Uvod u Teoriju Skupova-dio Skripte

1

UVOD U TEORIJU SKUPOVA

SADRAJ UVOD U TEORIJU SKUPOVA .................................................................................................................... 1

POJAM SKUPA ..................................................................................................................................... 2

PODSKUPOVI I JEDNAKOST SKUPOVA ............................................................................................ 3

OPERACIJE SA SKUPOVIMA ................................................................................................................. 4

SKUPOVI BROJEVA ............................................................................................................................... 6

PRIRODNI BROJEVI I MATEMATIKA INDUKCIJA ............................................................................. 6

REALNI BROJEVI ............................................................................................................................. 13

APSOLUTNA VRIJEDNOST REALNOG BROJA ...................................................................................... 15

GEOMETRIJSKA INTERPRETACIJA APSOLUTNE VRIJEDNOSTI ........................................................ 17

OSNOVNA SVOJSTVA APSOLUTNE VRIJEDNOSTI .......................................................................... 18

JEDNADBE S APSOLUTNIM VRIJEDNOSTIMA ............................................................................... 18

NEJEDNADBE S APSOLUTNIM VRIJEDNOSTIMA .......................................................................... 22

2

POJAM SKUPA

Jezik teorije skupova koristi se u gotovo svim matematikim definicijama. Rije skup koristi

se za opisivanje kolekcije, zbirke ili grupe objekata. Pojam skupa je temeljni matematiki

pojam kojeg nije mogue definirati pomou temeljnijih pojmova.

U teoriji skupova se pojavljuju i paradoksi poput poznatog Russelovog paradoksa. Russelov

paradoks moe se formulirati i kao pria o seoskom brijau.

Primjer 1. (Russelov paradoks) U jednom selu postoji brija koji brije sve one koji sami

sebe ne briju. Tko brije brijaa?

Rjeenje: Kad bi brija brijao samog sebe onda on nebi bio onaj koji brije samo one koji se

sami ne briju. Poemo li od suprotne pretpostavke, da brija ne brije samog sebe , onda on

nebi bio taj koji brije sve one koji se sami ne briju .

Skupovi se zapisuju velikim slovima a elementi skupova malim slovima

Skupove je mogue zadavati na dva naina, navoenjem elemenata ili opisivanjem elemenata

koji sainjavaju skup.

Primjer 2. (a) Slovom oznaen je skup svih drava u Africi. Simboliki se to zapisuje kao

* +.

(b) Neka je skup svih zvijezda Mlijenog puta. Skup ne moe se definirati navoenjem

elemenata jer se svakog trenutka raaju neke nove zvijezde a stare se gase .

(c) Neka je skup svih parnih brojeva, * +. Iako je taj skup beskonaan,

dovoljno je navesti nekoliko prvih elemenata da bi znali o kojem skupu se radi .

Def. Relacija pripadnosti nekom skupu oznaava se s ako element pripada skupu .

Ukoliko element ne pripada skupu koristi se oznaka .

3

Primjer 3. (a) Tunis oito pripada skupu iz Primjera 2. odnosno ,

.

(a) Slino, pri emu je skup definiran u Primjeru 2.

Skupovi se mogu definirati pomou svojstava koja ispunjavaju njegovi elementi.

Primjer 4. Primjerice, skup {

} je skup svih prirodnih

brojeva za koji vrijedi da nije djeljiv niti sa jednim brojem od do . Oito se

radi o skupu svih prostih brojeva.

Def. Univerzalni skup sadri sve elemente koji se nalaze u zadanim skupovima. Oznaava se

s .

Primjer 5. Za skupove {

} i {

} svih parnih brojeva i svih

prirodnih brojeva koji su djeljivi sa prirodno je izabrati skup svih prirodnih brojeva za

univerzalni skup, odnosno .

Def. Prazan skup u oznaci ne sadri niti jedan element.

Primjer 6. Primjerice skup svih magaraca na Marsu ili skup svih okruglih kvadrata su

prazni skupovi.

