Embed Size (px)
Citation preview
Sveuciliste J. J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku
Nikolina Romic
Opcije na trzistima kriptovaluta
Diplomski rad
Osijek, 2018.
Sveuciliste J. J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku
Nikolina Romic
Opcije na trzistima kriptovaluta
Diplomski rad
Voditelj: izv. prof. dr. sc. Nenad Suvak
Osijek, 2018.
Sadrzaj
Uvod 1
1 Europske opcije i barijerne opcije 2
1. Europske put i call opcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2. Black - Sholes - Mertonova formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3. Barijerne knock-out i knock-in te up i down opcije . . . . . . . . . . . . 11
4. Formula za vrednovanje barijernih opcija . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Karakteristike virtualnog portfelja i kriptovaluta 15
1. Vrijednost portfelja i log-povrati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2. Bitcoin i log-povrati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3. Ether i log-povrati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4. Dash i log-povrati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5. Iota i log-povrati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Kontrola rizika uz vanilla opcije 30
1. Opcije za Bitcoin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2. Opcije za Ether i Dash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3. Opcije za Iotu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4. Kombiniranje scenarija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
i
4 Kontrola rizika uz barijerne opcije 34
1. Opcije za Bitcoin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2. Opcije za Ether i Dash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3. Opcije za Iotu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4. Kombiniranje scenarija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Sazetak 40
Kljucne rijeci 40
Abstract 41
Key words 41
Literatura 42
Zivotopis 43
ii
Uvod
Cijene dionica fluktuiraju u neprekidnom vremenu. Najveci problem pri kupovini
ili prodaji dionica jest naslutiti ili predvidjeti cijenu dionice u nekom vremenskom
periodu nakon kupovine ili prije prodaje. Potrebno je kontrolirati nastali rizik, a
obavljena kupovina ili prodaja uvelike ovise o stavu prema riziku osobe koja transakciju
obavlja. Veci rizik donosi veci prinos i obratno sto je mnogima velika motivacija za
trgovanje dionicama. Neke od mogucnosti kontroliranja rizika jesu Europske opcije.
Nacin na koji se mogu nearbitrazno vrednovati Europske opcije dan je:
• binarnim modelom u slucaju jednoperiodnog financijskog trzista u diskretnom
vremenu
• Cox - Ross - Rubinsteinovim modelom u slucaju n-periodnog financijskog trzista
u diskretnom vremenu
• Black - Sholes - Mertonovom formulom u slucaju financijskog trzista u neprekid-
nom vremenu
Ono cime je ovaj rad potaknut je zaokupiranost svjetske javnosti trgovanjem
kriptovalutama. Postavlja se pitanje mogu li se kriptovalute nearbitrazno vrednovati
na nacin slican vrednovanju dionica tj. uz pretpostavku postojanja opcija analognih
Europskim opcijama na trzistu dionica, nastoji se odrediti nearbitrazna cijena opcije
i na taj nacin rizik od trgovine kriptovalutama drzati pod nadzorom. U tu ce svrhu
u radu biti promotrene pretpostavke koje bi trebale biti zadovoljene te daljnja analiza
portfelja i vrednovanje opcija.
Portfelj je sastavljen od cetiri vrste kriptovaluta i novca polozenog u banku.
Pocetni novcani iznos je 150000 USD i od tog je novca dana 2. listopada 2017. godine
kupljeno 10 jedinica Bitcoina, 100 jedinica Ethera, 100 jedinica Dasha te 1000 jedinica
valute Iota. Jedinicne cijene su tog dana redom 4395.81, 302.48, 315.95 i 0.61818.
Preostali je iznos od 43580.72 polozen u banku uz kamatnu stopu od 1% uz dnevno
slozeno ukamacivanje. Vrijednosti kriptovaluta i iznosa u banci te vrijednost portfelja
promatrana je do dana 25. veljace 2018. godine, ukupno kroz 147 dana.
Pretpostavljeno je kako nema transakcijskih troskova te poreza i prireza na ka-
matu radi jednostavnosti, iako se obicno prilikom transakcije kriptovaluta obracunava
trosak u postotku od vrijednosti transakcije, primjerice 0.25% te se placa porez u pos-
totku od kamate.
1
Poglavlje 1
Europske opcije i barijerne opcije
Stav o riziku je osobna karakteristika, a ovisno o tom stavu, postoje osobe koje
se vise vole upustati u rizicnije pothvate i one koje to pak izbjegavaju. Kad je u
pitanju zarada, velik bi se broj ljudi ukljucio u trgovanje vrijednosnim papirima kad bi
zarada bila zagarantirana. Kako to nije slucaj, osobe koje nisu sklone prihvacanju vecih
rizika, nastoje pronaci vrijednosne papire manjeg rizika pri cemu je, prirodno, za takve
papire i prinos nizi. Stoga su se razvijale tehnike kontrole rizika kojima bi se umanjio
rizik i samim time povecala vjerojatnost ostvarivanja zarade. Medu najjednostavnijim
tehnikama kontrole rizika navode se Europske call i put opcije koje se nazivaju i vanilla
opcijama.
1. Europske put i call opcije
Definicija 1.1. Europska put (call) opcija je ugovor koji svojem vlasniku daje pravo,
ali ne i obvezu da u tocno odredeno vrijeme u buducnosti i po unaprijed dogovorenoj
cijeni proda (kupi) dogovorenu financijsku imovinu.
Tocno odredeno vrijeme u buducnosti iz definicije naziva se vremenom (trenutkom)
dospijeca, a unaprijed dogovorena cijena je cijena izvrsenja opcije.
Za osobu koja je vlasnik put opcije (u trenutku dospijeca opcije ima pravo prodati
vrijednosni papir) pogodna je situacija u kojoj je cijena vrijednosnog papira u trenutku
dospijeca opcije visa od cijene na trzistu u istom trenutku. Tada bi on svoju opciju is-
koristio i prodao vrijednosni papir te time biljezio profit u iznosu razlike cijene izvrsenja
2
i cijene na trsistu u trenutku dospijeca. U slucaju suprotne situacije, odnosno situacije
u kojoj je obratan odnos navedenih cijena, njegova bi zarada bila 0. Stoga je takvo
pravo kontrole rizika potrebno platiti odredenim iznosom premije. Na taj bi nacin
maksimalna zarada koju vlasnik opcije moze ostvariti iznosila razliku cijene dospijeca
i cijene na trzistu umanjenjenu za iznos premije, a maksimalni gubitak koji vlasnik
opcije moze trpiti je iznos premije koju je potrebno platiti prodavatelju opcije. Slicna
bi analiza slijedila u slucaju kad je osoba vlasnik call opcije gdje bi pogodna situacija
bila niza cijena izvrsenja nego sto je cijena na trzistu u trenutku dospijeca opcije.
Stoga, ako se s St oznaci vrijednost financijske imovine u trenutku t, s T vrijeme
izvrsenja, a s K cijena izvrsenja opcije, onda vrijedi da je vrijednost europske opcije
jednaka (K − ST )+ = maxK−ST , 0 ako je u pitanju put opcija, odnosno (ST −K)+za call opciju.
Glavno pitanje koje se postavlja prilikom vrednovanja opcija je kolika bi trebala biti
premija kako niti prodavatelj opcije niti kupac opcije ne bi trpili gubitke ili ostvarili
sigurnu zaradu, odnosno koliko iznosi nearbitrazna vrijednost premije na promatranu
opciju. Osim toga, potrebno je definirati i cijenu izvrsenja opcije kao iznos na koji bi
pristali i prodavatelj i kupac.
Na pitanje nearbitrazne visine premije nemoguce je odgovoriti bez postavljanja
odredenih uvjeta na trziste financijskom imovinom. U jednom od manje nerealnih
slucajeva, Black, Sholes i Merton dali su gotovu formulu za izracun nearbitrazne cijene
put i call opcija za sto su osvojili i Nobelovu nagradu 1997. godine.
Jedna od pretpostavki za koristenje Black - Sholes - Mertonove formule je mogucnost
trgovanja financijskom imovinom u neprekidnom vremenu. Predmet promatranja ovog
rada jesu kriptovalute, a kupovina i prodaja kriptovaluta zaista se moze obavljati u
neprekidnom vremenu. Stoga je ova pretpostavka za trziste kriptovaluta zadovoljena.
Preostale su pretpostavke navedene u sljedecem potpoglavlju.
3
2. Black - Sholes - Mertonova formula
Prije samog izvoda Black - Sholes - Mertovone formule potrebno je definirati osnovne
pojmove te iskazati nuzne teoreme koji su potrebni za izvod. Neki od pojmova koje je
potrebno poznavati su pojam Brownovog gibanja i geometrijskog Brownovog gibanja,
filtracije te martingala.
Definicija 1.2. Slucajni proces Bt, t ≥ 0 na vjerojatnosnom prostoru (Ω,F , P ) na-
ziva se Brownovo gibanje ako za njega vrijedi:
(i) B0 = 0 g.s.
(ii) Bt − Bs ∼ N(0, t − s), ∀t, s takve da je t > s ≥ 0, odnosno prirasti Brownovog
gibanja na jednako dugim vremenskim intervalima su jednako distribuirani
(iii) za sve 0 = t0 < t1 < t2 < ... < tm−1 < tm su Bt1 = Bt1 − Bt0, Bt2 − Bt1,
..., Btm − Btm−1 nezavisni, odnosno prirasti Brownovog gibanja na disjunktnim
vremenskim intervalima su nezavisni.
Definicija 1.3. Neka je (Ω,F , P ) vjerojatnosni prostor. Za familiju σ-algebri Ft, t ≥0 kazemo da je filtracija ako je to rastuca familija σ-algebri, odnosno Fs ⊆ Ft ∀s ≤ t.
Svaki slucajni proces Xt, t ≥ 0 ima svoju prirodnu filtraciju Ft, t ≥ 0, Ft =
σ(Xs, 0 < s < t). Ako postoji neka druga filtracija Ft, t ≥ 0 za koju vrijedi da je
σ(Xt) ⊆ Ft, odnosno filtracija takva da je Xt Ft-izmjeriva slucajna varijabla ∀t ≥ 0,
onda kazemo da je proces Xt adaptiran na filtraciju Ft. Svaki slucajan proces je
adaptiran na svoju prirodnu filtraciju. Ako je pak slucajan proces Xn, n ∈ N0 takav
da je za filtraciju Fn, n ∈ N0 Xn Fn−1-izmjeriva, onda kazemo da je Xn predvidiv
proces u odnosu na filtraciju Fn.
Definicija 1.4. Neka je Xt t ≥ 0 slucajan proces na vjerojatnosnom prostoru (Ω,F , P )
takav da je E [|Xt|] < ∞, ∀t ≥ 0 i Xt je adaptiran na filtraciju F = Ft, t ≥ 0.Xt je F-martingal ukoliko vrijedi
E [Xt|Fs] = Xs,∀s ≤ t.
4
Iz definicije slijedi kako je ocekivanje martingala konstantno. Naime, prema svoj-
stvima uvjetnog ocekivanja,
E[E[Xt|Fs]] = E[Xt] = E[Xs], ∀s ≤ t.
Moze se pokazati kako je Brownovo gibanje martingal u odnosu na svoju prirodnu
filtraciju.
