Neodređeni integral

Definicija neodređenog integrala:

Ako su funkcije y=f ( x ) i y=F(x) tako da vrijedi:

F '( x )=f ( x )

Tada je funkcija y=f(x) derivacija funkcije y=F(x), a za funkciju y=F(x) se kaže da je primitivna funkcija(antiderivacija) funkcije y=f(x).Vrijedi također:

( F ( x )+C )′=f (x )gdje je C proizvoljna konstanta. Skup svih primitivnih funkcija zove se neodređeni integral funkcije y=f(x). To se zapisuje

∫ f ( x )dx=F ( x )+C

Tablica osnovnih integrala:

∫ xα dx=xα+1

α+1+C za α≠−1

za α=−1 imamo

∫ x-1 dx=∫1x

dx=ln|x|+C (1)

∫ dx

a2+x2=1

aarctan

xa+C posebno za a=1 ∫ dx

1+x2=arctan x+C

(2)

∫ dx

a2−x2= 1

2aln| a+x

a−x|+C posebno za a=1 ∫ dx

1−x2=1

2ln|1+x

1−x|+C

(3)

∫ dx

x2−a2= 1

2 aln|x−a

x+a|+C posebno za a=1 ∫ dx

x2−1=1

2ln|x−1

x+1|+C

(4)

∫ dx

√ x2+a2=ln|x+√ x2+a2|+C za a =1 ∫ dx

√ x2+1=ln|x+√ x2+1|+C

(5)

∫ dx

√ x2−a2=ln|x+√ x2−a2|+C za a =1 ∫ dx

√ x2−1=ln|x+√ x2−1|+C

(6)

(7)

1

∫ dx

√a2−x2=arcsin

xa+C posebno za a=1 ∫ dx

√1−x2=arcsin x+C

∫ ax dx= ax

ln a+C posebno za a=e ∫e x dx=ex+C

(8)

∫sin xdx=−cos x+C (9)

∫cos xdx=sin x+C (10)

∫ dx

cos2 x=tan x+C

(11)

∫ dx

sin2 x=−cot x+C

(12)

Osnovna pravila za integriranje

Integral zbroja: ∫( f ( x )+g (x ))dx=∫ f ( x )dx+∫ g ( x )dx (13)

Integral razlike: ∫( f ( x )−g( x ))dx=∫ f ( x )dx−∫ g( x )dx (14)

Integral funkcije pomnožene s konstantom: ∫C⋅f ( x )dx=C∫ f ( x )dx (15)

Integral diferencijala: ∫ d ( f ( x ))=∫ f '( x )dx=f ( x )+C (16)

Diferencijal integrala: d∫ f ( x )dx=d ( F( x )+C )=F' ( x )dx =f(x) (17)

ZADACI

Zadaci su riješeni postepeno tako da student može pratiti kompletni postupak. Najlakši zadaci su označeni s dvije zvijezdice (**), srednji s jednom (*) a složeniji nemaju oznake pored broja zadatka.

Elementarno integriranje

Sljedeće zadatke riješi svodeći na tablične integrale transformirajući podintegralnu funkciju i koristeći osnovna pravila za integriranje:

1. **

∫ x5 dx= x6

6+C

2

2. **

∫ ( x2+2x−3 ) dx=∫ x2 dx+∫2 xdx−∫3 dx=∫ x2 dx+ 2∫ xdx−3∫ dx= x3

3+2

x2

2−3 x+C

3. **

∫√x dx=∫ x12 dx= x

12+1

12+1

+C= x32

32

+C=23√ x3+C

4. **

∫ x3√x dx=∫ x⋅x

13 dx=∫ x

1+ 13 dx=∫ x

43 dx= x

43+1

43+1

+C= x73

73

+C=37

3√x7+C=37

x2 3√x+C

5.

∫ √x √x √x dx=∫(x (x⋅x12 )

12 )

12

dx=∫(x (x32 )

12 )

12

dx=∫ (x⋅x34 )

12

dx=

=∫ (x74 )

12

dx=∫ x78 dx=x

78

+1

78

+1+C=x

158

158

+C=815

8√ x15+C

6. **

∫ 1x3

dx=∫ x−3 dx= x−3+1

−3+1+C= x−2

−2+C=− 1

2x2+C

7. **

∫ 13√ x

dx=∫ x−1

3 dx= x−1

3+1

−13+1

+C= x23

23

+C=32

3√ x2+C

8. **

∫ dxx √x

=∫ dx

x⋅x12

=∫ dx

x32

=∫ x−3

2 dx= x−3

2+1

−32+1

+C= x−1

2

−12

+C=− 2√x

+C

9. **

3

∫ ( 2+ x2 )3dx=∫ (8+12 x2+6 x4+x6) dx=∫8 dx+∫12 x2 dx+∫ 6 x 4 dx+∫ x6dx=

¿ 8∫ dx+12∫ x2dx+6∫ x4 dx+∫ x6 dx=8 x+12x3

3+6

x5

5+x7

7+C=

¿ 8 x+4 x3+65

x 5 +x7

7+C

10.

∫ x2 (3−x )4 dx=∫ x2 ((40 )⋅34+(4

1 )⋅33 (−x )+(42 )⋅32 (−x )2+(43 )⋅3 (−x )3+(4

4 )⋅(−x )4)dx=

¿∫ x2 (81−108 x+54 x2−12 x3+x4 ) dx=∫ (81 x2−108 x3+54 x4−12 x5+x6) dx=

¿ 81x3

3−108

x4

4+54

x5

5−12

x6

6+x7

7+C=27 x3−27 x4+54

5x5−2 x6+x7

7+C

11. *

∫(x4−√ x+x3√ x+1

x2 )dx=∫ (x4−x12 + x

43 +x−2)dx=x5

5−x

32

52

+ x73

73

+x−1

−1+C=

¿ x5

5−2

5√ x3+3

73√x7−1

x+C

12. *

∫√x−23√ x2+1

4√xdx=∫( x

12

x14

−2x

23

x14

+1

x14 )dx=∫(x

14 −2x

512 +x

−14 )dx=

¿ x54

54

−2x

1712

1712

+x

34

34

+C=45

4√x5−2417

12√x17+43

4√ x3+C

13. **

∫ x3−2 x+4x

dx=∫(x2

x−2 x

x+4

x )dx=∫(x−2+4x )dx=∫ xdx−2∫dx+4∫1

x=

¿ x2

2−2 x+4 ln x+C

14. *

4

∫ ( x+1 )2

√xdx=∫ x2+2 x+1

x12

dx=∫ (x32 +2 x

12 +x

−12 )dx=x

52

52

+2x

32

32

+x12

12

+C=

¿25

√x5+43

√ x3+2√ x+C=√x (25 x2+43

x+2)

15.

