-
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 1.
ANALITICKA GEOMETRIJA 1.1 Pravac Imlicitni oblik jednadzbe pravca:
0Opci oblik pravca:
dje je : koeficijent smjera pravca, tan odsjecak pravca na osi 0
pravac je nagnut u smjeru osi 90 00 pravac je
ax by cy kx l
g k kl yk xk
+ + == + =
> + > >
<
( ) ( )1 1 1 1
nagnut u smjeru osi 180 90
Segmentni oblik jednadzbe pravca: 1
gdje je: odsjecak pravca na osi odsjecak pravca na osi
Jednadzba pravca kroz tocku , uz poznati :
Jednadzb
xx ym nm xn y
A x y k y y k x x
>
< = = =
+ =
2 4 4 0y x+ =
2. Mlaz vode iz hidranta ima oblik parabole. Izrazi jednadzbu
parabole, ako mlaz postize visinu od 18m na horizontalnoj
udaljenosti 28m od hidranta. Opci oblik vertikalne parabole, koja
je otvorena pre
( ) ( )
2
2
ma dolje: 4
Hidrant je u ishodistu, pa imamo: 28 4 18
x py
x p y
=
=
-
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
Analiticka Geometrija - Parabola 16
( ) ( )
( ) ( )
22
222
28Vrh je u V(28,18) 0 28 4 0 18 418
28Jednadzba parabole : 4 28 1818
p p
x py x y
= =
= =
2
3. Tetiva parabole je dio pravca koji prolazi kroz fokus a
paralelan je sa stalnim pravcem (direktrisom). Duzina se naziva i
latus rectum. Izracunaj tu duzinu ako je jednadzba parabole 4 .Opci
ob
y px=2lik parabole: 4 ; Direktrisa je na: 1, a Fokus na:
F(1,0)
Tetiva je pravac: 1; koji sjece parabolu u tockama 2py px x
x= =
=
2
2
4. Odredi jednadzbu kruznice koja prolazi kroz vrh i fokus
parabole 8 .Opci oblik parabole: 4 4 8 2 0Parabola je otvorena
prema gore; Direktrisa je na: 2, a Fokus na: F(0,2) Jednadzba k
x yx py p p
y
=
= = = >=
( )22ruznice koja prolazi tockama F(0,2) i V(0,0):
1 1x y+ =
5. Parabolicna antena je konstruirana tako da paralelne ulazne
signale reflektira kroz fokus.Odredi jednadzbu parabole ako je
jednadzba zrake kroz fokus: 12 3.6Fokus je u tocki presjeka pravca
i osi
y x= +
2
; 0: 0 12 3.6 0.3 Jednadzba parabole, sa fokusom u F(0.3, 0):
0.3
x y x xy x
= = + =
=
-
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
2 2
6. Suncev reflektor ima oblik parabole promjera 2.5 m, a ugib je
0.425 m. Odredi fokusnu udaljenost.
2.5Rubne tocke parabole imaju koordinate 0.425, 2
Jednadzba parabole: 4 1.25 4 0.4250.919
x y
y px pp
= =
= ==
F 0.919m=
2 2 ili 8 8 yy x x= =
7. Mali otok je udaljen 4 km od obale koja ima oblik pravca.
Plovni put izmedju obale i otoka je
ekvidistantna krivulja izmedju otoka i obale. Odredi tu
krivulju.Krivulja je parabola sa direktrisom u 2
2
:1 14 2 4 4 82 2
Plovni put je na pola puta, izmedju obale i otoka.
p p y xpx x= = = = =
Analiticka Geometrija - Parabola 17
-
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 1.4
Elipsa
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2 2 2 2
2 21 1
1 1 2 2
Standardni oblik jednadzbe elipse: 1, velika poluos, mala
poluos
Fokusna udaljenost :
Jednadzba elipse sa centrom u tocki , : 1
Ekscentricitet elipse:
U
x y a ba b
f f c a b
x x y yA x y
a bcea
+ =
= =
+ =
=
( )
2 22 2 2 2
1 11 1 2 2
vjet da pravac dira elipsu: Koordinate diralista: ,
Jednadzba tangente iz tocke , : 1
ka ba k b l Tl l
xx yyT x y
a b
+ =
+ =
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
1. Odredi jednadzbu elipse koja ima fokus u F(9,0) i vrh u
V(15,0).9 15 15 9 144
1 115 12
2. Odredi ekscentricitet elipse 9 81
Ekscentricitet je dan sa:
x xF c a b V a b a c
x y x ya b
x y
e
= = = = = = = =
+ = + =
+ =2 2
2 22 2
2 2 2
9 819 3
81 9 72
72 3 8 2 29 381
c xx ya
c a b
cea
= + =
= = =
= = = =
1y+ =
2 2
3. U gradjevinama sa specijalnim akustickim karakteristikama,
moguce je cuti sapat ako se posjetioc nalazi u fokusima elipsastog
svoda. Ako je presjek hale, elipsa jednadzbe 36 225 8100, odredi ux
y+ =
2 2
22 22 2 2
2
daljenost sapatca i slusaca.36 225 8100
2251 225 36 189
225 36 36
Udaljenost izmedju fokusa: 2 2 189 27.495