PODSKUPOVI I JEDNAKOST SKUPOVA

Def. Skup je podskup skupa , u oznaci , ako je svaki element skupa ujedno i

element skupa :

( ) ( )

Primjer 7. U kakvom su odnosu skupovi

* + * +

Rjeenje: Provjerom uvjeta direktnim uvrtavanjem elementa dobiju se elementi

skupa * +. Elementi skupa su rjeenja jednadbe

( )

4

Prema tome

odnosno

Dakle

* + * +

Def. Skup jednak je skupu ako je svaki element iz skupa ujedno element i skupa i

obrnuto, svaki element iz skupa ujedno je element i skupa :

( ) ( )

Primjer 8. Odrediti odnose meu skupovima * +.

Rjeenje: Rjeenje jednadbe je

Stoga je . Zadani skupovi su u sljedeim odnosima

OPERACIJE SA SKUPOVIMA

Za dva skupa definiraju se operacije sa skupovima:

Unija

* +

Presjek

* +

5

razlika skupova

* +

i komplement

* +

Dva skupa za koje je su meusobno disjunktna.

Operacije sa skupovima uobiajeno je grafiki predoavati pomou Veinnovih dijagrama.

Primjer 1. Za skupove i , - odredite , .

Rjeenje:

- , - ,

Za operacije sa skupovima vrijede slina pravila kao i kod raunskih operacija zbrajanja,

oduzimanja, mnoenja i dijeljenja. Zbrajanje, oduzimanje, mnoenje i dijeljenje su algebarske

operacije sa brojevima. Slino, unija, presjek, razlika skupova nazivaju se algebarskim

operacijama meu skupovima.

Teorem. Za skupove vrijede De'Morganove formule:

a)

( )

b)

( )

Dokaz:

(a)

( )

Primjenom De'Morganove formule algebre sudova dobije se slijedea ekvivalencija:

Time je tvrdnja (a) dokazana. Tvrdnja (b) se dokae slino kao tvrdnja (a).

6

SKUPOVI BROJEVA

Broj je matematiki pojam koji se koristi za brojenje i mjerenje. Pojam broja spada meu

osnovne matematike pojmove kao i pojam skupa. Ideja prirodnog broja nastala je u samim

poecima civilizacije. Definicija broja poopavala se, te danas ukljuuje i brojeve poput nule,

negativnih brojeva, racionalnih brojeva, iracionalnih brojeva i kompleksnih brojeva.

PRIRODNI BROJEVI I MATEMATIKA INDUKCIJA

Prirodni brojevi koriste se za prebrojavanje i rangiranje. Ma koliko se prirodan broj inio

samorazumljivim, pojam prirodnog broja sadri visok stupanj apstrakcije. Primjerice,

prirodan broj sedam dobije se apstrahiranjem svojstva skupa koji sadri sedam elemenata.

Broj sedam promatra se neovisno o konkretnim sedmerolanim skupovima kao to su skupovi

od sedam studenata, sedam automobila i td. Zbog velikog znaaja prirodnih brojeva, njemaki

matematiar Leopold Kronecker (1823.-1891) smatrao je da je Bog stvorio prirodne brojeve,

a sve ostalo izmislili su matematiari.

Skup prirodnih brojeva oznaava se s te sadri slijedee elemente:

Def. Skup prirodnih brojeva:

* +

U nastavku e skup prirodnih brojeva biti opisan aksiomatski, pomou sustava aksioma.

Aksiom je temeljna matematika tvrdnja koju nije mogue objasniti pomou jo

jednostavnijih tvrdnji.

Svaki sustav aksioma treba ispunjavati sljedea pravila:

(a) princip neovisnosti-aksiomi moraju biti tako definirani da se jedan aksiom ne moe

dokazati pomou drugih aksioma;

(b) principa neproturjenosti-aksiom ne smije biti proturjean sa drugim aksiomom;

(c) princip potpunosti-treba definirati onoliko aksioma koliko je dovoljno da se iz njih

izvede itava matematika teorija.

