Zlatni presjek

  • View
    89

  • Download
    12

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Zlatni presjek-seminarski rad

Text of Zlatni presjek

Univerzitet u Niu Prirodno-Matematiki fakultet

SEMINARSKI RAD IZ FILOZOFIJE I ISTORIJE MATEMATIKETEMA:

ZLATNI PRESEK

Seminarski rad

Sadraj:

Uvod.................................................................................................................................3 Primene zlatnog preseka...................................................................................................4 Deljenje broja po zlatnom preseku...................................................................................7 Podela dui po zlatnom preseku.......................................................................................8 Konstrukcija pravougaonika po zlatnom preseku...........................................................10 Odstupanja od zlatnog preseka.......................................................................................13 Zlatni presek kao mera asimetrije...................................................................................14 Zlatni presek primenjen na grkom hramu.....................................................................14 Zlatni presek u vertikalnoj podeli graevina..................................................................15 Osnove graevina izvedene po zlatnom preseku............................................................16 Fasade graevina izvedene po zlatnom preseku.............................................................16 Primena zlatnog preseka na naim crkvenim graevinama............................................17 Zakljuak........................................................................................................................19 Literatura........................................................................................................................20

2

Seminarski rad

Uvod:

Priroda je jedinstveno udo. Sve to nas okruuje, kao i ono to je postojalo u najdavnijoj prolosti, proisteklo je iz prvobitnog haosa prisutnog u trenucima nastanka Svemira pre 13,7 milijardi godina. U vremenu kraem od milionitog dela sekunde po Velikoj eksploziji u kojoj je stvoren Svemir, dolo je do razdvajanja prirodnih sila i formiranja kvarkova i leptona - osnovnih opeka materije. Ve tada je na svemirsku scenu odluno stupila harmonija. Ona je u borbi s haosom, koristei njegovu nesputanu slobodu i energetsku mo, iznedrila brojne svetove. Otkrivajui ih, mi se udimo i divimo nainu na koji je u njih ugraen sklad i, jo vie, tome kako sve to uspeno objanjava, pa ak i predvia, ljudska misaona tvorevina matematika, kraljica nauka. U krilu matematike nalazimo pojam zlatnog preseka. Zlatni presek se javlja kao proporcija rastuih oblika u prirodi i vekovima je privlaio panju matematiara i umetnika. Pitanje koje moe da bude interesantno za nas jeste: zato podela jedne linije na dva dela, tako da se manji deo odnosi prema veem kao vei prema celini, pokazuje vie sklada od ostalih podela? Zato brojne geometrijske figure koje proizilaze iz zlatnog preseka, kao to su pentagon, dekagon, dodekaedar, ikosaedar, izvesne spirale,itd., eksploatisane esto u arhitekturi i dekorativnim umetnostima, pruaju vie satisfakcije od ostalih? Pitanje je utoliko interesantnije to se ve odavno zna da je princip zlatnog preseka duboko ukorenjen u osnovi prirodnih procesa, da se pojavljuje u mnogim oblicima organske prirode, kako biljnog tako i ivotinjskog sveta, i da se pokazuje kao princip organskog rasta. U ovom radu odgovoriemo na neka od ovih pitanja.

3

Seminarski rad

PRIMENE ZLATNOG PRESEKA

Osnovni zadatak teorije proporcija sadran je u stvaranju vizuelnog rada i ravnotee. ovek je, da bi zadovoljio svoje potrebe izraivao, od davnina, proizvode i predmete koji, osim funkcije i namene, moraju biti u odreenoj razmeri, pre svega u odnosu na njega kao njihovog korisnika. Tako je telo oveka, kao i njegovi delovi, postalo osnova za dimenzionisanje prostora, nametaja i upotrebnih predmeta. Bitne proporcije uoene su na glavi oveka,irina i visina i odnos pojedinih detalja glave i lica meu sobom. Tako je sredina glave, po visini, odreena horizontalnom linijom koja prolazi po sredini oiju, a slino je analizirano i sa ostalim detaljima. Zatim je niz umetnika utvrivao koliko puta se glava oveka sadri u visini njegovog tela. K.Belane je visinu tela podelio na osam delova (glava). Poliklet je podelio telo na sedam delova, Lisip na osam, istovetno i Mikelanelo, a Vitruvije i Leonardo da Vini na sedam. Kod starih Egipana zabeleena je podela na devetnaest delova, ije su duine odgovarale duini srednjih prstiju. Proporcije irine tela postavio je Vitruvije pokazujui da se oko njega moe opisati krug iji se centar nalazi u pupku, pod uslovom da telo lei sa rairenim rukama i nogama. Leonardo je ovaj postupak izmenio na taj nain to je ruke rairio u pravoj liniji, a noge skupio, tako da je kvadrat opisan oko tela imao presek dijagonala neto iznad pubisa, znai nie od pupka. U mnogim sluajevima koriene su, kao merne jedinice, naroito u graditeljstvu, stopa (fut) i lakat, mada je on bio vrlo nepouzdan: u Nemakoj bilo je 136 vrsta lakata razliitih duina, dok su duine stopa, u raznim zemljama, bile izmeu 25 i 34 cm, u Engleskoj 30,5 cm , Japanu 30,3 cm, u Kini 31,8 cm. Znatno kasnije, Cajsung je (XIX vek) proporcije zasnivao na zlatnom preseku. Meutim, M.Borisavljevi je, etrdesetih godina XX veka, kritikovao Cajsunga, Fehnera, Valerija i druge, koji su u zlatnom preseku gledali jedinu lepotu forme. Najzad je francuski arhitekta Korbizje uveo 1945. godine u teoriju i praksu sistem proporcija zasnovan na zlatnom preseku, primenjen na oveku, kao i modularni sistem - modulor. H.Vesling je ukazao 1941. godine na neophodnost primene zakona u graditeljstvu, uz ogranienje, da je i najlepa proporcija samo jedno od sredstava u oblikovanju. Ovim je, sasvim saeto, naznaeno da je ovek prihvaen kao mera svih stvari i temelj proporcija svake umetnosti uopte. Nema pouzdanih podataka da su egipatski graditelji i umetnici poznavali princip zlatnog preseka. Egipatski sistem proporcija zasnivao se na kvadratu i njegovim transformacijama u pravougaonike posredstvom dijagonala. Tako je dijagonala kvadrata 2 postala dua strana novog pravougaonika (1 : 2 ), njegova dijagonala 3 dua stranica novog pravougaonika (1: 3 ) i tako redom, do pravougaonika ija je dijagonala 5 , dobijenog udvostruavanjem osnovnog kvadrata ija je dijagonala 2.

