Zadaci iz upravljanja

  • View
    69

  • Download
    6

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Rijeseni zadaci iz automatskog upravljanja

Text of Zadaci iz upravljanja

  • UNIVERZITET U BEOGRADU

    FIZIKI FAKULTET

    Doc. dr Stevan Stojadinovi

    ZBIRKA ZADATAKA

    IZ

    AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

    BEOGRAD, 2008.

  • SADRAJ

    1. LAPLASOVE TRANSFORMACIJE............................................................................1

    2. PRENOSNA FUNKCIJA

    SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA........................................................18

    3. VREMENSKE I FREKVENTNE KARAKTERISTIKE

    SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA .......................................................76

    4. METOD PROSTORA STANJA..................................................................................90

    5. TANOST I STABILNOST

    SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA .....................................................115

    6. LITERATURA...........................................................................................................138

  • LAPLASOVE TRANSFORMACIJE

    1

    1. LAPLASOVE TRANSFORMACIJE

    Laplasove transformacije zasnivaju se na integralima:

    [ ] ==0

    stdte)t(f)t(fL)s(F (1)

    [ ] dse)s(Fj2

    1)s(FL)t(fj

    j

    st1 +

    == (2)

    gde su:

    L operator direktne Laplasove transformacije 1L operator inverzne Laplasove transformacije

    s = + j kompleksna promenjiva Laplasove transformacije F(s) kompleksni lik funkcije )t(f

    f(t) original funkcije )s(F

    Integral (1) predstavlja direktnu Laplasovu transformaciju i prevodi vremensku funkciju

    f(t) u kompleksnu funkciju F(s), dok integral (2) predstavlja inverznu Laplasovu

    transformaciju i prevodi kompleksnu funkciju F(s) u vremensku funkciju f(t).

    Egzistencija integrala (1) zavisi od oblika funkcije f(t) i vrednosti . Laplasova transformacija funkcije f(t) postoji samo za o> . Veliina o naziva se apcisa apsolutne konvergencije i predstavlja minimalnu (realnu i pozitivnu) vrednost .consto == koja obezbeuje konvergenciju integrala funkcije f(t):

    0 Laplasova transformacija je:

    [ ])s(s

    e1L t +=

  • LAPLASOVE TRANSFORMACIJE

    3

    4. Prostoperiodine sinusne i kosinusne funkcije

    Za sinusnu funkciju Laplasova transformacija je:

    [ ]

    220

    t)sj(t)sj(0

    sttj

    0

    sttjtjtj

    sjs1

    js1

    j21

    sje

    sje

    j21

    dtej2

    edtej2

    ej2

    ej2

    eL)tsin(L

    +=

    +=

    =

    ==

    =

    +

    Za kosinusnu funkciju Laplasova transformacija je:

    [ ] 22tjtj

    ss

    2e

    2eL)tcos(L +=

    +=

    1.2. Osobine direktne Laplasove transformacije

    1. Teorema linearnosti

    [ ] )s(Fa)s(Fa)t(fa)t(faL 22112211 +=+ , ( 21 a,a R) 2. Teorema o izvodu originala (realno diferenciranje)

    =

    +

    +

    =

    =

    n

    1k

    )1k(knnn

    n)0(fs)s(Fs)t(f

    dtdL

    )0(f)s(sF)t(fdtdL

    3. Teorema o integralu originala (realno integraljenje)

    [ ]s

    )s(Fdt)t(fL

    s

    dt)t(f

    s)s(Fdt)t(fL

    t

    0

    0

    =

    +=

    +

    4. Teorema o izvodu kompleksnog lika (kompleksno diferenciranje)

    [ ][ ] )s(F

    dsd)1()t(ftL

    )s(Fdsd)t(tfL

    n

    nnn =

    =

    5. Kompleksno integraljenje

    =

    s

    ds)s(Ft

    )t(fL

  • LAPLASOVE TRANSFORMACIJE

    4

    6. Teorema kanjenja (realna translacija)

    [ ] )s(Fe)at(fL as= , a > 0 7. Teorema pomeranja (kompleksna translacija)

    [ ] )s(F)t(feL t += 8. Teorema slinosti

    [ ]

    =asF

    a1)at(fL

    9. Teorema o poetnoj vrednosti

    =

    s0t)s(sFlim)t(flim

    10. Teorema o konanoj vrednosti

    0st

    )s(sFlim)t(flim

    =

    11. Konvolucija originala

    Ako je funkcija f(t) data konvolucionim integralom

    =t

    021 d)(f)t(f)t(f

    tada je:

    [ ] )s(F)s(F)t(fL)s(F 21== 12. Parsevalova teorema

    =0

    j

    j

    2 ds)s(F)s(Fj2

    1dt)t(f

    1.3. Nalaenje inverzne Laplasove transformacije

    Inverzna Laplasova transformacija zasniva se na integralu (2). Integraljenje se vri du

    prave =)s(Re izabrane tako da se svi polovi funkcije F(s) nalaze levo od nje. U svim sluajevima od interesa u automatskom upravljanju funkcija F(s) se moe prikazati u obliku

    racionalne razlomljene funkcije:

    011n

    1nn

    n

    011m

    1mm

    m

    asa...sasabsb...sbsb

    )s(Q)s(P)s(F ++++

    +++== (4)

  • LAPLASOVE TRANSFORMACIJE

    5

    gde su P(s) i Q(s) polinomi po s, pri emu je stepen polinoma u brojitelju manji ili jednak

    stepenu polinoma u imenitelju )nm( . Nule polinom P(s) i Q(s) nazivaju se nule i polovi funkcije F(s). Poto su P(s) i Q(s) polinomi sa realnim koeficijentima, njihove nule, odnosno

    nule i polovi funkcije F(s) mogu biti ili realni, ili u konjugovano kompleksnim parovima.

    Tada se inverzna Laplasova transformacija moe nai razvojem funkcije F(s) u parcijalne

    razlomke (Heaviside ov razvoj) ili primenom Koijeve teoreme ostataka. U mnogim

    sluajevima inverzna Laplasova transformacija moe se nai u tablicama Laplasovih

    transformacionih parova.

    1.2.1. Metoda parcijalnih razlomaka

    Funkcija (4) moe se napisati u obloku:

    )ss()ss)(ss(A)s(P

    )s(Q)s(P)s(F

    n21 == (5)

    Mogui su sledei sluajevi:

    a) koreni su meusobno razliiti:

    Funkcija F(s) moe se tada prikazati u obliku:

    =

    =+++=n

    1k k

    k

    n

    n

    2

    2

    1

    1ss

    Kss

    Kss

    Kss

    K)s(F (6)

    gde su K1, K2, Kn konstantni koeficijenti. Mnoenjem jednaine (6) sa )ss( k i prelaenjem na graninu vrednost dobija se:

    )s(Q)s(P)ss(lim

    ssK)ss(lim k

    ss

    n

    1k k

    kk

    ss kk= = (7)

    odnosno:

    ksskk )s(Q

    )s(P)ss(K

    =

    = (8)

    Inverzna Laplasova transformacija funkcije F(s) odreuje se na taj nain to se za svaki

    lan parcijalnog razlomka (6) odredi inverzna transformacija:

    ==

    =

    =n

    1k

    tsk

    n

    1k k

    k1 keKss

    KL)t(f (9)

  • LAPLASOVE TRANSFORMACIJE

    6

    Ako su neki koreni kompleksni, oni se javljaju u konjugovanim parovima. Neka su

    kkk js += i kk*k1k jss ==+ . Tada se funkcija (6) moe prikazati u obliku:

    )s(Q)s(P

    ssK

    ssK

    )s(Q)ss)(ss()s(P)s(F

    1*k

    1k

    k

    k

    1*kk

    ++==+ (10)

    Za koeficijente Kk i Kk+1 dobija se:

    )s(Q2j)s(P

    )s(Q)ss()s(P

    )s(Q)s(P)ss(K

    k1k

    k

    k1*kk

    k

    sskk

    k==

    =

    = (11)

    )s(Q2j)s(P

    )s(Q)ss()s(P

    )s(Q)s(P)ss(K *

    k1k

    *k

    *k1k

    *k

    *k

    ss

    *k1k

    *k

    ==

    ==

    + (12)

    Kompleksni koeficijenti Kk i Kk+1 su konjugovani:

    kjkkkk eKjyxK

    =+= kj

    kkk*k1k eKjyxKK

    + ===

    gde je k

    kk x

    yarctg= .

    Pri nalaenju inverzne Laplasove transformacije funkcije F(s) lanovi zbira sa

    kompleksnim korenima se objedinjuju. Tada je:

    )tcos(eK2eeKeeKss

    Kss

    KL kkt

    k)t(jt

    k)t(jt

    k*k

    *k

    k

    k1 kkkkkkk +=+=

    +++

    b) koreni su viestruki

    Kada se koreni polinoma u imenitelju funkcije (5) ponavljaju, ona se moe napisati u

    obliku:

    n21 m

    nm

    2m

    1 )ss()ss()ss(A)s(P

    )s(Q)s(P)s(F == (13)

    Svaki koren sk multipliciteta mk moe se napisati u obliku:

    = +

    =+++k

    k

    k

    kk

    m

    1j1jm

    k

    kj

    k

    km1m

    k

    2km

    k

    1k

    )ss(

    Kss

    K

    )ss(K

    )ss(K (14)

    odnosno za celu funkciju F(s) dobija se:

    = +=

    = kk

    m

    1j1jm

    k

    kjn

    1k )ss(

    K)s(F (15)

  • LAPLASOVE TRANSFORMACIJE

    7

    Koeficijenti korena sk odreuju se tako to se jednaina (15) pomnoi sa kmk )ss( i stavi kss = : [ ] [ ] 1kss1mkkm2k3kk2k1kssmk K)ss(K)ss(K)ss(KK)s(F)ss( kkkkk =++++= ==

    Diferenciranjem ovog izraza po s, pre prelaska na graninu vrednost, i smenom kss = , dobija se:

    [ ] 2kss2mkkmkk3k2kss

    mk K)ss(K)1m()ss(K2K)s(F)ss(ds

    dk

    k

    k

    k

    k =+++=

    ==

    Za nalaenje opteg koeficijenta kjK diferenciranje treba produiti do (mk-1 )-og izvoda, a

    zatim staviti kss = . Tada je:

    k

    k

    ss

    mk1j

    1j

    kj )s(F)ss(dsd

    )!1j(1K

    =

    = , j = 1,2, mk (16)

    Sa poznatim koeficijentima Kkj, inverzna transformacija funkcije (13) postaje:

    tsjmm

    1j k

    kjn

    1k

    kkk

    et)!jm(

    K)t(f

    == = (17)

  • LAPLASOVE TRANSFORMACIJE

    8

    TABLICA LAPLASOVIH TRANSFORMACIONIH PAROVA

    No F(s) f(t) , t 0 1 1 )t( 2

    ns1 , ,...3,2,1n =

    !

    )1n(t 1n

    3 n)s(

    1+

    t1n

    e)1n(

    t !