Za potrebe definiranja dinamickog portfelja i arbitraze, neka je promatran vjerojat-
nosni prostor (Ω,F , P ) i F = Ft, t ∈ 0, 1, ...T filtracija. Neka je promatrana jedna
nerizicna financijska imovina cija je kolicina u trenutku t oznacena slucajnom varija-
blom ϕ0t i d ∈ N rizicnih financijskih imovina cije su kolicine u trenutku t oznacene
redom s ϕ1t , ϕ
2t , ..., ϕ
dt . U trenutku t = 0 investitor kreira portfelj ϕ1 =
(ϕ01, ϕ
11, ..., ϕ
d1
).
Njega drzi u vremenskom intervalu (0, 1], a u trenutku t = 1 ga moze rebalansirati i
stvoriti portfelj ϕ2. Prema tome, u trenutku t se stvara portfelj ϕt+1 na temelju svih
informacija skupljenih do trenutka t. Drugim rijecima, ϕt+1 je Ft izmjeriva, a proces
ϕ = (ϕt, t ∈ 0, 1, ...T) predvidiv u odnosu na filtraciju F.
Definicija 1.5. Portfelj ϕ = (ϕt, t ∈ 0, 1, ...T) iz gornjeg paragrafa koji je predvidiv
u odnosu na filtraciju F = Ft, t ∈ 0, 1, ..., T zove se dinamicki portfelj ili strategija
trgovanja.
Neka je s Sit oznacena vrijednost i-te financijske imovine u trenutku t. Tada je
vrijednost portfelja u trenutku t, u oznaci Vt(ϕt), dana skalarnim produktom slucajnih
vektora ϕt =(ϕ0t , ϕ
1t , ..., ϕ
dt
)i St =
(S0t , S
1t , ..., S
dt
),
Vt(ϕt) = 〈ϕt, St〉.
Definicija 1.6. Dinamicki portfelj ϕ je samofinancirajuci ako ∀t ∈ 0, 1, ..., T vrijedi
〈ϕt, St〉 = 〈ϕt+1, St〉.
Definicija 1.7. Dinamicki portfelj ϕ je arbitraza ako vrijede sljedeca svojstva:
(i) ϕ je samofinancirajuci
(ii) Vt(ϕt) ≥ 0, ∀t ∈ 0, 1, ..., T
(iii) V0(ϕ0) = 0
5
(iv) P (VT (ϕT ) > 0) > 0.
Ako investitor u trenutku t ima portfelj u vrijednosti Vt(ϕt) = 〈ϕt, St, 〉 i njega
rebalansira na portfelj ϕt+1 pri cemu su vrijednosti svih financijskih imovina nepromi-
jenjeni, onda je 〈ϕt+1, St〉 = 〈ϕt, St〉 sto znaci da je portfelj samofinancirajuci. Ako je
pak takav portfelj nenegativna slucajna varijabla cija je pocetna vrijednost jednaka 0,
a vjerojatnost da ce na kraju promatranog vremenskog intervala biti ostvarena dobit
pozitivna, onda je rijec o arbitrazi na financijskom trzistu.
Definicija 1.8. Neka je S0 pozitivna konstanta i proces Bt, t ≥ 0 Brownovo gibanje.
Geometrijsko Brownovo gibanje je slucajan proces St, t ≥ 0 gdje je
St = S0eσBt+(α− 1
2σ2)t, α ∈ R, σ > 0
koji je jako rjesenje stohasticke diferencijalne jednadzbe
dSt = αStdt+ σStdBt.
U slucaju financijskog trzista u neprekidnom vremenu, proces koji se najcesce ko-
risti za modeliranje cijene rizicne financijske imovine je geometrijsko Brownovo gibanje.
To je upravo pretpostavka za Black - Sholes - Mertonov model, pri cemu je S0 pocetna
cijena, a proces se uglavnom promatra za t ∈ [0, T ], za neki pozitivan realan broj T .
Kad bi se cijene rizicne financijske imovine modelirale geometrijskim Brownovim giba-
njem, to bi znacilo da pripadni log-povrati imaju normalnu distribuciju i medusobno
su nezavisni sto se moze vidjeti iz sljedeceg:
lnSt+dtSt
= σ(Bt+dt −Bt) + (α− 1
2σ2)dt ∼ N((α− 1
2σ2)dt, σ2dt).
Nezavisnost log-povrata (zbog nezavisnosti prirasta Brownovog gibanja) povlaci nji-
hovu neprediktivnost, a to je velik nedostatak ovakvog pristupa.
Gornja stohasticka diferencijalna jednadzba se moze zapisati u ekvivalentnom obliku
koji se cesto naziva naivnom interpretacijom stohasticke diferencijalne jednadzbe:
St+dt − StSt
= αdt+ σ(Bt+dt −Bt)
gdje se s lijeve strane jednakosti za dt = 1 dobija relativni povrat. Izracunom ma-
tematickog ocekivanja i varijance na obje strane i primjenom cinjenice da je BtBrownovo gibanje dobija se sljedeci rezultat:
E[St+dt − St
St
]= αdt
6
V ar
(St+dt − St
St
)= σ2dt.
Dakle, parametri α i σ geometrijskog Brownovog gibanja mogu se interpretirati kao
ocekivana (srednja) stopa povrata i standardna devijacija povrata (volatilnost, mjera
rizika na financijskom trzistu).
Ako je r intenzitet kamate koji se moze ostvariti polaganjem novca u gotovini u
banku, onda bi imalo smisla da je α > r zbog faktora rizika koji treba biti uracunat u
stopu povrata. Stoga se koeficijent α−r > 0 naziva premija na rizik i on je motivacijski
faktor za ulaganje u rizicnu financijsku imovinu.
Sljedeci je cilj pokazati i izvesti Black - Sholes - Mertonovu formulu za nearbitrazno
vrednovanje europskih put i call opcija. Za to je potrebno prvo promotriti identitet koji
pokazuje odnos izmedu vrijednosti call i put opcija u trenutku t, a naziva se call-put
paritet.
Neka je s CPUTt i CCALL
t oznacena vrijednost europske put, odnosno call opcije u
trenutku t ∈ [0, T ] za neku pozitivnu realnu konstantu T koja je vrijeme dospijeca
opcije. Ranije je navedeno kako je CPUTt = (K − St)+ te CCALL
t = (St −K)+. Stoga je
CCALLt − CPUT
t = maxSt −K, 0 −max0, K − St = St −K.
Pravedna cijena put, odnosno call opcije koju je potrebno platiti bila bi ocekivana di-
skontirana vrijednost opcije na sadasnje vrijeme uz sve dostupne informacije o trzistu
do sadasnjeg trenutka. Buduci da je to rizicna imovina, diskontiranje je potrebno na-
praviti uz vjerojatnost neutralnu na rizik, odnosnu takvu da se uz tu vjerojatnosnu
mjeru rizicna financijska imovina ponasa kao nerizicna. Pronaci takvu mjeru nije tri-
vijalno, ali njezino postojanje u promatranim uvjetima garantira Girsanovljev teorem,
no cak i vise od toga.
Teorem 1.1. (Girsanovljev teorem) Neka je Bt, t ∈ [0, T ] Brownovo gibanje na
vjerojatnosnom prostoru (Ω,F , P ) te neka je F = Ft, t ∈ [0, T ] njegova prirodna
fitracija. Tada je proces
Xt = e−qBt− 12q2t, q ∈ R
F-martingal. Relacija P ∗(A) = E [XtIA] za A ∈ F definira vjerojatnost na (Ω,F)
takvu da je P ∗ ' P i u odnosu na koju je proces Bt, t ∈ [0, T ]
Bt = Bt + qt, q ∈ R
Brownovo gibanje na (Ω,F , P ∗) adaptirano na F.1
1dokaz se moze pronaci na Z. Vondracek - Materijali s predavanja
7
Kao sto je ranije navedeno, pravedna bi cijena opcije bila ocekivana cijena rizicne fi-
nancijske imovine diskontirana na sadasnju vrijednost uz dostupne informacije o trzistu
do sadasnjeg trenutka, odnosno
CPUTt = E∗
[e−r(T−t)CPUT
T |Ft]
Iz tog izraza dalje slijedi niz jednakosti:
CPUTt = E∗
[e−r(T−t)(K − ST )+|Ft
]= E∗
[e−r(T−t)(K − S0e
σBT+(α− 12σ2)T )+|Ft
]= E∗
[e−r(T−t)(K − S0e
σ(BT−Bt+Bt)+(α− 12σ2)(T−t+t))+|Ft
]= E∗
[e−r(T−t)(K − Steσ(BT−Bt)+(α− 1
2σ2)(T−t))+|Ft
]Brownovo gibanje je Markovljev proces, sto znaci da za njega vrijedi Markovljevo
svojstvo koje govori da neposredna buducnost procesa ovisi samo o sadasnjosti i neo-
visna je o proslosti. Ovdje je Ft = σ(S1, S2, ..., St), St je transformacija Bt i primje-
njujuci Markovljevo svojstvo zakljucujemo kako St ovisi samo o Bt, a ne o ranijim
vrijednostima. Iz tog razloga dovoljno je uvjetovati samo na σ(St) umjesto Ft.Neka je dana funkcija c(t, x) s
c(t, x) := E∗[e−r(T−t)(K − xeσ(BT−Bt)+(α− 1
2σ2)(T−t))+
]Tada je c(t, St) = CPUT
t .
Ako se stavi Bu = Bu + α−rσu, onda bi prema Girsanovljevom teoremu uz q = α−r
σ
proces Bt, t ∈ [0, T ] bio Brownovo gibanje na vjerojatnosnom prostoru (Ω,F , P ∗)gdje je vjerojatnosna mjera zadana s P ∗(A) = E [StIA] za A ∈ F . Za tako definiran
proces vrijedi
Bu = Bu +α− rσ
u
σBu = σBu + (α− r)uσ(BT − Bt) = σ(BT −Bt) + (α− r)(T − t).
Koristeci to prilikom izracuna gornjeg matematickog ocekivanja, slijedi
c(t, x) = E∗[(Ke−r(T−t) − xeσ(BT−Bt)− 1
2σ2(T−t))+
]Buduci da je slucajna varijabla u eksponentu komponenta Brownovog gibanja na
istom vjerojatnosnom prostoru kao i promatrano matematicko ocekivanje, moze se dalje
8
racunati prema definiciji matematickog ocekivanja. Uz to je potrebno primijetiti kako
je BT−Bt ∼ N(0, T−t) pa je promatrana slucajna varijabla cije je ocekivanje potrebno
izracunati transformacija normalno distribuirane slucajne varijable s ocekivanjem 0 i
varijancom T − t.
c(t, x) =
∫ ∞−∞
(Ke−r(T−t) − xeσy−12σ2(T−t))+
1√2π(T − t)
e−y2
2(T−t) dy
Za dani je integral podintegralna funkcija razlicita od 0 jedino u slucaju kad je
xeσy−12σ2(T−t) < Ke−r(T−t), odnosno, onda kad je
y < − 1
σ
(lnx
K+
(r − 1
2σ2
)(T − t)
).
