sprawdziany: 2-06-2006

Tory teletransmisyjne

Tory teletransmisyjne miedziane

1. Para skręcana (skrętka) – stosowana do budowy sieci lokalnych

do 10Mbit/s dla długości 100m.

2. Kabel koncentryczny

Impedancja falowa typowe wartości 50Ω lub 75Ω

Stosowana teoria linii długiej. Linia powoduje zmianę amplitudyi fazy sygnału w zależności od częstotliwości, co powoduje

zniekształcenie sygnału.

Przykładowo na wyjściu sygnał będący sumą sygnału o

częstotliwości 1kHz i 3kHz

wejście

wyjście

sygnał wejściowy

sygnałwejściowy

sygnałwyjściowy

Odcinek linii o długości δx modelujemy:

R,G,L,C – stałe kilometryczne linii

tuCGu

xi

tiLRi

xu

Równania opisujące prąd i(x,t) i spadek napięcia wzdłuż linii u(x,t):

u(x,t) u(x+δx,t)

i(x,t) i(x+δx,t)

Typowe wartości stałych kilometrycznych to: R≈100Ω/km,

G≈10μS/km, L≈0.25mH/km, C≈0.1μF/km

Przyjmiemy sygnał sinusoidalnie zmienny o pulsacji ω i zastosujemy metodę amplitud zespolonych czyli

i(x,t)=Re[I(x)ejωt], u(x,t)=Re[U(x)ejωt]

gdzie I(x), U(x) - amplitudy zespolone odpowiednio prądu i napięcia.

Ze względu na liniowość układu równań telegrafistów mamy:

UCjGdxdI

ILjRdxdU

Eliminując prąd otrzymujemy: 0Udx

Ud 22

2

bądź eliminując napięcie: 0Idx

Id 22

2

gdzie CjGLjR - stała propagacji

Stałą propagacji można zapisać w postaci: γ=α+jβ

α – jest liczbą rzeczywistą i jest nazywane tłumiennością

jednostkową toru. Podawane jest w neperach.

β – jest liczbą rzeczywistą i jest nazywane przesuwnością.

Rozwiązując równanie: 212 Tj1Tj1RGj

Mamy:

221

22

21

221

2

21

221

22

21

221

2

TTTT1TT1RG5.0TT

TTTT1TT1RG5.0

gdzie GCT i

RLT 21

Rozwiązanie równania: 0Udx

Ud 22

2

ma postać:

x2

x1 eAeAxU

i podobnie dla amplitudy zespolonej prądu mamy:

0Idx

Id 22

2

x2

x1 eBeBxI

Ze względu na równanie: ILjRdxdU

znajdujemy związek między stałymi A1, A2 i B1, B2: x

2x

1x

2x

1 eBeBLjReAeA

i mamy:

2c

22

1c

11

AZ1A

LjRB

Az1A

LjRB

gdzie CjGLjRzc

- impedancja falowa

Rozwiązania dla amplitud zespolonych napięcia i prądu są:

x2

x1 eAeAxU

x

c

2x

c

1 ezAe

zAxI

Niech stałe A1 i A2 są liczbami zespolonymi o postaci:

A1=|A1|ejφ i A2=|A2|ejθ

biorąc pod uwagę, że γ=α+jβ możemy zapisać: xjx

2xjx

1 eAeAxU

mnożąc zespoloną amplitudę napięcia przez ejωt i biorąc częśćrzeczywistą mamy rzeczywisty rozkład napięcia u(x,t) w linii:

txjx2

txjx1

tj eAeAReexURet,xu

Biorąc część rzeczywistą mamy:

xtcoseAxtcoseAt,xu x2

x1

Oznaczmy up(x,t)=cos(ωt-βx+θ) i uo(x,t)=cos(ωt+βx+θ)

Niech Φ=ωt0–βx0 +θ – faza funkcji cosinus w chwili t0 w punkcie

x0 i zobaczmy co dzieje się dla kolejnych chwil t>t0

cos(ωt-βx+φ)

Obraz stałej fazy: ωt-βx+φ=const porusza się z prędkością

dtdxvf

prędkość ta jest nazywana prędkością fazową.

