01 - Savijanje - pravougaoni presek

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA

1

PRAVOUGAONI PRESEK - ISTO SAVIJANJEVEZANO DIMENZIONISANJEPoznato: - statiki uticaji za pojedina optereenja (Mi) - sraunato - kvalitet materijala (fB , v) - usvojeno - dimenzije poprenog preseka (b, d) Nepoznato: - povrina armature (Aa) 1. korak: Sraunavaju se granini raunski statiki uticaji: M u = u ,i M i (i = g, p, )i

Pri tome se usvajaju MINIMALNE vrednosti koeficijenata sigurnosti. 2. korak: Pretpostavlja se poloaj teita zategnute armature a1 i na osnovu toga sraunava statika visina: h = d a1 Veliina a1 se pretpostavlja zavisno od visine i irine preseka (broj ipki koje se mogu smestiti u jedan red). Kree se u granicama (0.05-0.15)d. 3. korak: Sraunava se koeficijent k: k= h Mu b fB

i iz tabela za dimenzionisanje proitaju vrednosti dilatacija betona i armature i mehaniki koeficijent armiranja ili bezdimenzioni koeficijent kraka unutranjih sila . Ukoliko je a1 3, sraunava se potrebna povrina armature iz izraza: Aa = Aa = b h fB 100 v ili

Mu Mu = z v h v

Ukoliko je a < 3, presek se DVOSTRUKO ARMIRA. 4. korak: Usvaja se broj i prenik ipki armature. Usvojena armatura se rasporeuje u poprenom preseku, vodei rauna o zahtevima propisanih Pravilnikom (debljina zatitnog sloja, isto rastojanje izmeu ipki).

PRIMERI ZA VEBE


2

5. korak:

Sraunava se poloaj teita a1 usvojene armature u odnosu na zategnutu ivicu preseka i statika visina h i uporeuje sa pretpostavljenom. U sluaju znatnijih odstupanja, proraun se ponavlja sa korigovanom vrednou a1. Konano se konstruie popreni presek usvojenih dimenzija, armiran usvojenom koliinom armature, i prikazuje u odgovarajuoj razmeri (1:10) sa svim potrebnim kotama i oznakama.

6. korak:

Primer 1. Odrediti potrebnu povrinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog oblika, optereen momentima savijanja usled stalnog (Mg) i povremenog (Mp) optereenja. Podaci za proraun: Mg = 200 kNm Mp = 250 kNm b = 35 cm d = 70 cm MB 30 RA 400/500

M u = 1.6 200 + 1.8 250 = 770 kNm MB 30 fB = 2.05 kN/cm2 v = 40 kN/cm2

RA 400/500

pretp. a1 = 7 cm h = 70 - 7 = 63 cm k= 63 770 10 2 35 2.05 0.835 0.834 0.833

= 1.923

b = 3.5 ; b = 0.810 ; = 0.416a 5.3 5.25 5.2 s 0.398 0.400 0.402 1M % 32.197 32.381 32.567 k 1.929 1.925 1.920

b / a = 3.5 / 5.25, A a = 32.381

= 32.381%

35 63 2.05 = 36.59 cm2 100 40 8 R25 (39.27 cm2)

usvojeno:

aI = a0 + u + /2 = 2.5 + 0.8 + 2.5/2 = 4.55 cm 4.5 cm aII = aI + 2/2 + ev = 4.5 + 22.5/2 + 3 = 10 cm a1 = 5 4.5 + 3 10 = 6.6 cm hstv. = 70 - 6.6 = 63.4 cm > 63 cm = hpretp. 8

PRIMERI ZA VEBE


3

DVOSTRUKO ARMIRANI PRESECIUkoliko se u sluaju vezanog dimenzionisanja dobije a < 3, presek se DVOSTRUKO ARMIRA, odnosno odreuje i armatura koja se rasporeuje u pritisnutu zonu preseka. Time se dilatacija zategnute armature zadrava na eljenom nivou (a 3), pa se pri proraunu graninih raunskih statikih uticaja koriste minimalne vrednosti koeficijenata sigurnosti. 3a. korak: Odreuje se moment nosivosti JEDNOSTRUKO armiranog preseka, sa procentom armiranja * i koeficijentom k* koji odgovaraju dilataciji armature koja se eli zadrati (najee a1 = 3)1: h M bu = b f B k * Preostali deo spoljanjeg momenta savijanja: M u = M u M bu se prihvata dodatnom zategnutom i ukupnom pritisnutom armaturom.b = 3.5 x=s*h2

Mbud

Dbu

z= *h h-a2 a2 a1

x d a1 h

A* a1b * = 3 a1 b = 3.5 a2

Z* au

+Mu Aa2 Aa1b

Dau

Zau* = 3 a1

1

U raunskom smislu, dvostruko armirani preseci se mogu dobiti i kada je dilatacija zategnute armature a1 > 3, ukoliko se iz bilo kog razloga eli spreiti da njena vrednost padne ispod odreene granice. Ta proizvoljno odreena (ili zadatkom utvrena) granica postaje vrednost a1* iz napred navedenih izraza. Iz napred navedenog treba zakljuiti da prisustvo armature smetene uz pritisnutu ivicu preseka ne znai nuno i da je dilatacija zategnute armature a1 = 3.

PRIMERI ZA VEBE


4

4. korak:

Pretpostavlja se poloaj teita pritisnute armature a2 i odreuju se povrine zategnute i pritisnute armature u preseku, iz izraza: Aa 2 = A a1 = * M u (h a 2 ) v ili A a1 = M bu + Aa 2 * h v

b h fB + Aa 2 100 v

Ostali elementi prorauna se sprovode potpuno isto kao za jednostruko armiran presek. Vrednosti * , * i k* odgovaraju usvojenoj dilataciji a1*.

