of 246/246

Click here to load reader

B. P. Demidovic - Zadaci i Riješeni Primjeri Iz Više Matematike

  • View
    463

  • Download
    103

Embed Size (px)

Text of B. P. Demidovic - Zadaci i Riješeni Primjeri Iz Više Matematike

  • NASLOV ORIGINALA

    T C. T3APAHEHKOB, 5. n. J\EMWI0BHLJ, B. A. EHMEHI(O, C. KOf AH, f. JJ. JlYH1\, E. . nOPWHCSA, E. Il. CbIljESA,

    C. B. P0J10B, P. 51. W(JCTAK, A. P. 5II-TrI0.%CI(Hll

    3AllA4V1 VI YnPA}KHEHVl}l no

    MATEMATVl4ECKOMY AHAJIVl3Y

    ,UJl/! BTY30B

    no.LI, PE.ll.AKLtHErt 5. [1. llEMl1.UOBH4A

    H3.LI.AHHE .ll.EB;ITOE. CTEPEOH1nHOE

    ~ H31lATEJlbCTBO .HAYI(A.

    r J1ABHM! PEllAKUH5I H3HKOMATEMATHLJECKOn JlHTEPATYPbI

    t40CKBA 19!"

    PREVELI S RUSKOG Ing. 1. UREMOVI - Ing. Z. VISTRIKA

    REDAKTOR HRVATSKOSRPSKOGA IZDANJA

    PROF. DR ING. D. BLANUA redovni lan Jugoslavenske akademije znanosti i umjetnosti

    G. S. S. M.

    BARANENKOV, B. P. DEMIDOVl, V. A. JEFIMENKO, KOGAN, G. L. LUNe, E. F. PORNEVA, E. P. SYEVA, S. V. FROLOV, R. J. OSTAK, A. R. JANPOLJSKIJ

    ZADACI I RIJEENI PRIMJERI IZ ViE MATEMATIKE

    ......

    S PRIMJENOM NA TEHNieKE NAUKE

    PETO ISPRAVLJENO IZDANJE

    REDAKTOR: B. P. DEMIDOVI

    TEHNIKA KNJIGA ZAGREB

  • TISAK: BIROGRAFIKA - SUBOTICA

    PREDGOVOR PRVOM IZDANJU

    Gradivo iz raznih podruja vie matematike moe se samo onda temeljito svladati ako se pojedine metode i raunski postupci uvjebaju rjeavanjem veeg broja primjera. Povrh toga je neophodno da se vidi i primjena tih metoda na prob-leme prirodnih i drugih nauka te na tehnike probleme. To je dakako naroito vano za one koji matematiku izuavaju upravo radi tih primjena.

    Zbirku. koja evo izlazi u prijevodu sastavilo je vie ruskih autora _pod redak-cijom B. P. Demi"dovia. Ona se odlikuje bogatstvom dobro odabranih primjera iz svih podruja vie anaiLe, iz diferencijalnog rauna, integralnog rauna i dife-rencijalnih jednadbi, a obraene su i metode priblinog raunanja. Pri tom su u tekstu dana kratka, ali temeljita teorijska objanjenja i lijep broj potpuno izraenih standardnih primjera. Za sve numerike zadatke dana su na kraju knjige rjeenja, a za tee zadatke, oznaene sa jednom ili dvije zvjezdice (*) uz broj, i kratke upute. U dodatku se mogu nai neke najvanije tablice i niz nacrtanih krivulja. U samom tekstu takoer ima preko stotine crtea.

    Opseg obuhvaenog materijala vidi se potanje iz sadraja. Moe se rei da je uzeto u obzir sve to ulazi u okvir uvodnih predavanja vie matematike na fakul-tetima i visokim kolama, s izuzetkom analitike geometrije kojoj se redovno pos-

    veuju posebne zbirke zadataka. Vjerujem da je izdavanjem ove odline zbirke Tehnika knjiga, Zagreb, znatno

    olakala izuavanje vie matematike svim studentima koji se njome bave bilo kao glavnim predmetom studija, bilo kao sredstvom koje im je neophodno za svlada-vanje tehnikih ili drugih nauka, jer pored primjera koji slue uvjebavanju for-malnih postupaka ima velik broj primjera gdje se ti postupci primjenjuju na kon-kretne tehnike i fizikalne probleme.

    D. Blanua

    PREDGOVOR PETOM IZDANJU

    Ovo peto izdanje izlazi kao popravljeno. U njemu su otklonjene sve zapa-ene grafike pogreke, a pojedine definicije i pojmovi temeljitije su pojanjeni. Neke ispravke i preinake primili smo od redaktora ruskog izdanja B. P. Demi-dovi a, pa smo ih u cijelost.i, uz jo neke nae, uvrstili u ovo izdanje.

    Vjerujemo da e ovako preraeno, novo izdanje, jo vie olakati izuavanje vie matematike svim studentima, a naroito studentima kojima su "Demi-dovievi zadaci" obvezan udbenik. U listopadu 1978. 1. Uremovi -- Z. Vistrika

  • SADRAJ Str.

    Predgovor 5

    Glava L Uvod u analizu 11

    l. Pojam funkcije.. . . .. .. . . . . . . .. . . . . .. .. . . .. . . . . . . .. . . .. . . . . . . II 2. Grafovi elementarnih funkcija .. . . .. .. . . .. .. . . . . . . . . .. . . . . .. . . 16 3. Limesi .................................................... 22 4. Neizmjerno male i neizmjerno velike veliine .................. 33 5. Neprekinutost funkcija ...................................... 36

    Glava II. Derivi.ranje funkcija ............................... . 43 l. Neposredno izraunavanje derivacija .......................... 43 2. Tablino deriviranje ............................ oo oo oo 47 3. Derivacije funkcija koje nisu eksplicitno zadane 4. Primjena derivacija u geometriji i mehanici ... . 5. Derivacije vieg reda .... " .. '.' ............................. . 6. Diferencijali prvog i vieg reda ............................. .

    58 62 67 72

    7. Teoremi srednje vrijednosti .................................. 76 8. Taylorova formula ........ . . .. .. . . .. .. .. . . . . .. .. . . .. .. .. .. . . 77 9. L'Hospital-Bernoullijevo pravilo za neodreene oblike .. . . . . .. . . 79

    Glava III. Ekstremi funkcija i primjene derivacija II geometriji 83 1. Ekstremi funkcije jednog argumenta .......................... 83 2. Smjer konkavnosti. Take inf1eksije .......................... 91 3. Asimptote ....... . .. .. ................................... 92 4. Konstrukcija grafova funkcija prema karakteristinim takama 95 5. Diferencijal luka. Zakrivljenost. . ....................... 0...... 100

    Glava IV. Neodreeni integral 105

    l. Neposredno integriranje oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo 105 2. Metoda supstitucije .. oo oo oo oo .. oo oo .. oo oo .... oo .... oo .. oo .. 112 3. Parcijalna integracija ...... oo oo.. oo .... oo oo oo oo oo oo .. oo oo oo 116 4. Jednostavniji integrali s kvadratnim trinomom ................ 117 5. Integriranje racionalnih funkcija .. oo oo .. oo oo oo oo .. oo oo oo .. oo .. 121

  • 8 SADRZAJ

    6. Integriranje nekih iracionalnih funkcija .................. " ... . 7. Integriranje trigonometrijskih funkcija ....................... . 8. Integriranje hiperbolnih funkcija ........................... . 9. Primjena trigonometrijskih i hiperbolnih supstitucija na odredivanje

    integrala oblika J Rex, Vax2 +bx+c) dx, gdje je R racionalna funk-cija .................. " .................. " ... , ........... .

    10. Integriranje raznih transcendentnih funkcija .. " ... , ........... . l I. Primjena redukcionih formula ..... , ............. , ........... . 12. Integriranje raznih funkcija

    Glava V. Od.redeni integral

    1. Odreeni integral kao limes sume ........................... . 2. Izraunavanje odreenih integrala pomou neodreenih ......... . 3. Nepravi integrali ........................................... . 4. Zamjena varijable u odreenom integralu .. " ............... . 5. Parcijalna integracija ....................................... . 6. Teorem o srednjoj vrijednosti ................ " ......... , ... . 7. Povrine ravninskih likova oo oo oo oo oo oo oo .. oo oo oo .. oo .... oo oo 8. Duljina luka krivulje ....................................... . 9. Volumeni tijela

    10. Povrina rotacione plohe .. oo .. oo .. oo oo oo oo oo oo oo oo oo .. oo oo oo 1 J. Momenti. Teite. Guldinovi teOl'emi ....................... . 12. Primjena odreenih integrala na rjeavanje zadataka iz fizike ... .

    Glava VI. Funkcije vie varijabli l. Osnovni pojmovi ..................... , .................. 2. Neprekinutost ................... , .. " ..................... . 3. Parcijalne derivacije ............................ " ......... . 4. Totalni diferencijal funkcije ................................. . 5. Deriviranje sloenih funkcija .. , ..... , ...................... . 6. Derivacija li zadanom smjeru i gradijent funkcije ............. . 7. Derivacije i diferencijali vieg reda .. oo oo oo .......... oo ...... .. 8. Integriranje totainih diferencijala ........................... . 9. Deriviranje implicitno zadanih funkcija ... , " ................. .

    10. Zamjena varijabli .... " ................................... . ll. Tangencijalna ravnina i normala na plohu ................... . 12. Taylorova formula za funkcije vie varijabli ................... . 13. Ekstremi funkcija vie varijabli ...... " ....................... . 14. Zadaci za odreivanje najveih i najmanjih vrijednosti funkcija ... . 15. Singularne take ravninskih krivulja ....................... , ... .

    Str.

    125 128 133

    134 136 136 136

    139

    139 141 144 148 150 ]51 153 ]58 161 165 166 170

    177

    177 181 182 185 187 191 194 200 203 210 215 218 220 224 226

    SADRZAJ

    16. Ovojnica ................................................. . 17. Duljina luka prostorne krivulje ............................. . 18. Vektorska funkcija skalarnog argumenta ....................... . 19. Popratni trobrid prostorne krivulje ........................... . 20. Zakrivljenost i torzija prostorne krivulje .................... " ..

    Glava VII. Viestruki i krivuljni integrali oo 0 0.0 oo o, oo oo:.

    l. Dvostruki integral u pravokutnim koordinatama ............ " .. 2. Zamjena varijabli u dvostrukom integralu ...... " ............. . 3. Izraunavanje povrina likova .......... " ................... . 4. Izraunavanje volumena tijela ............................... . 5. Izraunavanje povrina ploha ................................. . 6. Primjene dvostrukog integrala u mehanici ..................... . 7. Trostruki integrali ......................................... . 8. Nepravi integrali ovisni o parametru. Nepravi viestruki integrali .. 9. Krivuljni integrali ...................................... .

    10. Ploni integrali ...... " ................... , " ............... . ll. Formula Ostrogradskog-Gaussa ....................... . 12. Elementi teorije polja ....................................... .

    Glava VIII. Redovi

    l. Redovi brojeva ......... . 2. Redovi funkcija ........................................... . 3. Taylorov red 4. Fourierovi redovi

    G l a v a IX. Diferencijalne jednadbe I. Provjera rjeenja. Sastavljanje diferencijaInih jednadbi porodica kri-

    vulja. Poetni uvjeti ..................................... . 2. Diferencijalne jednadbe prvog reda ..................... . 3. Diferencijalne jednadbe prvog reda sa separiranim varijablama. Or-

    togonalne trajektorije .................. " ................. . 4. Homogene diferencijalne jednadbe prvog reda ................. . 5. Linearne diferencijalne jednadbe prvog reda. Bernoullijeva jednadba 6. Egzaktne diferencijalne jednadbe. Eulerov multiplikator ....... . 7. Diferencijalne jednadbe prvog reda koje nisu rijeene s obzirom na

    derivaciju ............................................ " ... . 8. Lagrangeova i Clairautova jednadba ... , ..................... . 9. Razne diferencijalne jednadbe prvog reda ......... ' ........... .

    10. Diferencijalne jednadbe vieg reda .' ......................... . I l. Linearne diferencijalne jednadbe ........................... .

    ')

    SIr.

    229 230 231 234 238

    241

    241 246 249 250 252 253 255 261 265 274 276 277

    283

    283 295 301 307

    311

    31 I 314

    316 319 320 323

    325 328 329 334 338

  • 10 SADRZAJ

    Str.

    12. Linearne diferencijalne jednadbe drugog reda s konstantnim koefi-cijentima ... ,.............................................. 340

    13. Linearne diferencijalne jednadbe viega od drugog reda s konstant-nim koeficijentima ... , . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . 345

    14. Eulerova jednadba . . .. . . . . .. .. . . .. . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . 346 15. Sistemi diferencijainih jednadbi 16. Integriranje diferencijaInih jednadbi pomou redova potencija 17. Zadaci za Fourierovu metodu

    Glava X. Priblini raun I. Raunanje s prib1inim vrijednostima 2. Interpolacija funkcija ............. . 3. Odreivanje realnih korijena jednadbi 4. Numeriko integriranje funkcija 5. Numerika integracija obinih diferencijaInih jednadbi 6. Priblino izraunavanje Fourierovih koeficijenata

    Odgovori

    Prilozi

    1. Grki alfabet II. Neke konstante

    III. Reciprone vrijednosti, potencije, korijeni, logaritmi IV. Trigonometrijske funkcije V. Eksponencijalne, hiperbolne i trigonometrijske funkcije

    VI. Neke krivulje .. _ ............... ..

    347 350 352

    355

    355 359 363 368 371 378

    381

    475 475 476 478 479 480

    GLAVA I

    UVOD U ANALIZU

    1. Pojam funkcije r. Realni brojevi. Racionalne i iracionalne brojeve nazivamo realnim brojevima.

    Pod apsolutnom vrijednosti realnog broja a podrazumijevamo nenegativni broj lal, odreen uvjetima: lal = a kada je a ;;'0, i lal = -a, kada je a

  • 12 UVOD U ANALIZU

    Rjefe1lje. Ako jednadbu (1) rijeimo po x, dobivamo: 2-x ~ 1-Y

    19 (l - y)*) x~ ------ (2)

    Ig2

    Podruje definicije funkcije (2) oigledno je ovo: -- (xl o

    napiite pomou jedne formule, koristei se oznakom apsolutne vrijednosti. *) 19 x 'o. log,. x, oznauje dekadski logaritam broja x.

    POJAM FUNKCIJE 13

    Odredite podruja definicije funkcija:

    U. a) y=y'x+1; b) J'=Vx+l~ 12. 1 V = - 2' - 4-x

    13. a) y = Jx2-2; b) y = xJx2-2.

    14**. Y = 12+x_X2. 15. 1

    Y=0+ .h+x

    16.

    18.

    20.

    22.

    23..

    24*.

    25.

    26.