∫(1−1x2 )√ x√ xdx=∫ (1−x−2 )(x⋅x

12 )1

2 dx=∫ (1−x−2 )(x32 )1

2 dx=∫ (1−x−2) x34 dx=

¿∫ (x34 −x

−54 )dx=x

74

74

−x−1

4

−14

+C=47

4√ x7+44√ x

+C

16. *

∫ √ x2+2x+1x

dx=∫ √( x+1 )2

xdx=∫ x+1

xdx=∫(1+ 1

x )dx=∫ dx+∫ 1x

dx=x+ ln x+C

17. *

∫ √x4+x−4+2x3

dx=∫√ ( x2+x−2 )2

x3=∫ x2+x−2

x3dx=∫(1x +x−5)dx=ln x+x−4

−4+C=

¿ ln x−14 x4

+C

18. **

∫ x2

x2+1dx=∫ x2+1−1

x2+1dx=∫( x2+1

x2+1− 1

x2+1 )dx=∫(1− 1x2+1 )dx=x−arctan x+C

19. **

∫ x2

1−x2dx=−∫1−x2−1

1−x2dx=−∫(1−1

1−x2 )dx=−x+12

ln1+ x1−x

+C

koristili smo tablicni integral (3 )

20. **

∫ x2+2x2+¸1

dx=∫ x2+1+1x2+¸1

dx=∫( x2+1x2+ ¸1

+ 1x2+¸1 )dx=∫(1+ 1

x2+¸1 )dx=x+arctan x+C

21. **

5

∫ x2+3x2−1

dx=∫ x2−1+4x2−¸1

dx=∫(x2−1x2−¸1

+4x2−¸1 )dx=∫(1+4

x2−¸1 )dx=x−42

ln1+x1−x

+C=

¿ x−2 ln1+x1−x

+C= x+2 lnx−1x+1

+C

22.

∫1

a2−x2dx=

1a ∫ a

(a−x )(a+ x )dx=

1a ∫ a−x+x

( a−x )(a+x )dx=

¿1a∫(a−x

( a−x )(a+x )+

x(a−x )(a+x ) )dx=

1a ∫(1

a+x+

a+ x−a(a−x )(a+x ) )dx=

¿1a∫(1a+x

+a+x(a−x )(a+x )

−1(a− x )( a+x ) )dx=1

a ∫(1a+x+1

( a−x )−a

(a2−x2) )dx=

¿1a [∫d (a+x )−∫d (a−x )−∫ a

(a2−x2)dx ]=1

a[ ln (a+x )−ln ( a−x ) ]−a

a∫ 1

(a2−x2)dx=

¿1a

lna+xa−x

−∫1

( a2−x2 )dx

ako uspore d imo poč e tak i kraj :

∫1a2−x2

dx=1a

lna+xa−x

−∫1( a2−x2)

dx

2∫1

( a2−x2 )dx=1

aln

a+xa− x

∫1

( a2−x2)dx=1

2 aln

a+xa−x

+C

23. *

∫ x3+ x−2

x2+1dx=∫ x ( x2+1 )−2

x2+1dx=∫(x ( x2+1 )

x2+1−2

x 2 +1 )dx=∫ xdx−2∫ 1

x 2 +1dx=

¿ x2

2−2 arctan x+C

24. *

∫ √1+x2+√1−x2

√1−x 4dx=∫ √1+x2+√1−x2

√1+x2√1−x2dx=∫(√1+x2

√1+x2 √1−x2+√1−x2

√1+x2 √1−x2 )dx=

¿∫1

√1−x2dx+∫1

√1+x2dx=arcsin x+ln|x+√1+x2|+C

25. **

6

∫ ( 3x−4 x ) dx=∫ 3x dx−∫ 4x dx= 3x

ln 3− 4x

ln 4+C

26. **

∫5x 3−x dx=∫ 5x

3xdx=∫( 5

3 )x

dx=( 5

3 )x

ln53

+C

27. *

∫ ( 2x+5x )2dx=∫ (22 x+2⋅2x⋅5x+52 x ) dx=∫ (4 x+2⋅10x+25x ) dx=

¿∫ 4x dx+2∫ 10x dx+∫25x dx=4x

ln 4+2

10x

ln 10+25x

ln 25+C

28.

∫2x+1−5x−1

10xdx=∫2x+1−5x−1

2x5xdx=∫2x+1

2x 5xdx−∫5x−1

2x 5xdx=∫2

5xdx−∫5−1

2xdx=

¿2∫(15 )

x

dx−15∫(12 )

x

dx=2(15 )

x

ln15

−15

(12 )x

ln12

+C=−2⋅5−x

ln5+¿2− x

5 ln 2+C

29.

