56
RIJE ˇ SENI ZADACI IZ MATEMATIKE Ovi zadaci namijenjeni su studentima prve godine za pripremu ispitnog gradiva za kolokvije i ispite iz matematike. Pripremljeni su u suradnji i po uputama predmetnog nastavnika dr. Josipa Matejaˇ s. Zadatke je izabrala, pripremila i rijeˇ sila Ksenija Pukˇ sec (demonstratorica iz matematike na EF). Materijale je pregledala i recenzirala Martina Naki´ c (demonstratorica iz matematike na EF). Tehniˇ cku realizaciju materijala u programskom paketu L A T E X napravio je Kreˇ simir Bokuli´ c (demonstrator iz raˇ cunarstva na PMF-MO). 1

RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ - sytrimme.weebly.comsytrimme.weebly.com/uploads/2/4/5/8/24586081/mat_z_derivacije.pdfRIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ Ovi zadaci namijenjeni su studentima

  • Upload
    tranbao

  • View
    391

  • Download
    7

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ - sytrimme.weebly.comsytrimme.weebly.com/uploads/2/4/5/8/24586081/mat_z_derivacije.pdfRIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ Ovi zadaci namijenjeni su studentima

RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKE

Ovi zadaci namijenjeni su studentima prve godine za pripremu ispitnog gradivaza kolokvije i ispite iz matematike. Pripremljeni su u suradnji i po uputamapredmetnog nastavnika dr. Josipa Matejas.

Zadatke je izabrala, pripremila i rijesila Ksenija Puksec(demonstratorica iz matematike na EF).

Materijale je pregledala i recenzirala Martina Nakic(demonstratorica iz matematike na EF).

Tehnicku realizaciju materijala u programskom paketu LATEX napravio jeKresimir Bokulic (demonstrator iz racunarstva na PMF-MO).

1

Page 2: RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ - sytrimme.weebly.comsytrimme.weebly.com/uploads/2/4/5/8/24586081/mat_z_derivacije.pdfRIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ Ovi zadaci namijenjeni su studentima

DERIVACIJE

1. Ovisnost cijene p o vremenu t dana je sljedecom funkcijomp(t) = 2.45 ·

(12

)0.06t+ 2.86. Ispitajte dugorocno ponasanje cijene. (Uputa:

treba racunati limes funkcije kada t ide u beskonacnost.)

Rjesenje:Napomena:

limx→∞

ax =

0, a < 1

1, a = 1

∞, a > 1

limt→+∞

[2.45 · (1

2)0.06t + 2.86

]=

(1

2

)0.06·∞+ 2.86 =

= 2.45 ·(

1

2

)∞+ 2.86 = 2.45 · 0 + 2, 86 = 2.86

2. Ovisnost inflacije i o vremenu t dana je sljedecom funkcijomi(t) = 2.4e−0.02t + 3.56. Ispitajte dugorocno ponasanje inflacije. (Uputa:treba racunati limes funkcije kada t ide u beskonacnost).

Rjesenje:

limt→∞

(2.4e−0.002t + 3.56) = 2.4e−0.02·∞ + 3.56 =

= 2.4e−∞ + 3.56 = 3.56

2

Page 3: RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ - sytrimme.weebly.comsytrimme.weebly.com/uploads/2/4/5/8/24586081/mat_z_derivacije.pdfRIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ Ovi zadaci namijenjeni su studentima

3. Nadite asimptote funkcije f(x) = −3x + x.

Rjesenje:

x 6= 0

D = R\{0}

Pravac x=a je okomita asimptota ako vrijedi:

limx→a

f(x) = ∞

limx→0

(−3

x+ x

)= −3

0+ 0 = ∞

x = 0 ⇒ okomita asimptota.

Pravac y = b je vodoravna asimptota ako vrijedi:

limx→∞

f(x) = b

limx→∞

(−3

x+ x

)=−3

∞+∞ = ∞

⇒ nema vodoravne asimptote.

Pravac y = kx + l je kosa asimptota ako vrijedi:

1. limx→∞

f(x)

x= k

2. limx→∞

[f(x)− kx]

limx→∞

−3x + x

x= lim

x→∞

−3+x2

x

x= lim

x→∞

−3 + x2

x2 = L′H = limx→∞

2x

2x= 1 = k

limx→∞

(−3

x+ x− 1x

)= lim

x→∞

(−3

x

)= − 3

∞= 0 = l

3

Page 4: RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ - sytrimme.weebly.comsytrimme.weebly.com/uploads/2/4/5/8/24586081/mat_z_derivacije.pdfRIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ Ovi zadaci namijenjeni su studentima

y = kx + l

y = 1 · x + 0

y = x ⇒ kosa asimptota

4

Page 5: RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ - sytrimme.weebly.comsytrimme.weebly.com/uploads/2/4/5/8/24586081/mat_z_derivacije.pdfRIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ Ovi zadaci namijenjeni su studentima

4. Nadite prvu derivaciju funkcije f(x) = x3 + x + 215

Rjesenje:

f ′(x) = (x3)′ + (x)′ + (215)′

f ′(x) = 3x3−1 + 1 + 0

f ′(x) = 3x2 + 1

5. Nadi prvu derivaciju funkcije y = x2

x+1 .

Rjesenje:

y′ =(x2)′(x + 1)− x2(x + 1)′

(x + 1)2

y′ =2x2−1 · (x + 1)− x2((x)′ + (1)′)

(x + 1)2

y′ =2x · (x + 1)− x2 · (1 + 0)

(x + 1)2

y′ =2x2 + 2x− x2

(x + 1)2

y′ =x2 + 2x

(x + 1)2

5

Page 6: RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ - sytrimme.weebly.comsytrimme.weebly.com/uploads/2/4/5/8/24586081/mat_z_derivacije.pdfRIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ Ovi zadaci namijenjeni su studentima

6. Nadite prvu derivaciju funkcije y = (x + 1)ex

Rjesenje:

y′ = (x + 1)′ex + (x + 1)(ex)′

y′ = ((x)′ + (1)′)ex + (x + 1)ex

y′ = (1 + 0)ex + (x + 1)ex

y′ = ex + (x + 1)ex

y′ = ex(x + 2)

6

Page 7: RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ - sytrimme.weebly.comsytrimme.weebly.com/uploads/2/4/5/8/24586081/mat_z_derivacije.pdfRIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ Ovi zadaci namijenjeni su studentima

