RIJEŠENI ZADACI IZ MATEMATIKE
Ovi zadaci namijenjeni su studentima prve godine za pripremu ispitnog gradiva
za kolokvije i ispite iz matematike. Pripremljeni su u suradnji i po uputama
predmetnog nastavnika dr. Josipa Matejaš.
Zadatke je izabrala, pripremila i riješila Ksenija Pukšec
(demonstratorica iz matematike na EF).
Materijale je pregledala i recenzirala Martina Nakić
(demonstratorica iz matematike na EF).
Tehničku realizaciju materijala u programskom paketu LATEX napravio je
Krešimir Bokulić (demonstrator iz računarstva na PMF-MO).
1
DERIVACIJE
1. Ovisnost cijene p o vremenu t dana je sljedećom funkcijom
p(t) = 2.45 ·
(1
2
)0.06t
+ 2.86. Ispitajte dugoročno ponašanje cijene. (Uputa:
treba računati limes funkcije kada t ide u beskonačnost.)
Rješenje:
Napomena:
lim
x→∞
ax =
0, a < 1
1, a = 1
∞, a > 1
lim
t→+∞
[
2.45 · (1
2
)0.06t + 2.86
]
=
(
1
2
)0.06·∞
+ 2.86 =
= 2.45 ·
(
1
2
)∞
+ 2.86 = 2.45 · 0 + 2, 86 = 2.86
2. Ovisnost inflacije i o vremenu t dana je sljedećom funkcijom
i(t) = 2.4e−0.02t + 3.56. Ispitajte dugoročno ponašanje inflacije. (Uputa:
treba računati limes funkcije kada t ide u beskonačnost).
Rješenje:
lim
t→∞
(2.4e−0.002t + 3.56) = 2.4e−0.02·∞ + 3.56 =
= 2.4e−∞ + 3.56 = 3.56
2
3. Nadite asimptote funkcije f(x) = −3x + x.
Rješenje:
x 6= 0
D = R\{0}
Pravac x=a je okomita asimptota ako vrijedi:
lim
x→a
f(x) = ∞
lim
x→0
(
−3
x
+ x
)
= −3
0
+ 0 = ∞
x = 0 ⇒ okomita asimptota.
Pravac y = b je vodoravna asimptota ako vrijedi:
lim
x→∞
f(x) = b
lim
x→∞
(
−3
x
+ x
)
=
−3
∞
+∞ = ∞
⇒ nema vodoravne asimptote.
Pravac y = kx + l je kosa asimptota ako vrijedi:
1. lim
x→∞
f(x)
x
= k
2. lim
x→∞
[f(x)− kx]
lim
x→∞
−3
x + x
x
= lim
x→∞
−3+x2
x
x
= lim
x→∞
−3 + x2
x2
= L′H = lim
x→∞
2x
2x
= 1 = k
lim
x→∞
(
−3
x
+ x− 1x
)
= lim
x→∞
(
−3
x
)
= − 3
∞
= 0 = l
3
y = kx + l
y = 1 · x + 0
y = x ⇒ kosa asimptota
4
4. Nadite prvu derivaciju funkcije f(x) = x3 + x + 215
Rješenje:
f ′(x) = (x3)′ + (x)′ + (215)′
f ′(x) = 3x3−1 + 1 + 0
f ′(x) = 3x2 + 1
5. Nadi prvu derivaciju funkcije y = x
2
x+1 .
Rješenje:
y′ =
(x2)′(x + 1)− x2(x + 1)′
(x + 1)2
y′ =
2x2−1 · (x + 1)− x2((x)′ + (1)′)
(x + 1)2
y′ =
2x · (x + 1)− x2 · (1 + 0)
(x + 1)2
y′ =
2x2 + 2x− x2
(x + 1)2
y′ =
x2 + 2x
(x + 1)2
5
6. Nadite prvu derivaciju funkcije y = (x + 1)ex
Rješenje:
y′ = (x + 1)′ex + (x + 1)(ex)′
y′ = ((x)′ + (1)′)ex + (x + 1)ex
y′ = (1 + 0)ex + (x + 1)ex
y′ = ex + (x + 1)ex
y′ = ex(x + 2)
6
7. Nadi prvu derivaciju funkcije y =
√
x3 − 2 3
√
x2 + 3 3
√
x− 2x
Rješenje:
y = x
3
2 − 2x
2
3 + 3x
1
3 − 2x−1
y′ = (x
3
2 )′ − (2x
2
3 )′ + (3x
1
3 )′ − (2x−1)′
y′ =
3
2
x
3
2−1 − 2 · (x
2
3 )′ + 3 · (x
1
3 )′ − 2 · (x−1)′
y′ =
3
2
x
1
2 − 2 · 2
3
x
2
3−1 + 3 · 1
3
x
1
3−1 − 2 · (−1)x−1−1
y′ =
3
2
x
1
2 − 4
3
x
−1
3 + x
−2
3 + 2x−2
7
8. Nadi prvu derivaciju funkcije y = 3
x
x
Rješenje:
y′ =
(3x)′ · x− 3x(x)′
x2
y′ =
3xln3 · x− 3x · 1
x2
y′ =
3x(xln3− 1)
x2
8
9. Nadi prvu derivaciju funkcije y = b · 1xa , b 6= 0, a > 0
Rješenje:
y = bx−a
y′ = (bx−a)′
y′ = b(x−a)′
y′ = b(−a)x−a−1
y′ = −abx−a−1
y′ = −ab · 1
xa+1
y′ =
−ab
xa+1
9
10. Nadite prvu derivaciju funkcije f(x) = (1 + x2)100.
Rješenje:
f ′(x) = [(1 + x2)100]′
f ′(x) = 100(1 + x2)99(1 + x2)′
f ′(x) = 100(1 + x2)99 · 2x
f ′(x) = 200x(1 + x2)99
11. Nadi prvu derivaciju funkcije f(x) =
√
1− 3x4.
