Embed Size (px)
Citation preview
Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 3.2
Prije rijesavanja zadataka prisjetimo se bitnih stvari koje ce nas pratiti tijekomnjihovog promatranja.
Tvrdnja: (Osnovni trigonometrijski identiteti)
sin2 x+ cos2 x = 1
tg x =sinx
cosx
ctg x =cosx
sinx
Tvrdnja: (Adicijski teoremi)
sin (x± y) = sinx · cos y ± cosx · sin y
cos (x± y) = cosx · cos y ∓ sinx · sin y
tg (x± y) = tg x± tg y
1∓ tg x · tg y
ctg (x± y) = ctg x · ctg y ∓ 1
ctg y ± ctg x
Tvrdnja: Formule redukcije
sin(π2+ t)= cos t cos
(π2+ t)= − sin t
sin(π2− t)= cos t cos
(π2− t)= sin t
sin (π + t) = − sin t cos (π + t) = − cos t
sin (π − t) = sin t cos (π − t) = − cos t
sin
(3π
2+ t
)= − cos t cos
(3π
2+ t
)= sin t
sin
(3π
2− t)
= − cos t cos
(3π
2− t)
= − sin t
Tvrdnja: (Trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta)
sin 2x = 2 sinx cosx
cos 2x = cos2 x− sin2 x
tg 2x =2 tg x
1− tg2 x
ctg 2x =ctg2 x− 1
2 ctg x
1
Tvrdnja: Sinus i kosinus polovicnog kuta:
sinx
2= ±
√1− cosx
2
cosx
2= ±
√1 + cosx
2
Tvrdnja: (Transformacija umnoska u zbroj)
sinx cos y =1
2[sin (x+ y) + sin (x− y)]
cosx sin y =1
2[sin (x+ y)− sin (x− y)]
cosx cos y =1
2[cos (x+ y) + cos (x− y)]
sinx sin y =1
2[cos (x− y)− cos (x+ y)]
Tvrdnja: (Transformacija zbroja u umnozak)
sinx+ sin y = 2 sinx+ y
2cos
x− y2
sinx− sin y = 2 cosx+ y
2sin
x− y2
cosx+ cos y = 2 cosx+ y
2cos
x− y2
cosx− cos y = −2 sin x+ y
2sin
x− y2
Prisjetim se jos vrijednosti trigonometrijskih funkcija za istaknute kuteve:
Kutπ
6
π
4
π
3
π
2π
3π
22π
sinx1
2
√2
2
√3
21 0 -1 0
cosx
√3
2
√2
2
1
20 -1 0 1
tg x
√3
31
√3 nedef. 0 nedef. 0
ctg x√3 1
√3
30 nedef. 0 nedef.
2
Zadatak 7: (str. 72) Koliko je tgα
2ako je tgα = −24
7,π
2< α < π?
Rjesenje: Uocimo prvo u kojem se kvadrantu nalazi dani kut na brojevnojkruznici kako bi kasnije znali odrediti predznake vrijednosti trigonometrijskihfunkcija:
Nadalje uocimo da je nas zadatak odrediti cemu je jednako tgα
2. Sjetimo li se
osnovnih tigonometrijskih identiteta znamo da vrijedi:
tgα =sinα
cosα
Uvrstimo liα
2umjesto α dobijemo sljedeci izraz:
tgα
2=
sinα
2
cosα
2
Sada mozemo uociti da je nas zadatak zapravo odrediti cemu je jednako sinα
2i cos
α
2. No znamo da vrijedi sljedece:
sinα
2= ±
√1− cosα
2
cosα
2= ±
√1 + cosα
2
3
Pa dakle mozemo zakljuciti da nam je na kraju zapravo zadatak odrediti cemu
je jednak cosα. Nadalje raspisimo ono sto je zadano, tgα = −24
7. Znamo da
vrijedi tgα =sinα
cosα:
tgα = −24
7
tgα =sinα
cosα
⇒ sinα
cosα= −24
7
Pomnozim izraz na desnoj strani s cosα:
sinα
cosα= −24
7/ · cosα
sinα = −24
7· cosα
Prisjetimo se da vrijedi temeljni trigonometrijski identitet:
sin2 α+ cos2 α = 1
Primjenim cinjenicu da vrijedi sinα = −24
7· cosα te dalje racunam:
sin2 α+ cos2 α = 1(−24
7· cosα
)2
+ cos2 α = 1
576
49· cos2 α+ cos2 α = 1
576
49· cos2 α+
49
49· cos2 α = 1
625
49· cos2 α = 1 / · 49
625
cos2 α =49
625/√
cosα = ± 7
25
Posto se kut α nalazi u drugom kvadrantu, a tamo su vrijednosti kosinusa
negativne, slijedi da je cosα = − 7
25. Sada se s tim saznanjem vratim u izraze:
sinα
2= ±
√1− cosα
2
cosα
2= ±
√1 + cosα
2
4
No prije toga moram odrediti gdje se nalazi kutα
2na brojevnoj kruznici kako
bi znali odrediti predznake vrijednosti trigonometrijskih funkcija. Kako znamgdje se nalazi kut α, dakle vrijedi
π
2< α < π, cijeli izraz podijelim s dva.
