatea volumic de energie urmtoarea expresie:( ) + kx t A w2 2 2sin (112)Se vede c, valorile energiei precum i cele ale densitii volumice de energie depind attdemomentulctidepoziiapunctuluidinspaiu ncare sefaceevaluareaacestora. Relaia (112) gsit pentru densitatea volumic de energie poate fi mediat. Aa cum se tie, valoarea medie a ptratului funciei sinus, calculat pentru o perioad, este egal cu 1/2 astfel nct valoarea medie a densiti volumice de energie este:2 221 A w . (113)Relaia aceasta este adevrat nu numai pentru undele plane longitudinale ci i pentru cele transversale, pentru undele sferice, pentru undele plane amortizate, etc. n concluzie, ntr-unmediuprincaresepropagoundexistocantitatesuplimentardeenergie. Aceasta provine de la sursa de oscilaii i este transportat de unda nsi. Unda transport prin mediul de propagare energie nu substan.Energia medie transportat de und n unitatea de timp prin unitatea de suprafa se numete intensitatea undei. Ea este egal cu:2 221A v w v I . (114)Aacumrezult i dindefiniie, unitatea demsur pentruintensitatea undei n sistemul internaional este2mW. II.2.7. Unde staionarentr-un punct din spaiu se pot ntlni la un moment dat mai multe unde. Fiecare und produce n punctul respectiv propriul ei efect. Astfel, datorit fiecrei unde n parte punctul respectivvaoscilacuoanumitamplitudine, cuoanumitfrecveni dupoanumit direcie. Efectul total este dat de suma geometric a efectelor produse de fiecare und n parte. Acest rezultat, desprins din practic, se numete Principiul superpoziiei sau al suprapunerii undelor. Dacdiferenadefazdintrefazeleadouundecareajungntr-unpunct laun moment dat este constant n timp, undele se numesc coerente.34Fenomenul desuprapunereaundelor coerentesenumeteinterferen. Rezultatul interferenei a dou unde const n apariia minimelor i a maximelor de interferen, ceea ce nseamn cn anumite punctedinspaiu oscilaiile se amplific iar n altele se atenueaz reciproc. Uncaz special de interferen l reprezint interferena staionar. Ea const n suprapunerea a dou unde avnd aceeai amplitudine, aceeai frecven i direcie de propagare dar sensuri opuse. De exemplu dou astfel de unde pot fi unda incident i unda reflectat n cazul incidenei normale pe suprafaa de separare a dou medii.Seconsiderncontinuaredouundeplanecaresepropagnsensuri opusede-a lungul axei Ox, descrise de urmtoarele dou ecuaii de und:( ) ( )1 1cos , + kx t A t x , (115)( ) ( )2 2cos , + + kx t A t x . (116)n conformitate cu Principiul suprapunerii undelor, unda rezultant n punctul considerat este descris de urmtoarea funcie de und:( ) ( ) ( ) t x t x t x , , ,2 1 + sau nc ( ) ( ) ( ) [ ]2 1cos cos , + + + + kx t kx t A t x (117)ncontinuarese transform suma de cosinusuri n produs conform relaiei cunoscute de la trigonometrie i se obine:( ) ,_

++ ,_

+ 2cos2cos 2 ,1 2 1 2 t kx A t x(118)Relaiaastfel obinutreprezintecuaiaundei staionare. Sepoateobineoformmai simpl dac se aleg momentele citirii poziiei x i a timpului t astfel nct 1 2 i 1 2 +s fie ambele egale cu zero. n acst caz, pentru ecuaia undei staionare se obine:( ) t kx A t x cos cos 2 , (119)Din relaia de mai sus se observ c punctele mediului n care este prezent unda staionar oscileaz cu aceeai frecven i cu amplitudinea a constant n timp dar diferit de la punct la punct, funcie de coordonata x a punctului: kx A a cos 2 (120)Se observ de asemenea c valorile amplitudinilor variaz periodic ntre valorile 0 i 2A. Punctele n care amplitudinea oscilaiilor este egal cu 0 (punctele care nu oscileaz) se numesc noduri iar punctele care oscileaz cu amplitudine maxim se numesc ventre.Poziia nodurilor se gsete