Ako se desni izraz prozove s −d2, onda preostaje izracunati
c(t, x) =1√
2π(T − t)
∫ −d2−∞
(Ke−r(T−t) − xeσy−12σ2(T−t))e−
y2
2(T−t) dy.
Nakon mnozenja, koristenja supstitucije y = −z te razdvajanjem na dva integala,
dobija se da je R = I1 − I2 pri cemu su I1 i I2 izracunati u nastavku:
I1 =Ke−r(T−t)√2π(T − t)
∫ ∞d2
e−z2
2(T−t) dz
(supstitucija
z√T − t
= u
)=
Ke−r(T−t)√2π(T − t)
∫ ∞d2√T−t
e−u2
2
√T − t du
= Ke−r(T−t)∫ ∞
d2√T−t
1√2πe−
u2
2 du
= Ke−r(T−t) ·(
1− Φ
(d2√T − t
))= Ke−r(T−t) · Φ
(− d2√
T − t
)gdje je Φ funkcija distribucije standardne normalne slucajne varijable, a posljednja
jednakost vrijedi zbog simetricnosti te distribucije oko 0. Slicno se dobije za I2 gdje se
definira vrijednost d1 = d2 + σ(T − t) pa je rezultat
I2 = x · Φ(− d1√
T − t
).
Sada je
c(t, x) = Ke−r(T−t) · Φ(− d2√
T − t
)− x · Φ
(− d1√
T − t
).
9
Trazena vrijednost je CPUTt = c(t, St) i ona je u konacnici dana formulom:
CPUTt = Ke−r(T−t) · Φ
(− d2√
T − t
)− St · Φ
(− d1√
T − t
).
Potrebno je jos pokazati izraz za CCALLt , a taj se izraz lako dobije koristenjem
call-put pariteta koji je vec ranije naveden:
CCALLt − CPUT
t = E∗[e−r(T−t)(CCALL
T − CPUTT )|Ft
]= E∗
[e−r(T−t)(ST −K)|Ft
]= E∗
[e−r(T−t)ST |Ft
]− E∗
[e−r(T−t)K|Ft
]= St −Ke−r(T−t).
Druga jednakost slijedi iz spomenutog call-put pariteta dok posljednja jednakost sli-
jedi iz toga sto je P ∗ takva vjerojatnosna mjera uz koju se rizicna financijska imovina
ocekivano ponasa kao nerizicna pa je vrijednost u trenutku t jednaka ocekivanoj diskon-
tiranoj vrijednosti na sadasnju vrijednost. Iz gornjeg izraza i iz izraza za CPUTt direktno
slijedi izraz za CCALLt uz koristenje svojstva simetricnosti funkcije gustoce standardne
normalne slucajne varijable:
CCALLt = St · Φ
(d1√T − t
)−Ke−r(T−t) · Φ
(d2√T − t
)d1 =
1
σ
(lnStK
+
(r +
1
2σ2
)(T − t)
)d2 =
1
σ
(lnStK
+
(r − 1
2σ2
)(T − t)
).
Dobivena dva izraza za CPUTt i CCALL
t se nazivaju Black - Sholes - Mertonovom for-
mulom za vrednovanje europskih put i call opcija na financijskom trzistu u neprekid-
nom vremenu. U daljnjem ce se radu koristenjem tih formula u programskom paketu
R nastojati povecati dobit odabranog portfelja.
10
3. Barijerne knock-out i knock-in te up i down op-
cije
Barijerne opcije ukljucuju barijeru ili ogranicenje u vrijednosti financijske imovine
koje treba ili ne smije biti zadovoljeno za ostvarenje prava iz ugovora, a mogu se
primijeniti na razlicite tipove opcija. U radu su analizirane europske barijerne opcije
i u daljnjem tekstu ce se na njih referirati samo s nazivom barijerne opcije, iako je
moguce pronaci i barijerne americke opcije i neke druge.
Osnovne dvije vrste barijernih opcija su barijerne knock-in i knock-out opcije.
Knock-in opcije su one za koje je opcija nevrijedeca sve dok ne dosegne barijeru,
a tada postaje obicna vanilla opcija, ukoliko se to dogodi prije trenutka dospijeca.
Knock-out opcija je takva da u slucaju dosezanja barijere postaje nistavna, a ako vri-
jednost financijske imovine ne dosegne barijeru u dogovorenom roku, onda je opcija
vanilla opcija.
S obzirom na odnos izmedu pocetne vrijednosti financijske imovine i visine barijere,
barijerne opcije mogu biti up i down opcije. Up opcije su one za koje je barijera iznad
pocetne vrijednosti financijske imovine i ukoliko vrijednost dosegne barijeru, to moze
biti samo odozdo. Down opcije su one za koje je barijera ispod pocetne vrijednosti
financijske imovine i ukoliko vrijednost dosegne barijeru, to moze biti samo odozgo.
Prilikom definiranja barijerne opcije, potrebno je definirati i tip opcije te visinu ba-
rijere. Tako postoje cetiri moguce kombinacije, a to su: down-and-in, up-and-in, down-
and-out te up-and-out. Osim toga, opcije i dalje mogu biti ili put ili call. Na taj nacin
se dobija osam mogucih kombinacija za barijerne opcije s pripadnim skracenicama.
Naziv Skracenica Polozaj barijere Nakon dosezanja barijere
down-and-in call opcija cdi ispod pocinje vrijeditiup-and-in call opcija cui iznad pocinje vrijediti
down-and-out call opcija cdo ispod nistavnaup-and-out call opcija cuo iznad nistavna
down-and-in put opcija pdi ispod pocinje vrijeditiup-and-in put opcija pui iznad pocinje vrijediti
down-and-out put opcija pdo ispod nistavnaup-and-out put opcija puo iznad nistavna
Tablica 1.1: Vrste barijernih opcija
11
Neka je dan primjer investitora koji kupuje down-and-in put opciju koja pocinje
vrijediti nakon sto vrijednost imovine dosegne barijeru koja se nalazi ispod pocetne
vrijednosti, a posjedovanje te opcije daje investitoru pravo prodati imovinu po dogo-
vorenoj cijeni. Neka je trenutna vrijednost promatrane rizicne financijske imovine 500
u nekoj proizvoljnoj valuti, cijena izvrsenja dogovorena opcijom 400, a barijera 300.
To znaci da u slucaju pada vrijednosti imovine do 300, pocinje vrijediti opcija u kojoj
financijsku imovinu investitor moze prodati po cijeni od 400. On to moze uciniti ako
sluti da ce cijena imovine jako opasti, a na ovaj nacin se moze zastititi od pretjeranog
pada cijene i prodati ju u trenutku dospijeca za mozda veci iznos nego sto bi to bio
na trzistu. Neka druga osoba pak moze smatrati ovakav scenarij malo vjerojatnim i
vidjeti s druge strane zaradu na premiji pa moze ovakvu opciju prodati.
Za drugi primjer neka je promatran investitor koji kupuje down-and-out call opciju,
odnosno kupuje pravo da u trenutku dospijeca kupi financijsku imovinu po dogovore-
noj cijeni, ali ukoliko cijena imovine dosegne razinu barijere koja je ispod pocetne
vrijednosti imovine, onda se to pravo ponistava. Neka je pocetna cijena 500 u nekoj
proizvoljnoj valuti, cijena dospijeca 400 i barijera 300. To bi znacilo da ukoliko cijena
financijske imovine ne padne na razinu 300, onda ju investitor moze kupiti u trenutku
dospijeca po cijeni od 400, u protivnom je opcija nistavna, a on na trzistu moze kupiti
tu financijsku imovinu po cijeni od 300.
Barijerne opcije su opcenito jeftinije od vanilla opcija i to moze biti jos jedan
dodatan motivacijski faktor za kupovinu tih opcija. Osim navedenih barijernih opcija,
postoje i barijerne opcije s dvostrukom barijerom: barijerom odozgo i odozdo koja
moze poceti vrijediti nakon sto cijena financijske imovine izade iz intervala barijera
ili onakva koja vrijedi samo ako cijena financijske imovine ne izade iz intervala kojeg
zatvaraju barijere, ali takve opcije nece biti promatrane.
U sljedecem potpoglavlju bit ce izvedena formula za vrednovanje jedne vrste bari-
jernih opcija.
12
4. Formula za vrednovanje barijernih opcija
Izvod formule za vrednovanje barijernih opcija velikim dijelom prati izvod u slucaju
vanilla opcija. Jedina razlika koju treba uzeti u obzir jest barijera.
Neka su promatrane dvije opcije istog tipa pri cemu se razliku u tome sto je jedna
out, a druga in. Jedna ce vrijediti ako vrijednost imovine ne dosegne barijeru i bit
ce vanilla opcija dok bi tada druga opcija bila nistavna i obratno. Stoga se vidi kako
vrijedi in-out paritet :
vanilla opcija = odgovarajuca out opcija + odgovarajuca in opcija
Neka je dalje promatrana down-and-out call opcija. Vrijednost takve opcije u trenutku
t u oznaci CCDOt moze se izracunati na analogan nacin kao sto je to bilo u Black -
Sholes - Mertonovom modelu. Stoga neka vrijede sve pretpostavke Black - Sholes -
Mertonovog modela. Buduci da je u pitanju out opcija, vrijednost imovine u trenutku
t treba biti veca od iznosa barijere kako bi opcija bila vrijedeca, a jer je u pitanju down
opcija, to implicira da je cijena izvrsenja visa od iznosa barijere, odnosno:
K > B, St > B.
Neka je P ∗ vjerojatnost neutralna na rizik iz Black - Sholes - Mertonovog modela.
Buduci da je opcija nistavna ukoliko vrijednost imovine dosegne barijeru, a u suprotnom
je vanilla opcija, vrijednost opcije u trenutku t se moze racunati po formuli:
CCDOt = E∗
[e−r(T−t)(ST −K)+ · ISt>B|Ft
]gdje je IA indikator slucajna varijabla. Slicno kao ranije, uz iste argumente, dobija se:
CCDOt = E∗
[(Ste
σ(BT−Bt)+(α− 12σ2−r)(T−t) −Ke−r(T−t))+ · ISt>B|σ (St)
].
Neka je definirana funkcija c(t, x) na sljedeci nacin:
c(t, x) := E∗[(xeσ(BT−Bt)+(α− 1
2σ2−r)(T−t) −Ke−r(T−t))+ · Ix>B
].
Tada je c(t, St) = CCDOt . U ovom se trenutku moze primijeniti Girsanovljev teorem
prema kojem je Bt Brownovo gibanje na vjerojatnosnom prostoru (Ω,F , P ∗). Tada
je σ(BT − Bt) = σ(BT − Bt) + (α − r)(T − t). Osim toga, vrijedi da je BT − Bt ∼N(0, T − t) pa je slucajna varijabla cije ocekivanje treba izracunati transformacija
normalno distribuirane slucajne varijable s ocekivanjem 0 i varijancom T − t.
13
Potrebno je, dakle, izracunati integral po skupu R takve transformacije. Za slucajnu
varijablu cije ocekivanje treba izracunati poznato je da se ona razlikuje od 0 u slucajevima
kad je umanjenik u zagradi veci od umanjitelja i istovremeno mora vrijediti da je x > B.
