Click here to load reader

Riješeni zadaci iz dinamike

  • View
    791

  • Download
    58

Embed Size (px)

Text of Riješeni zadaci iz dinamike

  • Dinamika

    1

    I. UVOD 1. Na dvije materijalne toke mase kg 15 m i kg 5m 21 == djeluju jednake sile. Usporedite

    (module) ubrzanja tih toaka. Koji je odgovor toan? a) ubrzanja jednaka ( )12 aa = b) ubrzanje toke mase 15 kg tri puta je vee od ubrzanja toke mase 5 kg; ( )12 a3a = c) Ubrzanje toke mase 15 kg tri puta je manje od ubrzanja toke mase 5 kg;

    = 12 a31

    a

    Rjeenje:

    )c odgovor a31

    a 31

    155

    aa

    mm

    aa

    amam FF amF

    121

    2

    2

    1

    1

    2

    2211

    21

    ====

    ===

    2. Na materijalnu toku A mase 10 kg djeluje sustav sila prikazan na slici i to:

    N 9F

    N 16F

    N 10FFFF

    6

    3

    5421

    ==

    ====

    Odredite pravac, smjer i veliinu ubrzanja toke A. Rjeenje:

    - pravac x: F4 - F1 = 0 - pravac y: F2 - F5 = 0 - pravac sila 3 i 6:

    2

    63

    sm

    7,010

    916m

    FFmF

    a

    amF

    ====

    =

    Ubrzanje a je u smjeru sile F3.

  • Dinamika

    2

    II. RAD

    cossFsFA ==

    1. Koliki rad izvri radnik vuom kolica ako upotrijebi silu od 500 N pod kutom = 25 na putu od 300 m? Rjeenje:

    m 300s25 N 500F

    ===

    Nm 946 135906,0000 15025cos300500A

    cosFF cossFsFA

    0

    h

    ===

    ===

    2. Koliki rad izvri elektromotorna dizalica pri podizanju tereta mase 5 t na visinu od 25 m?

    Rjeenje:

    m 25hs

    kg 000 5t 5m==

    ==

    ( )kNm25,226.1Nm250.226.1A

    2581,95000sgm1hGA1cos.....180....;...cossFsFA

    =====

    ====

  • Dinamika

    3

    3. Koliki je rad sile koja djeluju na tijelo pri slobodnom padu, sile tee 981 N, ako se brzina

    tijela povea s 5 m/s na 25 m/s?

    Rjeenje:

    1)cos 0( cossG sGsFA 3. :Rad

    tg21

    tvss 2.

    tgvv .1 :pad Slobodni

    200

    0

    =====

    ++=

    +=

    kJ 30Nm 000.30g

    300981sGA .3 ad

    g300

    g200

    g100

    g20g

    21

    g20

    5s

    tg21

    tvs 2. ad

    g20

    t tg525

    tgvv .1 ad

    2

    2

    20

    0

    ====

    =+=+=

    +=

    =+=

    +=

    Domaa zadaa: 4. Koliki je iznos rada sile tee pri horizontalnom pomicanju tijela? 5. Rad konstantne sile pri pravocrtnom gibanju iznosi A= -10 J. Koji kut meusobno

    zatvaraju pravac djelovanja sile i pravac pomaka hvatita? 6. Usporedite meusobno veliine radova sile tee ako se teite tijela preseli iz toke C u

    toku C1 po trajektorijama I, II i III.

    7. Koliki rad izvri elektromotorna dizalica kada teret mase 2 500 kg podigne na visinu od 5 m? (-122,63 kJ)

    8. Koliki je iznos sila koja tijelo gura na putu od 20 m pri emu izvri rad od 1000 J ? (50 N)

  • Dinamika

    4

    III. SNAGA

    t

    AP =

    STUPANJ KORISNOG DJELOVANJA

    PP

    U

    K= PK - korisna snaga;

    PU - ukupna snaga

    1. Elektromotorna dizalica digne teret mase 5 t na visinu od 25 m za 50 sekundi. Izraunajte: a) izvreni rad b) upotrijebljenu snagu.

    Rjeenje:

    Rad: kNm 25,226.12581,95 A

    hgm hG A 1cos180 ; cossFsFA 0

    ====

    ====

    Snaga: kW525,24s

    kNm 525,24

    5025,226.1

    t

    AP ====

    2. Dizalica nosivosti 1.000 kN podie teret brzinom 2 m/s. Kolika je ukupna snaga

    elektromotora ako stupanj korisnog djelovanja od motora do tereta iznosi = 0,8?

