Embed Size (px)
Citation preview
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike 2. DERIVACIJA FUNKCIJE 2.1 Pojam derivacije
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
0 0' '0 0 0
0
Derivacija funkcije , u tocki , koja je definirana u intervalu a,b jednaka je granicnoj vrijednosti ili limesu izraza:
lim ili lim
Funkcija je u tocki derivh x
y f x x
f x h f x f x x f xf x f x
h xx x
→ →
=
+ − + −= =
=
( ) ( ) ( )0 0'0 0
abilna, ako ima derivaciju. Tada je u toj tocki i neprekinuta. Obrat moze ali ne mora vrijediti.
Desna derivacija funkcije definirana je kao omjer: lim ,ako
takav limes postoji. Vrijh
f x h f xf x
h+ → +
+ −=
( ) ( ) ( )0 0'0 0
ednosti za , ( ), poprimaju samo pozitivne vrijednosti kako se priblizava nuli.
Lijeva derivacija funkcije definirana je kao omjer: lim ,ako takav
limes postoji. Vrijednosti za ,h
h x
f x h f xf x
hh
− → −
+ −=
( ) ( ) ( )' ' '0 0 0 0
( ), poprimaju samo negativne vrijednosti kako se priblizavanuli.Funkcija ima derivaciju u nekoj tocki samo ako je Funkcija je u nekom intervalu derivabilna ako ima derivaciju
x
x x f x f x f x+ −= = =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
0
0
0 0' '0 0 0 00
u svim tockama intervala.Graficki gledano, derivacija funkcije u tocki jednaka je koeficijentu smjera tangente na tu funkciju, u tocki .
lim tan
Derivacija vis
h
x xx
f x h f xf x y f x f x x x
hα
→
=
+ −= = ⇒ − = −
( ) ( ) ( )"eg reda: , se dobije deriviranjem postojece derivacije.Druga derivacija, derivacijom prve, treca derivacija derivacijom druge itd.Tumacenje derivacija viseg reda biti ce obradjeno u narednim pog
nf x f x
lavljima.
Derivacije 1
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
'
0 0 0
'
0 0
1. Koristeci jednadzbu definicije, izracunaj derivaciju funkcije 2 1 u tocki 5.
2 5 1 2 5 15 5 10 2 1 10 15 lim lim lim
9 2 3 9 2 3 9 2 95 lim lim lim9 2 3 9 2 3
h h h
h h h
f x x x
hf h f hfh h hh h hfh h h h
→ → →
→ → →
= − =
+ − − ⋅ −+ − + − − −= = =
+ − + + + −= ⋅ = =
+ + + +
=
( )
0
'
2 2 16 39 2 3
153
h
f
= =+ +
=
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2 2
'
0 0
2'
0 0
2. Koristeci jednadzbu definicije, izracunaj derivaciju funkcije 3 5.
3 5 3 5lim lim
2 3lim lim 2 3 2 3
3. Koristeci jednadzbu definicije, izr
h h
h h
f x x x
x h x h x xf x h f xf x
h hxh h h f x x h x
h
→ →
→ →
= + +
+ + + + − + ++ − = = =
+ += = + + = +
( )
( ) ( ) ( )( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
'
0 0
0
'
0 0
2 3acunaj derivaciju funkcije .3 4
2 3 2 33 4 3 4
lim lim
3 4 2 3 2 3 3 4
3 4 3 4lim
3 4 2 3 2 3 3 4 6 8 6lim lim3 4 3 4
h h
h
h h
xf xx
x h xx h xf x h f x
f xh h
x x h x x h
x h xh
x x h x x h xh h xhf xh x h x
→ →
→
→ →
−=
+ + − −
− + + ++ − = = =
+ + − − − + +
+ + + =
+ + − − − + + + − += =
+ + + ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( )
'20 0
'2
93 4 3
17 17 17lim lim3 3 4 3 43 4 3 4 3 4
173 4
h h
hh x h x
f xx h xx h x x
f xx
→ →
=+ + +
= = =+ + ++ + + +
=+
4
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( )
1'3
1133
'
0 0
3 3 2 2
'
0
4. Koristeci jednadzbu definicije, izracunaj derivaciju funkcije . Ispitaj 0 .
lim lim
izraz u brojniku nadopunimo na potpunu razliku kuba:
lim
h h
h
f x x f
f x h f x x h xf x
h ha b a b a ab b
f x
→ →
→
=
+ − + −= =
− = − + +
=( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )( )
( ) ( )
1 1 21 2 13 3 33 3 3
1 22 13 33 3
3333
'1 2 1 20 02 1 2 13 3 3 33 3 3 3
4
lim limh h
x h x x h x x h x
h x h x x h x
x h x x h xf xh x h x x h x h x h x x h x
→ →
+ − + − + + +
=
+ − + +
+ − + −= = =
+ − + + + − + +
Derivacije 2
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
( ) ( )
( )
( )
1 2 2 1 1 2 22 103 3 3 3 3 3 33 3
2' 3
'23
1 1 1lim3
1 U tocki 0, funkcija je neprekinuta ali derivacija ne postoji jer je 3
1nazivnik nula 0 .3 0
hx h x x h x x x x x x
f x x x
f
→
−
= = =+ − + + + ⋅ +
= =
=
⋅
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
02 2 2 2 2
0 0 0 0' 0 0 00 0 0 0
5. Zadana je funkcija u intervalu 0 1. Dokazi da je diferencijabilna u tomintervalu.Neka je vrijednost unutar intervala 0 1
2 lim lim lim
li
h h h
f x x x
x x
f x h f x x h x x x h h xf x
h h h→ → →
= ≤ ≤
≤ ≤
+ − + − + + −= = = =
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2'0
0 0 00 0
2 2 2'
0 0 0
2 2 2'
0 0 0
2m lim 2 2
0 0 0 Za tocku 0 : 0 lim lim lim 0
1 1 1 2 1 Za tocku 1: 1 lim lim lim 2 2
Zadana funkcija je diferencijabilna u i
h h
h h h
h h h
x h hf x x h x
hf h f hx f h
h hf h f h hx f h
h h
→ →
+ → + → + → +
− → − → − → −
+⇒ = + =
+ − −= = = = =
+ − + + −= = = = + =
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
' '
'
0 0
'
0
ntervalu sa vrijednostima derivacije 0 0 i 1 2.
6. Zadana je funkcija . Izracunaj derivaciju za sve vrijednosti .
Za 0, : lim lim 1
Za 0, : lim lim
h h
h h
f f
f x x x
x h x hx f x x f xh h
x h xx f x x f x
h
→ →
→
= =
=
− + − − −< = − = = = −
+ −> = = =
( ) ( ) ( ) ( )0
'
0 0
1
0 0Za 0, 0 : 0 lim lim
Ako se 0 s lijeva imamo: 1
Ako se 0 s desna imamo: 1
Funkcija nema derivaciju za 0
h h
hh
hhx f x f
h hh hhh hh hhh h
x
→
→ →
−
+
=
+ −= = = =
−→ = = −
→ = =
=
Derivacije 3
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike 7. Snaga otpornika strujnog kruga, mjenja se sa velicinom struje koja protice kroz njega.
Pri struji od 0.5 A, snaga otpornika je 1.2 W. Izracunaj brzinu promjenesnage otpornika u zavisnosti od stru
i P= =
( )
( ) ( )
22 22
2 2 2 2
0 0
je kada je 2.5 A.1.21.2 0.5 4.8 4.80.25
Poznavajuci funkcionalnu ovisnost i , mozemo izracunati promjenu snage:
4.8 24.8 4.8lim lim lii i
iWP ki k k P iA
k i
i i i i ii i idP Pdi i i i→ →
=
= ⇒ = ⇒ = = =
+ + −+ −= = = = ( )
( )
0
2
m 4.8 2
4.8 2 9.6 odnosno za 2.5 : 9.6 9.6 2.5 24
50008. Energija suncevog zracenja na zemlji dana je jednadzbom , gdje je 10
vrijeme u podne 6 u jutro i 6 poslijepodne
ii i
dP dP Wi i i idi di A
R tt
→+
= ⋅ = = = = ⋅ =
=+
− ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
22
2 22 2
0 0
22
0
6 t 6, . Izracunaj trenutnu promjenu energije zrecenja u 15 sati (3 poslije podne).