Ako je varijabla u integralu y, onda za y mora vrijediti
− 1
σ
(lnx
K+
(r − 1
2σ2
)(T − t)
)< y < − 1
σ
(lnB
K+
(r − 1
2σ2
)(T − t)
)gdje se prva nejednakost dobila iz prvog navedenog uvjeta, a druga nejednakost dolazi
od toga sto je x > B.
Izraz s lijeve strane je od ranije poznat i oznacen je s −d2, a desni izraz neka bude
oznacen s −d4. Preostaje izracunati∫ −d4−d2
(xeσy−12σ2(T−t) −Ke−r(T−t)) 1√
2π(T − t)e−
y2
2(T−t) dy = I1 − I2.
Oba su integrala slicna onima u izvodu Black - Sholes - Mertonove formule, jedinu
razliku cine granice integracije. Prigodnom supstitucijom se integrali svedu na integrale
funkcije gustoce standardne normalne distribucije pri cemu su granice integracije
d4 + σ(T − t)√T − t
=:d3√T − t
, kao donja, a gornjad2 + σ(T − t)√
T − t)=:
d1√T − t
odnosno,d4√T − t
kao donja, a gornjad2√T − t
.
Dobiva se sljedece rjesenje za c(t, St):
CCDOt = St·
(Φ
(d1√T − t
)−Φ
(d3√T − t
))−Ke−r(T−t)·
(Φ
(d2√T − t
)−Φ
(d4√T − t
)).
Zbog in-out pariteta vrijedi
CCDOt + CCDI
t = CCALLt
stoga,
CCDIt = CCALL
t − CCDOt
= St · Φ(
d1√T − t
)−Ke−r(T−t) ·
(d2√T − t
)− St · Φ
(d1√T − t
)+ St · Φ
(d3√T − t
)+Ke−r(T−t) · Φ
(d2√T − t
)−Ke−r(T−t)Φ
(d4√T − t
)= St · Φ
(d3√T − t
)−Ke−r(T−t)Φ
(d4√T − t
).
14
Poglavlje 2
Karakteristike virtualnog portfelja ikriptovaluta
1. Vrijednost portfelja i log-povrati
Vrijednost promatranog virtualnog portfelja u trenutku t bit ce oznacena s Vt. Za
portfelj koji je definiran u uvodu, vrijednost portfelja u pocetnom trenutku iznosi
V0 = 150000 USD.
Osnovna deskriptivna obiljezja vrijednosti portfelja u vremenskom periodu od 2.
listopada 2017. do 25. veljace 2018. dana su sljedecom tablicom.
Minimum Donji kvartil Medijan Aritmeticka sredina Gornji kvartil Maksimum146247 174108 284898 279547 353676 456691
Tablica 2.1: Deskriptivna statistika vrijednosti portfelja
Prema tablici moze se zakljuciti kako je ovakvim portfeljom u 147 promatranih
dana zabiljezen profit od barem 24108 USD u 110 dana, dok je profit od barem 129547
zabiljezen u 78 dana. Maksimalna dobit koja se u promatranom vremenskom razdoblju
ostvarila iznosi 306691 USD sto je cista dobit koja je duplo veca od ulozenog, odnosno
takvim portfeljom mogao se vratiti ulog i ostvariti dobit u navedenom iznosu.
Neki graficki prikazi mogu dati bolji uvid u distribuciju varijable vrijednost port-
felja. Ovdje su u tu svrhu prilozeni trajektorija vrijednosti portfelja i histogram frek-
vencija.
15
(a) Trajektorija vrijednosti portfelja (b) Histogram
Slika 2.1: Trajektorija vrijednosti portfelja i histogram vrijednosti portfelja
Prema trajektoriji vrijednosti portfelja moze se primjetiti veliki rast vrijednosti
portfelja tijekom prosinca i krajem 2017. te pocetkom 2018. godine jace oscilacije u
vrijednosti koje poprimaju i padajuci i rastuci karakter s jacom tendencijom pada sto
rezultira znatno nizom vrijednosti portfelja na koncu veljace 2018. godine.
Na osnovu log-povrata donose se mnogi zakljucci i zato je potrebno promotriti nji-
hovu distribuciju. Potrebno je pronaci interval na kojem se ne odbacuje hipoteza o
normalnosti distribucije log-povrata kako bi se vrijednost portfelja mogla modelirati
geometrijskim Brownovim gibanjem sto je osnovna pretpostavka, a potom uz odredene
mogucnosti kontrole rizika i povecanja profita (sto je ucinjeno u radu) racunati vrijed-
nosti europskih call i put opcija koristeci Black - Sholes - Mertonovu formulu analogno
onome kako bi se koristilo za neku od uobicajenih rizicnih financijskih imovina. Osim
te pretpostavke, potrebno je zadovoljiti i pretpostavku o nekoreliranosti log-povrata
na odabranom intervalu.
Stoga je prvo provjerena pretpostavka normalnosti. U tu je svrhu prilozen graf
procijenjene funkcije gustoce u usporedbi s funkcijom gustoce normalne distribucije s
ocekivanjem −0.0044 i varijancom 0.0022 koji odgovaraju procjenama za ocekivanje i
varijancu log-povrata te qqPlot koji pokazuje kvantile normalne distribucije i kvantile
empirijske distribucije.
16
(a) Procjena funkcije gustoce log-povrata i graffunkcije gustoce N(−0.0044, 0.0022) distribu-cije
(b) qqPlot
Slika 2.2: Graf procijenjene funkcije gustoce i qqPlot za log-povrate
Na temelju Anderson - Darling testa za normalnost na razini znacajnosti 0.05 od-
bacuje se nul-hipoteza (p-vrijednost iznosi 0.000121) i tvrdi kako log-povrati nisu nor-
malno distribuirani, a to podupire i qqPlot gdje je izrazeno repno odstupanje te se na
grafu funkcija gustoca vidi kako procijenjena funkcija gustoce nije dobro opisana funk-
cijom gustoce normalne distribucije s gore navedenim koeficijentima, posebno u okolini
nule jer na tom dijelu procijenjena funkcija gustoce postize vise vrijednosti. Zbog toga
je potrebno naci neki drugi vremenski period, podskup promatranog, na kojem se ne
bi odbacila nul-hipoteza o normalnosti.
Ako se za vektor log-povrata uzmu podatci od posljednjih 90 dana, tocnije od 28.
studenog 2017. do 25. veljace 2018., onda se moze donijeti drugaciji zakljucak na
temelju sljedece deskriptivne statistike, grafickih prikaza i testova.
Minimum Donji kvartil Medijan Aritmeticka sredina Gornji kvartil Maksimum-0.112030 -0.043165 -0.006319 -0.001650 0.035959 0.176122
Tablica 2.2: Deskriptivna statistika log-povrata na kracem vremenskom intervalu
Na osnovu veoma male razlike izmedu aritmeticke sredine i medijana moze se nas-
lutiti simetricnost distribucije.
17
(a) Procjena funkcije gustoce log-povrata nakracem vremenskom intervalu i graf funkcijegustoce N(−0.0017, 0.0034) distribucije
(b) qqPlot
Slika 2.3: Graf procijenjene funkcije gustoce i qqqPlot za log-povrate na kracemvremenskom intervalu
Na osnovu prvog grafickog prikaza moze se naslutiti kako bi podatci mogli biti opi-
sani normalnom distribucijom. Hipoteza o normalnosti testirana je sljedecim testovima
uz pripadne p-vrijednosti:
Vrsta testa p-vrijednostShapiro - Wilk 0.08589Jarque - Bera 0.06622
Anderson - Darling 0.2081
Tablica 2.3: Testiranje hipoteze o normalnosti log-povrata na kracem vremenskomintervalu - p-vrijednosti
Provedeni testovi na razini znacajnosti 0.05 ne daju razloga za sumnju u normalnost
distribucije log-povrata na kracem vremenskom intervalu. Drugi graficki prikaz ovu
tvrdnju potkrepljuje jer su sve tocke unutar granica pouzdanog intervala. Osim toga,
potrebno je testirati hipotezu o nekoreliranosti log-povrata. To je provedeno Durbin -
Watsonovim testom (paket car). Na osnovu dobivene vrijednosti donose se zakljucci na
sljedeci nacin: vrijednost jednaka 2 upucuje na nekoreliranost, manja od 2 na pozitivnu
autokorelaciju, a veca od 2 na negativnu. Buduci da dobiven rezultat iznosi 2.02763 ne
odbacuje se hipoteza o nekoreliranost log-povrata na kracem vremenskom intervalu.
U istu je svrhu promotrena i uzoracka funkcija autokorelacija log-povrata na kracem
vremenskom intervalu koja sugerira jednak rezultat buduci da se sve vrijednosti za po-
zitivne lagove nalaze unutar granica pouzdanog intervala.
18
Slika 2.4: Uzoracka funkcija autokorelacija za log-povrate na kracem vremenskomintervalu
2. Bitcoin i log-povrati
Bitcoin je kao najpopularnija kriptovaluta dozivio velik porast u cijeni u 2017.
godini. 1. sijecnja 2017. godine cijena je iznosila 998.99 USD 1. Do trenutka kad je
obavljena kupovina za promatrani portfelj, 2. listopada 2017., cijena se ucetverostrucila
i iznosila je 4395.81 USD. U nastavku je dana deskriptivna statistika za cijenu jednog
Bitcoina te neki graficki prikazi.
Minimum Donji kvartil Medijan Aritmeticka sredina Gornji kvartil Maksimum4230 6900 9907 10234 13802 19476
Tablica 2.4: Deskriptivna statistika Bitcoina
1informacija sa stranice www.investing.com
19
(a) Trajektorija Bitcoina (b) Kutijasti dijagram
Slika 2.5: Trajektorija i kutijasti dijagram cijene Bitcoina
Prosjecna cijena jednog Bitcoina iznosila je 10234 USD, dok je najveca postignuta
cijena u ovom periodu (cak ikada) iznosila 19476 USD. Nakon sto je Bitcoin dosegao taj
najveci iznos, poceo je gubiti na cijeni, a kretanje je slicno kao sto je kretanje ukupne
vrijednosti portfelja. Prema kutijastom dijagramu vidljiva je veca razlika izmedu me-
dijana i maksimuma nego sto je izmedu medijana i minimua, a u 50% promatranog
vremena je cijena Bitcoina bila u rasponu od 4230 do 9907 USD.
