Zadaci iz upravljanja

UNIVERZITET U BEOGRADU

FIZIKI FAKULTET

Doc. dr Stevan Stojadinovi

ZBIRKA ZADATAKA

IZ

AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

BEOGRAD, 2008.

SADRAJ

1. LAPLASOVE TRANSFORMACIJE............................................................................1

2. PRENOSNA FUNKCIJA

SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA........................................................18

3. VREMENSKE I FREKVENTNE KARAKTERISTIKE

SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA .......................................................76

4. METOD PROSTORA STANJA..................................................................................90

5. TANOST I STABILNOST

SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA .....................................................115

6. LITERATURA...........................................................................................................138

LAPLASOVE TRANSFORMACIJE

1

1. LAPLASOVE TRANSFORMACIJE

Laplasove transformacije zasnivaju se na integralima:

[ ] ==0

stdte)t(f)t(fL)s(F (1)

[ ] dse)s(Fj2

1)s(FL)t(fj

j

st1 +

== (2)

gde su:

L operator direktne Laplasove transformacije 1L operator inverzne Laplasove transformacije

s = + j kompleksna promenjiva Laplasove transformacije F(s) kompleksni lik funkcije )t(f

f(t) original funkcije )s(F

Integral (1) predstavlja direktnu Laplasovu transformaciju i prevodi vremensku funkciju

f(t) u kompleksnu funkciju F(s), dok integral (2) predstavlja inverznu Laplasovu

transformaciju i prevodi kompleksnu funkciju F(s) u vremensku funkciju f(t).

Egzistencija integrala (1) zavisi od oblika funkcije f(t) i vrednosti . Laplasova transformacija funkcije f(t) postoji samo za o> . Veliina o naziva se apcisa apsolutne konvergencije i predstavlja minimalnu (realnu i pozitivnu) vrednost .consto == koja obezbeuje konvergenciju integrala funkcije f(t):

0 Laplasova transformacija je:

[ ])s(s

e1L t +=


3

4. Prostoperiodine sinusne i kosinusne funkcije

Za sinusnu funkciju Laplasova transformacija je:

[ ]

220

t)sj(t)sj(0

sttj

0

sttjtjtj

sjs1

js1

j21

sje

sje

j21

dtej2

edtej2

ej2

ej2

eL)tsin(L

+=

+=

=

==

=

+

Za kosinusnu funkciju Laplasova transformacija je:

[ ] 22tjtj

ss

2e

2eL)tcos(L +=

+=

1.2. Osobine direktne Laplasove transformacije

1. Teorema linearnosti

[ ] )s(Fa)s(Fa)t(fa)t(faL 22112211 +=+ , ( 21 a,a R) 2. Teorema o izvodu originala (realno diferenciranje)

=

+

+

=

=

n

1k

)1k(knnn

n)0(fs)s(Fs)t(f

dtdL

)0(f)s(sF)t(fdtdL

3. Teorema o integralu originala (realno integraljenje)

[ ]s

)s(Fdt)t(fL

s

dt)t(f

s)s(Fdt)t(fL

t

0

0

=

+=

+

4. Teorema o izvodu kompleksnog lika (kompleksno diferenciranje)

[ ][ ] )s(F

dsd)1()t(ftL

)s(Fdsd)t(tfL

n

nnn =

=

5. Kompleksno integraljenje

=

s

ds)s(Ft

)t(fL


4

6. Teorema kanjenja (realna translacija)

[ ] )s(Fe)at(fL as= , a > 0 7. Teorema pomeranja (kompleksna translacija)

[ ] )s(F)t(feL t += 8. Teorema slinosti

[ ]

=asF

a1)at(fL

9. Teorema o poetnoj vrednosti

=

s0t)s(sFlim)t(flim

10. Teorema o konanoj vrednosti

0st

)s(sFlim)t(flim

=

11. Konvolucija originala

Ako je funkcija f(t) data konvolucionim integralom

=t

021 d)(f)t(f)t(f

tada je:

[ ] )s(F)s(F)t(fL)s(F 21== 12. Parsevalova teorema

=0

j

j

2 ds)s(F)s(Fj2

1dt)t(f

1.3. Nalaenje inverzne Laplasove transformacije

Inverzna Laplasova transformacija zasniva se na integralu (2). Integraljenje se vri du

prave =)s(Re izabrane tako da se svi polovi funkcije F(s) nalaze levo od nje. U svim sluajevima od interesa u automatskom upravljanju funkcija F(s) se moe prikazati u obliku

racionalne razlomljene funkcije:

011n

1nn

n

011m

1mm

m

asa...sasabsb...sbsb

)s(Q)s(P)s(F ++++

+++== (4)


5

gde su P(s) i Q(s) polinomi po s, pri emu je stepen polinoma u brojitelju manji ili jednak

stepenu polinoma u imenitelju )nm( . Nule polinom P(s) i Q(s) nazivaju se nule i polovi funkcije F(s). Poto su P(s) i Q(s) polinomi sa realnim koeficijentima, njihove nule, odnosno

nule i polovi funkcije F(s) mogu biti ili realni, ili u konjugovano kompleksnim parovima.

Tada se inverzna Laplasova transformacija moe nai razvojem funkcije F(s) u parcijalne

razlomke (Heaviside ov razvoj) ili primenom Koijeve teoreme ostataka. U mnogim

sluajevima inverzna Laplasova transformacija moe se nai u tablicama Laplasovih

transformacionih parova.

1.2.1. Metoda parcijalnih razlomaka

Funkcija (4) moe se napisati u obloku:

)ss()ss)(ss(A)s(P

)s(Q)s(P)s(F

n21 == (5)

Mogui su sledei sluajevi:

a) koreni su meusobno razliiti:

Funkcija F(s) moe se tada prikazati u obliku:

=

=+++=n

1k k

k

n

n

2

2

1

1ss

Kss

Kss

Kss

K)s(F (6)

gde su K1, K2, Kn konstantni koeficijenti. Mnoenjem jednaine (6) sa )ss( k i prelaenjem na graninu vrednost dobija se:

)s(Q)s(P)ss(lim

ssK)ss(lim k

ss

n

1k k

kk

ss kk= = (7)

odnosno:

ksskk )s(Q

)s(P)ss(K

=

= (8)

Inverzna Laplasova transformacija funkcije F(s) odreuje se na taj nain to se za svaki

lan parcijalnog razlomka (6) odredi inverzna transformacija:

==

=

=n

1k

tsk

n

1k k

k1 keKss

KL)t(f (9)


6

Ako su neki koreni kompleksni, oni se javljaju u konjugovanim parovima. Neka su

kkk js += i kk*k1k jss ==+ . Tada se funkcija (6) moe prikazati u obliku:

)s(Q)s(P

ssK

ssK

)s(Q)ss)(ss()s(P)s(F

1*k

1k

k

k

1*kk

++==+ (10)

Za koeficijente Kk i Kk+1 dobija se:

)s(Q2j)s(P

)s(Q)ss()s(P

)s(Q)s(P)ss(K

k1k

k

k1*kk

k

sskk

k==

=

= (11)

)s(Q2j)s(P

)s(Q)ss()s(P

)s(Q)s(P)ss(K *

k1k

*k

*k1k

*k

*k

ss

*k1k

*k

==

==

+ (12)

Kompleksni koeficijenti Kk i Kk+1 su konjugovani:

kjkkkk eKjyxK

=+= kj

kkk*k1k eKjyxKK

+ ===

gde je k

kk x

yarctg= .

Pri nalaenju inverzne Laplasove transformacije funkcije F(s) lanovi zbira sa

kompleksnim korenima se objedinjuju. Tada je:

)tcos(eK2eeKeeKss

Kss

KL kkt

k)t(jt

k)t(jt

k*k

*k

k

k1 kkkkkkk +=+=

+++

b) koreni su viestruki

Kada se koreni polinoma u imenitelju funkcije (5) ponavljaju, ona se moe napisati u

obliku:

n21 m

nm

2m

1 )ss()ss()ss(A)s(P

)s(Q)s(P)s(F == (13)

Svaki koren sk multipliciteta mk moe se napisati u obliku:

= +

=+++k

k

k

kk

m

1j1jm

k

kj

k

km1m

k

2km

k

1k

)ss(

Kss

K

)ss(K

)ss(K (14)

odnosno za celu funkciju F(s) dobija se:

= +=

= kk

m

1j1jm

k

kjn

1k )ss(

K)s(F (15)


7

Koeficijenti korena sk odreuju se tako to se jednaina (15) pomnoi sa kmk )ss( i stavi kss = : [ ] [ ] 1kss1mkkm2k3kk2k1kssmk K)ss(K)ss(K)ss(KK)s(F)ss( kkkkk =++++= ==

Diferenciranjem ovog izraza po s, pre prelaska na graninu vrednost, i smenom kss = , dobija se:

[ ] 2kss2mkkmkk3k2kss

mk K)ss(K)1m()ss(K2K)s(F)ss(ds

dk

k

k

k

k =+++=

==

Za nalaenje opteg koeficijenta kjK diferenciranje treba produiti do (mk-1 )-og izvoda, a

zatim staviti kss = . Tada je:

k

k

ss

mk1j

1j

kj )s(F)ss(dsd

)!1j(1K

=

= , j = 1,2, mk (16)

Sa poznatim koeficijentima Kkj, inverzna transformacija funkcije (13) postaje:

tsjmm

1j k

kjn

1k

kkk

et)!jm(

K)t(f

== = (17)


8

TABLICA LAPLASOVIH TRANSFORMACIONIH PAROVA

No F(s) f(t) , t 0 1 1 )t( 2

ns1 , ,...3,2,1n =

!

)1n(t 1n

3 n)s(

1+

t1n

e)1n(

t !