5000 10 5000 105000 5000
10 101010lim lim
5000 10 5000 10lim
h h
h
t t h
t h ttt hdRdt h h
t t hdRdt
→ →
→
− ≤ ≤
+ − + + − + + +++ + = =
+ − + +=( ) ( )
( )( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
2 2 22 0
22
2 22 2
5000 2lim
10 2 10 1010 10
2500010
2 2 3Za 3 imamo: 5000 5000 83.10210 3 10
h
tt th h th t h t
dR tdt t
dR t Wtdt m ht
→
− = − + + + ++ + +
= −+
⋅ = = − = − = − + +
2
2
( ) ( )
2
2 2 22
0 0
9. Tijelo koje se krece predje razdaljinu danu jednadzbom 16 . Izracunaj brzinu tijela nakon 3s. Brzina je definirana kao derivacija puta po vremenu.
16 2 116 16lim limh h
s tt
t th ht h tdsvdt h→ →
==
+ + −+ −= = =
v
( )
( )
2 2
0
0
6 16 2lim
lim16 2 32 Za 3, brzina tijela je: 32 32 3 96
h
h
t th h
h hmt h t t v ts
→
→
+= =
= + = = = = ⋅ =
10. Izracunaj promjenu volumena po radijusu r, balona u obliku kugle radijusa 2m.
Derivacije 4
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
( ) ( )
( )
3
3 3 3 2 2 3 3
0 0
2 2
2
0
32 2
4Volumen je dan izrazom 3
4 4 4 3 33 3 3lim lim
4 3 33lim 4
Za 2, promjena volumena iznosi: 4 4 2 16 50.3 .
Promjena volumena
h h
h
V r
r h r r r h rh h rdVdr h h
r rh hr
hdV mr rdr m
π
π π π
ππ
π π π
→ →
→
=
+ − + + + − = = =
+ += =
= = = ⋅ =
=
( )
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
3
2
2
'
0 0
po radijusu iznosi 50.3 .
1sin , 011. Zadan je funkcija
0, 0
) Da li je funkcija derivabilna za 0?
) Da li je funkcija neprekidna za 0?1sin
0 0) 0 lim lim
h h
mm
x xf x x
x
a f x x
b f x x
x hf h f x
a fh→ →
≠= =
=
=
++ − +
= =( )
( )( )
2
0
0
22
' 2
10 sin 0lim
1lim sin 0 Funkcija ima derivaciju u 0 jednaku 0.
) Koristeci pravila za deriviranje slozene funkcije mozemo napisati:1 1sin sin
1 1sin cos
h
h
hh hh h
h xh
b
d x d d xx xf x xdx dx dx x
→
→
− −= =
= = ⇒ =
= = + =
( )
( )
( )
22
'
'
0 0 0 0
0
1 12 sin
1 1cos 2 sin
Ispitajmo neprekinutost :
1 1 1 1lim lim cos 2 sin lim cos lim 2 sin ;
1lim cos ne postoji
Funkcija nije neprekidna z
x x x x
x
x xx xx
xx x
f x
f x x xx x x x
xf x
→ → → →
→
− +
= − +
= − + = − +
− ⇒
a 0 iako ima derivaciju u toj tocki.x =
=
Derivacije 5
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
( )
( )
( )1'2
, 0 1512. Zadan je funkcija , gdje je vrijeme, i su konstante., 15
Izracunaj vrijednosti za i uz predpostavku da je diferencijabilna za 15.
Derivacija funkcije:
mt tf t t m nt n t
m n f t t
mt m t
≤ ≤= + >
=
= ⋅
( )
( )
' 1'2
'
, 0 151 22 21, 15
1
Za 15, funkcija ima obje derivacije jednake: 1 1 2 152 2 15
4 15 60
Za 15, funkcija je neprekinuta: 15 60 15 15 30 15 15Trazene vrijedn
m tmm t f t tt
t
t n
m mt mt
m
t mt n n n
−
≤ ≤= = ⇒ = >
+ =
= = ⇒
= ⋅ =
= = + ⇒ ⋅ = + ⇒ = − =osti su: 60, 15m n= =
= ⇒ =
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 2
3 2 3 2
0 0
3 2 2 3 2 2 3 2
0
2 2 32
0 0
13. Izracinaj derivaciju funkcije 4 u tocki 4.
4 4lim lim
3 3 2 4 4lim
3 2 3 1lim lim 3 2 3
h h
h
h h
f x x x x
x h x h x xf x h f xdydx h hdy x x h xh h x xh h x xdx h
h x x h x hdy x x hdx h
→ →
→
→ →
= − − =
+ − + − − − −+ − = = =
+ + + − + + − − + += =
− + − += = − + ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2'
2
1 3 2
4 3 4 2 4 48 8 40
14. Rezervor ulja za kocnice u automobilu ima oblik obrnutog stosca sa bazom polumjera jednak visini. Izracunaj promjenu volumena u ovisnosti od visini ulja.
x h x x
f
rV r lπ
− + = −
= − = − =
= ⇔ ( ) ( )( ) ( )
2
2 2 22
0 0
32
lim lim ;
Promjena volumena rezervoara po visini ulja iznosi
l l
V V r l l
r l l r l r l l ldV rdl l l
cmrcm
π
π π ππ
π
→ →
+ = +
+ − + −= = =
Derivacije 6
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike 2.2 Pravila za deriviranje
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )
( ){ } ( ) ( )
'
'
0 0
' '
'
Izraz naziva se diferencijal funkcije ili glavni dio od i obicno pisemo:
lim lim
Pravila za deriviranje:
konstanta
x x
dy f x dx y
f x x f xdy yf xdx x x
d d df x g x f x g x f x g xdx dx dx
d dCf x C f x Cf x Cdx dx
→ →
=
+ −= = =
± = ± = ±
= = =
( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( ) ( ){ } ( )
( ) ( ) ( )
' '
' '
2 2
' ' '
0
Za slozenu funkciju
ili
, ,
Para
d d df x g x f x g x g x f x f x g x g x f xdx dx dx
d dg x f x f x g xf x g x f x f x g xd dx dx g xdx g x g x g x
y f u u g xdy dy du duf u f g x g xdx du dx dx
dy dy du dvy f u u g v v h xdx du dv dx
⋅ = + = +
− − = =
= =
= ⋅ = =
= = = ⇒ = ⋅ ⋅
( ) ( )
≠
( )( )
'
'metarski zadana funkcija: ,
dyf tdy dtx f t y g t
dxdx g tdt
= = ⇒ = =
( )
1 2
Pravila za deriviranje poznatijih funkcija:
0 sinh cosh cosh sinh
sin cos tanh secn n
d d du d duC u u udx dx dx dx dx
d du d du d duu nu u u u h udx dx dx dx dx dx
−
= = =
= = =
u
Derivacije 7
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
2 2
2
1
2
1
2
12
cos sin coth csc tan sec
sech sec tanh cot csc
1sinh sec sec tan1
1cosh csc csc cot1
1tanh , 11
d du d du d duu u u h u u udx dx dx dx dx dx
d du d duu hu u u udx dx dx dx
d du d duu u u udx dx dx dxu
d du d duu u u udx dx dx dxu
d duu udx dxu
−
−
−
= − = − =
= − =
= =+
= = −−
= <−
1
2
1 12 2
1 122
1 122
1
2
1sin1
1 1coth , 1 cos1 1
1 1sech tan11
1 1csch cot11
1 1sech log ln1
llog
e
a
d duudx dxu
d du d duu u udx dx dx dxu u
d du d duu udx dx dx dxuu u
d du d duu udx dx dx dxuu u
d du d d duu u udx dx dx dx u dxu u
d udx
−
− −
− −
− −
−
=−
= > = −− −
= − =+−
= − = −++
= − = =−
=
1
2
1
2
og0, 1 ln
za 11secza 11
za 11cscza 11
u u u ua e du d du d dua a a a a e eu dx dx dx dx dx
ud duuudx dxu u
ud duuudx dxu u
−
−
> ≠ = =
+ > = ± − < − −
− > = ± + < − −
Derivacije 8
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
( ) ( )( )1
Deriviranje inverzne funkcije:Ako je funkcija neprekinuta u a,b tada su funkcijske vrijedosti (range) konacne i