    Rjeenje:

    kW 500 28,0

    000 2PP

    PP

    kN 000 22000 1vFP

    vFtsF

    tA

    P

    s/m 2vkN 000 1F

    KU

    U

    K

    K

    ==

    ==

    ===

    ===

    ==

  • Dinamika

    5

    3. Dizalica podigne teret mase 1.000 kg na visinu 10 m za 1min jednolikom brzinom. Dovedena snaga od motora do dizalice (ukupna snaga PU ) iznosi 2,5 kW. Odredite stupanj iskoristivosti dizalice.

    Rjeenje:

    654,0500 2635 1

    PP

    W 635 161

    810 9vGvFP

    PP

    m/s 167,061

    6010

    ts

    v

    ? W500 2kW 5,2P

    s 60min1tm 10sh

    N 810 981,9000 1gmGkg 000.1m

    U

    K

    K

    U

    K

    U

    ===

    ====

    =

    ====

    ===

    ====

    ====

    4. Na pokretnoj traci ovjek mase 75 kg hoda brzinom v = 1,5m/s. Traka ima nagib od 12%. Koliku snagu razvija ovjek?

    Rjeenje: m = 75 kg

    v = 1,5 m/s U jednoj sekundi prevali 1,50 m (horizontalna projekcija) Visinska razlika

    m 18,050,112,0h 12,0tg50,1h ====

    Rad:

    J 132Nm 13218,081,975hgm hG cossFsFA =======

    Snaga: W 132sJ

    1321

    132t

    AP ====

    Domaa zadaa: 5. Koliki rad moe izvriti motor snage P = 5 kW za 20 minuta? (6 000 kJ) 6. Kolika je snaga stroja koji u 10 sekundi izvri rad od 120 J? (12 W) 7. Koliku snagu ima lokomotiva koja vue vlak silom od 20 kN brzinom od 60 km/h?

    (416,66 kW) 8. Kolika je snaga dizalice ako teret mase 2 500 kg podigne na visinu 5 m za 10 sekundi ?

    (12, 3 kW)

  • Dinamika

    6

    IV. KINETIKA ENERGIJA MATERIJALNE TOKE

    1. Iz vodopada visokog 0,46 m pada svake sekunde 2m 3 vode. Izraunajte: a) brzinu vode u padu, b) kinetiku energiju vode, c) snagu vodopada.

    Rjeenje: s 1t

    m 2V

    m 46,0sh3

    ==

    ==

    a) slobodni pad: v = ?

    m/s 381,946,02gs2gs2

    gtgv

    0 v tgvv

    gs2

    t tg21

    s

    00

    2

    =====

    =+=

    ==

    b)

    Nm 000 92

    3000 2E

    kg 000 2000 12m

    kg/m 000.1 Vm 2vm

    E

    ?E

    2

    k

    3vv

    2

    k

    k

    ==

    ==

    ===

    =

    c)

    W 025 9s

    Nm 025 9

    1025 9

    tA

    P

    Nm 025 946,0620 19hG A

    N 620 1981,9000 2gmG hG A tA

    P

    s 1t ?P

    ====

    ===

    =====

    ==

  • Dinamika

    7

    2. Izraunajte promjenu kinetike energije materijalne toke mase 20 kg, ako se njezina

    brzina poveala od 10 m/s na 20 m/s.

    Rjeenje:

    ( ) ( )

    J 000 3smkg 000 3E

    3001010202

    20vv

    2m

    2vm

    2vm

    E

    2

    2

    K

    2220

    21

    20

    21

    K

    ==

    ====

    3. Koliko se promijeni kinetika energija pri pravocrtnom gibanju toke ako se njezina

    brzina povea dva puta?

    Rjeenje:

    ( )

    E42vm4

    2v2m

    E

    2vm

    E

    vK

    22

    v2K

    2

    vK

    ===

    =

    Kinetika energija se povea 4 puta.

    4. Kinetika energija jedne toke dvaput je vea od kinetike energije druge toke. Toke se gibaju pravocrtno jednakim brzinama. U kakvom su odnosu mase tih toaka?

    Rjeenje:

    21

    22

    21

    2K1K

    m2m 2

    vm22

    vm

    E2E

    ==

    =

    Masa prve toke dvaput je vea od mase druge toke.

