IV. UNDE ELASTICE

cc

IV. UNDE ELASTICE

r

c c

r

Unde longitudinale in fluide si solide:

Unde transversale in solide:

Unde de suprafata in lichide:

Exemple de tipuri de unde

IV. UNDE ELASTICE

La propagarea undei logitudinale in fluide, deplasarea ξ (x) a particulelor

determina pentru un element de masa “dm” fenomene de dilatare (dx’ > dx) si

contractie (dx’< dx).

Rezulta o modificare a densitatii locale, cu excesul de densitate ρ’=ρ – ρ0, (ρ’<<

ρ, ρ0) si a presiunii locale, cu excesul de presiune p’=p - p0, (p’<< p, p0 ) locale:

Ecuatiile de propagare sunt:

2 2

2 2 2

10

x c t

2 2

2 2 2

10

' '

x c t

2 2

2 2 2

10

' '

x c t

(1) (2) (3)

RTKc ad

0

0ad

RTK

unde: (4) - este viteza de faza

(viteza de propagare a undei)

(5) - este modulul de compresie

adiabatica

Exemplu. - Pentru gaze ideale:

unde este exponentul adiabatic. (7)

d x

d x'

( x )

( S )

d m

c

x

(6)

2p c

0

adKc

ad

ad

dpK V

dV

IV. UNDE ELASTICE

2.2. Unde longitudinale în solide

2 2

2 2 2

10 8

x c t

Ecuatia de propagare pentru deplasarea ξ:

unde

este viteza de faza a undelor logitudinale in solide

(E - modul de elasticitate Young, iar ρ - densitatea)

9c E /

2.3. Unde transversale în solide

Ecuatia de propagare pentru deplasarea ξ:

unde

este viteza de faza a undelor logitudinale in solide

(G - este modul de torsiune,

iar ρ - densitatea)

11c G /

2 1 12G E /

2 2

2 2 2

10 10

x c t

d x

d x'

( x )

( S )

d m

c

x

(x) dx (x+dx)

x x+dx x

(S)

d

c

dm

IV. UNDE ELASTICE

2.4. Unde monocromatice plane

, p , Notam cu - functia de unda si .

Forma generala a ecuatiei diferentiale a undelor :

2

2 2

10 13

c t

2 2 2

2 2 2operatorul Laplace

x y z

unde

2 2

2 2 2

10 14

x c t

Dacă unda se propagă pe direcţia Ox atunci, din punct de vedere matematic operatorul lui

Laplace se reduce la o derivată de ordinul II in raport cu x. Astfel ecuaţia diferenţială

generală a undelor va fi de forma:

1 2 15x x

x,t t tc c

Solutia ecuatiei (14):

unde reprezinta undele progresiva si regresiva. 1 2si

xS

1 2

01

,2

2

22

2

tcxxx

IV. UNDE ELASTICE

Dacă perturbaţia produsă de sursa S este o perturbaţie armonică (sinusoidală)

,

atunci expresia funcţiei de undă pentru unda progresivă va fi tot de formă sinusoidală:

16S t Acos t

17x

x,t Acos tc

Unda prezintă o periodicitate temporală de perioadă T:

Unda prezintă de asemenea si o periodicitate spatiala cu lungimea de unda λ:

18x x

Acos t T Acos tc c

219T

20x x

Acos t Acos tc c

221

cc T

A

- A

t

T

x = c t

t = c t

x

λ

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

directie de propagare

IV. UNDE ELASTICE

(17)

IV. UNDE ELASTICE

Obs.

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

complexă.

IV. UNDE ELASTICE

2.5. Unde monocromatice sferice

Ecuatia diferentiala a undelor sferice:

2 2

2 2 2

10

1

r c r

pentru

r,t r r ,t

r A rr,t t cos t

r c r c

Solutia ecuatiei:

A

r,t cos t krr

rktie

r

Atr

,~

(32)

(33)

(34)

(35)

IV. UNDE ELASTICE

3. Mărimi energetice specifice undelor elastice 3.1. Densitatea de energie

- Procesul de propagare a undelor este însoţit de un transport de energie, numită

energia undei.

- Considerăm un element infinitezimal al mediului considerat de volum dV.

Această porţiune al mediului va avea o energie suplimentară:

1dW dT dU

- Excesul de energie cinetică asociată elementului de volum dV si masa dm=ρ0dV

(unde ρ0 este densitatea) aflat în mişcarea ondulatorie cu viteza v, va fi:

2 20

1 12

2 2dT dm v v dV

- Excesul de energie potenţială apare ca urmare a comprimării sau dilatării

elementului de volum respectiv. Comprimarea (sau dilatarea) vor determina o

modificare ρ’ a densităţii fluidului şi o modificare dV’ a elementului de volum

în raport cu valorile ρ0 şi dV pentru starea când prin mediu nu se propagă

unde. Datorită conservării masei dm=dm’ , se poate scrie:

0 0dV dV dV ;

0Pentru : dV dV ', ' dV 0

dV dV

IV. UNDE ELASTICE

- Energia potenţială elementară dU poate fi scrisă ca fiind egală cu lucrul

mecanic al forţelor de presiune suplimentara medie,

Cu relatia , rezulta:

0 2 2medp p' / p'/

2

2

0 0

32 2

med

p pdU p dV dV dV

c

- Eenergia mecanică totală suplimentară a elementului de volum dV va fi:

2 2

2 2

0 02 2

0 0

1 1 14

2 2 2

p pdW v dV dV v dV

c c

- Densitatea de energie locala a mediului va fi:

2

2

0 2

0

15

2

dW pw v

dV c

3.2. Intensitatea undelor elastice

Definitie: Intensitatea undelor elastice este o marime

fizica numeric egala cu energia transportata de unda in

unitate de timp prin unitate de suprafata a mediului,

normala pe directia de propagare

6W

IS t

Fig. 1

c :

2p c

IV. UNDE ELASTICE

Energia ΔW transportata de unda in timpul Δt prin suprafata ΔS se regaseste in

volumul ΔV=ΔS·c·Δ t. Rezulta:

7W w V

I c wS t S t

Pentru unde monocromatice plane:

0

9 10mm

pp t p' cos t kx ; v t,x cos t kx

c

Cu formula de mediere temporala a functiei periodice de perioada T:

unde densitatea de energie medie a undei este

2

2

0 2

0

18

2

dW pw v

dV c

2 2

0

1 1

2

T

cos t kx cos t kx dtT

densitatea de energie medie a undei devine

2

2

2

0

11mpw cos t kx

c

Rezulta

2

2

0

122

mpw

c

IV. UNDE ELASTICE

Iar intensitatea undei este: 22

0 0

132

efmpp

Ic c

Obs. Pentru unde monocromatice sferice:

2

0

2 2

0

116

2

mp II c w

c r r

unde 2

0

02

mpI

c

reprezintă intensitatea undei emisă de sursa undei.

3 2

2

0

142

mm

c 'I '

2 2 2 2

0

115

2I c A ,A

2

0 0m m m mp' c ' si p' c v c A Cu relatiile:

rezulta pentru intensitatea undelor plane monocromatice expresiile alternative:

unde reprezinta presiunea efectiva sau acustica. 2ef mp p /

Mărimea Z = ρ0 c numită impendanță acustică caracterizeaza proprietatile elastice

ale mediului. Cu aceasta notatie, relatiile (13 si (15) devin

2

13efp

I 'Z

2 2115

2I Z A '