OEIDT rijeseni zadaci

ЗАДАТАК За коло приказано на слици, под претпоставком да је операциони појачавач савршен: а) одредити потребан услов у погледу

односа отпорности у колу, да струја IL кроз отпорник RL не зависи од његове вредности,

б) одредити вредност струје IL у том случају.

Јун 2002, А

UR4R3

RL

R1 R2

IL

а) За посматрано коло важе једначине:

43 III L += ,

33 R

UUI L−

= ,

44 R

UUI LA −

= и

+=

1

21RR

UU LA ,

U R4 R3

RL

R1 R2

IL

I3 I4

UA

UL

на основу којих се може одредити зависност струје IL од вредности напона UА, UL и отпорности у колу.

41

2

4

1

2

4

1

RRR

UR

URR

UI L

LL

=

−

+

= ,

Сређивањем добија се израз за вредност струје IL у зависности од улазног напона U и напона UL на крајевима отпорника RL:

−+= 1

41

32

33 RRRR

RU

RUI L

L ,

односно у зависности од отпорности RL: LLL IRU = ,

−−

=

141

323 RR

RRRR

UI

L

L

Потребан услов да струја IL кроз потрошач (отпорник RL) не зависи од отпорности оптерећења RL има облик:

4132 RRRR = б) Када је наведени услов испуњен, струја IL је једнака:

3RUI L =

Петар Бошњаковић Електроника, збирка решених задатака (рукопис)

2

ЗАДАТАК За коло приказано на слици, под претпоставком да је операциони појачавач савршен: а) одредити општи израз за вредност

струје IL кроз отпорник RL у зависности од вредности улазног напона UI;

б) одредити потребан услов у погледу односа отпорности у колу, да струја IL кроз отпорник RL не зависи од напона UL на његовим крајевима.

Јун 2002, Б

UI

R4R3

r

RL

UL

R1 R2

IL

а) За посматрано коло важе једначине:

=+

−−

=−=43

4 RRU

rUU

III LLArL

+

+−=43

1RR

rr

Ur

U LA (1)

и LLL IRU = . (2)

на основу којих се може одредити зависностструје IL од вредности напона UА.

U

R4R3r

RL

UL

R1 R2

IL

UA

I1= I2

I3= I4

Ir

Напон UА одређује се на основу својстава савршеног операционог појачавача:

43

3

RRR

UUU L +== +− ,

112 R

UUII +−

== ,

одакле следи:

+

−−+

=−= +43

3

1

2

43

322 RR

RUU

RR

RRR

UIRUU LLA

1

21

43

3

1

2

RRR

RRRUU

RRU LA

++

+−=

Уношењем изведеног израза за вредност напона UА у једначину 1. добија се:

=

+

−−+

++−=

431

21

43

3

1

2 1RR

rR

RRRR

Rr

URR

rUI L

L

( ) ( )1413132311431

2 1 rRRRRRRRRRRRRr

URR

rU L −−−+

++−= .

( ) ( )[ ]rRRRRRRRr

URR

rUI L

L +−+

+−= 41321431

2 1 .

б) Потребан услов да струја IL кроз отпорник RL не зависи од напона UL на његовим крајевима има облик:

( ) 04132 =+− rRRRR

II Аналогна електроника

3

ЗАДАТАК За приказано коло, под претпоставком да је операциони појачавач савршен: а) одредити општи израз за фреквенцијску карактеристику W(jω)=UO(jω)/U(jω), б) одредити општи израз за амплитудску фреквенцијску карактеристику W(ω)=W(jω), в) одредити општи израз за фазну фреквенцијску карактеристику ϕ(ω)=arg W(jω), Јануар, мај, септембар 2002

U

R1

C

R2 R3

UО

uo(t)u(t)

а) За коло са идеалним операционим појачавачем у линеарном режиму рада, важе једначине:

+− =UU (инверујући и неинвертујући улаз појачавача налазе се на истом потенцијалу),

223 R

UUII −−

== (улазне струје операционог појачавача једнаке су нули),

UZR

RU

C+=+

1

1 , Cj

ZC ω1

= (напон на неинверујућем улазу појачавача одређен је само вредношћу улазног напона)

2333 R

UURUIRUU O

++−

−−=−=

С обзиром да је израз, који одређује вредност напона U+ у зависности од улазног напона U, отпорности R1 и капацитивности C, познат:

CRjCRj

UU1

1

1 ωω

+=+ ,

може се одредити израз за напон UО на излазу кола (операционог појачавача) :

U

R1

C

R2 R3

UО

U-

U+

I2 I3

UCRj

CRjRR

URR

URR

URR

U O1

1

2

3

2

3

2

3

2

3

111

ωω

+

++⋅−=⋅

++⋅−= + .

Сређивањем ове једначине добија се:

( )

CRj

CRjRR

UCRj

CRjRR

CRjRR

UU O1

12

3

1

12

31

2

3

11

11

ω

ω

ω

ωω

+

+−=

+

+++−

= ,

односно:


4

CRj

CRR

Rj

RR

UCRj

CRR

Rj

RR

U O1

3

21

2

3

1

3

21

2

3

1

1

1

1

ω

ω

ω

ω

+

−−=

+

−= .

