Fakultet političkih nauka: Riješeni zadaci iz Statistike

1

I Statističke varijable, tipovi frekvencija, grafi čko predstavljanje Primjer 1: Odredite tip varijable pomoću koje mjerimo (opisujemo):

• Navršene godine jedne osobe • Cijenu hljeba • Temperaturu u amfiteatru • Ljubaznost neke osobe • Boju kose • Jačinu zvuka • Stručnu spremu • Nivo razvijenosti zemlje • Težinu studenta • Visinu studentice • Razumijevanje gradiva • Nacionalnost • Broj članova domaćinstva • Bračno stanje • Broj živoroñene djece • Presjek stabla - obim • Izvoz prema stepenu obrade • Intenzitet svjetlosti • Visinu uloga na štednju.

Rješenje:

• Navršene godine jedne osobe Kvantitativna prekidna varijabla • Cijenu hljeba Kvantitativna kontinuirana varijabla (ako pratimo cijenu u novčanim jedinicama) ili kvalitativna ordinalna varijabla (ako kažemo cijena je niska ili visoka) • Temperaturu u amfiteatru Kvantitativna varijabla sa intervalnom skalom jer 0 ne znači odsustvo pojave • Ljubaznost neke osobe Kvalitativna ordinalna varijabla (ljubazan, povremeno neljubazan, neljubazan) • Boju kose Kvalitativna nominalna (atributivna) varijabla (opisno dati modalitet, svi imaju isti relativni značaj) • Jačinu zvuka Kvantitativna varijabla dobijena mjerenjem (u decibelima) ili kvalitativna ordinalna varijabla (ako kažemo ton je slab ili jak) • Stručnu spremu Kvalitativna ordinalna varijabla (niža, viša, visoka, ostalo) • Nivo razvijenosti zemlje Kvalitativna ordinalna varijabla (nerazvijene, zemlje u razvoju, razvijene) • Težinu studenta Kvantitativna kontinuirana varijabla dobijena mjerenjem

Fakultet političkih nauka: Riješeni zadaci iz Statistike

2

• Visinu studentice Kvantitativna kontinuirana varijabla dobijena mjerenjem • Razumijevanje gradiva Kvalitativna ordinalna varijabla (slabo, srednje, dobro, izvrsno) ili kvantitativna prekidna varijabla (ako se ocjenjuje ocjenom 5-10) • Nacionalnost Kvalitativna nominalna (atributivna) varijabla (modaliteti opisno dati, svi imaju isti relativni značaj) • Broj članova domaćinstva Kvantitativna prekidna varijabla • Bračno stanje Kvalitativna nominalna (atributivna) varijabla (modaliteti opisno dati, svi imaju isti relativni značaj) • Broj živoroñene djece Kvantitativna prekidna varijabla • Presjek stabla - obim Kvantitativna kontinuirana varijabla dobijena mjerenjem • Izvoz prema stepenu obrade Kvalitativna ordinalna varijabla (sirovina, poluprerañen proizvod, finalni proizvod) • Intenzitet svjetlosti Kvalitativna ordinalna varijabla (slaba, srednja, jaka) ili kvantitativna varijabla dobijena mjerenjem u lux-ima) • Visinu uloga na štednju Kvantitativna kontinuirana varijabla Primjer 2: Odrediti da li su navedene kategorije obilježja (varijable) ili jedinice statisti čkog skupa, pa napraviti ureñene parove (obilježje, jedinice statističkog skupa):

• Radnici • Starost učenika • Domaćinstva • Primanja • Visina uloga na štednju • Stanovnici • Ulozi na štednju • Studenti • Ocjena iz Statistike • Učenici • Potrošnja brašna • Banke • Spol • Visina dugoročnih kredita

Rješenje:

• Radnici Jedinice statističkog skupa • Starost učenika

Fakultet političkih nauka: Riješeni zadaci iz Statistike

3

Obilježje • Domaćinstva Jedinice statističkog skupa • Primanja Obilježje • Visina uloga na štednju Obilježje • Stanovnici Jedinice statističkog skupa • Ulozi na štednju Jedinice statističkog skupa • Studenti Jedinice statističkog skupa • Ocjena iz Statistike Obilježje • Učenici Jedinice statističkog skupa • Potrošnja brašna Obilježje • Banke Jedinice statističkog skupa • Spol Obilježje • Visina dugoročnih kredita Obilježje Ureñeni parovi su: • (starost učenika, učenici) • (primanja, radnici) • (visina uloga na štednju, ulozi na štednju) • (ocjena iz Statistike, studenti) • (potrošnja brašna, domaćinstva) • (spol, učenici) • (visina dugoročnih kredita, banke).

Fakultet političkih nauka: Riješeni zadaci iz Statistike

4

Primjer 3: Na osnovu istraživanja u 35 gradova dobili smo podatke o broju osnovnih škola u gradu:

1 1 2 3 5 6 1 2 2 4 2 6 2 3 4 1 2 7 2 2 4 4 3 4 2 2 3 4 3 3 5 3 1 5 2

a) Uporediti i komentarisati statističku seriju sa bruto podacima, ureñenu statističku seriju i

statističku distribuciju frekvencija. b) Izračunati i objasniti relativne frekvencije. Analizirati strukturu statističkog skupa. c) Izračunati i objasniti apsolutne kumulativne frekvencije (rastuće). d) Izračunati i objasniti relativne kumulativne frekvencije (rastuće).