4 1n

n

)s(s

++ =

!!!n

0k

k2

kt t

)k()kn()(ne

5 )s)(s(

1++

tt ee

6 )s)(s(

as o++

+

toto e)a(e)a(

7 2

o

)s(as+

+ [ ] to e1t)a( +

8 )s)(s)(s(

1+++ ))((

e))((

e))((

e ttt

++

9 2s)s(

1+ 2

t 1te

+

10 )s)(s)(s(

as o+++

+ ))((

e)a())((

e)a())((

e)a( tot

ot

o

++

11

s)s(as

2o

++

t2oo

2o e)

at

a(

a

+

12 22s

1+ )tsin(

1

13 22s

1 )t(sh

1

14 22s

s+

)tcos(


9

15 22s

s

)t(ch

16 22)s(

1++ )tsin(e

1 t

17 22)s(

s++

+ )tcos(e t

18 ])s)[(s(

122 +++ )tsin(e)(

1)(

e t2222

t

+++

= arctg

19 ])s)[(s(

as22

o

++++ )tsin(e

)()a(1

)(e)a( t

22

22o

22

to +

++

++

= arctga

arctgo

20 ase )at( 21

se as

)at(U

22 2

as

se

)at(U)at(

23

+

se as )at(Ue

)at(

24 2

as

)s(e+

)at(Ue)at(

)at(

25

)s)(s(e as

++

)at(Uee)at()at(

26

se1 as )at(U)t(U

27

see bsas )bt(U)at(U

28 2

as

ase)as( + )at(U)aa

1t(


10

1.1) Odrediti Laplasovu transformaciju funkcije:

( ) )t(Ut3sin2t2cosete)t(f t t +=

Reenje:

[ ] [ ] [ ] [ ]

9s6

4)1s(1s

)1s(1

9s32

4)1s(1s

1s1

dsd

t3sinL2t2coseLteL)t(fL)s(F

22222

t t

++++++=+++

++

+=

=+== (1.1.1)

1.2) Koristei integral konvolucije odrediti inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:

)2s)(1s(

1)s(F ++=

Reenje:

Prenosna funkcija se moe napisati u obliku:

)s(F)s(F)s(F 21= (1.2.1) gde su:

1s1)s(F1 += (1.2.2)

2s1)s(F2 += (1.2.3)

Tada je:

[ ] )t(Ue)s(FL)t(f t111 == (1.2.4) [ ] )t(Ue)s(FL)t(f 2t 212 == (1.2.5)

Koritei integral konvolucije dobija se:

[ ] ( ) )t(Ue1edeedeed)(f)t(f)s(FL)t(f t tt0

t

o

t

0

t2 )-(t 21

1 ===== (1.2.6)

1.3) Odrediti inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:

)1s)(5s(

7s)s(F ++=


11

Reenje:

Primenom Heaviside ovog razvoja prenosna funkcija se moe napisati u obliku:

1sK

5sK

)1s)(5s(7s)s(F 21 ++=+

+= (1.3.1)

Koeficijenti K1 i K2 su:

[ ] 21s7s)s(F)5s(K 5s5s1 =+

+== == (1.3.2)

[ ] 15s7s)s(F)1s(K 1s1s2 =

+=+= == (1.3.3) Tada je:

1s1

5s2)s(F += (1.3.4)

[ ] ( ) )t(Uee2)s(FL)t(f tt51 == (1.3.5)


)2s)(1s(s

1s)s(F2

+++=

Reenje:

2sK

1sK

sK

)2s)(1s(s1s)s(F 321

2

++++=+++= (1.4.1)

[ ]21

)2s)(1s(1s)s(sFK

0s

2

0s1 =

+++==

== (1.4.2)

[ ] 2)2s(s

1s)s(F)1s(K1s

2

1s2 =

++=+=

== (1.4.3)

[ ]25

)1s(s1s)s(F)2s(K

2s

2

2s3 =

++=+=

== (1.4.4)

2s1

25

1s2

s1

21)s(F +++= (1.4.5)

[ ] )t(Ue25e2

21)s(FL)t(f t2t1

+== (1.4.6)


12


)2s2s(s

2s)s(F 2 +++=

Reenje:

[ ][ ] )j1(sK

)j1(sK

sK

)j1(s )j1(ss2s

)2s2s(s2s)s(F 3212 +++=+

+=+++= (1.5.1)

[ ][ ] 1)j1(s )j1(s2sK

0s1 =

++=

= (1.5.2)

[ ] 21

)j1(ss2sK

j1s2 =

+=

+= (1.5.3)

[ ] 21

)j1(ss2sK

j1s3 =

++=

= (1.5.4)

)j1(s1

21

)j1(s1

21

s1)s(F += (1.5.5)

[ ] [ ]( ) )t(Utcose1)t(U

2eee1

)t(Uee21)t(U)s(FL)t(f

tjtjt

t

t)j1(t)j1(1

+

=

+=

=+== (1.5.6)


)1s)(8s4s(

7s3s)s(F 22

+++++=

Reenje:

[ ][ ]1s

K)j22(s

K)j22(s

K

)1s()j22(s )j22(s7s3s

)1s)(8s4s(7s3s)s(F

321

2

2

2

++++++=

=++++++=+++

++= (1.6.1)

[ ] 2jj22s

2

j22s1 e41j

41

)1s)(j22s(7s3s)s(F)j22s(K

+=+= ==

+++++=+= (1.6.2)


13

[ ] 2jj22s

2

j22s2 e41j

41

)1s)(j22s(7s3s)s(F)j22s(K

== ==

++++=++= (1.6.3)

[ ] 18s4s7s3s)s(F)1s(K

1s2

2

2s3 =

++++=+=

== (1.6.4)

1s1

j22se

j22se

41)s(F

2j

2j

++

++++=

(1.6.5)

[ ]

)t(Uet2sine21)t(Ue

2t2cose

21

)t(Ue2eee

21

)t(Ue)t(Ueeee41)s(FL)t(f

tt2tt2

t)

2t2(j)

2t2(j

t2

tt)j22(2jt)j22(2

j1

+=

+

+=

=

++=

=+

+==

++

+

(1.6.6)


)2s()1s(

s4s3)s(F 22

+=

Reenje:

2sK

1sK

)1s(K

)2s()1s(s4s3)s(F 2122

112

2

+++=+= (1.7.1)

[ ]31

2ss4s3)s(F)1s(K

1s

2

1s2

11 =

+==

== (1.7.2)

( )9

14)2s(

)s4s3()2s)(s83(

2ss4s3

dsd)s(F)1s(

dsdK

1s2

21s

2

1s

212

=

++=

=

+=

=

=

== (1.7.3)

[ ]922

)1s(s4s3)s(F)2s(K

2s2

2

2s2 =

=+=

== (1.7.4)


14

)2s(922

)1s(914

)1s(31)s(F 2 += (1.7.5)

[ ] )t(Ue922e

914te

31)s(FL)t(f t2tt1

== (1.7.6)


23s)1s(1)s(F +=

Reenje:

sK

sK

1sK

)1s(K

)1s(K

s)1s(1)s(F 222

21132

123

1123 +++++++=+= (1.8.1)

[ ] 1s1)s(F)1s(K

1s21s

311 =

=+=

== (1.8.2)

( ) 2s2

s1

dsd)s(F)1s(

dsdK

1s3

1s2

1s

312 =

=

=

+=

=== (1.8.3)

( ) 3s6

21

s2

dsd

21)s(F)1s(

dsd

21K

1s4

1s3

1s

32

2

13 =

=

=

+=

=== (1.8.4)

[ ] 1)1s(

1)s(FsK0s

30s2

21 =

+== ==

(1.8.5)

( ) 3)1s(

3)1s(

1dsd)s(Fs

dsdK

0s4

0s3

0s

222 =

+=

+=

====

(1.8.6)

s3

s1

1s3

)1s(2

)1s(1)s(F 223 ++++++= (1.8.7)

[ ] )t(U3te3te2et21)s(FL)t(f ttt21

+++== (1.8.8)

1.9) Primenom Laplasovih transformacija reiti diferencijalnu jednainu:

)t(Ut)t(y9dt

)t(dy6dt

)t(yd 32

2=+

Poznato je: 0)t(y 0t == , 0dt)t(dy

0t =+= .


15

Reenje:

Primenom direktne Laplasove transformacije diferencijalna jednaina postaje:

[ ] 40t0t0t2 s6)s(Y9)t(y)s(sY6dt )t(dy)t(sy)s(Ys =++ +=+=+= (1.9.1) odnosno, posle smenjivanja brojnih vrednosti za poetne uslove, dobija se:

3sK

)3s(K

sK

sK

sK

sK

)3s(s6

)9s6s(s6)s(Y 222

2114213

312

411

2424 +++++==+= (1.9.2)

gde su:

[ ]32

)3s(6)s(YsK

0s20s

411 =

== ==

( )94

)3s(12

)3s(6

dsd)s(Ys

dsdK

0s3

0s2

0s

412 =

=

=

====

( )92

)3s(36

21

)3s(12

dsd

21)s(Ys

dsd

!21K

0s4

0s3

0s

42

2

13 =

=

=

=

===

( )818

)3s(144

61

)3s(36

dsd

61)s(Ys

dsd

!31K

0s5

0s4

0s

43

3

14 =

=

=

=

===

[ ]272

s6)s(Y)3s(K

3s43s

221 =

==

==

( )818

s24

s6

dsd)s(Y)3s(

dsdK

3s5

3s4

3s

222 =

=

=

=

===

Tada jednaina (1.9.2) postaje:

3s1

818

)3s(1

272

s1

818

s1

92

s1

94

s1

32)s(Y

2234 ++++= (1.9.3)

Primenom inverzne Laplasove transformacije dobija se reenje diferencijalne jednaine:

)t(Ue818te

272

818t

92t

92t

91

)t(Ue818te

272

818t

92

!2t

94

!3t

32)t(y

t3t323

t3t323

++++=

=

++++=

(1.9.4)


16

1.10) Primenom Laplasovih transformacija nai zakon kretanja sistema sa slike 1.10. Poznato

je: M = 25kg, B = 75Nsm1, K = 50Nm1, Fo = 12.5N, = 4s1, x t=0+ = 0, 10t ms2dtdx += = .

