Wykład 3: Kinamatykalayer.uci.agh.edu.pl/Z.Szklarski/3-Kinem-18.pdf · MECHANIKA Dlaczego taki ruch? 08.03.2018 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka

Wykład 3: Kinematyka

dr inż. Zbigniew Szklarski

[email protected]

http://layer.uci.agh.edu.pl/Z.Szklarski/

mailto:[email protected]

http://layer.uci.agh.edu.pl/Z.Szklarski/

08.03.2018 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka

2

Wstęp

Opis ruchu

KINEMATYKA

Przyczyny ruchu

DYNAMIKA

MECHANIKA

Dlaczegotaki ruch?


3

Podstawowe pojęcia dla ruchu prostoliniowego i krzywoliniowego.

)( 2tr

y

x

)( 1tr

)( 2tr

r

tor ruchu

przemieszczenie )()( 12 trtrr

12

12 )()(

tt

trtr

t

rVśr

y

x

)( 1tr

)( 2tr

r

śrV

prędkość średnia

gdy t2 t1 Δt dt to Δr dr

dt

rdV

V

prędkość chwilowa


4

Prędkość chwilowa jako granica prędkości średniej

skoro to

Wektor prędkości

chwilowej jest zawsze

styczny do toru.

Vdt

rd

t

r

t

lim

0

yjxir ˆˆ

dt

dzV

dt

dyV

dt

dxV

z

y

x

yx VjVidt

dyj

dt

dxi

dt

rdV ˆˆˆˆ


5

a=0

Przyspieszenie

Przyspieszenie związane jest

ze zmianą wektora prędkości

Jeżeli to

ponieważ:

dt

Vd

t

Va

t

0lim

yx

yx ajaidt

dVj

dt

dVi

dt

Vda ˆˆˆˆ

dt

dVa

dt

dVa

dt

dVa

zz

y

y

xx

V

t

Δt

ΔV a>0 a<0consta

taVV

0

adt

dV

V

V

t

t

adtdV

0 0

więc V = V0 + at


6

Ruch krzywoliniowy

W ruchu krzywoliniowym

występuje zmiana wektora

prędkości.

v2

v1

Konsekwencją tego jest

występowanie przyspieszenia

pomimo stałej wartości prędkości

v1

v2 a

a


7

Przyspieszenie styczne i normalne

dt

SdV

r

S

r

dSd

dt

d

r

V

dt

dS

rdt

d 1

czyli rV

r

V

x

y

S

t

SV Ruch jednostajny


8

Związek pomiędzy prędkością liniową i kątową

w ruchu jednostajnympo okręgu, wektor prędkości kątowej jest stały

reguła śruby!!

x

y

z

r

V

V̂

rV


9

Ruch niejednostajny po okręgu

)(sin trx

)(cos tdt

dr

dt

dxVx

sincos 2

2

2

rdt

dr

dt

dVa x

x

dla współrzędnej x:

r

)(tV

x

y


10

czyli xVa xx

2

skoro:dt

d

2

2

dt

d

dt

d i

to cosrVx xr

a x

2cos

oraz

sincos 2

2

2

rdt

drax )(sin trx


11

analogicznie )(cos try sinrVy yVa yy

2

Skoro yx ajaia ˆˆ

to yjVjxiVia yx

22 ˆˆˆˆ

)ˆˆ()ˆˆ( 2 yjxiVjVia yx

ostatecznie:

rVa 2

przyspieszenie styczne przyspieszenie dośrodkowe

mamy:


12

Wnioski:

- kiedy maleje składowa Vy prędkości, to rośnie składowa Vx

- przyspieszenie dośrodkowe skierowane jest wzdłuż promienia,

do środka okręgu

- wartość przyspieszenia dośrodkowego jest równa: r

Van

2


13

Przykłady

1. Pająk porusza się po torze krzywoliniowym, którego

długość opisana jest równaniem:

gdzie S0 i c to stałe. Wektor przyspieszenia pająka tworzy w

każdym punkcie toru stały kąt φ ze styczną do jego toru.