    )" = JX_ X3. 2

    Y = IgX -3x+2 x+l

    17. Y = Ig2+x 2-x'

    2x 19. y = arccos --l+x

    r = arcsin (lg ..::..). . 10 21. J' = JSin 2x.

    Neka je f(x) = 2x4 -3x3 -5x2 +6x-10. Izraunajte 1 [ . tp (x) =- /(x)+/( -x)] 2

    1 1/1 (x) =-[j(x)-J( -x)].

    2 Funkciju f(x) definiranu u simetrinom podruju -1

  • 14 UVOD U ANALIZU

    27. Izrazite duinu odsjeka y = MN i povrinu S lika AMN kao funkciju od x = AM (sl. 1) te konstruirajte grafove tih funkcija.

    A

    II 12 13 AI

  • 16 UVOD U ANALIZU

    2. Grafovi elementarnih funkcija Grafove funkcija Y = f (x) konstruiramo tako da naClnlmO dovoljno gustu mreu taaka

    Mi (x" Yi), gdje je Yi = f (xi) ci = O, l, 2, ... ), i te take spojimo linijom, koja njima prolazi. Za izraunavanje preporuamo sluiti se logaritamskim raunalom. .

    \ \Y2 \ \

    y

    "-

    "" "" .' """'->

  • 18 UVOD U ANALIZU

    68.

    69.

    10.

    2x ( . ) Y = --~ Newtonova serpent ma . x 2 +1

    1 )' = x+ 2 x

    y = X2+~ X

    (Newronov trozubac).

    Konstruirajte grafove iracionalnih funkcija: 11*. Y= ~ 13*. y=v (Neilova parabola).

    74. y = xj;- (semikubna parabola!.

    75*. 3 ,---

    Y= S)25-x2 (elipsa).

    76. ('---

    J' = .J x2 -1 (hiperbola).

    78*. y= x!2- (Dioklova cisoida). 4-x

    72.'" Y = v;.

    n. )' = ---o ,h-x2

    79. l' = +xJ25-X2.

    Konstruirajte grafove trigonometrijskih funkcija:

    80*. Y = Sin X.

    82*. Y = tgx.

    84*. y = secx.

    86. " l y=Asmx, akoje A=l, 10, -, -2. 2

    87*. v = sin nx, ako je II = l, 2, 3, O 2 ,

    88. . ( k' n 3n y=sm x-cp), a o Je cp= , -, - Tr, 2 2

    89*. Y = 5sin(2x-3).

    lH*. Y = cosx.

    83*. y = ctgx.

    85*. y = cosec x.

    n

    4

    90*. y = asinx+bcosx, ako je a = 6, b = -8.

    2 GRAFOVI ELEMENTARNIH FUNKCIJA

    91. y = sinx+cosx. 92*. y = cos 2 X.

    93*. Y = x+sinx. 94*. y = xsinx.

    95. y = tg 2 x. 96. .\' = 1-2cosx.

    . l. 3 98. l l' = smx--sm x. y = cosx+ -cos2x. . 3 2

    91.

    99*. n

    y = cos-o 1110. y = )sinx. x

    Konstruirajte grafove eksponencijalnih logaritamskih funkcija:

    11)1:" J' = aX, ako je a = 2, e Ce = 2,718 ... )*). 2

    . 1 102*. v = loga x, ako Je a = 10, 2, -, e.

    o 2

    :HI3*. y = shx, gdje je shx =~(eX_e-X). 2

    104*. V = chx, gdje je chx =~ (ex+e- X). . . 2

    sh x 105*. y = thx, gdje je thx =--.

    ch x

    107*. y = e -x' (krivu /ja vjerojatnosti). l

    108. Y = 2 x'

    110. Y = Ig2 X.

    I 112. y = --o Igx

    114. J=lg(-x). U6. y = 19(cosx).

    Konstruirajte grafove ciklometrijskih funkcija:

    118*. y = arcsin x.

    120*. r=arctgx.

    *> O broju e detaljnije vidjeti na str. 23.

    ~ 106. J' = 10"

    109. Y = Igx2 .

    111. r = Ig(lgx).

    113. J y =Ig-. x

    115. y = log2(l +x). 117. J = 2- x sinx.

    119*. J = arccos x.

    121 *. y = arcctg x.

    19

  • 20 UVOD U ANALIZU

    122. . I

    y = arCSlfl-. x

    124. y = x+arcctgx.

    Konstruirajte grafove ovih funkcija:

    125. y = 14

    127. a) y = xlxl; b) y = logj/2lxl.

    123. I

    y = arccos -. x

    1 126. y = -(x+lxJ). 2

    128. a) y = sinx+lsinxl; b) y = sinx-Isinxl

    129. {3 - x2 za lxi ~l ;

    y- 2 - - za lxi>!.

    lxi 130. a) y = [x], b) y = x - [x], gdje je [x] najvee cijelo broja x, tj. najvei

    cijeli broj, manji ili jednak x.

    Konstruirajte grafove funkcija u sistemu polarnih koordinata (r, O) (kardioida). 140*. r2 = a 2 cos2tp (a>O) (lemniskata).

    Konstruirajte grafove funkcija koje su zadane parametarski : 141*. x=t3, y = t2 (semikubna parabola). 142*. x = IOeos t, y = sin t (elipsa). 143*. x = IOcos3 t, y = 10 sin3 t (astroida). 144*. x=a(cost+tsint), y=a(sint-teost) (evoiventa krunice).

    145*. at x=--' l+t 3

    at2 y = --3- (Descartesov list). 1+1

    2 GRAFOVI ELEMENTARNIH FUNKCIJA

    a at (polukrunica ). 146. x--- y---- J1+;2' - J1+;2

    147. x = 2'+2-', y = 2'_2-' (grana hiperbole). 148. x = 2cos 2 t, y=2sin2 t (odsjeak pravca). 149. x = t_t2 , y=t2 _t 3 150.* x = a (2 cos t - cos 2t), Y = a(2sint-sin2t) (kardioida).

    Konstruirajte grafove funkcija koje su zadane implicitno. 151*. x2 + y2 = 25 (krunica). 152. xy = 12 (hiperbola).

    153*. y 2 = 2x (parabola). 154. x2 y2 100 + 64 = 1 (elipsa).

    2 2 2

    155. y2 = x 2 (100-x 2 ). 157*. x+ y = 1Olgy.

    156*. x"3 + y"3 = a"3 (astroida). 158.

    159* .J x2 + .1'2 = eArctg ,Ix (logaritamska spirala). 160*. X 3 +y3_3xy = O (Descartesov list).

    x 2 = eosy.

    21

    161. Sastavite formulu za prijelaz od Celzijeve (C) skale na skalu Fahrenheita (F), ako znamo, da O e odgovara 32 oF i 100 e da odgovara 212 OF. Konstruirajte graf dobivene funkcije.

    162. U trokutu, kojemu je baza c = 10 i visina h = 6, upisan je pravokutnik (sl. 5). Treba Izraziti povrinu y toga pravokutnika kao funkciju njegove baze x. Konstruirajte graf te funkcije i naite njenu najveu vrijednost.

    y' >.8

    Slika 5. Slika 6.

    163. Trokut ABC ima stranice BC = a i AC = b te promjenljivi kut 1:: ACB = x (sl. 6). Izrazite y = povrina L::. ABC kao funkciju od x. Konstruirajte graf ove funkcije i naite njenu najveu vrijednost.

  • 22 UVOD U ANALIZU

    164. Grafiki rijeite ove jednadbe: a) 2x z -5x+2=0; b) x3+ x -l =0; e) 19x = O,lx; d) lO-x = x;

    e) x = 1+0,5sinx; f) ctgx =X (O

  • 24 UVOD U ANALIZU

    166. Dokaite da je limes niza 1 1, -, 4 9 n2

    kada n->- oo jednak nuli. Za koje e vrijednosti n biti zadovoljena nejednadba 1 -N biti zadovoljena nejed-nadba

    IXn-ll

  • 26

    187.

    189.

    2x+3 lim ----:JF'

    x ...... ,x. X+,I x

    lim ~/x 2+ 1 X-T, x+ I

    UVOD 11 ANALIZU

    188.

    190.

    x2 lim--- --- . X-', lo+xE

    .J; _ .. __ _ lim V r--r:co , X~+% x+vx+vx

    Ako su P (x) i Q (x) cijeli polinorni, a P (alTO ili Q (a)TO, tada limes racionalnog razlomka

    dobivamo direktno.

    p (x) lim --o x-a Q (x)

    Ako je pak P (a) = Q (a) = O, tada se preporua razlomak P (x) skratiti jedanput ili ne-Q(x)

    koliko puta s binomom x--a.

    Primjer 3. . ~-4 . ~-~~+~ . x+2 hm -----= hm = hm -- = 4.

    x-.2 x2 - 3x + 2 x+2 (x - 2) (x - 1) x->2 x-l

    191.

    193.

    195.

    197.

    3 J. x +1 lm -----

    x--l x 2 + 1

    . x 2-1 lim -----'-x-'-! x 2 +3x+2

    3 3 - ') ]' x -.X+L lm -----_.-x-l x 4 -4x+3

    . (X+h)3_ X3 lim ---------. ~l-O h

    192. lim x 2 - Sx + 10 x-5 x 2-25

    1941. . x2

    _ 2x lIm ----_.--x~2 x2-4x+4

    HIS. . x2-(a+l)x+a hm ----;;--x-a ,,\"-

    , l 3) 198. lim( --- - -: .... -- . x-l l-x l-x3 ;

    Izrazi, koji sadre iracionalnosti, dovode se esto li racionalni oblik uvoenjem nove varijable.

    Primjer 4. Naimo Vlh--l

    lim -----. x>O V!+ x- l

    Rjeenje. Ako stavimo -~- x -

    dobivamo

    lim x--+O Vt + x~l

    . y' _ I . y2 + y + I ~ hm -~--~ hm ---),-1 y2_ 1 .\'-rl Y-+ 2

    199. lim fx-J. 200. l' /,--8 lm---. x~1 x-1 x-64 Vx-4

    fx-l 202. . fxz-2fx+ l 201. lim ----o Ilin ------x~l \f;-t x~l (x-l)2

    3 LIMESI 27

    Drugi nain odreivanja limesa iracionanlog izraza je taj da iracionalnost prebacirno iz brojnika u nazivnik ili obrnuto iz nazivnika u brojnik. Primjer 5 .

    [email protected]

    205.

    207.

    209.

    2U.

    213.

    x-a . Vx-lG hm-- lim ----=-..,..,.--

    (x - a) (Vx + ]la) lim---x-+a vx + ]la I

    2Va (a> O). x--+a x-a

    x~7 x 2 -49

    ;;-1 iim .1 . x-l ~x-J

    x---+a

    . ~-h-x hm . x""" o x

    . if;'+h-Vx (x*O). hm h

    h~O

    lim CJx+a-.Jx). x-l> + oo

    lim CE2-5x+6-x). x-> + oo

    204.

    206.

    208.

    210.

    212.

    214.

    lim~ x~8 31 . \/x-2 lim 3-JS+x x- 4 1- r;-' v:l-X

    \. -./x+h-.Jx lm -'------'--h-O h

    Cx> O).

    I. JX2~ 2x + 6--./ x2 +2x- 6 lm 2 x-3 X -4x+3

    lim [-./ x(x + a) - x J. x-+co

    lim x(-./x 2 +1-x). x- +00

    215. lim (x + ~h - x 3 ). x-oo

    Pri raunanju limesa esto se koristimo formulom

    lim sin X. = 1 X---4O X

    i pretpostavljamo kao poznato da su lim sin x = sin IX lim cos x = cos IX. x~a x-a

    Primjer 6. sin 5x (Sin 5x ) lim-- = lim --5 = 15 =5.

    x--+O x X--I>O 5x

    216. ) r sin x b) lim SIn X sin 3x a Im--; 2:1'3. iim---. x-2 x x~oo X x-o x

    218. r sin 5x Im---. 219. r sin n:x Im---. x-o sin2x X~ 1 sin 3n:x

    220. lim (nSin~). 221. lim 1- cos x n-t oo n x~o x 2

    222. lim sin x-sin a 223. lim cos x -cos a x~a x-a x-a x-a

  • 28

    224. l, tgnx nn ... -x~-2 x+2 '

    226. lim sin x - cos x x~" l-tgx

    4

    2 '( nx 28. hm l-x)tg-, x~l 2

    229. lim ctg 2x ctg (.2. - x) , X~O 2

    231. \' 1-2cosx lm-----n n-3x

    x--+3

    233. lim tg x - sin x x-o x 3

    235.

    237.

    239.

    lim _a_fc_t""g_2_x X~O sin 3x

    lim X~O

    x-sin2x x+sin 3x

    lim l-Jcosx X~O x 2 Pri odreivanju limesa oblika

    UVOD U ANALIZU

    225.

    227.

    230.

    232.

    234.

    236.

    238.

    240.

    lim [y (X)]a prema tome

    t --- >(x)

  • 30 UVOD U ANALIZU

    Openito je korisno upamtiti da je

    ( k)X lim 1+- = i. X-fr X

    . C+x)X ( 1 J+l 242. x-241. !tm --- lim--x-o 3-x x-l x 2 -1

    2x sin x

    . C)~i 2441. r (Xl -2X+3) 243. hm - . X-J) x 2 :~ x2-3x+2

    (2 r lim(l-~-J 245. r x +2 246. lm --x- if 2X2 + 1 n---+Cf) n

    ;~n~ (1+ ~y ( x y 247. 248. lim --X-CXl x+l

    (X_l}'+2 lim (l+~J 249. lilT' .-- 250.

    X-Cfe x+3 n---+ cr; n 1 1

    251. lim (l+sinx)x . 252**. a) lim (cos x) x ; x-o x-o

    1

    b) lim (cOSX),2. x-o

    Pri izraunayanju nie navedenih limesa korisno je znati, ukoliko egzistira i pozitivan lim f (xl, da je

    Primjer lO. Dokaimo da je

    Rjcmje. Imamo . ln (11- x)

    hm ----x-o

    Jim [Jn f(x)] = ln [lim f(x)].

    ln (I x) lim = l.

    :0:-+0 X

    lim [ln(l + l = ln [lim (1 + xl x] = ln e = 1 . x-.. o X-1"O

    Formulom (*) esto se koristimo pri rjeavanju zadataka.

    253. lim [ln(2x+l)-ln(x+2J]. 254. lim 19 (1JOx): X""'" + oo .x~0 X

    255. . e J) 256. lim x[Jn(x+l)-lnx]. ~I~~ \~ln J-x' x- + ct) 257. lim l~ (cos x) . eX _! 258*. lim-~-.

    x-..... o x2 x-~O X

    (*)

    3

    a X -l 259*. lim-- (a >0).