Matematika teorija nastaje iz sustava aksioma i sadri slijedee dijelove:

(i) osnovnih pojmova koji se ne definiraju (kao pojmovi skupa, toke, broja, funkcije);

(ii) sustava aksioma;

(iii) definicija novih pojmova;

(iv) formulacije i dokazivanja novih teorema, propozicija i korolara.

7

Skup svih prirodnih moe se opisati pomou Peanovih aksioma.

Def. (Peanovi aksiomi) Skup prirodnih brojeva je skup koji zadovoljava slijedee aksiome:

(P-I) postoji sljedbenik ;

(P-II) je injekcija;

(P-III) postoji barem jedan element koji nije sljedbenik niti jednog prirodnog broja;

(P-IV) za skup prirodnih brojeva vrijedi princip matematike indukcije tj. ako je i ako

vrijedi:

(a)

(b) povlai da je

Tada je .

Prva dva aksioma P-I i P-II kau da svaki prirodan broj ima svog sljedbenika. Tako je

sljedbenik broja broj , sljedbenik broja je broj i tako dalje. Oito je da za svaki

prirodan broj postoji njegov sljedbenik. Funkcija sljedbenik je takva da je ( ) ( )

Aksiom P-III kae da broj nije sljedbenik niti jednog prirodnog broja. Princip

matematike indukcije P-IV je oigledan. Ako je ispunjeno (a) da je onda svojstvo (b)

povlai da je i ( ) pa ponovo pomou (b) slijedi zakljuak da je ( ) ,

sada povlai da je i ( ) i tako dalje. Nastavi li se ovaj proces, oito je da e

promatrani skup sadravati ba sve prirodne brojeve.

Kod empirijske indukcije zakljuci se izvlae iz jednog ili vie pojedinanih sluajeva.

Primjer 1. Definirani su brojevi oblika . Uvrtavanjem brojeva

broj e biti prost broj to navodi na krivi zakljuak da su svi brojevi gornjeg

oblika prosti. Meutim, za 40n dobiva se

( ) to je sloen broj.

Primjer 2. Fermatovi brojevi su prosti za pa se ini da je broj

prost za svako . Suprotno toj pretpostavci Euler je dokazao da je sloen.

Iz prethodnih primjera moe se zakljuiti da se empirijska indukcija pokazuje nesigurnom

metodom kod izvoenja matematikih zakljuaka.

Princip matematike indukcije temelji se na etvrtom Peanovom aksiomu.

Princip matematike indukcije: Ako je neka tvrdnja tona za prirodan broj i ako iz

pretpostavke da tvrdnja vrijedi za prirodan broj slijedi da ona vrijedi i za prirodan broj

, tada ona vrijedi za svaki prirodan broj .

Stoga se dokaz matematikom indukcijom sastoji od tri dijela:

8

1. Baze matematike indukcije, koja se sastoji od provjere da je tvrdnja istinita za ;

2. Pretpostavke matematike indukcije da promatrana tvrdnja vrijedi za neko ;

3. Koraka indukcije koji sadri dokaz da tvrdnja vrijedi za pri emu dokaz

koristi pretpostavku da tvrdnja vrijedi za neko .

Nakon provjere prethodna tri dijela, prema principu matematike indukcije smije se zakljuiti

da promatrana tvrdnja vrijedi za svako .

Primjer 3. (Domino day) U Amsterdamu se svake godine odrava manifestacija poznata pod

nazivom Domino day. Prisutni u dvorani se natjeu tko e sloiti vei broj domino ploica,

koje se u odreenom trenutku pokrenu tako to se gurne prva domino ploica, koja zatim

pokree cijeli niz domino ploica. Pritom svaka domino ploica u nizu biva gurnuta od

domino ploice koja se nalazi iza nje, sve dok ne padne i posljednja domino ploica u nizu.

