Seminarski rad iz MNM2Tema: ZLATNI PRESEK

Literatura: Coxeter,Euklid,InternetNapisala: Jelena Marusic

Broj indeksa: ML91112

ZLATNI PRESEK

Uvod

Znacaj zlatnog preseka najbolje ilustruje cinjenica da se njegovim izucavanjem bavio jos Euklid. Poslednja, trinaesta knjiga Euklidovih elemenata posvecena je uglavnom proucavanju pravilnih poliedara - tetraedru i ikosaedru kojima su strane trouglovi, kocki kojoj su strane kvadrati i dodekaedru kome su strane petouglovi. Njihove osnovne osobine se proucavaju u prvim teoremama ove knjige. Pri izlaganju tih prethodnih teorema vrlo vaznu ulogu igra neprekidno deljenje duzi ( zlatni presek ) . Na toj teoriji se zasniva i teorija ikosaedra i dodekaedra.

Zlatni presek

Sta je zapravo zlatni presek? Najprostije receno , to je podela duzi na dva dela tako da se duzina veceg dela odnosi prema duzini manjeg dela kao duzina cele duzi prema duzini veceg dela..

Slika br. 1

gde je AC / CB = AB / AC ili AC = AB * CB

Konstrukcija zlatnog preseka

Konstrukcija zlatnog preseka date duzi AB se sastoji iz nekoliko jednostavnih koraka:

-konstruise se normalna prava na duz AB u tacki A,-zatim , na toj pravoj odredimo tacku X takvu da je

rastojanje AX jednako duzini AB,-odredimo tacku Z kao srediste duzi AX,-konstruisemo duz ZB,-zatim, konstruisemo tacku Y na pravoj AX tako da duzina

ZY bude jednaka duzini ZB,

-na kraju, odredimo tacku C duzi AB tako da rastojanje AC bude jednako rastojanju AY.

Dokaz

Dokaz ove konstrukcije je jednostavan. Naime, ako oznacimo duzinu AB kao x , tada je i AX = x , i AZ = x/2. Iz pravouglog trougla ABZ dobijamo da je:

ZB = (x2 + (x / 2)

2 ) = (x / 2) * 5

a odatle :

Slika br. 2

AC = AY = ZY – ZA = ZB – ZA = (x / 2) * (5 – 1)

pa ce biti :

AC : CB = (5 – 1) / (3 – 5)i AB : AC = 2 / (5 – 1)

Primetimo da je :

5-1 = 5-1 * 3+ 5 = 1+ 5

3-5 3-5 3+5 2

2 = 2 * 5+1 = 1+ 5

5-1 5-1 5+1 1+5

Odavde je :

AC : CB = AB : AC

sto je trebalo dokazati.

Euklidovi elementi

Pogledajmo kako je Euklid formulisao Zlatni presek.Ako je duz podeljena neprekidno, bice kvadrat na zbiru

veceg dela i polovine cele duzi jednak petostrukom kvadratu na toj polovini. Sa slike br. 2 to znaci :

( AC + AB / 2)2 = 5* (AB / 2)

2

odnosno, ako oznacimo duzinu AB kao x, tada je:

(AC + x / 2)2 = 5* ( x / 2)

2

odakle sledi :

AC + x / 2 = 5 * x / 2AC = x / 2 * (5 – 1)

pa vidimo da su Zlatni presek i Euklidovo neprekidno deljenje duzi dva ekvivalentna pojma.

Euklid daje i tvrdjenje u suprotnom smeru:Ako je kvadrat na nekoj duzi pet puta veci od kvadrata na

jednom njenom delu i udvostruceni taj deo podeljen neprekidno, bice preostali deo polazne duzi veci deo.Euklidovi dokazi ovih tvrdjenja su nesto komplikovaniji, pa je bolje izostaviti ih.

Navedimo jos samo neka tvrdjenja iz Euklidovih elemenata koja imaju veze sa zlatnim presekom.

Ako je neka duz podeljena neprekidno bice kvadrat zbira manjeg dela i polovine veceg dela pet puta veci od kvadrata na polovini veceg dela.

Ako je duz podeljena neprekidno, bice zbir kvadrata na celoj duzi i na manjem delu jednak trostrukom kvadratu na vecem delu.

Ako je neka duz podeljena neprekidno, pa joj se doda veci deo podeljene duzi, bice i cela dobijena duz podeljena neprekidno i njen veci deo je polazna duz.

Ako je racionalna duz podeljena neprekidno, bice svaki od delova iracionalan, takozvana apotoma.

Broj

Neka je dat pravilan petougao PQRST, i neka je U presek

dijagonala.

Slika br. 3

Kao sto se vidi sa slike br. 3 petougao PQRST ivice 1 ima dijagonale duzine Neka se dijagonale QS i RT seku u tacki U. Kaze se da se one seku u odnosu zlatnog preseka. Da bi shvatili sta to znaci, uocimo slicne trouglove QTU i SRU, odakle je

QU / US = QT / RS = = QS / PT = QS / QU(PT i QU su naspramne ivice romba PQUT ).