    4 1n

    n

    )s(s

    ++ =

    !!!n

    0k

    k2

    kt t

    )k()kn()(ne

    5 )s)(s(

    1++

    tt ee

    6 )s)(s(

    as o++

    +

    toto e)a(e)a(

    7 2

    o

    )s(as+

    + [ ] to e1t)a( +

    8 )s)(s)(s(

    1+++ ))((

    e))((

    e))((

    e ttt

    ++

    9 2s)s(

    1+ 2

    t 1te

    +

    10 )s)(s)(s(

    as o+++

    + ))((

    e)a())((

    e)a())((

    e)a( tot

    ot

    o

    ++

    11

    s)s(as

    2o

    ++

    t2oo

    2o e)

    at

    a(

    a

    +

    12 22s

    1+ )tsin(

    1

    13 22s

    1 )t(sh

    1

    14 22s

    s+

    )tcos(

  • LAPLASOVE TRANSFORMACIJE

    9

    15 22s

    s

    )t(ch

    16 22)s(

    1++ )tsin(e

    1 t

    17 22)s(

    s++

    + )tcos(e t

    18 ])s)[(s(

    122 +++ )tsin(e)(

    1)(

    e t2222

    t

    +++

    = arctg

    19 ])s)[(s(

    as22

    o

    ++++ )tsin(e

    )()a(1

    )(e)a( t

    22

    22o

    22

    to +

    ++

    ++

    = arctga

    arctgo

    20 ase )at( 21

    se as

    )at(U

    22 2

    as

    se

    )at(U)at(

    23

    +

    se as )at(Ue

    )at(

    24 2

    as

    )s(e+

    )at(Ue)at(

    )at(

    25

    )s)(s(e as

    ++

    )at(Uee)at()at(

    26

    se1 as )at(U)t(U

    27

    see bsas )bt(U)at(U

    28 2

    as

    ase)as( + )at(U)aa

    1t(

  • LAPLASOVE TRANSFORMACIJE

    10

    1.1) Odrediti Laplasovu transformaciju funkcije:

    ( ) )t(Ut3sin2t2cosete)t(f t t +=

    Reenje:

    [ ] [ ] [ ] [ ]

    9s6

    4)1s(1s

    )1s(1

    9s32

    4)1s(1s

    1s1

    dsd

    t3sinL2t2coseLteL)t(fL)s(F

    22222

    t t

    ++++++=+++

    ++

    +=

    =+== (1.1.1)

    1.2) Koristei integral konvolucije odrediti inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:

    )2s)(1s(

    1)s(F ++=

    Reenje:

    Prenosna funkcija se moe napisati u obliku:

    )s(F)s(F)s(F 21= (1.2.1) gde su:

    1s1)s(F1 += (1.2.2)

    2s1)s(F2 += (1.2.3)

    Tada je:

    [ ] )t(Ue)s(FL)t(f t111 == (1.2.4) [ ] )t(Ue)s(FL)t(f 2t 212 == (1.2.5)

    Koritei integral konvolucije dobija se:

    [ ] ( ) )t(Ue1edeedeed)(f)t(f)s(FL)t(f t tt0

    t

    o

    t

    0

    t2 )-(t 21

    1 ===== (1.2.6)

    1.3) Odrediti inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:

    )1s)(5s(

    7s)s(F ++=

  • LAPLASOVE TRANSFORMACIJE

    11

    Reenje:

    Primenom Heaviside ovog razvoja prenosna funkcija se moe napisati u obliku:

    1sK

    5sK

    )1s)(5s(7s)s(F 21 ++=+

    += (1.3.1)

    Koeficijenti K1 i K2 su:

    [ ] 21s7s)s(F)5s(K 5s5s1 =+

    +== == (1.3.2)

    [ ] 15s7s)s(F)1s(K 1s1s2 =

    +=+= == (1.3.3) Tada je:

    1s1

    5s2)s(F += (1.3.4)

    [ ] ( ) )t(Uee2)s(FL)t(f tt51 == (1.3.5)

    1.4) Odrediti inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:

    )2s)(1s(s

    1s)s(F2

    +++=

    Reenje:

    2sK

    1sK

    sK

    )2s)(1s(s1s)s(F 321

    2

    ++++=+++= (1.4.1)

    [ ]21

    )2s)(1s(1s)s(sFK

    0s

    2

    0s1 =

    +++==

    == (1.4.2)

    [ ] 2)2s(s

    1s)s(F)1s(K1s

    2

    1s2 =

    ++=+=

    == (1.4.3)

    [ ]25

    )1s(s1s)s(F)2s(K

    2s

    2

    2s3 =

    ++=+=

    == (1.4.4)

    2s1

    25

    1s2

    s1

    21)s(F +++= (1.4.5)

    [ ] )t(Ue25e2

    21)s(FL)t(f t2t1

    +== (1.4.6)

  • LAPLASOVE TRANSFORMACIJE

    12

    1.5) Odrediti inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:

    )2s2s(s

    2s)s(F 2 +++=

    Reenje:

    [ ][ ] )j1(sK

    )j1(sK

    sK

    )j1(s )j1(ss2s

    )2s2s(s2s)s(F 3212 +++=+

    +=+++= (1.5.1)

    [ ][ ] 1)j1(s )j1(s2sK

    0s1 =

    ++=

    = (1.5.2)

    [ ] 21

    )j1(ss2sK

    j1s2 =

    +=

    += (1.5.3)

    [ ] 21

    )j1(ss2sK

    j1s3 =

    ++=

    = (1.5.4)

    )j1(s1

    21

    )j1(s1

    21

    s1)s(F += (1.5.5)

    [ ] [ ]( ) )t(Utcose1)t(U

    2eee1

    )t(Uee21)t(U)s(FL)t(f

    tjtjt

    t

    t)j1(t)j1(1

    +

    =

    +=

    =+== (1.5.6)

    1.6) Odrediti inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:

    )1s)(8s4s(

    7s3s)s(F 22

    +++++=

    Reenje:

    [ ][ ]1s

    K)j22(s

    K)j22(s

    K

    )1s()j22(s )j22(s7s3s

    )1s)(8s4s(7s3s)s(F

    321

    2

    2

    2

    ++++++=

    =++++++=+++

    ++= (1.6.1)

    [ ] 2jj22s

    2

    j22s1 e41j

    41

    )1s)(j22s(7s3s)s(F)j22s(K

    +=+= ==

    +++++=+= (1.6.2)

  • LAPLASOVE TRANSFORMACIJE

    13

    [ ] 2jj22s

    2

    j22s2 e41j

    41

    )1s)(j22s(7s3s)s(F)j22s(K

    == ==

    ++++=++= (1.6.3)

    [ ] 18s4s7s3s)s(F)1s(K

    1s2

    2

    2s3 =

    ++++=+=

    == (1.6.4)

    1s1

    j22se

    j22se

    41)s(F

    2j

    2j

    ++

    ++++=

    (1.6.5)

    [ ]

    )t(Uet2sine21)t(Ue

    2t2cose

    21

    )t(Ue2eee

    21

    )t(Ue)t(Ueeee41)s(FL)t(f

    tt2tt2

    t)

    2t2(j)

    2t2(j

    t2

    tt)j22(2jt)j22(2

    j1

    +=

    +

    +=

    =

    ++=

    =+

    +==

    ++

    +

    (1.6.6)

    1.7) Odrediti inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:

    )2s()1s(

    s4s3)s(F 22

    +=

    Reenje:

    2sK

    1sK

    )1s(K

    )2s()1s(s4s3)s(F 2122

    112

    2

    +++=+= (1.7.1)

    [ ]31

    2ss4s3)s(F)1s(K

    1s

    2

    1s2

    11 =

    +==

    == (1.7.2)

    ( )9

    14)2s(

    )s4s3()2s)(s83(

    2ss4s3

    dsd)s(F)1s(

    dsdK

    1s2

    21s

    2

    1s

    212

    =

    ++=

    =

    +=

    =

    =

    == (1.7.3)

    [ ]922

    )1s(s4s3)s(F)2s(K

    2s2

    2

    2s2 =

    =+=

    == (1.7.4)

  • LAPLASOVE TRANSFORMACIJE

    14

    )2s(922

    )1s(914

    )1s(31)s(F 2 += (1.7.5)

    [ ] )t(Ue922e

    914te

    31)s(FL)t(f t2tt1

    == (1.7.6)

    1.8) Odrediti inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:

    23s)1s(1)s(F +=

    Reenje:

    sK

    sK

    1sK

    )1s(K

    )1s(K

    s)1s(1)s(F 222

    21132

    123

    1123 +++++++=+= (1.8.1)

    [ ] 1s1)s(F)1s(K

    1s21s

    311 =

    =+=

    == (1.8.2)

    ( ) 2s2

    s1

    dsd)s(F)1s(

    dsdK

    1s3

    1s2

    1s

    312 =

    =

    =

    +=

    === (1.8.3)

    ( ) 3s6

    21

    s2

    dsd

    21)s(F)1s(

    dsd

    21K

    1s4

    1s3

    1s

    32

    2

    13 =

    =

    =

    +=

    === (1.8.4)

    [ ] 1)1s(

    1)s(FsK0s

    30s2

    21 =

    +== ==

    (1.8.5)

    ( ) 3)1s(

    3)1s(

    1dsd)s(Fs

    dsdK

    0s4

    0s3

    0s

    222 =

    +=

    +=

    ====

    (1.8.6)

    s3

    s1

    1s3

    )1s(2

    )1s(1)s(F 223 ++++++= (1.8.7)

    [ ] )t(U3te3te2et21)s(FL)t(f ttt21

    +++== (1.8.8)

    1.9) Primenom Laplasovih transformacija reiti diferencijalnu jednainu:

    )t(Ut)t(y9dt

    )t(dy6dt

    )t(yd 32

    2=+

    Poznato je: 0)t(y 0t == , 0dt)t(dy

    0t =+= .