(a) Procjena funkcije gustoce log-povrata Bitcoina i graf funkcije gustoceN(−0.0055, 0.0039) distribucije
(b) qqPlot
Slika 2.6: Graf procijenjene funkcije gustoce i qqPlot za log-povrate Bitcoina
Promatrajuci graficke prikaze za log-povrate Bitcoina, moze se uociti nekoliko
tocaka koje odstupaju od pouzdanog intervala za kvantile normalne distribucije. Sha-
20
piro - Wilkov test daje p-vrijednost 0.1118 sto ne sugerira odbacivanje nul-hipoteze o
normalnosti log-povrata. Jarque - Bera test usporeduje odgovaraju li koeficijenti asi-
metrije i spljostenosti koeficijentima kod normalne distribucije. U ovoj situaciji ima
smisla promatrati spljostenost procijenjene funkcije gustoce jer se na grafickom prikazu
ocituje veca spljostenost nego u slucaju normalne distribucije s parametrima −0.0055
i 0.0039. Tu slutnju je potkrijepio Jarque - Bera test koji daje p-vrijednost 0.03922 sto
je manje od 0.05 pa se na razini znacajnosti 0.05 odbacuje nul-hipoteza o normalnosti
log-povrata. Kad bi se iz promatranja iskljucilo prvih 6 i posljednja 4 podatka, dobi-
vaju se sljedece p-vrijednosti te se na razini znacajnosti 0.05 ne odbacuje nul-hipoteza
o normalnosti ovako restringiranog niza log-povrata cijene Bitcoina:
Vrsta testa p-vrijednostShapiro - Wilk 0.1586Jarque - Bera 0.07264
Anderson - Darling 0.05715
Tablica 2.5: Testiranje hipoteze o normalnosti log-povrata Bitcoina - p-vrijednosti
Niz log-povrata Bitcoina na kracem vremenskom intervalu na kojemu se ne odba-
cuje hipoteza o normalnosti ce zbog jednostavnosti u daljnjem radu biti nazvan nizom
restringiranih log-povrata Bitcoina.
Vrijednost Durbin - Watsonovog testa je 1.798473 sto je manje od pozeljne vrijed-
nosti 2. Stoga ce nekoreliranost biti pomnije promotrena. Iz tog je razloga prilozena
uzoracka funkcija autokorelacija i p-vrijednosti Ljung-Boxove statistike.
(a) Uzoracka funkcija autokorelacija (b) p-vrijednosti Ljung-Boxove statistike
Slika 2.7: Uzoracka funkcija autokorelacija i p-vrijednosti Ljung-Boxove statistike zarestringirane log-povrate Bitcoina
21
Na osnovu ova dva graficka prikaza se na razini znacajnosti 0.05 ne odbacuje nul-
hipoteza o nekoreliranosti restringiranih log-povrata Bitcoina jer su sve vrijednosti na
prvom grafickom prikazu unutar granica pouzdanog intervala. Nul-hipoteza za Ljung-
Boxov test je da su svi koeficijenti korelacije na koracima 1, ..., k, gdje je k ∈ N najblizi
broju lnn za broj podataka n jednaki nuli i suprotstavlja joj se alternativna hipoteza u
kojoj stoji da postoji barem jedan koeficijent korelacije na koraku 1, ..., k koji je razlicit
od nule. Buduci da su na desnom grafickom prikazu sve p-vrijednosti vece od razine
znacajnosti 0.05 ne odbacuje se nul-hipoteza o nekoreliranosti.
3. Ether i log-povrati
U portfelju je 100 jedinica kriptovalute Ethera. Cijena po kojoj je Ether kupljen
je 302.48 USD, maksimalna postignuta cijena je 1395.5 USD, dok je prosjecna cijena
Ethera 648.6 USD.
(a) Trajektorija (b) Histogram relativnih frekvencija
Slika 2.8: Trajektorija i histogram relativnih frekvencija cijene Ethera
Ono sto se moze zakljuciti iz prvog grafickog prikaza jest slicno kretanje u cijeni kao
sto je bilo kretanje cijene Bitcoina i vrijednosti portfelja, ali mozda malo zakasnjelo.
Nesto kasnije je analizirana povezanost izmedu promatranih kriptovaluta.
Testiranjem hipoteze o normalnosti log-povrata za cijenu Ethera na razini
znacajnosti 0.05 i s p-vrijednoscu 0.004129 odbacuje se nul-hipoteza. Sada opet dolazi
22
potreba za restringiranjem skupa podataka. U slucaju Ethera, hipoteza o normalnosti
se ne odbacuje za vremenski period od 18. studenog 2017. do 25. veljace 2018. godine
na temelju testova u tablici.
Vrsta testa p-vrijednostShapiro - Wilk 0.4583Jarque - Bera 0.2563
Anderson - Darling 0.4312
Tablica 2.6: Testiranje hipoteze o normalnosti log-povrata Ethera - p-vrijednosti
Nadalje su log-povrati na navedenom vremenskom intervalu nazvani restringirani
log-povrati.
Vrijednost Durbin - Watsonovog testa za ovako definirane log-povrate je 1.765022.
Potrebno je promotriti uzoracku funkciju autokorelacija i p-vrijednosti Ljung-Boxove
statistike kako bi se donijeli zakljucci.
(a) Uzoracka funkcija autokorelacija (b) p-vrijednosti Ljung-Boxove statistike
Slika 2.9: Uzoracka funkcija autokorelacija i p-vrijednosti Ljung-Boxove statistike zarestringirane log-povrate Ethera
Na temelju lijevog grafickog prikaza moze se primijetiti kako su svi koeficijenti unu-
tar granica pouzdanog intervala. Desni graficki prikaz pokazuje p-vrijednosti Ljung -
Boxove statistike do laga 10 i prema njima se ne odbacuje nul-hipoteza o nekoreliranosti
na razini znacajnosti 0.05.
Na temelju grafickih prikaza trajektorija cijene Bitcoina i Ethera, cijene se na neki
nacin slicno krecu. Buduci da su oni vremenski nizovi, njihova zavisnost se ne moze
provjeriti koristeci koeficijent korelacije. Potrebno je provjeriti njihovu kointegraciju.
23
Definicija 2.1. Slucajni proces Xt, t ∈ T je stacionaran (slabo stacionaran ili sta-
cionaran u sirem smislu) ako vrijedi:
(i) E [X2t ] <∞, ∀t ∈ T
(ii) E [Xt] = c, c ∈ R, ∀t ∈ T
(iii) Cov(Xt, Xt+h) = E [(Xt − E [Xt])(Xt+h − E [Xt+h])] ovisi samo o h, ∀t ∈ T .
Neka je s ∆Xt, t ∈ T oznacen proces prirasta procesa Xt, t ∈ T. Neka je s B
oznacen operator diferenciranja takav da je BXt = Xt−1. Vrijedi:
∆Xt = Xt −Xt−1 = Xt −BXt = (1−B)Xt, ∀t ∈ T.
Ako se slucajni proces Xt, t ∈ T moze reprezentirati kao ARIMA(p, d, q) proces,
onda koeficijent d stoji kao potencija faktora 1 − B, odnosno potencija faktora 1 −z u odgovarajucem karakteristicnom polinomu2. Stoga se provjeravanjem postoji li
jedinicna nultocka tog polioma moze ispitati ima li smisla proces diferencirati barem
jednom.
Definicija 2.2. Dva nestacionarna procesa Xt, t ∈ T i Yt, t ∈ T su kointegrirani
ako su zadovoljena sljedeca svojstva:
(i) procesi ∆Xt, t ∈ T i ∆Yt, t ∈ T su stacionarni
(ii) postoji β 6= 0 takav da je proces Yt − βXt, t ∈ T stacionaran.
Prvo je potrebno provjeriti jesu li nizovi cijena Bitcoina i Ethera takvi koji jed-
nim diferenciranjem postaju stacionarni nizovi. Stacionarnost se ne moze testirati, ali
Dickey - Fuller test koji testira postojanje jedinicnog korijena pomaze pri tome. Uko-
liko se ne odbaci nul-hipoteza, onda ima smisla diferencirati polazni niz. Ukoliko se
prihvati alternativna hipoteza o nepostojanju jedinicnog korijena, onda se treba pro-
motriti trajektorija niza i na osnovu nje donijeti neke zakljucke. Dickey - Fuller test za
cijenu Bitcoina daje p-vrijednost 0.7673 sto znaci neodbacivanje hipoteze o postojanju
jedinicnog korijena na razini znacajnosti 0.05, a to implicira kako ima smisla diferen-
cirati niz cijena Bitcoina cime se dobija niz log-povrata Bitcoina. Dickey - Fuller test
za cijenu Ethera daje p-vrijednost 0.5279 sto rezultira istim slijedom dogadaja kao za
Bitcoin na razini znacajnosti 0.05. Dalje se promatraju log-povrati Bitcoina i Ethera.
2za vise informacija pogledati J. D. Cryer, K-S. Chan - Time Series Analysis With Application inR
24
Ponovnim pozivanjem Dickey - Fuller testa, ovaj put na log-povratima Bitcoina i Et-
hera, dobivaju se p-vrijednosti redom < 0.01, 0.01211 cime se na razini znacajnosti 0.05
prihvaca alternativna hipoteza o nepostojanju jedinicnog korijena.
(a) Trajektorija log-povrata Bitcoina (b) Trajektorija log-povrata Ethera
Slika 2.10: Trajektorije log-povrata Bitcoina i Ethera
Na temelju prilozenih trajektorija, primjecuje se jednolika rasprsenost log-povrata
oko nule na oba graficka prikaza s vecim oscilacijama na odredenim dijelovima. Podatci
bi se mogli podijeliti na dva dijela s obzirom na vremenski interval s povisenom vari-
jabilnoscu i na onaj s manjom. Tada bi promatrani procesi mogli biti na oba intervala
shvaceni kao stacionarni procesi. Unatoc tome, dalje je testirana nekointegriranost.
Nekointegriranost se moze provjeriti Phillips-Ouliarisovim kointegracijskim testom
koji za svoju nul-hipotezu ima nekointegriranost, dok je kointegriranost u alternativnoj
hipotezi. Testirana je hipoteza o nekointegriranosti izmedu cijene Bitcoina i cijene
Ethera, a dobivena p-vrijednost iznosi 0.15 sto ne sugerira odbacivanje nul-hipoteze na
razini znacajnost 0.05.
Jedna od taktika prilikom sastavljanja portfelja je odabirati financijsku imovinu
koja medusobno nije kointegrirana (ili korelirana u slucaju nezavisnih mjerenja) jer u
tom slucaju gubitak na jednoj financijskoj imovini ne implicira lancanu reakciju kao
sto je to moguce u slucaju kointegracije medu odabranom financijskom imovinom. U
stvarnosti je tesko pronaci dvije rizicne financijske imovine koje su nekointegrirane zbog
isprepletenosti trzista.
25
4. Dash i log-povrati
Cijena po kojoj je Dash kupljen iznosila je 315.95 USD. Minimalna postignuta
cijena u promatranom vremenskom periodu iznosila je 263.9 USD, maksimalna 1555.6
USD, a prosjecna 666.6 USD.
(a) Trajektorija (b) Histogram relativnih frekvencija
Slika 2.11: Trajektorija i histogram relativnih frekvencija cijene Dasha
Slicno kao i ranije, potrebno je pronaci manji vremenski interval na kojemu
bi provodenje testova normalnosti na log-povratima rezultiralo neodbacivanjem nul-
hipoteze o normalnosti, jer na razini znacajnost 0.05 dolazi do odbacivanja nulhipoteze
o normalnosti log-povrata na cijelom vremenskom intervalu uz p-vrijednost < 10−4
dobivenu Shapiro - Wilkovim testom. Na istom vremenskom intervalu kao i za Ether,
dolazi do neodbacivanja nul-hipoteze o normalnosti na razini znacajnosti 0.05.