Analogija sa principom matematike indukcije sastoji se u tome da pokretanje prve domino

ploice odgovara bazi matematike indukcije. Korak matematike indukcije sadran je u

injenici da svaka domino ploica gurne domino ploicu koja se nalazi ispred nje u nizu. Ako

je to ispunjeno biti e poruene ba sve domino ploice u nizu, ukljuujui i posljednju

domino ploicu.

Primjer 4. Metodom matematike indukcije dokazati formulu za sumu prvih prirodnih

brojeva:

( )

Dokaz: Baza indukcije. Za treba provjeriti identitet

( )

Dakle, tvrdnja je istinita za .

Pretpostavka indukcije. Pretpostavi se da tvrdnja vrijedi za neko , odnosno da zadana

formula vrijedi za :

( )

Korak indukcije. Koristei pretpostavku, treba dokazati da tvrdnja vrijedi i za .

Polazi se od lijeve strane formule koja sadri lan:

( )

(koristi se pretpostavka indukcije)

9

( )

( ) (

)

( )( )

to znai da tvrdnja vrijedi i za Prema principu matematike indukcije proizlazi

zakljuak da tvrdnja vrijedi .

Primjer 5. (suma kvadrata prvih prirodnih brojeva) Metodom matematike indukcije

treba dokazati da je suma kvadrata prvih prirodnih brojeva jednaka:

( )( )

Dokaz: Baza. Provjeri se baza indukcije. Za dobije se jednakost:

( )( )

pa je tvrdnja tona.

Pretpostavka. Pretpostavimo se da tvrdnja vrijedi za neko to znai da vrijedi formula

( )( )

Korak. Dokae se da tvrdnja vrijedi za , pri emu se smije iskoristiti pretpostavka:

( ) ( )

( )( )

( ) ( ) (

( )

)

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )( )( )

( )( )( )

ime je dokazano da tvrdnja vrijedi i za . Na temelju principa matematike

indukcije smije se zakljuiti da zadana formula vrijedi .

Primjer 6. Metodom matematike indukcije dokazati identitet:

( )( )

10

Dokaz: Baza. Provjeri se tvrdnja za . Na lijevoj strani formule za dobije se

a na desnoj ( ) pa vrijedi identitet:

ime je baza provjerena.

Pretpostavka. Pretpostavlja se da je zadana formula tona za neko , odnosno da vrijedi

formula:

( )( )

Korak. Sada se dokae da tvrdnja vrijedi i za :

( )( )

( )( ) ( )

( )( )

( )

( )( )

( )( )

( )( ) ( )

( )( )

( )( )

( )( )

Gornjim raunom pokazano je da tvrdnja vrijedi za pa na temelju principa

matematike indukcije izlazi zakljuak da ista vrijedi i za .

Primjer 7. (suma prvih lanova geometrijskog niza) Dokazati matematikom

indukcijom formulu za sumu prvih lanova geometrijskog niza:

Dokaz: Baza. Za je tvrdnja istinita jer je

Pretpostavka. Uvodi se pretpostavka da tvrdnja vrijedi za neko odnosno:

Korak. Treba dokazati da tvrdnja vrijedi i za . Polazi se od sume koja sadri

element:

11

( )

( )

Prethodni raun pokazuje da tvrdnja vrijedi i za pa prema principu indukcije ona

vrijedi za sve prirodne brojeve .

Indukcijom je mogue dokazivati i nejednakosti.

Primjer 8. Metodom matematike indukcije dokazati da u skupu prirodnih brojeva vrijedi

nejednakost:

Dokaz: Baza. Za dobije se nejednakost odnosno , to je istinito.