Obliczyć wartość:

a) przyspieszenia stycznego,

b) przyspieszenia normalnego,

c) promienia krzywizny toru jako funkcji długości łuku krzywej.

ROZWIĄZANIE:

a) przyspieszenie styczne

stąd

cteStS 0)(

2

2

dt

Sd

dt

dVas

cteScdt

dSV 0

cts eSca 0

2


14

z rysunku wynika że na

a

sa

s

n

a

atg

stąd

tgaa sn tgeSc ct 02

z innej definicji przyspieszenia dośrodkowego (normalnego):

r

Van

2

stąd podstawiając wyliczone wcześniej V:

tgeSc

eSc

a

Vr

ct

ct

n

02

220

22

ctgSctgeS ct 0

cteScV 0

cteStS 0)(

b) przyspieszenie normalne:

c) promień krzywizny toru jako funkcja długości łuku krzywej:


15

Punkt materialny porusza się po ćwiartce elipsy o równaniu: x2/c2

+ y2/b2 = 1 przy czym x > 0, y > 0, x(0)= 0, y(0) = b,

v(0) = (v0,0).

Wiedząc, że wektor przyspieszenia punktu a = -a(t)j znaleźć:

a) równania ruchu punktu,

b) oblicz po jakim czasie punkt materialny znajdzie się w

położeniu (c, 0),

c) podaj wektor prędkości punktu,

d) oblicz prędkość punktu materialnego w punkcie (c, 0).


16

Inne ruchy krzywoliniowe

Rzut ukośny

jest to złożenie dwóch

niezależnych ruchów-

- ruchu jednostajnego

(poziomo)

- ruchu jednostajnie

zmiennego (pionowo)

x

y


17

HRW,1Oś x:

Fx=0; ax=0,

ruch jednostajny

Oś y:

Fy=mg; ay=g,

ruch jednostajnie zmienny


18

HRW,1jgg ˆOś x:

tvx

constvv

x

xx

0

Oś y:

2

2

0

0

gttvy

gtvv

y

yy

200

2

0)θcosv(2

gxx)θtg(y

równanie toru - parabola


19

..a tak jest naprawdę:

Siła oporu powietrza wpływa na tor rzutu ukośnego !

Piłka do gry w baseball rzucona pod kątem 45° zprędkością v = 50 m/sosiąga:

• bez oporu powietrza -- wysokość 63 m, - zasięg 254 m,

• z oporem powietrza -- wysokość 31 m, - zasięg 122 m

tor w

próżni

tor w

powietrzu

45o

optymalny kąt rzutu wynosi:

20o- 30o


20

Dla osi OX Dla osi OY

ruch jednostajny ruch jednostajnie

przyspieszony

X(t) = Vxt

Rzut poziomy

x

y

xV

xV

xV

xV

yV

yV

yV V

V

V2

)(2gt

HtY

Równanie toru – parabola – typu:

V0 = Vx = const

0V

xt

20

2

2

0

22)(

V

gxH

V

xg

Hty

y(t) = a-bx2

tgVtVVtV yx

0)()(


21

Przykład

Piłkę wyrzucono ukośnie w górę pod kątem 450 z prędkością początkową V0= 12 m/s. W odległości 12 m od miejsca wyrzutu stoi pionowa ściana. Oblicz:

1. czas tt po którym piłka trafi w ścianę,

2. składowe prędkości piłki Vx i Vy w momencie trafienia i szybkość

wypadkową V,

3. kąt pod jakim piłka trafi w ścianę,

4. maksymalną wysokość H na jaką wzniesie się piłka,

5. wysokość od podstawy ściany h na jakiej piłka w nią uderzy,

6. w jakiej odległości X od ściany piłka po sprężystym od niej

odbiciu uderzy w ziemię.

Documents

Wykład 3: Kinamatykalayer.uci.agh.edu.pl/Z.Szklarski/3-Kinem-18.pdf · MECHANIKA Dlaczego taki ruch? 08.03.2018 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka