Click here to load reader

Zadaci iz automatskog upravljanja

  • View
    432

  • Download
    59

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Par riješenih zadataka iz automatskog upravljanja...

Text of Zadaci iz automatskog upravljanja

  • SVEUILITE U ZAGREBUFAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAUNARSTVAZavod za automatiku i raunalno inenjerstvo

    Mr.sc. Jadranko MatukoMario Vaak, dipl. ing.Marija Seder, dipl. ing.

    AUTOMATSKO UPRAVLJANJEZadaci za vjebu

    Zagreb, 2006.

  • Sadraj

    1 Modeliranje dinamikih procesa 2

    2 Prikaz sustava u frekvencijskom podruju 112.1 Laplaceova transformacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Frekvencijske karakteristike sustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    3 Karakteristike linearnih kontinuiranih sustava 20

    4 Stabilnost linearnih kontinuiranih sustava 28

    5 Krivulja mjesta korijena 40

    6 Sinteza sustava u frekvencijskom podruju 526.1 Korekcijski lan s faznim prethoenjem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.2 Korekcijski lan s faznim kanjenjem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

    7 Sinteza pomou krivulje mjesta korijena 65

    8 Analitiki postupci sinteze regulatora 748.1 Postupak prema Truxal-Guilleminu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

    9 Sinteza regulatora s obzirom na vodee i poremeajno vladanje 82

    10 Poboljanje regulacijskog vladanja pomou sloenijih struktura upravljanja 90

    11 Sinteza linearnih kontinuiranih sustava u prostoru stanja 101

    A Rjeenja zadataka 114

    1

  • Poglavlje 1

    Modeliranje dinamikih procesa

    Ponaanje dinamikih sustava opisano je skupom diferencijalnih jednadbi koje su openitonelinearne. U ovim diferencijalnim jednadbama sadrane su zakonitosti koje vrijede za datisustav. Osnovni je problem koji se pojavljuje kod analize ovakvih sustava nepostojanje opemetodologije za rjeavanje nelinearnih diferencijalnih jednadbi. S druge strane, ako je di-namiki sustav opisan skupom linearnih diferencijalnih jednadbi, tada je njegova analizaznatno jednostavnija.

    Openito, kao rezultat modeliranja dolazi se do sljedeeg zapisa dinamikog sustava:

    x1 = f1(x1, x2, ..., xn, u1, ..., um);x2 = f2(x1, x2, ..., xn, u1, ..., um);...xn = fn(x1, x2, ..., xn, u1, ..., um);

    (1.1)

    odnosno skraeno zapisano:x = f(x,u); (1.2)

    gdje je x = [x1, ..., xn]T - vektor stanja sustava, a u = [u1, ..., um]T - vektor ulaznih varijablisustava.

    U prvom se koraku analize odreuju ravnotene toke (engl. equilibrium points) za kojevrijedi:

    x = 0 = f(x0,u0) = 0.U ovim tokama je postignuta ravnotea izmeu energije koja ulazi u sustav i energije kojaizlazi iz sustava.

    esto se zbog nemogunosti analize sustava u izvornom nelinearnom obliku pribjegavatzv. linearizaciji sustava tj. opisu sustava linearnim modelom u okolini ravnotene toke.Naravno u tom sluaju dobiveni (linearni) model je valjan u uskom podruju oko ravnotenetoke. Temelj postupka linearizacije je razvoj funkcije u Taylorov red koji za statiku funkciju(sustav) glasi:

    f(x+x) = f(x0) +ni=1

    f(x)xi

    x0

    xi + o(x1, ...,xn), (1.3)

    2

  • 1. MODELIRANJE DINAMIKIH PROCESA

    gdje je x = [x1, ...,xn]T , a o(x1, ...,xn) -ostatak reda, polinom koji sadri samolanove s potencijama 2.

    Zanemarivanjem ostatka o() reda dobije se:

    f(x+x) f(x0) +ni=1

    f(x)xi

    x0

    xi. (1.4)

    U sluaju dinamikog sustava (1.2) razvojem u Taylorov red dobivamo:

    (x0 +x) f(x0,u0) + f(x,u)x

    x0,u0

    x+ f(x,u)u

    x0,u0

    u (1.5)

    Uzevi u obzir da vrijedi: (x0 + x) = (x) te da je (x0,u0) ravnotena toka sustava zakoju stoga vrijedi f(x0,u0) = 0 dobije se:

    (x) f(x,u)x

    x0,u0

    x+ f(x,u)u

    x0,u0

    u (1.6)

    Ovdje je bitno uoiti da je postupkom linearizacije dobiven model koji vie nije funkcijapoetnih varijabli x ve promjena tih varijabli x oko ravnotene toke x0.

    Primjer 1.1

    Na slici 1 prikazan je je pojednostavljeni model automobilskog amortizera. Pritom masa mApredstavlja 1/4 mase automobila, mK masu kotaa, dok konstante cA, cK , dA predstavljajukonstante krutosti opruge amortizera i gume automobilskog kotaa, te konstantu priguenjaamortizera. Potrebno je odrediti skup diferencijalnih jednadbi koje opisuju ovaj sustav, teprikazati blokovsku shemu sustava. Karakteristika opruge opisana je sljedeim izrazom:

    Fs = cA x,

    dok je karakteristika priguenja amortizera dana linearnom relacijom:

    Fp = dA x.

    Potrebno je navesti skup diferencijalnih jednadbi kojima je opisan ovaj proces i nacrtatiblokovsku shemu procesa.

    Rjeenje:

    Kod postavljanja diferencijalnih jednadbi za ovaj sluaj koristi se drugi Newtonov zakon.Za masu mK vrijedi:

    mK v1 = cK (x(t) x1(t)) cA(x1 x2) dA(v1 v2) (1.7)

    Za masu mA vrijedi:mA v2 = c1(x1 x2) dA(v1 v2) (1.8)

    3

  • 1. MODELIRANJE DINAMIKIH PROCESA

    Am

    Km

    Ac Ad

    Kc

    2x

    1x

    x

    Slika 1.1: Sustav amortizacije automobila

    Kako pritom vrijedi da je v1 = x1 odnosno v2 = x2 slijedi konani skup diferencijalnihjednadbi:

    x1 + dAmk x1 dAmk

    x2 + cK+cAmk x1 cAmK

    x2 cKmKx(t) = 0x2 + dAmA x1

    dAmA

    x2 + cAmA x1 cAmA

    x2 = 0 . (1.9)

    Blokovska shema procesa prikazana je na slici 1.2.Ovdje je bitno primijetiti da se u jednadbama gibanja masa mA i mK pomaci x1 i x2 ne

    raunaju odnosu na prirodne duljine opruga, ve u odnosu na inicijalno istezanje opruga prix = 0. Upravo ova inicijalna istezanja opruga kompenziraju djelovanje sile zemljine teena mase mA i mK koje su zbog toga izostavljene iz jednadbi gibanja pojedinih masa. Ovajpomak koordinatnog sustava je bilo mogue napraviti zbog linearnih karakteristika opruga.

    Primjer 1.2

    U zatvoreni spremnik povrine A i visine hs dovodi se kapljevina (vidi sliku 1.3). U zatvorenomspremniku odvija se izotermna kompresija plina (zraka) u prostoru iznad kapljevine, za kojuvrijedi:

    ppVp = const, (1.10)

    gdje je pp tlak plina, a Vp volumen plina. Zatvoreni spremnik spojen je s otvorenim sprem-nikom povrine A i visine hs iz kojeg istjee kapljevina protoka qi(t).Koritenjem Bernoullieve jednadbe za fluid:

    p+ gh(t) + v2(t)2

    = const, (1.11)

    gdje je p tlak plina, h(t) visina kapljevine i v(t) brzina kapljevine, potrebno je:

    4

  • 1. MODELIRANJE DINAMIKIH PROCESA

    A

    K

    dm

    A K

    K

    c c

    m

    +

    A

    A

    c

    m

    A

    A

    dm

    A

    K

    dm

    A

    K

    c

    m

    A

    A

    c

    m

    A

    A

    dm

    K

    K

    c

    m

    1x1x1x

    2x2x2x

    x

    Slika 1.2: Blokovska shema sustava amortizacije automobila

    qu

    h1 h2

    qi

    q12

    hS

    pp, Vp, Tp

    Slika 1.3: Protok kapljevine kroz zatvoreni spremnik.

    a) odrediti diferencijalne jednadbe za visinu kapljevine u zatvorenom spremniku h1(t) teotvorenom spremniku h2(t),

    b) odrediti linearizirani model u okolini radne toke h10, pp0 te h20,

    c) nacrtati blokovsku shemu nelinearnog i lineariziranog modela.

    5

  • 1. MODELIRANJE DINAMIKIH PROCESA

    Zadano je: atmosferski tlak pa, poetni tlak plina u zatvorenom spremniku pp0, gustoa kapljevine, visina spremnika hs, povrina poprenog presjeka otvorenog te zatvorenog spremnika A,povrina poprenog presjeka cijevi Ai.

    NAPOMENA: Brzina kapljevine unutar spremnika moe se zanemariti.

    Rjeenje:

    a) Iz Bernoulijeve jednadbe za prvi spremnik slijedi:

    pp + gh1 = pa + gh2 + v2122

    (1.12)

    Iz uvjeta izotermne reakcije u zatvorenom spremniku slijedi:

    pp = pp0hs h10hs h1 (1.13)

    Iz ovih jednadbi slijedi:

    pp0hs h10hs h1 + gh1 = pa + gh2 +

    v2122

    (1.14)

    Analogno se dobije jednadba za drugi spremnik koja glasi:

    gh2 = v2i2

    (1.15)

    Prema tome diferencijalne jednadbe nelinearnog modela glase:

    q12 = v12Ai (1.16)

    qi = viAi (1.17)

    qu q12 = Adh1dt

    (1.18)

    q12 qi = Adh2dt

    (1.19)

    b) Izrazi za brzine protoka v12 te vi su nelinearni i njih treba linearizirati u okolini dane radnetoke. Dobiju se sljedei izrazi:

    v12 =

    2

    (K

    hsh1 + g (h1 h2) pa)

    gdje je K = pp0 (hs h10) (1.20)

    6

  • 1. MODELIRANJE DINAMIKIH PROCESA

    h1v12 =

    12

    12

    (K

    hsh1 + g (h1 h2) pa) 2

    (K

    (hs h1)2+ g

    ) h1 = h10h2 = h20 = C1(1.21)

    h2v12 =

    12

    12

    (K

    hsh1 + g (h1 h2) pa) 2 (g)

    h1 = h10h2 = h20 = C2 (1.22)

    vi =2gh2 (1.23)

    h2vi =

    12

    12gh2

    2g |h2 = h20 = C (1.24)

    Prema tome linearizirani model glasi:

    v12(s) = C1H1(s) + C2H2(s) (1.25)

    vi(s) = C H2(s) (1.26)

    c) Blokovska shema lineariziranog modela prikazana je na slici 1.4

    1s

    1A

    1dhdt 1h

    1s

    1A

    2dhdt2h

    1C

    C

    2C

    iA

    iA

    +

    +

    +

    +

    iq

    uq 12q

    Slika 1.4: Shema lineariziranog modela

    7

  • 1. MODELIRANJE DINAMIKIH PROCESA

    ZADACI ZA VJEBU:

    Zadatak 1.1

    Kretanje umjetnog satelita oko zemlje moe se opisati pojednostavljenim 2D modelom (slika1.5) danim sljedeim izrazima:

    r = r2 kr2

    + u1

    = 2 rr+u2r

    (1.27)

    gdje su u1 i u2 radijalna i tangencijalna komponenta sile na satelit usljed djelovanja potisnika.

    Zemlja

    1u

    2u

    r

    Slika 1.5: Pojednostavljeni model kretanja satelita oko zemlje

    Potrebno je:

    a) prikazati sustav u (nelinearnom) prostoru stanja pri emu su varijable stanja (r, r, = ),

    b) linearizirati sustav oko ravnotenog stanja kojem odgovara iskljueni pogonski motori satelita,tj. u1 = 0 i u2 = 0.

    Zadatak 1.2

    Pretvara sile u frekvenciju pomou elektrinog polja, koji se koristi kao mikrofon ili zvunik(slika 1.6), moe se opisati sljedeim jednadbama:

    jednadba ravnotee sila:

    md2 x(t)dt2

    +Ddx(t)dt

    + c(x(t) l) + 0A2

    (u(t)x(t)

    )2= F (t), (1.28)

    jednadba elektrike ravnotee:

    d

    dt

    (0Au(t)x(t)

    )= Us

    u(t)R

    , (1.29)

    8

  • 1. MODELIRANJE DINAMIKIH PROCESA

    SU

    R

    x

    c

    D

    u

    Ru y=

    F

    Slika 1.6: Principna shema rada mikrofona

    izlazna jednadba:

    y(t) = Rd

    dt

    (0Au(t)x(t)

    ), (1.30)

    gdje je:m - masa pomine ploe, D - koeficijent priguenja, c - konstanta opruge, x - razmak pominihploa, l - prirodna duljina opruge, A - povrina pomine ploe, u - napon izmeu pominihploa, F - sila na pominu plou (ulazna veliina), US - napon posmaka, R - otpor, 0 -dielektrina konstanta.

    Za promatrani pretvara potrebno je:

    a) linearizirati jednadbe u radnoj toki odreenoj s X0 i U0;

    b) odrediti diferencijalnu matrinu jednadbu stanja iz lineariziranih jednadbi ako su varijablestanja: x1 = x, x2 = x i x3 = u/x;

    c) nacrtati nelinearnu i lineariziranu blokovsku shemu.