  • LAPLASOVE TRANSFORMACIJE

    15

    Reenje:

    Primenom direktne Laplasove transformacije diferencijalna jednaina postaje:

    [ ] 40t0t0t2 s6)s(Y9)t(y)s(sY6dt )t(dy)t(sy)s(Ys =++ +=+=+= (1.9.1) odnosno, posle smenjivanja brojnih vrednosti za poetne uslove, dobija se:

    3sK

    )3s(K

    sK

    sK

    sK

    sK

    )3s(s6

    )9s6s(s6)s(Y 222

    2114213

    312

    411

    2424 +++++==+= (1.9.2)

    gde su:

    [ ]32

    )3s(6)s(YsK

    0s20s

    411 =

    == ==

    ( )94

    )3s(12

    )3s(6

    dsd)s(Ys

    dsdK

    0s3

    0s2

    0s

    412 =

    =

    =

    ====

    ( )92

    )3s(36

    21

    )3s(12

    dsd

    21)s(Ys

    dsd

    !21K

    0s4

    0s3

    0s

    42

    2

    13 =

    =

    =

    =

    ===

    ( )818

    )3s(144

    61

    )3s(36

    dsd

    61)s(Ys

    dsd

    !31K

    0s5

    0s4

    0s

    43

    3

    14 =

    =

    =

    =

    ===

    [ ]272

    s6)s(Y)3s(K

    3s43s

    221 =

    ==

    ==

    ( )818

    s24

    s6

    dsd)s(Y)3s(

    dsdK

    3s5

    3s4

    3s

    222 =

    =

    =

    =

    ===

    Tada jednaina (1.9.2) postaje:

    3s1

    818

    )3s(1

    272

    s1

    818

    s1

    92

    s1

    94

    s1

    32)s(Y

    2234 ++++= (1.9.3)

    Primenom inverzne Laplasove transformacije dobija se reenje diferencijalne jednaine:

    )t(Ue818te

    272

    818t

    92t

    92t

    91

    )t(Ue818te

    272

    818t

    92

    !2t

    94

    !3t

    32)t(y

    t3t323

    t3t323

    ++++=

    =

    ++++=

    (1.9.4)

  • LAPLASOVE TRANSFORMACIJE

    16

    1.10) Primenom Laplasovih transformacija nai zakon kretanja sistema sa slike 1.10. Poznato

    je: M = 25kg, B = 75Nsm1, K = 50Nm1, Fo = 12.5N, = 4s1, x t=0+ = 0, 10t ms2dtdx += = .

    Reenje:

    Diferencijalna jednaina kretanja sistema sa slike 1.10 je:

    tsinF)t(Kxdt

    )t(dxBdt

    )t(xdM o22

    =++ (1.10.1)

    Primenom direktne Laplasove transformacije diferencijalna jednaina (1.10.1) postaje:

    [ ]22

    o

    0t0t0t2

    sMF

    )s(XMK)t(x)s(sX

    MB

    dt)t(dx)t(sx)s(Xs

    +=

    =++

    +=+=+= (1.10.2)

    Posle smenjivanja brojnih vrednosti i poetnih uslova dobija se:

    16s34s2)s(X)2s)(1s()s(X)2s3s( 2

    22

    ++=++=++ (1.10.3)

    odnosno:

    j4sK

    j4sK

    2sK

    1sK

    )16s)(2s)(1s(34s2)s(X 43212

    2

    ++++++=++++= (1.10.4)

    Konstante K1, K2, K3 i K4 su:

    [ ]1736)s(X)1s(K

    1s1=+= =

    [ ]1021)s(X)2s(K

    2s2=+= =

    [ ]5440e)s(X)j4s(K

    j

    j4s3

    = ==

    [ ]5440e)s(X)j4s(K

    j

    j4s4

    = =+=

  • LAPLASOVE TRANSFORMACIJE

    17

    gde je: 67arctg= . Tada je:

    j4s1

    5440e

    j4s1

    5440e

    2s1

    1021

    1s1

    1736)s(X

    jj

    +++++=+

    (1.10.5)

    Primenom inverzne Laplasove transformacije dobija se:

    [ ] )t(Uee55401)t(Ue

    1021)t(Ue

    1736)t(x )t4(j)t4(jt2t + ++= (1.10.6)

    odnosno:

    )t(U)t4cos(027.0e1021e

    1736

    )t(U2

    ee13601)t(Ue

    1021)t(Ue

    1736)t(x

    t2t

    )jt4(j)t4(jt2t

    +=

    =

    ++=

    +

    (1.10.7)

  • PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

    18

    2. PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

    Sistem automatskog upravljanja je aktivna mrea sainjena od pasivnih i aktivnih

    komponenata razliite prirode (elektrine, mehanike, termike, pneumatske, hidrauline

    itd.). Dinamiko ponaanje pojedinih komponenata sistema automatskog upravljanja opisuje

    se integro diferencijalnim jednainama. Dinamiko ponaanje sistema sa jednom ulaznom

    promenjivom x(t) i jednom izlaznom promenjivom y(t) dato je linearnom diferencijalnom

    jednainom sa konstantnim koeficijentima:

    011n

    1n

    1nn

    n

    n011m

    1m

    1mm

    m

    m bdtdyb

    dtdxb

    dtdxba

    dtdya

    dtdya

    dtdya ++++=++++

    (1)

    Prelaskom u Laplasov domen, pod uslovom da su svi poetni uslovi nula, jednaina (1)

    postaje:

    )s(X)bsbsbsb()s(Y)asasasa( 011n

    1nn

    n011m

    1mm

    m ++++=++++ (2) Prenosna funkcija sistema je:

    )ps()ps)(ps()zs()zs)(zs(

    Kasasasa

    bsbsbsb)s(X)s(Y)s(G

    m21

    n21

    011m

    1mm

    m

    011n

    1nn

    n

    =++++

    ++++==

    (3)

    Kod fiziki ostvarljivih sistema stepen polinoma u brojitelju manji je od stepena polinoma

    u imenitelju n < m. Nule polinoma u brojitelju su nule prenosne funkcije, a nule polinoma u imenitelju su polovi prenosne funkcije.

    Prenosna funkcija linearnog sistema automatskog upravljanja obino se moe prikazati u

    obliku:

    011k

    1kk

    kD

    IP sscscsc

    1)sKs

    KK()s(X)s(Y)s(G +++++==

    (4)

    gde su:

    KP proporcionalna konstanta sistema

    KI integralna konstanta sistema

    KD diferencijalna konstanta sistema

    Vrednost koeficijenta ck 0 odreuju red sistema.

  • PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

    19

    2.1. Algebra prenosnih funkcija

    Algebra prenosnih funkcija predstavlja skup pravila koja omoguavaju da se nae

    prenosna funkcija sloenog sistema automatskog upravljanja ako su poznate prenosne

    funkcije njegovih komponenata. U strukturnom blok dijagramu promenjive sistema

    predstavljene su linijskim segmentima, a funkcije prenosa izmeu pojedinih promenjivih

    blokovima (Slika 1).

    2.1.1. Pravila algebre prenosnih funkcija

    1) Redna veza

    2) Paralelna veza

    3) Povratna sprega

    4) Premetanje bloka iz direktnog kola

  • PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

    20

    5) Premetanje bloka iz povratnog kola

    6) Pomeranje povratne sprege ispred bloka

    7) Pomeranje povratne sprege iza bloka

    8) Pomeranje diskriminatora ispred bloka

    9) Pomeranje diskriminatora iza bloka

  • PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

    21

    2.2. Graf toka signala

    Graf toka signala je drugi nain predstavljanja prenosnih funkcija sloenog sistema

    automatskog upravljanja. U grafu toka signala promenjive sistema predstavljaju se vorovima

    grafa, a funkcije prenosa orijentisanim granama (Slika 2).

    2.2.1. Ekvivalentne transformacije grafa toka signala

    1) Redna veza

    2) Paralelna veza

    3) Povratna sprega

    4) Eliminacija petlje

  • PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

    22

    2.1) Odrediti signal na izlazu blok dijagrama sa slike 2.1.

    Reenje:

    Primenom principa superpozicije dobija se:

    0XX0XX0XX 213132 YYYY ====== ++= (2.1.1) Za X2 = X3 = 0 strukturni blok dijagram sa slike 2.1 postaje:

    Primenom pravila za povratnu spregu i rednu vezu signal 0XX 32Y == je:

    12121

    210XX XHHGG1

    GGY

    32 === (2.1.2)

    Za 0XX 31 == strukturni blok dijagram sa slike 2.1 postaje:

    Primenom pravila za povratnu spregu i rednu vezu signal 0XX 31Y == je:

    22121

    20XX XHHGG1

    GY

    31 === (2.1.3)

  • PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

    23

    Za 0XX 21 == strukturni blok dijagram sa slike 2.1 postaje:

    Primenom pravila za povratnu spregu i rednu vezu signal 0XX 21Y == je:

    32121

    1210XX XHHGG1

    HGGY

    21 === (2.1.4)

    Izlazni signal Y je:

    2121

    3121221210XX0XX0XX HHGG1

    XHGGXGXGGYYYY213132

    ++=++= ====== (2.1.5)

    2.2) Primenom pravila algebre prenosnih funkcija uprostiti strukturni blog dijagram sa

    slike 2.2.

    Reenje:

    Primenom pravila za paralelnu vezu na blokove G4 i G5 strukturni blok dijagrama sa

    slike 2.2.1 je:

  • PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

    24

    Pomeranjem diskriminatora iza bloka G1 strukturni blok dijagram sa slike 2.2.1 postaje:

    Primenom pravila za povratnu spregu strukturni blok dijagram sa slike 2.2.2 postaje:

    Primenom pravila rednu vezu i povratnu spregu strukturni blok dijagram sa slike 2.2.3

    postaje:

  • PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

    25

    2.3) Primenom pravila algebre prenosnih funkcija uprostiti strukturni blog dijagram sa

    slike 2.3.

    Reenje:

    Pomeranjem povratne sprege iza bloka G3 strukturni blok dijagram sa slike 2.3 postaje:

    Korienjem pravila za rednu vezu i povratnu spregu strukturni blok dijagram sa

    slike 2.3.1 postaje:

  • PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

    26

    2.4) Primenom pravila algebre prenosnih funkcija uprostiti strukturni blok dijagram sa

    slike 2.4 i odrediti prenosnu funkciju. Dobijeni rezultat analitiki proveriti.

    Reenje:

    Primenom pravila za rednu i paralelnu vezu strukturni blok dijagram sa slike 2.4 postaje:

    Pomeranjem povratne sprege iza bloka G2 strukturni blok dijagram sa slike 2.4.1 postaje:

  • PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

    27

    Primenom pravila za rednu i paralelnu vezu strukturni blok dijagram sa slike 2.4.2

    postaje:

    Primenom pravila za povratnu spregu dobija se prenosna funkcija kola slike 2.4.3:

    1

    34521

    1

    21

    G1)GG)(GG1(G

    1

    G1GG

    )s(G

    +++

    += (2.4.1)

    Analitiki se dobijeni rezultat moe dobiti na sledei nain. Sa slike 2.4 se vidi da je:

    22XGY = (2.4.2)

    [ ]3341

    12 X)GG(XG1

    GX += (2.4.3)

    2522522523 X)GG1(XGGXYGXX +=+=+= (2.4.4) Iz jednaina (2.4.3) i (2.4.4) dobija se:

    XG1

    GG1

    )GG)(GG1(G1X

    1

    1

    1

    345212 +=

    +++ (2.4.5)

    Iz jednaina (2.4.2) i (2.4.5) dobija se prenosna funkcija kola sa slike 2.4:

  • PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

    28

    1

    34521

    1

    21

    G1)GG)(GG1(G

    1

    G1GG

    )s(X)s(Y)s(G

    +++

    +== (2.4.6)

    2.5) Nai prenosnu funkciju sistema iji je graf toka signala dat na slici 2.5.