x y
ax y c a bb
l c m
+ =
=+ = = = =
=
= = =
Analiticka Geometrija - Elipsa 18
-
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
2 2 2 2
2 2 2 2
4. Dvije koncentricne elipse cine prsten. Izracunaj obje
debljine prstena.Elipsa 1: 4 100 Elipsa 2: 2 5 500
1 1100 25 250 100
10, 5 15.8, 10Debljina iznosi: 15.8 10 5.8 10 5 5a b
x y x yx y x y
a b a bd d
+ = + =
+ = + =
= = = == = = =
2 2
2 22 2
c
5. Presjek cisterne je elipsa 6 6. Izracunaj volumen ako je
duzina cisterne 6m a povrsina elipse se dobije iz:
6 6 1 6, 16 1
Povrsina elipse iznosi: 6
Volumen cisterne: V 6
e
e
e
x yP ab
x yx y a b
P
P
+ ==
+ = + = = =
=
= = 36 6 46.172m =
1.5 Hiperbola
( ) ( )
2 2
2 2
11 1 2
Jednadzba hiperbole sa centrom u ishodistu: 1
transverzalna polu os, konjugirana polu os
Jednadzbe pravaca-asimptota hiperbole:
Jednadzba hiperbole sa centrom u tocki , :
x ya b
a bby xax x
A x ya
=
=
( )
( )
2 21
2
2 2 2 2
2 22 2 2 2
11 1
1
Fokusna udaljenost : Linearni ekscentricitet e:
Uvjet da pravac dira hiperbolu: Koordinate diralista: ,
Jednadzba tangente u tocki , hiperbole:
y yb
cf f c a b eaka ba k b l Tl l
xxT x y
=
= = + =
=
12 2 1
yya b
=
Analiticka Geometrija - Elipsa 19
-
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
( ) ( )
2 2 2 22 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
22 2 2 2
2 2 2 4
1. Odredi jednadzbu hiperbole koja prolazi tockom A(2,3) i ima
fokus u F(2,0).
2 31 1 4 9 0
2 4 uvrstimo u gornju jednadzbu:
4 9 4 4 0
4 36 9 4
A Ax y b a a ba b a bc a b a b
b b b b
b b b b
= = =
= = =
=
+ +4 2
121,2
2
2
2
2 22
09 36 0 zamijenimo
129 81 4 369 36 02
4 4 3 1
Jednadzba hiperbole: 1 3 31 3
b bk
k k k
ay x y
bx
=
+ =
= + = = =
= = =
= =
32.521.510.50-0.5-1-1.5-2-2.5-3
5
4
3
2
10
-1
-2
-3
-4
-5
x
y
x
y
2
22
:
3
b k
k b=
=
( )2 2 22 2 22 2
2. Koncentricne hiperbole su one koje imaju zamjenjene poluosi.
Zadana je hiperbola sa vrhom
u V(0,1) i fokusom u F(0, 3). Odredi zadanoj hiperboli
koncentricnu hiperbolu.
1 1; 3V Vy x
a c a ba b
= = = = + = 2 21 3 1 2b b+ = =
( )
2 22 2
2 2
2 2
22 2 2 2 2
2 22 2
Jednadzba hiperbole je: 1 2 21 2
Jednadzba koncentricne hiperbole: 1 (1,0) ( 3,0)
3 1 3
1 2 21 2
y x y x
x y V Fa b
c a b b b
x y x y
= =
=
= = + = + =
= =
1 2=
Analiticka Geometrija - Hiperbola 20
-
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2
2
2 22 2
3. Nadji centar hiperbole: 2 4 4 4 0
2 4 4 4 2 2 4 4
2 2 1 1 4 4 4 4
1 22 1 2 2 : 2 1 (1, 2
1 2
x y x y
x x y y x x y y
x y y
x yx y S
=
= + =
+ + + =
+ + = = )
( ) ( )
2 2 2 2
2 2
2 2
4. Odredi jednadzbu hiperbole ako je vrh u ( 1,1), fokus u (
1,4) i srediste u ( 1, 2) :( 1,1) daje 1 ( 1, 4) daje c 4 4 1 3
2 11
1 33 2 12 10 0
V F SV a F b c a
y x
x y x y
= = = = =
+ =
+ + + =
Analiticka Geometrija - Hiperbola 21
-
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
1
2
5. Odredi jednadzbu hiperbole koja ima asimptote 1 3 i vrh u
V(3,1)
1 Asimptota ima jednadzbu:
3 Sjeciste pravaca daje srediste hiperbole:
2 2 1 2 ( 2, 1)I
x y i x yba y x y x a ba
a y x
y y x S
= + =
= + = =
=
= = =
( ) ( )x
2 2
z koordinate vrha: V 3 i 2 odredjujemo transferzalnu poluos
2 12 3 5 5 Jednadzba hiperbole je: 1
25 25
xS
x xa a b
= =
+ += + = = = =
Analiticka Geometrija - Hiperbola 22
-
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
Analiticka Geometrija Razni zadaci 23
1.6.1 Razni zadaci
( )
2
2
22 2
1,2
1. Zadani su pravac 3 11 i parabola 4 5 0. Izracunaj koordinate
tocaka u kojima se krivulje sjeku.
3 11 Supstitucija u drugu jednadzbu : 4 5 0
44 3 11 5 0 7 6 02
y x x x y
y x x x y
b b acx x x x x x
= =
= =
= + = = 1
2
1
2
61
3 11 3 6 11 73 1 11 8 Trazene tocke su:
xxa
y x yy
== =
= = = = =
(6,7) (1, -8)i A B
( 0, 2) (7,5) A B
( )
2 2
2 2
22 2
2. Zadani su pravac 2 i kruznica 10 24 0. Izracunaj koordinate
tocaka u kojima se krivulje sjeku.