Reenje:

Diferencijalna jednaina kretanja sistema sa slike 1.10 je:

tsinF)t(Kxdt

)t(dxBdt

)t(xdM o22

=++ (1.10.1)

Primenom direktne Laplasove transformacije diferencijalna jednaina (1.10.1) postaje:

[ ]22

o

0t0t0t2

sMF

)s(XMK)t(x)s(sX

MB

dt)t(dx)t(sx)s(Xs

+=

=++

+=+=+= (1.10.2)

Posle smenjivanja brojnih vrednosti i poetnih uslova dobija se:

16s34s2)s(X)2s)(1s()s(X)2s3s( 2

22

++=++=++ (1.10.3)

odnosno:

j4sK

j4sK

2sK

1sK

)16s)(2s)(1s(34s2)s(X 43212

2

++++++=++++= (1.10.4)

Konstante K1, K2, K3 i K4 su:

[ ]1736)s(X)1s(K

1s1=+= =

[ ]1021)s(X)2s(K

2s2=+= =

[ ]5440e)s(X)j4s(K

j

j4s3

= ==

[ ]5440e)s(X)j4s(K

j

j4s4

= =+=


17

gde je: 67arctg= . Tada je:

j4s1

5440e

j4s1

5440e

2s1

1021

1s1

1736)s(X

jj

+++++=+

(1.10.5)

Primenom inverzne Laplasove transformacije dobija se:

[ ] )t(Uee55401)t(Ue

1021)t(Ue

1736)t(x )t4(j)t4(jt2t + ++= (1.10.6)

odnosno:

)t(U)t4cos(027.0e1021e

1736

)t(U2

ee13601)t(Ue

1021)t(Ue

1736)t(x

t2t

)jt4(j)t4(jt2t

+=

=

++=

+

(1.10.7)

PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

18

2. PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

Sistem automatskog upravljanja je aktivna mrea sainjena od pasivnih i aktivnih

komponenata razliite prirode (elektrine, mehanike, termike, pneumatske, hidrauline

itd.). Dinamiko ponaanje pojedinih komponenata sistema automatskog upravljanja opisuje

se integro diferencijalnim jednainama. Dinamiko ponaanje sistema sa jednom ulaznom

promenjivom x(t) i jednom izlaznom promenjivom y(t) dato je linearnom diferencijalnom

jednainom sa konstantnim koeficijentima:

011n

1n

1nn

n

n011m

1m

1mm

m

m bdtdyb

dtdxb

dtdxba

dtdya

dtdya

dtdya ++++=++++

(1)

Prelaskom u Laplasov domen, pod uslovom da su svi poetni uslovi nula, jednaina (1)

postaje:

)s(X)bsbsbsb()s(Y)asasasa( 011n

1nn

n011m

1mm

m ++++=++++ (2) Prenosna funkcija sistema je:

)ps()ps)(ps()zs()zs)(zs(

Kasasasa

bsbsbsb)s(X)s(Y)s(G

m21

n21

011m

1mm

m

011n

1nn

n

=++++

++++==

(3)

Kod fiziki ostvarljivih sistema stepen polinoma u brojitelju manji je od stepena polinoma

u imenitelju n < m. Nule polinoma u brojitelju su nule prenosne funkcije, a nule polinoma u imenitelju su polovi prenosne funkcije.

Prenosna funkcija linearnog sistema automatskog upravljanja obino se moe prikazati u

obliku:

011k

1kk

kD

IP sscscsc

1)sKs

KK()s(X)s(Y)s(G +++++==

(4)

gde su:

KP proporcionalna konstanta sistema

KI integralna konstanta sistema

KD diferencijalna konstanta sistema

Vrednost koeficijenta ck 0 odreuju red sistema.


19

2.1. Algebra prenosnih funkcija

Algebra prenosnih funkcija predstavlja skup pravila koja omoguavaju da se nae

prenosna funkcija sloenog sistema automatskog upravljanja ako su poznate prenosne

funkcije njegovih komponenata. U strukturnom blok dijagramu promenjive sistema

predstavljene su linijskim segmentima, a funkcije prenosa izmeu pojedinih promenjivih

blokovima (Slika 1).

2.1.1. Pravila algebre prenosnih funkcija

1) Redna veza

2) Paralelna veza

3) Povratna sprega

4) Premetanje bloka iz direktnog kola


20

5) Premetanje bloka iz povratnog kola

6) Pomeranje povratne sprege ispred bloka

7) Pomeranje povratne sprege iza bloka

8) Pomeranje diskriminatora ispred bloka

9) Pomeranje diskriminatora iza bloka


21

2.2. Graf toka signala

Graf toka signala je drugi nain predstavljanja prenosnih funkcija sloenog sistema

automatskog upravljanja. U grafu toka signala promenjive sistema predstavljaju se vorovima

grafa, a funkcije prenosa orijentisanim granama (Slika 2).

2.2.1. Ekvivalentne transformacije grafa toka signala

1) Redna veza

2) Paralelna veza

3) Povratna sprega

4) Eliminacija petlje


22

2.1) Odrediti signal na izlazu blok dijagrama sa slike 2.1.

Reenje:

Primenom principa superpozicije dobija se:

0XX0XX0XX 213132 YYYY ====== ++= (2.1.1) Za X2 = X3 = 0 strukturni blok dijagram sa slike 2.1 postaje:

Primenom pravila za povratnu spregu i rednu vezu signal 0XX 32Y == je:

12121

210XX XHHGG1

GGY

32 === (2.1.2)

Za 0XX 31 == strukturni blok dijagram sa slike 2.1 postaje:


22121

20XX XHHGG1

GY

31 === (2.1.3)


23

Za 0XX 21 == strukturni blok dijagram sa slike 2.1 postaje:


32121

1210XX XHHGG1

HGGY

21 === (2.1.4)

Izlazni signal Y je:

2121

3121221210XX0XX0XX HHGG1

XHGGXGXGGYYYY213132

++=++= ====== (2.1.5)

2.2) Primenom pravila algebre prenosnih funkcija uprostiti strukturni blog dijagram sa

slike 2.2.

Reenje:

Primenom pravila za paralelnu vezu na blokove G4 i G5 strukturni blok dijagrama sa

slike 2.2.1 je:


24

Pomeranjem diskriminatora iza bloka G1 strukturni blok dijagram sa slike 2.2.1 postaje:

Primenom pravila za povratnu spregu strukturni blok dijagram sa slike 2.2.2 postaje:

Primenom pravila rednu vezu i povratnu spregu strukturni blok dijagram sa slike 2.2.3

postaje:


25

2.3) Primenom pravila algebre prenosnih funkcija uprostiti strukturni blog dijagram sa

slike 2.3.

Reenje:

Pomeranjem povratne sprege iza bloka G3 strukturni blok dijagram sa slike 2.3 postaje:

Korienjem pravila za rednu vezu i povratnu spregu strukturni blok dijagram sa

slike 2.3.1 postaje:


26

2.4) Primenom pravila algebre prenosnih funkcija uprostiti strukturni blok dijagram sa

slike 2.4 i odrediti prenosnu funkciju. Dobijeni rezultat analitiki proveriti.

Reenje:

Primenom pravila za rednu i paralelnu vezu strukturni blok dijagram sa slike 2.4 postaje:

Pomeranjem povratne sprege iza bloka G2 strukturni blok dijagram sa slike 2.4.1 postaje:


27

Primenom pravila za rednu i paralelnu vezu strukturni blok dijagram sa slike 2.4.2

postaje:

Primenom pravila za povratnu spregu dobija se prenosna funkcija kola slike 2.4.3:

1

34521

1

21

G1)GG)(GG1(G

1

G1GG

)s(G

+++

+= (2.4.1)

Analitiki se dobijeni rezultat moe dobiti na sledei nain. Sa slike 2.4 se vidi da je:

22XGY = (2.4.2)

[ ]3341

12 X)GG(XG1

GX += (2.4.3)

2522522523 X)GG1(XGGXYGXX +=+=+= (2.4.4) Iz jednaina (2.4.3) i (2.4.4) dobija se:

XG1

GG1

)GG)(GG1(G1X

1

1

1

345212 +=

+++ (2.4.5)

Iz jednaina (2.4.2) i (2.4.5) dobija se prenosna funkcija kola sa slike 2.4:


28

1

34521

1

21

G1)GG)(GG1(G

1

G1GG

)s(X)s(Y)s(G

+++

+== (2.4.6)

2.5) Nai prenosnu funkciju sistema iji je graf toka signala dat na slici 2.5.

Reenje:

Koristei ekvivalentne transformacije za paralelnu vezu i povratnu spregu graf toka

signala sa slike 2.5 postaje:

Koristei ekvivalentne transformacije za rednu vezu i povratnu spregu graf toka signala sa

slike 2.5.1 postaje:

Koristei ekvivalentne transformacije za rednu vezu graf toka signala sa slike 2.5.2

postaje:


29

2.6) Na slici 2.6 prikazan je strukturni blok dijagram sistema automatskog upravljanja.

Formirati graf toka signala. Primenom Mejsonovog pravila izraunati prenosnu funkciju

sistema.

Reenje:

Na slici 2.6.1 prikazan je graf toka signala za strukturni blok dijagram sa slike 2.6.

