Financijska Matem., Rijeseni Prim

8/2/2019 Financijska Matem., Rijeseni Prim.

1/57

RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKE

Ovi zadaci namijenjeni su studentima prve godine za pripremu ispitnog gradivaza kolokvije i ispite iz matematike. Pripremljeni su u suradnji i po uputamapredmetnog nastavnika dr. Josipa Matejas.

Zadatke je izabrala, pripremila i rijesila Ksenija Puksec

(demonstratorica iz matematike na EF).

Materijale je pregledala i recenzirala Martina Nakic(demonstratorica iz matematike na EF).

Tehnicku realizaciju materijala u programskom paketu LATEX napravio jeKresimir Bokulic (demonstrator iz racunarstva na PMF-MO).

1


2/57

FINANCIJSKA MATEMATIKA

1. Iznos od 15000E oroci se na pet godina. Kolika je konacna vrijednost togiznosa ako je godisnja kamatna stopa za prve dvije godine 5%, a u pre-ostalom razdoblju 5.5%. Obracun kamata je godisnji, slozen i dekurzivan.

Rjesenje:

p1 = 5%

r1 = 1 + p1100

= 1 + 5100

= 1.05

p2 = 5.5%

r2 = 1 +p2

100= 1 +

5.5

100= 1.055

x = 15000 r21 r32 = 15000 1.052 1.0553x = 19419.02

2


3/57

2. Koji je kapital uplacen u banku prije osam godina ako je danas podignuto

12200kn? Obracun kamata je slozen, godisnji i dekurzivan, a banka je prim-jenjivala godisnji kamatnjak 5.

Rjesenje:

p = 5%

r = 1 +p

100= 1 +

5

100= 1.05

x =12200

r8=

12200

1.058= 8257.44

3


4/57

3. Koji iznos za 10 godina uz slozene godisnje kamate naraste na 50000 kuna

ako je godisnja dekurzivna kamatna stopa 6% prve dvije godine, 5% sljedecetri i 4.5% narednih pet godina?

Rjesenje:

p1 = 6% r1 = 1.06p2 = 5% r2 = 1.05

p3 = 4.5% r3 = 1.045

x =50000

r21 r32

r53=

50000

1.062

1.053

1.0455

x = 30846.72

4


5/57

4. Poduzece duguje iznos od 100 000E na kraju druge godine i 150 000E na

kraju pete godine. S kojim iznosom se moze podmiriti cijeli dug

(a) danas

(b) na kraju trece godine

ako je godisnja kamatna stopa za prve cetiri godine 5%, a u preostalomrazdoblju 6%? Obracun kamata je godisnji i dekurzivan.

Rjesenje:

p1 = 5% r1 = 1.05p2 = 6% r2 = 1.06

a)

x =100000

r21+

150000

r41 r2x =

100000

1.052+

150000

1.054 1.06 == 207123.1094

5


6/57

b)

x = 100000 r1 +150000

r1 r2x = 100000 1.05 + 150000

1.05 1.06x = 239770.89

6


7/57

5. Ako danas raspolazemo na stednji sa 3000EUR pa za godinu dana podignemo

1000EUR, a za dvije godine jos 2000EUR, koliko cemo jos imati na stednji zatri godine ako je godisnja dekurzivna kamatna stopa 3.2%, a ukamacivanjeslozeno?

Rjesenje:

p = 3.2% r = 1.032

x = 3000 r3 1000 r2 2000 rx = 3000 1.0323 1000 1.0322 2000 1.032

x = 168.29E

7


8/57

6. Osoba je prije cetiri godine ulozila 5000kn, prije tri godine 4000kn , prije

godinu dana podigla 9000kn. Koliko ta osoba ima danas na racunu akoje banka primjenjivala godisnji kamatnjak 5? Obracun kamata je godisnji,slozen i dekurzivan.

Rjesenje:

p = 5 r = 1.05

x = 5000 r4 + 4000 r3 9000 rx = 5000 1.054 + 4000 1.053 9000 1.05

x = 1258.03125kn

8


9/57

7. Ako danas imamo u banci 7500EUR, koliko jos trebamo uloziti za cetiri go-

dine da bi za sedam godina raspolagali sa 15000EUR? Godisnji dekurzivnikamatnjak iznosi 5.

Rjesenje:

p = 5 r = 1.05

x =15000

r3 7500 r4

x =15000

1.053 7500 1.054

x = 3841.27

9


10/57

8. Ako danas ulozimo na stednju 5000EUR, za tri godine jos 7000EUR, koliko

jos trebamo uloziti za sest godina da bi za deset godina raspolagali na stednjisa 38000EUR? Banka obracunava godisnju dekurzivnu kamatnu stopu 8%prvih pet godina, a zatim 9%.

Rjesenje:

p1 = 8% r1 = 1.08p2 = 9% r2 = 1.09

x =38000

r42 5000 r51 r2 7000 r21 r2

x = 380001.094

5000 1.085 1.09 7000 1.082 1.09x = 10012.69EUR

10


11/57

9. Osoba je prije osam godina od danas ulozila u banku 22000kn, a prije dvije

godine podigla odredeni iznos. Ako je danas na racunu 8200kn, koliki jeiznos osoba podigla prije dvije godine? Banka je primjenjivala godisnji ka-matnjak 1. Obracun kamata je godisnji, slozen i dekurzivan.

Rjesenje:

p = 1 r = 1.01

x = 22000 r6 8200r2

x = 22000 1.016 82001.012

x = 15315.01571

11


12/57

10. Osoba je prije sest godina od danas ulozila u banku 12000kn, a prije tri

godine podigla odredeni iznos. Ako je danas na racunu 5400kn, koliki jeiznos osoba podigla prije tri godine? Banka je prve tri godine primjenjivalagodisnji kamatnjak 3, a u preostalom razdoblju za 50% veci godisnji kamat-njak. Obracun kamata je godisnji, slozen i dekurzivan.

Rjesenje:

p1 = 3 r1 = 1.03p2 = 3 +

50

100 3 = 3 + 1.5 = 4.5 r2 = 1.045

x = 12000

r31

5400

r32

x = 12000 1.033 54001.0453

x = 8380.72

12


13/57

11. Dug od 24000 kn mora se otplatiti u dvije jednake rate: krajem prve i trece

godine. Odredite iznos te rate ako je godisnji kamatnjak 10, a obracun ka-mata godisnji, slozen i dekurzivan.

Rjesenje:

p = 10 r = 1.1

x

r+

x

r3= 24000/ r3

xr2 + x = 24000 r3

x(r2

+ 1) = 24000 r3

/ : (r2

+ 1)

x =24000 r3

r2 + 1=

24000 1.131.12 + 1

x = 14454.30

13


14/57

12. Za prodaju kuce stigle su tri ponude:

(a) kupac A nudi 780 000 kn odmah

(b) kupac B nudi 500 000 kn odmah i 800 000kn na kraju desete godine

(c) kupac C nudi 400 000 kn na kraju druge godine , 400 000 na krajucetvrte godine i 600 000 na kraju desete godine.

Koja je najpovoljnija ponuda ako je godisnji kamatnjak 12? Obracun ka-mata je slozen, godisnji i dekurzivan. (Za trenutak usporedbe uzmite danas).

Rjesenje:

p = 12 r = 1.12A = 780000

B = 500000 +800000

r10= 500000 +

800000

1.1210

B = 757578.59

14


15/57

C =400000

r2+

400000

r4+

600000

r10

C =400000

1.122+

400000

1.124+

600000

1.1210

C = 766268.72

Najpovoljnija je ponuda A.

15


16/57

13. Odredeni je iznos bio orocen odredeno vrijeme uz 2% godisnjih kamata, a

onda dvostruko duze uz 4% godisnjih kamata. Ako je na kraju orocenjaglavnica bila 10.3232% veca u odnosu na pocetnu glavnicu, koliko je dugoorocenje vrseno uz prvi, a koliko dugo uz drugi kamatnjak?

