UNIVERZITET U BEOGRADU

FAKULTET ORGANIZACIONIH NAUKA

Zavrni rad

Tema:

Simulacioni modeli u odreivanju cena opcija

Mentor: Prof.dr Aleksandar Markovid Student: Maa Raenovid 357/09/M

Beograd, Jul, 2014.

2

SADRAJ

SADRAJ ........................................................................................................................................................ 2

UVOD............................................................................................................................................................. 4

1. Modeliranje i simulacioni modeli .............................................................................................................. 6

1.1. Raunarska simulacija ................................................................................................................... 6

1.2. Potreba za simulacijom i mogudnosti primene ............................................................................. 6

1.3. Prednosti i nedostaci simulacije .................................................................................................... 8

2. Simulacioni modeli u finansijama ......................................................................................................... 9

2.1. Modeliranje u spreadsheet programima .................................................................................... 10

3. Pojam i vrste opcija ................................................................................................................................. 12

3.1. Vrste opcija ...................................................................................................................................... 13

4. Binomni model za odreivanje cene opcija ............................................................................................ 17

4.1. Dva datuma Binomnog odreivanja cene........................................................................................ 17

4.2. Koridenje Cena stanja za utvrivanje cena opcija .......................................................................... 19

4.3. Koridenje Cena stanja ili Rizik neutralnih cena za utvrivanje cena opcija? ............................... 22

4.4. Multiperiod Binomnog modela ........................................................................................................ 23

4.5. 1. Proirenje Binomnog modela za utvrivanja cena za vie perioda ......................................... 26

4.6. Odreivanje cena Amerikih opcija koridenjem Binomnog modela .............................................. 29

4.7. Koridenje Binomnog modela za utvrivanje cena Nestandardnih opcija ...................................... 31

5. Black Scholes model za utvrivanje cene opcija .................................................................................. 33

5.1. Implementacija Black Scholes formule u Excel tabeli ................................................................... 34

5.2. Izraunavanje podrazumevane nepredvidljivosti (nestabilnosti) .................................................... 35

5.2.1. Sigma istorijskih prinosa ........................................................................................................... 35

5.2.2. Podrazumevana nepredvidljivost ( nestabilnost) ..................................................................... 39

5.3. Korekcija Black-Scholes modela za dividende.................................................................................. 40

5.3.1. Poznata dividenda koja se plada pre isteka opcije (prestanka vaenja) ................................... 40

5.3.2. Korekcije za kontinuirane isplate dividendi: Mertonov model ................................................. 42

5.4. Koridenje Black-Scholes formule za utvrivanje cene Struktuiranih hartija .................................. 44

5.4.1. Jednostavne struktuirane hartije: Zatita glavnice plus uede u pozitivnim trinim

kretanjima ........................................................................................................................................... 44

3

5.4.2. Koridenje Black Scholes formule za komplikovanije struktiuirane hartije ............................ 46

6. MONTE KARLO METOD ZA UTVRIVANJE CENA OPCIJA ........................................................................ 52

6.1. Odreivanje cena Obinih-vanila, kupovnih opcija koridenjem Monte Karlo metoda .................. 52

6.2. Utvrivanje cena Azijskih opcija ...................................................................................................... 56

6.2.1. Poetni primer Azijskih opcija ................................................................................................... 57

6.3. Utvrivanje cena Opcija sa barijerom Monte Karlo metodom ........................................................ 62

6.3.1. Jednostavan primer za kupovne opcije sa barijerom ............................................................... 63

6.3.2. Knockin kupovne opcije sa barijerom ....................................................................................... 64

7. ZAKLJUAK .............................................................................................................................................. 67

8. LITERATURA ............................................................................................................................................ 68

4

UVOD

Izvedene ili derivativne hartije od vrednosti su ugovori izmeu dve strane kojima se predvia transfer

odreenog sredstva ili novca na ili pre utvrenog datuma u bududnosti, po utvrenoj ceni. Vrednost

izvedene hartije se menja sa promenom jedne ili vedeg broja trinih promenljivih, kao to je kamatna

stopa ili devizni kurs.

Jedan od razloga upotrebe izvedenih hartija od vrednosti je upravljanje rizikom, tj. mogudnost odvajanja

i tanije kontrole rizika kroz promenu strane u ugovoru, ime se stvara osiguranje.

Kod izvedenih hartija se javljaju slededa lica: hedersi (lica koja ele da snize, tj. hediraju rizik),

pekulanti (lica koja zauzimaju suprotnu poziciju u odnosu na hederse i preuzimaju rizik u nadi da de

ostvariti profit od promene cene u njihovu korist), i arbitraeri (koji trguju izvedenim hartijama i nastoje

da ostvare zaradu na osnovu razlike u ceni izvedenih hartija na razliitim tritima izvedenih hartija ili po

osnovu razlike u ceni izvedenih i osnovnih hartija).

Prvobitno su se izvedene hartije odnosile na robu, dok se danas one osim na robu odnose i na dunike

hartije, kamatne stope, berzanske indekse, valute, pa ak i druge izvedene hartije. Osnovnim izvedenim

hartijama od vrednosti se smatraju:

Forvard ugovori

Fjuersi

Svopovi

Opcije

Ovaj rad se pre svega bavi opcijama, zatim problemom utvrivanja cena opcija, kao i simulacionim

modelima koji se koriste u tu svrhu. U prvom poglavlju dat je kratak pregled osnovnih pojmova vezanih

za simulaciju i simulacione modele, potreba koje dovode do nastanka simulacionih modela uopte, kao i

njenih prednosti i nedostataka . Drugo poglavlje predstavlja uvod u simulaciju u finansijama i proces

modeliranja u spreadsheet programima. Ukazuje na koristi od njene primene, kao i na negativne strane i

upozorava na najede greke koje korisnici mogu napraviti u ovom procesu. Trede poglavlje govori

neto vie o samim opcijama, njihovim vrstama, cenama, i njihovim osnovnim karakteristikama.

U naredna tri poglavlja koja predstavljaju sr ovog rada je detaljnije predstavljen svaki od simulacionih

modela koji se koristi za utvrivanje cena opcija, pa je tako, u etvrtom poglavlju, obraen

najrasprostranjeniji model za utvrivanje cena opcija, Binomni model. U nastavku ovog poglavlja je na

primerima predstavljen nain primene Binomnog modela u odreivanju cena Amerikih, Evropskih i

Nestandardnih opcija. Pored ovoga, obraeno je utvrivanje cena putem tzv. Cena stanja i Rizik-

neutralnih cena.

Peto poglavlje nam govori neto vie o Black-Scholes formuli za utvrivanje cena opcija, objanjava kako

se vri njen razvoj i implementacija u Excelu. Takoe, daje objanjenje kako se utvruje kritian

parametar ovog modela, a to je standardna devijacija prinosa na akcije osnovnih opcija, prikazuje kako

5

se vri korekcija modela za dividende, kao i kako se model koristi u odreivanju cena Struktuiranih

hartija.

U poslednjem poglavlju je obraen Monte Karlo metod, iji znaaj uoavamo kod odreivanja cene

sredstava za koje ne postoji analitiko reenje. Predstavljen je nain odreivanja cena za Azijske, Knockin

i Knockout opcija sa barijerom, koje su zavisne od putanje kojom se kredu.

6

1. Modeliranje i simulacioni modeli

U najirem smislu, modeliranje predstavlja isplativo koridenje modela umesto realnog sistema, sa ciljem

da se doe do odreenog saznanja. Rezultat modeliranja je model. (Markovid, Radenkovid, & Stanojevid,

2009, str. 1) Model predtsavlja uprodenu sliku stvarnosti, odnosno apstrakciju realnog sistema, koji

sadri sve njegove karakteristike koje su bitne za svrhu izuavanja. Znai, tokom procesa modeliranja

neophodno je izvriti izbor izmeu karakteristika sistema, nama znaajnih, koje de na model sadrati i

preostalih koji su za nae istraivanje irelevantni. Svaki model de ostaviti po strani itav niz detalja koji su

u realnosti sastavni deo sistema ili analizirane pojave. Na validnost modela (uspenost predstavljanja

realnog sistema modelom) de direktno uticati nivo apstrakcije u procesu modelovanja. Suvie sloeni ili

skupi modeli, uprkos svojoj sposobnosti da proizvedu gotovo ili potpuno iste rezultate kao i realni

sistemi, po pravilu su ili previe skupi ili neadekvatni za eksperimentisanje. S druge strane rezultati koji

se dobijaju previe jednostavnim modelima (koji ne predstavljaju na pravi nain realni sistem) mogu da

budu neadekvatni, te stoga dovesti do pogrenih zakljuaka.

1.1. Raunarska simulacija

Raunarska simulacija je proces reavanja problema koji se tie predvianja i odreivanja bududih stanja

realnog sistema na osnovu prouavanja raunarskog modela tog sistema (Widman & K.A.Loparo, 1989) .

Simulacijom se prouava ne samo ponaanje sistema koji simuliramo, ved i donoenje zakljuaka o tome

kako bi se isti sistem ponaao kada bi na njega delovao neki drugi skup ulaznih veliina i parametara.

Modeli prikupljaju podatke o promenama stanja sistema i izlaza, fokusirajudi se na ponaanje

individualnih komponenti sistema. (Schmidt, Introduction to Simulation, 1984)

Reenje problema ne dobija se primenom simulacionog modeliranja, ved vrenjem eksperimenata nad

samim modelom. Raunarski model predstavlja skup algoritama i jednaina koji se koriste da bi se

opisalo ponaanje sistema koji se modeluje. Nasuprot njemu, raunarska simulacija se odnosi na

izvravanje programa koji sadre date algoritme ili jednaine. Simulacija se, dakle, odnosi na rezultate

koji se dobijaju radom nad programom. Drugim reima, ne bismo imali izgradnju simulacije, ved

izgradnju modela i sprovoenje simulacije .

1.2. Potreba za simulacijom i mogudnosti primene

Vie je razloga zbog kojih se uopte jedan sistem zamenjuje modelom i zatim simulira, od kojih su

najvaniji slededi :

7

Eksperiment nad realnim sistemom moe da bude skup ili ak nemogud

Analitiki model nema analitiko reenje

Sistem moe da bude suvie sloen da bi se opisao analitiki (Naylor & all., 1966)

Eksperimentisanje sa realnim sistemom uglavnom je neisplativo ili suvie sloeno. Modeliranje,

sa druge strane moe da ukae na to da li je dalje ulaganje u eksperiment ekonomski opravdano

ili ne

Izgradnja modela i simulacija ponekad imaju za cilj da se shvati funkcionisanje postojedih

sistema ija je struktura nepoznata i ne moe joj se pridi

Prilikom iznalaenja optimalnog funkcionisanja nekog sistema, uobiajeno je da se menjaju razni

parametri. esto je to neizvodljivo sa realnim sistemom,bilo zato to takvog sistema uopte

nema (tek ga treba graditi) ili zato to bi takav eksperiment bio preskup i tada su gradnja modela

i njegova simulacija mogude reenje

Ponekad treba simulirati uslove pod kojima nastupa razaranje sistema

Vreme moe da bude vrlo jak razlog da se pribegne simulaciji

Pri simulaciji vreme se moe saeti, to je znaajno kod simulacije dugotrajnih procesa. U drugim

sluajevima vreme se moe znatno produiti

Kada se vri realni eksperiment, uvek postoji izvesna greka pri merenju usled nesavrenosti

mernih ureaja. Pri simulaciji, ove greke nema

Ponekad je poeljno zaustaviti dalje odvijanje eksperimenta kako bi se ispitale vrednosti svih

promenljivih u tom trenutku (Markovid, Radenkovid, & Stanojevid, 2009)

Neke od situacija u kojima se simulacija moe uspeno primeniti su sledede (Markovid, Radenkovid, &

Stanojevid, 2009) :

Simulacija omogudava prouavanje i eksperimentisanje koje uzima u obzir sveukupne interakcije

sloenog sistema ili podsistema u okviru sloenog sistema

Informacione i organizacione promene ili promene u okruenju mogu se simulirati, a ujedno se

mogu posmatrati i efekti tih promena na ponaanje modela

Znanje steeno u procesu izgradnje modela i simulacije moe biti od velikog znaaja prilikom

poboljanja sistema koji se ispituje

Menjanjem simulacionog ulaza i posmatranjem rezultujudih izlaza dolazimo do vanih saznanja o

tome koje su promenljive sistema najvanije i kako te promenljive utiu jedna na drugu.

Simulacija se moe koristiti i kao pedagoko sredstvo , sa ciljem da poboljava metodologije

analitikih sistema

Simulacija se moe koristiti za eksperimentisanje sa novim koncepcijama ili politikama pre nego

to se izvri njihova implementacija.

Simulacija se moe koristiti za verifikaciju analitikih reenja.

8

1.3. Prednosti i nedostaci simulacije

Osnovne prednosti koridenja simulacije su sledede (Schmidt & Taylor, Simulation and Analysis of

Industrial Systems, 1970):

Jednom izgraeni model moe se viestruko koristiti za analizu predloenih planova i politika.

Simulacione metode mogu se koristiti kao pomod kod analize ak i kada su ulazni podaci na neki

nain nepotpuni.

est je sluaj da se simulacioni podaci mogu mnogo jeftinije dobiti od slinih podataka iz realnog

sistema.

Simulacione metode lake je primeniti nego analitike metode. S toga je krug potencijalnih

korisnika simulacionih metoda znatno iri.

Analitiki modeli uglavnom zahtevaju mnogo vie pojednostavljujudih pretpostavki koje ih ine

matematiki prilagodljivijim. Simulacioni modeli takva odranienja nemaju.

U nekim sluajevima simulacija je jedino sredstvo za reavanje problema

Mogude je opisati i reavati sloene dinamike modele sa sluajnim promenljivim koji su

nedostupni matematikom modeliranju.

U osnovne nedostatke koridenja simulacije ubrajaju se (Law & Kelton, 1982) (Schmidt & Taylor,

Simulation and Analysis of Industrial Systems, 1970) :

Simulacioni modeli za digitalne raunare mogu biti skupi i mogu zahtevati znaajno vreme za

izgradnju i validaciju.

Zbog statistikog karaktera simulacije potrebno je izvoenje vedeg broja simulacionih

eksperimenata kako bi se dobio odgovarajudi uzorak rezultata simulacije, a ved i pojedinano

izvoenje eksperimenta moe zahtevati dosta vremena i raunarske memorije

Ne dobijaju se zavisnosti izlaznih promenljivih od ulaznih promenljivih modela, niti optimalna

reenja.

Za ispravno koridenje simulacionog modeliranja potrebno je poznavanje vie razliitih metoda i

alata.

Vrednovanje modela je dosta sloeno i zahteva dodatne eksperimente.

9

2. Simulacioni modeli u finansijama

Predvianje kao polazna taka u procesu planiranja predstavlja jednu od kljunih funkcija finansijskog

menadmenta. Ono predstavlja osnov za planiranje kapaciteta, proizvodnje,zalijha,ljudskih resursa,

prodaje, budeta itd.

Slika 1 : Finansijsko predvianje

Postoje brojni razlozi za koridenje finansijskih modela, a kao najbitniji se izdvajaju :

Ekonomska neizvesnost

Nedostatak resursa

Smanjivanje rasta produktivnosti

Politiki problemi

Problem u okruenju

Pojava meunarodne konkurencije

Nedostatak novca i inflacija

10

Finansijski model predstavlja sistem matematikih jednaina koje ukljuuju podatke i pravila, odnosno

logiku i opisuju meusobne veze izmeu finansijksih varijabli, kao i veze sa drugim varijablama od

znaaja. Karakreristike ovakvih modela su sledede :

Postoji jedna ili vie finansijskih promenljivih (trokovi, prihod, investicije, cash flow, porezi itd.)

Korisnik moe da postavi ili promeni vrednosti jedne ili vie finansijskih promenljivih

Osnovna svrha je da donosiocu odluke predoi posledice alternativnih vrednosti finansijskih

promenljivih i na taj nain utie na strateko finansijsko odluivanje

Vrste finasijskih modela :

1. Simulacioni ,koji omogudavaju dobijanje odgovora na razliite oblike scenarija tipa ta ako,

uzimajudi u obzir alternativne politike. Oni imaju za cilj da simuliraju efekte razliitih

menaderskih politika uzimajuzimajudi u obzir eksterno okruenje u kome egzistira preduzede.

2. Optimizacioni , koji imaju za cilj maksimizaciju ili minimizaciju funkcija cilja, kao to je na primer

sadanja vrednost profita ili trokova.

2.1. Modeliranje u spreadsheet programima

Spreadsheet program predstavljaju pogodno sredstvo za izradu finansijskih modela i izvoenje

simulacionih eksperimenata. U svakom spreadsheet modelu jedan od najvanijih koraka je process

ulanavanja. Prednosti modeliranja u ovim programima lee u njihovoj jednostavnosti male i srednje

spreadsheet modele korisnici mogu da razvijaju i koriste samostalno jer ne zahtevaju napredna

informatika znaja (samim tim nisu zavisni od programera). Dalje, vreme potrebno za izradu modela je

znatno krade u odnosu na druge alate, jer korisnici ne moraju da prolaze kroz tradicionalan proces

analize i dizajna. Oni takoe nude mogudnost programiranja dodatnih funkcija i opcija pomodu script

jezika (VBA u Microsoft Excel-u), a danas postoje i brojni add-in programi koji daju nove funkcionalnosti

ovim programima, inedi ih jos modnijim alatima za modeliranje i simulaciju.

Meutim, javljaju se i odreeni nedostaci vezani za njihovu upotrebu. Ovde se pre svega misli na

probleme pouzdanosti (stepen do koga spreadsheet model daje pouzdane izlaze zavisi od stepena

pouzdanosti koji je ugraen u model) , problem revizije (sposobnost da se isprate koraci koji su korideni

za dobijanje izlaza iz sistema) i problem lake izmene modela (mogudnost da se model lako menja i

poboljava i na taj nain odgovori na promenjene potrebe korisnika), kao i na slabu fleksibilnost (sistem

je obino opisan sa vie manjih spreadsheet modela pa nastale promene u sistemu treba uneti u sve

modele), problem saradnje sa drugim modelima (veza izmeu vie spreadsheet modela je slaba),

kontrola verzije modela (ne postoji mogudnost pradenja verzije modela), agregacija (spajanje vie manjih

modela u jedan vedi - ne postoji provera validnosti i tanosti pojedinanih modela ili su podaci u

pojedinim modelima drugaije formatirani) i problem modela u realnom vremenu (ukoliko postoji vedi

br manjih spreadsheet modela, moe se desiti da se ne mogu dobiti svi pokazatelji dovoljno brzo,

odnosno u realnom vremenu, da bi se donela odluka kao odgovor na promene uslova poslovanja.)

11

Slika 2 : ivotni ciklus razvoja spreadsheet modela

Promenljive u spreadsheet modelu

1. Unutranje promenljive su one na koje menadment moe da utie i ispolji odreeni stepen

kontrole, ukljuuju sve one promenljive na koje se utie u okviru kompanije

2. Spoljanje promeljive su one promenljive koje predstavljaju uticaj okruenja na kompaniju

3. Izlazne promenljive mere ekonomske i finansijske performance preduzeda. Izlaz moe biti jedna

deija modela ili skup delija - statistiki pokazatelji za odreene serije ili vremenska serija.

Ukoliko su ulazni parametri u posmatranom modelu izlazne promenljive iz nekog drugog modela,

njihove vrednosti moraju biti unapred odreene. Kada se radi o stohastiim modelima, kao to su

modeli za analizu rizika, promenljive se modeliraju pomodu raspodele verovatnode, a njihove vrednosti

se na sluajan nain uzorkuju iz date raspodele.

Najede greke koje se javljaju u spreadsheet modelima su mehanike greke (pogreni tipovi podataka

u delijama, pogreno ulanavanje delija, pogreno unesene formule), logike greke (koridenje

pogrenog algoritma ili matematikog modela se odraava na ceo model, zbog ulanavanja delija) i

izostavljanje (nisu unete sve promenljive).

12

3. Pojam i vrste opcija

Opcije predstavljaju vrstu terminskog ugovora koji njegovom imaocu daje pravo da kupi (proda)

odreenu robu, hartije od vrednosti ili fjuerse po odreenoj, unapred utvrenoj ceni u okviru

odreenog vremenskog perioda. Opcija daje pravo ali ne i obavezu da imalac neto uradi. Kupac opcije

de iskoristiti opciju samo ako je to rentabilno, u protivnom se opcija moe odbaciti, odnosno ne izvrava

se. Opcije se mogu odnositi na robu, plemenite metale, valute, hartije od vrednosti (akcije i obveznice),

fjuerse i indekse.

Svaka opcija podrazumeva postojanje tri uesnika: prodavca opcije, kupca opcije i brokera hartije od

vrenosti koji pronalazi kupca i prodavca i radi kao agent kako bi transakcija bila izvrena, dobija

posredniku proviziju.

Svaka opcija ima tri cene: cenu hartije koja je predmet opcije (fluktuirajuda cena hartije), opcionu

premiju ili kupovnu cenu (cena koju kupac opcije plada prodavcu) koja fluktuira u zavisnosti od trinih

uslova, izvrnu cenu (ugovorna cena koja predstavlja cenu po kojoj se od prodavca opcije moe legalno

zahtevati izvrenje opcije) koja se ne menja tokom veka trajanja opcije.

Izvrna cena opcije je predmet ugovaranja izmeu kupca i prodavca opcije. Po ovoj ceni prodavac opcije

mora da proda osnovnu hartiju kupcu opcije, ako je ugovorena kupovna opcija, odnsno po ovoj ceni on

mora da kupi hartiju od kupca opcije ako je ugovorena prodajna opcija, i to samo onda kada kupac

opcije iskoristi pravo iz opcije.

Opcijama se trguje na terminskim berzama efekata, od kojih je najpoznatija ikaka opciona berza.

