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DESCRIPTION
Riješeni zadaci
Neodređeni integral
Definicija neodređenog integrala:
Ako su funkcije y=f ( x ) i y=F(x) tako da vrijedi:
F '( x )=f ( x )
Tada je funkcija y=f(x) derivacija funkcije y=F(x), a za funkciju y=F(x) se kaže da je primitivna funkcija(antiderivacija) funkcije y=f(x).Vrijedi također:
( F ( x )+C )′=f (x )gdje je C proizvoljna konstanta. Skup svih primitivnih funkcija zove se neodređeni integral funkcije y=f(x). To se zapisuje
∫ f ( x )dx=F ( x )+C
Tablica osnovnih integrala:
∫ xα dx=xα+1
α+1+C za α≠−1
za α=−1 imamo
∫ x-1 dx=∫1x
dx=ln|x|+C (1)
∫ dx
a2+x2=1
aarctan
xa+C posebno za a=1 ∫ dx
1+x2=arctan x+C
(2)
∫ dx
a2−x2= 1
2aln| a+x
a−x|+C posebno za a=1 ∫ dx
1−x2=1
2ln|1+x
1−x|+C
(3)
∫ dx
x2−a2= 1
2 aln|x−a
x+a|+C posebno za a=1 ∫ dx
x2−1=1
2ln|x−1
x+1|+C
(4)
∫ dx
√ x2+a2=ln|x+√ x2+a2|+C za a =1 ∫ dx
√ x2+1=ln|x+√ x2+1|+C
(5)
∫ dx
√ x2−a2=ln|x+√ x2−a2|+C za a =1 ∫ dx
√ x2−1=ln|x+√ x2−1|+C
(6)
(7)
1
∫ dx
√a2−x2=arcsin
xa+C posebno za a=1 ∫ dx
√1−x2=arcsin x+C
∫ ax dx= ax
ln a+C posebno za a=e ∫e x dx=ex+C
(8)
∫sin xdx=−cos x+C (9)
∫cos xdx=sin x+C (10)
∫ dx
cos2 x=tan x+C
(11)
∫ dx
sin2 x=−cot x+C
(12)
Osnovna pravila za integriranje
Integral zbroja: ∫( f ( x )+g (x ))dx=∫ f ( x )dx+∫ g ( x )dx (13)
Integral razlike: ∫( f ( x )−g( x ))dx=∫ f ( x )dx−∫ g( x )dx (14)
Integral funkcije pomnožene s konstantom: ∫C⋅f ( x )dx=C∫ f ( x )dx (15)
Integral diferencijala: ∫ d ( f ( x ))=∫ f '( x )dx=f ( x )+C (16)
Diferencijal integrala: d∫ f ( x )dx=d ( F( x )+C )=F' ( x )dx =f(x) (17)
ZADACI
Zadaci su riješeni postepeno tako da student može pratiti kompletni postupak. Najlakši zadaci su označeni s dvije zvijezdice (**), srednji s jednom (*) a složeniji nemaju oznake pored broja zadatka.
Elementarno integriranje
Sljedeće zadatke riješi svodeći na tablične integrale transformirajući podintegralnu funkciju i koristeći osnovna pravila za integriranje:
1. **
∫ x5 dx= x6
6+C
2
2. **
∫ ( x2+2x−3 ) dx=∫ x2 dx+∫2 xdx−∫3 dx=∫ x2 dx+ 2∫ xdx−3∫ dx= x3
3+2
x2
2−3 x+C
3. **
∫√x dx=∫ x12 dx= x
12+1
12+1
+C= x32
32
+C=23√ x3+C
4. **
∫ x3√x dx=∫ x⋅x
13 dx=∫ x
1+ 13 dx=∫ x
43 dx= x
43+1
43+1
+C= x73
73
+C=37
3√x7+C=37
x2 3√x+C
5.
∫ √x √x √x dx=∫(x (x⋅x12 )
12 )
12
dx=∫(x (x32 )
12 )
12
dx=∫ (x⋅x34 )
12
dx=
=∫ (x74 )
12
dx=∫ x78 dx=x
78
+1
78
+1+C=x
158
158
+C=815
8√ x15+C
6. **
∫ 1x3
dx=∫ x−3 dx= x−3+1
−3+1+C= x−2
−2+C=− 1
2x2+C
7. **
∫ 13√ x
dx=∫ x−1
3 dx= x−1
3+1
−13+1
+C= x23
23
+C=32
3√ x2+C
8. **
∫ dxx √x
=∫ dx
x⋅x12
=∫ dx
x32
=∫ x−3
2 dx= x−3
2+1
−32+1
+C= x−1
2
−12
+C=− 2√x
+C
9. **
3
∫ ( 2+ x2 )3dx=∫ (8+12 x2+6 x4+x6) dx=∫8 dx+∫12 x2 dx+∫ 6 x 4 dx+∫ x6dx=
¿ 8∫ dx+12∫ x2dx+6∫ x4 dx+∫ x6 dx=8 x+12x3
3+6
x5
5+x7
7+C=
¿ 8 x+4 x3+65
x 5 +x7
7+C
10.
∫ x2 (3−x )4 dx=∫ x2 ((40 )⋅34+(4
1 )⋅33 (−x )+(42 )⋅32 (−x )2+(43 )⋅3 (−x )3+(4
4 )⋅(−x )4)dx=
¿∫ x2 (81−108 x+54 x2−12 x3+x4 ) dx=∫ (81 x2−108 x3+54 x4−12 x5+x6) dx=
¿ 81x3
3−108
x4
4+54
x5
5−12
x6
6+x7
7+C=27 x3−27 x4+54
5x5−2 x6+x7
7+C
11. *
∫(x4−√ x+x3√ x+1
x2 )dx=∫ (x4−x12 + x
43 +x−2)dx=x5
5−x
32
52
+ x73
73
+x−1
−1+C=
¿ x5
5−2
5√ x3+3
73√x7−1
x+C
12. *
∫√x−23√ x2+1
4√xdx=∫( x
12
x14
−2x
23
x14
+1
x14 )dx=∫(x
14 −2x
512 +x
−14 )dx=
¿ x54
54
−2x
1712
1712
+x
34
34
+C=45
4√x5−2417
12√x17+43
4√ x3+C
13. **
∫ x3−2 x+4x
dx=∫(x2
x−2 x
x+4
x )dx=∫(x−2+4x )dx=∫ xdx−2∫dx+4∫1
x=
¿ x2
2−2 x+4 ln x+C
14. *
4
∫ ( x+1 )2
√xdx=∫ x2+2 x+1
x12
dx=∫ (x32 +2 x
12 +x
−12 )dx=x
52
52
+2x
32
32
+x12
12
+C=
¿25
√x5+43
√ x3+2√ x+C=√x (25 x2+43
x+2)
15.