∫ e3 x+1ex+1

dx=∫ (e x+1 ) (e2 x−ex+1 )ex+1

dx=∫ ( e2 x−e x+1 ) dx=∫ ( e2 )x dx−∫ ex dx+∫dx=

¿( e2 )x

ln e2−ex+x+C=e2 x

2−ex+x+C

30. **

∫ (2 x−3 sin x+cos x ) dx=2∫ xdx−3∫ sin xdx+∫ cos xdx=2x2

2−3 (−cos x )+sin x+C=

¿ x2+3 cos x+sin x+C

31. *

∫ √1−sin2 x dx=∫√sin2 x+cos2 x−2 sin x cos x dx=∫√ (sin x−cos x )2 dx=

¿∫± (cos x−sin x ) dx=± (sin x+cos x )+C

32. **

∫ tan2 xdx=∫sin2 xcos 2 x

dx=∫ 1−cos2 xcos 2 x

dx=∫ 1cos 2 x

dx−∫ cos2 xcos 2 x

dx=tan x−∫dx=tan x−x+C

33. **

7

∫cot2 xdx=∫cos2 xsi n 2 x

dx=∫ 1−sin2 xsi n 2 x

dx=∫ 1si n2 x

dx−∫sin2 xsi n 2 x

dx=−cot x−∫ dx=−cot x−x+C

34. *

∫1−cos2 x1+cos 2x

dx=∫ 1−cos2 x+sin2 x1+cos2 x−sin2 x

dx=∫2sin2 x2cos2 x

dx=∫1−cos2 xcos2 x

dx=

¿∫1cos2 x

dx−∫dx=tan x−x+C

Metoda supstitucije I

Ako je integral oblika

∫ f (ax+b )dx

rješava se uvođenjem nove varijable(supstitucijom):

ax+b=t

otuda deriviranjam(difrenciranjem) dobijemo

a dx=dt odnosno dx=1

adt

35. **

∫ (5−2 x )2 dx=¿|5−2 x=t /d ¿||−2 dx=dt ¿|¿¿

¿¿36. **

∫ dx

( x−2 )3=¿|x−2=t /d ¿|¿

¿¿¿

37. **

8

∫ √2 x−3 dx=¿|2 x−3=t /d ¿||2 dx=dt ¿|¿¿

¿¿¿

38. **

∫ 3√1−x dx=¿|1−x=t /d ¿||−dx=dt ¿|¿¿

¿¿¿39. **

∫ dx

√2−5 x=¿|2−5 x=t /d ¿||−5 dx=dt ¿|¿

¿¿¿¿

40. *

∫ dx

(5 x−2 )52

=¿|5x−2=t /d ¿||5 dx=dt ¿|¿¿

¿¿¿

41. *

∫5√1−2 x+x2

1−xdx=∫ 5√(1−x )2

(1−x )5dx=∫1

5√ (1−x )3dx=∫ (1−x )

−35 dx=¿|1−x=t /d ¿||−dx=dt ¿|¿

¿¿¿¿¿

¿

¿

42. *

9

∫ x

√2 x+5dx=¿|2 x+5=t /d 2 dx=dt ¿|¿

¿¿¿¿

¿¿

43.

∫ x3√x−2 dx=|x−2=t /d dx=dt x=t +2|=∫ ( t+2 ) t

13 dt=∫(t

43 +2 t

13 )dt=

¿ t73

73

+2t

43

43

+C=33√t7

7+3

3√t4

2+C=

33√ (x−2 )7

7+

33√( x−2 )4

2+C

44.

∫ x+55√1−2 x

dx=¿|1−2 x=t /d −2dx=dt ¿|¿¿

¿¿

¿¿

45.

∫ x2−14√x+5

dx=¿|x+5=t dx=dt ¿|¿¿

¿¿¿

¿¿

46. *

10

∫1√x−1−√x−2

dx=∫ 1√x−1−√ x−2

√x−1+√x−2√x−1+√x−2

dx=∫ √ x−1+√x−2( x−1 )−( x−2 )

dx=

=∫ (√ x−1+√x−2 ) dx=∫√x−1dx+∫√ x−2 dx=¿|x−1=t ¿|¿¿

¿

¿

¿

47. *

∫ x−2x+3

dx=∫ x+3−5x+3

dx=∫(x+3x+3

−5x+3 )dx=∫ dx−5∫ 1

x+3dx=x−¿|x+3=t ¿|¿

¿¿¿¿¿¿

¿¿

48. *

∫2 x−31−x

dx=−∫ 2x−2−1x−1

dx=−∫2 ( x−1 )−1x−1

dx=−∫(2−1x−1 )dx=−2∫ dx+∫ 1

x−1dx=

=−2 x+¿|x−1=t ¿|¿¿

¿¿¿

¿

49. **

∫ dx

2 x2+1=∫ dx

2(x2+12 )

=12∫

dx

(x2+12 )

=¿|sada imamo tablicni ¿|¿¿

¿¿

¿

¿

50. **

∫ dx

x2+9=¿| imamo tablicni ¿|¿

¿¿

51. **

∫ dx

x2+3=¿| imamo tablicni ¿|¿

¿¿

11

52. **

∫ dx

2+3 x2=∫dx

3(x2+23 )

=13 ∫dx

( x2+23 )

=¿|sada imamo tablicni ¿|¿¿

¿¿

¿

¿

53. *

∫ dx

2−3 x2=∫ dx

3(23−x2)

=13∫

dx

(23 −x2)=¿|sada imamo tablicni ¿|¿

¿¿¿

¿

¿

54. **

∫ 1

√ x2−4dx=¿|imamo tablicni ¿|¿

¿¿¿¿

55. **

∫ 1

√ x2+7dx=¿|imamo tablicni ¿|¿

¿¿¿¿

56. *

12

∫ dx

√3 x2−2=∫dx

√3(x2−23 )

=∫ dx

√3√(x2−23 )

=1

√3∫dx

√(x2−23 )