Фреквенцијска карактеристика кола је, према дефиницији:

( ) ( )( ) 1

3

21

2

3

1

1

CRjRR

CRj

RR

jUjU

jW O

ω

ω

ωω

ω+

−−==

Фреквенцијска карактеристика посматраног кола се може представити у облику:

( ) ( )( )ωω

ωjWjW

RR

jW2

1

2

3−= , где је:

( ) ( ) ( )ωϕωωω 11

3

211 1 jeW

RR

CRjjW =−= ( ) ( ) ( )ωϕωωω 2212 1 jeWCRjjW =+=

( ) ( )2

13

2111

+==

RR

CRjWW ωωω ( ) ( ) ( )21 122 CRjWW ωωω +==

( ) ( )

−==

3

2111 R

RCRarctgjW ωωωϕ arg ( ) ( ) ( )122 CRarctgjW ωωωϕ == arg

Амплитудска фреквенцијска карактеристика посматраног кола одређена је једначином:

( )( )21

2

3

21

2

3

1

1

CR

RR

CR

RR

Wω

ω

ω+

+

=

в) Фазна фреквенцијска карактеристика посматраног кола одређена је једначином:

( ) ( ) ( )ωϕωϕωϕ 21 −= , oдакле следи (arc tg(-x) = - arctg x):

( ) 11

21 CRarctg

RR

CRarctg ωωωϕ −−=


5

ЗАДАТАК За приказано коло, под претпоставком да је операциони појачавач савршен, а) одредити општи израз за функцију

преноса, W(s)=UO(s)/U(s); б) одредити амплитудску

фреквенцијску карактеристику, W(ω), в) одредити фазну фреквенцијску

карактеристику, ϕ(ω)=arg W(jω), г) одредити диференцијалну једначину

која описује однос улазног, u(t), и излазног напона, uo(t), у случају R1 = R2 = R3 = R .

Август 2002

u(t)R1

C

R2

R3

uo(t)

U

UO

а) За посматрано коло са савршеним операционим појачавачем у линеарном режиму рада, важе једначине:

CC Z

UUI 1−

= ,

URR

RU

21

11 += ,

и ( ) CCO IRZUU 3+−= .

U

R1

C

R2

R3 UО

U1

IC

На основу претходних једначина се може одредити израз за напон UО на излазу кола (операционог појачавача) :

( ) ( )C

CC

CO ZRR

RUU

RZUZ

UURZUU 21

1

31

3+

−+−=

−+−= ,

URR

RZR

UUC

O21

231+

+−=

−

+=

+−

+=

CCO ZR

RRRR

RUU

RRR

ZR

URR

RU

1

32

21

1

21

23

21

1 1 .

Сменом sC

ZC1

= и сређивањем ове једначине добија се:

( ) ( )

−

+= CR

RR

sRR

RsUsU O 3

1

2

21

1 1 .

Функција преноса кола је, према дефиницији, одређена односом комплексних ликова излаза и улаза:


6

( )( )

−

+== CR

RR

sRR

RsUsU

)s(W O3

1

2

21

1 1 .

б) Фреквенцијска карактеристика W(јω) посматраног кола добија се сменом ωjs = : Амплитудска фреквенцијска карактеристика:

2

31

2

21

1 1

+

+= CR

RR

RRR

)(W ωω


( )1

23 R

RCRarctgωωϕ −=

г) У посматраном случају, када је R1 = R2 = R3 = R, израз за функцију преноса посматраног кола има облик:

( ) ( )( ) ( )sRCsUsU

sW O −== 121 ,

одакле следи: ( ) ( )( )sRCsUsU O −= 12 ,

односно: ( ) ( ) ( )sUsRCsUsU O +−=2 ,

Сменом оператора s оператором диференцирања по времену:

( ) ( ) ( ) ( )tusU,tusU,dtds OO ↔↔↔ ,

добија се диференцијална једначина која описује однос улазног, u(t), и излазног напона, uo(t):

)t(udtduRC)t(uO +−=2 .


7

ЗАДАТАК За коло приказано на слици, под претпоставком да је операциони појачавач савршен: а) одредити општи израз за фреквенцијску карактеристику б) одредити општи израз за амплитудску фреквенцијску карактеристику у

случају R1 = R2 = R3 = R

U R1

C

R2 R3

UО

uo(t)u(t)

Април 2003

а)

Посматрано коло се може посматрати као систем са два улаза на која је доведен исти сигнал. Такво коло, са идеалним операционим појачавачем у линеарном режиму рада, представља линеаран систем за који важи принцип суперпозиције. Одзив кола се може наћи као збир одзива на појединачну побуду када је други улаз спојен са масом:

02OO1 =

=U

UU и 01

OO2 ==

UUU ,

R2

C R1

UО

R3

U2 = U

U1 = U

2O1O UUU O += .

Када је напон U2 једнак нули, коло се своди на редну везу пасивног филтра и неинвертујућег појачавача

+

+=

+

+=

2

3

12

3

11O 1

111

RR

CRjUU

RR

ZRZ

UC

C

ω,

CjZC ω

1=

U

R2

C R1

UО1

R3


8

Када је напон U1 једнак нули, коло се своди на инвертујућi појачавач:

URR

U2

32O −= ,

U R2

C R1

UО2

R3

( )

CRj

CRjRR

RR

UUU O1

12

3

2

3

2O1O 1

11

ω

ω

+

+−+=+=

CRj

CRR

RjUUO

1

2

31

1

1

ω

ω

+

−=

Фреквенцијска карактеристика посматраног кола одређена је једначином:

( ) ( )( ) CRj

RR

CRj

sUsU

sW O

1

2

31

1

1

ω

ω

+

−==

б) У посматраном случају (R1 = R2 = R3 = R) aмплитудска фреквенцијска карактеристика посматраног кола једнака је

( )( )

11

1

21

2

2

31

=+

+

=CR

RR

CRW

ω

ωω


9

ЗАДАТАК За коло приказано на слици, подпретпоставком да је примењениоперациони појачавач савршен: а) одредити фреквенцијску

карактеристику; б) одредити амплитудску фреквенцијску

карактеристику; в) одредити фазну фреквенцијску

карактеристику ; г) одредити диференцијалну једначину

која описује однос улазног ui(t) и излазног напона uo(t).