Mejsonovo pravilo omoguava da se odredi prenosna funkcija od proizvoljnog vora X

tipa izvora (vor tipa izvora je vor iz koga grane samo izviru) do proizvoljnog vora Y tipa

ponora (vor tipa ponora je vor u koga grane samo poniru) i definisano je izrazom:


30

)s(

)s()s(P

)s(X)s(Y)s(G

n

1iii

=== (2.6.1)

gde su:

n broj direktnih putanja izmeu vorova od izvora do posmatranog ponora (direktna putanja

je niz sukcesivno povezanih i u istom smeru orijentisanih grana koje spajaju navedene

vorove i du kojih se svaki vor pojavljuje samo jedanput);

Pi pojaanje i te direktne putanje, koje se formira kao proizvod pojaanja grana koje

sainjavaju putanju;

- determinanta grafa toka signala (karakteristina funkcija grafa) koja je definisana relacijom:

++== +j j

3j2jk j j

1jjk1k PPP1P)1(1 (2.6.2)

gde su:

j

1jP zbir krunih pojaanja svih zatvorenih putanja grafa;

j

2jP zbir svih proizoda krunih pojaanja od po dve zatvorene putanje koje se meusobno

ne dodiruju;

j

3jP zbir svih proizoda krunih pojaanja od po tri zatvorene putanje koje se meusobno

ne dodiruju;

j

4jP , j

5jP , - definisane su na analogan nain;

i je koja se dobija primenom jednaine (2.6.2), ali samo za zatvorene putanje koja ne dodiruju i tu direktnu putanju;

Graf toka signala sa slike 2.6.1 ima:

Dve direktne putanje sa pojaanjima:

P1 = G1G2G3 , P2 = G4;

etiri zatvorene putanje krunih pojaanja:

P11 = G1G5, P21 = G4G5G6G7, P31 = G2G6, P41 = G3G7;

Putanje P11 i P41 meusobno se ne dodiruju, pa je proizvod krunih pojaanja ovih putanja:

P12 = P11P41 = G1G3G5G7,

Determinata grafa toka signala je:


31

753173627654511241312111 GGGGGGGGGGGGGG1P)PPPP(1 +=++++= Direktna putanja P1 dodiruje sve zatvorene putanje. Zato je 1 = 1. Direktna putanja P2 ne dodiruje zatvorenu putanju P31 i 2 = 1 P31 = 1 G2G6. Prenosna funkcija sistema na osnovu jednaine (2.6.1) je:

75317362765451

624321

2211

GGGGGGGGGGGGGG1)GG1(GGGG

)s()s()s(P)s()s(P

)s(X)s(Y)s(G

++=

=+==

(2.6.3)

2.7) Za multivarijabilni sistem sa dva ulaza i dva izlaza iji je strukturni blok dijagram

prikazan na slici 2.7 formirati graf toka signala i odrediti Y1(X1,X2) i Y2(X1,X2) primenom

Mejsonovog pravila.

Reenje:

Na slici 2.7.1 prikazan je graf toka signala za strukturni blok dijagram sa slike 2.7.


32

Poto je graf linearan, funkcije Y1(X1,X2) i Y2(X1,X2) se mogu odrediti superpozicijom.

Kruna pojaanja zatvorenih putanja su:

P11= G1G3, P21= G4G5, P31= G4G5G6, P41= G1G2G4G7. Proizvodi krunih pojaanja od po dve krune putanje koje se ne dodiruju meusobno su:

P12= P11P21=G1G3G4G5 i P22= P11P31=G1G3G4G5G6 Determinanta grafa toka signala je:

65431543174216545431 GGGGGGGGGGGGGGGGGGGG1 +++++= Od ulaza X1 do izlaza Y1 postoji samo jedna direktna putanja 31

11 GGP = , koja ne

dodiruje zatvorene putanje P21 i P31 Tada je:

65454312111 GGGGG1)PP(1 ++=+=

Od ulaza X2 do izlaza Y1 postoji samo jedna direktna putanja 43212

1 GGGGP = , koja dodiruje sve zatvorene putanje zatvorene putanje i 121 = . Superpozicijom se dobija da je:

+++=

+= 2432116545431221

211

11

11

211XGGGGX)GGGGG1(GGXPXP)X,X(Y

Od ulaza X1 do izlaza Y2 postoji samo jedna direktna putanja 7654112 GGGGGP = , koja

dodiruje sve zatvorene putanje i 112 = . Od ulaza X2 do izlaza Y2 postoji samo jedna direktna putanja 654

22 GGGP = , koja ne

dodiruje zatvorenu putanju P11. Tada je:

311122 GG1P1 +==

Superpozicijom se dobija da je:

++=

+= 231654176541222

221

12

12

212X)GG1(GGGXGGGGGXPXP)X,X(Y

Zavisnost izlaznih veliina Y1 i Y2 od ulaznih veliina X1 i X2 moe se prikazati u

matrinom obliku:

+

++

=

2

1

3165476541

43216545431

2

1

X

X

)GG1(GGGGGGGG

GGGG)GGGGG1(GG

Y

Y (2.7.1)


33

2.8) Za kolo sa slike 2.8 formirati graf toka signala i primenom Mejsonovog pravila odrediti

prenosnu funkciju.

Reenje:

Na osnovu slike 2.8 mogu se napisati sledee jednaine:

)]s(U)s(U[sC)s(I 211 = (2.8.1) )]s(I)s(I[R)s(U 212 = (2.8.2)

)]s(U)s(U[sC)s(I 322 = (2.8.3) )]s(I)s(I[R)s(U 323 = (2.8.4)

)]s(U)s(U[sC)s(I 433 = (2.8.5) )s(RI)s(U 34 = (2.8.6)

Na osnovu jednaina od (2.8.1) do (2.8.6) moe se formirati graf toka signala za kolo sa

slike 2.8.

Od )s(U1 do )s(U4 postoji samo jedna direktna putanja pojaanja:

3331 CRsP = (2.8.7)

Postoje ukupno 5 zatvorenih putanja istih krunih pojaanja sRC. Tada je: =

j1j sRC5P (2.8.8)


34

=j

2222j CRs6P (2.8.9)

=j

3333j CRsP (2.8.10)

Na osnovu jednaina (2.8.8), (2.8.9) i (2.8.10) sledi da je:

+++=+=j j

2223333j2j

j1j sRC5CRs6CRs1PPP1)s( (2.8.11)

Ne postoji ni jedna zatvorena putanja koja se ne dodiruje se sa direktnom putanjom i 1=1 . Prenosna funkcija kola sa slike 2.8 je:

sRC5CRs6CRs1CRs

)s()s()s(P

)s(U)s(U)s(G 222333

33311

1

4

+++=== (2.8.12)

2.9) Za nelinearni sistem automatskog upravljanja koji je opisan diferencijalnom jednainom:

)t(xdt

)t(dx2)t(y)t(ydt

)t(dy)t(ydt

)t(yd 232

2+=++

napraviti linearni model u okolini take ravnotenog stanja )2,6()y,x( QQ = . Odrediti prenosnu funkciju linearizovanog modela.

Reenje:

Linearni model se dobija Tejlorovim razvojem prvog reda jednaine u okolini take

ravnotenog stanja:

[ ] yyfx

xf)y,x(f)t(y),t(xf

Q

Q

Q

Q

yyxx

yyxxQQ

++

==

== (2.9.1)

Za xx)t(x Q += i yy)t(y Q += , dobija se: [ ]

dt)t(ydy

dt)t(dy)t(y Q

(2.9.2) 3Q

2Q

3 y)t(yy3)t(y += (2.9.3) 2QQ

2 x)t(xx2)t(x += (2.9.4) [ ] [ ]

[ ] 2QQ

Q3Q

2QQ2

2

x)t(xx2dt

)t(xd2

y)t(yy)t(yy3dt

)t(ydydt

)t(yd

++=

=+++

(2.9.5)


35

odnosno:

[ ] [ ] [ ] )t(x62dt

)t(xd2)t(y11dt

)t(yd2dt

)t(yd2

2+=++ (2.9.6)

Primenom direktne Laplasove transformacije na jednainu (2.9.6) dobija se prenosna

funkcija linearizovanog modela:

11s2s62s2

)s(X)s(Y)s(G 2 ++

+== (2.9.7)

2.10) Rezervoar konstantne povrine poprenog preseka A sa slike 2.10 prazni se po zakonu

hK)t(q2 = , gde je h visina nivoa tenosti u rezervoaru, a K konstanta. Odrediti zakon promene visine nivoa tenosti u rezervoaru. Napraviti linearni model u okolini nominalne

visine hQ. Odrediti prenosnu funkciju linearizovanog modela.

Reenje:

Zapremina tenosti u rezervoaru je:

)t(hAV = (2.10.1) Zakon promene zapremine je:

)t(hK)t(q)t(q)t(qdt

)t(dhAdt

)t(dV121 === (2.10.2)

Zakon promene visine nivoa tenosti u rezervoaru je:

)t(qA1)t(h

AK

dt)t(dh

1+= (2.10.3)

Za )t(hh)t(h Q += i ),t(qq)t(q 1Q11 += linearni model postaje: [ ] )t(q

A1q

A1)t(h

h1

A2Kh

AK

dt)t(hd

1Q1Q

Q ++= (2.10.4)


36

odnosno:

[ ] )t(qA1)t(h

h1

A2K

dt)t(hd

1Q

=+ (2.10.5)

Primenom direktne Laplasove transformacije na jednainu (2.10.5) dobija se prenosna

funkcija linearizovanog modela:

Q

1hA2

Ks

A1

)s(Q)s(H)s(G

+=

= (2.10.6)

2.11) Serijsko RLC kolo i analogni mehaniki sistemi, translacioni i rotacioni, prikazani su

na slici 2.11. Napisati diferencijalne jednaine koje opisuju dinamiko ponaanje ovih

sistema i odrediti analogne fizike promenjive i parametre.