Biorąc pod uwagę:

2

2122

21

221

2

21

TTTT1TT1RG5.0TT

mamy: RG5.0TT

TTTT1TT1v

21

221

22

21

221

2

f

zależność prędkości fazowej od pulsacji (częstotliwości)

nazywamy dyspersją.

Ponieważ fala up(x,t)=cos(ωt-βx+θ) porusza się w kierunku

dodatnich x będziemy ją nazywać falą padającą.

Niech Θ=ωt0+βx0+θ i zbadamy jak propaguje się stała faza

dla funkcji uo(x,t)=cos(ωt+βx+θ) dla czasów t>t0

cos(ωt+βx+θ)

Fala porusza się w kierunku malejących x i będziemy ją

nazywali falą odbitą.

Obraz stałej fazy: ωt+βx+θ=const porusza się z prędkością

dtdxvf

a więc co do wartości bezwzględnej prędkość fazowa fali odbitej

ma tę samą wartość co prędkość fali padającej.

Rozpatrzmy wpływ tłumienności α na rozkład fali wzdłuż linii.

Tłumienność α:

221

22

21

221

2 TTTT1TT1RG5.0

powoduje, że następuje tłumienie amplitudy fali wzdłuż linii:

0 0.5 1 1.5 21

0.5

0

0.5

1

u x( )

u x( )

i x( )

x

|A2|e-αx

-|A2|e-αx

|A2|e-αxcos(ωt-βx+φ)

Rozważmy na wejściu linii transmisyjnej sygnał zmodulowanyamplitudowo: swej(t)=[1+mcos(ωt)]cos(ωct)

0 0.5 1 1.5 22

0

2

s x( )

1 m x( )

1 m x( )( )

x

swej(t)

1+m(t)

-[1+m(t)]

t

Na wyjściu mamy sygnał swyj(t):

0 0.5 1 1.5 20.5

0.25

0

0.25

0.5

sw x( )

e 1 1 e 2 m x( )

e 1 1 e 2 m x( )

x

swyj(t)

1+m(t)

-[1+m(t)]

Idealną byłaby sytuacja gdyby tłumienność α=0. Możemy to

uzyskać, jeżeli

221

22

21

221

2 TTTT1TT1RG5.0

R≈0 i G≈0 Linia spełniająca powyższe warunki nazywa się linią bezstratną

Dla linii bestratnej mamy: LCj

a więc α=0 i LCCLzc impedancja falowa

jest liczbą rzeczywistą, a prędkość fazowa:LC1vf

nie zależy od częstotliwości, co oznacza, że nie występuje dyspersja.

Przykładowo linią bezstratną jest linia anteny telewizyjnej w pasmie kanałów 21 – 35, które znajdują się w zakresieod 470 – 590 MHz.Typowe parametr kabla antenowego: C=0.1 μF/km, R=100 Ω/km,G=10 μS/km i L=0.25 mH/km mamy dla 500 MHz:

ωC=314 S/km>>G=10 μS/kmoraz ωL=0.785 MΩ/km>>R=100 Ω/km

Praktycznie można pominąć wpływ rezystancji i upływnościna przesył sygnału, jeżeli ωL > 10R oraz ωC > 10G

W zakresie niskich częstotliwości wpływ rezystancji i upływnościnie może być zaniedbany i wtedy naszym celem jest tak dobraćparametry linii aby sygnał nie uległ odkształceniu.

Oznacza to, że tłumienność α i przesuwność β:

xtcoseAxtcoseAt,xu x2

x1

powinny: α – musi być niezależne od częstotliwości (pulsacji), β – musi być liniową funkcją częstotliwości.Dla uzyskania tego:

221

22

21

221

2

21

221

22

21

221

2

TTTT1TT1RG5.0TT

TTTT1TT1RG5.0

GCT i

RLT 21

można to uzyskać, jeżeli TGCT

RLT 21

bo wtedy mamy:

2242

2222221

22

21

2

T1TT21

TT21TTTT1

i

RGT

2RG5.0T2

TTTT1TT1RG5.0TT

RGT1T1RG5.0

TTTT1TT1RG5.0

221

22

21

221

2

21

22

221

22

21

221

2

a więc tłumienność linii: jest niezależna od

częstotliwości i przesuwność: jest liniową

funkcją częstotliwości.