Мај 2002, Новембар 2002

ui

R

C

кR

кR

R

uo

а) За коло са идеалним операционим појачавачем у линеарном режиму рада, важе једначине:

Cuuu == +− , (1) (инверујући и неинвертујући улаз појачавача налазе се на истом потенцијалу)

kRuu

Ruu

iii COCFiC

−+

−=+= , (2)

kRRu

Ru

i O

+== − , (3)

(улазне струје операционог појачавача једнаке су нули),

( ) ( ) ( )ωωω jIjZjU CCC ⋅= , (4)

ui

R

C

кR

кR

R

uo

uC=u+

u-

iC

ii

iF

i

На основу једначина (1) и (3) се може одредити израз за напон uО на излазу кола (операционог појачавача) у зависности од вредности напона uC на кондензатору:

( ) ( ) ( ) CO ukR

ukRRikRRu +=⋅+=⋅+= − 1 .

На основу добијеног израза и једначине (2) добија се: ( )

Ru

Ru

Ruu

kRuuk

Ruu

i CCCCCC =+

−=

−++

−=

1

одакле следи:

UR

ZIZU C

CCC =⋅= , односно

( ) ( )U

RZk

UkU CCO

+=+=

11


10

Сменом Cj

ZC ω1

= добија се:

( ) ( ) ( )ωω

ω jURCjkjU O

+=

1.

Фреквенцијска карактеристика кола је, према дефиницији: ( )( ) RCj

kjUjU

)j(W O

ωωω

ω +==

1

б) Амплитудска фреквенцијска карактеристика:

RCk)(W

ωω +

=1


( )2πωϕ −=∞−= arctg

г) Сменом jω= s добија се израз за функцију преноса посматраног кола:

( ) ( )( ) sRC

ksUsU

sW O +==

1 ,

одакле следи: ( ) ( ) ( )sUkssRCU O += 1 .

Сменом оператора s оператором диференцирања по времену:

( ) ( ) ( ) ( )tusU,tusU,dtds OO ↔↔↔ ,

добија се диференцијална једначина која описује однос улазног, u(t), и излазног напона, uO(t):

( ) )(1 tukdt

duRC O += .


11

ЗАДАТАК

За коло приказано на слици, ако напон на кондензатору представља излазни сигнал, одредити функцију преноса под претпоставком да је примењени операциони појачавач савршен. UC(s) = UC[s, C, R, U1(s), U2(s)]

u1

R

C

R R

r

u2

ruC

Април 2003

За коло на слици, са идеалним операционим појачавачем у линеарном режиму рада, важе једначине ( CUUU == +− ):

( ) CC ZIIU O1 += ,

RUU

I A−= 1

1 , R

UUI AO

O−

= ,

+=

+=

CC Z

RU

ZZR

UU 1C

CCA ,

2CO rIUU −= , r

UUI C2

2−

=

U1

R

C

R R

r

U2r

I1

IO

UA

UO

UCI2

на основу којих следи: ( ) ( ) ( )RZUZUUZUUURU CCCOCO +−+=+−= 22 1A1C

( ) ( ) CCC ZUUZRU O123 +=+ , и

2CO 2 UUU −= , односно:

( )R

ZUUU C

C 321 −= .

Сменом sC

ZC1

= добија се:

( ) ( ) ( )sRC

sUsUsU C 3

21 −= .

Посматрано коло омогућује интеграљење разлике два сигнала (диференцијални интегратор).


12

ЗАДАТАК

За коло приказано на слици, под претпоставком да је примењени операциони појачавач савршен, одредити општи израз за улазну отпорност.

R

R

R ZI

U

ОП1

За посматрано коло важe следеће релације:

RUU

I O−= , U

RRUU O 21 =

+= ,

на основу којих следи:

RUI −= .

RIURi −==

R

R

R

UI

ОП1


13

ЗАДАТАК

За коло приказано на слици, под претпоставком да је примењени операциони појачавач савршен, одредити општи израз за улазну импедансу

C

R

R

R

RUO

U

Z

За посматрано коло важe следеће релације:

RUU

RUU

I OCC −=

−= ,

+=

CCO Z

RUU 1 ,

где ZC означава импедансу паралелне везе кондензатора C и отпорника R:

sRCRRXZ CC +

==1

.

На основу којих следи:

+−=−=−

CCCOCC Z

RUUUUUU 1

C

R

R

R

R U

I

UO

UC

ZC = R||XC

−=

CC Z

RUU 1

RZZ

UUC

CC −= ,

RZU

RUU

IC

C

−−

=−

=

sRCCsR

IUZ

+==

1

2


14

ЗАДАТАК За коло приказано на слици, под претпоставком да је операциони појачавач савршен, а) одредити општи израз за функцију

преноса кола. Ако је R1 = R2 = R, и C1 = C2 = C: б) одредити општи израз за

амплитудску фреквенцијску карактеристику;

в) нацртати асимптотску логаритамску амплитудску фреквенцијску карактеристику;

г) одредити општи израз за фазну фреквенцијску карактеристику.

R1

C1

R2

U UO

C2

јун 2003

а) За коло са савршеним операционим појачавачем у линеарном режиму рада, за назначене смерове струја, важе једначине:

OUUU == +− ,

1C

AOO Z

UUI

−= ,

11 R

UUI A−

= ,

22

C

O

ZU

I = , OIII += 12 ,

( )222 CA ZRIU += ,

11

1sC

ZC = , 2

21

sCZC =

R1

C1

R2UUO

C2UAI1 I2

IO

На основу ових једначина следи:

( ) ( ) ( )22222

222 1 RsCUZRZU

ZRIU OCC

OCA +=+=+=

112 C

AOA

C

O

ZUU

RUU

ZU −

+−

= ,

( ) 1121 CsRUUUUUCsR AOAO −+−= . Сређивањем последњег израза:

( ) ( ) UCsRUCsRCsRU AO =++− 111121 1

( ) UCsRCsRCRCRsCsRCsRU O =++++− 221122112

1121 1 . добија се једначина:

( )[ ]121222112 +++= RRsCCRCRsUU O ,

на основу које следи израз за функцију преноса кола:


15

( ) ( )( ) ( ) 1

1

21222112 +++

==RRsCCRCRssU

sUsW O .