Reenje:

a) Primenom Kirhofovog zakona o naponima na serijsko RLC kolo dobija se:

++=++= dt)t(iC1dt )t(diL)t(Ri)t(u)t(u)t(u)t(u CLR (2.11.1) Kako je

dt)t(dq)t(i = , jednaina (2.11.1) postaje:

)t(qC1

dt)t(dqR

dt)t(qdL)t(u 2

2++= (2.11.2)

b) Primenom zakona dinamike na translacioni mehaniki sistem dobija se:

)t(f)t(f)t(f)t(f MBK ++= (2.11.3) gde su:

== dt)t(vK)t(Kx)t(fK


37

)t(Bvdt

)t(dxB)t(fB ==

dt)t(dvM

dt)t(xdM)t(f 2

2

M ==

jednaina (2.11.3) postaje:

++= dt)t(vK)t(Bvdt )t(dvM)t(f (2.11.4) )t(Kx

dt)t(dxB

dt)t(xdM)t(f 2

2++= (2.11.5)

Poreenjem jednaina (2.11.1) i (2.11.2) sa jednainama (2.11.4) i (2.11.5) vidi se da su

matamatiki modeli koji opisuju dinamiko ponaanje RLC kola i analognog translacionog

mehanikog sistema identini, i analogne fizike promenjive i parametri su:

)t(x)t(q)t(v)t(i)t(f)t(u

K1C

BRML

Na slici 2.11.1.a prikazani su simboli za masu M, elastinost K, trenje B i silu f(t), a na

slici 2.11.1.b analogna mehanika mrea translacionog mehanikog sistema.

c) Primenom zakona dinamike na rotacioni mehaniki sistem dobija se:

)t(M)t(M)t(M)t(M JBK ++= (2.11.6) gde su:

== dt)t(K)t(K)t(MK )t(B

dt)t(dB)t(MB ==


38

dt)t(dM

dt)t(dJ)t(M 2

2

J==


++= dt)t(K)t(Bdt )t(dJ)t(M (2.11.7) )t(K

dt)t(dB

dt)t(dJ)t(M 2

2++= (2.11.8)


matamatiki modeli koji opisuju dinamiko ponaanje RLC kola i analognog rotacionog

mehanikog sistema identini, i analogne fizike promenjive i parametri su:

)t()t(q)t()t(i

)t(M)t(u

K1C

BRJL

Na slici 2.11.2.a prikazani su simboli za moment inercije J, elastinost K, trenje B i

moment sile M(t), a na slici 2.11.2.b analogna mehanika mrea rotacionog mehanikog

sistema .

Poreenjem analognih mehanikih mrea sa serijskim RLC kolom moe se izvesti

sledee pravilo: Mehanikim elementima u paralelnoj vezi odgovaraju analogni elektrini

elementi vezani serijski, a mehanikim elementima u serijskoj vezi odgovaraju analogni

elektrini elementi vezani paralelno.

2.12) Na slici 2.12 prikazan je translacioni mehaniki sistem sa dva stepena slobode.

Koristei analogiju koja postoji izmeu elektrinih i mehanikih elemenata formirati

mehaniku i analognu elektrinu mreu. Izraunati prenosnu funkciju sistema smatrajui da

je x1(t) ulazna promenjiva, a x2(t) izlazna promenjiva sistema.


39

Reenje:

Masa M2, opruga K2 i prigunica B2 vre isti pomeraj x2(t). Zato su ovi elementi

mehaniki u paralelnoj vezi, a u analognoj elektrinoj mrei u serijskoj vezi. Opruga K1

izloena je pomeraju x1(t) x2(t) i zato je mehaniki serijski elemenat, a u analognoj

elektrinoj mrei paralelan. Masa M1 i prigunica B1 vre isti pomeraj x1(t) i ovi elementi su

mehaniki u paralelnoj vezi, a u analognoj elektrinoj mrei u serijskoj vezi. Na slici 2.12.1

prikazane su mehanika mrea (a) i analogna elektrina mrea (b) sistema sa slike 2.12.

Primenom metode konturnih struja na kolo sa slike 2.12.1.b dobija se:

)t(f)t(xK)t(xKdt

)t(dxB

dt)t(xd

M 21111

121

2

1 =++ (2.12.1)

0)t(x)KK(dt

)t(xB

dt)t(xd

M)t(xK 2212

222

2

211 =++++ (2.12.2)

Primenom direktne Laplasove transformacije jednaine (2.12.1) i (2.12.2) postaju:

( ) )s(F)s(XK)s(XKsBMs 2111112 =++ (2.12.3) ( ) 0)s(XKKsBMs)s(XK 22122211 =++++ (2.12.4)

Iz jednaine (2.12.4) sledi da je prenosna funkcija translacionog mehanikog sistema:


40

21222

1

1

2

KKsBMsK

)s(X)s(X

)s(G +++== (2.12.5)

2.13) Elektrina mrea diferencijalnog tipa i analogna mehanika mrea prikazane su na

slici 2.13. Napisati diferencijalne jednaine koje opisuju dinamiko ponaanje ovih mrea,

izvesti prenosnu funkciju sistema i odrediti analogne fizike promenjive i parametre.

Reenje:

a) Za elektrinu mreu sa slike 2.13.a vai:

)t(u)t(u)t(u 2C1 += (2.13.1) )t(i)t(i)t(i 21 += (2.13.2)

Jednaina (2.13.2) moe se napisati u obliku:

dt)t(duC

R)t(u

R)t(u C

1

C

2

2 += (2.13.3)

Iz jednaine (2.13.1) sledi da je:

)t(u)t(u)t(u 21C = (2.13.4) Iz jednaina (2.13.3) i (2.13.4) dobija se:

[ ]dt

)t(u)t(udCR

)t(u)t(uR

)t(u 211

21

2

2 += (2.13.5)

odnosno:

)t(uR1

dt)t(duC)t(u

R1

R1

dt)t(duC 1

1

12

21

2 +=

++ (2.13.6)

Primenom direktne Laplasove transformacije jednaina (2.13.6) postaje:


41

)s(UR1)s(sCU)s(U

R1

R1)s(sCU 1

112

212 +=

++ (2.13.7)

Prenosna funkcija elektrine mree sa slike 2.13.a je:

21

21

1

21

2

21

1

1

2

RRRRsC1

sCR1RR

R

R1

R1sC

R1sC

)s(U)s(U)s(G

++++=

++

+== (2.13.8)

b) Za mehaniku mreu sa slike 2.13.b. vai:

[ ] )t(xK)t(x)t(xKdt

)t(dxdt

)t(dxB 2221121 =+

(2.13.9)

odnosno:

( ) )t(xKdt

)t(dxB)t(xKKdt

)t(dxB 1112212 +=++ (2.13.10) Primenom direktne Laplasove transformacije jednaina (2.13.10) postaje:

( ) ( ) )s(XKsB)s(XKKsB 11221 +=++ (2.13.11) Prenosna funkcija mehanike mree sa slike 2.13.b je:

21

1

21

1

21

1

1

2

KKBs1

KBs1

KKK

KKsBKsB

)s(X)s(X)s(G

++

++=++

+== (2.13.12)

Iz jednaina (2.13.8) i (2.13.12) sledi da su analogne fizike promenjive i parametri:

11 K

1R

)t(x)t(u

22 K

1R

BC

2.14) Za rotacioni mehaniki sistem sa tri stepena slobode sa slike 2.14 napisati diferencijalne

jednaine koje opisuju dinamiko ponaanje ovog sistema. Formirati mehaniku i analognu

elektrinu mreu. Izraunati prenosnu funkciju sistema uzimajui da je 1(t) ulazna promenjiva, a 3(t) izlazna promenjiva.


42

Reenje:

Primenom zakona dinamike za rotaciono kretanje na kolo sa slike 2.14 dobijaju se

diferencijalne jednaine koje opisuju dinamiko ponaanje sistema:

[ ] )t(M)t()t(K 211 = (2.14.1) [ ] [ ] 0)t()t(K

dt)t()t(dB

dt)t(dB

dt)t(dJ 121323212

22

1 =+++ (2.14.2)

[ ] 0)t(Kdt

)t()t(dBdt

)t(dBdt

)t(dJ 322333223

2

2 =+++ (2.14.3)

Na slici 2.14.1 prikazana je mehanika mrea (a) i analogna elektrina mrea (b) sistem.

Primenom metode konturnih struja na kolo sa slike 2.14.1.b dobija se:

[ ] )s(M)s()s(K 211 = (2.14.4)

( )[ ] 0)s(sB)s(KBBsJs)s(K 3321311211 =++++ (2.14.5)

( )[ ] 0)s(KBBsJs)s(sB 31311223 =++++ (2.14.6) Reavanjem ovog sistema jednaina Kramerovim pravilom dobija se:


43

( )( )

( )( ) ( )( )[ ]23223222131122322

23

313112

1

1

BsKBBsJsKBBsJs)s(M

KBBsJssB0sBKBBsJs00K)s(M

++++++=

=+++

+++

=

(2.14.7)

( ) 313

13112

1

11

3 BsK)s(M0sB00KBBsJsK

)s(MKK=

+++

= (2.14.8)

Prenosna funkcija rotacionog mehanikog sistema sa slike 2.14 je:

( )( ) ( )( )[ ]2322322213112 311313 BsKBBsJsKBBsJsBsK

)s()s(

)s(G++++++

==

= (2.14.9)

2.15) Na rotacioni mehaniki sistem na slici 2.15 dejstvuje mehaniki momenat M(t).

Prenosni odnos reduktora odreen je brojem zubaca n1 i n2. J1 i J2 su momenti inercije

zamajaca ija su obrtna kretanja izloena viskoznom trenju koeficijenata trenja B1 i B2.

Koeficijenat torzione elastinosti osovine iji je ugaoni pomeraj 1(t) je K1. Izraunati prenosnu funkciju sistema smatrajui da je M(t) ulazna promenjiva sistema, a ugaoni pomeraj

2(t) izlazna promenjiva sistema.

Reenje:

Diferencijalne jednaine koje opisuju dinamiko ponaanje sistema sa slike 2.15 su:

)t(M)t(M)t(Kdt

)t(dB

dt)t(d

J 1111

121

2

1 =++ (2.15.1)


44

)t(Mdt

)t(dB

dt)t(d

J 22

222

2

2 =+ (2.15.2)

gde je M1(t) otporni moment, a M2(t) pokretaki moment predat reduktoru.