Racunam:π
2< α < π / : 2
π
22
1
<α
2<π
2
π
4<α
2<π
2
Na brojevnoj kruznici to izgeda ovako:
Odredimo sada cemu je jednako sinα
2i cos
α
2imajuci na umu da smo izracunali
da vrijedi cosα = − 7
25. Dakle racunam prvo cemu je jednako sin
α
2:
sinα
2= ±
√1− cosα
2
sinα
2= ±
√√√√√1−(− 7
25
)2
sinα
2= ±
√√√√1 +7
252
sinα
2= ±
√√√√ 25
25+
7
252
5
sinα
2= ±
√√√√√√√16��32
25
�211
= ±
√√√√√√16
251
1
= ±√
16
25
sinα
2= ±4
5
Posto se kutα
2nalazi u prvom kvadrantu, a tamo su vrijednosti sinusa pozi-
tivne, slijedi da je sinα
2. Dalje racunam cemu je jednako cos
α
2=
4
5:
cosα
2= ±
√1 + cosα
2
cosα
2= ±
√√√√√1 +
(− 7
25
)2
cosα
2= ±
√√√√1− 7
252
cosα
2= ±
√√√√ 25
25− 7
252
cosα
2= ±
√√√√√√√9��18
25
�211
= ±
√√√√√√9
251
1
= ±√
9
25
cosα
2= ±3
5
Posto se kutα
2nalazi u prvom kvadrantu, a tamo su vrijednosti kosinusa poz-
itivne, slijedi da je cosα
2=
3
5. Sada kada smo odredili cemu je jednako sin
α
2i
cosα
2mozemo odrediti cemu je jedanko tgα2. Racunam:
tgα
2=
sinα
2
cosα
2
tgα
2=
41�53
�51
=
4
13
1
=4
3
6
Dakle odredili smo da je tgα
2=
4
3cime je zadatak rijesen.
− ?−
Zadatak 11: (str. 72) Ako je sinx =9
41, cos y =
60
61, x ∈
⟨0,π
2
⟩y ∈
⟨0,π
2
⟩,
koliko je sin2x− y2
?
Rjesenje: Uocimo prvo u kojem se kvadrantu nalaze dani kutevi na brojevnojkruznici kako bi kasnije znali odrediti predznake vrijednosti trigonometrijskihfunkcija:
Nadalje uocimo da je nas zadatak odrediti cemu je jednako sin2x− y2
. Sjetimose iz prethodnog zadatka da vrijedi:
sinα
2= ±
√1− cosα
2
Kvadrirajmo taj izraz:
sin2α
2=
1− cosα
2
Nadalje zamijenimo α u gornjem izrazu s x− y, dakle vrijedi:
sin2x− y2
=1− cos (x− y)
2
Mogu uociti da ono sto zapravo moram odrediti jest cos (x− y). No sjetim seda vrijedi adicijski teorem za kosinus:
cos (x− y) = cosx · cos y + sinx · sin y
7
Dakle kako nam je sinx =9
41, cos y =
60
61zadano u zadatku moramo zapravo
odrediti cemu je jednako cosx u sin y. Odredimo prvo cemu je jednako cosx.Prisjetimo se da vrijedi temeljni trigonometrijski identitet:
sin2 x+ cos2 x = 1
Primjenim cinjenicu da vrijedi sinx =9
41te dalje racunam:
sin2 x+ cos2 x = 1(9
41
)2
+ cos2 x = 1
81
1681+ cos2 x = 1
cos2 x = 1− 81
1681
cos2 x =1681
1681− 81
1681
cos2 x =1600
1681/√
cosx = ±40
41
Posto se kut x nalazi u prvom kvadrantu, a tamo su vrijednosti kosinusa pozi-
tivne, slijedi da je cosx =40
41.
Nadalje odredimo cemu je jednako sin y Prisjetimo se da vrijedi temeljni trigonometri-jski identitet:
sin2 y + cos2 y = 1
Primjenim cinjenicu da vrijedi cos y =60
61te dalje racunam:
sin2 y + cos2 y = 1
sin2 y +
(60
61
)2
= 1
sin2 y +3600
3721= 1
sin2 y = 1− 3600
3721
sin2 y =3721
3721− 3600
3721
sin2 y =121
3721/√
8
sin y = ±11
61
Posto se kut y nalazi u prvom kvadrantu, a tamo su vrijednosti sinusa pozi-
tivne, slijedi da je sin y =11
61.
Time smo odredili sve vrijednosti da bi mogli odrediti cemu je jednako cos (x− y),dakle prisjetim se da vrijedi:
sinx =9
41, cosx =
40
41, sin y =
11
61, cos y =
60
61
Te vrijednosti uvrstim u raspisani izraz za cos (x− y). Racunam:
cos (x− y) = cosx · cos y + sinx · sin y
cos (x− y) = 40
41· 6061
+9
41· 1161
cos (x− y) = 2400
2501+
99
2501
cos (x− y) = 2499
2501
Preostaje nam samo jos odrediti cemu je jedanko sin2x− y2
. no kako znam davrijedi:
sin2x− y2
=1− cos (x− y)
2
Uvrstimo cos (x− y) = 2499
2501u taj izraz. Racunam:
sin2x− y2
=1− cos (x− y)
2
sin2x− y2
=1− 2499
25012
=
2501
2501− 2499
25012
=
1�2
2501
�211
=
1
25011
1
sin2x− y2
=1
2501
Dakle odredili smo da je sin2x− y2
jednako1
2501, te je time zadatak rijesen.