∫(1−1x2 )√ x√ xdx=∫ (1−x−2 )(x⋅x
12 )1
2 dx=∫ (1−x−2 )(x32 )1
2 dx=∫ (1−x−2) x34 dx=
¿∫ (x34 −x
−54 )dx=x
74
74
−x−1
4
−14
+C=47
4√ x7+44√ x
+C
16. *
∫ √ x2+2x+1x
dx=∫ √( x+1 )2
xdx=∫ x+1
xdx=∫(1+ 1
x )dx=∫ dx+∫ 1x
dx=x+ ln x+C
17. *
∫ √x4+x−4+2x3
dx=∫√ ( x2+x−2 )2
x3=∫ x2+x−2
x3dx=∫(1x +x−5)dx=ln x+x−4
−4+C=
¿ ln x−14 x4
+C
18. **
∫ x2
x2+1dx=∫ x2+1−1
x2+1dx=∫( x2+1
x2+1− 1
x2+1 )dx=∫(1− 1x2+1 )dx=x−arctan x+C
19. **
∫ x2
1−x2dx=−∫1−x2−1
1−x2dx=−∫(1−1
1−x2 )dx=−x+12
ln1+ x1−x
+C
koristili smo tablicni integral (3 )
20. **
∫ x2+2x2+¸1
dx=∫ x2+1+1x2+¸1
dx=∫( x2+1x2+ ¸1
+ 1x2+¸1 )dx=∫(1+ 1
x2+¸1 )dx=x+arctan x+C
21. **
5
∫ x2+3x2−1
dx=∫ x2−1+4x2−¸1
dx=∫(x2−1x2−¸1
+4x2−¸1 )dx=∫(1+4
x2−¸1 )dx=x−42
ln1+x1−x
+C=
¿ x−2 ln1+x1−x
+C= x+2 lnx−1x+1
+C
22.
∫1
a2−x2dx=
1a ∫ a
(a−x )(a+ x )dx=
1a ∫ a−x+x
( a−x )(a+x )dx=
¿1a∫(a−x
( a−x )(a+x )+
x(a−x )(a+x ) )dx=
1a ∫(1
a+x+
a+ x−a(a−x )(a+x ) )dx=
¿1a∫(1a+x
+a+x(a−x )(a+x )
−1(a− x )( a+x ) )dx=1
a ∫(1a+x+1
( a−x )−a
(a2−x2) )dx=
¿1a [∫d (a+x )−∫d (a−x )−∫ a
(a2−x2)dx ]=1
a[ ln (a+x )−ln ( a−x ) ]−a
a∫ 1
(a2−x2)dx=
¿1a
lna+xa−x
−∫1
( a2−x2 )dx
ako uspore d imo poč e tak i kraj :
∫1a2−x2
dx=1a
lna+xa−x
−∫1( a2−x2)
dx
2∫1
( a2−x2 )dx=1
aln
a+xa− x
∫1
( a2−x2)dx=1
2 aln
a+xa−x
+C
23. *
∫ x3+ x−2
x2+1dx=∫ x ( x2+1 )−2
x2+1dx=∫(x ( x2+1 )
x2+1−2
x 2 +1 )dx=∫ xdx−2∫ 1
x 2 +1dx=
¿ x2
2−2 arctan x+C
24. *
∫ √1+x2+√1−x2
√1−x 4dx=∫ √1+x2+√1−x2
√1+x2√1−x2dx=∫(√1+x2
√1+x2 √1−x2+√1−x2
√1+x2 √1−x2 )dx=
¿∫1
√1−x2dx+∫1
√1+x2dx=arcsin x+ln|x+√1+x2|+C
25. **
6
∫ ( 3x−4 x ) dx=∫ 3x dx−∫ 4x dx= 3x
ln 3− 4x
ln 4+C
26. **
∫5x 3−x dx=∫ 5x
3xdx=∫( 5
3 )x
dx=( 5
3 )x
ln53
+C
27. *
∫ ( 2x+5x )2dx=∫ (22 x+2⋅2x⋅5x+52 x ) dx=∫ (4 x+2⋅10x+25x ) dx=
¿∫ 4x dx+2∫ 10x dx+∫25x dx=4x
ln 4+2
10x
ln 10+25x
ln 25+C
28.
∫2x+1−5x−1
10xdx=∫2x+1−5x−1
2x5xdx=∫2x+1
2x 5xdx−∫5x−1
2x 5xdx=∫2
5xdx−∫5−1
2xdx=
¿2∫(15 )
x
dx−15∫(12 )
x
dx=2(15 )
x
ln15
−15
(12 )x
ln12
+C=−2⋅5−x
ln5+¿2− x
5 ln 2+C
29.