Rjesenje:

p1 = 2% r1 = 1.02p2 = 4% r2 = 1.04

16


17/57

C0 rn1 r2n2 = C0 + 10.3232100 C0C0 1.02n 1.042n = 1.103232C0/ : C0

1.02n 1.042n = 1.103232/loglog[1.02n 1.042n] = log1.103232

log1.02n + log1.042n = log1.103232nlog1.02 + 2nlog1.04 = log1.103232

n(log1.02 + 2log1.04) = log1.103232

n = log1.103232log1.02 + 2log1.04

n = 1

2n = 2

Uz prvi kamatnjak orocenje je vrseno jednu godinu, a uz drugi dvije godine.

17


18/57

14. Osoba ulozi u banku neki iznos. Na kraju druge godine podigne 20% svote

koju tada ima u banci. Banka za prve cetiri godine primjenjuje godisnji ka-matnjak 6, a u preostalom razdoblju kamatnjak za 2 manji. Koliki je iznososoba ulozila ako je na kraju dvanaeste godine raspolagala s 27644,59 kn?Obracun kamata je godisnji slozen i dekurzivan.

Rjesenje:

p1 = 6 r1 = 1.06p2 = 4 r2 = 1.04

80100

xr21 r21 r82 = 27644, 594

5x 1.064 1.048 = 27644, 59/ 5

4x 1.064 1.048 = 34555.7375/ : (1.064 1.048)

x =34555.7375

1.064 1.048 = 20000

18


19/57

15. Uz slozene i dekurzivne kamate glavnica se za 10 godina udvostruci. Ako je

prvih 7 godina primjenjen godisnji kamatnjak 6%, koji je kamatnjak prim-jenjen u preostale 3 godine?

Rjesenje:

p1 = 6 r1 = 1.06

C10 = 2C0

C10 = C0 r71 r32 = 2C0C0 1.067 r32 = 2C0/ : C0

1.067

r32 = 2/ : 1.06

7

r32 =2

1.067

r2 =3

2

1.067= 1.099756

r2 = 1 +p2

100 p2 = 100(r2 1)

p2 = 100(1.099756 1) = 9.9756%

19


20/57

16. Iznos od 14500kn oroci se na pocetku prve, a iznos od 10000kn na pocetku

druge godine. Ako je na kraju druge godine na racunu 25285,80kn, uz kojije godisnji kamatnjak izvrseno orocenje? Obracun kamata je godisnji, slozeni dekurzivan.

Rjesenje:

14500 r2 + 10000r = 25285.8014500 r2 + 10000r 25285.80 = 0

r1,2 =10000 39580

29000r =

29580

29000= 1.02

p = 100(r 1)p = 2

20


21/57

17. Ako uz dekurzivne i slozene kamate na temelju sadasnje uplate od 20000EUR

mozemo za pet godina podici 15000EUR, a za deset godina jos 22500EUR,koliku je godisnju kamatnu stopu primjenjivala banka?

Rjesenje:

20000 =15000

r5+

22500

r10/ r10

20000 r10 = 15000 r5 + 2250020000 r10 15000 r5 22500 = 0

r5 = t

r =5

t

20000 t2 15000 t 22500 = 0t = 1.5

r =5

1.5 = 1.08447

p = 100(r 1)p = 8.447%

21


22/57

18. Koliki bi iznos trebalo danas uplatiti u banku da bi se osiguralo po sest

jednakih isplata od po 10000 kuna na kraju svake godine? Obracun kamataje slozen, godisnji i dekurzivan, a godisnji kamatnjak 1.

Rjesenje:

p = 1 r = 1.01

An = R rn 1

rn(r 1)A6 = R

r6 1r6(r

1)

= 10000 1.016 1

1.016(1.01

1)

A6 = 57954.762

22


23/57

19. Ako pocetkom svake godine tokom 7 godina ulazemo na stednju po 4000EUR,

kojim cemo iznosom raspolagati krajem desete godine ako je godisnja dekurzivnakamatna stopa 4%?