RG2RG2T

Jeżeli linia jest nieodkształcająca, co oznacza, żeGC

RL

to również jej impedancja falowa:CjGLjRzc

jest niezależna od częstotliwości i równa:

GRzc

a rozwiązanie ma postać:

xRGTtcoseA

xRGTtcoseAt,xuxRG

2

xRG1

Prędkość fazowa fali:LC1vf

jest identyczna jak dla linii bezstratnej i nie zależy od częstotliwości, a więc nie następuje zniekształcenie sygnału

wywołane dyspersją.

Warunek:GC

RL

jest niespełniony w typowych kablach

Dla linii o typowych parametrach: C=0.1 μF/km, R=100 Ω/km,

G=10 μS/km i L=0.25 mH/km mamy: ms 10GCs 5.2

RL

Jedynym możliwym rozwiązaniem jest zwiększenie stałych kilometrycznych linii. W grę wchodzą dwa parametry G – upływność linii. Jednak

zwiększenie tego parametru prowadzi do wzrostu

i w efekcie prowadzi do wzrostu tłumienia sygnału, co jest

niewskazane.

Dlatego stosuje się zwiększanie drugiego parametru

L – indukcyjności linii. W praktyce wykonuje się to w ten sposób,

że w ustalonych odstępach wprowadza się do linii cewki, które

dobiera się w ten sposób aby uzyskać spełnienie warunku dla

danego odcinka linii o długości d:

RG

GC

RdLLd p

skąd wartość indukcyjności cewki:

dLRGCLp

i dla linii o parametrach: C=0.1 μF/km, R=100 Ω/km, G=10 μS/kmi L=0.25 mH/km mamy: 1 H, co kilometr lub 0.5 H co pół kilometra

Czynność powiększania indukcyjności linii przez wprowadzeniedodatkowych indukcjności skupionych nazywa się pupinizacją.Niestety wprowadzenie skupionej indukcyjności powoduje,że uzyskuje się linię nieodkształcającą w wąskim pasmie niskich częstotliwości. Aby operacja była skuteczna w szerokimpasmie należałoby wprowadzić indukcyjność równomiernie rozłożoną, taką próbą jest tzw. krarupizacja.

Krarupizacja polega na owinięciu żyły przewodzącej dodatkowymprzewodem wykonanym z materiału o bardzo wysokiej względnejprzenikalności magnetycznej, co powoduje wzrost indukcyjności.Niestety również ten zabieg daje efekty tylko w zakresie kilku kHz.

Pupinizacja powoduje spowolnienie sygnału, gdyż prędkość:

CLL1v

pf

i dla C=0.1 μF/km, R=100 Ω/km, G=10 μS/km, L=0.25 mH/km i Lp=1 H/km mamy: 3160 km/s, a więc w czasie 0.5 s sygnałprzebywa drogę: 1580km czyli biorąc pod uwagę rozmowę telefoniczną w odległości 790 km słyszymy odpowiedź po 0.5 s,co jest niedopuszczalne przy transmisji sygnałów telefonicznych.

Pupinizacja powoduje ograniczenie pasma częstotliwości przesyłanych sygnałów analogowych. Nie jest stosowana dlasygnałów cyfrowych.

Prędkość fazowa i prędkość grupowa

Prędkość fazową dla dowolnej linii definiujemy:

fv

i dla linii opisanej przez stałe kilometryczne R, L, G, C jest:

RG5.0TT

TTTT1TT1v

21

221

22

21

221

2

f

gdzieGCT i

RLT 21

Natomiast prędkość grupowa:

gv

opisuje zmianę nachylenia obwiedni fali sinusoidalnej i zależnośćprędkości grupowej od częstotliwości powoduje zmianę kształtuobwiedni, a tym samym zniekształcenie przesyłanej informacji.