  • Dinamika

    8

    5. Koliki je prirast kinetike energije zamanjaka promjera 3 m i teine 50 kN ako mu broj

    okreta naraste sa 60 okr/min na 120 okr/min? Rjeenje:

    s/m 84,18645,1rv

    s/m 42,9 325,1rv

    ?E

    )s/1( 460

    n2 okr/min 120n

    )s/1( 260

    n2 okr/min 60n

    kN 50Gm 5,1rm 3d

    22

    11

    K

    222

    111

    ========

    =

    ===

    ===

    ===

    Prirast kinetike energije: EEE 12 KKK =

    ( )

    ( ) ( )[ ] kJ 4,678kNm 4,6782781,92

    5036

    g2G

    E

    vv2m

    EEE

    2vm

    E

    2vm

    E

    222K

    21

    22KKK

    22

    K

    21

    K

    12

    2

    1

    ==

    ==

    ==

    =

    =

  • Dinamika

    9

    A) D` ALEMBERTOV PRINCIP 1. Materijalna toka vlastite teine G = 100 N giba se po glatkoj horizontalnoj podlozi

    konstantnim ubrzanjem a = 1,5m/s2. Odredite silu koja uzrokuje i podrava gibanje zanemarujui sile otpora. Rjeenje:

    GR 0GR

    0F 2.

    N 3,155,12,10F

    5,181,9

    100a

    gG

    amFF

    0FF

    0F .1

    nn

    y

    in

    in

    x

    ==

    =

    ==

    ====

    ==

    2. Zbog vlastite teine tijelo M, bez poetne brzine pada s visine h = 1 500 m uz otpor zraka.

    Ako je sila otpora jednaka polovici teine odredite: a) ubrzanje tijela a = ? b) brzinu v nakon 5 sekundi od poetka padanja (v = ?)

    c) vrijeme padanja (T = ?). (Na tijelo djeluju konstantne sile pa e se ono gibati jednoliko ubrzano.)

    Rjeenje: 0v ;0t 0 == Fw = 0,5 . G s = H a)

    2

    w

    win

    y

    sm

    9,4g21

    a 2

    gmam

    G21

    G21

    GFGam

    0GFF

    0F

    ===

    ===

    =+

    =

    b)

    Hs ta21

    tvss :put

    m/s 5,2459,40v tav v:brzina-konst.a ; 0 a ubrzanje -

    gibanje ubrzano jednoliko

    200

    0

    =++=

    =+=+==>

    s 7,2434,6129,4500 12

    T aH2

    Tt

    ta21

    00H ta21

    tvss :put )c 2200

    =====

    ++=++=

  • Dinamika

    10

    3. Kabina dizala (lifta) die se brzinom od 0,80 m/s. U polasku kabina se giba ubrzano na putu od 1,20 m. Odredite:

    a) silu u uetima kojima se die lift raunajui samo ovjeka mase 80 kg b) silu koja pri dizanju dizala djeluje na ovjeka.

    Rjeenje: Poetni uvjeti:

    m 1,20skg 80mm/s 80,0v

    0v ; 0s0t 00

    ==

    ====

    sm

    266,020,12

    80,0s2

    va

    a2v

    av

    a21

    ta21

    s

    ta21

    tvss

    av

    t ta v tav v

    konst.a 0agibanje ubrzano jednoliko

    2

    22222

    200

    0

    =

    =

    =

    =

    ==

    ++=

    ==+=

    =>

    0) Iz Fy=0 za sluaj mirovanja sila ukupna sila u uetima dizala bila bi:

    N 80,78481,980GR 0GR ====

    N 13,80633,2180,784266,08081,980amgmFGR

    0FGR

    0F princip ovDAlembert )a

    in

    in

    y

    =+=+=+=+==

    =

    N 33,21266,080amF:ovjeka na djeluje koja Sila )b ===

  • Dinamika

    11

    4. Kabina dizala giba se brzinom 0,80 m/s. Prilikom zaustavljanja giba se usporeno na putu od 2,00 m. Odredite silu koja djeluje na ovjeka mase 80 kg pri zaustavljanju dizala.

    Rjeenje: - poetni uvjeti:

    m 00,2s ; 0v ; tt

    0 s ; sm

    80,0v ; 0t 00

    ===

    ===

    -jednoliko usporeno gibanje

    ta21

    tvss

    tavvkonst.a 0a

    200

    0

    +=

    == 0; = konst. t0 +=

    =+= 1212 t t

    2. Dinamika jednadba rotacijskog gibanja krutog tijela:

    I

    M IM

    z

    zzz ==

    3. Dinamiki moment tromosti zamanjaka (valjak)

    2222z kgm 1255,081,9

    981r

    gG

    rm21

    I ====

    s 8,2148,0

    320

    10 t

    1/s 0,48kgmNm

    5,12

    6I

    M

    12

    22

    z

    z

    =

    =

    =

    ===

  • Dinamika

    43

    D`Alembertov princip

    Primjer 4: Preko koloture mase 5 kg, promjera 50 cm prebaena je ica na ijim krajevima su

    ovjeeni utezi masa 1,0 kg i 1,25 kg. Ako zanemarimo trenje i masu ice odredite ubrzanje utega.