funkcija je rastuca ili padajuca. Inverzna funkcija promatrane funkcije je takod
f x
f x−
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
' 10 0
' '1 10 0 0 0 0 0' '
0 0
1
jer neprekinuta.Ako je derivabilna i 0, tada je derivabilna za
1 1 i i
1
Deriviranje implicitno zadane funkcije:Funkcija , 0 ozn
f x f x f
y f x f y y f x f yf x f x
dx x f ydydydx
F x y
−
− −
−
≠
= = ⇒ = =
= ⇒ =
=
( )( )
acava implicitnu funkciju od . Domena te funkcije sadrzi vrijednosti
za , za koje postoji jedinstveni , tako da je , 0
Implicitno zadana funkcija se derivira kao slozena funkcija
x
x y F x y
y y x
=
=
2.3 Rijeseni zadaci 2.3.1 Deriviranje algebarkih izraza
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )
2 32 3
2 3 3 2' 2 3 3 2
2 3 1 3 2 1' 2 3 3 3 2 2
2 2 3' 2 3 2 3 2
2 2' 2 3 3 3
'
15. Deriviraj (diferenciraj) izraz: 4 2 1
4 2 1 2 1 4
4 3 2 1 2 2 1 2 4
3 4 2 1 6 2 2 1 4 2
2 4 2 1 9 2 1 2 2 1
2
y x x
d dy x x x xdx dx
d dy x x x x x xdx dx
y x x x x x x
y x x x x x x x
y
− −
= + −
= + − + − +
= + ⋅ ⋅ − + − ⋅ ⋅ +
= + − + − +
= + − − + −
= ( )( ) ( )22 3 34 2 1 12 36 2
Radi lakseg razumijevanja kasnijeg tumacenja toka funkcije, ovdje je dan graf zadane funkcije i njene derivacije.
x x x x x+ − + −
Derivacije 9
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )( )( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2
22
2 2 22
'2 2
2 2
1 1 '1 12 2 2 02 2 2 2 32 2'
2 1 32 2 2 22
3 3 3'
3 32 22 2
16. Deriviraj (diferenciraj) izraz: 4
44
4 4
14 2 4 2 4 2 4 42
4 4 4
8 2 8
4 4
xyx
d xdxx x xx dx dxyx x
x x x x x x x x x xy
x x x
x x x x xy
x x
−
=−
−− −
= =− −
− ⋅ − − − − − + −= =
− − −
− + −= =
− −
2
=
( ) ( ) ( ) ( )
( )
23 2
2
2 22 2
'22
117. Deriviraj ako je 21
1 11 1
1
uy u xu
d u d uu udy dy du dy dx dxy
dx du dx du u
−= = +
+− +
+ − −= = ⇒ =
+
Derivacije 10
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
( )( )
( ) ( )
3 22 2 3 3
2 2 22 2 2
22 3
2 22 3
2 2 22 2
21 2 2 1 2 2 2 2 4
1 1 1
1 2 22 23 33 2
4 2 831 3 1
d xu u u udy u u u u udu dxu u u
dy x xx xdu ux
dy du u x xdu dx uu u u
−
++ ⋅ − ⋅ − + − += = = =
+ + +
= + ⋅ = =+
= ⋅ =+ +
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
21 1 1' 22 2 2
12
2 2 2 2'
1 1 1 12 2 2 2
18. Deriviraj 2 214 2 1 2 2 4 22 2
4 2 8 58 4 8 5
2 2 2 2
y x xdy xy x x x x x xdx x
x x x x xx x x x xyx x x x
−
= −
= = − + − − = − −−
− − −− − −= = = =
− − − −
( ) ( ) ( ) ( )
3 2
13 2 12 3 1 3 1 22
' 2 3 3 2 2
119. Deriviraj 35
13 3 5 1 15 3 6 53 2
y xx
d x d x d xxy xdx dx dx
− − −
= −
−
= = − = − −
5x x
Derivacije 11
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
( ) ( )( )
2 2' 2 3 3
33 4 3
'3
5 2 5 22 3 52 9 2 5 59 2 5
2 19 2 5
dy x xy x x xdx x x x xx x
dyydx x x x
− −= = + = + = +
= = +
5
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
12
' '
2 2
' '
2 2 2 2
120. Deriviraj ako je 1
12
1 11 1 1 1
1 1
121 1 2 22
1 1 1 2 1 1
uy u xu
d xdy dy du dudx du dx dx dx x
d u d uu u u u u udy x x
du u u
u u udy u dy xdu dxu u u x u x x
−= =
+
= ⋅ ⇒ = =
− ++ − − + − −
= =+ +
+ − + = = ⇒ = = =
+ + + + +2
1
( ) ( )( )
( )( ) ( )
2 2
12 2
2
1 22 2
21. Deriviraj po t: 4 2 1 za 2
2 4 2 2 2 2 1
2 2 2 4 2Za 2 2 2 1 5
2 12 1
y x x x t t
dy dxx x t tdx dt
x t t xdy dy dx t xdt dx dt tt
−
−
= − = + =
= − = − = +
− −= = = ⇔ = ⇒ = + =
++
Derivacije 12
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
( )( )
( ) ( )2
4 2 5 2 4 2 5 4 25 2 5 2 555 52 2 1
dydt
−= = − =
+−
( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )
( )( )
2
2 2
2
22. Deriviraj kompoziciju funkcija zadanih u obliku: ; 1 i pokazi razliku u rezultatu u ovisnosti o redosljedu deriviranja.
1 2 1
2
Derivacija se razlikuje od
f x x g x x
f g x f g x f x x x
g f x g f x g x x
f g x
= = +
= = + = + +
= = =
( )( ) derivacije g f x
( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( )
2
2 2 2
2'
23. Deriviraj kompoziciju funkcija zadanih u obliku: 3; 2 1 Prvi nacin: Izrazi funkcije implicitno i deriviraj:
2 1 2 1 3 4 4 1 3 4 4 4
4 4 48 4
Drugi nacin: Nazovim
f x x g x x
y f g x f x x x x x x
d x xy x
dx
= + = +
•
= = + = + + = + + + = + +
+ += = +
• ( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2'
'
' '
o vanjskom funkcijom a unutrnjom funkcijom:
3Derivirajmo vanjsku funkciju: 2
2 1Derivirajmo unutarnju funkciju: g x 2
Derivacija kompozicije je:
2 2 4 4 2 1 8x
f g x g x
d xf x x
dxd xdx
D f g x f g x g x g x g x x x
+= =
+= =
= ⋅ = ⋅ = = + = + 4
( ) ( )1
2 124. Odredi inverznu funkciju i derivaciju, funkcije .2
2 1 inverzna funkcija je: 2
xyx
xy f x x f yx
−
−=
+−
= = ⇒ =+
Derivacije 13
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( )( )
( )( )( )
1
'12
'12
2
2 1 2 2 1 2 2 12
2 2 2 1 12 1 2 12 2 2
52
25. Deriviraj cosh ako je 3 1Koristeci formulu za derivaciju funkcije cosh i slozene fun
yx f y x y y y x xy
x xx dx d xy f yx dy dy x x
dxf ydy x
y u u x x
−
−
−
−= = ⇒ + = − ⇒ − = +
+
− − + −+ + = ⇒ = = = − − −
=−
= = − +
( ) ( )( ) ( ) ( )
22
kcije, imamo:
3 1coshsinh 2 3 2 3 sinh 3 1
d x xd udy dy du u x x x xdx du dx du dx
− += ⋅ = ⋅ = − = − − +
2.3.2 Tangenta i normala na krivulju
( )
( )
2
'2
21 2
26. Odredi koeficijent smjera tangente na krivulju 4 u tocki gdje krivulja sjece os.1 14 2 4
2 4
Presjecista su za 0 : 4 0 4 0 0; 4
Trazene tocke su (0,0) i (0
x y y ydx dyy y y
dxdy dx ydy
x y y y y y y
A B
= − −
= − = − ⇒ = =−
= − = ⇒ − = ⇒ = =
( )
( )
'
' '
' '
, 4). Koeficijent smjera tangente jednak je :1 1 1 T:
2 4 2 0 4 4 41 1 1 T: 4
2 4 2 4 4 4 4
A A AA
B B BB
ydy xy y y y x x ydx ydy xy y y y x x ydx y
= = = = − − = − ⇒ = −− ⋅ −
= = = = − = − ⇒ = +− ⋅ −
( ) ( )3 2
'