∫ e3 x+1ex+1
dx=∫ (e x+1 ) (e2 x−ex+1 )ex+1
dx=∫ ( e2 x−e x+1 ) dx=∫ ( e2 )x dx−∫ ex dx+∫dx=
¿( e2 )x
ln e2−ex+x+C=e2 x
2−ex+x+C
30. **
∫ (2 x−3 sin x+cos x ) dx=2∫ xdx−3∫ sin xdx+∫ cos xdx=2x2
2−3 (−cos x )+sin x+C=
¿ x2+3 cos x+sin x+C
31. *
∫ √1−sin2 x dx=∫√sin2 x+cos2 x−2 sin x cos x dx=∫√ (sin x−cos x )2 dx=
¿∫± (cos x−sin x ) dx=± (sin x+cos x )+C
32. **
∫ tan2 xdx=∫sin2 xcos 2 x
dx=∫ 1−cos2 xcos 2 x
dx=∫ 1cos 2 x
dx−∫ cos2 xcos 2 x
dx=tan x−∫dx=tan x−x+C
33. **
7
∫cot2 xdx=∫cos2 xsi n 2 x
dx=∫ 1−sin2 xsi n 2 x
dx=∫ 1si n2 x
dx−∫sin2 xsi n 2 x
dx=−cot x−∫ dx=−cot x−x+C
34. *
∫1−cos2 x1+cos 2x
dx=∫ 1−cos2 x+sin2 x1+cos2 x−sin2 x
dx=∫2sin2 x2cos2 x
dx=∫1−cos2 xcos2 x
dx=
¿∫1cos2 x
dx−∫dx=tan x−x+C
Metoda supstitucije I
Ako je integral oblika
∫ f (ax+b )dx
rješava se uvođenjem nove varijable(supstitucijom):
ax+b=t
otuda deriviranjam(difrenciranjem) dobijemo
a dx=dt odnosno dx=1
adt
35. **
∫ (5−2 x )2 dx=¿|5−2 x=t /d ¿||−2 dx=dt ¿|¿¿
¿¿36. **
∫ dx
( x−2 )3=¿|x−2=t /d ¿|¿
¿¿¿
37. **
8
∫ √2 x−3 dx=¿|2 x−3=t /d ¿||2 dx=dt ¿|¿¿
¿¿¿
38. **
∫ 3√1−x dx=¿|1−x=t /d ¿||−dx=dt ¿|¿¿
¿¿¿39. **
∫ dx
√2−5 x=¿|2−5 x=t /d ¿||−5 dx=dt ¿|¿
¿¿¿¿
40. *
∫ dx
(5 x−2 )52
=¿|5x−2=t /d ¿||5 dx=dt ¿|¿¿
¿¿¿
41. *
∫5√1−2 x+x2
1−xdx=∫ 5√(1−x )2
(1−x )5dx=∫1
5√ (1−x )3dx=∫ (1−x )
−35 dx=¿|1−x=t /d ¿||−dx=dt ¿|¿
¿¿¿¿¿
¿
¿
42. *
9
∫ x
√2 x+5dx=¿|2 x+5=t /d 2 dx=dt ¿|¿
¿¿¿¿
¿¿
43.
∫ x3√x−2 dx=|x−2=t /d dx=dt x=t +2|=∫ ( t+2 ) t
13 dt=∫(t
43 +2 t
13 )dt=
¿ t73
73
+2t
43
43
+C=33√t7
7+3
3√t4
2+C=
33√ (x−2 )7
7+
33√( x−2 )4
2+C
44.
∫ x+55√1−2 x
dx=¿|1−2 x=t /d −2dx=dt ¿|¿¿
¿¿
¿¿
45.
∫ x2−14√x+5
dx=¿|x+5=t dx=dt ¿|¿¿
¿¿¿
¿¿
46. *
10
∫1√x−1−√x−2
dx=∫ 1√x−1−√ x−2
√x−1+√x−2√x−1+√x−2
dx=∫ √ x−1+√x−2( x−1 )−( x−2 )
dx=
=∫ (√ x−1+√x−2 ) dx=∫√x−1dx+∫√ x−2 dx=¿|x−1=t ¿|¿¿
¿
¿
¿
47. *
∫ x−2x+3
dx=∫ x+3−5x+3
dx=∫(x+3x+3
−5x+3 )dx=∫ dx−5∫ 1
x+3dx=x−¿|x+3=t ¿|¿
¿¿¿¿¿¿
¿¿
48. *
∫2 x−31−x
dx=−∫ 2x−2−1x−1
dx=−∫2 ( x−1 )−1x−1
dx=−∫(2−1x−1 )dx=−2∫ dx+∫ 1
x−1dx=
=−2 x+¿|x−1=t ¿|¿¿
¿¿¿
¿
49. **
∫ dx
2 x2+1=∫ dx
2(x2+12 )
=12∫
dx
(x2+12 )
=¿|sada imamo tablicni ¿|¿¿
¿¿
¿
¿
50. **
∫ dx
x2+9=¿| imamo tablicni ¿|¿
¿¿
51. **
∫ dx
x2+3=¿| imamo tablicni ¿|¿
¿¿
11
52. **
∫ dx
2+3 x2=∫dx
3(x2+23 )
=13 ∫dx
( x2+23 )
=¿|sada imamo tablicni ¿|¿¿
¿¿
¿
¿
53. *
∫ dx
2−3 x2=∫ dx
3(23−x2)
=13∫
dx
(23 −x2)=¿|sada imamo tablicni ¿|¿
¿¿¿
¿
¿
54. **
∫ 1
√ x2−4dx=¿|imamo tablicni ¿|¿
¿¿¿¿
55. **
∫ 1
√ x2+7dx=¿|imamo tablicni ¿|¿
¿¿¿¿
56. *
12
∫ dx
√3 x2−2=∫dx
√3(x2−23 )
=∫ dx
√3√(x2−23 )
=1
√3∫dx
√(x2−23 )
=¿|imamo tablicni ¿|¿¿
¿¿
¿
¿
57. **
∫ dx
√5−x2==¿|imamo tablicni ¿|¿
¿¿¿
58. *
∫ dx
√3−4 x2=∫dx
√4 (34 −x2)=∫dx