7. Nadi prvu derivaciju funkcije y =√

x3 − 23√

x2 + 3 3√

x− 2x

Rjesenje:

y = x32 − 2x

23 + 3x

13 − 2x−1

y′ = (x32 )′ − (2x

23 )′ + (3x

13 )′ − (2x−1)′

y′ =3

2x

32−1 − 2 · (x

23 )′ + 3 · (x

13 )′ − 2 · (x−1)′

y′ =3

2x

12 − 2 · 2

3x

23−1 + 3 · 1

3x

13−1 − 2 · (−1)x−1−1

y′ =3

2x

12 − 4

3x−13 + x

−23 + 2x−2

7

Page 8: RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ - sytrimme.weebly.comsytrimme.weebly.com/uploads/2/4/5/8/24586081/mat_z_derivacije.pdfRIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ Ovi zadaci namijenjeni su studentima

8. Nadi prvu derivaciju funkcije y = 3x

x

Rjesenje:

y′ =(3x)′ · x− 3x(x)′

x2

y′ =3xln3 · x− 3x · 1

x2

y′ =3x(xln3− 1)

x2

8

Page 9: RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ - sytrimme.weebly.comsytrimme.weebly.com/uploads/2/4/5/8/24586081/mat_z_derivacije.pdfRIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ Ovi zadaci namijenjeni su studentima

9. Nadi prvu derivaciju funkcije y = b · 1xa , b 6= 0, a > 0

Rjesenje:

y = bx−a

y′ = (bx−a)′

y′ = b(x−a)′

y′ = b(−a)x−a−1

y′ = −abx−a−1

y′ = −ab · 1

xa+1

y′ =−ab

xa+1

9

Page 10: RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ - sytrimme.weebly.comsytrimme.weebly.com/uploads/2/4/5/8/24586081/mat_z_derivacije.pdfRIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ Ovi zadaci namijenjeni su studentima

10. Nadite prvu derivaciju funkcije f(x) = (1 + x2)100.

Rjesenje:

f ′(x) = [(1 + x2)100]′

f ′(x) = 100(1 + x2)99(1 + x2)′

f ′(x) = 100(1 + x2)99 · 2xf ′(x) = 200x(1 + x2)99

11. Nadi prvu derivaciju funkcije f(x) =√

1− 3x4.Rjesenje:

f ′(x) =1

2√

1− 3x4· (1− 3x4)′

f ′(x) =1

2√

1− 3x4· (−12x3)

f ′(x) =−6x3

√1− 3x4

10

Page 11: RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ - sytrimme.weebly.comsytrimme.weebly.com/uploads/2/4/5/8/24586081/mat_z_derivacije.pdfRIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ Ovi zadaci namijenjeni su studentima

12. Nadi prvu derivaciju funkcije f(x) = 3x2

.

Rjesenje:

f ′(x) = 3x2

ln3 · (x2)′

f ′(x) = 3x2

ln3 · 2x

13. Nadi prvu derivaciju funkcije f(x) = 4√

1−x3.

Rjesenje:

f ′(x) = 4√

1−x3

ln4 · (√

1− x3)′

f ′(x) = 4√

1−x3

ln4 · 1

2√

1− x3· (1− x3)′

f ′(x) = 4√

1−x3

ln4 · 1

2√

1− x3· (−3x2)

11

Page 12: RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ - sytrimme.weebly.comsytrimme.weebly.com/uploads/2/4/5/8/24586081/mat_z_derivacije.pdfRIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ Ovi zadaci namijenjeni su studentima

14. Nadi prvu derivaciju funkcije f(x) = e√

1−xx+1 .

Rjesenje:

f ′(x) = e√

1−xx+1 · (

√1− x

x + 1)′

f ′(x) = e√

1−xx+1 · 1

2√

1−xx+1

· (1− x

x + 1)′

f ′(x) = e√

1−xx+1 · 1

2√

1−xx+1

· (1− x)′ · (x + 1)− (1− x) · (x + 1)′

(x + 1)2

f ′(x) = e√

1−xx+1 · 1

2√

1−xx+1

· −2

(x + 1)2

f ′(x) =−e√

1−xx+1√

1−xx+1 · (x + 1)2

f ′(x) =−e√

1−xx+1

√1− x · (x + 1)

32

f ′(x) =−e√

1−xx+1

√1− x ·

√(x + 1)3

f ′(x) =−e√

1−xx+1

√1− x · (x + 1) ·

√x + 1

f ′(x) =−e√

1−xx+1

(x + 1) ·√

(1− x)(x + 1)

f ′(x) =−e√

1−xx+1

(x + 1) ·√

1− x2

12

Page 13: RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ - sytrimme.weebly.comsytrimme.weebly.com/uploads/2/4/5/8/24586081/mat_z_derivacije.pdfRIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ Ovi zadaci namijenjeni su studentima

15. Koristeci definiciju derivacije, nadite derivaciju funkcije f(x) =√

2x + 1 utocki x0 = 4.

Rjesenje:

f ′(x) = limh→0

f(x + h)− f(x)

h

limh→0

√2(x + h) + 1−

√2x + 1

h·√

2(x + h) + 1 +√

2x + 1√2(x + h) + 1 +

√2x + 1

=

= limh→0

2(x + h) + 1− (2x + 1)

h(√

2x + 2h + 1 +√

2x + 1)=

= limh→0

2x + 2h + 1− 2x− 1

h(√

2x + 2h + 1 +√

2x + 1)=

= limh→0

2√2x + 2h + 1 +

√2x + 1

=

=2√

2x + 2 · 0 + 1 +√

2x + 1=

2

2√

2x + 1=

1√2x + 1

f ′(4) =1√

2 · 4 + 1=

1√9

=1

3

13

Page 14: RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ - sytrimme.weebly.comsytrimme.weebly.com/uploads/2/4/5/8/24586081/mat_z_derivacije.pdfRIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ Ovi zadaci namijenjeni su studentima

16. Odredite stotu derivaciju funkcije y = e−2x.Uputa: odredite prvih nekoliko derivacija te uocite pravilo za racunanjeslijedecih!