Rješenje: Osnovni skup – gradovi, Statistička jedinica – grad, Veličina osnovnog skupa N=35. Varijabla (obilježje) – broj osnovnih škola u gradu, Tip varijable – kvantitativna prekidna, Modaliteti – 1,2,3,4,5,6 i 7. a) Zadana statistička serija je serija sa bruto podacima („nabacani podaci“, zabilježeni onim

redom kojim su pristizali ili obrañeni). Da bismo dobili ureñenu statističku seriju potrebno sortirati podatke po veličini:

1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 5 5 5 6 6 7

Krajnji oblik grupisanja podataka je statistička distribucija frekvencija u kojoj svakom modalitetu varijable (modaliteta ima n) pridružujemo odgovarajuću apsolutnu frekvenciju (broj ponavljanja tog modaliteta u seriji):

ix - i-ti modalitet posmatranog obilježja

if - apsolutna frekvencija, učestalost (broj pojavljivanja) i-tog modaliteta (razreda, intervala)

n- broj modaliteta (razreda, intervala)

Fakultet političkih nauka: Riješeni zadaci iz Statistike

5

Broj osnovnih škola (modaliteti) - ix

Broj gradova (apsolutne frekvencije) - if

Relativne frekvencije) -

ip

Rastuće apsolutne kumulativne frekvencije - iS

Rastuće relativne kumulativne frekvencije - iF

1 5 0,1429 5 0,1429 2 11 0,3143 16 0,4571 3 7 0,2000 23 0,6571 4 6 0,1714 29 0,8286 5 3 0,0857 32 0,9143 6 2 0,0571 34 0,9714 7 1 0,0286 35 1,0000 Σ 35 1

b) ii

fp

N= - relativne frekvencije (proporcija učešća podataka sa modalitetom ix u cijelom

statističkom skupu) 100%i iP p= ⋅ - procentualne frekvencije (procenat učešća podataka sa modalitetom ix u

cijelom statističkom skupu) Analiza strukture: Najviše učešće imaju gradovi sa po 2 osnovne škole – 31,43%, dok najniže učešće imaju gradovi sa sedam škola - 2,86%.

c) Rastuća apsolutna kumulatvina frekvencija 1

i

i jj

S f=

=∑ - broj podataka koji imaju vrijednost

manju ili jednaku od vrijednosti modaliteta ix . Npr. iz tabele čitamo ( 3) 23iS x = = , što znači

da u 23 grada imamo 3 škole ili manje od 3.

d) Rastuća relativna kumulativna frekvencija 1

i

i jj

F p=

=∑ - % podataka koji imaju vrijednost

manju ili jednaku vrijednosti modaliteta ix (ako pomnožimo sa 100%). Npr. iz tabele čitamo

( 2) 0,4571iF x = = , što znači da 45,71 % gradova ima 2 ili manje od 2 škole.

Struktura osnovnog skupa prema broju osnovnih škola

jedna14%

dvije31%

tri20%

četiri17%

pet9%

šest6%

sedam3%

Fakultet političkih nauka: Riješeni zadaci iz Statistike

6

Primjer 4: Medju osobama koje su se vjenčali u junu 2002 godine, 10 osoba je jedinac/jedinica, 16 osoba ima jednog brata ili sestru, 7 osoba ima 2 brata ili sestre, 3 osobe 3 brata ili sestre, 3 osobe 4 brata ili sestre, nijedna osoba nema 5 braće ili sestara i jedna osoba ima 6 braće ili sestara.

a) Odredite posmatranu populaciju i njenu veličinu. b) Koja je posmatrana varijabla, njen tip i modaliteti? c) Kompletirajte statističku distribuciju i grafički je predstavite. Izračunati i objasniti

apsolutne kumulativne frekvencije (rastuće) i relativne kumulativne frekvencije (rastuće).

Rješenje:

a) Populacija- osobe vjenčane u junu 2002

Veličina osnovnog skupa N=40. b) Varijabla- broj braće i sestara

Tip varijable – kvantitativna prekidna, Modaliteti – 0,1,2,3,4,5 i 6. c) Broj braće i sestara (modaliteti) - ix

Broj vjenčanih osoba (apsolutne frekvencije) - if

Relativne frekvencije) -

ip

Rastuće apsolutne kumulativne frekvencije - iS

Rastuće relativne kumulativne frekvencije - iF

0 10 0,25 10 0,25 1 16 0,4 26 0,65 2 7 0,175 33 0,825 3 3 0,075 36 0,9 4 3 0,075 39 0,975 5 0 0 39 0,975 6 1 0,0025 40 1 Σ 40 1

Npr. iz tabele čitamo S (xi=4)=39, što znači da 39 osoba vjenčanih u junu 2002 ima 4 ili manje od 4 braće i sestara. Npr. iz tabele čitamo F(xi=5)=0,975, što znači da 97,5 % osoba vjenčanih u junu 2002 ima 5 manje od 5 braće i sestara.

Fakultet političkih nauka: Riješeni zadaci iz Statistike

7

II Mjere centralne tendencije

Primjer 1: Za 15 privrednih kompanija jednog regiona prikupili smo podatke o godišnjoj bruto dobiti (u milionima KM):

5 3 2 4 3 6 6 5 4 4 5 4 4 5 3

Odrediti i objasniti mjere centralne tendencije.

Rješenje: Kako se radi o bruto seriji sa malim brojem modaliteta, formiraćemo neintervalno grupisanu statističku distribuciju frekvencija:

ix if relativne frekvencije -

ip

rastuća apsolutna kumulativna

frekvencija - iS

rastuća relativna kumulativna

frekvencija - iF

i ix f⋅

2 1 0,0667 1 0,0667 2 3 3 0,2000 4 0,2667 9 4 5 0,3333 9 0,6 20 5 4 0,2667 13 0,8667 20 6 2 0,1333 15 1 12 Σ 15 1 63

Seriju ćemo grafički predstaviti (razdvojenim) stupcima:

Mjere centralne tendencije

Aritmeti čka sredina

Distribucija frekvencija - graf sa razdvojenim stupcima

0

1

23

4

5

6

2 3 4 5 6

Bruto dobit (mil.) - x

Bro

j kom

pani

ja -

f

Fakultet političkih nauka: Riješeni zadaci iz Statistike

8

1 634,2

15

n

i ii

x fX

N=

⋅= = =∑

Prosječna godišnja bruto dobit za 15 posmatranih kompanija iznosi 4,2 (mil. KM)

Mod

max 5 4of M= ⇒ =

Najčešća bruto dobit koja se javlja kod posmatranih kompanija iznosi 4 (mil. KM)

Medijana

495,72 3 =⇒=≤= MeSN

Zbog velikog odstupanja stvarne od teorijske kumulante, tumačimo pomoću stvarne

kumulante: 60% (9

100%15

= ⋅ ) kompanija ima bruto dobit 4 mil. KM ili manje, dok 40%

kompanija ima bruto dobit veću od 4 mil. KM.

Kvartili

3475,34 12 =⇒=≤= QSN

- prvi kvartil

Kako nema velikog odstupanja stvarne (26,67%) od teorijske (25%) kumulante, možemo tumačiti pomoću teorijske kumulante: 25% kompanija ima bruto dobit manju ili jednaku 3 mil KM, dok 75% ima bruto dobit veću od 3 mil. KM.