    Zadatak 1.3

    Poloaj magnetski vodljive kuglice regulira se pomou elektromagnetskog polja (slika 1.7).Induktivitet zavojnice ovisan je o udaljenosti kuglice, i ta se ovisnost moe opisati sljedeim

    izrazom:L(x) = 2/x. (1.31)

    Elektromagnetska sila koja djeluje na kuglicu opisana je sljedeom relacijom:

    F = i2

    x2. (1.32)

    9

  • 1. MODELIRANJE DINAMIKIH PROCESA

    m( )x t

    ( )i t

    ( )u t

    mg ( )emF t

    Slika 1.7: Sustav regulacije poloaja magnetske kuglice

    Newton-ov zakon:

    mx = mg + F = mg i2

    x2. (1.33)

    Faraday-ov zakon:

    u = Ri+d(L(x)i)

    dt= Ri+ L(x)i

    dx

    dt+ L(x)

    di

    dt= Ri 2i

    x2dx

    dt+2x

    di

    dt. (1.34)

    Potrebno je:

    a) prikazati sustav u prostoru stanja tj. u obliku:

    x = f (x, u) (1.35)

    pretpostavljajui pritom sljedee varijable stanja: x1 = x, x2 = x i x3 = i.

    b) nacrtati nelinearnu blokovsku shemu,

    c) linearizirati sustav oko radne toke x0 = 700 [m] te nacrtati lineariziranu blokovsku shemu.

    Zadano je: = 5 106 [Nm2A2],R = 1 [],m = 0.2 [kg],g = 9.81 [ms2].

    10

  • Poglavlje 2

    Prikaz sustava u frekvencijskompodruju

    2.1 Laplaceova transformacija

    Premda su poznati razliiti naini rjeavanja linearnih diferencijalnih jednadbi, u analizisustava automatskog upravljanja posebno mjesto zauzimaju metode rjeavanja temeljene naintegralnim transformacijama. Najznaajnija meu njima je Laplaceova transformacija.Neka je zadana funkcija f(t) : R+ R koja zadovoljava Dirichletove uvjete:

    1. funkcija f(t) je po odsjecima kontinuirana,

    2. postoji konani c > 0 takav da vrijedi limt f(t)ect = 0.

    Za funkciju f(t) definirana je Laplaceova transformacija kao:

    F (s) = L{f(t)} = 0

    f(t)estdt. (2.1)

    pri emu je podruje konvergencije integrala odreeno uvjetom c.Najvanija svojstva Laplaceove transformacije:

    Linearnost - L{f(t) + g(t)} = L{f(t)}+ L{g(t)};

    Derivacija - L{f(t)

    }= s L {f(t)} f(0+);

    Integracija - L{ t

    0 f(t)dt}= 1s L {f(t)};

    Konvolucija - L{0 g(t )u()d} = L{g(t)} L {u(t)}; Vremenski pomak - L{f(t a)} = easL{f(t)}; Teorem o konanoj vrijednosti - limt f(t) = lims0 s F (s);

    11

  • 2. PRIKAZ SUSTAVA U FREKVENCIJSKOM PODRUJU

    Teorem o poetnoj vrijednosti - limt0 f(t) = lims s F (s).

    Zbog ovih navedenih svojstava Laplaceova je transformacija prikladna za rjeavanje diferenci-jalnih jednadbi budui da se njom diferencijalna jednadba pretvara u algebarsku po varijablis. Kod analize sustava upravljanja vrlo esto se sustav, umjesto u obliku diferencijalne jed-nadbe, prikazuje u obliku pripadne prijenosne funkcije koja predstavlja omjer Laplaceovihtransformacija izlaza i ulaza sustava, uz pretpostavku da su poetna stanja jednaka nuli.

    G(s) =L{y(t)}L {u(t)} =

    Y (s)U(s)

    (2.2)

    U specijalnom sluaju kada je ulazni signal tipa Diracove -funkcije slijedi:

    Y (s) = G(s) U(s) = G(s) 1 = G(s), (2.3)

    te se moe zakljuiti da je prijenosna funkcija Laplaceova transformacija impulsnog odzivasustava g(t).

    2.2 Frekvencijske karakteristike sustava

    Opis sustava pomou frekvencijske karakteristike temelji se na odzivu sustava na sinusnupobudu u stacionarnom stanju, odnosno nakon to zavri prijelazna pojava. Pretpostavivisinusni pobudni signal

    u(t) = A sin(t) = A =et, (2.4)prisilni odziv sustava openito je dan konvolucijskim integralom:

    y(t) = 0

    u(t )g()d = A = 0

    e(t)g()d = A =et 0

    eg()d (2.5)

    U izrazu (2.5) moe se uoiti da lan ispred integrala predstavlja ulazni signal u(t), dok samintegral ima isti oblik kao i Laplaceova transformacija teinske funkcije, s tim da umjesto kom-pleksne frekvencije s stoji . Kako je s druge strane poznato da Laplaceova transformacijateinske funkcije predstavlja prijenosnu funkciju G(s), slijedi da se izraz (2.5) moe zapisatiu sljedeem obliku:

    y(t) = A =et G() = A =et |G()| eG(). (2.6)

    Iz posljednjeg izraza je oito da je odziv sustava na sinusnu pobudu takoer sinusnog oblikaiste frekvencije, openito razliite amplitude, i s odreenim faznim pomakom. Informacijeo omjeru izlazne i ulazne amplitude, te faznom pomaku sadrane su u funkciji G() koja,prema tome, predstavlja frekvencijsku karakteristiku sustava. Na temelju izraza (2.5) i (2.6)slijedi da se frekvencijska karakteristika dobiva iz prijenosne funkcije formalnom zamjenoms . U analizi linearnih sustava se njegovo djelovanje esto opisuje grafikim prikazomnjegove frekvencijske karakteristike i to kao:

    12

  • 2. PRIKAZ SUSTAVA U FREKVENCIJSKOM PODRUJU

    Nyquistov dijagram koji predstavlja grafiki prikaz funkcijeG() u kompleksnoj ravnini,

    Bodeov dijagram koji zasebno prikazuje amplitudnu karakteristiku kao 20log|G()| ifaznu karakteristiku sustava kao G() na logaritamskoj frekvencijskoj skali.

    U analizi i sintezi sustava upravljanja posebno je prikladan Bodeov prikaz frekvencijskekarakteristike zbog injenice da se serijska veza vie dinamikih lanova (matematiki opisanas operacijom konvolucije) svodi kod crtanja Bodeovog dijagrama na zbrajanje odgovarajuihfrekvencijskih karakteristika pojedinih lanova.

    Primjer 2.1

    Za sustav opisan sljedeom diferencijalnom jednadbom:

    y(t) + 5y(t) + 6 = 2u(t) (2.7)

    potrebno je:

    a) odrediti odziv na skokovitu pobudu oblika:

    u(t) = S(t) ={

    0 t < 01 t 0 (2.8)

    koritenjem Laplaceove transformacije, uz poetne vrijednosti y(0) = 3 i y(0) = 7 ,b) odrediti prijenosnu funkciju sustava.

    Rjeenje:

    a) Izravnom primjenom Laplaceove transformacije na polaznu diferencijalnu jednadbu, ko-ristei teorem o deriviranju, slijedi:

    y(t) + 5y(t) + 6 = 2u(t) /Ls2 Y (s) s y(0) y(0) + 5 (s Y (s) y(0)) + 6Y (s) = 2U(s) (2.9)

    Nakon sreivanja, prethodni se izraz moe zapisati u sljedeem obliku:

    Y (s) =2

    s2 + 5s+ 6U(s) +

    s+ 5s2 + 5s+ 6

    y(0) +1

    s2 + 5s+ 6y(0). (2.10)

    Uzevi u obzir da je ulazni signal u(t) tipa odskone funkcije ija je Laplaceova transfor-macija U(s) = 1/s, te rastavljanjem izraza (2.10) na parcijalne razlomke, dobivamo:

    Y (s) =13s 1s+ 2

    +2

    3(s+ 3)+(

    3s+ 2

    2s+ 3

    ) y(0)+

    (1

    s+ 2 1s+ 3

    ) y(0). (2.11)

    13

  • 2. PRIKAZ SUSTAVA U FREKVENCIJSKOM PODRUJU

    Primjenom inverzne Laplaceove transformacije na (2.11), koristei pravilo

    L1{

    1s+ a

    }= eat, (2.12)

    slijedi:

    y(t) =13 e2t + 2

    3e3t +

    (3e2t 2e3t) y(0) + (e2t e3t) y(0). (2.13)

    Uvrtenjem poetnih uvjeta y(0) = 13 i y(0) = 1, konano se dobije:

    y(t) =13+ e3t e2t. (2.14)

    b) Kod prorauna prijenosne funkcije ponovno se primjenjuje Laplaceova transformacija napolaznu diferencijalnu jednadbu, ali ovaj put uz nulte poetne uvjete. U tom se sluajudobije:

    s2 Y (s) + 5s Y (s) + 6Y (s) = 2U(s), (2.15)odakle slijedi:

    G(s) =Y (s)U(s)

    =2

    s2 + 5s+ 6. (2.16)

    Primjer 2.2

    Na slici 2.1 prikazan je regulacijski krug koji se sastoji od procesa (PT1 lan) i regulatora(I-regulator). Vremenska konstanta regulatora je TI .

    11 sT s+

    1IT s

    Rx u

    'z

    y

    Slika 2.1: Shema sustava upravljanja

    a) Prikazati izlaznu veliinu Y (s) kao funkciju vodee veliine XR(s) i poremeajne veliineZ (s).

    b) Odrediti prirodnu frekvenciju nepriguenih oscilacija n i relativni koeficijent priguenja zatvorenog regulacijskog kruga.

    c) Odrediti TI uz uvjet da je =2/2 i TS = 1s. Koliko je odstupanje u stacionarnom stanju

    ukoliko djeluje poremeaj z(t) = S(t).

    14

  • 2. PRIKAZ SUSTAVA U FREKVENCIJSKOM PODRUJU

    d) Uz regulacijski krug i regulator odreen prema c) nacrtati Bodeov dijagram Go(j) (aproksi-macije pravcima).

    Rjeenje:

    a) Na temelju blokovske sheme prikazane na slici 2.1 moe se napisati sljedei izraz:

    Y (s) =[1sTI

    (XR(s) Y (s)) + Z (s)]

    11 + sTS

    , (2.17)

    iz kojeg dalje slijedi:

    1 + sTI + s2TITSsTI(1 + sTs)

    Y (s) =1

    sTI(1 + sTs)XR(s) +

    11 + sTs

    Z (s), (2.18)

    te se konano dobije:

    Y (s) =1

    1 + sTI + s2TITSXR(s) +

    sTI1 + sTI + s2TITS

    Z (s) = Gzx(s)XR(s) +Gzz(s)Z (s).

    (2.19)

    b) Prijenosna funkcija drugog reda obino se zapisuje u standardnom obliku:

    Gm(s) =1

    1 + 2s/n + s2/2n. (2.20)

    gdje je -koeficijent priguenja a n -prirodna frekvencija nepriguenih oscilacija.

    Izjednaavanjem nazivnika prijenosnih funkcija Gx(s) i Gz(s) s nazivnikom prijenosnefunkcije drugog reda u standardnom obliku slijedi:

    2/n = TI , 1/2n = TITS , (2.21)

    te se dobije:n =

    1

    TITS, = 12

    TITS. (2.22)

    c) Uvjet da bi koeficijent priguenja iznosio22 je da vrijedi:

    TI = 2TS = 2[s]. (2.23)

    Odstupanje izlaznog signala od referentnog definirano je kao:

    E(s) = Y (s)XR(s). (2.24)Uz pretpostavku da djeluje samo signal poremeaja z(t) (xR(t) = 0), slijedi:

    E(s) = Gz(s) Z (s) =1/s

    XR(s) =0

    =TI

    1 + sTI + s2TITs(2.25)

    Stacionarna vrijednost signala odstupanja e(t) se odreuje iz teorema o konanoj vrijed-nosti:

    limt e(t) = lims0

    s E(s) = 0. (2.26)

    15

  • 2. PRIKAZ SUSTAVA U FREKVENCIJSKOM PODRUJU

    102 101 100 101 102

    80

    40

    0

    40

    Frekvencija [rad/s]

    Ampl

    ituda

    [dB]

    Bodeov dijagram

    102 101 100 101 102

    180

    135

    90

    Frekvencija [rad/s]

    Faza

    []

    Slika 2.2: Bodeov dijagram.

    d) Bodeov dijagram otvorenog kruga prikazan je na slici 2.2.

    ZADACI ZA VJEBU:

    Zadatak 2.1

    Na slici 2.2 prikazan je sklop koji se sastoji od dvaju idealnih operacijskih pojaala i pridrueneim pasivne mree.

    a) Odredite prijenosnu funkciju G(s) = U4(s)U1(s) uz otvorenu sklopku S.

    b) Zatvaranjem sklopke S izlazni napon se vraa na ulazno pojaalo. O kakvoj se povratnojvezi u tom sluaju radi? Odrediti prijenosnu funkciju Gz(s) =

    U4(s)U1(s)

    uz zatvorenu sklopkuS.

    c) Kako odabrati otpornike da bi priguenje sklopa, uz zatvorenu sklopku, iznosilo =22 ?

    16

  • 2. PRIKAZ SUSTAVA U FREKVENCIJSKOM PODRUJU

    Slika 2.3: Sklop s operacijskim pojaalima.

    Zadatak 2.2

    Odrediti prijenosnu funkciju sustava ija je amplitudna karakteristika uz aproksimaciju pravcimaprikazana na slici 2.4. Pritom je poznato da pri frekvenciji = 8[rad/s] faza iznosi () =171.32. Pretpostaviti da se radi o minimalno-faznom sustavu.

    [ ]20 db/dek20

    16

    10

    40

    [ ]rad/s

    [ ]dBA

    Slika 2.4: Bodeov dijagram

    Zadatak 2.3

    Neka je zadan sustav za koji je poznato da vrijedi:

    1. sustav je relativnog stupnja 3;

    17

  • 2. PRIKAZ SUSTAVA U FREKVENCIJSKOM PODRUJU

    2. sustav ima 3 pola od kojih su dva s1 = 2 i s2 = 10;3. impulsni odziv sustava izgleda kao prijelazna funkcija stabilnog linearnog sustava sa

    ustaljenom vrijednosti 0.25.

    Potrebno je:

    1. odrediti prijenosnu funkciju sustava;

    2. nacrtati Bodeov dijagram sustava.