Rjesenje:

y′ = e−2x · (−2x)′ = e−2x · −2 = −2e−2x

y′′ = (−2e−2x)′ = −2 · e−2x · (−2) = (−2)2e−2x = 22 · e−2x

y′′′ = ((−2)2 · e−2x)′ = (−2)2 · e−2x · (−2) = (−2)3 · e−2x

y′′′′ = (−2)3e−2x · (−2) = (−2)4e−2x = 24e−2x

...

y(100) = 2100 · e−2x

14

Page 15: RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ - sytrimme.weebly.comsytrimme.weebly.com/uploads/2/4/5/8/24586081/mat_z_derivacije.pdfRIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ Ovi zadaci namijenjeni su studentima

17. Za funkciju ukupnih troskova T (Q) =√

ln(3Q2) odredite pripadnu funkcijugranicnih troskova.

Rjesenje:

T ′(Q) =1

2√

ln(3Q2)· (ln(3Q2))′ =

=1

2√

ln(3Q2)· 1

3Q2 · (3Q2)′ =

=1

2√

ln(3Q2)· 1

3Q2 · 6Q =

=1

Q√

ln(3Q2)

15

Page 16: RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ - sytrimme.weebly.comsytrimme.weebly.com/uploads/2/4/5/8/24586081/mat_z_derivacije.pdfRIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ Ovi zadaci namijenjeni su studentima

18. Primjenom diferencijala priblizno izracunajte 1.00110.

Rjesenje:

Trazimo ono sto lako izracunamo, a da priblizno bude jednako.

110, bazu smo promijenili, ono sto smo promijenili oznacimo s x.

x = 1

∆x = 0.001 = dx

x + ∆x = 1 + 0.001 = 1.001

y = x10

y′ = 10x9

y(x + ∆x) ≈ y(x) + y′(x) · dx

y(1 + 0.001) ≈ y(1) + y′(1) · dx

y(1.001) ≈ 110 + 10 · 19 · 0.001

y(1.001) ≈ 1.01

16

Page 17: RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ - sytrimme.weebly.comsytrimme.weebly.com/uploads/2/4/5/8/24586081/mat_z_derivacije.pdfRIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ Ovi zadaci namijenjeni su studentima

19. Izracunajte prirast i diferencijal funkcije Q(L) =√

L, te relativnu pogresku,ako je L = 0, ∆L = 0.001.

Rjesenje:

Prirast funkcije:

∆y = y(x + ∆x)− y(x)

∆Q = Q(L + ∆L)−Q(L)

∆Q = Q(9.001)−Q(9)

∆Q =√

9.001−√

9

∆Q = 0.000166662

Diferencijal funkcije:

dy = y′(x) · dx

dL = ∆L = 0.001

dQ = Q′(L) · dL =1

2√

L· dL =

1

2√

9· 0.001

dQ = 0.000166667

Relativna pogreska:

∆y − dy

∆y· 100

∆Q− dQ

∆Q· 100 =

0.000166662− 0.000166667

0.000166662· 100 = −0.003000084%

17

Page 18: RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ - sytrimme.weebly.comsytrimme.weebly.com/uploads/2/4/5/8/24586081/mat_z_derivacije.pdfRIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ Ovi zadaci namijenjeni su studentima

20. Odredite jednadzbe tangente i normale na graf funkcije f(x) = 84+x2 u tocki

s apscisom 2.

Rjesenje:

t . . . y − f(x0) = f ′(x0)(x− x0), T (x0, f(x0))

n . . . y − f(x0) =−1

f ′(x0)(x− x0), T (x0, f(x0))

T (x0, f(x0))

T (2, f(2)) = T (2, 1)

f(2) =8

4 + x2 =8

4 + 4= 1

f ′ = (8

4 + x2 )′ =

−16x

(4 + x2)2

f ′(2) =−16 · 2(4 + 4)2 =

−1

2

t . . . y − 1 =−1

2(x− 2)

y − 1 =−1

2x + 1

y =−1

2x + 2

n . . . y = 2x + 2

18

Page 19: RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ - sytrimme.weebly.comsytrimme.weebly.com/uploads/2/4/5/8/24586081/mat_z_derivacije.pdfRIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ Ovi zadaci namijenjeni su studentima

21. Izracunaj:

limx→1

x−√

2− x

x− 1

Rjesenje:

limx→1

x−√

2− x

x− 1=

1−√

2− 1

1− 1=

0

0= L′H =

= limx→1

(x−√

2− x)′

(x− 1)′=

= limx→1

1− 12√

2−x· (2− x)′

1=

= limx→1

(1 +

1

2√

2− x

)=

= 1 +1

2√

2− 1= 1 +

1

2=

3

2

19

Page 20: RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ - sytrimme.weebly.comsytrimme.weebly.com/uploads/2/4/5/8/24586081/mat_z_derivacije.pdfRIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ Ovi zadaci namijenjeni su studentima

22. Odredite podrucje rasta i pada funkcije f(x) = −3x4 + 6x2 − 15.

Rjesenje:

D = Rf ′(x) = −12x3 + 12x

−12x3 + 12x = 0

−12x(x2 − 1) = 0

−12x = 0 ⇒ x = 0

x2 − 1 = 0 ⇒x = 1

x = −1

−∞,−1 -1, 0 0, 1 1, +∞f’(x) + - + -

↗ ↙ ↗ ↙

Npr: ako za interval < −∞,−1 > uzmemo tocku -2, tada jef ′(−2) = −12 · (−2)3 + 12 · (−2) = 24.

Funkcija pada na < −1, 0 >i < 1, +∞ >, a raste na < −∞,−1 > i < 0, 1 >.

20

Page 21: RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ - sytrimme.weebly.comsytrimme.weebly.com/uploads/2/4/5/8/24586081/mat_z_derivacije.pdfRIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ Ovi zadaci namijenjeni su studentima

23. Odredite podrucja konveksnosti i konkavnosti funkcije y = xex.

Rjesenje:

D = R

y′ = ex + xex = ex(1 + x)

y′′ = ex(1 + x) + ex = ex(2 + x)

ex(2 + x) = 0

x = −2

−∞,−2 −2, +∞y′′ − +

∩ ∪

Funkcija je konkavna na < −∞,−2 >, a konveksna na < −2, +∞ >.