Opcije imaju i vrednost koja se rauna tako to se od tekude cene hartije odbije izvrna cena . Trina

cena hartije moe biti via od vrednosti opcije i tada se govori o premiji. Ukoliko je cena hartije nia od

izvrne cene, opcija de imati negativnu vrednost, odnosno ukoliko je cena hartije via od izvrne cene,

opcija de imati pozitivnu vrednost. Shodno tome, kada je vrednost opcije negativna, premija je visoka.

Ukoliko je vrednost opcije jedanaka nuli, premija je pozitivna i dalje, kada je vrednost opcije ne samo

pozitivna nego i raste, premija se smanjuje.

Do prodaje opcije iznad nejne vrednosti, odnosno do smanjenja premije sa porastom cene opcije dolazi

zbog pekulativnog karaktera opcije, tj. injenice da opcija obezbeuje investitoru vedi stepen leverida

kada kupuje hartije od vrednosti, pri emu leverid predstavlja finansijsku pekulaciju sredstvima uzetim

u zajam po fiksnoj kamatnoj stopi, koja omogudava investitorima koji imaju mali iznos sredstava da

ostvare veliki dobitak za vrlo kratko vreme. Meutim, leverid omogudava i investitorima sa velikim

portfeljima da prodaju opcije na svoje hartije i zarade vrednost opcija i onda kada cene hartija ostanu

nepromenjene. Smanjenje efekta leverida i zatita od rizika pri visokoj ceni akcije delimino

objanjavaju zato se premija smanjuje sa rastom cene akcije.

Osim visoke zarade, opcije omogudavaju i zatitu ulaganja na tritu akcija kroz tzv. vezanu, odosno

branu pondu, to znai da se istovremeno kupuju akcije i prodajna opcija na iste akcije, tako da u

13

sluaju da cena akcije padne, vrednost prdajne opcije raste i deo gubitka se moe pokriti prodajom

prodajne opcije.

Na vrednost opcije, pored cene akcije i izvrne cene utiu i vreme do isteka vanosti opcije,

promenljivost cene utvrene hartije i nerizina stopa.

to je vreme do isteka vanosti opcije due, veda je i vrednost opcije i njena premija jer je trina cena

opcije via od vrednosti opcije, i obrnuto. Veda promenljivost cene utie i na porast trine cene akcije, s

obzirom da imaoci opcije ostvaruju dobitak ako cena hartije raste, ali imaju ogranieni gubitak ako cena

hartija padne na nulu. Opcija de vredeti vie to je nerizina stopa via, odnosno njena vrednost de se

smanjivati sa porastom ove stope i u tom sluaju izvrna cena predstavlja obavezu. Tekuda vrednost ove

obaveze se smanjuje sa povedanjem diskontne stope.

Jo jedan vaan element opcije je isplata, koja se razlikuje kod kupovnih u odnosu na prodajne opcije.

U sluaju kupovne opcije, opcija nede vredeti nita i bide odbaena ako je cena hartija nia od utvrene

izvrne cene, odnosno radide se o tzv. opciji na gubitku, s tim to de ukupan gubitak biti jednak iznosu

koji je pladen za ugovor o opciji. Meutim, ukoliko je trina cena hartija iznad izvrne cene, opcija de biti

iskoridena i radide se o tzv. opciji na dobitku, pri emu de veliina dobitka zavisiti od razlike izmeu

trine cene hartije i izvrne cene po odbitku iznosa koji je pladen za ugovor. Meutim, u sluaju

prodajne opcije, situacija je drugaija, s obzirom da kada je izvrna cena via od tekude cene hartije

kupac prodajne opcije moe kupiti hartije po nioj ceni a zatim ih prodati po vioj izvrnoj ceni i tako

ostvariti dobitak, koji je jednak razlici izmeu cene i iznosa koji je pladen za opciju. Ako bi trina cena

hartije bila via od izvrne cene kupac opcije ovu ne bi iskoristio i imao bi izdatak u visini pladene cene

opcionih ugovora. (Arsid, 2003)

3.1. Vrste opcija

Postoji veliki broj razliitih vrsta opcija. Takoe, postoje i razliiti kriterijumi za klasifikaciju opcija.

Prema tome da li kupcu daje pravo na kupovinu ili na prodaju osnovne hartije od vrednosti, opcija moe

biti:

1. Kupovna

2. Prodajna

3. Kupovna i/ili prodajna

Kupovna opcija je opcija koja kupcu daje pravo na kupovinu odreene koliine osnovne hartije od

vrednosti po odreenoj ceni na odreeni dan ili do isteka utvrenog roka. Ovu opciju kupac kupuje onda

kada oekuje rast cena. Sa druge strane, za prodavca opcije ovo znai obavezu da ako i kadankupac

iskoristi opciju, ovome po ugovorenoj ceni isporui navedene hartije. Kupovna opcija moe biti:

pokrivena i nepokrivena.

14

Pokrivena kupovna opcija postoji onda kada u trenutku prodaje opcije prodavac poseduje osnovnu

hartiju (zauzima dugu poziciju). Meutim, mogude je da u trenutku prodaje kupovne opcije njen

prodavac ne poseduje osnovnu hartiju, kad se radi o tzv. nepokrivenoj opciji. Ovde se radi o tzv. prodaji

na prazno, odnosno o nepokrivenoj poziciji prodavca opcije koja postoji sve dok on ne kupi osnovne

hartije ili dok ih ne vrati zajmodavcu od koga ih je uzeo na zajam.

Prodajna opcija je opcija po kojoj kupac ima pravo da proda prodavcu opcije odreenu koliinu osnovnih

hartija od vrednosti po utvrenoj izvrnoj ceni na utvreni dan ili do isteka utvrenog roka. Prodavac

opcije je duan da preuzme osnovne hartije od kupca i da mu za njih plati izvrnu cenu. Ova opcija se

obino kupuje kada se oekuje pad cena osnovne hartije.

Prodajna i/ili kupovna opcija je opcija po kojoj kupac moe da kupi ili da proda osnovnu hartiju od

vrednosti po izvrnoj ceni tokom perioda vanosti opcije pod uslovom da ukupna vrednost osnovnih

hartija ne prelazi vrednost utvrenu ugovorom o opciji. Prodavac opcije je duan da kupi osnovne hartije

ukoliko kupac iskoristi prodajnu opciju ili da proda osnovne hartije, ukoliko kupac iskoristi kupovnu

opciju, i to po izvrnoj ceni u periodu vanosti opcje.

Prema mogudnosti koridenja prava iz opcije, opcija moe biti:

1. Amerika opcija

2. Evropska opcija

Amerika opcija je opcija koja se moe iskoristiti u bil kom trenutku do isteka rka vanosti opcije ili moe

da ostane neiskoridena do tog roka. S obzirom da se ova opcija moe iskoristiti pre datuma isteka roa

vanosti, ona je skuplja od evropske opcije. Amerika opcija se naziva jo i opcijom na hartije kojima se

trguje na berzi, odnosno opcijom koja se nalazi na listingu berze opcija. Prenosive opcie imaju

standardizovanu izvrnu cenu i datume isteka vanosti, s tim to je najdui rok vanosti devet meseci, a

datumi isteka vanostgi su dati po kvartalima

Evropska ocija je opcija koju kupac moe iskoristiti samo na dan isteka utvrenog roka. Prodavac se ovde

ne izlae riziku da de opcija biti iskoridena u nekom trenutku pre datuma isteka vanosti opcije. Ove

opcije su jeftinije od amerikih opcija.

Prema odnosu izvrne i trine cene osnovne hartije, razlikuju se:

1. Opcija na istom

2. Opcija na dobitku

3. Opcija na gubitku

Opcja na istom je opcija ija je izvrna cena jednaka tekudoj trinoj ceni osnovne hartije od vrednosti.

Opcija na dobitku predstavlja kupovnu opciju ija je izvrna cena nia od trine cene osnovne hartije

od vrednosti ili prodajna opcija ija je izvrna cena via od trine cene osnovne hartije.

15

Opcija na gubitku je kupovna opcija ija je izvrna cena iznad trine cene osnovne hartije ili prodajna

opcija ija je izvrna cena nia od trine cene osnovne hartije.

Pored ovih postoje i restriktivne opcije koje se javljaju onda kada je trina cena osnovne hartije na

zatvaranju prethodnog dana po kupovnoj (prodajnoj) opciji bila ispod (iznad) njene izvrne cene za vie

od pet poena.

Postoji i tzv. trostruka opcija koja daje vede pravo kupovine ili prodaje od dvostruke opcije.

U praksi se javljaju i tzv. dugorone opcije na akcije sa rokom vanosti do tri godine, koje se zbog dugog

roka smatraju manje rizinim od ostalih opcija jer je potrebno vie vremena da cene akcija ili indeksa na

akcije dostignu oekivani nivo. Novac koji se nutedi kupovinom ovih opcija se moe investirati i u neto

drugo, a njihov glavni nedostatak je to cena akcija mora da dostigne oekivani nivo.

Danas se trguje opcijama na valute, kratkorone i dugorone dravne obveznice, indekse na akcije i

obveznice, fjuerse i svopove.

Kupovinom opcija na valute se tite oni koji su mnogo investirali u inostranstvu (vrednost njihovog

ulaganja zavisi od odnosa domade i drugih valuta) jer im one omogudavaju neutralisanje naglih promena

u deviznom kursu. Kupovinom opcija sa pravom kupovine strane valute moe se neutralisati gubitak na

investiciji ukoliko cena strane valute padne. Najede se trguje opcijama na amerike dolare, kanadske

dolare, britanske funte, evro, japanski jen i vajcarski franak.

Opcije na kratkorone i dugorone dravne obveznice se nazivaju i opcijama na kamatne stope, a

znaajne su zato to omogudavaju imaocima obveznica da zatite svoje investicije. Ovim opcijama se

moe neutralisati gubitak na vrednosti obveznice izmeu datuma kupovine opcije i datuma dospeda

obveznice. Ukoliko izvrna cena raste a datum isteka vanosti je dalji, i prodajna opcija na obveznice sa

pravom prodaje po utvrenoj ceni de vredeti vie. Kupovna opcija sa pravom kupovine obveznice de,

meutim vredeti vie to je izvrna cena nia i to je dali datum isteka vanosti opcije (jer kamatna stopa

raste a cena obveznice pada).

Opcije na indekse su prodajne i kupovne opcije ije premije su zasnovane na vrednosti trinog indeksa.

Pojedini trini indeksi su zasnovani na veoma diversifikovanoj listi akcija (npr. S & P kompozitni indeks),

dok su drugi indeksi zasnovani na malom broju homogenih hartija i nazivaju se subindeksima ili

industrisjkim indeksima. Opcje na subindekse se nazivaju subindeksnim opcijama.