Primer 2. Odrediti potrebnu povrinu armature za presek iz Primera 1., pod uslovom da je irina preseka b = 20 cm. pretp. a1 = 7 cm h = 70 - 7 = 63 cm k= 63 770 102 20 2.05 = 1.454 a = 0 < 3 dvostruko armiranje

b = 3.5 ; b = 0.810 ; = 0.416a 0.05 0 -0.05 s 0.986 1.000 1.014 0.590 0.584 0.578 1M % 79.812 80.952 82.126 k 1.457 1.454 1.451

usvojeno

a1* = 32

k* = 1.719,

* = 43.590%

63 M bu = 20 2.05 = 55050 kNcm = 550.5 kNm 1.719 Mu = 770 - 550.5 = 219.5 kNm pretp. a2 = 5 cm A a 2 = usvojeno: A a1 = 43.590 219.5 102 = 9.46 cm2 (63 5) 40

2 R25 (9.82 cm2)

20 63 2.05 + 9.46 = 37.61 cm2 100 40 8 R25 (39.27 cm2)

usvojeno: a1 =

3 4.5 + 3 10 + 2 15.5 = 9.3 cm hstv. = 70 - 9.3 = 60.7 cm < 63 cm = hpretp. 8

PRIMERI ZA VEBE


5

Potrebna armatura se ne moe rasporediti tako da se dobije pretpostavljena vrednost statike visine, pa je potrebno izvriti korekciju prorauna. Kako e se smanjenjem statike visine dobiti vea potrebna povrina armature, vrednost a1 sigurno nee biti manja od upravo sraunatih 9.3 cm. Sledi: pretp. a1 = 10 cm h = 70 - 10 = 60 cm k= 60 770 102 20 2.05 = 1.385 a < 3 dvostruko armiranje

b = 3.5 ; b = 0.810 ; = 0.416 a -0.4 -0.45 s 1.129 1.148 0.530 0.523 1M % 91.398 92.896 k 1.436 1.435

Traene vrednosti k u tablicama nema, ali nije ni potrebna za proraun, jer je dilatacija zategnute armature manja od minimalno zahtevanih 3. Sledi: usv. a1* = 3 k* = 1.719, * = 43.590% 60 2 M bu = 20 2.05 10 = 499.3 kNm 1.719 Mu = 770 - 499.3 = 270.7 kNm 270.7 102 = 12.31 cm2 pp. a2 = 5 cm A a 2 = (60 5) 40 usvojeno: A a1 = 43.590 3 R25 (14.73 cm2)2

20 60 2.05 + 12.31 = 39.11 cm2 100 40 usvojeno: 8 R25 (39.27 cm2)

a1 =

3 4.5 + 3 10 + 2 15.5 = 9.3 cm 8

hstv. = 70 - 9.3 = 60.7 cm > 60 cm = hpretp.

Uporeivanjem rezultata prorauna iz primera 1 i 2, mogue je uoiti da smanjenje irine preseka MALO poveava potrebnu povrinu ZATEGNUTE armature. U konkretnom primeru, ta razlika je 6.9% i izazvana je: - smanjenjem kraka unutranjih sila (smanjenje veliine iz tablica) - smanjenjem statike visine usled manjeg broja ipki armature koje je mogue smestiti u jedan horizontalni red.

PRIMERI ZA VEBE


6

PRAVOUGAONI PRESEK - ISTO SAVIJANJESLOBODNO DIMENZIONISANJEPoznato: - statiki uticaji za pojedina optereenja (Mi) - sraunato - kvalitet materijala (fB , v) - usvojeno - irina poprenog preseka (b) - usvojeno Nepoznato: - visina poprenog preseka (d) - povrina armature (Aa) 1. korak: Sraunavaju se granini raunski statiki uticaji: M u = u ,i M ii

(i=g, p, )

Pri tome se usvajaju MINIMALNE vrednosti koeficijenata sigurnosti, jer se redovno usvaja dilatacija zategnute armature a 3. 2. korak: Usvajaju se dilatacije betona b i armature a, pri emu bar jedna mora dostii graninu vrednost. Vee dilatacije betona daju preseke manje visine, armirane veom koliinom armature. Za usvojene vrednosti dilatacija iz tabela za dimenzionisanje oitavaju se koeficijenti k i , odnosno . Sraunavaju se potrebna statika visina iz izraza: h=k Mu b fB (1)

3. korak:

i povrina armature iz jednog od sledeih izraza: Aa = Aa = 4. korak: b h fB 100 v ili (2)

Mu Mu = z v h v

(3)

Usvaja se broj i prenik ipki armature. Usvojena armatura se rasporeuje u poprenom preseku, vodei rauna o zahtevima propisanih Pravilnikom (debljina zatitnog sloja, isto rastojanje izmeu ipki). Sraunava se poloaj teita a1 usvojene armature u odnosu na zategnutu ivicu preseka i potrebna ukupna visina preseka d: d = h + a1 koja se zaokruuje na prvi vei ceo broj (ceo broj deljiv sa pet).

5. korak:

PRIMERI ZA VEBE


7

6. korak:

Konano se konstruie popreni presek usvojenih dimenzija, armiran usvojenom koliinom armature, i prikazuje u odgovarajuoj razmeri (1:10) sa svim potrebnim kotama i oznakama.

Primer 3. Odrediti visinu i potrebnu povrinu armature za presek pravougaonog oblika, optereen momentima savijanja usled stalnog (Mg) i povremenog (Mp) optereenja. Podaci za proraun: Mg = 60 kNm Mp = 80 kNm Mu = 1.660 + 1.880 = 240 kNm MB 30 fB = 2.05 kN/cm2 v = 24 kN/cm2 b = 25 cm MB 30 GA 240/360

GA 240/360

U cilju uporeivanja rezultata prorauna, primer e, sa gornjim podacima, biti uraen u tri varijante (lom po armaturi, simultani lom, lom po betonu). 1. varijanta: LOM PO ARMATURI usvojeno b/a = 2.0/10LOM PO ARMATURI (a = 10)b 2.025 2 1.975 s 0.168 0.167 0.165 b 0.671 0.667 0.662 0.376 0.375 0.374 0.937 0.938 0.938 1M % 11.296 11.111 10.926 k 3.074 3.098 3.123

k = 3.098 , = 11.111% , = 0.938 240 10 2 h = 3.098 = 67.0 cm 25 2.05 A a = 11.111 Aa = 25 67.0 2.05 = 15.91 cm2 100 24

240 102 = 15.92 cm2 0.938 67.0 24 usvojeno: 620 (18.85 cm2)

a1 =

3 (4.5 + 9.5) = 7.0 cm d = 67.0 + 7.0 = 74.0 cm 6 usvojeno: d=75 cm

PRIMERI ZA VEBE


8

2. varijanta: SIMULTANI LOM usvojeno b/a = 3.5/10 k = 2.311 , = 20.988% h = 2.311 240 10 2 = 50.0 cm 25 2.05 25 50.0 2.05 = 22.41 cm2 100 24

A a = 20.988

usvojeno: 622 (22.81 cm2) a1 = 3 (4.5 + 10 ) = 7.25 cm 6

d = 50.0 + 7.25 = 57.25 cm usvojeno: d=60 cm

3. varijanta: LOM PO BETONU usvojeno b/a = 3.5/5.0 k = 1.903 , = 33.333% h = 1.903 240 10 2 = 41.2 cm 25 2.05 25 41.2 2.05 = 29.31 cm2 100 24

A a = 33.333

usvojeno: 625 (29.45 cm2) a1 = 3 (4.5 + 10 ) = 7.25 cm 6

d = 41.2 + 7.3 = 48.5 cm usvojeno: d=50 cm

Iz izraza (3) je oito da je proizvod Aaz = Aah konstantan. Kako se bezdimenzioni koeficijent menja u vrlo uskim granicama, uglavnom uzimajui vrednosti (0.85-0.95), to praktino znai da potrebna povrina armature gotovo linearno zavisi od usvojene visine preseka. Usvajanjem manje dilatacije betona dobijaju se preseci vee visine, armirani manjom koliinom armature. Sa smanjenjem dilatacije betona ima smisla ii do granice od cca. 1.5 do 2. Usvajanje manje dilatacije betona rezultira presecima vrlo velike visine, armiranih minimalnim koliinama armature.