б) Ако је R1 = R2 = R, и C1 = C2 = C, функција преноса има облик:

( )( ) ( )22 1

112

1sRCsRCsRC

sW+

=++

=

Фреквенцијска карактеристика посматраног кола одређена је изразом:

( )( ) RCjRCjRCj

jWωωω

ω+

⋅+

=+

=1

11

11

12

Амплитудска фреквенцијска карактеристика одређена је једначином:

( )( )21

1RC

Wω

ω+

= .

в) Логаритамска амплитудска фреквенцијска карактеристика дефинисана је изразом:

( ) ( )ωω WW L log20= .

( ) ( )[ ]2120 RClogdBW L ω+−= Графички приказ асимптотске логаритамске амплитудске фреквенцијске карактеристике посматраног кола приказан је на слици.

WL(ω)

0

ωlog

ωg

нагиб -40 dB/dec

= -12 dB/oct

10 ωg

-40 dB

dB

Преломна учестаност једнака је:

RCg1

=ω

г) Фазна фреквенцијска карактеристика посматраног кола одређена је једначином: ( ) CRarctgCRarctg ωωωϕ −−= .

( ) CRarctgωωϕ 2−=


16

ЗАДАТАК

У колу приказаном на слици, примењени операциони појачавачи се могу сматрати савршеним. а) Oдредити општи израз за функцију

преноса кола. б) Одредити општи израз за амплитудску

фреквенцијску карактеристику кола. Aко је R1 = R2 = R: в) Нацртати асимптотску логаритамску

амплитудску фреквенцијску карактеристику.

г) Одредити општи израз за фазнуфреквенцијску карактеристику.

д) Написати диференцијалну једначину која описује однос улазног, u(t), и излазног напона, uo(t).

R1 R2

u(t)

C

R

uO(t)

а) За коло на слици, са идеалним операционим појачавачима у линеарном режиму рада, важе једначине:

URR

U1

22 −= ,

CZRUU

I+−

= 2 , sC

ZC1

=

RIUU O −= , на основу којих се добија:

sRC

CRR

sRUU O +

−=

1

11

2

.

R1 R2

CR

UO

U UO

U2

I

A2

A1

Функција преноса посматраног кола, W(s), има облик:

( ) ( )( ) sRC

CRR

sR

sUsU

sW O

+

−==

1

11

2

б) Фреквенцијска карактеристика посматраног кола, W(jω), одређена је једначином:

( ) ( )ω

ωjs

sWjW=

= ',


17

( ) ( )( ) RCj

CRR

Rj

jUjU

jW O

ω

ω

ωω

ω+

−==

1

11

2

. (1)

Амплитудска фреквенцијска карактеристика посматраног кола, W(ω), одређена је једначином:

( )( )2

2

1

2

1

1

RC

RR

RCW

ω

ω

ω+

+

= .

в) Aко је R1 = R2 = R:

( ) 1=ωW . ( ) 0=ωLW

Графички приказ асимптотске логаритамске амплитудске фреквенцијске карактеристике дат је на слици.

WL(ω) 0

ωlog

dB

г) Фазна фреквенцијска карактеристика система чија је фреквенцијска карактеристика дефинисана једначином (1) одређена је изразом:

( ) CRarctgRR

CRarctg ωωωϕ −−=1

2 .

Aко је R1 = R2 = R, добија се: ( ) CRarctgωωϕ 2−=

Посматрано коло понаша се као фреквенцијски независан “померач фазе”. Сигнал на излазу кола има исту амплитуду као и улазни сигнал, независно од његове учестаности, али је фазно померен за угао φ(ω). д) На основу израза за функцију преноса кола следи:

( ) ( ) ( ) ( )sUsRCsRCsUsWsU O +

−=⋅=

11 ,

односно: ( )( ) ( )( )sRCsUsRCsUO −=+ 11 .

( ) ( ) ( ) ( )ssURCsUssURCsU OO ⋅−=⋅+

Однос улазног, u(t), и излазног напона, uo(t) описан је диференцијална једначином:

( ) ( )dtduRCtu

dtdu

RCtu OO

O −=+


18

ЗАДАТАК За коло приказано на слици, под претпоставком да је операциони појачавач савршен : а) одредити општи израз за функцију

преноса кола. Ако је R1 = R2 = R, и C1 = C2 = C : б) одредити амплитудску

фреквенцијску карактеристику; в) одредити фазну фреквенцијску

карактеристику.

R1

C1 R2

U UO

C2

а) За коло на слици, са идеалним операционим појачавачем у линеарном режиму рада, важе једначине:

OUUU == +− ,

21 III O =+ ,

22 R

UI O= ,

11

C

A

ZUU

I−

= ,1RUU

I AOO

−= ,

( )222 CA ZRIU += ,

11

1sC

ZC = , 2

21

sCZC =

R1

C1

R2

U UO

C2

UA I1 I2

IO

На основу ових једначина може се одредити израз за вредност напона UА у зависности од вредности излазног напона UО:

( ) ( )22

2222

2222

1RsC

RsCUZR

RU

ZRIU OCO

CA+

=+=+= .

112 RUU

ZUU

RU AO

C

AO −+

−= ,

( ) 1121 CsRUUUUUCsR AOAO −+−= . Сређивањем последњег израза добија се једначина:

( )[ ]121122112

22112 +++= CCsRCRCRsUCRCRUs O , (1)

на основу које следи израз за функцију преноса кола

( ) ( )( ) ( ) 12112211

22211

2

+++==

CCsRCRCRsCRCRs

sUsU

sW O .