2 Supstitucija u drugu jednadzbu 10 24 0 daje:
Jednadzba kruznice: 5 49
y x x y y
y x x y y
x y x
= + =
= + =
+ = + ( ) ( )
( )
2
12
2
1 2
2 10 2 24 0
07 0 7 0 2
70 2 2 7 2 5
Trazene tocke su: i
x x
xx x x x y x
xy y
=
= = = = == = = =
-
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
Analiticka Geometrija Razni zadaci 24
23. Zadani su pravac 5 i parabola 2 5 5. Izracunaj koordinate
tocaka u kojima se krivulje sjeku.
y x y x x= + = +
( ) 12 22
1 1 2 2
05 5 2 5 5 2 6 0 3 0
35 0 5 5; 5 3 5 8
Trazene tocke su
xy x x x x x x x x
xy x y x
== + + = + = = == + = + = = + = + =
( ) ( )0,5 3,8,A B
( ) ( ) 4, 3,0,5A B
( )
( )
2 2
22
12 2
2
1 1
4. Zadani su pravac 2 5 i kruznica x 25. Izracunaj koordinate
tocaka u kojima se krivulje sjeku.
2 5 zamijenimo u drugoj jednadzbi 2 5 25
04 20 25 25 4 0
42 5 0
y x y
y x y x x
xx x x x x
xy x
= + + =
= + + + =
=+ + + = + = = = + = + 2 25 5; 2 5 8 5 3
Trazene tocke suy x= = + = = +
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2 2 22
5. Zadani su pravac 1 i kruznica 4 2 1 0. Izracunaj koordinate
tocaka u kojima se krivulje sjeku.
1 zamijenimo u drugoj jednadzbi 4 2 1 0
2 1 4 1 4 1 2 1 0
y x x y x y
y x y x y x y
x y x x x y
= + + + =
= + + + =
+ = + + + =
-
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
Analiticka Geometrija Razni zadaci 25
( ) 12 22
1 1 2 2
01 2 2 1 0 2 0
21 0 1 1; 1 2 1 1
Trazene tocke su
xx x x x x x
xy x y x
=+ + = = == + = + = = + = + =
( ) ( )0,1 2,, 1 A B
( ) ( )2,1 1,, 0A B
( ) ( )
2
2
212 2
1,22
6. Zadani su pravac 1 i parabola 4 3. Izracunaj koordinate
tocaka u kojima se krivulje sjeku.
1 zamijenimo u drugoj jednadzbi 1 2
241 4 3 3 2 012
y x y x x
y x y y x
xb b acx x x x x xxa
= = +
= =
= = + + = = = =
1 1 2 21 2 1 1 1 1 1 0Trazene tocke su y x y x
= = = = = =
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2
2 22
2 2
2 2
7. Zadane su elipsa 2 6 3 i hiperbola 17 2 . Izracunaj
koordinate tocaka u kojima se krivulje sjeku.2 6 3
17 2 1. 2.
2 6 32 34 4
x y x y
x yx y
x yx y
= + =
= +
= +
= + = +
-
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
Analiticka Geometrija Razni zadaci 26
2 2
1,2
2 2 21,2
0 28 7 4 2
17 2 17 2 4 9 3
Trazene tocke su
y y y
yx x x
= + = =
= = = =
( ) ( ) ( ) ( )3,2 , 3, 2 , 3, 2 , 3, 2C DA B
( ) ( ) ( ) ( )2,2 , 2, 2 , 2, 2 , 2,2A B C D
( )
2 2 2 2
2 2
2 24
2 2
21,2
2 2 21,2
8. Zadane su dvije elipse 4 =20 i 4 20. Izracunaj koordinate
tocaka u kojima se krivulje sjeku.4 =20
4 20
4 16 80
0 15 60 2
4 20 20 16 4 2
Trazene tocke su
x y x y
x yx y
x y
y y
x y x x
+ + =
+
+ =
=
= =
+ = = = =
2 2 2
22
1,2
9. Zadane su kruznica =4 i parabola 5. Izracunaj koordinate
tocaka u kojima se krivulje sjeku.
4 1Rjesenje sistema daje rezultat: 1 02 2
Rezultat je imaginarana velicina,
x y x y
b b ac iy y ya
+ + =
= = =
krivulje nemaju zajednickih tocaka.
3
-
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
Analiticka Geometrija Razni zadaci 27
2 2 2
2 2 2
212
1,22
2
10. Zadane su hiperbola =16 i parabola 2 1. Izracunaj koordinate
tocaka u kojima se krivulje sjeku.Rjesenje sistema daje: 2 15
54 2 82 15 032 2
2 1
x y y x
x y y x
xb b acx x xxa
y x
+ =
+ + =
= + = = = = =
+ = ( )
( )
( )
121
2
322
4
32 1 2 5 1 9
3
72 1 2 3 1 7
7
Krivulje se sjeku u samo dvije to A ,3 B(-5,-cke: 3 ,
yy x
y
y iy x
y i
= = = = =
= = =
= =
5 )
( )A 6,6 ,( 6 6)B
2 2
22 4 2 2 2
2 21,2 1,2
11. Zadane su hiperbola 36 i kruznica 72. Izracunaj koordinate
tocaka u kojimase krivulje sjeku.