PRIMERI ZA VEBE


9

PRAVOUGAONI PRESEK - SLOENO SAVIJANJEVEZANO DIMENZIONISANJEPoznato: - statiki uticaji za pojedina optereenja (Mi , Ni) - kvalitet materijala (fB , v) - dimenzije poprenog preseka (b , d) Nepoznato: - povrina armature (Aa) 1. korak: Sraunavaju se granini raunski statiki uticaji: M u = u ,i M i (i=g, p, ) N u = u ,i N ii i

Pritom se usvajaju MINIMALNE vrednosti koeficijenata sigurnosti. 2. korak: Usvajaju se dilatacije Pretpostavlja se poloaj teita zategnute armature a1 i na osnovu toga sraunavaju statika visina i moment oko teita zategnute armature: d h = d a1 M au = M u + N u a1 2 Veliina a1 se pretpostavlja zavisno od visine i irine preseka (broj ipki koje se mogu smestiti u jedan red), kao i intenziteta i znaka normalne sile (ekscentrino pritisnuti elementi zahtevaju manje zategnute armature, pa je i a1 manje). Kree se u granicama (0.05 - 0.15)d. 3. korak: Sraunava se koeficijent k: k= h M au b fB

i iz tablica za dimenzionisanje proitaju vrednosti dilatacija u betonu i armaturi i mehaniki koeficijent armiranja . Ukoliko je a1 3, sraunava se potrebna povrina armature iz izraza: Aa = b h fB N u 100 v v ili

1 M 1 M au A a = au N u = Nu z v h v Ukoliko je a1 < 3, presek se DVOSTRUKO ARMIRA.

PRIMERI ZA VEBE


10

4. korak:

Usvaja se broj i prenik ipki armature. Usvojena armatura se rasporeuje u poprenom preseku, vodei rauna o zahtevima propisanih Pravilnikom (debljina zatitnog sloja, isto rastojanje izmeu ipki). Sraunava se poloaj teita a1 usvojene armature u odnosu na zategnutu ivicu preseka i statika visina h i uporeuje sa pretpostavljenom. U sluaju znatnijih odstupanja, proraun se ponavlja sa korigovanom vrednou a1. Konano se konstruie popreni presek usvojenih dimenzija, armiran usvojenom koliinom armature, i prikazuje u odgovarajuoj razmeri (1:10) sa svim potrebnim kotama i oznakama.

5. korak:

6. korak:

Izrazi za odreivanje momenta Mau i potrebne povrine armature Aa su napisani u obliku koji odgovara ekscentrinom pritisku; u sluaju da je presek ekscentrino zategnut, u izraze se unosi sila sa negativnim znakom.

Primer 4.

Odrediti potrebnu povrinu armature za pravougaoni presek poznatih dimenzija, optereen graninim momentom savijanja Mu i silom zatezanja Zu. Podaci za proraun: Mu = 770 kNm Zu = 720 kN b = 35 cm d = 70 cm;

MB 30 RA 400/500

MB 30 fB = 2.05 kN/cm2

RA 400/500 v = 40 kN/cm2

pretp. a1 = 7 cm h = 70 - 7 = 63 cm 0.70 M au = 770 + ( 720) 0.07 = 568.4 kNm 2 k= 63 568.4 10 2 35 2.05 = 2.238

b/a = 3.5/9.05 , = 22.576% , = 0.884 A a = 22.576 35 63 2.05 ( 720) = 43.51 cm2 100 40 40

ili:

568.4 102 1 2 Aa = 0.884 63 ( 720) 40 = 43.52 cm usvojeno: a1 = 9R25 (44.18 cm2)

5 4.5 + 4 10 = 6.94 cm 9

hstv. = 70 6.94 = 63.06 cm 63 cm = hpretp.PRIMERI ZA VEBE


11

Primer 5.

Odrediti potrebnu povrinu armature za presek iz Primera 4., ukoliko je, umesto silom zatezanja, optereen graninom silom pritiska Nu = 720 kN.

pretp. a1 = 6 cm h = 70 - 6 = 64 cm 0.70 M au = 770 + 720 0.06 = 978.8 kNm 2 k= 64 978.8 10 2 35 2.05 = 1.733

b/a = 3.5/3.15 , = 42.607% , = 0.781 A a = 42.607 35 64 2.05 720 = 30.91 cm2 100 40 40

ili:

978.8 10 2 1 2 Aa = 0.781 64 720 40 = 30.95 cm usvojeno: a1 = 7R25 (34.36 cm2)

5 4.5 + 2 10 = 6.07 cm 7

hstv. = 70 6.07 = 63.93 cm 64 cm = hpretp. U primerima 1, 4 i 5 dimenzionisan je popreni presek istih dimenzija i kvaliteta materijala, u sva tri sluaja optereen istim momentom savijanja. Jedini parametar koji je variran je normalna sila.50 Uporeujui sraunate vrednosti, uoava se da se najvea 40 potrebna povrina zategnute armature dobija u preseku na30 pregnutom momentom savija20 Aa1 nja i silom zatezanja, a najmanja kada pri istom momentu sa10 vijanja deluje i sila pritiska. Aa2 Drugim reima, pri istim di0 menzijama preseka i istim vred-1200 -800 -400 0 400 800 1200 1600 Nu [kN] nostima momenata savijanja, potrebno je, kao merodavnu, odabrati kombinaciju uticaja koja daje maksimalno moguu silu zatezanja (odnosno, minimalno moguu silu pritiska).