    Zadatak 2.4

    Kako bi se odredili parametri PT1 procesa s transportnim kanjenjem, proveden je sljedeieksperiment. Na ulaz u proces doveden je signal u(t) prikazan na slici 2.5, te je snimljenodziv izlaznog signala, koji je prikazan na istoj slici, uz naznaene karakteristine vrijednosti.Potrebno je odrediti prijenosnu funkciju procesa Gp(s)

    -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40-1

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    [ ]6.2824T s= [ ]0.69T s =

    0.5884

    ( )y t( )u t

    [ ]t s

    [][]

    ,u

    ty

    t

    Slika 2.5: Grafovi ulaznog i izlaznog signala

    Zadatak 2.5

    Pomou Laplaceove transformacije rijeiti sljedee diferencijalne jednadbe uz dane poetneuvjete:

    a.) y(t) + 8y(t) = 0, y(0) = 2;b.) y(t) + 4y(t) + 3y(t) = t, y(0) = 0, y(0) = 2;c.) y(t) + 4y(t) + 9y(t) + 10y(t) = t, y(0) = 4, y(0) = 4, y(0) = 0;

    18

  • 2. PRIKAZ SUSTAVA U FREKVENCIJSKOM PODRUJU

    Zadatak 2.6

    Neka je dan sustav opisan sljedeom prijenosnom funkcijom:

    G(s) =s+ 2

    s2 + 4s+ 3(2.27)

    Odziv sustava na pobudni signal oblika u(t) = et dan je sljedeim izrazom:

    y(t) =12t et + e3t (2.28)

    Potrebno je odrediti poetne uvjete u trenutku t = 0+.

    Zadatak 2.7

    Neka je dan sustav opisan sljedeom prijenosnom funkcijom:

    G(s) =1

    (s+ 1)(s+ 4)(2.29)

    Potrebno je odrediti odziv sustava na pobudni signal prikazan na slici 2.6. Pritom su poznatipoetni uvjeti u trenutku t = 0+ koji iznose y(0+) = 2 i y(0+) = 1.

    [ ]t s5

    10

    2t 510 te

    ( )x t

    Slika 2.6: Graf pobudnog signala

    19

  • Poglavlje 3

    Karakteristike linearnih kontinuiranihsustava

    Razmatra se sustav upravljanja sveden na jedininu povratnu vezu (slika 3.1). Svi signali i

    ( )RG s ( )sG s

    ( )szG s

    +

    +

    +

    +

    +

    ( )'Z s

    ( )Z s( )Y s( )RX s

    ( )mY s

    ( )N s

    ( )E s ( )U s

    Slika 3.1: Blokovska shema sustava upravljanja.

    blokovi navedeni su u Laplace-ovoj domeni. S N(s) oznaena je Laplace-ova transformacijauma mjernog lana kojim se mjeri izlaz procesa (prijenosna funkcija mjernog lana ukljuenaje u prijenosnu funkciju procesa Gs(s)). Ostali signali isti su kao u skripti [1]. Izrazimo izlazY (s) preko prijenosnih funkcija elemenata i ulaza XR(s), Z (s) i N(s):

    Y (s) = Gsz(s)Z (s) +GR(s)Gs(s)E(s) == Gsz(s)Z (s) +GR(s)Gs(s)(XR(s) Y (s)N(s)) . (3.1)

    20

  • 3. KARAKTERISTIKE LINEARNIH KONTINUIRANIH SUSTAVA

    Prebacivanjem svih pribrojnika s Y (s) s lijeve strane jednadbe i potom njegovim eksplicit-nimm izraavanjem slijedi:

    Y (s) =GR(s)Gs(s)

    1 +GR(s)Gs(s)XR(s) +

    Gsz(s)1 +GR(s)Gs(s)

    Z (s) GR(s)Gs(s)1 +GR(s)Gs(s)

    N(s). (3.2)

    Uvedimo sljedee oznake:

    Go(s) = GR(s)Gs(s) prijenosna funkcija otvorenog kruga; (3.3)R(s) =

    11 +Go(s)

    dinamiki regulacijski faktor; (3.4)T (s) = R(s)Go(s) komplement od R(s). (3.5)

    Sada se (3.2) saetije zapisuje:

    Y (s) = T (s)XR(s) +R(s)Z(s) T (s)N(s). (3.6)

    Kljuno je uoiti sljedeu relaciju:

    R(s) + T (s) = 1. (3.7)

    Posebice je za s = j (vidi diskusiju u poglavlju ??):

    R(j) + T (j) = 1. (3.8)

    Takoer se i relacija (3.6) moe napisati za frekvencijsko podruje:

    Y (j) = T (j)XR(j) +R(j)Z(j) T (j)N(j). (3.9)

    Sada, raspravimo to elimo od sustava upravljanja sa slike 3.1. Naravno, elimo da Y totonije slijedi XR, a pritom da, po mogunosti, sasvim anuliramo utjecaj poremeaja Z imjernog uma N . No, je li to sve mogue ostvariti odjednom?

    Ako nema uma, tj. N(j) 0, tada je pogodno imati T (j) = 1 jer odmah sasvimpotiskujemo poremeaj budui da je prema (3.8) R(j) = 0. U praksi, XR i Z sadrepreteno niskofrekvencijske komponente, dok N esto sadri one visokofrekvencijske. Zato jepravilan izbor:

    T (j) = 1, (R(j) = 0) za T (j) = 0, (R(j) = 1) za (3.10)

    Iz zahtjeva T (j) = 1 proizlazi prema (3.5) Go(j) =, a iz T (j) = 0 slijedi Go(j) = 0.Vidimo da je idealno ponaanje ostvarivo samo u nulama i polovima od Go. Potrebe realnihsustava upravljanja zadovoljavat e i sljedei izbor:

    T (j) 1, (R(j) 0) Go(j) za T (j) 0, (R(j) 1) Go(j) za (3.11)

    Budui da je |Go(j)| neprekinuta za sve , prijelaz iz niskofrekvencijskog u visokofrekvenci-jsko podruje uvijek je postepen po |Go(j)|. Kvalitativan izgled frekvencijske karakteristike

    21

  • 3. KARAKTERISTIKE LINEARNIH KONTINUIRANIH SUSTAVA

    w w

    ( )20log oG jw

    w

    w

    ( )( )arg oG jw

    ?

    ?? ?

    oG

    0oG

    Slika 3.2: Frekvencijske karakteristike Go - kvalitativno.

    od Go koja udovoljava zahtjev (3.11) dan je na slici 3.2. U srednjefrekvencijskom podruju,zbog oprenih zahtjeva (3.11) na |Go| u nisko- i visokofrekvencijskom dijelu i neprekinutosti od|Go|, niti jedan od spomenutih nije ispunjen. Taj se dio karakteristike oblikuje obvezujuim za-htjevom da projektirani sustav upravljanja bude stabilan (vidi poglavlje ??), kao i zahtjevimana kvalitetu odziva sustava upravljanja na XR i Z u uvjetima kada nije zadovoljeno (3.11)(vidi poglavlja ??). Potonjim zahtjevima oblikuje se i fazno-frekvencijska karakteristika. Gose, prema (3.3), oblikuje (korigira) prijenosnom funkcijom regulatora GR(s), pri emu su Gsi Gsz najee fiksni. GR se zbog toga esto naziva i korekcijskim lanom.

    Openito se prijenosna karakteristikaGo za sluaj kauzalnog linearnog sustava moe zapisatiu obliku:

    Go(s) =Kosk

    1 + 1s+ . . .+ msm

    1 + 1s+ . . .+ nksnkeTts, (3.12)

    pri emu Ko predstavlja pojaanje otvorenog regulacijskog kruga, k 0 je red astatizmaprijenosne funkcije, 0 m n su redovi redom brojnika i nazivnika prijenosne funkcije, aTt 0 predstavlja mrtvo vrijeme. Uvedimo radi kratkoe zapisa i sljedee oznake:

    A(s) = 1 + 1s+ . . .+ nksnk, (3.13)B(s) = 1 + 1s+ . . .+ msm. (3.14)

    22

  • 3. KARAKTERISTIKE LINEARNIH KONTINUIRANIH SUSTAVA

    esto se na sustav upravljanja postavlja zahtjev da za zadani signal xR(t) ili z(t) grekaslijeenja e(t) u stacionarnom stanju (t ) ne prelazi zadani iznos. Na temelju togzahtjeva moe se odrediti potreban red astatizma od Go, te esto i pojaanje otvorenog krugaKo. Naime, teorem o graninoj vrijednosti tvrdi:

    e = limt e(t) = lims0

    sE(s) (3.15)

    Sa sheme 3.1, te iz (3.6) proizlazi:

    E(s) = XR(s) Ym(s) = XR(s) Y (s)N(s) == XR(s) (T (s)XR(s) +R(s)Z(s) T (s)N(s))N(s) == R(s)(XR(s) Z(s)N(s))

    (3.16)

    Budui daN(j) uglavnom posjeduje visokofrekvencijske komponente, pri emu jeR(j) 1,mjerni um direktno se preslikava u spektar E(j). Ulazi referentne veliine i smetnji imajuidentine uinke na E, pa za XR i Z koristimo zamjensku oznaku Xu:

    E(s) = R(s)Xu(s) =1

    1 +Go(s)Xu(s) (3.17)

    Najinteresantniji su iznosi e na pobude oblika Xu(s) = Xu0sr , r 1:

    r = 1 xu(t) = Xu0S(t); r = 2 xu(t) = Xu0tS(t); r = 3 xu(t) = Xu0 t22 S(t); . . .; r = r0 xu(t) = Xu0 tr01(r01)!S(t).

    Proraunajmo e za openite k, r 0:

    e = lims0 sE(s) = lims0 sXu0srskA(s)

    skA(s)+KoB(s)esTt=

    = Xu0 lims0 sk+1rKo+sk

    (3.18)

    Tri su sluaja:

    k + 1 > r e = 0; k + 1 = r e = Xu0Ko za k 6= 0, e = Xu01+Ko za k = 0; k + 1 < r e =.

    23

  • 3. KARAKTERISTIKE LINEARNIH KONTINUIRANIH SUSTAVA

    Primjer 3.1

    Dan je proces prijenosne funkcije Gs kojim treba upravljati prema shemi 3.1 koristei korek-cijski element GR(s):

    Gs(s) =1

    (s+ 1)(s+ 5). (3.19)

    GR(s) =K

    sp(3.20)

    Odredite minimalni iznos p, a zatim minimalni K tako da stacionarna vrijednost regulacijskogodstupanja e na pobudu oblika xR(t) = 3tS(t) bude manja od a) 2 i b) 14 . Signali poremeaja iuma, Z i N , neka su oba 0. Za oba sluaja prikaite sustav upravljanja uz odabrane minimalnep i K diferencijalnom jednadbom uz xR kao ulaz sustava, a y kao izlaz. Diskutirajte uz kojepoetne uvjete y(0), y(0), ... y(p+1)(0) je zahtijevano slijeenje uz zadovoljenje uvjeta nastacionarno odstupanje mogue. Uz dobivene regulatore diskutirajte ispunjenje uvjeta (3.11)na Go sustava.

    Rjeenje:

    Zapiimo najprije kako izgleda prijenosna funkcija otvorenog kruga Go(s):

    Go(s) =K

    sp(s+ 1)(s+ 5)=

    K5

    sp1

    15s

    2 + 65s+ 1(3.21)

    Iz potonjeg oblika Go vidi se da je, prema (3.12), k=p. S druge strane, Laplace-ova transfor-macija od xR je XR(s) = 3s2 , pa time proizlazi da je r = 2. Budui da se za konaan iznose zahtijeva k + 1 = p+ 1 r, minimalni mogui iznos od p je:

    p = r 1 = 1. (3.22)Uz k = 1, r = 2 slijedi za e:

    e =3K5

    =15K

    (3.23)

    . Time za sluajeve a) i b) slijede minimalni iznosi K:

    a) K = Ka = 152 ; b) K = Kb = 60.

    Prijenosna funkcija zatvorenog kruga s obzirom na XR glasi:

    Gx(s) =Y (s)XR(s)

    = T (s) =Go(s)

    1 +Go(s)=

    11K s

    3 + 6K s2 + 5K s+ 1

    (3.24)

    Diferencijalna jednadba koja opisuje ovisnost y o xR za dani sustav upravljanja jednostavnose nalazi iz prijenosne funkcije Gx:

    1K

    d3y

    dt3+

    6K

    d2y

    dt2+

    5K

    dy

    dt+ y = xR (3.25)

    24

  • 3. KARAKTERISTIKE LINEARNIH KONTINUIRANIH SUSTAVA

    Odziv y(t) sustava upravljanja na pobudu xR(t) moe se nai kao suma homogenog i partiku-larnog rjeenja, yh i yp (str. 123. u [2], prirodni i forsirani odziv, tim redom):

    y = yh + yp. (3.26)

    Budui da Gx nema konanih nula, jasno je da je (3.24) minimalna realizacija od Gx, te sesvi prirodni modovi sustava mogu pobuditi na ulazu i oitovati na izlazu sustava upravljanja.Neka su polovi sustava 1, 2 i 3, i pretpostavimo da su svi meusobno razliiti. Tada jehomogeno rjeenje oblika:

    yh(t) = C1e1t + C2e2t + C3e3t (3.27)

    Partikularno rjeenje ili forsirani odziv za pobudu danu s xR(t) trai se u obliku:

    yp(t) = a+ bt, (3.28)

    pri emu se koeficijente a i b rauna direktnim uvrtavanjem yp umjesto y u (3.25) (jer ypmora zadovoljavati diferencijalnu jednadbu):

    5Kb+ a+ bt = 3t, (3.29)

    te nakon izjednaavanja odgovarajuih potencija od t slijedi:

    b = 35K b+ a = 0 a = 15K

    (3.30)

    . Zanimljivo je da se iz koeficijenta a direktno moe oitati i e, s invertiranim predznakom.Koeficijente C1, C2 i C3 nalazi se iz poetnih uvjeta (y(0), y(0), y(0)). Naime, kako pri-jenosna funkcija nema konanih nula, poetni uvjeti u 0 i 0+ sigurno su isti. Zasad, yglasi:

    y(t) = C1e1t + C2e2t + C3e3t + 3t 15K. (3.31)

    Zapisom jednadbi za poetne uvjete, dolazi se do sljedeeg matrino zapisanog linearnogsustava jednadbi [3] po C1, C2 i C3: 1 1 11 2 3

    21 22

    23

    C1C2C3

    = y(0) + 15Ky(0) 3

    y(0)

    . (3.32)Determinanta ovog sustava (krae u matrinom zapisu AC = Y0) je oblika van der Mondeovedeterminante:

    1 1 11 2 321

    22

    23

    = (2 1)(3 1)(3 2), (3.33)koja je uz pretpostavku da su polovi razliiti uvijek razliita od nule. Stoga matrica A1

    postoji, te su njeni reci linearno nezavisni.