    Reenje:

    Koristei ekvivalentne transformacije za paralelnu vezu i povratnu spregu graf toka

    signala sa slike 2.5 postaje:

    Koristei ekvivalentne transformacije za rednu vezu i povratnu spregu graf toka signala sa

    slike 2.5.1 postaje:

    Koristei ekvivalentne transformacije za rednu vezu graf toka signala sa slike 2.5.2

    postaje:

  • PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

    29

    2.6) Na slici 2.6 prikazan je strukturni blok dijagram sistema automatskog upravljanja.

    Formirati graf toka signala. Primenom Mejsonovog pravila izraunati prenosnu funkciju

    sistema.

    Reenje:

    Na slici 2.6.1 prikazan je graf toka signala za strukturni blok dijagram sa slike 2.6.

    Mejsonovo pravilo omoguava da se odredi prenosna funkcija od proizvoljnog vora X

    tipa izvora (vor tipa izvora je vor iz koga grane samo izviru) do proizvoljnog vora Y tipa

    ponora (vor tipa ponora je vor u koga grane samo poniru) i definisano je izrazom:

  • PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

    30

    )s(

    )s()s(P

    )s(X)s(Y)s(G

    n

    1iii

    === (2.6.1)

    gde su:

    n broj direktnih putanja izmeu vorova od izvora do posmatranog ponora (direktna putanja

    je niz sukcesivno povezanih i u istom smeru orijentisanih grana koje spajaju navedene

    vorove i du kojih se svaki vor pojavljuje samo jedanput);

    Pi pojaanje i te direktne putanje, koje se formira kao proizvod pojaanja grana koje

    sainjavaju putanju;

    - determinanta grafa toka signala (karakteristina funkcija grafa) koja je definisana relacijom:

    ++== +j j

    3j2jk j j

    1jjk1k PPP1P)1(1 (2.6.2)

    gde su:

    j

    1jP zbir krunih pojaanja svih zatvorenih putanja grafa;

    j

    2jP zbir svih proizoda krunih pojaanja od po dve zatvorene putanje koje se meusobno

    ne dodiruju;

    j

    3jP zbir svih proizoda krunih pojaanja od po tri zatvorene putanje koje se meusobno

    ne dodiruju;

    j

    4jP , j

    5jP , - definisane su na analogan nain;

    i je koja se dobija primenom jednaine (2.6.2), ali samo za zatvorene putanje koja ne dodiruju i tu direktnu putanju;

    Graf toka signala sa slike 2.6.1 ima:

    Dve direktne putanje sa pojaanjima:

    P1 = G1G2G3 , P2 = G4;

    etiri zatvorene putanje krunih pojaanja:

    P11 = G1G5, P21 = G4G5G6G7, P31 = G2G6, P41 = G3G7;

    Putanje P11 i P41 meusobno se ne dodiruju, pa je proizvod krunih pojaanja ovih putanja:

    P12 = P11P41 = G1G3G5G7,

    Determinata grafa toka signala je:

  • PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

    31

    753173627654511241312111 GGGGGGGGGGGGGG1P)PPPP(1 +=++++= Direktna putanja P1 dodiruje sve zatvorene putanje. Zato je 1 = 1. Direktna putanja P2 ne dodiruje zatvorenu putanju P31 i 2 = 1 P31 = 1 G2G6. Prenosna funkcija sistema na osnovu jednaine (2.6.1) je:

    75317362765451

    624321

    2211

    GGGGGGGGGGGGGG1)GG1(GGGG

    )s()s()s(P)s()s(P

    )s(X)s(Y)s(G

    ++=

    =+==

    (2.6.3)

    2.7) Za multivarijabilni sistem sa dva ulaza i dva izlaza iji je strukturni blok dijagram

    prikazan na slici 2.7 formirati graf toka signala i odrediti Y1(X1,X2) i Y2(X1,X2) primenom

    Mejsonovog pravila.

    Reenje:

    Na slici 2.7.1 prikazan je graf toka signala za strukturni blok dijagram sa slike 2.7.

  • PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

    32

    Poto je graf linearan, funkcije Y1(X1,X2) i Y2(X1,X2) se mogu odrediti superpozicijom.

    Kruna pojaanja zatvorenih putanja su:

    P11= G1G3, P21= G4G5, P31= G4G5G6, P41= G1G2G4G7. Proizvodi krunih pojaanja od po dve krune putanje koje se ne dodiruju meusobno su:

    P12= P11P21=G1G3G4G5 i P22= P11P31=G1G3G4G5G6 Determinanta grafa toka signala je:

    65431543174216545431 GGGGGGGGGGGGGGGGGGGG1 +++++= Od ulaza X1 do izlaza Y1 postoji samo jedna direktna putanja 31

    11 GGP = , koja ne

    dodiruje zatvorene putanje P21 i P31 Tada je:

    65454312111 GGGGG1)PP(1 ++=+=

    Od ulaza X2 do izlaza Y1 postoji samo jedna direktna putanja 43212

    1 GGGGP = , koja dodiruje sve zatvorene putanje zatvorene putanje i 121 = . Superpozicijom se dobija da je:

    +++=

    += 2432116545431221

    211

    11

    11

    211XGGGGX)GGGGG1(GGXPXP)X,X(Y

    Od ulaza X1 do izlaza Y2 postoji samo jedna direktna putanja 7654112 GGGGGP = , koja

    dodiruje sve zatvorene putanje i 112 = . Od ulaza X2 do izlaza Y2 postoji samo jedna direktna putanja 654

    22 GGGP = , koja ne

    dodiruje zatvorenu putanju P11. Tada je:

    311122 GG1P1 +==

    Superpozicijom se dobija da je:

    ++=

    += 231654176541222

    221

    12

    12

    212X)GG1(GGGXGGGGGXPXP)X,X(Y

    Zavisnost izlaznih veliina Y1 i Y2 od ulaznih veliina X1 i X2 moe se prikazati u

    matrinom obliku:

    +

    ++

    =

    2

    1

    3165476541

    43216545431

    2

    1

    X

    X

    )GG1(GGGGGGGG

    GGGG)GGGGG1(GG

    Y

    Y (2.7.1)

  • PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

    33

    2.8) Za kolo sa slike 2.8 formirati graf toka signala i primenom Mejsonovog pravila odrediti

    prenosnu funkciju.

    Reenje:

    Na osnovu slike 2.8 mogu se napisati sledee jednaine:

    )]s(U)s(U[sC)s(I 211 = (2.8.1) )]s(I)s(I[R)s(U 212 = (2.8.2)

    )]s(U)s(U[sC)s(I 322 = (2.8.3) )]s(I)s(I[R)s(U 323 = (2.8.4)

    )]s(U)s(U[sC)s(I 433 = (2.8.5) )s(RI)s(U 34 = (2.8.6)

    Na osnovu jednaina od (2.8.1) do (2.8.6) moe se formirati graf toka signala za kolo sa

    slike 2.8.

    Od )s(U1 do )s(U4 postoji samo jedna direktna putanja pojaanja:

    3331 CRsP = (2.8.7)

    Postoje ukupno 5 zatvorenih putanja istih krunih pojaanja sRC. Tada je: =

    j1j sRC5P (2.8.8)

  • PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

    34

    =j

    2222j CRs6P (2.8.9)

    =j

    3333j CRsP (2.8.10)

    Na osnovu jednaina (2.8.8), (2.8.9) i (2.8.10) sledi da je:

    +++=+=j j

    2223333j2j

    j1j sRC5CRs6CRs1PPP1)s( (2.8.11)

    Ne postoji ni jedna zatvorena putanja koja se ne dodiruje se sa direktnom putanjom i 1=1 . Prenosna funkcija kola sa slike 2.8 je:

    sRC5CRs6CRs1CRs

    )s()s()s(P

    )s(U)s(U)s(G 222333

    33311

    1

    4

    +++=== (2.8.12)

    2.9) Za nelinearni sistem automatskog upravljanja koji je opisan diferencijalnom jednainom:

    )t(xdt

    )t(dx2)t(y)t(ydt

    )t(dy)t(ydt

    )t(yd 232

    2+=++

    napraviti linearni model u okolini take ravnotenog stanja )2,6()y,x( QQ = . Odrediti prenosnu funkciju linearizovanog modela.

    Reenje:

    Linearni model se dobija Tejlorovim razvojem prvog reda jednaine u okolini take

    ravnotenog stanja:

    [ ] yyfx

    xf)y,x(f)t(y),t(xf

    Q

    Q

    Q

    Q

    yyxx

    yyxxQQ

    ++

    ==

    == (2.9.1)

    Za xx)t(x Q += i yy)t(y Q += , dobija se: [ ]

    dt)t(ydy

    dt)t(dy)t(y Q

    (2.9.2) 3Q

    2Q

    3 y)t(yy3)t(y += (2.9.3) 2QQ

    2 x)t(xx2)t(x += (2.9.4) [ ] [ ]

    [ ] 2QQ

    Q3Q

    2QQ2

    2

    x)t(xx2dt

    )t(xd2

    y)t(yy)t(yy3dt

    )t(ydydt

    )t(yd

    ++=

    =+++

    (2.9.5)

  • PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

    35

    odnosno:

    [ ] [ ] [ ] )t(x62dt

    )t(xd2)t(y11dt

    )t(yd2dt

    )t(yd2

    2+=++ (2.9.6)

    Primenom direktne Laplasove transformacije na jednainu (2.9.6) dobija se prenosna

    funkcija linearizovanog modela:

    11s2s62s2

    )s(X)s(Y)s(G 2 ++

    +== (2.9.7)

    2.10) Rezervoar konstantne povrine poprenog preseka A sa slike 2.10 prazni se po zakonu

    hK)t(q2 = , gde je h visina nivoa tenosti u rezervoaru, a K konstanta. Odrediti zakon promene visine nivoa tenosti u rezervoaru. Napraviti linearni model u okolini nominalne

    visine hQ. Odrediti prenosnu funkciju linearizovanog modela.

    Reenje:

    Zapremina tenosti u rezervoaru je:

    )t(hAV = (2.10.1) Zakon promene zapremine je:

    )t(hK)t(q)t(q)t(qdt

    )t(dhAdt

    )t(dV121 === (2.10.2)

    Zakon promene visine nivoa tenosti u rezervoaru je:

    )t(qA1)t(h

    AK

    dt)t(dh

    1+= (2.10.3)

    Za )t(hh)t(h Q += i ),t(qq)t(q 1Q11 += linearni model postaje: [ ] )t(q

    A1q

    A1)t(h

    h1

    A2Kh

    AK

    dt)t(hd

    1Q1Q

    Q ++= (2.10.4)

  • PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

    36

    odnosno:

    [ ] )t(qA1)t(h

    h1

    A2K

    dt)t(hd

    1Q

    =+ (2.10.5)

    Primenom direktne Laplasove transformacije na jednainu (2.10.5) dobija se prenosna

    funkcija linearizovanog modela:

    Q

    1hA2

    Ks

    A1

    )s(Q)s(H)s(G

    +=

    = (2.10.6)

    2.11) Serijsko RLC kolo i analogni mehaniki sistemi, translacioni i rotacioni, prikazani su

    na slici 2.11. Napisati diferencijalne jednaine koje opisuju dinamiko ponaanje ovih

    sistema i odrediti analogne fizike promenjive i parametre.