51325,114

334 =⇒=≤= QS

N - treći kvartil

Zbog velikog odstupanja stvarne (86,67%) od teorijske (75%) kumulante, tumačimo pomoću stvarne kumulante: 86,67% kompanija ima bruto dobit 5 mil. KM ili manje, dok 13,33% kompanija ima bruto dobit veću od 5 mil. KM.

Decili

Primjera radi, vrijednost trećeg i osmog decila odredićemo koristeći relativne frekvencije.

46,03,0103

33 =⇒=≤= DF - treći decil

Zbog velikog odstupanja stvarne (60%) od teorijske (30%) kumulante, tumačimo pomoću stvarne kumulante da 60% kompanija ima bruto dobit 4 mil. KM ili manje, dok 40% kompanija ima bruto dobit veću od 4 mil. KM.

58667,08,0108

84 =⇒=≤= DF - osmi decil

Kako nema velikog odstupanja stvarne (86,67%) od teorijske (80%) kumulante, možemo tumačiti da 80% kompanija ima bruto dobit manju ili jednaku 5 miliona dok 20% kompanija ima veću bruto dobit od 5 mil. KM. Primjer 2:

Fakultet političkih nauka: Riješeni zadaci iz Statistike

9

U preduzeću radi 50 radnika. Navedeni su podaci o dužini radnog staža za svakog radnika:

1 4 2 5 6 7 8 7 9 8 10 18 11 12 13 12 14 14 11 10 13 15 11 19 7 21 15 8 19 24 13 9 10 17 22 20 11 14 4 3 5 17 23 10 12 21 30 4 8 12

Odrediti i objasniti mjere centralne tendencije.

Rješenje:

Dužina radnog

staža Broj radnika

- if Centar intervala

(razredna sredina) - ic rastuća apsolutna

kumulativna frekvencija - iS i ic f⋅

[0-5[ 6 2,5 6 15 [5-10[ 12 7,5 18 90

[10-15[ 18 12,5 36 225 [15-20[ 7 17,5 43 123 [20-25[ 6 22,5 49 135 [25-30] 1 27,5 50 28

Σ 50 615 Grafički ćemo seriju predstaviti histogramom (uobičajeno je da se intervalno grupisane distribucije, kao i kvantitativne neprekidne varijable grafički predstavljaju histogramom) i poligonom rastuće kumulante, ali prvo moramo izračunati kumulativne frekvencije iS i iF .

Mod (kod intervalno grupisanih serija) odreñujemo na histogramu:

Medijanu i kvartile grafički odreñujemo na poligonu rastuće kumulante:

Histogram

0

5

10

15

20

[0-5[ [5-10[ [10-15[ [15-20[ [20-25[ [25-30]

intervali

apso

lutn

e fr

ekve

nci

je

Mo

Fakultet političkih nauka: Riješeni zadaci iz Statistike

10

U radu ćemo, primjera radi, uglavnom koristiti relativne fekvencije. Umjesto vrijednosti modaliteta ix koristimo centre intervala ic (kao predstavnike intervala).

Prelazimo na izračunavanje mjera centralne tendencije: Aritmeti čka sredina

1 61512,3

50

n

i ii

c fX

N=

⋅= = =∑

Prosječna dužina radnog staža u skupu od 50 radnika iznosi 12,3 godine. Mod

[ [max 18 10 15of M= ⇒ ∈ −

( ) ( )1

1

1 1

18 1210 5 11,765

(18 12) (18 7)o o

o o

o o o o

M Mo M M

M M M M

f fM L l

f f f f

−

− +

− −= + ⋅ = + ⋅ =− + −− + −

Najčešća dužina radnog staža iznosi 11,765 godina. Grafički je mod odreñen na histogramu. Napomenimo da se radi o grafičkom predstavljanju moda. Da bismo saznali njegovu tačnu vrijednost, moramo ga odrediti računskim putem.

Medijana i kvartili Medijana:

[ [25 36 10 152

NMe= ≤ ⇒ ∈ −

Iz intervala linearnom interpolacijom odreñujemo medijanu (stoga nema potrebe razmatrati razliku izmeñu stvarne i teorijske kumulante medijane):

1 25 182 10 5 11,9418

Me

Me MeMe

NS

Me L lf

−− −= + ⋅ = + ⋅ =

Poligon apsolutne rastu će kumulante

0

10

20

30

40

50

60

0 5 10 15 20 25 30

centri intervala

rast

uć

a ap

solu

tna

kum

ula

tivn

a fr

ekve

nci

ja

Me

25

12,5

37,5

Q1 Q3

Fakultet političkih nauka: Riješeni zadaci iz Statistike

11

50% radnika ima staž manji ili jednak 11,94 godine, dok 50% ima staž duži od 11,94 godina. Kvartili

[ [112,5 18 5 104

NQ= ≤ ⇒ ∈ −

Iz intervala linearnom interpolacijom odreñujemo prvi kvartil:

1

1 1

1

1

1

12,5 64 5 5 7,7112

Q

Q QQ

NS

Q L lf

−− −= + ⋅ = + ⋅ =

25% radnika ima staž manji ili jednak 7,71 godina, dok 75% ima staž duži od 7,71 godina.

[ [3

337,5 43 15 20

4

NQ= ≤ ⇒ ∈ −

Iz intervala linearnom interpolacijom odreñujemo treći kvartil:

3

3 3

3

1

3

37,5 364 15 5 16,077

Q

Q QQ

NS

Q L lf

−− −= + ⋅ = + ⋅ =

75% radnika ima staž manji ili jednak 16,07 godina, dok 25% ima staž duži od 16,07 godina. Decili

[ [506510 11 −∈⇒=≤= DSN

Iz intervala linearnom interpolacijom odreñujemo prvi decil:

17,46

055010

1

1

11

1

11 =−⋅+=−

⋅+=−

D

D

DD f

SN

aLD

10% radnika ima staž manji ili jednak 4,17 godina, dok 90% ima staž duži od 4,17 godina.

[ [2520494510

995 −∈⇒=≤=⋅

DSN

Iz intervala linearnom interpolacijom odreñujemo deveti decil:

67,216

434552010

9

9

9

99

1

19 =−⋅+=−

⋅+=−

D

D

DD f

SN

aLD

90% radnika ima staž manji ili jednak 21,67 godina, dok 10% ima staž duži od 21,67 godina.

