of 24 /24
Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 3.2 Prije rijesavanja zadataka prisjetimo se bitnih stvari koje ce nas pratiti tijekom njihovog promatranja. Tvrdnja : (Osnovni trigonometrijski identiteti) sin 2 x + cos 2 x =1 tg x = sin x cos x ctg x = cos x sin x Tvrdnja : (Adicijski teoremi) sin (x ± y) = sin x · cos y ± cos x · sin y cos (x ± y) = cos x · cos y sin x · sin y tg (x ± y)= tg x ± tg y 1 tg x · tg y ctg (x ± y)= ctg x · ctg y 1 ctg y ± ctg x Tvrdnja : Formule redukcije sin π 2 + t = cos t cos π 2 + t = - sin t sin π 2 - t = cos t cos π 2 - t = sin t sin (π + t)= - sin t cos (π + t)= - cos t sin (π - t) = sin t cos (π - t)= - cos t sin 3π 2 + t = - cos t cos 3π 2 + t = sin t sin 3π 2 - t = - cos t cos 3π 2 - t = - sin t Tvrdnja : (Trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta) sin 2x = 2 sin x cos x cos 2x = cos 2 x - sin 2 x tg 2x = 2 tg x 1 - tg 2 x ctg 2x = ctg 2 x - 1 2 ctg x 1

Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 3 - hornwood.info · Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 3.2 Prije rijesavanja zadataka prisjetimo se bitnih stvari koje ce nas pratiti tijekom njihovog

  • Author
    others

  • View
    43

  • Download
    1

Embed Size (px)

Text of Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 3 - hornwood.info · Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 3.2 Prije...

  • Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 3.2

    Prije rijesavanja zadataka prisjetimo se bitnih stvari koje ce nas pratiti tijekomnjihovog promatranja.

    Tvrdnja: (Osnovni trigonometrijski identiteti)

    sin2 x+ cos2 x = 1

    tg x =sinx

    cosx

    ctg x =cosx

    sinx

    Tvrdnja: (Adicijski teoremi)

    sin (x± y) = sinx · cos y ± cosx · sin y

    cos (x± y) = cosx · cos y ∓ sinx · sin y

    tg (x± y) = tg x± tg y1∓ tg x · tg y

    ctg (x± y) = ctg x · ctg y ∓ 1ctg y ± ctg x

    Tvrdnja: Formule redukcije

    sin(π2+ t)= cos t cos

    (π2+ t)= − sin t

    sin(π2− t)= cos t cos

    (π2− t)= sin t

    sin (π + t) = − sin t cos (π + t) = − cos t

    sin (π − t) = sin t cos (π − t) = − cos t

    sin

    (3π

    2+ t

    )= − cos t cos

    (3π

    2+ t

    )= sin t

    sin

    (3π

    2− t)

    = − cos t cos(3π

    2− t)

    = − sin t

    Tvrdnja: (Trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta)

    sin 2x = 2 sinx cosx

    cos 2x = cos2 x− sin2 x

    tg 2x =2 tg x

    1− tg2 x

    ctg 2x =ctg2 x− 12 ctg x

    1

  • Tvrdnja: Sinus i kosinus polovicnog kuta:

    sinx

    2= ±

    √1− cosx

    2

    cosx

    2= ±

    √1 + cosx

    2

    Tvrdnja: (Transformacija umnoska u zbroj)

    sinx cos y =1

    2[sin (x+ y) + sin (x− y)]

    cosx sin y =1

    2[sin (x+ y)− sin (x− y)]

    cosx cos y =1

    2[cos (x+ y) + cos (x− y)]

    sinx sin y =1

    2[cos (x− y)− cos (x+ y)]

    Tvrdnja: (Transformacija zbroja u umnozak)

    sinx+ sin y = 2 sinx+ y

    2cos

    x− y2

    sinx− sin y = 2 cos x+ y2

    sinx− y2

    cosx+ cos y = 2 cosx+ y

    2cos

    x− y2

    cosx− cos y = −2 sin x+ y2

    sinx− y2

    Prisjetim se jos vrijednosti trigonometrijskih funkcija za istaknute kuteve:

    Kutπ

    6

    π

    4

    π

    3

    π

    22π

    sinx1

    2

    √2

    2

    √3

    21 0 -1 0

    cosx

    √3

    2

    √2

    2

    1

    20 -1 0 1

    tg x

    √3

    31

    √3 nedef. 0 nedef. 0

    ctg x√3 1

    √3

    30 nedef. 0 nedef.

    2

  • Zadatak 7: (str. 72) Koliko je tgα

    2ako je tgα = −24

    7,π

    2< α < π?

    Rjesenje: Uocimo prvo u kojem se kvadrantu nalazi dani kut na brojevnojkruznici kako bi kasnije znali odrediti predznake vrijednosti trigonometrijskihfunkcija:

    Nadalje uocimo da je nas zadatak odrediti cemu je jednako tgα

    2. Sjetimo li se

    osnovnih tigonometrijskih identiteta znamo da vrijedi:

    tgα =sinα

    cosα

    Uvrstimo liα

    2umjesto α dobijemo sljedeci izraz:

    tgα

    2=

    sinα

    2

    cosα

    2

    Sada mozemo uociti da je nas zadatak zapravo odrediti cemu je jednako sinα

    2i cos

    α

    2. No znamo da vrijedi sljedece:

    sinα

    2= ±

    √1− cosα

    2

    cosα

    2= ±

    √1 + cosα

    2

    3

  • Pa dakle mozemo zakljuciti da nam je na kraju zapravo zadatak odrediti cemu

    je jednak cosα. Nadalje raspisimo ono sto je zadano, tgα = −247

    . Znamo da

    vrijedi tgα =sinα

    cosα:

    tgα = −247

    tgα =sinα

    cosα

    ⇒ sinαcosα = −247Pomnozim izraz na desnoj strani s cosα:

    sinα

    cosα= −24

    7/ · cosα

    sinα = −247· cosα

    Prisjetimo se da vrijedi temeljni trigonometrijski identitet:

    sin2 α+ cos2 α = 1

    Primjenim cinjenicu da vrijedi sinα = −247· cosα te dalje racunam:

    sin2 α+ cos2 α = 1(−24

    7· cosα

    )2+ cos2 α = 1

    576

    49· cos2 α+ cos2 α = 1

    576

    49· cos2 α+ 49

    49· cos2 α = 1

    625

    49· cos2 α = 1 / · 49

    625

    cos2 α =49

    625/√

    cosα = ± 725

    Posto se kut α nalazi u drugom kvadrantu, a tamo su vrijednosti kosinusa

    negativne, slijedi da je cosα = − 725

    . Sada se s tim saznanjem vratim u izraze:

    sinα

    2= ±

    √1− cosα

    2

    cosα

    2= ±

    √1 + cosα

    2

    4

  • No prije toga moram odrediti gdje se nalazi kutα

    2na brojevnoj kruznici kako

    bi znali odrediti predznake vrijednosti trigonometrijskih funkcija. Kako znamgdje se nalazi kut α, dakle vrijedi

    π

    2< α < π, cijeli izraz podijelim s dva.

    Racunam:π

    2< α < π / : 2

    π

    22

    1

    2<π

    2

    π

    4<α

    2<π

    2

    Na brojevnoj kruznici to izgeda ovako:

    Odredimo sada cemu je jednako sinα

    2i cos

    α

    2imajuci na umu da smo izracunali

    da vrijedi cosα = − 725

    . Dakle racunam prvo cemu je jednako sinα

    2:

    sinα

    2= ±

    √1− cosα

    2

    sinα

    2= ±

    √√√√√1−(− 725

    )2

    sinα

    2= ±

    √√√√1 + 725

    2

    sinα

    2= ±

    √√√√ 2525

    +7

    252

    5

  • sinα

    2= ±

    √√√√√√√16��32

    25

    �211

    = ±

    √√√√√√16

    251

    1

    = ±√

    16

    25

    sinα

    2= ±4

    5

    Posto se kutα

    2nalazi u prvom kvadrantu, a tamo su vrijednosti sinusa pozi-

    tivne, slijedi da je sinα

    2. Dalje racunam cemu je jednako cos

    α

    2=

    4

    5:

    cosα

    2= ±

    √1 + cosα

    2

    cosα

    2= ±

    √√√√√1 +(− 725

    )2

    cosα

    2= ±

    √√√√1− 725

    2

    cosα

    2= ±

    √√√√ 2525− 7

    252

    cosα

    2= ±

    √√√√√√√9��18

    25

    �211

    = ±

    √√√√√√9

    251

    1

    = ±√

    9

    25

    cosα

    2= ±3

    5

    Posto se kutα

    2nalazi u prvom kvadrantu, a tamo su vrijednosti kosinusa poz-

    itivne, slijedi da je cosα

    2=

    3

    5. Sada kada smo odredili cemu je jednako sin

    α

    2i

    cosα

    2mozemo odrediti cemu je jedanko tgα2. Racunam:

    tgα

    2=

    sinα

    2

    cosα

    2

    tgα

    2=

    41�53

    �51

    =

    4

    13

    1

    =4

    3

    6

  • Dakle odredili smo da je tgα

    2=

    4

    3cime je zadatak rijesen.

    − ?−

    Zadatak 11: (str. 72) Ako je sinx =9

    41, cos y =

    60

    61, x ∈

    〈0,π

    2

    〉y ∈

    〈0,π

    2

    〉,

    koliko je sin2x− y2

    ?

    Rjesenje: Uocimo prvo u kojem se kvadrantu nalaze dani kutevi na brojevnojkruznici kako bi kasnije znali odrediti predznake vrijednosti trigonometrijskihfunkcija:

    Nadalje uocimo da je nas zadatak odrediti cemu je jednako sin2x− y2

    . Sjetimose iz prethodnog zadatka da vrijedi:

    sinα

    2= ±

    √1− cosα

    2

    Kvadrirajmo taj izraz:

    sin2α

    2=

    1− cosα2

    Nadalje zamijenimo α u gornjem izrazu s x− y, dakle vrijedi:

    sin2x− y2

    =1− cos (x− y)

    2

    Mogu uociti da ono sto zapravo moram odrediti jest cos (x− y). No sjetim seda vrijedi adicijski teorem za kosinus:

    cos (x− y) = cosx · cos y + sinx · sin y

    7

  • Dakle kako nam je sinx =9

    41, cos y =

    60

    61zadano u zadatku moramo zapravo

    odrediti cemu je jednako cosx u sin y. Odredimo prvo cemu je jednako cosx.Prisjetimo se da vrijedi temeljni trigonometrijski identitet:

    sin2 x+ cos2 x = 1

    Primjenim cinjenicu da vrijedi sinx =9

    41te dalje racunam:

    sin2 x+ cos2 x = 1(9

    41

    )2+ cos2 x = 1

    81

    1681+ cos2 x = 1

    cos2 x = 1− 811681

    cos2 x =1681

    1681− 81

    1681

    cos2 x =1600

    1681/√

    cosx = ±4041

    Posto se kut x nalazi u prvom kvadrantu, a tamo su vrijednosti kosinusa pozi-

    tivne, slijedi da je cosx =40

    41.

    Nadalje odredimo cemu je jednako sin y Prisjetimo se da vrijedi temeljni trigonometri-jski identitet:

    sin2 y + cos2 y = 1

    Primjenim cinjenicu da vrijedi cos y =60

    61te dalje racunam:

    sin2 y + cos2 y = 1

    sin2 y +

    (60

    61

    )2= 1

    sin2 y +3600

    3721= 1

    sin2 y = 1− 36003721

    sin2 y =3721

    3721− 3600

    3721

    sin2 y =121

    3721/√

    8

  • sin y = ±1161

    Posto se kut y nalazi u prvom kvadrantu, a tamo su vrijednosti sinusa pozi-

    tivne, slijedi da je sin y =11

    61.

