TEMA 2.- VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES CURSO 16/17UNIDIMENSIONALES.- CURSO 16/17

2.1. Concepto de variable aleatoria. Tipos de variables aleatorias. 2.2. Variables aleatorias discretas. Diagrama de barras.2.3. Función de distribución de una variable aleatoria, F.

2 3 1 Cál l d l f ió d di ib ió i bl di2.3.1.Cálculo de la función de distribución para variables discretas. 2.3.2. Propiedades de una función de distribución F (general).2 3 3 Cálculo de probabilidades en una v a a partir de F (general)2.3.3. Cálculo de probabilidades en una v.a. a partir de F (general).2.3.4. Caracterización de una v.a. discreta a partir de F.

2.4. Variables aleatorias continuas: función de densidad y función de distribución.2.5. Funciones de una variable aleatoria. 2 6 Medidas asociadas a variables aleatorias2.6. Medidas asociadas a variables aleatorias.2.7. Independencia de variables aleatorias. Propiedades de esperanzas y varianzas.

2.1. Concepto de variable aleatoriap

Objetivo: En vez de calcular probabilidades asociadas a unObjetivo: En vez de calcular probabilidades asociadas a un experimento aleatorio queremos MEDIR alguna característica asociada al mismo.Definición: Sea E el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio. Llamaremos VARIABLE ALEATORIA a

f ió :X E una función .• Esta función “convierte” la probabilidad P definida en E en otra probabilidad P* definida en los números reales que es

:X E

otra probabilidad, P , definida en los números reales, que es donde trabajaremos desde este tema en adelante.• A P* se le llama PROBABILIDAD INDUCIDA por P y es una medida de probabilidad. De hecho, HEREDA todas las propiedades de P (p.e. ). *( ) 1 ( ) 1P E P

2.1. Concepto de variable aleatoriap

Ejemplo 1:Ejemplo 1:X: número de caras al lanzar dos monedasY: Número de veces que hay que lanzar un dado hasta obtener un 5.q y qZ: tiempo que transcurre hasta que un mensaje llega a su destino en una red de comunicaciones.

Definir de forma completa la variable X, dando el espacio muestral E y asignando valores a P* a partir de Pmuestral E y asignando valores a P a partir de P.

Observación: A veces no está claro ni el espacio muestral ni el experimento aleatorio pero nos interesa estudiar MEDIDAS en las que hay incertidumbre. Por ejemplo, la variable Z.

TIPOS DE VARIABLES ALEATORIASALEATORIAS

Estudiaremos dos tipos de variables aleatorias:Estudiaremos dos tipos de variables aleatorias:1.- DISCRETAS: son aquellas que toman un

conjunto finito o numerable de valores. Las variables X e Y del ejemplo 1 lo son.

2.- CONTINUAS: son aquellas que toman valores i t l d l t l L i bl Z d l j l 1en intervalos de la recta real. La variable Z del ejemplo 1 es

continua.

Objetivos del tema: caracterizar ambos tipos de variables, calcular probabilidades para variables aleatorias y estudiar las medidas más importantes para una variable aleatoria.

2.2. VARIABLES ALEATORIAS DISCRETASDISCRETAS

D fi i ió Ll di t ib ió d b bilid d dDefinición: Llamaremos distribución de probabilidad de una variable discreta X al conjunto de valores que toma, xi , junto con sus probabilidades p = P(X = x ) i = 1 2 3junto con sus probabilidades, pi P(X xi ), i 1,2,3,…. Además, los valores pi se llaman función de masa y verifican:

1. 0ip 1. 0

2. 1

i

i

p

p

Los valores xi también se llaman puntos de masa. En la mayoría de los casos que estudiaremos los puntos de masa son

1i

mayoría de los casos que estudiaremos los puntos de masa son un conjunto finito por lo que la condición 2 será

11

n

ii

p

2.2. VARIABLES ALEATORIAS DISCRETASDISCRETAS

El áfi i bl di l di dEl gráfico para una variable discreta es el diagrama de barras: sobre el eje OX se levantan sobre los valores xi y barras de altura pbarras de altura pi .