    25

  • 3. KARAKTERISTIKE LINEARNIH KONTINUIRANIH SUSTAVA

    Slijeenje je ostvareno samo kada su konstante Ci uz one modove i za koje vrijedi Re(i) 0 jednake 0. Neka odgovarajui Ci tvore vektor C+, dimenzije n+, a odgovarajui retci odA1 neka tvore matricu A+. Svi mogui poetni uvjeti Y0 uz koje e biti ostvareno slijeenjerjeenje su sljedee matrine jednadbe:

    A+Y0 = 0. (3.34)

    Primijetite da je Y0 Cn jer su elementi od A+ openito kompleksni. Naravno, nama eod interesa biti samo oni Y0 sa isto realnim komponentama. Ako je n dimenzija matrice A,onda je dimenzija prostora rjeenja po Y0 (nul-potprostor matrice A+) dana tono s n n+,jer su svi reci od A+ linearno nezavisni.

    Za sluaj a) korijeni karakteristine jednadbe su (naredba roots u Matlabu):

    1a = 5.3256;2a = 0.3372 + 1.1378j;3a = 0.3372 1.1378j.

    (3.35)

    Oito za sve ia vrijedi Re(ia) < 0, pa je dimenzija n+ = 0, a dimenzija poetnih uvjeta uzkoje je slijeenje mogue je n n+ = 3 0 = 3, pa se za poetni uvjet moe uzeti bilo kojivektor [y(0)y(0)y(0)] R3. Dakle, slijeenje e biti ostvareno bez obzira na poetne uvjete.Openito, svi matematiki su svi mogui poetni uvjeti iz prostora C3, no kako je R3 C3naa je konstatacija ispravna.

    Za sluaj b) korijeni karakteristine jednadbe su:

    1b = 6.6152;2b = 0.3076 + 2.9959j;3b = 0.3076 2.9959j.

    (3.36)

    U ovom sluaju n+ = 2, pa je dimenzija kompleksnih poetnih uvjeta uz koje e slijeenjebiti mogue jednaka 1. Nul-potprostor operatora A+ svi su poetni uvjeti koji lee na pravcu y(0) + 15Ky(0) 3

    y(0)

    = c 0.0226 0.0002j0.1494 + 0.0012j0.9885 0.0078j

    , c C.Nas zanima samo sluaj s realnim poetnim uvjetima, a taj se dogaa za c = 0. Dakle jejedino za y(0) + 15Ky(0) 3

    y(0)

    = 000

    y(0)y(0)y(0)

    = 1430

    slijeenje mogue. Svaki infinitezimalno mali pomak poetnih uvjeta iz te toke uzrokovao bida se izlaz sustava po svojim prirodnim modovima raspiri. Sustav s pojaanjem Kb je daklenestabilan i tehniki neupotrebljiv.

    Za oba sluaja, a) i b), uvjet (3.11) na Go(j) zadovoljen je na niskim i visokim frekvenci-jama, no iz primjera se vidi da to svakako nije jedini uvjet kojeg tehniki upotrebljivi sustavupravljanja treba zadovoljiti.

    26

  • 3. KARAKTERISTIKE LINEARNIH KONTINUIRANIH SUSTAVA

    ZADACI ZA VJEBU:

    Zadatak 3.1

    Za svaki od sljedea tri signala xR sa slike 3.1 dana u Laplaceovom podruju;

    1. XR(s) = 5s ,

    2. XR(s) = 5s2 i

    3. XR(s) = 5s3

    odredite korekcijski lan GR(s) minimalnog reda u brojniku i nazivniku te mu pridijelite para-metre, tako da stacionarno regulacijsko odstupanje bude manje od 0.1. Proces je dan s:

    Gs(s) =s+ 1s+ 4

    .

    Za sva tri sluaja naite odzive sustava upravljanja na jedininu skokovitu pobudu, uz nultepoetne uvjete u procesu. Pojedinano za sva tri sluaja raspravite je li slijeenje neovisno opoetnim uvjetima u sustavu upravljanja?

    27

  • Poglavlje 4

    Stabilnost linearnih kontinuiranihsustava

    Linearni vremenski nepromjenjivi sustav upravljanja prijenosne funkcije

    Gcl(s) =Bcl(s)Acl(s)

    (4.1)

    je stabilan ako su realni dijelovi svih nul-toaka od Acl(s) (polovi od Gcl(s)) strogo negativni.Kriteriji kojima se odreuje stabilnost ovih sustava dijele se na algebarske i frekvencijske.

    Prikladni algebarski kriterij stabilnosti za upotrebu pri "runim" proraunima za sustavedo otprilike reda 4 je Hurwitzov kriterij [2], [1]. Da bi ga se primijenilo, svakako prvo trebanai polinom Acl(s):

    Acl(s) = ansn + an1sn1 + . . .+ a1s+ a0. (4.2)

    Sve su nul-toke polinoma Acl(s) u lijevoj poluravnini s-ravnine, odnosno sustav Gcl(s) jestabilan prema Hurwitzovom kriteriju ako:

    ai > 0, i;

    28

  • 4. STABILNOST LINEARNIH KONTINUIRANIH SUSTAVA

    sljedeih n 1 determinanti su pozitivne:D1 = a1 > 0,

    D2 = a1 a0a3 a2

    > 0,D3 =

    a1 a0 0a3 a2 a1a5 a4 a3

    > 0,...

    Dn1 =

    a1 a0 . . . 0

    a3 a2 . . ....

    ......

    . . ....

    0 0 . . . an1

    > 0.

    (4.3)

    Determinanta Di stvara se na nain da se u prvi stupac upie prvih i koeficijenata polinomaAcl s neparnim indeksima poevi od a1. Potom se svaki redak dopuni redom po padajuimindeksima do a0, a elementi desno od a0 u dotinom se retku pune s nulama. Prirodno seumjesto ak za k > n upisuju nule.

    Najee koriteni frekvencijski kriterij stabilnosti je Nyquistov kriterij. Kod Nyquistovogkriterija upotrebljava se prijenosna funkcija otvorenog kruga Go(s) (poglavlje 3) za provjerustabilnosti zatvorenog sustava upravljanja prijenosne funkcije Gcl(s). Go(s) je dano s

    Go(s) =B(s)A(s)

    , (4.4)

    pri emu je B(s) polinom brojnika, a A(s) polinom nazivnika od Go. Polovima zatvorenogkruga odgovaraju nultoke funkcije 1 +Go(s):

    1 +Go(s) = 1 +B(s)A(s)

    =A(s) +B(s)

    A(s). (4.5)

    Vrijedi sljedei teorem o argumentu [4].

    Teorem 4.1. Neka je G(s) : S C = C {} analitika funkcija na nekom S C.Neka je S kontura koja ne prolazi niti jednom nultokom niti polom od G osim eventualnou . Neka ne obuhvaa bitno singularne toke1 od G, a sp1, sp2, . . . , spq neka su svi onikonani polovi od G reda p1, p2, . . . pq, tim redom, te neka su sn1, sn2, . . . snr sve one konanenultoke od G kratnosti n1, n2, . . . nr, tim redom, koji su obuhvaeni konturom . Za promjenuargumenta od G(s) pri punom obilasku sa s po konturi u smjeru kazaljke na satu (povrinaobuhvaena konturom ostaje s desne strane), argG(s), vrijedi sljedee:

    12pi

    argG(s) =q

    k=1

    pk r

    j=1

    nj = P N, (4.6)

    1Kod razlomljeno racionalnih funkcija kompleksne varijable, eventualno s transcendentnom funkcijom kojuunosi element kanjenja takav se tip singularne toke ne pojavljuje.

    29

  • 4. STABILNOST LINEARNIH KONTINUIRANIH SUSTAVA

    pri emu P oznaava ukupan broj polova unutar konture uzetih s pripadnim redovima, a Nukupan broj nultoaka unutar konture uzetih s pripadnim kratnostima.

    Dodatno, ako se na eljenoj konturi ba nalazi neka konana nultoka ili pol od G,potrebno ju je zaobii u infinitezimalno malom luku, ili sa strane da ta toka ue u unutranjostkonture , ili sa strane da ona ne ue. Mi emo to uvijek raditi na nain da kontura zaobiete toke na nain da one ne uu u unutranjost konture. Za takve je toke nuno promatratito se dogaa kad se u limesu pribliuju konturi .

    Neka su polovi i nule prijenosne funkcije G openito rasporeeni kako je dano na slici 4.1.Za konturu odabire se ba imaginarna os u smjeru rastuih frekvencija, te zatvaranje preko

    jravninas

    pol

    nula

    +

    Slika 4.1: Prikaz polova i nula od G i odabir konture .

    kako bi se konturom obuhvatila cijela desna poluravnina s-ravnine. Neka se preslikavanjemG po konturi dobije krivulja G() prikazana na slici 4.2. Promjena argumenta argG jed-naka je promjeni argumenta radij-vektora izmeu ishodita i toaka na G() pri obilasku cijelekrivulje u smjeru odreenom smjerom na konturi . Krivulju treba pratiti u 3 segmenta:na pozitivnoj i negativnoj poluosi, + i , te na zakretu s faze pi2 u pi2 u beskonanosti,:

    argG = + argG+ argG+ argG. (4.7)

    Promjena argumenta u beskonanosti bitna je uvijek ako G zavrava u beskonanosti, a bitnaje i za sluaj ako G zavrava za s = u nuli samo za sluaj kada se poetak radij-vektora nakojem promatramo argument definira u nuli (vidjet emo da za sluaj promatranja argumenta

    30

  • 4. STABILNOST LINEARNIH KONTINUIRANIH SUSTAVA

    ( )G ( )Im G s

    ( )Re G s

    ( )arg 2G P Npi =

    ( ) 1G +

    1

    radij-vektor

    promjena argumentaradij-vektora:

    ( )

    ( )

    za arg 1promatra se promjenaargumenta radij-vektoraizmeu (-1,0 ) i

    G

    j G

    +

    0 = = 0

    Slika 4.2: Prikaz G() i G() + 1.

    od G() + 1 pomou G() poetak radij-vektora nije u nuli). Naime, upravo toka s = esto bude viestruka nula, odnosno pol prijenosne funkcije, pa se na njoj moe dogoditi skoku argumentu, kojeg se ne vidi na Nyquistovom dijagramu, ali matematiki u izraunu onzaista opstoji.

    Uvjerimo se da teorem 4.1 vrijedi za G() s naznaenim polovima i nulama sa slike 4.1.Naime, krenuvi od poetka G(+) (odgovara slici ishodita s-ravnine) i kreui se po usmjeru slika rastuih frekvencija , argument radij-vektora pada od pi do 3pi2 . Dakle je:+ = pi2 . Koliki je za ovaj sluaj? Za odgovor na ovo pitanje, moramo pogledatikoliko konanih nula i polova G ima, to je vidljivo na slici 4.1: ukupni red svih konanihpolova je 7, a ukupna kratnost svih konanih nula 4. Dakle, prijenosna je funkcija oblika:

    G(s) =s4 + . . .s7 + . . .

    , (4.8)

    te uvrtavanjem s = Rej kada R dobivamo:

    limR

    G(R,) = limR

    1R3

    ej3, (4.9)

    pa se dakle pri promjeni argumenta od poetnih pi2 , gdje je argG(, pi2 ) = 3pi2 , do krajnjihpi2 , gdje je argG(,pi2 ) = 3pi2 , argument od G mijenja ovako:

    argG = G(,pi2 )G(,pi

    2) =

    6pi2

    = 3pi. (4.10)

    31

  • 4. STABILNOST LINEARNIH KONTINUIRANIH SUSTAVA

    Doprinos promjene argumenta od uvijek je jednak kao i onaj kod +, jer su krivuljeG(+) i G() meusobno simetrine s obzirom na os Re[G(s)]. Dakle je ukupna promjenaargumenta prema 4.7:

    argG = 2(pi2 ) + 3pi = 2pi. (4.11)Vidimo da isti rezultat slijedi i iz teorema 4.1, jer je razlika broja polova i nula od G u desnojpoluravnini, P N , upravo jednaka 1.

    Izloeni se teorem u provjeravanju stabilnosti zatvorenog kruga upravljanjaGcl(s) na temeljuotvorenog kruga Go(s) koristi na sljedei nain. Prema 4.5, sve nule od 1 + Go(s), odnosnood A(s) + B(s), jedini su polovi prijenosne funkcije Gcl(s). Nae li se promjena argumentaod 1 +Go(s), pri kretanju s po , uz poznati broj polova od 1 +Go(s), tj. nultoki od A(s),lako se prema toeremu o argumentu (teorem 4.1) primijenjenom nad 1 + Go(s) nalazi i brojnula od 1 + Go(s) u desnoj poluravnini, tj. broj nultoki od A(s) + B(s). Naravno, kakoje ve navedeno, za stabilnost zatvorenog sustava upravljanja taj broj mora biti 0 jer su toupravo polovi zatvorenog kruga u desnoj poluravnini s-ravnine. Promotrimo opet sliku 4.2. Unjoj je uz G() ucrtana i krivulja G() + 1 ija se promjena argumenta promatra na jednakinain kao i promjena argumenta G(), pripadnim radij-vektorom. No, umjesto da se crtaG() + 1 i promatra kruenje radij-vektora oko ishodita, kruenje tog radij vektora moe setono reproducirati radij-vektorom iji je poetak u toki (-1,j0), a kraj na G() (slika 4.2).Toka (1, j0) esto se naziva i kritina toka, jer broj okruenja spomenutog radij-vektoraoko nje pri promjeni s du bit e direktno povezan sa stabilnou zatvorenog kruga. Vrijedisljedei Nyquistov kriterij stabilnosti:Promatramo okruenja kritine toke (-1,j0) u smjeru obrnutom od kazaljke na satu (smjer

    rastueg argumenta) radij-vektorom iji je poetak u toj toki, a kraj se pomie po krivulji Go()pri promjeni frekvencije du cijele krivulje . Ako je njihov broj jednak broju polova prijenosnefunkcije otvorenog kruga u desnoj poluravnini, sustav je stabilan. Inae je nestabilan.