Centili

[ [10,5 6 0 5100

NC= ≤ ⇒ ∈ −

Iz intervala linearnom interpolacijom odreñujemo prvi centil:

Fakultet političkih nauka: Riješeni zadaci iz Statistike

12

1

1 1

1

1

1

0,5 0100 0 5 0,4176

C

C CC

NS

C L lf

−− −= + ⋅ = + ⋅ =

1% radnika ima staž manji ili jednak 0,417 godina, dok 99% ima staž duži od 0,417 godina.

[ [99

9949,5 50 25 30

100

NC= ≤ ⇒ ∈ −

Iz intervala linearnom interpolacijom odreñujemo devedeset deveti centil:

99

99 99

99

1

99

9949,5 49100 25 5 27,5

1

C

C CC

NS

C L lf

−− −= + ⋅ = + ⋅ =

99% radnika ima staž manji ili jednak 27,5 godina, dok 1% ima staž duži od 27,5 godina. Primjer 3. U sljedećoj statističkoj seriji predstavljen je broj sati koje je 13 studenata posvetilo pripremi testa iz Statistike: 5 6 2 7 11 9 3 4 9 8 7 3 7

a) Odrediti aritmetičiku sredinu. b) Odredite medijanu i njenu kumulativnu frekvenciju. Komentarišite dobijeni rezultat. c) Odredite mod

Rješenje:

a) Aritmeti čka sredina

�� �∑ �����1

��81

13� 6,23

Prosječan broj sati u skupu od 13 studenata iznosi 6,23 sata.

b) Uredimo seriju po rastućem redu podataka: 2 3 3 4 5 6 7 7 7 8 9 9 11 S obzirom da je broj podataka neparan medijana je jednaka: Me=X(n+1/2)=X(13+1/2)=X(7)=7

50% studenata utroši za pripremu testa iz Statistike 7 sati ili manje od 7 sati, dok 50% za pripremu utroši više od 7 sati.

c) Podatak koji se najviše ponavlja (mod) je 7.

Fakultet političkih nauka: Riješeni zadaci iz Statistike

13

III Mjere varijacije, oblika distribucije i koncent racije Primjer 1: Za 15 privrednih kompanija jednog regiona prikupili smo podatke o godišnjoj bruto dobiti (u milionima KM):

5 3 2 4 3 6 6 5 4 4 5 4 4 5 3

Odrediti i objasniti mjere varijacije i mjere oblika distribucije (asimetrije i spljoštenosti).

Rješenje:

ix if ix X− i ix X f− ⋅ 2i ix f⋅ 3

i i( x X ) f− ⋅ 4i i( x X ) f− ⋅

2 1 -2,2 2,2 4 -10,65 23,43 3 3 -1,2 3,6 27 -5,18 6,22 4 5 -0,2 1 80 -0,04 0,01 5 4 0,8 3,2 100 2,05 1,64 6 2 1,8 3,6 72 11,66 21,00

ΣΣΣΣ 15 13,6 283 -2,16 52,29

Poligon apsolutnih frekvencija

0

1

2

3

4

5

6

2 3 4 5 6

Bruto dobit (mil.)

Br.

kom

pani

ja

Fakultet političkih nauka: Riješeni zadaci iz Statistike

14

MJERE VARIJACIJE Raspon varijacije

6 2 4RV = − = - relativno slaba i nepouzdana mjera. Prosječno apsolutno odstupanje

( )5

1

1 13,60,91

15i ii

MAD x X fN =

= ⋅ − ⋅ = =∑

Prosječno apsolutno odstupanje pojedinačnih bruto dobiti od prosječne bruto dobiti iznosi 0,91 mil. KM. Interkvartilno apsolutno odstupanje

3 1 5 3 2QI Q Q= − = − = - raspon variranja središnjih 50% podataka

Varijansa i standardna devijacija

( )

( )

5 22

1

5 22 2 2

1

1:

1 2834,2 1,23

15

i ii

i ii

x X f ili formula jednostavnija za računanjeN

x f XN

σ

σ

=

=

= ⋅ − ⋅

= ⋅ ⋅ − = − =

∑

∑

Prosječno kvadratno odstupanje pojedinačnih bruto dobiti od prosječne bruto dobiti iznosi 1,23. (Varijansa se izražava u kvadratima jedinice mjere varijable ali je tako ne tumačimo zbog smislenosti rezultata.)

2 1,23 1,109σ σ= = = Prosječno linearno odstupanje pojedinačnih bruto dobiti od prosječne bruto dobiti iznosi 1,109 mil. KM. Koeficijent varijacije

1,109100 100 26,4%

4,2V

X

σ= ⋅ = ⋅ =

Relativno izraženo variranje podataka oko aritmetičke sredine iznosi 26,4%. Koeficijent interkvartilnog odstupanja

3 1

2100 100 25%

5 3Q

Q

IV

Q Q= ⋅ = ⋅ =

+ +

Relativno izraženo variranje podataka oko medijane iznosi 25%.

Fakultet političkih nauka: Riješeni zadaci iz Statistike

15

MJERE OBLIKA DISTRIBUCIJE Koeficijent asimetrije

( )3

31

1 2,160,144

15

n

i ii

x X fN

µ=

− = ⋅ − ⋅ = = − ∑

33 3 3

0,1440,106 0

1,109

µασ

−= = = − < ⇒ blago lijevo asimetrična distribucija

Koeficijent spljoštenosti

( )4

41

1 52,293,49

15

n

i ii

x X fN

µ=

= ⋅ − ⋅ = = ∑

44 4 4

3,493,38 2,31

1,109

µασ

= = = > ⇒ spljoštena distribucija

Primjer 2:

U preduzeću radi 50 radnika. Navedeni su podaci o dužini radnog staža za svakog radnika: 1 4 2 5 6 7 8 7 9 8 10 18 11 12 13 12 14 14 11 10 13 15 11 19 7 21 15 8 19 24 13 9 10 17 22 20 11 14 4 3 5 17 23 10 12 21 30 4 8 12 Odrediti i objasniti mjere disperzije i oblika distribucije.

