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rx
y x
x
y
z
rz
ry z
dm
VIII. MOMENTOS DE INERCIA
Recordemos que el momento estático es la suma de los productos de cada elemento de un
cuerpo por su distancia a un eje. El momento de inercia, es cambio es la suma de los productos de
cada elemento de un cuerpo por el cuadrado de su distancia a un eje. Como la distancia está
elevada al cuadrado, los momentos de inercia también se llaman momentos de segundo orden o,
simplemente, segundos momentos. Por esa misma razón, los momentos de inercia son escalares
siempre positivos. Hay momentos de inercia del peso, de la masa, del volumen de los cuerpos, y
de áreas y de líneas. A diferencia de los estáticos, que son cantidades meramente matemáticas,
los momentos de inercia de las masas miden la oposición de los cuerpos a girar alrededor de un
eje, y su conocimiento resulta imprescindible para estudiar el movimiento de los cuerpos.
Así como el momento estático de la masa de un cuerpo respecto al eje de la equis se puede
obtener mediante la expresión
en donde y es la distancia del centro de masa al eje de las equis, el momento de inercia de la masa
de un cuerpo respecto al mismo eje se puede expresar como
en donde k es cierta distancia el eje de la equis, que recibe el nombre de radio de giro. Tal
distancia corresponde al lugar en el que habría que concentrar toda la masa del cuerpo para que
conservara su momento de inercia.
Consideremos el menhir de la figura y una par-
tícula cualquiera de masa diferencial dm, cuyas dis-
tancias a los ejes cartesianos son rx, ry y rz, Los
momentos de inercia de esa partícula serán
y, por tanto, los momentos de inercia de la masa del
menhir serán
Como se puede apreciar, empleando el teorema de Pitágoras, , Sustituyendo
este resulta-do en la expresión del momento de inercia, tendremos
Momentos de inercia
121
h
R
x
h
r
x
dr
R
Estas dos últimas expresiones corresponden a lo que podríamos llamar momentos de inercia
con respecto a los planos xz y yz, respectivamente:
Las expresiones que acabamos de escribir serán muy útiles en el cálculo de los momentos de
inercia de los cuerpos.
Momentos de inercia de la masa de algunos cuerpos
Para nuestro curso básico resulta necesario conocer los momentos de inercia de la masa de
algunos cuerpos de forma común, como el cilindro, la esfera, el cono y el prisma rectangular.
Momento de inercia de la masa de un cilindro de pared delgada
El cálculo del momento de inercia de la masa m
de un cilindro de radio R de pared delgada (es decir,
de un cilindro cuyos radios interior y exterior son
prácticamente iguales) con respecto a su eje de figura
resulta muy sencillo, pues cualquiera de sus partes se
encuentra a un radio de distancia de dicho eje. Por
tanto, su momento de inercia será
Momento de inercia de la masa de un cilindro macizo
Para calcular el momento de inercia de la masa de un cilindro macizo y homogéneo de masa
m, radio R y altura h, respecto a su eje de figura, comenzaremos determinando su masa en
función de su volumen:
La cantidad que hemos designado con es la
masa específica (o masa por unidad de volumen),
también llamada densidad. Por tanto
Ahora vamos a descomponer al cuerpo en
infinidad de cilindros de pared delgada concéntricos.
Cada uno de ellos tendrá un radio r y un espesor dr,
como se muestra en la figura. El volumen de dicho
elemento diferencial será
que corresponde lo largo (h), lo ancho (2 R) y el espesor (dr) del elemento. O sea que su
masa es
Momentos de inercia
122
por tanto, su momento de inercia será
y el de todo el cilindro
Como lo contenido en el paréntesis es la masa del cilindro, podemos escribir
Al momento de inercia de un cilindro macizo de radio R2 le restaremos el momento de otro
de radio R1.
Como el producto de dos binomios conjugados es la diferencia de los cuadrados
Una fácil comprobación del resultado anterior sería tomar el caso de que R1 y R2 fueran
iguales. Entonces el momento de inercia tendría un valor de mR2, que es precisamente el que
corresponde al de un cilindro de pared delgada.
Momento de inercia de la masa de una esfera
Ejemplo. Calcule el momento de inercia de un
cilindro hueco, cuyos radios exterior e interior son R2
y R1, respectivamente. Utilice el resultado obtenido
arriba para evitar cualquier tipo de procedimiento de
integración.
h
R1
x
R2
Momentos de inercia
123
y
R
dz
z y
x
z
x
z
y
y dy
c b
a
Para abordar el cálculo del momento de inercia de una esfera, comenzaremos escribiendo su
masa en función del volumen.
A continuación descompondremos la esfera en infinidad de cilindros infinitamente delgados,
como se muestra en la figura.
El momento de inercia de un elemento diferencial es
Puesto que debemos integrar con respecto a z, se
requiere que y este en función de ella.