36Tjesenje sistema daje: 72 72 36 0
72 36 0 36 6
36
xy x y
y y y y ky
k k k y k
xy x
= + =
+ = + = =
+ = = = =
= 1,21,2
36 36 66
Krivulje se sjeku u samo dvije tocke: ,
y= = =
-
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
Analiticka Geometrija Razni zadaci 28
2 2 2 2 2 2
1 2
2 2 2 2
1
12. Kroz ishodiste su polozena dva okomita pravca, koji sijeku
elipsu ,svaki u dvije tocke i tako cine tetive: 2 2
1 1 1 1Dokazi da vrijedi:
pravci su okomiti:
b x a y a bp AB u p CD v
u v a b
p y kx
+ =
= =
+ = +
=
( )
( )
1
22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2
,
2 2 2 2 2
1 Odredimo tocke presjeka:
Za :
1Za :
Ay
p y xk
p b x a y a b b x a kx a b
b x a k x a b x b a k a b
y kx
p b x a y a b b x a x a bk
b k x a x a
=
+ = + =
+ = + =
=
+ = + =
+ = ( )2 2 2 2 2 2 2 ,2 2 2 2
1
C Dxb k x a b k a b k
y xk
+ ==
=
2 22
, 2 2 2
2 2
2 2 2
A B
B
a bxb a k
ka bb a k
=+
=+
2 2 2
2 2 2
2 22
, 2 2 2C D
k a ba b k
a bya b k
+
=+
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
Nase cetiri tocke imaju koordinate:
, ,
, ,
Duzina tetive 2
4
B A B A
ab kab ab kabA Bb a k b a k b a k b a k
kab ab kab abC Da b k a b k a b k a b k
AB u x x y y
ab abub a k b
+ + + +
+ + + +
= = +
= ++
( )
2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 22
2 2 2
1
kab kab
a k b a k b a kk a b
ub a k
+ +
+ + +
+=
+
-
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
Analiticka Geometrija Razni zadaci 29
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 2
2
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 22
2 2 2
Duzina tetive 2
4
1
D C D CCD v x x y y
kab ab kab kabva b k a b k a b k a b kk a b
va b k
= = +
= + + +
+ + + +
+=
+
( ) ( )( ) ( )
( )
( ) ( )( )
2 2 2 2 2 2
2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 22 2 2
Postavimo uvjete koje moramo dokazati:
1 11 1 1 11 1
1 11 1 1 11
k a b k a b
u v k a b k a b a b kb a k a b kk a k b a b
u v a b a bk a b
+ + ++ = + =
+ + ++ +
+ + + ++ = = = +
+
( )( )
2 2
22 2 2 2 2
13. Odredi geometrijsko mjesto svih kruznica koje diraju
kruznicu 8 84 0 i prolaze tockom 4,0 .
8 84 0 2 4 16 16 84 0 4 100
Sredista kruznica moraju biti uvijek jednako udalje
x y xA
x y x x x y x y
+ + =
+ + = + + + = + + =
( )( )
ne od dviju tocaka: Tocke 4,0
i sredista zadane kruznice 4,0 . Takve karakteristike ima samo
elipsa. U tom slucaju su tocke i , fokusi elipse. Ekscentricitet
elipse jednaka je polovici udaljenost
A
SA S
( ) ( )
2 2 2 2 2
i i : 4.
Krajnja tocka zadane kruznice je: 10 4 6 Jedna od kruznica mora
proci tockama i , cime je definirana velika os elipse: 5.
Mala os elipse se izracuna iz: 5 4 9Traz
k x
k
A Se
x r Sx A a
b a e
=
= = =
=
= = =ena elipsa, geometrijsko mjesto srediste svih kruznica koje
prolaze kroz A i diraju
zadanu kruznicu ima jednadzbu: 5, 3 xa b += =
2 2
125 3
y=
-
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
Analiticka Geometrija Razni zadaci 30
1 2 1 2
2
14. Odredi skup tocaka T ravnine, za koje vrijedi: Produkt
udaljenosti tocke T od zadanih 144pravaca 4 3 11 0 i 4 3 5 0 iznosi
25
Udaljenost tocke od pravca dana je sa: T T
p x y p x y d d
ax by cd
a
+ = + + = =
+ +=
+
( )( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
2
1 2 2 2 2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
pa pisemo:
4 3 11 4 3 5144 4 3 11 4 3 5 14425 4 3 4 3
16 12 20 12 9 15 44 33 55 144 0
16 64 9 18 89 0 Nadopunimo na potpuni kvadrat:
4 8 3 3 144 16 2 9 1 14
T T T T
b
x y x yd d x y x y
x xy x xy y y x y
x x y y
x y x y
+ + += = + + + =
+ ++ + + + =
+ =
+ = + =
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
4
2 1Odnosno: 1. Pazljivim promatranjem, mozemo
9 162 1
doci do zakljucka da uvjete zadovoljava i hiperbola: 116 9
x y
x y
+ =
+ =
-
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
Analiticka Geometrija Razni zadaci 31
( )( ) ( )
( )
( ) ( )
15. Odredi koordinatu tocke B, tako da pravac prolazi kroz sve
tri zadana tocke: 1, 2 ,
, 4 , 5,6
Jednadzba pravca kroz A i C:
6 2 2 2 8 22 1 2 15 1 3 3 3 3
Za tocku B vrij
B
C AA A
C A
x A
B x Cy y
y y x x xy y
y x x y x y x k
= +
= + + = + = + =
+2 8edi: 4 12 2 8 23 3B B B B B
y kx l x x x= + = + = + =
( ) ( ) ( )2 2
2 2
2 2
16. Odredi jednadzbu kruznice koja prolazi kroz tocke 5,0 , 0,0
, 0,3 .