Rješenje:

iR if ic i ic X f− ⋅ 2i ic f⋅ 3

i i( c X ) f− ⋅ 4i i( c X ) f− ⋅

[0-5[ 6 2,5 58,8 37,5 -5647,15 55342,09 [5-10[ 12 7,5 57,6 675 -1327,10 6370,10

[10-15[ 18 12,5 3,6 2812,5 -0,14 0,03 [15-20[ 7 17,5 36,4 2143,75 984,26 5118,13 [20-25[ 6 22,5 61,2 3037,5 6367,25 64945,93 [25-30] 1 27,5 15,2 756,25 3511,81 53379,48 Σ 50 232,8 9462,5 3888,91 185155,76

Fakultet političkih nauka: Riješeni zadaci iz Statistike

16

MJERE VARIJACIJE Raspon varijacije

max min 30 1 29RV x x= − = − =

Srednje apsolutno odstupanje

( )6

1

1 1232,8 4,656

50i ii

MAD c X fN =

= − ⋅ = ⋅ =∑

Prosječno apsolutno odstupanje pojedinačnih godina radnog staža od prosječnog radnog staža iznosi 4,656 godina. Interkvartilno apsolutno odstupanje:

3 1 16,07 7,71 8,36QI Q Q= − = − = - Raspon variranja središnjih 50% podataka.

Varijansa i standardna devijacija

6 22 2 2

1

1 19462,5 12,3 37,96

50i ii

c f XN

σ=

= ⋅ − = − =∑

Prosječno kvadratno odstupanje pojedinačnih godina radnog staža od prosječnog radnog staža iznosi 37,96.

2 37,96 6,16σ σ= = = Prosječno linearno odstupanje pojedinačnih godina radnog staža od prosječnog radnog staža iznosi 6,16 godina. Koeficijent varijacije

6,16100 100 50,09%

12,3V

X

σ= ⋅ = ⋅ =

Relativno izraženo variranje podataka oko aritmetičke sredine iznosi 50,09%. Koeficijent interkvartilnog odstupanja

3 1

8,36100 100 35,15%

7,71 16,07Q

Q

IV

Q Q= ⋅ = ⋅ =

+ +

Relativno izraženo variranje podataka oko medijane iznosi 35,15%.

Fakultet političkih nauka: Riješeni zadaci iz Statistike

17

MJERE OBLIKA DISTRIBUCIJE

Koeficijent asimetrije:

( )3

31

1 3888,9177,78

50

n

i ii

c X fN

µ=

= ⋅ − ⋅ = = ∑

33 3 3

77,780,33

6,16

µασ

= = = ⇒ desno asimetrična distribucija

Koeficijent spljoštenosti:

( )4

41

1 185155,763703,11

50=

= ⋅ − ⋅ = = ∑

n

i ii

c X fN

µ

44 4 4

3703,112,57 3

6,16

µασ

= = = < ⇒ široka (spljoštena distribucija)

Poligon apsolutnih frekvencija

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

2,5 7,5 12,5 17,5 22,5 27,5

Radni staž (centri intervala)

Bro

j rad

nika

Fakultet političkih nauka: Riješeni zadaci iz Statistike

18

IV Regresiono-korelaciona analiza - Linearna regresija

Primjer 1:

Podaci o obimu i troškovima proizvodnje u jednom preduzeću za period od 6 godina dati su u tabeli:

godina obim proizvodnje (000 kom)

troškovi proizvodnje (000 KM)

1 4 100 2 6 146 3 8 178 4 10 220 5 12 256 6 13 280

a) Nacrtati oblak rasipanja. b) Pomoću koeficijenta proste linearne korelacije ispitati smjer i jačinu veze izmeñu obima i troškova proizvodnje. c) Ocijeniti linearnu regresionu funkciju i objasniti parametre. d) Ako je obim proizvodnje 15 000 komada, kolike troškove proizvodnje možemo očekivati?

Rješenje:

x y yx ⋅ 2x 2y

4 100 400 16 10000 6 146 876 36 21316 8 178 1424 64 31684

10 220 2200 100 48400 12 256 3072 144 65536 13 280 3640 169 78400

suma: 53 1180 11612 529 255336

Fakultet političkih nauka: Riješeni zadaci iz Statistike

19

a) Oblak rasipanja

b) 198,74

0,999610,2 3876,91

= = =⋅ ⋅

XY

X Y

Cr

σ σ

Obzirom da je koeficijent korelacije pozitivan, veza izmeñu obima i troškova proizvodnje je direktna. Kako je pomenuti koeficijent blizak 1, radi se o veoma jakoj vezi.

91,387667,1966

255336

2,1083,86

529

222

2

222

2

=−=−=σ

=−=−=σ

∑

∑

YN

y

XN

x

iY

iX

116128,83 196,67 198,74

6i i

XY

x yC X Y

N

⋅= − ⋅ = − ⋅ =∑

c) iii xxbay ⋅+=⋅+= 49,196,24ˆ

2

198,7419,49 196,67 19,49 8,83 24,6

10,2XY

X

Cb a Y b X

σ= = = = − ⋅ = − ⋅ =

Ako obim proizvodnje iznosi 0 komada trošak je 24600 KM (fiksni trošak). Ako obim proizvodnje poraste za 1 komad trošak raste za 19,49 KM. d) ˆ 24,6 19,49 24,6 19,49 15 316,95i iy x= + ⋅ = + ⋅ =

Za obim proizvodnje 15000 komada, očekujemo da troškovi proizvodnje iznose 316 950 KM.

0

50

100

150

200

250

300

0 5 10 15

troš

kovi

pro

izvo

dnje

obim proizvodnje

Fakultet političkih nauka: Riješeni zadaci iz Statistike

20

Primjer 2:

Za dvije pojave: troškovi reklame – x i obim prodaje – y, kod 10 različitih tržnih centara pratili smo kretanje i dobili podatke:

Trošak reklame - x

Obim prodaje - y

18 55 7 17

14 36 31 85 21 62 5 18

11 33 16 41 26 63 29 87

a ) Nacrtati dijagram rasipanja. b ) Odrediti linearnu regresionu funkciju i ispitati jačinu veze. c ) Za trošak reklame 30, koliki obim prodaje očekujete? d ) Koristeći koeficijent korelacije ranga utvrditi jačinu veze.