    261.

    x-o X

    eQX bx -e lim---.

    x---{oQ x

    LIMESI

    2611*. lim nCva-l) (a>O). n-'Xl

    l. -x -e 262. lim ---o

    x-o sin x

    j . shx 263. a) lm .--; b) lim chx-l x2

    (vidi br. 103 i 104). x---+O X x-o

    Izraunajte ove jednostrane limese:

    264. a) lim __ x __ . X- -.7) J7+1 ' b)

    x lim ---o x-+coN+l

    265. a) lim thx; b) lim th x, X""" + cf)

    266. a) lim 1 '

    b) r 1 Im--l

    x--+ -o - x--+ +0 -1 +e x I +e x

    267. a) l" lnO+eX ) lm b) r In(1+eX ) lm---

    x- - cc X x-+oo X

    268. a) r Isin xl lm--; b) r Isinxl Im--. x--+ -o X x- +0 x

    269. a) lim x-l b) lim x-l x-I-O lx-ll x-1+0 lx-ll

    [email protected] a) lim x b) lim x --x-2-0 x-2 x-2+0 x-2

    Konstruirajte grafove funkcija (n je prirodan broj):

    gdje je thx = eX_e-x e.x+ e- x

    2'H*. y = lim (cos 2nx). 272*. y = lim _x_ (x:?O). U+OO 1 +xn -"~OJ

    273. y = lim JX2+rx2. 274. y = lim (arctg nx). a-O "-'Xl

    275. y = lim r;J 1 + x" (x ;;:0). n-oo

    276. Pretvorite II obian razlomak zadani mjeoviti periodski razlomak ci = 0,13555 ... ,

    razmatrajui ga kao limes konanog razlomka.

    31

  • 32

    277.

    218. 219.

    280.

    UVOD U ANALIZU

    to se deava s korijenima kvadratne jednadbe ax 2 +bx+c = 0,

    ako koeficijent a tei k nuli, a koeficijenti b i e su konstantni, pri emu je b * O?

    Izraunajte limes unutarnjeg kuta pravilnog n-terokuta kada n->- oo. Naite limes opsega pravilnih n-terokuta upisanih krunici polumjera R njoj opisanih, kada n--'7 oo.

    Izraunajte limes zbroja ordinata krivulje y = e-xcosnx,

    u takama x = 0, I, 2, ... , n, kada n--'7 oo. 281. Izraunajte limes zbroja povrina kvadrata konstruiranih na ordinatama

    krivulje y=2 1 - X

    kao bazama, gdje je x = l, 2, 3, ... , n, uz uvjet da n-o> oo. 282. Izraunajte limes kada n -~ oo duljine lomljene linije MoMI ... Mn' upisane

    u logaritamsku spiralu r = e-'P,

    ako vrhovi te linije imaju polarne kutove 'Po = O, IT ,

    'P1=2'" nil

    'Pn = 2.'

    b

    At~0AA~y Slika 7. Slika 8 ...

    283. Odsjeak AB = a (sl. 7) podijeljen je na n jednakih dijelova, a na svakom od tih dijelova kao bazi konstruiran je istokrani trokut s kutovima uz bazu jed-nakim rx = 45. Pokaite, da se limes duljine dobivene lomljene linije razli-kuje od duljine odsjeka AB bez obzira na to to se u limesu lomljena linija geometrijski stapa s odsjekom AB.

    284. Taka Gl raspolavlja odsjeak AB = l; taka G2 raspolavlja odsjeak AGI; taka G3 raspolavlja odsjeak G2GI , taka G4 raspolavlja odsjeak G2G3 itd. Odredite granini poloaj take Gn kada n -->- oo.

    285. Kateta a pravokutnog trokuta razdijeljena je na n jednakih dijelova, a na dobivenim odsjecima konstruirani su upisani pravokutnici (sl. 8). Odredite limes povrine dobivenog stepenastog lika, ako n--'7 oo.

    4

    286.

    287*.

    NEIZMJERNO MALE I NEIZMJERNO VELIKE VELI CINE 33

    Izraunajte konstante k i b iz jednadbe

    , ( x 3 + 1) lim kx+b--2-- = O. x~ao x +1 (1) Objasnite geometrijski smisao jednadbe (l). Neki kemijski proces tako tee da je prirast koliine materije u svakom vre-menskom razmaku Tiz beskonanog niza vremenskih razmaka (iT, (i+ l}r) (i = = 0, l, 2, ... ) proporcionalan koliini materije u poetku tog vremenskog razmaka i veliini vremenskog razmaka. Pretpostavivi da je u poetku koliina materije bila Qo, odredite koliinu materije Q(~), nakon vremena

    t t, ako se koliina materije poveava svaki n-ti dio vremena r=-.

    n Izraunajte Qr = lim Q~n).

    4. Neizmjerno male i neizmjerno velike veliine 10. Neizmjerno male veliine. Ako je

    lima (x) = 0, x~a

    tj. ako je i" (x) I

  • 34 UVOD U ANALIZU

    Limes kvocijenta dviju neizmjerno malih veliina ne mijenja se ako lanove kvocijenta zamijenirno ekvivalentnim veliinama. U skladu s ovim teoremom pri izraunavanju limesa razlomka

    I. cx(x) lm-, x~af3(X)

    gdje 1. (x)-+O i f3 (x)-+O kada x-+a, u brojniku i nazivniku razlomka moemo oduzimati ili prib. rajati neizmjerno male veliine viih redova, tako odabrane da veliine koje ostaju budu ekvh'alentne prijanjim. Primjer 1.

    Vx3 +2x' vxs lim lim x->O ln (l + 2x) x->O 2x 2

    2, Neizmjerno velike veliine. Ako za po volji odabrani veliki broj N postoji takav 8 (N), da je za 0< lx-al N, funkciju f (x) nazivamo neizmjerno velikom veliinom kada x-+a.

    Analogno se definira neizmjerno velika veliina f (x) kada x-+oo. Slino tomu kako je uinjeno za neizmjerno male veliine, uvodi se pojam neizmjerno velikih veliina razliitih redova. 288. Dokaite da je funkcija

    J(x) = sin x x

    neizmjerno mala veliina kada x-+ oo. Za koje je vrijednosti x zadovoljena nejednadba

    IJ(x) I

  • 36 UVOD U ANALIZU

    301. Dokaite da za x-+O s tanou do lanova reda x 2 vrijede pribline jed-nadbe:

    1 a) ~- ~ l-x;

    l+x

    b) Ja2+x~a+!:.... (a>O); 2a

    e) (1 +x)"~l+nx (n je prirodan broj); d) Jg(l+x):::;; Mx, gdje je M = 1ge = 0,43429 ...

    Polazei od tih formula izraunajte priblino: 1 l) ---;

    1,02 2) _1_;

    0,97 l

    3) 105; 4) Ji5; 5) 1,043 ; 6) 0,93 4 ; Usporedite dobivene vrijednosti s podacima iz tablica.

    302. Pokaite, da je cijela racionalna funkcija p (x) = aOx"+alx"-l+ ... +a" (aOo;FO),

    7) 19 1,1.

    kad X--l- oo, neizmjerno velika veliina ekvivalentna najviem lanu aox". 303. Neka X--l- oo. Uzevi x kao neizmjerno veliku veliinu prvog reda odredite

    red porasta funkcija: a) x 2-100x-l000; c) Jx+JX;

    b) x5

    x+2 d) Vx~-b:2.

    5. Neprekinutost funkcija 1. Definicija neprekinutosti. Funkciju Jex) nazivamo neprekinutom za x =~ (ili

    ll taki I;

  • 38 UVOD U ANALIZU

    Primjer 4. Funkcija y = E (x), gdje E (x) oznaava najvee cijelo broja x (tj. E (x) je cijeli broj, koji zadovoljava jednadbu x = E (x) +q, gdje je () ~q< l), prekinuta je (sl. 10,b) u svakoj cjelobojnoj taki: x = 0, l, 2, ... , pri emu su sve take prekinutosti prve nste.

    Zaista, ako je n cio broj, onda je E (n- O) = 11- I i E (n + O) = ll. U svim drugim takama ta funkcija je, oigledno, neprekinuta.

    Sve take prekinutosti funkcije koje nisu take prekinutosti prve vrsti nazivamo lakal1la prekinutosti druge vrsti.

    U take prekinutosti druge vrsti spadaju takoer take neizmjerne prekinU/osti, tj. one take xn' za koje je bar jedan od jednostranih limesaJ(xo-O) iliJ(xo+O) jednak oo (vid-jeti primjer 2).

    y

    l y= II-x}2

    aj

    x

    y

    -II I I

    y

    y=EfxJ 21---------~

    I I I I I I

    ---.,---, I I I I I I I I I I

    o 2 3 X

    b)

    x

    5 NEPREKINUTOST FUNKCIJA 39

    Funkcija J (x), koja je neprekinuta na odsjeku [a, bl, ima ova svojstva: Il f(x) ograena je u [a, bl tj. postoji neki broj M takav, da je fJ(x)1 ~M za a~x~b;' 2) f (x) ima u [a, bl najmanju i najveu vrijednost; 3) f (x) poprima sve vrijenosti izmeu dvije zadane, tj. ako je f (CL) = A i J (fl) = B (a ~,,< (3 ~b)

    i A XC B, tada za bilo koji broj C izmeu A i B postoji barem jedna vrijednost x=y ('l.

  • 40 UVOD U ANALIZU

    314. Desna strana jednadte . l JCx) = 1 ~x Stn-

    x

    gubi smisao za x = O. Kako treba izabrati vrijednost J (O) da funkcija J (x) bude neprekinuta za x = O?

    :U5. Funkcija l

    J(x) = arctg--x~2

    gubi smisao za x=2. Je li mogue odrediti takvu vrijednost J (2), da dopunje-na funkcija bude neprekinuta za x = 2?

    316. FunkcijaJ (x) nije definirana za x = O. OdrediteJ (O) tako daj (x) bude nepre-kinuta za x = ako je zadano: a) J(x) = (l+x)"~l

    b) J(x)

    x

    l~cosx 2

    X

    (11 je prirodan broj); d) JCx) = eX~e-x. x

    e) J(x) = x 2 sin ~ ; x

    ;) NEPHEKINUTOST FUNKCIJA 41

    331. Dokaite da je Dirichletova funkcija X(x), koja je jednaka nuli kada je x iracionalan i jednaka l ako je x racionalan, prekinuta za svaku vrijednost x.

    Istraite s obzirom na neprekinutost konstruirajte grafove ovih funkcija: l

    332. Y = !~~ l +x" 333. Y= lim (xarctgl1x).

    "~m

    (x ?O).

    334. a)y = sgnx, b)y = xsgnx, c)y = sgn (sin x) gdje je funkcija sgn x definirana formulama:

    1+1, ako je x>O, sgn x = 0, ako je x = O, ~ l, ako je x < O.

    335. a)y = x-E(x), b)y = xE(x), gde je E (x) najvee cijelo broja x. 336. Navedite primjer koji e pokazati da zbroj dviju prekinutih fl'nkcija moe

    biti neprekinuta funkcija. 337*. Neka je.~ pravi pozitivni razlomak koji tei k nuli (O

  • 42 DEHIV1RAN.IE FUNKCI.J .. \. II

    GLAVA II

    DERIVIRANJE FUNKCIJA

    1. Neposredno izraunavanje dedvadja Prirast argumenta i prirast funkcije. Ako su x i x, vrijednosti argumenta x, a

    y c~I(x) i YI -~I(x,) odgovarajue vrijednosti funkcije y --=f(x), onda l'.x = xj-x

    nazivamo prirastom Ql:..r:umellta x li intervalu [X j Xl]' a l'.Y=YI-Y

    ili l'.y =f(xJ)-f(x) =f(x+l'.x)-f(x) (1)

    priraSlOIII fllllkeije y u istom intervalu [x, x,J (sl. ll, gdje su :"x = lifA i :"y -, AN). Kvocijent

    ~J' = tgrx l'.x

    preJstavIja koeficijent smjera sekame ivIN grafa funckije y = f (x> (sl. ll) i naziva se sredIlJom brzinollI mijenjanja funkcije y u intervalu [x, x + i'lx J.

    x X, x

    Slika 11.

    Primjer l. Za funkciju y = x2 ~ 5x ---i 6 izraunajmo tH i i'ly, koji odgovaraju promjeni argumenta: al od x ~ I do x = 1,1 ; b) od x = 3 do x = 2.

    Rjc{cJlje. r mamo a) .:'l.x - 1,1 -- l = 0, l,

    i'ly (1,1' 5 \,l! 6) -- (1' --- 5 l 6) ~ 2- 3 - I, h) .:'>x

    .:'l.\' (2' - 5 . 2 6) - (32 - 5 . 3 i 6) ~C O.

    0,29;

  • 44 DERIVIRAN')E FUNKCI')A Il

    I Primjer 2. Za hiperbolu y = -- naimo koeficijent smjera sekante koja prolazi takama sapscisama

    x x =" 3 Xl = 10.

    Rjeenje. Ovdje je .0.x=10-3=7, y=3" .0.y

    Prema tome je k = L\x 30

    )'1 =10' l

    .0.y =10 7 30

    2. Derivacija. Derivacijom y' = :y funkcije y = J(x) u taki x nazivamo limes h, 0-.. L\y k d A k l" x cIJenta .0.x' a a ux te l nu l, tj.

    ako taj limes egzistira. y' Ay lim-,

    dx-O Ax

    Vrijednost derivacije daje koeJiczjent smjera tangente NIT na graf funkcije y = J (x) u taki x (sl. ll):

    y' = tgtp. Odreivanje derivacije y' nazivamo deriviranjem Junkezje. Derivacija y' = J'(x) predstavlja

    brzinu mijenjanja Junkcije u taki x. Primjer 3. Izraunajmo derivaciju funkcije

    y = x 2 . Rjeenje. Po formuli (l) dobivamo:

    Prema tome je

    c.ly ex + c.lX)2 - x 2 = 2x.0.x + (c.lx)

    tiy - = 2x + .0.x. c.lX

    y' = lim .0.y = lim (2x + .0.x) = 2x. D.x--+O ~x .:.l.x--+O

    3. Jednostrane derivacije. Izraze

    f~(x) = lim f(x+Ax)-f(x) dX~-O Ax

    f; (x) = lim f(x+Ax)-f(x) Ll.x~ + o Ax ----

    nazivamo lzjevolll, odnosno desnom derivacijo", funkcije J (x) u taki x. Za egzistenciju derivacije J' (x) nuno je i dovoljno da bude

    f':(x)=f+'(x). Primjer 4. Izraunajmo derivacije f": (O) i J; (O) za funkciju

    Rjeenje. Imamo po definiciji

    J:"(O) = lim .D.X-I--O

    l.0.x I .0.x

    lex) = lxi

    -l, l; (O) l . l.0.x I lm 6x-->+O .0.x

    I.