Vrsta testa p-vrijednostShapiro - Wilk 0.5225Jarque - Bera 0.4381
Anderson - Darling 0.3328
Tablica 2.7: Testiranje hipoteze o normalnosti log-povrata Dasha - p-vrijednosti
Neka su log-povrati na vremenskom intervalu od 18. studenog 2017. do 25. ve-
ljace 2018. godine nadalje nazvani restringiranim log-povratima. Vrijednost Durbin -
Watsonovog testa iznosi 2.131921 pa je zato potrebno promotriti i uzoracku funkciju
autokorelacija te p-vrijednosti Ljung - Boxovog testa.
26
(a) Uzoracka funkcija autokorelacija (b) p-vrijednosti Ljung-Boxove statistike
Slika 2.12: Uzoracka funkcija autokorelacija i p-vrijednosti Ljung-Boxove statistike zarestringirane log-povrate Dasha
Na lijevom grafickom prikazu moze se vidjeti maleno odstupanje na lagovima 10 i
17. Na desnom je grafickom prikazu prikazana nesto nizi iznos p-vrijednosti na lagu
10 sto je konzistentno s rezultatom na lijevom grafickom prikazu, ali p-vrijednosti su
sve i dalje vece od 0.05 sto znaci da se ne odbacuje nul-hipoteza o nekoreliranosti
restringiranih log-povrata.
5. Iota i log-povrati
Cijena po kojoj je kupljena 2. listopada 2017. godine je 0.61818 USD. Minimalna
postignuta cijena je 0.351 USD, maksimalna iznosi 5.37 USD, a prosjecna 2.0173 USD.
U portfelju je 1000 jedinica Iote, ali zbog njezine niske cijene, promjene Iote ne utjecu
znatno na promjene u vrijednosti portfelja. Sljedeci graficki prikazi daju bolji uvid u
distribuciju Iote:
27
(a) Trajektorija (b) Kutijasti dijagram
Slika 2.13: Trajektorija i kutijasti dijagram cijene Iote
Za log-povrate Iote vrijedi kao i za prethodne log-povrate; odbacena je hipoteza
o normalnosti na razini znacajnosti 0.05 i uz p-vrijednosti < 10−3 dobivenu Shapiro
- Wilkovim testom. Potraga za intervalom na kojem nema odbacivanja hipoteze o
normalnosti log-povrata bila je uspjesna s dobivenim vremenskim periodom od 28.
prosinca 2017. do 19. veljace 2018. U ovom je vremenskom periodu nesto manje
podataka nego sto je to za prethodne log-povrate.
Vrsta testa p-vrijednostShapiro - Wilk 0.1069Jarque - Bera 0.07179
Anderson - Darling 0.3342
Tablica 2.8: Testiranje hipoteze o normalnosti log-povrata Iote - p-vrijednosti
Neka su log-povrati na odabranom vremenskom intervalu nazvani restringirani log-
povrati.
Vrijednost Durbin - Watsonovog testa je 2.14216 pa je opet potrebno promotriti
graficke prikaze. Jedan graficki prikaz prikazuje uzoracku funkciju autokorelacija, a
drugi prikazuje p-vrijednosti provedenog Ljung - Boxovog testa.
28
(a) Uzoracka funkcija autokorelacija (b) p-vrijednosti Ljung-Boxove statistike
Slika 2.14: Uzoracka funkcija autokorelacija i p-vrijednosti Ljung-Boxove statistike zarestringirane log-povrate Dasha
Na lijevom grafickom prikazu moze se vidjeti kako su pojedine vrijednosti blizu
granice. p-vrijednosti dobivene Ljung - Boxovim testom prikazane na desnom grafickom
prikazu su i dalje iznad razine znacajnosti 0.05 izuzev p-vrijednosti na lagu 6 koja je
na samoj granici. Stoga se nul-hipoteza o nekoreliranosti na razini znacajnosti 0.05 ne
moze odbaciti.
29
Poglavlje 3
Kontrola rizika uz vanilla opcije
1. Opcije za Bitcoin
Pretpostavka cijelog poglavlja je kako se na trzistu kriptovaluta mogu kupiti Europ-
ske put i call opcije.
Log-povrati su za Bitcoin zadovoljili pretpostavke o neodbacivanju hipoteza o nor-
malnosti i nekoreliranosti na vremenskom intervalu od 8. listopada 2017. do 21. veljace
2018. godine. Stoga se na tom vremenskom intervalu mogu kupiti put ili call opcije
cija je nearbitrazna cijena modelirana Black - Sholes - Mertonovom formulom. Buduci
da je najvecu vrijednost Bitcoin postigao sredinom prosinca, cilj je zastititi se od pada
cijene unatoc tome sto je krajnja cijena Bitcoina bila visa nego pocetna. Cijena je 8.
listopada 2017. godine bila 4429.67, a 21. veljace 2018. godine iznosila je 11372.20
USD. Zelja je umjesto profita od gotovo 7000 USD, taj profit povecati te time povecati
ukupnu vrijednost portfelja.
Neka su dane sljedece pretpostavke: investitor zeli i kupiti i prodati call opciju za
Bitcoin 1. prosinca 2017. kada je njegova cijena bila 10198.6 USD uz cijenu izvrsenja
13000 USD za kupovinu i 13500 USD za prodaju call opcije, a rok dospijeca je 20
dana uz intenzitet kamate 0.01 za potrebe ovog modela. Procijenjena volatilnost iznosi
0.06413956. Tada je visina premija koju treba platiti prema Black - Sholes - Mertonovoj
formuli 979.04, a premija koju se dobije prodajom call opcije je 831.63. Trenutno stanje
investitora je −147.41 USD. Po dospijecu opcije, za 20 dana, cijena Bitcoina je 16642.40
USD pa se obje opcije realiziraju; investitor kupuje Bitcoin po cijeni od 13000 USD i
prodaje ga po cijeni od 13500 USD. Time investitor posjeduje 500 − 147.41 = 352.59
USD, odnosno, investitor je povecao svoj profit za 352.59 USD po jednoj kupovini i
prodaji opcije. Medutim, na trzistu je investitor mogao 1. prosinca kupiti Bitcoin po
cijeni od 10198.6 USD, a 20 dana nakon toga ga prodati po cijeni od 16642.4 USD i
30
tako povecati svoj profit za vise od 6000 USD. Problem je u tome sto bi tijekom tih
20 dana investitor biljezio deficit u vrijednosti cijene kriptovalute koju je platio dok u
slucaju kupovine i prodaje opcije biljezi gotovo 100 puta manji minus.
Neka je promotren Bitcoin vanilla scenarij : investitor zeli i kupiti i prodati put
opciju za Bitcoin 5. sijecnja kad mu je cijena 15477.2 USD. Investitor vidi kako je
Bitcoin nestabilnog karaktera vec dva tjedna i zeli se zastititi od pada cijene. Stoga
definira cijenu izvrsenja za kupljenu put opciju 13500 USD, a cijenu izvrsenja za pro-
danu put opciju 13000 USD. Vrijeme dospijeca je 20 dana, intenzitet kamate 0.01 i
procijenjena volatilnost 0.06413956. Tada je primjenom Black - Sholes - Mertonove
formule nearbitrazna premija za kupljenu put opciju 220.54 USD, a za prodanu opciju
164.55 USD. Time investitor biljezi deficit u iznosu od 55.99 USD. U trenutku dos-
pijeca, cijena Bitcoina iznosi 11421.70 USD i obje se opcije realiziraju cime investitor
zaraduje 500 USD i konacno stanje je profit koji iznosi 500− 55.99 = 444.01 USD. Bez
kupovine i prodaje put opcije, investitor je 5. sijecnja mogao Bitcoin kupiti za 15477.2
USD, a 25. sijecnja ga prodati za vise od 4000 USD manje.
2. Opcije za Ether i Dash
Za Ether i Dash na istom intervalu nisu odbacene hipoteze o normalnosti i nekoreli-
ranosti log-povrata (18. studenog 2017. do 25. veljace 2018.). Procijenjena volatilnost
za Ether je 0.07228126, a za Dash 0.08410714.
Neka je dan sljedeci Ether i Dash vanilla scenarij : investitor zeli kupiti call opciju
za Ether i kupiti put opciju za Dash dana 5. sijecnja s rokom dospijeca 25. sijecnja, cije-
nom izvrsenja 1000 USD za obje opcije, volatilnoscu 0.07228126 za Ether i 0.08410714
za Dash, a intenzitetom kamate 0.01. 5. sijecnja je cijena Ethera 975.75 te Dasha
1221.63 USD. Prema Black - Sholes - Mertonovoj formuli za nearbitraznu cijenu op-
cije, premija bi za kupovinu call opcije za Ether bila 210.08 USD, a za kupovinu put
opcije za Dash 27.39 USD. Investitor bi placanjem tih opcija biljezio deficit od 237.47
USD do trenutka izvrsenja. U trenutku izvrsenja, cijene valuta su sljedece: Ether
1063.22 te Dash 788.77 USD. Buduci da je cijena Ethera na trzistu visa nego cijena
izvrsenja call opcije, investitor iskoristava pravo koje mu daje call opcija i kupuje Ether
po cijeni od 1000 USD. Nadalje, cijena Dasha je niza nego sto je cijena izvrsenja put
opcije zbog cega investitor iskoristava pravo koje mu daje put opcija i prodaje Dash
po 1000 USD. Investitor Ether prodaje na trzistu po redovnoj cijeni i time zaraduje
63.22 USD i kupuje Dash na trzistu po cijeni od 788.77 USD kako bi ga prodao po
cijeni od 1000 USD kako nalaze put opcija cime zaraduje 211.23 USD. Ukupna zarada
31
je 211.23 + 63.22− 237.47 = 36.98 USD.
Navedena zarada je ona koju investitor moze zaraditi po jednoj kupovnoj call opciji
i kupovnoj put opciji opisanoj gore. Cijene Dasha i Ethera su puno manje od cijene
Bitcoina pa je njihov doprinos i utjecaj na ukupnu vrijednost portfelja time manji.
3. Opcije za Iotu
Log-povrati za Iotu nisu sugerirali odbacivanje hipoteze o normalnosti i nekoreli-
ranosti na vremenskom intervalu od 28. prosinca 2017. do 19. veljace 2018. godine.
Time su zadovoljene sve pretpostavke za primjenjivanje Black - Sholes - Mertonove
formule. Procijenjena volatilnost iznosi 0.08678825.
Dan je sljedeci Iota vanilla scenarij : investitor zeli kupiti put opciju za Iotu i prodati
call opciju za Iotu dana 5. sijecnja s rokom dospijeca 25. sijecnja, s cijenom izvrsenja
obiju opcija 3 USD, intenzitetom kamate 0.01 i volatilnoscu 0.08678825. Cijena Iote
5. sijecnja iznosi 4.06 USD. Dobivene vrijednosti za nearbitraznu premiju na opcije su
0.06 za kupovinu put opcije te 1.66 USD za prodaju call opcije. Nakon sto investitor
plati premiju za put opciju i primi premiju za call opciju, zaradio je 1.6 USD. U
trenutku dospijeca, cijena Iote je 2.46 USD. Prema tome, investitor iskoristava svoje
pravo osigurano kupnjom put opcije te kupuje Iotu na trzistu za 2.46 USD i prodaje
ju u okviru opcije po cijeni od 3 USD cime zaraduje 0.54 USD. Prodana call opcija
ostaje neiskoristena jer je drugoj strani povoljnije kupiti Iotu na trzistu nego iskoristiti
pravo koje mu daje call opcija. Nakon trgovanja, suficit investitora se povecao na
1.6 + 0.54 = 2.14 USD.