Rješenje:

Trošak reklame

- x

Obim prodaje

- y yx ⋅⋅⋅⋅ 2x

2y xr yr yx rr −−−− 2)( yx rr −−−−

18 55 990 324 3025 6 6 0 0 7 17 119 49 289 2 1 1 1

14 36 504 196 1296 4 4 0 0 31 85 2635 961 7225 10 9 1 1 21 62 1302 441 3844 7 7 0 0

5 18 90 25 324 1 2 -1 1 11 33 363 121 1089 3 3 0 0 16 41 656 256 1681 5 5 0 0 26 63 1638 676 3969 8 8 0 0 29 87 2523 841 7569 9 10 -1 1

178 497 10820 3890 30311 4

Fakultet političkih nauka: Riješeni zadaci iz Statistike

21

a)

b) Regresiona jednačina:

iii xxbay ⋅+=⋅+= 73,206,1ˆ

06,18,1773,27,4973,216,72

34,1972

=⋅−=⋅−==== XbYaC

bX

XY

σ

34,1977,498,176

10820 =⋅−=⋅−⋅

= ∑ YXN

yxC ii

XY

8,1710

17817,49

10

4971 10

1

10

1==⋅===⋅= ∑∑

== ii

ii x

Nxy

Ny

01,5617,4910

30311

16,728,1710

3890

222

2

222

2

=−=−=

=−=−=

∑

∑

YN

y

XN

x

iY

iX

σ

σ

9808,096197,001,56116,72

34,197 2

22

22 =⇒=

⋅=

⋅= r

Cr

YX

XY

σσ

96,2% ukupnog varijabiliteta obima prodaje može se objasniti uticajem varijabiliteta izdataka na reklame. c) 30=ix

96,823073,206,1ˆ =⋅+=iy

Ukoliko se na reklamu utroši 30 nj, procijenjeni obim prodaje će biti 82,96 kj posmatranog proizvoda.

d) 2

3 3

6 6 41 1 0,976

10 10

d

N Nρ

⋅ ⋅= − = − =− −∑ - jaka i direktna veza.

Primjer 3:

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

5 7 11 14 16 18 21 26 29 31

obim

pro

daje

trošak reklame

Fakultet političkih nauka: Riješeni zadaci iz Statistike

22

Ispitivanje prosječne mjesečne prodaje i test psihofizičkih sposobnosti prodavača dali su rezultate:

mjesečna prodaja ( u 1000 n. j.)

rezultati testa

10 55 11 62 29 80 12 62 20 70 13 62 24 75 18 80 15 65

Ispitati smjer i jačinu veze izmeñu zadanih pojava koristeći:

a) Linearni oblik veze. b) Koeficijent korelacije ranga.

Rješenje:

y x yx ⋅ 2y 2x yr xr y xd r r= − 2d

10 55 550 100 3025 1 1 0 0 11 62 682 121 3844 2 3 -1 1 29 80 2320 841 6400 9 8,5 0,5 0,25 12 62 744 144 3844 3 3 0 0 20 70 1400 400 4900 7 6 1 1 13 62 826 169 3844 4 3 1 1 24 75 1800 576 5625 8 7 1 1 18 80 1440 324 6400 6 8,5 -2,5 6,25 15 65 975 225 4225 5 5 0 0

∑ 152 611 10.717 2.900 42.107 10,5

a) 2 2

22 2

44,11570,7579 0,87

36,95 69,50XY

Y X

Cr r

σ σ= = = ⇒ =

⋅ ⋅⇒ direktna i jaka veza.

10,717

67,89 16,89 44,11579

i iXY

x yC X Y

N

⋅= − ⋅ = − ⋅ =∑

22 2 2

22 2 2

290016,89 36,95

9

42,10767,89 69,50

9

iY

X

yY

N

xX

N

σ

σ

= − = − =

= − = − =

∑

∑

152

16,899

iyY

N= = =∑

611

67,899

ixX

N= = =∑

Fakultet političkih nauka: Riješeni zadaci iz Statistike

23

b) 2

3 3

6 6 10,51 1 0,9125

9 9

d

N Nρ

⋅ ⋅= − = − =− −∑ ⇒ direktna i jaka veza.

Primjer 4: U sljedećoj tabeli posmatramo kretanje variabli X i Y. Y je zavisna varijabla.

Godine X Y 1999 0 2 2000 3 5 2001 5 3 2002 8 6 Ukupno 16 16

Poznate su sljedeće vrijednosti: atimetička sredina varijable X jednaka je 4, varijansa od X jednaka je 8,5, aritmetička sredina variable Y jednaka je 4, varijansa od Y jednaka je 2,5 i Cxy=4.

a) Odediti jednačinu regresione prave b) Izračunati koficijent determinacije i objasniti ga.

Rješenje: a) iii xxbay ⋅+=⋅+= 47,012,2ˆ

12,2447,0447,05,8

42

=⋅−=⋅−==== XbYaC

bX

XY

σ

b) 7529,096197,05,25,8

42

22

22 =⇒=

⋅=

⋅= r

Cr

YX

XY

σσ⇒ direktna i jaka veza.

Fakultet političkih nauka: Riješeni zadaci iz Statistike

24

V Dinamička analiza i mjerenje evolucije (apsolutne promjene, relativne promjene, indeksi, stopa rasta)

Primjer 1:

Dati su podaci o kretanju godišnje potrošnje šećera po domaćinstvu na jednom području za period 2005-2010:

godina potrošnja šećera (kg)

2005 34 2006 34,5 2007 35,1 2008 37,4 2009 38,7 2010 39,1

a) Izračunati i objasniti apsolutne promjene. b) Izračunati i objasniti relativne promjene. c) Izračunati i objasniti bazne indekse sa bazom u 2005. i 2008. godini. d) Izračunati i objasniti lančane indekse. e) Izračunati i objasniti prosječnu godišnju stopu rasta. f) Ako se nastavi ista tendencija koliki nivo potrošnje šećera po domaćinstvu možemo očekivati 2017. godine? g) Ako se nastavi ista tendencija za koliko godina će potrošnja šećera po domaćinstvu porasti za 50% u odnosu na 2010. godinu?