    NEPOSREDNO IZRACUNAVAN.JE DEHIVACIJ,'. 45

    4''. Beskonana derivacija. Ako u nekoj taki imamo

    limf(x+Ax)-f(x) = OO. dx~O Ax '

    tada kaemo, da neprekinuta funkcija J (x) ima beskonanu derivaciju u taki x. U tome je sluaju tangenta na graf funkcije), = J (x) okomita na os OX. Primjer 5, Izraunajmo derivaciju r (O) za funkciju

    y ~" JIX:' Rjeenje. Imamo:

    V& ]' __ = oo, /'(0) = lim ~ = Ll!~O v;g .\x'-rO x

    341. Izraunajte prirast funkcije y = X2 koji odgovara promjeni argumenta: a) od x = 1 do Xl = 2; b) od X = 1 do Xl = 1,1; c) od X = 1 do Xl = I+h.

    342. Izraunajte L1y za funkciju y = lIX: ako je: a) x = 0, Ax = 0,001; b) x = 8, Ax = -9; c) x = a, Ax = h.

    343. Zato za funkciju y = 2x+3 moemo odrediti prirast Ay znajui samo da je dotini prirast Ax = 5, a za funkciju y = x2 to ne moemo?

    344. Izraunajte prirast Ay i kvocijent Ay za funkcije: Ax

    345.

    1 a) y = (x 2_2)2

    b) y = j; e) y=lgx

    za x = 1

    za x = za x = 100000

    Ax =0,4;

    Ax = 0,0001;

    Ax = -90000.

    Izraunajte Ay i Ay koji odgovaraju promjeni argumenta od x na xf-Ax Ax

    za funkcije: a) y = ax+b; d) y =.Jx; b) y=x3 ; e) y = Y;

    1 f) y = ln x. e) y = --::-; x~

  • 46

    346.

    lJEHlVlRANJE FUNKCl.TA

    Izraunajte koeficijent smjera sekante panlbole )' = L,-x2 ,

    ako su apscise presjenih taaka:

    a) Xl = I, X 2 = 2; b) Xl = l, X 2 = 0,9: e) Xl = 1, x2=1+17.

    II

    Kojem limesu tei koeficijent smjera sekante u posljednjem primjeru, ako h-->-O?

    347. Koja je srednja brzina mijenjanja funkcije )' C~ X'l U granicama l~x0 ~x

    a) y = x 3 ; cl y = J;;; b) r-

    2 ' d) )' = etg x.

    x

    359~ '" Izraunajte f' ;R), ako je f (x) = \r;;. 360. Nadite!, (O), f' (I), f' (2), ako je f (x) = x l)" (x 2)". 361.'" U kojim takama se derivacija funkcije f (x) = x3 brojano podudara sa vri-

    jednou same funkcije, tj. kada je f (x) = f'(x)?

    3

    362.

    TABLlCNO DERlVIRANJE 47

    Zakon gibanja take je s = 5[2, pri emu je put s zadan u metrima, a vrijeme r u sekundama. Izraunajte brzinu gibanja u trenutku [ = 3.

    363. Naite koeficijent smjera tangente na krivulju y = O, l x3 u taki kojoj je apscisa x = 2.

    364. Nadite koeficijent smjera tangente na krivulju y = sin x u taki (7T; O). I Izraunajte vrijednost derivacije funkcije f (x) = -- u taki _t" = Xo (x" ,:;OC O). X

    365.

    366". Koliki su koeficijenti smjerova tangenata na krivulje y = ~ v = x 2 U X

    njihovu sjecitu? Izraunajte kut koji zatvaraju te tangente. 367" Pokaite da ove funkcije nemaju konanih derivacija u zadanim takama:

    a) y = ,\;';2 II taki x = O; b) V = z~ II taki x = 1;

    , 2k+ 1 e) y = leos XI II tackama x = --IT (k = O, l, 2, ' ' l

    2

    2. TablinI) deriviranje l". Osnovna pravila deriviranja. Ako je e konstanta, a ,,_c V' (x), V= ifj (x) su funkeije

    k(\jc imaju deri\"acijc, onda je

    l) (c)'=0; 5) (uv)' = U'1)+1)'U;

    2) (x)' = l; 6) C~)' ll'U~V'U (ll of. O); --~ 7) C:), ev , 3) (uL'), = u'u'; u2 (u of. O).

    4) (cu)' = cu';

    2. Tablica derivacija onovnih funkcija

    (.\'11)' = nyn- 1

    l Cl' -II. hx - 2J;:

    III. (sin x)' = eosx.

    (x>O).

    IV. (cos x)' = - sim:.

    V. (tgx)' = cos LX'

    l VI. (etg x)' =, ~ sin2 x

    VII. (aresinx)'= 1 (lxl

  • 48 DERIVlRANJE FUNKCIJA

    1 IX. (arctgx), = 1+x2 '

    X. (arcctgx), = x 2 +1

    XI. (ax)' = aXlna (a> O).

    XII. (ex)' = eX.

    XIII. (ln x)' = ~ (x>O). x

    XIV. (loga x)' = _1 _ = loga e xlna x

    XV. (shx)' = chx.

    XVI. (ch x)' = shx.

    1 XVII. (thx)' = ch2 x'

    1 XVIII. (cth xr = - s112 x'

    1 XIX. (Arshx), = J1+x 2 '

    1 XX. (Archx), = Jx2-1 (x > 1).

    XIX. (Arthx)' =_1_ (lxi < 1). 1-x2

    (x>O, a>O).

    XXII. (Arcthx), = x 2 _1

    (lxi> 1).

    II

    3. Pravilo deriviran;a sloenih funkcija.Akojey=J(u) i u=cp(x) tj.y J[cp(x). a funkcije y i u imaju derivacije, tada je

    }'x = Yuu~ (1) ili drukije pisano

    dy dy. du dx du dx

    To pravilo primjenjuje se na ,lanac bilo kojega konanog broja funkcija koje deriviramo. Primjer 1. Izraunajmo derivaciju funkcije

    y = (x' - 3x' 3)5. Rjeenje. Stavivi y = u', pri emu je u = x'-2x+ 3, Imat emo prema (1):

    y' = (U5)~ (x' - 2x + 3)~ = 5u4 (2x - 2) = 10 (x - l) (x' - 2x + 3)4. Primjer 2. Izraunajmo derivaciju funkcije

    y = sin3 4x.

    Rjeenje. Stavivi y = u3 ; II = sin v; 7.' = 4x,

    dobivamo y' = 3u2 cos V 4 = 12 sin 2 4x cos 4x.

    2 TABLICNO DERIVIHANJE 49

    Izraunajte derivacije ovih funkcija (u br. 368 do 408 ne primjenjuje se pravilo deriviranja sloenih funkcija):

    368. y = x 5 -4x3 +2x-3.

    370. y=ax 2 +bx+c.

    372. y = at'" + btm+".

    374. Tt

    y=-+ln2. x

    376*. Y = x 2 if;i.

    378.

    380.

    a+bx y=--. c+dx

    2 l Y=---- -.

    2x-l x

    A. Algebarske funkcije

    369. I l 2 4 V=---x+x -0.5x. . 4 3

    5x 3 371. Y =

    a

    ax6 +b 373. y = Ja 2 +b 2

    375. y=3x 3 -2x 2 +x- 3

    tl b_o 377. Y = 3 f2. - x if;

    'IX

    379. 2x+3

    Y=x 2 -5x+5

    1+ J:;-381. Y=J-JZ'

    B. Trigollolllctrijske i m'kus-funkcije

    382. Y = 5sinx+3cosx. 383. Y = tgx-ctgx.

    384. sin x+eos x 385. y = 2tsin t-(l2-2)e051. y=-.----. Sll1x-eosx

    386. y = aretgx+arcctgx. 387. y = xetgx.

    388. y =c x aresinx. 389. )'= (J+x 2)aretgx-x

    2

    C. Eksponencijalne i logarizamske funkcije

    390. y = x 7 . eX.

    392. x

    e V=z' . x

    394. f(x) = eX cos x.

    396. y = eX arcsin x.

    4: Demldovi: Zadaci

    391. y=(x-l)ex . x5

    393. y =.~. e

    395. y = (x2-2x+2)e x . x

    2

    397. Y = ln x'

  • 50 DERIVIRANJE FUNKCLlA

    398. } :c' v=x!nx---. 399. . 1 l = ---+ 21nx _ lnx . :; x x

    400. y = lnxlgx-Inalogax.

    D. Hipcrbolnc i area-funkClJc

    401. Y = xshx.

    403. y=thx-x.

    405. y = arctgx- Arthx.

    407. Arch x y = -----. x

    402.

    404.

    406.

    408.

    E. Sloene funkCIje

    ,

    x' y= --~. chx

    3 cth x Y=

    Inx

    y = arcsin x Arsh X.

    Arcth x y = ----2-

    i-x

    II

    Izraunajte derivacije lwih funkcija (u br. 409 do 466 treba upotrijebiti pravilo dcril'iranja sloenih funkcija s jednim meuargumentom) :

    409. y=(I+Jx_5x2)30

    Rje,~cnje. OZl1ain10 da je I j--3x-Sx 2 = u; tada je y:;:",:: u3 (). l)(1hi\"J!l1Cl

    y~=30U29, u~=3-IOx; y~=30U29 O-IOx)-~3()(1 +3x- '.3- IOx

    410. Y = (il-:

  • 52 DERIVIRANJE FUNKCIJA

    F. Razne funkcije

    455**. Y = sin 3 5XCOS2~. 3

    11 4 456. Y = - 2(x-2)2 x-2

    457. y = _ 15 _ 10 _ l . 4(x-3)4 3(x-3)3 2(x-3)2

    8 x

    458. Y = 8(l-X2)4

    x 460. Y = a2.J a2 +x2

    459. Y = J2x2-2x+l x

    3 X 1 Y

    - 23 46. -3J(1+x)

    3,,,- 18

  • 54 DERIVIRANJE FUNKCIJA

    512. Y=-- . In 2 x

    514*. Y = II1~x-_2t (x + 1)3'

    516. l' _ l . ;---: 2- +ln tgx ~ SIn X .

    517. X !~2 ~-2 a 2 / -2~-2 Y = --\IX -a --In(x+'\ x -(I J. 2 2

    518. y = lnln(3-2x3 ).

    513.

    515.

    x-l y = II1C05-'''-X

    y =]n (x-1)3(x-2) x-3

    519. y = 5In 3 (ax+b).

    Il

    12-2-520. y = I n './ x + a + x tn 2 2 n x-a 521. y =-In(x -il )+_111"'-' 1 2- .

    '\ X +a 2 _x

    522. y = X sin (In x - :).

    524. j(x) = ';;;2;'1-ln 1 + J x 2 + l

    526.

    528.

    530.

    532.

    533.

    534.

    x

    Y = 2aresm 3x + (1- arccos 3X)2

    y=;= '\( 3

    tg ~ +2-J3 -------

    tg'::" +2+J3 2

    I . 1 I 2 . 1 y = n areSIn x + .. -- n x + areSIn n x. 2

    J2- x 1 x-l l' =~arctg~ + -In-- . 3 ~2 6 x+J

    r--1 + y sin x i:----

    y = ln~~--- +2arctg'./slnx. l-Jsinx

    3 x 2 + 1 1 x-l l \' =--In .~- + 111---+aretgx. . 4 x 2 - l 4 x + 1 2

    2 2a x+a

    1 x J cos x 52:t Y = - ln tg- - ---:-2'-2 2 2 S!I1 X

    525. Y = J-In ~~-::3x.::.i 3 x2+x+l'

    527. sin ax _ I' 3

    Y = 3 cos bx + __ S~ !lX 3 cos 3 hx .

    529. Y = aretg ln x.

    531. 1 J' = arctg ln --o x

    l l 7 . l 2x-1 535, j(x) = InO +x) - In(x--x+ I) +-=arc(g.-~. 3 6 J3 J3

    2 T ABLICNO DEHlVIHAN.TE

    536. /'( ) - x arcs in x I ~ x---=+n -x. . Jl-x 2

    537. Y = sh 3 2x.

    538. y = e'x ch fix. 539. y=th 3 2x. 2

    540. Y = Insh2x. 541. x

    y = Arsh-. a 2

    542. y = Archlnx. 543. y = Arth (tg x).

    544. y = Arcth(seex). 545. ),

    V = Arth~. . J +x2

    1 2 l 546. Y = -(x -1) Arthx+ --x. 2 2

    547. y = -x + - Arshx --Xy l +x . (1 2 1) I e-2 2 4 4

    548. Izraunajte y', ako je a) Y = lxi; b) y=xlxl.

    Konstruirajte grafove funkcija y i y'. 549. Izraunajte y', ako je

    J' = Inlxl (x # O). 550. Izraunajtej'(x), ako je

    j(X)={I.~X za x":::O. e za x>O.

    551. Izraunajte 1'(0), akoje j(x) = ,,-Xcos3x.

    R)e.\en)e. j'(x) = e -x (-3 sin 3x) - e-X cos 3x; 1'(0) = eO (-3 sin O) - eO cos O = -l. x

    552. f(x) = ln (l+x)+aresin-. Izraunajtej'(I). 2

    553.

    554.

    y = tg3~. Izracunajte -- . 11:X , . (dYJ 6 dx x~2 Izraunajte f~(O) i F(O) za funkcije:

    a) j(x) = Jsin(x2); d) j(x) = x 2 sin 2..., x # O; jeO) = O; 2 2 a -x

    b) f(x)=arcsin "2"'-2; a +x

    x

    . 1 e) j(x)=XSII1-, x#O; j(O) =0.

    x

    x e) j(x) = ~-l' x # O; jeO) = O;

    l+e~

    55

  • 56 DERIVIHAN.)E FUNKCIJA Il

    555. Za funkciju j (x) = e-x izraunajte j (O) +x 1'(0).

    556. Za funkciju j(x) = V I+x izraunajte j(3)+(x-3)f'(3). 557. Zadane su funkcije f (x) = tgx i rp (x) = ln (l-x), izraunajte l' (O).

    . 'r.p' (O)

    558 Z f k j() l . () l . rrx. , . cp' (I) . a un CIJe x = - X l rp X = - SlI1 ~ lzracuna)te --o

    2 1'(1) 559. Dokaite da je derivacija parne funkcije neparna funkcija, a derivacija ne-

    parne funkcije parna funkcija. 560. Dokaite da je derivacija periodine funkcije takoer periodina funkcija.

    561.* Pokaite da funkcija y = x e-X zadovoljava jednadbu xy' = (l - x) y. x'

    562. Pokaite da funkcija y= xe 2 zadovoljava jednadbu xy' = (l-x2 )y.

    563. Pokaite da funkcija y = l zadovoljava jednadbu l +x + ln x

    xy' = y (y ln x-l).

    G. Logaritamska derivacija Logaritamskom derivacijom funkcije y = f (x) nazivamo derivaciju logaritma te funkcije, tj.

    (lny)' =L=f'(x) y f(x)'

    Primjena prethodnog logaritmiranja funkcije ponekad pojednostavnjuje izraunavanja derivacije. Primjer. Naimo derivaciju sloene eksponencijalne funkcije

    y = uv,

    ako su u = 'p (x) > O v = 'fl (x) derivabiIne. Rjeenje. Logaritmiranjem dobivamo:

    lny = v ln u.