Rjesenje:

p = 4% r = 1.04

x = S7 r3

Sn = R r rn 1r 1

x = 4000 1.04 1.047

1

1.04 1 1.043

x = 36959.55EUR

23


24/57

20. Za prodaju kuce stigle su tri ponude:

(a) Kupac A nudi 600 000 kn odmah

(b) Kupac B nudi 300 000 kn za dvije godine i 400 000 kn za cetiri godine

(c) Kupac C nudi krajem svake godine u iducih sest godina po 100 000kn

Koja je pnuda najpovoljnija ako je godisnja kamatna stopa 12, a obracunkamata slozen, godisnji i dekurzivan?

Rjesenje:

p = 12 r = 1.12A = 600000

B =300000

r2+

400000

r4

B = 493365.39

24


25/57

An = R rn 1

rn(r 1)A6 = R

r6 1r6(r 1) = 100000

1.126 11.126(1.12 1)

A6 = 411140.73

Najpovoljnija je ponuda A.

25


26/57

21. Osoba ulozi danas u banku 125 000kn. Koliko ce joj ostati nakon osam

godina ako krajem svake godine podigne po 15000kn? Obracun kamata jegodisnji, slozen i dekurzivan, a godisnji kamatnjak 2.

Rjesenje:

p = 2 r = 1.02

Sn = R rn 1r 1

x = 125000 r8 S8

x = 125000 1.028

15000 1.028

1

1.02 1x = 17712.8868

26


27/57

22. Ako uz 4% godisnjih, dekurzivnih, slozenih kamata danas ulozimo u banku

70000 EUR, a zatim krajem svake godine kroz sljedecih 7 godina podizemopo 10000 EUR, sa kojim cemo iznosom raspolagati u banci za 10 godina?

Rjesenje:

p = 4% r = 1.04

x = 70000 r10 S7 r3

x = 70000 1.0410 10000 1.047 1

1.04 1 1.043

x = 14772.03EUR

27


28/57

23. Osoba treba na kraju pete godine platiti iznos od 30000 eura. U dogovoru s

vjerovnikom duznik se obvezao da ce krajem svake godine kroz pet godinauplacivati odredeni iznos. Koji je to iznos ako vjerovnik trazi 8% godisnjihkamata, a obracun je slozen i dekurzivan?

Rjesenje:

p = 8% r = 1.08

S5 = 30000

R 1.085 1

1.08

1= 30000

R = 5113.693637

28


29/57

24. Neka osoba ulaze u banku krajem svakog polugodista po 5000kn, kroz 4 go-

dine. Na kraju je druge godine osoba podigla odredeni iznos. Koliki je tajiznos ako osoba na kraju seste godine raspolaze svotom od 10000kn? Bankaprimjenjuje godisnji kamatnjak 12, a obracun kamata je slozen, polugodisnjii dekurzivan. Primijenite relativni kamatnjak.

Rjesenje:

god pol m =1god.

polugod. =12mj.

6mj. = 2

P(G) = 12 P(P) = P(G)m

=12

2= 6 r = 1.06

R = 5000

10000 = S8 r4 x r8

xr8 = S8 r4 10000/ : r8

x =S8 r4 10000

r8=

5000 1.06 1.06811.061 1.064 10000

1.068

x = 35276.401

29


30/57

25. Zajam od 50 000 kuna dobiven je na 4 godine otplate uz 8% godisnjih ka-

mata i placanje jednakih anuiteta krajem svake godine. Napisite otplatnutabelu.