=¿|imamo tablicni ¿|¿¿

¿¿

¿

¿

57. **

∫ dx

√5−x2==¿|imamo tablicni ¿|¿

¿¿¿

58. *

∫ dx

√3−4 x2=∫dx

√4 (34 −x2)=∫dx

2√(34 −x2)=

12∫

dx

√(34 −x2)=¿|imamo tablicni ¿|¿

¿¿¿

¿

¿

59. *

∫ dx

√2−3x2=∫dx

√3(23 −x2)=∫ dx

√3√23−x2

=1

√3∫ dx

√23−x2

=¿|imamo tablicni ¿|¿¿

¿¿

¿

¿

60. **

∫ e−5

2xdx=|−5

2x= t , -

52

dx=dt , dx=−25

dt|=∫e t (−25

dt)=−25∫ et dt+C=−2

5et+C=−2

5e−5

2x+C

13

61. *

∫ ( e−x+e−2 x ) dx=∫e−x dx+∫ e−2 x dx=¿|-x=t , -dx=dt , ¿|¿¿

¿¿¿¿

¿¿

62. **

∫sin axdx=¿|ax=t /d ¿|¿¿

¿¿63. **

∫cos axdx=¿|ax=t /d ¿|¿¿

¿¿

64. **

∫sin23

xdx=|23

x=t , dx=32

dt|=∫sin t⋅¿ 32

dt=32∫sin tdt=3

2(−cos t )+C=−3

2cos

23

x+C ¿

65. *

∫ (sin 5 x−sin 5α ) dx=∫sin 5 xdx−∫ sin 5 α dx=|5x=t , dx=15

dt|−sin 5α∫dx=

=15∫ sin tdt−x sin5 α+C=−1

5cos t−x sin 5 α+C=−1

5cos5 x−x sin5 α +C

66. **

∫sin (2 x+3 ) dx=|2x+3=t , 2dx=dt , dx=12

dt|=12∫sin tdt=−1

2cos t +C=−1

2cos (2 x+3 )+C

67. **

∫cos (1−3 x ) dx=|1-3x= t , -3dx=dt , dx=−13

dt|=−13∫cos tdt=−1

3sin t+C=−1

3sin (1−3 x )+C

68. **

∫ dx

cos2 (3 x+2 )=|3x+2=t , 3dx=dt , dx=1

3dt|=1

3∫dt

cos2 t=1

3tan t+C=1

3tan (3 x+2 )+C

69. **

14

∫ dx

sin2(2 x+ π4 )

=|2 x+ π4=t , 2dx=dt , dx=1

2dt|=1

2∫ dt

sin2 t=−1

2cot t+C=−1

2cot (2 x+ π

4 )+C

70. *

∫ dx1+cos x

=∫ dx

2cos2 x2

=|x2=t ,

12

dx=dt , dx=2dt|=12∫

2dt

cos2 t= tan t +C=tan

x2+C

71. *

∫ dx1−cos x

=∫ dx

2 sin2 x2

=|x2=t ,

12

dx=dt , dx=2 dt|=12∫

2 dt

sin2 t= . cot t +C=−cot

x2+C

72.

∫ dx1+sin x

=∫ dx

1+cos(π2

−x)=|

π2

−x=t , dx=-dt|=−∫ dt1+cos t

=−∫dx

2cos2 t2

=|kao u zadataku 68|=

¿−tant2

+C=−tan (π2 −x

2 )+C=−tan(π4

−x2 )+C

Metoda supstitucije II

Ako je integral oblika

∫ f (ϕ (x ) )⋅ϕ ' ( x ) dx

integral se rješava uvođenjem nove varijable(supstitucijom):

ϕ ( x )=t

otuda deriviranjam(difrenciranjem) dobijemo

ϕ ' (x ) dx=dt

73. **

∫ x ( x2−13 )23dx=|x2 -13=t , 2xdx=dt , xdx=1

2dt|=∫ t23(1

2dt)=1

2∫ t23 dt=1

2t24

24+C=

¿( x2−13 )24

48+C

15

74. **

∫ ( 3 x2−2 x+1 ) ( x3−x2+x−9 )7dx=¿|x3−x2+ x−9=t ¿|¿

¿¿¿¿

75. **

∫ xdx

3−2x2=¿|3−2 x2=t ¿||−4 xdx=dt ¿|¿

¿¿¿¿

76. **

∫ xdx

(1+x2)2=¿|1+x2=t ¿||2 xdx=dt ¿|¿

¿¿¿¿

77. **

∫ x2⋅√x3−9 dx=¿|x3−9=t ¿||3 x2 dx=dt ¿|¿

¿¿¿¿

78. *

∫ x3⋅3√1+x2 dx=∫ x2⋅

3√1+x2 xdx¿|1+x2=t 2xdx=dt ¿|¿¿

¿¿

¿¿

79. **

16

∫ xdx

√1−x2=¿|1−x2=t ¿||−2xdx=dt ¿|¿

¿¿¿¿

80. **

∫ (2 x+3 )dx

x2+3 x−10=¿|x

2+3 x−10=t ¿|¿¿

¿¿

81. *

∫ ( x+3 ) dx

x2+6 x−5=¿|x2+6 x−5=t ¿||(2 x+6 ) dx=dt ¿||2 ( x+3 ) dx=dt ¿|¿

¿¿¿

82. *

∫ ( x+1 )dx

√ x2+2x−9=¿|x

2+2 x−9=t ¿||(2 x+2 ) dx=dt ¿||2 (x+1 ) dx=dt ¿|¿¿

¿¿

83. *

∫ xdx

(1+x2)√ (1+x2)=¿|1+x2=t ¿||2xdx=dt ¿|¿

¿¿¿¿

84. *

17

∫ ( x2−3 ) 5√ x3−9 x dx=¿|x3−9 x=t ¿||(3 x2−9 ) dx=dt ¿||3 ( x2−3 ) dx=dt ¿|¿¿

¿¿85. *

∫ x2

(8 x3+27 )23

dx=¿|8x3+27=t ¿||24 x 2 dx=dt ¿|¿¿

¿¿¿

86. *

∫ x

5+x4dx=¿|x

2=t ¿||2 xdx=dt ¿|¿¿

¿¿¿

87.

∫ x3

x8−2dx=¿|x4=t ¿||4 x3 dx=dt ¿|¿

¿¿¿¿

88.