    Za razmatrani sluaj sa slika 4.1 i 4.2, broj okruenja kritine toke (-1,j0) pri promjenifrekvencije od do je jednom u smjeru kazaljke na satu, dakle -1 put u smjeru obrnutomod kazaljke na satu. Broj polova od G, pa i od 1 + G u desnoj poluravnini je 2, dakle ebroj nula u desnoj poluravnini od 1+G odnosno polova zatvorenog sustava prema teoremu oargumentu biti N = 3, pa e sustav dobiven zatvaranjem G u zatvorenu petlju biti nestabilan.

    Primijetimo dodatno da prolaz krivulje Go() tono kroz kritinu toku upuuje da za nekufrekvenciju vrijedi Go(j) + 1 = 0, tj. da je j upravo pol zatvorenog kruga. Sustav jetada, dakle, u najmanju ruku, na rubu stabilnosti.

    Specijalan sluaj Nyquistovog kriterija stabilnosti je onaj kod kojeg Go ne posjeduje poloveu desnoj poluravnini. Pritom je onda nuno da pripadni radij-vektor oko toke (1, j0) nenapravi niti jedno okruenje kreui se po Go(), a to drugim rijeima znai da toka (1, j0)ne smije biti obuhvaena krivuljom Go().

    Primjer 4.1

    Na slici 4.3 prikazan je regulacijski krug. Hurwitzovim i Nyquistovim kriterijem odrediteinterval vrijednosti pojaanja K za koje je prikazani regulacijski krug stabilan.

    32

  • 4. STABILNOST LINEARNIH KONTINUIRANIH SUSTAVA

    ( )1

    1s

    s s

    +

    3K

    s +

    +

    -

    ( )RX s ( )Y s

    Slika 4.3: Regulacijski krug.

    Rjeenje:

    Primjena Hurwitzovog kriterija. Kod utvrivanja stabilnosti Hurwitzovim kriterijem, prvotreba izraunati karakteristini polinom (nazivnik prijenosne funkcije zatvorenog kruga). Karak-teristini polinom Acl(s) glasi:

    Acl(s) = s3 + 4s2 + (3K)s+K = a3s3 + a2s2 + a1s+ a0 .

    Nuan uvjet Hurwitzovog kriterija je da svi koeficijenti uz potencije varijable s moraju bitistrogo pozitivni: K > 0 i K < 3. Dovoljan uvjet dobije se rjeavanjem Hurwitzovih determi-nanti koje moraju biti takoer strogo pozitivne:

    H1 = a2 = 4 > 0

    H2 = a2 a0a3 a1

    = 4 K1 3K = 12 5K > 0 K < 125

    H3 =

    a2 a0 0a3 a1 00 a2 a0

    =4 K 01 3K 00 4 K

    = (12 5K)K > 0 K (0, 125 )Slijedi, dakle, da je raspon pojaanja uz koje je razmatrani regulacijski krug stabilan: K (0, 125 ).

    Primjena Nyquistovog kriterija. Kod Nyquistovog kriterija stabilnost zatvorenog sustavaupravljanja odreujemo pomou Nyquistovog dijagrama prijenosne funkcije otvorenog krugaGo(s). Ona glasi:

    Go(s) =K(1 s)

    s(s+ 1)(s+ 3)=K

    31 s

    s(1 + s)(1 + s3).

    Da bismo skicirali pripadni Nyquistov dijagram, najbolje je krenuti od pripadnog Bodeovogdijagrama, gdje se zasebno jednostavnim pravilima iscrtavaju posebno amplitudna, posebnofazna karakteristika, pa ih se potom "spoji" zajedno u kompleksnoj ravnini u Nyquistovdijagram. Najee je dovoljno nai kako se krivulja ponaa u okolini toaka = 0, = 0+i = . Karakteristine toke krivulje, poput mjesta presjecita s imaginarnom osi ipripadne frekvencije, koje su vane za utvrivanje broja zaokruenja kritine toke, ionako setijekom prorauna analitiki nalaze. No, svakako je vano skicirati smjer krivulje i zatvoritiju na valjani nain. Za K > 0 slijedi:

    33

  • 4. STABILNOST LINEARNIH KONTINUIRANIH SUSTAVA

    = 0+ |Go(j)| =, arg(Go(j)) = pi2 , dodatno se moe proraunati nalaenjemrealnih i imaginarnih dijelova od Go da je lim0Re[Go(j)] = 7K9 ;

    = |Go(j)| = 0, arg(Go(j)) = 2pi, primijetite da nam sada nije interesantnookruenje toke 0 u slici Go(j), jer u 0 nije poetak radij-vektora kojim promatramozaokruenja;

    iz pripadnog se Bodeovog dijagrama moe uoiti da faza i amplituda u raspona frekven-cija (0,) neprestano padaju;

    promjena iz = 0 u = 0+ uz s = j = jRej za Go u okolici nule glasi:

    limR0

    Go(R,) =K

    3Rej,

    stoga se pri prijelazu kroz 0 u smjeru zadanom krivuljom obilaska (0 = pi2 arg(Go) = pi2 prema 0+ = pi2 arg(Go) = pi2 ) arg(Go) mijenja za pi (kruenje usmjeru padajueg argumenta (smjer kazaljke na satu));

    Iz upravo navedenih razmatranja, moe se zakljuiti da Nyquistov dijagram za K > 0 izgledakako je dano na slici 4.4. Za ovakav Nyquistov dijagram sustav e biti stabilan, po Nyquistovu

    [ ]Re ( )oG jw

    [ ]Im ( )oG jw

    0w +

    pw w=

    79K

    -

    0w -

    w

    R

    Slika 4.4: Nyquistov dijagram.

    kriteriju, ako i samo ako je broj zaokruenja oko kritine toke radij-vektora s poetkomu kritinoj toki, a vrhom na Nyquistovoj krivulji, kad se frekvencija mijenja od do, jednak broju nestabilnih polova otvorenog kruga. No, broj nestabilnih polova prijenosnefunkcije otvorenog kruga je 0, pa toliki mora biti i broj zaokruenja ako elimo da sustav budestabilan. Iz prikazanog Nyquistovog dijagrama proizlazi da e broj spomenutih zaokruenjabiti potrebnih 0 kada kritina toka ostane lijevo od presjecita Nyquistove karakteristike inegativne realne osi. U protivnom, broj zaokruenja radij vektora oko kritine toke bit e2 te emo imati za 1 + Go da je P N = 2, tj. uz P = 0 da je N = 2. PresijecanjeNyquistove krivulje i negativne realne osi zbiva se pri frekvenciji pi, koja se nalazi na nain:

    argGo(jpi) = pi2 arctanpi arctanpi3 arctanpi = pi.

    34

  • 4. STABILNOST LINEARNIH KONTINUIRANIH SUSTAVA

    Dvama uzastopnim primjenama relacije za zbroj funkcija arctan

    arctanx+ arctan y = arctanx+ y1 xy , (4.12)

    dolazi se do sljedee relacije:

    arctan3pi + 7pi3 52pi

    =pi

    2

    3 52pi = 0 pi =35.

    Prema gore izloenom, zahtijevamo za K > 0:

    |Go(jpi)| = K3

    1 + 2pi

    pi(1 + 2pi)(1 +2pi9 )

    < 1

    K < 3pi1 +

    2pi9

    = 3

    35

    4845

    =3316 3

    55 9 =

    125.

    to se dogaa zaK < 0? Nyquistov dijagram je samo dodatno zarotiran zapi zbog doprinosapredznaka od K fazi. No, primijetite da u tom sluaju za bilo koju vrijednost |K| uvijekpostoji zaokruenje Nyquistove krivulje oko kritine toke, pa je sustav nuno nestabilan.Ostaje dakle jedino:

    K (0, 125),

    ba kao to je dao i Hurwitzov kriterij. Ovi kriteriji uvijek daju isti rezultat, jer odgovarajuna dva naina na isto pitanje: "Je li zatvoreni sustav upravljanja stabilan?".

    Primjer 4.2

    Za sustav prikazan na slici 4.5 potrebno je koristei Nyquistov kriterij stabilnosti, odreditipodruje parametra K pri kojem svi polovi zatvorenog regulacijskog kruga imaju realni diomanji od 1 (rafirano podruje na slici 4.6).

    )3)(2)(1(1

    +++ sssK+

    )(sX )(sY

    Slika 4.5: Zatvoreni regulacijski krug

    Rjeenje:

    Budui da se desno od pravca s = 1 u kompleksnoj s-ravnini ne smije nalaziti niti jedan polprijenosne funkcije, iskoristit emo teorem o argumentu i izloeni Nyquistov kriterij stabilnosti

    35

  • 4. STABILNOST LINEARNIH KONTINUIRANIH SUSTAVA

    j

    1

    Slika 4.6: Dozvoljeno podruje polova zatvorenog kruga

    da naemo u kojem se podruju koeficijent pojaanja K mora nalaziti. Naime, zaokruenjepo sljedeoj konturi od Go ne smije sadravati niti jednu nulu od 1 +Go (pol od Gcl):

    + ={s = 1 + j C : R+ {0}

    },

    ={ : arg [pi

    2,pi

    2]},

    ={s = 1 + j C : R

    },

    = + .Kontura za ovaj je primjer ilustrirana slikom 4.7. Budui da se niti jedan pol odGo ne nalazi

    s

    jw

    01-

    podruje u kojem sesmiju nalaziti polovi

    +

    G G

    -

    G

    Slika 4.7: Prikaz konture .

    unutar konture , po teoremu o argumentu toka (1, j0) niti jednom se ne smije okruitis Go(), pa se niti jedna nula od 1 + Go(s), tj. pol zatvorenog sustava, nee nai desno od+ , tj. u nedozvoljenom podruju. Oznaimo:

    Go()| = Go(1 + j) = G(s)|s=j =K2

    j(1 + j)(2 + j)

    36

  • 4. STABILNOST LINEARNIH KONTINUIRANIH SUSTAVA

    Dakle, praktiki crtamo Nyquistov dijagram za G(j) koji sasvim odgovara funkciji Go() =Go(1 + j).2 Za sluaj K > 0 on izgleda kako je dano na slici 4.8. U duhu rasprave o

    R

    0w +

    0w -

    w [ ]Re '( )G jw

    [ ]Im '( )G jw

    34K

    -

    ( )G +G

    ( )G -G

    pw w=

    Slika 4.8: Nyquistov dijagram za G(j) uz K > 0.

    argumentu, treba vidjeti kako na oblik Go() bitno utjee pol koji se nalazi tik do (pol u1), ali izvan konture. Kada 0, G(j) postaje, uz j = Rej:

    limR0

    G(j) =K

    2Rej,

    pa je za R 0 uz = pi2 faza vea nego uz = pi2 . Dakle, prolaskom kroz 0 u smjeru konture i promjenom faze iz negativne u pozitivnu argument od G() mijenja se za pi (kretanjeargumenta u smjeru kazaljke na satu, vidi sliku!), te uz odgovarajui raspon pojaanja K neobuhvaa toku (1, j0) zdesna.3

    2Alternativno, moemo rei da traimo interval pojaanja K, uz koje je zatvoreni krug s prijenosnomfunkcijom otvorenog kruga G(s) stabilan. Dakle, ostatak zadatka bi se u tom sluaju sveo ba na analizustabilnosti, ne nuno po Nyquistovu kriteriju.

    3Preptostavka na iznose u okolici nule navedena je za sluaj kada pol u 1 slijeva tei konturi naslici 4.7. Kad pol u 1 tei zdesna konturi , tj. kad se nalazi unutar konture, kut u Rej mijenja seod pi

    2do 3pi

    2, pa je promjena argumenta od G() prolaskom tik uz pol u 1 u smjeru konture s pi

    2

    37

  • 4. STABILNOST LINEARNIH KONTINUIRANIH SUSTAVA

    Dakle, uz K > 0, sve su vrijednosti od K prihvatljive dok god Nyquistov dijagram neobuhvati kritinu toku. To e se dogoditi za |G(jpi)| 1, pri emu frekvencija pi odgovarafrekvenciji na kojoj je argG = pi. Iz potonje jednakosti naimo frekvenciju pi:

    argG(jpi) = pi2 arctanpi arctanpi2

    = pi arctanpi + arctan pi2 =

    pi

    2.

    Iz formule za zbroj dviju funkcija arctan, relacija (4.12), slijedi:

    arctan32pi

    1 2pi2=pi

    2

    32pi

    1 2pi2=

    pi =2.

    Za K > 0 prihvatljivi su K za koje vrijedi:G(jpi) = K2pi

    (1 + 2pi)(1 +

    2pi4 )

    1

    K 6.to e biti kad su pojaanja negativna (K < 0)? Negativni predznak pojaanja promijenit eNyquistov dijagram sa slike 4.8 utoliko to e sve biti zarotirano za kut pi. U tom sluajue pripadni Nyquistov dijagram uvijek obuhvaati kritinu toku, pa su dakle polovi uvijek unedozvoljenom podruju. Dakle, rjeenje je:

    K (0, 6).

    ZADACI ZA VJEBU:

    Zadatak 4.1

    Za regulacijski sustav prikazan na slici 4.9 potrebno je primjenom Hurwitzovog kriterija sta-bilnosti odrediti interval vrijednosti pojaanja KR za koje je prikazani sustav stabilan.

    Zadatak 4.2

    Za sustav upravljanja s mrtvim vremenom (vidi sliku 4.10) potrebno je primjenom Nyquistovogkriterija stabilnosti odrediti interval vrijednosti mrtvog vremena Tt za koji je sustav stabilan.Zadano je: K = 5, T1 = 10[s]

    na 3pi2. Nyquistov dijagram sa slike 4.8 promijenio bi se samo utoliko to bi krivulja G(j) u prolazila

    drugim pa treim kvadrantom, u smjeru porasta argumenta. Sad bismo za ispunjenje uvjeta zadatka, prematoeremu o argumentu, traili jedno okruenje toke (1, j0) s G() u smjeru kazaljke na satu, jer kontura sada obuhvaa tono jedan pol od G. Tako bi opet broj nula od 1 + G obuhvaenih konturom bio 0 zaodgovarajui raspon od K.