27. Izracunaj jednadzbu tangente i normale na 2 4, u tocki T 2,4 .
Koeficijent smjera tangente jednak je :
y f x x x
y
= = − +
Derivacije 14
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2' ' 2 '(2)
'
'
3 2 i za tocku T: 3 2 2 2 4
Jednadzba tangente kroz tocku T i koeficijentom smjera :4 4 2 4 4
Normala je pravac okomit na tangentu u tocki T, pa je koeficijent smjeT T
y f x x x y
yy y y x x y x T y x
= = − ⇒ = − =
− = − ⇒ − = − ⇒ ≡ = −
( ) ( )
'
ra1 1 1normale: . Normala ima jednadzbu:
41 14 24 4
NT
T N T
kk y
y y k x x y x N y x
= − = − = −
− = − ⇒ − = − − ⇒ ≡ = − +92
( ) ( )
( )
28. Izracunaj jednadzbu tangente i normale na krivulju 3sin 2 1 u tocki nultockama, ( 0).Nultocke funkcije su u: sin 2 1 0 2 1 0,
1 1Za 2 1 0 Koordinata diralista je A( ,0)2 2
1Za 2 12
y f x xy
x x
x x
x x
π
ππ
= = −
=
− = ⇒ − =
− = ⇒ =
+− = ⇒ =
( ) ( ) ( )
'
' '
'TA ( )
'TB ( )
1Koordinata diralista je B( ,0) 2
Koeficijent smjera tangente jednak je :3cos 2 1 2 6cos 2 1 i za zadane tocke:
1 1: 6cos 2 1 6cos 0 6 6 2 6
1: 6cos 2 12
A TA NATA
B
yy f x x x
k y k kk
k y
π
π
+
= = − = −
= − = = = = − = −
+= −
1
1 16cos 6 6 6TB NB
TB
k kk
π = = − = − = − =
( )
( ) ( )
'
'
Jednadzba tangente kroz tocke A i B :10 6 6 32
10 6 6 3 12
A A
B B
y y y x x y x T y x
y y y x x y x T y xππ
− = − ⇒ − = − ≡ = −
+ − = − ⇒ − = − − ≡ = − − +
Pripadajuce normale imaju koeficijente smjera i jednadzbe:
Derivacije 15
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
( )
( )
1 1 1 106 2 6 12
1 1 106 2 6 1
A NA A
A NB B
y y k x x y x N y x
y y k x x y x N y xπ π
− = − ⇒ − = − − ≡ = − +
+ + − = − ⇒ − = − ≡ = −
12
2 2
' ' '
229. Izracunaj jedn. tangente koja ima koeficijent smjera , na elipsu 4 9 40.9
8 4 2Koeficijent smjera: 8 18 0 :18 9 9
4 2Koordinate diralista su: 29 9
Diraliste je na elips
T T
k x
x xy x yy y ky y
x y xy
= − + =
⇒ + = ⇒ = − = ⇔ = −
= − ⇒ =
( )
y
( ) ( )
( ) ( )
22 2 2 2 2
21,2 1,2
1 1 1 1
2 2 2 2
i: 4 9 40 4 9 2 40 4 36 40
1 1 2
2 2Tgta. T : 2 19 92 2Tgta. T : 2 19 9
T T T T T T
T T T
T T
T T
x y x x x x
x x y
y y x x y x T y x
y y x x y x T y x
+ = ⇒ + = ⇒ + =
= = ± = ±
− = − − ⇒ − = − − ⇒ ≡ = − + − = − − ⇒ + = − + ⇒ ≡ = − −
2 209 92 209 9
( )( )
2 2
2 2 ' 'x
' '
30. Izracunaj jednadzbu tangente i normale na krivulju 3 5 u tocki A(1,1).
Diferencirajmo: D 3 5 2 3 3 2 0
2 23 2 2 23 2
x xy y
x xy y x y xy yy
x yy x y x y y kx y
+ + =
+ + = ⇒ + + + =
− −+ = − − ⇒ = ≡
+
Derivacije 16
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
'
'
2 1 2 1 1Koeficijent smjera : 1 13 1 2 1
Tangenta T : 1 1 1 2
Normala N : 1 1 1
T NAT
A AA
A N A
y k kk
y y y x x y x T y x
y y k x x y x N y x
− ⋅ − ⋅= = − = ⇒ = =
⋅ + ⋅
− = − ⇒ − = − − ⇒ ≡ = − +
− = − ⇒ − = − ⇒ ≡ =
( )( ) ( )
2
2 21 1 1 2 2 2
'
31. Izracunaj jednadzbu tangente koja prolazi tockom A(4,5) i tangira krivulju 9.
Tocke diralista su D , 9 D , 9 .
Koeficijenti smjera: 2 , koji zadovoljavaju jednadzbe tangenta kroz to
f x x
x x x x
y x
= +
+ +
= ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
2' 2
2
1,2 1 2
' ' '1 2
'1 1 1
'2 2
cku A 4,5 :
9 52 2 9 5 2 4 8
4
4 8.472136; 0.4721362
2 16.944; 0.944
Tgta T : 5 16.944 4 16.944 62.776
Tgta T :
A
A
A A
A
xy yy x x x x x x x
x x x
b b acx x xa
y x y y
y y y x x y x T y x
y y y x x
+ −−= = ⇒ = ⇒ + − = − ⇒ − − =
− −
− ± −= ⇒ = = −
= ⇒ = = −
− = − ⇒ − = − ⇒ ≡ = −
− = −( ) ( )
2 4 0
25 0.944 4 0.944 8.776A y x T y⇒ − = − − ⇒ ≡ = − +
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 ' ' 'x
'
32. Izracunaj jednadzbu vertikalne i horizontalne tangente na krivulju 27.Koeficijent smjera tangenta dobijemo derivirajuci implicitno funkciju:
D 27 2 2 0 2 2
2
x xy y
x xy y x y xy yy y y x x y
y xy
− + =
− + = = − + + = ⇒ − = − +
−=
2y x−
Derivacije 17
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
( ) ( )
' '
22 2 2
2 2 2 21,2 1,2
2Horizontalna tangenta ima koeficijent smjera: 0 : 0 2 02
2 ; uvrstimo u jednadzbu: 27 2 2 27
2 4 27 3 9 3 6
Diralista horizontalnih tangenti su u tocka
y xy y y xy x
y x x xy y x x x x
x x x x x y
−= = = ⇒ − =
−
= − + = ⇒ − +
− + = ⇒ = ⇒ = ± = ±
( ) ( )
=
( ) ( )
1 2
'
'
2 2 2 2
ma: 3,6 ; 3, 6Vertikalna tangenta je okomica na horizontalnu tangentu i ima koeficijent smjera ;
2nazivnik : 0 :2
2 0 2 0 2 ;uvrstimo u jednadzbu:2
2 2 27 4 2 27
H H
y xyy x
y xy y x x yy x
y y y y y yy y
− −
∞−
= =−
−= = ⇒ − = ⇒ =
−
− + = ⇒ − + =
( ) ( )
2
21,2 1,2
1 2
3 279 3 6
Diralista horizontalnih tangenti su u tockama: 6,3 ; 6, 3
yy y x
V V
=
= ⇒ = ± = ±
− −
( )
( )
2 2
'
2 '1 1 1
22
33. Izracunaj kut pod kojim se sjeku zadane krivulje, ako je jedno presjeciste u tocki A 1,2 :
4 i 2 12 5Koeficijent smjera tangenti jednak je :
4 2 2 24 2 4 12 2
2 1
xA
x
y x x yy
k D y x yy k ky y y
k D x
= = −
≡ = = = ⇒ = = ⇒ = = =
≡ =( ) '2 2
1 2
1 2
44 4 1 42 5 2 55 5 5 5
4 41 15 5Tangente se sjeku pod kutem: tan 9441 11 155
tan 9 83.659
Axxy x y k k
k kk k
arc
α
α
⋅− = = − ⇒ = − = − = − = −
− − + − = = = =+ −+ ⋅ −
= = °
Derivacije 18
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
34. Viseci most je pricvrscen na stupovima udaljenih 250m. Most je u obliku parabole, sa najnizom tockom 50m ispod visine ovjesenja. Izracunaj kut izmedju lancanice mosta i stupa (nosaca).
