of 10 /10
E,G ŞI - CARACTERISTICI ELASTICE ALE MATERIALELOR Augustin CREŢU, Rodica CREŢ, Dănuţ MATEESCU E, G ET - CARACTÉRISTIQUES ÉLASTIQUES DES MATÉRIAUX On présente les contributions fondamentales des scientifiques – mathématiciens et mécaniciens – au développement de la Résistance des Matériaux et de la Théorie de l’Élasticité. T. Young, Ch. A. de Coulomb et S.D. Poisson ont lié leurs noms – entre autres – aux paramètres qui définissent les caractéristiques élastiques des matériaux: les modules d’élasticité (E et G) et le coefficient de contraction transversale (). On souligne le fait que sans connaître le plus exactement possible les valeurs de ces constantes, il devient pratiquement impensable de concevoir et de réaliser rationnellement les diverses structures mécaniques modernes. Mots-clés: applications, barres, poutres, ressorts, plaques, le stress, la tension, modules élastiques: longitudinale et transversale contraction transversale coefficient, la conception rationnelle Cuvinte cheie: solicitări, bare, grinzi, resorturi, plăci, tensiuni, deformaţii, module de elasticitate: longitudinală şi transversală, coeficient de contracţie transversală, proiectare raţională 1. Precursori [1, 3, 4] Celui mai mare savant al sfârşitului secolului al XVII-lea, sir Isaac Newton – genial matematician, fizician şi astronom, profesor universitar la Cambridge – îi este atribuită o faimoasă afirmaţie „Noi suntem nişte pitici urcaţi pe umerii unor giganţi”, consfinţind, astfel, un 607

E,G ŞI υ - CARACTERISTICI ELASTICE ALE MATERIALELOR

Embed Size (px)

Text of E,G ŞI υ - CARACTERISTICI ELASTICE ALE MATERIALELOR

  • E,G I - CARACTERISTICI ELASTICE ALE MATERIALELOR

    Augustin CREU, Rodica CRE, Dnu MATEESCU

    E, G ET - CARACTRISTIQUES LASTIQUES DES MATRIAUX

    On prsente les contributions fondamentales des scientifiques mathmaticiens et mcaniciens au dveloppement de la Rsistance des Matriaux et de la Thorie de llasticit. T. Young, Ch. A. de Coulomb et S.D. Poisson ont li leurs noms entre autres aux paramtres qui dfinissent les caractristiques lastiques des matriaux: les modules dlasticit (E et G) et le coefficient de contraction transversale (). On souligne le fait que sans connatre le plus exactement possible les valeurs de ces constantes, il devient pratiquement impensable de concevoir et de raliser rationnellement les diverses structures mcaniques modernes. Mots-cls: applications, barres, poutres, ressorts, plaques, le stress, la tension, modules lastiques: longitudinale et transversale contraction transversale coefficient, la conception rationnelle Cuvinte cheie: solicitri, bare, grinzi, resorturi, plci, tensiuni, deformaii, module de elasticitate: longitudinal i transversal, coeficient de contracie transversal, proiectare raional 1. Precursori [1, 3, 4]

    Celui mai mare savant al sfritului secolului al XVII-lea, sir

    Isaac Newton genial matematician, fizician i astronom, profesor universitar la Cambridge i este atribuit o faimoas afirmaie Noi suntem nite pitici urcai pe umerii unor gigani, consfinind, astfel, un

    607

  • ndreptit omagiu adus naintailor fondatori ai tiinelor moderne. El nsui una dintre figurile cele mai mree ale epocii i ale ntregii istorii a cunoaterii - s-a ocupat n mod special de Mecanic - ale crei legi fundamentale le-a stabilit a pus temeliile mecanicii clasice, dnd soluii multor probleme din sferele matematicii, fizicii i astronomiei. Tratatul su Philosophiae naturalis principia mathematica (Principiile matematice ale filosofiei naturale) aprut la 5 iulie 1687, reeditat n mai multe limbi i numeroase ediii constituie baza astronomiei, fizicii i mecanicii clasice. Aceast lucrare era socotit, mai trziu de ctre Joseph Louis Lagrange ... cea mai mare creaie a minii omeneti!

