sprawdziany: 2-06-2006

Modulacja amplitudy impulsów

Modulacja amplitudy impulsów (PAM) polega na zmianie

amplitudy powtarzających się ze stałą częstotliwością impulsów

są zmieniane proprcjonalnie do odpowiednich spróbkowanych

wartości analogowego sygnału informacyjnego.

-sygnał analogowy

-sygnał PAM

Ts – okres próbkowania chwilowego, częstotliwość fs=1/Ts

jest wybierana zgodnie z twierdzeniem o próbkowaniu.

T – wydłużenie czasu trwania każdej póbki.

Obie czynności łącznie nazywamy

próbkowaniem z zapamiętywaniem.

Powodem wydłużenia czasu trwania każdej próbki jest dążenie

do ograniczenia szerokości kanału transmisyjnego, kóra jest

odwrotnie proporcjonalna do czasu T. Czas ten nie może być

wybierany dowolnie.

Sygnał impulsów zmodulowanych amplitudowo ma postać:

nss nTthnTmts

gdzie

t hpozostałoz dla 0

Tt i 0t dla 21

Tt0 dla 1

th

Spróbkowana chwilowo wersja sygnału m(t) ma postać:

nss nTtnTmtm

Dokonując operacji splotu funkcji mδ(t) z impulsem h(t) mamy:

nss

nss

dthnTnTm

dthnTnTm

dthmthtm

ale ss nTthdthnT

i ostatecznie: tsnTthnTmthtmn

ss

Transformata Fouriera powyższego równania ma postać:

S(ω)=Mδ(ω)H(ω)

gdzie S, Mδ, H –transformaty Fouriera funkcji s, mδ, h odpowiednio

k

ss kM

2M

s

s T2

i ostatecznie:

k

ss HkM

2S

Następny etap, to odtworzenie sygnału próbkowanego m(t)

z sygnału s(t), którego transformata Fouriera ma postać:

k

ss HkM

2S

Pierwszym etapem jest przepuścić sygnał s(t) przez filtr ocharakterystyce:

Transformata sygnału h(t):

jest Tj5.0eTsin

H

Jak widać z transformaty T5.0eTsin

H

próbkowanie impulsem prostokątnym h(t) miast δ(t) powoduje

odkształcenie amplitudy i opóźnienie w fazie wynoszące 0.5T.

Ponieważ odporność szumowa modulacji amplitudy impulsów

nie są dobre dlatego przy stosowana w zasadzie tylko do

przetworzenia informacji przy zwielokrotnieniu z podziałem

czasowym a następnie stosuje się inne sposoby modulacji.

Zwielokrotnienie z podziałem czasowym

Stosunek czasu trwania impulsu prostokątnego T do okresu

sygnału próbkującego Ts jest:

1.0TT

s

co pozostawia 90% wolnego czasu, który może zostać wykorzystany

do przesłania innych informacji. Czas między sąsiednimi próbkami

jest wykorzystywany przez inne niezależne źródła informacji na

zasadzie pracy z podziałem czasowym.

Na tej zasadzie działają system ze zwielokrotnianiem z podziałemczasowym tzw. TDM

Schemat blokowy systemu TDM

W I etapie sygnały informacyjne są podawane na prealiasingowe

filtry dolnoprzepustowe, których zadaniem jest usunięcie

częstotliwości niezbędnych do prawidłowego odtworzenia tego

sygnału.

Wyjście filtru jest podane na przełącznik elektroniczny, którego

zadaniem jest:

a) pobrać wąską próbkę każdego z N sygnałów informacyjnych

z częstotliwością fs nieco większą od 2W, gdzie W jest

częstotliwością graniczną filtru prealiasingowego.

b) rozmieścić sekwencyjnie (kolejno) pobrane N próbek wewnątrz

każdego przedziału próbkowania Ts. To jest procedura

zwielokrotniania z podziałem czasowym.