Como puede observarse, x, y y R se relacionan mediante el teorema de Pitágoras de la
siguiente manera
por lo tanto
y el momento de inercia de toda la masa de la esfera respecto al eje z será
Desarrollando el binomio
Momento de inercia de la masa del prisma rectangular
Para la obtención del momento de inercia de la
masa de un prisma rectangular con respeto a un eje
recurriremos a los momentos con respecto a los
planos cartesianos con el fin de simplificar el proceso.
La masa del prisma, en función de su volumen es
Como elemento diferencial tomaremos una placa
rectangular de espesor infinitamente pequeño, cuya
masa es
El momento de inercia de tal elemento respecto al plano xz es
y el de todo el cuerpo, respecto al mismo plano.
Momentos de inercia
124
El momento de la masa respecto al plano xy se obtiene de modo semejante, y fácilmente se
puede deducir que es
Ahora bien, como
Ahora bien, como puede deducirse fácilmente, dada las simetrías del prisma, los momentos
de inercia de su masa, respecto a los otros planos, se puede obtener simplemente cambiando las
variables. Así
Momento de inercia de la masa de otros cuerpos
Hemos visto cómo se calculas los momentos de inercia de varios cuerpos que son, a nuestro
juicio, los más significativos. Los de otros cuerpos, como el del cono, pueden calcularse de modo
semejante al de la esfera, o con los razonamientos que seguimos en el del prisma.
Como la suma de los momentos respecto a dos planos que se intersecan en un eje es igual al
momento de inercia respecto a dicho eje, es decir
Ejemplo. Sabiendo que el momento de inercia de
un cono de altura h y cuya base tiene un radio R, res-
pecto al eje de las zetas es determine el mo-
mento de inercia de su masa respecto a un diámetro de
su base.
y
x
z
dz
z
y h
R
Momentos de inercia
125
y
x
y
v
u
v
dm
O
Sumando los dos momentos de inercia
Teorema de los ejes paralelos o de Steiner
Consideremos un menhir de masa m, cuyo centro
se encuentra en , Elegiremos dos sistemas de
referencia. El xOy, arbitrario, y el uGv, centroidal y
paralelo al anterior, como se muestra en la figura.
El momento de inercia de la masa del menhir
respecto al eje de las equis es
pero, como se puede deducir de la construcción,
, por tanto
La primera integral es el momento de inercia de la masa del menhir respecto al eje de las úes;
la segunda, es el momento estático de la masa respecto al mismo eje y, por ser centroidal, es nulo;
la tercera es la masa misma, que resulta multiplicada por la distancia entre los dos ejes
horizontales. Por tanto, podemos escribir
Escribimos en vez de por tratarse de un momento de inercia respecto a un eje centroidal
El teorema se aplica a todos los momentos de inercia, no sólo a los de masa, y se puede enunciar
de la siguiente manera: El momento de inercia respecto a un eje cualquiera es igual al momento
respecto a un eje centroidal paralelo al primero más el producto de la masa multiplicada por las
distancia entre los ejes al cuadrado.
Momentos de inercia
126
También
Como , entonces
de donde
y falta calcular el momento de inercia con respecto al plano xy:
pero
de donde
El momento de inercia del elemento diferencial es
del cono completo
Ejemplo. Calcule el momento de inercia de la
masa de un cono de masa m, de altura h y cuya base
tiene un radio R, respecto a un eje centroidal paralelo
a cualquiera de los diámetros de su base.
y
x
h
z
h/4
R
G
Momentos de inercia
127
La masa de la varilla es
en donde A es el área, infinitamente pequeña, de la sección transversal. La masa del elemento
diferencial es
y su momento de inercia con respecto al eje de las equis
De toda la varilla
Empleando el teorema de los ejes paralelos
Momentos de inercia de cuerpos compuestos
El momento de inercia de la masa de un cuerpo compuesto se obtiene sumando los momentos
de inercia de cada una de sus partes. Ilustraremos el procedimiento mediante un ejemplo.
Ejemplo. La figura representa un cuerpo de 8 kg
de masa compuesto por un semicilindro y un prisma
de sección cuadrada. Calcule su momento de inercia
con respecto al eje O’O.
16 cm
O´
O 10 cm
4 cm
4 cm
x
y
y dy
dm
Ejemplo. Determine el momento de inercia de una
barra delgada de masa m respecto a un eje perpendi-
cular a su eje de figura que pase por uno de sus extre-
mos, y respecto a otro, centroidal, paralelo al anterior.
x u
l/2
m
l/2
Momentos de inercia
128
4
10
10
x
4R/3
u
G
8
O´
O
v
Se trata de un cuerpo compuesto por un semicilindro y un prisma de sección cuadrada.
Comenzaremos calculando la masa de cada parte
por tanto y
El momento de inercia de la masa del cuerpo es igual a la suma de los momentos de sus
partes
El momento de inercia del semicilindro respecto a su eje de figura es
Y respecto a un eje centroidal paralelo al anterior
La distancia entre los ejes es
Calculamos ahora el momento de inercia respecto al eje O´O
El momento de inercia del prisma, respecto a un eje centroidal es
y respecto al eje O´O
por tanto, de todo el cuerpo es
Momentos de inercia
129
Serie de ejercicios de Estática
MOMENTOS DE INERCIA
1. Diga en qué casos el centro de masa de un
cuerpo y su centro de gravedad coinciden.