Rjesenje:

C = 50000

n = 4

p = 8 r = 1.08a = C r

n(r 1)rn 1

a = 50000 1.084 (1.08 1)1.084 1

a = 15096.04

Popunjavanje tablice:

(a) Unosi se anuitet a

(b) Ik =p

100Ck1

(c) a = Ik + Rk Rk = a Ik(d) Ck = Ck1 Rk1. godina:

(a) a=15096.04

(b) I1 = p100C0 = 8100 50000 = 4000(c) R1 = a I1 = 15096.04 4000 = 11096.04(d) C1 = C0 R1 = 50000 11096.04 = 38903.96

30


31/57

K ak Ik Rk Ck

0 - - - 500001 15096,04 4000 11096,04 38903,96

2 15096,04 3112,32 11983,72 26920,24

3 15096,04 2153,62 12942,42 13977,82

4 15096,04 1118,23 13977,82 0,00

31


32/57

26. Zajam od 400 000 kn odobren je na sest godina u 8% godisnjih dekurzivnih

kamata i placanje jednakih anuiteta krajem godine. Obracun kamata jegodisnji. Nacinite otplatni plan za zadnje dvije godine.

Rjesenje:

C = 400000

n = 6

p = 8 r = 1.08a = C r

n(r 1)rn 1 = 400000

1.086(1.08 1)1.086 1

a = 86526.15449

Ck = a rnk 1

rnk(r

1)

C4 = a r64 1

r64(r 1) = a r2 1

r2(r 1)C4 = 86526.15449

1.082 11.082 (1.08 1)

C4 = 154299.0409

K ak Ik Rk Ck4 - - - 154299,0409

5 86526,15449 12343,92327 74182,23122 80116,809686 86526,15449 6409,344774 80116,80972 0

32


33/57

27. Zajam od 120 000kn amortizira se kroz dvije godine jednakim anuitetima

krajem godine. Nacinite plan otplate ako je godisnji kamatnjak za prvugodinu 6 i za drugu godinu 8. Obracun kamata je godisnji, slozen i dekurzi-van.

Rjesenje:

C = 120000

n = 2

n1 = 1, p1 = 6 r1 = 1.06n2 = 1, p2 = 8 r2 = 1.08

120000 = ar1

+ ar1 r2

/ r1 r2120000 r1 r2 = a r2 + a120000 r1 r2 = a(r2 + 1)

a =120000 r1 r2

r2 + 1=

120000 1.06 1.081.08 + 1

a = 66046.15385

33


34/57

K ak Ik Rk Ck

0 - - - 1200001 66046,15385 7200 58846,15385 61153,84615

2 66046,15385 4892,307692 61153,84616 0

I1 =p1

100 C0 =

6

100 120000 = 7200

R1 = a I1 = 66046.15385 7200 = 58846.15385

I2 =

p2

100 C1 =8

100 61153.84615 = 4892.307692...

34


35/57

28. Zajam od 500 000 kn treba otplatiti u 5 godina jednakim anuitetima krajem

godine. Koliki je anuitet ako se prve dvije godine primjenjuje godisnji ka-matnjak 10, trecu godinu 12, a u preostalom razdoblju 11? Obracun kamata

je godisnji, slozen i dekurzivan. Kolike su ukupne kamate?

Rjesenje:

C = 500000

n = 5

n1 = 2, p1 = 10 r1 = 1.1n2 = 1, p2 = 12 r2 = 1.12n3 = 2, p3 = 11 r3 = 1.11

a =?

Zajam = suma svih pocetnih vrijednosti anuiteta

35


36/57

C = ar1

+ ar21

+ ar21 r2

+ ar21 r2 r3

+ ar21 r2 r23

/ r21 r2 r23C r21 r2 r23 = a(r1 r2 r23 + r2 r23 + r23 + r3 + 1)

a = 13793.445

k=1

Ik = n a C = 168967.20

36


37/57

29. Zajam od 600 000 kuna odobren je na 10 godina uz 9% godisnjih dekurzivnih

kamata i placanje jednakih anuiteta krajem godine. Izracunajte ukupne ka-mate.

Rjesenje:

I = n a C

a = C

rn(r 1)

rn

1= 600000

1.0910 (1.09 1)

1.0910

1a = 93492.05392I = 334920.54

37


38/57

30. Zajam od 400 000kn odobren je na 5 godina uz placanje jednakih godisnjih

anuiteta krajem svake godine. Odredite ukupne kamate. Koliki postotakodobrenog zajma cini ostatak duga na kraju trece godine? Obracun kamata

je godisnji, slozen i dekurzivan uz godisnji kamatnjak 9.5.