∫ x2+1x4+1

dx=∫ ( x2+1 )÷x2

( x4+1 )÷x2dx=∫

1+1

x2

x2+1x2

dx=∫1+

1

x2

2+x2−2+1x2

dx=∫1+

1

x2

2+( x−1x )

2dx=

¿¿

|x−1x=t /d ¿|¿

¿¿¿

18

89. **

∫ xe− x2

dx=¿|−x2=t ¿||−2 xdx=dt ¿|¿¿

¿¿

90. **

∫ e1x

x2dx=¿|

1x=t /d ¿|¿

¿¿¿¿

91. **

∫ ex dxex+2

=¿|ex+2=t /d ¿|¿

¿¿¿¿

92. **

∫ ex+1ex+ x

dx=¿|ex+x=t /d ¿|¿

¿¿¿¿

93. *

∫ dxex+e−x

=∫ ex dxe2 x+1

dx=¿|ex=t /d ¿|¿

¿¿¿

94. **

∫ ex dx

√ex+1=¿|e

x+1=t /d ¿|¿¿

¿¿¿

95.

19

∫2x 3x

9x−4 xdx=∫2x 3x

32 x−22 xdx=∫ 2x 3x

22 x((32 )2 x

−1)dx=∫

(32 )x

((32 )x)

2

−1

dx=¿|(32 )x

=t /d ¿||(32 )x

ln32

dx=dt ¿|¿

¿¿

¿

¿

96.

∫1

√1+e2 xdx=¿|√1+e2 x=t /d e2x=t2 -1 ¿|¿

¿¿

¿¿

97.

20

∫ dx

ex2 +e x

=¿|ex2 =t /d

12

ex2 dx=dt dx=2

tdt ¿|¿

¿¿¿¿

¿

¿

98. **

∫ ln xx

dx=∫ ln x⋅1x

dx=¿|ln x=t ¿|¿¿

¿¿

99. **

∫ ln3 xx

dx=¿|ln x=t ¿|¿¿

¿¿¿

100. **

∫ 1

x ln5 xdx=¿|ln x=t ¿|¿

¿¿¿¿

101.

∫ 11−x2

ln1+x1−x

dx=¿|ln1+x1−x

=t /d 2

1−x2dx=dt ¿|¿

¿¿¿

102. *

21

∫1x ln x ln ( ln x )

dx=¿|ln x=t ¿|¿¿

¿¿¿

¿¿

103.

∫√ ln ( x+√1+x2)1+x2

dx=∫ √ ln (x+√1+x2 )√1+x2

dx=¿|ln (x+√1+x2 )=t /d ¿|¿¿

¿¿

¿

¿

104. **

∫sin1x⋅ 1

x2dx=¿|

1x=t ¿|¿

¿¿¿¿

105. **

∫sin5 xcos xdx=¿|sin x=t /d ¿|¿¿

¿¿¿

106. *

∫sin3 xcos3 xdx=∫sin3 xcos2 xcos xdx=∫sin3 x (1−sin2 x )cos xdx¿|sin x=t /d ¿|¿¿

¿¿

¿¿

107. **

∫ tan xdx=∫sin xcos x

dx=¿|cos x=t /d ¿|¿¿

¿¿

108. **

∫cot xdx=∫ cos xsin x

dx=¿|sin x=t /d ¿|¿¿

¿¿

109. *

22

∫cos5 x sin4 xdx=∫ cos4 x sin4 xcos xdx=∫ (1−sin2 x )2 sin4 xcos xdx ¿|sin x=t /d ¿|¿¿

¿¿

¿¿

110. **

∫cos x+1sin x+x

dx=¿|sin x+ x=t /d ¿|¿¿

¿¿¿

111. *

∫sin 2 x

sin2 x+3dx=¿|sin2 x+3=t /d ¿||(2 sin x cos x ) dx=dt ¿|¿

¿¿¿¿

112. *

∫cos3 xsin x

dx=∫cos2 x cos xsin x

dx=∫ (1−sin2 x) cos xsin x

dx=¿|sin x=t /d ¿|¿¿

¿¿¿

¿¿

113.

∫ dx

sin2 x+5 cos2 x=∫ dx

sin2 x(1+5cos2 xsin2 x )

=∫ dx

sin2 x (1+5 cot2x )=¿|cot x=t /d ¿|¿

¿¿¿¿

¿

¿

114.

∫sin x cos x

sin4 x+cos4 xdx=∫ sin xcos xdx

cos4 x (cos4 xsin4 x

+1)=∫ sin xdx

cos3 x ( tan4 x+1 )=∫1

( tan4 x+1 )⋅sin x

cos3 xdx=

¿¿

|tan2 x=t /d 2 tan x⋅1cos2 x

dx=dt ¿|¿

¿¿¿

23

115. **

∫sin xdx

√2+cos x=¿|2+cos x=t /d ¿|¿

¿¿¿¿

116. **

∫cos xdx3√sin2 x

=¿|sin x=t /d ¿|¿¿

¿¿¿

117. **

∫sin x

√cos3 xdx=¿|cos x=t /d ¿|¿

¿¿¿¿

118. **

∫ √ tan xcos2 x

dx=¿|tan x=t /d ¿|¿¿

¿¿¿

119. *

∫ dx

sin2 x⋅4√cot x=¿|cot x=t ¿|¿

¿¿¿

120.

∫cos5 x √sin x dx=∫cos4 x√sin xcos xdx=∫ (1−sin2x )2√sin x cos xdx=¿¿

|sin x=t /d ¿|¿¿

¿¿

121. **

24

∫ dx

√1−x2 arcsin x=¿|arcsin x=t /d ¿|¿

¿¿¿

122. **

∫ dx

(1+x2) arctan x=¿|arctan x=t /d ¿|¿

¿¿¿

123. *

∫ arctan3 x1+x2

dx=¿|arctan x=t /d ¿|¿¿

¿¿

124.

∫ arctan√ x

√x11+x

dx=¿|√x=t /d 12√x

dx=dt ¿|¿

¿¿¿

¿

¿

125. *

∫ dx

√1−x2 arcsin5 x=¿|arcsin x=t /d ¿|¿

¿¿¿

126.

∫ dx

x √x2+1=∫dx

x √x2(1+1x2 )

=∫dx

x2√(1+(1x )2)

=¿|1x

=t /d ¿|¿

¿¿¿

¿

¿

25

127.