2√(34 −x2)=
12∫
dx
√(34 −x2)=¿|imamo tablicni ¿|¿
¿¿¿
¿
¿
59. *
∫ dx
√2−3x2=∫dx
√3(23 −x2)=∫ dx
√3√23−x2
=1
√3∫ dx
√23−x2
=¿|imamo tablicni ¿|¿¿
¿¿
¿
¿
60. **
∫ e−5
2xdx=|−5
2x= t , -
52
dx=dt , dx=−25
dt|=∫e t (−25
dt)=−25∫ et dt+C=−2
5et+C=−2
5e−5
2x+C
13
61. *
∫ ( e−x+e−2 x ) dx=∫e−x dx+∫ e−2 x dx=¿|-x=t , -dx=dt , ¿|¿¿
¿¿¿¿
¿¿
62. **
∫sin axdx=¿|ax=t /d ¿|¿¿
¿¿63. **
∫cos axdx=¿|ax=t /d ¿|¿¿
¿¿
64. **
∫sin23
xdx=|23
x=t , dx=32
dt|=∫sin t⋅¿ 32
dt=32∫sin tdt=3
2(−cos t )+C=−3
2cos
23
x+C ¿
65. *
∫ (sin 5 x−sin 5α ) dx=∫sin 5 xdx−∫ sin 5 α dx=|5x=t , dx=15
dt|−sin 5α∫dx=
=15∫ sin tdt−x sin5 α+C=−1
5cos t−x sin 5 α+C=−1
5cos5 x−x sin5 α +C
66. **
∫sin (2 x+3 ) dx=|2x+3=t , 2dx=dt , dx=12
dt|=12∫sin tdt=−1
2cos t +C=−1
2cos (2 x+3 )+C
67. **
∫cos (1−3 x ) dx=|1-3x= t , -3dx=dt , dx=−13
dt|=−13∫cos tdt=−1
3sin t+C=−1
3sin (1−3 x )+C
68. **
∫ dx
cos2 (3 x+2 )=|3x+2=t , 3dx=dt , dx=1
3dt|=1
3∫dt
cos2 t=1
3tan t+C=1
3tan (3 x+2 )+C
69. **
14
∫ dx
sin2(2 x+ π4 )
=|2 x+ π4=t , 2dx=dt , dx=1
2dt|=1
2∫ dt
sin2 t=−1
2cot t+C=−1
2cot (2 x+ π
4 )+C
70. *
∫ dx1+cos x
=∫ dx
2cos2 x2
=|x2=t ,
12
dx=dt , dx=2dt|=12∫
2dt
cos2 t= tan t +C=tan
x2+C
71. *
∫ dx1−cos x
=∫ dx
2 sin2 x2
=|x2=t ,
12
dx=dt , dx=2 dt|=12∫
2 dt
sin2 t= . cot t +C=−cot
x2+C
72.
∫ dx1+sin x
=∫ dx
1+cos(π2
−x)=|
π2
−x=t , dx=-dt|=−∫ dt1+cos t
=−∫dx
2cos2 t2
=|kao u zadataku 68|=
¿−tant2
+C=−tan (π2 −x
2 )+C=−tan(π4
−x2 )+C
Metoda supstitucije II
Ako je integral oblika
∫ f (ϕ (x ) )⋅ϕ ' ( x ) dx
integral se rješava uvođenjem nove varijable(supstitucijom):
ϕ ( x )=t
otuda deriviranjam(difrenciranjem) dobijemo
ϕ ' (x ) dx=dt
73. **
∫ x ( x2−13 )23dx=|x2 -13=t , 2xdx=dt , xdx=1
2dt|=∫ t23(1
2dt)=1
2∫ t23 dt=1
2t24
24+C=
¿( x2−13 )24
48+C
15
74. **
∫ ( 3 x2−2 x+1 ) ( x3−x2+x−9 )7dx=¿|x3−x2+ x−9=t ¿|¿
¿¿¿¿
75. **
∫ xdx
3−2x2=¿|3−2 x2=t ¿||−4 xdx=dt ¿|¿
¿¿¿¿
76. **
∫ xdx
(1+x2)2=¿|1+x2=t ¿||2 xdx=dt ¿|¿
¿¿¿¿
77. **
∫ x2⋅√x3−9 dx=¿|x3−9=t ¿||3 x2 dx=dt ¿|¿
¿¿¿¿
78. *
∫ x3⋅3√1+x2 dx=∫ x2⋅
3√1+x2 xdx¿|1+x2=t 2xdx=dt ¿|¿¿
¿¿
¿¿
79. **
16
∫ xdx
√1−x2=¿|1−x2=t ¿||−2xdx=dt ¿|¿
¿¿¿¿
80. **
∫ (2 x+3 )dx
x2+3 x−10=¿|x
2+3 x−10=t ¿|¿¿
¿¿
81. *
∫ ( x+3 ) dx
x2+6 x−5=¿|x2+6 x−5=t ¿||(2 x+6 ) dx=dt ¿||2 ( x+3 ) dx=dt ¿|¿
¿¿¿
82. *
∫ ( x+1 )dx
√ x2+2x−9=¿|x
2+2 x−9=t ¿||(2 x+2 ) dx=dt ¿||2 (x+1 ) dx=dt ¿|¿¿
¿¿
83. *
∫ xdx
(1+x2)√ (1+x2)=¿|1+x2=t ¿||2xdx=dt ¿|¿
¿¿¿¿
84. *
17
∫ ( x2−3 ) 5√ x3−9 x dx=¿|x3−9 x=t ¿||(3 x2−9 ) dx=dt ¿||3 ( x2−3 ) dx=dt ¿|¿¿
¿¿85. *
∫ x2
(8 x3+27 )23
dx=¿|8x3+27=t ¿||24 x 2 dx=dt ¿|¿¿
¿¿¿
86. *
∫ x
5+x4dx=¿|x
2=t ¿||2 xdx=dt ¿|¿¿
¿¿¿
87.
∫ x3
x8−2dx=¿|x4=t ¿||4 x3 dx=dt ¿|¿
¿¿¿¿
88.