Ejemplo 2: Obtener la distribución de probabilidad de la variable aleatoria (v.a.) X: número de caras al lanzar dos

d Dib j l di d b i dveces una moneda. Dibujar el diagrama de barras asociado.

2.2. VARIABLES ALEATORIAS DISCRETASDISCRETAS

Cálculo de probabilidades:p

i

ix A

P X A p

i

Ejemplo 3: Para la variable X del ejemplo 2, calcular:

1 1 1 1/ 2 1 2 1 2P X P X P X P X P X

Teorema: Cualquier conjunto de valores tales que

1 , 1 , 1 1/ 2 , 1 2 , 1 2P X P X P X P X P X

x pTeorema: Cualquier conjunto de valores tales que ,i ix p

10 y 1i i

ip p

son la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta.

2 3 FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE2.3. FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA

Una de las formas de caracterizar una variable aleatoria cualquiera discreta o continua es mediante una función quecualquiera, discreta o continua, es mediante una función que llamaremos función de distribución.

Definición: Sea una variable aleatoria. Llamaremos función de distribución asociada a la variable X a una

:X E función de distribución asociada a la variable X a una función definida como:XF

( ]F P X P X

Observación: F está definida para todo Además F(x)

( , ]XF x P X x P X x

xObservación: F está definida para todo . Además, F(x) representa la probabilidad ACUMULADA hasta x.

x

2.3.1. FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN PARA VARIABLES ALEATORIAS

DISCRETASSea X una variable aleatoria discreta con función deSea X una variable aleatoria discreta con función de probabilidad . Entonces, la función de distribución de X es:

,i ix p

i

X ix x

F x P X x p

Las funciones de distribución de variables aleatorias discretas siempre son FUNCIONES ESCALONADAS.

Ejemplo 4: Obtener la función de distribución para la variable X: número de caras obtenidas al lanzar dos veces una monedaX: número de caras obtenidas al lanzar dos veces una moneda y representarla.

2.3.2.PROPIEDADES DE UNA2.3.2.PROPIEDADES DE UNA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN F

(GENERAL)( ) 1 lim 0X Xx

F x F

2. lim 1X XxF x F

3. FX es monótona no decreciente:x

4. FX es continua por la derecha: 0X XF x F x h h

0

0lim ó limX X X Xh o x xF x h F x F x F x

Ejemplo 5: verificar que se cumplen estas propiedades para la función de distribución obtenida en el ejemplo 4.

0

TEOREMA

Teorema : Una función es función de distribución de alguna variable aleatoria X F verifica

:F distribución de alguna variable aleatoria X F verifica

las cuatro propiedades anteriormente enunciadas.

Ejemplo 6: Estudiar si la función definida a continuación es función de distribución de alguna variable

:F g

aleatoria: 0 2x

2

41 2F x

xx

Obsérvese que F NO puede serla función de distribución de una variable discreta al no ser escalonada.

2.3.3.CÁLCULO DE PROBABILIDADES2.3.3.CÁLCULO DE PROBABILIDADES de una variable aleatoria a partir de su función de distribución F (GENERAL)( )

( , ]F x P X x P X x Recordemos que ( , ]q

Definimos lim ,x a

F x P X a P X a

Para calcular probabilidades de una v.a. usando su función de distribución usaremos las siguientes igualdades: 1 P X b P X b P X F b F b 1. , ,P a X b P X b P X a F b F a a b

3 limP X a P X a P X a F a F x a 2. 1 1 ,P X a P X a F a a

Ejemplo 7: A partir de la función de distribución de la variable X ú d l l d d l l

3. lim ,x a

P X a P X a P X a F a F x a

X: número de caras al lanzar dos veces una moneda, calcular

0 1.5 , 1 , 2 , 0 1P X P X P X P X

2.3.4.CARACTERIZACIÓN DE UNA V.A. DISCRETA A PARTIR DE SU FUNCIÓN DE

ÓDISTRIBUCIÓN F

Teorema : Sea X una variable aleatoria discreta con funciónTeorema : Sea X una variable aleatoria discreta con función de distribución F. Entonces, su distribución de probabilidad

viene dada por: ,i ix p p i i

:puntos de discontinuidad de

lim : altura de la discontinuidad eni

i i i

x Fp F x F x x

Ejemplo 8: A partir de la función de distribución de la variable X: número de caras al lanzar dos veces una

i

i i ix xp

moneda, obtener su distribución de probabilidad.Observación: para definir correctamente una variable aleatoria discreta se puede dar su distribución de probabilidad o su función de distribución, indistintamente.