Tacka U deli dijagonalu QS tako da je odnos veceg dela prema manjem jednak odnosu cele dijagonale prema vecem delu.Ako je QU = PT = 1 tada QS = a US = 1 /

i 1 + 1 / = pa postaje pozitivno resenje jednacine :

2 - - 1 = 0a odavde je = (E5 + 1) / 2 = 1.6180339887 ...

Slika br. 4

Slika br. 4 pokazuje kako duz QU produziti do tacke S tako da QS = * QU. Ovde je tacka M srediste ivice QU kvadrata AQUH i pri tome MS = MH = 5 * MU. Euklid je koristio ovaj postupak za konstrukciju jednakokrakog trougla ciji su uglovi kod osnovice dva puta veci od treceg ugla.

Bozanska proporcija

Broju i u vezi ovog broja i nekih zanimljivih karakteristika geometrijskih figura i tela Fra Luka Pacoli (1416 - 1492) je posvetio knjigu “Bozanska proporcija” , koju je ilustrovao njegov prijatelj Leonardo Da Vinci.

On tu, izmedju ostalog, navodi da je “sedmi neprocenjivi znacaj” broja u tome da radijus opisane kruznice oko pravilnog desetougla ivice 1 iznosi . Dalje, on ukazuje da se petougao moze upisati u dati krug tako sto se prvo upise desetougao, pa se izdvajanjem svakog drugog temena dobijaju temena trazenog petougla. “Deveti efekat najbolji od svih” je da

presecna tacka dve dijagonale pravilnog petougla deli iste u odnosu zlatnog preseka. A “dvanaesti, gotovo neshvatljivi efekat “ su sledece karakteristike pravilnog ikosaedra { 3,5 } :

Slika br. 5

- strane ikosaedra sa zajednickim temenom pripadaju piramidi cija je osnova pravilni petougao,

- bilo koje dve naspramne paralelne ivice ikosaedra su ujedno ivice pravougaonika , cije su duze ivice dijagonale odgovarajucih petouglova,

- kako je dijagonala pravilnog petougla puta veca od njegove ivice, to je uoceni pravougaonik tzv. “zlatni pravougaonik” u kojem odnos vece stranice prema manjoj iznosi : 1,

- u stvari, dvanaest temena ikosaedra su istovremeno temena tri zlatna pravougaonika koji leze u medjusobno normalnim ravnima.

Model se moze lako napraviti od tri obicne razglednice (ciji

odnos stranica je priblizan onom u zlatnom pravougaoniku). Naime, kroz presek dijagonala svake od razglednica isece se prorez paralelan duzoj stranici pravougaonika a duzine jednake duzini manje stranice (na jednoj od razglednica se prorez produzi do kraja). Zatim se razglednice sloze tako da jedna prolazi kroz prorez druge.

Slika br. 6 Slika br. 7

Sa slike br. 7 vidi se da se zlatni pravougaonik moze upisati u kvadrat tako da svako teme pravougaonika pripada jednoj ivici kvadrata i pritom deli tu stranicu u odnosu : 1. Ovo se moze primeniti kod pravilnog oktaedra, odnosno u svaki od tzv. ekvatornih kvadrata ovog poliedra mozemo upisati zlatni pravougaonik i njihova temena ce u isto vreme biti temena ikosaedra upisanog u pravilni oktaedar pri cemu ce ta temena deliti ivice oktaedra u odnosu : 1.

Zlatna spirala

Slika br.8

Veza = 1 + 1 / pokazuje da se zlatni pravougaonik ABDF moze podeliti na kvadrat ABCH i opet zlatni pravougaonik FHCD pri cemu je

AH : HF = BC : CD = : 1.

Novodobijeni zlatni pravougaonik se moze na isti nacin izdeliti itd.

Kako je pravougaonik HJEF homotetican s pravougaonikom ABDF, teme J prvog pravougaonika pripada dijagonali drugog. U stvari, duzi AE, BF, CG, DH sadrze sva temena zlatnih

pravougaonika dobijenih na ovaj nacin. Za dobijanje CDFH od ABDF mozemo se posluziti dilativnom rotacijom ciji je centar tacka O ( O je presek BF i DH ). Ovu slicnost kojom smo od tacaka A, C, E, G, J, ... dosli do sledecih, a od tacaka B , D, F , H, J, ... dobili neke druge mozemo posmatrati kao rezultat obrtanja u negativnom smeru oko tacke O i dilatacije O( 1 / ).

Pri tom je DH normalno na BF. Inverzna slicnost kojom se svaki od zlatnih pravougaonika slika u takav ali veci, je proizvod pozitivnog obrtanja za / 2 i dilatacije O( ).

Kako je OB / OD = =BC / CD , OC je bisektrisa pravog ugla BOD. Takodje, prave CB, AE polove uglove koje grade BF, DH.