2. Una placa de fierro de espesor uniforme tiene
forma de trapecio y las dimensiones que se
muestran en la figura. Determine las coordenadas
de su centro de masa.
(Sol. G(50, 36.7) [cm])
3. Las barras homogéneas OA y BC tienen 8 kg
de masa cada una y están unidas en A, formando
un solo cuerpo. ¿En dónde se halla su centro de
masa?
(Sol. xo = 0.375 m →)
4. El radio del tramo circular de la varilla de la
figura tiene 50 in de radio. Calcule las
coordenadas del centro de masa de la varilla.
(Sol. G(19.45, 29.2) [cm )
5. A un disco homogéneo de 400 mm de radio
se le caló medio disco de 380 mm de radio, como
se muestra en la figura. Diga en dónde se
encuentra su centro de masa.
(Sol. xo = 132.6 mm →)
6. El árbol de una máquina tiene 80 cm de largo
y su base tiene un diámetro de 5 cm. Su mitad
izquierda es de plomo, la otra de cobre. Sabiendo
que las masas específicas de esos materiales son
11.37 y 8.91 kg/dm3, determine la posición del
centro de masa del árbol.
(Sol. En el eje de la figura,
a 37.6 cm del extremo izquierdo)
90 cm
30 cm
30 cm y
x O
0.25 m
O
0.25 m
0.5 m
C
B
A
50´´
y
x
380 mm 400 mm
40 cm 40 cm
5 cm
Momentos de inercia
130
40 cm
40 cm 5 cm
0.1 m
0.8 m
0.3 m x
y
l
R1 R2
0.25 m
O
0.25 m
0.5 m
C
B
A
7. Un semicilindro reposa sobre una
superficie horizontal, como se muestra en la
figura. Una mitad es de acero, y la otra, de
aluminio. Si los pesos específicos del acero y del
aluminio son 7830 y 2690 kg/m3,
respectivamente, ¿qué valor tiene el ángulo ϴ?
(Sol. 26.0°)
8. Explique cuáles son las características
físicas de los cuerpos que se pueden medir
mediante los momentos de inercia.
9. Determine, por integración, el momento de
inercia de la masa de un cilindro hueco de altura
l, cuyos radios interior y exterior son,
respectivamente, R1 y R2.
(Sol. (1/2) m [R12+R2
2])
10. El rotor homogéneo de la figura está
compuesto por un eje cilíndrico y un disco, cuyos
radios respectivos son 4 y 30 cm. Su masa es de 8
kg. Calcule el momento de inercia de su masa,
respecto a su eje de figura.
(Sol. 2820 kgcm2)
11. La figura representa un cuerpo formado
por una esfera de 0.3 m de radio y un eje de 0.8 m
de largo, cuya base tiene un diámetro de 0.1 m.
Sabiendo que su material tiene una masa
específica de 7210 kg/m3, diga cuál es el
momento de inercia de su masa respecto a a) su
eje de figura (x´x); b) un eje perpendi-cular al
anterior, que pase por el extremo libre de la barra
(y´y).
(Sol. )
12. Las barras homogéneas OA y BC tienen 8
kg de masa cada una y están unidas en A,
formando un solo cuerpo. Determine el momento
de inercia de su masa respecto a un eje
perpendicular al plano que las contiene y que
pase por O.
(Sol. 2.83 kgm2)
ϴ
Momentos de inercia
131
40 cm
P
36 mm 12 mm 20 mm
16 mm
32 mm
60 mm
8´´
24´´
20´´
y
x
10 cm
10 cm
10 cm 20 cm
30 cm
40 cm 10 cm
160 cm
13. La masa del impulsor de una bomba
centrífuga es de 12.5 kg. El radio de giro de su
masa respecto al eje de rotación es de 15 cm.
Determine el momento de inercia de la masa del
impulsor respecto a: a) dicho eje de rotación; b)
un eje, paralelo al anterior, que pase por el punto
P.
(Sol.
14. La pieza que se representa en la figura es
de fierro colado, cuya masa específica es de 7.21
kg/dm3. Determine el momento de inercia de su
masa respecto a su eje de figura.
(Sol.
15. El cono truncado de la figura es de un
material cuya masa específica es 410 slug/ft3.
Calcule el momento de inercia de su masa
respecto a su eje de simetría (y´y) y respecto a uno
diametral que pase por su base (x´x).
(Sol.
16. Calcule el momento de inerci9a de la
masa del volante de acero de la figura, respecto a
su eje de rotación. La masa específica del acero es
7.83 kg/dm3. ¿Cuál es su radio de giro centroidal?
Los rayos son ci-líndricos.
(Sol.