Analogno, pri istim dimenzijama preseka i istim vrednostima momenata savijanja, merodavna kombinacija uticaja za eventualnu PRITISNUTU armaturu (dvostruko armirani preseci) je ona koja daje maksimalno moguu silu pritiska (odnosno, minimalno moguu silu zatezanja).PRIMERI ZA VEBE


12

DVOSTRUKO ARMIRANI PRESECI Ukoliko se u sluaju vezanog dimenzionisanja dobije a < 3, presek se DVOSTRUKO ARMIRA, odnosno odreuje i armatura koja se rasporeuje u pritisnutu zonu preseka. Time se dilatacija zategnute armature zadrava na eljenom nivou (a 3), a parcijalni koeficijenti sigurnosti uzimaju minimalne vrednosti. Raunski postupak je potpuno istovetan kao u sluaju istog savijanja. 3a. korak: Odreuje se moment nosivosti JEDNOSTRUKO armiranog preseka, sa procentom armiranja * i koeficijentom k* koji odgovaraju dilataciji u armaturi koju elimo zadrati (najee a1 = 3): h M abu = b f B k * Preostali deo momenta savijanja: M au = M au M abu se prihvata dodatnom zategnutom i ukupnom pritisnutom armaturom.2

b = 3.5 x=s*h

z= *h h-a2 a2 a1

Gb A* a1

y b1

Z* au* = 3 a1 b = 3.5 a2 y a2

b

+Mau Aa2Gb

Dau

Aa1b

y a1

Zau

* = 3 a1

PRIMERI ZA VEBE

d

a1

h

Nu

y b2

Mabu

Dbu

x


13

4. korak:

Pretpostavlja se poloaj teita pritisnute armature a2 i odreuju se povrine zategnute i pritisnute armature u preseku, iz izraza: Aa 2 = Aa1 = * M au (h a 2 ) v

b h fB N u + Aa 2 100 v v

Ostali elementi prorauna se sprovode potpuno isto kao u sluaju jednostruko armiranog preseka. Napominje se da su vrednosti k* i * odreene usvajanjem dilatacije a1*.

Primer 6.

Odrediti potrebnu povrinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog oblika, optereen momentom savijanja Mg i silom pritiska Ng. Podaci za proraun: Mg = 360 kNm Ng = 600 kN b = 30 cm d = 60 cm ; Nu = 1.6600 = 960 kN MB 30 RA 400/500

Mu = 1.6360 = 576 kNm

pretp. a1 = 7 cm h = 60 - 7 = 53 cm 0.60 M au = 576 + 960 0.07 = 796.8 kNm 2 k= 53 796.8 102 30 2.05 = 1.472 a< 3 dvostruko armiranje

usv. a1* = 3.0 k* = 1.719 ; * = 43.590% M abu 53 2 = 30 2.05 10 = 584.4 kNm 1.719 2

Mau = 796.8 - 584.4 = 212.4 kNm pretp. a2 = 5 cm A a 2 = usvojeno: A a1 = 43.590 212.4 102 = 11.06 cm2 (53 5) 40 3 R22 (11.40 cm2)

30 53 2.05 960 + 11.06 = 22.58 cm2 100 40 40 usvojeno: 6 R22 (22.81 cm2)

PRIMERI ZA VEBE


14

Ukoliko bi usvojili neto veu dilataciju zategnute armature a1*, sledi: usv. a1* = 6.0 k* = 1.990 ; * = 29.825% M abu 53 = 0.30 2.05 = 436.3 kNm 1.990 2

Mau = 796.8 - 436.3 = 360.5 kNm pretp. a2 = 5 cm A a 2 = A a1 = 29.825 360.5 102 = 18.78 cm2 (53 5) 40

30 53 2.05 960 + 18.78 = 19.08 cm2 100 40 40 usvojeno: 5 R22 (19.01 cm2)

Iz ovog primera, ilustrovanog i dijagramom desno, jasno je da se usvajanjem minimalne propisane dilatacije a1*=3 dobija MINIMALNA PRITISNUTA I UKUPNA, A MAKSIMALNA ZATEGNUTA ARMATURA u preseku.

45 40 35

Aa1+Aa2

Aa [cm ]

30 25 20 15 10 5 0 3 4 5 6 7 8 9 10

2

Aa2 Aa1

a1* []

Primer 7.

Odrediti potrebnu povrinu armature za presek iz Primera 6, ukoliko je vrednost sile pritiska Ng=1000 kN. ; Nu = 1.61000 = 1600 kN

Mu = 1.6360 = 576 kNm

pretp. a1 = 7 cm h = 60 - 7 = 53 cm 0.60 M au = 576 + 1600 0.07 = 944.0 kNm 2 k= 53 944.0 102 30 2.05 = 1.353 a< 3 dvostruko armiranje

usv. a1* = 3.0 k* = 1.719 ; * = 43.590%

PRIMERI ZA VEBE


15

53 2 M abu = 30 2.05 10 = 584.4 kNm 1.719 Mau = 944.0 - 584.4 = 359.6 kNm pretp. a2 = 7 cm A a 2 = A a1 = 43.590 359.6 102 = 19.55 cm2 (53 7 ) 40

2

30 53 2.05 1600 + 19.55 = 15.07 cm2 100 40 40

Kako je raunski potrebna pritisnuta armatura vea od potrebne zategnute armature, a pritom je zadovoljen uslov A a1 A a 2 1.5 A a1 , presek se armira simetrino, srednjom vrednou sraunatih povrina: A a1 = A a 2 = 19.55 + 15.07 = 17.31 cm2 2 5 R22 (19.00 cm2) - presek kao u primeru 8b.

usvojeno: Ukoliko je: (a) Aa2 Aa1

- i zategnuta i pritisnuta zona se armiraju sraunatim povrinama armature;

(b)

Aa1 Aa 2 < 1.5 Aa1 - obe zone se armiraju simetrino, srednjom vrednou sraunatih povrina; Aa 2 1.5 Aa1

(c)

- presek se armira simetrino, ali se potrebna povrina armature odreuje pomou dijagrama interakcije, o emu e u nastavku kursa biti rei. Primena dijagrama interakcije je mogua i u sluaju (b).

PRAVOUGAONI PRESEK - SLOENO SAVIJANJESLOBODNO DIMENZIONISANJEPoznato: - statiki uticaji za pojedina optereenja (Mi , Ni) - sraunato - kvalitet materijala (fB , v) - usvojeno - irina poprenog preseka (b) - usvojeno Nepoznato: - visina poprenog preseka (d) - povrina armature (Aa)PRIMERI ZA VEBE


16

1. korak:

Sraunavaju se granini raunski statiki uticaji: M u = u ,i M i (i=g, p, ) N u = u ,i N ii i

Pri tome se usvajaju MINIMALNE vrednosti koeficijenata sigurnosti, jer se redovno usvaja dilatacija zategnute armature a 3. 2. korak: Usvajaju se dilatacije betona b i armature a, pri emu bar jedna mora dostii graninu vrednost. Vee dilatacije betona daju preseke manje visine, armirane veom koliinom armature. Za usvojene vrednosti dilatacija iz tabela za dimenzionisanje oitavaju se koeficijenti k i . Sraunava se potrebna statika visina. Meutim, ovde je postupak iterativan, jer u izrazu za statiku visinu figurie zasad nepoznata visina d: M au d M au = M u + N u a1 h = k b fB 2 Postupak se sprovodi tako to se u prvom koraku pretpostavi Mau=Mu i srauna odgovarajua statika visina:I M au M = Mu h = k b fBI au