    O figur aparte printre savanii vremii fizicianul, mecanicianul, matematicianul, astronomul i naturalistul englez Robert Hooke, profesor de geometrie la Colegiul Gresham i membru de vaz al Royal Society (unde era responsabilul experimentelor) la bte noire pentru I. Newton, cu care s-a aflat ntr-o ... vrajb nverunat i de lung durat era preocupat, n principal, de problemele concrete ale vieii cotidiene. Ca urmare, importante i nu puine au fost rezultatele cercetrilor ntreprinse de acesta, n diverse domenii. El este - n anul 1658 inventatorul arcului spiral, aplicat la realizarea unor ceasuri portabile. Mai trziu n anul 1674, la Londra, n lucrarea sa An attempt to prove the annual motion of the Earth (ncercare de a dovedi micarea anual a pmntului) i-a expus o ipotez embrionar, bazat pe observaii, asupra gravitaiei universale fr a putea demonstra legile lui Kepler. Abordnd, empiric, studiul efectului aplicrii forelor asupra corpurilor confecionate, la scar macroscopic, din diferite materiale a strns o mare varietate de fire, resorturi i bare din lemn pe care le-a supus traciunii progresive, adugnd greuti marcate (fore) pe platanul unei balane i msurnd deplasrile (deformaiile) corespunztoare. Reprezentnd grafic deformaiile nregistrate n funcie de fora aplicat elementelor ncrcate, a obinut de fiecare dat o dreapt, dup ndeprtarea forei, corpurile revenindu-i la starea iniial (adic, n domeniul elastic)!

    n anul 1676 pentru a-i asigura prioritatea i, poate, pentru a-l irita pe I. Newton (care, n acelai an, procedase cam la fel cu G.W. Leibniz!) public fascicula intitulat A decimate of the centesme of the inventions/intended to publish (O zecime din cele o sut de invenii pe care intenionam s le public), care cuprinde i capitolul The true theorie of elasticity or springiness (Adevrata teorie a elasticitii sau efectul resortului), urmat de anagrama ceiiinosssttuv!

    Mai apoi, n anul 1678, Hooke a relevat semnificaia ascuns a acestei anagrame n lucrarea sa De potentia restitutiva or of spring

    608

  • (Restituirea puterii sau despre arc), unde enun legea care avea s-i poarte numele constituind baza dezvoltrii ulterioare a Rezistenei Materialelor i a Teoriei elasticitii: Ut tensio, sic vis (Telle extension, telle force) sau Precum este deformaia (de mare), aa este i fora (care o provoac)!

    Pentru marea majoritate a materialelor izotrope, n cazul solicitrii monoaxiale, n domeniul elastic al unui corp izotrop, deformaia n direcia tensiunii este direct proporional cu tensiunea, cele dou mrimi aflndu-se ntr-o relaie liniar, stabilit experimental, de forma

    , (1)

    unde este un coeficient dependent de materialul, forma i dimensiunile corpului. Astfel de relaii de proporionalitate pot fi scrise i ntre lunecri (deplasri unghiulare) i sarcinile care le produc, respectiv, ntre rotiri i cuplurile care le cauzeaz. 2. Thomas YOUNG (Milverton, 13.06.1773 Londra, 10.05.1829) modulul de elasticitate longitudinal, E [4, 5, 7] Dup o temeinic pregtire n domeniul medicinei (ntre 1792 i 1796) la Londra, Edinburg i Gtingen este admis (n 1797) ca bursier la Colegiul Emmanuel din Cambridge, unde studiaz sunetele i lumina (1799). n anul 1801 redescoper fenomenul interferenei luminii (pus n eviden de ctre Francesco-Maria Grimaldi nc din secolul al XVII-lea, n 1665, ntr-o lucrare postum a fizicianului italian dar neluat n serios, la acea vreme) iar n 1802 este ales membru al Royal Society fiind, totodat, profesor de filosofie natural n cadrul Royal Institution. Activitatea sa de lector n cadrul Royal Institution a reprezentat un eec, cursurile sale fiind prea concise, el siminindu-se incapabil s insiste asupra acelor pri care implicau un volum mare de calcule, probabil spre a evita dificultile. Peste numai un an renun la cariera didactic spre a se dedica redactrii operei sale tiinifice. n anul 1807 a publicat, la Londra n dou volume A Course of Lectures on Natural Philosophy and Mechanical Arts n care descrie principalele moduri de deformare a barelor prismatice, introducnd pentru prima oar noiunea de modul de elasticitate la traciune i la compresiune, E. Definiia acestei mrimi difer, ns, de cea folosit n prezent pentru modulul lui Young. Astfel, el afirm c modulul de elasticitate al oricrei substane poate fi asimilat unei coloane din aceeai substan, capabil de a produce n suprafaa