Jednadzba kruznice ima oblik: 0Za tocku A imamo: 5 0 5 0 0 25 5
0 5
Za tocku A imamo: 0 0 0 0 0 0
Za t
A B C
x y cx dy ec d e c e c
c d e e
+ + + + =
+ + + + = + = =
+ + + + = =
2
2
2 2
2 2 2
2
2 2
ocku C imamo: 0 3 0 3 0 9 3 0 3
Nasa jednadzba glasi: 5 3 0 ili d5 25 3 92 2
rukcije:25 95 3 04 4
5 3 172 2 2
c d e d d
x y x y
x y x y
x y
x x y y
+ + + + = + = =
+ + + =
+ + + + += + =
+ + =
2 4 2 4
-
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
Analiticka Geometrija Razni zadaci 32
1 2
1 2
2
17. Izracunaj koeficijent tako, da sjeciste zadanih pravaca bude
na pravcu 3.2 1 0 2 3 0
61 2 312 2 42 2
2 3 2 1 32 2
a xp ax y p x ay
aaa xx xp y xa a aap y x y y
a a a a
= + = + + =
+ = + = = + = = + =
y
2
22 2
3 24
3 2 6Uvrstimo u jednadzbu pravca 3 : 3 3 4 20 04 4
aya
a ay x a aa a
+ =
+ += = =
1
1
1 2 1
1 1
2 2
10 10, 2 : Nasi pravci imaju za slijedece jednadzbe:3 3
10 10 12 1 0 2 1 03 6
10 6 92 3 0 2 3 03 10
Njihovo presjeciste je u tocki:10 1 6 9 50 156 2 10 10
a
a
a a a
p ax y p x y y x
p x ay p x y y x
x x x
= = =
+ = + = = +
+ + = + + = =
+ = +
2
10
2
42 2118 2732 16
10 1 10 21 1 35 1 27 21 27,6 2 6 16 2 16 2 16 16 16
Za 2 dobijemo:
x x
y x T
a
= = =
= + = + = + =
=
2
1
1 1
2 2
2 1 0 2 2 1 0
2 3 0 2 2 3 0
Pravci su paralelni!
a
a
p ax y p x y y x
p x ay p x y y x
+ = + = = +
+ + = + = = +
1
3
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
18. Dijagonala kvadrata dana je sa tockama 3, 4 , 7,0 . Odredi
jednadzbe upisane i opisane kruznice tom kvadratu.
Duzina je ujedno i promjer opisane kruznice.
7 3 0 4 32B A B A
A B
AB
D AB x x y y
= = + = + + =
-
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
Analiticka Geometrija Razni zadaci 33
( ) ( ) ( )
2
2 2
32 32 8 82 2 4
7 3 4 0Srediste je u polovistu dijagonale: , ,2 2 2 2
5, 2 ; Opisana kruznica ima jednadzbu: 5 2 8
Upisan kruznica ima isto srediste i
B A B A
Dr r
x x y yS
S x
= = = = =
+ + + + =
+ y
+ =
( ) ( )2 2radijus jednak 2 5 2 4yr S x y= = + + =
( )19. Pravac prolazi tockom 3,3 . Odsjecan na osi , tri puta je
vici od odsjecka na osi .
Odredi njegovu jednadzbu.1, 3 3 Imamo znaci dva rjesenja:
3 3 Za tocku A i 3 : 1 1 4 123
A A
A y
m n n mx y
n m m nm n m m
= = =
= + = + = = =
x
14 12
12 4 48 3 12
x y
x y y x
+ =
+ = = +
3 3Za tocku A i 3 : 1 1 2 6 1
3 26 2 12 3 6
A Ax y x yn m m nm n m m
x y y x
= + = + = = = =
= = 6
-
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
Analiticka Geometrija Razni zadaci 34
( )
( ) ( )( ) ( )
2 2
2 2 2 2
2 2
20. Odredi jednadzbu kruznice radijusa 5, koja prolazi tockom
6,9 a srediste ima na pravcu 3 18 0.
Jednadzba kruznice kroz tocku A: 25
6 9 25 36 12 81 18 25
12 18 9
A A
r Ax y
x p y q
p q p p q q
p q p q
=
+ =
+ =
+ = + + + =
+ + 2 0
Srediste kruznice je na pravcu: 3 18 0 6 3 18 03xx y y p q
=
+ = = + + =
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
112
12
2 2 2 2
18 3 12 18 3 18 92 0 Imamo dva rjesenja:
9 1 5 18 3 5 329 20 018 3 4 69 1 4
2Trazene jednadzbe jesu: 3 5 25 i 6 4 25
q q q q
q pq q
pq
x y yx
+ + =
+ = = = = + = = = = =
+ = + =
18 3p q =
( )
( )
2 221. Odredi jednadzbu hiperbole, koja ima u jednom zaristu
srediste kruznice 3 4, koja dira asimptote hiperbole. Nacrtajmo
kruznicu sa sredistem u 3,0 . Odredimo diralista tangente na
poznatu
kr
x y
S
+ + =
( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )
2
22 2 2 2
uznicu iz ishodista O 0,0 : 50 3 3 0 0 0 4 3 9 4 odnosno
koorinate :3
5 16 203 4 3 4 43 9 3
5 20 5 20Diralista su: , , , Asimptote prolaze3 3 3 3
o ox p x p y q y q r
x y x x y
x y y y y
A B
+ =
+ + + = + = =
+ + = + + = = =
kroz , i imaju A B O
-
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
Analiticka Geometrija Razni zadaci 35
2 2 2 2
2 2
200 203koeficijent smjera: : 5 503
20 4 5 2 5 2 5 2 2, 55 5 5 5 5 5
Trazena jednadzba ima oblik: 1 14
5
5
o A
o A
y yb bka a x x
b a
x y x ya b
= = = =
= = = = = =
= =
5
( ) ( ) ( )
2 2
2 22 2
22. Odredi jednadzbu kruznice, koja prolazi ishodistem te
velikim i malim tjemenom elipse 4 9 144.