    Derivirajmo obje strane posljednje jednadbe po x (lny)' = v' ln u + v (ln u)"

    ili 1 I _y' = v'lnu + v ~U', y U

    odakle je

    y' = y ( v' ln li + ~ u' ),

    r

    TABLICo1O DERIVIRAN.IE

    ili

    y' = UV ( v' ln u + ~ u' ). 564. Izraunajte y' ako jc

    l-x l , ~x2 ----~sr13 S2 = l ,l XCO X. . +x

    o Rjeenje: lny = -~ ln x + ln (I--x) - ln (I + x") + 3 ln sin x + 2ln cos x;

    3

    2 I (-l) 2x l 2sinx _ l' - - + ~~ - -- + 3 -- cos x y' 3 x l-x l+x2 sinx COS X

    odakle je (2 l 2x '

    v' = y . - - -- - -- + 3 etg x .- 2 tg'x ) . . )x l-x l+x2

    565. Izraunajte y' ako je y = (sin xy,

    Rjeenje: l

    InJ' = xln sinx; _y' = 1ns1nx + xctgx; y

    y' =, (sin xy (ln sin x + x ctg x).

    Izraunajte y' primjenom prethodnog logaritmiranja funkcije y = j (x):

    567. (X+2)2

    566. y = (x+ 1)(2x+ 1)(3x+ l). Y = , (x+l)3(x+3t Y = JX(X-I J . $,-568. 569. y=x --o

    x-2 . x 2+ 1

    570. (X_2)9 571. ~ )' = -' y=

    .)(x-l)5(x-3)11 ~ (x + 2)2 J ex + 3)3

    572. y = xx, !j73. y

    574. Y = if; 575. Y = xV;

    576. xX 577. sinx

    y=x y=x

    578. y = (cosx)$inx, 579. Y=(1+~-r 580. y = (arctgx)x.

    57

  • 58 DERIVIRAN.JE FUNKCIJA II

    3. Derivacije funkcija koje nisu eksplicitno zadane 1. Deriva"'j", inveltzne funkcije. Ako je za funkciju y =f(x) derivacija Yx'# 0, \)nda je

    derivacija inverzne funkcije x =f-1 (y)

    iJi

    Xy =~~

    dx dy dy

    dx

    Primjer 1. Izraunajmo derivaciju Xv ako je

    y = x +- ln x

    , J x+l x Rieenje. Imamo Yx= 1+- = --; prema tome je Xv =

    x x ' x+

    2 '. Derivacija funkcije zadane parametarskl. Ako je zavisnost funkcije y i argumenta x zadana pomou paran1etra t

    tada je

    ili drugim oznakanla

    [,. , ~,d)' k . nm]cr 2. IzracunaJH10 -, a o Je

    dx

    dx

    5 X =

  • 60

    590.

    592.

    Jx=aeos 3 t. ly=bsin 3 1.

    1- 'lrccos ;"

    x-< -vl+r

    - arcsin J I 2' Y - 1+1

    DERIVmAN.TE FUNKCIJA

    591

    593.

    IX = a (In 19 ~ + eos t - sin t) , 594. 2 y = a(sinl+cosr).

    595. T b ' . dv re a IzraCUnat1 . za dx

    a sin l

    I =~, ako je 2

    f x = a(t-sinl), I y = a(l-cosl).

    sin t

    i COS3 t X = Jcos21' sin 3 t

    y- ~ vCOS 21

    f -t X = e , ) Ot (y = e~.

    SIn -:;-

    R;eIm;e, dy dx

    , - = I. ( dY ) 11: ,ct;, t ~ T I - cos -:o

    596. Izraunajte

    597. Izraunajte

    a (l ~ cos t) l - cost

    dr . . za I = l, ako Je

    dx IX = tlnt, Int Y=-,

    t

    dy Jr ,{x = eteosI, - za t = -, ako Je dx 4 y = et sin t.

    598. Dokaite da funkcija y, zadana parametarski jednadbama

    zadovoljava jednadbu

    s x = 21+3t2 , ly=t 2 +2t 3 ,

    Y = (:~y +2(:~y 599. Za x = 2 vrijedi jednadba

    x 2 = 2x.

    Il llEfUVACI.JE FUNKCU,\ KOJE NISU EKSPLICITNO ZADANE

    Da li odatle slijedi da je (x 2 )' = (2x),

    za x = 2)

    600. Neka je Y= Moe li se lan po lan derivirati jednadba x 2 + y2 = a2?

    Izraunajte deri\'aciju y' dy implicitnih funkcija y: dx

    601.

    603.

    605.

    607.

    609.

    611.

    613.

    615.

    617.

    2x-5y+ 10 = O.

    x 3 + y3 = a3.

    J;'+ fy = J-;; 3 X- Y Y ='--.

    x+y

    a cos 2 (x+ y) = b.

    x xy = arclg-' .

    y

    e}' = x + y.

    x Iny+-- = c.

    y

    R'+7 = carctg.L. x

    x2 y2 602. --2 + '-z = I.

    a b

    604. X3 +X 2 y+y2=0.

    606. if;z+if? = U7-.

    608. y-O,3siny = x.

    610. tgy = xy.

    612.

    614.

    616.

    618.

    aretg(x+ y) = x.

    -~ Inx+e x = C.

    yI, 2 2 arctg- = --In(x + y ).

    x 2

    xY = yX.

    619. Naitey' u taki M (J; l),akoje 2y = 1 + xy 3.

    Rje,~e!ljr: l)(~rivirRniem dobivamo 2'1;' = '\,,3 + 3 xv2y' Stavivi x = I i V = I. dohivamo 2y = 1+ 3y',a odatle j~.v' ~ .' I. .. .

    620. Izraunajte derivacije y' zadanih funkcija Y li navedenim taka ma :

    a) (x+y)3=27(x-y) za x=2 i y=l; h) yeY = eX 1 J za x = O i y = l;

    2 Y e) y = x + I n -- za x = I y = 1. x

    61

  • 62 DERIVIRANJE FUNKCIJA II

    4. Primjena derivacija II geometriji i mehanici 10. Jednadbe tangente i normale. Iz geometrijskog smisla derivacije slijedi da e

    jednadba tangeme na krivulju Y = J (x) ili F (x, y) = O u taki Mo(xo, Yo) biti

    Y- Yo = y~(x-xo), pn cemu je )'0 vrijednost derivacije Y' za x Xa' Pravac koji prolazi diralitem okomit jc n

  • 64 DERIVIHAN.JE FUNKCIJA

    626. U kojoj taki je tangenta na parabolu y = X2~ 7x+3

    paralelna s pravcem 5x-l-y--3 = O)

    II

    627. Naite jednadbu parabole yc~x2+bx+c koja u taki (I; I) tangira pra-vac x = -",'.

    628. Odredite koeficijent smjera tangente na krivulju x 3 -I-y3 - xy - 7 == () u taki cl; 2).

    629. U kojoj je taki krivulje y" = 2x;) tangenta okomita na pravac 4x-3y+2=O?

    SlO. Napiite jednadbu tangente i normale na parabolu y=Fx

    u taki s apscisom x = 4. I l

    Rjeenje: Imamo y' = 2 ~; odatle je koeficijent smjera tangente k = [y'lx~4 = 4 Budui da diralite ima koordinate x = 4, Y = 2, jednadba tangente je

    l y~2 = ""4 (x~ 4), ili x ~ 4y + 4 = O.

    Iz uvjeta okomitosti koeficijent smjera normale je ", c= ~ 4,

    odakle je jednadba normale y~2=-4(x--4), ili 4x+y-18=O. 631. Napiite jednadbu tangente i normale na krivulju y = x 3 +2x2 -4x- 3

    u taki (-2; 5). 632. Naite jednadbu tangente i normale na krivulju

    .\'=if;~1 u taki (I; O).

    633. Odredite jednadbe tangente i normale na krivulje u zadanim takama: a) y = tg 2x u ishoditu koordinatnog sistema;

    634.

    b) . x-l ", . OX v = arCSIn --- u sJeC1stu s OSI ; - 2

    c) y = arccos 3x u sjecitu s osi O Y; d) y = ln x u sjecitu s osi OX; e) y = el-X' u sjecitima s pravcem y = I. Napiite jednadbe tangente i normale u taki (2; 2) na krivulju

    {

    1+1 X =-3 . ,

    r

    3 1 y = 2t 2 + 2r'

    PfillVlJENA DERIVACIJA U GEOMETRIJI I MEHANICI

    635. Napiite jednadbe tangente na krivulju x = leost, y = lsinl

    li ishoditu koordinatnog sistema i u taki t = ~ . 4

    65

    636. Napiite jednadbe tangente i normale na krivulju x:l+y2+2x- 6 = O u taki kojoj je ordinata y ,= 3.

    637. Napiite jednadbu tangente na krivulju X5 +y5_2xy = O u taki (l; l). 638. Napiite jednadbe tangenata i normala na krivulju y = (x- l) (x- 2) (x - 3)

    u sjecitima krivulje s osi apscisa. 639. Napiite jednadbe tangente i normale na krivulju

    y4 = 4X4 + 6xy u taki (1; 2). 640*. Pokaite da diralite tangente na hiperbolu xy = a2 raspolavlja odsjeak te

    tangente meu koordinatnim osima.

    641. Pokaite da odsjeak tangente na astroidu X2/3+y 2/3 = a2/3 medu koordi-natnim osima ima stalnu veliinu i iznosi a.

    6412. Pokaite da su normale na evoIventu krunice

    x = a (cos l + l sin l), y = a (sin t ~ t cos t) tangente na krunicu x2 +y2 = a2

    643. Naite kut pod kojim se sijeku parabole y = (X-2)2 i y = -4+6x-x2. 644. Pod kojim kutom se sijeku parabole y = x2 i y = x 3 ? 645. Pokaite da se krivulje y=4x2 +2x-8 i y=x3 -x+1O tangiraju u taki

    (3; 34). Hoe li to biti i u taki ( - 2; 4)? 646. Pokaite da se hiperbole

    xy=a 2 x2~y2=b2 sijeku pod pravim kutom.

    647. Zadana je parabola y2 = 4x. Izraunajte duljinu tangente, normale, suptan-gente i subnormale u taki (l ; 2).

    648. Naite suptangentu krivulje y = 2x II nekoj njenoj taki. 649. Pokaite da je za istostranu hiperbolu x2 - y2 = a2 duljina normale u nekoj

    taki jednaka polarnom radijusu te take. 650.

    651.

    Pokaite da je subnormala hiperbole x2_y2 = a2 u nekoj njenoj taki jed-naka aps cis i te take.

    x~ y2 Pokai re da su suptangente elipse ~ + - = l i krunice X2+y2 = a2 u

    a2 b2 takama jednakih apseisa meusobno jednake. Kakav nain konstruiranja tangente na elipsu iz toga proistie?

    5 Demidovi: Zadaci

  • 66 DERIVIRAN.TE FUNKCUA II

    652. Naite duljinu tangente, normale, supstangente subnormale za cikloidu

    653.

    654.

    655.

    u nekoj taki [". { X = a (t-sin t), y=a(l-cost)

    Naite kut medu tangentom i polarnim radijusom diralita za logaritamsku spiralu

    r = al'l

    Naite kut medu tangentom polarnim radijusom diralita za lemniskatu r2 = aZ cos 2cp.

    Naite duljinu polarne tangente, normale, suptangente i subnormale, a ta-koer i kut medu tangentom i polarnim radijusom diralita za Arhimedovu spiralu

    r = acp

    u taki s polarnim kutom cp = 271". 656. Nadite duljinu polarne suptangente, polarne subnormale, polarne tangente i

    normale, a takoer kut meu tangentom i polarnim radijusom za hiperbolnu spiralu 1" = -~ U po volji odabranoj taki cp = CPo; r = 1'0'

    'fl 657. Zakon gibanja take po osi OX je:

    x=3t-t 3

    Nadite brzinu gibanja take u ovim trenucima: To = 0, 11 (x je zadan u centimetrima, l u sekundama).

    658. Du osi OX gibaju se dvije take po zakonima gibanja 1 ,

    x = ._[-2 '

    X = 100+51

    pn cemu je [:;:0.

    12 = 2

    Kojom se brzinom meusobno udaljuju te take u trenutku susreta (x je za-dan u centimetrima, t u sekundama)

    659. Krajevi duine AB = 5 m kliu po meusobno okomitim pravcima OX i O Y (sL 16). Brzina gibanja kraja A iznosi 2 m/s. Kakva je brzina gibanja kraja B u onom trenutku, kada je kraj A udaljen od ishodita koordinatnog sistema za OA = 3 m?

    660*. Zakon gibanja materijalne take, baene u vertikalnoj ravnini XOY (sL 17) pod kutom 'l. prema horizontali s poetnom brzinom Vo, dan je formulama (zanemaren je otpor uzduha)

    x = vot cos -x. \' = l'otsin Cf.-. 2

    pn cemu je 1 vrijeme, a g ubrzanje sile tee. Nadite stazu gibanja i domet. Odredite takoder brzinu i smjer gibanja.

    661.

    662.

    663.

    664.

    665.

    DERIVACIJE VISEG REDA 67

    Taka se giba po hiperboli y = ~ tako da njena apscisa x raste jednoliko x

    brzinom od l jedinice u sekundi. Kojom brzinom se mijenja njena ordinata kada taka prolazi kroz poloaj (5; 2)? U kojoj taki parabole y2 = 18x ordinata raste dvostruko bre od apscise ? J edna strana pravokutnika ima konstantnu veliinu a = 10 cm, a druga b raste konstantnom brzinom 4 cm/s. Kojom brzinom rastu dijagonala i po-vrina tog pravokutnika u trenutku kada je b = 30 cm? Polumjer kugle poveava se jednoliko brzinom od 5 cm/s. S kojom se brzinom poveava povrina kugline plohe i volumen kugle u trenutku kada polumjer postane jednak 50 cm) Taka se giba po Arhimedovoj spirali t=a'fl (a = 10 cm) tako da je kutna brzina rotacije njenog polarnog radijusa konstantna i iznosi 6 li sekundi. Odredite brzinu poveavanja polarnog radijusa r u trenutku kada je r= 25 cm.

    y

    B

    o x

    Slika 16.

    y

    Vo

    x

    Slika 17.

    666. Nehomogena ipka AB dugaka je 12 cm. Masa njenog dijela AM raste pro-porcionalno kvadratu udaljenosti pomine take M od kraja A i iznosi lOg pri AM = 2 cm. Nadite masu itave ipke AB i linearnu gustou u nekoj njenoj taki M. Kolika je linearna gustoa ipke u takama A i B?

