Variables Aleatorias (1) (2)

8/17/2019 Variables Aleatorias (1) (2)

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UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA

“ANTONIO JOSE DE SUCRE”

VICE-RECTORADO BARQUISIMETO

DIRECCION DE INVESTIGACION Y POSTGRADO

MAESTRIA EN INGENIERIA INDUSTRIAL

Ing. Herling Sira Meléndez

ESTADISTICA


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Introducciòn

En gran número de experimentos aleatorios es necesario, para sutratamiento matemático, cuantificar los resultados de modo que se asigne

un número real a cada uno de los resultados posibles del experimento.

De este modo se establece una relación funcional entre elementos

del espacio muestral asociado al experimento y números reales.


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Experimento:Es toda acción o proceso que produce resultados bien definidos.

xperimento Resultado

Lanzar una moneda Cara o Sello

Seleccionar una parte para inspeccionarla Defectuosa o no defectuosa

Lanzar un dado 1, 2, 3, 4, 5, 6

Jugar un partido de f útbol Ganar, perder, empatar

Introducciòn


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Variables Aleatorias

En probabilidad y estadística, una variable aleatoria o variableestocástica, es una variable cuyos valores se obtienen de mediciones en

algún tipo de experimento aleatorio.

Una variable aleatoria es una función, que asigna eventos (p.e., los

posibles resultados de tirar un dado dos veces: (1, 1), (1, 2), etc.) anúmeros reales (p.e., su suma).


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Los valores posibles de una variable aleatoria puedenrepresentar los posibles resultados de un experimento aun no

realizado, o los posibles valores de una cantidad cuyo valor

actualmente existente es incierto (p.e., como resultado de

medición incompleta o imprecisa).

Intuitivamente, una variable aleatoria puede tomarse

como una cantidad cuyo valor no es fijo, es decir, puede

tomar diferentes valores; una distribución de probabilidad se

usa para describir la probabilidad de que se den los diferentes

valores.

Variables Aleatorias


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Distribuciòn de Probabilidad

La distribución de probabilidad de una variable aleatoria es

una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria

la probabilidad de que dicho suceso ocurra. La distribución de

probabilidad está definida sobre el conjunto de todos los eventos rango de

valores de la variable aleatoria.

Cuando la variable aleatoria toma valores en el conjunto de los

números reales, la distribución de probabilidad está completamente

especificada por la función de distribución, cuyo valor en cada real x es la

probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que x .


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Definición de Función de Distribución

Dada una variable aleatoria todos son puntos X , su función

de distribución, , es

Por simplicidad, cuando no hay lugar a confusión, suele

omitirse el subíndice y se escribe, simplemente, .


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Tipos de distribuciones de Probabilidad

Discretas: Se denomina distribución de variable

discreta a aquella cuya función de probabilidad sólo

toma valores positivos en un conjunto de valores

de X finito o infinito numerable

Continuas: Se denomina variable continua a aquella que

puede tomar cualquiera de los infinitos valores

existentes dentro de un intervalo. En el caso de variable

continua la distribución de probabilidad es la integral dela función de densidad

Distribución

de

Probabilidad


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Distribuciones de probabilidad con variable aleatoria continua

Función de Distribución y Función de Densidad.

Si la variable aleatoria es continua hay infinitos valores posibles de la

variable y entre cada dos de ellos se podrían definir infinitos valores más.

En estas condiciones, no es posible deducir la probabilidad de un valor

puntual de la variable, como se puede hacer en el caso de variables

aleatorias discretas.

Pero sí es posible calcular la probabilidad acumulada hasta un cierto

valor ( función de distribución), para luego analizar como cambia la

probabilidad acumulada en cada punto (estos cambios no son

probabilidades sino otro concepto que se denomina densidad de probabilidad .


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EjemploSea X la v.a. que describe la duración de los neumáticos de una

determinada marca y modelo.

Los valores de una variable estadística continua siempre se

consideran agrupados en intervalos de clase, luego no tiene sentido

plantearse la probabilidad de resultados "aislados" (como, por ejemplo, laprobabilidad de que un neumático dure, exactamente, 56.000 km , 235 m ,

47 cm y 6 mm).

En todo caso, esas probabilidades deben valer cero. Pero sí podemos

preguntarnos, por ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de que un neumático

dure menos de 50.000 km? o ¿cuál es la probabilidad de que unneumático dure entre 60.000 y 70.000 km?.