3. korak:

I

Sa tako odreenom visinom se ponavlja proraun sve do postizanja eljene tanosti (razlika di-1 i di). Zatim se sraunava potrebna povrina armature: b hi fB Nu Aa = 100 v v 4. korak: Usvaja se broj i prenik ipki armature. Usvojena armatura se rasporeuje u poprenom preseku, vodei rauna o zahtevima propisanih Pravilnikom (debljina zatitnog sloja, isto rastojanje izmeu ipki). Sraunava se poloaj teita a1 usvojene armature u odnosu na zategnutu ivicu preseka i potrebna ukupna visina preseka d: d = h + a1 koja se zaokruuje na prvi vei ceo broj (ceo broj deljiv sa pet). 6. korak: Konano se konstruie popreni presek usvojenih dimenzija, armiran usvojenom koliinom armature, i prikazuje u odgovarajuoj razmeri (1:10) sa svim potrebnim kotama i oznakama.

5. korak:

PRIMERI ZA VEBE


17

Primer 8. Odrediti visinu i potrebnu povrinu armature za presek pravougaonog oblika, optereen zadatim momentima savijanja i silama pritiska. Podaci za proraun: Mg = 60 kNm Mp = 80 kNm Ng = 125 kN Np = 100 kN b = 25 cm MB 30 GA 240/360

Mu = 1.660 + 1.880 = 240 kNm Nu = 1.6125 + 1.8100 = 380 kN MB 30 fB = 2.05 kN/cm2 ; GA 240/360 v = 24 kN/cm2

usvojeno b/a = 3.5/7.0 k = 2.074 , = 26.984% I korak: pretp. MIau = Mu = 240 kNm h I = 2.074 240 10 2 = 44.9 cm 25 2.05

pretp. a1 = 7 cm dI = 44.9+7 = 51.9 cm II korak: usv. dI = 52 cm 0.52 II M au = 240.0 + 380.0 0.07 = 312.2 kNm 2 h II = 2.074 312.2 10 2 = 51.2 cm 25 2.05

pretp. a1 = 7 cm dII = 51.2+7 = 58.2 cm III korak: usv. dII = 60 cm 0.60 III M au = 240.0 + 380.0 0.07 = 327.4 kNm 2 h III = 2.074 327.4 10 2 = 52.3 cm 25 2.05

pretp. a1 = 7 cm dIII = 52.3+7 = 59.3 cm dII A a = 26.984 25 52.3 2.05 380 = 14.38 cm2 100 24 24 usvojeno: 618 (15.27 cm2) a1 = 3 (4.5 + 9.5) = 7.0 cm d = 52.3+7.0 = 59.3 cm usvojeno: d=60 cm 6

PRIMERI ZA VEBE


18

PRAVOUGAONI PRESEK - ODREIVANJE MOMENTA LOMAUslovi ravnotee se u optem sluaju pravougaonog preseka, napregnutog na sloeno savijanje, armiranog u obe zone, mogu napisati u sledeem obliku:

N = 0: M = 0 :a1

D bu + Dau Zau = N u

D bu z + Dau (h a 2 ) = M au = M u + N u (y b 2 a1 )

Karakteristine geometrijske veliine potrebne za proraun, dijagrami dilatacija i napona, poloaj spoljanjih i unutranjih sila su prikazane na donjoj skici.b 3.5 x-a2 a2 x=sh a2 b f B

Mu Nu

y b2

Aa2h

Dbu

h - a2

y b1

Aa1a1 b a1 10

h-x

Gb

Zaua1

Zamenom izraza za unutranje sile u betonu i armaturi u uslovu ravnotee normalnih sila sledi:

N = 0:

b s b h f B + A a 2 a 2 A a1 a1 N u = 0

(1)

U poslednjem izrazu poznate su geometrijske veliine i mehanike karakteristike materijala. Lako je pokazati da su sve ostale nepoznate veliine potpuno odreene ukoliko je poznat poloaj neutralne linije. Naime, iz Bernoulli-eve hipoteze ravnih preseka i uslova loma sledi:x=0.259h x=0.167h

s 0.259 = 7/27 b = 3.5 a1 = 1 s b s

b = 3.5 x=0.4h

b = 3.5

b = 2

s 0.259 = 7/27 a1 = 10 b = s a1 1 sAa1 a1 = 10 a1 = 5.25 a1 = 10

Koeficijent punoe naponskog dijagrama betona zavisi iskljuivo od dilatacije betona b:

PRIMERI ZA VEBE

z=h

d

x

Dau


19

b = b =

b (6 b ) za b 2 ; odnosno 12 3 b 2 za 2 b 3.5 3 b

Naponi a1 i a2 su odreeni iz bilinearnog raunskog dijagrama elika, kao: a1 = Ea a1 v pri emu je: a 2 = x a2 b ; v = v Ea x ; a2 = Ea a2 v

a v

Napominje se da je "donja" armatura uvek zategnuta, a "gornja" moe biti pritisnuta, ali i zategnuta.

a [] v 10

Oito je izborom veliine s kao parametra potpuno odreeno stanje unutranjih sila u preseku. Naravno, za nasumice izabrano s nije zadovoljen uslov ravnotee N = 0, pa se postupak odreivanja poloaja neutralne linije sprovodi iterativno. Za pretpostavljenu vrednost s se sraunaju sve unutranje sile i proveri uslov ravnotee N = 0. Tom prilikom mogu nastupiti tri sluaja: a. uslov ravnotee (1) je zadovoljen: potpuno neverovatno u prvom koraku b. uslov ravnotee (1) umesto nule daje pozitivan rezultat: rezultanta unutranjih sila je vea od spoljanje sile pritiska, pa treba pomeriti neutralnu liniju ka pritisnutoj ivici preseka, odnosno smanjiti s c. uslov ravnotee (1) umesto nule daje negativan rezultat: rezultanta unutranjih sila je manja od spoljanje sile pritiska, pa treba pomeriti neutralnu liniju ka zategnutoj ivici preseka, odnosno poveati s Postupak se u potpunosti ponavlja dok se ne zadovolji uslov ravnotee (1), odnosno do postizanja eljene tanosti, npr. max. 1% od vee od sila Dbu, Zau. Kada se iz uslova ravnotee normalnih sila odredi poloaj neutralne linije, iz uslova ravnotee momenata savijanja se sraunava traena vrednost momenta nosivosti preseka Mu. Veliina kraka unutranjih sila z se odreuje iz izraza: z = h x = h (1 s ) pri emu se bezdimenzioni koeficijent poloaja sile pritiska u betonu odreuje iz tabela za dimenzionisanje ili sraunava iz izraza: = 8 b 4 (6 b ) b (3 b 4 ) + 2 2 b (3 b 2 ) za b 2 ; odnosno

=

za 2 b 3.5

PRIMERI ZA VEBE


20

Moment loma preseka Mu se odreuje iz uslova ravnotee momenata u odnosu na teite zategnute armature u preseku, u kome su sve ostale veliine poznate. Sledi: M u = D bu z + Dau (h a 2 ) N u (y b2 a1 )Sila pritiska se u prethodne izraze unosi sa pozitivnim, a sila zatezanja sa negativnim znakom. Napominje se da je traeni rezultat prorauna veliina Mu, a ne Mau.