Pretpostavka. Pretpostavi se da tvrdnja vrijedi za neko odnosno da je

Korak. Koristei pretpostavku treba dokazati da ista nejednakost vrijedi i za . Za

:

( )

( )

Ako se dokae da je

( )

dobiti e se traenu nejednakost

( )

Oigledno vrijedi niz zakljuaka

( )

to je istinito za proizvoljni prirodni broj . Ovim je dokazano da je zadana nejednakost

istinita za pa je prema principu indukcije istinita i

Primjer 9. Dokazati indukcijom da je

Dokaz: Baza. Provjeri se nejednakost za . Dobije se , odnosno pa je

tvrdnja istinita za .

12

Pretpostavka. Pretpostavi se da zadana nekednakost vrijedi za neko odnosno da je

Korak. Dokae se da je tvrdnja istinita i za :

( ) ( ) ( )

( )

Oito je

pa je i

iz ega se moe zakljuiti da je

( )

Ovim je dokazano da je nejednakost tona za pa je prema principu indukcije tona

i za

Matematikom indukcijom dokazuju se i tvrdnje vezane uz djeljivosti na skupu prirodnih

brojeva .

Primjer 10. Dokazati indukcijom da je djeljivo sa za svaki prirodni broj .

Dokaz: Baza. Za dobije se izraz a je djeljivo sa pa tvrdnja

vrijedi.

Pretpostavka. Pretpostavi se da tvrdnja vrijedi za neko odnosno da je

djeljivo sa .

Korak. Dokae se da tvrdnja vrijedi za odnosno da je izraz ( )

djeljiv s .

Prema tome, izraz je djeljiv s ime je dokazano da tvrdnja vrijedi i za

. Sada primjena principa matematike indukcije povlai tvrdnju.

Matematikom indukcijom mogue je dokazivati i identitete povezane s geometrijom.

13

Primjer 11. Dokazati da je zbroj svih kutova u terokutu jednak ( ) ,

.

Dokaz. Baza. Za dobije se trokut iji zbroj svih kuteva iznosi a to je prema

gornjoj formuli ( ) pa je tvrdnja iz baze tona.

Pretpostavka. Pretpostavi se da je tvrdnja tona za neki terokut, odnosno da je suma

kuteva proizvoljnog terokuta jednaka ( ) .

Korak. Dokae se da tvrdnja vrijedi i za ( ) terokut. Potrebno je nacrtati sliku.

Sl.3. ( )

Podijeli se ( ) terokut na trokut i terokut kao na slici. Sa

slike se vidi da je suma kutova ( ) terokuta jednaka zbroju kuteva trokuta i

kuteva terokuta :

( )

( ) ( )

to je i trebalo dokazati. Sada princip indukcije povlai tonost zadane formule za sve

prirodne brojeve , .

Ova metoda ima i nedostataka, to se najvie odnosi na injenicu da dokaz indukcijom ne

prua uvid u prirodu tvrdnje koja se dokazuje.

REALNI BROJEVI

Skup prirodnih brojeva moe se proiriti do skupa cijelih brojeva koji sadri negativne

brojeve i nulu.

Def. Skup cijelih brojeva sadri elemente:

* +

14

Skup zatvoren je u odnosu na algebarske operacije zbrajanja, oduzimanja i mnoenja.

Meutim, kvocijent dva cijela broja ne mora nuno biti cijeli broj. Stoga je skup prirodno

proiriti do skupa svih racionalnih brojeva ili razlomaka.

Def. Skup racionalnih brojeva je:

{

}

Starogrki matematiari Pitagorine kole matematike dugo su vremena smatrali da se sve

veliine u prirodi meusobno sumjerljive. Oni su temeljili matematiku na pretpostavci da ne

postoje brojevi izvan skupa racionalnih brojeva. Ovu tvrdnju prvi je pobio Pitagorin uenik

Hipas iz Metaphontuma.

Teorem. Broj nije racionalan.

Dokaz: Pretpostavi se suprotno, tj. da je racionalan. To znai da se moe zapisati u obliku

razlomka:

Bez smanjenja openitosti smije se pretpostaviti da je taj razlomak do kraja skraen.

Kvadriranje prethodnog izraza daje:

Prema tome, je paran broj pa je i paran. Zato je . Nadalje,

( )

Iz prethodne relacije se vidi da je paran pa je i paran. Stoga je . Prema

tome, razlomak

nije do kraja skraen. To je u suprotnosti s polaznom pretpostavkom. Oito je pretpostavka o

racionalnosti broja pogrena. Dakle nije racionalan.

Brojevi koji nisu racionalni nazivaju se iracionalnim brojevima. Skup svih iracionalnih

brojeva oznaava se s . Npr.

Def. Skup svih realnih brojeva oznaava se s . Skup sadri sve racionalne i iracionalne

brojeve:

15

Meu najvanije iracionalne brojeve ubrajaju se brojevi , Eulerov broj kao i omjer zlatnog

reza .

Realni brojevi se primjenjuju za oznaavanje numerikih vrijednosti dobivenih mjerenjima

kao i za zapisivanje razliitih konstanti. Svi izrauni koji se provode u svim podrujima

tehnologije daju kvantitativne vrijednosti koje se predoavaju realnim brojevima.

APSOLUTNA VRIJEDNOST REALNOG BROJA

Apsolutna vrijednost realnog broja je njegova brojana vrijednost pri emu se ne uzima u

obzir predznak broja. Na primjer | | i | | .

Def. Za proizvoljan realan broj apsolutna vrijednost u oznaci | | se definira kao:

| | {

Primjer 1.

|

|

| | ( )

| |

Primjer 2. Izraunati

(a) | | (b) | | (c) (| | | |) | |

Rjeenje: (a) pa je | | ( )

Slino se rijei (b):

pa se prema definiciji apsolutne vrijednosti moe pisati

| | ( )

(c)Izbacivanjem apsolutnih vrijednosti iz zadanog izraza dobije se:

| | | |

| |

16

Skraivanje i racionalizacija prethodnog izraza daje:

to je traeno rijeenje zadatka.

Poznato je da je kvadratni korijen iz realnog broja pozitivan broj. Zato bi bilo pogreno

korijen iz kvadrata realnog broja raunati ponitavanjem korijena i kvadrata:

Primjer 3. Izraunati ( )

Rjeenje:

( )

Pogrean raun:

( )

jer bi rezultat korjenovanja bio negativan.

Dakle, za proizvoljan realan broj vrijedi:

| |

Primjer 4. Izraunati

Rjeenje:

( ) | | ( )

17

GEOMETRIJSKA INTERPRETACIJA APSOLUTNE VRIJEDNOSTI

| | predstavlja udaljenost broja od ishodita brojevnog pravca.

Sl. Apsolutna vrijednost realnog broja kao njegova udaljenost od ishodita

Ako se dva realna broja i predoe na brojevnom pravcu tada se njihova meusobna

udaljenost rauna kao | |.

Sl. Udaljenost dva realna broja na brojevnom pravcu

Primjer 5. Kolika je udaljenost izmeu brojeva i ?

Rjeenje: Udaljenost je

| ( )| | | | |

18

OSNOVNA SVOJSTVA APSOLUTNE VRIJEDNOSTI

Funkcija apsolutne vrijednosti ima sljedea svojstva:

Korijen iz kvadrata je pozitivan

| | Ne-negativnost

| | Pozitivna definitnost

| | | || | Multiplikativnost

| | Svojstvo simetrije

| | | | | | Nejednakost trokuta

| | || | | || Inverzna nejednakost trokuta

JEDNADBE S APSOLUTNIM VRIJEDNOSTIMA

U postupku rjeavanja jednadbi s apsolutnim vrijednostima cilj je izbacivanje apsolutnih

vrijednosti, to se najee postie razlikovanjem sluajeva.

Primjer 6. U skupu rijeiti jednadbe:

(a) | |

(b) || | |

Rjeenje: (a) Ako je apsolutna vrijednost izraza jednaka , onda taj izraz moe biti jednak

ili .

| |

ili

ili

ili

Skup rjeenja je * +.