2.4. VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS: función de densidad y función y

de distribuciónId U i bl l t i X ti i t lIdea: Una variable aleatoria X es continua si toma valores en intervalos de la recta real: tiempos, pesos, alturas, voltajes,…Definición: Decimos que X es una variable aleatoria continuaDefinición: Decimos que X es una variable aleatoria continua si su función de distribución F (recordad que ) puede escribirse a partir de una función como : [0, )f

F x P X x p p

x

F x f t dt

La función f se llama función de densidad asociada a la variable aleatoria X.

Observación: el gráfico de la función de densidad como función real de variable real será una representación de la v.a.

PROPIEDADES PARA VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

1.- La función de densidad f verifica: 0 y ( ) 1f f x dx

2.- es función de densidad de una variable continua sí y solamente sí verifica las dos condiciones de la propiedad 1

:f sí y solamente sí verifica las dos condiciones de la propiedad 1.

3.- . Por ( ) ( ) ( ) y ( ) 0b

P a X b F b F a f x dx P X a tanto

4 L f ió d di t ib ió F d i bl l t i

a

P a X b P a X b P a X b P a X b 4.- La función de distribución F de una variable aleatoria continua es una función continua CONTINUA en todo .

5.- Si la función de densidad f es continua en x, entonces se verifica ´ ( )F x f x

Observación: para definir correctamente una variable aleatoriaObservación: para definir correctamente una variable aleatoria continua se puede dar su función de densidad o su función de distribución, indistintamente.

Ejemplo 9: Sea X la variable aleatoria que mide la longitud de na pie a con densidad:

21 0 1k x x

una pieza, con densidad:

1 0 10 en el restok x xf x

(a) Obtener k para que f(x) sea función de densidad. (b) Obtener la función de distribución de X. Comprobar que

verifica las propiedades para ser función de distribuciónverifica las propiedades para ser función de distribución.(c) Calcular la probabilidad de que la longitud de una pieza esté

entre 0.75 cm y 1 cm. Hacerlo mediante la función de densidad yy mediante la función de distribución.

(d) A partir de la función de distribución de X obtener la densidad.

Ejemplo 10: Sabiendo que la función de distribuciónEjemplo 10: Sabiendo que la función de distribución siguiente corresponde a una variable aleatoria continua X:

0 0x

2 / 8 0 2

2 3x x

F x a x

1/ 4 3 51 5

bx xx

a) Obtener los valores de a y b.b) l l ( ) ( )

b) Calcular P( 1 < X ≤ 4) y P(X = 2)c) Obtener la función de densidad de X.

2.5 FUNCIONES DE UNA VARIABLE ALEATORIAVARIABLE ALEATORIA

S X i bl l i d lSea X una variable aleatoria de la que conocemos su distribución de probabilidad. A veces interesa estudiar otra variable aleatoria Y=g(X) una función de Xvariable aleatoria Y g(X), una función de X.

Tenemos tres situaciones:Tenemos tres situaciones:• Si X es discreta, Y siempre es discreta.• Si X es continua Y puede ser discreta o continua• Si X es continua, Y puede ser discreta o continua. De estos dos, solamente estudiaremos el primer caso.