    609

  • (aria) bazei sale o presiune care se afl n acelai raport fa de greutatea ce produce compresiunea, ca i lungimea fa de scurtarea sa. Se observ c el vorbete despre greutatea modulului i de nlimea acestuia despre care susine c este independent de aria seciunii transversale. Pe de alt parte, greutatea modulului ar fi egal cu produsul dintre mrimea pe care o numim acum modulul lui Young i aria seciunii transversale a barei. Pornind de la ncercrile diverselor materiale la traciune i la compresiune, Young a observat c, ntotdeauna, deformaiile longitudinale ale epruvetelor sunt nsoite de modificarea dimensiunilor transversale iar legea lui Hooke este valabil numai n domeniul elastic de solicitare. Young a fcut, totodat, observaii importante privind legtura dintre forele tietoare i deformaiile unghiulare pe care acestea le provoac, respectiv, dintre momentele de torsiune i tensiunile tangeniale rezultate n barele cu seciune circular supuse rsucirii. El are remarci importante legate de ncovoierea grinzilor, de modul de deformare a acestora precum i referiri la solicitarea la compresiune excentric a stlpilor de seciune dreptunghiular i a celor cu seciune variabil (de diferite forme). A fost un precursor n ceea ce privete analiza tensiunilor i a doformaiilor rezultate ca urmare a solicitrii prin oc, la ncovoiere, ajungnd la concluzia c energia acumulat de grind este proporional cu volumul acesteia. Preocuprile sale nu s-au rezumat doar la tratarea unor probleme pur tiinifice ci a atacat i chestiuni practice, inginereti. Un exemplu n acest sens l reprezint un raport prezentat conducerii Amiralitii cuprinznd unele consideraii asupra construciilor de nave. Considernd corpul navei ca o grind, n ipoteza unei anume distribuii a greutilor pe lungime i un anumit profil al valurilor, a calculat forele tietoare i momentele ncovoietoare n diferite seciuni ale acesteia, determinndu-i i linia elastic.

    Chiar dac unele capitole din lucrrile sale au aprut sub o form neatractiv fiind dificil de citit acestea conin soluii valide ale multor probleme importante de Rezistena Materialelor, complet noi la acea vreme. Partea de Mecanica Materialelor din al doilea volum al Natural Philosophy nu a strnit mare interes din partea inginerilor ntruct prezentarea autorului era de cele mai multe ori telegrafic i arareori clar. El a fost un precursor n privina analizei tensiunilor produse prin oc elabornd i o metod de calcul a acestora, n cazul materialelor perfect elastice, care ascult de legea lui Hooke pn la rupere.

    610

  • Thomas Young a contribuit substanial la dezvoltarea Rezistenei Materialelor i a Teoriei Elasticitii prin introducerea noiunii de modul de elesticitate -E- la traciune i la compresiune.

    n accepiunea modern, E reprezint o mrime constant a rigiditii materialului, care nu depinde de tensiuni sau de deformaii. Cu ct modulul de elasticitate longitudinal este mai mare cu att deformaiile corespunztoare aceleiai tensiuni sunt mai mici, iar legea lui Hooke (1) ia forma (2):

    / E (2) 3. Charles-Augustin de COULOMB (Angoulme, 14.06.1736

    Paris, 23.08.1806) modulul de elasticitate transversal, G [2, 5, 7]

    Nscut la Angoulme, n departamentul Charente, n anul

    1736, marele fizician i mecanician Charles Augustin de Coulomb i-a desvrit educaia la Paris, nainte de a fi primit n corpul inginerilor militari.