4 9 144 1 Nase tocke su: A 6,0 , 0,4 , 0,036 16
x yx yx y B C
+ =
+ = + =
2 2
2 2 2 2
2 2
6 0 6 0 0 36 6 00 0 4 0 4 0 16 4 0
0 0 0 0 0 0
a b c a cx y ax by c a b c b c
a b c c
+ + + + = + + = + + + + = + + + + = + + = + + + + = =
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2 2 2
2 2 21
2 3 4
Rjesenje sistema je: 6, 4, 06 4 0 2 3 9 9 2 2 4 4 0
3 2 13 3,2 , 13
Zadatak ima u stvari 4 rjesenja. Sredista ostalih kruznica
nalaze se u tockama:3,2 , 3, 2 , 3,
a b cx y x y x x y y
x y S r
S S S
= = =
+ = + + + =
+ = =
( )2
-
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
Analiticka Geometrija Razni zadaci 36
23. Odredi jednadzbu pravca, koji prolazi ishodistem i sa
pravcem 3 4 18 0 i osi , cinitrokut povrsine 9.
3 18 3 183 4 18 0 . Presjeciste je za 0 0 64 4 4 4
Trazeni trokut ima bazu sa krajnj
x y x
x y y x y x x
+ =
+ = = + = + = =
( ) ( )im tockama 6,0 i 0,0 . Duzina baze je 6.6 18Povrsina
trokuta je P 9 3 3
2 2 6Visina trokuta je 3 i to je koordinata nase trece tocke C,
kroz koju mora proci trazeni pravac. Vrijednost moC
A B bb v v v v
y
=
= = = = = =
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
+3 3
3 3
ze biti 3 pa imamo dva rjesenja:1. 3 4 18 0 3 4 3 18 0 2
C 2,3
3 0 30 02 0 2
2. 3 4 18 0 3 4 3 18 0 10
10,3
3 0010 0
C C C C
C BB B
C B
C C C C
C BB B
C B
x y x xy y
p y y x xx x
y x y x
x y x x
y yC p y y x x
x x
y x
+
+ = + + = =
=
= =
+ = + = =
=
=
( ) 3010
y x =
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
2 2 22
22 2 2
2 2
24. Kruznice 4 20 i 2 2 20 imaju zajednicku tetivu, koja je
ujedno i promjer trece kruznice. Odredi njenu jednadzbu.Nadjimo
presjecne tocke kruznica:
4 20 8
2 2 20
x y x y
x y x y
x y
+ = + + =
+ = + + + =
( ) ( )
( ) ( )
2 2
22 2 2
1 1
2 2
4 02
4 4 12 0
Jednadzbe smo oduzeli i rjesenje za uvrstili u jednu od
jednadzbi:
8 4 0 2 8 4 0 6 00 2 0 2 26 2 6 2 4 2,0 4, 2
yx y
x y x y
x
x y y y y y y yy x yy x y A B
= =
+ + =
+ = + = =
= = = =
= = = =
-
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
Analiticka Geometrija Razni zadaci 37
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2 2
2 2 2
Tetiva, duzina ima poloviste u:2 4 0 2 1; 1
2 2 2 2
Duzina tetive, promjer kruznice iznosi:
404 2 2 0 40 10 102 4
Trazena kruznica ima jednadzbu:
A B A B
B A B A
ABx x y y
S
d x x y y
dd r
x p y q r
x
+ + + + = = = =
= +
= + + = = = = =
+ =
( ) ( )
r
2 21 1 10y+ =
2 2
2 22 2
2
25. Izracunaj povrsinu pravokutnog trokuta koji ima dva vrha u
fokusima hiperbole 4 4 a treci vrh lezi na asimptoti.