∫ dx

x √x2−1=∫ dx

x √ x2(1−1x2 )

=∫dx

x2√(1−(1x )2)

=¿|1x

=t /d ¿|¿

¿¿¿

¿

¿

128. *

∫1sin x

dx=∫sin2 x

2+cos2 x

2

2sinx2

cosx2

dx=¿|x2

=t ¿|¿

¿¿¿

¿

¿

129.

∫1cos x

dx=∫ 1

sin(π2

−x)dx=¿|

π2

−x=t /d ¿|¿

¿¿¿¿

¿

¿

U sljedećim zadacima treba primijeniti elementarne transformacije podintegralne funkcije

u kombinaciji s metodom supstitucije

130. *

∫ x3

x+3dx=¿|x+3=t /d ¿||dx=dt ¿|¿

¿¿¿¿

¿¿

26

drugi nacin

∫ x3

x+3dx=∫ x3+3 x2−3 x2−9 x+9 x+27−27

x+3dx=

¿∫ x2 ( x+3 )−3 x ( x+3 )+9( x+3)−27x+3

dx=

¿∫(x2−3 x+9−27x+3 )dx=

x3

3−

32

x2+9 x−27 ln|x+3|+C

131. *

∫ (2−x )2

2−x2dx=∫ 4−4 x+x2

2−x2dx=∫ 4−4 x+x2−2+2

2−x2dx=∫−( 2−x2)−4 x+6

2−x2dx=

¿−∫dx−4∫ x2− x2

+6∫dx2−x2

=−x−4

¿

|2−x2=t /d ¿|¿¿

¿¿

132.

27

∫ dx( x−1 ) ( x+3 )

=∫ 1−x+x+3−3( x−1 ) ( x+3 )

dx=∫1−x(x−1 ) ( x+3 )

dx+∫ x+3( x−1 ) ( x+3 )

dx−∫3( x−1 ) ( x+3 )

dx=

=−∫ 1x+3

dx+∫1x−1

dx−3∫1(x−1 ) ( x+3 )

dx=− ln|x+3|+ ln|x−1|+C−3∫1(x−1 ) ( x+3 )

dx

ako izjednacimo pocetak racuna s krajem slijedi:

∫ dx( x−1 ) ( x+3 )

=ln|x−1x+3

|+C−3∫1( x−1 ) ( x+3 )

dx

4∫1( x−1 ) ( x+3 )

dx=ln|x−1x+3

|+C ∫ dx(x−1 ) ( x+3 )

=14

ln|x−1x+3

|+C

133.

∫ xdx( x+2 ) ( x+3 )

=∫ x+2−2( x+2 ) ( x+3 )

dx=∫ x+2( x+2 ) (x+3 )

dx−2∫ dx( x+2 ) ( x+3 )

=

=∫ 1( x+3 )

dx−23∫ x+3−x

( x+2 ) (x+3 )dx=ln|x+3|−2

3∫ x+3

(x+2 ) ( x+3 )dx+2

3∫ x

( x+2 ) ( x+3 )dx=

=ln|x+3|−23∫

1( x+2 )

dx+23 ∫ x

( x+2 ) ( x+3 )dx=ln|x+3|−

23

ln|x+2|+23 ∫ x

( x+2 ) ( x+3 )dx

ako izjednacimo pocetak racuna s krajem slijedi:13 ∫ dx

( x−1 ) ( x+3 )=ln|x+3|−

23

ln|x+2|+C /¿3

∫ dx( x−1 ) ( x+3 )

=3 ln|x+3|−2 ln|x+2|+C= ln|x+3|3−ln|x+2|2+C=ln|( x+3 )3

( x+2 )2|+C

134. **

∫ x2

(1−x )100dx=¿|1−x=t /d ¿||dx=−dt ¿|¿

¿¿¿¿

¿¿

135.

28

∫ x

x4+3 x2+2dx=¿|x

2=t /d ¿|¿¿

¿

¿¿

136. **

∫ dx1+ex

=∫ 1+ex−ex

1+exdx=∫(1+e x

1+e x−ex

1+ex )dx=∫dx−∫ ex

1+exdx=x−¿|1+ex=t ¿|¿

¿¿¿¿

¿

¿

137. **

∫ ( 1+ex )2

1+e2 xdx=∫ 1+2 ex+e2 x

1+e2 xdx=∫1+e2 x

1+e2 xdx+2∫e x

1+e2 xdx=∫ dx+2¿|e

x=t /d ¿|¿¿

¿¿

¿

¿

138. **

∫sin2 xdx=∫ 1−cos2 x2

dx=12∫dx− 1

2∫cos2 xdx=12

x−14

sin 2 x+C

139. **

∫cos2 xdx=∫ 1+cos2 x2

dx=12+ 1

2∫ cos2xdx=12

x+ 14

sin 2 x+C

140. **

∫cos x sin 3 xdx=¿|koristimo formulu ¿|¿¿

¿¿¿

¿¿

141. **

29

∫sin 3 x sin5 xdx=¿|koristimo formulu ¿|¿¿

¿¿¿

¿¿

142. **

∫cos 3 x cos 4 xdx=¿|koristimo formulu ¿|¿¿

¿¿¿

¿¿

143. *

∫sinx2

cosx12

dx=¿|koristimo formulu ¿|¿¿

¿¿¿

¿¿

144. *

∫cosx2

cosx3

dx=¿|koristimo formulu ¿|¿¿

¿¿¿

¿¿

145. *

∫sin x sin ( x+ϑ ) dx=¿|koristimo formulu ¿|¿¿

¿¿¿

¿¿

146.