Rjesenje:

C = 400000

n = 5

p = 9.5 r = 1.095

I = n a C

a = C rn (r 1)

rn 1a = 104174.57

I = 120872.83

Ck = a rnk 1

rnk(r 1)C3 = 182019.33

x

100400000 = 182019.33

x = 45.50%

38


39/57

31. U otplatnoj tablici zajma odobrenog na pet godina nalazimo da je treca

otplatna kvota 12650 kn. Koliki je iznos odobrenog zajma i anuiteta ako suanuiteti jednaki i dospijevaju krajem godine? Godisnji kamatnjak je 8, aobracun kamata godisnji, slozen i dekurzivan.

Rjesenje:

n = 5

R3 = 12650

C =?

a =?

p = 8 r = 1.08

Rk = R1 rk1R3 = R1 r31

R3 = R1

r2

R1 =R3r2

R1 =12650

1.082

R1 = 10845.33608

C = R1 rn 1r

1

C = 63625.25906

a = C rn(r 1)rn 1

a = 15935.35681

39


40/57

32. Zbroj prve i druge otplatne kvote nekog zajma je 50 000kn. Koliki je za-

jam koji se amortizira u sest jednakih godisnjih anuiteta uz 10% godisnjihkamata? Obracun kamata je godisnji i dekurzivan.

Rjesenje:

R1 + R2 = 50000

n = 6

p = 10 r = 1.1C =?

Rk = R1 rk1R2 = R1 r21

R2 = R1 r

R1 + R2 = 50000

R1

+ R1 r = 50000R1(1 + r) = 50000/ : (1 + r)

R1 =50000

1 + r=

50000

1 + 1.1= 23809.52381

C = R1 rn 1r 1

C = 183705

40


41/57

33. Zajam od 600 000 kuna odobren je na 3 godine uz 10% godisnjih dekurzivnih

kamata i jednake otplatne kvote krajem godine. Ispisite otplatnu tablicu.

Rjesenje:

C = 600000

n = 3

p = 10

R =C

n =600000

3 = 200000

Popunjavanje zablice:

(a) Unosi se R

(b) Ik =p

100Ck1

(c) ak = Ik + R

(d) Ck = Ck1

R

1. godina:

(a) R = 200000

(b) I1 =p

100C0 =

10

100 600000 = 60000

(c) a1 = I1 + R = 60000 + 200000 = 260000

(d) C1 = C0 R = 600000 200000 = 400000

K ak Ik Rk Ck0 - - - 6000001 260000 60000 200000 400000

2 240000 40000 200000 200000

3 220000 20000 200000 0

41


42/57

34. Zajam od 300 000kn odobren je na dvije godine uz 6% godisnjih kamata i

iste otplatne kvote krajem polugodista. Sastavite otplatnu tablicu ako jeobracun kamata polugodisnji, slozen i dekurzivan. Koristite relativni ka-matnjak.

Rjesenje:

C = 300000

n = 2god 4polugodistap = 6

god pol m = 1godpolaugod.

=12mj

6mj= 2

P(P) =P(G)

m=

6

2= 3

R =300000

4

= 75000

K ak Ik Rk Ck0 - - - 300000

1 84000 9000 75000 225000

2 81750 6750 75000 150000

3 79500 4500 75000 75000

4 77250 2250 75000 0

42


43/57

35. Investicijski zajam dobiven je na 20 godina otplate i placanje anuiteta kra-

jem svake godine pri cemu su sve otplatne kvote medusobno jednake. Akoje ostatak duga na kraju 13. godine 73500EUR, a godisnja dekurzivna ka-matna stopa 6%, napisite otplatnu tabelu za prve tri godine.