21

Page 22: RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ - sytrimme.weebly.comsytrimme.weebly.com/uploads/2/4/5/8/24586081/mat_z_derivacije.pdfRIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ Ovi zadaci namijenjeni su studentima

24. Odredite ekstreme funkcije f(x) = 6x4 − 8x3 − 10.

Rjesenje:

D = R

f ′(x) = 24x3 − 24x2

24x3 − 24x2 = 0

24x2(x− 1) = 0

24x2 = 0 ⇒ x = 0

x− 1 = 0 ⇒x = 1

f ′′(x) = 72x2 − 48x

f ′′(0) = 0

f ′′′(x) = 144x− 48

f ′′′(0) = −48

U x = 0 nema ekstrema.

f ′′(1) = 72 · 12 − 48 · 1f ′′(1) = 24 > 0

min(1, f(1))

f(1) = 6 · 14 − 8 · 13 − 10 = −12

min(1,−12)

22

Page 23: RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ - sytrimme.weebly.comsytrimme.weebly.com/uploads/2/4/5/8/24586081/mat_z_derivacije.pdfRIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ Ovi zadaci namijenjeni su studentima

25. Izracunajte maksimum funkije dobiti ako je zadana funkcija ukupnih troskovaC(Q) = Q3 − 6Q2 + 140Q + 750 i funkcija ukupnih prihodaR(Q) = −7.5Q2 + 1400Q, gdje je Q kolicina proizvodnje.

Rjesenje:

D = Q ∈ [0, +∞ >

D(Q) = R(Q)− C(Q)

D(Q) = −7.5Q2 + 1400Q− (Q3 − 6Q2 + 140Q + 750)

D(Q) = −Q3 − 1.5Q2 + 1260Q− 750

D′(Q) = −3Q2 − 3Q + 1260

Q1,2 =−(−3)±

√(−3)2 − 4 · (−3) · 1260

2 · (−3)

Q1 = 20

D′′(Q) = −6Q− 3

D′′(20) = −6 · 20− 3 = −123 < 0

max(20, D(20))

D(20) = 15850

max(20, 15850)

23

Page 24: RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ - sytrimme.weebly.comsytrimme.weebly.com/uploads/2/4/5/8/24586081/mat_z_derivacije.pdfRIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ Ovi zadaci namijenjeni su studentima

26. Pronadite minimum funkcije prosjecnih troskova ako su ukupni troskoviT (Q) = 4Q2 + 112Q + 100, gdje je Q kolicina proizvodnje.

Rjesenje:

D = Q ∈ [0, +∞ >

A(Q) =T (Q)

Q=

4Q2 + 112Q + 100

Q

A(Q) =4Q2

Q+

112Q

Q+

100

Q

A(Q) = 4Q + 112 +100

Q

A′(Q) = 4− 100

Q2

4− 100

Q2 = 0

Q = 5

A′′(Q) =200

Q3

A′′(5) =200

125> 0

min(5, A(5))

A(5) = 152

min(5, 152)

24

Page 25: RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ - sytrimme.weebly.comsytrimme.weebly.com/uploads/2/4/5/8/24586081/mat_z_derivacije.pdfRIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ Ovi zadaci namijenjeni su studentima

27. Zadana je funkcija prosjecnih prihoda AR(Q) = −Q+200, gdje je Q kolicinaproizvodnje.Izracunajte maksimum funkcije ukupnih prihoda.

Rjesenje:D = Q ∈ [0, +∞ >

R(Q) = AR(Q) ·QR(Q) = (−Q + 200) ·Q = −Q2 + 200Q

R′(Q) = −2Q + 200

−2Q + 200 = 0

Q = 100

R′′(Q) = −2 < 0

R(100) = 10000

max(100, 10000)

25

Page 26: RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ - sytrimme.weebly.comsytrimme.weebly.com/uploads/2/4/5/8/24586081/mat_z_derivacije.pdfRIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ Ovi zadaci namijenjeni su studentima

28. Zadane su funkcije ukupnih prihoda i prosjecnih troskovaP (Q) = 460− 3200

Q , T (Q) = 2 + 100Q .

Za koji opseg proizvodnje Q se ostvaruje najveca dobit i koliko ona iznosi?Koliki su tada ukupni prihodi i troskovi?

Rjesenje:

D(Q) = P (Q)− T (Q)

T (Q) = T (Q) ·Q

T (Q) = (2 +100

Q) ·Q = 2Q + 100

D(Q) = 460− 3200

Q− (2Q + 100)

D(Q) = 360− 3200

Q− 2Q

D′(Q) =3200

Q2 − 2

3200

Q2 − 2 = 0 ⇒ Q = 40

D′′(Q) =−6400

Q3

D′′(40) = −0.1 < 0 ⇒ max(40, D(40))

D(40) = 200, max(40, 200)

P (40) = 380

T (40) = 180

26

Page 27: RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ - sytrimme.weebly.comsytrimme.weebly.com/uploads/2/4/5/8/24586081/mat_z_derivacije.pdfRIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ Ovi zadaci namijenjeni su studentima

29. Odredite domenu i tocke infleksije funkcije f(x) = 12x

2 + lnx.

Rjesenje:

x > 0

D = x ∈< 0, +∞ >

f ′(x) = x +1

x

f ′′(x) = 1− 1

x2

1− 1

x2 = 0 ⇒

x1 = 1

f ′′′(x) = 2x−3

f ′′′(1) = 2 · 1−3 = 2 6= 0

I(1, f(1))

f(1) =1

2· 12 + ln1 =

1

2+ 0 =

1

2

I(1,1

2)

27

Page 28: RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ - sytrimme.weebly.comsytrimme.weebly.com/uploads/2/4/5/8/24586081/mat_z_derivacije.pdfRIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ Ovi zadaci namijenjeni su studentima

30. Zadana je funkcija troskova T (Q) = Q3 − 2Q, gdje je Q kolicinaproizvodnje. Izracunajte koeficijent elasticnosti troskova u odnosu na proizvod-nju na nivou proizvodnje Q=2. Interpretirajte rezultat.

Rjesenje:

ET,Q =Q

T· T ′ =

Q

Q3 − 2Q· (Q3 − 2Q)′ =

=Q

Q3 − 2Q· (3Q2 − 2) =

Q

Q(Q2 − 2)(3Q2 − 2) =

=3Q2 − 2

Q2 − 2

ET,Q(2) =3 · 22 − 2

22 − 2= 5

Kada Q na nivou Q=2 povecamo za 1%, onda ce se T povecati za 5%.