Najtee je koristiti opcije na fjuerse na odreenu robu ili hartije jer je ovaj ugovor najudaljeniji od

osnovnog predmeta ugovora. Ove opcije imaju karakteristike i opcija i fjuersa. Opcija na fjuerse je

ugovor koji njegovom imaocu daje pravo, ali ne i obavezu da kupi ili proda fjuers po fiksnoj ceni

(izvrnoj ceni) do nekog utvrenog isteka vanosti. Opcija za kupovinu fjuersa se naziva kupovnom, dok

se opcija za prodaju naziva prodajnom ocijom. Njaede koridene opcije na fjuerse su opcije na

fjuerse obveznica koje imaju standardizovane uslove, koji se odnose na osnovnu hartiju i veliinu

ugovora, izvrnu cenu, datum isteka vanosti, stil, kotacije premije i pladanje margine. Ove opcije koriste

16

investitori koji nastoje da se zatite od rizika porasta ili pada kamatne stope kroz kupovinu ili prodaju

kupovnih ili prodajnih opcija.

Svop opcije ili opcije na svop predstavljaju ugovor koji kupcu daje pravo ali ne i obavezu da ue u svop

kamatne stope (valutni ili robni) koji ima utvrenu fiksnu kamatnu stopu (devizni kurs, cenu) na neki

datum u bududnosti. Kupac svop opcije za ovo pravo mora prodavcu platiti utvrenu premiju. Svop

opcije su vanberzanski ugovori koje koriste trini uesnici koji nastoje da iskoriste predsnoti svopa

kamatne stope, ali koji, takoe ele da ostvare korist i od povoljne promene kamatnih stopa. Korisnici

svop opcija su banke i korporacije, i to u cilju zatite od rizika promene kamatne stope i ostvarenja

profita od neutraliudih transakcijapekulacijama na tritu svopova.

Svopcije mogu biti kupovne i prodajne. Kupovne svopcije se nazivaju i svpcijama dunika. One kupcu

daju pravo da ue u svop pod prethodno utvrenim uslovima kao lice koje de isplatiti fiksnu stopu i primi

varijabilnu stopu od imaoca osnovnog svopa. Prodavac ove svopcije je obavezan da primi fiksnu stopu na

zahtev kupca. Imalac de ovu opciju izvriti ako je trina fiksna svop stopa koja preovladava o isteku

vanosti opcije via od izvrne stope, to mu omogudava da plati niu fiksnu stopu od trine i primi,

primera radi Libor. Na ovaj nain, kupac se titi od pada kamatnih stopa. Prodajne svopcije se nazivaju i

svopcijama primaoca, daju kupcu pravo da primi fiksnu kamatnu stopu ppod prethodno utvrenim

uslovima i plati varijabilnu stopu imaocu osnovnog svopa. Prodavac ove opcije de uz odgovarajudu

premiju koju mu kupac unapred plada morati da ue u svop, odnosno isplati kupcu fiksnu kamatnu stopu

na njegov zahtev. Kupac de ovu opciju izvriti samo ako je trina svop stopa nia od izvrne stope o

isteku vanosti opcije, tj. ako moe dobiti fiksnu stopu koja je via od trine i platiti primera, Libor. Na

ovaj nain se kupac titi od rasta kamatnih stopa. (Arsid, 2003)

17

4. Binomni model za odreivanje cene opcija

Pored Black-Scholes modela, Binomni model za odreivanje cene opcije je najrasprostranjeniji model

koji ima mnoge prednosti: jednostavan model, koji pored toga to daje uvid u cene opcija, lako se

programira i adaptira, esto i u prilino komplikovanim cenovnim problemima opcija. Kada ga proirimo

na vie perioda, Binomni model postaje jedan od najboljih naina vrednovanja hartija od vrednosti kao

to su opcije ije su isplate kontigent trine cene ostalih sredstava. Binomni model zavisi od koridenja

cena stanja za izraunavanje vrednosti rizine aktive. Binomni model je intuitivan i lak za

implementaciju.

4.1. Dva datuma Binomnog odreivanja cene

Da bismo ilustrovali koridenje Binomnih modela, ponimo sa slededim, veoma jednostavnim primerom:

Postoji jedan period i dva datuma; datum 0 - reprezentuje dananji datum, i datum 1 - koji reprezentuje

godinu dana od sada.

Postoje dva osnovna sredstva; akcije i obveznice. Takoe postoje i derivativna sredstva, Kupovne opcije

na akcije.

Cena akcije danas iznosi $50. Na datum 1 porade za 10% ili de pasti za 3%.

Kamatna stopa iznosi 6%.

Kupovna opcija dospeva na datum 1 i ima izvrnu cenu X = $50

Na slededoj slici demo prikazati ovaj model.

18

Slika 3: Binomno odreivanje cene opcije u One-Period modelu

elimo da odredimo cenu Kupovne opcije. Uradidemo to, pokazujudi da postoji kombinacija obveznica i

akcija koje tano preslikavaju isplatu Kupovnih opcija. Da bi pokazali ovu injenicu, koristidemo neke

osnovne linearne algebre; pretpostavimo da su A udeli u akcijama i B obveznice takve da

55A + 1.06B = 5

48.5A + 1.06B = 0

Ovaj sistem jednaina reidemo tako da dobijemo:

A = 5.4855

5

= 0.7692

B = 06.1

5.480 A= - 35.1959

Tako kupovina 0.77 udela nekih akcija i zaduivanje od $35.20 uz 6% za jedan period de doneti $5 ako

cena akcije poraste i $0 ako cena akcija padne isplata Kupovnih opcija. Dalje, sledi da cena opcije mora

biti jednaka trokovima preslikavanja njene isplate, to jest,

Cena Kupovne opcije = 0.7692$50 $35.1959 = $3.2656

Ova logika se naziva Cena po arbitrai. Ako dva sredstva, ili dva seta sredstava (u naem sluaju

Kupovna opcija i portfolio od 0.77 akcija i -$35.20 obveznica) imaju iste isplate, ona moraju imati istu

trinu cenu.

19

Slika 4: Odreivanje cene opcije kombinacijom akcija i obveznica

4.2. Korienje Cena stanja za utvrivanje cena opcija

Postoji i jednostavniji (optiji) nain da se rei ovaj problem. Gledno od danas, postoje dve mogudnosti

za slededi period: cena akcije ide ili gore ili dole. Razmislite o trinom odreivanju cene qU za $1 u

stanju rasta i qD za $1 u sanju pada. Onda cene i obveznica i akcija treba da se odrede koridenjem ovih

Cena stanja:

qU * R + qD * R = 1

Cene stanja su stoga ilustracija linearnog principa odreivanja cena:

Ako cena akcije u jednom period moe da se krede ka gore sa faktorom U i ka dole sa faktorom R, i ako je

1 + kamatna stopa za jedan period R, onda de se cena bilo kojeg drugog sredstva odrediti

diskontovanjem njegove zarade(isplate) , u stanju rasta sa qU, a u stanju pada sa qD.

Reavanjem prethodne dve jednaine dobijamo da:

qU = )( DUR

DR

, qD =

)( DUR

RU

20

Slika 5: Izvoenje Cena stanja

U redovima 11 i 12 utvrujemo da Cene stanja zaista vradaju kamatnu stopu i cenu akcija.

Sada moemo Cene stanja da koristimo za odreivanje cena Kupovnih i Prodajnih opcija, i takoe da

utvrdimo Prodajno Kupovnu jednakost. Kupovna i Prodajna opcije treba da budu po ceni:

C = qU max (S*U X, 0) + qD max (S*D X, 0)

P = qU max (X S*U, 0) + qD max (X S*D, 0)

Ili, ako odreujemo cenu primenom prodajno kupovne jednakosti:

P = C + PV(X) - S

Ovo demo predstaviti na slededo slici:

21

Slika 6: Primena Binomnog modela za odreivanje cene opcija, pomodu Cena stanja, u modelu

Jedan period-dva datuma

Formule koje koristimo (sa S = 50, X = 50, U = 1.10, D = 0.97, R = 1.06) su

C = qU max (S*U X, 0) + qD max (S*D X, 0) = 0.6531*5 + 0.2903*0 = 3.2656

za kupovne opcije, i

P = qU max (X S*U, 0) + qD max (X S*D, 0) = 0.6531*max (50 55,0) + 0.2903*max (50-48.5,0) =

0.4354 za prodajne.

Po teoriji prodajno kupovne jednakosti:

P + S = 0.4354 + 50 = C + R

X = 3.27 +

06.1

50.

22

4.3. Korienje Cena stanja ili Rizik neutralnih cena za utvrivanje cena

opcija?

Mnoenjem Cene stanja sa 1 + kamatna stopa R dobijamo Rizik-Neutralnu cenu: U = qUR,

D = qDR. Rizik neutralne cene izgledaju kao verovatnoda distribucije stanja, jer je zbir 1:

U + D = qUR + qDR = )( DUR

DR

R +

)( DUR

RU

R = 1

Osim toga, postoji bitna jednakost cena po Rizik neutralnim cenama i Cenama stanjama.

Pretpostavimo da sredstvo ima zavisnu isplatu XU u stanju rasta i XD u stanju pada u okviru Modela Dva

datuma. Cena sredstva u datumu 0, koristedi Cene stanja je qUXU + qDXD, a koristedi Rizik neutralne

cene, cena sredstva je diskontovana oekivana isplata, gde se oekivanje obraunava koristedi Rizik

neutralne cene, kao da su one stvarno stanje verovatnode:

R

XX DDUU = r

ojcenikneutrastvaporizisplatasredoekivana

1

ln= qUXU + qDXD

Ova dva prorauna su naravno jednaka. Neki autori preferiraju Cene stanja, ali postoje mnogi istraivai

koji vie koriste pseudo vervatnode Rizik-neutralne cena, a onda diskontuju oekivane isplate.

Ekvivalencija odreivanja cena po Cenama stanja i Rizik Neutralnim cenama

XU

Odreivanje cena po Cenama stanja qU*XU + qD*XD

XD

XU

Odreivanje cena po Rizik-Neutralnim cenama (U*XU + D*XD)/R

XD

Odnos izmeu Rizik-Neutralnih i Cena stanja: U = qU * R, D = qD * R

23

Slika 7: Donoenje odluke o upotrebi Rizik-neutralne ili Cene stanja

4.4. Multiperiod Binomnog modela

Binomni model moemo da proirimo na vie od jednog perioda. Uzmimo, na primer, u dva perioda (tri

datuma), binomni model koji de imati sledede karakteristike:

U svakom periodu cena akcija raste za 10%, ili pada za 3% od one koja je bila u prethodnom periodu.

Dakle, U = 1.10, a D = 0.97.

U svakom periodu kamatna stopa je 6%, tako da R = 1.06.

Poto su U, D i R isti u svakom periodu,

qU = )( DUR

DR

= 0.6531, qD =

)( DUR

RU

= 0.2903

Sada moemo da koristimo Cene stanja da bi utvrdili cenu Kupovnih opcija na akcije nakon dva perioda.

Kao i u prethodnom sluaju, jednog perioda, i ovde je poetna cena akcije $50, a izvrna cena Kupovne

opcije je X = 50. Ove pretpostavke daju slededu sliku:

24

Cena akcija Cena obveznica

60.5000 55.0000 50.0000 53.3500 48.5000 47.0450

1.1236 1.0600 1.00 1.1236 1.0600 1.1236

Datum 0 Datum 1 Datum 2

Cena Kupovnih opcija

10.5000 7.8302 5.7492 3.3500 2.1880 0.0000

Kako je cena Kupovne opcije od 5.7492 utvrena? Da bi se ona utvrdila krenudemo od drugog perioda:

Na datum 2: Na kraju dva perioda cena akcije je ili $60.50 (to odraava dva porasta cene), $53.35 (jedan

rast i jedan pad cene), ili $47.05 (dva pada cene).