− ?−
Zadatak 13: (str. 72) 7) Dokazi identitet:
2 sin 2x− sin 4x
2 sin 2x+ sin 4x= tg2 x
9
Rjesenje: Zadatak nam je pokazati da je lijeva strana izraza jednaka desnoj pau tu svrhu pokusajmo raspisati lijevu stranu izraza. Prisjetimo se da vrijedisljedeci identiet:
sin 2α = 2 sinα cosα
Dakle raspisimo prvo sin 4x. Vrijedi:
sin 4x = 2 sin 2x cos 2x
Uvrstimo tu cinjenicu u lijevu stranu pocetnog izraza,2 sin 2x− sin 4x
2 sin 2x+ sin 4x. Dakle
racunam:2 sin 2x− sin 4x
2 sin 2x+ sin 4x=
2 sin 2x− 2 sin 2x · cos 2x2 sin 2x+ 2 sin 2x · cos 2x
Izlucim 2 sin 2x i u brojniku i u nazivniku danog izraza:
2 sin 2x− sin 4x
2 sin 2x+ sin 4x=
2 sin 2x− 2 sin 2x · cos 2x2 sin 2x+ 2 sin 2x · cos 2x
=2 sin 2x (1− cos 2x)
2 sin 2x (1 + cos 2x)
Pokratim sto se pokratiti dade:
2 sin 2x− sin 4x
2 sin 2x+ sin 4x=
1����2 sin 2x (1− cos 2x)
����
2 sin 2x1 (1 + cos 2x)=
1− cos 2x
1 + cos 2x
Nadalje prisjetim se da vrijede sljedeca dva identiteta, temeljni trigonometrijskiidentite, te kosinus dvostrukog kuta:
sin2 α+ cos2 α = 1
cos 2α = cos2 α− sin2 α
Uvrstim te cinjenice u gornji izraz. Slijedi:
2 sin 2x− sin 4x
2 sin 2x+ sin 4x=
1− cos 2x
1 + cos 2x=
sin2 x+ cos2 x−(cos2 x− sin2 x
)sin2 x+ cos2 x+ cos2 x− sin2 x
2 sin 2x− sin 4x
2 sin 2x+ sin 4x=
sin2 x+ cos2 x− cos2 x+ sin2 x
sin2 x+ cos2 x+ cos2 x− sin2 x
Pokratim sto se pokratiti dade:
2 sin 2x− sin 4x
2 sin 2x+ sin 4x=
sin2 x+���cos2 x����− cos2 x+ sin2 x
���sin2 x+ cos2 x+ cos2 x����− sin2 x
=sin2 x+ sin2 x
cos2 x+ cos2 x
2 sin 2x− sin 4x
2 sin 2x+ sin 4x=
sin2 x+ sin2 x
cos2 x+ cos2 x=
2 sin2 x
2 cos2 x
Pokratim sto se pokratiti dade:
2 sin 2x− sin 4x
2 sin 2x+ sin 4x=
1�2 sin
2 x
�21 cos2 x=
sin2 x
cos2 x
10
Imajuci na umu da vrijedi idenditetan
bn=(ab
)ndalje slijedi:
2 sin 2x− sin 4x
2 sin 2x+ sin 4x=
sin2 x
cos2 x=
(sinx
cosx
)2
No prema jednom od osnovnih trigonometrijskih identiteta znam da vrijedi
tgα =sinα
cosα, pa konacno uocavam da vrijedi:
2 sin 2x− sin 4x
2 sin 2x+ sin 4x=
(sinx
cosx
)2
= (tg x)2= tg2 x
Pogledamo li desnu stranu izraza iz zadatka vidimo da je ona identicna onomesto smo dobili pa je time zadatak rijesen.