    Reenje:

    a) Primenom Kirhofovog zakona o naponima na serijsko RLC kolo dobija se:

    ++=++= dt)t(iC1dt )t(diL)t(Ri)t(u)t(u)t(u)t(u CLR (2.11.1) Kako je

    dt)t(dq)t(i = , jednaina (2.11.1) postaje:

    )t(qC1

    dt)t(dqR

    dt)t(qdL)t(u 2

    2++= (2.11.2)

    b) Primenom zakona dinamike na translacioni mehaniki sistem dobija se:

    )t(f)t(f)t(f)t(f MBK ++= (2.11.3) gde su:

    == dt)t(vK)t(Kx)t(fK

  • PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

    37

    )t(Bvdt

    )t(dxB)t(fB ==

    dt)t(dvM

    dt)t(xdM)t(f 2

    2

    M ==

    jednaina (2.11.3) postaje:

    ++= dt)t(vK)t(Bvdt )t(dvM)t(f (2.11.4) )t(Kx

    dt)t(dxB

    dt)t(xdM)t(f 2

    2++= (2.11.5)

    Poreenjem jednaina (2.11.1) i (2.11.2) sa jednainama (2.11.4) i (2.11.5) vidi se da su

    matamatiki modeli koji opisuju dinamiko ponaanje RLC kola i analognog translacionog

    mehanikog sistema identini, i analogne fizike promenjive i parametri su:

    )t(x)t(q)t(v)t(i)t(f)t(u

    K1C

    BRML

    Na slici 2.11.1.a prikazani su simboli za masu M, elastinost K, trenje B i silu f(t), a na

    slici 2.11.1.b analogna mehanika mrea translacionog mehanikog sistema.

    c) Primenom zakona dinamike na rotacioni mehaniki sistem dobija se:

    )t(M)t(M)t(M)t(M JBK ++= (2.11.6) gde su:

    == dt)t(K)t(K)t(MK )t(B

    dt)t(dB)t(MB ==

  • PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

    38

    dt)t(dM

    dt)t(dJ)t(M 2

    2

    J==

    jednaina (2.11.6) postaje:

    ++= dt)t(K)t(Bdt )t(dJ)t(M (2.11.7) )t(K

    dt)t(dB

    dt)t(dJ)t(M 2

    2++= (2.11.8)

    Poreenjem jednaina (2.11.1) i (2.11.2) sa jednainama (2.11.7) i (2.11.8) vidi se da su

    matamatiki modeli koji opisuju dinamiko ponaanje RLC kola i analognog rotacionog

    mehanikog sistema identini, i analogne fizike promenjive i parametri su:

    )t()t(q)t()t(i

    )t(M)t(u

    K1C

    BRJL

    Na slici 2.11.2.a prikazani su simboli za moment inercije J, elastinost K, trenje B i

    moment sile M(t), a na slici 2.11.2.b analogna mehanika mrea rotacionog mehanikog

    sistema .

    Poreenjem analognih mehanikih mrea sa serijskim RLC kolom moe se izvesti

    sledee pravilo: Mehanikim elementima u paralelnoj vezi odgovaraju analogni elektrini

    elementi vezani serijski, a mehanikim elementima u serijskoj vezi odgovaraju analogni

    elektrini elementi vezani paralelno.

    2.12) Na slici 2.12 prikazan je translacioni mehaniki sistem sa dva stepena slobode.

    Koristei analogiju koja postoji izmeu elektrinih i mehanikih elemenata formirati

    mehaniku i analognu elektrinu mreu. Izraunati prenosnu funkciju sistema smatrajui da

    je x1(t) ulazna promenjiva, a x2(t) izlazna promenjiva sistema.

  • PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

    39

    Reenje:

    Masa M2, opruga K2 i prigunica B2 vre isti pomeraj x2(t). Zato su ovi elementi

    mehaniki u paralelnoj vezi, a u analognoj elektrinoj mrei u serijskoj vezi. Opruga K1

    izloena je pomeraju x1(t) x2(t) i zato je mehaniki serijski elemenat, a u analognoj

    elektrinoj mrei paralelan. Masa M1 i prigunica B1 vre isti pomeraj x1(t) i ovi elementi su

    mehaniki u paralelnoj vezi, a u analognoj elektrinoj mrei u serijskoj vezi. Na slici 2.12.1

    prikazane su mehanika mrea (a) i analogna elektrina mrea (b) sistema sa slike 2.12.

    Primenom metode konturnih struja na kolo sa slike 2.12.1.b dobija se:

    )t(f)t(xK)t(xKdt

    )t(dxB

    dt)t(xd

    M 21111

    121

    2

    1 =++ (2.12.1)

    0)t(x)KK(dt

    )t(xB

    dt)t(xd

    M)t(xK 2212

    222

    2

    211 =++++ (2.12.2)

    Primenom direktne Laplasove transformacije jednaine (2.12.1) i (2.12.2) postaju:

    ( ) )s(F)s(XK)s(XKsBMs 2111112 =++ (2.12.3) ( ) 0)s(XKKsBMs)s(XK 22122211 =++++ (2.12.4)

    Iz jednaine (2.12.4) sledi da je prenosna funkcija translacionog mehanikog sistema:

  • PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

    40

    21222

    1

    1

    2

    KKsBMsK

    )s(X)s(X

    )s(G +++== (2.12.5)

    2.13) Elektrina mrea diferencijalnog tipa i analogna mehanika mrea prikazane su na

    slici 2.13. Napisati diferencijalne jednaine koje opisuju dinamiko ponaanje ovih mrea,

    izvesti prenosnu funkciju sistema i odrediti analogne fizike promenjive i parametre.

    Reenje:

    a) Za elektrinu mreu sa slike 2.13.a vai:

    )t(u)t(u)t(u 2C1 += (2.13.1) )t(i)t(i)t(i 21 += (2.13.2)

    Jednaina (2.13.2) moe se napisati u obliku:

    dt)t(duC

    R)t(u

    R)t(u C

    1

    C

    2

    2 += (2.13.3)

    Iz jednaine (2.13.1) sledi da je:

    )t(u)t(u)t(u 21C = (2.13.4) Iz jednaina (2.13.3) i (2.13.4) dobija se:

    [ ]dt

    )t(u)t(udCR

    )t(u)t(uR

    )t(u 211

    21

    2

    2 += (2.13.5)

    odnosno:

    )t(uR1

    dt)t(duC)t(u

    R1

    R1

    dt)t(duC 1

    1

    12

    21

    2 +=

    ++ (2.13.6)

    Primenom direktne Laplasove transformacije jednaina (2.13.6) postaje:

  • PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

    41

    )s(UR1)s(sCU)s(U

    R1

    R1)s(sCU 1

    112

    212 +=

    ++ (2.13.7)

    Prenosna funkcija elektrine mree sa slike 2.13.a je:

    21

    21

    1

    21

    2

    21

    1

    1

    2

    RRRRsC1

    sCR1RR

    R

    R1

    R1sC

    R1sC

    )s(U)s(U)s(G

    ++++=

    ++

    +== (2.13.8)

    b) Za mehaniku mreu sa slike 2.13.b. vai:

    [ ] )t(xK)t(x)t(xKdt

    )t(dxdt

    )t(dxB 2221121 =+

    (2.13.9)

    odnosno:

    ( ) )t(xKdt

    )t(dxB)t(xKKdt

    )t(dxB 1112212 +=++ (2.13.10) Primenom direktne Laplasove transformacije jednaina (2.13.10) postaje:

    ( ) ( ) )s(XKsB)s(XKKsB 11221 +=++ (2.13.11) Prenosna funkcija mehanike mree sa slike 2.13.b je:

    21

    1

    21

    1

    21

    1

    1

    2

    KKBs1

    KBs1

    KKK

    KKsBKsB

    )s(X)s(X)s(G

    ++

    ++=++

    +== (2.13.12)

    Iz jednaina (2.13.8) i (2.13.12) sledi da su analogne fizike promenjive i parametri:

    11 K

    1R

    )t(x)t(u

    22 K

    1R

    BC

    2.14) Za rotacioni mehaniki sistem sa tri stepena slobode sa slike 2.14 napisati diferencijalne

    jednaine koje opisuju dinamiko ponaanje ovog sistema. Formirati mehaniku i analognu

    elektrinu mreu. Izraunati prenosnu funkciju sistema uzimajui da je 1(t) ulazna promenjiva, a 3(t) izlazna promenjiva.

  • PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

    42

    Reenje:

    Primenom zakona dinamike za rotaciono kretanje na kolo sa slike 2.14 dobijaju se

    diferencijalne jednaine koje opisuju dinamiko ponaanje sistema:

    [ ] )t(M)t()t(K 211 = (2.14.1) [ ] [ ] 0)t()t(K

    dt)t()t(dB

    dt)t(dB

    dt)t(dJ 121323212

    22

    1 =+++ (2.14.2)

    [ ] 0)t(Kdt

    )t()t(dBdt

    )t(dBdt

    )t(dJ 322333223

    2

    2 =+++ (2.14.3)

    Na slici 2.14.1 prikazana je mehanika mrea (a) i analogna elektrina mrea (b) sistem.

    Primenom metode konturnih struja na kolo sa slike 2.14.1.b dobija se:

    [ ] )s(M)s()s(K 211 = (2.14.4)

    ( )[ ] 0)s(sB)s(KBBsJs)s(K 3321311211 =++++ (2.14.5)

    ( )[ ] 0)s(KBBsJs)s(sB 31311223 =++++ (2.14.6) Reavanjem ovog sistema jednaina Kramerovim pravilom dobija se:

  • PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

    43

    ( )( )

    ( )( ) ( )( )[ ]23223222131122322

    23

    313112

    1

    1

    BsKBBsJsKBBsJs)s(M

    KBBsJssB0sBKBBsJs00K)s(M

    ++++++=

    =+++

    +++

    =

    (2.14.7)

    ( ) 313

    13112

    1

    11

    3 BsK)s(M0sB00KBBsJsK

    )s(MKK=

    +++

    = (2.14.8)

    Prenosna funkcija rotacionog mehanikog sistema sa slike 2.14 je:

    ( )( ) ( )( )[ ]2322322213112 311313 BsKBBsJsKBBsJsBsK

    )s()s(

    )s(G++++++

    ==

    = (2.14.9)

    2.15) Na rotacioni mehaniki sistem na slici 2.15 dejstvuje mehaniki momenat M(t).

    Prenosni odnos reduktora odreen je brojem zubaca n1 i n2. J1 i J2 su momenti inercije

    zamajaca ija su obrtna kretanja izloena viskoznom trenju koeficijenata trenja B1 i B2.