Imajudi u vidu izvrnu cenu od X = 50, isplata opcije u drugom periodu de iznositi ili $10.50, $3.35, ili $0.

Na datum 1: Postoje dve mogudnosti: ili smo postigli stanje rasta, u kom sluaju je cena akcije $55, a

opcija de se u narednom periodu isplatiti $10.5 ili $3.35:

10.5000

???

3.3500

Koristimo Cenu stanja od qU = 0.6531, qD = 0.2903 da bismo odredili cenu opcije u ovom stanju:

Cena opcije u stanju rasta, na datum 1 = 0.653110.50 + 0.29033.35 = 7.8302

Alternativna mogudnost je da smo u stanju pada u period 1:

3.3500

???

0.0000

Koristedi iste Cene stanja ( koje izmeu ostalog zavise samo od kretanja cena akcija gore ili dole, i od

kamatne stope), dobijamo:

Cena opcije u stanju pada, na datum 1 = 0.65313.35 + 0.29030 = 2.1880

25

Na datum 0: Idudi unazad na ovaj nain dobijamo slededu sliku:

10.5000

7.8302

??? 3.3500

2.1880

0.0000

Dakle, u periodu 0 kupac opcije ima sigurnost da de opcija da vredi $7.83, ukoliko cena osnovne akcije

ostvari rast, i $2.19 ukoliko cena akcija ostvari pad. Ovde opet moemo da koristimo Cene stanja da

bismo utvrdili cenu opcije:

Cena opcije na datum 0 = 0.65317.830 + 0.29032.188 = 5.749

Slika 8: Binomno odreivanje cene opcije pomodu Cena stanja, u sluaju modela Dva perioda-tri

datuma

26

4.5. 1. Proirenje Binomnog modela za utvrivanja cena za vie perioda

Logiku odreivanja cena koju smo gore primenili moemo proiriti i koristiti za vie perioda. U narednom

primeru du pomodu Excel a grafiki prikazati Model pet datuma koristedi iste rastude i opadajude

parametre kao u prethodnom primeru:

Cena akcije

73.2050

60.5500

60.5000 64.5535

55.0000 58.6850

50.0000 53.3500 56.9245

48.5000 51.7495

47.0450 50.1970

45.6337

44.2646

Cena obveznice

1.2625

1.1910

1.1236 1.2625

1.0600 1.1910

1.0000 1.1236 1.2625

1.0600 1.1910

1.1236 1.2625

1.1910

1.2625

27

Kupovna cena

23.2050

19.3802

16.0002 14.5535

13.0190 11.5152

10.4360 8.8502 6.9245

6.6593 4.5797

3.0284 0.1970

0.1287

0.0000

Datum 0 Datum 1 Datum 2 Datum 3 Datum 4

Da li se stvarno mora idi unazad da bi se utvrdila cena opcija?

Odgovor je ne. Nije neophodno da se cene Kupovnih opcija utvruju unazad, za svaki vor od

poslednjeg datuma, sve dok su Kupovne opcije Evropske, dok je kod Amerikih opcija, koridenje

principa unazad od izuzetnog znaaja. Kod Kupovnih opcija je dovoljno utvrditi vrednost isplate za

svaki datum putem Cena stanja, pod uslovom da se pravilno izrauna broj putanja za svaki vor.

Ovu tvrdnju du prikazati na slededoj slici:

28

Slika 9: Binomno odreivanje cene opcije pomodu Cene stanja, u sluaju modela etiri perioda-

pet datuma

Da bi objasnili gornju sliku razmotridemo slededa pitanja:

1. Kako se krajnja isplata opcije ostvarila?

2. Koliko rastudih koraka su akcije ostvarile, i kolko opadajudih?

3. Kolika je cena isplate po dolaru u odreenom stanju?

4. Koliko je putanja sa istom krajnjom isplatom?

5. Koja je vrednost odreene krajnje isplate na datum 0?

6. Kolika je vrednost opcije na datum 0?

Odgovori:

Cena stanja = qU#up stepsqD#down steps

Odgovor je dao Binomni koeficijent (Broj perioda nad Broj rastudih koraka)

Odgovor je proizvod isplate, cene i i broja putanja.

Zbir vrednosti svake isplate.

Da rezimiramo:

Cena Evropskih Kupovnih opcija se u Binomnom modelu , sa n perioda dobija na slededi nain:

Kupovna cena =

q

iUq

nDmax (S * U

i Dn-i X,0)

Prodajna cena = {

q

iUq

n-iDmax (X S * U

iDn-i,0) Direktno odreivanje cene

29

Kupovna cena + nR

X- S Koridenjem Prodajno-Kupovne jednakosti

4.6. Odreivanje cena Amerikih opcija korienjem Binomnog modela

Binomni model moemo da koristimo za odreivanje cena Amerikih opcija, isto kao i kod odreivanja

cena Evropskih opcija. Ponovo demo razmotriti istu osnovu modela, u kojoj je Up = 1.10, Down = 0.97, R

= 1.06, S = 50, X = 50. Ispitademo verziju modela Tri datuma. Obrazac isplate akcija i obveznica je

prethodno dat, ostaje nam da razmotrimo obrazac isplate Prodajne opcija sa X = 50. Referencirademo

moguda stanja koristedi sledede oznake:

Oznake stanja

UU

U

0 UD ili DU

D

DD

Isplate Prodajnih opcija na datum 3

Ovde su vredosti akcija i isplate Prodajnih opcija na datum 3:

Cena akcije Isplate Amerikih Prodajnih opcija

60.5000 55.0000 50.0000 53.3500 48.5000 47.0450

0.0000 ???? ???? 0.0000 ???? 2.9550

Na datum 2 imalac Amerike Prodajne opcije moe da izabere da li de da zadri ili izvri opciju. Sada

imamo slededu funkciju vrednosti:

Prodajna vrednost na datum 2, stanje U

=max{

30

Slino vai i za vrednost Prodajnih opcija u stanju D, na datum 2. Kao rezultat dobijamo sledede drvo:

Isplate Amerikih Prodajnih opcija

0.0000

0.0000

???? 0.0000

1.5000

2.9550

U nastavku du dati objanjenje:

U stanju U, Prodajna opcija je bezvredna. Kada je cena akcije $55,neisplativo je izvriti opciju pre

roka dospeda obzirom da je max( X SU, 0 ) = max( 50 55, 0 ) = 0. Meutim, poto bududa

vrednost isplata Prodajne opcije u stanju U je 0, zavisna od stanja, sadanja vrednost ovih

bududih isplata je takoe 0.

U stanju D, imalac Prodajne opcije dobija max( 50 48.5, 0 ) = 1.5, ako izvri Prodajnu opciju,

meutim ukoliko je ne ostvari, njena trina vrednost je zavisna od stanja vrednost bududih

isplata:

qD 0 + qD 2.96 = 0.65310 + 0.29032.95 = 0.8578

Jasno je da je bolje izvriti Prodajnu opciju u ovom stanju, nego je ostaviti u njemu.

Na datum 0, funkcija vrednosti je slina:

Prodajna vrednostna datum 0 =

max{

U nastavku je tabela:

31

Slika 10: Odreivanje cene Amerikih kupovnih opcija u modelu Dva-perioda

4.7. Korienje Binomnog modela za utvrivanje cena Nestandardnih opcija

Binomni model moemo da koristimo i za odreivanje cena Nestandardnih opcija. Razmotridemo slededi

primer:

Pretpostavidemo da posedujete opciju da kupite udele(akcije) kompanije. Opcija se moe ostvariti pre

roka dospeda, ali cena izvrenja opcije varira u toku vremena u toku koga ste izabrali da ostvarite opciju.

Opcija ima sledede uslove:

Postoji n mogudih datuma izvrenja opcije (tj. Opcija se moe izvriti-iskoristiti samo na ove

datume)

Izvrenje opcije na datum t iskljuuje mogudnost izvrenja opcije na sve datume s > t. Meutim,

ukoliko ne iskoristite opciju na datum s, i dalje je moete izvriti na datum t > s.

Izvrna cena opcije na datum t je Xt. Drugim reima, izvrna cena opcije moe varirati tokom

vremena.

32

elimo da vrednujemo ove opcije koristedi Binomni okvir. Da bismo to uradili, uoavamo da su u osnovi

ovo u stvari Amerike opcije sa tri zasebne cene izvrenja. Ovaj problem demo predstaviti u narednoj

tabeli, koristedi logiku vrednovanja Amerikih opcija koju sam prethodno objasnila u poglavlju 4.6. :

Slika 11: Prikaz vremenski zavisne, izvrne cene opcije

Delije od B15 do H21 u gornjoj tabeli opisuju cene akcija tokom vremena, koje prate Binomni proces sa

Up = 1.10 i Down = 0.95 (delije B3 i B4).

Kao to je i uobiajeno za Amerike opcije, u svakom voru stabla razmatramo da li je vrednije

(isplatljivije) opciju izvriti ili zadrati. Imajte na umu da na ovoj slici izvrna cena varira vremenom, tako

da izvrna cena na datum 3 je E5 = 112, na datum 2 je E4 = 105 i na datum 1 je E3 = 100. Kao to

moemo videti, vrenost Amerike opcije je 8.368, delija B28. (PROCTOR, 2010)

33

5. Black Scholes model za utvrivanje cene opcija

U lanku koji je objavljen 1973., Fisher Black i Myron Schols su predstavili formulu za izraunavanje cene

Evropskih Kupovnih i Prodajnih opcija na akcije na koje se ne plada dividenda. Ovaj njihov model je

izuzetno poznat u modernim finansijama. Black Scholes formula je relativno jednostavna za koridenje,

a esto je najadekvatnija aproksimacija cene komplikovanijih opcija.

U nastavku du vam predstaviti razvoj ovog modela; to zahteva poznavanje stohastikih procesa i

znaajnih matematikih ulaganja. U nastavku du prikazati mehaniku modela i kako se sprovodi u Excelu.

Takoe du prikazati nekoliko primera upotrebe Black Scholes modela u vrednovanju strukturirane

imovine.

Black Scholes formula za utvrivanje cena opcija je jedna od najmodnijih inovacija u oblasti finansija.

Izuzetno je iroka upotreba ove formule, koristi se sa jedne strane za utvrivanje cena opcija, a sa druge

strane kao konceptualni okvir za analizu kompleksnih hartija od vrednosti.