19

(b)

|| | |

| |

| |

ili

ili

ili

| |

| |

Rjeenje jednadbe je * +.

Primjer 8. U skupu rijeiti jednadbu

| |

Rjeenje: Izraz unutar apsolutnih vrijednosti moe poprimiti vrijednost ili :

| |

ili

Rjeenja jednadbe su * +

20

Primjer 9. U skupu rijeiti jednadbu:

| |

Rjeenje: Potrebno je razlikovati dva sluaja.

Sluaj A. Pretpostavi se da je . U tom sluaju je | | pa zadana jednadba ima oblik:

( )

Za oba korijena je ispunjan uvjet sluaja A jer je

i

pa oni predstavljaju

rijeenje zadane jednadbe.

Sluaj B. Ako se pretpostavi da je apsolutna vrijednost biti e jednaka | | pa u

okviru ovog sluaja zadana jednadba ima oblik:

( )

Oba korijena su manja od nule

pa ispunjavaju uvjet sluaja B te

ih se moe smatrati rijeenjima polazne jednadbe.

Skup svih rijeenja zadane jednadbe sadri uniju svih dobivenih rijeenja iz sluaja A i

sluaja B, odnosno:

{

}

21

Primjer 10. Rijeiti jednadbu

| | | |

Rjeenje: Prilikom eliminacije apsolutne vrijednosti iz gornje jednadbe prikladno je

razlikovati tri sluaja. Skup realnih brojeva podijeli se obzirom na nul toke:

Na taj nain dobiju se tri meusobno disjunktna podruja, kao na sljedeoj slici:

Sl.4. Disjunktna podruja I,II i III

Unutar sluaja (I) promatraju se varijable koje se nalaze u podruju , odnosno

-. Na tom podruju je izraz pa je | | , takoer je

pa je | | . Zato na ovom podruju naa polazna jednadba ima oblik:

( )

Kako se dobiveno rijeenje ne nalazi u promatranom podruju

- ne moe

se smatrati rijeenjem dane jednadbe.

Sluaj (II) ukljuuje podruje , tj. varijabla se nalazi u intervalu -.

Na tom intervalu je a pa su njihove apsolutne vrijednosti jednake:

| | | | . Zato u okviru sluaja (II) naa jednadba prelazi u

jednadbu:

to je ekvivalentno kontradiktornoj relaciji

pa na ovom podruju jednadba nema rijeenje.

22

Sluaj (III) je zadan uvjetom , drugim rijeima . Na tom intervalu izrazi u

apsolutnim vrijednostima su pozitivni, t.j. i pa su odgovarajue

apsolutne vrijednosti jednake | | | | Polazna jednadba ovdje ima

oblik:

Ovo rijeenje se odbacuje jer ne zadovoljava uvjet sluaja (III), tj.

.

Sluajevi I, II i III nisu dali rijeenje. Odavde slijedi zakljuak da zadana jednadba nema

rijeenja.

NEJEDNADBE S APSOLUTNIM VRIJEDNOSTIMA

Geometrijsko znaenje apsolutne vrijednosti realnog broja je udaljenost tog broja od

ishodita.

Promatra se nejednadba oblika:

| |

gdje je pozitivan realan broj. Rjeenje gornje nejednadbe bit e skup svih vrijednosti

varijabli koje su udaljene od ishodita za manje od jedinica. Bilo koji broj koji se na

brojevnom pravcu nalazi izmeu brojeva i je udaljen od ishodita manje od jedinica.

Zato je nejednadba

| |

ekvivalentna relaciji

odnosno

23

Sl.5. Udaljenost varijable od ishodita O je manja od na intervalu

Primjer 11. Na skupu rijeiti sljedee nejednadbe:

(a) | | (b) | | .

Rjeenje: (a) Skupu rijeenja pripadaju one varijable koje su udaljene od ishodita za manje

od :

| |

Rijeenje je interval

(b) Rijeenje nejednadbe ukljuuje i rubove jer je | | | | :

| |

tj. , -.