Distribuciones de probabilidad con variable aleatoria continua

Función de Distribución y Función de Densidad.


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Función de Densidad y Función de Distribución

Una función de densidad de probabilidad (FDP) es una función

matemática que caracteriza el comportamiento probable de una

población.

Se dice que una variable aleatoria X tiene una distribución continua si

existe una función no negativa f (x), definida en todo el conjunto R de los

reales tal que si A es un intervalo, entonces

La función f (x) se llama función de densidad de probabilidad de X.

La función de densidad de probabilidad (FDP) o, simplemente, función dedensidad, representada comúnmente como f(x), se utiliza con el propósito

de conocer cómo se distribuyen las probabilidades de un suceso o evento,

en relación al resultado del suceso.


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Función de Densidad (FDP) y Función de Distribución

La FDP es la derivada de la función de distribución de probabilidad F(x), o

de manera inversa, la función de distribución es la integral de la función

de densidad:

La función de densidad de una v.a. determina la concentración de

probabilidad alrededor de los valores de una variable aleatoria continua.


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Propiedades de la Función de Densidad

Si X es una variable aleatoria de distribución continua entonces

P(X = x) = 0 si x es un valor particular. Por esta razón, una función de

densidad se puede redefinir en un numero finito de puntos de un intervalo

sin alterar el valor de la integral sobre dicho intervalo, es decir, sin

modificar las probabilidades referidas a la variable X.

En otras palabras, una variable aleatoria continua tiene una

probabilidad cero de asumir cualquiera de sus valores exactamente.


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Propiedades de la Función de Densidad

En este sentido la función de densidad asociada a unavariable X no es única; de aquí que, preferiblemente, se utilizan

funciones de densidad continuas.

Las propiedades que debe satisfacer una función de

densidad f (x) son,


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Función de distribución de Probabilidad

La distribución de probabilidad de una variable aleatoria es

una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria

la probabilidad de que dicho suceso ocurra. La distribución de

probabilidad está definida sobre el conjunto de todos los eventos rango de

valores de la variable aleatoria. La función de distribución F(x) de una

variable aleatoria X es una función F : R → [0, 1] definida por:

Esta definición es común a las variables aleatorias discretas y continuas.


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En general, la función de distribución de una variable aleatoriacontinua X es el modelo teórico de la curva de frecuencias acumuladas

que se espera obtener para X, y debe cumplir, evidentemente, estas

propiedades:

• Ser creciente

• Tomar valores de 0 a 1

Si X es una variable aleatoria

continua con valores en un intervalo

[a, b], entonces F(x) será la

probabilidad de que la variable X tomevalores entre a y x .

F(x)=P(a ≤ X ≤ x)

Función de distribución de Probabilidad


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Cálculo de probabilidades con F(x).

Para el calculo de probabilidades con F(x) se utilizan las

siguientes propiedades:


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Parámetros de una Variable Aleatoria.

Esperanza y Varianza de una variable aleatoria

La esperanza matemática (también llamada esperanza, valor

esperado, media poblacional o media) de una variable

aleatoria X , es el número que formaliza la idea de valor

medio de un fenómeno aleatorio.

La esperanza matemática de una v.a. es la suma del producto

de la probabilidad de cada suceso por el valor de dicho

suceso.

Si todos los sucesos son de igual probabilidad la esperanza esla media aritmética.


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Para una variable aleatoria continua la esperanza se calcula

mediante la integral de todos los valores y la función de

densidad . Se denota

La varianza es una medida de la dispersión de una variablealeatoria respecto a su esperanza.

o

Asì se definen la esperanza matemática o media µ , la varianza

σ² y la desviación típica σ de una variable aleatoria continua

de la siguiente forma :




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σ² = E (X²) - µ²


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Teorema de Chebyshev

La Desigualdad de Chebyshev es un resultado que ofrece una cota inferior

a la probabilidad de que el valor de una variable

aleatoria con varianza finita esté a una cierta distancia de su esperanza

matemática. La desigualdad recibe su nombre del matemático

ruso Pafnuti Chebyshov.

Una consecuencia del teorema es que para cada distribución de media μ y

desviación típica finita σ, al menos la mitad de sus valores se concentrarán

en el intervalo (μ-√2 σ , μ+√2 σ).


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En casos concretos el teorema proporciona cotas poco precisas. Elteorema puede ser útil a pesar de las cotas imprecisas porque se aplica a

una amplia gama de variables que incluye las que están muy alejadas de

la distribución normal, y porque las cotas son fáciles de calcular. Se puede

decir, que los resultados son generalmente débiles, ya el valor que el

teorema proporciona es solo un limite inferior.