Razmotrimo akcije ija cena ima lognormalnu raspodelu. Black Scholes model koristi sldedu formulu za

utvrivanje cene Evropskih Kupovnih opcija na akcije:

C = SN(d1) XerTN(d2), gde d1 =

T

TrXS

)2/()/ln( 2

d2 = d1 T

Ovde C oznaava cenu Kupovne opcije, S je cena osnovne akcije (hartije), X je izvrna cena Kupovne

opcije, T je vreme do dospeda opcije, r je kamatna stopa, i je standardna devijacija logaritma prinosa

na akcije. N () oznaava vrednost standardne normalne raspodele. Pretpostavlja se da se dividenda na

akcije nede isplatiti pre datuma T. Prema Prodajnokupovnoj teoremi jednakosti, Prodajne opcije na

iste akcije, sa istim datumom izvrenja T i cenom izvrenja X de imati cenu P = C S + Xe-rT. Zamenom C u

ovoj jednaini i ukoliko uradimo neke algebra dobijamo Black Scholes formula za izraunavanje cene

Evropskih Prodajnih opcija:

P = Xe-rT N(d2) SN(- d1)

Numeriki je dokazano u poglavlju o Binomnom modelu, da se Black Scholes formula poklapa sa

formulom Binomnog modela za odreivanje cene opcija, kada se duina tipinog perioda pribliava nuli,

rastuda i opadajuda kretanja u Binomnom modelu konvergiraju ka lognormalnom procesu cene i

struktura kamatne stope je ravna.

34

5.1. Implementacija Black Scholes formule u Excel tabeli

Black Scholes formulu za odreivanje cena Kupovnih i Prodajnih opcija je vrlo lako sprovesti u Excel

tabeli. Slededi primer pokazuje kako da se izrauna cena Kupovnih opcija na akcije ija je trenutna cena S

= 50, kada je izvrna cena opcije X = 45, kamatna stopa na godinjem nivou r = 4%, i = 30%. Opcija ima

T = 0.75 godina do dospeda opcije. Pretpostavljamo da su sva tri parametra, T, r i na godinjem nivou.

Slika 12: Odreivanje cene opcije pomodu Black-Scholes formule

U tabeli je cena Prodajne opcije izraunata dva puta: u deliji B15 koridenjem Prodajna-Kupovna

jednakosti, a u deliji B16 koridenjemdirektne Black-Scholes formule.

Excel moemo da iskoristimo da bi sproveli i Analizu osetljivosti. Prikazadu kako sa promenom cene

akcije S varira i Black-Scholes cena Kupovna opcije u poreenju sa sutinskom (osnovnom) vrednosti =

Max (S X, 0).

35

Slika 13: Black-Scholes cena VS Sutinska vrednost opcije

5.2. Izraunavanje podrazumevane nepredvidljivosti (nestabilnosti)

Black-Scholes formula zavisi od pet parametara: Cene akcije S, cena izvrenja opcije X, vreme do dospeda

opcije T, kamatne stope r, standardne devijacije prinosa na akcije osnovnih opcija (Sigma). etiri prva

parametra su jasni, meutim, peti parameter je problematian. Postoje dva uobiajena naina za

izraunavanje :

moe da se izrauna na osnovu istorijskih prinosa na akcije

moe da se izrauna na osnovu podrazumevane nepredvidljivosti akcija

5.2.1. Sigma istorijskih prinosa

Na narednoj slici su prikazane cene opcija na Nasdaq index QQQQ ,28. Jula 2006.

36

Slika 14: Cene opcija na Nasdaq index QQQQ

Index cena opcija

Istorijske cene i rezultati istorijskih nestabilnosti su prikazani u slededoj tabeli:

37

Slika 15: QQQQ istorijske cene

Na osnovu dvomesenih dnevnih podataka, na godinjem nivou QQQQ sigma iznosi 21.51%. Imajte na

umu da se rezultat zasniva na pretpostavci o 250 trgovakih dana godinje, mnogi koriste i 365 dana, to

naravno daje vedu .

38

Slika 16: Odreivanje cena QQQQ opcija, koridenje istorijske nepredvidljivosti

U poreenju sa stvarnim cenama, ova slika ukazuje na to, da Istorijske nepredvidljivosti(nestabilnosti)

donekle deklariu nestabilnosti u kojoj opcije imaju stvarnu cenu. Meutim, nije jasno koji su korektni

istorijski podaci. Ako, na primer, koristimo dnevne podatke za dve godine da bi utvrdli Istorijsku

nestabilnost za QQQQ, dolazimo do mnogo nieg broja:

39

Slika 17: QQQQ Istorijske cene

5.2.2. Podrazumevana nepredvidljivost ( nestabilnost)

Nepredvidljivost (nestabilnost) koja implicira ignorie istoriju; umesgto toga ona odreuje opcije na

osnovu stvarne cene opcije. Dok je istorijska nestabilnost u stvari unazad posmatrana nestabilnost,

podrazumevana nepedvidljivost(nestabilnost) obuhvata dalekovidne procene.

Da bi procenili podrazumevanu nepredvidljivost za Avgust 2006, QQQQ Kupovna opcija na istom,

potrebno je reiti Black-Scholes formula za (Sigmu) koja daje trenutnu trinu cenu:

Slika 18: Podrazumevana nepredvidljivost za Avgust 2006 QQQQ opcije

40

Podrazumevana nestabilnost je 17.96% . To daje trinu cenu Kupovne opcije od $0.75 (to moemo

videti u deliji B15) i trinu cenu Prodajne opcije od $0.55 (delija B16). Problem je reen koridenjem

Solvera:

Slika 19: Koridenje Solvera u izraunavanja podrazumevane nepredvidljivosti

5.3. Korekcija Black-Scholes modela za dividende

Black-Scholes formula podrazumeva da je osnovna sigurnost za opcije da se ne ispladuje nikakva

dividenda pre datuma izvrenja T. U nekim sluajevima je lako napraviti korekciju modela za dividende.

U ovom delu du predstaviti takve dve korekcije: Prvo demo sagledati odreivanje cena opcija kada su

budude dividende poznate sa sigurnodu, a onda ispitati odreivanje cena opcija kada je osnovna

sigurnost kontinuirano ispladivanje dividendi.

5.3.1. Poznata dividenda koja se plaa pre isteka opcije (prestanka vaenja)

esto se deava da je bududa dividenda na akcije poznata u vreme kada se trguje opcijama. To je

najedi slulaj onda kada je dividenda ved najavljena(saoptena), ali takoe moe da se desi jer se na

mnoge akcije pladaju prilino redovne i relativno nefleksibilne dividende. U ovom sluaju, cena opcija ne

41

bi trebala da se zasniva na trenutnoj ceni akcije S, ved na ceni akcije umanjenoj za sadanju vrednost

dividende ili oekivanih dividendi pre datuma isteka opcije T.

U nastavku du prikazati primer:

Coca-Cola (simbol za akcije KO) plada kvartalno dividende, u Martu, Junu, Septmbru i Novembru svake

godine. Dividende izgledaju prilino stabilno na datum 28. Jul 2006., poslednje dve dividende su bile

$0.31 po akciji.

Izraunavanje podrazumevane nestabilnosti za Januar 2007. Kupovne i Prodajne opcije na Coca-Cola

akcije pokazuje da uzimanje u obzir oekivanih dividendi dovodi do znaajne razlike u cenama. Takoe,

moemo da zakljuimo na osnovu blizine cena koje uzimaju u obzir dividende nasuprot rastojanja

izmeu cena koje ne uzimaju u obzir dividende, da su prve tane.

Period 0 Period t, isplata

dividende

Period T, vreme

isteka opcije

Cena akcije = S Div max[ST-X,0]

Cena akcije PV (div) = S

Div*exp[-rt]

42

Slika 20: Odreivanju cena kupovnih i prodajnih opcija na Coca-Cola akcije

5.3.2. Korekcije za kontinuirane isplate dividendi: Mertonov model

U ovom poglavlju du predstaviti Merton model za odreivanje cena opcija na akcije na koje se

kontinuirano pladaju dividende. Kontinuirane dividende mogu da izgledaju kao udna pretpostavka. Ali

korpa akcija kao to je S & P 500 indeks ili Dow Jones 30 se najbolje moe aproksimirati pretpostavkom

o kontinuiranoj isplati dividendi, obzirom da postoji mnogo akcija i obzirom da komponente indeksa

manje ili vie ispladuju svoje dividende tokom godine.

Pod pretpostavkom da imamo kontinuirani prinos od dividendi k, Merton je predstavio slededu formulu

za izraunavanje cena Kupovnih opcija:

C = SekTN(d1) XerTN(d2) gde,

d1 = T

TkrXS

)2/()/ln( 2

d2 = d1 - T

43

Ovaj model se koristi u narednoj tabeli za utvrivanje cene fonda kojim se trguje, koji prati S & P 500

indeks:

Slika 21: Mertonov model za utvrivanje cena opcija

Mertonov model se esto koristi za utvrivanje cena Valutnih opcija. Pretpostavimo da uzmemo opciju

na evro. Opcija odreuje kurs dolara za evro ( u slededem primeru Kupovna opcija nam omogudava da

kupimo 10.000 evra u 0.0575 godina, po kursu $1.285 za evro). Osnovno sredstvo ove opcije je

bezbednosna kamatna stopa koja se plada u evrima sa kamatnom stopom r.

Slika 22: Odreivanje cene Valutnih opcija

44

5.4. Korienje Black-Scholes formule za utvrivanje cene Struktuiranih

hartija

Strukturirane hartija predstavlja argonski izraz za harije od vrednosti koje ukljuuju kombinaciju

osobina akcija, opcija i obveznica.

5.4.1. Jednostavne struktuirane hartije: Zatita glavnice plus uee u pozitivnim trinim

kretanjima

Jednostavne i popularne struktuirane ponude garantuju povradaj investitorove glavnice plus neka ueda

u pozitivnim trinim kretanjima. Evo primera: Homside banka nudi svojim klijentima sledede Zatita

glavnice, potencijal za rast hartije. (PPUP)

Poetno ulaganje u hartiju je $1,000.

Kamata se ne plada na ove hartije.

Za pet godina PPUP hartija de obezbediti povradaj od $1,000, plus 50% od povedanja indeksa S &

P 500. Oznaavanje cene indeksa kao S0 danas, i kao St za pet godina, povradaj na PPUP se moe

prikazati kao:

$1,000 [

]

Da bismo analizirali PPUP, prvo demo da prepiemo isplatu o dospedu kao:

$1,000 [

] = $1,000 + $1,000 *

0

%50

S* max (St S0,0)

Povradaj na bezkuponske obveznice Povradaj na Kupovne opcije na istom

Ovo pokazuje da se povradaj na PPUP hartije sastoji od dva dela:

1. $1,000 povradaja glavnice. Obzirom da ne postoji kamata koja se plada na ovu glavnicu, njena

vrednost danas je sadanja vrednost povradaja isplate sa nerizinom kamatnom stopom, $1,000

* e-rT, gde je r kamatna stopa i T = 5 je vreme dospeda PPUP.

2. $1,000 * 0

%50

Sputa dananja vrednost Kupovne opcijena istom na S & P 500.

Moemo da koristimo slededu tabelu da bismo odredili cenu ove hartije:

45

Slika 23: Analiza jednostavno struktuiranog proizvoda

Vrednost struktuirane hartije je kao to vidimo iz tabele $941.32. Ova vrednost ima dve komponente:

1. Sadanja vrednost dela obveznica na PPUP je $778.80.

2. Vrednost od $1,000 * 950

%50 Kupovna opcija na istom na S & P je $162.52.