"JEDNOSTRUKO ARMIRAN"2 PRAVOUGAONI PRESEKU sluaju da se moe zanemariti nosivost armature smetene uz pritisnutu ivicu preseka, moment loma je mogue odrediti: - napred opisanim postpukom, uvrtavanjem Aa2 = 0 u odgovarajue izraze, odnosno - pomou tabela za dimenzionisanje pravougaonih preseka. Uslov ravnotee normalnih sila, tj. izraz za odreivanje potrebne povrine armature za pravougaoni presek napregnut na sloeno savijanje u oblasti velikog ekscentriciteta moe se napisati u obliku: A a1 = 1 b h fB Nu v v + 1 = b s = A a1 v N u bhfB

Kako su poznate geometrijske veliine preseka, koliina i poloaj armature i mehanike karakteristike materijala, iz poslednjeg izraza se moe sraunati mehaniki koeficijent armiranja zategnutom armaturom 1 . Time je jednoznano odreena vrednost koeficijenta k, koja se moe se proitati iz tabela za dimenzionisanje. Nepoznata vrednost momenta loma Mu pri odgovarajuoj sili Nu se rauna iz uslova ravnotee momenata savijanja u odnosu na teite zategnute armature: k= h M au b fB h M au = b f B k2

h d M u = M au N u (y b1 a 1 ) = b f B N u a 1 k 2

2

2

Pod "jednostruko armiranim" presekom u dosadanjem toku kursa je podrazumevan presek kod koga je proraunski potrebna armatura smetena samo u zategnutoj zoni preseka. S druge strane, "dvostruko armirani" preseci su oni kod kojih je, zbog iscrpljenja nosivosti pritisnutog betona, potrebna raunska pritisnuta armatura. Kako se ovde radi o proveri nosivosti POZNATOG preseka, svaki presek je zapravo "obostrano" ili "dvostruko" armiran, jer je odreena koliina armature smetena i uz pritisnutu ivicu. Time se nikako ne eli sugerisati da je dilatacija zategnute armature a1=3, kao u sluaju raunskog dvostruko armiranog preseka. Naime: proraun elementa ija se nosivost dokazuje mogao je biti sproveden po regulativi razliitoj od aktuelne (npr. proraun sprovden po teoriji doputenih napona i sl.); raunski potrebna i usvojena armatura se razlikuju, to dovodi do odstupanja u odnosu na proraunske vrednosti dilatacija. Takoe, projektant ima slobodu da izabere i drugu granicu a1*, veu od 3; pritisnuta armatura se pojavila kao raunski potrebna tokom neke faze graenja i sl.

PRIMERI ZA VEBE


21

Primer 9. Odrediti moment nosivosti preseka sa skice, zanemarujui nosivost armature smetene uz pritisnutu ivicu preseka. Kvalitet materijala: MB 40, RA 400/500. MB 40 fB = 2.55 kN/cm2

RA 400/500 v = 40 kN/cm2 Aa1 = 39.27 cm2 (8R25) a1 = 5 4.5 + 3 10 = 6.56 cm 8

h = 80 6.56 = 73.44 cm Aa2 = 0 (zanemaruje se) + 1 = b s = A a1 v N u bhfB 1 = 39.27 40 = 0.20969 = 20.969% k = 2.311 40 73.44 2.55b 3.5 3.4752

s 0.259 0.258

b 0.810 0.808

0.416 0.415

0.892 0.893

1M % 20.988 20.841

k 2.311 2.318

73.44 40.0 2.55 = 103010 kNcm Mu = 2.311 M u = 1030.1 kNmDI bu MuxI

Primer 10. Odrediti moment nosivosti preseka iz Primera 9, ukoliko se uzme u obzir nosivost armature smetene uz pritisnutu ivicu preseka. Aa2 = 9.82 cm (2R25) a2 = 4.5 cm Prisustvo armature uz pritisnutu ivicu preseka svakako dovodi do smanjenja visine pritisnute zone preseka, jer se ukupna unutranja sila pritiska deli na beton i armaturu (DbuI = DbuII + Dau, skica desno). Stoga se pretpostavlja manja vrednost koeficijenta s od sraunate u Primeru 9 (s=0.259):PRIMERI ZA VEBE 2

Aa1

ZI au

Mu

Aa2

x II < x I

a2

DII < DI bu bu Dau

Aa1

ZII = ZI au au


22

pretp. s = 0.20 < 0.259 a1 = 10 , b = b = 3 2.5 2 = 0.733 3 2.5

0.2 10 = 2.5 1 0.2

Dbu = bsbhfB = 0.7330.204073.442.55 = 1098.6 kN v = 2 = a 2 = v 400 = = 1.905 E a 210 10 3 a2 4.5 = = 0.061 h 73.44 x a2 s 2 0.2 0.061 b = b = 2.5 = 1.734 < v x s 0.2

a2 = Eaa2 = 210103 1.73410-3 = 364.2 MPa = 36.42 kN/cm2 Dau = Aa2a2 = 9.8236.42 = 357.5 kN a1 = 10 > v a1 = v = 400 MPa = 40 kN/cm2 Zau = Aa1a1 = 39.2740 = 1570.8 kN

N = D

bu

+ Dau Zau N u = 1098.6 + 357.5 1570.8 0 = 114.7 kN

Kako uslov ravnotee nije zadovoljen, proraun se ponavlja sa korigovanom vrednou bezdimenzionog koeficijenta s. S obzirom da unutranja sila zatezanja premauje silu pritiska, potrebno je poveati pritisnutu povrinu betona, odnosno poveati s:0.2 < s < 0.259

pretp. s = 0.22 < 0.259 a1 = 10 , b = b = a 2 =

0.22 10 = 2.821 1 0.22

3 2.821 2 = 0.764 Dbu = 0.7640.224073.442.55 = 1258.4 kN 3 2.821 0.22 0.061 2.821 = 2.035 > v a 2 = v = 40 kN/cm2 0.22

Dau = 9.8240 = 392.7 kN a1 = 10 > v a1 = v = 400 MPa = 40 kN/cm2 Zau = 39.2740 = 1570.8 kN