28

Page 29: RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ - sytrimme.weebly.comsytrimme.weebly.com/uploads/2/4/5/8/24586081/mat_z_derivacije.pdfRIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ Ovi zadaci namijenjeni su studentima

31. Odredite podrucja elasticnosti i neelasticnosti funkcije potraznje

q(p) =9500

3p2 + 675

u odnosu na cijenu p.

Rjesenje:

D . . . 3p2 + 675 6= 0

3p2 6= −675 ⇒ uvijek

p ≥ 0

q ≥ 0

Eq,p =p

q· q′ = p

95003p2+675

·(

9500

3p2 + 675

)′=

−6p2

3p2 + 675

|Eg,p| = | − 6p2

3p2 + 675| = 6p2

3p2 + 675

6p2

3p2 + 675> 1/ · 3p2 + 675

6p2 > 3p2 + 675

3p2 > 675/ : 3

p2 > 225

p > 15

Pel =< 15, +∞ >

Pneel =< 0, 15 >

29

Page 30: RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ - sytrimme.weebly.comsytrimme.weebly.com/uploads/2/4/5/8/24586081/mat_z_derivacije.pdfRIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ Ovi zadaci namijenjeni su studentima

32. Ispitajte homogenost funkcije

f(x1, x2, x3) = x1 · x2 ·√

lnx1+x2

x2+x3.

Rjesenje:

f(λx1, λx2, λx3) = λx1 · λx2 ·√

lnλx1 + λx2

λx2 + λx3=

= λ2x1 · x3 ·

√ln

λ(x1 + x2)

λ(x2 + x3)=

= λ2 · x1 · x3 ·√

lnx1 + x2

x2 + x3=

= λ2 · f(x1, x2, x3)

Funkcija je homogena stupnja α = 2.

30

Page 31: RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ - sytrimme.weebly.comsytrimme.weebly.com/uploads/2/4/5/8/24586081/mat_z_derivacije.pdfRIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ Ovi zadaci namijenjeni su studentima

33. Ispitajte homogenost funkcije f(x, y) =√

x · y2.

Rjesenje:

f(λx, λy) =√

λx · (λy)2 =√

λ ·√

x · λ2 · y2 =

= λ52 ·√

x · y2 = λ52 · f(x, y)

Funkcija je homogena stupnja α = 52 .

31

Page 32: RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ - sytrimme.weebly.comsytrimme.weebly.com/uploads/2/4/5/8/24586081/mat_z_derivacije.pdfRIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ Ovi zadaci namijenjeni su studentima

34. Ispitajte homogenost funkcije

f(x, y) = log3x2 + 2y2

xy

Rjesenje:

f(λx, λy) = log3(λx)2 + 2(λy)2

λxλy=

= log3λ2x2 + 2λ2y2

λ2xy=

= logλ2(3x2 + 2y2)

λ2xy= log

3x2 + 2y2

xy= f(x, y) =

= λ0 · f(x, y)

Funkcija je homogena stupnja α = 0.

32

Page 33: RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ - sytrimme.weebly.comsytrimme.weebly.com/uploads/2/4/5/8/24586081/mat_z_derivacije.pdfRIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ Ovi zadaci namijenjeni su studentima

35. Zadana je Cobb-Douglasova funkcija proizvodnje Q(L, C) = 3.6L12Ct, gdje

je L kolicina rada, a C kolicina kapitala. Odredite parametar t ∈ R takavda su u pitanju rastuci prinosi u proizvodnji.

Rjesenje:

Q(λL, λC) = 3.6(λL)12 (λC)t = 3.6λ

12L

12λtCt =

= λ12+t3.6L

12Ct = λ

12+tQ(LC)

1

2+ t > 1

t > 1− 1

2

t >1

2

t ∈<1

2, +∞ >

Napomena:

α > 1 ⇒ prinosi su rastuci.α = 1 ⇒ prinosi su konstantni.α < 1 ⇒ prinosi su opadajuci.

33

Page 34: RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ - sytrimme.weebly.comsytrimme.weebly.com/uploads/2/4/5/8/24586081/mat_z_derivacije.pdfRIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ Ovi zadaci namijenjeni su studentima

36. Zadana je Cobb-Douglasova funkcija proizvodnje Q(L, C) = 2.5LtC14 , gdje

je L kolicina rada, a C kolicina kapitala. Odredite parametar t ∈ R takavda su u pitanju opadajuci prinosi u proizvodnji.

Rjesenje:

Q(λL, λC) = 2.5(λL)t(λC)14 = 2.5λtLtλ

14C

14 =

= λt+ 142.5LtC

14 = λt+ 1

4Q(LC)

t +1

4< 1

t < 1− 1

4

t <3

4

t ∈< −∞,3

4>

34

Page 35: RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ - sytrimme.weebly.comsytrimme.weebly.com/uploads/2/4/5/8/24586081/mat_z_derivacije.pdfRIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ Ovi zadaci namijenjeni su studentima

37. Kako se promijeni vrijednost funkcije

f(x, y, z, v) =

√x√

y + z + y√

z + v

x + 2y + 3z + 4v

ako sve varijable istovremeno:a) povecamo 256 puta?b) smanjimo za 34.39%?

Rjesenje:a)

f(λx, λy, λz, λv) = λαf(x, y, z, v)

f(256x, 256y, 256z, 256v) = 256αf(x, y, z, v)

f(λx, λy, λz, λv) =

√λx√

λy + λz + λy√

λz + λv

λx + 2λy + 3λz + 4λv=

=

√λx√

λy + λz + λy√

λz + λv

λ(x + 2y + 3z + 4v)=

√λ

32 (x√

y + z + y√

z + v)

λ(x + 2y + 3z + 4v)=

= λ14 · f(x, y, z, v)

f(256x, 256y, 256z, 256v) = 25614f(x, y, z, v)

f(256x, 256y, 256z, 256v) = 4f(x, y, z, v)

Kada sve varijable istovremeno povecamo 256 puta tada ce se vrijednostfunkcije povecati 4 puta.