Izmeu pomeraja pre i posle redukcije postoji veza:

)t(n)t(n 2211 = (2.15.3) odnosno:

)t(N)t(nn)t( 22

1

21 == (2.15.4)

gde je 1

2nnN = . Oba zubanika moraju da izvre isti rad. Zato je:

)t()t(M)t()t(M 2211 = (2.15.5) Iz jednaina (2.15.4) i (2.15.5) se dobija odnos izmeu momenata pre i posle redukcije:

N)t(M)t(M 21 = (2.15.6)

Primenom direktne Laplasove transformacije prethodne jednaine postaju:

( ) )s(M)s(M)s(KsBJs 111112 =++ (2.15.7) ( ) )s(M)s(sBJs 22222 =+ (2.15.8)

)s(N)s( 21 = (2.15.9)

N)s(M)s(M 21 = (2.15.10)

Iz ovih jednaina sledi da je prenosna funkcija sistema:

12

212

2122

2

KN)BBN(s)JJN(sN

)s(M)s(

)s(G ++++== (2.15.11)

2.16) Pneumatski sistem koji se sastoji od dovodne cevi i komore sa gasom pod pritiskom

prikazan je na slici 2.16. Sa Pi i Po oznaene su stacionarne vrednosti pritiska gasa u ulaznoj

cevi i komori, a sa pi(t) i po(t) male varijacije pritiska gasa u ulaznoj cevi i komori u odnosu

na vrednosti u stracionarnom stanju. Protok gasa q(t) direktno je proporcionalan razlici

pritisaka gasa pi(t) u dovodnoj cevi, kao ulazne promenjive, i pritiska gasa po(t) u komori, kao

izlazne promenjive sistema. Definisati pneumatsku otpornost R prigunog prstena i

pneumatski kapacitet C komore. Izraunati prenosnu funkciju pneumatskog ventila. Koristei

analogiju koja postoji izmeu elektrinih i pneumatskih elemenata, za dva kaskadno vezana


45

sistema sa slike 2.16, formirati analognu elektrinu mreu i izraunati funkciju prenosa

sistema.

Reenje:

Pneumatska otpornost R prstena definisana je relacijom:

)t(q)t(pR = (2.16.1)

Pneumatski kapacitet komore definisan je relacijom:

)t(qdt

)t(dpC = (2.16.2) Iz definicija za otpornost prstena R i kapacitet komore C dobija se:

)t(q)t(p)t(p

R oi= (2.16.3)

)t(qdt

)t(dpC o = (2.16.4) Iz jednaina (2.16.3) i (2.16.4) sledi da je:

)t(p)t(pdt

)t(dpRC io

o =+ (2.16.5) Primenom direktne Laplasove transformacije jednaina (2.16.5) postaje:

)s(P)s(P)sRC1( io =+ (2.16.6) Prenosna funkcija pneumatskog sistema je:

sRC11

)s(P)s(P

)s(Gi

o+== (2.16.7)

Na slici 2.16.1 prikazana je ekvivaletna elektrina mrea pnematskog sistema sa

slike 2.16. Primenom Kirhofovog zakona o naponima na kolo sa slike 2.16.1 dobija se:

)t(udt

)t(duRC)t(u)t(Ri)t(u)t(u)t(u CCCCR +=+=+= (2.16.8) gde je:


46

dt)t(duC)t(i C= (2.16.9)


matematiki modeli koji opisuju dinamiko ponaanje RC kola i analognog pneumatskog

sistema identini, i da su analogne fizike promenjive i parametri:

)t(q)t(i)t(p)t(u

CCRR

Na slici 2.16.2 prikazan je pneumatski sistem koji se sastoji od kaskadne veze dva

pneumatska sistema sa slike 2.16.

Analogna elektrina mrea pneumatskog sistema sa slike 2.16.2 prikazana je na

slici 2.16.3.


47

Na osnovu slike 2.16.3 mogu se napisati sledee jednaine:

)t(qR)t(p)t(p 11i = (2.16.10) )t(qR)t(p)t(p 22o = (2.16.11)

)t(q)t(qdt

)t(dpC 211 = (2.16.12)

)t(qdt

)t(dpC 2

o2 = (2.16.13)

Primenom direktne Laplasove transformacije prethodne jednaine postaju:

)s(QR)s(P)s(P 11i = (2.16.14) )s(Q)s(Q)s(PsC 211 = (2.16.15)

)s(QR)s(P)s(P 22o = (2.16.16) )s(Q)s(PsC 2o2 = (2.16.17)

Na osnovu jednaina od (2.16.14) do (2.16.17) moe se formirati graf toka signala za kolo

sa slike 2.16.3.

Od Pi(s) do Po(s) postoji samo jedna direktna putanja pojaanja:

212121 RRCCs

1)s(P =

Kruna pojaanja zatvorenih putanja su:

1111 RsC

1)s(P = , 21

21 RsC1)s(P = ,

2231 RsC

1)s(P = .

Krune putanje P11(s) i P31(s) se meusobno ne dodiruju. Tada je:

2121212 RRCCs

1)s(P =

Determinanta graf toka signala je:


48

21212

21212

111222

21212

222111

RRCCsRRCCsRsCRsCRsC1

RRCCs1

RsC1

RsC1

RsC11)s(

++++=

=++++=

Direktna putanja dodiruje sve zatvorene putanje. Zbog toga je 1 = 1. Prenosna funkcija sistema sa slike 2.16.2 je:

21212

111222

11

i

o

RRCCsRsCRsCRsC11P

)s(P)s(P

)s(G ++++=== (2.16.18)

2.17) Termiki sistem sa toplotnom izolacijom rezervoara prikazan je na slici 2.17. Smatrati

da nema akumulirane energije u izolatoru i da se tenost u rezervoaru idealno mea, odnosno

da su temperature tenosti u rezervoaru i tenosti na izlazu iste i da je toplotni kapacitet

metalnog grejaa G zanemarljivo mali. Promenjive sistema su:

1 temperatura hladne tenosti na ulazu rezervoara (oC); 2 temperatura zagrejane tenosti na izlazu rezervoara (oC); q toplotni protok koji obezbeuje greja (J/s);

q1 toplotni protok koji je posledica uticaja hladne tenosti na ulazu rezervoara (J/s);

q2 toplotni protok koji je posledica isticanja tople tenosti na izlazu rezervoara (J/s);

Definisati termiku otpornost i termiki kapacitet. Formirati strukturni blok dijagram i

izraunati prenosnu funkciju sistema, smatrajui temperaturu 1(t) i toplotni protok q(t) za ulazne promenjive, a temperaturu 2(t) za izlaznu promenjivu sistema. Toplotni protoci q1(t) i q2(t) su: )t(cn)t(q 11 = i )t(cn)t(q 22 = , gde je c specifini toplotni kapacitet tenosti, a n maseni protok tenosti.


49

Reenje:

Termika otpornost R definisana je relacijom:

)t(q)t(R = (2.17.1)

Termiki kapacitet definisan je relacijom:

)t(qdt

)t(dC = (2.17.2) Iz definicije za termiku otpornost izolacije R moe se nai toplotni protok u jedinici

vremena kroz izolaciju:

R)t()t()t(q 12i

= (2.17.3) Iz definicije za termiki kapacitet C moe se nai toplotni protok u jedinici vremena kroz

tenost:

dt)t(dC)t(q 2T

= (2.17.4) Jednaina ravnotee toplotnog protoka tenosti u jedinici vremena je:

)t(q)t(q)t(q)t(q)t(q Ti21 ++=+ (2.17.5) odnosno:

dt)t(dC

R)t()t()t(cn)t(q)t(cn 21221

++=+ (2.17.6) Primenom direktne Laplasove transformacije jednaina (2.17.5) postaje:

)s()cnR1()s(RQ)cnRsRC1)(s( 12 ++=++ (2.17.7) odnosno:

)s(cnRsRC1

cnR1)s(QcnRsRC1

R)s( 12 ++++++= (2.17.8)

Na osnovu jednaine (2.17.8) moe se formirati sledei strukturni blok dijagram sistema:


50

2.18) Za hidraulini sistem sa slike 2.18 promenjive sistema su:

Q stacionarna vrednost ulaznog i izlaznog protoka fluida (m3 / s)

q1 mala varijacija protoka fluida na ulazu od vrednosti u stacionarnom stanju (m3 / s)

q2 mala varijacija protoka fluida na izlazu od vrednosti u stacionarnom stanju (m3 / s)

h mala varijacija nivoa fluida u odnosu na stacionarnu vrednost (m)

Definisati hidraulinu otpornost R ventila u sluaju laminarnog strujanja fluida i hidraulini

kapacitet C rezervoara. Izvesti prenosnu funkciju sistema. Koristei dobijene jednaine, za

dva kaskadno povezana sistema sa slike 2.18, formirati strukturni blok dijagram i njegovom

sukcesivnom redukcijom odrediti funkciju prenosa sistema.

Reenje:

Izmeu protoka fluida i nivoa fluida u rezervoaru, kod laminarnog kretanja, postoji veza:

)t(Kh)t(q = (2.18.1) Hidraulina otpornost ventila definisana je relacijom:

)t(q)t(h

K1

)t(dq)t(dhR === (2.18.2)

Na osnovu relacije (2.18.2) sledi da je hidraulina otpornost izlaznog ventila:

)t(q)t(hR

2= (2.18.3)

Hidraulini kapacitet rezervoara je:

R)t(h)t(q)t(q)t(q

dt)t(dhC 121 == (2.18.4)


)s(RQ)s(H)sRC1( 1=+ (2.18.5) Prenosna funkcija hidraulinog sistema sa slike 2.18 je:

sRC11

)s(QR

)s(H

)s(Q)s(Q)s(G

11

2+=== (2.18.6)


51

Na slici 2.18.1 prikazana je ekvivaletna elektrina mrea kola sa slike 2.18.