    mk = 5,0 kg D = 50 cm = 0,50 m r = 0,25 m m1 = 1,0 kg m2 = 1,25 kg a = ? I. Uteg mase m1 II. Uteg mase m2

    amGN

    0amGN

    0F .1

    111

    111

    y

    +==

    =

    amGN

    0GamN

    0F .2

    222

    222

    y

    ==+

    =

  • Dinamika

    44

    III. Kolotura valjak

    r v:Rotacija =

    ( )

    ( ) ( )

    2

    k21

    12

    k2211

    2k2211

    tt

    2k

    21

    O

    m/s 52,05

    21

    25,100,1

    81,900,181,925,1

    m21

    mm

    GGa

    0am21

    amGamG

    r: 0ra

    rm21

    ramGramG

    ra

    ra

    rdtd

    rdtrd

    dtdv

    a

    r v

    rm21

    I valjak :Rotacija

    0I rNrN

    0M .3

    =++

    =++

    =

    =+++

    =++

    ======

    =

    =

    =+=

  • Dinamika

    45

    D`Alembertov princip Primjer 5: Pod djelovanjem horizontalne sile F = 100 N, homogeni tap giba se pravocrtno po

    horizontalnoj glatkoj podlozi. Ako je tap mase m = 5 kg dugaak 1 m odredite: a) ubrzanje tapa (a = ?) b) kut to ga tap zatvara s horizontalnom podlogom.

    F = 100 N m = 5 kg l = 1 m a) a = ? b) = ?

    26,1

    4905,0100

    05,49F

    R tg

    0R- tgF

    cos2l

    : 0cos2l

    Rsin2l

    F 0M .3

    N 05,4981,95gmGR

    0G-R 0F .2

    m/s 205

    100mF

    a

    0am -F

    0F-F 0F .1

    n

    n

    nT

    n

    ny

    2

    inx

    =

    ===

    =

    ==

    ====

    ==

    ===

    ===

  • Dinamika

    46

    PLANARNO GIBANJE Planarno ili ravninsko gibanje krutog tijela moe se rastaviti na dva gibanja:

    a) translaciju i b) rotaciju.

    Kinetika energija tijela u planarnom gibanju sastoji se od kinetike energije translatornog gibanja (centra - sredita masa) i kinetike energije rotacijskog gibanja tijela oko toga sredita (centra masa):

    2Rm

    I:k valja 2

    I2vm

    E222

    k=+=

    Primjer 6: Izraunajte kinetiku energiju valjka promjera 20 cm, mase 100 kg koji se kotrlja po

    horizontalnoj podlozi za sluaj ravninskog gibanja ako brzina sredita iznosi 5 m/s.

    d = 20 cm m 10,0r = m = 100 kg vS = 5 m/s

    Ek = ? 2

    I2vm

    E22

    Sk

    +

    =

    Brzina translacije vS sredita jednaka je obodnoj brzini rotacije vS!

    U odnosu na trenutni pol P:

    1/s 5010,05

    rv

    r v sS ====

    Nm 875 1510043

    vm43

    E

    r

    vrm

    21

    21

    2vm

    2I

    2vm

    E

    Nm 875 16251250 2505,0

    25100

    2

    I2vm

    E

    kgm 5,010,010021

    rm21

    I

    22Sk

    2S2

    2S

    22S

    k

    2222S

    k

    222

    ===

    +

    =+

    =

    =+=+=+

    =

    ===

  • Dinamika

    47

    Primjer 7: Izraunajte kinetiku energiju valjka promjera 20 cm, mase 100 kg koji se kotrlja bez klizanja po horizontalnoj podlozi ako je poznata brzina sredita 5 m/s za sluaj rotacije oko trenutnog pola.

    d = 20 cm m 10,0r = m = 100 kg v = 5 m/s Ek = ?