    5. Derivacije vieg reda 1. Definicija derivacija vieg reda. DerivacUom druRog reda ili drugom dcrivaC1jo",

    funkcije y ~ f (x) nazivamo derivaciju derivacije, tj. (y')',

    Drugu derivaciju oznaaV3tTIO sa

    JJ", ili dx2

    ili j"(x).

    5

  • 68 DERIVIHAN.TE FUNKCIJA II

    d 2x Ako je x = f (t) zakon pravocrtnog gibanja take, tada je ubrzanje tog gibanja,

    dl'

    Openito, derivaCljom n-tog reda funkcije Ji = f (x) nazivamo derivaciju derivacije reda (n -1), Za n-tu derivaciju upotrebljavamo oznaku

    dn (n) 'l' Y 'I' J(n) Y ,ll -- II X.

    dxn

    Primjer l, Nadimo drugu derivaciju funkcije

    Ji = ln(1 - x),

    Rjeenje, -I '- -', Ji - 1 _ x ( - 1 )' y" = l - x = (I - X)2

    2. Leibnizova formula. Ako funkcije u = 'I' (x) i v = f (x) imaju derivacije do ukljuivo n-lOg reda, tada nam za raunanje n-te derivacije produkta moe posluiti Leibnizova formula

    (uu)(n) = u(n)u+nu(n-J)u' + n(n-l)u(n-2)u"+" ,+uu(n), l, 2

    3. Derivacije vieg reda parametarski zadanih funkcija. Ako je

    'oo dy onda denvacqe Yx'= - )

    dx

    y~ =4, X t

    { X =

  • 70 DERIVJRANJE FUNKCIJA

    688. Naite derivacije n-tog reda funkcija:

    a)Y=I_x' b)y=J;:

    689. Naite n-tu derivaciju funkcija:

    a)y=sinx; 1 e) y=-; l+x

    b) y = cos 2x; f l+x ) Y=---; l-x

    c) y = e- 3X ; g) y=sin 2 x; d) y = In(1 +x); h) y=ln(ax+b).

    690. Primjenom Leibnizove formule naite y("J, ako je:

    a) y = xex ; l+x d) y =Tx; b) y = x Ze- 2x ;

    c) .\'=(1_X2)COSX; e) y=x 3 1nx.

    691. Naite ]

  • 72 DERIVIRANJE FUNKCIJA II

    6. Diferencijali prvog vieg reda r. Diferencijal prvog reda. Diferencijalom (prvog reda) funkcije y = fCx) u taki x

    nazivamo glavni dio njenog prirasta ~y = fCx+ ~x) - f(x) za ~x--+O koji je linearan s obzi-rom na prirast ~x = dx nezavisne varijable x. Diferencijal funkcije jednak je produktu njene derivacije s diferencijalom nezavisne varijable: y

    o p a x

    Slika 19.

    Odatle ic dy = y'dx.

    , dy y = dx'

    Funkciju koja ima diferencijal nazivamo l dife-rencijabilnom.

    Ako je MN luk grafa funkcije y = f (x) (sl. 19), MT tangenta u taki M (x, y) i

    PQ = Llx = dx, onda je prirast ordinate tangente

    AT=dy i odsjeak

    Primjer l. Nadirno prirast i diferencijal funkcije y = 3x'-x. AN=Lly.

    Rjeenje. Prvi nain: Lly = 3 (x + LlxJ2 - (x + tlx) - 3X2 + X

    ili

    Lly = (6x - l) tlx + 3 (L'.x)2. Slijedi da je

    dy = (6x - l) Llx = (6x - I) dx. Drugi nai,,:

    y' = 6x - l; dy = y' dx = (6x - I) dx. Primjer 2. Izraunajmo Ll)' i dy funkcije y = 3x' - x kada je x = I i Llx = 0,0 l. Rjeenje.

    Lly = (6x-I) Llx + 3 (LlX)' = 50,01 + 3 (0,01)' = 0,0503

    dy = (6x - l) tlx = 5 0,01 = 0,0500.

    2. Osnovna svojstva diferencijala:

    1) dc = 0, gdje je e = const. 2) dx = Llx, gdje je x nezavisna varijabla. 3) d(eu)=edu. 4) d(uv) = dudv.

    5) d(uv)=udv+vdu.

    tr

    6 DIFERENCIJAL! PRVOG I VISEG REDA 73

    6) d(~)=VdU-:UdV (v#O). 7) df(u) =f'(u)du.

    3. Primjena diferencijala u priblinim raunima. Ako je prirast dx argumenta x malen po apsolutnoj vrijednosti, tada su diferencijal dy funkcije y = J (x) i prirast tly funkcije priblino jednaki

    tj.

    odakle je

    Lly :=:; dy,

    f(x+Llx) - f(x) :=:;f'(x)Llx,

    f(x +Llx) :=:; f(x) + / (x) Llx. (1) Primjer 3. Koliko se priblino promijenila stranica kvadrata ako se njegova povrina poveala od

    9 m' na 9,1 m'?

    Rjeenje. Ako je x povrina kvadrata a y njegova stranica, tada je

    y =Fx. Prema uvjetima zadatka imamo; x = 9; Llx = 0, l. Prirast Lly stranice kvadrata izraunamo priblino:

    I tly "" dy =y'Llx = --0,1 = 0,06m. 2V9

    4. Diferencijali vieg reda. Diferencijalom drugog reda nazivamo diferencijal dife-rencijala prvog reda, uz fiksiran prirast odnosne varijable:

    d 2 y=d(dy). Analogno se definiraju diferencijal; treeg itd. reda.

    Ako je y = J (x), a x nezavisna varijabla, onda je

    d 2y = y"(dX)2, d 3y = y'''(dx)\

    d"y = yC")(dx)". Ako je y = J Cu) pri emu je u = 'p (x), onda je

    d 2y = y" (dU)2 + y' d 2u,

    d 3 y = y"'(dU)3+3y"du'd2u+y'd3 u i td. (Ovdje crticama oznaavamo deriviranje po u).

    712. Naite prirast Lly diferencijal dy funkcije y = 5x+x2 za x = 2 Llx'= 0,001.

    713. Ne izraunavi derivaciju naite d(l-x3 ) zax=1 l Llx= - 3'

  • 74

    714.

    715.

    716.

    717.

    718.

    719.

    720.

    DERIVIRAN,JE FUNKCIJA II

    Povrina kvadrata S sa stranicom x izraena je formulom S = X 2 , Nadite prirast i diferencijal te funkcije i razjasnite geometrijsko znaenje diferen-cijala, Dajte geometrijsku interpretaciju prirasta i diferencijala ovih funkcija a) povrina kruga S = 7TX2; b) volumen kocke v = x 3 , Pokaite da je za i'!.x -+ prirast funkcije y = 2X, koji odgovara prirastu x za i'!.x, za svaki x ekvivalentan izrazu 2x i'!.x ln 2. Za koju vrijednost x diferencijal funkcije y == x2 nije ekvivalentan prirastu te funkcije kada i'!.x->-O? Ima li funkcija y = lxi diferencijal za x = O? Posluivi se derivacijom naite diferencijal funkcije

    y cos x za it:

    X = ---6

    it: ih = 36'

    Naite diferencijal funkcije 2

    V =~-~rx za x = 9 i1x = -0,01,

    721. Izraunajte diferencijal funkcije it:

    y = tgx za x =--3

    i'!.x=~ 180

    Naite diferencijale ovih funkcija za po volji odabrane vrijednosti argumenta nje-gova prirasta:

    723. x 722. y=~. y=~-' x l-x

    x 725. x 724. y = arcsin-. y = arctg-. a a

    726. -x' y=e . 727. y = xlnx-x,

    l-x 728. y=ln~-. 72!t r = ctgtp +cosec tp, l+x 730. s = arcctg et.

    731. Naite dy, ako je x 2 + 2xy _ y2 = a 2 . Rieerzjc, Koristei invarijantnost oblika diferencijala dobivamo

    Odatle je 2xdx+2(ydx+xdy) -2ydy= O.

    x 1-Y d)' '= - -----dx, x ,- y

    ti DJFERENCIJALI PRVOG I V I SEC REDA 7S

    Naite diferencijale ovih funkcija zadanih implicitno:

    132. (x + y)2 (2x + J/ = l. 733. ~ y = e Y 734. In H~;,2-= arctg L.

    x

    735. Naite dJ' u taki (1; 2), akoje y3_ y =6x2. 736. Naite priblinu vrijednost od sin 31

    TC" 1! Rjcerzic. Uz pretposta\'ku da je x = arc 30" = - i 6x = arc 10 = ~, iz formule cl) (vidi 3")

    , 6 IW

    737.

    imamo 'sin 31 0 sin 30 + -~- cos 30 = 0,500 + 0,017 ' V3 = 0,515. 180 2

    Zamjenjujui prirast funkcije diferencijalom, priblino izraunajte: a) cos61"; b) tg44;

    e) eO,2;

    d) IgO,9; e) aretgl,05. 738. Za koliko se priblino povea volumen kugle, ako se njen polumjer

    R = 15 cm produlji za 2 mm? 739. Izvedite priblinu formulu (za li1xl malo u usporedbi sa x)

    ,---- - i1x Jx+i1x ~ Jx+ ~

    2 'oj x pomou nje naite pribline vrijednosti za VS; VJ7;V'70; V 640,

    740. Izvedite priblinu formulu 3;---' 3 r t.x -V x + t.x ~ './ x + v-3 " 2 X

    i nadite pribline vrijednosti za VIO, V70, VZOO 7~1. Naite pribline vrijednosti funkcija:

    :1 2 3~-'X a) y=x--4x +5x+3 za x= 1,03; e) J(x) = --

    l+x

    b) J(x) = JI+-x za x = 0,2; d) Y = el-xl 742. Naite pribline Vrijednosti od tg 453'20".

    za x = 0,1;

    za x = 1,05.

    743. Izraunajte priblino arcsin 0,54. 744. Izraunajte priblino VIi. 745. Pokaite, na osnovu formule Ohmova zakona

    E l = da se mala pro-J?.

    mjena i11 jakosti struje l uvjetovana malom promjenom i1R otpora R moe nai priblino po formuli

    l M=---t.R.

    R

  • 76 DERIVIRANJE FUNKCIJA II

    746. Pokaite da relativna pogreka od 1% pri odreivanju duljine polumjera povlai relativnu pogreku od priblino 2% pri raunanju povrine kruga i oploja kugle.

    747. Izraunajte d 2y ako je y = cos 5x. Rjeenje. d2y=y" (dx),= -25 cos 5 x(dx)'.

    748. U = JI-x2, treba nai d2u. 750. y = sinxlnx, treba nai d 2y.

    752. z = x 2e- x , treba nai d 3 z. 754. u = 3 sin (2x + 5), treba nai dnu. 755. Y = eX cos a sin (x sin a), treba nai dn y.

    749.

    751.

    '753.

    y = arccos x, treba nai dl y. ln x

    treb,i nai d 2 z. z =-_. X

    X4 ., 4 Z = ~-, treba naCl d z.

    2-x

    7. Teoremi srednje vrijednosti 1. Rolleov teorern. Ako funkcija J (x), neprekinuta u intervalu a 'x 'b, ima derivaciju

    f'(x) u svakoj taki unutar tog intervala i .f(a) = .f(b),

    tada za argument x postoji najmanje jedna vrijednost t, gdje je a

  • 7~ DER l VIRA NJE FU:-JKCI.JA Il

    766. Polinom lex) = x 3 --2x 2 +3x+5 razvijte po cijelim ne negativnim poten-cijama binoma x~ 2.

    J\)t'.\( IZlt'. jr ,X-, -= Jx:.! _ 4x 3; /"lx;=6x-4; 1"(x)=6; JCn) (x) =0

    1'(2) = 7; /"(2) = 8; !'" (2) = 6.

    767.

    Odatle je J(2) = ll; za II ~4.

    Prema tome je,

    . (x -- 2)2 (x ._ 2)3 x' -I- 2x' + 3x -,- 5 oo I I + ex - 2) . 7 + --_ . 8 + _~_ . 6

    21 3! ili

    x3 - 2x' + .lx + 5 = II + 7 (x - 2) + 4 (x - 2)2 + (x _ 2)'.

    Funkciju I (x) = eX razvijte u red po potencijama binoma x+ l do lana koji sadri (x+ I)".

    Rjeenje. iCn) (x) ~~ eX za Sve n, ((n)_ II = Prema tome je

    768.

    769.

    770.

    771.

    772.

    773.

    774.

    x_ I . J x+l;' l (x+I)3 I (x+I)4 I; e - - + (x + l) - + --- -- -I- --_ ~ + _~_ e

    e e 2! e 3 1 4! gdjeje~=-I+(x+l), OI< Pokaite da za I xl

  • 80 DERIV!RANJE FUNKCIJA II

    o Dobili smo neodre deni oblik O' pa primjena L'Hospital-Bernoullijeva pravila nije pot-rebna, jer je

    sin2 x sinx lim --- = lim --. sin x = I . O . = O.

    X---)-O X x..---+O X

    Na taj nain konano dobivamo: Inx

    lim--=O. X~~O etg x

    Primjer 2. Izraunajmo lim (_._1 __ ~) (neodredeni oblik 00- oo).

    X----Jo-O sln2 x x 2

    Rjeenje. Svedimo razlomke na zajedniki nazivnik

    ( 1 1 ) x' - sin2x ( O) lim --- - - = lim neodreeni oblik - . X--)-O sin2 x x 2 X-rO x2 sin2 x O

    Prije nego to primijenimo L'Hospital-Bernoullijevo pravilo, zamijenimo nazivnik raz-lomka ekvivalentnom beskonano malom veliinom (gl. l, 4) x' sin' x ~ x'. Dobivamo

    ( 1 1 ) x' - sin' x ( O ) lim -.-,- - 2 = lim , neodredeni oblik - . x-+O SIn x x X----l-O X O

    Po L'Hospital-Bernoullijevu pravilu je

    ( I I ) 2x - SlO 2x 2 - 2 cos 2x hm -- = - = hm ----- = hm ------x-O sln2 x x 2 x __ o 4x3 x-!--{) 12x2

    Dalje nalazimo elementarnim putem:

    ( 1 I ) I - cos 2x 2 sin' x I lim --- - - = lim ----- = lim ---- = - . x--+O sin2 x X2 X-+O 6x2 x--+O 6x2 3

    Primjer 3. Izraunajmo 3

    lim (cos 2x)x2 (neodredeni oblik I"'). X-).O

    Rjeenje. Logaritmiramo primijenimo L'Hospital-Bernoullijevo pravilo, pa dobijemo ", 3 ln cos 2x

    lim ln (cos 2xy = lim ---, x-+O x--+O X~

    tg 2x - 6 lim -- = - 6.

    J '

    Iz toga slijedi lim (cos 2x) x' = e -G. x-+o

    Potraite ove limese funkcija: . x 3 -2x2 -x+2 hm ---::----716. x~l x 3-7x+6

    x--+O 2x

    Rjeenje. x3 - 2x' - x + 2 3x' - 4x - I lim = lim --c:--c::--x-.l x 3 - 7x + 6 x-+I 3x' - 7 2

    I'C

    9

    777.