35

Page 36: RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ - sytrimme.weebly.comsytrimme.weebly.com/uploads/2/4/5/8/24586081/mat_z_derivacije.pdfRIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ Ovi zadaci namijenjeni su studentima

b)

x → x− 34.39

100x = x(1− 0.3439) = 0.6561x

f(0.6561x, 0.6561y, 0.6561z, 0.6561v) = 0.656114f(x, y, z, v)

f(0.6561x, 0.6561y, 0.6561z, 0.6561v) = 0.9f(x, y, z, v)

Ako sve varijable istovremeno smanjimo za neki postotak p tada ce se vri-jednost funkcije smanjiti za 100(1− λα)%.

100(1− λα)% = 100(1− 0.9)% = 10%

Kada sve varijable istovremeno smanjimo za 34,39% tada ce se funkcijasmanjiti za 10%.

36

Page 37: RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ - sytrimme.weebly.comsytrimme.weebly.com/uploads/2/4/5/8/24586081/mat_z_derivacije.pdfRIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ Ovi zadaci namijenjeni su studentima

38. Nadi sve prve parcijalne derivacije funkcije f(x, y) = 3x2 + xy +√

y.

Rjesenje:

fx = (3x2)′ + (xy)′ + (√

y)′ =

= 3 · (x2)′ + y · (x)′ + 0 =

= 3 · 2x2−1 + y · 1 = 6x + y

fy = (3x2)′ + (xy)′ + (√

y)′ =

= 0 + x · (y)′ +1

2√

y=

= x · 1 +1

2√

y= x +

1

2√

y

37

Page 38: RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ - sytrimme.weebly.comsytrimme.weebly.com/uploads/2/4/5/8/24586081/mat_z_derivacije.pdfRIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ Ovi zadaci namijenjeni su studentima

39. Nadi sve prve parcijalne derivacije funkcije f(x, y, z) = e2xz − ln(yz) + 1.

Rjesenje:

fx = e2xz · (2xz)′ − 0 + 0 =

= e2xz · 2z · (x)′ = e2xz · 2z · 1 = 2ze2xz

fy = 0− 1

yz· (yz)′ + 0 = − 1

yz· z · (y)′ =

= − 1

yz· z = −1

y

fz = e2xz · (2xz)′ − 1

yz· (yz)′ + 0 =

= e2xz · 2x · (z)′ − 1

yz· y · (z)′ =

= e2xz · 2x · 1− 1

yz· y · 1 =

= 2xe2xz − 1

z

38

Page 39: RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ - sytrimme.weebly.comsytrimme.weebly.com/uploads/2/4/5/8/24586081/mat_z_derivacije.pdfRIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ Ovi zadaci namijenjeni su studentima

40. Nadi sve prve parcijalne derivacije funkcije u(x, y) = 2x−yx+y .

Rjesenje:

ux =(2x− y)′ · (x + y)− (2x− y) · (x + y)′

(x + y)2 =

=2(x + y)− (2x− y)

(x + y)2 =3y

(x + y)2

uy =(2x− y)′ · (x + y)− (2x− y) · (x + y)′

(x + y)2 =

=−1 · (x + y)− (2x− y) · 1

(x + y)2 =3x

(x + y)2

39

Page 40: RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ - sytrimme.weebly.comsytrimme.weebly.com/uploads/2/4/5/8/24586081/mat_z_derivacije.pdfRIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ Ovi zadaci namijenjeni su studentima

41. Nadi sve prve parcijalne derivacije funkcije f(x, y) = xy.

Rjesenje:

fx = yxy−1

fy = xylnx

42. Nadi sve prve i druge parcijalne derivacije funkcije z(x, y) = y22x.

Rjesenje:

zx = y2 · 2xln2

zy = 2x · 2y = y · 2x+1

zxx = y2 · ln2 · 2xln2 = y2(ln2)2 · 2x

zxy = 2xln2 · 2y = y · 2x+1ln2

zyx = y · 2x+1ln2 · 1 = y · 2x+1ln2

zyy = 2x+1 · 1 = 2x+1

40

Page 41: RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ - sytrimme.weebly.comsytrimme.weebly.com/uploads/2/4/5/8/24586081/mat_z_derivacije.pdfRIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ Ovi zadaci namijenjeni su studentima

43. Za funkciju f(x, y, z) = z · yx izracunajte d3fdxdydz .

Rjesenje:

fz = yx · 1 = yx

fzy = xyx−1

fzyx = 1 · yx−1 + x · yx−1lny · 1 =

= yx−1 + x · yx−1lny = yx−1(1 + xlny) = fxyz

41

Page 42: RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ - sytrimme.weebly.comsytrimme.weebly.com/uploads/2/4/5/8/24586081/mat_z_derivacije.pdfRIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ Ovi zadaci namijenjeni su studentima

44. Izracunajte koeficijente parcijalne elasticnosti funkcije f(x, y) =√

x− y2 uodnosu na varijable x i y te interpretirajte rezultat na nivou x = 25, y = 3.

Rjesenje:

Ef,x =x

f· fx =

x√x− y2

· 1

2√

x− y2· (1− 0) =

x

2(x− y2)

Ef,x(25, 3) =25

2 · (25− 9)=

25

32

Kada x na nivou 25 (y ostaje konstantno) povecamo za 1% onda cefunkcijska vrijednost porasti za 25

32%.

Ef,y =y

f· fy =

y√x− y2

· 1

2√

x− y2· (0− 2y) =

−y2

x− y2

Ef,y(25, 3) =−9

25− 9=−9

16

Kada y na nivou 3 (x ostaje konstantno) povecamo za 1% onda ce funkcijskavrijednost pasti za 9

16%.

42

Page 43: RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ - sytrimme.weebly.comsytrimme.weebly.com/uploads/2/4/5/8/24586081/mat_z_derivacije.pdfRIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ Ovi zadaci namijenjeni su studentima

45. Zadana je funkcija potraznje robe A, q1(p1, p2) = 3p−11 lnp2, gdje su p1

cijena robe A i p2 cijena robe B. Odredite koeficijente parcijalne i ukrsteneelasticnosti te interpretirajte dobivene rezultate.

Rjesenje:

Eg1,p1=

p1

q1· q1p1

=p1

3p−11 lnp2

· −3lnp2

p21

= −1

Kada p1 povecamo za 1% (p2 ostaje konstantno) tada ce se q1 smanjiti za1%.