N = D

bu

+ Dau Zau N u = 1258.4 + 392.7 1570.8 0 = 80.3 kN

PRIMERI ZA VEBE


23

Kako uslov ravnotee ponovo nije zadovoljen, proraun se nastavlja. Kako sada unutranja sila pritiska premauje silu zatezanja, potrebno je smanjiti s:0.2 < s < 0.22

pretp. s = 0.21 < 0.259 a1 = 10 , b = b = a 2 =

0.21 10 = 2.664 1 0.21

3 2.664 2 = 0.750 Dbu = 0.750.214073.442.55 = 1181.5 kN 3 2.664 0.21 0.061 2.664 = 1.888 < v 0.21

a2 = 210103 1.88810-3 = 396.5 MPa = 39.65 kN/cm2 Dau = 9.8239.65 = 389.3 kN a1 = 10 > v a1 = v = 400 MPa = 40 kN/cm2 Zau = 39.2740 = 1570.8 kN

N = D

bu

+ Dau Zau N u = 1181.5 + 389.3 1570.8 0 = 0 s = 0.21

Kako je uslov ravnotee zadovoljen, sraunava se poloaj sile pritiska u betonu, a zatim i traeni moment nosivosti preseka. Sledi: = b (3 b 4 ) + 2 2.664 (3 2.664 4 ) + 2 = = 0.396 3 2 b (3 b 2 ) 2 2.664 (3 2.664 2 )

z = h (1 s ) = 73.44 (1 0.396 0.21) = 67.32 cm M u = D bu z + Dau (h a 2 ) N u (y b 2 a1 ) M u = 1181.5 67.32 + 389.3 (73.44 4.5) 0 = 106380 kNcmM u = 1063.8 kNm

U odnosu na vrednost sraunatu u Primeru 9, razlika momenta nosivosti iznosi: = 1063.8 1030.1 100% = 3.27% 1030.1

to predstavlja doprinos pritisnute armature u preseku.

Naravno, koeficijenti b i se mogu, za odgovarajuu dilataciju b, proitati iz tablica za dimenzionisanje pravougaonih preseka.3

PRIMERI ZA VEBE


24

Primer 11. Odrediti moment nosivosti preseka iz Primera 9, ukoliko je, pored momenta savijanja, optereen i graninom raunskom silom pritiska Nu = 800 kN. Proraun sprovesti u dve varijante: zanemarujui, odnosno uzimajui u obzir, nosivost armature smetene uz pritisnutu ivicu preseka. a. bez udela pritisnute armature + 39.27 40 + 800 1 = A a1 v N u = = 0.3165 = 31.65% k = 1.942 40 73.44 2.55 bhfBb = 3.5 ; b = 0.810 ; = 0.416 s k a 1M % 5.5 0.389 0.838 31.481 1.947 5.45 0.391 0.837 31.657 1.942 5.4 0.393 0.836 31.835 1.938

80 73.44 h 40 2.55 800 6.56 = 119070 kNcm M u = b f B N u y a1 = 2 1.942 kM u = 1190.7 kNm

2

2

b. sa udelom pritisnute armature Vezano za sraunate vrednosti u Primerima 9, 10 i 11a treba primetiti sledee: - koeficijent poloaja neutralne linije e svakako biti s < 0.391 Mu (vrednost sraunata u primeru Nu 11a, uz zanemarenje nosivosti pritisnute armature)4;x MN

Aa2

a2

MN Dau

DMN bu

- koeficijent poloaja neutralne linije e svakako biti s > 0.210 (vrednost sraunata u primeru DM < DMN bu bu 10, uzimajui u obzir nosivost a2 M Aa2 Dau pritisnute armature, za presek Mu napregnut na isto savijanje). U oba primera se razmatra isti presek, pa je povrina zategnuM MN te armature ista. Kako je napon Aa1 Zau = Zau u zategnutoj armaturi a1 = v, sile u zategnutoj armaturi u oba primera su jednake. Poveanje spoljanje sile pritiska (sa N=0 na Nu) u uslovu ravnotee normalnih sila N = D bu + Dau Zau = N u mogue je jedino poveanjem pritisnute povrine betona, odnosno sMN > sM.x M < x MN

Aa1

MN Zau

4

Objanjenje istovetno kao u Primeru 10

PRIMERI ZA VEBE


25

pretp. s = 0.3 > 0.259 b = 3.5 , a1 = b = a 2 =

1 0.3 3.5 = 8.17 0.3

3 3.5 2 = 0.810 Dbu = 0.8100.34073.442.55 = 1819.2 kN 3 3.5 0.3 0.061 3.5 = 2.785 > v a 2 = v = 40 kN/cm2 0.3

Dau = 9.8240 = 392.7 kN a1 = 8.17 > v a1 = v = 400 MPa = 40 kN/cm2 Zau = 39.2740 = 1570.8 kN

N = D

bu

+ Dau Zau N u = 1819.2 + 392.7 1570.8 800 = 158.9 kN

Kako uslov ravnotee nije zadovoljen, proraun se ponavlja sa korigovanom vrednou bezdimenzionog koeficijenta s. Potrebno je poveati pritisnutu povrinu betona, odnosno poveati s:0.3 < s < 0.391

Treba uoiti da daljim poveanjem vrednosti s dilatacija a2 raste i ostaje vea od v, tako da su obe armature dostigle granicu teenja5 a sile Dau i Zau ostaju konstantne. Dalje, dilatacija betona ostaje maksimalnih b=3.5, pa koeficijent punoe naponskog dijagrama betona zadrava vrednost b=0.81. Sledi da je jedina nepoznata u uslovu ravnotee s, pa se direktno moe odrediti: Dbu = Nu + Zau Dau = 800 + 1570.8 392.7 = 1978.1 kN s= D bu 1978.1 = = 0.326 b b h f B 0.810 40 73.44 2.55

Sprovodi se kontrola naprezanja zategnute armature: a1 = 1 0.326 3.5 = 7.229 > v a1 = v 0.326

Kako je uinjena pretpostavka o veliini naprezanja armature potvrena, sraunava se poloaj sile Dbu, a zatim i traeni moment nosivosti preseka. Sledi: = 3.5 (3 3.5 4 ) + 2 = 0.416 6 2 3.5 (3 3.5 2 )

z = 73.44 (1 0.416 0.326) = 63.47 cm

5

Za pritisnutu armaturu to je u primeru pokazano, a za zategnutu osnovano pretpostavljeno i proverava se po sraunavanju poloaja neutralne linije.6

Koeficijenti b i se mogu, za odgovarajue b, proitati iz tablica za dimenzionisanje pravougaonih preseka.