    779.

    781.

    783.

    785.

    j . xcosx-sinx lm _ . x-o X

    J. chx-l lm---. x-o l-cosx

    I. sec2 x - 2 tg x Im-----=--" 1+cos4x

    x"'" 4

    eX lims'

    x ..... +oo x

    1c

    lim _x_o x-o 1tX

    ctg-2

    NEODREENI OBLICI

    718.

    780.

    782.

    lim l-x X~ 1 1- sin 1CX

    2

    l . tgx-sinx lm . x~o x-smx

    lim tgx x_l!..- tg5x

    2

    lnx 784. lim 3"

    x-+ + oo :v x

    786 J. In (sin mx) ( O lm m> ).

    x-lO ln sinx

    787. lim (l-eosx)etgx. x-o

    Rjeenje. (1 - cos x) cos x

    lim (1 - cos x) ctg x = Iim---.-C---x--+o X-O SIn x

    = lim (l -cosx) . lim cosx= lim sinx 1 = O. x--+o sin x x-o x-o cos x

    788. lim (1- x) tg 1CX x~1 2

    789. lim arcs in x etg X. x~o

    790. Jim (xne-J, x~o

    n>O. 791. lim x sin~. x-- oo x

    792. lim xn sin!!.- , n> O aF O. 793. lim lnxln(x-l). X---.)o .. 00 X x~l

    794. lim (_x ___ 1_). x-l x--'l Jnx

    Rjeenje. lim -- - - = lim------( 1 I) xlnx-x+I x-+I x-l Inx x-+I (x - l)lnx

    l X - + Inx-1

    x lim-------x-+l 1

    Inx +- (x-I) x

    ln x x 1 lim = lim --- = - . x-->-1 1 x-+ l 1 1 2

    Inx-- + l - +-x X x2

    81

    795. lim (~- - 2 5 ) . x-3 x-3 x -x-6

    796. r [lIJ ~~1 2(1-$) - 3(1-V~) . fi D~midovl: Zadaci

  • 82 DERIVIRANJE FUNKCIJA

    797. lim (~ __ ,,_e _) n ctgx 2cosx

    x-l 798. lim xx.

    x ...... +0

    Rjeenje. Jman10 XX y; lny 0= xlnx; lim lny = lim xlnx =

    lnx x lim --- = lim ~-~- = O

    x--'>-Q l x--+O l l

    799. J.

    lim xx. ):;-+ + ex

    801. lim X sinx . X-' .1. o

    x

    ~ 803. lim (1 + x 2 ) x .

    X~ +0

    ( 7[x),g,,; 805. :i~ tg:;.

    ( 1 ),g~, 807. lim -~~- . x ....... -!-0"0 X

    809. Dokaite da se limesi

    2. 1 X SIn~

    x2

    a) lim --~= O; x-o sinx

    j . x-sinx l' b) lm . =_, X~OO X + SIn X

    x-+O x-+O

    odakle je lim y = 1, tj. lim XX = l. X-+O x+O

    3

    800. limx4+1nx. X~ O

    7rX

    802. lim (1 _ x) cos "2 x-'-'" l lj

    1

    804. lim x I -x.

    806.

    808.

    x""'" l

    1 I~ lim (ctgx) .

    x_ o

    lim (ctg x)sin x. x-o

    A

    ne mogu nai primjenom L'Hospital-Bernoul-lijeva pravija. Naite te limese izravno. Slika 20.

    II

    810*. Pokaite da je povrina segmenta kruga S malim sredinjim kutom rJ., te-tivom AB = b i visinom CD = h (sl. 20) priblino jednaka

    2 S;:;::; -bh 3

    s po volji malom relativnom pogrekom kada rJ.~ ->-0.

    GLAVA III

    EKSTREMI FUNKCIJA I PRIMJENE DERIVACIJA U GEOMETRIJI

    1. Ekstremi funkcije jednog argumenta . Uzlazna i silazna funkcija. Funkcijuy = J (x) nazivamo uzlaznom (silaznom) u nekom

    intervalu (odsjeku), ako za po volji odabrane take x, i x 2 koje pripadaju zadanom intervalu (od-sjeku) iz nejcdnadbe x, O (f'(x)< O) za a

  • 84 EKSTREMI FUNKCI.JA I PRIMJENE DERIVACI.JA U GEOMETRI.JI III

    Primjer 3. Razmotrimo s obzirom na uzlaznost i silaznost funkciju l l

    y _X5 __ X 3 . 5 3

    Rjeenje. Ovdje je y' = X4 _ x2. (2)

    Rijeimo li jednadbu x' - x 2 = 0, dobivamo take x, = - l, X2 = 0, x, "" 1 u kojima Se derivacija y' ponitava. Budui da y' moe promijeniti predznak samo pri prijelazu kroz take u kojima se ponitava ili se prekida (u zadanom primjeru take prekinutosti za y' nema), to u svakom intervalu (- oo, -l), (-l, O), (O, 1) i (l, + oo) derivacija zadrava stalni predznak, pa je prema tome u svakom od tih intervala razmatrana funkcija mono-tona. Da bismo ustanovili u kojim je od naznaenih intervala funkcija uzlazna, a u kojima je silazna, nuno je da znamo kakav predznak ima derivacija u svakom od tih intervala. Da bismo saznali kakav predznak ima y' u intervalu ( - oo, - 1), dovoljno je da ustanovimo kakav je predznak y' u jednoj po volji o,dabranoj taki tog intervala; uzmemo li na primjer da je x = -2, dobijemo iz (2) da je y' = 12>0, pa je prema tome y'>O u intervalu (- oo, -1) i funkcija je u tom intervalu uzlazna. Analogno nalazimo da je y' < u intervalu (-1, O) (za provjeravanje moemo na primjer uzeti x = - ~) ; y' J (xo), tada taku Xo nazivamo takom minimuma funkcije y = J ex', a broj f (xo) minimumom funkcije y = J( x). Analogno, ako za svaku taku x CF x" neke okoline take Xi vrijedi nejednadba J(x)

  • :::6 EKSTREMI FUNKCIJA I PRIMJENE DERIVACIJA U GEOMETRIJI III

    kritike su take funkcije y, X, = -1 i x 2 = 1. Ako usporedimo vrijednosti u tim takama s vrijednostima funkcije na kraje\'ima zadanog odsjeka

    ( 1 ' I y(-I)=5; y(1)=I; y -12)=4 8 ; ( I' y 22)=11 zakljuujemo (sl. 25), da najmanju vrijednost III = l funkcija ima u taki X~ 1 (u t.aki

    l 1 minimuma), a najveu AJ II - ima u taki x = 2 -- (na desnom kraju odsjeka).

    8 2

    Odredite uzlazne i silazne intervale funkcija:

    811. Y = 1-4x-x2

    812. Y = (X_2)2.

    813.

    814.

    815.

    816.

    817.

    818.

    819.

    y = (X+4)3. Y = x 2 (x-3).

    x Y= - .

    x-2

    Y = ex -= 1)2

    x V=---. x 2 -6x-16

    .I = (x-3)-;

    X 31 Y = -- -;j x. 3

    821. y = xlnx.

    823. Y = 2eX '-4-x.

    825. eX

    r =---. x

    Istrp.ite s obzirom na ekstreme ove funkcije: 826. )' = x 2 +4x+6.

    y

    111. 8

    -1 10 l

    Slika 2.5.

    820. J = x+sinx.

    x

    822. r = arcsin(1 +x). ..L

    824. Y = 2x - a .

    Rjeenje. Naemo derivaciju zadane funkcije y' = 2.x +4. Izjednaivi y' s nulom, dobivamo kri-tiku vrijednost argumenta x = - 2. Budui da je y' < O za x < - 2 i y' > O za x:> - 2, to jc x -- 2 taka minimuma zadane funkcije, pri emu je Ymin = 2. Ovaj isti rezultat dobivamo ako iskoristimo predznak druge derivacije u kritikoj taki: yU = 2> O.

    827. Y = 2+x-x2

    828. y = x 3 -3x2 +3x+2. 829. y=2x 3 +3x 2-12x+5.

    EKSTREMI FUNKCIJE JEDNOG" AHGUMENTA 87

    Rjeenje. Izraunamo derivaciju

    830.

    832.

    834.

    836.

    838.

    840.

    842.

    844.

    846.

    848.

    y' = 6x' + 6x - 12 = 6(X2 + X - 2). Izjednaivi derivaciju y' s nulom dobivamo kritike take X, = -- 2 i x2 = l. Za odre-ivanje karaktera ekstrema izraunamo drugu derivaciju y" c= 6 (2x + 1). Budui da je y" ( __ 2)

  • 88 EKSTREMI FUNKCIJA I PRIMJENE DERIVACIJA U GEOMETRIJI III

    857. Dokaimo nejednadbu eX> l+x za x # O.

    Rjeenje. Razmotrimo funkciju j(x)=eX -(1 +x). Obinim nainom halazimo da ta funkcija ima jedan minimum 1(0) ~"C O. Prema tome je

    I (x) > 1(0) za x *0, tj.

    eX > l + x za x * , to je trebalo dokazati.

    Dokaite nejednadbe:

    858.

    860.

    3 "x . x --

  • 92 EKSTREMI FUNKCIJA I PRIMJENE DERIVACIJA U GEOMETRIJI III

    Primijetimo da je zbog simetrije Gaussove krivulje s obzirom na os O Y dovoljno ispitati predznak konkavnosti te krivulje samo na poluosi O

  • 94 EKSTREM l Fl!NKCIJA I PRIMJENE DEHIVACI.JA U GEOMETHIJI III

    Rjdel/jc. Budui da je lim y = - oo,

    X-'>--+O

    to je pravac x = O vertikalna asimptota (donja). Razmatrajmo krivulju samo s obzirom na kosu desnu asimptotu (budui da je x>O).

    Imamo:

    k C~ lim y

    l, x-~+oo X

    b = lim (J' - x) = lim ln x = co. X--++OO x-+-+ oo

    Prema tome kose asimptote nema. Ako je krivulja zadana parametarskim jednadbama x =q> (t); J' =.Ji (t), najprIje

    istraujemo nema li takvih vrijednosti parametra t, pri kojima jedna od funkcija q> (t) ili 1!'(t) tei k beskonanosti, a druga ostaje konana. Neka je lim

  • 96 EKSTREMI FUNKCUA I PRIM.JEhfE DERIVACIJA U GEOMETRIJI

    Tablica I r-------.-------

    x O (O, I) 1 (1, ]13) ]13 = 1,73 (V3,3) 3

    Y O - "" + ~ = 1,37 + 1,5 r---~--

    y -- - ne eg-- O + + zistira

    y " O - ne eg- + + + O zistira

    Funkcija Funkcija Funkcija Deri- Taka je silazna; Taka je silazna; Taka je uzlazna; Taka \'acije in- graf je prekinu- graf je minimuma graf je in-fleksije konkavan tosti konkavan konkavan fleksije

    nadoije nagore nagore

    e) Koristei se rezultatima razmatranja konstruiramo graf funkcije (sl. 33). y

    -3; -V3:'=iT

    Slika 33.

    Primjer 2. Konstruirajn1o graf funkcije lnx y=-. x

    (3

    R;6enje. aj Podruje definicije funkcije je: o

  • 98 EKSTREMI FUNKCI.JA I PRIMJENE DERlVACIJA U GEOMETRIJI III

    Konstruirajte grafove nIze navedenih funkcija, odredivi za svaku funkciju njeno podruje definicije, take prekinutosti, take ekstrema, intervale uzlaznosti i silaznosti, take infleksije njenog grafa, smjer konkavnosti i asimptote grafa.

    916. y=x3 _3x 2

    918. Y =(x-1)2(x+2).

    920. Y = (x2 _5)3. 125

    922. Ji = X4 --~ 2

    924. Y = x 2 + ~ x

    926. 8 V=--- x 2 -4'

    4x-12 Y=--- . (X_2)2 928.

    16 Y=---x 2 (x-4) 930.

    932. y = .)~+.)4-x. 934. Y = x.)x+3. 936. Y = ~1-~~2.

    938. Y = 2x+2-3~(x+ 1)2. 940.

    942.

    y = \I(X+4)2 - V(X~4)2. 4

    Y=--.)4-x2

    x 944. Y = il x 2 _ 1

    946. Y = xe- x

    948. y=e8x-x2-14.

    950. Y = 2\ x \ - x 2

    917. Y = 6x 2 -x~ 9

    919. Y = (X-2)2(X+4) 4

    921. Y = x2-2x+2 x-l

    4 923. Y = x +3

    x

    l 925. )' = ~ + 3 .

    4x 927. Y = 4+X2'

    929. Y = _x. x 2 -4'

    931. Y = 3x 4+ 1 x3

    933. y = .) 8 + x - .) 8 - x.

    935. Y = .Jx3-3~. 937. y=~I-x3.

    939. y = \I x + l - \I x-L

    941.

    943.

    y = \I(X-2)2 + \I(X-4)2. 8

    Y= --=--x.)x 2 -4

    x 945. Y = \I(X-2)2

    947. X a ( 2) x y = a+ ~ e . 949. Y = (2+x2)e-x~

    lnx 951. y =--=. .)x

    4 KONSTRUKCIJA GRAFOVA FUNKCI.JA PREMA KARAKTERISTICNIMTACKAMA 99

    x 2 x 952. y =-ln---. 2 a

    954. y=(x+l)ln 2 (x+l).

    .) x 2 + J-I 956. y = ln -----x

    958. JI = I n (e + ~). 960. y = sinx + sin2x

    2

    962. Y = sin3 x+cos 3 x.

    964. smx

    Y = Sin( x+ : y 966. Y = cos X cos 2x.

    968. Y = arcsin(l-\l~2). 970. Y = 2x-tgx.

    1 972. Y = xarctg- za x#O x

    i y = O za x = O.

    x 974. Y = -+ arctgx. 2

    976. y = Arch (x + ~). 978. y = ean:sin r;

    980. y = ln sin x.

    982. y = lnx-arctgx.

    984. y = arctg (ln x).

    x 953. y =~.

    1 955. y=ln(x2-1)+--. x 2 -1

    957. y=ln(1+e- X ).

    959. JI = sinx+cosx.

    961. JI = cos x - cos2 X.

    963. Y = sinx+cosx

    965. JI = sin x . sin 2x.

    967. y = x+sin x. arcsin x

    969. Y = Ji-x2 ' 971. y = x arctg x.

    973. Y = x+2arctgx.

    975. y = lnshx.

    977. y = esinx

    979. y = earctgx

    981. y = ln tg (: - ~). 983. y = cosx-lncosx.

    985. y = arcsin ln (x 2 + 1).

    986. Y = xx. 987. y = XX

    Preporuamo takoer da konstruirate grafove funkcija iz zadataka br. 826-848.