4

Seminarski rad

Kvadrat je tako postao mera za povrinu, a proporcionisanje je obavljano u kombinaciji sa sistemom dijagonala. Pored ovih geometrijskih likova Egipani su koristili i " sveti trougao ", ije su stranice izraene brojevima 3,4 i 5. Veliki napredak nainili su stari Grci stremei idealnom liku oveka u umetnosti, pa su i mere hramova zasnivali na antropomorfnim proporcijama, na usklaivanju graditeljskih mera sa merama ovejeg tela. Pitagorejci su, slino Egipanima, otkrili postojanje nesamerljive veliine, na primeru kvadrata, tj. odnosu njegove stranice i dijagonale. Zlatni presek bio je osnova grkih antropomorfnih proporcija u arhitekturi. Platon je pisao : " da se dve stvari na lep nain sjedine bez neeg treeg. Izmeu njih mora nastati veza koja ih sjedinjuje. To se moe najbolje izvriti proporcijom. Ako se od bilo koja tri broja, srednji odnosi prema najmanjem kao najvei prema srednjem, i obrnuto, najmanji prema srednjem kao srednji prema najveem, onda e poslednje i prvo biti srednje, a srednje prvo i poslednje, sve je dakle, nuno isto, a budui da je isto ini jedno jedino ". Opis pristaje, kao to se uoava, pojmu zlatnog preseka. O zlatnom preseku govorio je i Platonov uenik Eudoksije, ali je prvu jasnu definiciju izneo Euklid (oko 300.god.pre nove ere) u svojim "Elementima " . Zlatni presek primenjen je na najlepim grkim hramovima, posebno dorskim, na celom gabaritu i detaljima. Nema podataka da su, znatno kasnije, poznavali proporcije zlatnog preseka Vitruvije i Alberti. Mnogi autori uoavali su te proporcije u prirodi, u biljnim i ivotinjskim oblicima, tako da su botaniari smatrali da je zlatni presek " osnovni niz rasporeda lia ", dok su neki to zapaali na mnogim primerima u organskom svetu. Prvi astronom koji je ukazao na zlatni presek bio je Kepler i nazivao ga je " boanski rez". Tako je on delio duinu po spoljnom i srednjem razmeru i to oznaavao "proporcionalnim deljenjem ", to se smatralo prikladnijim od zlatnog preseka koji su esto nazivali nekom vrstom alhemije. Pojedini autori taj rez su nazivali i " proporcionalno nizanje " analogno aritmetikom i geometrijskom nizu. Proporcionalno nizanje primenio je V.en-Vildeneg na primeru ruke oveka. Najvea, sauvana, Keopsova piramida ( oko 3000 god.pre nove ere ) pokazuje prilino tane odnose proporcionalnog nizanja i smatra se nekom vrstom kosmikog planetarijuma. Njena tano izraunata stranica prema zlatnom preseku samo je 6,3 cm vea od 230,364 m ili 440 lakata. Proporcije ove piramide iskazao je Kepler konstruiui pravougli trougao sa stranicama AC (major)=1000,AB/2 (minor)=618,BC=786,1 i ova veliina je srednja proporcionala majora i minora : BC= 1000 618 =786,1

5

Seminarski rad

Uglu CAD=51,83 odgovara sin(0,7861) to je priblino /4=0,7854. Uglu ACD=38,16 odgovara sin(0,618) i oba ugla odgovaraju uglovima piramide. Odnos /4=0,7854 moe posluiti kao osnova za merenje krune linije, 2r=4440 lakata, odnosno r=280,25 lakata to skoro odgovara stvarnoj visini piramide od 280 lakata (148,208 m). Ako se obim osnove piramide 931,22 m (4440 lakata) podeli dvostrukom visinom bie 931,22/(2148,208)=3,1416 to odgovara broju . Izraeno u laktovima (4440)/(2280)=3,1428 pa je razlika 3,1428 - 3,1416=0,0012. Kako su Egipani raunali kao kolinik 256/81=3,16 onda je to vrednost 10 , pa se moe zakljuiti da su proporcije piramide bile sredine izmeu zlatnog preseka i vrednosti 10 . Kao to se uoava, jedinica mere, u pokazanom primeru, bila je lakat, ali se na drugim prostorima primenjivala i stopa, aka i palac, kako navo