б) Ако је R1 = R2 = R, и C1 = C2 = C, функција преноса има облик:

( ) ( )( )

( )( )2

2

2

2

112 sRCsRC

sRCsRCsRCsW

+=

++=

Фреквенцијска карактеристика посматраног кола одређена је изразом:

( )RCj

RCjRCj

RCjRCj

RCjjW

ωω

ωω

ωω

ω+

⋅+

=

+

=111

2


19

Амплитудска фреквенцијска карактеристика одређена је једначином:

( ) ( )( )2

2

1 RCRCWω

ωω+

=

Логаритамска амплитудска фреквенцијска карактеристика дефинисана је изразом:

( ) ( )ωω WW L log20= .

( ) ( )[ ]2012040 RClogRClogdBWL ωω +−= Графички приказ асимптотске логаритамске амплитудске фреквенцијске карактеристике посматраног кола приказан је на слици.

WL(ω)

0 ωlog

нагиб 40 dB/dec

= 12 dB/oct

ωP dB

Преломна учестаност једнака је:

RCP1

=ω


( ) CRarctgωπωϕ 2−= .

На основу једначине (1)

( )[ ]121122112

22112 +++= CCsRCRCRsUCRCRUs O

добија се једначина: ( ) ( )( )12222222 ++= RCsCRssUCRssU O ,

односно ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sUsRCsUsUsRCsUsRC O ++= 22222 Однос улазног, u(t), и излазног напона, uo(t) описан је диференцијална једначином:

( ) ( ) ( )tudt

duRC

dtud

RCdt

udRC OOO +++= 2

2

22

2

22


20

ЗАДАТАК У колу приказаном на слици, примењени операциони појачавачи, ОП1 и ОП2, се могу сматрати савршеним. Одредити израз за вредност улазне импедансе ZI .

RC

R

RR

R

RR

ZI

UI

ОП2ОП1

Октобар 2, 2002

а) Улазна импеданса кола је, према дефиницији, једнака количнику комплексних ликова улазног напона U и улазне струје I. Струја I једнака је збиру струја I1 и I2. Да би се одредила њена вредност потребно је одредити зависност струја I1 и I2 од улазног напона U.

( ) ( )( )sIsUsZ I =u i

RC

R

RR

R

R

RU

I

ОП2ОП1

I2 I1

U2U1

UC

За коло операционог појачавача ОП1 важе следеће једначине:

RUU

I 11

−= . (1)

URRUU 211 =

+= . (2)


RUI −=1 . (3)


21

За коло операционог појачавача ОП2 важe следеће релације:

RUU

RUU

I CC 22

−=

−= . (4)

+=

CC Z

RUU 12 . (5)

где ZC означава импедансу паралелне везекондензатора C и отпорника R:

sRCRRXZ CC +

==1

. (6)

C

R

R

R

RU

ОП2

I2

U2

UC

ZC = R||XC На основу једначина (4) и (5) следи:

+−=−=−

CCCCC Z

RUUUUUU 12 (7)

Сређивањем добија се израз за вредност напона на неинвертујућем улазу појачавача ОП2:

RZZ

UUC

CC −= , (8)

на основу којег се одређује зависност струје I2 од улазног напона U:

CsRU

RU

sRCRRU

RU

RsRCR

sRCR

RU

RU

RU

RUI C

22

1

1 +=−−

−=−

+

+−=−= .

CsRUIII 221 =+= . (10)

( ) ( )( ) CRjjIjUjZ 2ωωω

ω == .


22

ЗАДАТАК За коло са савршеним операционим појачавачима, приказано на слици: А) одредити општи израз за улазну импедансу кола, ZI, под претпоставком

да су импедансе Z1, Z2, Z3, Z4, Z5 и Z6 познате; Б) одредити израз за вредност улазне импедансе ZI у случају када је Z1 = Z2 = Z3 = Z4 = Z6 = R, Z5 =1/јωC. (10)

Z4

Z6

Z5

Z3

Z2

Z1

ZI


А) Према ознакама на слици, за посматрано коло важе следеће једначине:

u i

U(jω) I(jω)

Z4

Z6

Z5

Z3

Z2

Z1

ОП1

ОП2

U

I1I I6

U1 U2

( ) ( ) ( )ωωω jIjIjI 61 += ,

( ) ( ) ( )( )ω

ωωω

jZjUjU

jI1

11

−= ,

( ) ( ) ( )( )ω

ωωω

jZjUjU

jI6

26

−= .

( ) ( )( ) ( )ωωω

ω jUjZjZ

jU

+=

3

21 1 ,

( ) ( )( ) ( ) ( )ωωωω

ω jUZ

ZZZZ

jUjZjZ

jU3

32

4

51

4

52

+−=−= ,



23

UZZ

ZI

31

21 −= ,

( )U

ZZZZZZZZ

UZ

ZZ

ZZ

I643

52343

6

4

5

3

2

6

11++

=

++

= .

Улазна струја једнака је:

( )U

ZZZZZZZZZZZZZZ

I6431

6421523431 −++= .

( ) 6421523431

6431

ZZZZZZZZZZZZZZ

Z I −++=

Б) За случај када је Z1 = Z2 = Z3 = Z4 = Z6 = R, Z5 =1/јωC , добија се:

323

4

12 RCj

RR

RZ I

−+=

ω

CRjZ I2

21

ω=

ПРОВЕРА У посматраном случају, када су све отпорности у колу једнаке, операциони појачавач ОП1 има улогу неинвертујућег појачавача чије је појачање једнако 2. Операциони појачавач ОП2, у чијој грани повратне спреге се налази кондензатор, делује као инвертујући интегратор:

( ) ( )ωω

ω jURCj

jU 121

−= .

R

R

C

R

R

R

ОП1

ОП2

U

I1I I6

U1 U2

UU 21 = ,

URCj

Uω

22 −= ,

RUI −=1

(за усвојене референтне смерове струја I1 је негативна !) ,

CRjU

RUI

262ω

+=

UCRj

I2

2ω

=


24

ЗАДАТАК За коло приказано на слици, под претпоставком да су операциони појачавачи савршени, а) одредити општи израз за вредност

улазне импедансе Zi; б) одредити улазну импедансу ако је

Z1 = Z2 = Z3 = Z5 = R, Z4 = 1/jωC, в) ако напон Ui представља улазну

(управљачку), а струја Ii излазну (управљану) величину, нацртати асимптотску логаритамску амплитудску фреквенцијску карактеристику кола.