Ejemplo 11: Sea X una variable aleatoria discreta con la siguiente distribución de probabilidad. Obtener la distribución de probabilidad de la variable aleatoria Y = X2 +3.

xi -1 0 1 2xi 1 0 1 2pi 1/6 1/12 1/4 1/2

Ejemplo 12: Consideremos la variable aleatoria del ejemplo 9, X: longitud de una pieza.L i d id t d f b i ió dLas piezas producidas en este proceso de fabricación se venden con las siguientes condiciones: si la pieza mide menos de 0.25 cm se considera defectuosa y no se puede vender y se pierden 2 euros por y p y p ppieza; si mide entre 0.25 cm y 0.75 cm se considera correcta y en la venta se ganan 5 euros por pieza. Si mide más de 0.75 cm se puede retocar y vender ganando solamente 1 euro por cada una Hallar laretocar y vender ganando solamente 1 euro por cada una. Hallar la distribución de probabilidad de la variable Y: ganancia obtenida por la venta de una pieza.

2 6 MEDIDAS ASOCIADAS A2.6. MEDIDAS ASOCIADAS A VARIABLES ALEATORIAS

Medidas de centralización: Dan una idea de los Medidas de centralización: Dan una idea de los valores centrales o centro de la distribución. La más importante es la MEDIA llamada tambiénLa más importante es la MEDIA, llamada también ESPERANZA o VALOR ESPERADO.

Medidas de dispersión: Dan una idea de la distancia de la distribución de los valores de la variable aleatoria a los valores centrales de la misma. Las más importantes son la VARIANZA y la p yDESVIACIÓN TÍPICA, que miden distancia de la variable a la media.

MEDIA O ESPERANZA DE UNAMEDIA O ESPERANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA X

Dado un conjunto de datos x1, x2 ,..., xn, sabemos calcular la media de los mismos en concretomedia de los mismos, en concreto

1 1 1 1

1 1 n= n =n k k k

ii i i i i i

i i i ix x x x x f

n n n

ni = frecuencia del dato xi; fi : frecuencia relativa del dato xi. 1 1 1 1i i i in n n

Definición: Sea X una v.a. discreta con distribución de probabilidad Llamaremos esperanza 1 2iprobabilidad Llamaremos esperanza matemática o media de la variable aleatoria X al valor

, , 1,2,...i ix p i

[ ] i ii

E X x p

MEDIA O ESPERANZA DE UNAMEDIA O ESPERANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA X

Definición: Sea X una variable aleatoria de tipo continuo cuya f ió d d id d i d f Llfunción de densidad asociada es f. Llamaremos esperanzamatemática o media de la variable aleatoria X al valor

T S X i bl l t i Y (X)

[ ] ( )E X x f x dx

Teorema: Sea X una variable aleatoria y sea Y= g(X) una transformación de X tal que Y es una v.a. Entonces,

discreta con , 1, 2,. [ ( )] ( )i i i ii

X x p i E Y E g X g x p

continua con densidad ( ) [ ( )] ( ) ( )X f x E Y E g X g x f x dx

MEDIA O ESPERANZA DE UNAMEDIA O ESPERANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA X

Consecuencia: Sea Y = aX+b y X una v.a. cualquiera. E i ifiEntonces, siempre se verifica que

E[Y] = E[aX+b ] = a E[X] + b.

Ejemplo 13: Calcular la esperanza de las variables de los ejemplos 2 92 y 9. Ejemplo 14: Sea X: longitud de una pieza, en cm, la variable del ejemplo 9 Sea Y la variable aleatoria que mide el beneficio enejemplo 9. Sea Y la variable aleatoria que mide el beneficio, en euros, obtenido en la venta de una pieza, dado por Y = 3X + 7. Obtener el beneficio medio por pieza.p p

Ó ÍVARIANZA Y DESVIACIÓN TÍPICA DE UNA VARIABLE ALEATORIA X

Para un conjunto de datos x1, x2 ,..., xn, la varianza es 2

1

1 n

iV x xn

Definición: Sea X una variable aleatoria cualquiera con media = E[X]. Llamaremos varianza de X , V(X), al valor

1in

Propiedades de la varianza de una variable aleatoria X: 2 22( ) [ ] [ ]V X E X E X E X

1. V(X) 0.2. (forma de cálculo). 2 2( ) [ ] [ ]V X E X E X

3. Sea Y = aX + b, entonces Definición: Sea X v.a. cualquiera y V(X) su varianza.

2( ) ( ) ,V aX b a V X a b

Llamaremos desviación típica de X: . Viene medida en las mismas unidades que X.