− ?−
Zadatak 13: (str. 72) 10) Dokazi identitet:
1− sin 2x
1 + sin 2x= ctg2
(π4+ x)
Rjesenje: Zadatak nam je pokazati da je lijeva strana izraza jednaka desnoj pau tu svrhu pokusajmo raspisati desnu stranu izraza:
ctg2(π4+ x)=(ctg(π4+ x))2
Prisjetimo se da vrijedi sljedeci adicijski teorem za kotangens:
ctg (α+ β) =ctgα ctg β − 1
ctgα+ ctg β
Probajmo imajuci na umu taj identite odrediti cemu je jednako ctg(π4+ x)
.Racunam:
ctg(π4+ x)=
ctgπ
4ctg x− 1
ctgπ
4+ ctg x
Iscitam iz tablice na prvoj stranici dokumenta da vrijedi ctgπ
4= 1. Dakle dalje
slijedi:
ctg(π4+ x)=
ctgπ
4ctg x− 1
ctgπ
4+ ctg x
=1 · ctg x− 1
1 + ctg x=
ctg x− 1
1 + ctg x
11
Nadalje prema jednom od osnovnih trigonometrijskih identiteta znam da vri-jedi ctgα =
cosα
sinα. Imajuci to na umu dalje racunam:
ctg(π4+ x)=
ctg x− 1
1 + ctg x=
cosx
sinx− 1
1 +cosx
sinx
=
cosx
sinx− 1
11
1+
cosx
sinx
Izraze u brojniku i nazivniku svedem na zajednicki nazivnik sinx. Slijedi:
ctg(π4+ x)=
cosx
sinx− 1
11
1+
cosx
sinx
=
cosx− sinx
sinxsinx+ cosx
sinx
Pokratim sto se pokratiti dade:
ctg(π4+ x)=
cosx− sinx1���sinx
sinx+ cosx
���sinx1
=
cosx− sinx
1sinx+ cosx
1
=cosx− sinx
sinx+ cosx
Vratimo se sada na pocetak, drugim rijecima, na izraz ctg2(π4+ x)=(ctg(π4+ x))2
.Uvrstimo gore odredeni izraz:
ctg2(π4+ x)=(ctg(π4+ x))2
=
(cosx− sinx
sinx+ cosx
)2
Imajuci na umu da vrijedi idenditetan
bn=(ab
)ndalje slijedi:
ctg2(π4+ x)=
(cosx− sinx
sinx+ cosx
)2
=(cosx− sinx)
2
(sinx+ cosx)2
Raspisem brojnik i nazivnik prema identitetu (a+ b)2= a2 + 2ab + b2. Dalje
vrijedi:
ctg2(π4+ x)=
(cosx− sinx)2
(sinx+ cosx)2 =
cos2 x− 2 cosx sinx+ sin2 x
sin2 x+ 2 sinx cosx+ cos2 x
Zapisimo to na malo drugaciji nacin, promijenivsi poredak clanovima sume iumnoska. Slijedi:
ctg2(π4+ x)=
sin2 x+ cos2 x− 2 sinx cosx
sin2 x+ cos2 x+ 2 sinx cosx
Nadalje prisjetim se da vrijede sljedeca dva identiteta, temeljni trigonometrijskiidentite, te sinus dvostrukog kuta:
sin2 α+ cos2 α = 1
12
sin 2α = 2 sinα cosα
Uvrstim te cinjenice u gornji izraz. Slijedi:
ctg2(π4+ x)=
1︷ ︸︸ ︷sin2 x+ cos2 x−
sin 2x︷ ︸︸ ︷2 sinx cosx
sin2 x+ cos2 x︸ ︷︷ ︸1
+2 sinx cosx︸ ︷︷ ︸sin 2x
=1− sin 2x
1 + sin 2x
ctg2(π4+ x)=
1− sin 2x
1 + sin 2x
Pogledamo li lijevu stranu izraza iz zadatka vidimo da je ona identicna onomesto smo dobili pa je time zadatak rijesen.
− ?−
Zadatak 13: (str. 72) 14) Dokazi identitet:
sin4 x+ 2 sinx cosx− cos4 x
tg 2x− 1= cos 2x
Rjesenje: Zadatak nam je pokazati da je lijeva strana izraza jednaka desnoj pau tu svrhu pokusajmo raspisati lijevu stranu izraza:
sin4 x+ 2 sinx cosx− cos4 x
tg 2x− 1
Zapisimo clanove sume u brojniku gornjeg razlomka drugim redoslijedom iimajuci na umu da vrijedi sin4 x =
(sin2 x
)2i cos4 x =
(cos2 x
)2:
sin4 x+ 2 sinx cosx− cos4 x
tg 2x− 1=
(sin2 x
)2 − (cos2 x)2 + 2 sinx cosx
tg 2x− 1
Sada mogu prepoznati da prva dva clana sume u brojniku mogu raspisatiprema identitetu za razliku kvadrata a2 − b2 = (a− b) (a+ b). Slijedi:
sin4 x+ 2 sinx cosx− cos4 x
tg 2x− 1=
(sin2 x
)2 − (cos2 x)2 + 2 sinx cosx
tg 2x− 1=
=
(sin2 x− cos2 x
) (sin2 x+ cos2 x
)+ 2 sinx cosx
tg 2x− 1
Nadalje prisjetim se da vrijedi osnovni tirgonometrijski identitet:
sin2 α+ cos2 α = 1
Dakle pocetni izraz prelazi u:
sin4 x+ 2 sinx cosx− cos4 x
tg 2x− 1=
(sin2 x− cos2 x
) 1︷ ︸︸ ︷(sin2 x+ cos2 x
)+2 sinx cosx
tg 2x− 1=
13
=
(sin2 x− cos2 x
)· 1 + 2 sinx cosx
tg 2x− 1=
sin2 x− cos2 x+ 2 sinx cosx
tg 2x− 1
Prisjetim se da vrijede sljedeca dva identiteta, za sinus dvostrukog kuta, te zakosinus dvostrukog kuta:
sin 2α = 2 sinα cosα
cos 2α = cos2 α− sin2 α
U tu svrhu izlucim prvo − iz prva dva clana sume u brojniku:
=