Primenom Kirhofovog zakona o naponima na kolo sa slike 2.18.1 dobija se:

)t(i)t(idt

)t(duC 21

C =+ (2.18.7)

)t(i)t(u

R2

C= (2.18.8)


matematiki modeli koji opisuju dinamiko ponaanje RC kola i analognog hidraulinog

sistema sa slike 2.18 identini, i da su analogne fizike promenjive i parametri:

CCRR

)t(q)t(i

)t(h)t(uC

Na slici 2.18.2 prikazana je hidraulini sistem koji se sastoji od kaskadne veza dva

hidraulina sistema sistema sa slike 2.18.

Na osnovu definicije hidrauline otpornosti mogu se napisati sledee jednaine:

)t(q)t(h)t(hR 211

= (2.18.9)


52

)t(q)t(hR

2

22 = (2.18.10)

Na osnovu definicije hidraulinog kapaciteta rezervoara mogu se napisati sledee

jednaine:

)t(q)t(qdt

)t(dhC 111 = (2.18.11)

)t(q)t(qdt

)t(dhC 222 = (2.18.12) Primenom direktne Laplasove transformacije prethodne jednaine postaju:

)s(H)s(H)s(QR 211 = (2.18.13) )s(H)s(QR 222 = (2.18.14)

)s(Q)s(Q)s(HsC 111 = (2.18.15) )s(Q)s(Q)s(HsC 222 = (2.18.16)

Na osnovu prethodnih jednaina mogu se formirati sledei blok dijagrami koji su

prikazani na slici 2.18.3:

Na osnovu slike 2.18.3 moe se formirati strukturni blok dijagram sistema sa slike 2.18.4.


53

Premetanjem povratne sprege iza bloka 2R

1 i diskriminatora isped bloka 1sC

1 , dijagram

sa slike 2.18.4. postaje:

Korienjem pravila za rednu vezu i povratnu spregu blok dijagram sa slike 2.18.5

postaje:

Sa slike 2.18.7 se vidi da je prenosna funkcija sistema sa slike 2.18.2:

21212

212211

2122111

2

RRCCsRsCRsCRsC11

RsC)RsC1)(RsC1(1

)s(Q)s(Q)s(G

++++=

=+++== (2.18.17)

Analogna elektrina mrea hidraulinog sistema sa slike 2.18.2. prikazana je na

slici 2.18.8.


54

Primenom metode konturnih struja na kolo sa slike 2.18.8 dobija se:

0)s(QsC

1)s(QsC

1sC1R)s(Q

sC1

2221

111

=

+++ (2.18.18)

0)s(QsC

1R)s(QsC

12

22

2=

++ (2.18.19)

Iz jednaina (2.18.18) i (2.18.19) dobija se prenosna funkcija:

21212

212211 RRCCsRsCRsCRsC11)s(G ++++= (2.18.20)

2.19) Na slici 2.19 prikazan je priguiva koji se koristi u sistemu regulacije. Odrediti

funkciju prenosa sistema ako je x1(t) ulazna promenjiva, a x2(t) izlazna promenjiva sistema.

Poznato je: A povrina klipa priguivaa, gustina fluida, K koeficijenat elastinosti opruge, R hidraulina otpornost. Promenjive sistema su: A[p2(t) p1(t)] sila pritiska koja

deluje na klip priguivaa, q(t) maseni protok fluida.

Reenje:

Iz definicije za hidraulinu otpornost ventila dobija se:

)t(q)t(p)t(p

R 12= (2.19.1)


55

Iz uslova ravnotee sile koja deluje na klip priguivaa i sile napregnute opruge dobija se:

[ ] )t(KxA)t(p)t(p 212 = (2.19.2) Maseni protok q(t) moe se izraziti preko zapreminskog protoka

dt)t(dV)t(qV =

jednainom:

==dt

)t(dxdt

)t(dxA)t(q)t(q 21V (2.19.3)

Iz prethodnih jednaina dobija se:

)t(xARK

dt)t(dx

dt)t(dxA

R)t(p)t(p)t(q 22112 =

== (2.19.4)


[ ] )s(XARK)s(X)s(XAs 221 = (2.19.5)

Prenosna funkcija sistema je:

RAKs

s

RAsK1

1)s(X)s(X)s(G

221

2

+=

+== (2.19.6)

Na osnovu jednaine (2.19.6) moe se formirati strukturni blok dijagram sistema:

2.20) Realizacija proporcionalnog pneumatskog regulatora prikazan je na slici 2.20. Gas

konstantnog pritiska p1 uvodi se kroz priguni prsten konstantnog pneumatskog otpora u cev

na ijem se drugom kraju nalazi mlaznik, naspram koga se nalazi leptir sa zazorom. Posle

prolaska gasa kroz priguni prsten dolazi do pada pritiska i izlazni pritisak p2(t) je manji od

pritiska napajanja. U zavisnosti od rastojanja izmeu mlaznika i zazora menja se izlazni

pritisak. Izraunati prenosnu funkciju sistema smatrajui pritisak p2(t) za izlaznu promenjivu,

a pomeraj leptira e(t) za ulaznu promenjivu sistema. Smatrati da izmeu izlaznog pritiska

p2(t) i pomeraja zazora vai linearna zavisnost.


56

Reenje:

Kako je sistem linearan vai:

)t(Kx)t(p2 = (2.20.1) gde je K konstanta proporcionalnosti.

Veza izmeu pomeraja leptira x(t) i pomeraja zazora e(t) je:

)t(eba

b)t(x += (2.20.2) Iz jednaina (2.20.1) i (2.20.2) sledi da je:

)t(eba

Kb)t(p2 += (2.20.3) Primenom direktne Laplasove transformacije jednaina (2.20.3) postaje:

)s(Eba

Kb)s(P2 += (2.20.4) Prenosna funkcija sistema je:

baKb

)s(E)s(P

)s(G 2 +== (2.20.5)

2.21) Realizacija proporcionalnog integralno diferencijalnog pneumatskog regulatora

prikazan je na slici 2.21. Gas konstantnog pritiska pi uvodi se kroz priguni prsten

konstantnog pneumatskog otpora u cev na ijem se drugom kraju nalazi mlaznik, naspram

koga se nalazi leptir sa zazorom. Posle prolaska gasa kroz priguni prsten dolazi do pada

pritiska i izlazni pritisak po(t) je manji od pritiska napajanja. U zavisnosti od rastojanja

izmeu mlaznika i zazora menja se izlazni pritisak. Ova promena se kroz ventil konstantnog

pneumatskog otpora R1 prenosi na pritisak p1(t) u mehu 1 kapaciteta C1, a kroz ventil

konstantnog pneumatskog otpora R2 prenosi na pritisak p2(t) u mehu 2 kapaciteta C2, to


57

dovodi do rezultujeeg pomeraja x2(t) njihove zajednike povrine A. Ovaj pomeraj se preko

leptira prenosi na promenu rastojanja x1(t) zazora od mlaznika. Formirati strukturni blok

dijagram i odrediti parametre regulacije sistema uzimajui pritisak po(t) za izlaznu

promenjivu, a pomeraj leptira e(t) za ulaznu promenjivu sistema. Smatrati da izmeu izlaznog

pritiska po(t) i pomeraja zazora vai linearna zavisnost.

Reenje:

Kakoje sistem linearan vai:

)t(Kx)t(p 1o = (2.21.1) gde je K konstanta proporcionalnosti.

Veza izmeu pomeraja leptira i pomeraja zazora moe se nai sa slike 2.21. Za male

pomeraje )t(x1 vai:

)t(x)t(xb

)t(eba

11 ++ (2.21.2)

)t(xa

)t(xba

12 + (2.21.3)

Iz jednaina (2.21.2) i (2.21.3) sledi da je:

)t(xba

a)t(eba

b)t(x 21 ++= (2.21.4) Iz definicija za otpornost ventila dobija se:


58

)t(q)t(p)t(pR

1

1o1

= (2.21.5)

)t(q)t(p)t(pR

2

2o2

= (2.21.6)

Iz definicije za kapacitet komore dobija se:

)t(qdt

)t(dpC 111 = (2.21.7)

)t(qdt

)t(dpC 222 = (2.21.8)

Iz uslova ravnotee sile pritiska koja deluje na povrinu A meha [ ]A)t(p)t(p 12 i sile elastinosti meha )t(xK 2m , gde je Km koeficijenat elastinosti omotaa meha, sledi da je:

[ ] )t(xKA)t(p)t(p 2m12 = (2.21.9) Primenom direktne Laplasove transformacije prethodne jednaine postaju:

)s(PK1)s(X o1 = (2.21.10)

)s(Xba

a)s(Eba

b)s(PK1)s(X 2o1 ++== (2.21.11)

1

1o1 R

)s(P)s(P)s(Q = (2.21.12)

2

2o2 R

)s(P)s(P)s(Q = (2.21.13)

1

1o111 R

)s(P)s(P)s(Q)s(PsC == (2.21.14)

odnosno:

)s(PCsR1

1)s(P o11

1 += (2.21.15)

2

2o222 R

)s(P)s(P)s(Q)s(PsC == (2.21.16)

odnosno:

)s(PCsR1

1)s(P o22

2 += (2.21.17)

[ ] )s(PCsR1

1CsR1

1KA)s(P)s(P

KA)s(X o

1122m12

m2

++== (2.21.18)

Iz jednaina (2.21.11) i (2.21.18) sledi da je:


59

)s(P)RsC1)(RsC1(

RsCRsCKA

baa)s(E

bab)s(P

K1

o2211

2211

mo ++

++= (2.21.19)

odnosno:

)s(Eba

Kb)s(P)RsC1)(RsC1(

RsCRsCKA

baKa1 o

2211

2211

m +=

++++ (2.21.20)


)RsC1)(RsC1(RsCRsC

KA

baKa1

baKb

)s(E)s(P)s(G

2211

2211

m

o

++++

+== (2.21.21)

Na osnovu jednaine (2.21.21) moe se formirati strukturni blok dijagram sistema:

U normalnom reimu rada sistema vai: )RsC1)(RsC1(

RsCRsCKA

baKa1

2211

2211

m ++++ >>1, i


1211

2211moRsCRsC

)RsC1)(RsC1(aA

bK)s(E)s(P

)s(G ++= (2.21.22)

Ako se R1 i R2 podese tako da je R1>>R2, tada je R1C1>>R2C2. Jednaina (2.21.22) postaje:

+++=++ 22

11

22

11

m

11

2211m RsCRCRC

1RsC

1aA

bKRsC

)RsC1)(RsC1(aA

bK)s(G (2.21.23)

Kako je 0RCRC

11

22 , prenosna funkcija sistema je:

s1KsKK

s1s1k

RsC1RsC1

aAbK

)s(G IDPI

D11

22m ++=

++=

++ (2.21.24)


60

gde su:

aAbKk m=

22D CR= diferencijalna vremenska konstanta sistema 11I CR= integralna vremenska konstanta sistema

bAaKK mP = proporcionalna konstanta regulatora

22m

DD CRaAbKkK == diferencijalna konstanta regulatora

11

m

II CR

1aA

bKkK == integralna konstanta regulatora

Iz jednaine (2.21.24) sledi da pod navedenim uslovima sistem sa slike 2.21 predstavlja

proporcionalno integralno diferencijalni regulator (PID) nultog reda.