    Koeficijenat torzione elastinosti osovine iji je ugaoni pomeraj 1(t) je K1. Izraunati prenosnu funkciju sistema smatrajui da je M(t) ulazna promenjiva sistema, a ugaoni pomeraj

    2(t) izlazna promenjiva sistema.

    Reenje:

    Diferencijalne jednaine koje opisuju dinamiko ponaanje sistema sa slike 2.15 su:

    )t(M)t(M)t(Kdt

    )t(dB

    dt)t(d

    J 1111

    121

    2

    1 =++ (2.15.1)

  • PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

    44

    )t(Mdt

    )t(dB

    dt)t(d

    J 22

    222

    2

    2 =+ (2.15.2)

    gde je M1(t) otporni moment, a M2(t) pokretaki moment predat reduktoru.

    Izmeu pomeraja pre i posle redukcije postoji veza:

    )t(n)t(n 2211 = (2.15.3) odnosno:

    )t(N)t(nn)t( 22

    1

    21 == (2.15.4)

    gde je 1

    2nnN = . Oba zubanika moraju da izvre isti rad. Zato je:

    )t()t(M)t()t(M 2211 = (2.15.5) Iz jednaina (2.15.4) i (2.15.5) se dobija odnos izmeu momenata pre i posle redukcije:

    N)t(M)t(M 21 = (2.15.6)

    Primenom direktne Laplasove transformacije prethodne jednaine postaju:

    ( ) )s(M)s(M)s(KsBJs 111112 =++ (2.15.7) ( ) )s(M)s(sBJs 22222 =+ (2.15.8)

    )s(N)s( 21 = (2.15.9)

    N)s(M)s(M 21 = (2.15.10)

    Iz ovih jednaina sledi da je prenosna funkcija sistema:

    12

    212

    2122

    2

    KN)BBN(s)JJN(sN

    )s(M)s(

    )s(G ++++== (2.15.11)

    2.16) Pneumatski sistem koji se sastoji od dovodne cevi i komore sa gasom pod pritiskom

    prikazan je na slici 2.16. Sa Pi i Po oznaene su stacionarne vrednosti pritiska gasa u ulaznoj

    cevi i komori, a sa pi(t) i po(t) male varijacije pritiska gasa u ulaznoj cevi i komori u odnosu

    na vrednosti u stracionarnom stanju. Protok gasa q(t) direktno je proporcionalan razlici

    pritisaka gasa pi(t) u dovodnoj cevi, kao ulazne promenjive, i pritiska gasa po(t) u komori, kao

    izlazne promenjive sistema. Definisati pneumatsku otpornost R prigunog prstena i

    pneumatski kapacitet C komore. Izraunati prenosnu funkciju pneumatskog ventila. Koristei

    analogiju koja postoji izmeu elektrinih i pneumatskih elemenata, za dva kaskadno vezana

  • PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

    45

    sistema sa slike 2.16, formirati analognu elektrinu mreu i izraunati funkciju prenosa

    sistema.

    Reenje:

    Pneumatska otpornost R prstena definisana je relacijom:

    )t(q)t(pR = (2.16.1)

    Pneumatski kapacitet komore definisan je relacijom:

    )t(qdt

    )t(dpC = (2.16.2) Iz definicija za otpornost prstena R i kapacitet komore C dobija se:

    )t(q)t(p)t(p

    R oi= (2.16.3)

    )t(qdt

    )t(dpC o = (2.16.4) Iz jednaina (2.16.3) i (2.16.4) sledi da je:

    )t(p)t(pdt

    )t(dpRC io

    o =+ (2.16.5) Primenom direktne Laplasove transformacije jednaina (2.16.5) postaje:

    )s(P)s(P)sRC1( io =+ (2.16.6) Prenosna funkcija pneumatskog sistema je:

    sRC11

    )s(P)s(P

    )s(Gi

    o+== (2.16.7)

    Na slici 2.16.1 prikazana je ekvivaletna elektrina mrea pnematskog sistema sa

    slike 2.16. Primenom Kirhofovog zakona o naponima na kolo sa slike 2.16.1 dobija se:

    )t(udt

    )t(duRC)t(u)t(Ri)t(u)t(u)t(u CCCCR +=+=+= (2.16.8) gde je:

  • PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

    46

    dt)t(duC)t(i C= (2.16.9)

    Poreenjem jednaina (2.16.4) i (2.16.5) sa jednainama (2.16.8) i (2.16.9) vidi se da su

    matematiki modeli koji opisuju dinamiko ponaanje RC kola i analognog pneumatskog

    sistema identini, i da su analogne fizike promenjive i parametri:

    )t(q)t(i)t(p)t(u

    CCRR

    Na slici 2.16.2 prikazan je pneumatski sistem koji se sastoji od kaskadne veze dva

    pneumatska sistema sa slike 2.16.

    Analogna elektrina mrea pneumatskog sistema sa slike 2.16.2 prikazana je na

    slici 2.16.3.

  • PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

    47

    Na osnovu slike 2.16.3 mogu se napisati sledee jednaine:

    )t(qR)t(p)t(p 11i = (2.16.10) )t(qR)t(p)t(p 22o = (2.16.11)

    )t(q)t(qdt

    )t(dpC 211 = (2.16.12)

    )t(qdt

    )t(dpC 2

    o2 = (2.16.13)

    Primenom direktne Laplasove transformacije prethodne jednaine postaju:

    )s(QR)s(P)s(P 11i = (2.16.14) )s(Q)s(Q)s(PsC 211 = (2.16.15)

    )s(QR)s(P)s(P 22o = (2.16.16) )s(Q)s(PsC 2o2 = (2.16.17)

    Na osnovu jednaina od (2.16.14) do (2.16.17) moe se formirati graf toka signala za kolo

    sa slike 2.16.3.

    Od Pi(s) do Po(s) postoji samo jedna direktna putanja pojaanja:

    212121 RRCCs

    1)s(P =

    Kruna pojaanja zatvorenih putanja su:

    1111 RsC

    1)s(P = , 21

    21 RsC1)s(P = ,

    2231 RsC

    1)s(P = .

    Krune putanje P11(s) i P31(s) se meusobno ne dodiruju. Tada je:

    2121212 RRCCs

    1)s(P =

    Determinanta graf toka signala je:

  • PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

    48

    21212

    21212

    111222

    21212

    222111

    RRCCsRRCCsRsCRsCRsC1

    RRCCs1

    RsC1

    RsC1

    RsC11)s(

    ++++=

    =++++=

    Direktna putanja dodiruje sve zatvorene putanje. Zbog toga je 1 = 1. Prenosna funkcija sistema sa slike 2.16.2 je:

    21212

    111222

    11

    i

    o

    RRCCsRsCRsCRsC11P

    )s(P)s(P

    )s(G ++++=== (2.16.18)

    2.17) Termiki sistem sa toplotnom izolacijom rezervoara prikazan je na slici 2.17. Smatrati

    da nema akumulirane energije u izolatoru i da se tenost u rezervoaru idealno mea, odnosno

    da su temperature tenosti u rezervoaru i tenosti na izlazu iste i da je toplotni kapacitet

    metalnog grejaa G zanemarljivo mali. Promenjive sistema su:

    1 temperatura hladne tenosti na ulazu rezervoara (oC); 2 temperatura zagrejane tenosti na izlazu rezervoara (oC); q toplotni protok koji obezbeuje greja (J/s);

    q1 toplotni protok koji je posledica uticaja hladne tenosti na ulazu rezervoara (J/s);

    q2 toplotni protok koji je posledica isticanja tople tenosti na izlazu rezervoara (J/s);

    Definisati termiku otpornost i termiki kapacitet. Formirati strukturni blok dijagram i

    izraunati prenosnu funkciju sistema, smatrajui temperaturu 1(t) i toplotni protok q(t) za ulazne promenjive, a temperaturu 2(t) za izlaznu promenjivu sistema. Toplotni protoci q1(t) i q2(t) su: )t(cn)t(q 11 = i )t(cn)t(q 22 = , gde je c specifini toplotni kapacitet tenosti, a n maseni protok tenosti.

  • PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

    49

    Reenje:

    Termika otpornost R definisana je relacijom:

    )t(q)t(R = (2.17.1)

    Termiki kapacitet definisan je relacijom:

    )t(qdt

    )t(dC = (2.17.2) Iz definicije za termiku otpornost izolacije R moe se nai toplotni protok u jedinici

    vremena kroz izolaciju:

    R)t()t()t(q 12i

    = (2.17.3) Iz definicije za termiki kapacitet C moe se nai toplotni protok u jedinici vremena kroz

    tenost:

    dt)t(dC)t(q 2T

    = (2.17.4) Jednaina ravnotee toplotnog protoka tenosti u jedinici vremena je:

    )t(q)t(q)t(q)t(q)t(q Ti21 ++=+ (2.17.5) odnosno:

    dt)t(dC

    R)t()t()t(cn)t(q)t(cn 21221

    ++=+ (2.17.6) Primenom direktne Laplasove transformacije jednaina (2.17.5) postaje:

    )s()cnR1()s(RQ)cnRsRC1)(s( 12 ++=++ (2.17.7) odnosno:

    )s(cnRsRC1

    cnR1)s(QcnRsRC1

    R)s( 12 ++++++= (2.17.8)

    Na osnovu jednaine (2.17.8) moe se formirati sledei strukturni blok dijagram sistema:

  • PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

    50

    2.18) Za hidraulini sistem sa slike 2.18 promenjive sistema su:

    Q stacionarna vrednost ulaznog i izlaznog protoka fluida (m3 / s)

    q1 mala varijacija protoka fluida na ulazu od vrednosti u stacionarnom stanju (m3 / s)

    q2 mala varijacija protoka fluida na izlazu od vrednosti u stacionarnom stanju (m3 / s)

    h mala varijacija nivoa fluida u odnosu na stacionarnu vrednost (m)

    Definisati hidraulinu otpornost R ventila u sluaju laminarnog strujanja fluida i hidraulini

    kapacitet C rezervoara. Izvesti prenosnu funkciju sistema. Koristei dobijene jednaine, za

    dva kaskadno povezana sistema sa slike 2.18, formirati strukturni blok dijagram i njegovom

    sukcesivnom redukcijom odrediti funkciju prenosa sistema.

    Reenje:

    Izmeu protoka fluida i nivoa fluida u rezervoaru, kod laminarnog kretanja, postoji veza:

    )t(Kh)t(q = (2.18.1) Hidraulina otpornost ventila definisana je relacijom:

    )t(q)t(h

    K1

    )t(dq)t(dhR === (2.18.2)

    Na osnovu relacije (2.18.2) sledi da je hidraulina otpornost izlaznog ventila:

    )t(q)t(hR

    2= (2.18.3)

    Hidraulini kapacitet rezervoara je:

    R)t(h)t(q)t(q)t(q

    dt)t(dhC 121 == (2.18.4)

    Primenom direktne Laplasove transformacije jednaina (2.18.4) postaje:

    )s(RQ)s(H)sRC1( 1=+ (2.18.5) Prenosna funkcija hidraulinog sistema sa slike 2.18 je:

    sRC11

    )s(QR

    )s(H

    )s(Q)s(Q)s(G

    11

    2+=== (2.18.6)

  • PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

    51

    Na slici 2.18.1 prikazana je ekvivaletna elektrina mrea kola sa slike 2.18.