Imajudi u vidu parametre u delijama od B2 do B7, PPUP je precenjena prodaje se za $1,000, dok bi

njena trina vrednost trebala da bude $941.32. Drugi nain razmiljanja o struktuiranim hartijama je da

se izrauna njihova podrazumevana nestabilnost: Koja vrednost sp de dati trinu vrednost PPUP od

$1,000? GoalSek ili Solver mogu da ree ovaj problem:

Slika 24: Analiza jednostavno stuktuiranog proizvoda

46

5.4.2. Korienje Black Scholes formule za komplikovanije struktiuirane hartije

Pretpostavimo da elite da kreirate hartiju sa slededim modelom isplate:

Strategija isplate

X1

X1 X2 St

Model isplate se povedava (dolar po dolar) kao to se cena o roku dospeda osnovnih sredstava povedava

izmeu 0 ST X1. Izmeu X1 i X2, model isplate je ravan, za vrednosti kada je X2 ST, isplata se ponovo

povedava dolar po dolar sa cenom osnovnih sredstava. Matematika formula za ovaj model isplate:

X1 max(X1 ST, 0) +max(ST X2, 0)

Da bi dokazali da ova formula stvara grafik,

X1 max(X1 ST, 0) +max(ST X2, 0) =

{

1 1 T T T 1

1 1 T 2

1 T 2 2 T

Isplata na Prodajne opcije Isplata Kupovnih opcija

47

Dalje du predstaviti malo komplikovaniji model isplate:

Y

X1 X2

Poetni deo isplate ima nagib Y/X1, drugi vedi deo modela isplate ima nagib Y/X2. Ovaj model isplate je

kreiran pomodu sledede formule:

Y - 1X

Y max (X1 ST, 0) +

2X

Y max (ST X2, 0)

Isplata 1X

Y Prodajnih opcija Ispalata

2X

YKupovnih opcija

Da bi dokazali da je ovo zaista isplata opcija,

Y - 1X

Y max (X1 ST, 0) +

2X

Y max (ST X2, 0) =

Isplata 1X

Y Prodajnih opcija Ispalata

2X

YKupovnih opcija =

=

{

1X

Y( 1 T ) TS

X

Y

1

T 1

1 T 2

2X

Y( T 2 )

2X

Y T 2 T

48

Kao primer za ovu vrstu isplate struktuiranih hartija, naredna slika prikazuje tabelu za struktuirane

hartije izdate od strane ABN-AMRO banke . Isplata na ove Airbag hartije zavisi od vrednosti StoXX50

indeksa Evropskih akcija. Dalje demo predstaviti detalje:

Datum izdavanja: 24. Mart 2003

Datum dospeda: 24. Mart 2008

Cena: 1,020

Isplata na datum dospeda:

Isplata o roku dospeda:

=

{

(

pocetnaStoxx

odospecuStoxx

50

50)

(pocetnaStoxx

odospecuStoxx

50

50)

Prepoznajemo da je ova hartija kao hartija iju smo isplatu prethodno objasnili i koja izgleda kao :

Y - 1X

Y max (X1 ST, 0) +

2X

Y max (ST X2, 0)

Isplata obveznice 1X

YProdajne opcije sa

2X

Ykupljena Kupovna opcija sa cenom izvrenja X2

cenom izvrenja X1

gde je X1 = 1,618.50, X2 = 2,158, i Y = 1,000.

U nastavku demo Excel-u prikazati isplatu. Delija B7 prikazuje definiciju isplate datu od strane Airbag

akcionara(izdavaoca) , i delija C8 prikazuje isplatu opcije o dospedu definisanu u prethodnim formulama.

Podaci u delijama od A13 do B29 pokazuju da su ove dve definicije jednake:

49

Slika 25: ABN-AMRO list za njegov Euro Stoxx50 Airbag hartija

50

Slika 26: ABN-AMRO AIRBAG

Da bi videli kako se odreuju cene Airbag hartija, koristidemo Black-Scholes model i utvrditi Stoxx50 nestabilnost koja proizilazi iz Airbag cena:

51

Slika 27: Odreivanje cene ABN-AIRBAG hartija, utvrivanje podrazumevane nestabilnosti

Airbag hartiju su prilino stabilne, njihova cena ne varira vise od 10% za irok spektar . (PROCTOR, 2010)

52

6. MONTE KARLO METOD ZA UTVRIVANJE CENA OPCIJA

Monte Karlo metode su eksperimentalne tehnike za utvrivanje numerike vrednosti funkcije.

Monte Karlo metode predstavljaju spektar sluajnih (nasuminih) simulacija,koje se koriste za

utvrivanje vrednosti parametara. Monte Karlo metoda ima svoje korene u fizici, gde se esto koristi za

utvrivanje vrednosti modela za koje ne postoji analitiko reenje. Upotreba Monte Karlo metode u

finansijama je slina: Monte Karlo koristi simulaciju da utvrdi cenu sredstava ije cene ne moemo lako

utvrditi analitikim putem. Ukratko ukoliko ne postoji formula za utvrivanje vrednosti imovine, moda

moemo utvrditi njenu vrednost simulacijom.

Jasno je da kategorija opcija za koje ne postoj analitiko reenje ne ukljuuje obine - vanila evropske

kupovne i prodajne opcije, iju cenu moemo utvrditi koridenjem Black Scholes metode. Ipak, mnoge

opcije su komplikovanije od ovih.

Generalno, ovu metodu treba izbegavati kada postoji jo jedan, zatvoren oblik, nain utvrivanja

vrednosti. U sluajevima kada ne postoji takva metoda moete koristiti Monte Karlo za aproksimaciju

vrednosti.

U ovom poglavlju du prikazati kako se utvruje cena Azijskih opcija i Opcije sa barijerom. Azijske opcije

imaju isplatu koja zavisi od prosene cene osnovng sredstva za period pre roka dospeda opcije, a isplata

Opcije sa barijerom zavisi od osnovne cene koja dostie odreeni nivo u nekom trenutku pre roka

dospeda.

Obe, i Azijske i Barrier opcije su opcije zavisne od putanje opcije ija cena ne zavisi samo od

terminalne (krajnje) cene sredstava, ved i od putanje cena kojom je dostignuta krajnja cena. Generalno,

opcije zavisne od putanje nemaju analitiko reenje za utvrivanje cena. Monte Karlo nam obezbeuje

zgodan, numeriki alat za utvrivanje cena ovakvih opcija.

Utvrivanje cena Monte Karlo metodom zavisi od simulacije cenovne putanje osnovnog sredstva.

6.1. Odreivanje cena Obinih-vanila, kupovnih opcija korienjem Monte

Karlo metoda

Sa jedne strane, koridenje Monte Karlo metode za ove oopcije bi predstavljao veliki gubitak vremena,

obzirom da Black Scholes formula daje sjajno reenje za utvrivanje cena Evropskih kupovnih i

prodajnih opcija, a sa druge strane odreivaje cene obinih-vanila, kupovnih opcija koridenjem Monte

Karlo metode nam daje uvid u znaajnu primenu ove metode.

53

Primer:

Poinjemo sa veoma jednostavnim primerom. Koristimo Monte Karlo da bi utvrdili cenu Evropskih

kupovnih opcija za dva perioda, u kojima se cena akcije ili raste ili opada, u svakom periodu. U slededoj

tabeli koristimo Monte Karlo metode da bi utvrdili cenu opcije na istom na akcije ija je dananja cena

S0 = 50. Postoje dva perioda, i u svakom periodu cena akcije ili raste ili opada, a kamatna stopa je R =

1.05.

Up = 1.4

Down = 0.9

SUU = 98 = 50 * 1.42

SU = 70

S0 = 50 SUD = SDU = 63 = 50 * 1.4 * 0.9

SD = 45

SDD = 40.5 = 50 * 0.92

Datum 0 Datum 1 Datum 2

Slika: Drvo cene akcije u standardnom kombinujudem Binomnom modelu

U narednoj tabeli du prikazati dve nasumine putanje cene i nain njihvog utvrivanja:

54

Slika 28: Jednostavna simulacija: Dve putanje u modelu dva datuma

Cene stanja i rizik-neutralne verovatnode su izraunate u delijama od B10 i B11, i B14 i B15. Delije od B18

do B19 i delije od C18 do C19 pokazuju dve nasumine putanje cena. U svakom periodu koristimo

nasumino izabran br. putem Excel funkcije Rand. Ako je Rand() > D, onda cena akcije raste, i ako je

Rand() D, onda cena akcije opada.

U prvoj cenovnoj putanji (delije B18 i B19), cena akcije opada u oba perioda. Krajnja cena akcije je 40.5, i

isplata opcije je 0.

U drugoj putanji (delije C18 i C19), cena akcije opada u prvom periodu, dok u drugom raste. Krajnja cena

akcije je 63 i isplata opcije je 13.

Ako su ovo bile dve nasumino izabrane putanje cena, Monte Karlo cena opcije bi bila diskontovani

prosek 5.8957. Izraunali smo i stvarnu cenu kupovne opcije koristedi Cene stanja, i ta cena iznosi

8.8707.

55

Moramo obratiti panju na vanost rizik-neutralne verovatnode u Monte Karlo simulaciji. Putanja cene je

odreena, ne na osnovu stvarnih verovatnoda ved putem rizik-neutralne verovatnde U i D. Stvarne

verovatnode nemaju znaaja kod Monte Karlo metode utvrivanja cena opcija.

Proirenje modela Dva-perioda

Monte Karlo simulacije ne moe da se pokrene koristedi samo dve putanje cene. U slededoj tabeli su

proirene cenovne putanje.

Slika 29: Jednostavna simulacija u modelu dva datuma

Prosena diskontovana isplata je 8.3900. Ova vrednost je nasumina, to znai da de se promeniti svaki

put kada pritisnemo taster F9 na tastaturi koji proizvodi novi set sluajnih staza. Monte Karlo metode

podrazumevaju da bi za jo vie putanja pribliavali se ka stvarnoj ceni od 8.8707.

56

6.2. Utvrivanje cena Azijskih opcija

Azijska opcija je opcija ija isplata zavisi na neki nain od prosene cene sredstva tokom odreenog

vremenskog perioda koji prethodi trenutku isteka opcije. Azijske opcije se ponekad nazivaju Opcije

prosene cene. Postoje dve osnovne vrste Azijskih opcija:

Kod prve vrste Azijskih opcija, isplata opcije je zasnovana na razlici izmeu prosene cene

osnovnog sredstva i izvrne cene: max *Prosena cena osnovnog sredstva Izvrna cena, 0+.

Primeri na Slikama 30 i 31 koje predstavljaju ugovore o trgovini naftom na NYMEX-u, i prosena

cena opcija kojima se trguje (TAPO) na Londonskoj berzi metala su ovakve opcije.