Zarada je vrlo niska zbog toga sto je cijena Iote znatno niza od cijene prethodno
opisanih kriptovaluta.
32
4. Kombiniranje scenarija
Tri scenarija koja su ranije diskutirana, Bitcoin vanilla scenarij, Ether i Dash
vanilla scenarij te Iota vanilla scenarij, smjestena su u vremenski okvir 5. sijecnja
do 25. sijecnja, sva tri scenarija s odredenom zaradom. U slucaju realizacije sva tri
scenarija, zarada bi se akumulirala.
Dakle, moguce je 5. sijecnja kupiti i prodati put opciju za Bitcoin pri cemu je cijena
izvrsenja za kupljenu put opciju 13500 USD, a za prodanu 13000 USD. Zatim, isti dan,
kupiti call opciju za Ether te put opciju za Dash pri cemu su cijene izvrsenja jednake i
iznose 1000 USD. Potom kupiti put opciju za Iotu i prodati call opciju za Iotu s cijenom
izvrsenja 3 USD. Rok dospijeca je 25. sijecnja, intenzitet kamate 0.01, a volatilnosti
0.06413956 za Bitcoin, 0.07228126 za Ether, 0.08410714 za Dash te 0.08678825 za Iotu.
Na taj nacin, ostvarena dobit iznosi 444.01 + 36.98 + 2.14 = 483.13 USD po je-
dinicnim opcijama. Novac potreban u pocetku sklapanja ugovora odgovara zbroju
iznosa potrebnih za sklapanje svih pojedinih ugovora. Potrebno je 55.99 USD za Bit-
coin vanilla scenarij, zatim 237.47 USD za ostvarenje Ether i Dash vanilla scenarija,
a u slucaju Iota vanilla scenarija nije potreban novac nego je bilo 1.6 USD viska. To
znaci da je ukupan iznos potreban za ostvarenje ovih scenarija 291.86 USD.
Buduci da je 5. sijecnja stanje u banci 43693.73 USD, za taj se novac moze ovaj
scenarij ostvariti 149 puta, a ukupna zarada bi bila 149 · 483.13 = 71986.37 USD visa
nego bez koristenja opcija.
33
Poglavlje 4
Kontrola rizika uz barijerne opcije
Kao sto je istaknuto u poglavlju o vanilla opcijama, sve potrebne pretpostavke
su zadovoljene na vremenskom intervalu od 8. listopada 2017. do 21. veljace 2018.
godine. Stoga ce na navedenom intervalu biti promatrani moguci scenariji povecanja
dobiti koristeci barijerne opcije. U tom se slucaju moze promotriti nekoliko razlicitih
scenarija za koje je intenzitet kamate 0.01, a procijenjene volatilnosti jednake kao u
poglavlju 3.
Neki od navedenih primjera ilustrirat ce razliku u cijeni vanilla call i put opcija te
nekih barijernih opcija. Moci ce se primijetiti kako zbog visoke volatilnosti kriptova-
luta cijena vanilla opcija postaje visoka u usporedbi sa samom cijenom kriptovalute.
Takvo kretanje premije u odnosu za cijenu kriptovalute stvara potrebu za nekim jef-
tinijim opcijama. Barijerne opcije su jedne od jeftinijih rjesenja, medutim koristenje
barijernih opcija za kriptovalute jos nije poznato.
1. Opcije za Bitcoin
Neka je dan Bitcoin barijerni scenarij : pretpostavka je kako investitor zeli kupiti
i prodati down-and-in call opciju na dan 5. sijecnja s rokom dospijeca 25. sijecnja.
Cijena Bitcoina na dan sklapanja ugovora iznos 15477.2 USD. On prodaje cdo opciju
s barijerom od 10000 USD te cijenom izvrsenja 11000 USD. To znaci da je u pitanju
obicna vanilla call opcija s pravom kupovine Bitcoina sve dok je cijena Bitcoina iznad
barijere. Takoder, zeli kupiti i cdo barijernu opciju s barijerom 11000 USD te cijenom
izvrsenja 11500 USD. Premija koju prima prodajom cdo iznosi 1054.53, a premija koju
je potrebno platiti za kupovinu cdo iznosi 624.06. Razlikom medu premijama, subjekt
34
biljezi profit u iznosi od 430.47 USD.
Nakon proteklih 20 dana, cijena Bitcoina na trzistu iznosi 11421.7 USD, a tijekom
tih 20 dana cijena se odrzala na razini iznad barijere sto znaci da je po isteku roka
dospijeca i dalje vrijedeca. Buduci da je cijena na trzistu iznad cijene dogovorene
ugovorom o prodanoj cdo, kupac ove opcije iskoristava svoje pravo i kupuje Bitcoin
po cijeni od 11000. Time je investitor na gubitku u iznosu od 421.7 USD. Buduci da
je kupljena cdo imala barijeru 11000, ona je postala nistavna u trenutku kad je cijena
dosegla tu razinu, a to se dogodilo 23. sijecnja. Investitor nema pravo kupiti Bitcoin. S
obzirom na velik profit u trenutku sklapanja ugovora, investitor je ipak po isteku roka
dospijeca zaradio 430.47− 421.7 = 8.77 USD.
Ostvareni je profit vrlo mali, ali vrijedi pogledati sto bi bio rezultat u slucaju
vanilla opcija. Dakle, prodajom i kupovinom call opcija s istim rokom dospijeca i
istom cijenom izvrsenja primila bi se premija u iznosu od 6509.503 USD, a platila
bi se premija od 6119.787 USD cime bi subjekt biljezio profit u iznosu od 389.716
USD. Prodana call opcija bi se realizirala, a kupljena call opcija se ne bi realizirala
sto rezultira gubitkom u iznosu od 421.7 USD. U konacnici bi subjekt bio na gubitku
i to 389.716− 421.7 = −31.984 USD. Ishod ostvarenja opcija je u oba slucaja u ovom
scenariju bio jednak, a samo zbog razlicitih iznosa premija, krajnji se rezultat veoma
razlikuje. Razlog tome je to sto su barijerne opcije generalno jeftinije od vanilla opcija
sto je rezultat in-out pariteta i svakako jedan od motivatora za kupovinom barijernih
opcija umjesto vanilla opcija.
Promatranjem cijene call opcija, moze se primijetiti kako je iznos premije vise nego
polovica cijene Bitcoina. To je rezultat visoke volatilnosti kriptovaluta. Opcenito je
cijena premija za opcije na dionice na burzi manjeg udjela u cijeni dionice od udjela
premije za opcije na kriptovalute u cijeni same kriptovalute. Zbog visoke rizicnosti
kriptovaluta, njihova se cijena vise mijenja u vremenu, a to uzrokuje visu volatilnost.
Opcije same na trzistu kriptovaluta postoje u obliku put i call opcija. Kao sto
pokazuje navedeni primjer, ponekad je cijena te opcije vrlo visoka u odnosu na cijenu
stvarne cijene kriptovalute. Zato je bolje rjesenje kupovina barijerne opcije koja na
odredeni nacin jos smanjuje rizik, medutim barijerne opcije na kriptovalute u trenutku
pisanja rada jos nisu realizirane. Kao sto je doslo do potrebe za barijernim opcijama
na trzistu dionica, jednaka bi opravdanost bila za uvodenjem barijernih opcija i za
kriptovalute.
35
2. Opcije za Ether i Dash
Neka je dan Ether i Dash barijerni scenarij s pretpostavkom kako investitor zeli
kupiti up-and-in put opciju za Ether te kupiti up-and-out put opciju za Dash na dan
5. sijecnja ciji je rok dospijeca 25. sijecnja.
Cijena Ethera je 5. sijecnja iznosila 975.75 USD, a prije toga je cijena uglavnom
rasla. Stoga investitor smatra kako ce cijena Ethera i dalje rasti, medutim zbog rizika
da ipak cijena ne naraste dovoljno visoko radije ce uzeti jeftiniju verziju opcije, sto je
barijerna opcija, i u slucaju da cijena prijede barijeru 1200 USD, opcija krece vrijediti
i tada je obicna put opcija s cijenom izvrsenja 1300 USD. Premija koju je potrebno
platiti za takvu opciju je 25.97 USD za razliku od obicne put opcije gdje bi premija
iznosila 179.94 USD. Cijena Ethera po isteku roka dospijeca iznosi 1063.22 USD, ali
je vec 10. sijecnja dosegao cijenu od 1300 USD sto znaci da je tada pui opcija postala
obicnom put opcijom s cijenom izvrsenja 1300 USD. Buduci da je cijena na dan roka
dospijeca bila niza od cijene izvrsenja, investitor se odlucuje za iskoristavanje opcije te
Ether prodaje po cijeni od 1300 USD. Na taj nacin zaraduje 1300− 1063.22 = 236.78
USD umanjeno za iznos premije od 25.97 sto rezultira iznosom od 210.81 USD.
U slucaju kupovine vanilla put opcije, zarada bi bila ostvarena, ali u znatno manjem
iznosu. Bila bi manja za vise od 150 USD sto je razlika u premijama izmedu barijerne
pui opcije i vanilla opcije.
Dash je 5. sijecnja imao cijenu od 1221.63 USD. Od 16. prosinca, kada je cijena
Dasha presla iznos od 1000 USD, njegova je cijena oscilirala od otprilike 1100 do 1500
USD. Investitor kupuje up-and-out put opciju 5. sijecnja koja mu daje mogucnost,
ali ne i obvezu da proda Dash osobi koja je prodala opciju na nadnevak 25. sijecnja
po cijeni izvrsenja od 1100 USD, ali samo u slucaju da cijena Dasha u promatranom
periodu ne prijede iznos od 1300 USD jer bi tada promatranom subjektu bilo daleko
vise isplativo Dash prodati na otvorenom trzistu nego iskoristiti pravo koje mu pruza
opcija. Premija koju investitor na osnovu kupljene opcije mora platiti iznosi 44.68 USD
za razliku od premije koju bi morao platiti prodajom vanilla put opcije koja bi iznosila
46.07 USD. Razlika nije velika, ne iznosi niti 2 USD za razliku od velike distancije
premija u slucaju scenarija razmotrenog za Ether.
Medutim, ono sto se do 25. sijecnja dogodi jest ubrzano opadanje cijene Dasha
koja u vremenu dospijeca opcije iznosi 788.77 USD, a gotovo neprestalno opadanje
cijene rezultira vrijedecom opcijom po vremenu dospijeca jer u cijelom promatranom
razdoblju cijena Dasha nije dosegnula iznos od 1300 USD. Stoga investitor po isteku
roka dospijeca, odnosno 25. sijecnja ima pravo prodati Dash po cijeni od 1100 USD.
36
On ce to pravo iskoristiti jer je cijena na trzistu znatno niza. Dakle, prodajom opcije
ostvaruje zaradu u iznosu od 1100− 788.77 = 311.23 USD umanjeno za iznos premije
koju je platio 44.68 USD sto cini ukupnu zaradu od 266.55 USD.