2.22) Realizacija diferencijalnog regulatora preko idealnih operacionih pojaavaa prikazana

je na slici 2.22. Odrediti prenosnu funkciju sistema i parametre regulacije uzimajui napon

u1(t) za ulaznu promenjivu, a napon u2(t) za izlaznu promenjivu sistema.

Reenje:

Prenosna funkcija kola sa slike 2.22 je:

)s(U)s(U)s(G

1

2= (2.22.1)

Sa slike 2.22 se vidi da je:

R)s(U

R2)s(U a1 = (2.22.2)


61

R)s(U

)s(sCU2R

)s(U)s(U aa

ab += (2.22.3) Iz jednaina (2.22.2) i (2.22.3) sledi da je:

)s(U)sRC1()s(U 1b += (2.22.4) Izlazni operacioni pojaava igra ulogu sabiraa. Izlazni napon je:

)s(sRCU)s(U)s(U)s(U 1b12 == (2.22.5) Iz jednaine (2.22.5) sledi da je prenosna funkcija sistema:

sKsRC)s(G D == (2.22.6) gde je RCK D = diferencijalna konstanta regulatora

2.23) Elektronsko izvoenje proporcionalno diferencijalnog sistema prikazano je na slici

2.23. Izraunati prenosnu funkciju i formirati strukturni blok dijagram uzimajui napon u1(t)

za ulaznu promenjivu, a napon u2(t) za izlaznu promenjivu sistema.

Reenje:

Sa slike 2.23 se vidi da je:

[ ])t(u)t(uK)t(u 312 = (2.23.1) )t(u

dt)t(du

RCdt)t(iC1)t(Ri)t(u 3

32 +=+= (2.23.2)

gde je:

dt)t(duC)t(i 3= (2.23.3)

Primenom direktne Laplasove transformacije jednaine (2.23.1) i (2.23.2) postaju:

[ ])s(U)s(UK)s(U 312 = (2.23.4) ( ) )s(UsRC1)s(U 32 += (2.23.5)


62

Eliminacijom napona U3(s) iz jednaina (2.23.4) i (2.23.5) dobija se:

)s(KUsRC1K1)s(U 12 =

++ (2.23.6)

Prenosna funkcija sistema sa slike 2.23 je:

1KRCs1

sRC11K

K

sRC1K1

K)s(U)s(U)s(G

1

2

++++=

++== (2.23.7)

Na osnovu jednaine (2.23.7) moe se formirati sledei strukturni blok dijagram sistema:

2.24) Za jednosmerni motor sa optereenjem sa slike 2.24 izraunati:

a) prenosnu funkciju )s(U)s()s(G

s

o= , kada se motor upravlja strujom u statoru

b) prenosnu funkciju )s(U)s()s(G

r

o= , kada se motor upravlja strujom u rotoru

Rs i Ls su otpornost i induktivnost statorskog kola, a Rr i Lr otpornost i induktivnost namotaja

rotora. Jm i Bm su moment inercije i koeficijenat viskoznog trenja osovine rotora, a Jo i Bo

moment inercije i koeficijenat viskoznog trenja optereenja. Sa N je oznaen prenosni odnos

mehanikog reduktora.


63

Reenje:

Pokretaki momenat motora je Mm(t) je:

)t(Mdt

)t(dBdt

)t(dJ)t(M *omm2m

2

mm ++= (2.24.1)

gde je )t(M*o momenat optereenja posmatran ispred mehanikog reduktora. Izmeu ugaonih

brzina i momenata optereenja pre i posle mehanike redukcije postoji veza:

dt)t(d

Ndt

)t(d om = (2.24.2)

+==

dt)t(dB

dt)t(dJ

N1)t(M

N1)t(M oo2

o2

oo*o (2.24.3)

Iz prethodnih jednaina dobija se:

+++=

dt)t(d

)BNB(dt

)t(d)JNJ(

N1)t(M om

2o2

o2

m2

om (2.24.4)

odnosno:

dt)t(dB

dt)t(dJ)t(NM)t(M o2

o2

m+== (2.24.5)

gde su:

m2

o JNJJ += ukupan momenat inercije sveden na osovinu motora

m2

o BNBB += ukupno viskozno trenje svedeno na osovinu motora M(t) momenat optereenja sveden na osovinu motora

Prema jednaini (2.24.5) sistem sa slike 2.24 moe se zameniti ekvivalentnim sistemom

prikazanim na slici 2.24.1.

Fluks proizveden strujom statora u prostoru izmeu namotaja statora i rotora je:


64

)t(iK)t( s1= (2.24.6) Pokretaki momenat motora Mm (t) je linearno zavisi od proizvoda izmeu fluksa )t( i struje rotora )t(ir , odnosno:

)t(i)t(iKK)t(i)t(K)t(M rs21r2m == (2.24.7) a) Ako se motor upravlja strujom statora, tada je struja rotora ir konstantna. Pokretaki

momenat motora je tada:

)s(IK)s(M ssm = (2.24.8) odnosno, prema jednaini (2.24.5)

)s(NIK)s(M ss= (2.24.9) Jednaine elektrine ravnotee ulaznog kola i mehanike ravnotee izlaznog kola su:

)s(U)s(I)RsL( ssss =+ (2.24.10) 0)s()BsJ(s)s(NIK oss =++ (2.24.11)

Jednaina (2.24.11) izraava mehaniku ravnoteu pokretakog momenta motora i

ekvivalentnog momenta optereenja na izlaznoj osovini motora. Prenosna funkcija sistema je:

)1s)(1s(sK

)BsJ)(RsL(sNK

)s(U)s()s(G

mess

s

s

o++=++=

= (2.24.12)

gde su:

)BNB(RNK

BRNKK

m2

os

s

s

s

+== pojaanje sistema

s

se R

L= elektrina vremenska konstanta sistema

m2

o

m2

om BNB

JNJBJ

++== mehanika vremenska konstanta sistema

b) Ako se motor upravlja strujom rotora, tada je struja statora is konstantna. Pokretaki

momenat motora je tada:

)s(IK)s(M remm = (2.24.13) odnosno, prema jednaini (2.24.5):

)s(NIK)s(M rem= (2.24.14) Za razliku od sluaja kada se motor upravlja strujom statora, kod koga se prenosi samo

uticaj od elektrinog ka mehanikom kolu, kod motora koji se upravlja strujom u rotoru,


65

postoji i uticaj mehanikog kola na elektrino preko elektromotorne sile um(t) koja se, usled

prisustva fluksa proizvedenog konstantnom strujom statora, pri obrtanju rotora indukuje u

rotorskom namotaju. Elektromotorna sila )t(um proporcionalna je ugaonoj brzini rotora:

)s(NsK)s(sK)s(U omemmem == (2.24.15) Jednaine ravnotee su:

)s(U)s(NsK)s(I)RsL( romerrr =++ (2.24.16) 0)s()BsJ(s)s(NIK orem =++ (2.24.17)


)1s2s(sK

]NKK)BsJ)(RsL[(sNK

)s(U)s()s(G 222

meemrr

em

r

o

++=+++== (2.24.18)

gde su:

2meemm

2or

em

2meemr

em

NKK)BNB(RNK

NKKBRNK

K

++=

=+= pojaanje sistema

2meemm

2or

o2

or2

meemr

r

NKK)BNB(R)BNJ(L

NKKBRJL

+++=+= vremenska konstanta sistema

]NKK)BNB(R)[JNJ(L2

)JNJ(R)BNB(L

)NKKBR(JL2

JRBL

2meemm

2orm

2or

m2

orm2

or

2meemrr

rr

++++++=

=++=

koeficijenat priguenja

2.25) Jednosmerni motor upravljan Vard Leonardovom grupom prikazan je na slici 2.25.

Upravljaki napon us (t) prikljuen je na krajeve pobudnog kola generatora G iju osovinu

pokree pomoni motor (nije prikazan na slici) konstantnom ugaonom brzinom . Napon na krajevima generatora ug(t) prikljuen je na krajeve rotora upravljanog strujom u rotoru.

Napon na krajevima generatora direktno je proporcionalan struji u pobudnom kolu, tj.

)t(iK)t(u sgg = . J i B predstavljaju ekvivalentan moment inercije i koeficijenat viskoznog trenja na izlaznoj osovini motora. Odrediti prenosnu funkciju sistema smatrajui us(t) za

ulaznu promenjivu, a )t(o izlaznu promenjivu sistema.


66

Reenje:

Vard Leonardova grupa je skup maina koju ine generator G, motor M i pomoni

motor koji okree osovinu generatora konstantnom ugaonom brzinom. Jednaine elektrine

ravnotee sistema sa slike

Documents

Zadaci iz upravljanja