Rjesenje:

Ck = (n k) RC13 = (20

13)

R

C13 = 7R

73500 = 7R

R = 10500

C = n R = 20 10500 = 210000p = 6%

K ak Ik Rk Ck

0 - - - 2100001 23100 12600 10500 199500

2 22470 11970 10500 189000

3 21840 11340 10500 178500

43


44/57

36. Kolika je prodajna cijena automobila koji se prodaje na potrosacki kredit?

(Iznos potrosackog kredita jednak je prodajnoj cijeni automobila). Zbrojsvih 60 rata iznosi 155 295kn. Trgovacko drustvo obracunava 12% anticipa-tivnih godisnjih kamata i trazi 15% udjela u gotovini.

Rjesenje:

R

m = 155295

m = 60

q = 12

p = 15

C =?

C(1 p100

)(1 +k

100) = R m

k =(m + 1)q

24

=(60 + 1) 12

24

= 30.5

C(1 15100

)(1 +30.5

100) = 155295

C 0.85 1.305 = 1552951.10925C = 155295/ : 1.10925

C = 140000

44


45/57

37. Koliki najveci iznos potrosackog kredita moze podici osoba s prosjecnom

mjesecnom placom od 6900kn, ako se kredit odobrava uz udjel u gotoviniod 20%, na 5 mjeseci i uz godisnji anticipativni kamatnjak 6?

Rjesenje:

R =PLACA

3

R =6900

3

= 2300

p = 20

n = 5

q = 6

k =(m + 1) q

24= 1.5

C (1 p100

)(1 +k

100) = R m

C = 14162.56

45


46/57

38. Koliki je rok otplate za potrosacki kredit od 500 000kn za koji bi mjesecna

rata iznosila 31800kn? Uvjeti banke su: udjel u gotovini 10% i godisnjikamatnjak 9.

Rjesenje:

C = 500000

R = 31800

p = 10q = 9

m =?

k =(m + 1)q

24=

(m + 1)9

24=

3m + 3

8

C(1 9100

)(1 +k

100) = R m

500000(1

10

100

)(1 +3m+38

100

) = 31800

m

500000 0.9 (1 + 3m + 3800

) = 31800m

450000 (1 + 3m + 3800

) = 31800m

450000 + 1687.5m + 1687.5 = 31800m

m = 15

46


47/57

39. Potrosacki kredit od 20000kn odobren je na 12 mjeseci, uz udjel u gotovini

8% i godisnji kamatnjak 6. Izracunajte mjesecnu ratu.

Rjesenje:

C = 20000

m = 12

p = 8

q = 6R =?

k =(m + 1) q

24= 3.25

C(1 p100

)(1 +k

100) = R m

R = 1583.17

47


48/57

40. Potrosacki kredit od 10400kn odobren je na godinu dana, bez udjela u go-

tovini, uz anticipativnu godisnju kamatu 6. Kolika je mjesecna rata?

Rjesenje:

C = 10400

m = 12

p = 0

q = 6R =?

C(1 p100

)(1 +k

100) = R m

k =(m + 1) q

24=

(12 + 1) 624

= 3.25

10400 (1 0100

)(1 +3.25

100) = 12R

12R = 10738/ : 12

R = 894.8333

48


49/57

41. Kupac kupuje satelitski komplet za 3600kn potrosackim kreditom na 6

mjeseci otplate uz 15% ucesca i 12% anticipativnih godisnjih kamata. Ko-like su ukupne kamate i mjesecna rata?

Rjesenje:

C = 3600

m = 6

p = 15q = 12

R =?

k =?

k =(m + 1) q

24=

(6 + 1) 1224

= 3.5

C(1 p100

)(1 +k

100) = R m

3600 (1 15100)(1 + 3.5100) = 6RR = 527.85

K =C1 k

100C1 = C P

P =C p

100P =

C p100

=3600 15

100= 540

C1 = C P = 3600 540 = 3060K =

C1 k100

=3060 3.5

100= 107.10

49


50/57

42. Odredeni se tov u dvije godine udvostruci. Koliki je godisnji prirast?

Rjesenje:

C2 = 2C0

C2 = C0 enp

100

C2 = C0 e2p

100

C0

e2p

100 = 2C0/ : C0

e2p

100 = 2/ln

2 p100

= ln2

2p = 100ln2/ : 2

p =100ln2

2p = 34.65735903%

50


51/57

43. Odredeni se tov u godinu dana utrostruci. Koliki je godisnji prirast?

Rjesenje:

n = 1

C1 = 3C0

Cn = C0 enp

100

C1 = C0

e

1p

100

C1 = C0 e p100C0 e

p

100 = 3C0/ : C0

ep

100 = 3/lnp

100= ln3

p = 100ln3

p = 109.862289%

51


52/57

44. Za koje ce se vrijeme kolicina drvne mase u nekom sumskom kompleksu

utrostruciti, ako je prosjecna stopa godisnjeg prirasta drvne mase 11.22%?Rjesenje:

p = 11.22

n =?

Cn = 3C0

Cn = C0 enp

100

Cn = C0 e11

.22

n100

C0 e11.22n

100 = 3C0/ : C0

e11.22n

100 = 3/ln

11.22n

100= ln3

n =100ln3

11.22n = 9.7916godina

52


53/57

45. Za koje ce vrijeme drvne mase u nekoj sumi biti 50% vise ako je prosjecni

godisnji prirast 2.8%?

Rjesenje:

Cn = C0 +50

100C0 = 1.5C0

p = 2.8

n =?

Cn = C0 enp100Cn = C0 e

2.8n

100

C0 e2.8

100 = 1.5C0/ : C0

e2.8n

100 = 1.5/ln

2.8n

100= ln1.5

2.8n = 100ln1.5/ : 2.8

n = 100ln1.52.8

n = 14.48god.

53


54/57

46. Ukoliko se pretpostavlja da ce se drvna masa u nekoj sumi za 10 godina

povecati za 50%, izracunajte uz koliki je godisnji prirast izvrsena prognoza.

Rjesenje:

n = 10

C10 = C0 +50

100C0 = 1.5C0

Cn = C0

enp

100

C10 = C0 e10p

100 = C0 e0.1pC0 e0.1p = 1.5C0/ : C0

e0.1p = 1.5/ln

0.1p = ln1.5

p =ln1.5

0.1p = 4.05

54


55/57

47. Za koji se postotak poveca stanovnistvo jednog grada za deset godina ako

je godisnji prirast 1%?

Rjesenje:

n = 10

p = 1

Cn = C0 enp

100

C10 = C0 e101

100

C10 = C0 e0.1

C10 = C0 +x

100C0

C0 +x

100C0 = C0 e0.1

C0(1 +x

100) = C0 e0.1

1 +x

100

= e0.1

x

100= e0.1 1

x = 100(e0.1 1)x = 10.51%

55


56/57

48. Uzgoj jedne vrste pilica za klanje traje tri mjeseca. Pilici ulaze u uzgoj

sa prosjecnom masom od 50 grama. Kolika im je prosjecna masa na krajuako je prosjecna stopa godisnjeg prirasta 2400% prvi mjesec, 1200% drugimjesec i 900% treci mjesec?

Rjesenje:

n1 =1

12, p1 = 2400

n2 = 112

, p2 = 1200

n3 =1

12, p3 = 900

Cn = C0 en1p1

100 en2p2100 en3p3100

C3 = 50 e112

2400

100 e112

1200

100 e112

900

100

C3 = 2126grama

56


57/57

49. Koliko ce kg imati dijete na svoj 6. rodendan ako je rodeno sa 2.5 kg i

ako se pretpostavlja da prve dvije godine kontinuirano dobiva na tezini 5%mjesecno, a posljednje 4 godine prosjecno 2% mjesecno?

Rjesenje:

mj godm =

1mj

1god=

1

12

p1(G) =p1(M)

m=

51

12

= 60%

p2(G) =p2(M)

m=

21

12

= 24%

Cn = C0

en1p1

100

e

n2p2

100

C6 = 2.5 e260100 e424100C6 = 2.5 e1.2 e0.96C6 = 21.6778415kg

Documents

Financijska Matem., Rijeseni Prim