Maj 2002

Z1

Z2

Z3

Z4

Z5

ОП1

ОП2

Ui Ii

а) За коло са идеалним операционим појачавачима у линеарном режиму рада, важе једначине:

iA UU = и AB UU = ,

3

1

2

223 Z

UUZ

UUII ii −

=−

== ,

554 Z

UII i== ,

iUZ

ZZU

5

541

+= , и

3

1232222 Z

UUZUIZUIZUU i

iiA−

+=+=+= .

Z1

Z2

Z3

Z4

Z5

ОП1

ОП2

Ui Ii

UA =Ui

UB= UA

I4 = I5

U1

U2

A

B

Сређивањем последње једначине добија се:

−=

+−+=

53

42

5

54

3

22 11

ZZZZ

UZ

ZZZZ

UUU iii

Улазна струја Ii једнака је:

ii

i UZZZ

ZZZ

UUII

531

42

1

21 =

−== ,

одакле следи


25

42

531

ZZZZZ

IU

Zi

ii ==

б) За задате услове Z1 = Z2 = Z3 = Z5 = R, Z4 = 1/jωC добија се CRjZ i

2ω= в)

За посматрано коло фреквенцијска карактеристика једнака је:

( ) ( )( ) ( ) ( )ωωωωω

jZjY

jUjIjW 1

=== ,

( )CRj

jW 21

ωω =

( ) CRlogWL2

1020 ωω −= . Логаритамска амплитудска и фазна фреквенцијска карактеристика

приказане су на слици. WL(ω)

ωlog

нагиб-20 dB/dec= -6 dB/oct

φ(ω)0

ωlog

- π/2


26

ЗАДАТАК За коло приказано на слици, под претпоставком да су операциони појачавачи савршени, а) одредити општи израз за вредност улазне импедансе Zi; б) ако напон UI представља улазну (управљачку), а струја II излазну

(управљану) величину одредити фреквенцијску карактеристику преноса W(jω) за случај Z1 = Z3 = Z4 = Z5 = R, Z2 = 1/jωC,

Z1

Z2 Z3 Z4

Z5UI

ОП1 ОП2

Децембар 2002

а) Према ознакама на слици, за коло са идеалним операционим појачавачима у линеарном режиму рада, важе једначине:

IUUU == +− , (1) (инверујући и неинвертујући улаз појачавача налазе се на истом потенцијалу)

3

232 Z

UUII I−

== , (2)

IUZ

ZZU

5

542

+= , (3)

(улазне струје операционог појачавача једнаке су нули),

221 IZUU I −= , (4)

1

11 Z

UUII I

−== , (5)

Z1

ZI

Z2 Z3 Z4

Z5

UI

II

ОП1 ОП2 UI

UI

U2U1

I2 = I3

а) На основу једначина (1) до (4) добија се:

−=

−

+

−=−

−=53

42

3

5

4

23

221 1

1

ZZZZ

UZ

UUZZ

ZUZ

UUZUU I

II

II

I .

На основу једначине (5) добија се:

531

42

1

1

ZZZZZ

UZ

UUI II =

−= , одакле следи


27

42

531

ZZZZZ

IU

ZI

II ==

б) Фреквенцијска карактеристика посматраног кола када прикључени напон UI представља улазну (управљачку) величину (побуду), а струја II излазну (управљану) величину (одзив), је комплексна величина, W(jω), одређена количником комплексних ликова струје и напона, која физички, представља улазну адмитансу:

( ) ( )( ) ( )ωωω

ω jYjUjIjW == .

За случај Z1 = Z3 = Z4 = Z5 = R, Z2 = 1/jωC, добија се

( )CRjZZZ

ZZjW

2531

42 1ω

ω ==


28

ЗАДАТАК За коло приказано на слици, под претпоставком да су операциони појачавачи савршени: а) одредити функцију преноса W(jω)=UO(jω)/ U(jω); б) одредити амплитудску фреквенцијску карактеристику W(ω)=W(jω); в) одредити фазну фреквенцијску карактеристику ϕ(ω)= arg W(jω); г) нацртати логаритамску асимптотску фреквенцијску карактеристику

појачања.

u

C3

uo

+

OP1

OP3 OP2+

+R1

R4R5

R2

R3R6

C2

Јануар 2003

а) Према ознакама на слици, за коло са идеалним операционим појачавачима у линеарном режиму рада, важе једначине:

OUCsR

U33

21

−= ,

24

53 U

RR

U −= ,

61 II = ,

11 R

UI I= .

6

36 R

UI −=

ui

C3

uo

+

OP1

OP3 OP2+

+R1

R4R5

R2

R3 R6

C2

интеграторинвертор

I1

I6

U3

U2

На основу којих следи:

IO URR

UCRsR

RU

1

6

343

53 −== ,

Функција преноса кола једнака је

( ) 3351

64. CsRRRRR

UU

sWI

O −==

б) Фреквенцијска карактеристика кола дефинисана је изразом:


29

( ) ( ) 3351

64 CRRRRR

jjs

sWjW ωω

ω −==

=

Амплитудска фреквенцијска карактеристика једнака је:

( ) ( ) 351

643 C

RRRR

RjWW ωωω ==

в)

Фазна фреквенцијска карактеристика једнака је – π/2.

г)

Асимптотска логаритамска амплитудска фреквенцијска карактеристика приказана је на слици.