Rješenje:

t Vt 1t / tV∆ −

1

1

t / t

t

V

V

∆ −

−(%)

0t /I (2005=100)

0t /I (2008=100)

'05 34 - - 100 90,91 - '06 34,5 0,5 1,47 101,47 92,24 101,47 '07 35,1 0,6 1,74 103,23 93,85 101,74 '08 37,4 2,3 6,55 110 100 106,55 '09 38,7 1,3 3,48 113,82 103,48 103,48 '10 39,1 0,4 1,03 115 104,54 101,03

a) Apsolutne promjene: 1 1t / t t tV V V∆ − −= − Npr., potrošnja šećera po domaćinstvu se povećala za 2,3 kg u 2008. u odnosu na 2007. godinu.

b) Relativne promjene: ( )1 1

1 1

100t / t t t

t t

V V V

V V

∆ − −

− −

−= ⋅

Npr., potrošnja šećera po domaćinstvu porasla je za 6,55% u 2008. u odnosu na 2007.

/ 1t tI −

Fakultet političkih nauka: Riješeni zadaci iz Statistike

25

c) Bazni indeksi: 00

100tt /

VI

V= ⋅

Npr., potrošnja brašna po domaćinstvu je u 2007. godini u odnosu na baznu 2005. godinu porasla za 3,23% a opala za 6,15% u odnosu na baznu 2008. godinu.

d) Lančani indeksi: / 11

100tt t

t

VI

V−−

= ⋅

Npr., potrošnja brašna po domaćinstvu je u 2010. porasla za 1,03% u odnosu na prethodnu, 2009. godinu. e)

1 6 1

1

39,11 1 0,0283

34n

nV

rV

− −= − = − =

Potrošnja brašna je rasla, u prosjeku, za 2,83% godišnje.

f)

( )

( )

20171 8 1

1 2010

72017

2010

7 72017 2010

1

1

1 39,1 1,0283 47,53

Nn

V Vr

V V

Vr

V

V V r kg

− −+ = =

= +

= + = ⋅ =

e)

1

1

1

1 1

1

1

1

2010 2010

1 log

1log( 1) log

1

log log1

log( 1)

log log1

log( 1)

log1,5 log1

log1,0283

15,5

nn n

n

n

n

n

V Vr

V V

Vr

n V

V Vn

r

V Vn

r

V Vn

n

−−

+ = =

+ = ⋅−−− =

+−= +

+⋅ −= +

=

Očekujemo da će se sredinom 2024. godine potrošnja brašna po domaćinstvu uvećati za 50%.

Fakultet političkih nauka: Riješeni zadaci iz Statistike

26

Primjer 2: 2000. godine utvrñen je nacionalni dohodak po glavi stanovnika u iznosu 796 dolara. Prema dugoročnoj prognozi, nacionalni dohodak po glavi stanovnika će 2017. godine biti za 167% veći u odnosu na 2000. godinu.

a ) Koliki bi trebao iznositi per capita dohodak u 2017. godini? b ) Uz koju prosječnu godišnju stopu je prognoziran porast? c ) Koje bi godine dohodak per capita mogao dostići nivo 2500 dolara, računajući od 2000. Godine, uz nastavak iste tendencije?

Rješenje:

a) 2000 796V =

2017 20002 67 2125 32V , V ,= ⋅ =

b) 18 11

1

2125,321 1 0,05947

796n

nV

rV

−−= − = − =

Prosječna godišnja stopa rasta je 5,947%. c)

1

1

1

1 1

1

1

1

1 log

1log( 1) log

1

log log1

log( 1)

log log1

log( 1)

log 2500 log 7961

log1,05947

20,8 21

nn n

n

n

n

n

V Vr

V V

Vr

n V

V Vn

r

V Vn

r

n

n

−−

+ = =

+ = ⋅−−− =

+−= +

+−= +

= ≈

Ako se nastavi ista tendencija, nacionalni dohodak po glavi stanovnika će dostići nivo 2500 dolara 2020. godine.

Fakultet političkih nauka: Riješeni zadaci iz Statistike

27

Primjer 3: Za tri proizvoda u periodu 2009 i 2010. godina poznate su cijene i količine:

proizvod količine cijene 2009 2010 2009 2010

I 19 25 2 3 II 16 19 6 9 III 20 13 7 11

a ) Izračunati i objasniti agregatni indeks vrijednosti. b) Primjenom metode agregata i odgovarajućih pondera naći Laspeyres-ov indeks cijena i Paache-ov indeks količina. Interpretirati dobivene podatke. Provjeriti osobinu dekompozicije indeksa vrijednosti.

Rješenje:

q0 q1 p0 p1 p0q0 p1q1 p1q0

19 25 2 3 38 75 57 16 19 6 9 96 171 144 20 13 7 11 140 143 220 ∑ 274 389 421

a ) 1/0

1 1

0 0

389100 100 141,97

274v

p qI

p q

⋅= ⋅ = ⋅ = ⇒

⋅

∑

∑Vrijednost je 2010. u odnosu na 2009. godinu

porasla za 41,97%.

b ) 1/0

1 0

3

0 01

421100 100 153,65

274p

j

p qL

p q=

⋅= ⋅ = ⋅ = ⇒

⋅

∑

∑Cijene su po Laspeyres-u porasle 2010. u

odnosu na 2009. za 53,65%.

1/0

3

1 11

3

1 01

389100 100 92,4

421j

q

j

p q

Pp q

=

=

⋅= ⋅ = ⋅ = ⇒

⋅

∑

∑Količine su po Pashe-u opale 2010. u odnosu na

2009. za 7,6%. Provjera dekompozicije indeksa vrijednosti: 92 4 153 65

141 97100

, ,, OK

⋅ = →

Fakultet političkih nauka: Riješeni zadaci iz Statistike

28

Primjer 4: U sljedećoj tabeli su prikazani podaci o stopi promjene dolaska turista (u %) u Bosnu i Hercegovinu u periodu 2007-2010.

2008/2007 2009/2008 2010/2009

Stopa promjene 21,22% 21,31% 14,36%

a) Izračunajte stopu promjene u periodu 2010/2008. b) Izračunajte stopu promjene u periodu 2010/2007. Komentarišite dobijene rezultate

Rješenje:

a) Potrebno je koristiti indekse na bazi 1 i pravilo tranzitivnosti:

2010/2008 2010/2009 2009/2008 1,1436 1,2131 1,3873i i i= ⋅ = ⋅ =

Stopa rasta u periodu 2010/2008. je bila 38,73% b) 2010/2007 2010/2009 2009/2008 2008/20071,1436 1,2131 1,2122 1,6817i i i i= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

Stopa rasta u periodu 2010/2007 je bila 68,17%.