30

∫sin (2 x−π6 )cos (3 x+π

4 )sin 3 xdx=¿|koristimo formulu ¿|¿¿

¿¿¿

¿¿

147. *

∫sin x sin 2x sin 3 xdx=12∫ [cos (−x )−co 3x ] sin 3xdx=

12∫ [sin 3 x cos x−sin 3 xcos 3x ] dx=

=14∫ [sin 2 x+sin 4 x−sin 0−sin 6 x ] dx=−cos2 x

8−cos4 x

16+cos6 x

24+C

148. *

∫sin3 xdx=∫sin2 x sin xdx=∫ (1−cos2 x ) sin xdx=¿|cos x=t /d ¿|¿¿

¿¿¿

¿¿

149. *

∫cos3 xdx=∫ cos2 x cos xdx=∫ (1−sin2 x ) cos xdx=¿|sin x=t /d ¿|¿¿

¿¿¿

¿¿

150. *

31

∫sin4 xdx=∫ (1−cos2 x )2

4dx=1

4 ∫ (1−2 cos2 x+cos22 x ) dx=14 ∫(1−2cos 2 x+1+cos 4 x

2 )dx=

¿18∫ (2−4 cos2 x+1+cos 4 x ) dx=1

8∫ (3−4 cos2 x+cos4 x ) dx=

¿18

[3∫ dx−4∫ cos2 xdx+∫ cos4 xdx ]=18 [3 x−4

sin 2 x2

+sin 4 x4 ]+C=

¿38

x−14

sin 2 x+132

sin 4 x+C

151. *

∫cos4 xdx=∫ (1+cos2 x )2

4dx=1

4 ∫ (1+2cos2 x+cos22 x ) dx=14 ∫(1+2cos2x+1+cos 4 x

2 )dx=

¿18∫ (2+4 cos 2x+1+cos 4 x ) dx=1

8∫ (3+4cos2 x+cos4 x )dx=

¿18

[3∫ dx+4∫cos 2 xdx+∫cos 4 xdx ]=18 [3 x+4

sin 2 x2

+sin 4 x4 ]+C=

¿38

x+14

sin 2 x+132

sin 4 x+C

152.

∫sin4 x cos4 xdx=∫ (sin x cos x )4 dx=∫(12 sin 2 x)4

dx=¿|2 x=t /dt ¿|¿¿

¿

¿¿

153.

∫ tan3 xdx=∫ sin3 xcos3 x

dx=∫sin2 x sin xcos3 x

dx=∫ 1−cos2 xcos3 x

sin xdx=¿|cos x=t /d ¿|¿¿

¿¿

¿¿

154.

32

∫cos 2x cot3 xdx=∫ (1−2sin2 x ) cos2x cos xsin3 x

=¿|sin x=t /d ¿|¿¿

¿¿¿¿

¿¿

155. *

∫ dx

sin2 xcos2 x=∫ 1

14

sin22 xdx=4¿|2 x=t /d ¿|¿

¿¿¿

¿

¿

Metoda parcijalne integracije

Kod nekih integrala može se koristiti formula za parcijalnu integraciju:

∫udv=uv−∫vdu (18)

156. **

∫ ln xdx=¿|u=ln x du=1x

dx ¿|¿

¿¿¿¿

157. **

∫ x ln xdx=¿|u=ln x du=1x

dx ¿|¿

¿¿¿¿

158. *

33

∫ x ln2 xdx=¿|u=ln2 x du=2 ln xx

dx ¿|¿

¿¿¿¿

¿

¿

159. *

∫ xn ln xdx=¿|u=ln x du=1x

dx ¿|¿

¿¿¿¿

¿

¿

160. *

∫ x ln ( x2−1 ) dx=¿|x2−1=t /d ¿||2 xdx=dt ¿|¿

¿¿¿¿

¿¿

161.

34

∫ ( x2+x ) ln (x+1 ) dx=¿|x+1=t /d ¿||dx=dt ¿|¿¿

¿¿

¿¿

162. *

∫ ln ( x+√1+x2) dx=¿|u=ln (x+√1+ x2 ) du=1

√1+x2 ¿|¿

¿¿¿

¿

¿

163.

35

∫ √x ln2 xdx=¿|u=ln 2x du=2 ln xx

dx ¿|¿

¿¿¿¿

¿

¿

164.

∫(ln xx )

2

dx=∫ ln2 xx2

=¿|u=ln2 x du=2 ln xx

dx ¿|¿

¿¿¿¿

¿

¿

165. *

∫ ln xx3

dx=¿|u=ln x du=1x

dx ¿|¿

¿¿¿¿

¿

¿

166. *

36

∫ x3 ( ln x )2dx=¿|u= (ln x )2 du=2 ln x⋅1x

dx ¿|¿

¿¿¿

¿

¿

167.

∫ x2 ln1−x1+x

dx=¿|u=ln

1−x1+x

du=11−x1+x

⋅(1−x1+x )

′

dx=−21−x2

dx¿|¿

¿

¿¿¿

¿

¿

168. **

∫ ex+ln x dx=∫ ex e ln x dx=∫ xex dx=¿|u=x du=dx ¿|¿¿

¿¿¿¿¿

169. **

37

∫ x2e− x dx=¿|u=x2 du=2 xdx ¿|¿¿

¿¿

¿¿

170. *

∫ x3 e− x2

dx=∫ x2 xe− x2

dx=¿|−x2 =t /d ¿|¿¿

¿

¿¿

171. *

∫ e√x dx=¿|√ x=t /d ¿||12√ x

dx=dt ¿|¿

¿¿¿¿

¿

¿

172. **

∫ x sin xdx=¿|u=x du=dx ¿|¿¿

¿

173. **

∫ x cos xdx=¿|u=x du=dx ¿|¿¿

¿

174.

38

∫sin ( ln x ) dx=¿|u=sin ( ln x ) du=cos ( ln x )⋅1x

dx ¿|¿

¿¿¿¿

¿

¿

175.

∫cos (ln x )dx=¿|u=cos (ln x ) du=−sin (ln x )⋅1x

dx ¿|¿

¿¿¿¿

¿

¿

176. *

∫ x2sin 2 xdx=¿|u=x2 du=2 xdx ¿|¿¿

¿

¿¿

177. *

39

∫ x4 cos xdx=¿|u=x4 du=4x3 dx ¿|¿¿

¿¿¿

¿¿

178. **

∫ x

cos2 xdx=¿|u=x du=dx ¿|¿

¿¿¿¿

¿¿

179.