    Time smo odredili sve vrijednosti da bi mogli odrediti cemu je jednako cos (x− y),dakle prisjetim se da vrijedi:

    sinx =9

    41, cosx =

    40

    41, sin y =

    11

    61, cos y =

    60

    61

    Te vrijednosti uvrstim u raspisani izraz za cos (x− y). Racunam:

    cos (x− y) = cosx · cos y + sinx · sin y

    cos (x− y) = 4041· 6061

    +9

    41· 1161

    cos (x− y) = 24002501

    +99

    2501

    cos (x− y) = 24992501

    Preostaje nam samo jos odrediti cemu je jedanko sin2x− y2

    . no kako znam davrijedi:

    sin2x− y2

    =1− cos (x− y)

    2

    Uvrstimo cos (x− y) = 24992501

    u taj izraz. Racunam:

    sin2x− y2

    =1− cos (x− y)

    2

    sin2x− y2

    =1− 2499

    25012

    =

    2501

    2501− 2499

    25012

    =

    1�2

    2501

    �211

    =

    1

    25011

    1

    sin2x− y2

    =1

    2501

    Dakle odredili smo da je sin2x− y2

    jednako1

    2501, te je time zadatak rijesen.

    − ?−

    Zadatak 13: (str. 72) 7) Dokazi identitet:

    2 sin 2x− sin 4x2 sin 2x+ sin 4x

    = tg2 x

    9

  • Rjesenje: Zadatak nam je pokazati da je lijeva strana izraza jednaka desnoj pau tu svrhu pokusajmo raspisati lijevu stranu izraza. Prisjetimo se da vrijedisljedeci identiet:

    sin 2α = 2 sinα cosα

    Dakle raspisimo prvo sin 4x. Vrijedi:

    sin 4x = 2 sin 2x cos 2x

    Uvrstimo tu cinjenicu u lijevu stranu pocetnog izraza,2 sin 2x− sin 4x2 sin 2x+ sin 4x

    . Dakleracunam:

    2 sin 2x− sin 4x2 sin 2x+ sin 4x

    =2 sin 2x− 2 sin 2x · cos 2x2 sin 2x+ 2 sin 2x · cos 2x

    Izlucim 2 sin 2x i u brojniku i u nazivniku danog izraza:

    2 sin 2x− sin 4x2 sin 2x+ sin 4x

    =2 sin 2x− 2 sin 2x · cos 2x2 sin 2x+ 2 sin 2x · cos 2x

    =2 sin 2x (1− cos 2x)2 sin 2x (1 + cos 2x)

    Pokratim sto se pokratiti dade:

    2 sin 2x− sin 4x2 sin 2x+ sin 4x

    =1��

    ��2 sin 2x (1− cos 2x)���

    �2 sin 2x1 (1 + cos 2x)

    =1− cos 2x1 + cos 2x

    Nadalje prisjetim se da vrijede sljedeca dva identiteta, temeljni trigonometrijskiidentite, te kosinus dvostrukog kuta:

    sin2 α+ cos2 α = 1

    cos 2α = cos2 α− sin2 α

    Uvrstim te cinjenice u gornji izraz. Slijedi:

    2 sin 2x− sin 4x2 sin 2x+ sin 4x

    =1− cos 2x1 + cos 2x

    =sin2 x+ cos2 x−

    (cos2 x− sin2 x

    )sin2 x+ cos2 x+ cos2 x− sin2 x

    2 sin 2x− sin 4x2 sin 2x+ sin 4x

    =sin2 x+ cos2 x− cos2 x+ sin2 xsin2 x+ cos2 x+ cos2 x− sin2 x

    Pokratim sto se pokratiti dade:

    2 sin 2x− sin 4x2 sin 2x+ sin 4x

    =sin2 x+���cos2 x��

    ��− cos2 x+ sin2 x���sin2 x+ cos2 x+ cos2 x���

    �− sin2 x=

    sin2 x+ sin2 x

    cos2 x+ cos2 x

    2 sin 2x− sin 4x2 sin 2x+ sin 4x

    =sin2 x+ sin2 x

    cos2 x+ cos2 x=

    2 sin2 x

    2 cos2 x

    Pokratim sto se pokratiti dade:

    2 sin 2x− sin 4x2 sin 2x+ sin 4x

    =1�2 sin

    2 x

    �21 cos2 x=

    sin2 x

    cos2 x

    10

  • Imajuci na umu da vrijedi idenditetan

    bn=(ab

    )ndalje slijedi:

    2 sin 2x− sin 4x2 sin 2x+ sin 4x

    =sin2 x

    cos2 x=

    (sinx

    cosx

    )2No prema jednom od osnovnih trigonometrijskih identiteta znam da vrijedi

    tgα =sinα

    cosα, pa konacno uocavam da vrijedi:

    2 sin 2x− sin 4x2 sin 2x+ sin 4x

    =

    (sinx

    cosx

    )2= (tg x)

    2= tg2 x

    Pogledamo li desnu stranu izraza iz zadatka vidimo da je ona identicna onomesto smo dobili pa je time zadatak rijesen.