Odbicia

Sygnał propagujący się w torze transmisyjnym bez strat:

xtcosAxtcosAt,xu 21

możemy ogólnie rozłożyć na dwie fale:

falę padającą zależną od argumentu ωt-βx i opisującą falę wędrującą w kierunku rosnących x,

i falę odbitą zależną od argumentu ωt+βxopisującą falę wędrującą w kierunku malejących x.Zapiszemy krótko:

opop uuvtxuvtxut,xu

Dla prądów mamy podobną sytuację, czyli:

opop iivtxivtxit,xi

Z równań dla linii bez strat mamy:

tuC

xi

tiL

xu

i podstawiając znajdujemy:

xd

duxd

duvtxu

xvtxu

xxu op

op

gdzie

1x

i vtx

1x

i vtx

a więc ostatecznie:

ddu

ddu

xu op

Dla prądu mamy:

td

ditd

divtxi

tvtxi

tti op

op

ale

vx

i vtx

vx

i vtx

i podstawiając mamy:

ddiv

ddi

vti op

Podstawiając do równania:tiL

xu

mamy:

ddivL

ddi

vLddu

ddu opop

Pamiętając, że dla linii bezstratnej vL=zc i porównując funkcje o tych samych argumentach mamy:

oco

pcp

izu

izu

Dla obciążenia na końcu linii mamy bilans:

odbkk

opk

opk

ziu

iii

uuu

up, ip uo, i0

uk, ik

zodb

Eliminując napięcie uk i prąd ik mamy: opodbop iizuu

a korzystając z równań:

oco

pcp

izu

izu

mamy:p

codb

codbo u

zzzzu

i fala odbita prądu: pcodb

codbo i

zzzzi

Tłumienność odbicia jest:codb

codb

zzzzlog20

Stan dopasowania falowego

zodb=zc

Nie występuje odbicie tak prąd jak i napięcia, czyli:

uo=0 oraz io=0

Linia nieobciążona – stan jałowy linii

zodb=∞

Współczynnik refrakcji (odbicia) 1zzzzR

codb

codb

czyli odbita fala napięcia prądu i napięcia ma identycznąamplitudę jak fala padająca uo=up oraz io=ip

Fala padająca napięcie

Sytuacja po odbiciu napięcie

Stan zwarcia

zodb=0

Współczynnik odbicia w przypadku zwarcia jest:

1zzzzR

codb

codb

co oznacza, że napięcie i prąd odbijają się z przeciwnym znakiem, czyli przy zwarciu nastąpi:

op

op

iii

uuu

zerowanie się wypadkowego napięcia i podwojenie wypadkowegoprądu

Dla uniknięcia odbicia stosuje się tłumiki dopasowujące.

Przykład tłumika dopasowującego dwa kable: jeden o impedancji falowej 75Ω,

a drugi o impedancji falowej 50Ω

506.863.43756.863.4375Zwej

756.86506.86503.43zwyj

Propagacja fal radiowych

Prędkość propagacji fal elektromagnetycznych w powietrzu:

00

1c

gdzie μ0=4π·10-7 H/m – przenikalność magnetyczna próżni,

ε0=8.8547·10-12 F/m – przenikalność elektryczna próżni,

stąd c=3·108 m/s.

Widmo promieniowania elektromagnetycznego

fc

Fale elektromagnetyczne rozchodzą się w postaci

fal poprzecznych (TEM)

Propagacja jonosferyczna

Zasięg pierwszego odbicia wyznaczamy:

θc – jest kątem krytycznym. Fale padające pod kątem mniejszymod krytycznego nie zostaną odbite

Kąt krytyczny zależy od częstotliwości fal elektromagnetycznych,ze wzrostem częstotliwości rośnie kąt krytyczny i fale są gorzej

odbijane przez jonosferę.Częstotliwość fc, przy której kąt krytyczny jest równy zeru, jest

nazywana częstotliwością krytyczną

Maksymalną częstotliwość użytkową (MUF) wyznacza się z tzw.

prawa sekansa: ccc

c secfcos

fMUF