    Primenom Kirhofovog zakona o naponima na kolo sa slike 2.18.1 dobija se:

    )t(i)t(idt

    )t(duC 21

    C =+ (2.18.7)

    )t(i)t(u

    R2

    C= (2.18.8)

    Poreenjem jednaina (2.18.3) i (2.18.4) sa jednainama (2.18.7) i (2.18.8) vidi se da su

    matematiki modeli koji opisuju dinamiko ponaanje RC kola i analognog hidraulinog

    sistema sa slike 2.18 identini, i da su analogne fizike promenjive i parametri:

    CCRR

    )t(q)t(i

    )t(h)t(uC

    Na slici 2.18.2 prikazana je hidraulini sistem koji se sastoji od kaskadne veza dva

    hidraulina sistema sistema sa slike 2.18.

    Na osnovu definicije hidrauline otpornosti mogu se napisati sledee jednaine:

    )t(q)t(h)t(hR 211

    = (2.18.9)

  • PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

    52

    )t(q)t(hR

    2

    22 = (2.18.10)

    Na osnovu definicije hidraulinog kapaciteta rezervoara mogu se napisati sledee

    jednaine:

    )t(q)t(qdt

    )t(dhC 111 = (2.18.11)

    )t(q)t(qdt

    )t(dhC 222 = (2.18.12) Primenom direktne Laplasove transformacije prethodne jednaine postaju:

    )s(H)s(H)s(QR 211 = (2.18.13) )s(H)s(QR 222 = (2.18.14)

    )s(Q)s(Q)s(HsC 111 = (2.18.15) )s(Q)s(Q)s(HsC 222 = (2.18.16)

    Na osnovu prethodnih jednaina mogu se formirati sledei blok dijagrami koji su

    prikazani na slici 2.18.3:

    Na osnovu slike 2.18.3 moe se formirati strukturni blok dijagram sistema sa slike 2.18.4.

  • PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

    53

    Premetanjem povratne sprege iza bloka 2R

    1 i diskriminatora isped bloka 1sC

    1 , dijagram

    sa slike 2.18.4. postaje:

    Korienjem pravila za rednu vezu i povratnu spregu blok dijagram sa slike 2.18.5

    postaje:

    Sa slike 2.18.7 se vidi da je prenosna funkcija sistema sa slike 2.18.2:

    21212

    212211

    2122111

    2

    RRCCsRsCRsCRsC11

    RsC)RsC1)(RsC1(1

    )s(Q)s(Q)s(G

    ++++=

    =+++== (2.18.17)

    Analogna elektrina mrea hidraulinog sistema sa slike 2.18.2. prikazana je na

    slici 2.18.8.

  • PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

    54

    Primenom metode konturnih struja na kolo sa slike 2.18.8 dobija se:

    0)s(QsC

    1)s(QsC

    1sC1R)s(Q

    sC1

    2221

    111

    =

    +++ (2.18.18)

    0)s(QsC

    1R)s(QsC

    12

    22

    2=

    ++ (2.18.19)

    Iz jednaina (2.18.18) i (2.18.19) dobija se prenosna funkcija:

    21212

    212211 RRCCsRsCRsCRsC11)s(G ++++= (2.18.20)

    2.19) Na slici 2.19 prikazan je priguiva koji se koristi u sistemu regulacije. Odrediti

    funkciju prenosa sistema ako je x1(t) ulazna promenjiva, a x2(t) izlazna promenjiva sistema.

    Poznato je: A povrina klipa priguivaa, gustina fluida, K koeficijenat elastinosti opruge, R hidraulina otpornost. Promenjive sistema su: A[p2(t) p1(t)] sila pritiska koja

    deluje na klip priguivaa, q(t) maseni protok fluida.

    Reenje:

    Iz definicije za hidraulinu otpornost ventila dobija se:

    )t(q)t(p)t(p

    R 12= (2.19.1)

  • PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

    55

    Iz uslova ravnotee sile koja deluje na klip priguivaa i sile napregnute opruge dobija se:

    [ ] )t(KxA)t(p)t(p 212 = (2.19.2) Maseni protok q(t) moe se izraziti preko zapreminskog protoka

    dt)t(dV)t(qV =

    jednainom:

    ==dt

    )t(dxdt

    )t(dxA)t(q)t(q 21V (2.19.3)

    Iz prethodnih jednaina dobija se:

    )t(xARK

    dt)t(dx

    dt)t(dxA

    R)t(p)t(p)t(q 22112 =

    == (2.19.4)

    Primenom direktne Laplasove transformacije jednaina (2.19.4) postaje:

    [ ] )s(XARK)s(X)s(XAs 221 = (2.19.5)

    Prenosna funkcija sistema je:

    RAKs

    s

    RAsK1

    1)s(X)s(X)s(G

    221

    2

    +=

    +== (2.19.6)

    Na osnovu jednaine (2.19.6) moe se formirati strukturni blok dijagram sistema:

    2.20) Realizacija proporcionalnog pneumatskog regulatora prikazan je na slici 2.20. Gas

    konstantnog pritiska p1 uvodi se kroz priguni prsten konstantnog pneumatskog otpora u cev

    na ijem se drugom kraju nalazi mlaznik, naspram koga se nalazi leptir sa zazorom. Posle

    prolaska gasa kroz priguni prsten dolazi do pada pritiska i izlazni pritisak p2(t) je manji od

    pritiska napajanja. U zavisnosti od rastojanja izmeu mlaznika i zazora menja se izlazni

    pritisak. Izraunati prenosnu funkciju sistema smatrajui pritisak p2(t) za izlaznu promenjivu,

    a pomeraj leptira e(t) za ulaznu promenjivu sistema. Smatrati da izmeu izlaznog pritiska

    p2(t) i pomeraja zazora vai linearna zavisnost.

  • PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

    56

    Reenje:

    Kako je sistem linearan vai:

    )t(Kx)t(p2 = (2.20.1) gde je K konstanta proporcionalnosti.

    Veza izmeu pomeraja leptira x(t) i pomeraja zazora e(t) je:

    )t(eba

    b)t(x += (2.20.2) Iz jednaina (2.20.1) i (2.20.2) sledi da je:

    )t(eba

    Kb)t(p2 += (2.20.3) Primenom direktne Laplasove transformacije jednaina (2.20.3) postaje:

    )s(Eba

    Kb)s(P2 += (2.20.4) Prenosna funkcija sistema je:

    baKb

    )s(E)s(P

    )s(G 2 +== (2.20.5)

    2.21) Realizacija proporcionalnog integralno diferencijalnog pneumatskog regulatora

    prikazan je na slici 2.21. Gas konstantnog pritiska pi uvodi se kroz priguni prsten

    konstantnog pneumatskog otpora u cev na ijem se drugom kraju nalazi mlaznik, naspram

    koga se nalazi leptir sa zazorom. Posle prolaska gasa kroz priguni prsten dolazi do pada

    pritiska i izlazni pritisak po(t) je manji od pritiska napajanja. U zavisnosti od rastojanja

    izmeu mlaznika i zazora menja se izlazni pritisak. Ova promena se kroz ventil konstantnog

    pneumatskog otpora R1 prenosi na pritisak p1(t) u mehu 1 kapaciteta C1, a kroz ventil

    konstantnog pneumatskog otpora R2 prenosi na pritisak p2(t) u mehu 2 kapaciteta C2, to

  • PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

    57

    dovodi do rezultujeeg pomeraja x2(t) njihove zajednike povrine A. Ovaj pomeraj se preko

    leptira prenosi na promenu rastojanja x1(t) zazora od mlaznika. Formirati strukturni blok

    dijagram i odrediti parametre regulacije sistema uzimajui pritisak po(t) za izlaznu

    promenjivu, a pomeraj leptira e(t) za ulaznu promenjivu sistema. Smatrati da izmeu izlaznog

    pritiska po(t) i pomeraja zazora vai linearna zavisnost.

    Reenje:

    Kakoje sistem linearan vai:

    )t(Kx)t(p 1o = (2.21.1) gde je K konstanta proporcionalnosti.

    Veza izmeu pomeraja leptira i pomeraja zazora moe se nai sa slike 2.21. Za male

    pomeraje )t(x1 vai:

    )t(x)t(xb

    )t(eba

    11 ++ (2.21.2)

    )t(xa

    )t(xba

    12 + (2.21.3)

    Iz jednaina (2.21.2) i (2.21.3) sledi da je:

    )t(xba

    a)t(eba

    b)t(x 21 ++= (2.21.4) Iz definicija za otpornost ventila dobija se:

  • PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

    58

    )t(q)t(p)t(pR

    1

    1o1

    = (2.21.5)

    )t(q)t(p)t(pR

    2

    2o2

    = (2.21.6)

    Iz definicije za kapacitet komore dobija se:

    )t(qdt

    )t(dpC 111 = (2.21.7)

    )t(qdt

    )t(dpC 222 = (2.21.8)

    Iz uslova ravnotee sile pritiska koja deluje na povrinu A meha [ ]A)t(p)t(p 12 i sile elastinosti meha )t(xK 2m , gde je Km koeficijenat elastinosti omotaa meha, sledi da je:

    [ ] )t(xKA)t(p)t(p 2m12 = (2.21.9) Primenom direktne Laplasove transformacije prethodne jednaine postaju:

    )s(PK1)s(X o1 = (2.21.10)

    )s(Xba

    a)s(Eba

    b)s(PK1)s(X 2o1 ++== (2.21.11)

    1

    1o1 R

    )s(P)s(P)s(Q = (2.21.12)

    2

    2o2 R

    )s(P)s(P)s(Q = (2.21.13)

    1

    1o111 R

    )s(P)s(P)s(Q)s(PsC == (2.21.14)

    odnosno:

    )s(PCsR1

    1)s(P o11

    1 += (2.21.15)

    2

    2o222 R

    )s(P)s(P)s(Q)s(PsC == (2.21.16)

    odnosno:

    )s(PCsR1

    1)s(P o22

    2 += (2.21.17)

    [ ] )s(PCsR1

    1CsR1

    1KA)s(P)s(P

    KA)s(X o

    1122m12

    m2

    ++== (2.21.18)

    Iz jednaina (2.21.11) i (2.21.18) sledi da je:

  • PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

    59

    )s(P)RsC1)(RsC1(

    RsCRsCKA

    baa)s(E

    bab)s(P

    K1

    o2211

    2211

    mo ++

    ++= (2.21.19)

    odnosno:

    )s(Eba

    Kb)s(P)RsC1)(RsC1(

    RsCRsCKA

    baKa1 o

    2211

    2211

    m +=

    ++++ (2.21.20)

    Prenosna funkcija sistema je:

    )RsC1)(RsC1(RsCRsC

    KA

    baKa1

    baKb

    )s(E)s(P)s(G

    2211

    2211

    m

    o

    ++++

    +== (2.21.21)

    Na osnovu jednaine (2.21.21) moe se formirati strukturni blok dijagram sistema:

    U normalnom reimu rada sistema vai: )RsC1)(RsC1(

    RsCRsCKA

    baKa1

    2211

    2211

    m ++++ >>1, i

    jednaina (2.21.21) postaje:

    1211

    2211moRsCRsC

    )RsC1)(RsC1(aA

    bK)s(E)s(P

    )s(G ++= (2.21.22)

    Ako se R1 i R2 podese tako da je R1>>R2, tada je R1C1>>R2C2. Jednaina (2.21.22) postaje:

    +++=++ 22

    11

    22

    11

    m

    11

    2211m RsCRCRC

    1RsC

    1aA

    bKRsC

    )RsC1)(RsC1(aA

    bK)s(G (2.21.23)

    Kako je 0RCRC

    11

    22 , prenosna funkcija sistema je:

    s1KsKK

    s1s1k

    RsC1RsC1

    aAbK

    )s(G IDPI

    D11

    22m ++=

    ++=

    ++ (2.21.24)

  • PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

    60

    gde su:

    aAbKk m=

    22D CR= diferencijalna vremenska konstanta sistema 11I CR= integralna vremenska konstanta sistema

    bAaKK mP = proporcionalna konstanta regulatora

    22m

    DD CRaAbKkK == diferencijalna konstanta regulatora

    11

    m

    II CR

    1aA

    bKkK == integralna konstanta regulatora

    Iz jednaine (2.21.24) sledi da pod navedenim uslovima sistem sa slike 2.21 predstavlja

    proporcionalno integralno diferencijalni regulator (PID) nultog reda.

    2.22) Realizacija diferencijalnog regulatora preko idealnih operacionih pojaavaa prikazana

    je na slici 2.22. Odrediti prenosnu funkciju sistema i parametre regulacije uzimajui napon

    u1(t) za ulaznu promenjivu, a napon u2(t) za izlaznu promenjivu sistema.

    Reenje:

    Prenosna funkcija kola sa slike 2.22 je:

    )s(U)s(U)s(G

    1

    2= (2.22.1)

    Sa slike 2.22 se vidi da je:

    R)s(U

    R2)s(U a1 = (2.22.2)

  • PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

    61

    R)s(U

    )s(sCU2R

    )s(U)s(U aa

    ab += (2.22.3) Iz jednaina (2.22.2) i (2.22.3) sledi da je:

    )s(U)sRC1()s(U 1b += (2.22.4) Izlazni operacioni pojaava igra ulogu sabiraa. Izlazni napon je:

    )s(sRCU)s(U)s(U)s(U 1b12 == (2.22.5) Iz jednaine (2.22.5) sledi da je prenosna funkcija sistema:

    sKsRC)s(G D == (2.22.6) gde je RCK D = diferencijalna konstanta regulatora

    2.23) Elektronsko izvoenje proporcionalno diferencijalnog sistema prikazano je na slici

    2.23. Izraunati prenosnu funkciju i formirati strukturni blok dijagram uzimajui napon u1(t)

    za ulaznu promenjivu, a napon u2(t) za izlaznu promenjivu sistema.

    Reenje:

    Sa slike 2.23 se vidi da je:

    [ ])t(u)t(uK)t(u 312 = (2.23.1) )t(u

    dt)t(du

    RCdt)t(iC1)t(Ri)t(u 3

    32 +=+= (2.23.2)

    gde je:

    dt)t(duC)t(i 3= (2.23.3)

    Primenom direktne Laplasove transformacije jednaine (2.23.1) i (2.23.2) postaju:

    [ ])s(U)s(UK)s(U 312 = (2.23.4) ( ) )s(UsRC1)s(U 32 += (2.23.5)

  • PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

    62

    Eliminacijom napona U3(s) iz jednaina (2.23.4) i (2.23.5) dobija se:

    )s(KUsRC1K1)s(U 12 =

    ++ (2.23.6)

    Prenosna funkcija sistema sa slike 2.23 je:

    1KRCs1

    sRC11K

    K

    sRC1K1

    K)s(U)s(U)s(G

    1

    2

    ++++=

    ++== (2.23.7)

    Na osnovu jednaine (2.23.7) moe se formirati sledei strukturni blok dijagram sistema:

    2.24) Za jednosmerni motor sa optereenjem sa slike 2.24 izraunati:

    a) prenosnu funkciju )s(U)s()s(G

    s

    o= , kada se motor upravlja strujom u statoru

    b) prenosnu funkciju )s(U)s()s(G

    r

    o= , kada se motor upravlja strujom u rotoru

    Rs i Ls su otpornost i induktivnost statorskog kola, a Rr i Lr otpornost i induktivnost namotaja

    rotora. Jm i Bm su moment inercije i koeficijenat viskoznog trenja osovine rotora, a Jo i Bo

    moment inercije i koeficijenat viskoznog trenja optereenja. Sa N je oznaen prenosni odnos

    mehanikog reduktora.

  • PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

    63

    Reenje:

    Pokretaki momenat motora je Mm(t) je:

    )t(Mdt

    )t(dBdt

    )t(dJ)t(M *omm2m

    2

    mm ++= (2.24.1)

    gde je )t(M*o momenat optereenja posmatran ispred mehanikog reduktora. Izmeu ugaonih

    brzina i momenata optereenja pre i posle mehanike redukcije postoji veza:

    dt)t(d

    Ndt

    )t(d om = (2.24.2)

    +==

    dt)t(dB

    dt)t(dJ

    N1)t(M

    N1)t(M oo2

    o2

    oo*o (2.24.3)

    Iz prethodnih jednaina dobija se:

    +++=

    dt)t(d

    )BNB(dt

    )t(d)JNJ(

    N1)t(M om

    2o2

    o2

    m2

    om (2.24.4)

    odnosno:

    dt)t(dB

    dt)t(dJ)t(NM)t(M o2

    o2

    m+== (2.24.5)

    gde su:

    m2

    o JNJJ += ukupan momenat inercije sveden na osovinu motora

    m2

    o BNBB += ukupno viskozno trenje svedeno na osovinu motora M(t) momenat optereenja sveden na osovinu motora

    Prema jednaini (2.24.5) sistem sa slike 2.24 moe se zameniti ekvivalentnim sistemom

    prikazanim na slici 2.24.1.

    Fluks proizveden strujom statora u prostoru izmeu namotaja statora i rotora je:

  • PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

    64

    )t(iK)t( s1= (2.24.6) Pokretaki momenat motora Mm (t) je linearno zavisi od proizvoda izmeu fluksa )t( i struje rotora )t(ir , odnosno:

    )t(i)t(iKK)t(i)t(K)t(M rs21r2m == (2.24.7) a) Ako se motor upravlja strujom statora, tada je struja rotora ir konstantna. Pokretaki

    momenat motora je tada:

    )s(IK)s(M ssm = (2.24.8) odnosno, prema jednaini (2.24.5)

    )s(NIK)s(M ss= (2.24.9) Jednaine elektrine ravnotee ulaznog kola i mehanike ravnotee izlaznog kola su:

    )s(U)s(I)RsL( ssss =+ (2.24.10) 0)s()BsJ(s)s(NIK oss =++ (2.24.11)

    Jednaina (2.24.11) izraava mehaniku ravnoteu pokretakog momenta motora i

    ekvivalentnog momenta optereenja na izlaznoj osovini motora. Prenosna funkcija sistema je:

    )1s)(1s(sK

    )BsJ)(RsL(sNK

    )s(U)s()s(G

    mess

    s

    s

    o++=++=

    = (2.24.12)

    gde su:

    )BNB(RNK

    BRNKK

    m2

    os

    s

    s

    s

    +== pojaanje sistema

    s

    se R

    L= elektrina vremenska konstanta sistema

    m2

    o

    m2

    om BNB

    JNJBJ

    ++== mehanika vremenska konstanta sistema

    b) Ako se motor upravlja strujom rotora, tada je struja statora is konstantna. Pokretaki

    momenat motora je tada:

    )s(IK)s(M remm = (2.24.13) odnosno, prema jednaini (2.24.5):

    )s(NIK)s(M rem= (2.24.14) Za razliku od sluaja kada se motor upravlja strujom statora, kod koga se prenosi samo

    uticaj od elektrinog ka mehanikom kolu, kod motora koji se upravlja strujom u rotoru,

  • PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

    65

    postoji i uticaj mehanikog kola na elektrino preko elektromotorne sile um(t) koja se, usled

    prisustva fluksa proizvedenog konstantnom strujom statora, pri obrtanju rotora indukuje u

    rotorskom namotaju. Elektromotorna sila )t(um proporcionalna je ugaonoj brzini rotora:

    )s(NsK)s(sK)s(U omemmem == (2.24.15) Jednaine ravnotee su:

    )s(U)s(NsK)s(I)RsL( romerrr =++ (2.24.16) 0)s()BsJ(s)s(NIK orem =++ (2.24.17)

    Prenosna funkcija sistema je:

    )1s2s(sK

    ]NKK)BsJ)(RsL[(sNK

    )s(U)s()s(G 222

    meemrr

    em

    r

    o

    ++=+++== (2.24.18)

    gde su:

    2meemm

    2or

    em

    2meemr

    em

    NKK)BNB(RNK

    NKKBRNK

    K

    ++=

    =+= pojaanje sistema

    2meemm

    2or

    o2

    or2

    meemr

    r

    NKK)BNB(R)BNJ(L

    NKKBRJL

    +++=+= vremenska konstanta sistema

    ]NKK)BNB(R)[JNJ(L2

    )JNJ(R)BNB(L

    )NKKBR(JL2

    JRBL

    2meemm

    2orm

    2or

    m2

    orm2

    or

    2meemrr

    rr

    ++++++=

    =++=

    koeficijenat priguenja

    2.25) Jednosmerni motor upravljan Vard Leonardovom grupom prikazan je na slici 2.25.

    Upravljaki napon us (t) prikljuen je na krajeve pobudnog kola generatora G iju osovinu

    pokree pomoni motor (nije prikazan na slici) konstantnom ugaonom brzinom . Napon na krajevima generatora ug(t) prikljuen je na krajeve rotora upravljanog strujom u rotoru.

    Napon na krajevima generatora direktno je proporcionalan struji u pobudnom kolu, tj.

    )t(iK)t(u sgg = . J i B predstavljaju ekvivalentan moment inercije i koeficijenat viskoznog trenja na izlaznoj osovini motora. Odrediti prenosnu funkciju sistema smatrajui us(t) za

    ulaznu promenjivu, a )t(o izlaznu promenjivu sistema.

  • PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

    66

    Reenje:

    Vard Leonardova grupa je skup maina koju ine generator G, motor M i pomoni

    motor koji okree osovinu generatora konstantnom ugaonom brzinom. Jednaine elektrine

    ravnotee sistema sa slike