    − ?−

    Zadatak 13: (str. 72) 10) Dokazi identitet:

    1− sin 2x1 + sin 2x

    = ctg2(π4+ x)

    Rjesenje: Zadatak nam je pokazati da je lijeva strana izraza jednaka desnoj pau tu svrhu pokusajmo raspisati desnu stranu izraza:

    ctg2(π4+ x)=(ctg(π4+ x))2

    Prisjetimo se da vrijedi sljedeci adicijski teorem za kotangens:

    ctg (α+ β) =ctgα ctg β − 1ctgα+ ctg β

    Probajmo imajuci na umu taj identite odrediti cemu je jednako ctg(π4+ x)

    .Racunam:

    ctg(π4+ x)=

    ctgπ

    4ctg x− 1

    ctgπ

    4+ ctg x

    Iscitam iz tablice na prvoj stranici dokumenta da vrijedi ctgπ

    4= 1. Dakle dalje

    slijedi:

    ctg(π4+ x)=

    ctgπ

    4ctg x− 1

    ctgπ

    4+ ctg x

    =1 · ctg x− 11 + ctg x

    =ctg x− 11 + ctg x

    11

  • Nadalje prema jednom od osnovnih trigonometrijskih identiteta znam da vri-jedi ctgα =

    cosα

    sinα. Imajuci to na umu dalje racunam:

    ctg(π4+ x)=

    ctg x− 11 + ctg x

    =

    cosx

    sinx− 1

    1 +cosx

    sinx

    =

    cosx

    sinx− 1

    11

    1+

    cosx

    sinx

    Izraze u brojniku i nazivniku svedem na zajednicki nazivnik sinx. Slijedi:

    ctg(π4+ x)=

    cosx

    sinx− 1

    11

    1+

    cosx

    sinx

    =

    cosx− sinxsinx

    sinx+ cosx

    sinx

    Pokratim sto se pokratiti dade:

    ctg(π4+ x)=

    cosx− sinx1���sinx

    sinx+ cosx

    ���sinx1

    =

    cosx− sinx1

    sinx+ cosx

    1

    =cosx− sinxsinx+ cosx

    Vratimo se sada na pocetak, drugim rijecima, na izraz ctg2(π4+ x)=(ctg(π4+ x))2

    .Uvrstimo gore odredeni izraz:

    ctg2(π4+ x)=(ctg(π4+ x))2

    =

    (cosx− sinxsinx+ cosx

    )2Imajuci na umu da vrijedi idenditet

    an

    bn=(ab

    )ndalje slijedi:

    ctg2(π4+ x)=

    (cosx− sinxsinx+ cosx

    )2=

    (cosx− sinx)2

    (sinx+ cosx)2

    Raspisem brojnik i nazivnik prema identitetu (a+ b)2 = a2 + 2ab + b2. Daljevrijedi:

    ctg2(π4+ x)=

    (cosx− sinx)2

    (sinx+ cosx)2 =

    cos2 x− 2 cosx sinx+ sin2 xsin2 x+ 2 sinx cosx+ cos2 x

    Zapisimo to na malo drugaciji nacin, promijenivsi poredak clanovima sume iumnoska. Slijedi:

    ctg2(π4+ x)=

    sin2 x+ cos2 x− 2 sinx cosxsin2 x+ cos2 x+ 2 sinx cosx

    Nadalje prisjetim se da vrijede sljedeca dva identiteta, temeljni trigonometrijskiidentite, te sinus dvostrukog kuta:

    sin2 α+ cos2 α = 1

    12

  • sin 2α = 2 sinα cosα

    Uvrstim te cinjenice u gornji izraz. Slijedi:

    ctg2(π4+ x)=

    1︷ ︸︸ ︷sin2 x+ cos2 x−

    sin 2x︷ ︸︸ ︷2 sinx cosx

    sin2 x+ cos2 x︸ ︷︷ ︸1

    +2 sinx cosx︸ ︷︷ ︸sin 2x

    =1− sin 2x1 + sin 2x

    ctg2(π4+ x)=

    1− sin 2x1 + sin 2x

    Pogledamo li lijevu stranu izraza iz zadatka vidimo da je ona identicna onomesto smo dobili pa je time zadatak rijesen.

    − ?−

    Zadatak 13: (str. 72) 14) Dokazi identitet:

    sin4 x+ 2 sinx cosx− cos4 xtg 2x− 1

    = cos 2x

    Rjesenje: Zadatak nam je pokazati da je lijeva strana izraza jednaka desnoj pau tu svrhu pokusajmo raspisati lijevu stranu izraza:

    sin4 x+ 2 sinx cosx− cos4 xtg 2x− 1

    Zapisimo clanove sume u brojniku gornjeg razlomka drugim redoslijedom iimajuci na umu da vrijedi sin4 x =

    (sin2 x

    )2i cos4 x =

    (cos2 x

    )2:sin4 x+ 2 sinx cosx− cos4 x

    tg 2x− 1=

    (sin2 x

    )2 − (cos2 x)2 + 2 sinx cosxtg 2x− 1

    Sada mogu prepoznati da prva dva clana sume u brojniku mogu raspisatiprema identitetu za razliku kvadrata a2 − b2 = (a− b) (a+ b). Slijedi:

    sin4 x+ 2 sinx cosx− cos4 xtg 2x− 1

    =

    (sin2 x

    )2 − (cos2 x)2 + 2 sinx cosxtg 2x− 1

    =

    =

    (sin2 x− cos2 x

    ) (sin2 x+ cos2 x

    )+ 2 sinx cosx

    tg 2x− 1Nadalje prisjetim se da vrijedi osnovni tirgonometrijski identitet:

    sin2 α+ cos2 α = 1

    Dakle pocetni izraz prelazi u:

    sin4 x+ 2 sinx cosx− cos4 xtg 2x− 1

    =

    (sin2 x− cos2 x

    ) 1︷ ︸︸ ︷(sin2 x+ cos2 x

    )+2 sinx cosx

    tg 2x− 1=

    13

  • =

    (sin2 x− cos2 x

    )· 1 + 2 sinx cosx

    tg 2x− 1=

    sin2 x− cos2 x+ 2 sinx cosxtg 2x− 1

    Prisjetim se da vrijede sljedeca dva identiteta, za sinus dvostrukog kuta, te zakosinus dvostrukog kuta:

    sin 2α = 2 sinα cosα

    cos 2α = cos2 α− sin2 α

    U tu svrhu izlucim prvo − iz prva dva clana sume u brojniku:

    =

    (sin2 x− cos2 x

    )· 1 + 2 sinx cosx

    tg 2x− 1=−(− sin2 x+ cos2 x

    )+ 2 sinx cosx

    tg 2x− 1=

    =−(cos2 x− sin2 x

    )+ 2 sinx cosx

    tg 2x− 1=

    Primjenim izraze za sinus i kosinus dvostrukog kuta na gornji izraz. Slijedi:

    sin4 x+ 2 sinx cosx− cos4 xtg 2x− 1

    =−

    cos 2x︷ ︸︸ ︷(cos2 x− sin2 x

    )+

    sin 2x︷ ︸︸ ︷2 sinx cosx

    tg 2x− 1=− cos 2x+ sin 2x

    tg 2x− 1=

    =sin 2x− cos 2x

    tg 2x− 1Nadalje prisjetim se da vrijedi osnovni trigonometrijski identitet za tangense:

    tgα =sinα

    cosα

    Imajuci to na umu raspisem nazivnik gornjeg izraza:

    sin4 x+ 2 sinx cosx− cos4 xtg 2x− 1

    =sin 2x− cos 2x

    tg 2x− 1=

    sin 2x− cos 2xsin 2x

    cos 2x− 1

    Svedem izraze u nazivniku na zajednicki nazivnik cos 2x. Racunam:

    sin4 x+ 2 sinx cosx− cos4 xtg 2x− 1

    =sin 2x− cos 2xsin 2x− cos 2x

    cos 2x

    =

    sin 2x− cos 2x1

    sin 2x− cos 2xcos 2x

    Pokratim ono sto se pokratiti dade:

    sin4 x+ 2 sinx cosx− cos4 xtg 2x− 1

    =

    1((((

    (((sin 2x− cos 2x1

    (((((((sin 2x− cos 2x 1

    cos 2x

    =

    1

    11

    cos 2x

    =cos 2x

    1

    14

  • sin4 x+ 2 sinx cosx− cos4 xtg 2x− 1

    = cos 2x

    Pogledamo li desnu stranu izraza iz zadatka vidimo da je ona identicna onomesto smo dobili pa je time zadatak rijesen.

    − ?−

    Zadatak 14: (str. 73) 6) Dokazi identitet:

    1 + sinα− cosα1 + sinα+ cosα

    = tgα

    2

    Rjesenje: Zadatak nam je pokazati da je lijeva strana izraza jednaka desnoj pau tu svrhu pokusajmo raspisati lijevu stranu izraza:

    1 + sinα− cosα1 + sinα+ cosα

    Kako se na desnoj strani nalazi izraz koji sadrzi polovican kut α, drugim rijec-ima

    (α2

    ), zamislimo da umjesto α u nasem izrazu kojeg raspisujem pise 2

    α

    2.

    Zapisimo taj izraz tada imajuci na umu tu cinjenicu:

    1 + sinα− cosα1 + sinα+ cosα

    =1 + sin

    (2α

    2

    )− cos

    (2α

    2

    )1 + sin

    (2α

    2

    )+ cos

    (2α

    2

    )Prisjetim se da vrijede sljedeca tri identiteta, za sinus dvostrukog kuta, za kos-inus dvostrukog kuta, te temeljni trigonometrijski identitet:

    sin 2α = 2 sinα cosα

    cos 2α = cos2 α− sin2 α

    sin2 α+ cos2 α = 1

    Uvrstim li u njih umjesto αα

    2uocavam da vrijede sljedeci izrazi:

    sin(2α

    2

    )= 2 sin

    α

    2cos

    α

    2⇒ sinα = 2 sin α

    2cos

    α

    2

    cos(2α

    2

    )= cos2

    α

    2− sin2 α

    2⇒ cosα = cos2 α

    2− sin2 α

    2

    sin2α

    2+ cos2

    α

    2= 1

    Primjenim te identitete na gornji izraz. Slijedi:

    1 + sinα− cosα1 + sinα+ cosα

    =sin2

    α

    2+ cos2

    α

    2+ 2 sin

    α

    2cos

    α

    2−(cos2

    α

    2− sin2 α

    2

    )sin2

    α

    2+ cos2

    α

    2+ 2 sin

    α

    2cos

    α

    2+ cos2

    α

    2− sin2 α

    2

    =

    15

  • =sin2

    α

    2+ cos2

    α

    2+ 2 sin

    α

    2cos

    α

    2− cos2 α

    2+ sin2

    α

    2

    sin2α

    2+ cos2

    α

    2+ 2 sin

    α

    2cos

    α

    2+ cos2

    α

    2− sin2 α

    2

    Pokratim sto se pokratiti dade:

    1 + sinα− cosα1 + sinα+ cosα

    =sin2

    α

    2+����

    cos2α

    2+ 2 sin

    α

    2cos

    α

    2����

    − cos2 α2+ sin2

    α

    2

    ���

    sin2α

    2+ cos2

    α

    2+ 2 sin

    α

    2cos

    α

    2+ cos2

    α

    2����− sin2 α

    2

    =

    =sin2

    α

    2+ 2 sin

    α

    2cos

    α

    2+ sin2

    α

    2

    cos2α

    2+ 2 sin

    α

    2cos

    α

    2+ cos2

    α

    2

    =2 sin2

    α

    2+ 2 sin

    α

    2cos

    α

    2

    2 cos2α

    2+ 2 sin

    α

    2cos

    α

    2

    Izlucim 2 sinα

    2iz brojnika i 2 cos

    α

    2iz nazivnika gornjeg razlomka. Racunam:

    1 + sinα− cosα1 + sinα+ cosα

    =2 sin2

    α

    2+ 2 sin

    α

    2cos

    α

    2

    2 cos2α

    2+ 2 sin

    α

    2cos

    α

    2

    =2 sin

    α

    2

    (sin

    α

    2+ cos

    α

    2

    )2 cos

    α

    2

    (cos

    α

    2+ sin

    α

    2

    )Zamijenim poredak clanova sume u zagradi nazivnika:

    1 + sinα− cosα1 + sinα+ cosα

    =2 sin

    α

    2

    (sin

    α

    2+ cos

    α

    2

    )2 cos

    α

    2

    (sin

    α

    2+ cos

    α

    2

    )Pokratim sto se pokratiti dade:

    1 + sinα− cosα1 + sinα+ cosα

    =

    1�2 sin

    α

    2�����

    ���(sin

    α

    2+ cos

    α

    2

    )1

    1�2 cosα

    2����

    ����(

    sinα

    2+ cos

    α

    2

    )1

    =sin

    α

    2

    cosα

    2

    No imajuci na umu da vrijedi osnovni trignometrijski identitet za tangens

    tgα =sinα

    cosαgornji izraz prelazi u:

    1 + sinα− cosα1 + sinα+ cosα

    =sin

    α

    2

    cosα

    2

    = tgα

    2

    Dakle izracunali smo da vrijedi:

    1 + sinα− cosα1 + sinα+ cosα

    = tgα

    2

    Pogledamo li desnu stranu izraza iz zadatka vidimo da je ona identicna onomesto smo dobili pa je time zadatak rijesen.

    − ?−

    16

  • Zadatak 14: (str. 73) 9) Dokazi identitet:

    tg(π4+α

    2

    )− tg

    (π4− α

    2

    )ctg(π4+α

    2

    )+ ctg

    (π4− α

    2

    ) = sinαRjesenje: Zadatak nam je pokazati da je lijeva strana izraza jednaka desnoj pau tu svrhu pokusajmo raspisati lijevu stranu izraza:

    tg(π4+α

    2

    )− tg

    (π4− α

    2

    )ctg(π4+α

    2

    )+ ctg

    (π4− α

    2

    )U tu svrhu prisjetimo se adicijskih teorema za tangense i kotangense:

    tg (α± β) = tgα± tg β1∓ tgα · tg β

    ctg (α± β) = ctgα · ctg β ∓ 1ctg β ± ctgα

    Raspisimo po tim identitetima redom izraze tg(π4+α

    2

    ), tg(π4− α

    2

    ), ctg

    (π4+α

    2

    ),

    ctg(π4− α

    2

    ). Krenimo od tg

    (π4+α

    2

    ):

    tg(π4+α

    2

    )=

    tgπ

    4+ tg

    α

    2

    1− tg π4tgα

    2

    Iscitam iz tablice na prvoj stranici dokumenta da vrijedi tgπ

    4= 1. Dakle dalje

    slijedi:

    tg(π4+α

    2

    )=

    tgπ

    4+ tg

    α

    2

    1− tg π4tgα

    2

    =1 + tg

    α

    2

    1− 1 · tg α2

    =1 + tg

    α

    2

    1− tg α2

    No imajuci na umu da vrijedi osnovni trignometrijski identitet za tangens

    tgα =sinα

    cosαgornji izraz prelazi u:

    tg(π4+α

    2

    )=

    1 +sin

    α

    2

    cosα

    2

    1−sin

    α

    2

    cosα

    2

    17

  • Svedem izraze u brojniku i nazivniku na zajednicki nazivnik cosα

    2:

    tg(π4+α

    2

    )=

    1 +sin

    α

    2

    cosα

    2

    1−sin

    α

    2

    cosα

    2

    =

    cosα

    2+ sin

    α

    2

    cosα

    2

    cosα

    2− sin α

    2

    cosα

    2

    Pokratim sto se pokratiti dade:

    tg(π4+α

    2

    )=

    cosα

    2+ sin

    α

    2

    ���cosα

    21

    cosα

    2− sin α

    2

    ���cosα

    21

    =

    cosα

    2+ sin

    α

    21

    cosα

    2− sin α

    21

    =cos

    α

    2+ sin

    α

    2

    cosα

    2− sin α

    2

    Dakle dobili smo da vrijedi:

    tg(π4+α

    2

    )=

    cosα

    2+ sin

    α

    2

    cosα

    2− sin α

    2

    Nadalje rapisimo tg(π4− α

    2

    ):

    tg(π4− α

    2

    )=

    tgπ

    4− tg α

    2

    1 + tgπ

    4tgα

    2

    Iscitam iz tablice na prvoj stranici dokumenta da vrijedi tgπ

    4= 1. Dakle dalje

    slijedi:

    tg(π4− α

    2

    )=

    tgπ

    4− tg α

    2

    1 + tgπ

    4tgα

    2

    =1− tg α

    2

    1 + 1 · tg α2

    =1− tg α

    2

    1 + tgα

    2

    No imajuci na umu da vrijedi osnovni trignometrijski identitet za tangens

    tgα =sinα

    cosαgornji izraz prelazi u:

    tg(π4− α

    2

    )=

    1−sin

    α

    2

    cosα

    2

    1 +sin

    α

    2

    cosα

    2

    18

  • Svedem izraze u brojniku i nazivniku na zajednicki nazivnik cosα

    2:

    tg(π4− α

    2

    )=

    1−sin

    α

    2

    cosα

    2

    1 +sin

    α

    2

    cosα

    2

    =

    cosα

    2− sin α

    2

    cosα

    2

    cosα

    2+ sin

    α

    2

    cosα

    2

    Pokratim sto se pokratiti dade:

    tg(π4− α

    2

    )=

    cosα

    2− sin α

    2

    ���cosα

    21

    cosα

    2+ sin

    α

    2

    ���cosα

    21

    =

    cosα

    2− sin α

    21

    cosα

    2+ sin

    α

    21

    =cos

    α

    2− sin α

    2

    cosα

    2+ sin

    α

    2

    Dakle dobili smo da vrijedi:

    tg(π4− α

    2

    )=

    cosα

    2− sin α

    2

    cosα

    2+ sin

    α

    2

    Nadalje rapisimo ctg(π4+α

    2

    ):

    ctg(π4+α

    2

    )=

    ctgπ

    4ctg

    α

    2− 1

    ctgα

    2+ ctg

    π

    4

    Iscitam iz tablice na prvoj stranici dokumenta da vrijedi ctgπ

    4= 1. Dakle dalje

    slijedi:

    ctg(π4+α

    2

    )=

    ctgπ

    4ctg

    α

    2− 1

    ctgα

    2+ ctg

    π

    4

    =1 · ctg α

    2− 1

    ctgα

    2+ 1

    =ctg

    α

    2− 1

    ctgα

    2+ 1

    No imajuci na umu da vrijedi osnovni trignometrijski identitet za kotangensctgα =

    cosα

    sinαgornji izraz prelazi u:

    ctg(π4+α

    2

    )=

    cosα

    2

    sinα

    2

    − 1

    cosα

    2

    sinα

    2

    + 1

    19

  • Svedem izraze u brojniku i nazivniku na zajednicki nazivnik sinα

    2:

    ctg(π4+α

    2

    )=

    cosα

    2

    sinα

    2

    − 1

    cosα

    2

    sinα

    2

    + 1

    =

    cosα

    2− sin α

    2

    sinα

    2

    cosα

    2+ sin

    α

    2

    sinα

    2

    Pokratim sto se pokratiti dade:

    ctg(π4+α

    2

    )=

    cosα

    2− sin α

    2

    ���sinα

    21

    cosα

    2+ sin

    α

    2

    ���sinα

    21

    =

    cosα

    2− sin α

    21

    cosα

    2+ sin

    α

    21

    =cos

    α

    2− sin α

    2

    cosα

    2+ sin

    α

    2

    Dakle dobili smo da vrijedi:

    ctg(π4+α

    2

    )=

    cosα

    2− sin α

    2

    cosα

    2+ sin

    α

    2

    Na kraju rapisimo ctg(π4+α

    2

    ):

    ctg(π4− α

    2

    )=

    ctgπ

    4ctg

    α

    2+ 1

    ctgα

    2− ctg π

    4

    Iscitam iz tablice na prvoj stranici dokumenta da vrijedi ctgπ

    4= 1. Dakle dalje

    slijedi:

    ctg(π4− α

    2

    )=

    ctgπ

    4ctg

    α

    2+ 1

    ctgα

    2− ctg π

    4

    =1 · ctg α

    2+ 1

    ctgα

    2− 1

    =ctg

    α

    2+ 1

    ctgα

    2− 1

    No imajuci na umu da vrijedi osnovni trignometrijski identitet za kotangensctgα =

    cosα

    sinαgornji izraz prelazi u:

    ctg(π4− α

    2

    )=

    cosα

    2

    sinα

    2

    + 1

    cosα

    2

    sinα

    2

    − 1

    20

  • Svedem izraze u brojniku i nazivniku na zajednicki nazivnik sinα

    2:

    ctg(π4− α

    2

    )=

    cosα

    2

    sinα

    2

    + 1

    cosα

    2

    sinα

    2

    − 1

    =

    cosα

    2+ sin

    α

    2

    sinα

    2

    cosα

    2− sin α

    2

    sinα

    2

    Pokratim sto se pokratiti dade:

    ctg(π4− α

    2

    )=

    cosα

    2+ sin

    α

    2

    ���sinα

    21

    cosα

    2− sin α

    2

    ���sinα

    21

    =

    cosα

    2+ sin

    α

    21

    cosα

    2− sin α

    21

    =cos

    α

    2+ sin

    α

    2

    cosα

    2− sin α

    2

    Dakle dobili smo da vrijedi:

    ctg(π4− α

    2

    )=

    cosα

    2+ sin

    α

    2

    cosα

    2− sin α

    2

    Dakle ono sto smo do sada izracunali jest:

    tg(π4+α

    2

    )=

    cosα

    2+ sin

    α

    2

    cosα

    2− sin α

    2

    , tg(π4− α

    2

    )=

    cosα

    2− sin α

    2

    cosα

    2+ sin

    α

    2

    ctg(π4+α

    2

    )=

    cosα

    2− sin α

    2

    cosα

    2+ sin

    α

    2

    , ctg(π4− α

    2

    )=

    cosα

    2+ sin

    α

    2

    cosα

    2− sin α

    2

    Vratimo se s time u izraz kojeg smo poceli raspisivati:

    tg(π4+α

    2

    )− tg

    (π4− α

    2

    )ctg(π4+α

    2

    )+ ctg

    (π4− α

    2

    ) =cos

    α

    2+ sin

    α

    2

    cosα

    2− sin α

    2

    −cos

    α

    2− sin α

    2

    cosα

    2+ sin

    α

    2

    cosα

    2− sin α

    2

    cosα

    2+ sin

    α

    2

    +cos

    α

    2+ sin

    α

    2

    cosα

    2− sin α

    2

    21

  • Svedem brojnik i nazivnik gornjeg izraza na zajednicki nazivnik(cos

    α

    2− sin α

    2

    )(cos

    α

    2+ sin

    α

    2

    ).