Kupovinom vanilla put opcije zarada bi bila gotovo jednaka. Vecu razliku izmedu
zarada put opcijom i barijernom puo opcijom moze se ostvariti povecavanjem barijere,
medutim tada je pitanje bi li se mogao naci netko tko bi takvu opciju prodao jer je
vjerojatnost njezine realizacije s vecom barijerom sve veca. Primjerice, uz iste uvjete
kao za navedenu Dash opciju izuzev iznosa barijere, postavljanjem barijere na iznos od
1600 USD iznos premije koju je potrebno platiti za kupovinu puo opcije je 28.56 USD.
Za investitora je ovo bolja opcija jer je premija manja, a povijesni podatci za Ether
nikada nisu narasli do iznosa od 1600 USD. S druge strane, potrebno je pronaci osobu
koja bi takvu opciju prodala. Ta bi osoba bila svjesna da se barijera od 1600 nije do
tada ostvarila i da se vrlo vjerojatno nece doseci sto znaci da ce opcija tada biti obicna
put opcija. Zato bi prodavatelju opcije bilo bolje prodati obicnu put opciju cime bi bio
siguran da ce u vremenu dospijeca kupac imati pravo njemu prodati Dash. Jedino je pi-
tanje koliko on smatra malom vjerojatnost za porastom cijene Dasha do iznosa od 1600
USD. Ukoliko smatra da ta vjerojatnost nije mala i da postoji mogucnost da prodana
opcija u konacnici bude nistavna sto je odlican rezultat za njega, onda bi promatranom
investitoru takva situacija donijela vecu zaradu nego sto je donio gore naveden scenarij.
3. Opcije za Iotu
Neka je za sljedeci Iota barijerni scenarij promatran investitor koji zeli prodati
up-and-in put opciju na dan 5. sijecnja s rokom dospijeca 25. sijecnja.
Cijena Iote na dan ugovaranja opcije iznosi 4.06 USD. Buduci da su cijene za Iotu
tako niske u odnosu na cijene prethodno analiziranih kriptovaluta, teze je definirati
vrijednosti koje odreduju pui opciju. Promatranjem povijesnih cijena moze se primi-
jetiti kako unutar posljednjih mjesec dana prije ugovaranja opcije cijene Iote osciliraju
postizuci vrijednosti i vise od 5 i nize od 4 USD.
Investitor ugovara pui opciju s barijerom 4.2 USD i cijenom izvrsenja 4.25 USD.
To znaci da je opcija nevazeca sve dok cijena Iote u razdoblju od 5. do 25. sijecnja ne
dosegne iznos od 4.2 USD. U slucaju da u cijelom periodu cijena Iote ne naraste do
4.2 USD, kupac opcije nema pravo iskoristiti opciju. U slucaju da cijena Iote dosegne
barijeru, opcija postaje vanilla put opcija s cijenom izvrsenja u iznosu od 4.25 USD.
Prodajom pui opcije investitor prima premiju od 0.002 USD. Kad bi opcija bila
37
vanilla put opcija tada bi primljena premija bila visa i iznosila 0.33 USD sto je i dalje
nizak iznos, ali vise od 100 puta veci od trenutno primljene premije, ali je opet pitanje
bi li za vanilla put opciju bilo lako pronaci kupca. Buduci da je barijerna opcija
jeftinija, svakako je lakse pronaci kupca za nju nego za odgovarajucu vanilla opciju.
Slicno kao sto su se kretale cijene ostalih analiziranih kriptovaluta, nakon trenutka
ugovaranja opcije, cijena Iote pocinje padati i na dan isteka roka dospijeca cijena Iote
iznosi 2.46 USD. Unutar promatranog razdoblja cijena Iote gotovo nije prelazila iznos
od 4 USD, a barijeru nije uspjela dosegnuti. Posljedica toga je sto kupac opcije nema
pravo iskoristiti ju i tako opcija ostaje neiskoristena. Jedini benefit ima promatrani
investitor koji je zaradio upravo iznos premije od 0.002 USD.
4. Kombiniranje scenarija
Na osnovu nekoliko promotrenih situacija moze se kreirati scenarij koji bi ujedinio
sve navedene primjere i na taj bi se nacin povecala zarada. Bitcoin barijerni scenarij,
Ether i Dash te Iota barijerni scenariji su promatrani u vremenskom okviru od 5.
sijecnja do 25. sijecnja. Zato neka investitor zeli ugovoriti sve analizirane opcije na dan
5. sijecnja s rokom dospijeca 25. sijecnja. Buduci da osim kriptovaluta portfelj cini i
odredeni iznos na bankovnom racunu, ukoliko je potreban novac za placanje premija,
on dolazi iz tog dijela portfelja. Za slucaj visestruke kupovine, odnosno prodaje opcija,
ogranicenje na brojnost postavlja kolicina novca u portfelju.
Kupovinom i prodajom cdi opcije za Bitcoin, razlika izmedu primljene i placene
premije iznosi 430.47 USD. Iako ovakva kombinacija opcija u konacnici rezultira vrlo
malim profitom, ostvaren je vrlo visok pocetni kapital kojeg je moguce iskoristiti za
financiranje svih ostalih opcija. Kupovinom pui opcije za Ether potrebno je platiti
premiju u iznosu od 25.97 USD, a kupovinom puo opcije za Dash, placena premija
iznosi 44.68 USD. Nadodavsi na to primljenu premiju dobivenu prodajom pui opcije za
Iotu, pocetni profit nakon placanja i primanja premija iznosi 430.47− 25.97− 44.68 +
0.002 = 359.822 USD. Zahvaljujuci tome, jedna kupovina i prodaja cdi opije za Bitcoin
moze financirati 6 kupovina pui opcija za Ether i 6 kupovina puo opcija za Dash koje
rezultiranju vrlo visokim dobitkom na kraju roka dospijeca.
Profit koji se postize jednim odvijanjem Bitcoin, Ether, Dash i Iota barijernog
scenarija je zbroj suficita nastalih u svakom od cetiri scenarija. Profit nastao Bit-
coin barijernim scenarijem je 8.77 USD, Ether i Dash barijernim scenarijem skupa je
investitor zaradio 210.81 + 266.55 = 477.36 USD, a najmanji je doprinos nastao Iota
38
barijernim scenarijem sa zaradom od 0.002 USD. Dakle, ukupna zarada kombinacijom
scenarija iznosi 486.132 USD.
U slucaju financiranja opcija za Ether i Dash koristeci samo prihod ostvaren kupo-
prodajom opcija za Bitcoin, dobitak moze biti povecan na
8.77 + 6 · 210.81 + 6 · 266.55 + 0.002 = 2872.932 USD
Navedeni je iznos moguce ostvariti po jednoj kupoprodaji opcije za Bitcoin, bez
koristenja novca koji je polozen u banku i cini jedan dio u portfelju. Dakle, ostvarena
zarada moze biti multiplicirana onoliko puta koliko je moguce kupiti Bitcoina (zbog
ogranicene kolicine Bitcoina u optjecaju) ili pak onoliko puta koliko je moguce kupiti
druge odgovarajuce kriptovalute.
39
Sazetak
Rad se bazira na primjeni teorije o opcijama i nacina vrednovanja opcija na trzistu
kriptovaluta. Predstavljena je potrebna teorijska podloga o vanilla opcijama te bari-
jernim opcijama. U radu je analiziran portfelj koji je sastavljen od kriptovaluta i novca
polozenog u banku. Dalje su predstavljene pretpostavke koje trebaju biti zadovoljene
kako bi se teorijski zakljucci mogli primijeniti na promatrani portfelj. Nakon pokazi-
vanja kako nema opravdane sumnje u zadovoljavanje pretpostavki, premije za opcije
su se u primjerima racunale koristeci Black - Sholes - Mertonovu formulu te analogon
te formule za barijerne opcije.
Prokomentirani su neki moguci slucajevi dodatne zarade i kontrole rizika te su
sklopljena dva scenarij uz koristenje opcija na trzistu kriptovaluta; jedan primjenom
samo vanilla opcija i drugi koji primjenjuje barijerne opcije.
Kljucne rijeci
kriptovalute, Black - Sholes - Mertonova formula, opcije za Bitcoin, opcije za Ether,
opcije za Dash, opcije za Iotu, barijerne opcije, knock-out opcije, knock-in opcije, up
opcije, down opcije, put opcije, call opcije
40
Options on cryptocurrency market
Abstract
This work is focused on application of option theory and evaluating options on
cryptocurrency market. Necessary theoretical results about vanilla options and barrier
options are presented. Further is analyzed portfolio which is compound of cryptocur-
rencies and money in the bank. There are few assumptions that need to be satisfied
for application of theoretical results on analyzed portfolio. Those assumptions are all
satisfied so price of the options can be measured using the Black - Sholes - Merton
formula. Similar formula is presented and applied for barrier options also.
Some ways and examples of risk control and making extra profit are suggested and
two scenarios of using options on cryptocurrency market are presented. One of which
uses only vanilla options and the other one which uses barrier options.
Key words
cryptocurrencies, Black - Sholes - Mertonova formula, Bitcoin options, Ether opti-
ons, Dash options, Iota options, barrier options, knock-out options, knock-in options,
up options, down options, put options, call options
41
Literatura
[1] B. Basrak, Matematicke financije, Materijali s predavanja, PMF-MO, Zagreb,
2009.,
https://web.math.pmf.unizg.hr/~bbasrak/pdf_files/MFEsve.pdf
[2] Z. Vondracek, Matematicko modeliranje, Materijali s predavanja, PMF-MO,
Zagreb, 2008.
[3] E. Derman, I. Kani, The Ins and Outs of Barrier Options: Part 1, Derivatives
Quarterly, Institutional Investor Journals, Zima 1996.
http://www.emanuelderman.com/media/insoutbarriers1.pdf
[4] J. D. Cryer, K-S. Chan, Time Series Analysis With Application in R, Springer
- Verlag, 2008.
[5] Investopedia
https://www.investopedia.com/terms/b/barrieroption.asp
[6] Investing
https://www.investing.com/crypto/bitcoin/btc-usd-historical-data
42
Zivotopis
Rodena sam 21. studenog 1994. godine u Vinkovcima. Pohadala sam Osnovnu
skolu Julija Benesica u Iloku koju sam zavrsila 2009. godine. Ondje sam razvila afi-
nitet za matematiku. Nakon zavrsetka osnovne skole upisala sam opcu gimnaziju u
Srednjoj skoli Ilok. U svom osnovnoskolskom i srednjoskolskom obrazovanju sudjelo-
vala sam na natjecanjima iz matematike, fizike, kemije i hrvatskog jezika. Po zavrsetku
srednje skole, upisala sam Odjel za matematiku 2013. godine. Preddiplomski studij sam
zavrsila 2016. godine s temom zavrsnog rada Nilpotentni operatori i matrice pod men-
torstvom izv. prof. dr. sc. Darije Markovic, a potom sam upisala diplomski studij na
Odjelu za matematiku, smjer Financijska matematika i statistika. Tijekom diplomskog
studija obavljala sam strucnu praksu u Allianz osiguranju u Zagrebu te u firmi Gideon
Brothers u Osijeku. Osim toga, sudjelovala sam na ECMI Modelling Week-u u Novom
Sadu 2018. godine.
43