Parabola ima 2
22
2
'
'
250oblik: izracunajmo koeficijent : 50;2
250 50 2 250 Jednadzba parabole je tada: 2 625 625125
2 4U tocki ovjesenja koeficijent smjera tangente lancanice je: 2625 615
4 12615
A
A
y kx k y x
k k y x
y x x
y
= = =
= ⇒ = = =
= =
=
( ) ( )
'
'
5 0.8 Trazeni kut iznosi: arctan arctan 0.8 38.659
90 90 38.659 51.34 Jednadzba tangente u tocki A:50 0.8 125 0.8 50
A
A A
y
y y y x x y x y x
α β
α β
= ⇒ = = = °
= − = − =
− = − ⇒ − = − ⇒ = −
2.3.3 Derivacija implicitno zadane funkcije
( ) ( ) ( ) ( )
( )
3 2
3 22 ' 3 '
2 41 341 2 3
3' 2 3' '
2
35. Deriviraj 3 5
3 53 1 6 1
63 63
xy x xy
d xy d x d xy ddy x y y y x xy ydx dx dx dx dx
dy y x y yy xy x y x y ydx xy x
− = +
⇒ − = + = ⋅ + ⋅ − = + ⋅ +
− +− = − − ⇒ = =
−
0
Derivacije 19
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
( ) ( ) ( )
( )
' '
311 2 3 2
'
'
36. Deriviraj ln cos 2
ln cos 2ln 2sin 2
ln 2sin 2
2sin 2 2 sin 2ln
xy
xyxy xy
xy xy
xy
xy
e y x x
d e d y x d xdy ye xy e y y xdx dx dx dx x
dy yy e x x x e ydx x
yx e ydy x xxydx xe x x
+ =
⇒ + = = ⋅ + ⋅ + + ⋅ = −
⇒ ⋅ + = − − − ⋅
+ + ⋅= = − ⋅ = −
⋅ +
x
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
2 2 2 2
2 2 2 2
51 2 3 4
2 ' 2 ' '
3 41 22 2
' 2 2 '2
ln
37. Deriviraj 0
0
2 2 2 2 0
2 22 2 2 2 02
xy
xy
x y xyex e x x
x y xy x y
d x y d xy d x d y ddydx dx dx dx dx dx
dy x y xy y xyy x yydx
dy dy y xy xy x xy y xy y x ydx dx x
+ ++
− + + =
⇒ − + + =
⇒ + − − + + =
− −= − + + − + = ⇒ = =
− 2xy y+
( )
( ) ( )
2
2 1
'
2
38. Izracunaj inverznu funkciju i njenu derivaciju za , 0.
, 0 zamijenimo promjenjive: 1 1 22 po definiciji
2 2
39. Izracunaj izraza 1
y f x x x
y f x x x x f y x ydy dxy x
dydx dy x ydx
dy x y ydx
d ydxdy
−
= = >
= = > = ⇒ =
= = ⇒ = = =
= −
=( ) ( ) ( ) ( ) ( )
12 2 2 1 2 1
2 22 2 21 1 1 1 2 1
2
y d y dyy y y ydy dy dy
−− −
= = − − + − 1y ⋅
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )
1 12 2 2 21 1 12
2 2 2 22 2 21 1
2 22 2
2
12 2
11 1 1
1 1
1 2
1
y ydx yy y y ydy
y y
dx ydy
y
+− − + −−
= − − + − = + − =− −
−==
−
Derivacije 20
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
( )
( )
( )
( ) ( )
12 22
2 2 2
12 2
1
'2
1 11 1Trazena derivacija 1 2 1 2 1 2
1
140. Izracunaj inverznu funkciju i njenu derivaciju za
1 1 zamijenimo promjenjive:
1 po definiciji
y ydydxdx y y ydy
y
y f xx
y f x x f y xx y
dy dxydx x
−
− −= = = =
− − −
−
= =
= = = ⇒ =
= = − ⇒2
22
2
1 1 11
xdydy y ydx x
= = = − = − = − −
1
( ) ( )
( ) ( )
2 3
2 3' 2 2 '
' '2 2 2 2
' ' 2 2 '2
2
2'
2
41.Izracunaj prvu i drugu derivaciju izraza 2 u tocki (1,1).
0 2 3 0
2 2 1 1u tocki A(1,1)23 1 3 1
2 3
2 2
A
x y y A
d x y d ydy xy y x y ydx dx dxdy xyy ydx x y
d y d xy y x y yd ydx dxdx
d y y xydx
+ =
⇒ + = ⇒ + + =
⋅ ⋅= = ⇒ = = −
+ + ⋅
+ += =
= +
1
( ) ( )
' 2 " ' ' 2 "
2
2 2 2 22 ' ' '"
2 2 2 2 2
' "
2 6 3 0
2 22 4 63 32 4 6
3 3
1 3Trazena derivacija u tocki A(1,1), uz iznosi:2 8A
xy x y yy y y y
xy xyy x yx y x yd y y xy yy yy
dx x y x y
y y
+ + + + =
+ + + ++ + = = =
+ +
= − = −
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2' ' '
' ' '2' ' " ' ' "
2
2 ' '2" '
2
42. Izracunaj prvu i drugu derivaciju izraza 3
20 2 2 02
2 2 02 2 2
2 2 2 zamijenimo sa 2
x xy y
d x d yd xydy x yx y xy yy ydx dx dx dx x y
d y d x y xy yyd y y y xy y y yydx dxdx
d y y yy yy xdx
− + =
−⇒ + + = ⇒ − − = ⇒ =
−
− − == = ⇒ − − − + + =
− −= =
−ranijim rjesenjem:
0
Derivacije 21
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
2
2 2' '2" "
3
"2
"
2 22 2 2 62 22 2 22 2 2
Drugu derivaciju smo mogli izracunati deriviranjem prve derivacije:
2 2 22 22
2
2 2
x y x yx xy yx y x yy yy y
y x y x x y
x y d x y d x yd x y x yx y dx dxydx x y
x y yy
− −− − − +− −− − = = = =
− − −
− − − − − −− = =
−
− −=
( ) ( )( )( )
( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )( )
' '
2
' ' ' ' '"
2 2
2 2"
2 2
2 1 2
2
2 4 2 2 4 2 3 32 2
23 3 63 2 3 22
2 2 2
x y y
x y
x xy y yy x xy y yy xy yyx y x y
x yx y x xy yx x y y x yx yy
x y x y x y
− − −
−
− − + − + + − −= =
− −
−− − +− − −− = = =
− − − 3 2.3.4 Deriviranje u rjesavanju zadataka iz fizike
3
12
3
' 2
143. Tocka putuje po krivulji 3 5, gdje je 3.2
Izracunaj brzinu promjene vrijednosti , za 4. Vrijednost t je vrijeme.