(sin2 x− cos2 x
)· 1 + 2 sinx cosx
tg 2x− 1=−(− sin2 x+ cos2 x
)+ 2 sinx cosx
tg 2x− 1=
=−(cos2 x− sin2 x
)+ 2 sinx cosx
tg 2x− 1=
Primjenim izraze za sinus i kosinus dvostrukog kuta na gornji izraz. Slijedi:
sin4 x+ 2 sinx cosx− cos4 x
tg 2x− 1=−
cos 2x︷ ︸︸ ︷(cos2 x− sin2 x
)+
sin 2x︷ ︸︸ ︷2 sinx cosx
tg 2x− 1=− cos 2x+ sin 2x
tg 2x− 1=
=sin 2x− cos 2x
tg 2x− 1
Nadalje prisjetim se da vrijedi osnovni trigonometrijski identitet za tangense:
tgα =sinα
cosα
Imajuci to na umu raspisem nazivnik gornjeg izraza:
sin4 x+ 2 sinx cosx− cos4 x
tg 2x− 1=
sin 2x− cos 2x
tg 2x− 1=
sin 2x− cos 2xsin 2x
cos 2x− 1
Svedem izraze u nazivniku na zajednicki nazivnik cos 2x. Racunam:
sin4 x+ 2 sinx cosx− cos4 x
tg 2x− 1=
sin 2x− cos 2xsin 2x− cos 2x
cos 2x
=
sin 2x− cos 2x
1sin 2x− cos 2x
cos 2x
Pokratim ono sto se pokratiti dade:
sin4 x+ 2 sinx cosx− cos4 x
tg 2x− 1=
1((((
(((sin 2x− cos 2x
1
(((((((sin 2x− cos 2x 1
cos 2x
=
1
11
cos 2x
=cos 2x
1
14
sin4 x+ 2 sinx cosx− cos4 x
tg 2x− 1= cos 2x
Pogledamo li desnu stranu izraza iz zadatka vidimo da je ona identicna onomesto smo dobili pa je time zadatak rijesen.
− ?−
Zadatak 14: (str. 73) 6) Dokazi identitet:
1 + sinα− cosα
1 + sinα+ cosα= tg
α
2
Rjesenje: Zadatak nam je pokazati da je lijeva strana izraza jednaka desnoj pau tu svrhu pokusajmo raspisati lijevu stranu izraza:
1 + sinα− cosα
1 + sinα+ cosα
Kako se na desnoj strani nalazi izraz koji sadrzi polovican kut α, drugim rijec-ima
(α2
), zamislimo da umjesto α u nasem izrazu kojeg raspisujem pise 2
α
2.
Zapisimo taj izraz tada imajuci na umu tu cinjenicu:
1 + sinα− cosα
1 + sinα+ cosα=
1 + sin(2α
2
)− cos
(2α
2
)1 + sin
(2α
2
)+ cos
(2α
2
)Prisjetim se da vrijede sljedeca tri identiteta, za sinus dvostrukog kuta, za kos-inus dvostrukog kuta, te temeljni trigonometrijski identitet:
sin 2α = 2 sinα cosα
cos 2α = cos2 α− sin2 α
sin2 α+ cos2 α = 1
Uvrstim li u njih umjesto αα
2uocavam da vrijede sljedeci izrazi:
sin(2α
2
)= 2 sin
α
2cos
α
2⇒ sinα = 2 sin
α
2cos
α
2
cos(2α
2
)= cos2
α
2− sin2
α
2⇒ cosα = cos2
α
2− sin2
α
2
sin2α
2+ cos2
α
2= 1
Primjenim te identitete na gornji izraz. Slijedi:
1 + sinα− cosα
1 + sinα+ cosα=
sin2α
2+ cos2
α
2+ 2 sin
α
2cos
α
2−(cos2
α
2− sin2
α
2
)sin2
α
2+ cos2
α
2+ 2 sin
α
2cos
α
2+ cos2
α
2− sin2
α
2
=
15
=sin2
α
2+ cos2
α
2+ 2 sin
α
2cos
α
2− cos2
α
2+ sin2
α
2
sin2α
2+ cos2
α
2+ 2 sin
α
2cos
α
2+ cos2
α
2− sin2
α
2
Pokratim sto se pokratiti dade:
1 + sinα− cosα
1 + sinα+ cosα=
sin2α
2+����
cos2α
2+ 2 sin
α
2cos
α
2����
− cos2α
2+ sin2
α
2
���
sin2α
2+ cos2
α
2+ 2 sin
α
2cos
α
2+ cos2
α
2����− sin2α
2
=
=sin2
α
2+ 2 sin
α
2cos
α
2+ sin2
α
2
cos2α
2+ 2 sin
α
2cos
α
2+ cos2
α
2
=2 sin2
α
2+ 2 sin
α
2cos
α
2
2 cos2α
2+ 2 sin
α
2cos
α
2
Izlucim 2 sinα
2iz brojnika i 2 cos
α
2iz nazivnika gornjeg razlomka. Racunam:
1 + sinα− cosα
1 + sinα+ cosα=
2 sin2α
2+ 2 sin
α
2cos
α
2
2 cos2α
2+ 2 sin
α
2cos
α
2
=2 sin
α
2
(sin
α
2+ cos
α
2
)2 cos
α
2
(cos
α
2+ sin
α
2
)Zamijenim poredak clanova sume u zagradi nazivnika:
1 + sinα− cosα
1 + sinα+ cosα=
2 sinα
2
(sin
α
2+ cos
α
2
)2 cos
α
2
(sin
α
2+ cos
α
2
)Pokratim sto se pokratiti dade:
1 + sinα− cosα
1 + sinα+ cosα=
1�2 sin
α
2�����
���(sin
α
2+ cos
α
2
)1
1�2 cosα
2����
����(
sinα
2+ cos
α
2
)1
=sin
α
2
cosα
2
No imajuci na umu da vrijedi osnovni trignometrijski identitet za tangens
tgα =sinα
cosαgornji izraz prelazi u:
1 + sinα− cosα
1 + sinα+ cosα=
sinα
2
cosα
2
= tgα
2
Dakle izracunali smo da vrijedi:
1 + sinα− cosα
1 + sinα+ cosα= tg
α
2
Pogledamo li desnu stranu izraza iz zadatka vidimo da je ona identicna onomesto smo dobili pa je time zadatak rijesen.