Si X es una variable aleatoria de media μ y varianza finita σ², entonces,

para todo número real k > 0,



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La probabilidad de que cualquier variable aleatoria X, tome un

valor dentro de la κ desviaciones estándar de la media es al

menos 1 – 1 / κ2. Es decir

P (µ - κ σ < X < µ + κ σ) ≥ 1 – 1/κ².

media μ

varianza finita σ²



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Distribuciones de variable continua más importantes

Distribución uniforme (continua)

Distribución normal

Distribución Gamma

Distribución Beta

http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_uniforme_(continua)http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_normalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_Gammahttp://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_Betahttp://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_Betahttp://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_Gammahttp://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_normalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_normalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_uniforme_(continua)


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En teoría de probabilidad y estadística, la distribución uniformecontinua es una familia de distribuciones de probabilidad para

variables aleatorias continuas, tales que cada miembro de la familia,

todos los intervalos de igual longitud en la distribución en su rango son

igualmente probables. El dominio está definido por dos

parámetros, a y b, que son sus valores mínimo y máximo. Ladistribución es a menudo escrita en forma abreviada como U(a,b).

DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA


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DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA


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Distribución Normal

Se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución

gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable

continua que con más frecuencia aparece en fenómenos reales.

La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y essimétrica respecto de un determinado parámetro. Esta curva se conoce

como campana de Gauss.

La distribución normal también es importante por su relación con laestimación por mínimos cuadrados, uno de los métodos de estimación

más simples y antiguos.


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Función de densidad: Se dice que una variable aleatoria continua X

sigue una distribución normal de parámetros μ y σ y se denota X~N(μ, σ) si

su función de densidad está dada por:

Donde μ (mu) es la media y σ (sigma) es la desviación típica (σ 2 es

la varianza).



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Se llama distribución normal "estándar" a aquélla en la que susparámetros toman los valores μ = 0 y σ = 1. En este caso la función de

densidad tiene la siguiente expresión:

Estandarización de variables aleatorias normales

Es posible relacionar todas las variables aleatorias normales con la

distribución normal estándar. Si X ~ N(μ,σ2), entonces

es una variable aleatoria normal estándar: Z ~ N(0,1).



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Propiedades de la Distribución Normal

Algunas propiedades de la distribución normal son:

Es simétrica respecto de su media, μ;

Distribución de probabilidad alrededor de la media en una distribución

N( μ, σ ).

La moda y la mediana son ambas iguales a la media, μ;

Los puntos de inflexión de la curva se dan para x = μ − σ y x = μ + σ .


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Distribución de probabilidad en un entorno de la media:

– en el intervalo [ μ - σ , μ + σ ] se encuentra comprendida,aproximadamente, el 68,26% de la distribución;

– en el intervalo [ μ - 2σ , μ + 2σ ] se encuentra, aproximadamente, el

95,44% de la distribución;

– en el intervalo [ μ -3σ , μ + 3σ ] se encuentra comprendida,

aproximadamente, el 99,74% de la distribución.



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Estas propiedades son de gran utilidad para el establecimiento

de intervalos de confianza.

Por otra parte, el hecho de que prácticamente la totalidad de la

distribución se encuentre a tres desviaciones típicas de la media justifica

los límites de las tablas empleadas habitualmente en la normal estándar.



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La distribución gamma es una distribución de probabilidad continua con

dos parámetros k y λ cuya función de densidad para valores x > 0 es

Aquí e es el número e y Γ es la función gamma.

Para valores es Γ(k ) = (k − 1)! (el factorial de k − 1).

Distribución Gamma


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Distribuciòn Gamma


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Distribución Beta

En teoría de las probabilidades y estadística, la distribución beta es unafamilia de distribuciones continuas de probabilidad definidas en el

intervalo [0, 1] con dos parámetros, uno de forma y de escala, denotado

típicamente por α y β.

Se utiliza frecuentemente como modelo para fracciones, tal como la

proporción de impurezas en un producto químico o la fracción de tiempo

que una maquina está en reparación, asi como, para estudiar las

variaciones, a través de varias muestras, de un porcentaje que representa

algún fenómeno, por ejemplo, el tiempo diario que la gente dedica a mirartelevisión.


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Distribución Beta

Γ(k ) = (k − 1)!


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Ing. Herling Sira Meléndez

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