Fakultet političkih nauka: Riješeni zadaci iz Statistike

29

VI Dinami čka analiza – linearni trend i metoda pokretnih prosjeka Primjer 1: U tabeli je naveden broj zaposlenih u budžetskim organizacijama (stanje krajem godine):

godina broj zaposlenih u 000

2002 50 2003 46,5 2004 43 2005 43,5 2006 39,9 2007 38,1 2008 36,6 2009 38,7 2010 36,7

a) Nacrtati aritmetički dijagram (oblak rasipanja). b) Kako glasi jednačina linearnog trenda? Liniju trenda ucrtati na grafikon. c) Koliki broj zaposlenih bi se mogao očekivati krajem 2012. godine ako se nastavi ista tendencija?

Rješenje:

t y x yx ⋅ 2x tiy

2002 50 -4 -200 16 47,7 2003 46,5 -3 -139,5 9 46,125 2004 43 -2 -86 4 44,55 2005 43,5 -1 -43,5 1 42,975 2006 39,9 0 0 0 41,4 2007 38,1 1 38,1 1 39,825 2008 36,6 2 73,2 4 38,25 2009 38,7 3 116,1 9 36,675 2010 36,7 4 146,8 16 35,1

suma 373 0 -94,5 60 a)

Fakultet političkih nauka: Riješeni zadaci iz Statistike

30

b) iiti xxbay ⋅−=⋅+= 575,144,41

575,160

5,94

44,419

373

0

2−=−=

⋅=

===

=

∑∑

∑

i

ii

i

x

yxb

ya

x

Tumačenje koeficijenata trenda: a: Ocijenjeni broj zaposlenih u budžetskim organizacijama u 2006. godini bio bi 41440 (stvarno izmjereni broj zaposlenih je 39900). b: Svake godine, u prosjeku, broj zaposlenih opadne za 1575.

c) 2012 95,316575,14,416 =⋅−⇒=⇒ ix - U 2012. godini trebalo bi biti 31950 zaposlenih.

Primjer 2:

30

35

40

45

50

55

2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010

Bro

j zap

osle

nih

Aritmeti čki dijagram

30

35

40

45

50

55

2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

Stvarne vrijednosti

Ocijenjene vrijednosti (trend)

Fakultet političkih nauka: Riješeni zadaci iz Statistike

31

U periodu 2005-2010. g. pratili smo iznose investicija za zaštitu okoliša u prerañivačkoj industriji FBiH i dobili slijedeće podatke:

Godina Investicije za zaštitu

okoliša (u 000 KM)

2005 38 2006 39 2007 45 2008 49 2009 50 2010 53

a) Nacrtati oblak rasipanja. b) Ocijeniti i ucrtati linearni trend. c) Koliki nivo investicija za zaštitu okoliša se može očekivati 2014. godine. d) Isključiti trend i objasniti podatke.

Rješenje: a )

b )

godina y x x·y x2 yt 100⋅

ti

i

y

y

2005 38 -5 -190 25 37,67 100,88 2006 39 -3 -117 9 40,87 95,43 2007 45 -1 -45 1 44,07 102,12 2008 49 1 49 1 47,27 103,67 2009 50 3 150 9 50,47 99,08 2010 53 5 265 25 53,67 98,76

suma 112 70 37,67

∑∑==

⋅==⇒=6

1

6

1

10

ii

ii y

NYax 60,1

70

112667,45

6

2746

1

2

6

1 ==⋅

===∑

∑

=

=

ii

iii

x

yxb

iti xy ⋅+= 60,1667,45

30

35

40

45

50

55

2005 2006 2007 2008 2009 2010

Inve

stic

ije z

a za

štitu

oko

liša

Aritmeti čki dijagram

Fakultet političkih nauka: Riješeni zadaci iz Statistike

32

Tumačenje koeficijenata trenda: a: Sredinom perioda 2007-2008. g. ocijenjeni iznos investicija bio bi 45667 KM. b: Svakih 6 mjeseci (pola godine) iznos nvesticija za zaštitu okoliša raste u prosjeku za 1600 KM.

c ) i2014 x 13⇒ = ⇒ 47,661360,1667,45 =⋅+=tiy

U 2014. godini očekivani iznos investicija za zaštitu okoliša je 66.470 KM

d ) 100⋅ti

i

y

y- isključenje trenda

U periodima u kojima je graf isključenja trenda iznad linije 100, rezidium je imao pozitivan uticaj (stvarne vrijednosti su veće od ocijenjenih) a u periodima u kojima je graf ispod linije 100, rezidium je imao negativan uticaj (stvarne vrijednosti su manje od ocijenjenih).

30

35

40

45

50

55

2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

Stvarne vrijednosti

Ocijenjene vrijednosti (trend)

90

92

94

96

98

100

102

104

106

2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

Fakultet političkih nauka: Riješeni zadaci iz Statistike

33

Primjer 3: Poznati su podaci o broju saobraćajnih prekršaja na magistralnom putu M123 u periodu od 2000-2008. godine:

Godine Broj

saobraćajnih prekršaja

2000 420 2001 410 2002 380 2003 330 2004 300 2005 290 2006 310 2007 280 2008 300

a ) Nacrtati aritmetički dijagram. b ) Grafički, primjenom metoda pokretnih prosjeka, odrediti trend.

Rješenje:

a )

230

250

270

290

310

330

350

370

390

410

430

2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

Bro

j pre

krša

ja

Aritmeti čki dijagram

Fakultet političkih nauka: Riješeni zadaci iz Statistike

34

b )

godina y y 2000 420 2001 410 403,33 2002 380 373,33 2003 330 336,67 2004 300 306,67 2005 290 300,00 2006 310 293,33 2007 280 296,67 2008 300

Pokretna sredina neparnog (trećeg) reda (grupišemo po tri podatka) 3

11 +− ++= iiii

yyyy -

dobijemo izglačanu liniju, jer smo isključili uticaj rezidiuma.

Primjenom metode pokretnih sredina nije moguće predviñanje, što je osnovni nedostatak grafičke metode odreñivanja trenda.

230

250

270

290

310

330

350

370

390

410

430

1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010

Stvrarne vrjednosti

Trend (pokretni prosjeci)