PRIMERI ZA VEBE


26

M u = D bu z + Dau (h a 2 ) N u (y b 2 a1 ) 80 M u = 1978.1 63.47 + 392.7 (73.44 4.5) 800 6.56 = 125880 kNcm 2 M u = 1258.8 kNm

U odnosu na vrednost sraunatu u Primeru 11a, razlika momenta nosivosti iznosi: = 1258.8 1190.7 100% = 5.72% 1190.7

to predstavlja doprinos pritisnute armature u preseku. U ovom sluaju doprinos pritisnute armature je vei nego u sluaju istog savijanja, jer je naprezanje pritisnute armature vee. Naravno, to je koliina pritisnute armature u preseku vea, i njen doprinos nosivosti je vei, ali ak i u sluaju simetrino armiranih preseka optereenih znatnim silama pritiska ne prelazi 10%. Na nosivost preseka prvenstveno utie koliina ZATEGNUTE armature7, dok pritisnuta armatura donekle smanjuje naprezanje betona, ali moment nosivosti poveava maksimalno do 10%.

Primer 12. Odrediti moment nosivosti preseka iz Primera 9, ukoliko je, pored momenta savijanja, optereen i graninom raunskom silom zatezanja Zu = 400 kN. Proraun sprovesti u dve varijante: zanemarujui, odnosno uzimajui u obzir, nosivost armature smetene uz pritisnutu ivicu preseka. a. bez udela pritisnute armature + 39.27 40 + ( 400 ) 1 = A a1 v N u = = 0.1563 = 15.63% k = 2.637 bhfB 40 73.44 2.55b 2.675 2.65 2.6252

s 0.211 0.209 0.208

b 0.751 0.748 0.746

0.396 0.395 0.3952

0.916 0.917 0.918

1M % 15.845 15.679 15.512

k 2.624 2.637 2.650

73.44 80 h 40 2.55 ( 400 ) 6.56 = 92478 kNcm M u = b f B N u y a1 = 2.637 2 kM u = 924.78 kNm

7

Ukoliko bi u razmotreni presek dodali dve ipke u pritisnutu, odnosno zategnutu zonu, dobili bi sledee rezultate: 825+425: 1025+225: b/a = 3.5/9.89 b/a = 3.5/5.37 ; ; M u = 1311.6 kNm (+4.2%) M u = 1447.6 kNm (+15.0%)

PRIMERI ZA VEBE


27

b. sa udelom pritisnute armature Potpuno analogno razmatranju sprovedenom u primeru 11b, sledi: - koeficijent poloaja neutralne linije e svakako biti s < 0.209 (vrednost sraunata u primeru 12a, uz zanemarenje nosivosti pritisnute armature); - koeficijent poloaja neutralne linije e svakako biti s < 0.210 (vrednost sraunata u primeru 10, uzimajui u obzir nosivost pritisnute armature, za presek napregnut na isto savijanje). U oba primera se razmatra isti presek, pa je povrina zategnute armature ista. Kako je napon u zategnutoj armaturi a1 = v, sile u zategnutoj armaturi u oba primera su jednake. Poveanje spoljanje sile zatezanja (sa N=0 na Zu) u uslovu ravnotee normalnih sila N = D bu + Dau Zau = N u mogue je jedino smanjenjem pritisnute povrine betona, odnosno sMZ < sM. 0.2 10 = 2.5 1 0.2

pretp. s = 0.20 < 0.259 a1 = 10 , b = b = 3 2.5 2 = 0.733 3 2.5

Dbu = bsbhfB = 0.7330.204073.442.55 = 1098.6 kN a 2 = 0.2 0.061 2.5 = 1.734 < v 0.2

a2 = Eaa2 = 210103 1.73410-3 = 364.2 MPa = 36.42 kN/cm2 Dau = Aa2a2 = 9.8236.42 = 357.5 kN a1 = 10 > v a1 = v = 400 MPa = 40 kN/cm2 Zau = Aa1a1 = 39.2740 = 1570.8 kN

N = D

bu

+ Dau Zau N u = 1098.6 + 357.5 1570.8 ( 400) = 285.3 kN

Kako uslov ravnotee nije zadovoljen, proraun se ponavlja sa korigovanom vrednou s, na nain prikazan u prethodnim primerima. Rezultati daljeg prorauna prikazani su tabelarno:s(-)

b1()

a1()

b(-)

Dbu(kN)

a2()

a2(MPa)

Dau(kN)

a1(MPa)

Zau(kN)

Nu(kN)

0.160 0.175 0.174

1.905 2.121 2.105

10 10 10

0.650 0.686 0.683

779.1 898.9 889.8

1.175 1.378 1.363

246.8 289.5 286.2

242.3 284.2 281.0

400 400 400

1570.8 1570.8 1570.8

-149.4 12.3 0.00

=

2.105 (3 2.105 4 ) + 2 = 0.378 2 2.105 (3 2.105 2 )

z = 73.44 (1 0.378 0.174 ) = 68.61 cm M u = D bu z + Dau (h a 2 ) N u (y b 2 a1 )PRIMERI ZA VEBE


28

80 M u = 889.8 68.61 + 281.0 (73.44 4.5) ( 400 ) 6.56 = 93790 kNcm 2 M u = 937.9 kNm

U odnosu na vrednost sraunatu u Primeru 12a, razlika momenta nosivosti iznosi: = 937.9 924.78 100% = 1.42% 924.78

to predstavlja doprinos pritisnute armature u preseku. U ovom sluaju doprinos pritisnute armature je manji nego u sluaju istog savijanja, jer je naprezanje pritisnute armature vrlo malo8.

Mu

Aa2 =225

Aa2 =0

MALI EKS. (ZATEZANJE)

VELIKI EKSCENTRICITET

MALI EKS. (PRITISAK)

Nu

8

U pojedinim, izuzetnim, sluajevima se moe dobiti vea raunska nosivost jednostruko nego obostrano armiranog preseka. Radi se o elementima optereenim velikim silama zatezanja, kada je neutralna linija jako visoko u poprenom preseku. Na primer, ukoliko na razmatrani presek deluje sila zatezanja Z u=1200 kN, sledi: 825: 825+225: b/a = 1.173/10 b/a = 1.029/10 ; ; M u = 663.4 kNm M u = 663.1 kNm

Dakle, iako se neutralna linija pomerila ka pritisnutoj ivici preseka, zbirni moment sila Dbu i Dau je manji nego u sluaju kada je nosivost pritisnute armature zanemarena. Ovi primeri su u praksi veoma retki, jer odredbe pojedinih propisa ograniavaju poloaj neutralne linije (npr. x 2a2, to u prikazanom primeru nije zadovoljeno).PRIMERI ZA VEBE

Documents

01 - Savijanje - pravougaoni presek