− ?−
16
Zadatak 14: (str. 73) 9) Dokazi identitet:
tg(π4+α
2
)− tg
(π4− α
2
)ctg(π4+α
2
)+ ctg
(π4− α
2
) = sinα
Rjesenje: Zadatak nam je pokazati da je lijeva strana izraza jednaka desnoj pau tu svrhu pokusajmo raspisati lijevu stranu izraza:
tg(π4+α
2
)− tg
(π4− α
2
)ctg(π4+α
2
)+ ctg
(π4− α
2
)U tu svrhu prisjetimo se adicijskih teorema za tangense i kotangense:
tg (α± β) = tgα± tg β
1∓ tgα · tg β
ctg (α± β) = ctgα · ctg β ∓ 1
ctg β ± ctgα
Raspisimo po tim identitetima redom izraze tg(π4+α
2
), tg(π4− α
2
), ctg
(π4+α
2
),
ctg(π4− α
2
). Krenimo od tg
(π4+α
2
):
tg(π4+α
2
)=
tgπ
4+ tg
α
2
1− tgπ
4tgα
2
Iscitam iz tablice na prvoj stranici dokumenta da vrijedi tgπ
4= 1. Dakle dalje
slijedi:
tg(π4+α
2
)=
tgπ
4+ tg
α
2
1− tgπ
4tgα
2
=1 + tg
α
2
1− 1 · tg α2
=1 + tg
α
2
1− tgα
2
No imajuci na umu da vrijedi osnovni trignometrijski identitet za tangens
tgα =sinα
cosαgornji izraz prelazi u:
tg(π4+α
2
)=
1 +sin
α
2
cosα
2
1−sin
α
2
cosα
2
17
Svedem izraze u brojniku i nazivniku na zajednicki nazivnik cosα
2:
tg(π4+α
2
)=
1 +sin
α
2
cosα
2
1−sin
α
2
cosα
2
=
cosα
2+ sin
α
2
cosα
2
cosα
2− sin
α
2
cosα
2
Pokratim sto se pokratiti dade:
tg(π4+α
2
)=
cosα
2+ sin
α
2
���cosα
21
cosα
2− sin
α
2
���cosα
21
=
cosα
2+ sin
α
21
cosα
2− sin
α
21
=cos
α
2+ sin
α
2
cosα
2− sin
α
2
Dakle dobili smo da vrijedi:
tg(π4+α
2
)=
cosα
2+ sin
α
2
cosα
2− sin
α
2
Nadalje rapisimo tg(π4− α
2
):
tg(π4− α
2
)=
tgπ
4− tg
α
2
1 + tgπ
4tgα
2
Iscitam iz tablice na prvoj stranici dokumenta da vrijedi tgπ
4= 1. Dakle dalje
slijedi:
tg(π4− α
2
)=
tgπ
4− tg
α
2
1 + tgπ
4tgα
2
=1− tg
α
2
1 + 1 · tg α2
=1− tg
α
2
1 + tgα
2
No imajuci na umu da vrijedi osnovni trignometrijski identitet za tangens
tgα =sinα
cosαgornji izraz prelazi u:
tg(π4− α
2
)=
1−sin
α
2
cosα
2
1 +sin
α
2
cosα
2
18
Svedem izraze u brojniku i nazivniku na zajednicki nazivnik cosα
2:
tg(π4− α
2
)=
1−sin
α
2
cosα
2
1 +sin
α
2
cosα
2
=
cosα
2− sin
α
2
cosα
2
cosα
2+ sin
α
2
cosα
2
Pokratim sto se pokratiti dade:
tg(π4− α
2
)=
cosα
2− sin
α
2
���cosα
21
cosα
2+ sin
α
2
���cosα
21
=
cosα
2− sin
α
21
cosα
2+ sin
α
21
=cos
α
2− sin
α
2
cosα
2+ sin
α
2
Dakle dobili smo da vrijedi:
tg(π4− α
2
)=
cosα
2− sin
α
2
cosα
2+ sin
α
2
Nadalje rapisimo ctg(π4+α
2
):
ctg(π4+α
2
)=