    38

  • 4. STABILNOST LINEARNIH KONTINUIRANIH SUSTAVA

    - - KR - 1 7s2 3s(s+ 0.5)2(2s+ 3) -6

    yR y+

    -

    Slika 4.9: Regulacijski sustav.

    - - K - 1 + T1ss2 -

    kanjenje Tt

    6

    yR y+

    -

    Slika 4.10: Regulacijski sustav s mrtvim vremenom.

    Zadatak 4.3

    Zadan je proces

    G(s) =s 1

    (s+ 3)(s+ 4)

    kojeg elimo upravljati PI regulatorom prema shemi na slici 4.11. Naite koje sve uvjete trebaju

    1 IR

    I

    sTKsT+ ( )G sRy +

    y

    Slika 4.11: Blokovska shema upravljanja.

    zadovoljiti parametri PI regulatora da bi zatvoreni sustav upravljanja bio stabilan. Predloiteizbor parametra KR da sustav bude stabilan kada je TI = 0.5 s.

    39

  • Poglavlje 5

    Krivulja mjesta korijena

    Mijenjanjem jednog parametra regulacijskog kruga mijenjaju se poloaji korijena karakteris-tine jednadbe zatvorenog regulacijskog kruga u s - ravnini. Na taj nain korijeni opisujuputanju u s - ravnini koja se naziva krivuljom mjesta korijena zatvorenog regulacijskogkruga. Na temelju izgleda krivulje mjesta korijena zakljuuje se o stabilnosti zatvorenog reg-ulacijskog kruga te o relativnoj" stabilnosti na temelju udaljenosti polova od imaginarneosi s - ravnine. Najee se kao promjenjiv parametar regulacijskog kruga uzima pojaanjeko otvorenog regulacijskog kruga. Pretpostavimo da je prijenosna funkcija otvorenog regu-lacijskog kruga Go(s) razlomljena racionalna funkcija oblika:

    Go(s) = ko(s sN1)(s sN2)...(s sNm)(s sP1)(s sP2)...(s sPn) = ko

    B(s)N(s)

    = ko G(s), (5.1)

    gdje su sN za = 1, ...,m nule prijenosne funkcije, a sP za = 1, ..., n polovi prijenosnefunkcije. Pojaanje ko uvijek se uzima kao pozitivan broj, a brojnik prijenosne funkcije raz-matra se u dva sluaja: monian

    polinom jestpolinomkoji imakoeficijent 1uz lan snajveompotencijom

    i) B(s) je monian polinom;

    ii) B(s) je monian polinom.

    Iz karakteristine jednadbe zatvorenog regulacijskog kruga (5.2), odnosno (5.3), odreuju seamplitudni (5.4) i fazni uvjet (5.5) za odreivanje krivulje mjesta korijena.

    1 + k0G(s) = 0 (5.2)G(s) = 1k0 (5.3)|G(s)| = 1k0 (5.4)

    arg[G(s)] = 180(2k 1), za k = 1, 2, 3, ... (5.5)

    Sve toke kompleksne ravnine koje zadovoljavaju fazni uvjet predstavljaju geometrijsko mjestosvih moguih polova zatvorenog regulacijskog kruga (KMK), dok amplitudni uvjet daje infor-maciju o pojaanju ko u pojedinim tokama KMK. Iz amplitudnog i faznog uvjeta izvedena

    40

  • 5. KRIVULJA MJESTA KORIJENA

    su opa pravila za priblino crtanje krivulje mjesta korijena koja su navedena u primjerimagdje su i primijenjena.

    Primjer 5.1

    Za sustav zadan slikom 5.1 skicirati krivulju mjesta korijena kada se K mijenja od nule doneizmjerno.

    - - 10s+ 110s - Ks(10s+ 1)(s+ 1)2 -6

    yR y+

    -

    u

    GR(s) G(s)

    Slika 5.1: Regulacijski sustav s PI-regulatorom.

    Rjeenje:

    Polazite za odreivanje KMK jest prijenosna funkcija otvorenog kruga:

    Go(s) = Ks10s+ 1

    10s(10s+ 1)(s+ 1)2. (5.6)

    Prijenosnu funkciju svodimo na oblik prema 5.1:

    Go(s) = kos+ 110

    s(s+ 110)(s+ 1)2, (5.7)

    pri emu je ko = Ks10 > 0. Iz oblika prijenosne funkcije (5.7) vidimo da je brojnik B(s) monianpolinom. Primjenom sljedeih pravila mogue je priblino skicirati KMK:

    izraunati nule prijenosne funkcije Go(s) i oznaiti ih s o u s - ravnini:m je brojnula Go(s)

    m = 1,

    sN1 = 110;

    izraunati polove prijenosne funkcije Go(s) i oznaiti ih s x u s - ravnini:n je brojpolovaGo(s)

    41

  • 5. KRIVULJA MJESTA KORIJENA

    n = 4,sP1 = 0,

    sP2 = 110 ,sP3 = 1,sP4 = 1;

    toka na realnoj osi s = + j0 pripada KMK ako je ukupan broj nula i polova desnood nje neparan:

    , 0] ;

    m grana KMK koje poinju u polovima otvorenog regulacijskog kruga zavravaju unulama regulacijskog kruga, a nm grana KMK preostalih polova tee u :

    nm = 3;

    izraunati toku teista korijena, koja je sjecite nm grana, prema:

    a =1

    nm

    n

    =1

    Re(sP)m=1

    Re(sN)

    , (5.8)a =

    13

    {(0 1

    10 1 1) ( 1

    10)}= 2

    3;

    odrediti i ucrtati u s - ravninu asimptote n m grana kao polupravce s poetkom utoki teista korijena i pod kutem raunanog prema:

    k =180(2k 1)

    nm , k = 1, 2, ..., nm , (5.9)

    1 =1803

    = 60,

    2 =3 1803

    = 180,

    3 =5 1803

    = 300 = 60;

    42

  • 5. KRIVULJA MJESTA KORIJENA

    izmeu dva pola/nule na dijelu realne osi koji pripada KMK nalazi se barem jedna tokagrananja/sjedinjenja s = v odreena prema:

    n=1

    1s sP =

    m=1

    1s sN (5.10)

    1s+

    1s+ 110

    +1

    s+ 1+

    1s+ 1

    =1

    s+ 110

    v = 13 , v KMK toka grananja

    odrediti i oznaiti u s - ravnini izlazne kutove I iz polova te ulazne kutove U u nuleotvorenog regulacijskog kruga prema:

    rPi i rNi sukratnostipola Pi tenule Ni

    I,k(sPi) =1rPi

    m=1

    ](sPi sN)n

    = 1 6= i

    ](sPi sP) + 180(2k 1)

    , k = 1, ..., rPi ,(5.11)

    U,k(sNi) =1rNi

    n

    =1

    ](sNi sP)m

    = 1 6= i

    ](sNi sN) + 180(2k 1)

    , k = 1, ..., rNi ,(5.12)I(sP1) = 0 (0 + 0 + 0) + 180 = 180,I(sP2) = 0 (180 + 0 + 0) + 180 = 0,I,1(sP3) =

    12(180 (180 + 180 + 0) + 180) = 0,

    I,2(sP4) =12(180 (180 + 180 + 0) + 3 180) = 180 = 0,

    U (sN1) = 180 + 0 + 0 + 0 + 180 = 360 = 0.

    Egzaktan prikaz KMK dan je na slici 5.2.

    Primjer 5.2

    Za regulacijski sustav prikazan slikom 5.3 skicirati krivulju mjesta korijena kada se |KR|mijenja od nule do neizmjerno.

    Rjeenje:

    Skiciranje KMK podijelit emo na dva sluaja:

    43

  • 5. KRIVULJA MJESTA KORIJENA

    2 1.5 1 0.5 0 0.5

    1

    0.8

    0.6

    0.4

    0.2

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    Root Locus

    Real Axis

    Imag

    inar

    y Ax

    is

    sP3 sP4

    sP2 sP1 a

    sN1

    v

    k0=1.98

    k0=1.98

    k0=0.148

    Slika 5.2: Rjeenje primjera 1.

    - - KR -1 s2 s(s+ 1)2(s+ 2) -6

    yR y+

    -

    Slika 5.3: Regulacijski sustav.

    44

  • 5. KRIVULJA MJESTA KORIJENA

    i) KR 0ii) KR 0

    Prijenosna funkcija otvorenog kruga za sluaj i) je oblika:

    Go(s) = KRs(s 1)

    (s+ 1)2(s+ 2)= KR

    B(s)N(s)

    . (5.13)

    Iz oblika prijenosne funkcije (5.13) vidimo da je polinom B(s) monian pa vrijede netodrugaija pravila za skiciranje KMK:

    izraunati nule prijenosne funkcije Go(s) i oznaiti ih s o u s - ravnini:

    m = 2,sN1 = 0,sN2 = 1;

    izraunati polove prijenosne funkcije Go(s) i oznaiti ih s x u s - ravnini:

    n = 3,sP1 = 1,sP2 = 1,sP3 = 2;

    toka na realnoj osi s = + j0 je KMK ako je ukupan broj nula i polova desno od njeparan:

    [2, 0] [1, ;

    m grana KMK koje poinju u polovima otvorenog regulacijskog kruga zavravaju unulama regulacijskog kruga, a nm grana KMK preostalih polova tee u :

    nm = 1;

    45

  • 5. KRIVULJA MJESTA KORIJENA

    izraunati toku teista korijena, koja je sjecite nm grana, prema izrazu (5.14):

    a =1

    nm

    n

    =1

    Re(sP) +m=1

    Re(sN)

    , (5.14)a = {(1 1 2) + (0 + 1)} = 3;

    odrediti i ucrtati u s - ravninu asimptote n m grana kao polupravce s poetkom utoki teista korijena i kutom raunanog prema:

    k =180 2knm , k = 1, 2, ..., nm , (5.15)

    1 = 0;

    izmeu dva pola/nule na dijelu realne osi koji pripada KMK nalazi se barem jedna tokagrananja/sjedinjenja s = v odreena prema:

    1s+ 1

    +1

    s+ 1+

    1s+ 2

    =1s+

    1s 1 ,

    v1 = 4.2899, v1 KMK toka sjedinjenja,v2 = 1.5842, v2 KMK toka grananja,v3 = 0.2943, v2 / KMK;

    odrediti i oznaiti u s - ravnini izlazne kutove I iz polova te ulazne kutove U u nuleotvorenog regulacijskog kruga prema:

    46

  • 5. KRIVULJA MJESTA KORIJENA

    I,k(sPi) =1rPi

    m=1

    ](sPi sN)n

    = 1 6= i

    ](sPi sP) + 180 2k

    , k = 1, ..., rPi ,(5.16)

    U,k(sNi) =1rNi

    n

    =1

    ](sNi sP)m

    = 1 6= i

    ](sNi sN) + 180 2k

    , k = 1, ..., rNi ,(5.17)I,1(sP1) =

    12(180 + 180 (0 + 0) + 360) = 0,

    I,2(sP2) =12(180 + 180 (0 + 0) + 2 360) = 180,

    I(sP3) = 180 + 180 (180 + 180) + 360 = 0,U (sN1) = 0 + 0 + 0 180 + 360 = 180,U (sN2) = 0 + 0 + 0 0 + 360 = 0.

    Egzaktan prikaz KMK za sluaj i) dan je na slici 5.4.Prijenosna funkcija otvorenog kruga za sluaj ii):

    Go(s) = Ks(s 1)

    (s+ 1)2(s+ 2)= K

    B(s)N(s)

    , (5.18)

    gdje je K = KR 0. Prema izrazu (5.18) polinom B(s) je monian pa vrijede pravilaizloena u prvom primjeru za skiciranje KMK. Navedena su samo ona pravila koja se razlikujuod onih primijenjenih u sluaju i):

    toka na realnoj osi s = + j0 je KMK ako je ukupan broj nula i polova desno od njeneparan:

    ,2] {1} [0, 1] ;

    izraunati toku teista korijena prema:

    a = {(1 1 2) (0 + 1)} = 5;

    odrediti i ucrtati u s - ravninu asimptote n m grana kao polupravce s poetkom utoki teista korijena i kutem raunanog prema (5.9):

    47

  • 5. KRIVULJA MJESTA KORIJENA

    5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 54

    3

    2

    1

    0

    1

    2

    3

    4Root Locus

    Real Axis

    Imag

    inar

    y Ax

    is

    sP3 sP1 sP2

    sN1 sN2

    v1 v2

    k0=3.77

    k0=3.77

    k0=0.0347 k0=12.5

    Slika 5.4: Rjeenje primjera 2 za sluaj i).

    48

  • 5. KRIVULJA MJESTA KORIJENA

    1 = 180;

    izmeu dva pola/nule na dijelu realne osi koji pripada KMK nalazi se barem jedna tokagrananja/sjedinjenja s = v odreena prema (5.10):

    v1 = 4.2899, v1 / KMK,v2 = 1.5842, v2 / KMK,v3 = 0.2943, v2 KMK toka sjedinjenja;

    odrediti i oznaiti u s - ravnini izlazne kutove I iz polova te ulazne kutove U u nuleotvorenog regulacijskog kruga prema izrazima (5.11) te (5.12):

    I,1(sP1) =12(180 + 180 (0 + 0) + 180) = 90,

    I,2(sP2) =12(180 + 180 (0 + 0) + 3 180) = 90,

    I(sP3) = 180 + 180 (180 + 180) + 180 = 180,U (sN1) = 0 + 0 + 0 180 + 180 = 0,U (sN2) = 0 + 0 + 0 0 + 180 = 180.

    Egzaktan prikaz KMK za sluaj ii) dan je na slici 5.5.ZADACI ZA VJEBU:

    Zadatak 5.1

    Za regulacijski krug prikazan na slici 5.6 nacrtajte krivulju mjesta korijena sustava kada seK mijenja od nule do neizmjerno.

    Zadatak 5.2

    Za regulacijski krug prikazan na slici 5.7 nacrtajte krivulju mjesta korijena sustava kada seK mijenja od nule do neizmjerno.

    Zadatak 5.3

    Za regulacijski krug prikazan na slici 5.8 nacrtajte krivulju mjesta korijena sustava kada seK mijenja od nule do neizmjerno.