Eg1,p2=

p2

q1· q1p2

=p2

3p−11 lnp2

· 3p−11

1

p2=

1

lnp2

Kada p2 povecamo za 1% (p1 ostaje konstantno) tada ce se q1 povecati za1

lnp2% jer je lnp2 > 0 zbog q1 > 0 pa su A i B supstituti.

43

Page 44: RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ - sytrimme.weebly.comsytrimme.weebly.com/uploads/2/4/5/8/24586081/mat_z_derivacije.pdfRIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ Ovi zadaci namijenjeni su studentima

46. Za funkciju

f(x, y, z) = 3

√x4y5

z2 , izracunajte xfx + yfy + zfz.

Rjesenje:

xfx + yfy + zfz = α · ff(λx, λy, λz) = λαf(x, y, z)

f(λx, λy, λz) = 3

√(λx)4(λy)5

(λz)2 =3

√λ4x4λ5y5

λ2z2 =3

√λ9x4y5

λ2z2 =

=3√

λ7 3

√x4y5

z2 = λ73 · f(x, y, z)

α =7

3

xfx + yfy + zfz =7

3· 3

√x4y5

z2

44

Page 45: RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ - sytrimme.weebly.comsytrimme.weebly.com/uploads/2/4/5/8/24586081/mat_z_derivacije.pdfRIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ Ovi zadaci namijenjeni su studentima

47. Dana je funkcija proizvodnje Q(L, C) = 3.4L14C

12 , gdje je L kolicina rada, a

C kolicina kapitala.Izracunajte zbroj parcijalnih elasticnosti funkcije proizvodnje u odnosu narad i kapital.

Rjesenje:

EQ,L + EQ,C = α

Q(λL, λC) = 3.4(λL)14 (λC)

12 = 3.4λ

14L

14λ

12C

12 =

λ14+ 1

23.4L14C

12 = λ

34Q(L, C)

EQ,L + EQ,C =3

4

45

Page 46: RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ - sytrimme.weebly.comsytrimme.weebly.com/uploads/2/4/5/8/24586081/mat_z_derivacije.pdfRIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ Ovi zadaci namijenjeni su studentima

48. Dana je funkcija

f(x, y, z) = t+1

√zx

y−(

1

z

) −1t+1

Odredite parametar t ∈ R, t 6= −1, tako da zbroj svih parcijalnih elasticnostidane funkcije bude jednak nuli.

Rjesenje:

Ef,y + Ef,y + Ef,z = α ⇒ α = 0

t ∈ R t.d. Ef,y + Ef,y + Ef,z = 0

f(λx, λy, λz) = λαf(x, y, z)

f(λx, λy, λz) = t+1

√λzλx

λy−(

1

λz

) −1t+1

=

=t+1√

λ t+1

√zx

y−

[(λ−1)

−1t+1 ·

(1

z

) −1t+1

]=

= λ1

t+1 t+1

√zx

y−

1t+1 ·

(1

z

) −1t+1

]=

= λ1

t+1

(t+1

√zx

y−(

1

z

) −1t+1

)= λ

1t+1f(x, y, z)

1

t + 1= 0

1 = 0 ⇒⇐

6 ∃t ∈ R t.d. α = 0

(Ne postoji t ∈ R takav da je α = 0)

46

Page 47: RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ - sytrimme.weebly.comsytrimme.weebly.com/uploads/2/4/5/8/24586081/mat_z_derivacije.pdfRIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ Ovi zadaci namijenjeni su studentima

49. Funkcija potraznje za proizvodom A homogena je stupnja 1.1, te ovisi ocijeni proizvoda A i cijeni porizvoda B. Ako je koeficijent elasticnosti tefunkcije potraznje u odnosu na cijenu proizvoda A jednak -0.4, izracunajtevrijednost koeficijenta elasticnosti te iste funkcije potraznje u odnosu na ci-jenu proizvoda B, te ga interpretirajte.

Rjesenje:

α = 1.1

EfA,pA= −0.4

EfA,pB=?

EfA,pA+ EfA,pB

= α

−0.4 + EfA,pB= 1.1

EfA,pB= 1.1 + 0.4

EfA,pB= 1.5

Kada pB povecamo za 1% (pA ostaje konstantno) tada ce se fA povecati za1.5%.

47

Page 48: RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ - sytrimme.weebly.comsytrimme.weebly.com/uploads/2/4/5/8/24586081/mat_z_derivacije.pdfRIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ Ovi zadaci namijenjeni su studentima

50. Izracunajte ekstreme funkcije

f(x, y) = x2 − 4x + 2y2 − 8y

Rjesenje:

fx = 2x− 4

2x− 4 = 0

x = 2

fy = 4y − 8

4y − 8 = 0

y = 2

D1 = fxx

fxx = 2

D1 = 2 > 0

D2 = fxxfyy − fxy2

fyy = 4

fxy = 0

D2 = 2 · 4− 02

D2 = 8 > 0

D1 > 0

D2 > 0

}⇒ min(2, 2, f(2, 2))

f(2, 2) = 22 − 4 · 2 + 2 · 22 − 8 · 2 = −12

min(2, 2,−12)

48

Page 49: RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ - sytrimme.weebly.comsytrimme.weebly.com/uploads/2/4/5/8/24586081/mat_z_derivacije.pdfRIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ Ovi zadaci namijenjeni su studentima

51. Izracunajte ekstreme funkcije

f(x, y) = ex2+y2−4x

Rjesenje:

fx = ex2+y2−4x · (2x− 4)

ex2+y2−4x · (2x− 4) = 0

2x− 4 = 0

x = 2

fy = ex2+y2−4x · 2yex2+y2−4x · 2y = 0

2y = 0

y = 0

D1 = fxx

fxx = ex2+y2−4x · (2x− 4)2 + ex2+y2−4x · 2fxx = ex2+y2−4x

[(2x− 4)2 + 2

]fxx = 2e−4

D1 = 2e−4 > 0

D2 = fxxfyy − f 2xy

fyy = ex2+y2−4x · 4y2 + ex2+y2−4x · 2fyy = ex2+y2−4x(4y2 + 2)

fyy = 2e−4

49

Page 50: RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ - sytrimme.weebly.comsytrimme.weebly.com/uploads/2/4/5/8/24586081/mat_z_derivacije.pdfRIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ Ovi zadaci namijenjeni su studentima

fxy = (2x− 4) · ex2+y2−4x · 2yfxy = 0

D2 = 2e−4 · 2e−4 − 02 = 4e−8 > 0

D1 > 0

D2 > 0

}⇒ min(2, 0, e−4)

50

Page 51: RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ - sytrimme.weebly.comsytrimme.weebly.com/uploads/2/4/5/8/24586081/mat_z_derivacije.pdfRIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ Ovi zadaci namijenjeni su studentima

52. Zadana je funkcija ukupnih prihodaP (Q1, Q2) = −Q2

1 −Q22 + 18Q1 + 14Q2 − 5 i ukupnih troskova

T (Q1, Q2) = 8Q1 + 8Q2 za dva proizvoda. Izracunajte maksimum funkcijedobiti.