Promatra se nejednadba:

| |

Skup rijeenja predstavljaju oni brojevi s brojevnog pravca ija je udaljenost od ishodita vea

od :

Sl.6. Udaljenost varijable je vea od ako je ili

Prema tome, nejednadba oblika

| |

24

ekvivalentna je dvjema nejednadbama:

Primjer 12. Rijeiti nejednadbe:

(a) | | (b) | |

Rjeenje: (a) Rjeenje prve nejednadbe ini skup svih toaka ija je udaljenost od ishodita

vea od

| |

Rijeenje se moe zapisati kao unija intervala .

(b) Rijeenje nejednadbe je

Primjer 13. Rijeiti nejednadbe

(a) | | (b) | |

Rjeenje: (a)

Rijeenje ove nejednadbe je segment [

]

(b)

Gornja dvostruka nejednadba je sastavljena od dvije nejednadbe:

1. nejednadba

2. nejednadba

Rjeenje nejednadbe je presjek rjeenja 1. i 2. nejednadbe a to je interval

25

Primjer 15. Rijeiti nejednadbu:

|

|

Rjeenje:

|

|

ili

Rijeenje zadatka je unija intervala iz oba sluaja:

Primjer 16. U skupu rijeiti nejednadbu:

|

|

Rjeenje: Zadana nejednadba je ekvivalentna dvostrukoj nejednadbi:

|

|

Najprije se odredi rijeenje prve nejednadbe:

26

Racionalni izraz je vei od nula ako su brojnik i nazivnik vei od nula ili su brojnik i nazivnik

manji od nule:

ili

Rijeenje prve nejednadbe je unija ova dva intervala

Iz druge nejednadbe dobije se:

Kako je brojnik manji od nule nazivnik mora biti vei od nule:

pa je interval rijeenje druge nejednadbe.

Obe nejednadbe moraju biti ispunjene pa je rijeenje zadatka presjek rijeenja prve i druge

nejednadbe:

, -

odnosno

Primjer 19. Rijeiti slijedeu nejednadbu u :

| |

Rjeenje: Potrebno je razlikovati dva sluaja.

Sluaj A. Promatra se podruje na kojem je :

27

Nul toke kvadratne jednadbe su:

( )

Priblini graf kvadratne funkcije je:

Sl.1. Graf kvadratne funkcije

Rijeenje kvadratne nejednadbe je podruje na kojem se graf kvadratne

funkcije nalazi iznad osi a to je unija intervala: - , . Za te

vrijednosti varijable apsolutna vrijednost je jednaka | | pa zadana

kvadratna nejednadba ima oblik:

odnosno

Najprije se odrede nul-toke ( ) Na osnovu

dobivenih nul-toaka moe se skicirati parabola:


Sa slike 2 moe se zakljuiti da se traeno rijeenje kvadratne nejednadbe nalazi u intervalu

- , . Dobiveno rijeenje se nalazi u okviru sluaja A to znai da se mora

28

nalaziti i u intervalu - , . To je ispunjeno za sve vrijednosti varijable iz

dobivenog rijeenja. Prema tome rijeenje sluaja A je: - , .

Sluaj B. Nejednadba se rijeava na podruju . Sa slike 1 moe se zakljuiti da

je to je interval Za te eve je | | pa zadana nejednadba unutar

ovog podruja glasi:

odnosno

Da bi se odredilo rijeenje ove nejednadbe potrebno je nacrtati graf kvadratne funkcije

( nul toke su ):


Rjeenje nejednadbe je skup vrijednosti varijable za koje se graf

nalazi iznad osi- a to je interval , - Presjek dobivenog rjeenja i intervala iz uvjeta

B daje , - -.

Rijeenje zadatka je unija rijeenja iz sluaja A i sluaja B:

, - , - - - ,

Documents

Uvod u Teoriju Skupova-dio Skripte