    49

  • 5. KRIVULJA MJESTA KORIJENA

    2.5 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.50.8

    0.6

    0.4

    0.2

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    sP1 sP2

    sN1 sN2 sP3 v3

    K=4.78

    K=4.78

    K=18.5

    Slika 5.5: Rjeenje primjera 2 za sluaj ii).

    - - Ks(s+ 4) -s+ 1

    s+ 2

    6

    yR y+

    -

    Slika 5.6: Regulacijski krug.

    - - K - s+ 2s2 + 3s+ 4 -1

    s+ 1

    6

    yR y+

    -

    Slika 5.7: Regulacijski krug.

    50

  • 5. KRIVULJA MJESTA KORIJENA

    - - K - 1s 1 -s+ 2

    (s+ 1)2 + 1

    6

    yR y+

    -

    Slika 5.8: Regulacijski krug.

    51

  • Poglavlje 6

    Sinteza sustava u frekvencijskompodruju

    Sinteza sustava upravljanja u frekvencijskom podruju dugo vremena je bila jedna od najz-naajnijih metoda projektiranja sustava upravljanja. Razlog tomu lei u injenici da frekvenci-jska karakteristika serijski povezanih dinamikih sustava1 (regulator i proces) odgovara zbra-janju njihovih frekvencijskih karakteristika u Bodeovom dijagramu. Kako bi se zadovoljilizahtjevi na sustav upravljanja koji se obino izraavaju pokazateljima kvalitete zatvorenogregulacijskog kruga u vremenskom (nadvienje, vrijeme porasta, vrijeme smirivanja i sl.) i/ilifrekvencijskom podruju (irina pojasa proputanja b, rezonantno izdizanjeMr), potrebno jete zahtjeve na neki nain "transformirati" u zahtjeve na frekvencijsku karakteristiku otvorenogkruga. Okvirna povezanost frekvencijske karakteristike otvorenog kruga s pokazateljimavladanja zatvorenog regulacijskog kruga prikazana je na slici 6.1. Vidljivo je da frekvencijskakarakteristika otvorenog regulacijskog kruga u podruju niskih frekvencija odreuje ponaanjezatvorenog sustava u stacionarnom stanju, odnosno kompenzaciju nisko-frekvencijskih smet-nji. Tako npr., ukoliko je nagib amplitudne karakteristike na niskim frekvencijama 0, tadae sustav imati pogreku stacionarnom stanju na skokovitu postavnu vrijednost. Ukoliko je,s druge strane, poetni nagib amplitudno-frekvencijske karakteristike 1, tada je osiguranastacionarna tonost na skokovitu postavnu vrijednost, ali postoji konana pogreka slijeenjafunkcije linearnog porasta (kinetika pogreka).

    S druge strane, prijelazna je pojava odreena frekvencijskim karakteristikama na srednjimfrekvencijama (oko presjene frekvencije), dok frekvencijska karakteristika na visokim frekven-cijama odreuje osjetljivost sustava na mjerni um, odnosno visoko-frekvencijske poremeaje.

    Egzaktna veza izmeu pokazatelja kvalitete zatvorenog regulacijskog kruga (u vremenskomi frekvencijskom podruju) i odgovarajuih zahtjeva na frekvencijsku karakteristiku otvorenogkruga postoji za sustave I i II reda, ali se te relacije mogu uvjetno koristiti i za sustave viihredova, ograniavajui se samo na dominantne dinamike sustava. Naravno, ovim aproksi-macijama se unosi odreena pogreka u proraun, pa je esto nakon analitikog postupkaodreivanja parametara regulatora potrebno dodatno napraviti "fino" ugaanje parametara,

    1Serijska veza dinamiki sustava je opisana u vremenskom podruju operacijom konvolucije izmeu njih

    52

  • 6. SINTEZA SUSTAVA U FREKVENCIJSKOM PODRUJU

    Slijeenje, kompenzacija NF poremeaja

    [ ]/rad sRobusnost, osjetljivost na pogreke modeliranja

    Osjetljivost na um i VF poremeaje

    [ ]A dB

    Slika 6.1: Bodeov dijagram

    kako bi se ispunili zahtjevi na sustav upravljanja.U tablici 6.1 dan je popis najbitnijih priblinih relacija koje povezuju pokazatelje kvalitete

    zatvorenog regulacijskog kruga i odgovarajue parametre frekvencijske karakteristike otvorenogkruga. Premda su ove relacije pribline one daju kvalitativan uvid u povezanost vremen-skog i frekvencijskog podruja. Svakako najbitniji parametar u frekvencijskoj karakteristiciotvorenog kruga koji odreuje ponaanje sustava je presjena frekvencija c. Oito je davei iznos presjene frekvencije c, osigurava bri odziv u vremenskom podruju. No osimovog, kod odreivanja (eljene) presjene frekvencije potrebno je uzeti u obzir i ostale faktorekoji utjeu na ovaj odabir, kao to su upravljaki signal (c dinaminiji upravljaki sig-nal), spektar signala poremeaja i uma koji djeluju na proces (c sustav osjetljiviji naum i VF poremeaje), nesigurnost modeliranja (c treba biti u podruju u kojem je model"vjeran")

    Samo oblikovanje frekvencijskih karakteristika se obino obavlja koritenjem korekcijskihdinamikih lanova, meu kojima su najvaniji korekcijski lan s faznim prethoenjem(engl. Phase Lead Compensator) i korekcijski lan s faznim kanjenjem (engl. PhaseLag Compensator).

    6.1 Korekcijski lan s faznim prethoenjem

    Korekcijski lan s faznim prethoenjem se obino koristi ako je potrebno korigirati frekvenci-jsku karakteristiku oko presjene frekvencije, te na taj nain utjecati na prijelaznu pojavu uvremenskom podruju. Najee se to odnosi na poveanje faznog osiguranja, te se time direk-

    53

  • 6. SINTEZA SUSTAVA U FREKVENCIJSKOM PODRUJU

    Pokazatelj kvalitete zatv. reg. kruga RelacijaNadvienje m 70 , 0.3 < < 0.8Vrijeme prvog maksimuma tm tm 3

    c, 0.3 < < 0.8

    Vrijeme porasta ta,50 ta,50 1c(1 m[%]

    250

    ), 0 < < 1

    Propusni opseg b b 1.2 1.5c, b 2.3ta,50

    Rezonantno izdizanje Mr Mr =1

    21 2

    Rezonantna frekvencija r r = n1 2

    Vrijeme ustaljivanja t1% t1% 4.6n

    Tablica 6.1: Pribline relacije koje povezuju pokazatelje kvalitete zatvorenog regulacijskogkruga s odgovarajuim parametrima frekvencijske karakteristike otvorenog kruga

    tno utjee na iznos nadvienja u vremenskom odzivu. Korekcijski lan s faznim prethoenjemopisan je sljedeom prijenosnom funkcijom:

    Gkp =1 + sT1 + sT

    , < 1, (6.1)

    dok je njegova frekvencijska karakteristika prikaza na slici 6.2. Okvirna procedura za projek-

    1T

    1T

    0.1T

    10T

    m

    m

    120log

    1arcsin

    1

    +

    max

    Slika 6.2: Frekvencijska karakteristika korekcijskog lana s faznim prethoenjem

    tiranje korekcijskog lana s faznim prethoenjem sastoji se od sljedeih koraka:

    1. Dodavanjem pojaanja u otvoreni krug podesiti eljnu presjenu frekvenciju (slika 6.3 a);

    54

  • 6. SINTEZA SUSTAVA U FREKVENCIJSKOM PODRUJU

    2. Proraunati maksimalno izdizanje fazne karakteristike korekcijskog lana max koje jepotrebno ostvariti da bi se postiglo eljeno fazno osiguranje. Na temelju max rauna sepotrebni odnos izmeu lomnih frekvencija korekcijskog lana . Vremenska konstantaT korekcijskog lana se odabire tako da frekvencija maksimalnog izdizanja faze budejednaka eljenoj presjenoj frekvenciji:

    T =1c

    (6.2)

    Dodavanjem korekcijskog lana uz tako odreene parametre fazna karakteristika na pres-jenoj frekvenciji c je podignuta za = max, ali je istovremeno dolo do korekcijeamplitudne karakteristike (slika 6.3 b);

    3. Kako pojaanje korekcijskog lana na presjenoj frekvenciji (frekvenciji maksimalnogizdizanja faze max) iznosi 1 , potrebno je korigirati (spustiti) amplitudnu karakteris-tiku upravo s faktorom

    , da bi presjena frekvencija c ostala nepromijenjena (slika

    6.3 c).

    A

    A

    C

    1T

    1T

    A

    C

    1T

    1T

    120log

    pi pi pi

    Slika 6.3: Projektiranje korekcijskog lana s faznim prethoenjem

    6.2 Korekcijski lan s faznim kanjenjem

    Korekcijski lan s faznim kanjenjem obino se koristi ukoliko je potrebno korigirati frekven-cijsku karakteristiku u nisko-frekvencijskom podruju, te na taj nain utjecati na ponaanje

    55

  • 6. SINTEZA SUSTAVA U FREKVENCIJSKOM PODRUJU

    sustava u stacionarnom stanju. Prijenosna funkcija korekcijskog lana s faznim kanjenjemglasi:

    Gkk =1 + sT1 + sT

    , > 1, (6.3)

    dok je njegova frekvencijska karakteristika je prikazana na slici 6.4.

    -10

    -8

    -6

    -4

    -2

    0

    Ampli

    tuda [

    dB]

    -30

    -25

    -20

    -15

    -10

    -5

    0

    Faza

    []

    1T

    1T

    m

    0.1T

    10T

    ( )20log

    1sin

    1arc

    +

    min

    Slika 6.4: Frekvencijska karakteristika korekcijskog lana s faznim kanjenjem

    Okvirna procedura projektiranja korekcijskog lana s faznim kanjenjem sastoji se od sljedeihkoraka:

    1. Na temelju specificiranog ponaanja sustava u stacionarnom stanju (koeficijent statikepogreke, koeficijent brzinske pogreke, i sl. ) potrebno je odrediti iznos potrebne ko-rekcije amplitudne karakteristike K u podruju niskih frekvencije kako bi se osiguraloeljeno ponaanje (slika 6.5 a);

    2. Budui da ukupna korekcija amplitudne karakteristike koju unosi korekcijski lan sfaznim kanjenjem iznosi (slika 6.4), odabire se = K.

    3. Vremenska konstanta T korekcijskog lana se odreuje na nain da korekcijski lanne utjee znaajno na iznos faznog osiguranja . To znai da je potrebno odabrati1/T c/10 (ili ak 1/T c/50). Dodavanjem korekcijskog uz ovako odreeneparametre pojaanje na niskim frekvencijama ostaje nepromijenjeno, dok na srednjim (ivisokim) frekvencijama dolazi do pada amplitudne karakteristike za iznos 20 log (slika6.5 b).

    4. Kako elimo da korekcijski lan ne utjee na amplitudnu karakteristiku na srednjimfrekvencijama potrebno dodatno korigirati amplitudnu karakteristiku s pojaanjem =K, tj. podii je za 20 log (slika 6.5 c).

    56

  • 6. SINTEZA SUSTAVA U FREKVENCIJSKOM PODRUJU

    20log K 20log K 20log K

    1T

    1T

    1T

    1T

    A AA

    Slika 6.5: Projektiranje korekcijskog lana s faznim kanjenjem

    Kod projektiranja regulatora bitno je imati na umu odreena ogranienja. Tu je posebnovano ogranienje na nagib frekvencijske karakteristike u podruju oko presjene frekven-cije koji bi uz aproksimaciju amplitudno-frekvencijske karakteristike pravcima trebao biti 1odnosno 20dB/dek. Ovo ogranienje je posljedica povezanosti nagiba karakteristike okopresjene frekvencije s iznosom faznog osiguranja, a priblina relacija koja opisuje ovu ovis-nost je dana sljedeim izrazom:

    = 180 +pi

    2 n (6.4)

    gdje je n- nagib frekvencijske karakteristike u podruju oko presjene frekvencije. Iz prethodnepribline relacije je oito da bi sluaju nagiba 2 amplitudno-frekvencijske karakteristike okopresjene frekvencije c, zatvoreni regulacijski krug bio na rubu stabilnosti.

    Primjer 6.1

    Za proces:

    G(s) =0.1

    (1 + 0.2s)(1 + 0.02s)(6.5)

    potrebno je koritenjem korekcijskog lana s faznim kanjenjem:

    G(s) = KR1 + sT1 + sT

    , > 1 (6.6)

    zadovoljiti sljedee zahtjeve na zatvoreni regulacijski krug:

    a) pogreka u stacionarnom stanju na skokovitu pobudu < 5%;

    b) vrijeme porasta ta,50 0.15[s]

    Rjeenje:

    Navedene projektne specifikacije za zatvoreni regulacijski krug uvode odreene zahtjeve nafrekvencijsku karakteristiku otvorenog kruga. Tako zahtjev da pogreka u stacionarnom stanju

    57

  • 6. SINTEZA SUSTAVA U FREKVENCIJSKOM PODRUJU

    bude manja od 5% povlai da amplitudna karakteristika otvorenog kruga na niskim frekven-cijama ( 0) bude:

    es() = 11 +K0 K0 =1 es()es() =

    1 0.050.05

    = 19(= 25.6[dB]) (6.7)

    S druge strane, vrijeme porasta ta,50 priblino odreuje potrebnu presjenu frekvenciju c,koja prema tome iznosi:

    c 1.5ta,50

    = 10[rad/s] (6.8)

    Rjeavanje ovog zadatka provest e se kroz nekoliko koraka. U prvom koraku crtamo am-plitudnu i faznu karakteristiku procesa, kako bi odredili koliko je pojaanje potrebno dodatiu otvoreni krug kako bi presjena frekvencija iznosila upravo 10[rad/s]. U sljedeem korakucrtamo frekvenciju karakteristiku otvorenog kruga uz dodano pojaanje odreeno u prvomkoraku, te provjerimo iznos pojaanja na niskim frekvencijama. Ukoliko to pojaanje nemazadovoljavajui iznos potrebno je provesti trei korak u kojem se u otvoreni kruga dodajekorekcijski lan s faznim kanjenjem kako bi se amplitudna karakteristika u podruju niskihfrekvencija podigla na zadovoljavajui iznos. Pritom je bitno da ovaj korekcijski lan ne djelujena iznos amplitude i faze u podruju srednjih frekvencija (oko c), te je zbog toga potrebnoda on bude barem dekadu udaljen od c.