∫ x2+1x4+1
dx=∫ ( x2+1 )÷x2
( x4+1 )÷x2dx=∫
1+1
x2
x2+1x2
dx=∫1+
1
x2
2+x2−2+1x2
dx=∫1+
1
x2
2+( x−1x )
2dx=
¿¿
|x−1x=t /d ¿|¿
¿¿¿
18
89. **
∫ xe− x2
dx=¿|−x2=t ¿||−2 xdx=dt ¿|¿¿
¿¿
90. **
∫ e1x
x2dx=¿|
1x=t /d ¿|¿
¿¿¿¿
91. **
∫ ex dxex+2
=¿|ex+2=t /d ¿|¿
¿¿¿¿
92. **
∫ ex+1ex+ x
dx=¿|ex+x=t /d ¿|¿
¿¿¿¿
93. *
∫ dxex+e−x
=∫ ex dxe2 x+1
dx=¿|ex=t /d ¿|¿
¿¿¿
94. **
∫ ex dx
√ex+1=¿|e
x+1=t /d ¿|¿¿
¿¿¿
95.
19
∫2x 3x
9x−4 xdx=∫2x 3x
32 x−22 xdx=∫ 2x 3x
22 x((32 )2 x
−1)dx=∫
(32 )x
((32 )x)
2
−1
dx=¿|(32 )x
=t /d ¿||(32 )x
ln32
dx=dt ¿|¿
¿¿
¿
¿
96.
∫1
√1+e2 xdx=¿|√1+e2 x=t /d e2x=t2 -1 ¿|¿
¿¿
¿¿
97.
20
∫ dx
ex2 +e x
=¿|ex2 =t /d
12
ex2 dx=dt dx=2
tdt ¿|¿
¿¿¿¿
¿
¿
98. **
∫ ln xx
dx=∫ ln x⋅1x
dx=¿|ln x=t ¿|¿¿
¿¿
99. **
∫ ln3 xx
dx=¿|ln x=t ¿|¿¿
¿¿¿
100. **
∫ 1
x ln5 xdx=¿|ln x=t ¿|¿
¿¿¿¿
101.
∫ 11−x2
ln1+x1−x
dx=¿|ln1+x1−x
=t /d 2
1−x2dx=dt ¿|¿
¿¿¿
102. *
21
∫1x ln x ln ( ln x )
dx=¿|ln x=t ¿|¿¿
¿¿¿
¿¿
103.
∫√ ln ( x+√1+x2)1+x2
dx=∫ √ ln (x+√1+x2 )√1+x2
dx=¿|ln (x+√1+x2 )=t /d ¿|¿¿
¿¿
¿
¿
104. **
∫sin1x⋅ 1
x2dx=¿|
1x=t ¿|¿
¿¿¿¿
105. **
∫sin5 xcos xdx=¿|sin x=t /d ¿|¿¿
¿¿¿
106. *
∫sin3 xcos3 xdx=∫sin3 xcos2 xcos xdx=∫sin3 x (1−sin2 x )cos xdx¿|sin x=t /d ¿|¿¿
¿¿
¿¿
107. **
∫ tan xdx=∫sin xcos x
dx=¿|cos x=t /d ¿|¿¿
¿¿
108. **
∫cot xdx=∫ cos xsin x
dx=¿|sin x=t /d ¿|¿¿
¿¿
109. *
22
∫cos5 x sin4 xdx=∫ cos4 x sin4 xcos xdx=∫ (1−sin2 x )2 sin4 xcos xdx ¿|sin x=t /d ¿|¿¿
¿¿
¿¿
110. **
∫cos x+1sin x+x
dx=¿|sin x+ x=t /d ¿|¿¿
¿¿¿
111. *
∫sin 2 x
sin2 x+3dx=¿|sin2 x+3=t /d ¿||(2 sin x cos x ) dx=dt ¿|¿
¿¿¿¿
112. *
∫cos3 xsin x
dx=∫cos2 x cos xsin x
dx=∫ (1−sin2 x) cos xsin x
dx=¿|sin x=t /d ¿|¿¿
¿¿¿
¿¿
113.
∫ dx
sin2 x+5 cos2 x=∫ dx
sin2 x(1+5cos2 xsin2 x )
=∫ dx
sin2 x (1+5 cot2x )=¿|cot x=t /d ¿|¿
¿¿¿¿
¿
¿
114.
∫sin x cos x
sin4 x+cos4 xdx=∫ sin xcos xdx
cos4 x (cos4 xsin4 x
+1)=∫ sin xdx
cos3 x ( tan4 x+1 )=∫1
( tan4 x+1 )⋅sin x
cos3 xdx=
¿¿
|tan2 x=t /d 2 tan x⋅1cos2 x
dx=dt ¿|¿
¿¿¿
23
115. **
∫sin xdx
√2+cos x=¿|2+cos x=t /d ¿|¿
¿¿¿¿
116. **
∫cos xdx3√sin2 x
=¿|sin x=t /d ¿|¿¿
¿¿¿
117. **
∫sin x
√cos3 xdx=¿|cos x=t /d ¿|¿
¿¿¿¿
118. **
∫ √ tan xcos2 x
dx=¿|tan x=t /d ¿|¿¿
¿¿¿
119. *
∫ dx
sin2 x⋅4√cot x=¿|cot x=t ¿|¿
¿¿¿
120.
∫cos5 x √sin x dx=∫cos4 x√sin xcos xdx=∫ (1−sin2x )2√sin x cos xdx=¿¿
|sin x=t /d ¿|¿¿
¿¿
121. **
24
∫ dx
√1−x2 arcsin x=¿|arcsin x=t /d ¿|¿
¿¿¿
122. **
∫ dx
(1+x2) arctan x=¿|arctan x=t /d ¿|¿
¿¿¿
123. *
∫ arctan3 x1+x2
dx=¿|arctan x=t /d ¿|¿¿
¿¿
124.
∫ arctan√ x
√x11+x
dx=¿|√x=t /d 12√x
dx=dt ¿|¿
¿¿¿
¿
¿
125. *
∫ dx
√1−x2 arcsin5 x=¿|arcsin x=t /d ¿|¿
¿¿¿
126.
∫ dx
x √x2+1=∫dx
x √x2(1+1x2 )
=∫dx
x2√(1+(1x )2)
=¿|1x
=t /d ¿|¿
¿¿¿
¿
¿
25
127.