    Trimis n insula Martinica nsrcinat (timp de 9 ani) cu diverse lucrri de construcii s-a dedicat studiului proprietilor mecanice ale materialelor i diverselor probleme de ingineria structurilor.

    n lucrarea Sur un application des regles de maximis et minimis quelques problmes de statique, relatif l`architecture - prezentat n anul 1773 Academiei Franceze de tiine sunt expuse o bun parte din rezultatele studiilor sale.

    ntors n Frana, Coulomb a lucrat ca inginer n la Rochelle i Cherbourg iar n anul 1781 este ctigtorul premiului Academiei pentru memoriul Thorie des machines simples, n care-i prezint rezultatele experienelor sale, privitoare la frecarea reciproc, uns sau uscat, prin alunecare sau prin rostogolire.

    Din 1781 s-a stabilit definitiv la Paris, unde fusese ales membru al Academiei i unde avea condiii mai bune pentru munca tiinific.

    n anul 1784 apare lucrarea sa Recherches thoriques et experimentales sur la force de torsion et sur l`lasticit de fils de metal, n care determin rigiditatea la rsucire a unei srme, utiliznd oscilaiile torsionale ale unui cilindru metalic suspendat la captul su. Reorientndu-i preocuprile spre cercetri n domeniul electricitii i a magnetismului, Coulomb a conceput i realizat (n 1785) o balan de torsiune foarte sensibil, cu ajutorul creia a stabilit legea atraciei dintre dou sarcini electrice sferice (care-i poart numele) valabil i n magnetostatic.

    611

  • Izbucnirea revoluiei franceze din 1789 l determin s se retrag la o proprietate a sa de la Blois iar n 1793 Academia a fost nchis redeschizndu-se n 1795 sub un nou nume L`Institut National des Sciences et des Artes, aflndu-se printre primii noi membri ai acestuia i publicndu-i ultimele lucrri n Memoirs de l`Institut.

    n anul 1802 Coulomb a fost numit unul dintre inspectorii generali de studii, dedicndu-i, n ultimii patru ani ai vieii, o mare parte din energie mbuntirii educaiei publice.

    n lucrarea sa Sur une Aplication... - menionat anterior sunt expuse rezultatele experimentelor sale de stabilire a rezistenei unor tipuri de gresii la traciune, forfecare i ncovoiere. n aceeai lucrare analizeaz ncovoierea grinzilor observnd c n cazul unei grinzi n consol, avnd seciune dreptunghiular, fibrele superioare sunt ntinse iar cele inferioare sunt comprimate. Tot el noteaz faptul c dac raportul dintre nlimea grinzii i deschiderea acesteia, h / , este mic, n cazul ncovoierii, efectul forei tietoare asupra mrimii tensiunilor este neglijabil.

    Studiind comprimarea axial a unei prisme, stabilete c ruperea acesteia se produce prin lunecarea ntr-un anumit plan a celor dou pri componente, atunci cnd este depit rezistena la forfecare n acel plan. Pe baza experimentelor sale, constatnd c fisurile care preced ruperea apar dup direcii la 450 fa de axa epruvetei, a emis, n 1773, teoria - reformulat, ulterior, de ctre H.E. Tresca i confirmat experimental de J. Bauschinger, A. Fppl i J. Guest (a treia - de rezisten) - conform creia starea periculoas apare n corpul supus strii spaiale de tensiuni, atunci cnd tensiunea tangenial maxim din acel corp max 1 2( ) / 2 atinge valoarea tensiunii tangeniale corespunztoare strii limit de la solicitarea de traciune simpl max t e / 2 , adic:

    ech.III 1 2 (3) Ca urmare a cercetrilor sale experimentale, a stabilit, pentru

    fiecare material ncercat, valoarea limitei de elasticitate la rsucire, observnd c dac srma este iniial rsucit peste aceast limit materialul acesteia se ntrete iar valoarea limitei de elasticitate crete. Totodat, a dedus pentru unghiuri mici proporionalitatea dintre momentul de torsiune, Mt respectiv, i unghiul de rsucire corespunztor, respectiv, deformaia specific unghiular, , adic:

    / G . (4)

    612

  • De asemenea, a demonstrat experimental c amortizarea oscilaiilor torsionale se datoreaz nu rezistenei aerului ci unor imperfeciuni de material. Studiind influena unor tratamente termice asupra proprietilor mecanice ale materialelor, a afirmat c acestea trebuie definite prin dou mrimi: coeficentul de contracie transversal,

    i limita de elasticitate, e e .