WL(ω)

ωlog

нагиб20 dB/dec= 6 dB/oct


30

ЗАДАТАК За коло приказано на слици, под претпоставком да су примењени операциони појачавачи савршени: а) одредити општи израз за карактеристику преноса UО= f(U); б) нацртати карактеристику преноса UО= f(U) за случај када за вредности

отпорности у колу важи једначина: Ra = Rb; в) нацртати дијаграм који приказује таласне облике напона UО и UA, при

побуди кола наизменичним напоном симетричног троугаоног таласног облика

UO

U

Ra Rb

Rc

RL

UA

D2

D1

OPА

OPB D3

D4

Јануар 2003 а) Када је улазни напон U позитиван, расподела струја и потенцијала у колу

је приказана на слици 2.2. Излазни напон једнак је улазном напону

UOUI > 0 Ra Rb

Rc

RL UA

D1

OPA

OPB D3

Ia Ib

Ia + Ib

Ic = 0

Инвертујући улаз операционог појачавача OPB је на потенцијалу улаза (негативна повратна спрега се остварује преко диоде D3). Диода D4 је закочена. Према претпоставци, операциони појачавачи су савршени, струја кроз отпорник Ra једнака је нули, па је потенцијал излаза такође једнак потенцијалу улaзa. Негативна повратна спрега у колу операционог појачавача OPА остварује се преко диоде D1. Диода D2 је закочена.

0>= UзаUUO Kaда је улазни напон U негативан, расподела струја и потенцијала у

колу је приказана на слици.


31

UO > 0UI < 0 Ra Rb

RL

UA

D2 OPA

OPB

D4

Ia = Ib

Инвертујући улаз операционог појачавача ОPB је на потенцијалу улаза (негативна повратна спрега се остварује преко диоде D4). Диода D3 је закочена. Негативна повратна спрега у колу операционог појачавача OPА остварује се преко диоде D2 Диода D1 је закочена. Операциони појачавач OPА има улогу инвертујућег појачавача

0<−= UзаURR

Ua

bO

<−

>= 0

0

UзаURR

UзаUU

a

bO

б) У случају Ra = Rb посматрано коло представља модуо-коло.

<−>

=0

0UзаU

UзаUU O

Карактеристика преноса UО= f(U) приказана је на слици

0

UО

U

в) Дијаграм таласних облика напона UO(t) и UA(t) приказан је на слици.

U(t)U

0 t T T/2

UО(t)U

- U

0 t T

T/2

UА(t)

- U(ТО)

0 t T T/2


32

ЗАДАТАК За коло приказано, под претпоставком да су операциони појачавачи савршени: • одредити израз за карактеристику преноса UО= f(U), • нацртати дијаграм који приказује таласни облик напона UO(t) при побуди

кола биполарним напоном симетричног троугаоног таласног облика амплитуде U.

UO

rRU

R

D1

D2

A

B

Rr U(t)U

- U

0

t

TT/2


РЕШЕЊЕ а) Када је улазни напон негативан, расподела струја и потенцијала у колу је

приказана на слици. Инвертујући улаз операционог појачавача ОП1 је на потенцијалу масе (виртуелна маса). Потенцијал тачке B је такође једнак потенцијалу масе (кроз отпорник не протиче никаква струја, па је и пад напона између његових крајева једнак нули). Операциони појачавач ОП2 има улогу инвертујућег појачавача.

UO < 0

rR

U < 0

RB=R

D1

D2

A

B

Rr

UA > 0

UB = 0

I1 I2

прекидОП1 ОП2

RUI =1 , (1)

URrU A −= , (2)

rU

I A=2 , (3)

AO UrRU −= . (4)

Дакле, када је улазни напон U негативан, излазни напон UО је такође негативан, једнак улазном напону:

0<= UзаUU O


33

Када је улазни напон позитиван, расподела струја и потенцијала у колу је приказана на слици.

UO < 0

rR

U > 0

R

D1

D2

A

B

Rr

UA = UB /2

UB < 0

I1 IА

прекид

UB < 0

IB

ОП1 ОП2

RUI =1 , (5)

rU

I BA 2

−= , (6)

RU

I BB −= , (7)

BA III +=1 . (8)

На основу једначина од (6) до (8) следи:

RrU

rU

RU

I BBB

221 −=−−= (9)

rRrU

RRr

UU B 222+

−=−= (10)

rRrU

rRUURIUU BBBABO 2

22

+=+=−= (11)

Дакле, када је улазни напон U позитиван, излазни напон UО је негативан, једнак по величини (интензитету) улазном напону.

0>−= UзаUU O Посматрано коло омогућује добијање апсолутне вредности улазног напона са негативним предзнаком.

>−<

=0

0UUзз

UзаUU O

а) Дијаграм таласних облика напона UO(t) и UA(t) при побуди кола биполарним напоном симетричног троугаоног таласног облика амплитуде U приказан је на слици.

U(t)U

- U

0 tTT/2


34

ЗАДАТАК За коло приказано на слици, под претпоставком да су примењени операциони појачавачи савршени: а) одредити општи израз за карактеристику преноса UО= f(U); б) нацртати дијаграм који приказује таласне облике напона UO и UA, при

побуди кола наизменичним напоном симетричног троугаоног таласног облика за случај када за вредности отпорности у колу важе једначине: Ra = Rb, Rd = 2Rc

UO

UI

Ra Rb Rc RdUA

Децембар 2002 а) Када је улазни напон U позитиван, расподела струја и потенцијала у колу

је приказана на слици.

UO

U > 0

Ra Rb Rc Rd

Ia = Ib Ic = Id

D1

UU

UA>U

ba

a IRUI == , (1)

+=

a

bA R

RUU 1 , (2)

dc

Ac I

RUU

I =−

= , (3)

ddO RIUU −= . (4)

Побуда позитивним напоном На основу једначина (2) и (3) следи:

URR

RI

ca

bc = ,

−=

ca

dbO RR

RRUU 1

Када је улазни напон U негативан, расподела струја и потенцијала у колу је приказана на слици.


