Physics 2211: Lectures 32, Pg 1

Wykład 11Wykład 11Ruch harmoniczny cdRuch harmoniczny cd

Physics 2211: Lectures 32, Pg 2

Wahadło fizyczneWahadło fizyczne

Moment sily wokół osi z dla małych = -Mgd -MgR

d

Mg

z-axis

R

xCM

2

2

dt

dIMgR

d

dt

2

22

MgRI

gdzie

= 0 cos(t + )

Physics 2211: Lectures 32, Pg 3

Wahadło fizyczneWahadło fizyczne

(ICM = mR2 )

(a)

(b)

(c)

gD

2gD

g2D

D

gwóźdź

Physics 2211: Lectures 32, Pg 4

Wahadło fizyczneWahadło fizyczne

R

cm x

I

mgR

Zgodnie z twierdzeniem Steinera: I = Icm + mR2

m

= mR2 + mR2 = 2mR2

mgR

mR

gR

gD2 22

gD

więc

Physics 2211: Lectures 32, Pg 5

Wahadło torsyjneWahadło torsyjne

= -k

I

drut

Physics 2211: Lectures 32, Pg 6

Wahadło torsyjneWahadło torsyjne

= -k = I

kd

dt

I

2

2

d

dt

2

22

k

Igdzie

I

drut

Podobnie do masy na sprężynie ( rolę m odgrywa I).

Physics 2211: Lectures 32, Pg 7

RHPRHP: : PodsumowaniePodsumowanie

d s

dts

2

22

rozwiązanie:

s = A cos(t + )

Siła:

k

m

k

s

m

0

k

m

s

0

s LI

MgL

Physics 2211: Lectures 32, Pg 8

EnergEnergia potencjalna sprężystościia potencjalna sprężystości

Physics 2211: Lectures 32, Pg 9

Ruch harmoniczny z tłumieniemRuch harmoniczny z tłumieniem

tarcie: f = -b v = -b dx/dt (b=constant)

Z II zasady dynamiki Newtona

k

x

m

FF = -kx

aa

Tj inne równanie różniczkowe

na x(t)!

2

2

dt

xdm

dt

dxbkx

v

-bv

02

2

xm

k

dt

dx

m

b

dt

xd

Physics 2211: Lectures 32, Pg 10

Ruch harmoniczny z tłumieniemRuch harmoniczny z tłumieniem - rozw. ogólne- rozw. ogólne

2

2

4'

m

b

m

k

x(t) = A(t) cos(’t + )

gdzie A(t) = x0 exp(-bt/2m) i

02

2

xm

k

dt

dx

m

b

dt

xd

Physics 2211: Lectures 32, Pg 11

x(t) = x(t) = A(t) A(t) cos(cos(’t + ’t + ) )

Physics 2211: Lectures 32, Pg 12

Ruch harmoniczny z tłumieniemRuch harmoniczny z tłumieniem – energia – energia mechanicznamechaniczna E(t) E(t)

Bez tłumienia: E = 1/2 k x02 = constant

Z tłumieniem: E(t) = 1/2 A(t)2 = 1/2 k x02 exp(-bt/m)

(całkowita energia mech. maleje z czasem)

Physics 2211: Lectures 32, Pg 13

Drgania wymuszone -rezonansDrgania wymuszone -rezonans

k

m

d

Physics 2211: Lectures 32, Pg 14

REREZZONANONANSS d