dt X V X

Ó ÍVARIANZA Y DESVIACIÓN TÍPICA DE UNA VARIABLE ALEATORIA X

Cálculo del término :2[ ]E X

*Si X es discreta: 2 2

1, , 1,2,...i i i i

ix p i E X x p

* Si X es continua con densidad f(x): 2 2 ( )E X x f x dx

Ejemplo 15: Calcular la varianza y desviación típica de las variables de los ejemplos 2 y 9. Ejemplo 16: Sea X: longitud de una pieza, en cm, la variable del ejemplo 9. Sea Y la variable aleatoria que mide el beneficio, en euros obtenido en la venta de una pieza dado por Y = 3X + 7euros, obtenido en la venta de una pieza, dado por Y = 3X + 7. Obtener la varianza de la variable que mide el beneficio por pieza.

2 7 VARIABLES ALEATORIAS2.7. VARIABLES ALEATORIAS INDEPENDIENTES

El concepto de variables aleatorias independientes está directamente relacionado con el de sucesos independientesdirectamente relacionado con el de sucesos independientes.

Dos sucesos A y B son independientes si la ocurrencia de uno de ellos no modifica la probabilidad del otro es decirellos no modifica la probabilidad del otro, es decir,

P A B P A/

Dos variables X e Y serán independientes cuando conocer el valor que toma una de ellas por ejemplo X = xi no modifica lavalor que toma una de ellas, por ejemplo, X xi, no modifica la distribución de probabilidad de la otra variable, Y. Si las dos variables son discretas esto se formaliza como

para todoj i j i jP Y y X x P Y y x y / ,

Ejemplo 17

Igual que en el caso de sucesos, el concepto de independencia de variables recoge también ideas intuitivas:variables recoge también ideas intuitivas:1. Para las variables

X d i di idX: peso de un individuo; Y: altura de un individuo

X Y i bl i d di t ?¿parecen X e Y variables independientes?

2 Si di l i bl2. Si estudiamos las variables X: duración de un componente de un ordenador; Y: tiempo de respuesta del equipo al procesar un trabajo ¿parecen X e Y variables independientes?

SUCESOS INDEPENDIENTES (TEMA 1)

1 Teorema: A y B son sucesos independientes si y sólo sí:1. Teorema: A y B son sucesos independientes si y sólo sí:

P A B P A P B

2. Definición: Para el caso de n sucesos, sonindependientes sí y solo sí, para cualquier subconjunto,

1 2 nA A A, , ...,independientes sí y solo sí, para cualquier subconjunto,

se verifica que: 1 2i i ikA A A, , ...,

1 2 1 2i i ik i i ikP A A A P A P A P A ... ...

DEFINICIÓN DE VARIABLESDEFINICIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS INDEPENDIENTES

Definición: Sean X1,X2,...,Xn n variables aleatorias que toman los valores x1, x2, ..., xn, respectivamente. Se dice que las variables X1,X2,...,Xn son INDEPENDIENTES, si y solo sí:

Caso discreto: P X x X x P X x P X x P X x

Caso continuo: se mide a partir de

1 1 1 1 2 2 ...n n n nP X x X x P X x P X x P X x

1 1 n nP X x X x p

1 21 2 ...

nX X X nf x f x f x

Estas igualdades se usarán en el tema 5.

PROPIEDADES DE ESPERANZASPROPIEDADES DE ESPERANZAS Y VARIANZAS

Sean X1,X2,...,Xn variables aleatorias y sean a1,a2,...,an y b números realesnúmeros reales.

Siempre se verifica que:

( li ió d l i d d E[ X+b] E[X]+b)

1 1 2 2 1 1 2 2 .[ ] [ ] [ ]n n n nE a X a X a X b aE X a E X a E X b

(generalización de la propiedad E[aX+b] = aE[X]+b) Solamente si X1,X2,...,Xn son independientes:

2 2 2b(generalización de la propiedad V(aX+b) = a2V(X)) 2 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2n n n nV aX a X a X b a V X a V X a V X

Ejemplo 18: hacer problema 6 de la hoja de problemas.