ctgπ
4ctg
α
2− 1
ctgα
2+ ctg
π
4
Iscitam iz tablice na prvoj stranici dokumenta da vrijedi ctgπ
4= 1. Dakle dalje
slijedi:
ctg(π4+α
2
)=
ctgπ
4ctg
α
2− 1
ctgα
2+ ctg
π
4
=1 · ctg α
2− 1
ctgα
2+ 1
=ctg
α
2− 1
ctgα
2+ 1
No imajuci na umu da vrijedi osnovni trignometrijski identitet za kotangensctgα =
cosα
sinαgornji izraz prelazi u:
ctg(π4+α
2
)=
cosα
2
sinα
2
− 1
cosα
2
sinα
2
+ 1
19
Svedem izraze u brojniku i nazivniku na zajednicki nazivnik sinα
2:
ctg(π4+α
2
)=
cosα
2
sinα
2
− 1
cosα
2
sinα
2
+ 1
=
cosα
2− sin
α
2
sinα
2
cosα
2+ sin
α
2
sinα
2
Pokratim sto se pokratiti dade:
ctg(π4+α
2
)=
cosα
2− sin
α
2
���sinα
21
cosα
2+ sin
α
2
���sinα
21
=
cosα
2− sin
α
21
cosα
2+ sin
α
21
=cos
α
2− sin
α
2
cosα
2+ sin
α
2
Dakle dobili smo da vrijedi:
ctg(π4+α
2
)=
cosα
2− sin
α
2
cosα
2+ sin
α
2
Na kraju rapisimo ctg(π4+α
2
):
ctg(π4− α
2
)=
ctgπ
4ctg
α
2+ 1
ctgα
2− ctg
π
4
Iscitam iz tablice na prvoj stranici dokumenta da vrijedi ctgπ
4= 1. Dakle dalje
slijedi:
ctg(π4− α
2
)=
ctgπ
4ctg
α
2+ 1
ctgα
2− ctg
π
4
=1 · ctg α
2+ 1
ctgα
2− 1
=ctg
α
2+ 1
ctgα
2− 1
No imajuci na umu da vrijedi osnovni trignometrijski identitet za kotangensctgα =
cosα
sinαgornji izraz prelazi u:
ctg(π4− α
2
)=
cosα
2
sinα
2
+ 1
cosα
2
sinα
2
− 1
20
Svedem izraze u brojniku i nazivniku na zajednicki nazivnik sinα
2:
ctg(π4− α
2
)=
cosα
2
sinα
2
+ 1
cosα
2
sinα
2
− 1
=
cosα
2+ sin
α
2
sinα
2
cosα
2− sin
α
2
sinα
2
Pokratim sto se pokratiti dade:
ctg(π4− α
2
)=
cosα
2+ sin
α
2
���sinα
21
cosα
2− sin
α
2
���sinα
21
=
cosα
2+ sin
α
21
cosα
2− sin
α
21
=cos
α
2+ sin
α
2
cosα
2− sin
α
2
Dakle dobili smo da vrijedi:
ctg(π4− α
2
)=
cosα
2+ sin
α
2
cosα
2− sin
α
2
Dakle ono sto smo do sada izracunali jest:
tg(π4+α
2
)=
cosα
2+ sin
α
2
cosα
2− sin
α
2
, tg(π4− α
2
)=
cosα
2− sin
α
2
cosα
2+ sin
α
2
ctg(π4+α
2
)=
cosα
2− sin
α
2
cosα
2+ sin
α
2
, ctg(π4− α
2
)=
cosα
2+ sin
α
2
cosα
2− sin
α
2
Vratimo se s time u izraz kojeg smo poceli raspisivati:
tg(π4+α
2
)− tg
(π4− α
2
)ctg(π4+α
2
)+ ctg
(π4− α
2
) =
cosα
2+ sin
α
2
cosα
2− sin
α
2
−cos
α
2− sin
α
2
cosα
2+ sin
α
2
cosα
2− sin
α
2
cosα
2+ sin
α
2
+cos
α
2+ sin
α
2
cosα
2− sin
α
2
21
Svedem brojnik i nazivnik gornjeg izraza na zajednicki nazivnik(cos
α
2− sin
α
2
)(cos
α
2+ sin
α
2
).