    "

  • 100 EKSTREMI FUNKCIJA I PRIMJENE DERIVACIJA U GEOMETRIJI III

    Konstruirajte grafove funkcija koje su zadane parametarski : 988. x=t2 -2t, y = t2 +2t.

    989. x = a cos3 t, y = a sin t (a>O). 990. x = tet, y = te-t.

    991. x = t+e- t, y = 2t+e- 21

    992. x = a(sht-t), y=a(cht-l) (a>O).

    5. Diferencijal luka. Zakrivljenost 1'. Diferencijal luka. Diferencijal luka s ravninske glatke krivulje zadane jednad-

    bom u Descartesovim koordinatama x i y izraen je formulom

    ds = )(ds)2 + (dy)2; pri tome, ako jednadba krivulje ima oblik (sve funkcije su neprekinuto derivabiIne) :

    a) y = J(x)" onda je ds = JI + (:~y dx za dx O; b) x = JI (y), onda je ds = J~~ G~Y dy za dy > O;

    ~- ----~-

    e) x =

  • 102 EKSTREMI FUNKCIJA I PRIMJENE DERIVACIJA U GEOMETRIJI

    U polarnim koordinatama, kada je krivulja zadana jednadbom r = f (

  • 104 EKSTREMI FUNKCIJA I PRIMJENE DERIVACIJA U GEOMETRIJI

    1009. x = t 2 , Y = t 3 u taki (1; l). 1010. ,.2 = 2a2 cos 2

  • 106 NEODREEN] INTEGRAL]

    j, dx . x x VI. = areslO-+ e = - areeos- + CI ! I 2

    'ya--x a a

    VII. raXdx=~+e (a>O); leXdx=eX+c. In a

    VIII. fSinxdx = - eosx+c.

    IX. Jeosxdx = sinx+c.

    f dx X. --= tgx+C eos2 x

    XL f .d: = - etgx+C Sin x

    XII. f ~x = ln I tg~ /+ e = ln leoseex-etgxl + C. Sin X 2

    (a>O).

    f dX I (x< n)1 ' XIII. --=in tg -+- +C=lnltgx+seexl+C. eosx 2 4 XIV. fShXdX = ehx+C

    XV. fChXdX = shx+C

    f dx XVI. -- = thx+C eh2x

    f dx XVII. -- = - ethx+C. sh2 x

    PriU/jer l. f (ax' + bx + e) dx = fax 2 dx + f bx dx + f e dx =

    Primjenom osnovnih pravila integrale:

    1031. 15a2x 6 dx.

    1033. I x(x+a)(x+b)dx.

    1035. 1.J2pxdx.

    f l-n 1037. (nx) n dx.

    x" x 2 = a f x 2 dx + b r x dx + e f dx = a - + b - + ex + e .

    . 3 2

    l), 2), 3) i formula za integriranje izraunajte

    1032. 1(6x2 +8x+3)dx. 1034. I (a+bx 3 )2dx.

    fdX 1036. -=. ~x '2 2

    1038. J (a) - X3 )3 dx.

    IV

    ove

    NEPOSREDNO INTEGRIRAN,JE

    1039. Jc.J~+l)(X-.J;+l)dX. 1041. J'(Xm - X")2

    .J; dx. 1043. J'~

    x2 +7'

    H145. f dx .J4+X2 .

    1047. J'.J2+X 2 -.J2-X2 ,)4-x4 dx.

    1049. a) I etg2 x dx; b) Jeth 2 xdx.

    1040. (x +~)~2_2) dx. j, 2 1042. r.J~J~4 dx. 1044. J'~

    x2 -lO .

    f dx 1046. -=. ,)8_x2

    1048*. a) Itg 2 xdx;

    b) Ith 2 xdx.

    1050. !3Ydx

    107

    3'. Integriranje unoenjem pod znak diferencijala. Pravilo 4) znatno proiruje tablicu jednostavnijih integrala. Naime, na osnovu toga pravila tablica integrala primjenljiva i e neovisno o tome da li je varijabla integriranja nezavisna varijabla ili derivabiina funkcija.

    Primjer 2. r dx l ' 1 . V 5x _ 2 = 5'.1 (5x - 2) - "2 d (5x - 2) =

    l

    I r - 2. l u' l = 5' "u du = 5' . I' + e = 5'

    2

    1

    (5x - 2) 2

    2

    2 + e = - V 5x - 2 + c, 5

    gdje smo stavili u = 5x- 2. Posluili smo se pravilom 4) i integralom iz tablice l.

    Primjer 3. f x dx l J" d (x2) I Vl + X4 = '2 Vl + ex2)' = '2 In (x2 + Vl + x4 ) + C. utke smo podrazumijevali da je u = X2, pri emu smo primijenili pravilo 4) i integral V iz tablice.

    Primjer 4. f l' l x2 ex3 dx = "3 J eX' d (x3) = '3 eX' + e na osnovu pravila 4) i integrala VII. U primjerima 2, 3, 4 prije primjene bilo kog integrala iz tablice prethodno smo doveli

    zadani integral u oblik

    Jf(rp(xrp'(x) dx = Jf(u) du, gdje je u = rp(x). Takvu pretvorbu nazivamo unoenjem pod znak diferenCijala. Korisno je da spomenemo esto primjenjivane transformacije diferencijala, koje su

    napose upotrijebljene u primjerima 2 i 3: 1

    a} dx = -d(ax+b) (a =I O); a

    b) xdx = ~d(X2) itd. 2

  • 108 NEODREENI INTEGRALI IV

    Primjenom osnovnih pravila formula za integriranje, izraunajte ove integrale: 1051**. f~~~. a-x

    Jl-3X 1053. --dx. 3+2x

    1055. JaX+b dx. Cl.x+fJ

    1057. JX 2 + 5x~ + 7 dx. X+5 1059. J(a + _b_)2dx.

    x-a

    1061. J bdy . .J1- y

    1063"';!' J' x dx. .J X2 + 1

    J dx 1065. -2-' 3x +5

    1067. f dx (a+b) - (a-b)x 2

    (O O). .J a4 -x"

    NEPOSREDNO INTEGRIRANJE 109

    f X2 1081. -- dx. l+x6

    1083. JJareSiI: x dx. l-x

    1085. Jx -.J aretg 2x 1+4x2 dx

    1087. f ae - mx dx. 1088. J4 2 - 3x dx.

    1090. J(e~+e-~)2dx. Ja2X -l 1092. ~dx.

    1094. J X T2 dx. 1096. J5V; d~ .

    .Jx

    1098. J eX.J a - be" dx. 1100*. J~~.

    2"'+3

    1102. J-e~dX. 1 - e - 2bx 1104. J sin(a+bx)dx. 1106. J(eosax+sinaxfdx.

    f dx 1108. sin (lg x) - . x

    1110* . .r eos2 x dx.

    1112 .. 1 etg l ax dx.

    J x2dx 1082. Jx 6 -1' x Jaretg2 1084. --dx.

    4+X2

    1086. . f dx .J (1 + x 2) In(x +.J 1 + x 2)

    1089. J(e'-e-')dt.

    J( x bx )2 1091. a - dx. aXb"

    1093. Je- CX2 + 1) xdx. 1

    Je" 1095. ~dx . J eX 1097. --dx .

    eX_l

    J x l ~ 1099. (e;;+ l)3 e "dx. J aXdx 1101. ---2-,,'

    l+a

    1103. J e'dl .Ji-e2,

    1105. feos x_ dx. .J2

    11\17. cos x -~ . J .J- dx .Jx

    1109*. J sin2 xdx. 1111 . .r sec2 (ax + b) dx.

    dx 1113. j ---.

    . X SIn _.

    a

  • 110

    dx 1114. I (' Tr")

    3coS5x- 4

    1116. " xdx ~ cos 2 x 2 '

    1118. f(-, _1 -,- - l Y dx, Sin x~2 '

    1120. J ctg x dx. f dx 1122. -;' tg-

    5

    1124. J x ctg (x2 + 1) dx. r x, x 1126. cos - Sin - dx, a a

    1128. l'cOS ax dx. 5

    Sin ax

    1130. r sin:\'Cosx, dx. Jcos- X-5111- X

    1132. tg 3 - sec2 - dx. f x x 3 3 ~ :;

    1134. j ctg} x dx. sin 2 x

    1136. 1~(cOsax+SinaX)2 . dx.

    SlO ax

    1138. J(2sh5x-3ch5x)dx.

    1140. J'~. shx

    1142. J'~. shxchx

    1144. J cth x dx.

    NEODREENI DITEGRALI

    f dx 1115. sin(ax+b)' 1117. J xsin(1-x2)dx. 1119. f tgxdx. 1121. fctg ~ dx.

    a-b

    f -dx 1123. tg J x .J-;' 1125. f~ .

    smxcosx

    1127. J sin3 6x cos 6x dx. 1129. f sin 3x dx.

    3+cos3x

    1131. J .J 1 + 3 cos2 x sin 2x dx. 1133. fJtg x dx.

    cos2 X

    1135. fl+sin3x dx. cos 2 3x

    1137. J cosec 2 3x dx. b-actg3x

    1139. J sh 2 x dx. 1141. j'~.

    chx

    1143. J th x dx.

    IV NEPOSREDNO INTEGRIRANJE

    Izraunajte neodreene integrale:

    1145. J xV5-x 2 dx. 1147. J~ 8 dx.

    x +5

    1149. J3 - J2+3x2 2+3x2 dx. 1151. J dx J;" 1153. Jtg 3x - ctg 3x

    sin3x dx.

    J sec2 x 1155. J 2 dx. tg x-2

    5 \ sinx d 11 7 .. a cosx x.

    J xdx 1159. ,h _ X4 1161. JSin 2 ~ dx.

    dx

    J cos x . a

    1163.

    1165. Jtg JX-l ~ Jx-1'

    1167. Je"rctgX+xln(1+x2) + l . l+x ox.

    X )2 ( l-sin r: J v2 dx. 1169. . ~ sm -

    .J2

    f (l+x)2 dx. 1171. x(l+x2) f 5-3x dx. 1173. J 4- 3x2

    1146. dx . j, x 3 -1 x4-4x+l

    1148 .. 1 xe- x2 dx. Jx 3 -1 1150. -- dx.

    x+l

    1152. JI-Sin x dx. x+cosx

    1154. J~ xln2 x

    1156. J(2 + -+--) ~ . 2x+12x+l J X2 1158. -dx.

    \lx3 +1

    1160. J tg2 axdx. 1162. J sec2 x dx

    J4-tg2 x'

    1164. J'~ dx. 1166. J~

    sin (x2 )'

    . dx 1168. JSin x - cos x smx+cosX .

    J X2 1170. -2-- dx. x -2

    r . 2 1172. J e'ln ~'siI12x dx.

    1174. f~ eX +l"

    III

  • 112

    1175. J dx (a+b) + (a-b)x 2

    (O

  • 114 NEODREENI INTEGRALI IV

    rVX'+l dx=fV~ . x' tg't

    _d_t _ = fsec t cos t _d_t _ = cos. t sin' t cos' t

    f dt = sin2 t cos t

    -----dt = -- + -- dt jSin' t + cos' t f dt f cos t sinZ t . cos t .. cos t .. sin2 t

    l V--= ln I tg t -1- sec t I - -.-+ e = ln I tg I + l + tg' t I -

    SlOt

    VI +tg't VX2+ I - . + e = ln I x + V x' + l I - --- + e.

    tg t x

    U91. Primjenom navedenih. supstitucija izraunajte integrale:

    J dx a) --, xJx2-2

    X=-; t

    f dx b) -- , x = -ln t; eX +l

    c) I x(5x2 -3)1 dx, 5x2 - 3 = t; f xdx r--. d) J-' t=",x+l;

    .x+l

    f cosxdx e) , .JI +sin2 x

    t = sinx.

    Primjenom pogodnih supstitucija izraunajte integrale:

    U92. f x(2x+5) 1dx. J dx U94. x"\/2x+l' Jln2x dx U96. ln4x x

    _e ___ dx. J 2J; U98. .Jex +l

    f dx 1200*. xJl+x2'

    f l+x U93. ~dx. 1+",x

    U95. -=-. J dx Jex -l U97. f(arCSinX)2

    Jl-x2 dx.

    U99. {-sin 3 x dx. Jcosx

    Primjenom trigonometrijskih supstitucija izraunajte integrale:

    1201. J x 2dx Jl-x 2

    1202. J x 3 dx J2-x 2 '

    2 METODA SUPSTITUCIJE

    1203. J J~ dx. 1205. JJ x 2 : l dx. 1207. I Jl-x 2dx.

    J dx 1204*. xJx2_1' J dx 1206*. x2J4_x2'

    1208. Izraunajte integral J dx Jx(l-x) pomou supstitucije x = sin2 t.

    1209. Naite

    JJ a2 +X2 dx, primjenom hiperbolne supstitucije x = a sh t.

    Rjdelljc. Imamo Va' + x' = Va' + a' sh' t = a ch t dx = a ch t dt. Odatle je iVa' + x' dx = J a ch t . a ch t dt =

    I Ich 2t + I a' ( l ) = a' ch' t dt = a' --2- dt ="2 "2 sh 2t + t + e = a'

    I 15

    = "2 (sh t ch l + l) + e. Budui da je

    to konano dobivamo:

    x v-sh t = _ ch t = a' + x'

    a ---a

    et = chi + sht = x + Vd'+X" a

    IVa' + x' dx = ~ Va' + x' + ~ ln (x + Va' + x2) + Cl' 2 2 aZ

    gde je Cl = e - "2 ln a nova po volji odaberiva konstanta.

    1210. Naite

    stavivi x = a ch t.

    8'

    J~ x2dx Jx 2 -a 2 '

  • 116 NEODREENI INTEGRALI IV

    3. Parcijalna integracija Formula parcijalne integracije. Ako su u = rp (x) i v = 'p (x) neprekinuto deriva-

    biine funkcije, onda je JlIdt'=Llt'- Judu.

    Primjer l. Nadimo J xlnxdx,

    dx Stavimo u = ln x; dv = x dx, pa imamo du =

    x 2 V = 2 . Odatle je

    x

    J X2 JX2dX x 2 x2 xlnxdx = 2" lnx - 2 -; = 2 lnx - 4' + C. Ponekad provodimo parcijalnu integraciju po nekoliko puta, da zadani integral dobije oblik

    integraja iz tablice. U nekim sluajevima parcijalnim integriranjem dobivamo jednadbu iz koje se traeni integral moe odrediti.

    Primjer 2. Izraunajmo Jex cos xdx.

    Imamo J eX cosxdx = J eX d (sin x) = eXsinx - J eX sinxdx = = eXsinx + J eXd (cos x) = eXsinx+ eXcosx - J eXcosxdx,

    Zbog toga je I eX cos x dx = eX sin x + eX cos x - J eX cos x dx)

    odakle slijedi 10 eX eX cos x dx = 2 (s