Kod druge vrtse Azijskih opcija, opciona izvrna cena je prosena cena osnovnog sredstva tokom

perioda koji prethodi dospedu opcije: max *Krajnja cena osnovnog sredstva - Prosena cena

osnvnog sredstva, 0]. Ovakve, proseno izvrene opcije su uobiajene na tritu elektrine

energije. One pomau hedersima iji se primarni rizici odnose na prosenu cenu osnovnog

sredstva.

Azijske opcije su naroito korisne kada korisnik prodaje osnovno sredstvo(predmet opcije) tokom

perioda i zbog toga je izloen prosenoj ceni i kada postoji opasnost od manipulacije cenom osnovnog

sredstva. Azijske opcije ublaavaju ovaj efekat manipulacije, bududi da se one ne zasnivaju na jednoj

ceni, ved na itavom nizu cena.

Slika 30: Prosena cena opcija na naftne derivate kojima se trguje na NYMEX-u.

57

Slika 31: Azijske opcije na bakar kojima se trguje na Londonskoj berzi metala (LME)

6.2.1. Poetni primer Azijskih opcija

U nastavku du razmotriti Azijsku opciju na akcije ija se cena ili povedava za 40% ili smanjuje za 20% u

svakom periodu. Posmatramo pet datuma, poev od datuma 0:

58

Slika 32: Azijske opcije

Da bismo izraunali vrednost opcije prvo raunamo svaku cenovnu putanju. Postoji takvih 16 putanja.

Slededa tabela pokazuje svaki put, prosenu cenu akcije tokom putanje, isplatu opcije, i rizik-neutralnu

verovatnodu tokom putanje:

59

Slika 33: Odreivanje cene Azijskih opcija

Putanje su odreene po broju i redosledu kretanjaakcija ka gore i dole. Za objanjenje du izdvojiti dve

putanje cene:

Du putanje ,up, down, up, up- krajnja cena akcije je 65.86, prosena cena je 43.70, isplata

opcije je 13.70, i diskontovana oekivana vrednost koristedi rizik-neutralne cene je 0.5461.

60

Slika 34: Primer putanje cene {UP, DOWN, UP, UP}

Prosena cena akcije tokom putanje je 43.699, tak da je isplata opcije = max[43.699 30,0] = 13.699.

Du putanje ,up, up, down, up- krajnja cena akcije je ista kao i pre: 65.86. Meutim, prosena

cena i na taj nain isplata i vrednost opcije su razliite:

61

Slika 35: Primer putanje cene {UP, UP, DOWN, UP}

Ove dve putanje prikazuju na ta se misli kada se kae da je cena Azijskih opcija zavisna od putanje: Dve

putanje obe kredu sa poetnom cenom akcije od 30 i zavrava sa 65.856 ove putanje imaju razliite

isplate opcije jer prosena cena akcije tokom putanja razliita.

Ovaj primer nam takoe, ilustruje i tekode u odreivanju cena Azijskih opcija Svaka pojedinana

putanja se mora reiti(baviti se njom), a postoji 16 pojedinanih putanja. Ova linjenica razlikuje Azijske

opcije od obinih opcija (obinih-vanila opcija).

Da bismo utvrdili cenu Azijske opcije, priloili smo rizik-neutralnu verovatnodu svakoj putanji cene:

62

Slika 36: Rizik-neutralna verovatnoda na svaku putanju cene

Cena opcije je vrednost oekivane diskontovane isplate, gde se oekivanja obraunavaju sa rizik-

neutralnim verovatnodama:

n

japujeSvepu

R

jiijenapuIsplataopc tan*tantan

= 5.3756

Cena svake putanje je utvrena na osnovu njene diskontovane rizik neutralne verovatnode, koja je

funkcija rasta (Up),pada (Down) i kamatne stope (R). Stvarne, State verovatnode ovde nisu relevantne.

6.3. Utvrivanje cena Opcija sa barijerom Monte Karlo metodom

Utvrivanje cena opcija sa barijerom putem Monte Karlo metode i nije nuno dobra ideja.

Isplata Opcija sa barijerama zavisi od toga da li cena dostie odreeni nivo u toku veka trajanja opcije:

Knockin kupovne opcije sa barijerom imaju isplatu max (ST X, 0), jedino ukoliko u nekom

periodu vai t < T, ST > K. Knockin prodajne opcije imaju iste uslove, ali isplata je max(X ST, 0).

63

Knockout kupovne ili prodajne opcije sa barijerom imaju ove isplate pod uslovom da u jednom

trenutku pre T cena akcije dostigne barijeru.

Nametanje barijera oteava mogudnost za opcije da budu opcije na dobitku o isteku roka dospeda;

stoga opcije sa barijerom imaju manju vrednost od redovnih opcija.

6.3.1. Jednostavan primer za kupovne opcije sa barijerom

U nastavku du predstaviti primer za knockout opcije sa barijerom, koji je slian primeru za Azijske opcije

koji sam gore prikazala u poglavlju....

Slika 37: Utvrivanje cene Knockout opcija sa barijerom

U ovom primeru smo modelirali kupovne opcije sa pet datuma, etiri perioda. Barijera je 50. Knock

out opcija se isplati samo ukoliko cena nikada ne pree barijeru. U jednaini

Isplata Barrier knockin kupovne opcije =

={ [ T ] T

64

Isplata Barier knockout kupovne opcije

={ [ T ] T

Knockout kupovne opcije sa barijerom koje su ovde predstavljene se isplate samo kada se dve stvari

dogode simultano:

Cena akcije ne prelazi barijeru. Ovaj rezultat se javlja za sve putanje oznaene sa TRUE u koloni

M. Da bismo proverili ovaj uslov u deliji M17, koristi se Bulova funkcija ( = MAX (G17:K17) <

$B$7). Ova funkcija ima vrednost TRUE ili FALSE, u zavisnosti od toga da li je uslov ispunjen.

Ostale delije u koloni M koriste slian uslov. Kada se koristi u formuli kao u taki 2, Bulova

funkcija ima vrednost 1, ukoliko je TRUE i 0 ako je FALSE.

Krajnaj cena akcije ST je veda od izvrne cene opcije od 30. U deliji O17 koristimo uslov M17 *

MAX (K17 - $B$6,0) za procenu isplate opcije.

a) Ako je M17 jednako nuli (to znai da je ST > 50 negde tokom putanje, i opcija je knocked out

izbaena), i onda se opcija ne ispati.

b) Ukoliko je M17 jednako 1 (to znai da je ST < 50 tokom putanje), tada opcija ima standardnu

kupovnu isplatu od max( ST X, 0).

Kao i u prethodnim sluajevima koe sam gore predstavila, vrednost kupovnih opcija sa barijerom je

oekivana diskontovana isplata opcija, gde su verovatnode rizik neutralne verovatnode:

Vrednost opcije = 4

tan

R

Isplata jjjasvas

=1.7375

6.3.2. Knockin kupovne opcije sa barijerom

Promenom uslova u kloni O moemo utvrditi cenu Knockin kupovne opcije sa barijerom. Ovog puta

demo pisati (u deiji O17 na primer) funkciju = (1 M17) * MAX (K17 - $B$6, 0). Vrednost u deliji M17

utvruje da li barijera nije nikada prevaziena(proena); ako je ovo FASE netano (tj. ima vrednost

0), onda je opcija knocked in-oborena i isplata je kao kod regularnih kupovnih opcija. Ukoliko je M17

TRUE tano, to znai da barijera nije preena i opcija se ne isplati:

65

Slika 38: Utvrivanje cene Knockin opcija sa barijerom

U tabeli za knockout i knocin opcije sa barijerom predstavljen je drugi princip za utvrivanje cena opcija

sa barijerom: cena knockin plus konckout kupovne opcije jednaka je ceni regularnih obinih vanila

kupovnih opcija:

66

Slika 39: Utvrivanje cene obinih vanila opcija putem Knocin i Knockout opcija

Monte Karlo simulacione metode za utvrivanje cene opcije putem iznalaenja mnogih putanja cena

akcija je drugi najbolji nain za utvrivanje cena opcija, ali u sluajevima gde nema dostupnih analitikih

formula. U ovom poglavlju sam predstavila Monte Karlo metode za obine vanila opcije, Azijske opcije,

i opcije sa barijerama. (PROCTOR, 2010)

67

7. ZAKLJUAK

Hartije od vrednosti i njihovo trite imaju veliki znaaj u drutvu svake zemlje u kojoj je razvijeno robno

novano trite. U svetu postoji tendencija porasta znaaja hartija od vrednosti iz razloga sve sloenijih

odnosa zbog stalnog porasta vrednosti koje se nalaze u robno novaanoj funkciji. Hartijama od vrednosti

se zadovoljavaju razne potrebe privrede, a derivativne (izvedene) hartije od vrednosti igraju znaajnu

ulogu u kontrolisanju rizika, tzv. hedingu portfolia, kao znaajnom delu upravljanja investicijama u

hartijama od vrednosti.

Takoe, ovo trite karakterie ogromna kompleksnost: promene koje nastaju su rapidne, a transakcije

koje se na njima zakljuuju su velike po vrednosti. Njihova globalizacija, odnostno stvaranje globalnog

meunarodnog finansijskog trita iji su delovi meusobno telekomunikaciono povezani , dovelo je do

stvaranja takvog sistema u kome se informacije prenose gotovo trenutno, a iji je uticaj na trite i cene

na njima direktan i momentalan.

Znaaj finansijksih simulacionih modela u procesu finansijksog odluivanja je mnogostruk. Oni

omogudavaju da se kompleksni finansijski prorauni smeste u neke jednostavnije modele za iju de

upotrebu korisnicima biti dovoljna neka osnovna znanja. Takoe, korisnici ne moraju posedovati

napredna informatika znanja da bi ove modele svakodnevno koristili za obradu velike koliine

informacija i podataka i sprovoenje razliitih analiza.

Tri modela za utvrivanje cena opcija obraena u ovom radu, kao i njihova implementacija u program

Excel, pristupaju problemu utvrivanja cene iz razliitih perspektiva i na razliite naine. Takoe, iz gore

navedenih primera moemo da zakljuimo da Excel umnogome doprinosi ovoj oblasti, kao vrlo efikasan

u raznim proraunima. Sam rad u Excelu je jednostavan i dostupan svima, a rezultati se bre dobijaju i

smanjuje se verovatnoda greke.

Na kraju, iz gore prikazanog moemo da zakljuimo da su Binomni model, kao i Black-Scholes formula

pogodniji i jednostavniji u ovoj oblasti, dok Monte Karlo metod treba koristiti za utvrivanje cena kada ni

jedna od gore navedenih nije ostvariva, i treba je izbegavati kad god postoji neki drugi nain utvrvanja

vrednosti.

68

8. LITERATURA

Arsid, d. V. (2003). Trite hartija od vrednosti. Beograd: Fakultet organizacionih nauka, Jove Ilida 154,

Beograd.

Law, A. M., & Kelton, J. S. (1982). Simulation modeling and Analysis. New York: McGraw-Hill.

Markovid, A., Radenkovid, B., & Stanojevid, M. (2009). Raunarska simulacija (T. IV). Beograd: Univerzitet

u Beogradu, Saobradajni fakultet i Fakultet organizacio