Racunam:
tg(π4+α
2
)− tg
(π4− α
2
)ctg(π4+α
2
)+ ctg
(π4− α
2
) =
cosα
2+ sin
α
2
cosα
2− sin
α
2
−cos
α
2− sin
α
2
cosα
2+ sin
α
2
cosα
2− sin
α
2
cosα
2+ sin
α
2
+cos
α
2+ sin
α
2
cosα
2− sin
α
2
=
=
(cos
α
2+ sin
α
2
)2−(cos
α
2− sin
α
2
)2(cos
α
2− sin
α
2
)(cos
α
2+ sin
α
2
)(cos
α
2− sin
α
2
)2+(cos
α
2+ sin
α
2
)2(cos
α
2− sin
α
2
)(cos
α
2+ sin
α
2
)Pokratim sto se pokratiti dade:
tg(π4+α
2
)− tg
(π4− α
2
)ctg(π4+α
2
)+ ctg
(π4− α
2
) =
(cos
α
2+ sin
α
2
)2−(cos
α
2− sin
α
2
)2((((
(((((((
(((((cos
α
2− sin
α
2
)(cos
α
2+ sin
α
2
)1(
cosα
2− sin
α
2
)2+(cos
α
2+ sin
α
2
)2(((
(((((((
((((((
cosα
2− sin
α
2
)(cos
α
2+ sin
α
2
)1
=
=
(cos
α
2+ sin
α
2
)2−(cos
α
2− sin
α
2
)21(
cosα
2− sin
α
2
)2+(cos
α
2+ sin
α
2
)21
=
(cos
α
2+ sin
α
2
)2−(cos
α
2− sin
α
2
)2(cos
α
2− sin
α
2
)2+(cos
α
2+ sin
α
2
)2Raspisem zagrade u brojniku i nazivniku prema identitetu za kvadrat binoma(a± b)2 = a2 ± 2ab+ b2. Slijedi:
tg(π4+α
2
)− tg
(π4− α
2
)ctg(π4+α
2
)+ ctg
(π4− α
2
) =
(cos
α
2+ sin
α
2
)2−(cos
α
2− sin
α
2
)2(cos
α
2− sin
α
2
)2+(cos
α
2+ sin
α
2
)2 =
=cos2
α
2+ 2 cos
α
2sin
α
2+ sin2
α
2−(cos2
α
2− 2 cos
α
2sin
α
2+ sin2
α
2
)cos2
α
2− 2 cos
α
2sin
α
2+ sin2
α
2+ cos2
α
2+ 2 cos
α
2sin
α
2+ sin2
α
2
=
22
=cos2
α
2+ 2 cos
α
2sin
α
2+ sin2
α
2− cos2
α
2+ 2 cos
α
2sin
α
2− sin2
α
2
cos2α
2− 2 cos
α
2sin
α
2+ sin2
α
2+ cos2
α
2+ 2 cos
α
2sin
α
2+ sin2
α
2
Pokratim sto se pokratiti dade:
tg(π4+α
2
)− tg
(π4− α
2
)ctg(π4+α
2
)+ ctg
(π4− α
2
) =
= ����
cos2α
2+ 2 cos
α
2sin
α
2+���
sin2α
2����− cos2α
2+ 2 cos
α
2sin
α
2����− sin2α
2
cos2α
2����
���−2 cos α2sin
α
2+ sin2
α
2+ cos2
α
2+��
����
2 cosα
2sin
α
2+ sin2
α
2
=
=2 cos
α
2sin
α
2+ 2 cos
α
2sin
α
2
cos2α
2+ sin2
α
2+ cos2
α
2+ sin2
α
2
=4 cos
α
2sin
α
2
2 cos2α
2+ 2 sin2
α
2
Zamijenim poredak clanova umnoska i sume u brojniku i nazivniku, te izlucimdvojku u nazivniku:
tg(π4+α
2
)− tg
(π4− α
2
)ctg(π4+α
2
)+ ctg
(π4− α
2
) =4 cos
α
2sin
α
2
2 cos2α
2+ 2 sin2
α
2
=4 sin
α
2cos
α
2
2(sin2
α
2+ cos2
α
2
)Pokratim sto se pokratiti dade:
tg(π4+α
2
)− tg
(π4− α
2
)ctg(π4+α
2
)+ ctg
(π4− α
2
) =
2�4 sin
α
2cos
α
2
1 �2(sin2
α
2+ cos2
α
2
) =2 sin
α
2cos
α
2
sin2α
2+ cos2
α
2
Uocim da u nazivniku dobivenog razlomka zapravio stoji temeljni trigonometri-jski identitet, odnosno da vrijedi sin2
α
2+ cos2
α
2= 1. Dok s druge strane, ako
se prisjetim prethodnog zadatka vrijedi sinα = 2 sinα
2cos
α
2. Imajuci to na
umu nastavljam racun:
tg(π4+α
2
)− tg
(π4− α
2
)ctg(π4+α
2
)+ ctg
(π4− α
2
) =
sinα︷ ︸︸ ︷2 sin
α
2cos
α
2
sin2α
2+ cos2
α
2︸ ︷︷ ︸1
=sinα
1= sinα
Dakle izracunao sam da vrijedi:
tg(π4+α
2
)− tg
(π4− α
2
)ctg(π4+α
2
)+ ctg
(π4− α
2
) = sinα
23
Pogledamo li desnu stranu izraza iz zadatka vidimo da je ona identicna onomesto smo dobili pa je time zadatak rijesen.
− ?−
24