∫ x cos x

sin3 xdx=¿|u=x du=dx ¿|¿

¿¿¿¿

¿¿

180. *

40

∫ e−x sin xdx=¿|u=e−x du=−e−x dx ¿|¿¿

¿¿

¿¿

181.

∫ eax sin bxdx=¿|u=eax du=aeax dx ¿|¿¿

¿¿

¿¿

182.

41

∫ eax cosbxdx=¿|u=eax du=aeax dx ¿|¿¿

¿¿

¿¿

183.

42

∫ eax sin2 xdx=¿|u=sin2 x du=2sin xcos xdx=sin 2 xdx ¿|¿¿

¿¿¿

¿¿

43

184.

∫ eax cos2 xdx=¿|u=cos2 x du=−2sin x cos xdx=−sin 2 xdx ¿|¿¿

¿¿¿

¿¿

185. *

44

∫ arcsin xdx=¿|u=arcsin x du=1

√1−x2dx ¿|¿

¿¿¿¿

¿

¿

186. *

∫ arctan xdx=¿|u=arctan x du=1

1+x2dx ¿|¿

¿¿¿¿

¿

¿

187. *

∫ arctan√ xdx=¿|√x=t /d ¿|¿¿

¿¿¿

¿¿

188.

45

∫ x2arccos xdx=¿|u=arccos x du=−dx

√1−x2 ¿|¿

¿¿¿¿

¿

¿

189.

∫ ( arcsin x )2 dx=¿|u=(arcsin x )2 du=2 arcsin x

√1−x2 ¿|¿

¿¿¿¿

¿

¿

46

190.

∫ arctan ex

exdx=¿|u=arctan e x du=ex

1+e2 xdx ¿|¿

¿¿¿¿

¿

¿

191.

=¿∫arcsin x√1+ x

dx=¿|u=arcsin x du=1

√1−x2dx ¿|¿

¿¿¿

¿

¿¿

192.

47

∫ xearctan x

( 1+x2 )32

dx=∫ x

(1+x2)12

⋅earctan x

1+x2dx=¿

|u=x

(1+x2)12

du=1

(1+x2)32

dx ¿|¿

¿

¿¿

¿

¿

193.

∫ √a2−x2dx=¿|u=√a2−x2 du=−x

√a2−x2dx ¿|¿

¿¿¿¿

¿

¿

194.

48

∫√x2±a2 dx=¿|u=√x2±a2 du=x

√x2±a2dx ¿|¿

¿¿¿¿

¿

¿

195.

∫ x2

√x2+a2dx=∫ x2+a2−a2

√ x2+a2dx=∫ x2+a2

√x2+a2dx−a2∫dx

√ x2+a2=

¿∫ √x2+a2 dx−a2∫ dx

√x2+a2=¿|prethodni ¿|¿

¿¿

¿

¿

49

196.

∫ x2√a2+x2 dx=∫ x2 (a2+x2)√a2+x2

dx=∫ x2 a2+x4

√a2+x2dx=a2∫ x2

√a2+ x2dx+∫ x4

√a2+x2dx=

¿ a2∫a2+x2−a2

√a2+ x2dx+¿|u=x3 dx=3 x2 dx ¿|¿

¿¿¿

¿

¿

197.

∫ x2

( 1+x2 )2dx=¿|u=x du=dx ¿|¿

¿¿

¿

¿

50

198.

∫ x2

( a2+x2 )2dx=¿|u=x du=dx ¿|¿

¿¿

¿

¿

199.

∫ dx

( a2+x2 )2=1

a2 ∫a2dx

( a2+x2 )2dx=1

a2∫a2+ x2−x2

(a2+x2)2dx=1

a2 [∫ dxa2+x2

−∫ x2

a2+x2dx ]=

¿1a2

¿

¿

¿

200.

∫ x5

√1−x 4dx=¿|x

2=t /d ¿||xdx=12

dt ¿|¿

¿¿¿¿

¿

¿

U sljedećim zadacima treba kvadratni trinom transformirati u kanonski oblik a potom

prmijeniti tablične integrale

51

201. *

∫ dx

x2+2x=∫ dx

(x+1 )2−1=¿|x+1=t /d ¿|¿

¿¿¿

¿¿

202. *

∫ dxx2+3x

=∫ dx

(x+32 )

2

−94

=¿|x+32=t /d ¿|¿

¿¿¿

¿

¿

203. *

∫ dxx2+x+1

=∫ dx

(x+12 )

2

+34

=¿|x+12=t /d ¿|¿

¿¿¿¿

¿

¿

204. *

52

∫ dxx2−x+2

=∫ dx

(x−12 )

2

+74

=¿|x−12=t /d ¿|¿

¿¿¿¿

¿

¿

205. *

∫ dx3 x2−2 x−1

=∫dx

3(x2−23

x−13 )

=13∫ dx

(x−13 )

2

−19

−13

=13∫dx

( x−13 )

2

−49

=¿|x−13=t /d ¿|¿

¿¿¿

¿

¿

206. *

∫ dx3+x−x2

=∫ dx

3+14

−(x−12 )

2=∫ dx

134

−(x−12 )

2=¿|x−

12

=t /d ¿|¿

¿¿¿

¿

¿

207. *

53

∫ dx

√x+x2=∫ dx

√(x+12 )

2

−14

=¿|x+12

=t /d ¿|¿

¿¿¿

¿

¿

208. **

∫ dx

x2+5 x=∫ dx

x ( x+5 ) ∫(Ax

+Bx+5 )dx=I

1x ( x+5 )

=Ax

+Bx+5

/ x (x+5 )

1=A ( x+5)+Bx za x=0⇒1=5 A⇒ A=15

za x=−5⇒1=−5 B⇒B=−15

I=∫(15x −

15x+5 )dx=1

5 (∫1x

dx−∫1x+5

dx )=15

( ln|x|−ln|x+5|)+C=15

ln|xx+5

|+C

209.

210.

∫√a2−x2dx=¿|u=√a2−x2 du=-x

√a2−x2 ¿|¿

¿¿¿

¿

¿

54

55