1 4 4 1 2, 1; Asimptote su: 4 1 2
Koordinate fokusa su:
x yx y bx y a b y x x
ae
=
= = = = = =
( )
2 2 4 1 5 5 1 1 1Treci vrh trokuta ima koordinate 5, : 5 5, 52 2
2
2 5 5Povrsina trokuta iznosi: P 52 2 2 2
C c c
c
b a e
C y y x C
e yb v
= + = + = =
= =
= = = =
-
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
Analiticka Geometrija Razni zadaci 38
( )
2 2
2 2
22 2 2 2 2 2 2 2
1,2 1,2
26. Izracunaj povrsinu pravokutnika koji ima vrhove u sjecistima
zadanih krivulja: 9i 3 12 36
9 9 3 9 12 36 27 3 12 36 0
1 8 2 2
Stranica pravokutnika ima duzinu
x yx y
x y x y y y y y
y x
+ =
+ =
+ = = + = + =
= = =
( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
2 222 1 2 1
2 222
2 2 22
:
2 2 2 2 1 1 4 2 4 2
2 2 2 2 1 1 2 2
Povrsina pravokutnika: P 4 2 2 8 2
d x x y y
a a
b b
a b
= +
= + = =
= + = =
= = =
1 2 3
1 2
27. Stranice trokuta leze na zadanim pravcima. Odredi jednadzbu
najveceg kuta trokuta.5 12 27 0; 4 3 5 0; 3 4 2 0
Najveci kut je izmedju pravaca i : Jednadzba simetrale koja
zadovoljavap x y p x y p x y
p p + + = = =
( ) ( )
1 1 2 2
2 2 2 2 2 2 2 31 1 2 2
uvjet:27 5 5 12 27 4 3 5
5 12 4 3
5 12 27 4 3 5 135 12 27 4 3 513 5 5
Imamo dva rjesenja:1. 25 60 135 52 39 65 27 99 200 0
2. 25 60 135 52 39 65 11 3
a x b y a x b y x y x y
a b a b
x y x yx y x y
x y x y x y
x y x y x
+ + + + = =
+ + + +
+ + = + + =
+ + = =
= + 10 0
Trazeno rjesenje je: 11 3 10 0
y
x y
+ =
+ + =
-
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
Analiticka Geometrija Razni zadaci 39
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2 2
28. Kroz tocke presjeka kruznice 2 2 26 i pravca 2 0 prolaze
tangente
povucene iz tocke , . Odredi koordinate tocke T.Odredimo
presjecne tocke: 2 0 2
2 2 26 2 2 2 26
T T
x y x y
T x yx y y x
x y x x x
+ + = =
= =
+ + = + + =
( ) ( )
( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )
1 1
2 2
21 1
2 3 03 3 2 1
1 1 2 3 3,1 ; 1, 3Tangente iz tocaka na kruznici imaju
jednadzbe:
3 2 2 1 2 2 26 5 14
1 2 2 3 2 2 26 5 14
Presjeciste je u tocki T: 5 14
xx yx y A B
x p x p y q y q r
A x y x y
B x y x y
x y
=
= = =
= = =
+ =
+ + + = =
+ + + = =
= 7 7 7 724 56 ; ,3 3 3 3
x x y T = = =
2 2 229. Na parabolu, 16 povucene su tangente iz stedista
kruznice 4 4 8 0. Izracunaj povrsinu trokuta kojeg cine tangente i
pravac koji spaja diralista tangenata.
Uvjet da pravac dira parabolu:
y x x y x y= + + + =
( ) ( ) ( )
2
2 2
2 22 2
2
1 2 1 2 1
2 16 2 8
Pravac prolazi kroz srediste S: 4 4 8 0
4 4 4 4 4 4 8 0 2 2 16 2, 2
1; Rjesenja su: 2 8 02
4; 2 4; 2 Tangente su: 2
2
p kl y x kl
x y x y
x x y y x y S
ly kx l k l l
l l
k
k k t y x
= = =
+ + + =
+ + + + + = + + +
=
= + = + + =
= = = = =
( ) ( )
( )
2
1 1
2 2
2; 4
4Diralista tangenata na paraboli: , 2 4,2 4 8 4, 81
2 1,2 2 4 1,4 ;2
t y x
lD l D Dk
D D
+ =
= = = =
4
2
l
k l
=
= +
-
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
Analiticka Geometrija Razni zadaci 40
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 1
2 1
2 22 1 2 1
2 2
Odredimo pravac i duzinu sekante parabole, koja je ujedno i
osnovica
trazenog trokuta: 8 4 8 4 4 4 8 :
Duzina sekante iznosi: :
1 4 4 8 153; Visina troku
D D
D D
D D D D
y yy x y x y
x x
d x x y y
d
+ = + = = +
= +
= + + =
x
( )
( ) ( )2 2
2 2
ta, prolazi kroz S i ima duzinu :
1 1 1 1 3; 2 24 4 4 4 2
1 3 38 16Presjecna tocka sekante i visine: 4 8 ;4 2 17 17
38 16 55062 217 17 17
Povrsine trokuta
N
N N
N N
N S N S N
d
k y x y x
x x x y
d v x x y y
= = + = + =
= + = =
= = + = + + =
153 5506 842418: 26.995 272 2 2 17 34b v d vP = = = = =
2 2
2 22 2
32. Odredi jednadzbe tangenata na elipsu 16 64 tako, da
udaljenost diralista od
ishodista bude 10.
16 64 1 Tocke koje su jednako udaljene od ishodista moraju 64
4
biti na kruznici, koja
x y
x yx y
+ =
+ = + =
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2
mora imati radijus 10 10 10Odredimo presjecne tocke:
1816 64 10 16 64 15 545
18 32 4 10 3 1010 10 ;5 5 5 5
32 32 16 2 5 4 2 5 4 105 5 55 5 5
r x y x y
x y y y y y
x y x y
x x
= + = =
+ = + = = =
= = = = =
= = = = =
-
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
Analiticka Geometrija Razni zadaci 41
4 10 3 10 4 10 3 10Trazene tocke su: , , , ,5 5 5 5
4 10 3 10 4 10 3 10, , ,5 5 5 5
A B
C D
2 2 2 2 231. Pravac 2 4 je zajednicka tangenta parabole 2 i
elipse sa
ekscentricitetom 6. Diralista zajednickih tangenti tvore
cetverokut. Odredi njegov opseg i povrsinu.