Rjesenje:

D(Q1, Q2) = P (Q1, Q2)− T (Q1, Q2)

D(Q1, Q2) = −Q21 −Q2

2 + 10Q1 + 6Q2 − 5

DQ1= −2Q1 + 10

−2Q1 + 10 = 0

Q1 = 5

DQ2= −2Q2 + 6

−2Q2 + 6 = 0

Q2 = 3

D1 = DQ1Q1

DQ1Q1= −2

D1 = −2 < 0

D2 = DQ1Q1DQ2Q2

−D2Q1Q2

DQ2Q2= −2

DQ1Q2= 0

D2 = −2 · (−2)− 02 = 4 > 0

D1 < 0

D2 > 0

}⇒ max(5, 3, 29)

51

Page 52: RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ - sytrimme.weebly.comsytrimme.weebly.com/uploads/2/4/5/8/24586081/mat_z_derivacije.pdfRIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ Ovi zadaci namijenjeni su studentima

53. Odredite ekstreme funkcije f(x, y) = x2 − xy + x2, uz uvjet x− 2y = 0.

Rjesenje:

f(x, y) = x2 − xy + y2

x− 2y = 0

x = 2y

f(y) = (2y)2 − 2y · y + y2

f(y) = 4y2 − 2y2 + y2

f(y) = 3y2

f ′(y) = 6y

6y = 0

y = 0 ⇒ x = 2y

x = 2 · 0 ⇒ x = 0

f ′′(y) = 6 > 0 ⇒ min(x, y, f(x, y))

min(0, 0, f(0, 0))

min(0, 0, 0)

52

Page 53: RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ - sytrimme.weebly.comsytrimme.weebly.com/uploads/2/4/5/8/24586081/mat_z_derivacije.pdfRIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ Ovi zadaci namijenjeni su studentima

54. Odredite ekstreme funkcije f(x, y) = x2 − xy + y2, uz uvje x + y = 1.

Rjesenje:

x + y = 1

y = 1− x

f(x) = x2 − x · (1− x) + (1− x)2

f(x) = x2 − x + x2 + 1− 2x + x2

f(x) = 3x2 − 3x + 1

f ′(x) = 6x− 3

6x− 3 = 0

6x = 3

x =1

2⇒ y = 1− x

y = 1− 1

2=

1

2

f ′′(x) = 6 > 0 ⇒ min(x, y, f(x, y))

min

(1

2,1

2, f

(1

2,1

2

))f

(1

2,1

2

)=

(1

2

)2

− 1

2· 12

+

(1

2

)2

=1

4

f

(1

2,1

2

)=

1

4

min

(1

2,1

2,1

4

)

53

Page 54: RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ - sytrimme.weebly.comsytrimme.weebly.com/uploads/2/4/5/8/24586081/mat_z_derivacije.pdfRIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ Ovi zadaci namijenjeni su studentima

55. Odredite ekstreme funkcijef(x, y) = x4 + y4, x > 0, y > 0 uz uvjet x2 + y2 = 8.

Rjesenje:

y2 = 8− x2

f(x, y) = (x2)2 + (y2)2

f(x) = (x2)2 + (8− x2)2

f(x) = x4 + 64− 16x2 + x4

f(x) = 2x4 − 16x2 + 64

f ′(x) = 8x3 − 32x

8x3 − 32x = 0

8x(x2 − 4) = 0

8x = 0

6 x =6 0x2 − 4 = 0

x = 2

6 x = − 6 2

y =√

8− x2 =√

8− 4 =√

4 = 2

f ′′(x) = 24x2 − 32

f ′′(2) = 64 > 0

min(2, 2, 32)

54

Page 55: RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ - sytrimme.weebly.comsytrimme.weebly.com/uploads/2/4/5/8/24586081/mat_z_derivacije.pdfRIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ Ovi zadaci namijenjeni su studentima

56. Dane su funkcija ukupnih troskova T (L, C) = L + C i proizvodnjeQ(L, C) =

√LC, gdje je L kolicina rada, a C kolicina kapitala. Izracunajte

minimum funkcije ukupnih troskova na nivou proizvodnje Q=4.

Rjesenje:

√LC = 4/2

LC = 16/ : L

C =16

L

T (L) = L +16

L= L + 16L−1

T ′(L) = 1− 16L−2

1− 16

L2 = 0/ · L2

L2 − 16 = 0

L2 = 16

L1 = 4

6 L 62 = − 6 4

C =16

4= 4

T ′′(L) = 32L−3

T ′′(4) = 0.5 > 0

min(4, 4, 8)

55

Page 56: RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ - sytrimme.weebly.comsytrimme.weebly.com/uploads/2/4/5/8/24586081/mat_z_derivacije.pdfRIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKEˇ Ovi zadaci namijenjeni su studentima

57. Dana je funkcija ukupnih troskova T (L, C) = L2 − LC + C2 i funkcijaproizvodnje Q(L, C) = LC, gdje je L rad, a C kapital. Nadite kombinacijurada i kapitala uz koju se na nivou proizvodnje Q = 1 ostvaruju minimalnitroskovi. Odredite minimalne troskove.

Rjesenje:

Q(L, C) = LC

LC = 1/ : L

C =1

L

T (L) = L2 − L · 1

L+

(1

L

)2

= L2 − 1 + L−2

T ′(L) = 2L− 2L−3

2L− 2

L3 = 0/ · L3

2L4 − 2 = 0

2L4 = 2

L = ±1

L ≥ 0

L = 1

T ′′(L) = 2 + 6L−4

T ′′(1) = 2 + 6 · 1−4 = 8 > 0

min(1, 1, 1)

56