Trazi se derivacija za 4: 3 5 32
3
y x x x t
y t
ty t y u u u
dy dy du dyy udx du dx du
= − + = +
=
= = − + ⇒ = +
= = ⇒ = ( )
( ) ( )
( )
12
2' 2
2
'4
1 112 4
3 113 1 i za 4.4 4
13 4 3 12 3 16 1 45
8 84 4
du tdx t
udy duy u tdu dx t t
y
−− = =
−= = − = =
+ − − = = =
[ ]4 3 244. Sila prenesena na bregastu osovinu dana je sa: 12 46 60 25gdje je sa oznacena udaljenost od sredista vrtnje (1 5). Izracunaj brzinu promjene sile u zavisnosti o , kada je 4cm.
F x x x x Nx x
x x
= + + − +
≤ ≤=
Derivacije 22
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
( )
( ) ( ) ( )
4 3 2
3 23 2 '4
12 46 60 25Trazimo za 4 :
4 36 92 60 4 4 36 4 92 4 60 12
d x x x xdF dFxdx dx dx
dF Nx x x ydx m
+ + − += =
= + + − ⇒ = + + − = −
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 3
' 2 2
' 2
'0
45. Tocka putuje po krivulji 2 i 2 6 . Izracunaj za 0 i 5.
16 6 6 1 2 22 1
16 1 3 1 i za zadane vrijednosto t:2 1
3 1 3 0 1
dyx t t y t t t tdx
dy dy dt dy dt dxy t t tdx dt dx dt dx dt tdy dty t tdt dx t
y t
= + = − = =
= = ⇒ = − = − = + ⇒ =+
= = − = −+
= − = − = − ( ) ( )
( )
'5
2
2' '
'
3 3 1 3 5 1 12
46. Dva otpornika sa otporom i 2 su spojena paralelno. Kombinirani otpor i otpor
su u odnosu 2 2 2 . Izracunaj .
2 2 22 2 2 2 2
2 2 22
y t
r r RdRr r rR R rdr
d r rR R rdR r R rR Rdr drdR r RRdr
⇔ = − = − =
+
= + −
= + −= ⇒ = + + +
− += =
( )( )
1 20.4
1
2
2 1 12 2 2 2
47. Faktor iskoristenja motora sa unutarnjim sagorjevanjem dan je sa jednadzbom
1100 1 gdje su i minimalni i maksimalni volumen cilindra.
Izracuna
r R r Rr r r
V VVV
η
+ − + −= =
+ + +
= −
( )
1 2
0.4
10.4 1 1.4
2 1 1
1 1 1 2 2 2 2
1.4 1.41 1
1.4 0.41 2 2 2
j faktor iskoristenja za uz predpostavku da je konstantan.
1100
100 1 400 100 0.4
4040
V V
dVV V Vd d
dV dV dV V V V V
V VddV V V V
η
η
− − −
− −
− −
= − = − − =
= = =0.4
21.4
1
40VV
Derivacije 23
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
( )
( )
3
3
222
22
2
148. Putanja tijela koje putuje dano je sa 2 . Izracunaj brzinu i ubrzanje nakon2
vremena 2s.1 2
3 32Brzina je 2 2 2 6 2 42 2
3 22Ubrzanje je
t
s f t t t
t
d t tds mv t vdt dt s
d td s dv a
dtdt
=
= = −
=
− = = = − ⇒ = − = − =
−= = = 2 2
3 2 3 3 3 2 62 t
mt t a tdt s=
= = ⇒ = = ⋅ =
( ) 3 249. Putanja cestice koja se krece po pravcu dano je sa 6 9 4.a) Izracunaj put i ubrzanje kada je brzina 0.b) Izracunaj put i brzinu kada je ubrzanje 0.c) Izracunaj kada put raste
s f t t t ts vs v a
s
= = − + +
==
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
3 22
3 23 21
3 23 22
d) Izracunaj kada brzina raste.e) Kada se smjer kretanja mijenja?
6 9 4a) Ako je 0: 0 3 12 9 0
3 6 9 4 3 6 3 9 3 4 4
1 6 9 4 1 6 1 9 1 4 8
Ubrzanje iznosi
v
d t t tdsv t tdt dtt s t t t m
t s t t t m
− + += = ⇒ = − + =
= ⇒ = − + + = − + + =
= ⇒ = − + + = − + + =
( )
( ) ( ) ( )
2
3 12 2
3 23 22
2
3 12 96 12 i za dano t imamo:
6 12 6 3 12 6 6 12 6 1 12 6
) Ubrzanje je nula za 6 12 0 2
Put iznosi: 6 9 4 2 6 2 9 2 4 6
Brzina iznosi: 3
t t
t
t
d t tdva tdt dt
m ma t a ts s
b a t t
s t t t
v t
= =
=
=
− += = = −
= − = ⋅ − = = − = ⋅ − = − = − = ⇒ =
= − + + = − + + =
= ( ) ( )22
2
12 9 3 2 12 2 9 3
) Put raste kada brzina raste 0 : 3 12 9 0 1 i 3) Brzina raste kada je ubrzanje 0: 6 12 0 2
e) Smjer kretanja se mijenja u trenutku 1 i 3, kada je brzina 0 i ubr
t
c v t t t td a t t
t t v
− + = − + = −
> − + > ⇒ < >> − > ⇒ >
= = = zanje 0.Iz prilozenog grafickog prikaza lijepo se mogu vidjeti svi uvjeti i rjesenja zadatka.
a ≠
Derivacije 24
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
( )
( )
-4 5 2
-4 5 2'
50. Savijanje celicnog nosaca dano je jednadzbom 10 25 gdje je sa oznacena
udaljenost od oslonca. Izracunaj drugu derivaciju (promjenu koeficijeta smjera tangente) za 3.
10 25
y x x x
x
d x xdyydx
= −
=
−= =
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
-4 5 -4 2-4 4
-4 4 -4 4 -42" -4 3
2
3" -4 3 -43 3
10 10 2510 5 50
10 5 50 10 5 10 5010 20 50
110 20 50 10 20 3 50 0.049x x
d x d xx x
dx dx dxd x x d x d xd yy x
dx dx dxdx
y xm= =
= − = −
− = = = − = −
= − = − =
3 251. Putanja cestice koja se krece vodoravno dano je sa 9 24 .
a) Izracunaj kada put raste a kada pada.b) Izracunaj kada brzina raste a kada pada.c) Izracunaj put koje cestica predje u prvih
s t t tsv
s
= − +
( )
( )( )
3 22
2
1,2 1 2
5 sekundi kretanja.
9 24a) Izracunajmo brzinu: 3 18 24
18 18 4 3 24 0 za t 2 4 ili drukcije2 3
3 1 4 Put raste za 0 2, 4 vidi graf!Put pada za 0 2 4 vidi g
d t t tdsv tdt dt
v t t
v t t v t tv t
− += = = − +
± − ⋅ ⋅= = ⇒ = =
⋅= − − > ⇒ < >
< < <
t
( )( )
2
raf!