    Racunam:

    tg(π4+α

    2

    )− tg

    (π4− α

    2

    )ctg(π4+α

    2

    )+ ctg

    (π4− α

    2

    ) =cos

    α

    2+ sin

    α

    2

    cosα

    2− sin α

    2

    −cos

    α

    2− sin α

    2

    cosα

    2+ sin

    α

    2

    cosα

    2− sin α

    2

    cosα

    2+ sin

    α

    2

    +cos

    α

    2+ sin

    α

    2

    cosα

    2− sin α

    2

    =

    =

    (cos

    α

    2+ sin

    α

    2

    )2−(cos

    α

    2− sin α

    2

    )2(cos

    α

    2− sin α

    2

    )(cos

    α

    2+ sin

    α

    2

    )(cos

    α

    2− sin α

    2

    )2+(cos

    α

    2+ sin

    α

    2

    )2(cos

    α

    2− sin α

    2

    )(cos

    α

    2+ sin

    α

    2

    )Pokratim sto se pokratiti dade:

    tg(π4+α

    2

    )− tg

    (π4− α

    2

    )ctg(π4+α

    2

    )+ ctg

    (π4− α

    2

    ) =(cos

    α

    2+ sin

    α

    2

    )2−(cos

    α

    2− sin α

    2

    )2((((

    (((((((

    (((((cos

    α

    2− sin α

    2

    )(cos

    α

    2+ sin

    α

    2

    )1(

    cosα

    2− sin α

    2

    )2+(cos

    α

    2+ sin

    α

    2

    )2(((

    (((((((

    ((((((

    cosα

    2− sin α

    2

    )(cos

    α

    2+ sin

    α

    2

    )1

    =

    =

    (cos

    α

    2+ sin

    α

    2

    )2−(cos

    α

    2− sin α

    2

    )21(

    cosα

    2− sin α

    2

    )2+(cos

    α

    2+ sin

    α

    2

    )21

    =

    (cos

    α

    2+ sin

    α

    2

    )2−(cos

    α

    2− sin α

    2

    )2(cos

    α

    2− sin α

    2

    )2+(cos

    α

    2+ sin

    α

    2

    )2Raspisem zagrade u brojniku i nazivniku prema identitetu za kvadrat binoma(a± b)2 = a2 ± 2ab+ b2. Slijedi:

    tg(π4+α

    2

    )− tg

    (π4− α

    2

    )ctg(π4+α

    2

    )+ ctg

    (π4− α

    2

    ) =(cos

    α

    2+ sin

    α

    2

    )2−(cos

    α

    2− sin α

    2

    )2(cos

    α

    2− sin α

    2

    )2+(cos

    α

    2+ sin

    α

    2

    )2 =

    =cos2

    α

    2+ 2 cos

    α

    2sin

    α

    2+ sin2

    α

    2−(cos2

    α

    2− 2 cos α

    2sin

    α

    2+ sin2

    α

    2

    )cos2

    α

    2− 2 cos α

    2sin

    α

    2+ sin2

    α

    2+ cos2

    α

    2+ 2 cos

    α

    2sin

    α

    2+ sin2

    α

    2

    =

    22

  • =cos2

    α

    2+ 2 cos

    α

    2sin

    α

    2+ sin2

    α

    2− cos2 α

    2+ 2 cos

    α

    2sin

    α

    2− sin2 α

    2

    cos2α

    2− 2 cos α

    2sin

    α

    2+ sin2

    α

    2+ cos2

    α

    2+ 2 cos

    α

    2sin

    α

    2+ sin2

    α

    2

    Pokratim sto se pokratiti dade:

    tg(π4+α

    2

    )− tg

    (π4− α

    2

    )ctg(π4+α

    2

    )+ ctg

    (π4− α

    2

    ) =

    = ����

    cos2α

    2+ 2 cos

    α

    2sin

    α

    2+���

    sin2α

    2����− cos2 α

    2+ 2 cos

    α

    2sin

    α

    2����− sin2 α

    2

    cos2α

    2����

    ���−2 cos α2sin

    α

    2+ sin2

    α

    2+ cos2

    α

    2+��

    ����

    2 cosα

    2sin

    α

    2+ sin2

    α

    2

    =

    =2 cos

    α

    2sin

    α

    2+ 2 cos

    α

    2sin

    α

    2

    cos2α

    2+ sin2

    α

    2+ cos2

    α

    2+ sin2

    α

    2

    =4 cos

    α

    2sin

    α

    2

    2 cos2α

    2+ 2 sin2

    α

    2

    Zamijenim poredak clanova umnoska i sume u brojniku i nazivniku, te izlucimdvojku u nazivniku:

    tg(π4+α

    2

    )− tg

    (π4− α

    2

    )ctg(π4+α

    2

    )+ ctg

    (π4− α

    2

    ) = 4 cos α2 sin α22 cos2

    α

    2+ 2 sin2

    α

    2

    =4 sin

    α

    2cos

    α

    2

    2(sin2

    α

    2+ cos2

    α

    2

    )Pokratim sto se pokratiti dade:

    tg(π4+α

    2

    )− tg

    (π4− α

    2

    )ctg(π4+α

    2

    )+ ctg

    (π4− α

    2

    ) = 2 �4 sin α2 cos α21 �2(sin2

    α

    2+ cos2

    α

    2

    ) = 2 sin α2 cos α2sin2

    α

    2+ cos2

    α

    2

    Uocim da u nazivniku dobivenog razlomka zapravio stoji temeljni trigonometri-jski identitet, odnosno da vrijedi sin2

    α

    2+ cos2

    α

    2= 1. Dok s druge strane, ako

    se prisjetim prethodnog zadatka vrijedi sinα = 2 sinα

    2cos

    α

    2. Imajuci to na

    umu nastavljam racun:

    tg(π4+α

    2

    )− tg

    (π4− α

    2

    )ctg(π4+α

    2

    )+ ctg

    (π4− α

    2

    ) =sinα︷ ︸︸ ︷

    2 sinα

    2cos

    α

    2

    sin2α

    2+ cos2

    α

    2︸ ︷︷ ︸1

    =sinα

    1= sinα

    Dakle izracunao sam da vrijedi:

    tg(π4+α

    2

    )− tg

    (π4− α

    2

    )ctg(π4+α

    2

    )+ ctg

    (π4− α

    2

    ) = sinα23

  • Pogledamo li desnu stranu izraza iz zadatka vidimo da je ona identicna onomesto smo dobili pa je time zadatak rijesen.

    − ?−

    24