∫ dx
x √x2−1=∫ dx
x √ x2(1−1x2 )
=∫dx
x2√(1−(1x )2)
=¿|1x
=t /d ¿|¿
¿¿¿
¿
¿
128. *
∫1sin x
dx=∫sin2 x
2+cos2 x
2
2sinx2
cosx2
dx=¿|x2
=t ¿|¿
¿¿¿
¿
¿
129.
∫1cos x
dx=∫ 1
sin(π2
−x)dx=¿|
π2
−x=t /d ¿|¿
¿¿¿¿
¿
¿
U sljedećim zadacima treba primijeniti elementarne transformacije podintegralne funkcije
u kombinaciji s metodom supstitucije
130. *
∫ x3
x+3dx=¿|x+3=t /d ¿||dx=dt ¿|¿
¿¿¿¿
¿¿
26
drugi nacin
∫ x3
x+3dx=∫ x3+3 x2−3 x2−9 x+9 x+27−27
x+3dx=
¿∫ x2 ( x+3 )−3 x ( x+3 )+9( x+3)−27x+3
dx=
¿∫(x2−3 x+9−27x+3 )dx=
x3
3−
32
x2+9 x−27 ln|x+3|+C
131. *
∫ (2−x )2
2−x2dx=∫ 4−4 x+x2
2−x2dx=∫ 4−4 x+x2−2+2
2−x2dx=∫−( 2−x2)−4 x+6
2−x2dx=
¿−∫dx−4∫ x2− x2
+6∫dx2−x2
=−x−4
¿
|2−x2=t /d ¿|¿¿
¿¿
132.
27
∫ dx( x−1 ) ( x+3 )
=∫ 1−x+x+3−3( x−1 ) ( x+3 )
dx=∫1−x(x−1 ) ( x+3 )
dx+∫ x+3( x−1 ) ( x+3 )
dx−∫3( x−1 ) ( x+3 )
dx=
=−∫ 1x+3
dx+∫1x−1
dx−3∫1(x−1 ) ( x+3 )
dx=− ln|x+3|+ ln|x−1|+C−3∫1(x−1 ) ( x+3 )
dx
ako izjednacimo pocetak racuna s krajem slijedi:
∫ dx( x−1 ) ( x+3 )
=ln|x−1x+3
|+C−3∫1( x−1 ) ( x+3 )
dx
4∫1( x−1 ) ( x+3 )
dx=ln|x−1x+3
|+C ∫ dx(x−1 ) ( x+3 )
=14
ln|x−1x+3
|+C
133.
∫ xdx( x+2 ) ( x+3 )
=∫ x+2−2( x+2 ) ( x+3 )
dx=∫ x+2( x+2 ) (x+3 )
dx−2∫ dx( x+2 ) ( x+3 )
=
=∫ 1( x+3 )
dx−23∫ x+3−x
( x+2 ) (x+3 )dx=ln|x+3|−2
3∫ x+3
(x+2 ) ( x+3 )dx+2
3∫ x
( x+2 ) ( x+3 )dx=
=ln|x+3|−23∫
1( x+2 )
dx+23 ∫ x
( x+2 ) ( x+3 )dx=ln|x+3|−
23
ln|x+2|+23 ∫ x
( x+2 ) ( x+3 )dx
ako izjednacimo pocetak racuna s krajem slijedi:13 ∫ dx
( x−1 ) ( x+3 )=ln|x+3|−
23
ln|x+2|+C /¿3
∫ dx( x−1 ) ( x+3 )
=3 ln|x+3|−2 ln|x+2|+C= ln|x+3|3−ln|x+2|2+C=ln|( x+3 )3
( x+2 )2|+C
134. **
∫ x2
(1−x )100dx=¿|1−x=t /d ¿||dx=−dt ¿|¿
¿¿¿¿
¿¿
135.
28
∫ x
x4+3 x2+2dx=¿|x
2=t /d ¿|¿¿
¿
¿¿
136. **
∫ dx1+ex
=∫ 1+ex−ex
1+exdx=∫(1+e x
1+e x−ex
1+ex )dx=∫dx−∫ ex
1+exdx=x−¿|1+ex=t ¿|¿
¿¿¿¿
¿
¿
137. **
∫ ( 1+ex )2
1+e2 xdx=∫ 1+2 ex+e2 x
1+e2 xdx=∫1+e2 x
1+e2 xdx+2∫e x
1+e2 xdx=∫ dx+2¿|e
x=t /d ¿|¿¿
¿¿
¿
¿
138. **
∫sin2 xdx=∫ 1−cos2 x2
dx=12∫dx− 1
2∫cos2 xdx=12
x−14
sin 2 x+C
139. **
∫cos2 xdx=∫ 1+cos2 x2
dx=12+ 1
2∫ cos2xdx=12
x+ 14
sin 2 x+C
140. **
∫cos x sin 3 xdx=¿|koristimo formulu ¿|¿¿
¿¿¿
¿¿
141. **
29
∫sin 3 x sin5 xdx=¿|koristimo formulu ¿|¿¿
¿¿¿
¿¿
142. **
∫cos 3 x cos 4 xdx=¿|koristimo formulu ¿|¿¿
¿¿¿
¿¿
143. *
∫sinx2
cosx12
dx=¿|koristimo formulu ¿|¿¿
¿¿¿
¿¿
144. *
∫cosx2
cosx3
dx=¿|koristimo formulu ¿|¿¿
¿¿¿
¿¿
145. *
∫sin x sin ( x+ϑ ) dx=¿|koristimo formulu ¿|¿¿
¿¿¿
¿¿
146.