Uvjet da pravac
x y y px b x a y a b
e
+ = + =
=
2 2
( )
2
22 2 2 2 2 2 2
22 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
dira parabolu: 2 2 4 22
12 2 2 Jednadzba parabole: 2 2 2 42
1Uvjet da pravac dira elipsu: 22
4 4 6 6 rijesimo sistem:
10 2 5
xp kl x y y
p y px x x
a k b l a b
a b e a b a b
b a e b
= + = +
= = = = =
+ = + =
+ = = = =
= = = + =
2 2 2 2
2 2
6 2 8
Trazena elipsa ima jednadzbu: 1 18 2
x y x ya b
+ =
+ = + =
( )
( )2 2
Diralista tangente i parabole: 4, 2 4 4,4
1 8 2Diralista tangente i elipse: 2, 1 2,12 2 2
Krivulje imaju dvije tangente i tocke dodira su simetricne
obzirom na os.Traz
p
e
lD l Dk
ka bD Dl l
x
= =
= = = =
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 2 3 4ene tocke cetverokuta su: 4,4 ; 4, 4 ; 2,1 ; 2, 14 1
1Druga tangenta ima jednadzbu: 1 2 2
4 2 2Odredimo duzinu stranica trapeza, lika ciji opseg i
povrsinu trazimo:
D D D D
y x y x
++ = + =
+
-
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
Analiticka Geometrija Razni zadaci 42
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 21 2 1 2
2 2 23 4 3 4
2 2 2 23 1 3 1
23 1
baza: 4 4 4 4 8
kraca stranica: 2 2 1 1 2
bocna: 2 4 1 4 45
Opseg trapeza: 2 8 2 2 45 10 2 9 5 10 6 5
Visina trapeza: 2
D D D D
D D D D
D D D D
D D
b x x y y
p x x y y
k x x y y
O b p k
v x x
= + = + + =
= + = + + +
= + = + =
= + + = + + = + = +
= = ( )
2 =
24 6
8 2Povrsina trapeza: 6 302 2
b pP v
=
+ + = = =
2
2
32. U fokusu parabole 16 , je srediste kruznice koja dira
ravnalicu. Izracunaj pod kojim se kutem sijeku krivulje.
2 16 2 16 88Ravnalica je na 4. Fokus ima koordinatu: 4
2 2 2Trazena kru
y x
y px x p pp p
=
= = = =
= = =
( )( )
( )
2 2 2
22 2 2 2 2
21,2 1 2 1,2
znica ima jednadzbu: 4 8 ; Kruznica i parabola se sijeku u:
16 4 8 8 16 16 64 0 8 48 0
8 16 12; 4 16 4 64 82
Tangenta u tocki 4,8 ima jednadzbu:
Za kruznicu:
x y
y x x y x x x x x
x x x y y
A
x
+ =
= + = + + = + =
= = = = = =
( )( ) ( )( ) 64A Ap x p y q y q + =
( )( ) ( )( )( ) ( )
4 4 4 8 0 0 64 8 64 8
Za parabolu: 8 8 4 8 8 32 4
Tangenta na parabolu ima tan 1 45Tangenta na kruznicu je
horizontalna, pa se nase krivulje sijeku pod kutem od 45 .
A A
x y y y x
y y p x x y x y x y x
k
+ = = =
= + = + = + = +
= = =
-
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
Analiticka Geometrija Razni zadaci 43
2 2 2 2 2 2 2 233. Hiperbola i elipsa 3 4 84, imaju fokuse u
istoj tocki a pravac
3 je asimptota hiperbole. Povuci tangente u presjecnim tockama
krivulja tako, 2
da u tockama I i IV kvadranta
b x a y a b x y
y x
= + =
=
2 22 2 2 2 2 2 2
budu tangente hiperbole a II i III kvadranta tangente elipse.
Izracunaj povrsinu tako nastalog cetverokuta.
3 4 84 1 28; 21; 728 21
3Asimptota hiperbole ima jednadzbu:2
Hip
x yx y a b e a b
by x xa
+ = + = = = = =
= =
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
2 2 21,2
erbola ima osi: 3 3 2 4 i jednadzbu:3 4 12
Presjecista dobijemo kada rijesimo sistem:3 4 123 4 84
6 96 16 4 4 36 3
Povucimo tangente iz sada poznatih
b b a ab x a y a b x y
x yx y
x x x y y
= = = =
= =
=
+ =
= = = = =
( )( )
( )( )
2 21 1 1
4
2 22 1 1
2 23 1 1
tocaka:t na hiperbolu u 4,3 : 3 4 4 3 12 1
t na hiperbolu u 4, 3 : 3 4 4 3 12 1
t na elipsu u 4,3 : 3 4 4 3 84 7
t na elipsu u C 4, 3 : 3 4 4 3 8
A b x x a y y x y y x
D x y y x
B b x x a y y x y y x
b x x a y y x y
= = =
+ = = +
+ = + = = +
+ = =
( )( )
1 4 1
1 3 2
4 7
Odredimo vrhove cetverokuta rjesenjem gornjeg sistema
jednadzbi:t : 1 1 2 2 1, 0 1,0
t : 1 7 2 6 3, 4 3, 4
y x
t x x x x y V
t x x x x y V
=
= + = = =
= = = =
( )( )
2 3 3
2 4 4
t : 7 7 2 14 7, 0 7,0
t : 7 1 2 6 3, 4 3,4
t x x x x y V
t x x x x y V
+ = = = =
+ = + = = =
-
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
Analiticka Geometrija Razni zadaci 44
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 1 2 1
Povrsinu cetverokuta, u ovom slucaju kvadrata, dobijemo iz:
7 1 0 0 64 322 2 2 2
x x y ydP + +
= = = = =
1. ANALITICKA GEOMETRIJA1.1 Pravac1.2 Kruznica1.3 Parabola1.4
Elipsa1.5 Hiperbola1.6 Razni zadaci