35

UO

U < 0

Ra Rb Rc Rd

Ia Ic = Id = 0

D2

U U

UA=U

Ib = Ic = 0

Побуда негативним напоном

Инвертујући улаз операционог појачавача ОП1 је на потенцијалу улаза (негативна повратна спрега је остварена преко диоде D2). Потенцијал тачке А је такође једнак потенцијалу улaзa (кроз отпорникe Rb и Rc не протиче никаква струја). Операциони појачавач ОП2 има улогу јединичног појачавача (кроз отпорник Rd не протиче никаква струја, па је и пад напона између његових крајева једнак нули).

0<= UзаUUO

<

>

−=

0

01

UзаU

UзаRRRR

UUca

db

O

У случају Ra = Rb, Rd = 2Rc посматрано коло омогућује добијање апсолутне вредности улазног напона са негативним предзнаком:

<>−

=00

UзаUUзаU

U O

в) Дијаграм таласних облика напона UO(t) и UA(t) при побуди кола биполарним напоном симетричног троугаоног таласног облика амплитуде U приказан је на слици.

U(t)U

- U

0 t T T/2

UО(t)

- U

0 t T T/2

UА(t)2U

- U

0 t T T/2


36

ЗАДАТАК За коло приказано на слици, под претпоставком да су ZD1 и ZD2 савршене Ценер-диоде (динамичка отпорност у режиму пробоја и пад напона при директној поларизацији су занемарљиво мали), као и да је операциони појачавач савршен а) одредити општи израз за вредност напона UO на излазу кола у

зависности од вредности улазног напона U, напона пробоја UZ и односа отпорности R1, R2 и R3;

б) израчунати вредност излаzног напона за случај U = 5 V, UZ = 2.5 V и R1 = R2 = R3;

в) нацртати улазно-излазну карактеристику кола, UО(U); U

R1R3

R2

Uo

ZD1 ZD2

UАК

IAK

UZА

К

Јун 2002, А

РЕШЕЊЕ а) Са становишта поларитета улазног напона Ui, структура кола је симетрична, па је и улазно-излазна карактеристика кола симетрична у односу на координатни почетак. За мале вредности улазног напона Ui, струја кроз грану кола у којој се налазе Ценер-диоде је једнака нули. Коло се понаша као неинвертујући појачавач :

+=

1

21RR

UU O

Овакав модел може се применити уколико је пад напона на отпорнику R2 мањи од напона пробоја Ценер-диоде, UZ. Вредност улазног напона Uк која дефинише границу ове области одређена је условом:

Zk U

RU

RIRU ===1

2222 ,

односно

2

1

RR

UU Zk = .

U

R1

R2

Uo

U2=R2 I2< UZ

I2


37

Еквивалентно коло које одговара случају када је улазни напон већи од напона Uк приказано је на слици.

U>UK

R1 R3

R2

Uo

UZ

U

R1 RT

Uo

UT

Применом Тевененове теореме, добија се једноставнији модел, приказан на слици. за који важи:

32

2

RRR

UU ZT += ,

32

32

RRRR

RT +=

Овај део карактеристике одређен је једначином:

kTO UU;UR

R||RUU ≥+

+=

1

321

б) Uk = UZ = 2,5 V,UT=1,25 V,UO(5 V)= 8,75 V

в) Графички приказ улазно-излазне карактеристике кола дат је на слици.

0

UО

U

2

1

RRUU ZK =

ZT URR

RU22

2

+=

+

2

11RRU Z


38

ЗАДАТАК За коло приказано на слици, под претпоставком да је операциони појачавач савршен,: а) одредити општи израз за вредност напона UO(Ui, U) на излазу кола под

претпоставком да су диоде D1 и D2 савршене (при директној поларизацији, пад напона од аноде до катоде се може занемарити);

б) нацртати улазно-излазну карактеристику кола, UО(Ui, U) ако све отпорности у колу имају једнаке вредности: R = R1 = R2 = R3;

в) нацртати улазно-излазну карактеристику кола, UО(Ui, U) за случај: R = R1 = R2, R3 = ∞;

Ui

R R3

R1

R2

Uo

R1

R2

+U

-U

D1

D2

UAK

IAK

јун 2002,Б

РЕШЕЊЕ а) Структура кола је симетрична у погледу поларитета улазног напона U, па је и улазно-излазна карактеристика кола симетрична у односу на координатни почетак. За мале вредности улазног напона обе диоде су инверзно поларисане.

iO URR

U 3−=

Константа нагиба карактеристике у околини координатног почетка једнака је:

RR

k 31 −= ,

При довољно великој позитивној вредности улазног напона диода D1 је директно поларисана и представља кратак спој (слика 2).

UR

RRU

RRR

U iO2

1313 −−=

Константа нагиба улазно-излазне карактеристике за Ui ≥ UiG једнака је:

RRR

UU

ki

O 132 −=

∆∆

=


39

При довољно великој позитивној вредности улазног напона диода D1 је директно поларисана и представља кратак спој (слика 2).

UR

RRU

RRR

U iO2

1313 −−= .

Константа нагиба улазно-излазне карактеристике за Ui ≥ UiG једнака је:

RRR

UU

ki

O 132 −=

∆∆

=

Ui

R R3 Uo

R1

R2

+U

D1 А

б) Графички приказ улазно-излазне карактеристике кола дат је на слици. Вредност улазног напона UiG која одговара преломној тачки карактеристике одређена је потребним условом да је напон у тачки А једнак нули када је струја кроз диоду једнака нули,

21 RU

RU OG =− ; iGOG U

RR

U 3−= , одакле следи URRRR

U iG32

1= , URR

U OG2

1−=

0

UО

UUG

-UG

-UОG

UОG

константа нагиба k1

константа нагиба k2

UR

RR

2

13−

в) Графички приказ улазно-излазне карактеристике кола за случај R3 = ∞ дат је на слици.

0

UО

U

Documents

OEIDT rijeseni zadaci