30
∫sin (2 x−π6 )cos (3 x+π
4 )sin 3 xdx=¿|koristimo formulu ¿|¿¿
¿¿¿
¿¿
147. *
∫sin x sin 2x sin 3 xdx=12∫ [cos (−x )−co 3x ] sin 3xdx=
12∫ [sin 3 x cos x−sin 3 xcos 3x ] dx=
=14∫ [sin 2 x+sin 4 x−sin 0−sin 6 x ] dx=−cos2 x
8−cos4 x
16+cos6 x
24+C
148. *
∫sin3 xdx=∫sin2 x sin xdx=∫ (1−cos2 x ) sin xdx=¿|cos x=t /d ¿|¿¿
¿¿¿
¿¿
149. *
∫cos3 xdx=∫ cos2 x cos xdx=∫ (1−sin2 x ) cos xdx=¿|sin x=t /d ¿|¿¿
¿¿¿
¿¿
150. *
31
∫sin4 xdx=∫ (1−cos2 x )2
4dx=1
4 ∫ (1−2 cos2 x+cos22 x ) dx=14 ∫(1−2cos 2 x+1+cos 4 x
2 )dx=
¿18∫ (2−4 cos2 x+1+cos 4 x ) dx=1
8∫ (3−4 cos2 x+cos4 x ) dx=
¿18
[3∫ dx−4∫ cos2 xdx+∫ cos4 xdx ]=18 [3 x−4
sin 2 x2
+sin 4 x4 ]+C=
¿38
x−14
sin 2 x+132
sin 4 x+C
151. *
∫cos4 xdx=∫ (1+cos2 x )2
4dx=1
4 ∫ (1+2cos2 x+cos22 x ) dx=14 ∫(1+2cos2x+1+cos 4 x
2 )dx=
¿18∫ (2+4 cos 2x+1+cos 4 x ) dx=1
8∫ (3+4cos2 x+cos4 x )dx=
¿18
[3∫ dx+4∫cos 2 xdx+∫cos 4 xdx ]=18 [3 x+4
sin 2 x2
+sin 4 x4 ]+C=
¿38
x+14
sin 2 x+132
sin 4 x+C
152.
∫sin4 x cos4 xdx=∫ (sin x cos x )4 dx=∫(12 sin 2 x)4
dx=¿|2 x=t /dt ¿|¿¿
¿
¿¿
153.
∫ tan3 xdx=∫ sin3 xcos3 x
dx=∫sin2 x sin xcos3 x
dx=∫ 1−cos2 xcos3 x
sin xdx=¿|cos x=t /d ¿|¿¿
¿¿
¿¿
154.
32
∫cos 2x cot3 xdx=∫ (1−2sin2 x ) cos2x cos xsin3 x
=¿|sin x=t /d ¿|¿¿
¿¿¿¿
¿¿
155. *
∫ dx
sin2 xcos2 x=∫ 1
14
sin22 xdx=4¿|2 x=t /d ¿|¿
¿¿¿
¿
¿
Metoda parcijalne integracije
Kod nekih integrala može se koristiti formula za parcijalnu integraciju:
∫udv=uv−∫vdu (18)
156. **
∫ ln xdx=¿|u=ln x du=1x
dx ¿|¿
¿¿¿¿
157. **
∫ x ln xdx=¿|u=ln x du=1x
dx ¿|¿
¿¿¿¿
158. *
33
∫ x ln2 xdx=¿|u=ln2 x du=2 ln xx
dx ¿|¿
¿¿¿¿
¿
¿
159. *
∫ xn ln xdx=¿|u=ln x du=1x
dx ¿|¿
¿¿¿¿
¿
¿
160. *
∫ x ln ( x2−1 ) dx=¿|x2−1=t /d ¿||2 xdx=dt ¿|¿
¿¿¿¿
¿¿
161.
34
∫ ( x2+x ) ln (x+1 ) dx=¿|x+1=t /d ¿||dx=dt ¿|¿¿
¿¿
¿¿
162. *
∫ ln ( x+√1+x2) dx=¿|u=ln (x+√1+ x2 ) du=1
√1+x2 ¿|¿
¿¿¿
¿
¿
163.
35
∫ √x ln2 xdx=¿|u=ln 2x du=2 ln xx
dx ¿|¿
¿¿¿¿
¿
¿
164.
∫(ln xx )
2
dx=∫ ln2 xx2
=¿|u=ln2 x du=2 ln xx
dx ¿|¿
¿¿¿¿
¿
¿
165. *
∫ ln xx3
dx=¿|u=ln x du=1x
dx ¿|¿
¿¿¿¿
¿
¿
166. *
36
∫ x3 ( ln x )2dx=¿|u= (ln x )2 du=2 ln x⋅1x
dx ¿|¿
¿¿¿
¿
¿
167.
∫ x2 ln1−x1+x
dx=¿|u=ln
1−x1+x
du=11−x1+x
⋅(1−x1+x )
′
dx=−21−x2
dx¿|¿
¿
¿¿¿
¿
¿
168. **
∫ ex+ln x dx=∫ ex e ln x dx=∫ xex dx=¿|u=x du=dx ¿|¿¿
¿¿¿¿¿
169. **
37
∫ x2e− x dx=¿|u=x2 du=2 xdx ¿|¿¿
¿¿
¿¿
170. *
∫ x3 e− x2
dx=∫ x2 xe− x2
dx=¿|−x2 =t /d ¿|¿¿
¿
¿¿
171. *
∫ e√x dx=¿|√ x=t /d ¿||12√ x
dx=dt ¿|¿
¿¿¿¿
¿
¿
172. **
∫ x sin xdx=¿|u=x du=dx ¿|¿¿
¿
173. **
∫ x cos xdx=¿|u=x du=dx ¿|¿¿
¿
174.
38
∫sin ( ln x ) dx=¿|u=sin ( ln x ) du=cos ( ln x )⋅1x
dx ¿|¿
¿¿¿¿
¿
¿
175.
∫cos (ln x )dx=¿|u=cos (ln x ) du=−sin (ln x )⋅1x
dx ¿|¿
¿¿¿¿
¿
¿
176. *
∫ x2sin 2 xdx=¿|u=x2 du=2 xdx ¿|¿¿
¿
¿¿
177. *
39
∫ x4 cos xdx=¿|u=x4 du=4x3 dx ¿|¿¿
¿¿¿
¿¿
178. **
∫ x
cos2 xdx=¿|u=x du=dx ¿|¿
¿¿¿¿
¿¿
179.