Następny etap to modulator impulsowy

Zadaniem modulatora impulsowego jest przekształcenie zwielokrotnionego sygnału do postaci wygodnej do transmisji

przez wspólny kanał.

Modulacja położenia impulsów

Dla polepszenia własności szumowych stosuje się inne systemymodulacji impulsów niż amplituda.

1. Modulacja czasu trwania impulsów - PDM

Szerokość impulsu – czyli położenie zbocza jest zmieniane

w zależności od amplitudy sygnału.

Przykład sygnał sinusoidalny.

Sygnał informacyjny m(t)

Sygnał nośny przed zmodulowaniem

Zmodulowana szerokość impulsów fala PDM

przy modulacji tylnego zbocza.

Poważną wadą metody modulacji szerokości impulsu powoduje

znaczny wzrost mocy sygnału ze względu na wzrost wypełnienia

co jest dużą wadą tej metody

Bardziej sprawnym systemem modulacji, w którym nie zmieniasię szerokości impulsu a tylko jego położenie nazywamy

modulacją położenia impulsów PPM.

Modulacja położenia impulsów

s(t)

Zmodulowany sygnał opisuje zależność:

nsps nTmknTtgts

g(t)

kP – czułość modulatora PPM.

Poszczególne impulsy sygnału s(t) muszą być rozłączne.

Warunkiem koniecznym jest spełnienie zależności:

maxP

s tmk2T

t dla 0tg

skąd wynika warunek: 2T

tmk smaxP

a więc aby proces nie został zakłócony impulsy sygnału musząbyć wąskie jeżeli kP|m(t)|max zbliża się do połowy okresupróbkowania Ts.

Modulacja położenia impulsów przeprowadza się w układzie:

s(t)

sygnał

PPM

W układzie próbkująco-pamiętającym zostaje wytworzony schodkowy sygnał u(t) według zasad modulacji amplitudy.

Sygnał informacyjny m(t)

u(t)

Sygnał u(t) PAM

T=Ts

Generator piłokształtny generuje sygnał p(t):

który zostaje w sumatorze dodany do sygnału u(t) i mamy:

v(t) – suma sygnału u(t) i sygnału p(t)

Detektor progowy o charakterystyce tak dobranej, że przy

przejściu sygnału v(t) przez zero generuje impuls i na wyjściu

otrzymujemy ciąg impulsów i(t) o zmiennym położeniu:

na wyjściu filtru kształtującego impulsy otrzymujemy sygnał s(t)

nsps nTmknTtgts

Detekcja fal PPM

Odbiornik fali PPM wykonuje następujące operacje:

1. Przekształca falę ze zmodulowanym położeniem impulsów PPM

na falę o zmodulowanej szerkości impulsów PDM.

2. Całkowanie każdego z impulsów fali PDM, co jest równoznaczne

z obliczeniem jego pola.

3. Wytworzenie fali modulowanej amplitudowo PAM, której

amplitudy m(nTs) są proporcjonalne do sygnału fali PPM.

4. Demodulacja fali PAM i odtworzenie sygnału m(t).

Wszystkie podane powyżej operacje są liniowe, a ponadtona wejściu odbiornika PPM umieszcza się nieliniowy elementprogowy o charakterystyce:

gdzie poziom progowy ustala się na około połowę amplitudy

impulsów fali PPM. Zadaniem elementu progowego jest

usunięcie szumów zniekształcających zbocze impulsów PPM.

System modulacji położenia impulsów ma podobne własności

i zalety jak system analogowy modulacji częstotliwości

Modulacja impulsowo – kodowa

PCM

Nadajnik systemu PCM wykonuje następujące operacje

na sygnale informacyjnym m(t):

1. próbkowanie

2. kwantowanie

3. kodowanie

Dla utrzymania jakości sygnału stosuje się układy regenerującesygnał:

W odbiorniku natomiast następuje regeneracja zniekształconychsygnałów, dekodowanie i rekonstrukcja ciągu skwantowanychimpulsów.