egalnd cu zero expresia amplitudinii i rezolvnd ecuaia trigonometric astfel obinut:0 cos 2 kx A a(121)Dac se noteaz poziia fiecrui nod cu nx, se gsete c:( )41 2+ n xn, cuZ n . (122)Se verific uor c distana dintre dou noduri consecutive este egal cu 2. n mod asemntor, dac se impune amplitudinii condiia s ia valoarea maxim 2 cos 2 kx A a(123)i dac se noteaz poziia ventrelor cu vx, se gsete c:2n xv , cuZ n . (124)35Se verific uor c i distana dintre dou ventre consecutive este egal tot cu 2, ceea ce nseamn c nodurile i ventrele sunt echidistante i i pstrez poziia n timp.S se calculeze distana dintre dou noduri (respectiv ventre) cosecutive, de exemplu dintre nodurile corespunztoare valorilor n=l+1 i n=l. S se calculeze de asemenea distana dintre un nod i ventrul din imediata sa apropiere.O cldire suficient de nalt, de exemplu un bloc cu 10 etaje sau mai mult, cu seciune constant, poate fi sediul unei unde staionare aprut n timpul unui cutremur. Tendina va fi ca la baza cldirii s se formeze un nod iar la ultimul etaj un ventru. Unde staionare pot apare i ntr-o bar ncastrat la ambele capete sau ntr-o grind de asemenea fixat la capete, la un pod, etc. n acest caz tendina va fi ca la capetele fixe s se formeze cte un nod iar ntre ele unul sau mai multe ventre.Unde staionare se formeaz n instrumentele muzicale cu coarde, n instrumentele de suflat, de percuie, etc.II.3. Noiuni de acusticII.3.1. Proprietile sunetuluiSunetul este o und elastic longitudinal. El se poate propaga att n medii solide ct i n medii fluide.Pentru a fi perceput de urechea omului, sunetul trebuie s ndeplineasc anumite condiii:- s aib frecvena cuprins n intervalul aproximativ 16-20000 Hz;- s aib o durat mai mare de aproximativ 0,06 s;- s aib o intensitate mai mare dect o anumit valoare numitprag de audibilitate i care este aproximativ egal cu21210mW.Valorile menionate sunt aproximative. Ele pot s difere uneori semnificativ de la o persoana la alta. Undeleelastice care au frecvena mai mare de 20000Hz se numescultrasuneteiar cele care au frecvenamai micde16Hz se numescinfrasunete.Partea din fizic care se ocup cu studiul infrasunetelor, a sunetelor i a ultrasunetelor se numete acustic.Pentru a caracteriza sunetele i pentru a le diferenia ntre ele se definesc trei proprieti ale acestora: nlimea, timbrul i intensitatea.nlimea sunetului.Orice sunet real este de fapt rezultatul suprapunerii mai multor oscilaii armonice de frecvene diferite. Totalitatea frecvenelor prezente ntr-un anumit sunet alctuiesc spectrul acustic al sunetului respectiv. Dac spectrul sunetului conine toate frecvenele dintr-un interval dat se spune c este un spectru continuu. Zgomotele fac parte din categoria sunetelor cu spectru continuu. Dac ns spectrul sunetului conine numai anumite frecvene dintr-un interval dat, el se numete spectru de linii sau spectru discret. Un caz particular de sunete cu spectru discret l reprezint acele sunete n componena crora intr doar o singur frecven, sunetele pure. Unalt cazparticularl reprezintsuneteleacrorfrecvenecomponentesuntunmultiplu ntregal uneianumitevalori, numitfrecvenfundamental. Unastfel desunetsemai numete ton i este alctuit din frecvena fundamental i din armonicile acesteia.n aceste condiii,nlimeaunui sunet este dat de frecvena oscilaiei n cazul unui sunet pur i de frecvena fundamental n cazul unui ton.36Intensitatea sunetuluii nivelul sonor.n general se definesc dou feluri de intensiti: intensitatea sonor i intensitatea auditiv. Intensitatea sonorreprezint energia medie transportat de unda sonor n unitatea de timp prin unitatea de suprafa a mediului prin care aceasta