3 18 24)Izracunajmo ubrzanje: 6 18 6 3
d t tdvb a t adt dt
− += = = − ⇒ = −t
Brzina raste za 0 3 Brzina pada za 0 3
) Udaljenost za prvih 5 sekundi:Za 0 tijelo je u polozaju 0 - Predjeni put je nulaZa 0, tijelo krece u desno i za prve 2 sekunde predje put:
a t a t
ct sv t
> > < <
= => =
Derivacije 25
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 23 22
3 23 24
9 24 2 9 2 24 2 20U narednih 2 sekundi, tijelo mijenja smjer u lijevo do 4:
9 24 4 9 4 24 4 16Smjer kretanja je u lijevo, pa je 16 20 4Za 5 sekundi, tijelo je preslo pu
t
t
s t t t mt
s t t t ms m
t
=
=
= − + = − + =
=
= − + = − + =
= − = −=
( ) ( ) ( )3 23 25
2 4 5
t od:
9 24 5 9 5 24 5 20Sveukupno, predjeni put iznosi: 20 4 4 28t
t t t
s t t t mS s s s m
=
= = =
= − + = − + =
= + + = + + =
4 3 252. Putanja cestice koja se krece vodoravno dano je sa 6 12 10 3.a) Izracunaj kada brzina raste a kada se smanjuje.b) Kada cestica mjenja smjer.c) Izracunaj put koje cestica predje u pr
s t t t tv
s
= − + − +
( )4 3 23 2
1,2 3
vih 3 sekundi kretanja.Izracunajmo brzinu i ubrzanje:
6 12 10 34 18 24 24
Nultocke jednadzbe za su : 1, 5 Rjesenje se moze izracunati koristeci objasnjenja u dijelu "Je
d t t t tdsv t t tdt dt
v t t
− + − += = = − + +
= =
( )3 22
1 2
1 2
dnadzbe viseg reda".
4 18 24 2412 36 24 1, 2
) Brzina mijenja predznak u 2.5 a ubrzanje mijenja predznak u 1 i 2Za 1 brzina 0 i 0. Posto je 0, brzina se povec
d t t tdva t t t tdt dt
a t tt v a a
− + += = = − + ⇒ = =
= =< < > >
t =ava;odnosno posto je
0 brzina se smanjuje: Za 1 2 brzina 0 i 0. Posto je 0, brzina se smanjuje; odnosno posto je
0 brzina se povecava: Za 2 2.5 brzina 0 i 0. Brzina se smanj
v v vt v a a
v v vt v a
< = −
< < < < <
< = −
< < < > uje.Za 2.5 brzina 0 i 0. Brzina se povecava: 0 i t v a v v v> > > > =
0
) Smjer kretanja se promijeni za 2.5 (funkcija puta ima ekstrem)) Za 0 put 3. To je predjeni put cestice za 0.t
b tc t s t=
== = =
s
Derivacije 26
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
( ) ( ) ( ) ( )4 3 24 3 22.5
3
Do vremena 2.5, cestica putuje u lijevo i proci ce put od:
6 12 10 3 2.5 6 2.5 12 2.5 10 2.5 3 1.6875Za 3, put je nula 0. Cestica je dosla na pocetni polozaj, sto iznosi 1.687t
t
t
s t t t tt s
=
=
=
= − + − + = − + − + = −
= =
0 2.5 3
5.Sveukupno, predjeni put za prve 3 sekunde iznosi:
1.6875 3 1.6875 6.375 jedinica mjere za duzinut t tS s s s= = == + + = + + =
3
53. Cestice rotira po putanji danoj jednadzbom , gdje oznacava kut u radijanima50
i , vrijeme u sekundama. Izracunaj kutni pomak , kutnu brzinu i kutno ubrzanje nakon vremena 10 .
Izracun
t t
tt s
ϕ ω
Φ = − Φ
=α
[ ]
( )
3 3
10
2210
10 2
10ajmo pomak cestice: 10 1050 50
3 3Kutna brzina cestice: 1 10 1 550 50
6 6 6Kutno ubrzanje cestice: 1050 50 5
t
t
t
t t rad
d rtdt sd radtdt s
ω ω
ωα α
=
=
=
Φ = − = Φ = − =
Φ = = − ⇒ = − = = = ⇒ = =
ad
2.3.5 L’Hospital-ovo pravilo
( ) ( )( )
Utvrdjivanje granicnih vrijednosti za funkcije, koje uvrstavanjem granicne vrijednosti postaju neodredjene, rjesavaju se L'Hospital-ovim pravilom:
0Vrijednost funkcije u obliku razlomka ili 0
f xy x
g x∞
= =
( ) ( )( )
( )( )
( )( )
' "
' "0 0 0
dobije se tako, da se derivira
posebno brojnik i posebno nazivnik onoliko puta, koliko je dovoljno da se dobije konacna vrijednost kao rezultat.
lim lim lim itd.
Izraz li
x x x
f x f x f xy x
g x g x g x→ → →
∞
= = = =
10 22
m moze biti bilo koji od oblika, kao na pr. lim, lim, lim,...x x x x
+→ →∞ → →
Derivacije 27
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike Za funkcije koje nisu zadane u obliku kvocijenta i neodredjeni oblik je na pr. , 0,funkciju treba najprije prikazati kao kvocijet a potom primijeniti L'Hospital-ovo pravilo. Za funkcije koje imaj
∞ −∞ ∞ ⋅
0 0 0u neodredjeni oblik na pr. 1 , ,0 racunaju se tako, da se funkcija najprije logaritmira po bazi prirodnog broja e, prikaze ako kvocijent i potom primijeni L'Hospital-ovo pravilo.
∞
( ) ( )( )
( )
'
'0 0 0
sin54. Rijesi za 0
sin0 sin cos 1 Izraz je oblika 0 lim lim lim 10 1
sinNapomena: Kvocijent se derivira posebno brojnik a posebno nazivnik.
