Teorija skupova (vjezbe)

Marko Doko

Zadnja promjena: 25. veljace 2010.

Licenca

Ovo djelo je ustupljeno pod licencom Creative Commons Imenovanje-Nekomercijalno-Dijeli pod istim uvjetima 3.0 Hrvatska. Puni tekst licence prilozen je na kraju dokumenta.

Slobodno smijete:

dijeliti – umnozavati, distribuirati i javnosti priopcavati djelo

remiksirati – preradivati djelo

Pod sljedecim uvjetima:

imenovanje – Morate priznati i oznaciti autorstvo djela na nacin kako je specificiraoautor ili davatelj licence (ali ne nacin koji bi sugerirao da Vi ili Vase koristenjenjegova djela imate njegovu izravnu podrsku).

nekomercijalno – Ovo djelo ne smijete koristiti u komercijalne svrhe.

Dijeli pod istim uvjetima – Ako ovo djelo izmijenite, preoblikujete ili stvaratekoristeci ga, preradu mozete distribuirati samo pod licencom koja je ista ili slicnaovoj.

A podrazumijeva se da prethodno ne utjece na:Ustupanje prava – Svaki od prethodnih uvjeta nositelj prava Vam moze ustupiti izricitimdopustenjem.Javno dobro – Kada je djelo ili neko od njegovih elemenata preslo u javno dobro premamjerodavnom zakonu, licenca ni na koji nacin ne utjece na taj status.Druga prava – Licenca ni na koji nacine ne utjece na:

- Vasa prava koja proizlaze iz ogranicenja autorskog prava ;

- Autorova moralna prava;

- Prava nad djelom ili nad njegovim koristenjima kojima mozda raspolazu druge osobekao sto su pravo nad objavljivanjem osobne fotografije ili pravo privatnosti.

Upozorenje: U slucaju koristenja ili distribuiranja morate drugima jasno dati do znanjalicencne uvjete ovog djela. Najbolji nacin da to ucinite jest linkom na ovu internetskustranicu.

Slike na ovoj stranici preuzete su s sluzbene stranice Creative Commonsa - http://creativecommons.org/

i

Sadrzaj

Licenca (sazetak) i

Predgovor iii

1 Uvod 1

1.1 Logicke napomene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Kvantifikatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2 Prazan skup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Osnovne definicije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Zadaci za zagrijavanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Relacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 Funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Ekvipotentnost i kardinalnost 9

2.1 Hilbertov hotel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1 Prica prva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.2 Prica druga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.3 Prica treca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Definicija jednakobrojnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 Aritmetika kardinalnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3.1 Zbrajanje kardinalnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3.2 Produkt kardinalnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Licenca (Creative Commons by-nc-sa) 15

ii

Predgovor

Ova skripta nastala je kao pokusaj sistematizacije vjezbi iz kolegija Teorija skupova kojedrzim od akademske godine 2006./2007. Trenutacno se radi o materijalima koji su uizradi, tako da skripta za sada izgleda kao kolekcija zadataka uz koje su navedeni teoremi idefinirani pojmovi potrebni za razumijevanje nacina rjesavanja zadataka. Kako bi olaksaosnalazenje, ubacio sam poneke napomene i komentare kojih jos uvijek ima u nedovoljnimkolicinama, no to bi se s vremenom trebalo popraviti.

Vecina zadataka jos uvijek nema rjesenje iz razloga sto mi je prva ambicija imati (do-nekle) kompletne materijale koje se onda moze (po potrebi) upotpunjavati i nadopu-njavati. Sadrzaj skripte (zadaci, primjeri, napomene i sl.) ne mora se u potpunostipodudarati sa sadrzajem vjezbi odrzanim na nastavi. Skripta je zamisljena kao nadopunavjezbama, a ne kao zamjena za prisustvovanje na nastavi.

Kako se radi o materijalima u izradi, ovim putem poticem sve one kojima bi ova skriptamogla biti od koristi da me kontaktiraju ukoliko uoce bilo kakve greske ili nedostatke utekstu koji slijedi te Vas molim da me kontaktirate ukoliko imate bilo kakve primjedbe iliprijedloge.

Marko Doko

iii

1 Uvod

1.1 Logicke napomene

Prije pocetka napomenimo da cemo razlikovati oznake za medusobni odnos dvaju formula:implikaciju (⇒) i ekvivalenciju ( ⇐⇒ ), od logickih veznika: kondicional (→) i bikondi-cional (↔). Distinkcija bi trebala biti jasna onima koji su odslusali kolegij Matematickalogika, dok ostalima ne bi trebala predstavljati problem u pracenju kolegija.

1.1.1 Kvantifikatori

Koristimo dva kvantifikatora (∃ i ∀), koji su medusobno interdefinabilni tj. jednog mozemopromatrati kao pokratu za drugi:

∀xϕ(x) ⇐⇒ ¬∃x(¬ϕ(x))

∃xϕ(x) ⇐⇒ ¬∀x(¬ϕ(x))

Osim ova dva kvantifikatora uobicajene su i neke pokrate, kao sto su:

• kvantifikator “postoji jedinstven”

∃!xϕ(x)def⇐⇒ ∃x(ϕ(x) ∧ ∀y(ϕ(y)→ x = y))

• ogranicena kvantifikacija

(∀x ∈ A)ϕ(x)def⇐⇒ ∀x(x ∈ A→ ϕ(x))

(∃x ∈ A)ϕ(x)def⇐⇒ ∃x(x ∈ A ∧ ϕ(x))

Poredak kvantifikatora u formulama je bitan. Tocnije, vrijedi sljedece:

∃x∀yϕ(x, y)⇒6⇐ ∀y∃xϕ(x, y)

Kontraprimjer za implikaciju koja ne vrijedi:

(∀y ∈ R)(∃x ∈ R)(y < x) >(∃x ∈ R)(∀y ∈ R)(y < x) ⊥

U formulama mozemo “preimenovati” varijable po kojima se kvantificira (vezane vari-jable), no treba pripaziti na to da varijablu ne zamijenimo nekom koja se vec javlja uformuli. Varijable koje nisu vezane kvantifikatorima nikada ne mozemo preimenovati.Pogledajmo primjer:

∃x(x ∈ a)∃y(y ∈ a)∃z(z ∈ a)

Postoji element skupa a.

∃x(x ∈ b) - Postoji element skupa b.

∃a(a ∈ a) - Postoji skup koji je sam sebi element.

Napomena 1.1. U teoriji skupova svi objekti o kojima govori nasa teorija su skupovi, takoda (neogranicene) kvantifikacije ∀x i ∃x znace “za svaki skup x”, odnosno “postoji skupx”.

1

1.1.2 Prazan skup

Osnovna relacija u teoriji skupova je “biti element” – ∈, preko koje se definira i jednakost.Kada su dva skupa jednaka govori nam aksiom ekstenzionalnosti

∀x∀y(x = y ↔ ∀z(z ∈ x↔ z ∈ y)) ,

sto je formalan nacin za izreci: “dva skupa su jednaka ako i samo ako imaju iste elemente”.Postojanje barem jednog objekta u nasoj teoriji zahtijevamo aksiomom praznog skupa kojikaze

∃x∀y(¬y ∈ x) ,

sto je formalan zapis za: “postoji skup bez elemenata”. Koristeci ova dva aksioma mozemodokazati da postoji jedinstven skup koji nema elemenata, te nam to daje za pravo dauvedemo specijalnu oznaku i naziv za takav skup – prazan skup, oznaka: ∅.Napomena 1.2 (Kvantifikacija po praznom skupu). Uocite da vrijedi:

• (∀x ∈ ∅)ϕ(x) je uvijek istina bez obzira sto je ϕ,

• (∃x ∈ ∅)ϕ(x) je uvijek neistina bez obzira sto je ϕ.

1.2 Osnovne definicije

Vecina definicija (sve osim 1.4) i oznaka koje cemo ovdje uvesti trebala bi biti poznata izsadrzaja kolegija prve godine (pa cak i iz ranijeg skolovanja).

Definicija 1.3. Neka su a i b skupovi. Definiramo:

• a ∪ b := {x | x ∈ a ∨ x ∈ b}• a ∩ b := {x | x ∈ a ∧ x ∈ b}• a \ b := {x | x ∈ a ∧ x 6∈ b}• a M b := (a \ b) ∪ (b \ a) = (a ∪ b) \ (a ∩ b)

Definicija 1.4. Za skup a definiramo uniju skupa a:⋃a := {x | ∃y(x ∈ y ∧ y ∈ a} .

Oznaka na koju ste mozda navikli bila bi⋃a =

⋃y∈a

y. (Sjetite se: svi objekti su skupovi!).

Napomena 1.5. Unija skupa je upravo objekt cije postojanje zahtijeva aksiom unije:

∀a∃b(x ∈ b↔ ∃y(x ∈ y ∧ y ∈ a)) .

Definicija 1.6. Pojmove podskup i pravi podskup definiramo ovako:

a ⊆ bdef⇐⇒ ∀x(x ∈ a→ x ∈ b)

a ⊂ bdef⇐⇒ a ⊆ b ∧ a 6= b

Definicija 1.7. Za skup a definiramo njegov partitivni skup:

P (a) := {x | x ⊆ a} .

2

Definicija 1.8. Za skup a kazemo da je familija ako postoji skup b takav da je a ⊆ P (b).

Zadatak 1.9. Dokazite da je svaki skup familija.

Rjesenje: Uocimo da vrijedi:

∀a(a ⊆ P

(⋃a))

.

#

1.3 Zadaci za zagrijavanje

Zadatak 1.10. Neka su a, b i c skupovi. Odredite odnos medu skupovima

(b \ c) \ (b \ a) i (b ∩ a) \ c .

“Odrediti odnos” u ovom kontekstu znaci odgovoriti na sljedeca tri pitanja:

• Jesu li skupovi nuzno jednaki? Ako jesu dokazite. Ako nisu, nadite kontraprimjer.

• Je li jedan od skupova nuzno podskup onog drugog? Ako da dokazite. Ako ne,nadite kontraprimjer.

• Jesu li skupovi nuzno disjunkni? Ako jesu dokazite. Ako nisu, nadite kontraprimjer.

Zadatak 1.11. Neka su a, b i c skupovi. Odredite odnos medu skupovima

(a \ b) ∪ ((b \ c) \ a) i b M (c ∩ a) .

Zadatak 1.12. Neka su a1, a2, . . . , an skupovi. Dokazite da se skup a1 M a2 M · · · M an

sastoji od elemenata koji pripadaju skupovima ai za neparno mnogo indeksa i.

Rjesenje: Dokaz provodimo indukcijom po n.

Za n = 2 imamo a1 M a2 = (a1 ∪ a2) \ (a1 ∩ a2), pa vidimo da se taj skup sastojo idelemenata koji se nalaze u skupovima ai za tocno jedan indeks i ∈ {1, 2}.Neka je n > 2. Pretpostavimo da za svaki k < n i sve k-torke skupova a1, a2, . . . , ak

vrijedi tvrdnja zadatka. Promotrimo:

a1 M a2 M . . . M an = (a1 M a2 M . . . M an−1)︸ ︷︷ ︸a

M an =

= (a ∪ an) \ (a ∩ an)

Ako je x ∈ a1 M a2 M . . . M an = (a ∪ an) \ (a ∩ an), moguca su dva slucaja:

1◦ x ∈ a i x 6∈ an

Po pretpostavci indukcije, x je u ai za neparno mnogo indeksa i ∈ {1, 2, . . . , n− 1},a ne nalazi se u an, pa tvrdnja vrijedi.

2◦ x 6∈ a i x ∈ an

Tvrdnja vrijedi jer je x u parno mnogo ai indekse i ∈ {1, 2, . . . , n− 1}, a nalazi se iu an.

3

Po principu matematicke indukcije slijedi tvrdnja.

#

Definicija 1.13. Neka je I proizvoljan skup. Funkciju f : i 7→ Ai, gdje je i ∈ I, a Ai

neki skupovi, nazivamo indeksirana familija s indeksnim skupom I. Uobicajena oznakaza indeksiranu familiju je (Ai : i ∈ I).

Napomena 1.14. Formalna definicija indeksirane familije izgleda zbunjujuce, no intuitivnapredodzba indeksirane familije bi trebala biti kolekcija skupova u kojoj se neki skupovimogu pojavljivati vise puta.

Definicija 1.15. Za indeksiranu familiju (Ai : i ∈ I) definiramo

• uniju indeksirane familije ⋃i∈I

Ai := {x | (∃i ∈ I)(x ∈ Ai)

• presjek indeksirane familije⋂i∈I

Ai := {x | (∀i ∈ I)(x ∈ Ai)

Zadatak 1.16. Dokazite da za proizvoljne indeksirane familije skupova (Ai : i ∈ N) i(Bi : i ∈ N), vrijedi (⋂

i∈N

Ai

)∪

(⋂i∈N

Bi

)⊆⋂i∈N

(Ai ∪Bi) ,

te da jednakost ne mora vrijediti.

Rjesenje: Dokazimo da inkluzija iz zadataka vrijedi:

x ∈

(⋂i∈N

Ai

)∪

(⋂i∈N

Bi

)⇒ x ∈

⋂i∈N

Ai ∨ x ∈⋂i∈N

Bi ⇒ (∀i ∈ N)(x ∈ Ai) ∧ (∀i ∈ N)(x ∈ Bi)⇒

⇒ (∀i ∈ N)(x ∈ Ai ∪Bi)⇒ x ∈⋂i∈N

(Ai ∪Bi)

Kontraprimjer za jednakost:

Ai =

{{0} , ako je i = 0 ,

{1} , inace.Bi =

{{1} , ako je i = 0 ,

{0} , inace.

Za ovako definirane Ai i Bi imamo:(⋂i∈N

Ai

)∪

(⋂i∈N

Bi

)= ∅ i

⋂i∈N

(Ai ∪Bi) = {0, 1} .

#

4

1.4 Relacije

Definicija 1.17. Neka su a i b skupovi i neka je ρ ⊆ a × b. Kazemo da je ρ binarnarelacija. Za (x, y) ∈ ρ koristimo i oznaku xρy. Ako je a = b kazemo da je ρ binarnarelacija na skupu a.

Definicija 1.18. Neka je ρ ⊆ a× b binarna relacija. Definiramo

• domena relacije: dom (ρ) := {x | x ∈ a ∧ (∃y ∈ b)(xρy)} ⊆ a,

• slika relacija: rng (ρ) := {y | y ∈ b ∧ (∃x ∈ a)(xρy)} ⊆ b,

• inverzna relacija: ρ−1 := {(x, y) | (y, x) ∈ ρ} ⊆ b× a.

Definicija 1.19. Neka su dane relacije ρ ⊆ a× b i ψ ⊆ b× c. Relaciju

ψ ◦ ρ := {(x, z) | (∃y ∈ b)((x, y) ∈ ρ ∧ (y, z) ∈ ψ)} ⊆ a× c

nazivamo kompozicija relacija ψ i ρ.

Zadatak 1.20. Neka su ρ1, ρ2 i ρ3 binarne relacije na skupu a. Dokazite da vrijedi:

(a) ρ1 ◦ (ρ2 ∩ ρ3) ⊆ (ρ1 ◦ ρ2) ∩ (ρ1 ◦ ρ3),

(b) (ρ1 ∪ ρ2) ◦ ρ3 ⊆ (ρ1 ◦ ρ3) ∪ (ρ2 ◦ ρ3).

Rjesenje: Dokazat cemo tvrdnju (a).

(x, y) ∈ ρ1 ◦ (ρ2 ∩ ρ3)⇒ (∃z ∈ a)((x, z) ∈ ρ2 ∩ ρ3 ∧ (z, y) ∈ ρ1 ⇒⇒ (∃z ∈ a)((x, z) ∈ ρ2 ∧ (x, z) ∈ ρ3 ∧ (z, y) ∈ ρ1 ⇒⇒ (∃z ∈ a)((x, z) ∈ ρ2 ∧ (z, y) ∈ ρ1) ∧ (∃z ∈ a)((x, z) ∈ ρ3 ∧ (z, y) ∈ ρ1)⇒⇒ (x, y) ∈ ρ1 ◦ ρ2 ∧ (x, y) ∈ ρ1 ◦ ρ3 ⇒⇒ (x, y) ∈ (ρ1 ◦ ρ2) ∩ (ρ1 ◦ ρ3)

#

Zadatak 1.21. Neka su ρ, ψ ⊆ a× b relacije. Dokazite da vrijedi:

(a) ρ ⊆ ψ ⇒ ρ−1 ⊆ ψ−1,

(b) (ρ ∪ ψ)−1 = ρ−1 ∪ ψ−1,

(c) (ρ ∩ ψ)−1 = ρ−1 ∩ ψ−1,

(d) (ρ−1)−1

= ρ.

Rjesenje: Dokazujemo tvrdnju (b).

(x, y) ∈ (ρ ∪ ψ)−1 ⇐⇒ (y, x) ∈ ρ ∪ ψ ⇐⇒ (y, x) ∈ ρ ∨ (y, x) ∈ ψ ⇐⇒⇐⇒ (x, y) ∈ ρ−1 ∨ (x, y) ∈ ψ−1 ⇐⇒ (x, y) ∈ ρ−1 ∪ ψ−1

#

Definicija 1.22. Neka je ρ ⊆ a× a binarna relacija na skupu a. Kazemo da je relacija ρ

• refleksivna ako vrijedi (∀x ∈)(xρx)

5

• irefleksivna ako vrijedi (∀x ∈ a)((x, x) 6∈ ρ),

• simetricna ako vrijedi (∀x ∈ a)(∀y ∈ a)(xρy → yρx),

• antisimetricna ako vrijedi (∀x ∈ a)(∀y ∈ a)(xρy ∧ yρx→ x = y),

• tranzitivna ako vrijedi (∀x ∈ a)(∀y ∈ a)(∀z ∈ a)(xρy ∧ yρz → xρz),

• relacija ekvivalencije ako je simetricna, refleksivna i tranzitivna.

Zadatak 1.23. Neka je ρ ⊂ a× a. Dokazite da vrijedi:

(a) ρ je refleksivna ako i samo ako je Ia ⊆ ρ,

(b) ρ je irefleksivna ako i samo ako je ρ ∩ Ia = ∅,(c) ρ je simetricna ako i samo ako je ρ ⊆ ρ−1,

(d) ρ je antisimetricna ako i samo ako je ρ ∩ ρ−1 ⊆ Ia,

(e) ρ je tranzitivna ako i samo ako je ρ ◦ ρ ⊆ ρ,

(f) ρ je relacija ekvivalencije ako i samo ako je (ρ ◦ ρ−1) ∪ Ia = ρ.

Pri cemu je Ia = {(x, x) | x ∈ a}.

Rjesenje: Dokazujemo da vrijedi tvrdnja (e).

⇒ Neka je ρ tranzitivna. Ako je (x, y) ∈ ρ ◦ ρ, onda po definiciji kompozicije postojiz ∈ a takav da je (x, z) ∈ ρ i (z, y) ∈ ρ. Sada iz tranzitivnosti od ρ slijedi da je i (x, y) ∈ ρ,te smo dokazali da je ρ ◦ ρ ⊆ ρ.

⇐ Neka je ρ ◦ ρ = ρ. Ako su x, y, z ∈ a takvi da vrijedi (x, y) ∈ ρ, i (x, z) ∈ ρ, onda jepo definiciji kompozicije (x, y) ∈ ρ ◦ ρ ⊆ ρ, te smo dokazali da je ρ tranzitivna.

#

Definicija 1.24. Neka je ∼ relacija ekvivalencije na skupu a. Za x ∈ a skup

[x] := {y ∈ a | x ∼ y}

nazivamo klasa ekvivalencije elementa x. Skup

a/∼ := {[x] | x ∈ a}

nazivamo kvocijentni skup skupa a po relaciji ∼.

Definicija 1.25. Neka je a skup. Skup A ⊂ P (a) nazivamo particija skupa a ako vrijedesljedeca dva svojstva

•⋃A = a,

• (∀x ∈ A)(∀y ∈ A)(x 6= y ↔ x ∩ y = ∅).

Napomena 1.26. Svaki kvocijentni skup skupa a (po nekoj relaciji ekvivalencije) je par-ticija skupa a i za svaku particiju skupa a postoji jedinstvena relacija ekvivalencije na akojoj je ta particija kvocijentni skup.

Zadatak 1.27. Neka je a skup i neka je x neprazan podskup od a. Dokazite da pos-toji relacija ekvivalencije ∼ na a takva da svaka klasa ekvivalencije ima tocno jednogreprezentanta u x (tj. svaka klasa ekvivalencije ima jednoclan presjek s x).

6

Rjesenje: Po napomeni 1.26 dovoljno je dokazati da postoji particija A skupa a cijisvaki element ima jednoclan presjek sa skupom x.

Kako je x neprazan, znamo da postoji neki njegov element. Oznacimo ga s α. Skup

{(a \ x) ∪ {α}} ∪ {{y} | y ∈ x \ {α}}

je trazena particija. (Provjerite to!)

#

1.5 Funkcije

Definicija 1.28. Relaciju f ⊂ a× b nazivamo funkcija s a u b ako vrijedi

(∀x ∈ a)(∃!y ∈ b)((x, y) ∈ f) .

Oznaka: f : a→ b. Ako je relacija f funkcija, onda umjesto (x, y) ∈ f pisemo i y = f(x).

Uocite da nema potrebe definirati sliku funkcije, buduci da je funkcija relacija, a pojamslike relacije smo vec definirali. Takoder nema potrebe definirati ni pojam kompozicijefunkcija jer je vec definiran pojam kompozicije relacija, no treba nam sljedeca propozicija:

Propozicija 1.29. Neka su f : a→ b i g : b→ c funkcije, tada je relacija g ◦ f funkcija sa u c (g ◦ f : a→ c) i za svaki x ∈ a vrijedi (g ◦ f)(x) = g(f(x)).

Dokaz. Ako je a = ∅, tvrdnja trivijalno vrijedi. Pretpostavimo da je a 6= ∅ i neka jex ∈ a. Tada je (x, f(x)) ∈ f i (f(x), g(f(x)) ∈ g, pa je po definiciji kompozicije relacija(x, g(f(x))) ∈ g ◦ f .

Treba jos dokazatai da je g(f(x)) jedini element skupa c koji je u relaciji g ◦ f s x.Pretpostavimo suprotno, tj. da postoji element z ∈ c takav da vrijedi z 6= g(f(x)) i(x, z) ∈ g ◦ f . To znaci da postoji y ∈ b takav da je (x, y) ∈ f i (y, z) ∈ g, a kako su f i gfunkcije, vidimo da mora biti y = f(x) i z = f(y), odnosno z = g(f(y)).

Definicija 1.30. Za funkciju f : a→ b kazemo da je

• injekcija ako vrijedi (∀x1 ∈ a)(∀x2 ∈ a)(x1 6= x2 → f(x1) 6= f(x2));

• surjekcija ako vrijedi (∀y ∈ b)(∃x ∈ a)(y = f(x)), ili krace zapisano rng (f) = b;

• bijekcija ako je injekcija i surjekcija.

Zadatak 1.31. Neka su f : a→ b i g : b→ c funkcije. Dokazite da vrijedi:

(a) Ako su f i g injekcije, tada je i f ◦ g injekcija.

(b) Ako su f i g surjekcije, tada je i f ◦ g surjekcija.

(c) Ako su f i g bijekcije, tada je i f ◦ g bijekcija.

Definicija 1.32. Kazemo da je g : b → a inverzna funkcija funkcije f : a → b ako jef ◦ g = Ib i g ◦ f = Ia.

Uocimo da ne bi bilo dobro u definiciji uvesti oznaku f−1 za inverznu funkciju, jer je taoznaka vec zauzeta za inverznu relaciju, no stvar spasava sljedeca propozicija.

7

Propozicija 1.33. Inverzna funkcija funkcije f : a → b postoji ako i samo ako je fbijekcija. U tom slucaju je inverzna funkcija jedinstvena i to je upravo inverzna relacijaf−1 : b→ a.

Dokaz. Neka je f : a→ b bijekcija. Promotrimo relaciju f−1 ⊆ b× a. f−1 je funkcija jer,zbog surjektivnosti od f , za svaki y ∈ b postoji x ∈ a takav da je (y, x) ∈ f−1, a zboginjektivnosti od f vidimo i da je taj x jedinstveno oderden.

Obratno, neka je g : b→ a inverzna funkcija funkcije f : a→ b i pretpostavimo da f nijebijekcija. Imamo dva slucaja:

1◦ f nije injekcija. Neka su x1, x2 ∈ a takvi da je x1 6= x2 i f(x1) = f(x2). Kakoje g inverzna funkcija funkcije f imamo x1 = g(f(x1)) = g(f(x2)) = x2, sto jekontradikcija s pretpostavkom x1 6= x2. Dakle, f mora biti injekcija.

2◦ f nije surjekcija. Neka je y ∈ b \ rng (f). Kako y nije u slici od f ocito je da y nemoze biti niti u slici od f ◦ g, pa vidimo da (y, y) 6∈ f ◦ g, odnosno f ◦ g 6= Ib, to jekontradikcija s pretpostavkom da je g inverzna funkcija od f . Prema tome, f morabiti i surjekcija.

Dokazali smo da inverzna funkcija od f : a → b postoji ako i samo ako je f bijekcija ida je u tom slucaju f−1 : b→ a jedna inverzna funkcija. Dokazimo sada da nema drugihinverznih funkcija. Pretpostavimo da je g : b→ a inverzna funkcija od f razlicita od f−1.Tada postoji y ∈ b za koji je g(y) 6= f−1(y). Zbog surjektivnosti od f postoji x ∈ a zakoji je y = f(x). Za takav x ocito vrijedi g(f(x)) 6= f−1(f(x)) = x, pa vidimo da jeg ◦ f 6= Ia, pa g ne moze biti inverzna funkcija od f .

Definicija 1.34. Neka je f : a→ b funkcija i neka je α ⊆ a i β ⊆ b. Skup

f→(α) := {y ∈ b | (∃x ∈ α)(f(x) = y)}

nazivamo slika skupa α po funkciji f , a skup

f←(β) := {x ∈ a | f(x) ∈ β}

nazivamo praslika skupa β po funkciji f .

Napomena 1.35. Razlog zbog kojeg ne koristimo uobucajenu oznaku f(α) za sliku je tosto je takva oznaka viseznacna. Kada bi koristili tu oznaku imali bi problema s npr.funkcijom f : a → b, gdje je a = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}. Sada ne bi bilo jasno odnosi li seoznaka f({∅, {∅}}) na vrijednost funkcije u {∅, {∅}} ∈ a ili na sliku skupa {∅, {∅}} ⊆ a.

8

2 Ekvipotentnost i kardinalnost

U ovom odjeljku bavit cemo se pitanjem jenakobrojnosti (ekvipotentnosti) skupova. Jasnoje sto to znaci na konacnim skupovima, dok na beskonacnim bas i nije. Dat cemo definicijujednakobrojnosti i razvit cemo osnovnu aritmetiku “kardinalnih brojeva” (brojeva kojigovore koliko neki skup ima elemenata). Kardinalne brojeve necemo formalno definirati(formalnu definiciju mozete vidjeti u skripti prof. Vukovica), no to nam nece smetati. Ciljovog dijela je usvajanje osnovnih metoda za odredivanje “velicine” skupa (u smislu brojaelemenata), te cemo tome posvetiti gotovo sve zadatke i primjere.

Kao motivaciju i poticaj za razumijevanje nekih tehnika koje cemo kasnije primjenjivatipocet cemo sa (nadam se zabavnom pricom) o jednom hotelu koja ce nam ilustrirati samoneke od cudnovatih svojstava beskonacnih skupova.

2.1 Hilbertov hotel

Hilbertov hotel je hotel s beskonacno mnogo soba – svaka soba oznacena je jednim pri-rodim brojem i svakom prirodnom broju odgovara jedna soba. Nasa prica zapocinje sHilbertovim hotelom H koji je popunjen (svaka soba ima gosta). (Kao i uvijek na ovomkolegiju, N = {0, 1, 2, 3, . . .}.)

2.1.1 Prica prva

Na recepciju (popunjenog) hotela H dolazi novi gost i trazi od recepcionera da ga smjestiu neku sobu. Da se radi o obicnom hotelu, gostu ne bi bilo moguce pronaci smjestaj, nosjetimo se da je H hotel s beskonacno mnogo soba. Sve sto nas recepcioner treba napravitije zamoliti svakog gosta da se prebaci u sljedecu sobu, odnosno za svaki n ∈ N zamolitigosta u sobi n da se prebaci u sobu n+1. Nakon sto to napravi, soba broj 0 ostaje praznai u nju je moguce smjestiti novog gosta.

2.1.2 Prica druga

Pred nas hotelH parkirao se je Hilbertov autobus pun gostiju koji traze smjestaj u hotelu.(Hilbertov autobus je autobus s beskonacno mnogo mjesta – svako mjesto numerirano jeprirodnim brojem i svakom prirodnom broju odgovara jedno mjesto.) Recepcioner hotelaH nema problema niti sa smjestanjem ovolikog broja gostiju, jednostavno za svaki n ∈ Nzamoli gosta u sobi n da se premjesti u sobu 2n. Na taj nacin sve sobe s neparnimbrojevima su ostale prazne, nakon cega recepcioner za svaki k ∈ N smjesti gosta koji jesjedio na mjestu k u novopridoslom autobusu u sobu broj 2k + 1.

2.1.3 Prica treca

Sada se recepcioner hotela H nalazi pred pravim izazovom, jer pred hotel stize Hilbertovkonvoj Hilbertovih autobusa punih gostiju koji traze smjestaj u hotelu. (Hilbertov konvojje beskonacni konvoj – svaki autobus oznacen je prirodnim brojem i svakom prirodnombroju odgovara jedan autbus.) Nakon duzeg razmisljanja i malo ocajavanja racepcioner

9

se sjeti da mu je Euklid jednom rekao da ne postoji najveci prosti broj i to ga inspiriraza rjesenje ovog problema.

Za svaki prosti broj p i svaki prirodni broj n zamoli gosta u sobi pn da se prebaci usobu broj p2n. Na taj nacin je ispraznio sobe numerirane neparnim potencijama prostihbrojeva. Sada za sve i, k ∈ N smjesti putnika koji je sjedio na mjestu broj k u autobusubroj i u sobu broj p2k+1

i , pri cemu je s pi oznacen i-ti prost broj (p0 = 2, p1 = 3, p2 = 5,p3 = 7, . . . ).

2.2 Definicija jednakobrojnosti

Kao sto mozemo vidjeti iz gornje tri price pitanje jednakobrojnosti na beskonacnim sku-povima nije jednostavno, ako ni zbog cega drugog, onda zbog toga sto na beskonacnimskupovima mozemo imati slucaj da neki skup ima jednako mnogo elemenata kao i njegovpravi podskup. Stovise, kao sto cemo vidjeti, svaki beskonacni skup ima jednakobrojanpravi podskup. Stoga, jedini nacin da se izvucemo iz te zbrke je da iskoristimo pojambijekcije i jednakobrojnost definiramo na sljedeci nacin:

Definicija 2.1. Za skupove a i b kazemo da su jednakobrojni ili ekvipotentni ako postojibijekcija f : a→ b, sto oznacavamo a ∼ b.

Najgrublja podjela beskonacnih skupova prema broju elemenata je na prebrojive (ekvipo-tentne s N) i neprebrojive (svi ostali). Prebrojivi skupovi su skupovi iz price o Hilbertovomhotelu i s njima dosta jednostavno baratamo, dok je situacija s neprebrojivima donekleslozenija. Navedimo i formalne definicije.

Definicija 2.2. Za skup a kazemo da je prebrojiv ako je a ∼ N.

Definicija 2.3. Za skup a kazemo da je neprebrojiv ako je beskonacan i a 6∼ N.

Prebrojivi skupovi su (na neki nacin) najmanji beskonacni skupovi, o cemu govori sljedeciteorem.

Teorem 2.4. Svaki beskonacan skup ima prebrojiv podskup.

Ocito je skup N prebrojiv, no sto je sa ostalim skupovima brojeva?

Zadatak 2.5. Dokazite da su sljedeci skupovi prebrojivi:

(a) Z(b) Q

Rjesenje: Bijekciju izmedu N i Z dobijemo lagano koristeci trik koji smo vidjeli udrugom dijelu price o Hilbertovom hotelu. Funkcija f : N→ Z definirana formulom

f(n) :=

{n−1

2, ako je n neparan,

−n2

, ako je n paran,

je trazena bijekcija (provjerite to!) koja dokazuje da je N ∼ Z.

10

Konstruiranje bijekcije izmedu Q i N je ne toliko tesko, koliko nespretno, pa je necemoovdje prezentirati, no u osnovi trik koji se koristi je analogan trecoj prici o Hilbertovomhotelu.

#

Teorem 2.6. Skupovi R i C su neprebrojivi.

Zadatak 2.7. Neka su a, b ∈ R takvi da je a < b. Dokazite da su sljedeci skupovimedusobno ekvipotentni:

(a) [a, b],

(b) [a, b〉,(c) 〈a, b],(d) 〈a, b〉,(e) R.

Rjesenje: U rjesavanju ovog zadatka koristit cemo sljedece: ako je A ∼ B i B ∼ C,onda je i A ∼ C. Ovo vrijedi jer je kompozicija bijekcija bijekcija.

Uocimo da su funckije f1 : [0, 1]→ [a, b], f2 : [0, 1〉 → [a, b〉, f3 : 〈0, 1]→ 〈a, b] i f4 : 〈0, 1〉 →〈a, b〉 definirane formulama

f1(x) := (b− a)x+ a, za x ∈ [0, 1],

f2(x) := (b− a)x+ a, za x ∈ [0, 1〉,f3(x) := (b− a)x+ a, za x ∈ 〈0, 1],

f4(x) := (b− a)x+ a, za x ∈ 〈0, 1〉.

dokazuju da vrijedi [a, b] ∼ [0, 1], [a, b〉 ∼ [0, 1〉, 〈a, b] ∼ 〈0, 1], odnosno 〈a, b〉 ∼ 〈0, 1〉.(Provjerite da se uistinu radi o bijekcijama i uocite da su to stvarno cetiri razlicite funk-cije!)

Sada cemo nizom bijekcija dokazati [0, 1] ∼ [0, 1〉 ∼ 〈0, 1] ∼ 〈0, 1〉. Trazene bijekcije(provjerite bijektivnost!) su:

g1 : [0, 1]→ [0, 1〉 g1(x) :=

{x2

, ako je x ∈ {2−n | n ∈ N} ,x , inace.

g2 : [0, 1〉 → 〈0, 1] g2(x) :=

{1 , ako je x = 0,

x , inace.

g3 : 〈0, 1]→ 〈0, 1〉 g3(x) :=

{x2

, ako je x ∈ {2−n | n ∈ N} ,x , inace.

Do sada smo dokazali da vrijedi [a, b] ∼ [a, b〉 ∼ 〈a, b] ∼ 〈a, b〉. Za dovrsetak dokaza bitce nam dostatna bijekcija h : 〈0, 1〉 → R. Evo jedne takve bijekcije:

h(x) := tg(πx− π

2

).

#

Za vjezbu probajte rijesiti slican zadatak koji cemo, kao i prethodni, cesto koristiti.

11

Zadatak 2.8. Neka je a ∈ R. Dokazite da su sljdeci skupovi medusobno ekvipotentni:

(a) 〈−∞, a〉,(b) 〈−∞, a],

(c) 〈a,+∞〉,(d) [a,+∞〉,(e) R.

2.3 Aritmetika kardinalnih brojeva

Kako bi olaksali promatranje “velicine skupova” govorit cemo o kardinalnim brojevimakoje necemo formalno definirati (to je moguce, ali bi nam u ovom trenutku stvorilo ne-potrebnu komplikaciju). Kardinalni broj skupa a oznacavat cemo s k (a). Kardinalnebrojeve konacnih skupova oznacavat cemo prirodnim brojevima:

0 = k (∅)1 = k ({1})2 = k ({1, 2})...

n = k ({1, 2, . . . , n})...

Takoder cemo uvesti oznake za dva beskonacna kardinalna broja skupova o cijoj veliciniimamo nekakvu intuitivnu predodzbu:

ℵ0 = k (N)

c = k (R)

Oznaku za ℵ0 citamo “alef nula” (alef - ℵ je prvo slovo hebrejskog alfabeta), a oznaku zac citamo “kontinuum” ili jednostavno - “ce”.

Nadalje, zanimat ce nas broj elemenata raznih skupova (skup nizova realnih brojeva, skupneprekidnih funkcija realnih brojeva i sl.), a kardinalnost tih skupova zeljeli bismo izra-ziti, na neki nacin, u odnosu na kardinalnost skupova o kojima imamo dobru intuitivnupredodzbu (konacni skupovi) ili barem kakvu-takvu intuitivnu predodzbu (N i R). U tusvrhu definirat cemo aritmetiku kardinalnih brojeva. Pri definiranju operacija (zbrajanja,mnozenja i potenciranja) na kardinalnim brojevima vodit cemo se idejom da te opera-cije moraju na prirodan i elegantan nacin prosiriti operacije na prirodnim brojevima (tj.konacnim kardinalnim brojevima).

2.3.1 Zbrajanje kardinalnih brojeva

Definicija zbrajanja je prilicno jednostavna, a svojstvo konacnih skupova na koje se kon-centriramo je da ako imamo dva disjunktna konacna skupa M s m elemenata i N s n

12

elemenata, onda skup M ∪ N ima m + n elemnata. Ako kojim slucajem M i N nisudisjunktni, i dalje lako mozemo dobiti dva disjunktna skupa s m, odnosno n elemenata, ato su npr. M ×{0} i N ×{1}. Sada smo spremni definirati zbrajanje kardinalnih brojeva.

Definicija 2.9. Neka su a i b skupovi. Definiramo zbroj kardinalnih brojeva k (a) i k (b):

k (a) + k (b) := k (a× {0} ∪ b× {1})

Iz definicije je ocito da je zbrajanje kardinalnih brojeva komutativno i asocijativno tj. zaproizvoljne kardinalne brojeve κ, λ i η vrijedi

κ+ λ = λ+ κ i (κ+ λ) + η = κ+ (λ+ η) .

Probajte detaljno raspisati dokaz za gornje tvrdnje, kao i za sljedeci zadatak cije rjesenjenije komplicirano, te bi ga onaj tko je razumio definiciju zbrajanja trebao biti u stanjurijesiti. Takoder, samu tvrdnju zadatka cemo koristiti u nekoliko sljedecih zadataka.

Zadatak 2.10. Neka su a i b disjunktni skupovi. Tada vrijedi

k (a) + k (b) = k (a ∪ b) .Zadatak 2.11. Neka je n ∈ N i κ proizvoljan beskonacan kardinalni broj. Dokazite davrijedi

κ+ n = κ

Rjesenje: Neka je X skup takav da je k (X) = κ. Po teoremu 2.4 postoji prebrojivpodskup A od X. Kako je A prebrojiv njegove elemente mozemo (bijektivno) poredati uniz, pa neka je A = {a0, a1, a2, . . .}.Uocimo da je X \ {a0, a1, . . . , an−1} ∼ X. Jedna bijekcija je:

X 3 x 7→

{ai+n , ako je x = ai za neki i ∈ N ,

x , inace.

Sada imamo

κ+ n = k (X \ {a0, a1, . . . , an−1}) + k ({a0, a1, . . . , an−1}) =

= k (X \ {a0, a1, . . . , an−1}) ∪ {a0, a1, . . . , an−1} =

= k (X) = κ .

#

Zadatak 2.12. Dokazite da je

(a) ℵ0 + ℵ0 = ℵ0,

(b) c + c = c,

(c) ℵ0 + c = c.

Rjesenje: Dat cemo upute za rjesavanje, dok detalje prepustamo citatelju. U sva tridijela koristimo zadatak 2.10.

(a) Iskoristimo: N = 2N ∪ 2N + 1.

(b) Iskoristimo: R = 〈−∞, 0〉 ∪ [0,+∞〉 i zadatak 2.8.

(c) Dokazemo da vrijedi R ∼ R \ N i tu cinjenicu iskoristimo da dokazemo tvrdnjuzadatka.

#

13

2.3.2 Produkt kardinalnih brojeva

Sada cemo definirati produkt kadrinalnih brojeva. Na prirodnim brojevima znamo datablica s m redaka i n stupaca ima mn celija. U ovom kontekstu, tablica odgovaraKartezijevom produktu. Ovdje imamo srecu u odnosu na zbrajanje jer se ne moramozamarati oko disjunktnosti skupova.

Definicija 2.13. Neka su a i b skupovi. Definiramo produkt kardinalnih brojeva k (a) ik (b):

k (a) · k (b) := k (a× b) .

Iz definicija vidimo (dokazite to!) da je mnozenje komutativno i asocijativno, te da vrijedidistributivnost mnozenja prema zbrajanju, tj. da za sve kardinalne brojeve κ, λ i η vrijedi

κ · λ = λ · κ ,(κ · λ) · η = κ · (λ · η) ,

κ · (λ+ η) = κ · λ+ κ · η .

Zadatak 2.14. Dokazite da vrijedi ℵ0 · ℵ0 = ℵ0.

Na pitanje koliko je c · c i c · ℵ0 odgovorit cemo (koliko got to cudno zvucalo) nakon stodefiniramo potenciranje.

14

Licenca

DJELO (KAKO JE NIZE DEFINIRANO) PONUDENO JE POD UVJETIMA OVECREATIVE COMMONS JAVNE LICENCE (”CCJL” ILI ”LICENCA”). DJELO JEZASTICENO AUTORSKIM PRAVOM I SRODNIM PRAVIMA TE DRUGIM POZI-TIVNIM PROPISIMA. SVAKO KORISTENJE DJELA KOJE ODSTUPA OD DOPUS-TENOGA POD OVOM LICENCOM JE ZABRANJENO.

KORISTENJEM BILO KOJIH OVDJE PONUDENIH PRAVA NA DJELO PRIHVA-CATE I PRISTAJETE DA STE OBAVEZANI UVJETIMA OVE LICENCE. DAVATELJLICENCE DAJE VAM OVDJE SADRZANA PRAVA POLAZECI OD TOGA DA PRI-HVACATE TAKVE UVJETE I ODREDBE.

1. Definicije

a. “Davatelj licence” znaci jedna ili vise fizickih ili pravnih osoba koje nude koristenjeDjela pod uvjetima ove Licence.

b. “Djelo” znaci originalna intelektualna tvorevina individualnog karaktera koja jezasticena autorskim pravom i ponudena pod uvjetima ove Licence. Za svrhe ovelicence Djelom se takoder smatra fonogram, videogram, nakladnicko djelo, radiodi-fuzijsko emitiranje i baza podataka, pod uvjetom da je takva tvorevina predmetomzastite autorskog prava, srodnih prava ili drugog mjerodavnog prava u Vasem prav-nom sustavu.

c. “Elementi licence” znaci najvise atribute licence koju je izabrao Davatelj licencekako stoje u naslovu ove Licence: Imenovanje, Nekomercijalno, Dijeli pod istimuvjetima.

d. “Izvorni autor” znaci jedna ili vise fizickih osoba koje su stvorile Djelo. Ako Izvorniautor nije poznat, onda je to, u slucaju objavljenog Djela, nakladnik koji je Djelozakonito izdao ili, u slucaju objavljenog, ali neizdanog Djela, osoba koja je Djelozakonito objavila. Za svrhe ove licence Izvornim autorom se takoder smatra jednaili vise fizickih ili pravnih osoba koje su stvorile predmet srodnog prava: umjetnikizvodac, proizvodac fonograma, filmski producent (proizvodac videograma), orga-nizacija za radiodifuziju, nakladnik i proizvodac baze podataka, pod uvjetom danjihova tvorevina jest predmetom zastite autorskog prava, srodnih prava ili drugogmjerodavnog prava u Vasem pravnom sustavu.

e. “Prerada” znaci prijevod, prilagodba, glazbena obrada i druga prerada Djela iliDjela i drugih prethodnih djela, koja je originalna intelektualna tvorevina indivi-dualnog karaktera. Za svrhe ove Licence djelo koje tvori Zbirku nece se smatratiPreradom. Kako ne bi bilo dvojbe, ako je Djelo glazbena kompozicija ili zvucnasnimka, za svrhe ove licence sinkronizacija Djela s pokretnom slikom smatrat ce sePreradom.

f. “Vi” znaci fizicka ili pravna osoba koja koristi prava u skladu sa sadrzajem ovelicence i nije prethodno prekrsila uvjete ove Licence s obzirom na Djelo ili netko tkoje primio izricito dopustenje od davatelja Licence da koristi prava dana pod ovomLicencom unatoc prethodnom krsenju.

g. “Zbirka” oznacava zbirku samostalnih autorskih djela, podataka ili druge grade kao

15

sto su enciklopedije, zbornici, antologije, baze podataka i sl., koje prema izboru ilirasporedu sastavnih elemenata cine vlastite intelektualne tvorevine njihovih autora.Tu se ubrajaju i one zbirke koje su uredene po odredenom sustavu ili metodi, ciji suelementi pojedinacno dostupni putem elektronickih ili drugih sredstava. U Zbirku jeDjelo, u svom cjelovitom i neizmijenjenom obliku, sabrano s jednim ili vise drugihsamostalnih djela. Za svrhe ove Licence djelo koje tvori Zbirku nece se smatratiPreradom (onako kako je gore definirano).

2. Ogranicenja autorskog prava

Ova licenca nicime ne umanjuje, ogranicava ili onemogucava prava koristenja koja pro-izlaze iz sadrzajnih ogranicenja autorskog prava, iscrpljenja prava i drugih ogranicenjaiskljucivih prava prema zakonu o autorskom pravu i srodnim pravima te drugim pozitiv-nim propisima.

3. Licencna dopustenja

Prema uvjetima i odredbama ove Licence, Davatelj licence Vam ovime ustupa pravo, kojeje oslobodeno naknade, neiskljucivo, prostorno i vremenski (za trajanja autorskog prava,srodnog prava ili drugog mjerodavnog prava) neograniceno, da koristite Djelo kako je nizenavedeno:

a. da reproducirate Djelo, da ukljucujete Djelo u jedno ili vise Zbirki, te da reprodu-cirate Djelo kako je ukljuceno u Zbirke;

b. da stvarate i reproducirate Prerade, pod uvjetom da svaka takva Prerada, ukljucujucii prijevod u bilo kojem mediju, poduzme razumne korake da jasno obiljezi, razgraniciili drugacije naznaci da su u izvorno Djelo unesene izmjene. Primjerice, prijevodmoze biti naznacen kao “Prijevod izvornika s engleskog na spanjolski”, a izmjenamoze upozoriti “Izvorno djelo je izmijenjeno.”

c. da distribuirate kopije ili fonograme Djela i priopcavate Djelo javnosti, ukljucujucii Djelo kako je ukljuceno u Zbirke;

d. da distribuirate kopije ili fonograme Prerada i da ih priopcavate javnosti;

e. da izvlacite ili ponovno koristite znatne i neznatne dijelove sadrzaja Djela kada jeDjelo baza podataka.

Navedena prava mogu se koristiti u svim poznatim i buducim medijima i formatima.Navedena prava ukljucuju pravo da se nacine one izmjene koje su tehnicki nuzne da biprava moglo koristiti u drugim medijima i formatima. Ako je Davatelj licence nositeljprava proizvodaca baze podataka prema nacionalnom zakonu usuglasenim s DirektivomEZ o pravnoj zastiti baza podataka, Davatelj licence se odrice tog prava. Sva prava kojaDavatelj licence nije izricito ustupio ovom Licencom su pridrzana.

4. Ogranicenja

Prava dana Clankom 3. izricito podlijezu sljedecim ogranicenjima:

16

a. Djelo smijete distribuirati i priopcavati javnosti samo pod uvjetima ove Licence, akopiju te Licence ili njenu internetsku adresu (Uniform Resource Identifier - URI)morate ukljuciti u svaku kopiju ili fonogram Djela koji distribuirate ili priopcavatejavnosti. Ne smijete ponuditi ili nametnuti bilo kakve uvjete za Djelo koji ogranicavajuuvjete ove Licence ili mogucnost primatelja Djela da koristi Licencom dana prava.Ne smijete podlicencirati Djelo. Morate ostaviti netaknuta sva upozorenja kojase odnose na ovu Licencu i upozorenje o jamstvima. Kada distribuirate ili javnostipriopcavate Djelo, ne smijete primijeniti na Djelo tehnoloske mjere koje ogranicavajumogucnost onoga tko od Vas prima Djelo da koristi prava koja su tom primateljudana pod uvjetima ove Licence. Sve se ovo odnosi i na Djelo kada je ukljuceno uZbirku, ali to ne iziskuje da osim samog Djela cjelokupna Zbirka podlijeze uvje-tima ove Licence. Ako stvarate Zbirku, po upozorenju bilo kojeg Davatelja licencemorate, na nacin kako je zatrazeno, a u mjeri u kojoj je izvedivo, iz Zbirke uklo-niti bilo koju oznaku i priznanje autorstva kakvo je propisano u stavku 4(d). Akostvarate Preradu, po upozorenju bilo kojeg Davatelja licence morate, na nacin kakoje zatrazeno, a u mjeri u kojoj je izvedivo, iz Prerade ukloniti bilo koju oznaku ipriznanje autorstva kakvo je propisano u stavku 4(d).

b. Preradu smijete distribuirati ili priopcavati javnosti samo (i) pod uvjetima ove Li-cence, (ii) kasnijim verzijama ove Licence s istim Elementima licence kao sto ih imaova Licenca, (iii) bilo pod Creative Commons (nelokaliziranom) licencom ili nekomCreative Commons pravno lokaliziranom licencom (bilo ovom ili kasnijom verzijom)koja sadrzi iste Elemente licence kao ova Licenca (npr. Imenovanje-Dijeli pod istimuvjetima 3.0 (nelokalizirana)) (“Primjenjiva licenca”). (I) Morate ukljuciti kopijuili internetsku adresu (URI) Primjenjive licence uz svaku kopiju ili fonogram svakePrerade koju distribuirate ili priopcavate javnosti. (II) Ne smijete ponuditi ili na-metnuti bilo kakve uvjete za Prerade koji ogranicavaju uvjete Primjenjive licence ilimogucnost primatelja Prerade da koristi Primjenjivom licencom dana prava. (III)Morate ostaviti netaknuta sva upozorenja koja se odnose na Primjenjivu licencu iupozorenje o jamstvima. (IV) Kada distribuirate ili javnosti priopcavate Preradu,ne smijete primijeniti na Preradu tehnoloske mjere koje ogranicavaju mogucnostonoga tko od Vas prima Preradu da koristi prava koja su tom primatelju dana poduvjetima Primjenjive licence. Sve ovo se odnosi i na Preradu kada je ukljucena uZbirku, ali to ne iziskuje da osim same Prerade cjelokupna Zbirka podlijeze uvjetimaPrimjenjive licence.

c. Ne smijete iskoristiti niti jedno pravo koje Vam je dano u Clanku 3. na nacin koji imaza primarni cilj ili je usmjeren na komercijalno iskoristavanje ili privatnu novcanunaknadu. Razmjena Djela za druga autorskim pravom, srodnim pravima ili drugimmjerodavnim pravom zasticena djela putem digitalne razmjene datoteka ili na kakavdrugi nacin nece se smatrati da ima za primarni cilj ili da je usmjerena na komer-cijalno iskoristavanje ili privatnu novcanu naknadu, pod uvjetom da nema placanjabilo kakve novcane naknade vezane uz razmjenu autorskim pravom, srodnim pra-vima ili drugim mjerodavnim pravom zasticenih djela.

d. Ako distribuirate ili priopcavate javnosti Djelo ili bilo kakve Prerade ili Zbirke, mo-rate - osim ako nije drugacije zatrazeno u skladu sa stavkom 4(a) - ostaviti netak-nutima sva upozorenja o autorskom pravu za Djelo i, u mjeri u kojoj je primjerenoza medije ili sredstva koja koristite, istaknuti: (i) ime Izvornog autora (odnosno,

17

ako je takav slucaj, pseudonim), ako je ime navedeno, i/ili ako Izvorni autor i/iliDavatelj licence u svojoj obavijesti o autorskim pravima, uvjetima usluge ili drugimprimjerenim sredstvima odredi da se neka druga stranka ili stranke (npr. institu-cija pokrovitelj, izdavac, casopis) navode kao stranke u djelu (“Navedene stranke udjelu”), ime te stranke ili stranaka; (ii) naslov Djela, ako je naslov naveden; (iii)internetsku adresu (URI) vezanu uz Djelo - u mjeri u kojoj je to razumno izvedivoi ako postoji, onako kako ju je specificirao autor, osim u slucaju da se ta inter-netska adresa (URI) ne odnosi na upozorenje o autorskom pravu ili na licencnuinformaciju za Djelo; (iv) a u slucaju Prerade, u skladu sa stavkom 3(b), naznakukoja upucuje na Djelo koristeno u Preradi (npr. “Francuski prijevod Djela Izvornogautora” ili “Scenarij prema izvornom Djelu Izvornog autora”). Naznaka kakva jepropisana ovim stavkom 4(d) moze se navesti na bilo koji nacin koji je primjeren;medutim, u slucaju Prerade ili Zbirke uz minimalni uvjet da ce se takva naznaka,ako je naznaceno autorstvo svih kontributora u Preradi ili Zbirci, pojaviti unutartih naznaka i na barem podjednako istaknut nacin kao naznake autorstva drugihkontributora. Kako ne bi bilo dvojbe, naznaku propisanu ovim stavkom mozetesamo koristi u svrhu imenovanja autora na prethodno izlozen nacin, a koristenjemprava koja su Vam dana ovom Licencom ne smijete niti implicitno niti eksplicitnotvrditi ili sugerirati da ste povezani s Izvornim autorom, Davateljem licence i/iliNavedenim strankama u djelu, odnosno da oni izravno podrzavaju vec prema danojsituaciji Vas ili Vase koristenje Djela, ako prethodno niste dobili zasebno, izricitopismeno dopustenje Izvornog autora, Davatelja licence i/ili Navedenih stranaka udjelu.

e. Kako ne bi bilo dvojbe, ogranicenja navedena u stavcima 4(a), 4(b), 4(c) i 4(d) neprimjenjuju se na one dijelove Djela koji potpadaju pod definiciju “Djela” iz oveLicence samo zato jer ispunjavaju kriterije sui generis prava baze podataka premamjerodavnom nacionalnom zakonu uskladenim s Direktivom EZ o pravnoj zastitibaza podataka.

f. Kako ne bi bilo dvojbe:i. Pravo na naknadu kojeg se nositelj prema zakonu ne moze odreci. Ako zakon ne

dopusta odricanje od nekog prava na naknadu (npr. naknada za iznajmljivanje,javnu posudbu, reproduciranje autorskog djela za privatno ili drugo vlastitokoristenje), Davatelj licence pridrzava pravo da tu naknadu ostvari (bilo da tocini posredstvom udruge za kolektivno ostvarivanje prava ili ne) za svako Vase,komercijalno ili nekomercijalno, koristenje djela koje Vam je dopusteno ovomLicencom;

ii. Neobavezno pravo na naknadu i kolektivno ostvarivanje prava. Davatelj li-cence pridrzava pravo da ostvaruje neobavezna prava na naknadu (bilo osobnoili, ako je clan udruge za kolektivno ostvarivanje prava, posredstvom te udruge)za svako Vase komercijalno koristenje djela koje Vam je dopusteno ovom Licen-com. Nositelj prava odrice se ostvarivanja neobaveznih prava na naknadu (biloosobno ili, ako je clan udruge za kolektivno ostvarivanje prava, posredstvom teudruge) za svako Vase nekomercijalno koristenje djela koje Vam je dopustenoovom Licencom.

g. Ova Licenca ostavlja netaknutima moralna prava, u mjeri u kojoj ih mjerodavnizakon priznaje i ne dopusta odricanje od njih.

18

5. Jamstva

OSIM AKO STRANKE NISU DRUGACIJE NAPISMENO UGOVORILE ILI JE ODRE-DENO MJERODAVNIM PRAVOM, DAVATELJ LICENCE NUDI DJELO “KAKVOJEST”, BEZ JAMSTAVA BILO KOJE VRSTE VEZANIH UZ DJELO.

6. Ogranicenje odgovornosti

OSIM JAMSTAVA IZ CLANKA 5., DAVATELJ LICENCE CE SNOSITI ODGOVOR-NOST SAMO ZA STETE UZROKOVANE NAMJERNO ILI IZ KRAJNJE NEPAZNJE.

7. Prestanak vazenja

a. Licenca i prava koristenja koja su njome dana prestat ce automatski vaziti prekrsiteli uvjete Licence. Za fizicke i pravne osobe koje su od Vas primile Preradu ili Zbirkupod ovom Licencom Licenca nastavlja vaziti, pod uvjetom da se te fizicke ili pravneosobe u potpunosti pridrzavaju Licence. Clanci 1., 2., 5., 6., 7. i 8. nastavljaju vazitii nakon svakog prestanka vazenja ove Licence.

b. Unutar gore navedenih uvjeta i odredbi ovdje dana Licenca je trajna (za trajanjaautorskog prava, srodnog prava ili drugog mjerodavnog prava na Djelo). Unatoctome, Davatelj licence pridrzava pravo da izdaje Djelo pod drugacijim licencnimuvjetima ili da u bilo koje doba prestane distribuirati Djelo - pod uvjetom da takvimizborom ne prestaje vaziti ova Licenca (niti druge licence koje su izdane, ili su moralebiti izdane, na temelju nje) te da ce ova Licenca nastaviti vaziti punom snagom akonije prestala vaziti prema prethodnom stavku.

8. Zavrsne odredbe

a. Svaki put kada umnazate, distribuirate ili priopcavate javnosti Djelo ili Zbirku,Davatelj licence primatelju nudi licencu na djelo pod istim uvjetima i odredbamakako je Vama dano pod ovom Licencom.

b. Svaki put kada umnazate, distribuirate ili priopcavate javnosti Preradu, Davateljlicence primatelju nudi licencu na izvorno Djelo pod istim uvjetima i odredbamakako je Vama dano pod ovom Licencom.

c. Ako je bilo koja odredba ove Licence nevazeca i neprovediva po mjerodavnom pravu,to nece utjecati na provedivost ostalih uvjeta ove Licence, i to bez daljnjeg djelovanjastranaka ovog ugovora, a takva ce se odredba preoblikovati u najmanjoj mogucojmjeri potrebnoj da postane vazeca i provediva.

d. Nece se smatrati da je bilo dopusteno odstupanje od bilo kojeg uvjeta ili odredbeove Licence ili da je dan pristanak na bilo kakvo krsenje, ako takvo dopustenje ilitakav pristanak nisu dani u pismenom obliku i potpisani od stranke koja daje takvodopustenje ili pristanak.

e. Licenca cini cjelokupni ugovor izmedu stranaka u pogledu Djela koje je ovdje licenci-rano. Nema nikakvih daljnjih sporazuma ili usmenih dogovora u pogledu Djela kojanisu ovdje specificirana. Davatelja licence nece obavezivati nikakve dodatne odredbe

19

koje bi se mogle pojaviti u bilo kakvom usmenom dogovoru s Vama. Ova licencane moze se mijenjati bez zajednickog ugovora u pisanom obliku izmedu Davateljalicence i Vas.

20