    Nm 875 1 2505,1

    E

    kgm 5,110,010023

    rm23

    rm2rm

    I

    rmII

    : teoremSteinerov

    1/s 5010,05

    PS

    v PSv

    2

    IE

    2

    k

    22222

    P

    2sP

    ss

    2P

    k

    ==

    ===+=

    +=

    ====

    =

  • Dinamika

    48

    Primjer 8: Za valjak koji se s visine od 1,50 m iz stanja mirovanja kotrlja niz kosinu bez trenja odredite brzinu pri dnu kosine. v0 = 0 0 = 0 h = 1,50 m v1 = ?

    m/s 42,45,181,934

    hg34

    v

    hgmvm43

    h G 0 - Rv

    Rm21

    21

    2vm

    h G 2

    I2vm

    - 2

    I2vm

    AEE

    Rm21

    I

    1

    21

    2

    1221

    20s

    20

    21s

    21

    0k1k

    2

    ===

    =

    =

    +

    =

    +

    +

    =

    =

    (Vidi primjer klizanja niz kosinu bez trenja: a) Zakon o promjeni kinetike energije

    m/s 42,5 50,181,92 hg2v

    hgm02vm

    )0(v hG2vm

    2vm

    AEE

    1

    21

    0

    20

    21

    0k1k

    ===

    =

    ==

    =

    ili b) Zakon o odranju mehanike energije

    m/s 42,5 50,181,92 hg2v

    hgm2vm

    )hh ;0(v

    0)(h hgm2vm

    hgm2vm

    EEEE

    1

    21

    00

    10

    20

    1

    21

    0p0k1p1k

    ===

    =

    ==

    =+

    =+

    +=+

  • Dinamika

    49

    ZAKON O PROMJENI KINETIKE ENERGIJE Primjer 9: Kota mase 5 kg iz stanja mirovanja poinje kotrljanje bez klizanja niz kosinu.

    Kosina duljine 4 m nagnuta je pod kutom od 15 prema horizontali. Ako obodna brzina kotaa polumjera 0,10 m pri dnu kosine iznosi 2 m/s izraunajte moment tromosti kotaa.

    m = 5 kg v0 = 0 0 = 0 s = 4 m = 15 sin = 0,259 cos = 0,966 r = 0,10 m v = v1= 2 m/s I = ?

    2vm

    2I

    EEE

    m 1,040,2594sinsh sinsh

    22

    tran.rotac.k+=+=

    ====

    Zakon o promjeni kinetike energije:

    kgm 205,0

    10,022

    225

    04,181,95

    r2

    v

    2vm

    hgm

    I

    rv

    r v

    2

    2vm

    hGI

    hG02vm

    2I

    hG2vm

    2I

    2vm

    2I

    AEE

    2

    2

    2

    2

    21

    21

    21

    21

    21

    21

    20

    20

    21

    21

    k0k1

    =

    =

    =

    ==

    =

    =+

    =

    +

    +

    =

  • Dinamika

    50

    Literatura Andrejev, V., Mehanika I. dio Statika, Tehnika knjiga, Zagreb, 1969. Andrejev, V., Mehanika II. dio Kinematika, Tehnika knjiga, Zagreb, 1971. Andrejev, V., Mehanika III. dio Dinamika, Tehnika knjiga, Zagreb, 1973. Bajt, M. I., Danelidze, G. J., Kelzon, A. S., Rijeeni zadaci iz teorijske mehanike sa

    izvodima iz teorije prvi dio Statika i kinematika, Graevinska knjiga, Beograd 1978. Bajt, M. I., Danelidze, G. J., Kelzon, A. S., Rijeeni zadaci iz teorijske mehanike sa

    izvodima iz teorije drugi dio Dinamika, Graevinska knjiga, Beograd 1979. Bazjanac, D., Tehnika mehanika I dio Statika, Tehnika knjiga, Zagreb, 1966. Bazjanac, D., Tehnika mehanika II dio, Kinematika, Tehnika knjiga, Zagreb, 1969. Bazjanac, D., Tehnika mehanika III dio, Dinamika, Sveuilina naklada Liber, Zagreb, 1980. Cindro, N., Fizika 1, Mehanika-valovi-toplina, kolska knjiga, Zagreb,1980. Hibbeler, Dynamics Kirienko, A., Tehnika mehanika I dio Statika, GI, Zagreb, 1990. Kirienko, A., Tehnika mehanika II dio, Kinematika, Zagreb Kirienko, A., Tehnika mehanika III dio, Dinamika, PBI, Zagreb, 1996. Kittel, C., Knight, W. D., Ruderman, M. A., Mehanika , Tehnika knjiga, Zagreb, 1982. McLean, W. G., Nelson, E. W., Theory and problems of Engineering Mechanics, Statics and

    Dynamics 2/ed, Schaum`s Outline Series, McGraw-Hill Book Company, New York, 1962 Nikoli, V., Hudec, M., Principi i elementi biomehanike, kolska knjiga, Zagreb,1988. Peri, R., Tehnika mehanika, RGNF VG Varadin, 1979. Rustempai, A., Tehnika mehanika, Svjetlost, Sarajevo, 1990. piranec, V., Tehnika mehanika, kolska knjiga, Zagreb,1990.