Rješenje:
f ′(x) =
1
2
√
1− 3x4
· (1− 3x4)′
f ′(x) =
1
2
√
1− 3x4
· (−12x3)
f ′(x) =
−6x3√
1− 3x4
10
12. Nadi prvu derivaciju funkcije f(x) = 3x
2
.
Rješenje:
f ′(x) = 3x
2
ln3 · (x2)′
f ′(x) = 3x
2
ln3 · 2x
13. Nadi prvu derivaciju funkcije f(x) = 4
√
1−x3.
Rješenje:
f ′(x) = 4
√
1−x3ln4 · (
√
1− x3)′
f ′(x) = 4
√
1−x3ln4 · 1
2
√
1− x3
· (1− x3)′
f ′(x) = 4
√
1−x3ln4 · 1
2
√
1− x3
· (−3x2)
11
14. Nadi prvu derivaciju funkcije f(x) = e
√
1−x
x+1 .
Rješenje:
f ′(x) = e
√
1−x
x+1 · (
√
1− x
x + 1
)′
f ′(x) = e
√
1−x
x+1 · 1
2
√
1−x
x+1
· (1− x
x + 1
)′
f ′(x) = e
√
1−x
x+1 · 1
2
√
1−x
x+1
· (1− x)
′ · (x + 1)− (1− x) · (x + 1)′
(x + 1)2
f ′(x) = e
√
1−x
x+1 · 1
2
√
1−x
x+1
· −2
(x + 1)2
f ′(x) =
−e
√
1−x
x+1√
1−x
x+1 · (x + 1)2
f ′(x) =
−e
√
1−x
x+1
√
1− x · (x + 1) 32
f ′(x) =
−e
√
1−x
x+1
√
1− x ·
√
(x + 1)3
f ′(x) =
−e
√
1−x
x+1
√
1− x · (x + 1) ·
√
x + 1
f ′(x) =
−e
√
1−x
x+1
(x + 1) ·
√
(1− x)(x + 1)
f ′(x) =
−e
√
1−x
x+1
(x + 1) ·
√
1− x2
12
15. Koristeći definiciju derivacije, nadite derivaciju funkcije f(x) =
√
2x + 1 u
točki x0 = 4.
Rješenje:
f ′(x) = lim
h→0
f(x + h)− f(x)
h
lim
h→0
√
2(x + h) + 1−
√
2x + 1
h
·
√
2(x + h) + 1 +
√
2x + 1√
2(x + h) + 1 +
√
2x + 1
=
= lim
h→0
2(x + h) + 1− (2x + 1)
h(
√
2x + 2h + 1 +
√
2x + 1)
=
= lim
h→0
2x + 2h + 1− 2x− 1
h(
√
2x + 2h + 1 +
√
2x + 1)
=
= lim
h→0
2√
2x + 2h + 1 +
√
2x + 1
=
=
2√
2x + 2 · 0 + 1 +
√
2x + 1
=
2
2
√
2x + 1
=
1√
2x + 1
f ′(4) =
1√
2 · 4 + 1
=
1√
9
=
1
3
13
16. Odredite stotu derivaciju funkcije y = e−2x.
Uputa: odredite prvih nekoliko derivacija te uočite pravilo za računanje
slijedećih!
Rješenje:
y′ = e−2x · (−2x)′ = e−2x · −2 = −2e−2x
y′′ = (−2e−2x)′ = −2 · e−2x · (−2) = (−2)2e−2x = 22 · e−2x
y′′′ = ((−2)2 · e−2x)′ = (−2)2 · e−2x · (−2) = (−2)3 · e−2x
y′′′′ = (−2)3e−2x · (−2) = (−2)4e−2x = 24e−2x
...
y(100) = 2100 · e−2x
14
17. Za funkciju ukupnih troškova T (Q) =
√
ln(3Q2) odredite pripadnu funkciju
graničnih troškova.
Rješenje:
T ′(Q) =
1
2
√
ln(3Q2)
· (ln(3Q2))′ =
=
1
2
√
ln(3Q2)
· 1
3Q2
· (3Q2)′ =
=
1
2
√
ln(3Q2)
· 1
3Q2
· 6Q =
=
1
Q
√
ln(3Q2)
15
18. Primjenom diferencijala približno izračunajte 1.00110.
Rješenje:
Tražimo ono što lako izračunamo, a da približno bude jednako.
110, bazu smo promijenili, ono što smo promijenili označimo s x.
x = 1
∆x = 0.001 = dx
x + ∆x = 1 + 0.001 = 1.001
y = x10
y′ = 10x9
y(x + ∆x) ≈ y(x) + y′(x) · dx
y(1 + 0.001) ≈ y(1) + y′(1) · dx
y(1.001) ≈ 110 + 10 · 19 · 0.001
y(1.001) ≈ 1.01
16
19. Izračunajte prirast i diferencijal funkcije Q(L) =
√
L, te relativnu pogrešku,
ako je L = 0, ∆L = 0.001.
Rješenje:
Prirast funkcije:
∆y = y(x + ∆x)− y(x)
∆Q = Q(L + ∆L)−Q(L)
∆Q = Q(9.001)−Q(9)
∆Q =
√
9.001−
√
9
∆Q = 0.000166662
Diferencijal funkcije:
dy = y′(x) · dx
dL = ∆L = 0.001
dQ = Q′(L) · dL = 1
2
√
L
· dL = 1
2
√
9
· 0.001
dQ = 0.000166667
Relativna pogres