Prevedimo ovo na zapis u polarnim koordinatama sa polom O. Dilativnom rotacijom kojom se OE slika u OC prevodimo svaku tacku ( r, ) u tacku ( * r, / 2). Uzimajuci OE kao polaznu pravu i duzinu duzi OE kao jedinicnu tako da tacka E ima koordinate (1,0), dolazimo do sledecih koordinata ( / 2) za tacku C, ( za A , ( , 3 / 2 ) za teme nasuprot tacki A u novom kvadratu a cija jedna ivica pripada AF itd.

Analogno koordinate tacke G bice ( 1 / , - / 2 ) , za tacku I ( , - ) itd. Na ovaj nacin uocicemo beskonacan niz tacaka ..., I, G, E, C, A, ... cije polarne koordinate mozemo zapisati u obliku :

r = , = n /2

a oni zadovoljavaju jednakost : r =

Stoga su sve ove tacke na jednakougaonoj spirali :

r = , gde je = .

Na slici br. 8 je prikaz tzv. “vestacke” spirale koju konstruisemo povlaceci kruzne odsecke odgovarajuceg

poluprecnika, ciji centri su u odredjenim temenima ( H, J, ...) kvadrata. “Prava” spirala za razliku od ove umesto da dodiruje stranice kvadrata ona ih sece pod veoma malim uglom, pa se stoga ona moze aproksimirati prikazanom spiralom.

Fibonacijevi brojevi

1202-ge godine Leonardo iz Pize, zvani Fibonaci (sto na italijanskom znaci : sin dobre prirode ) slucajno otkriva poznati niz celih brojeva Fn i to proucavajuci zakonitosti razmnozavanja zeceva. On je smatrao da ce zecevi kao vrsta vecno ziveti. Posao je od toga da svaki par zeceva svakog meseca donese na svet novi par, a ovi mladunci su sposobni za razmnozavanje vec na uzrastu od dva meseca. Tako, ako posmatramo 1 par zeceva posle dva meseca, odnosno u trecem mesecu bice ih 2 para, u cetvrtom 3 para, u petom 5 pari itd. Oznacimo sa Fn broj parova zeceva u n-tom mesecu. Nekoliko prvih elemenata ovog niza , kao i odnos susedna dva elementa prikazani su u sledecoj tabeli :

N 1 2 3 4 5 6 7 8 …Fn 1 1 2 3 5 8 13 21 …

Fn+1/fn 1 2 1.5 1.667 1.6 1.625 1.615 1.619 …

Nekoliko vekova kasnije Kepler formulise ono sto je verovatno i sam Fibonaci primetio, a to je da je zbir svaka dva susedna elementa niza jednak sledecem. Pomocu ovog odredjena je i rekurentna formula niza

F0 = 0, F1= 1, Fk + Fk+1 =Fk+ 2 .

Kepler je takodje zakljucio da je odnos Fn/Fn+1 priblizan 1/ i to sve vise sto je n vece. Potom je proslo jos 100 godina pre nego sto je Simson (1687-1768 ) dokazao da je lim (Fn+1 / Fn) =

( kad n tezi beskonacnosti).On je uzastopnim koriscenjem relacija = 1 + 1 / dobio

sledece:

1 1 1 itd.

Zajedno sa nizom Fn E. Lukas (1842-1891) proucava i niz Gn definisan kao : G0 = 2, G1 = 1, Gk + Gk+1 = Gk+2 . Prvih nekoliko elemenata ovog niza dati su u sledecoj tabeli :

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 …Gn 2 1 3 4 7 11 18 29 47 76 …

Lako je pokazati indukcijom po n vece od 0 da :

Gn = Fn-1+Fn+1

Lukas je dosao do jos nekih identicnosti :

F2n =Fn Gn

F2n+1 =Fn 2 + F n+1

2

koje su ocigledne za n=0 ili n=1.

Filotaksa

Zakonitosti vezane za Fibonacijeve brojeve odnosno broj a time i za pojavu zlatnog preseka prisutne su u prirodi i to u biljnom svetu i ovaj fenomen nazvan je filotaksa.

Na primer , na nekom drvecu kao sto su brest i americka lipa, lisce duz granica pada naizmenicno na dve suprotne strane . Ovakvu pojavu zovemo “1/2 filotaksa”.

Kod drugih vrsta drveca, kao sto su npr. bukva i lesnik, put koji vodi od jednog lista ka sledecem predstavlja uvrnuto pomeranje involutivne rotacije za trecinu jednog obrta, pa se ova pojava zove “1/3 filotaksa”. Slicno, postoji i “2/5 filotakse kod hrasta i kajsije, “3/8 filotakse” kod topole i kruske, “5/13 filotakse” kod vrbe i badema. Primer filotakse mozemo videti i u rasporedu semena kod suncokreta ili kod sisarke jele. Takodje, primer filotakse imamo i u rasporedu manje-više sestougaonih ljuspi u omotacu ananasa

Slika br. 9