    Rodnica activitate tiinific desfurat de C.A.Coulomb a rmas consemnat, n principal, prin importantele sale contribuii n electricitate i magnetism, ca inventator al balanei de torsiune. Totodat, el a formulat legile frecrii uscate i a efectuat numeroase studii experimentale privitoare la rezistena materialelor, de numele su fiind legat i noiunea de modul de elasticitate transversal G.

    Nici un alt om de tiin al secolului al XVIII-lea n-a contribuit mai mult dect Coulomb la progresul tiinific al mecanicii mediilor elastice!

    4. Simon-Denis POISSON (Pithiviers, 21.06.1781-Paris,

    25.04.1840) coeficientul de contracie transversal, [5, 6, 7] Nscut la Pithiviers lng Paris, ntr-o familie srac

    Poisson n-a avut posibilitatea s nvee, pn la vrsta de 15 ani, dect scrisul i cititul. Trimis, n 1796, la unchiul su la Fontainebleau unde a luat lecii de matematici, a dovedit o att de mare atracie nspre tiinele exacte nct, peste numai doi ani n 1798 reuete cu distincie la cole Polytechnique, nfiinat n 1794. Acolo este remarcat, datorit progreselor nregistrate, de ctre Lagrange i Laplace astfel nct, la absolvire, n 1800, este reinut n cadrul catedrei de matematici. n 1806 devine titular al cursului de calcul i analiz matematic la Politehnica din Paris iar, ulterior, al catedrei de mecanic raional de la Sorbona.

    n anul 1811 apare prima ediie a lucrrii lui Poisson Trait de Mcanique oper cu mare rsunet n lumea tiinific a vremii, devenit, ulterior, manual de baz n studiul mecanicii, deschizndu-i autorului drumul spre Academia de tiine din Paris.

    Urmtoarea ediie a Tratatului de Mecanic aprut n 1833, n dou volume include i rezultatele contribuiilor publicate de el n 1829 n Mmoire sur l`quilibre et le mouvement des corps lastique, n 1830 n Mmoire sur la propagation du mouvement dans les milieaux lastiques i n 1831 n Mmoire sur les quations gnrales de l`quilibre et du mouvement des corps lastiques et des fluides. n

    613

  • aceste memorii, Poisson a introdus, pentru prima oar, noiunea de contracie lateral (transversal). Astfel, n cazul ntinderii monoaxiale, experienele arat c are loc n domeniul elastic o micorare a dimensiunilor transversale, fenomen denumit contracie transversal iar deformaia specific transversal n funcie de cea longitudinal va fi

    t , (5)

    unde coeficientul de contracie transversal, - pentru multe materiale omogene i izotrope are valori, stabilite teoretic, egale cu 0,25 dup Poisson sau de 0,33 conform determinrilor experimentale efectuate de W. Wertheim i Cognard de la Tour. n cazul barei prismatice solicitate axial, fa de un sistem de referin cartezian, Oxyz, deformaia specific de volum devine:

    V x y z x 1 2 0 i 0,5 (6)

    n acelai Tratat de Mecanic (din 1883) derivnd ecuaia diferenial a fibrei medii deformate a unei grinzi ncovoiate i innd seama de relaiile difereniale dintre eforturi stabilete, pentru calculul deformaiilor i vibraiilor, propriile sale ecuaii de forma:

    4 4z

    z

    dT x1d y / dx q / EIEI dx

    , (7)

    unde pentru intensitatea sarcinii q - propune o exprimare cu serii trigonometrice, sub o form sinusoidal. El deduce i ecuaia diferenial, de ordinul patru, a plcilor, n coordonate carteziene, pe care pentru cele circulare- o rescrie, n coordonate polare, dnd o soluie complet problemei. Todat, a studiat i vibraiile laterale ale plcilor i a stabilit ecuaiile vibraiilor longitudinale, torsionale i laterale ale barelor, calculnd frecvenele diferitelor moduri de vibraii. Marele matematician i mecanician francez Simon Denis Poisson, profesor la coala Politehnic din Paris, apoi, titular al catedrei de mecanic raional de la Sorbona i membru al Academiei de tiine din Paris, a adus contribuii fundamentale n domeniul ecuaiilor cu derivate pariale, a calculului variaional i a funciilor armonice. Lucrarea sa Trait de Mcanique- oper esenial n domeniu cuprinde principalele sale contribuii privind echilibrul i micarea corpurilor elastice, propagarea micrii n mediile elastice i

    614

  • ecuaiile generale ale echilibrului i micrii corpurilor elastice i a fluidelor. n Rezistena Materialelor i n Teoria Elasticitii numele su rmne ataat de soluionarea numeroaselor probleme analitice precum i de introducerea noiunii de coeficient de contracie transversal - . 5. Concluzii

    Faimoasa fraz atribuit celui mai mare savant al secolului al XVII-lea Isaac Newton, aducnd, astfel, un omagiu ndreptit naintailor fondatori ai tiinelor moderne, se potrivete ntocmai, i continuatorilor n privina cercetrilor tiinifice din veacurile ce au urmat. Fcnd referire doar la cteva dintre realizrile n domeniul Rezistenei Materialelor i al Teoriei Elasticitii, numele fondatorilor -Young, Coulomb i Poisson - rmn legate i de introducerea i definirea constantelor elastice E, G, i - trei parametri independeni, legai ntre ei prin condiia de continuitate a corpului omogen i izotrop solicitat, supus deformrii: G E / 2 1 (8) Modulul de elasticitate longitudinal, E, modulul de elasticitate transversal, G i coeficientul de contracie transversal, caracterizeaz proprietile elastice ale corpului izotrop i se determin experimental. n cazul materialelor neomogene sau anizotrope, valorile constantelor elastice variaz n funcie de structur i de coordonatele punctului de referin din corp. Acelai lucru se constat, pentru modulele de elasticitate, atunci cnd metalele sunt supuse unor tratamente termice. Fr o cunoatere ct mai exact a caracteristicilor elastice E, G i - ale materialelor utilizate, o proiectare i realizare raional a diverselor structuri mecanice moderne devine, practic, de neconceput.

    BIBLIOGRAFIE [1] Creu, A., .a. Anagrama lui Robert Hooke, n: Tensiuni Stress Contraintes , Cluj Napoca, Editura Mediamira, 2001. [2] Deutsch, I., Rezistena materialelor. Editura didactic i pedagogic, Bucureti, 1976.

    615

  • 616

    [3] Gordon, J.E., Structures et matriaux. L`explication mcanique des formes. Paris, Editions Pour la Sciences S.A.R.L., 1994. [4] Hellemans, A., Bunch, B., Istoria descoperirilor tiinifice. Bucureti, Editurile Orizonturi i Lider, 1998. [5] Kmbetlian, G., Mndrescu, Georgeta, Mecanica solidelor deformabile. Retrospectiv cronologic 1452 1952. Editura Alma, 2005. [6] Ponomariov, S.D., .a. Calculul de rezisten n construcia de maini (vol. 1). Editura tehnic, Bucureti, 1960. [7] Timoshenko, S. P., Istoria Rezistenei Materialelor. Editura AGIR, Bucureti, 2006.

    Prof.Dr.Ing. Augustin CREU Facultatea de Mecanic, Universitatea Tehnic din Cluj-Napoca

    membru AGIR e-mail: [email protected] Conf.Dr.Ing. Rodica CRE

    Facultatea de Inginerie Electric, membru AGIR Ing. Dnu MATEESCU

    profesor, Colegiul Naional Spiru Haret, Trgovite

    mailto:[email protected]