Kodowanie przeprowadza się z wykorzystaniem sytemu

binarnego, gdyż jest to system najbardziej odporny na szumy.

Przykłady kodów liniowych stosowanych do reprezentacji systemu binarnego za pomocą sygnałów elektrycznych:

1. Kod unipolarny – symbol 1 reprezentuje impuls o stałej amplitudzie i określonym czasie trwania, 0 – brak impulsu.

2. Kod bez powrotu do zera (NRZ) – liczby 1, 0 są reprezentowane

odpowiednio przez dodatnie i ujemne impulsy o tej samej

amplitudzie i czasie trwania.

3. Kod z powrotem do zera (RZ) – symbol 1 reprezentuje dodatni impuls prostokątny o szerokości połówkowej, a symbol 0 przez brak impulsu.

4. Kod bipolarny z powrotem do zera (BRZ) – trzy poziomy amplitudy. 1 na zmianę przez dodatnią i ujemną amplitudę, 0 – brak sygnału. Zaletą brak składowej stałej i niewielka składowa o małej częstotliwości.

Tory teletransmisyjne

Tory teletransmisyjne miedziane

1. Para skręcana (skrętka) – stosowana do budowy sieci lokalnych

do 10Mbit/s dla długości 100m.

2. Kabel koncentryczny

Impedancja falowa typowe wartości 50Ω lub 75Ω

Stosowana teoria linii długiej. Linia powoduje zmianę amplitudy

i fazy sygnału w zależności od częstotliwości, co powoduje

zniekształcenie sygnału.

Przykładowo na wyjściu sygnał będący sumą sygnału o

częstotliwości 1kHz i 3kHz

wejście

wyjście

sygnał wejściowy

sygnałwejściowy

sygnałwyjściowy

Odcinek linii o długości δx modelujemy:

R,G,L,C – stałe kilometryczne linii

tu

CGuxi

ti

LRixu

Równania opisujące prąd i(x,t) i spadek napięcia wzdłuż linii u(x,t):

u(x,t) u(x+δx,t)

i(x,t) i(x+δx,t)

Typowe wartości stałych kilometrycznych to: R≈100Ω/km,

G≈10μS/km, L≈0.25mH/km, C≈0.1μF/km

Przyjmiemy sygnał sinusoidalnie zmienny o pulsacji ω i zastosujemy metodę amplitud zespolonych czyli

i(x,t)=Re[I(x)ejωt], u(x,t)=Re[U(x)ejωt]

gdzie I(x), U(x) - amplitudy zespolone odpowiednio prądu inapięcia.

Ze względu na liniowość układu równań telegrafistów mamy:

UCjGdxdI

ILjRdxdU

Eliminując prąd otrzymujemy: 0Udx

Ud 2

2

2

bądź eliminując napięcie: 0Idx

Id 2

2

2

gdzie CjGLjR - stała propagacji

Stałą propagacji można zapisać w postaci: γ=α+jβ

α – jest liczbą rzeczywistą i jest nazywane tłumiennością

jednostkową toru. Podawane jest w neperach.

β – jest liczbą rzeczywistą i jest nazywane przesuwnością.

Rozwiązując równanie: 21

2 Tj1Tj1RGj

Mamy:

2

2122

21

221

2

21

2

2122

21

221

2

TTTT1TT1

RGTT

TTTT1TT1RG

gdzie GC

T i RL

T 21

Rozwiązanie równania: 0Udx

Ud 2

2

2

ma postać:

x2

x1 eAeAxU

i podobnie dla amplitudy zespolonej prądu mamy:

0Idx

Id 2

2

2

x2

x1 eBeBxI

Ze względu na równanie: ILjRdxdU

znajdujemy związek między stałymi A1, A2 i B1, B2:

x2

x1

x2

x1 eBeBLjReAeA

i mamy:

2

c

22

1

c

11

AZ1

ALjR

B

Az1

ALjR

B

gdzie CjGLjR

zc

- impedancja falowa

Rozwiązania dla amplitud zespolonych napięcia i prądu są:

x2

x1 eAeAxU

x

c

2x

c

1 ezA

ezA

xI

Niech stałe A1 i A2 są liczbami zespolonymi o postaci:

A1=|A1|ejφ i A2=|A2|ejθ

biorąc pod uwagę, że γ=α+jβ możemy zapisać:

xjx2

xjx1 eAeAxU

mnożąc zespoloną amplitudę napięcia przez ejωt i biorąc częśćrzeczywistą mamy rzeczywisty rozkład napięcia u(x,t) w linii:

txjx2

txjx1

tj eAeAReexURet,xu

Biorąc część rzeczywistą mamy:

xtcoseAxtcoseAt,xu x2

x1

Oznaczmy up(x,t)=cos(ωt-βx+θ) i uo(x,t)=cos(ωt+βx+θ)

Niech Φ=ωt0–βx0 +θ – faza funkcji cosinus w chwili t0 w punkcie

x0 i zobaczmy co dzieje się dla kolejnych chwil t>t0

cos(ωt-βx+φ)

Obraz stałej fazy: ωt-βx+φ=const porusza się z prędkością

dtdx

vf

prędkość ta jest nazywana prędkością fazową.

Biorąc pod uwagę:

2

2122

21

221

2

21

TTTT1TT1

RGTT

mamy: RGTT

TTTT1TT1v

21

2

2122

21

221

2

f

zależność prędkości fazowej od pulsacji nazywamy dyspersją.

Ponieważ fala up(x,t)=cos(ωt-βx+θ) porusza się w kierunku

dodatnich x będziemy ją nazywać falą padającą.

Niech Θ=ωt0+βx0+θ i zbadamy jak propaguje się stała faza

dla funkcji uo(x,t)=cos(ωt+βx+θ) dla czasów t>t0

Tłumienność α:

2

2122

21

221

2 TTTT1TT1RG

powoduje, że następuje tłumienie amplitudy fali wzdłuż linii:

cos(ωt+βx+θ)

Fala porusza się w kierunku malejących x i będziemy ją

nazywali falą odbitą.

Obraz stałej fazy: ωt+βx+θ=const porusza się z prędkością

dtdx

vf

a więc co do wartości bezwzględnej prędkość fazowa fali odbitej

ma tę samą wartość co prędkość fali padającej.

Rozpatrzmy wpływ tłumienności α na rozkład fali wzdłuż linii.

0 0.5 1 1.5 21

0.5

0

0.5

1

u x( )

u x( )

i x( )

x

|A2|e-αx

-|A2|e-αx

|A2|e-αxcos(ωt-βx+φ)

Rozważmy na wejściu linii transmisyjnej sygnał zmodulowanyamplitudowo: swej(t)=[1+mcos(ωt)]cos(ωct)

0 0.5 1 1.5 22

0

2

s x( )

1 m x( )

1 m x( )( )

x

swej(t)

1+m(t)

-[1+m(t)]

t

Na wyjściu mamy sygnał swyj(t):

0 0.5 1 1.5 20.5

0.25

0

0.25

0.5

sw x( )

e 1 1 e 2 m x( )

e 1 1 e 2 m x( )

x

swyj(t)

1+m(t)

-[1+m(t)]

Idealną byłaby sytuacja gdyby tłumienność α=0. Możemy to

uzyskać, jeżeli

2

2122

21

221

2 TTTT1TT1RG

R≈0 i G≈0 Linia spełniająca powyższe warunki nazywa się linią bezstratną

Dla linii bestratnej mamy: LCj

a więc α=0 i LCCL

zc impedancja falowa

jest liczbą rzeczywistą, a prędkość fazowa:LC1

vf

nie zależy od częstotliwości, co oznacza, że nie występuje dyspersja.