∫ x cos x
sin3 xdx=¿|u=x du=dx ¿|¿
¿¿¿¿
¿¿
180. *
40
∫ e−x sin xdx=¿|u=e−x du=−e−x dx ¿|¿¿
¿¿
¿¿
181.
∫ eax sin bxdx=¿|u=eax du=aeax dx ¿|¿¿
¿¿
¿¿
182.
41
∫ eax cosbxdx=¿|u=eax du=aeax dx ¿|¿¿
¿¿
¿¿
183.
42
∫ eax sin2 xdx=¿|u=sin2 x du=2sin xcos xdx=sin 2 xdx ¿|¿¿
¿¿¿
¿¿
43
184.
∫ eax cos2 xdx=¿|u=cos2 x du=−2sin x cos xdx=−sin 2 xdx ¿|¿¿
¿¿¿
¿¿
185. *
44
∫ arcsin xdx=¿|u=arcsin x du=1
√1−x2dx ¿|¿
¿¿¿¿
¿
¿
186. *
∫ arctan xdx=¿|u=arctan x du=1
1+x2dx ¿|¿
¿¿¿¿
¿
¿
187. *
∫ arctan√ xdx=¿|√x=t /d ¿|¿¿
¿¿¿
¿¿
188.
45
∫ x2arccos xdx=¿|u=arccos x du=−dx
√1−x2 ¿|¿
¿¿¿¿
¿
¿
189.
∫ ( arcsin x )2 dx=¿|u=(arcsin x )2 du=2 arcsin x
√1−x2 ¿|¿
¿¿¿¿
¿
¿
46
190.
∫ arctan ex
exdx=¿|u=arctan e x du=ex
1+e2 xdx ¿|¿
¿¿¿¿
¿
¿
191.
=¿∫arcsin x√1+ x
dx=¿|u=arcsin x du=1
√1−x2dx ¿|¿
¿¿¿
¿
¿¿
192.
47
∫ xearctan x
( 1+x2 )32
dx=∫ x
(1+x2)12
⋅earctan x
1+x2dx=¿
|u=x
(1+x2)12
du=1
(1+x2)32
dx ¿|¿
¿
¿¿
¿
¿
193.
∫ √a2−x2dx=¿|u=√a2−x2 du=−x
√a2−x2dx ¿|¿
¿¿¿¿
¿
¿
194.
48
∫√x2±a2 dx=¿|u=√x2±a2 du=x
√x2±a2dx ¿|¿
¿¿¿¿
¿
¿
195.
∫ x2
√x2+a2dx=∫ x2+a2−a2
√ x2+a2dx=∫ x2+a2
√x2+a2dx−a2∫dx
√ x2+a2=
¿∫ √x2+a2 dx−a2∫ dx
√x2+a2=¿|prethodni ¿|¿
¿¿
¿
¿
49
196.
∫ x2√a2+x2 dx=∫ x2 (a2+x2)√a2+x2
dx=∫ x2 a2+x4
√a2+x2dx=a2∫ x2
√a2+ x2dx+∫ x4
√a2+x2dx=
¿ a2∫a2+x2−a2
√a2+ x2dx+¿|u=x3 dx=3 x2 dx ¿|¿
¿¿¿
¿
¿
197.
∫ x2
( 1+x2 )2dx=¿|u=x du=dx ¿|¿
¿¿
¿
¿
50
198.
∫ x2
( a2+x2 )2dx=¿|u=x du=dx ¿|¿
¿¿
¿
¿
199.
∫ dx
( a2+x2 )2=1
a2 ∫a2dx
( a2+x2 )2dx=1
a2∫a2+ x2−x2
(a2+x2)2dx=1
a2 [∫ dxa2+x2
−∫ x2
a2+x2dx ]=
¿1a2
¿
¿
¿
200.
∫ x5
√1−x 4dx=¿|x
2=t /d ¿||xdx=12
dt ¿|¿
¿¿¿¿
¿
¿
U sljedećim zadacima treba kvadratni trinom transformirati u kanonski oblik a potom
prmijeniti tablične integrale
51
201. *
∫ dx
x2+2x=∫ dx
(x+1 )2−1=¿|x+1=t /d ¿|¿
¿¿¿
¿¿
202. *
∫ dxx2+3x
=∫ dx
(x+32 )
2
−94
=¿|x+32=t /d ¿|¿
¿¿¿
¿
¿
203. *
∫ dxx2+x+1
=∫ dx
(x+12 )
2
+34
=¿|x+12=t /d ¿|¿
¿¿¿¿
¿
¿
204. *
52
∫ dxx2−x+2
=∫ dx
(x−12 )
2
+74
=¿|x−12=t /d ¿|¿
¿¿¿¿
¿
¿
205. *
∫ dx3 x2−2 x−1
=∫dx
3(x2−23
x−13 )
=13∫ dx
(x−13 )
2
−19
−13
=13∫dx
( x−13 )
2
−49
=¿|x−13=t /d ¿|¿
¿¿¿
¿
¿
206. *
∫ dx3+x−x2
=∫ dx
3+14
−(x−12 )
2=∫ dx
134
−(x−12 )
2=¿|x−
12
=t /d ¿|¿
¿¿¿
¿
¿
207. *
53
∫ dx
√x+x2=∫ dx
√(x+12 )
2
−14
=¿|x+12
=t /d ¿|¿
¿¿¿
¿
¿
208. **
∫ dx
x2+5 x=∫ dx
x ( x+5 ) ∫(Ax
+Bx+5 )dx=I
1x ( x+5 )
=Ax
+Bx+5
/ x (x+5 )
1=A ( x+5)+Bx za x=0⇒1=5 A⇒ A=15
za x=−5⇒1=−5 B⇒B=−15
I=∫(15x −
15x+5 )dx=1
5 (∫1x
dx−∫1x+5
dx )=15
( ln|x|−ln|x+5|)+C=15
ln|xx+5
|+C
209.
210.
∫√a2−x2dx=¿|u=√a2−x2 du=-x
√a2−x2 ¿|¿
¿¿¿
¿
¿
54
55