se propag (n concordan cu definiia geneal a intensitii undei):tWSIs1, (125)valoarea ei medie temporal avnd expresia (114). Intensitatea sonor este o mrime obiectiv.Ea poate fi msurat cu ajutorul unor dispozitive experimentale cumar fi dispozitivul lui Rayleigh, microfonul electrostatic, etc. Aacums-amenionat deja, unsunet, pentruafi auzit, trebuiesaibfrecvena cuprins n domeniul 16-20000 Hz dar n acelai timp trebuie s aib i o anumit intensitate sonor minim. Aceast valoare a intensitii minime depinde puternic de frecvena sunetului n discuie. Mulimeavalorilorintensitilor sonore minime care permit perceperea sunetelor se plaseaz pe o curb numit prag de audibilitate. Se constat c pentru frecvenele de la 1000 la 4000 Hz, pragul de audibilitate este cel mai sczut, inferior valorii de21210mW, n timp ce pentru un sunet de frecven de 20 Hz acesta este de aproximativ2510mW i tot cam att pentru sunetul de 20000 Hz. Fig. II.13.Pe de alt parte, exist i o valoare maxim a intensitii sonore care poate fi suportat de urechea omeneasc. Peste aceast valoare unda nu mai este perceput ca sunet, ea produce doar o senzaie de durere. i aceast valoare maxim a intensitii sunetului depinde puternic defrecvenasa. Eaestedeaproximativ 2210mWpentrufrecveneleextremeiestemai cobort, de circa2210mWn acelai domeniu 1000-4000 Hz, la care urechea este foarte sensibil. Mulimea valorilor intensitilor maxime suportate de urechea omeneasc se plaseaz pe o curb numit pragul senzaiei dureroase. 37Pragul dureriiZona de audibilitatePragul deaudibilitateDatoritintervalului foartemare pecare se ntind valorileintensitiisonore,de la 21210mW pn la2210mW, uneori este convenabil s se introduc o alt mrime, numit nivel sonor, definit ca fiind logaritmul n baza 10 a raportului dintre intensitatea unui anumit sunet i nivelul de referin a pragului de audibilitate corespunztor sunetului cu frecvena de 1000Hz, respectiv212010mWI:0lgIINSS. (126)Pentruacelaiinterval devariaie aintensitiisonore,nivelulsonorvariaz numai ntre valorile 0 i 14. Unitatea pentru nivelul sonor, definit cu ajutorul relaiei de mai sus se numete bell (B). n mod obinuit se folosete un submultiplu al acestuia, decibell-ul (dB). Nivelul sonor exprimat n decibell-i este dat de relaia: 0lg 10IINSS. (127)Revenind, pentru a fi auzit, un sunet trebuie s aib nivelul sonor cuprins ntre valorile 0 i 140 dB. n tabelul de mai jos sunt cteva exemple relevante de posibile niveluri sonore:Sunetul Nivelul sonor, dBTic-tac-ul unui ceas 20oapta, la distana de 1m 30Conversaie linitit 40Discuie de nivel sonor mediu 60Discuie tare 70mpuctur 80Zgomotul produs de motorul unui avion-la 5m distan:-la 3m distan:120130Tabelul II.2Intensitatea auditiv aI caracterizeaz senzaia auditiv produs omului de ctre un sunet. Introducereaacestei mrimi estenecesardeoareces-aconstatat curecheauman percepe dou sunete care au aceeai intensitate sonor dar frecvene diferite ca dou sunete de trie diferit. Definirea acestei mrimi se bazeaz pelegea Weber-Fechner,stabilit experimental i care afirm: senzaia auditiv fiziologic este proporional cu logaritmul zecimal al excitaiei sonore.Dinaceastlegerezultcpentruaordonasuneteledup senzaiaprodustrebuieintrodusonoumrime, intensitateaauditivaI. Prindefiniie, intensitateaauditivaIaunuisunetesteegalcuintensitateasonorasunetuluide 1000 Hz care produce aceeai senzaie auditiv ca i sunetul dat( ) Hz I Is a1000 .Corespunztor se definete i nivelul auditiv 0lg 10aaaIIN ,unde212100mWIaeste intensitatea auditiva de pe pragul de audibilitate a sunetului de 1000Hznumit uneori isunetul normal. Nivelul auditivsemsoarnfonisaudecibeli acustici -dB(A).Fonul reprezint nivelul auditiv al unui sunet a crui intensitate 38auditiveste de1,26ori mai maredect intensitateaauditiv0aIde pepragul de audibilitate a sunetului normal. ntr-adevr, n acest caz1 1 , 0 10 26 , 1 log 10 aN.Deoarece pentru sunetul normal ( ) Hz I Is a1000 , este clar c valoarea nivelului auditiv exprimatnfoni coincidecuvaloareanivelului sonor exprimatndecibeli (adicscara fonilor coincide cu scara decibelilor). Curbele din diagram reprezint curbe izotonice adic fiecare punctal uneicurbecorespunde unui sunet de o anumit frecven i de o anumit intensitate sonor (acustic) dar fiecare din aceste sunete provoac aceeai senzaie auditiv (are acelai nivel auditiv).Timbruleste acea caracteristic care permite s fie deosebite ntre ele dou sunete de aceeai frecven i intensitate auditiv dar emise de dou surse de natur diferit. Armonicele diferite prezente n componena celor dou sunete fac ca ele s poat fi difereniate unul de cellalt. Un sunet este cu att mai plcut, mai odihnitor cu ct conine un numr mai mare de armonici superioare.II.3.2. Reflexia i absorbia sunetului pe materiale solideAtunci cnd o und sonor ntlnete suprafaa de separare dintre dou medii diferite (de densiti i module de elasticitate diferite), au loc dou fenomene, n general simultane: reflexiai refracia(transmisia) undei. Reflexiaestefenomenul dentoarcereaundei n mediul din care a provenit iar refracia este fenomenul de schimbare a direciei de propagare odat cu ptrunderea undei n cellalt mediu. Ca urmare, energia undei incidente trebuie s se regseasc n unda reflectat respectiv n cea transmis. ntr-adevr, legea conservrii energiei undei sonore la suprafaa de separare dintre cele dou medii se scrie:T R IE E E + . (128)nlegturcuceledoufenomenemenionatemai sussedefinesccoeficienii de reflexie R i de transmisie T , dup cum urmeaz:-IRAAR , undeRA reprezint amplitudinea undei reflectate iarIA reprezint amplitudinea undei incidente, i- ITEET , unde TE reprezint energia undei transmise iar IEreprezint energia undei incidente. Avndnvederecenergia(i intensitatea) undei estedirect proporionalcu ptratul amplitudinii ei, legeaconservrii energiei sonore(128) sepoatescriecuajutorul coeficienilor R i T dup cum urmeaz:21 R T . (129)CoeficientiiRiTsepot determina nurma unor msurtori. nacest scopse utilizeazinterferometrul acustic. Acestaeste un dispozitivcuajutorulcruia se obine o und sonorstaionar, prinmetoda clasic desuprapunerea undei incidente pestecea reflectat. Deoarece o parte din energia undei incidente o regsim n unda transmis (128), amplitudinile undei incidente i ale undei reflectate nu vor fi egale,R IA A . Ca urmare, se arat c n acest caz amplitudinea n noduri este egal cu:R I nA A A , (130)iar amplitudinea n ventre este egal cu:39R I vA A A + . (131)Dac, n plus, sedefinetecoeficientul undei staionare S, ca fiind raportul dintre amplitudinea ventrului i a nodului undei staionare, nvAAS , (132) atunci, coeficienii R i T se pot exprima cu ajutorul acestuia dup cum urmeaz:( )( ) 11+SSR(133)respectiv( )214+SST. (134)Determinarea experimental a coeficienilor de reflexie i de transmisie a undei sonore se reduce deci la determinarea coeficientului undei staionare S. Pentru determinarea acestuia se msoar direct, pe ecranul unui osciloscop, amplitudinile undei sonore staionare, vA i nA. Determinareaexperimentalacoeficienilor dereflexiei detransmisie aundei sonore pe diverse materiale solide poate constitui subiectul unei lucrri de laborator. Se pot face studii cu privire la dependena coeficienilor R i T de natura materialului fono-absorbant precum i de grosimea stratului folosit.40