    101 100 101 102 103 104150

    100

    50

    0

    Frekvencija [rad/s]

    Ampl

    ituda

    [dB]

    Bodeov dijagram

    101 100 101 102 103 104

    180

    135

    90

    45

    0

    Frekvencija [rad/s]

    Faza

    []

    1/T1=5 1/T2=50

    26[dB]

    108

    Slika 6.6: Bodeov dijagram procesa

    Na slici 6.6 prikazan je Bodeov dijagram procesa, uz naznaene vrijednosti amplitude ifaznog osiguranja na eljenoj presjenoj frekvenciji 10[rad/s]. Oitane s Bodeovog dijagrama

    58

  • 6. SINTEZA SUSTAVA U FREKVENCIJSKOM PODRUJU

    ove vrijednosti iznose 26[db] odnosno 108. Tone vrijednosti amplitude i faze su odreenesljedeim izrazima:

    A( = 10) = 20 log 0.120 log1 + (

    105)220 log

    1 + (

    1050)2 = 27.16[dB] (= 22.8) (6.9)

    ( = 10) = arctan 105 arctan 10

    50= 74.75 (6.10)

    Dodavanjem pojaanja od 27.16[dB] u otvoreni krug amplitudna karakteristika se podie zaovaj iznos (fazna se ne mijenja), te sada amplitudno-frekvencijska karakteristika sjee 0[dB]upravo na eljenoj presjenoj frekvenciji c = 10 (slika 6.7).

    102 101 100 101 102 103 104

    40

    20

    0

    20

    Frekvencija [rad/s]

    Ampl

    ituda

    [dB]

    Bodeov dijagram

    102 101 100 101 102 103 104

    180

    135

    90

    45

    0

    Frekvencija [rad/s]

    Faza

    []

    7.15 [dB]

    27.15 [dB]

    Slika 6.7: Bodeov dijagram procesa bez korekcijskog lana (crna) i s korekcijskim lanom(zelena)

    Da bi se podigla amplitudna karakteristika u podruju niskih frekvencija potrebno je koris-titi korekcijski lan s faznim kanjenjem oblika:

    Gc(s) = Kc1 + sT1 + sT

    , > 1 (6.11)

    Pritom je bitno nema djelovanja korekcijskog lana na amplitudu nakon = 1/T < c, tj.da je |Gc()| 1 za > 1/T . Kako je |Gc()| Kc/, za > 1/T , slijedi da korekcijskilan treba imati oblik:

    Gc(s) = 1 + sT1 + sT

    , > 1 (6.12)

    59

  • 6. SINTEZA SUSTAVA U FREKVENCIJSKOM PODRUJU

    Kako je za ispunjenje uvjeta o iznosu pogreke u stacionarnom stanju neophodno da otvorenisustav na niskim frekvencijama ima pojaanja najmanje 25.6[dB] slijedi da je potrebno korigi-rati amplitudnu karakteristiku za najmanje 25.6 7.15 18.5[dB]. Budui da je amplitudnakarakteristika korekcijskog lana u podruju (1/(T ) < < 1/T ) opada priblino s nagi-bom od 20[dB/dek], to znai da bi bilo dovoljno odabrati = 10, te emo u tom sluajunapraviti korekciju amplitudne karakteristike u iznosu od 20[dB].

    Frekvenciju 1/T openito odabiremo da nema djelovanja korekcijskog lana na amplitudui fazu oko presjene frekvencije, to znai da zbog djelovanja na fazu 1/T bi trebao biti1/T 0.1c, to u naem sluaju znai da je T = 1[s].

    Prema tome korekcijski lan ima konani oblik:

    Gc(s) = 101 + s1 + 10s

    (6.13)

    Uzevi u obzir i prethodno dodano pojaanje u otvoreni krug kako bi se podesila presjenafrekvencija slijedi da je regulator dan izrazom:

    GR(s) = 22.8 10 1 + s1 + 10s = 2281 + s1 + 10s

    (6.14)

    Primjer 6.2

    Zadan je aperiodski proces treeg reda prikazan na slici 6.8. Parametri procesa su: K1 = 20,K2 = 0.1, T1 = 2s, T2 = 10s.

    ( )RG s 111

    KT s+

    22

    2(1 )KT s+

    +

    -

    +

    +RX E U

    Z

    Y

    Proces

    1( )sG s 2 ( )sG s

    Slika 6.8: Regulacijski krug s PID regulatorom.

    Dana je prijenosna funkcija PID regulatora:

    GR(s) =U(s)E(s)

    = KR1 + TIsTIs

    1 + TDs1 + Ts

    , T = 0.1 TD .

    a) Predloiti prikladan nain izbora integralne i derivacijske vremenske konstante TI i TD,uz TI = TD.

    60

  • 6. SINTEZA SUSTAVA U FREKVENCIJSKOM PODRUJU

    Provedite sintezu u frekvencijskom podruju koristei aproksimacije Bodeovih dijagramapravcima kako slijedi:b) Uz vremenske konstante TI i TD odabrane prema a) treba odrediti pojaanje PID regula-

    tora KR tako da se dobije vrijeme prvog maksimuma tm 15[s]. Koliki je u tom sluaju iznosnadvienja prijelazne funkcije zatvorenog regulacijskog kruga?c) Za regulacijski krug s parametrima regulatora prema b) treba projektirati kompenzacijski

    lan Gk(s)

    Gk(s) =1 + Tks1 + Tks

    u kaskadi s ve proraunatim regulatorom tako da se postigne nadvienje prijelazne karakter-istike zatvorenog kruga m 5%. Vrijeme tm treba ostati otprilike isto dodavanjem kompen-zacijskog lana.

    Rjeenje:

    a) Vremenske konstante TI i TD odabiru se da kompenziraju dvostruku dominantnu vremen-sku konstantu procesa T2:

    TI = TD = T2 = 10 s T = 1 s .

    b) Primjenjujui sintezu prema Bodeovim karakteristikama otvorenog kruga, vrijedi prib-lina relacija izmeu presjene frekvencije c 3tm = 0.2 rads . Prijenosna funkcija otvorenogkruga je:

    Go(s) =KRK1K2

    TIs

    11 + T1s

    11 + Ts

    =Ko

    s(1 + T1s)(1 + Ts),

    pri emu je Ko = KRK1K2TI . Crta se Bodeove karakteristike (slika 6.9 - plava linija ) uzaproksimacije pravcima za Ko 1.

    Na frekvenciji c amplitudnu karakteristiku valja spustiti za 14 dB, to znai da je Ko =10

    1420 , pa je traeno pojaanje:

    KR =KoTIK1K2

    = 1 .

    Rezultirajua frekvencijska karakteristika prikazana je na slici 6.9 (crna linija). Fazno osigu-ranje je otprilike 50, pa je oekivano nadvienje 20%.

    c) Prema priblinoj relaciji koja vee nadvienje i fazno osiguranje m[%]+[] 70 slijedida bi fazno osiguranje trebalo iznositi = 65 da se postigne traeno nadvienje od 5%.PID regulatorom zaokruenim pod b) dobilo se fazno osiguranje 50, to znai da fazu napresjenoj frekvenciji treba podii za:

    (c) = 15 ,

    a pritom ne izmijeniti amplitudnu karakteristiku u okolini presjene frekvencije. Za to eposluiti kompenzacijski lan sa faznim prethoenjem prijenosne funkcije:

    Gk(s) =1 + Tks1 + Tks

    < 1,

    61

  • 6. SINTEZA SUSTAVA U FREKVENCIJSKOM PODRUJU

    103 102 101 100 101 102150

    100

    50

    0

    50

    Ampl

    ituda

    [dB]

    Bodeov dijagram

    103 102 101 100 101 102

    270

    225

    180

    135

    90

    Frekvencija [rad/s]

    Faza

    []

    c

    15

    50

    14 [dB]

    Slika 6.9: Aproksimacije Bodeovih karakteristika pravcima.

    pri emu parametar odreuje iznos maksimalnog izdizanja faze korekcijskog lana. Vrijed-nost parametra odreujemo iz izraza za maksimalno fazno izdizanje:

    sinmax =1 1 +

    = 1 sinmax1 + sinmax

    = 0.5888

    Iznos vremenske konstante Tk s odreuje tako da maksimalno izdizanje faze korekcijskoglana bude upravo na frekvenciji c:

    T =1c

    = 6.52

    Dodavanjem ovog korekcijskog lana se takoer djelomino utjecalo na iznos amplitudnekarakteristike na presjenoj frekvenciji unosei pojaanje 1/

    1.3(= 2.3[dB]). Stoga je

    62

  • 6. SINTEZA SUSTAVA U FREKVENCIJSKOM PODRUJU

    potrebno u seriju s korekcijskim lanom dodati pojaanje koje e kompenzirati ovaj doprinoskorekcijskog lana na c, te ono oito iznosi Kk =

    = 0.7668(= 2.3[dB])

    Uvrtavanjem izraunatih vrijednosti u prijenosnu funkciju korekcijskog lana, de doda-vanjem spomenutog pojaanja u sustav kako bi presjena frekvencija ostala nepromijenjena,slijedi:

    Gk(s) = Kk1 + Tks1 + Tks

    = 0.76681 + 6.52s1 + 3.84s

    ,

    Amplitudna i fazna karakteristika otvorenog kruga nakon dodavanja korekcijskog lana jeprikazana na slici 6.9 (zelena linija).ZADACI ZA VJEBU:

    Zadatak 6.1

    Proces na slici 6.10 regulira se PI regulatorom Parametri procesa su: Ks = 3, Tz = 0.4[s] ,

    K T sT s T ss z( )

    ( )( )1

    1 11 2

    + +G sR ( )

    xR y+

    -

    Slika 6.10: Blokovska shema regulacijskog kruga.

    T1 = 6[s] i T2 = 0.8[s] .

    a) Treba predloiti nain izbora integralne vremenske konstante PI regulatora, kako bi sepostigla to bra dinamika zatvorenog regulacijskog kruga.

    b) Uz tako odabran iznos TI treba primjenom Bodeovih dijagrama (aproksimacije pravcima)odrediti iznos pojaanja KR tako da se dobije nadvienje prijelazne funkcije zatvorenogkruga m 10%.

    c) Priblino odrediti vrijeme prvog maksimuma - tm prijelazne funkcije iz amplitudne i fazno-frekvencijske karakteristike.

    d) Skicirati (priblino) oblik prijelazne funkcije zatvorenog kruga i oznaiti m i tm.

    Zadatak 6.2

    Za sustav opisan prijenosnom funkcijom:

    G(s) =1000

    (s+ 5)(s+ 100)(6.15)

    63

  • 6. SINTEZA SUSTAVA U FREKVENCIJSKOM PODRUJU

    potrebno je projektirati regulator da se zadovolje sljedei zahtjevi:

    1. sustav nema pogreku u stacionarnom stanju na skokovitu referentnu veliinu,

    2. nadvienje u odzivu na skokovitu referentnu vrijednost m < 20%,

    3. vrijeme porasta ta,50 0.15[s]

    Zadatak 6.3

    Za proces:

    G(s) =0.1

    (1 + 0.2s)(1 + 0.02s)(6.16)

    potrebno je koritenjem korekcijskih dinamikih lanova zadovoljiti sljedee zahtjeve na zatvoreniregulacijski krug:

    a) zatvoreni regulacijski krug nema pogreku u stacionarnom stanju na skokovitu pobudu;

    b) pogreka u stacionarnom stanju pobudu oblika funkcije linearnog porasta xr(t) = t je < 5%;

    c) vrijeme prvog maksimuma tm 0.3[s]d) nadvienje u odzivu na skokovitu pobudu < 20%

    64

  • Poglavlje 7

    Sinteza pomou krivulje mjestakorijena

    KMK je grafiki postupak kojim se moe odrediti poloaj polova zatvorenog regulacijskogkruga u s-ravnini pri promjeni jednog parametra, najee pojaanja ko, otvorenog regu-lacijskog kruga. Prijenosna funkcija zatvorenog kruga:

    Gx(s) =2n

    s2 + 2ns+ 2n, (7.1)

    zadovoljavajue nadomjeta prijenosne funkcije viih redova koje imaju jedan dominantni parkonjugirano-kompleksnih polova. Dinamiki pokazatelji kakvoe tm, m, ta,50 i t ovise oparametrima n i kojima su odreeni poloaji polova prijenosne funkcije (7.1). Postupkomzadavanja polova otvorenog regulacijskog kruga postie se eljeni poloaj dominantnog parapolova zatvorenog regulacijskog kruga u s-ravnini odreenog s n i . Postupak se provodi unekoliko koraka:

    u s-ravnini ucrta se eljeni dominantni par polova, u s-ravninu ucrta se KMK fiksnog dijela regulacijskog kruga, dodavanjem polova i nula u otvorenom regulacijskom krugu oblikuje se KMK tako da

    njene 2 grane prolaze kroz eljeni dominantni konjugirano-kompleksni par polova.

    Primjer 7.1

    Blokovska shema regulacije visine projektila prikazana je na slici 7.1. Pomou krivuljemjesta korijena projektirati idealni PID regulator tako da budu zadovoljeni sljedei zahtjevi:nadvienje prijelazne funkcije koje odgovara izboru =

    22 , vrijeme prvog maksimuma tm =

    1 s. Nulom regulatora valja kratiti stabilni pol procesa. U grani reference po potrebi dodatiprefiltar. Skicirati izgled KMK. Kako bi kvalitativno izgledala KMK kada bi se dodatno radiizvedivosti regulatoru dodao pol 20 puta veeg iznosa od nepokraene nule regulatora?

    65

  • 7. SINTEZA POMOU KRIVULJE MJESTA KORIJENA

    - -GR(s) - 3(s+ 5)(s 5) -6

    XR HE U+

    -

    Slika 7.1: Blokovska shema regulacije visine projektila.

    Rjeenje:

    Prijenosna funkcija idealno