55. Rijesi lim ln 1
x x x
x
xy xx
xx xyx x
xx
ay x ax
→ → →
→∞
= =
⇒ = = = = =
= + ⋅ +
( )
1
( )
( ) ( ) ( )
'2
2
'
2 2
izraz je oblika 0
ln 11lim ln 1 lim sada primjenimo pravilo:1 1
1
ln 1 1lim lim lim lim
1 11
x x
x x x x
aa xyx
x a x a
a aaa a x ax xx x xy
x a x ax a
→∞ →∞
→∞ →∞ →∞ →∞
∞ ⋅
+ = + = ⇒ + +
− ⋅ ++ + = = = =−
+ + +
( )
( )
( )( )
( )
( )
2
2
1
0
'
1
lim lim lim 0
56. Rijesi za 1 ln lnIzraz je oblika ln ln lim ln lim
sada primjenimo pravilo na desnu stranu jednadzbe:
lnlim ln lim
x x x
x
x x
x x
x a x
x a
a x a a x a ay a a ax a x x x
y x xx xy x y
x x x
xy
→∞ →∞ →∞
→∞ →∞
→∞ →∞
+
+
+ += = = + = + =
+
= → ∞
∞ ⇒ = = ⇒ =
=( )'
1
1lim 0 sada rjesimo jednakost:
lim ln 0 ln 0 samo za 1 slijedi: lim1 1 1 za
x
xx x
xx
y y y y x x
→∞
→∞ →∞
= =
= ⇒ = = = ⇒ = = → ∞
Derivacije 28
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
( )( )
( )( )
21
' ' 2 2
2 ' '1 1 1 12
1 cos57. Rijesi lim2 1
1 cos sin1 cos coslim lim lim lim2 22 1 2 22 1
58. Rijesi za 0logaritmirajmo, limitirajmo i primjenimo pravilo:
lnln ln
x
x x x x
x
x
xx x
x xx xx x xx x
y x xy x
y x x
π
π π ππ π
→
→ → → →
+− +
+ −+ −= = = =
− + −− +
= =
=
= =
π π
( ) ( )
( )( ) ( )
'
'0 0 0 0 0
2
0
sin
'
'0 0 0 0
1ln
lim ln lim lim lim lim 01 11
lim ln 0 1 odnosno 1 za 0
59. Rijesi za 0lnln sin lncsc
1ln 1lim ln lim lim lim
csc cotcsc
x x x x x
x
x
x
x x x x
xx xy x x
x xxy y y x x
y x xxy x xx
x xyx xx x
→ → → → →
→
→ → → →
⇒ = = = − = − =−
= ⇒ = = = →
= =
= =
= = = −−
( )
2
0
0 0 0 0 0 0
sinlim1 cos cos
sin sinsin sin sin sin sinlim ln lim lim lim lim lim tan 1 0 0
cos cos
x
x x x x x x
xx x x
x xx x x x xy xx x x x x
→
→ → → → → →
= −
= − ⋅ = − ⋅ = − ⋅ = − ⋅ =
( )
( )2'
' 20 0 0 0 0 0
160. Rijesi: 1 za 0
1ln 11 1Izraz ima oblik 0 1 ln ln 1
1
11 1ln 1 1
1 1lim ln lim lim lim lim lim1 11 1
x
x
x x x x x x
y xx
xy y xx x
x
x
x xxyxx
x xx
−
−→ → → → → →
= + →
+ ∞ ⋅ ⇒ = + ⇒ = + =
− + + = = = = =
+− +
( ) ( ) 1
0 0 0
1
1lim ln lim 1 ln lim1 1 0x x x
x
xxy y e e
xx x
→ → →
+
= = = ⇒ = =++
Derivacije 29
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
( )( )
( )
( )
0
'
'0 0 0
0 0
Derivirajmo opet
ln cos361. Rijesi: limln cos 2
sin 3 3cos3ln cos3 3sin 3 cos 2lim lim lim
2sin 2 cos3sin 2 2ln cos 2cos 2
sin 3 3cos 2lim limsin 2 2cos3
x
x x x
x x
xx
xxx x x
x xxxx
x xx x
→ +
→ + → + → +
→ + → +
− = =−
= ⋅ 0
3Izraz je jednak 2
3cos3 3 3 3 9lim2cos 2 2 2 2 4x
xx→ +
= =
=
( )( )
( )( )
0
'
'0 0 0
'
'0 0 0
2
1 161. Rijesi lim1
11 1 1Izraz je oblika lim lim lim1 11
1 1 1lim lim lim2 0 221
262. Rijesi lim
xx
x x
x xx x xx
x x x
x x x x xx x xx x
x
x e
e x ex e xex e
e e ee xe e e xexe e
x
→
→ → →
→ → →
→+∞
− −
− − − ∞ −∞⇒ − = = = − + −
−= = = = =
++ + ++ −
+
xe −
( )( )
( )
( )
'1 12 12 2 22
1 22 2
12 2 22 2Izraz je oblika lim lim lim' 1
lim lim22
Ponovno deriviranje nas dovodi do pocetnog rezultata. L'Hospital-ovo pravilo se ne moze primije
x x x
x x
x
x x xxx x
x xxx
−
→+∞ →+∞ →+∞
→+∞ →+∞
+ +∞ + ⇒ = =
∞
= =++
=
2 2
2 2
niti. Koristimo zato drukciju transformaciju:
2 2 2lim lim lim 1 1 0 1 x x x
x xx x x→+∞ →+∞ →+∞
+ += = + = + =
( )
( ) ( ) ( ) (
2
20
2 2 2 2
63. Rijesi tan za 2
Izraz je oblika lim lim tan lim ln lim 2 ln tan
x
x
x x x x
y x x
y x y x
π
π
π π π π
π
π
−
−
→ → → →
= →
∞ ⇒ = ⇒ = − )x
Derivacije 30
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
( )
( ) ( ) ( )
( )[ ]
( ) ( )( ) ( )
'2'2 2
' '
2 2 2 22 2sin 2
2 2 2
1 1 cos 12ln tan tan sincos coslim lim lim lim
2 2 2sin cos12 22
4 22 2 2 2lim ln lim 0 lim ln 0 12cos 2 2 1
defin
x x x x
x
x x x
xxx x xx xx x
x xx
xy y
x
π π π π
π π π
π
π ππ
ππ
π
→ → → →
→ → →
− = = − = −−
− −− − ⋅ − = − = − = ⇒ = ⇒ =⋅ −
( )
y
( )0 2
2 2
icija logaritma baza 1 lim lim tan 1x
x xy x π
π π
−
→ →= ⇒ = =
( )
( )( )
( ) ( )( )
( )
2
2
1
2 2
' '
' '0 0 0 0 02
1
0 0
64. Rijesi cos za 01 ln cosIzraz je oblika 1 ln ln cos limitirajmo
1 sinln cos sin coscoslim ln lim lim lim lim2 22 cos
1 1lim ln lim cos2 0 2
x
x x x x x
xx x
y x xxy x
x x
xx x xxyx xx xx
y x
∞
→ → → → →
→ →
= →
⇒ = =
− − −= = = =
−
−= = − ⇒
−
cos 2 sinx x
( ) ( )
( )
2
2
1
0 0
112
1 ln lim ln lim cos2
cos
xx x
x
y x
y x e
→ →
−
= − ⇒ =
= =
Derivacije 31
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
( )( )
( )( )
2
2
' '2
' '2
2 20
2 20
3 5 865. Rjesi za Izraz je oblika 7 2 1
3 5 8 6 5 6 6 3lim lim lim lim14 14 714 27 2 1
1 166. Rijesi lim izraz je oblika sin
1 1lim lsin
x x x x
x
x
x xy xx x
x x xy
xx x
x x
x x
→+∞ →+∞ →+∞ →+∞
→
→
+ − ∞= → +∞
∞− +
+ − += = = = =
−− +
− ∞ −∞
− =
( )( )
2 2 2 2 2
2 2 2 2 20 0
22 2 2 2
24 2 20 0 0
0
sin 2
'2 2
'0 04
sin sinim limsin sin
sinlim lim lim 1 1sinsin sin
2 2sin cossin
lim lim
x x
x x xx
x
x x
x x x x xx x x x x
x x x x xxx x x
x x xx x
x
→ →
→ → →→
→ →
− −= ⋅
− = = = =
− − =
( )
( )( )
( )( )
'
' '
' '0 03 2
2 20 0
2 2cos 2 4sin 2lim lim
244 12
8cos 2 8 1 1 1 1 1lim lim 124 24 3 3 3sin
Ovaj zadatak se moze rjesiti koristeci Taylor-ov teorem, koji ce biti obradjen u poglavlju Besko
x x
x x
x x
xx x
xx x
→ →
→ →
− = =
= = = ⇔ − = ⋅ =
nacni Redovi.
' =
( )
( ) ( )( )
( )( )
4'
'
4 42
2' 2
'
4 4
67. Rjesi lim 1 tan sec 2
1 tan 1 tan1Izraz je oblika 0 ; sec 2 lim limcos 2 cos 2 cos 2
11
sec1 tan sec 24 2lim lim 12sin 2 2 1 2cos 2 2sin 2
4
x
x x
x x
x x
x xx
x x x
x xxx
π
π π
π π
π
π
→
→ →
→ →
−
− −⋅∞ = ⇒ =
−
− − − − = = = = =− − ⋅ −
−
( )
( ) ( )
cos 0
2
cos
22 2 2 2
68. Rjesi lim tan za izraz je oblika 2
ln tanlim lim tan ln lim lim cos ln tan limsec
x
x
x
xx x x x
x x
xy x y x xx
π
ππ π π π
π−
− − − − −
−
→
→→ → → →
→ ∞
= ⇒ = =
Derivacije 32
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike
Derivacije 33
( )( )
2'
' 2
2 2 2 22 2
2
2
1 1secln tan sectan cosln lim lim lim lim limsec tan tan sinsec
coscos 0lim 0
1sin
x x x xx
x
xx xx xyx x x xx
xxx
π π π ππ
π
− − − − −
−
→ → → →→
→
= = = =
= = =
2 =
